Upload
choir
View
151
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
Abstrak
Model resiko individu digunakan untuk menentukan besarnya kerugian yang
ditanggung oleh perusahaan asuransi berdasarkan jumlah besar klaim individu yang terjadi
dalam periode tertentu. Dalam model ini, besar klaim individu dianggap sebagai suatu
variabel acak yang saling bebas karena antara variabel acak klaim yang satu dengan yang
lainnya tidak saling berhubungan. Sehingga dapat ditentukan suatu model variabel acak dari
besar klaim individu dengan menggunakan asumsi bahwa model resiko individu tersebut
berjangka pendek dan bersifat tertutup. Model resiko individu diasumsikan berjangka pendek
karena dalam prakteknya, perusahaan asuransi membayar benefit kematian atau uang
pertanggungan, jika tertanggung meninggal dalam kurun waktu yang telah disepakati, dan
tidak mempunyai manfaat pembayaran apabila tertanggung tetap hidup sampai masa asuransi
berakhir. Dan model resiko individu diasumsikan bersifat tertutup artinya jumlah unit resiko
pemegang asuransi ( tertanggung ) telah diketahui dan ditentukan pada awal periode. Model
variabel acak dari besar klaim individu dapat diperoleh dari konsep asuransi jiwa jangka satu
tahun. Pembentukan model variabel acak dari besar klaim individu ditentukan dari bentuk
fungsi padat peluang variabel acak Bernoulli. Dari model variabel acak klaim individu akan
ditentukan rata-rata dan variansinya. Selain itu , proses konvolusi ( convolution process )
secara iteratif digunakan untuk menentukan distribusi dari model resiko individu.
Kata kunci : model resiko individu , variabel acak klaim individu , proses konvolusi
1
BAB I
PENDAHULUAN
Setiap perusahaan asuransi memiliki resiko terjadinya kerugian. Upaya untuk
mengatasi resiko tersebut, perusahaan dapat melakukan berbagai alternatif, yaitu dengan cara
menanggung sendiri resiko, memperkecil resiko atau mengalihkan resiko melalui asuransi.
Oleh karena itu, perusahaan asuransi memerlukan kebijakan dalam mengelola resiko atas
pertanggungan-pertanggungan yang diterimanya. Pada umumnya, perusahaan asuransi dalam
mengelola resikonya dilakukan dengan cara membagi resiko, yaitu mempertanggungkan
kembali resiko yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri kepada perusahaan asuransi lain
sebagai penanggung ulang, yang disebut reasuransi.
Perusahaan asuransi dalam pengelolaan resiko harus memperhatikan dengan sungguh-
sungguh resiko-resiko yang mungkin muncul selama periode asuransi. Karena perusahaan
asuransi sebagai penanggung resiko terjadinya suatu kerugian dari tertanggung (insured )
harus dapat menanggung kemungkinan-kemungkinan terjadinya klaim dari insured kepada
insurer. Penanggung resiko atau insurer harus mengetahui karakter resiko. Karakter resiko
inilah dapat dipelajari dalam suatu model distribusi klaim. Distribusi klaim yang dimaksud
digambarkan dalam suatu distribusi baik sebagai fungsi probabilitas maupun fungsi distribusi
kumulatif. Dari fungsi-fungsi inilah, untuk selanjutnya insurer dapat menetapkan harga
penanggungan resiko dari insured. Harga penanggungan ini dimaksudkan untuk menghindari
insurer dari kerugian (loss). Terjadinya resiko dalam suatu sistem asuransi dari insured dapat
memunculkan klaim. Klaim adalah ganti rugi atas suatu resiko kerugian. Apabila resiko
tersebut terjadi secara individual maka disebut dengan klaim individu. Klaim individu
meliputi dua hal yaitu besar dan jumlah klaim yang terjadi. Model dari besar dan jumlah
klaim individu ini diperoleh dari distribusi masing-masing klaim.
