REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA · Emeritus Professor of Management & Economics in the Paul Merage ... Enrique Cásares Gil ... M. Beatriz Mota Arago´n y Faviola

Volumen 6

Número 2

Julio-Diciembre

2011

Comité Editorial

Director

José Antonio Núñez Mora

Directores Adjuntos

Carlos Manuel Urzúa Macías

Jorge Fernández Ruiz

Edgar Ortíz Calisto

José Carlos Ramírez Sánchez

Dennis J. Aigner

Consejo Editorial

Alberto Hernández Baqueiro

Elvio Accinelli Gamba

José Luis de la Cruz Gallegos

Anabella Dávila Martínez

Julián Pérez García

Frank Dellman

Raúl Moncarz

Isabel Martínez Torres Enciso

Enrique Cásares Gil

Carolyn Erdener

Editora de Producción

Martha F. Carrillo Urbina

REVISTA DE

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS

Y ECONOMÍA

(Journal of Management, Finance and Economics)

Artículos

Araceli Espinosa Elguea y Humberto Valencia Herrera

Análisis alternativo de valuación de empresas estratégicas

descentralizadas que exploran y explotan recursos

naturales (caso Pemex)

Horacio Alberto Ruiz Olvera

Valuación de opciones europeas mediante procesos

de Lévy exponenciales y transformada rápida

de Fourier

Fausto Humberto Membrillo Hernández y Marco Antonio Ruíz Olvera

Valuación de mercado del seguro

de desempleo

M. Beatriz Mota Aragón y Faviola Hernández Jiménez

Un modelo para evaluar el VPN mediante

modelos autorregresivos

Linda Margarita Medina Herrera y Ernesto Pacheco Velázquez

Comparando distancias en los mercados

financieros mundiales

EGADE BUSINESS SCHOOL

Directorio Salvador Alva Gómez

David Noel Ramírez Padilla

María de Lourdes Dieck Assad

Rector del Sistema Tecnológico de Monterrey

Rector del Tecnológico de Monterrey

Rectora de las Escuelas Nacionales de Posgrado:

EGADE Business School & EGAP Gobierno y Política Pública

Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics)

Comité Editorial

Director José Antonio Núñez Mora EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey

Directores Adjuntos Jorge Fernández Ruiz

Edgar Ortíz Calisto

José Carlos Ramírez Sánchez

Carlos Manuel Urzúa Macías

Dennis J. Aigner

El Colegio de México

Universidad Nacional Autónoma de México

Universidad Anáhuac

EGAP Gobierno y Política Pública del Tecnológico de Monterrey

Emeritus Professor of Management & Economics in the Paul Merage

School of Business at the University of California, Irvine (UCI)

Consejo Editorial Alberto Hernández Baqueiro Tecnológico de Monterrey Elvio Accinelli Gamba Facultad de Economía de la UASLP

José Luis de la Cruz Gallegos

Anabella Dávila Martínez

Tecnológico de Monterrey

EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey

Julián Pérez García Universidad Autónoma de Madrid, España

Frank Dellman Universidad de Münster, Alemania

Raúl Moncarz

Isabel Martínez Torres Enciso

Enrique Cásares Gil

Carolyn Erdener

Universidad Internacional de Florida, USA

Universidad Autónoma de Madrid, España

Universidad Autónoma Metropolitana

Kazakhstan Institute of Management Economics Research, KIMEP

Editora de Producción Martha F. Carrillo Urbina EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey

Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics)

Volumen 6, Número 2, julio-diciembre 2011, publicación semestral

EGADE Business School

Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P. 14380, México D.F.

Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 1390 y 1392

Correo electrónico: [email protected]

Página: http://www.egade.mx

(Elegir “DOCTORAL PROGRAMS” y “PUBLICATIONS”)

El presente ejemplar se encuentra protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor. ISSN en trámite. Se prohíbe la reproducción

total o parcial del contenido en este número sin la previa autorización que por escrito emita el editor.

mailto:[email protected]

http://www.egade.mx/

Artıculos

Pagina

Araceli Espinosa Elguea y Humberto Valencia HerreraAnalisis alternativo de valuacion de empresasestrategicas descentralizadas que explorany explotan recursos naturales (caso Pemex) ............................................1

Horacio Alberto Ruiz OlveraValuacion de opciones europeasmediante procesos de Levy exponenciales ytransformada rapida de Fourier ................................................................16

Fausto Humberto Membrillo Hernandez y Marco Antonio Ruız OlveraValuacion de mercado delseguro de desempleo ..................................................................................34

M. Beatriz Mota Aragon y Faviola Hernandez JimenezUn modelo para evaluar el VPNmediante modelos autorregresivos ..............................................................66

Linda Margarita Medina Herrera y Ernesto Pacheco VelazquezComparando distancias en los mercadosfinancieros mundiales..................................................................................88

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and

Economics), vol. 6, num. 2 (2011), pp. 1-15.

Analisis alternativo de valuacion de empresas

estrategicas descentralizadas que exploran

y explotan recursos naturales (caso Pemex)Araceli Espinosa Elguea ∗

Humberto Valencia Herrera∗∗

Recibido 22 de noviembre 2010, Aceptado 20 de enero 2011

Resumen

El realizar un ejercicio de valuacion de empresas descentralizadas que explorany explotan recursos naturales (como es el caso de Pemex), interpretandolas bajola optica de un “Vehıculo de Proposito Especial”(VPE), modelado como deudaestructurada, permite un analisis mas profundo cuando la entidad no es duenade los activos generadores de su flujo operativo, cuando presenta un capitalcontable negativo, cuando su generacion de flujo libre de efectivo es negativoy cuando esta sujeta a un regimen fiscal asumido como pagos de regalıas queno le permiten la deducibilidad de la deuda. Ademas, dada su elevada cargatributaria que la obligan a emitir deuda para financiar sus inversiones de capital,no es claro si podra generar recursos para cubrir sus pasivos laborales y/ofinancieros particularmente si hay reducciones en los precios de los energeticos,por lo que se modelan estas obligaciones como opciones. En resumen, esteejercicio facilita la identificacion de factores clave en el desempeno operativoy financiero de la entidad, permite modelar escenarios y opciones implıcitas,resultando en una herramienta valiosa para sus inversionistas.

Abstract

Performing a valuation exercise of decentralized companies that explore andexploit natural resources (such as Pemex) interpreted from the perspective of a“Special Purpose Vehicle”(SPV), modeled as structured debt, allowing a deeperanalysis when the entity does not own the generating assets of its operating cashflow when capital has a negative book when his generation of free cash flow isnegative and when subjected to an assumed tax royalty payments that do notallow the deductibility of debt. Moreover, given its high tax burden that forceto issue debt to finance their capital investments, it is unclear whether it cangenerate resources to meet its labor and/or financial liabilities particularly ifreductions in energy prices, so these obligations are modeled as options. In sum-mary, this exercise helps to identify key factors in the operating and financial

∗ Candidata a doctora en ciencias financieras por el Instituto Tecnologico de Estudios

Superiores de Monterrey, Campus Ciudad. de Mexico, e-mail: [email protected].∗∗ Profesor en Finanzas del Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey,

Campus Ciudad. de Mexico, e-mail: [email protected]

2 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

performance of the company, allows implicit modeling scenarios and options,resulting in a valuable tool for investors.

