Revisões de Trigonometria

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Revises de Trigonometria

Revises de TrigonometriaJoo Batista

Joo Batista

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Figura 23.

Funo injectiva.

Figura 24.

Funo no injectiva.

Revises de Trigonometria

No tenho aqui espao suficiente para dar a explicao completa.

Pierre de Fermat (1601-1665), matemtico francsndice

5Prembulo

ngulos61.1.ngulo trigonomtrico61.2.Classificao de ngulos71.3.Arcos de circunferncia82. Tringulos91.1.Semelhana de tringulos91.2.Classificao de tringulos103. Trigonometria e relaes trigonomtricas111.1.Teorema de Pitgoras111.2.Relaes trigonomtricas de ngulos121.3.Frmula fundamental da trigonometria131.4.Um problema de trigonometria144. Seno, coseno e tangente como funes reais de varivel real165. Propriedades importantes das funes trigonomtricas185.1.Valores das funes trigonomtricas para alguns ngulos-chave181.2.Paridade das funes trigonomtricas191.3.Sinal das funes trigonomtricas191.4.Monotonia das funes trigonomtricas201.5.Reduo ao primeiro quadrante221.6.Periodicidade das funes trigonomtricas231.7.Resumo das propriedades das principais funes trigonomtricas246. Relaes importantes de funes trigonomtricas271.1.Frmulas de adio e subtraco271.2.Frmulas de duplicao281.3.Frmulas de bisseco281.4.Frmulas de transformao287. Funes trigonomtricas inversas301.1.Arco seno: arcsen(a)301.2.Arco coseno: arccos(a)311.3.Arco tangente: arctg(a)311.4.Arco co-tangente: arccotg(a)311.5.Resumo: domnio e contradomnio das funes trigonomtricas inversas318. Resoluo de algumas equaes trigonomtricas328.1.Resoluo de equaes de funes trigonomtricas do tipo f(x) = y321.2.Exemplo331.3.Funes trigonomtricas inversas339. Derivadas de funes circulares e respectivas inversas349.1.Estudo do x

x

x

sen

lim

0

349.2.Derivadas de funes trigonomtricas351.3.Derivadas de funes trigonomtricas inversas361.4.Resumo das derivadas de funes trigonomtricas e trigonomtricas inversas3710. Exerccios resolvidos38Bibliografia41

Prembulo

Este texto resume os assuntos respeitantes a trigonometria e geometria do plano leccionada no ensino pblico secundrio, do 9 ao 12 ano. Como tal, no se discutem neste texto funes trigonomtricas hiperblicas seno hiperblico, coseno hiperblico, etc. que so abordadas em contextos adequados, mais especificamente ao nvel de cursos superiores de Matemtica e Fsica. Pressupe-se que o leitor possui j conhecimentos razoveis sobre as matrias abordadas. Para um maior aprofundamento, recomenda-se a consulta de livros de texto aprovados e usados nas escolas, tais como os indicados na bibliografia.

Esta uma segunda verso do texto original, datado de Setembro de 1997. Foram feitas revises e acrscimos relativamente primeira verso essencialmente, esta reviso consistiu numa profunda remodelao do aspecto visual. Foi includo um captulo com alguns exerccios resolvidos, no final, dos quais se recomenda uma reflexo adequada compreenso dos passos envolvidos. desejvel que o leitor tente resolver os exerccios antes de ler a resoluo possvel apresentada (porque em geral, como em muitas outras coisas na Matemtica, existe habitualmente mais que uma resoluo). De facto, identificar mais que uma resoluo, e comparar as vrias possveis, pode revelar-se til no desenvolvimento de tcnicas de soluo de problemas.

Alguns pargrafos so de leitura opcional em virtude da sua utilizao pouco frequente na maior parte das aplicaes em Trigonometria, e foram introduzidos apenas com o intuito de providenciar uma reviso dos conceitos neles abordados. Assim, os seguintes pargrafos podero ser ignorados sem grande prejuzo para a reviso de conhecimentos fundamentais:

1.2.b. Classificao de ngulos quanto ao posicionamento (relativamente a outros ngulos)1.3. Arcos de circunferncia2.1. Semelhana de tringulosDeclarao

Este texto do domnio pblico, e pode ser distribudo livremente desde que as seguintes condies sejam respeitadas:

1. O meu nome e elementos de contacto no podero ser removidos, substitudos, alterados, ou de outro modo deliberada ou acidentalmente omitidos por terceiros ao divulgar, modificar ou corrigir este texto.

2. Eventuais correces a este texto por parte de terceiros devero ser devidamente assinaladas pelos respectivos autores. A eles cabe acrescentar numa pgina nova no texto, que em momento algum poder ser omitida, o(s) seu(s) nome(s), pelo menos um contacto, a data, e onde foi feita a correco.

3. Nenhuma compensao, monetria, em gneros, ou qualquer outra, poder ser obtida a partir da divulgao deste texto, salvo para cobrir as despesas necessrias cpia e distribuio do texto (e.g. fotocpias, suporte informtico como disquetes , ou outro meio que sirva para armazenar e permitir a leitura deste texto).

