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Revisões de Estatística: Inferência estatística 1
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 1
Revisões de Estatística
A) Independência estatística
B) Var. aleatórias
C) Distribuição normal
D) Dist. conjuntas e correlação
E) Inferência estatística
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 2
Revisões de Estatística
E.1) Distribuições amostrais
E.2) Intervalos de confiança e testes de hipóteses
E.3) Utilização do SPSS
Revisões de Estatística: Inferência estatística 2
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 3
Revisões de Estatística
DistribuiDistribuiçções amostraisões amostrais
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 4
Revisões de Estatística
1) Média amostral
2) Variância amostral
3) Diferença de médias
4) Rácio de variâncias
5) Proporção de sucessos
6) Diferença de proporções
Revisões de Estatística: Inferência estatística 3
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 5
Revisões de Estatística
MMéédia amostraldia amostral
s’ é o desvio padrão corrigido da amostra
n
ii 1
xX
n==∑
XN (0 ,1)
n
µσ
− ∩
(n 1)
Xt
s' n
µ−
− ∩
n é a dimensão da amostra
Universo Normal - σ conhecido
Universo Normal - σ desconhecido
Num Universo qualquer esta distribuição é assimptótica.
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 6
Revisões de Estatística
Variância Variância AmostralAmostral
Revisões de Estatística: Inferência estatística 4
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 7
Revisões de Estatística
n é a dimensão da amostra
e a variância corrigida
Por força das propriedades assimptóticas da média amostral, num Universo qualquer temos
( )2 2
22 1 1
n n
i ii i
x X xs X
n n= =
−= = −∑ ∑
( )2
2 21
1 1
n
ii
x Xn
s sn n
=
−′ = =
− −
∑
2 22( 1)2 2
( 1)n
n s n s χσ σ −
′− ×= ∩
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 8
Revisões de Estatística
DiferenDiferençça de Ma de Méédiasdias
Revisões de Estatística: Inferência estatística 5
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 9
Revisões de Estatística
Seja X uma v.a. com média µx e variância σσσσx2 para a qual se tem uma amostra de
dimensão n xe Y uma v.a. com média µy e variância σσσσy
2 para a qual se tem uma amostra de dimensão n y .
Sendo e as respectivas médias amostrais,
Universo Normal - σσσσx e σσσσy conhecidos
X Y
( ) ( )( )
2 20 , 1
X Y
X Y
X Y
X YN
n n
µ µ
σ σ
− − −∩
+
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 10
Revisões de Estatística
Universo Normal - σx e σy desconhecidos
Se σx = σy
onde
( ) ( )( 2)
1 1 X Y
X Y
n n
pX Y
X Yt
sn n
µ µ+ −
− − −∩
+
2 2 2 22 ( ) ( ) ( 1) ( 1)
2 2i i X X Y Y
pX Y X Y
x X y Y n s n ss
n n n n
− + − ′ ′− + −= =+ − + −
∑ ∑
Revisões de Estatística: Inferência estatística 6
Estatística Multivariada
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Revisões de Estatística
Se σσσσx ≠≠≠≠ σσσσy
Num Universo qualquer estas distribuições são assimptóticas.
e permitem testar a igualdade de médias.
( ) ( )( 2)2 2 X Y
X Y
n n
X Y
X Y
X Yt
s s
n n
µ µ+ −
− − −∩
′ ′+
�
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 12
Revisões de Estatística
RRááciocio de Variâncias Amostraisde Variâncias Amostrais
Revisões de Estatística: Inferência estatística 7
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 13
Revisões de Estatística
Sendo X e Y duas v.a. (como definidas, e para as quais se dispõe de amostras de dimensão nx e ny )
que permite testar a igualdade de variâncias.
2 21
12 2X
Y
nX Yn
Y X
sF
s
σσ
−−
′× ∩
′
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 14
Revisões de Estatística
ProporProporççãoão de de sucessossucessos
Revisões de Estatística: Inferência estatística 8
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 15
Revisões de Estatística
Sendo π a probabilidade de ocorrência de um fenómeno observável numa dada população da qual se extrai uma amostra de nindivíduos dos quais x revelam a presença do fenómeno,
é a proporção de ocorrência do fenómeno na amostra.
que permite testar a valores para a probabilidade de ocorrência do fenómeno.
= xp
n
(0,1)(1 )
− ∩−
�pN
n
ππ π
Estatística Multivariada
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Revisões de Estatística
DiferenDiferenççaa de de proporproporççõesões de de sucessosucesso
Revisões de Estatística: Inferência estatística 9
Estatística Multivariada
18-02-2010 José Filipe Rafael 17
Revisões de Estatística
Sendo πx a probabilidade de ocorrência de um fenómeno observável numa dada população da qual se extrai uma amostra de nxindivíduos dos quais x revelam a presença do fenómeno e sendo πy a probabilidade de ocorrência do mesmo ou de outro fenómeno observável noutra população da qual se extrai uma amostra de nyindivíduos dos quais y revelam a presença desse fenómeno
e
são as proporções de ocorrência do fenómeno na amostra.
que permite testar a igualdade para as probabilidades de ocorrência dos fenómenos.
=XX
xp
n=Y
Y
xp
n
( ) ( )(0,1)
(1 ) (1 )X Y X Y
X X Y Y
X Y
f f p pN
p p p p
n n
− − −∩
− −+
�
Estatística Multivariada
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Revisões de Estatística
A) Independência estatística
B) Var. aleatórias
C) Distribuição normal
D) Dist. conjuntas e correlação
E) Inferência estatística : Intervalos de confiança e Testes de hipóteses