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1
Esercizi su Reti Sincrone e Asincrone
Reti Logiche L-A
A.A. 2002-2003
6/11
/03
2
Esercizio 1
Eseguire l’analisi della rete sequenziale asincrona indicata in figura.
6/11
/03
3
a) Individuare le espressioni di stato e di uscita.
Y(espressione NAND)=
Y(espressione SP)=
z(espressione SP) =
b) Tracciare la tabella delle transizioni ed evidenziare le situazioni di
stabilita’.
0001
1011
0 1
yx e
x e z ?
c) Indicare la forma d’onda di z in corrispondenza delle seguenti forme
d’onda di x e z
Y, z
6/11
/03
4
0001
1110
0 1
yx e
0,0
1,0
0,1
0,1
0,0
1,0
1,0
1,0
Soluzione
a) Le espressioni di stato e di uscita.
Y(espressione NAND)=(x’
↑e)
↑(y
↑(x’
↑e’))
Y(espressione SP)= =(x’
↑e)
↑(y
↑(x’
↑e’))
=((x’.e)’.(y.(x’.e’)’)’)’=
= x’.e + y.(x’.e’)’
=
= x’.e + y.(x + e)=
= x’.e + x.y + e.y
z(espressione SP) = x’
↑y = (x’ + y)’ = x.y’
b) Tabella delle transizioni con evidenziate le situazioni di stabilita’.
Y, z
6/11
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5
c) La forma d’onda di z
x e z
0001
1110
0 1
yx e
0,0
1,0
0,1
0,1
0,0
1,0
1,0
1,0
Y, z
La r
ete
tras
feri
sce
sull
’usc
ita
tutt
i gl
i im
puls
i di
x c
he
iniz
iano
con
e=0
: se
il
fron
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i sa
lita
di x
si
veri
fica
qua
ndo
e=0
allo
ra l
’usc
ita
vale
1 f
inch
é x
vale
1,
se i
nvec
e il
fro
nte
di
sali
ta d
i x
si v
erif
ica
con
e=1
allo
ra l
’usc
ita
rima
ne a
0 f
ino
a ch
e no
n si
ver
ific
a un
fro
nte
di s
alit
a di
x c
on e
=0.
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6
Esercizio 2
Una rete sequenziale sincrona e’ caratterizzata da un segnale di
ingresso X e da un
segnale di uscita Z.
Z deve assumere il valore logico 1 in corrispondenza dell’intervallo di ricezione
dell’ultimo simbolo di una delle due seguenti sequenze di ingresso: 1101, 1001. In
tutti gli altri casi Z deve assumere il livello logico 0. Ad esempio,
a) Individuare il grafo degli stati (suggerimento: ne servono meno di 8).
b) Tracciare la tabella di flusso e la tabella delle transizioni.
c) Individuare la rete di costo minimo necessaria per una delle variabili
di stato e tracciare il corrispondente schema a NAND
X..
01
10
10
01
1
Z..
00
00
10
01
0
..
..
6/11
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7
Soluzione
a) Il grafo degli stati E
0,0
1,0
0,0
FB1,0
0,0A
0,0
C1,0
D0,0 0,0
1,0
1,1
1,1
6/11
/03
8
b) La tabella di flusso
Stato Presente
Xn= 0
Xn= 1
AA,0
B,0
BE,0
C,0
DF,0
B,1
EF,0
B,0
CD,0
C,0
FA,0
B,1
Stato Futuro,Uscita
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9
Tabella delle transizioni.
(QCQBQA)n
Xn= 0
Xn= 1
000
000,0
001,0
001
100,0
010,0
011
101,0
001,1
100
101,0
001,0
010
011,0
010,0
101
000,0
001,1
(QCQBQA)n+1, zn
Codifica degli stati
A = 000
B = 001
D = 011
E = 100
C = 010
F = 101
6/11
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10
C) Rete di costo minimo per la variabile di stato QA
0001
1110
00 01 11 10
(QC, Q
B)n(Q
A, X
)n 01
00
10
11
--
--
11
10
QA
n+1
QA
n+1= (QB’QA’X +
QA= ((QB’
↑QA’
↑X)
↑(QB↑X
’)
↑(QC↑Q
A’)
↑(QB↑Q
A)
↑(QC↑X
))n
+ QCX)n
QBX’ + QCQA’+ QBQA
Espressione a NAND
6/11
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11
Esercizio 3
Una rete sequenziale sincrona e’ caratterizzata da un segnale di
ingresso X e da un
segnale di uscita Z.