Consciente de que estas condies so razoveis, espero que sejam respeitadas integralmente. O conhecimento um patrimnio que no tem dono e como tal deve ser divulgado sem restries.

Joo Miguel Nobre Batista

Setbal, Novembro de 2000

Como contactar o autor

Pode contactar o autor deste texto pelo endereo, telefone, endereo de correio electrnico ou pgina de Internet seguintes:

Joo Miguel Nobre Batista

Avenida Lusa Tdi, 110, 2Esq.

2900-450 Setbal

Tel. 265 228 384 / 91 427 0853

email: jmnbpt@yahoo.com

Web: www.geocities.com/jmnbpt

1. ngulos

Os ngulos de que se fala dizem respeito a ngulos no plano. (Existe os chamados ngulos slidos, definidos no espao, mas esto fora do mbito desta Reviso.)

Assim, temos que o ngulo ao centro definido pela duas semi-rectas da figura 1. Este o ngulo mais pequeno definido pelas duas semi-rectas (repare que tm a mesma origem, o vrtice no centro da figura). Outro ngulo definido pelas semi-rectas o ngulo , que de abertura visivelmente maior que o ngulo . Por definio, uma volta completa no plano define o ngulo de 360, isto ,

+ = 360 .

No plano, o sentido positivo atribudo aos ngulos contrrio ao dos ponteiros do relgio. Na figura 2 est indicado o sentido de crescimento de um ngulo. O ngulo aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta. O sentido negativo definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horrio.

Em trigonometria, especialmente quando se usam funes trigonomtricas, definidas mais adiante, costume usar outra unidade para os ngulos em vez da indicada: o radiano. definido de tal forma que um ngulo de radianos igual a 180:

radianos = 180,

em que o nmero irracional =3,1415927..., definido pelo quociente entre o permetro de uma circunferncia e o seu dimetro. usual no indicar a unidade radianos quando nos referimos a um ngulo nestas unidades, quando no h perigo de confuso. Assim teremos, por exemplo, que = /4 = 45. Para ngulos em unidades de grau de arco, necessrio indicar o smbolo " " para distinguir da unidade radiano. H mais outra unidade de ngulo no plano, o grado, definida tal que 90 = 100 grados, mas menos utilizada que qualquer das anteriores.

1.1. ngulo trigonomtrico

Um ngulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-recta que d o ngulo (com outra semi-recta, fixa, de referncia) completa uma volta aps 360, duas voltas aps 720, etc., ou uma volta no sentido contrrio, e nesse caso diz-se que descreveu um ngulo de 360. O menor ngulo descrito pela semirecta o ngulo trigonomtrico, e para o ngulo ( descrito pela semi-recta tem-se:

( = + k 360,(1.1)

em que k um nmero inteiro. O ngulo o de maior interesse em trigonometria, em particular no que toca s funes trigonomtricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = + m 360 e y = + n 360 (m e n nmeros inteiros), para igualar os ngulos x e y necessrio que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condio trivial.

A razo para a existncia desta periodicidade para ngulos prende-se com o carcter das funes trigonomtricas, o qual ser discutido adiante. No entanto, necessrio definir univocamente a aplicao que d o ngulo definido por duas rectas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ngulos num domnio que vai de 0 a 360 (ou, o que equivalente, de 0 a 2 radianos), para que no haja lugar para dvidas; no caso de um ngulo no plano, ser de 0 a 180, visto que para ngulos entre 180 e 360 j haver outro ngulo mais pequeno definido pelas duas rectas dadas e que ser inferior a 180.

1.2. Classificao de ngulos

1.2.a. quanto abertura

1) x

x

x

sen

lim

0

ngulo nulo: = 0 figura 3.a.

2) ngulo agudo: 0 < < 90 figura 3.b.

Reparar que um ngulo agudo toma sempre um valor entre 0 e 90, nunca tomando qualquer destes valores. Exemplos: = 30 , = 75,4 , = 89,99 (nunca igual a 90 ou 0 !).

3) ngulo recto: = 90 figura 3.c.

4) ngulo obtuso: 90 < < 180 figura 3.d.

Novamente, o ngulo obtuso apenas toma os valores intermdios, nunca os dos extremos que o define.

5) ngulo raso: = 180 figura 3.e.

6) ngulo giro: = 360 figura 3.f.

Quando se chega a um ngulo 360, j se descreveu uma volta completa no plano pelo que a abertura definida por um ngulo giro (de 360) a mesma que definida pelo ngulo raso. Na verdade, e por essa razo, muitos autores identificam o ngulo de 0 (ou 360, o que equivalente como acabmos de ver) como ngulo raso ou giro. Para ngulos superiores a 360, voltamos novamente ao princpio da a definio peridica para o ngulo dada pela expresso (1.1). Assim sendo, um ngulo de 390 ser equivalente a outro de 30:

390 = 30 + 1 360 .

1.2.b. quanto ao posicionamento (relativamente a outros ngulos)

1) ngulos complementares: + = 180 figura 3.g.

Diz-se que e so complementares, ou que complementar de , e viceversa. Naturalmente, 0 < < 180, e tambm (com + = 180)!

2) ngulos s