Clasificacion JEL : G28, G32, H30

Palabras clave: energy prices, cash flows, natural resources, options

1. Introduccion

Pemex al igual que otras empresas descentralizadas en el mundo, cuya activi-dad es la exploracion y explotacion de recursos naturales estrategicos de unpaıs, y que de acuerdo al Art. 254 de la Ley Federal de Derechos (2009) estasujeta a regımenes fiscales relacionados con pagos de regalıas o derechos, quedifieren en forma y en porcentaje a la renta gravada de empresas privadas (Leydel Impuesto sobre la Renta 2010), impidiendo entonces el utilizar el supuestode deducibilidad en el costo financiero de sus pasivos. Este ultimo es un com-ponente para estimar el costo promedio ponderado de capital de la empresa(o WACC, por sus siglas en ingles de “weighted average cost of capital”) quese utiliza para calcular el valor presente de los flujos de efectivo futuros, deacuerdo al metodo de valuacion de Flujos de Efectivo Descontados (o DCF, porsus siglas en ingles de “discounted cash flows”) y de esta forma estimar el valorde la empresa, por ejemplo, Valencia-Herrera (2009, p.144).

Asimismo, la actual estructura financiera de Pemex presenta un compo-nente deficitario en la aportacion de sus accionistas (Resultados Pemex 2T11,p. 15) y, aun bajo la Reforma Energetica aprobada en 2008 en Mexico (“Todosobre la Reforma Energetica”, Pemex 2011), que reduce marginalmente la cargafiscal a Pemex, solo obtiene una correccion gradual para la reinversion de utili-dades.

En este trabajo proponemos valuar a Pemex como un bono estructurado(Fabozzi, 2000, p. 152), emitido a traves de un Vehıculo de Proposito Especial(VPE) y que se explica de la siguiente forma: la empresa no es duena de losactivos de hidrocarburos generadores del flujo operativo de Pemex, sino que elgobierno mexicano, siendo constitucionalmente (Art. 27 Constitucion PolıticaMexicana de 1917) el unico dueno de los mismos y sin opcion a venta, concesionaa la paraestatal para explorar, explotar y comercializar petroleo y gas. Pemexpaga derechos (“regalıas”) al gobierno a cambio de los flujos generados en suactividad y necesita emitir deuda para cubrir sus necesidades de financiamientoe inversion.

De manera similar, los VPE son entidades legales creadas unicamente paraservir una funcion en particular, como de financiamiento o de inversion, y tienenuna personalidad jurıdica propia, que les permite realizar la adquisicion legalde activos o de flujos generados por estos activos, pagando por ellos con recur-sos provenientes de bonos emitidos por el propio VPE. El pago de intereses yamortizaciones de estos bonos estan respaldados con los flujos que se recibiranpor los activos o flujos adquiridos. Las bursatilizaciones de activos funcionande esta forma, ver Fabozzi et al. (2006, p. 66).

Para valuar un bono estructurado, se obtiene el valor presente de los flujosoperativos esperados originados por los activos que respaldan a la emision,considerando las opciones implıcitas presentes, con el objeto de medir si sonsuficientes para cubrir la carga financiera y laboral, ası como sus amortizaciones.

Analisis alternativo de valuacion de empresas estrategicas descentralizadas 3

Esta misma logica se aplica para Pemex, calculando el valor presente de los flujosesperados de su actividad con consideracion de opciones implıcitas y medir sison suficientes para pagar sus obligaciones laborales y/o financieras (Fabozzi,2000, p. 514).

La Figura 1 muestra el mecanismo de venta de flujos operativos a Pemexpor parte de Mexico. La Figura 2 muestra la bursatilizacion de activos a travesde un VPE. Finalmente, si incorporamos instrumentos derivados a este bonoestructurado (Pemex), podemos modelar el valor de la empresa considerandola volatilidad del subyacente del derivado, que en este caso es la volatilidad dela variacion en el precio del petroleo, ajustada por el nivel de apalancamientode Pemex y las diferentes opciones presentes.

Figura 1: Mecanismo de venta de flujos operativos de Mexico a Pemex

Figura 2. Esquema tradicional de “bursatilizacion ”o venta de activos.

Este artıculo se encuentra ordenado de la siguiente forma, inicia con estaintroduccion, la seccion dos presenta los aspectos relevantes de la investigacionrealizada sobre Pemex, la tres, el marco teorico, y la cuatro, los resultados deun ejercicio de valuacion. El apartado final contiene las conclusiones.

2. Aspectos relevantes de la investigacion sobre Pemex

Para entender Pemex, se requirio de una profunda labor de investigacion sobrela historia y situacion actual de la empresa, y con ello contar con bases solidaspara establecer supuestos para la proyeccion de diez anos de los principalesestados financieros: balance, estado de resultados y flujo de efectivo.

Pemex es la empresa mas grande que cotiza en la Bolsa Mexicana deValores, en terminos de activos, alcanzando al 2T11, una cifra equivalente en


dolares de US$ 118,415 millones. La propuesta de valuar a Pemex vista comouna entidad de proposito especial (VPE), nos permite conocer el valor de susactivos, a traves del calculo del valor presente de sus flujos operativos netos depagos de derechos (“regalıas” ). Bajo diferentes escenarios de estres, se conocela capacidad generadora de excedentes de efectivo de la paraestatal, que puedendestinarse a inversiones o a pago de deuda.

Los puntos mas importantes que destacan de esta investigacion son:i. Gobierno corporativoLa Reforma Energetica de 2008 permitio a Pemex fortalecer

su gobierno corporativo, destacando ahora dentro de su Consejo de Adminis-tracion la presencia de cuatro nuevos consejeros profesionales independientes,cinco representantes del Sindicato de Pemex y seis representantes del Estado,designados por el Ejecutivo Federal.

Asimismo se aprobo la creacion de comites ejecutivos de: a) Auditorıay evaluacion del desempeno; b) Estrategia e inversiones; c) Remuneraciones;d) Adquisiciones, Arrendamientos, obras y servicios; e) Medio ambiente y de-sarrollo sustentable; f) Transparencia y rendicion de cuentas y g) Desarrollo einvestigacion tecnologica.

Sobresale la aprobacion del nuevo esquema de contratacion para activi-dades sustantivas a traves de nuevos contratos denominados “ContratosIntegrales de Servicios para la Exploracion y Produccion”los cuales sonresponsabilidad del Comite de Adquisiciones, Arrendamientos, Obras y Servi-cios. Bajo este esquema y para incentivar el buen desempeno, los contratistas(destacando la presencia de extranjeros) recibiran su remuneracion en funcional numero de barriles de hidrocarburos extraıdos. En una primera fase progra-mada para iniciar en el verano de 2011, estos contratos seran utilizados en laexploracion y produccion en campos marginales, despues en campos maduroscomo Chicontepec, y en una tercera fase en Aguas Profundas. A traves de estosnuevos contratos, se podran financiar proyectos que requieren un uso extensivode capital, ya que la totalidad de flujo operativo de la empresa se destina alpago de derechos o regalıas, lo que impide a Pemex financiar su crecimiento conrecursos propios.

ii. Reservas de hidrocarburosDe acuerdo al Art. 27 de la Constitucion Polıtica de los Estados Unidos

Mexicanos (1917) y a la Ley Reglamentaria del Art. 27 Constitucional en elRamo del Petroleo, las reservas de hidrocarburos ubicadas en territorio mexi-

cano son propiedad de la Nacion Mexicana. Unicamente Pemex y sus Organis-mos Subsidiarios tienen la exclusividad de explorar, extraer y producir petroleoy gas, pero no son duenos de los yacimientos de hidrocarburos.