In risposta ad un fronte di discesa di X, Z deve assumere immediatamente il valore 0
e poi, se la situazione X=0 perdura, il valore opposto a quello che ha presentato
nell’intervallo precedente.
In risposta ad un fronte di salita X, Z deve assumere immediatamente il valore
opposto a quello che ha presentato nell’intervallo precedente e mantenerlo poi
finche’ X=1.
Ad esempio,
a) Descrivere il comportamento della rete con un grafo a quattro
stati.
b) Tracciare la tabella di flusso e dimostrare che la macchina ‘minima’
ha solo tre stati.
c) Tracciare la tabella delle transizioni della macchina minima
d) Si sintetizzino le variabili di stato futuro e l’uscita ricavando le espressioni
minime.
ZX
6/11
/03
12
Soluzione
a) Il comportamento della rete con un grafo a quattro stati.
0,0
A
0,1
1,0
1,1
C1,0
D 1,1
B
0,0
0,0
6/11
/03
13
b) La tabella di flusso
Stato Presente
Xn= 0
Xn= 1
AB,0
C,0
BA,1
D,1
DB,0
D,1
CB,0
C,0
Stato Futuro,Uscita
Macchina minima
Stato Presente
Xn= 0
Xn= 1
α={A,C}
β,0
α,0
β={B}
α,1
γ,1
γ={D}
β,0
γ,1
Stato Futuro,Uscita
6/11
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14
Stato Presente
Xn= 0
Xn= 1
α01,0
00,0
β00,1
11,1
γ01,0
11,1
y 1n+
1y 2
n+1 , Z
n
c) La tabella delle transizioni della macchina minima
y1ny2n
0 0
0 1
1 1
1 0
−−,-
−−,-
Xn= 0
Xn= 1
00
01
01
y 1n+
1
y1ny2n
0 0
0 1
1 1
1 0
−−
d) Sintesi delle variabili di stato futuro e dell’uscita
y1
n+1= (xy2)
n
6/11
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15
Y1ny2n
Xn= 0
Xn= 1
10
01
11
y 2n+
1
0 0
0 1
1 1
1 0
−−
Xn= 0
Xn= 1
00
11
01
Zn
0 0
0 1
1 1
1 0
−−
y2
n+1= (X’y2’+
y1ny2n
y1y2)
nXy2 +
Zn= (y1’y2+Xy2)
n
6/11
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16
Esercizio 4
Il comportamento di una rete sequenziale sincrona, caratterizzata da un unico segnale di ingresso X e
da un unico segnale di uscita Z, e’ definito dal diagramma deglistati indicato in figura.
AB
CD
0,0
0,0
1,0
0,1
1,1
0,1
1,0
1,1
Per la realizzazione della rete occorre avvalersi di
un contatore binario per 4, con ingressi E (Enable),
U/D’(Up/Down’) e uscite y1,yo(bit piu’ leggero).
In dipendenza dei valori assunti dai comandi E, U/D’
durante un intervallo T0, il contatore puo’:
•Mantenere il valore attuale (E=0 e U/D’=-)
•contare in avanti (E=1 e U/D’=1)
•contare all’indietro (E=1 e U/D’=0)
Rete Combinatoria
da progettare
Contatore
Binario
X 4
XZ
y1
y0
U/D’
E
a) Individuare le 2 possibili codifiche degli stati che consentono di impiegare tale contatore nella
realizzazione della rete.
b) Individuare le espressioni minime SP e NAND dei segnali E,U/D’ e Z facendo riferimento alla
codifica 1
6/11
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17
Soluzione
y1y0 00
00
0111
1010
Α Β C D11
01
y1y0
Codifica 1
Codifica 2
a) Le 2 possibili codifiche degli stati che consentono di impiegare tale contatore nella
realizzazione della rete.