Dalam seminar matematika ini, penulis akan menggunakan salah satu model dari
aplikasi reasuransi yaitu model resiko individual (individual risk models) dengan memberikan
suatu asumsi untuk menentukan model dari variabel acak klaim individu sebagai model dari
besar klaim individu yang diperoleh dari distribusi masing – masing klaim. Sehingga dari
model variabel acak klaim individu akan diperoleh model mean dan varians-nya. Selain itu,
akan ditentukan distribusi dari model resiko individu dengan menggunakan proses konvolusi
(convolution process).
2
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Asuransi
Definisi asuransi menurut Pasal 246 Kitab Undang-undang Hukum Dagang
(KUHD) Republik Indonesia : "Asuransi atau pertanggungan adalah suatu perjanjian,
dengan mana seorang penanggung (insurer) mengikatkan diri pada tertanggung
(insured) dengan menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepadanya
karena suatu kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang
mungkin akan dideritanya karena suatu peristiwa yang tak tertentu".[5]
2.2 Variabel Acak
Diberikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel S. Suatu fungsi X yang
menyatakan untuk setiap elemen S satu dan hanya satu bilangan real yang
disebut variabel acak. Ruang dari variabel random X adalah suatu himpunan bilangan
real A= S}. Variabel acak terdiri dari : (1) variabel acak diskrit adalah
variabel acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan berhingga (2)
variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilainya berupa selang bilangan, tidak
dapat dihitung dan tidak berhingga. [14]
2.3 Fungsi Probabilitas
Definisi 2.3.1 : Himpunan pasangan terurut merupakan suatu fungsi
probabilitas variabel acak diskrit X jika untuk setiap kemungkinan hasil x memenuhi
1.
2.
3. . [14]
Definisi 2.3.2 : Fungsi adalah fungsi probabilitas variabel acak kontinu X, yang
didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila memenuhi
3
1. untuk setiap R
2.
3. . [14]
2.4 Fungsi Distribusi Kumulatif
Definisi 2.4.1 : Distribusi kumulatif suatu variabel acak diskrit X dengan
distribusi probabilitas dinyatakan oleh
. [14]
Definisi 2.4.2 : Distribusi kumulatif suatu variabel acak kontinu X dengan
distribusi peluang dinyatakan oleh .
Jika F(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu X maka
fungsi densitas dari X dapat ditentukan sebagai bila turunan ini ada. [14]
Definisi 2.4.3 : Sebarang fungsi dengan domain bilangan riil dan kodomain
interval [0,1] dikatakan sebagai fungsi distribusi kumulatif jika memenuhi :
1. dan
2. adalah fungsi tidak turun artinya jika a < b maka
3. kontinu dari kanan artinya .[14]
2.5 Distribusi Bersyarat
4
Distribusi bersyarat yaitu distribusi suatu variabel acak yang bergantung pada
nilai variabel acak yang lain. Peluang bersyarat disebut peluang terjadinya suatu
kejadian bila diketahui bahwa kejadian telah terjadi dan dinyatakan dengan
, bila .[14]
Definisi 2.5.1 : Untuk kasus diskrit, peluang bersyarat dari jika diberikan
adalah .
Untuk kasus kontinu, fungsi probabilitas bersyarat dari jika diberikan ,
adalah . Seperti fungsi probabilitas pada kasus satu variabel dan dua
variabel, fungsi probabilitas bersyarat juga mempunyai sifat yaitu,
1.
2.
Dari persamaan , dapat ditentukan bahwa peluang bersyarat
jika diberikan adalah .