Al primero de enero de 2011, las reservas probadas de hidrocarburos ascien-den a 13,796 millones de petroleo crudo equivalente (MMbpce), de las cualesel 74% corresponden a crudo, el 9% a condensados y lıquidos y el 17% a gasseco (“Reservas”, 2011). Asimismo, el 64% de las reservas probadas se clasificancomo “desarrolladas”, es decir aquellas que se espera sean recuperadas de pozosexistentes, incluyendo las reservas que pueden ser producidas con la infraestruc-tura actual e inversiones moderadas (Cantarell, Ku Maloob Zaap y Antonio J.Bermudez, principalmente). Pemex esta comprometido a alcanzar una tasa derestitucion de reservas de 100% en 2012; es decir que por cada barril de petroleoque se extraiga del subsuelo este debe ser reemplazado en forma paralela, para


mantener el negocio en marcha en el largo plazo y al mismo tiempo mantenersu valor como empresa. Esta tasa de restitucion se ubica actualmente en 77%(“Tasa”, 2011).

En cuanto al nivel de reservas probadas, Pemex lamentablemente ya seubica como la segunda principal petrolera en America Latina, atras de Petrobrascon 15,986 MMbpce, al primero de enero de 2011. Petrobras ya tiene unatasa de restitucion de reservas de 100%. De acuerdo a geologos de Pemex, laproduccion anual de hidrocarburos para los siguientes cinco anos se mantendraen 2.5 MMbd para el petroleo y si se incluye gas a 3.8 MMbpce.

Figura 3: Reservas petroleras y tasa de restitucion de Pemex.

MMMbpce = Miles de millones de petroleo crudo equivalente.Fuente: Reservas de Hidrocarburos al 1 de enero de 2011

iii. Fuentes de financiamientoEl nivel de apalancamiento de Pemex de 108.2% (pasivos totales a activos

totales) es el mas alto entre las empresas latinoamericanas del mismo ramo.Como se menciono, el alto endeudamiento de Pemex esta relacionado con laalta carga tributaria de la paraestatal mexicana. La salida de flujo de efectivohacia el erario publico, no le deja recursos a Pemex para Capex, sino que for-zosamente debe recurrir a fuentes de financiamiento externas, para mantenersu crecimiento.

La deuda de Pemex (pasivos financieros de corto y largo plazo) al cierre de2010 alcanzo los MXN $631.9 miles de millones, equivalentes a US $ 48.4 milesde millones, de los cuales US$31.1 miles de millones correspondieron a emisionesde bonos en mercados locales y nacionales. Es decir, el analisis de Pemex es degran interes para los mercados financieros. En 2010 los intereses pagados netos,por concepto de pasivos ascendio a MXN$74,382 millones (US$5,887 millones).

iv. Regimen fiscalDe acuerdo al Cuadro 1, la relacion de impuestos y derechos (denominados

conjuntamente “Regalıas”) sobre utilidad antes de impuestos de Pemex, se ubicoen 120% (incluyendo IEPS) al cierre de 2010, que es la tasa impositiva mas altaentre sus competidores, incluyendo a empresas como Shell y Exxon.

Pemex al igual que otras empresas descentralizadas en el mundo, cuyaactividad es la exploracion y explotacion de recursos naturales estrategicos deuna nacion, esta sujeta a regımenes fiscales relacionados con pagos de regalıas oderechos, que difieren sustancialmente del esquema fiscal de empresas privadas.


Por lo anterior, no puede aplicarse el supuesto de deducibilidad en el costofinanciero que se utiliza para valuar empresas bajo DCF.

Cuadro 1: Pemex y competidores globales: Comparativo de impuestos,derechos. Regalıas sobre hidrocarburos (millones de dolares)

(1) Cifras al 31 de diciembre de 2010, (2) cifras al 31 de diciembre 2009, yaen 2010 reporta perdidas antes de impuestos, por derrame petrolero en Golfode Mexico. Fuente: Informes anuales de las empresas seleccionadas.

v. Pasivos laboralesLos pasivos laborales al 31 de diciembre de 2010 sumaron MXN$661,365

millones (equivalentes a US$ 52,332 millones), cifra superior en MXN$85,164millones de pesos (US$ 6,739 millones) a la reportada al cierre de 2009. Elnumero total de empleados al cierre de 2010 fue de 149,421 de los cualesaproximadamente el 70% son sindicalizados y el resto de confianza.

Los pasivos laborales pueden representar un riesgo de liquidez futuro paraPemex, ya que se encuentran fondeados en una parte mınima. Sin embargode acuerdo a nuestras proyecciones sera a partir de la siguiente decada cuandose requieran mayor uso de recursos lıquidos para cubrir estas obligaciones. Elnivel del precio de venta del petroleo sera un factor importante para cubrir estepasivo.

Este tema resulta muy importante para Pemex, ya que detras hay un riesgopolıtico mezclado con el sindicato petrolero. Declaraciones recientes del Direc-tor General de Pemex (junio de 2011) mencionan la necesidad de capitalizar aPemex, para cubrir sus fondos de pensiones.

En 2010 se erogaron en efectivo MXN$28,166 millones (equivalentes aUS$2,228 millones) por concepto de “Contribuciones y pagos por beneficiosa empleados”principalmente para jubilados. Sin embargo bajo cifras revisadasnuevamente por los auditores, este monto se elevo en 2010 hasta MXN$85, 164millones (US$6,737 millones).

Bajo reglas contables internacionales, todos los pasivos laborales registra-dos con anterioridad a 2008 deberan ser amortizados en un periodo de cincoanos. A partir de 2009, los beneficios laborales que participaron en la gen-eracion de ingresos del ejercicio, son reconocidos directamente en resultados.Pemex contabiliza los pasivos laborales bajo la modalidad de “Obligacion por


beneficios definidos”, lo que significa que la empresa es la responsable de estepasivo en su totalidad, ası como el de fondear los recursos para creacion dereservas y el cuidar el adecuado manejo de estos recursos, para que no pierdanvalor a traves del tiempo.

vi. Estructura financieraDe acuerdo a cifras publicas mas recientes de Pemex (al 2T11), su actual

estructura financiera presenta un componente deficitario en la aportacion desus accionistas, con una cifra negativa en su capital contable de MXN$102,093millones, equivalente a US$8,624 millones. Aun bajo la Reforma Energeticaaprobada en 2008 en Mexico que reduce marginalmente la carga fiscal a Pemex,se observa solo una correccion gradual para la reinversion de utilidades.

Para conocer el valor presente de los flujos operativos de Pemex es necesariodescontarlos a una tasa promedio ponderada de capital, la cual requiere de unaestructura financiera teorica para la empresa. En este caso la presencia de uncapital contable negativo dificulta los supuestos para estimar una estructura decapital objetivo para Pemex.