6/11
/03
18
Xn=0
0 0
0 1
1 1
1 0
Xn=1
y1ny0n
b) Mappe delle funzioni combinatorie E,U/D’ e Z facendo riferimento alla
codifica 1
En
Xn=0
0 0
0 1
1 1
1 0
Xn=1
y1ny0n
Zn
Xn=0
1
0
10
0
−
1
0
01
0
1
1
1
01
1
1
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1
10
1
−
Xn=1
y1ny0n
U/D’n
00
01
10
11
0,0
1,0
0,1
1,1
1,0
1,1
0,0
0,1
6/11
/03
19
Xn=0
10
11
11
0 0
0 1
1 1
1 0
10
Xn=1
y1ny0n
b) Sintesi delle espressioni minime a NAND di E,U/D’ e Z
En
Xn=0
00
00
11
0 0
0 1
1 1
1 0
11
Xn=1
y1ny0n
Zn
Xn=0
1−
01
01
0 0
0 1
1 1
1 0
1−
Xn=1
y1ny0n
U/D’n
En(E
spre
ssio
ne S
P) =
(X’+y0)n
En(E
spre
ssio
ne N
AND)
= (X
↑y0’)n
U/D’n(E
spre
ssio
ne S
P) =
(X
+ y0’)n
U/D’n(E
spre
ssio
ne N
AND)
= (X’↑y
0)n
Zn(E
spre
ssio
ne S
P) =
y1n
Zn(E
spre
ssio
ne N
AND)
= y1n
Esercizio 5
a) Individuare le espressioni delle variabili di stato futuro della rete sequenziale
sincrona di figura
b) Tracciare la tabella delle transizioni
c) Evidenziare sui grafi i quattro possibili comportamenti della
rete ad ingressi
costanti ed individuare per ciascuno la base di conteggio a regime
00
01
10
11
M1M2 = 00
Base:
00
01
10
11
M1M2 = 01
Base:
00
01
10
11
M1M2 = 11
Base:
00
01
10
11
M1M2 = 10
Base:
6/11
/03
21
Soluzione
a) Le espressioni delle variabili di stato futuro
Q1n+
1 =
((M1
Q1 +
M2Q
2 +
Q1Q2
)’)n
Q2 n
+1 = Q
1n
= ((
M1’+
Q1’)
•(M2
’+Q2
’)•(
Q1’+
Q2’)
)n
6/11
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22
Soluzione
Q1n+
1 =
((M1
’+Q1
’)•(
M2’+
Q2’)
•(Q1
’+Q2
’))n
Q2 n
+1 = Q
1n
0001
1110
00 01 11 10
Q1n ,
Q2nM
1n , M
2n Q1n+
1 Q
2n+1
b) La tabella delle transizioni
00
00
00
001
1 1
11
1
11
11
11
11
11
00
00
00
00
6/11
/03
23
c) I quattro possibili comportamenti della rete ad ingressi costanti e le basi
di conteggio a regime.
00
01
10
11
M1M2 = 11
Base di conteggio
a regime: 3
00
01
10
11
M1M2 = 10
Base di conteggio
a regime: 2
0001
1110
00 01 11 10
Q1n ,
Q2nM
1n , M
2n
Q1n+
1 Q
2n+1
00
00
00
001
1 1
11
1
11
11
11
11
11
00
00
00
00
00
01
10
11
M1M2 = 00
Base di conteggio
a regime: 3
00
01
10
11
M1M2 = 01
Base di conteggio
a regime: 4
6/11
/03
24
Esercizio 6
•Si esegua l’analisi della rete sequenziale asincrona mostrata in figura:
A tale scopo:
•Si scrivano le espressioni a NOR della variabile di stato futuroe
dell’uscita e si ricavino poi le corrispondenti espressioni normali PS.
•A partire dalle espressioni PS ottenute al punto precedente si ricavi la
tabella delle transizioni e si evidenzino le situazioni di stabilità.
•Si indichi quale configurazione di ingresso deve essere vietata affinchè
la rete abbia un funzionamento conforme al modello studiato per le reti
asincrone.
•Considerando vietata la configurazione di ingresso individuata al punto
precedente, si descriva a parole in modo chiaro e sintetico il comportamento
della rete.
