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Reti Logiche
Corso di Architetture degli Elaboratori
Reti Logiche
RETI LOGICHE 2
Struttura del corso
Introduzione alle reti logiche Implementazione di porte logiche Sintesi di reti combinatorie Reti sequenziali Sintesi di reti sequenziali
Struttura del corso
RETI LOGICHE 3
Algebra booleana
Insieme S = {a,b,c,…} Operatori binari + e ·
<S,+,·> è un’algebra booleana se valgono le proprietà:
a,b S: a+bS, abS chiusura0,1 S: a S a+0=a, a·1=a elementi neutri a+b=b+a, ab=ba commutatività (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) associatività a+bc=(a+b)(a+c), a(b+c)=(ab)+(ac) distributivitàaS ¬a) S a+(¬a)=1, a(¬a)=0 inverson>0: |S|=2n dimensione
Algebra booleana
RETI LOGICHE 4
Proprietà derivate di un’algebra booleana
Gli elementi 0,1 sono unici
a+a =a, a·a = a idempotenza
a+1=1, a·0 = 0
a+ab = a, a(a+b)=a assorbimentoa+(¬a)b = a+b, a((¬a)+b)=abPer ogni a S, l’elemento ¬a è unico¬(a+b) = (¬a)(¬b), ¬(ab) = (¬a)+(¬b) De Morgan¬(¬a) = a involuzione
Proprietà derivate di un’algebra booleana
RETI LOGICHE 5
Esempio di algebra booleana 1
Dato un insieme I, indichiamo con P(I) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di I (insieme potenza), allora <S, ,> è un’algebra booleana, con:
S = P(I) + = · = ¬a = I/a0 = 1 = I
Esempio di algebra booleana
RETI LOGICHE 6
Infatti:
S1, S2 I, S1 S2 I, S1 S2
IS1 I, S1 =S1, S1 I =S1
S1 S2 = S2 S1
S1 S2 = S2 S1
(S1 S2) S3 = S1 (S2 S3)
(S1 S2) S3 = S1 (S2 S3)
S1 (S2 S3)=(S1 S2) (S1 S3)
S1 (S2 S3)=(S1 S2) (S1 S3)
S1 (I/S1)=I, S1 (I/S1)=
|P(I)|=2|I|
Esempio di algebra booleana 2
RETI LOGICHE 7
Variabili e funzioni di commutazione 1
Una variabile di commutazione (o booleana) x è una variabile che assume valori nel dominio {0,1} (o {T,F}).
Una funzione di commutazione (o funzione booleana) f : {0,1}n {0,1} su n variabili di commutazione è una qualunque corrispondenza (mapping) y = f (x1, x2,…, xn) da {0,1}n a {0,1}.
Una funzione di commutazione n-aria è definita su un dominio di 2n valori diversi, detti anche assegnamenti di verità.
Variabili e funzioni di commutazione
RETI LOGICHE 8
Una funzione di commutazione 3-aria y = f (x1, x2, x3) è definita sull’insieme di 23=8 assegnamenti di verità:x1=0, x2=0, x3=0 x1=0, x2=0, x3=1
x1=0, x2=1, x3=0 x1=0, x2=1, x3=1
x1=1, x2=0, x3=0 x1=1, x2=0, x3=1
x1=1, x2=1, x3=0 x1=1, x2=1, x3=1
o, più sinteticamente, sui valori 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111,ed associa ad ognuno di essi un valore 0 o 1
Esempio:
Variabili e funzioni di commutazione 2
RETI LOGICHE 9
Tabelle di verità 1
Una funzione di commutazione può essere rappresentata utilizzando una tabella di verità.
2n assegnazioni di verità
n variabilifunzione
Tabelle di verità
RETI LOGICHE 10
Esempio di funzione di commutazione 3-aria
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Nota: esistono 22n
diverse funzioni di commutazione n-arie
Possiamo definire una particolare funzione di commutazione 3-aria utilizzando una matrice 8x4.