3. Marco teorico

3.1 Teorıa de valuacion tradicional de empresasDe acuerdo a Valencia-Herrera (2009), para realizar la valuacion de una

empresa o proyecto, se pueden emplear tres paradigmas equivalentes entre sı:flujos de efectivo descontados a la empresa (DCF), flujos de efectivo descontadosa inversionistas y valor presente ajustado. Aquı usamos el primero, que

considera la WACC y los flujos de efectivo despues de impuestos. Este es quizasel metodo mas utilizado para la valuacion de una inversion de capital. El metodopara poder ser utilizado requiere suponer una estructura de capital constante,entendida como las proporciones de las diferentes fuentes de financiamiento queentran en el proyecto en cuestion y que deberan de mantenerse durante la vidadel proyecto. Frecuentemente esta eleccion es adecuada si la empresa tieneuna estructura de capital objetivo que no la varıa en el tiempo, aunque en unmomento particular es posible que no sea respetada perfectamente.

Sin embargo este enfoque no es aplicable a la realidad de Pemex, ya que laexistencia de un capital contable negativo, impide el establecer una estructuraobjetivo para la empresa; ademas el regimen fiscal enfocado a regalıas impidela deducibilidad en el costo de la deuda, y por ello el factor de descuento paracalcular el valor presente de los flujos no es la adecuada, por lo que se requierenconsideraciones especiales.

Metodo de flujos de efectivo descontadosConsiste en calcular los flujos de efectivo futuros ajustados segun su valor en

el tiempo, esto es, descontados a una tasa que represente el costo de oportunidadde obtencion del capital empleado, Koller et al. (2010). El valor total de laempresa se compone del valor actual de los flujos de efectivo dentro del perıodode pronostico mas el valor actual del valor de continuacion que corresponde alos flujos de efectivo libres despues del perıodo del pronostico:

V alor =F lujot1

1 + WACCt1

+F lujot2

(1 + WACCt1)(1 + WACCt2)+ ...


+V alor de continuacion

(1 + WACCt1)...(1 + WACCtT)

,

donde F lujoties el flujo del perıodo ti y la WACCti

es el costo promedioponderado de capital despues de impuestos en el perıodo ti de la empresa,t1, t2, ..., tT.

En el caso de que la empresa tenga una polıtica objetivo de deuda y capital,el costo de financiamiento de la empresa se puede estimar usando el WACC,que consiste en la suma del producto de porcentaje de cada una de las fuentesde financiamiento que utiliza la empresa y el costo financiero de cada una deellas. En el caso de que la empresa fuera una empresa privada y tenga dosfuentes de financiamiento, deuda y capital, los costos de capital de la deuda yel capital propio antes de impuestos sean rc y rd y la tasa marginal de impuestoscorporativos sea T , el WACC sera:

WACC =

[

Capital

Capital + Pasivos

]

rc +

[

Pasivos

Capital + Pasivos

]

rd(1 + T ).

El costo del capital propio, rc, puede ser estimado usando un modelo devaluacion de activos; en el caso de utilizar el modelo de valuacion de activosde capital (CAPM, por las siglas en ingles de “Capital Asset Pricing Model”).El costo del capital de una empresa ri sera igual a la tasa libre de riesgo,rf , mas una prima por el riesgo de la empresa, que en este modelo se estimamultiplicando la beta de la empresa (βi) del proyecto de inversion en cuestion,que mide el riesgo sistematico de la empresa, a la prima de riesgo de mercado:la diferencia entre el rendimiento esperado de mercado, E[rm], y la tasa librede riesgo, rf (Brigham y Houston, 1988, p. 176)

E[ri] = rf + βi(E[rm] − rf ).

El CAPM fue desarrollado por Sharpe (1964) y Lintner (1965). Ambosbasaron sus estudios en las investigaciones de Markowitz (1959) y Tobin (1958),quienes propusieron un modelo en que todos los inversionistas seleccionan suscarteras a traves del criterio de la media-varianza. El objetivo del modeloCAPM es cuantificar e interpretar la relacion que existe entre el riesgo y elrendimiento; ya que a traves de esta relacion lineal se puede establecer el equi-librio de los mercados financieros.

El valor de continuacion V CT es el valor de la empresa mas alla del ho-rizonte de planificacion (el perıodo T ), hasta cuando se proyectan con detallelos flujos de efectivo. Este valor de continuacion se puede estimar si se asumeque los flujos creceran a una tasa constante g con el modelo de crecimiento deGordon:

V CT =FET+1

WACC − g=

FET (1 + g)

WACC − g,

en donde V CT es el valor de continuacion en el ano T , FET es el flujo deefectivo en el perıodo T , g es la tasa de crecimiento de los flujos de efectivo aperpetuidad y WACC es el costo de financiamiento a perpetuidad.


En este ejercicio se calculo el valor presente de los flujos operativos, en lugardel valor presente del flujo de efectivo libre, ya que este ultimo es negativopara Pemex. Consideramos que este supuesto es valido ya que las fuentesde financiamiento de la empresa son utilizadas para cubrir sus inversiones decapital y ambas estan practicamente aisladas del capital de trabajo y de laoperacion de Pemex.

3.2 Teorıa de valuacion de bonos estructuradosFabozzi (2006, p.1) define “Finanzas Estructuradas”como “el conjunto de

tecnicas que se utilizan siempre que el originador o dueno de ciertos activos, querequiera cubrir necesidades de fondeo, liquidez, transferir riesgo o alguna otranecesidad, y que no puede tener acceso o no represente una alternativa optima,pueda emplear algun mecanismo o producto tradicional de financiamiento”.Cualquier financiamiento estructurado, involucra los siguientes elementos:

1. Transferencia financiera de activos o de la exposicion de riesgo, con elfin de alcanzar objetivos contables, regulatorios y/o fiscales.

2. Transaccion protegida a traves de un VPE o Fideicomiso.3. La emision de un bono que esta respaldado por activos.4. Incluye una combinacion de productos derivados, como son los de tasas

de interes o de credito, o hay opciones implıcitas.La bursatilizacion consiste en obtener liquidez a traves de la transferencia

de activos financieros (creditos, cuentas por cobrar, flujos generados por activos)a un VPE, que a su vez emite bonos estructurados, que reciben este nombre,porque existe un activo subyacente vinculado al mismo, de donde se esperarecibir flujos futuros de efectivo (Fabozzi, et al., 2006, p. 13). A traves delVPE, los activos financieros se aıslan o separan del riesgo propio de la empresao en este caso, del paıs que los origino. La calidad crediticia de los activos oflujos traspasados al fideicomiso, va a soportar una gran parte de la calificacioncrediticia que se asigne a los bonos emitidos.

La condicion mas importante que exige el mercado es que el VPE cuentecon el financiamiento suficiente para completarlo y que los acreedores confıenen los flujos esperados del mismo, para garantizarles su pago.

La valuacion de un bono estructurado esta en funcion de la valuacion de losactivos o flujos subyacentes en el instrumento. En el caso de este ejercicio, losflujos operativos que provienen de las actividades de exploracion y explotacionde Pemex representan los activos subyacentes del bono.

Valuacion de bonos estructuradosEl modelo que se utiliza para valuar este tipo de bonos va a depender de las

caracterısticas del activo o de los flujos que respalden a la emision. En el casode Pemex, estamos valuandolo como un instrumento respaldado por activos, enel cual los inversionistas tienen opciones para reducir costos, considerando dosalternativas: reduccion de pasivos laborales o el pago de regalıas.