Pendefinisian distribusi bersyarat dari diberikan analog dengan
pendefinisian distribusi bersyarat dari diberikan . Secara umum, dapat
dikatakan bahwa
.[11]
Definisi 2.5.2 : Suatu kejadian dan saling bebas jika dan hanya jika
5
dan . Jika tidak demikian maka dan tak
bebas.[14]
2.6 Ekspektasi
Definisi 2.6.1: Nilai harapan ekspektasi dari variabel acak diskrit atau kontinu X adalah
dan dimana adalah fungsi probabilitas
dari X. Secara umum jika r adalah bilangan bulat positif maka ekspektasi dari X adalah
Beberapa sifat – sifat ekspektasi
sebagai berikut :
1. Jika k konstanta, maka
2. Jika k konstanta dan v suatu fungsi,maka
Bukti : 1. Berdasarkan definisi 2.6.1
.Karena adalah fungsi probabilitas
maka . Sehingga diperoleh .
2. Berdasarkan definisi 2.6.1 . Karena
. Sehingga diperoleh .
6
Definisi 2.6.2 : Misalkan X variabel acak dengan distribusi peluang dan rataan .
Varians X adalah : .
dapat dijabarkan sebagai berikut , karena E
adalah operator linier maka
. Sifat sifat dari
varians sebagai berikut :
1. untuk k adalah suatu konstanta
2. Jika X adalah suatu variabel acak dan k suatu konstanta maka
Bukti : 1. Dengan menggunakan maka
2. Dengan menggunakan maka
[10]
Definisi 2.6.3 : Diberikan suatu distribusi pada ( x, y ) dalam bidang dengan fungsi
probabilitas untuk diskrit atau fungsi probabilitas f untuk kontinu. Misalkan atau
didefinisikan sebagai distribusi marginal untuk x; dan atau
didefinisikan sebagai distribusi bersyarat dari y diberikan x. Maka sebagai mean
dan sebagai varians dari distribusi bersyarat adalah
7
dan
. [2]
Teorema 2.6.4 : Mean suatu distribusi marginal sama dengan nilai mean dari mean
distribusi bersyarat atau
Bukti :
[2]
Teorema 2.6.6 : varians dari distribusi marginal sama dengan mean dari varians
distribusi bersyarat ditambah varians dari means distribusi bersyarat, [2]
atau
Bukti : Dengan menggunakan . Dengan menggunakan
teorema 2.6.4 sehingga diperoleh
[8]
2.7 Hukum Total Peluang
8
Teorema hukum total peluang : Misalkan kejadian merupakan suatu partisi
dari ruang sampel S dengan untuk i = 1,2,…,k maka untuk setiap kejadian A
anggota S , .
Bukti : kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang saling terpisah
yaitu . bila A
saling terpisah maka
Berdasarkan definisi peluang bersyarat maka
[6]
2.8 Proses Konvolusi ( Convolution process )
Definisi 2.8.1 : Diberikan X dan Y adalah dua variabel acak kontinu dengan masing –
masing fungsi probabilitas dan . Asumsikan bahwa dan keduanya
terdefinisi pada setiap bilangan real. Maka konvolusi dari dari f dan g adalah
fungsi yang diberikan sebagai berikut
atau . [15]
2.9 Variabel Acak Bernoulli
Suatu variabel acak Bernoulli hanya memiliki nilai 0 atau 1, tidak ada nilai lain
yang mungkin. Jika X adalah variabel acak Bernoulli, X bernilai 1 jika hasil yang
mendasari “ sukses “ atau X bernilai 0 jika hasil yang mendasari “ gagal “. [7]
Sehingga dapat diberikan secara umum sebagai berikut : Jika X adalah suatu
variabel acak Bernoulli maka terdapat kontanta p dan sehingga
.[12]
9
2.10 Rataan dan varians distribusi binomial
Teorema 2.10.1 : Distribusi binomial b ( X;n,p) memunyai rataan dan varians
dan
Bukti ; misalkan hasil pada usaha ke – j dinyatakan oleh variabel acak bernoulli yang
mendapat nilai 0 dan 1, masing – masing ddengan peluang q dan p. variabel acak
Bernoulli dengan dengan nilai ini disebut variabel penunjuk ( indikator ). Jadi
banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dituliskan sebagai jumlah n
variabel penunjuk bebas, sehingga . Setiap memunyai rataan
. Sehingga diperoleh rataan binomial , dengan p sebanyak
n suku. Varians setiap diberikan oleh
maka
, dengan pq sebanyak n
suku. [14]
10
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Model Resiko Individual ( Individual Risk Model )
Diberikan suatu variabel acak S yang didefinisikan sebagai besar resiko
kerugian yang ditanggung suatu perusahaan asuransi. Jika unit resiko individu ke-i,
dengan i=1,2,... dipandang sebagai unit besar klaim individu ke-i dan dinotasikan
dengan atau . Sehingga model resiko individual ( Individual Risk
Model ) didefinisikan sebagai
(3.1.1)
dengan
merupakan variabel acak yang menyatakan besar klaim individu ke-i
N adalah jumlah unit resiko pemegang asuransi ( tertanggung ).