Tabelle di verità 2
RETI LOGICHE 11
Funzioni di commutazione elementari 1
Funzioni 1-arie
x y1 y2 y3 y4
0 0 1 0 1
1 1 0 0 1
y1 : identità
y2 : negazione (NOT)
Funzioni di commutazione elementari
RETI LOGICHE 12
Funzioni di commutazione elementari 2
Funzioni 2-arie
x2 x1 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
y1 = 0
y2 = x1 AND x2
y4 = x2
y6 = x1
y7 = x1 XOR x2
y8 = x1 OR x2
Funzioni di commutazione elementari
RETI LOGICHE 13
Funzioni di commutazione elementari 3
Funzioni 2-arie
y9 = x1 NOR x2
y11 = NOT x1
y13 = NOT x2
y15 = x1 NAND x2
y16 = 1
x2 x1 y9 y1
0
y1
1
y1
2
y1
3
y1
4
y1
5
y1
6
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Funzioni di commutazione elementari
RETI LOGICHE 14
Algebra di commutazione 1
Un’algebra di commutazione è un’algebra booleana<{0,1}, +, ·> (definita quindi sui soli elementi 0 e 1). In un’algebra di commutazione l’operatore + corrisponde alla funzione 2-aria OR e l’operatore · corrisponde alla funzione 2-aria AND.
In un’algebra di commutazione l’elemento inverso ¬x corrisponde all’applicazione della funzione NOT.
Algebra di commutazione
RETI LOGICHE 15
Si tratta di un’algebra booleana in quanto:
b1,b2 {0,1}, b1 OR b2 {0,1}, b1 AND b2
{0,1}b1 {0,1}, b1 OR 0=b1, b1 AND 0=b1
b1 OR b2 = b2 OR b1
b1 AND b2 = b2 AND b1
(b1 OR b2) OR b3 = b1 OR (b2 OR b3)
(b1 AND b2) AND b3 = b1 AND (b2 AND b3)
b1 OR (b2 AND b3)=(b1 OR b2) AND (b1 OR b3)
b1 AND (b2 OR b3)=(b1 AND b2) OR (b1 AND b3)
b1 OR (NOT b1)=1, b1 AND (NOT b1)=0
|{0,1}|=2
Algebra di commutazione 2
RETI LOGICHE 16
Rappresentazione algebrica di funzioni di commutazione
Data una funzione, rappresentata in forma esaustiva (mediante tabella di verità), se ne vuole trovare unarappresentazione algebrica, mediante una espressioneche faccia uso degli operatori +, · , ¬ (o anche OR,AND, NOT).
Rappresentazione algebrica di funzioni di commutazione
RETI LOGICHE 17
Mintermini 1
Date n variabili di commutazione x1, x2 , …, xn, un mintermine mi è una funzione n-aria che assume valore 1 in corrispondenza alla sola assegnazione di verità i-esima su x1, x2 , …, xn.
Sia b1b2 …bn l’i-esima assegnazione di verità
(dove bj=0 o bj=1 per j=1,…,n), allora il
mintermine corrispondente è 12 … n, con:
j= xj se bj=1
j= ¬xj se bj=0.
Mintermini
RETI LOGICHE 18
EsempioAlla assegnazione di verità x1=0, x2=1, x3=0, x4=0, x5=1, x6=0 (cioè 010010 = 18 in notazione binaria) corrisponde il mintermine m18
=¬x1x2¬x3¬x4x5¬x6
EsempioAlla assegnazione di verità x1=0, x2=1, x3=0, x4=0, x5=1 (cioè 10010 = 18 in notazione binaria) corrisponde il mintermine m18
=¬x1x2¬x3¬x4x5
Mintermini 2
RETI LOGICHE 19
Forma canonica SP 1
Qualunque funzione di commutazione n-aria f può essere rappresentata in forma canonica SP (somma di prodotti) effettuando l’OR di tutti i mintermini corrispondenti ad assegnazioni di verità per le quali f assume valore 1.