La opcion de reducir los pagos de pensiones se puede modelar como unaopcion americana de compra de flujos adicionales, que valuamos aquı a travesde un modelo binomial. En el modelo binomial, el valor inicial de la empresa,S0, tiene una probabilidad p de subir a uS0 y 1 − p de bajar a dS0, con u > 1y d < 1. Si se asume neutralidad al riesgo y la tasa libre con capitalizacion


continua es rf , p es igual a

p =exp(−rf∆t − d)

u − d.

En este caso, para determinar el valor de la opcion americana a considerar, seexpande el arbol con el valor de Pemex como subyacente hasta el perıodo T yse evalua la opcion, que depende del valor de la empresa, de atras (en el perıodoT ) al inicio del arbol.

La volatilidad que utilizamos para calcular el valor de la opcion en el bonose obtiene de la variacion anual en el precio de la mezcla mexicana de crudoobtenida de Bloomberg. Para efectos de este artıculo, suponemos que estavolatilidad ya contiene en forma implıcita el efecto del apalancamiento operativoy financiero de Pemex, ya que por sı misma es muy elevada, donde en los ultimos10 anos, dicha volatilidad anual es cercana al 52%.

4. ResultadosEl Cuadro 2 presenta los resultados obtenidos para Pemex bajo diferentes

escenarios de estimaciones de flujos operativos futuros y el calculo de su VPNbajo el Modelo DCF. Bajo el escenario base, en que se mantienen vigentes lascondiciones operativas y fiscales actuales, destacando que el capital social de laempresa es negativo, el valor neto de la empresa se ubico en $765,004 millonesde pesos con lo que Pemex cubre 1.2 veces sus pasivos con costo. La razon deapalancamiento se ubico en 0.85%.

En el escenario uno, suponemos que los pasivos laborales se sustituyenpor un pasivo con menor costo, a traves de un acuerdo entre el gobierno y elsindicato. Con esta operacion, al bajar el costo de financiamiento, el flujo deefectivo que se incrementa por esta transaccion, se utiliza para pagar pasivosfinancieros, lo que eleva el valor de la empresa en 15% superior al obtenido enel escenario base, ubicandose en $884,120 millones de pesos.

Si bien esperaba una “mejor valuacion”, esta se ve afectada por la tasa dedescuento respecto al escenario base y esto es debido a una mayor ponderaciondel capital.

En el escenario dos, asumimos que se reducen en un 50% la tasa de regalıas(impuestos y derechos), ya que se interpreta que parte de estas son dividendos,que de ser necesario se pueden reducir, con lo que la valuacion resultante pre-senta un incremento muy significativo, de casi seis veces respecto al escenariobase por dos razones principales:

1. La empresa genera utilidades de poco mas de la mitad de la utilidadoperativa con su respectivo impacto positivo en el capital contable de Pemex.

2. Parte del nuevo flujo generado se destino al pago de deuda con costopor lo que el monto de intereses pagados disminuye y tambien el excedente deefectivo genera intereses; el efecto combinado de estos dos aspectos contribuyea la generacion de utilidad neta desde el inicio del perıodo de estimacion.

3. Con esta valuacion, Pemex cubre su deuda con costo en los primerosdos anos de estimacion por lo que bajo este escenario estoy suponiendo que lasinversiones se financian con recursos propios. La razon de apalancamiento esmenor a 1, si la medimos como el valor de la empresa entre los pasivos concosto. Se observa en este escenario que el capital contable pondera de manera


muy importante en este escenario por lo que la tasa de descuento se incrementacasi tres veces mas respecto al escenario base; sin embargo no tiene un impactosignificativo en la valuacion ya que los flujos crecen en mayor proporcion.

En el tercer escenario, con un precio internacional del petroleo de US$52.52dolares por barril, el valor de la empresa es practicamente de cero ya que losingresos estimados crecen a menor ritmo, en promedio 6.0% vs el 7.5% delescenario base. Este menor crecimiento de los ingresos, aunado al efecto de lareserva laboral sobre los costos y gastos provocan la disminucion de la utilidadde operacion en un 9.0% en promedio, comparada con la estimada para elescenario base. El resultado neto de este escenario se caracteriza por perdidasa lo largo del perıodo de estimacion. Esta perdida neta se refleja directamenteen el Capital Contable, haciendolo mas negativo respecto al estimado en elescenario base. El flujo operativo crece a menor ritmo, bajo el supuesto de esteescenario, provocando que Pemex difıcilmente puede financiar sus inversionesde capital asimismo y cubrir sus pasivos con costo. La combinacion de losfactores mencionados, ası como la ponderacion de la deuda se reflejan en unatasa de descuento de casi el doble de la utilizada en el escenario base, afectandonegativamente la valuacion de la empresa.

Cuadro 2 Resultado en los diferentes escenarios del valor de PEMEX.

*El valor a los accionistas corresponde el valor del bono estructurado, cuyosubyacente el valor presente del flujo operativo de la empresa menos el valor dela deuda con costo.

4.1. Valuacion de Pemex considerando la opcion americanade compra de flujos adicionales usando un modelo binomial

Supongamos una opcion de compra que puede ejercer la Alta Gerencia dePemex, para comprar flujos adicionales de efectivo, ya sea reduciendo pasivoslaborales o el pago de regalıas:

Opcion de compra de reducir pasivos laborales.Si el valor de la empresa bajo el escenario base es de MXN$765 mmp y si

lo comparamos con el valor de la empresa en el escenario uno por MXN$884mmp (donde se sustituyen los pasivos laborales, por un nuevo pasivo financierode menor costo), obtenemos una diferencia entre ambos valores de MXN $119mmp, es decir, que Pemex tendrıa un valor superior en 15% al escenario base,


debido a una mayor retencion de flujos operativos en la propia empresa, ya quedisminuirıa su costo financiero.

El valor adicional de MXN$119 mmp es el subyacente de la opcion. Parapoder sustituir los pasivos laborales, podemos suponer que Pemex pide prestadoun monto equivalente a dichas obligaciones laborales, pero a un menor costofinanciero, y de esta forma le paga a los empleados sindicalizados una compen-sacion por jubilacion. Si no se pagan dividendos (regalıas), el valor inicial delsubyacente es el valor adicional esperado de MXN $119 mmp, el valor de ejer-cicio es MXN$600 millones, la volatilidad de la variacion anual en el precio dela mezcla mexicana de crudo, ajustada por apalancamiento operativo y costopromedio ponderado de capital es 52% y se tiene un plazo de cinco anos paraejercer la opcion.

Por lo tanto, el valor de la opcion americana de compra, modelada comoun arbol binomial con periodos semestrales, es de MXN$11 millones de pesos,por lo que el valor de Pemex incluyendo la opcion serıa de MXN$776 mmp(MXN$765 mmp en el escenario base mas MXN$11 mmp de la opcion). Elsiguiente cuadro presenta diferentes volatilidades, por arriba y por abajo del52% que es la que se obtiene de la variacion del precio de la mezcla de crudomexicana, bajo el escenario de sustitucion de pasivos laborales.

Opcion de compra para reducir el pago de regalıas(impuestos y derechos).