Asumsikan bahwa :
1. suatu variabel acak klaim individu yang saling bebas ( independent random
variable ) karena antara variabel acak klaim yang satu dengan yang lainnya tidak
saling berhubungan
2. dapat berupa diskrit ataupun kontinu.
3. Model resiko individual yang digunakan bertipe jangka pendek atau disebut model
resiko individual jangka pendek ( Individual Risk Models for a Short Term ) .
Asumsi ini dibuat karena dalam prakteknya, perusahaan asuransi membayar benefit
kematian atau uang pertanggungan jika tertanggung meninggal dalam kurun waktu
yang telah disepakati, dan tidak mempunyai manfaat pembayaran apabila
tertanggung tetap hidup sampai masa asuransi berakhir.
11
4. Model resiko individual yang digunakan bersifat tertutup ( closed models ) artinya
jumlah unit resiko pemegang asuransi ( tertanggung ) telah diketahui dan ditentukan
pada awal periode.
3.2. Model Variabel Acak Klaim Individu ( Models for Individual Claim Random Variables)
Dalam menentukan model umum variabel acak klaim individu, dapat
menggunakan salah satu konsep dasar dari produk asuransi jiwa yaitu asuransi jiwa
jangka satu tahun. Andaikan dalam sebuah asuransi jiwa berjangka satu tahun,
perusahaan asuransi menyetujui untuk membayar sebesar b jika tertanggung meninggal
dalam jangka 1 tahun, dan tidak membayar jika tertanggung tetap hidup pada tahun
tersebut. Peluang selama terjadi klaim selama setahun dinotasikan dengan q. Variabel
acak klaim X memiliki sebuah distribusi yang dinyatakan dengan
Fungsi padat peluang f(x) yaitu
( 3.2.1 )
dan fungsi distribusi kumulatif F(x) yaitu
( 3.2.2 )
Berdasarkan ( 3.2.1 ) dan ( 3.2.2 ) merupakan suatu distribusi binomial sehingga
diperoleh mean dan varians
( 3.2.3 )
( 3.2.4 )
12
Formula ( 3.2.3 ) dan ( 3.2.4 ) juga dapat diperoleh dari penjelasan berikut ini :
Variabel acak klaim X dapat dituliskan ( 3.2.5 )
dimana : b adalah jumlah yang dapat dibayar saat terjadi kematian
I adalah suatu variabel acak binomial atau variable acak Bernoulli sebagai
indikatot saat
Sehingga diperoleh dan , maka mean dan varians dari
variabel acak I, dan . Diperoleh mean dan varians dari
variabel acak klaim individu X,
Berdasarkan formula ( 3.2.5 ), diperoleh secara umum model variabel acak klaim
individu yaitu
( 3.2.6 )
dengan : X = Variabel acak klaim dalam periode tertentu
B = Total jumlah klaim yang dikeluarkan dalam periode tertentu
I = Indikator untuk kejadian yang terjadi kurang dari satu klaim
Model variabel acak klaim individu tersebut dapat diaplikasikan dalam produk asuransi
seperti jaminan kesehatan, jaminan kerusakan mobil, dan lain – lain.