Forma canonica SP
RETI LOGICHE 20
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
m2 =¬x1x2¬x3
m4 = ¬ x1¬x2x3
m7 =x1x2x3
m5 =x1¬x2x3
y = ¬x1x2¬x3+¬x1¬x2x3+x1¬x2x3+ x1x2x3
Forma canonica SP 2
RETI LOGICHE 21
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Forma canonica SP 3
m2
0
0
1
0
0
0
0
0
m4
0
0
0
0
1
0
0
0
m5
0
0
0
0
0
1
0
0
m7
0
0
0
0
0
0
0
1
RETI LOGICHE 22
Implicanti 1
Date due funzioni di commutazione f1 ed f2, diciamo che f1 è un implicante di f2, (f1 f2) se la sua verità implica la verità di f2.
Più precisamente, f1 f2 se per ogni assegnazione di verità x per cui f1(x)=1 si ha che f2(x)=1.
Per la funzione y = ¬x1x2¬x3+¬x1¬x2x3+x1¬x2x3+x1x2x3
dell’esempio precedente si ha che ¬x2x3 y.
Infatti, y =1 per i valori {010, 011, 101, 111} e ¬x2x3 =1 per x2=0, x3=1 (e quindi per {010, 110}).
Implicanti
RETI LOGICHE 23
Un mintermine è un caso particolare di implicante.Un implicante f1 di una funzione f è primo se non esiste nessun altro implicante f2 di f tale che f1f2.
Per la funzione y = ¬x1x2¬x3+¬x1¬x2x3+x1¬x2x3+x1x2x3
dell’esempio precedente si ha che il mintermine x1¬x2x3 è un implicante non primo, in quanto
x1¬x2x3 ¬x2x3 y
Implicanti 2
RETI LOGICHE 24
La rappresentazione di funzioni mediante somma (OR) di implicanti primi permette di avere rappresentazioni più concise della stessa funzione rispetto alla forma canonica SP.
Per la funzione dell’esempio precedente si ha cheessa può essere descritta anche come:y = ¬x1x2¬x3+¬x2x3+x1x2x3ProblemaData una funzione di commutazione f trovare la rappresentazione di f che utilizza il minimo numero di implicanti.
Implicanti 3
RETI LOGICHE 25
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
¬x1x2¬x3
¬x2x3
x1x2x3
Implicanti 4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
RETI LOGICHE 26
Maxtermini 1
Date n variabili di commutazione x1, x2 , …, xn, un maxtermine Mi è una funzione n-aria che assume valore 0 in corrispondenza alla sola assegnazione di verità i-esima su x1,x2, …,xn.
Sia b1b2 …bn l’i-esima assegnazione di verità
(dove bj=0 o bj=1 per j=1,…,n), allora il
maxtermine corrispondente è 1+2+…+n, con:
j= ¬xj se bj=1
j= xj se bj=0.
Maxtermini
RETI LOGICHE 27
EsempioAlla assegnazione di verità x1=0, x2=1, x3=0, x4=0, x5=1, x6=0 (cioè 010010 = 18 in notazione binaria) corrisponde il maxtermine M18
=x1+¬x2+x3+x4+¬x5+x6
EsempioAlla assegnazione di verità x1=0, x2=1, x3=0, x4=0, x5=1 (cioè 10010 = 18 in notazione binaria) corrisponde il maxtermine M18 = x1+¬x2+x3+x4+¬x5
Maxtermini 2
RETI LOGICHE 28
Forma canonica PS 1
Qualunque funzione di commutazione n-aria f può essere rappresentata in forma canonica PS (prodotto di somme) effettuando l’AND di tutti i maxtermini corrispondenti ad assegnazioni di verità per le quali f assume valore 0.