Supongamos ahora que la alta gerencia de Pemex tiene una opcion decompra para comprar flujos adicionales de efectivo, bajo las mismas condicionesque el ejercicio anterior, pero asumiendo que los pagos de impuestos y derechosson equivalentes al pago de dividendos a los accionistas (la nacion mexicana),y por tanto, con posibilidad de reducirlos a juicio de la administracion de laempresa. La tasa de dividendos es de 72% que resulta de dividir las regalıas(impuestos y derechos) de un ano, que en 2010 fueron por MXN$554 mmp.,entre el valor de la empresa en el escenario base de MXN$765 mmp.

Utilizando un arbol binomial para valuar la opcion, se encuentra un valorde MXN$3,672 mmp., con el que el valor total de Pemex es de MXN$4,437mmp., considerando que el valor de Pemex en el escenario base es de MXN$765mmp. Visto de otra forma, podemos suponer que el valor inicial del subyacentede la opcion es de MXN$4,053 mmp., que es la diferencia entre el valor de Pemexen el escenario dos, MXN$4,818 mmp., cuando se asume que se disminuye latasa de regalıas un 50% (de 72% a 35.5%) y su valor en el escenario base,MXN$765 mmp., es decir, MXN$4,818 mmp. MXN$765 mmp. = MXN$4,053mmp., valor muy superior al obtenido con la opcion de sustituir el pago deprestaciones laborales.


El siguiente cuadro presenta diferentes volatilidades, por arriba y por abajodel 52% que es la que se obtiene de la variacion del precio de la mezcla de crudomexicana, bajo el escenario de reduccion de derechos e impuestos.

5. ConclusionesLa valuacion de Pemex bajo metodos tradicionales de flujos descontados

y de acuerdo a diferentes escenarios nos permite concluir que esta empresasiempre tiene un valor presente positivo en el valor de sus flujos operativos (unavez que se ha cubierto deuda con costo), siempre que el precio del petroleo seubique por arriba de US$52.52 por barril.

Cuando el escenario base (bajo condiciones actuales de Pemex) se calculacon un precio de petroleo menor a US$52.52 por barril, la empresa podrıa com-pensar el valor presente de sus flujos, a traves de medidas que por el momentoson teoricas, tales como la reduccion en el pago de regalıas, la reestructura oeliminacion de sus pasivos labores.

En los ejercicios de valuacion de Pemex, visto como un bono estructuradoque incluye opciones para la empresa, para que pueda aumentar el monto desus flujos de operacion, podemos observar que el valor de la empresa obtenidopor DCF se puede mejorar, si la empresa incluye como opciones la reduccionen el pago de regalıas y/o la eliminacion de pasivos laborales.

El escenario con mayor valor para la empresa es aquel donde se contem-pla una tasa de pago de dividendos de 72% (equivalente a la tasa de pago deregalıas), concluyendo que el activo mas valioso de la empresa es la generacionde flujo de efectivo de operacion.

Por lo tanto, dejar de ver a Pemex y a otras empresas dedicadas a laexploracion y explotacion de recursos naturales (que no son de su propiedady cuyo precio corresponde al de precios internacionales de materias primas oenergeticos) como empresas tradicionales y valuarlas como bonos estructurados,es una herramienta que permite conocer su valor en forma mas objetiva.

6. ReferenciasBrigham, E. F. y J. F. Houston (1998) Fundamentals of Financial Management,

8a ed., South-Western College Pub.Constitucion Polıtica de los Estados Unidos Mexicanos (1917). Diario Oficial

de la Federacion, modificada a julio 14, 2011.Fabozzi, F. J. (2000). Fixed Income Analysis for the CFA Program, Frank J.

Fabozzi Associates, New Hope, Pennsylvania.Fabozzi, F. J., H. A. Davis, M. Choudhry (2006). Introduction to Structured

Finance, Willey.


Koller, T., M. Goedhart y D. Wessels (2010). Valuation: Measuring andManaging the Value of Companies, McKinsey and Co.

Ley del Impuesto sobre la Renta (2009). Diario Oficial de la Federacion,modificada a diciembre 31, 2010.

Ley Federal de Derechos (1988). Diario Oficial de la Federacion, modificada anoviembre 18, 2011.

Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of riskyinvestments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economicsand Statistics, febrero, pp. 13-37.

Markowitz, H. M. (1959). Portfolio selection: Efficient diversification of in-vestment (Cowles Foundation Monograph 16) Yale University Press, NewHaven.

Proyectos estrategicos de Pemex (2011), Pemex Panorama, marzo, p. 12.Reservas probadas al 1 enero de 2011 de Pemex (2011) al 30 de marzo 2010 en

www.pemex.com.Sharpe, W. (1964). Capital asset prices: a theory of market equilibrium under

conditions of risk, Management Science, enero, pp. 277-293.Tasa de restitucion de reservas de Pemex (2011). Pemex Panorama, marzo

2011, p. 9.Tobin, J. (1958). Liquidity preference as behavior towards risk, Review of

Economic Studies, febrero, pp. 65-86.Todo sobre la reforma energetica, Primer decreto: Cambios en el regimen fiscal

de Pemex (2011) de www.pemex.com al 27 de julio de 2011.Reporte de Resultados de Petroleos Mexicanos, Organismos Subsidiarios y

Companıas Subsidiarias al 31 de marzo de 2011 [Reporte Pemex] (2011,4 de mayo).

Valencia Herrera, Humberto (2009). Mejores practicas de inversion, Mejorespracticas financieras de las empresas en Mexico, IMEF, pp. 130-190.

Fisher, A.,Department of Economics, UC Berkeley and Hanemann, W, De-partment of Agriculture and Resource Economics, UC Berkeley. (1987).Quasi-options are always positive, but are often confused with the net ben-efit of preservation. Documento de Trabajo.

Zack, M. H. (1999). A framework for describing and evaluating an organiza-tions knowledge strategy, California Management Review, marzo. Docu-mento de trabajo.

Runge, I. (1998). Projects with imbedded option to expand, though notprofitable today, Capital Strategy Letter, marzo. Gran parte de las nuevasinversiones aunque aseguran la expansion de las empresa, no necesaria-mente son inicialmente rentables, pero con un potencial muy elevado parapoder hacerlo. Estas inversiones incorporan opciones que les permite au-mentar sus utilidades futuras.

Kroll, K. (1998) Options Theory applied to business decisions, Industry Week,febrero. La teor´ ia de opciones reales reconoce que el valor de las empresas,siendo capaces de hacer una pequena inversion inicial, les permite tomaracciones futuras que generen ganancias.

Markland, J. T. (1992). Option Pricing Theory for assessing the market valueof a project, British Gas E. and P. Society of Engineers. abril. Estedocumento de trabajo resalta la teorıa de valuacion de opciones, aplicadapara medir el valor de mercado de un proyecto. Tambien habla sobre


la aplicacion de la valuacion con opciones en empresas de exploracion depetroleo.

Dıas, M.A.G. (1997). An oil company with investment rights, Petrobras, S.A.,Society of Petroleum Engineers, septiembre. Este documento de trabajoanaliza el problema que enfrentan las compan´ ias petroleras que tienenderechos restringidos, principalmente en tiempo, para realizar inversiones.Explica el uso de opciones reales.

Deng, S. J. U.C. Berkeley; Johnson, B., Stanford and Sogomonian A., Paci-ficorp, Valuing electricity derivatives using replicating portfolios. Docu-mento de Trabajo donde los resultados de valuaciones son utilizados paraconstruir modelos de opciones reales sobre empresas de generacion y trans-mision de electricidad.