13
Contoh 1: Diberikan sebuah aplikasi asuransi jiwa jangka satu tahun pada kasus
kematian karena kecelakaan, untuk menentukan distribusi dari I dan B dari model
variable acak klaim individu. Jika besarnya santunan ( benefit ) yang diberikan untuk
kasus meninggal karena kecelakaan sebesar $50.000. jika besarnya santunan yang
diberikan untuk kasus meninggal bukan karena kecelakaan sebesar $25.000. Asumsikan
bahwa asuransi ini untuk individu berdasarkan umur,kesehatan dan pekerjaaan. Jika
peluang terjadinya kematian karena kecelakaan dalam tahun tersebut adalah
dan peluang terjadinya kematian bukan karena
kecelakaan adalah . Menjumlahkan kemungkinan
B untuk menentukan peluang I, dan
. Maka distribusi bersyarat dari B,
diberikan , adalah dan
3.3. Mean dan Varians dari Model Variabel Acak Klaim Individu
Dalam menentukan mean dan varians dari variabel acak klaim individu
, dapat menggunakan teorema ekspektasi bersyarat yang pembuktiannya dapat
dilihat di bab 2 subbab 2.6 :
dan ( 3.3.1 )
Substitusikan X untuk W dan I untuk V sehingga formula ( 3.3.1 ) menjadi,
dan
Sekarang tulis, dan
14
Untuk memeroleh mean bersyarat,
Amati bahwa, dan (3.3.2)
Formula (3.3.2),mendefinisikan sebagai fungsi dari I, maka dapat ditulis secara
umum , sehingga
dan (3.3.3)
(3.3.4)
Untuk memeroleh varians bersyarat,
Amati bahwa, dan (3.3.5)
Formula (3.3.5), mendefinisikan sebagai fungsi dari I, maka dapat ditulis
secara umum , sehingga
(3.3.6)
Jadi, berdasarkan formula (3.3.3), (3.3.4) dan (3.3.6) diperoleh mean dan varians dari
model variabel acak klaim individu yaitu
dan
(3.3.7)
Contoh 2 : Sebuah asuransi mobil ( automobile insurance ) memberikan jaminan
asuransi terhadap kerusakan mobil yang diakibatkan oleh tabrakan. Asumsikan: (1)
15
Peluang dari satu klaim dalam periode tertentu maka
. (2) distribusi B memiliki fungsi probabilitas dengan ukuran klaim maximum 2000,
, (3) Besar klaim yang diberikan antara $0 dan $2.000 yang
dapat dimodelkan oleh distribusi kontinu dengan fungsi probabilitas untuk
. Akan ditentukan mean dan varians klaim yang diperoleh individu
pemegang asuransi dari perusahaan asuransi automobile.
Penyelesaian : Diasumsikan bahwa . dicek apakah
fungsi probabilitas tersebut memenuhi definisi fungsi probabilitas : (1) untuk
setiap R maka memenuhi ,
(2) maka
ternyata tidak
memenuhi. Sehingga ada suatu parameter misal k sedemikian hingga fungsi probabilitas
tersebut sama dengan 1. Dengan menggunakan
maka dapat
ditentukan nilai k ,
16
Sehingga B berdistribusi kontinu dengan fungsi probabilitas (p.f) untuk B diberikan
I=1adalah
dengan .
Diperoleh fungsi distribusi kumulatif dari distribusi bersyarat B adalah
Gambar 1. Fungsi Distribusi kumulatif untuk B diberikan I =1
Berdasarkan di atas, bahwa fungsi probabilitas untuk B bertipe kontinu dan diskrit maka
untuk menentukan ekspektasi dari distribusi B yaitu dengan menjumlahkan ekspektasi
untuk tipe kontinu dan diskrit
17
Maka diperoleh mean dan varians dengan menggunakan formula (3.3.7) dimana
3.4. Distribusi dari Model Resiko Individu
Berdasarkan model resiko individu diketahui
bahwa besar resiko kerugian yang ditanggung suatu perusahaan asuransi sama dengan
jumlah beberapa klaim dari individu pemegang asuransi. Selain itu, telah diasumsikan
bahwa klaim dari individu bersifat saling bebas ( independent).