Forma canonica PS
RETI LOGICHE 29
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
M0 =x1+x2+x3
M1 =¬x1+x2+x3
M6 =x1+¬x2+¬x3
M3 =¬x1+¬x2+x3
y =(x1+x2+x3)(¬x1+x2+x3)(¬x1+¬x2+x3)(x1+¬x2+¬x3)
Forma canonica PS 2
RETI LOGICHE 30
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Forma canonica PS 3
M0
0
1
1
1
1
1
1
1
M1
1
0
1
1
1
1
1
1
M3
1
1
1
0
1
1
1
1
M6
1
1
1
1
1
1
0
1
RETI LOGICHE 31
Implicati 1
Date due funzioni di commutazione f1 ed f2, diciamo che f1 è un implicato di f2, (f2 f1) se la sua verità è implicata dalla verità di f2.
Più precisamente, f2 f1 se per ogni assegnazione di verità x per cui f2(x)=1 si ha che f1(x)=1.
Per la funzione y =(x1+x2+x3)(¬x1+x2+x3)(¬x1+¬x2+x3)(x1+¬x2+¬x3)
dell’esempio precedente si ha che y x2+x3
Infatti, y =1 per i valori {010, 011, 101, 111} e x2+x3 =1 per x20 e x30
(e quindi, se n=3, per {010, 011,100,101,110,111}).
Implicati
RETI LOGICHE 32
Un maxtermine è un caso particolare di implicato.Un implicato f1 di una funzione f è primo se non esiste nessun altro implicato f2 di f tale che f2f1.
Per la funzione y =(x1+x2+x3)(¬x1+x2+x3)(¬x1+¬x2+x3)(x1+¬x2+¬x3)
dell’esempio precedente si ha che il maxtermine x1+x2+x3 è un implicato non primo, in quanto
y x2+x3x1+x2+x3
Implicati 2
RETI LOGICHE 33
La rappresentazione di funzioni mediante prodotto (AND) di implicati primi permette di avere rappresentazioni più concise della stessa funzione rispetto alla forma canonica PS.
Per la funzione dell’esempio precedente si ha cheessa può essere descritta anche come:y =(x2+x3)(¬x1+¬x2+x3)(x1+¬x2+¬x3)ProblemaData una funzione di commutazione f trovare la rappresentazione di f che utilizza il minimo numero di implicati.
Implicati 3
RETI LOGICHE 34
x3 x2 x1 y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
¬x1+¬x2+x3
x2+x3
x1+¬x2+¬x3
Implicati 4
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
RETI LOGICHE 35
Porte logiche
Porte logiche
Una porta logica è un dispositivo (astratto) cheimplementa una funzione di commutazione elementareoperando su segnali, che rappresentano valori booleani.
Se la funzione implementata è una funzione n-ariay = f (x1, x2,…, xn), la porta logica corrispondente han ingressi ed 1 uscita, sui quali possono aversi i segnalicorrispondenti ai valori 0,1.
x1x2
xn
y = f (x1, x2,…, xn)f...
RETI LOGICHE 36
Porta AND
Una porta AND ha due (o più) ingressi ed una uscita.Sull’uscita si ha 1 se tutti gli ingressi sono ad 1.
PORTA AND
x1x2
y
00 0
01 0
0 01
11 1
RETI LOGICHE 37
Porta OR
Una porta OR ha due (o più) ingressi ed una uscita.Sull’uscita si ha 1 se almeno un ingresso è ad 1.
PORTA OR
00 0
x1x2
y
01 1
0 11
11 1
RETI LOGICHE 38
Porta NOT
Una porta NOT ha un ingresso ed una uscita.Sull’uscita si ha il valore opposto a quello checompare in ingresso.
PORTA NOT
x y
0 1 1 0
RETI LOGICHE 39
Porta NAND
Una porta NAND equivale ad una porta AND negata (seguita da una porta NOT): quindi, sull’uscita si ha 0 se tutti gli ingressi sono ad 1.
PORTA NAND
00 1
01 1
11 0
0 11
x1x2
yx2
yx1 =
RETI LOGICHE 40
Porta NOR
Una porta NOR equivale ad una porta OR negata (seguita da una porta NOT): quindi, sull’uscita si ha 0 se almeno un ingresso è ad 1.