Soussan, F. (2001). Various business technologies will distinguish future in-dustry winners. The real options paradigm, Documento no publicado,SPE, Texaco Inc. y Society of Petroleum Enginners. October 2001. Eldocumento habla sobre el paradigma sobre las opciones reales, las cualesemergen como un metodo state of the art para valuar activos. El conceptode frontera eficiente es cada vez mas utilizado dentro del sector energetico.

Rutherford, S. R. (2001). Real Options Evaluations, Documento no publicado,SPE, Anadarko, Petroleum Corporation y Society of Petroleum Engineers,Octubre.

Brennan, M.J. and Trigeorgis L.. London, Oxford University. Documento detrabajo que considera a las opciones reales como un significativo compo-nente de valor, y las empresas que las toman en cuenta pueden presentarun desempeno superior al mercado. El documento habla sobre la teor´ iadel arbitraje entre las inversiones.Otras referencias

International Accounting Standards Board (2010). International Financial Re-porting Standards (IFRS) Financial Accounting Standards Board of theFinancial Accounting Foundation. “Financial Accounting Series (ISSN-0885-9051)”. Publicacion Trimestral. 2010-2011 2010-2011

Hull, John C. (2008). Options, Futures and other Derivative Securities, Pren-tice Hall Edition, 7a edicion.

Cox, Ross y Rubinstein (1979) “Option Pricing: A Simplified Approach”, Jour-nal of Financial Economics, 7 (Octubre).

Frank J. Fabozzi (2001), Fixed Income Analysis, Editorial.



Valuacion de Opciones Europeas

mediante procesos de Levy exponenciales y

transformada rapida de Fourier.Horacio Alberto Ruiz Olvera∗

Recibido 10 de enero de 2010. Aceptado 22 de marzo de 2011

Resumen

En esta investigacion se presenta una metodologıa alterna de valuacion deopciones europeas mediante el analisis de procesos de Levy exponenciales yutilizando la transformada rapida de Fourier. En este trabajo se aplica lametodologıa de valuacion de opciones mediante el uso de la transformadadiscreta de Fourier al modelo varianza-gamma (VG) de Madan, Carr y Chang(1998). Este modelo cuenta con una forma cerrada de valuacion obtenida, comoen algunos otros modelos, mediante metodos probabilısticos o de ecuacionesdiferenciales parciales, sin embargo estas metodologıas no nos entregan formascerradas para modelos mas complejos. Si tomamos en cuenta el hecho de quepara la valuacion de opciones mediante transformada de Fourier (TF) lo unicoque necesitamos es la funcion caracterıstica del precio logarıtmico de la acciony que existe una funcion caracterıstica unica, conocida y con forma cerradapara cada funcion de densidad, entonces es posible utilizar esta metodologıapara intentar encontrar un metodo de valuacion alterno y posiblemente massimple para modelos en los cuales actualmente no existe una forma cerrada.El modelo de Madan, Carr y Chang es un caso particular de modelos de Levyexponenciales mas generales. Si la utilizacion de la TF nos permite desarrollarun metodo alterno para la valuacion de opciones que nos entregue los mismosresultados que el utilizar las formas cerradas, entonces estarıamos en condi-ciones de buscar un metodo alterno para crear modelos de valuacion que quizasean mas simples que los complejos modelos desarrollados a traves de metodosprobabilısticos o de ecuaciones diferenciales.

Abstract

In this paper, a new valuation methodology is tested as an alternative way tovalue European options by applying Fast Fourier Transform (FFT) on Levyprocesses. It is shown how this new approach can be applied on the Variance-Gamma model by Madan, Carr and Chang (1998). This model has a closed

∗ Doctorado en Ciencias Financieras, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad deMexico, EGADE. Calle del Puente 222, Aulas 4-Piso 4, Ejidos de Huipulco, Tlalpan, D.F.14380, e-mail: [email protected], Tel:+52 (55)56758165.

El autor agradece los valiosos comentarios por parte de Jose Antonio Nunez, KazuhisaMatsuda, Barbara Trejo y Vıctor Reynoso durante la preparacion de este trabajo de investi-gacion ası como las sugerencias de todos los profesores y companeros durante la redaccion

del mismo. El autor es el unico responsable por opiniones y errores.

Valuacion de Opciones Europeas mediante procesos de Levy. 17

form formula which can be obtained, as in many other models, by PDE orby probabilistic methods, but even this methodologies will not prove to beuseful when we encounter ourselves with more complex models. Nevertheless,if we take into account the fact that there is a one-to-one relationship betweena characteristic function of an exponential Levy process and its probabilitydensity and that this CF are known in closed forms or can be expressed in termsof special mathematic functions, then it is possible to use this new methodologyto obtain an alternate and maybe simpler valuation forms for models which donot have a closed form solution. Madan, Carr and Changs model is a particularcase of general exponential Levy processes. If there is a way to develop a newvaluation method by using Fourier transform and this method proves to givesame results as on closed form solutions or by numerical method solutions,then we could be on our way to find simpler ways to price assets than using atraditional approach.

Clasificacion JEL: G12, C65

Palabras clave: Levy processes, Fourier transform.

1. Introduccion

Sabemos que para la valuacion de opciones existe una gran variedad demodelos, ya sea en forma cerrada o que se basan en metodos numericos para suresolucion. Los mas sencillos manejan supuestos que no necesariamente explicanel comportamiento real del mercado y estos son los que actualmente se utilizanen la practica debido a que se trata de modelos de valuacion en forma cerradaque implican una gran simplicidad de calculo aun cuando existen otros modelosque describen mejor dicho comportamiento pero cuya resolucion requiere demayores recursos de computo, razon por la cual no se utilizan en la practica.

El modelo de Black y Scholes (1973) es uno de los avances mas impor-tantes en las finanzas modernas. Fischer Black y Myron Scholes publicaron en1973 su artıculo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” en elJournal of Political Economy en donde, bajo el supuesto de equilibrio general,Black y Scholes obtuvieron una ecuacion diferencial parcial de segundo orden,parabolica y lineal, cuya solucion culmina en una formula cerrada para valuaruna opcion europea sobre una accion que no paga dividendos, y cuyo precio esconducido por un movimiento geometrico Browniano.

Sin embargo, algunos de sus supuestos como la distribucion log-normal delsubyacente o el de volatilidad constante no representan el comportamiento realdel subyacente en los mercados financieros ya que la densidad del rendimientologarıtmico del subyacente dista de ser normal al presentar un exceso de curtosisy sesgo. Robert Merton (1976) modifica el proceso que sigue el subyacenteproponiendo un proceso de difusion con saltos con el que se extiende el modelode Black y Scholes al agregar un componente de saltos a la dinamica del preciodel subyacente. Autores posteriores como Jarrow y Rosenfeld (1984), Ball yTorous (1985), Jorion (1988) y Venegas Martnez (2001) han sugerido que elagregar saltos a los modelos de valuacion de opciones ha ayudado a explicarlas inconsistencias mostradas en la practica por el modelo de Black-Scholes.Merton agrega una componente de saltos mediante un proceso de Poisson, dondeel tamano del salto sigue una distribucion lognormal. Con esto Merton logramodelar las colas pesadas presentes en los mercados financieros.