•Inserendo delle condizioni di indifferenza nelle celle della tabella
delle transizioni che corrispondono alla configurazione di ingresso vietata
si individui lo schema logico di una realizzazione a NOR equivalente (nel
dominio di definizione delle funzioni di stato e d’uscita) alla rete
mostrata in figura ed avente un numero di gate inferiore.
x 1 x 2z
yY
x 1 x 2z
yY
6/11
/03
25
•Esp
ress
ioni
a N
OR
ed
espr
essi
oni P
S di
var
iabi
le d
i sta
to fu
turo
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scita
:
Y =
(y ↓
x 1) ↓
(x1
↓x 2
) ↓( y
’ ↓x 2
) es
pres
sion
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NO
R d
ella
var
iabi
le d
i sta
to fu
turo
.
Y =
((y
↓x 1
) +(x
1↓
x 2) +
( y’ ↓
x 2))
’
Y =
(y ↓
x 1)’
•(x
1↓
x 2)’
•( y
’ ↓x 2
)’
Y =
((y
+x 1
)’)’
•((
x 1+
x 2 )’
)’ •
(( y
’ +x 2
)’)’
Y =
(y +
x 1) •
(x1
+x 2
) •( y
’ +x 2
) es
pres
sion
e PS
del
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Y
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.
Soluzione
6/11
/03
26
•Con
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1110
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1110
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11
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Y
x 1x 2
Y =
x2
•( y
+x 1
) es
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a PS
Y =
x2’
↓( y
↓x 1
) esp
ress
ione
min
ima
a N
OR
x 2 x 1
z=y
6/11
/03
27
Si esegua la sintesi di una rete sequenziale sincrona avente due
ingressi, S ed
X, ed una uscita, Z. Il segnale S normalmente vale 0 e va a 1 molto di rado per
un solo intervallo di clock. Ad ogni attivazione di S (cioèquando S=1) la rete
deve verificare se la sequenza costituita dai 3 valori assunti da X
nell’intervallo di attivazione di S e nei 2 intervalli successivi comprende
almeno due 1 consecutivi. In tal caso l’uscita Z deve prontamente assumere il
valore 1 per un solo intervallo di clock. In tutte le altre situazioni Z deve
rimanere a 0:
A tale scopo:
•Si disegni il diagramma degli stati della rete.
•A partire dal diagramma degli stati ottenuto al punto precedentesi ricavino
la tabella di flusso e la tabella delle transizioni.
•Si dica se il comportamento della rete segue il modello di Mealyoppure il
modello di Moore, motivando in modo chiaro e sintetico la risposta fornita.
•Si ricavino le espressioni minime SP delle funzioni d’uscita e di stato
futuro utilizzando il metodo grafico delle mappe di Karnaugh e mostrando
chiaramente i raggruppamenti rettangolari associati ai termini presenti nelle
espressioni.
•A partire dalle espressioni minime SP ricavate al punto precedente si disegni
lo schema logico della rete.
S
01
01
10
11
10
11
X ZS
01
01
10
11
10
11
X Z
Esercizio 7
6/11
/03
28
•Dia
gram
ma
degl
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indi
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S X
, Z )
11,0
A
00,0
10,0
C0-,0
B
01,001
,1
00,0
Soluzione
6/11
/03
29
Stat
o Pr
esen
teSX
= 0
0SX
= 0
1
AA
, 0A
, 0
BA
, 0A
, 1
CA
, 0B
, 0
Stat
o Fu
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ita
•Tab
ella
di F
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o
SX =
11
SX =
10
B, 0
C, 0
-, -
-, -
-, -
-, -
(y1
y 0) n
(SX
) n=
00(S
X) n
= 01
A=0
000
, 000
, 0
B=0
100
, 000
, 1
C=1
100
, 001
, 0
•Tab
ella
del
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rans
izio
ni
(SX
) n=
11(S
X) n
= 10
01, 0
11, 0
--,
---
, -
--,
---
, -
10--
, -
--,
---
, -
--,
-
(y1
y 0) n+
1 , Z
n
6/11
/03
30
•Mod
ello
di M
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/Moo
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1 l’u
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elle
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X)n
00
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--
01
--
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Esercizio 8
Si esegua l’analisi della rete sequenziale asincrona mostrata in figura:
A tale scopo:
•Si scrivano le espressioni della variabile di stato futuro e dell’uscita.