PORTA NOR
00 1
01 0
11 0
0 01
x1 x1x2
y x2y=
RETI LOGICHE 41
Completezza porta NAND
Completezza della porta NAND
La porta NAND è completa, nel senso che, usando soltanto porte di questo tipo, è possibile ottenere le tre porte fondamentali AND, OR e NOT.
RETI LOGICHE 42
Implementazione della porta NOT mediante NAND
x zx z
x NAND x= ¬ (x•x)= ¬ x (Idempotenza)
NOT mediante NAND
RETI LOGICHE 43
Implementazione della porta AND mediante NAND
AND mediante NAND
z x1x2 x2
zx1
(x1 NAND x2) NAND (x1 NAND x2)= ¬((¬ (x1·x2))·(¬(x1·x2)))= ¬((¬x1)+(¬x2))·((¬x1)+(¬x2))) (De Morgan)= ¬((¬x1)+(¬x2)) (Idempotenza)= ¬(¬(x1·x2)) (De Morgan)= x1·x2 (involuzione)
RETI LOGICHE 44
Implementazione della porta OR mediante NAND
OR mediante NAND
(x1 NAND x1) NAND (x2 NAND x2)= ¬((¬(x1·x1))·(¬(x2·x2)))= ¬((¬x1)·(¬x2)) (Idempotenza)= ¬(¬(x1+x2)) (De Morgan)= x1+x2 (involuzione)
z x1
x2
x1x2
z
RETI LOGICHE 45
Completezza porta NOR
Completezza della porta NOR
La porta NOR è completa, nel senso che, usando soltanto porte di questo tipo, è possibile ottenere le tre porte fondamentali AND, OR e NOT.
RETI LOGICHE 46
Implementazione della porta NOT mediante NOR
x NOR x= ¬ (x+x)= ¬ x (Idempotenza)
NOT mediante NOR
x zx z
RETI LOGICHE 47
Implementazione della porta AND mediante NOR
AND mediante NOR
(x1 NOR x1) NOR (x2 NOR x2)= ¬((¬(x1+x1))+(¬(x2+x2))) = ¬((¬x1)+(¬x2)) (Idempotenza)= ¬(¬(x1·x2)) (De Morgan)= x1·x2 (involuzione)
z x1
x2
x1x2
z
RETI LOGICHE 48
Implementazione della porta OR mediante NOR
OR mediante NOR
(x1 NOR x2) NOR (x1 NOR x2)= ¬((¬ (x1+x2))+(¬(x1+x2)))= ¬((¬x1)·(¬x2))+((¬x1)·(¬x2))) (De Morgan)= ¬((¬x1)·(¬x2)) (Idempotenza)= ¬(¬(x1+x2)) (De Morgan)= x1+ x2 (involuzione)
z x1x2 x2
zx1
RETI LOGICHE 49
Reti logiche
Reti Logiche
Una rete logica è costituita da un insieme di porte logiche interconnesse. Il comportamento di una rete logica è descritto in termini di relazione tra i valori ai morsetti (di ingresso e di uscita delle varie porte).
Le relazioni tra i valori ai morsetti sono rappresentateda funzioni combinatorie, che esprimono la dipendenzadi un valore su un morsetto di uscita dai valori su unopportuno insieme di morsetti di ingresso.
RETI LOGICHE 50
Reti combinatorie 1
Reti Combinatorie
Una rete combinatoria è una rete logica aciclica: il valore sul morsetto di uscita di una porta non influenza i valori sui morsetti di ingresso.
Rete ciclica
x1
x2
y
RETI LOGICHE 51
Reti combinatorie 2
In una rete combinatoria è possibile associare adogni morsetto il relativo livello, definito nel modo seguente:• i morsetti relativi ai valori delle variabili di ingressoalla rete combinatoria (sia veri che negati) hanno livello 0;• per una porta logica con n morsetti di ingresso,con livelli associati l1,l2, …, ln, il relativo morsettodi uscita ha livello max(l1,l2, …, ln)+1.