Menentukan distribusi dari jumlah variabel acak klaim individu dapat
menggunakan metode konvolusi. Pertama, menentukan terlebih dahulu distribusi dari
jumlah dua variabel acak klaim individu. Diberikan model resiko individu dengan dua
variabel acak klaim individu: . Berikut ilustrasi grafik dari
18
x
y
Gambar 2. Grafik kejadian
Berdasarkan gambar di atas , terdapat garis X+Y=s dan daerah di bawah garis
yang didefinisikan sebagai kejadian . Sehingga fungsi distribusi kumulatif
dari S adalah (3.4.1)
Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim
individu nonegatif bertipe diskrit, menggunakan hukum total peluang (Law of total
probability), sehingga formula (3.4.1) menjadi
(3.4.2)
bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.2) menjadi
(3.4.3)
yang merupakan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim individu
nonegatif bertipe diskrit.
Analogi dengan penyelesaian di atas diperoleh fungsi probabilitas dari dua
variabel acak klaim individu nonegatif bertipe diskrit yaitu
(3.4.4)
bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.4) menjadi
19
(3.4.5)
yang merupakan fungsi probabilitas dari jumlah dua variabel acak klaim individu
nonegatif bertipe diskrit.
Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim
individu nonegatif bertipe kontinu, menggunakan hukum total peluang (Law of total
probability), sehingga formula (3.4.1) menjadi
(3.4.6)
bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.6) menjadi
(3.4.7)
yang merupakan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah dua variabel acak klaim
individu nonegatif bertipe kontinu.
Analogi dengan penyelesaian di atas diperoleh fungsi probabilitas dari dua
variabel acak klaim individu nonegatif bertipe kontinu yaitu
(3.4.8)
bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.8) menjadi
(3.4.9)
yang merupakan fungsi densitas dari jumlah dua variabel acak klaim individu nonegatif
bertipe kontinu.
20
Dalam matematika analisis, formula (3.4.3) dan (3.4.7) disebut dengan
konvolusi dari fungsi distribusi dan yang dinotasikan dengan .
Sehingga untuk menentukan fungsi distribusi dari jumlah dua atau lebih variabel acak
klaim individu, dapat menggunakan proses konvolusi secara iteratif.
Berdasarkan model resiko individu
dimana variabel acak yang saling bebas
fungsi distribusi dari
fungsi distribusi dari
Maka diperoleh proses konvolusi secara iteratif sebagai berikut :
F(2) = F2 * F(1)=F2 * F1
F(3) = F3 * F(2)
F(4) = F4 * F(3)
:
Fs = F(n) = Fn * F(n-1) (3.4.10)
Bila suatu variabel acak berdistribusi identik dan saling bebas ( , i=1,2,…) maka
distribusi ini disebut konvolusi n kali lipat dari F dan dinotasikan dengan .
Contoh 3: Jika X dan Y adalah variabel acek saling bebas yang memiliki fungsi
probabilitas sebagai berikut
Tentukan fungsi probabilitas dari penjumlahan dua variabel tersebut , .