•A partire dalle espressioni ottenute al punto precedente si ricavi la tabella
delle transizioni e si evidenzino le situazioni di stabilità.
•Analizzando la tabella delle transizioni si descriva a parole inmodo chiaro e
sintetico il comportamento della rete.
•Si spieghi quale fra i vincoli di progetto delle reti asincrone risulta violato
nella realizzazione mostrata in figura (punti 1
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35
•Assumendo di avere a disposizione un contatore per 8 in codice Gray dotato di comandi di ENABLE e RESET
(sincrono) si realizzi un contatore per 4 in codice Gray dotatodi comando di ENABLE ed in grado di
autoinizializzarsi in un ciclo di clock (si veda la pagina successiva !
). A tale scopo si ricavi la mappa di
Karnaugh della funzione RESET, si determini l’espressione minima SP e la corrispondente espressione a NAND ed
infine si disegni lo schema logico del contatore per 4 ottenuto collegando il contatore per 8 e la rete a NAND che
genera il RESET.
•Una rete sequenziale sincrona (RSS) ha due ingressi, S (“Start”) ed R (“Ready”), ed una uscita, Z. A seguito
dell’attivazione di S, la rete deve generare un impulso su Z avente durata dipendente dall’andamento di R. Più
precisamente, quando S=0 la rete è“a riposo”e Z=1. Quando S=1 (tale configurazione corrisponde all’attivazione
di S e dura un solo ciclo di clock) l’uscita Z deve andare a 0 per almeno due clock a partire dal clock successivo
a quello in cui S=1. Se nel secondo clock in cui Z=0 l’ingresso R vale 1, allora Z torna a 1 nel clock successivo,
se invece nel secondo clock in cui Z=0 l’ingresso R vale 0 l’uscita Z vale 0 anche nel clock successivo e ci
rimane fino a che R=0, per tornare poi a 1 solo nel clock successivo a quello in cui R=1. In ogni caso, quando Z
torna a 1 deve rimanere a 1 per almeno due clock (ciòimplica che se S si attiva nel clock in cui Z torna a 1 il
comando di “Start”non produce alcun effetto). Le forme d’onda seguenti illustrano ulteriormente il funzionamento
della rete:
Si disegni il diagramma degli stati di una macchina di Moore (uscita dipendente solo dallo stato) a 4 statiche
descrive il comportamento della RSS (punti 4).
•Si realizzi la RSS a partire dal contatore per 4 in codice Gray dotato di ENABLE progettato al primo punto
dell’esercizio. In particolare la RSS deve essere costituita dal contatore e da una rete combinatoria che
ricevendo in ingresso i segnali S,R e le variabili di stato del contatore genera in uscita il comando di ENABLE e
l’uscita Z. A tale scopo si esegua la codifica degli stati, si ricavino le mappe di Karnaugh di ENABLE e Z, si
esegua la sintesi minima SP di ENABLE e Z,si disegni lo schema logico della RSS.
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Esercizio 9
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Esercizio 10
Si esegua la sintesi di una rete sequenziale sincrona avente due
ingressi, xed y,
ed una uscita, z. L’uscita zdeve prontamente andare a 1 ogni qual volta il
segnale yassume la sequenza “11x”, cioèquando yvale 1 per due clock consecutivi
e poi, nel terzo clock, assume lo stesso valore di x. In tutte le altre situazioni
l’uscita zdeve rimanere a 0. La figura seguente mostra a titolo di esempio un
possibile andamento dei segnali xe yed il corrispondente andamento di z:
A tale scopo:
•Si disegni il diagramma degli stati della rete.
•A partire dal diagramma degli stati ottenuto al punto precedentesi ricavino la
tabella di flusso e la tabella delle transizioni.
•Si dica se il comportamento della rete segue il modello di Mealyoppure il modello
di Moore, motivando in modo chiaro e sintetico la risposta fornita.
•Si ricavino le espressioni minime SP delle funzioni d’uscita e di stato futuro
utilizzando il metodo grafico delle mappe di Karnaugh e mostrando chiaramente i
raggruppamenti rettangolari associati ai termini presenti nelle espressioni.