RETI LOGICHE 52
Reti combinatorie 3
Assumiamo che, come avviene in pratica, per ogni porta logica il valore sul morsetto di uscita sia disponibile dopo un certo ritardo td dalla disponibilità di valori su tutti i morsetti di ingresso.Il livello di un morsetto è allora proporzionale al temponecessario affinché si determini il relativo valore,dati i valori di tutte le variabili di ingresso alla rete.
Un morsetto a livello l richiede tempo ltd affinché ilrelativo valore si determini, dati i valori di ingresso.
RETI LOGICHE 53
Analisi di reti combinatorie 1
Analisi di reti combinatorie
L’analisi di una rete combinatoria (che assumiamo abbia un solo morsetto di uscita) determina, data una rete, la funzione combinatoria implementata dalla rete stessa, vale a dire la funzione che descrive la relazione tra valori sui morsetti di ingresso e valore sul morsetto di uscita.
L’analisi può essere effettuata determinando la funzionecalcolata ad ogni morsetto, al crescere del relativo livello.
RETI LOGICHE 54
Analisi di reti combinatorie 2
¬x1
¬x4
x2+x4
¬x1(x3+x4)¬x4
x1 x2
x1 x2+x2+x4+¬x1(x3+x4)¬x4
x1
x2
x3
y
x4
x3+x4
RETI LOGICHE 55
Reti a due livelli
Reti a due livelli
Le reti a due livelli sono particolarmente interessantiin quanto sono le più semplici reti in grado di implementare qualunque funzione combinatoria, ad esempio rappresentata in forma canonica (PS o SP).
Le reti a due livelli sono anche le più semplici reti in grado di implementare qualunque funzione combinatoria.
RETI LOGICHE 56
Forma canonica SP mediante NAND 1
Implementazione di forma canonica SP mediante NAND
Data una formula in forma PS, possiamo trovare unaformula equivalente (a due livelli) che usa soltanto NAND (e NOT su variabili).
x1¬x2x3 + x2x3 = ¬(x1 NAND ¬x2 NAND x3)+ ¬(x2 NAND x3)= ¬((x1 NAND ¬x2 NAND x3)(x2 NAND x3))= (x1 NAND ¬x2 NAND x3) NAND (x2 NAND x3)
Esempio:y= x1¬x2x3 + x2x3
RETI LOGICHE 57
Forma canonica SP mediante NAND 2
x1
x2
x3
y
x1
x2
x3
y
RETI LOGICHE 58
Forma canonica SP mediante NAND 3
Ogni funzione combinatoria può essere espressa in forma SP
Ogni funzione in forma SP può essere espressa mediante NAND e NOT su variabili
Ogni funzione combinatoria può essere calcolatamediante una rete a due livelli di porte NAND, suvariabili eventualmente negate.
RETI LOGICHE 59
Forma canonica PS mediante NOR 1
Implementazione di forma canonica PS mediante NOR
Data una formula in forma PS, possiamo trovare unaformula equivalente (a due livelli) che usa soltanto NOR (e NOT su variabili).
(x1+x2)(¬x2+¬x3)= ¬(x1NOR x2) ·¬(¬x2NOR¬x3)= ¬((x1NOR x2)+(¬x2NOR¬x3))= (x1NOR x2) NOR (¬x2NOR¬x3)
Esempio:y= (x1+x2)(¬x2+¬x3)
RETI LOGICHE 60
Forma canonica PS mediante NOR 2
x1
x2
x3
y
x1
x2
x3
y
RETI LOGICHE 61
Forma canonica PS mediante NOR 3
Ogni funzione combinatoria può essere espressa in forma PS
Ogni funzione in forma PS può essere espressa mediante NOR e NOT su variabili
Ogni funzione combinatoria può essere calcolatamediante una rete a due livelli di porte NOR, suvariabili eventualmente negate.