21
Penyelesaian : proses konvolusi dari dan untuk menentukan fungsi probabilitas
dari dua variabel acak yang diberikan sebagai berikut
Sehingga
Contoh 4: Diketahui variabel acak diskrit saling bebas. Diberikan suatu
fungsi peluang yang didefinisikan pada kolom (1),(2) dan (3) pada tabel 1 berikut ini:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
0 0,4 0,5 0,6 0,4 0,20 0,120 0,2 0,120
1 0,3 0,2 0,0 0,7 0,43 0,258 0,23 0,138
2 0,2 0,1 0,1 0,9 0,63 0,398 0,20 0,140
3 0,1 0,1 0,1 1,0 0,79 0,537 0,16 0,139
4 0,0 0,1 0,1 1,0 0,90 0,666 0,11 0,129
5 0,0 0,0 0,1 1,0 0,96 0,781 0,06 0,115
6 0,0 0,0 0,0 1,0 0,99 0,869 0,03 0,088
7 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,928 0,01 0,059
8 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,964 0,00 0,036
9 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,985 0,00 0,021
10 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,995 0,00 0,010
11 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,999 0,00 0,004
12 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 1,000 0,00 0,001
Untuk menghitung fungsi distribusi dan fungsi peluang dari
menggunakan proses konvolusi berikut :
1. Kolom (1),(2) dan (3) telah diberikan
22
2. Kolom (4) adalah fungsi distribusi dari kolom (1) dengan menggunakan propertis
fungsi distribusi
3. Kolom (5) diperoleh dari perhitungan menggunakan formula (3.4.3) dan (3.4.10)
maka
4. Kolom (6) dari perhitungan formula (3.4.3) dan (3.4.10)
maka
5. Kolom (7) dari perhitungan formula (3.4.5) dan (3.4.10)
maka
6. Kolom (8) dari perhitungan formula (3.4.5) dan (3.4.10)
maka
BAB IV
PENUTUP
23
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan model resiko individu, diperoleh model dari tiap variabel acak
klaim individu pada persamaan (3.2.5) dan (3.2.6). Dari model variabel acak tersebut
dapat ditentukan mean dan varians dari variabel acak klaim individu yang diperoleh
pada persamaan (3.3.7). Selain itu, dengan menggunakan proses konvolusi diperoleh
distribusi dari model resiko individu seperti pada subbab 3.4.
4.2 Saran
Dalam makalah seminar ini, model variabel acak klaim individu dapat berbeda-
beda, tergantung aplikasi asuransi yang digunakan. Penulis menggunakan contoh
apikasi asuransi jiwa untuk jangka 1 tahun untuk menentukan variabel acak klaim
individu, yang pada dasarnya hal ini jarang sekali diterapkan dalam praktek asuransi
jiwa sekarang ini. Oleh karena itu disarankan untuk ada pengkajian masalah model
variabel acak klaim individu dengan menggunakan aplikasi asuransi jiwa yang lebih
kompleks dan aplikatif.
Daftar Pustaka
24
[1] BOWERS, N L, GERBER, H U, HICKMAN, J C, JONES, D A and NESBrrr, C J
(1986) Actuarial Mathemattcs. Ltasca: Society of Actuaries.
[2] Fraser.D.A.S (1976) Probability and Applications. Belmont,California: Wadsworth
Publishing Company, INC.
[3] Getut Pramesti (2011), Distribusi Rayleigh untuk klaim agregasi [online]. Termuat di:
eprints.undip.ac.id/33676/1/7_artikel5_Getut.pdf [tanggal akses:7 April 2012].
[4] Hogg, V Robert and Allen T,Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics .
United States of America : Macmilian Publising Co,inc.
[5] Yanoear (2010) Pengertian Asuransi. Termuat di:
http://yanoear46.wordpress.com/2010/06/02/pengertian-asuransi/ [tanggal akses: 5 Mei
2012].
[6] Jaimie Kwon (2005), The law of total probability and [online]. Termuat di:
algebra.sci.csueastbay.edu/~jkwon/classes/stat.../3401-w4-mon.pdf [tanggal akses:14
April 2012].
[7] James Thurber, Bernoulli and Binomial Random Variables [online]. Termuat di:
www.stat.purdue.edu/~mdw/399fall2010/ch15.pdf [tanggal akses:6 Mei 2012].
[8] K. Ottegoda,Nathabandu T and Renzo Rosso (1997) Statistics, Probability and
Reliability for Civil and Environmental Engineers. Singapore: McGraw-Hill
Companies.Inc.