•A partire dalle espressioni minime SP ricavate al punto precedente si disegni lo
schema logico della rete.
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Esercizio 11
Si esegua l’analisi della rete sequenziale sincrona mostrata in figura:
A tale scopo:
•Si scrivano le espressioni a NOR delle variabili di stato futuro(Q0n+1,
Q1n+1) e dell’uscita (z
n) e si ricavino poi le corrispondenti espressioni
normali PS.
•A partire dalle espressioni PS ottenute al punto precedente si ricavi la
tabella delle transizioni.
•Nella tabella delle transizioni ricavata al punto precedente si individui
la coppia di stati equivalenti.
•Si disegni il diagramma degli stati che si ottiene sostituendo la coppia di
stati equivalenti con un’unico stato.
•Analizzando il diagramma degli stati si descriva a parole in modo chiaro e
sintetico il comportamento della rete.
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figura:
A tale scopo:
•Si scrivano le espressioni a NOR delle variabile di stato futuroe
dell’uscita e si ricavino poi le corrispondenti espressioni normali PS.
•A partire dalle espressioni PS ottenute al punto precedente si ricavi
la tabella delle transizioni e si evidenzino le situazioni di
stabilità.
•Analizzando la tabella delle transizioni si descriva a parole inmodo
chiaro e sintetico il comportamento della rete.
•Si spieghi quale vincolo di progetto èstato soddisfatto nella scelta
delle espressioni associate alle variabili di stato futuro.
x
z
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1
y 2Y
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x
z
y 1Y
1
y 2Y
2
Esercizio 12
6/11
/03
52
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Y1
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1+
y 2) •
( x +
y2)
Y2
= (x
+ y
2) •
(x’ +
y 1’)
•(y
1’ +
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Soluzione
6/11
/03
53
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6/11
/03
54
Si esegua la sintesi di una rete sequenziale sincrona avente un ingresso, x,
ed
una uscita, z. La rete ha la funzione di “normalizzare”la durata degli impulsi al
livello logico “1”
dell’ingresso x. Più
precisamente, a fronte di impulsi
dell’ingresso x
aventi durata qualsiasi la rete deve generare sull’uscita zdegli
impulsi aventi durata sempre pari a 3 clock. Al fine di garantire che la rete
possa rilevare tutti gli impulsi al livello logico “1”di x,
si fa l’ipotesi che
un impulso al livello logico “1”
di xdi durata pari a 1 clock sia sempre seguito
da almeno due clock in cui xvale “0”e che un impulso al livello logico “1”di x
di durata pari a 2 clock sia sempre seguito da almeno un clock in cui x
vale “0”.
La figura seguente completa la descrizione del comportamento della rete da
sintetizzare:
Si disegni il diagramma degli stati della rete.
•A partire dal diagramma degli stati ottenuto al punto precedente
si ricavino la
tabella di flusso e la tabella delle transizioni.
•Si ricavino le espressioni minime SP delle funzioni d’uscita e di stato futuro
utilizzando il metodo grafico delle mappe di Karnaugh e mostrando chiaramente i
raggruppamenti rettangolari associati ai termini presenti nelle espressioni.
•A partire dalle espressioni minime SP ricavate al punto precedente si disegni lo
schema logico della rete.
z
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Esercizio 13
6/11
/03
55
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Soluzione
6/11
/03
56
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6/11
/03
57
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/03
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6/11
/03
59
Esercizio 14
Si vuole realizzare lo stesso comportamento della rete dell’Esercizio
precedente (Esercizio 13) utilizzando un contatore binario per n
dotato di
ingressi di EN (Enable) e RES (Reset).
•Si spieghi quale valore di nèopportuno utilizzare per la realizzazione
(ricordando che nei contatori binari n=2k) e si indichi la codifica degli
stati utilizzata (cioè
la corrispondenza fra gli stati della rete e quelli del
contatore).
•Si mostrino le mappe delle funzioni EN, RES e zche consentono di ottenere il
comportamento desiderato.
•Si disegni lo schema logico della rete indicando con una “black-box”
la rete
combinatoria che realizza le funzioni EN, RES e z.
6/11
/03
60
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