[9] K. Syuhada, PhD, MA4081 Pros.Stok [online]. Termuat di:
personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/bab-2-prosstok.pdf [tanggal akses:5 Mei
2012].
[10] Nar Herrhyanto, Ringkasan pertemuan keenam statistika matematika 1 [online].
Termuat di: file.upi.edu/.../FILE_10_PERTEMUAN_KEENAM_STATMAT_1.pdf
[ tanggal akses: 8 Mei 2012].
[11] Nunung Nurhayati, Teori Peluang (PAM 2231) [online]. Termuat di:
nunung.blog.unsoed.ac.id/.../Slide-190412_Distribusi_Bersyarat.pdf [tanggal akses: 5
Mei 2012].
[12] Notes on Bernoulli and Binomial random variables (2010) [online]. Termuat di:
people.math.gatech.edu/~ecroot/3225/binomial_notes.pdf [tanggal akses: 6 Mei 2012].
[13] Spiegel, Murray.R (1982) Probability and Statistics. Singapore: McGraw-Hill
International.
25
[14] Walpole, R.E. dan Myers, R.H. (1978) Probability and Statistics for Engineers and
Scientists. MacMillan Publishing Co., Inc. New York. Terjemahkan oleh RK Sembiring
(1995) Penerbit ITB, Bandung.
[15] www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books.../Chapter7.pdf [tanggal akses: 8
April 2012].
[16] www.roymech.co.uk/Useful.../Maths_Fourier_convolutions.html [tanggal akses: 8 April
2012].
26
Lampiran 1
DAFTAR ISTILAH
1. Aktuaris : Orang yang secara profesional telah menjalani pelatihan dalam berbagai aspek
teknis asuransi, pensiun dan bidang-bidang terkait lainnya. Aktuaris bertanggung jawab
memperkirakan berapa dana yang diperlukan dalam bentuk premi atau iuran pensiun
untuk pembayaran manfaat jangka panjang. Unit kerja di mana para aktuaris bekerja
disebut aktuaria.
2. Asuransi Jiwa Jangka Pendek (Term Insurance) : Polis asuransi jiwa dengan masa
pertanggungan tertentu (tidak seumur hidup)
3. Klaim : Permintaan atau tuntutan pembayaran manfaat sesuai dengan ketentuan yang
diatur dalam polis.
4. Pemegang Polis : orang atau sekelompok orang yang melakukan perikatan kontrak
asuransi (polis) dengan perusahaan asuransi. Pemegang polis (policy holder) yang juga
disebut pemilik polis (policy owner) adalah pihak yang melakukan pembayaran premi.
5. Penanggung (insurer) : pihak yang berjanji akan membayar sejumlah uang (santunan)
kepada pihak tertanggung, sekaligus atau secara berangsur-angsur apabila terjadi sesuatu
yang mengandung unsur tak tertentu.
6. Polis Asuransi : bukti tertulis atau surat perjanjian antara pihak- pihak yang melakukan
perjanjian asuransi.
7. Polis Individu : Polis asuransi yang memberikan pertanggungan asuransi kepada
perorangan/individu dan, dalam beberapa kasus, anggota keluarganya.
8. Premi Asuransi adalah, kewajiban pihak tertanggung kepada pihak penanggung yang
berupa bayaran uang dalam jumlah tertentu secara periodik.
9. Risiko : Kerugian yang dapat terjadi atau individu yang dipertanggungkan
10. Tertanggung (Insured) : orang atau sekelompok orang yang risikonya dipertanggungkan
dalam kontrak asuransi.
Sumber : http://solusiasuransi.com/daftar-istilah/ [tanggal akses: 6 April 2012].
27
SEMINAR MATEMATIKA
Individual Risk Models
Disusun oleh :
Choirotul Ummah
093214003
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pemgetahuan Alam
Universitas Negeri Surabaya
2012
28