Por otro lado Madan y Seneta (1990), Madan y Milne (1991) proponenel modelo Varianza Gamma (VG) el cual incorpora parametros adicionalesque permiten controlar el sesgo y la curtosis presentes en la densidad de losrendimientos del subyacente. Mas adelante Madan, Carr y Chang (1998) ob-tienen una forma cerrada del modelo VG para evaluar el precio de una opcioneuropea.

El proceso Varianza Gamma modela un movimiento Browniano evaluadoaleatoriamente en el tiempo, donde dicho movimiento Browniano tiene tenden-cia y volatilidad constantes:

Bt(t; θ, σ) = θt+ σW (t).

Cada unidad de tiempo se supone tiene una longitud dada por una vari-able aleatoria que sigue un proceso gamma. Esto es, se supone que elrendimiento compuesto continuo sigue una distribucion normal, condicional enun movimiento aleatorio en el tiempo que sigue un proceso gamma. El pro-ceso gamma, γ(t;µ, ϑ), con tasa media µ y tasa de cambio ϑ, es un procesocon incrementos independientes gamma sobre intervalos de tiempo que nose traslapan, (t, t+ h). Entonces el proceso VG, X(t;α, θ, ϑ), se puede definiren terminos del movimiento Browniano con tendencia Bt(t; θ, σ) y el procesogamma γ(t;µ, ϑ) como:

X(t; σ, θ, ϑ) = Bt(γ(t;µ, ϑ); θ, σ).

Este modelo de valuacion de opciones en conjunto con el proceso estocasticoque lo conforma, nos entrega dos parametros adicionales a la volatilidad delmovimiento Browniano (σ). El primero de ellos, ϑ, con el cual se puede con-trolar el incremento en la probabilidad de las colas de la distribucion de losrendimientos (colas pesadas) y el segundo, θ, con el que se controla la asimetrıaobservada en la densidad de los rendimientos (sesgo). El proceso estocasticoresultante es un proceso de Markov unidimensional homogeneo en el tiempo,por lo que no se tiene un modelo de volatilidad estocastica como tal que permitacambios en la volatilidad condicional.

El proposito fundamental de este trabajo de investigacion es describir unanueva metodologıa para determinar el precio de una opcion europea. Dichametodologıa se basa en la aplicacion de los conceptos de procesos de Levyexponenciales y transformada de Fourier. Se trata de hacer la valuacion deuna opcion de tipo europeo cuando el precio del activo subyacente sigue unproceso de Levy. Los modelos de Black-Scholes, Merton y de Madan, Carr yChang son casos particulares de modelos de Levy exponenciales mas generales.Si la utilizacion de la TF nos permite desarrollar un metodo alterno para lavaluacion de opciones que nos entregue los mismos resultados que el utilizarlas formas cerradas, entonces estarıamos en condiciones de buscar un metodoalterno para crear modelos de valuacion que quiza sean mas simples que loscomplejos modelos desarrollados a traves de metodos probabilısticos o de ecua-ciones diferenciales en los cuales no se puede llegar a una forma cerrada devaluacion. Para la aplicacion de esta nueva metodologıa se supone que la formaanalıtica de las funciones caracterısticas asociadas a las funciones de densidadde dichos modelos es conocida.


2. Transformada de Fourier.

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matematico y fısico de nacionali-dad francesa, fue el primero en desarrollar la teorıa de conduccion del calor.La ecuacion de difusion de calor, o simplemente la ecuacion de calor, es unaecuacion diferencial parcial de segundo orden con soluciones explıcitas. Estassoluciones describen como se difunde, al transcurrir el tiempo, el calor en unavarilla de longitud infinita despues de que ha sido calentada en un tiempo ini-cial. Mientras estudiaba la ecuacion de calor, Fourier desarrollo lo que ahoraconocemos como serie de Fourier.

La transformada de Fourier de una funcion g(t) en el espacio tiempo a unafuncion G(ω) en el espacio de frecuencia angular esta dada por:

G(ω) ≡ Fg(t)(ω) ≡√

| b |(2π)1−a

∫∞

−∞

etibωg(t)dt.

A su vez, la transformada inversa de Fourier de una funcion en el espaciode frecuencia angular G(ω) a una funcion en el espacio tiempo g(t) sera

g(t) ≡ F−1G(ω)(t) ≡√

| b |(2π)1+a

∫∞

−∞

e−tibωG(ω)dω.

La TF se puede ver como la descomposicion de una funcion en el espaciotiempo en una serie (suma) de ondas sinusoidales (funciones seno o coseno)de diversas frecuencias, las cuales al sumarse forman la funcion original. Setrata de la misma funcion pero vista o formada de dos maneras distintas, deaquı el nombre de “transformada”. Entonces podemos decir que la TF es larepresentacion en frecuencia angular (ω) de una funcion g(t) del espacio tiempo(las dos contienen la misma informacion).

Los parametros de Fourier a y b toman diversos valores dependiendo delproposito de la transformada. Por ejemplo, en el procesamiento de senales escomun utilizar los parametros (a, b) = (0,−2π), en la fısica moderna se utilizanlos parametros (a, b) = (0, 1), etc. En nuestro caso, donde el fin es calcularfunciones caracterısticas, utilizaremos los parametros (a, b) = (1, 1) definiendola transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier como:

G(ω) ≡ Fg(t)(ω) ≡∫

∞

−∞

etiωg(t)dt, (1)

g(t) ≡ F−1G(ω)(t) ≡ 1

2π

∫∞

−∞

e−tiωG(ω)dω. (2)

2.1 Transformada discreta de Fourier

Si ahora consideramos el caso de una funcion discreta g(t) → g(tk) dondetk = k∆ con k = 1, 2, · · · , N − 1 tendremos que la transformada discreta deFourier se puede escribir como


G(ωj) ≡ F(g(tk)(ωj) ≡N−1∑

k=0

e−2πijk/Ng(tk), (3)

donde

j = 0, 1, · · · , N − 1.

De este modo la transformada inversa de Fourier sera

g(tk) ≡ F−1G(ωj)(tk) ≡ 1

N

N−1∑

j=0

e2πikj/NG(ωj). (4)

2.2 Transformada rapida de Fourier.

La transformada discreta de Fourier presentada anteriormente se puede aplicara cualquier serie compleja. Sin embargo en la practica este proceso puede con-sumir mucho tiempo de computo, siendo el tiempo proporcional al cuadradodel numero de puntos en la serie. En general, si tratamos de calcular el vectorG(ωj) a partir de g(tk), o viceversa, necesitamos N2 productos que contienennumeros complejos mas N(N − 1) Para evitar tal complejidad de calculos,Cooley y Tukey (1965) descubrieron un algoritmo en el cual unicamente serequieren N log2(N)/2 operaciones. A este algoritmo se le conoce como trans-formada rapida de Fourier. Un aspecto importante de la transformada rapidade Fourier es que se trata de un algoritmo recursivo que permite expresar unatransformada discreta de Fourier de N elementos como la suma de dos trans-formadas discretas de Fourier de N/2 elementos cada una mediante la siguienteidentidad:

N−1∑

k=0

ake−2πijk/N =

N/2−1∑

k=0

a2ke−2πij(2k)/N +

N/2−1∑

k=0

a2k+1e−2πij(2k+1)/N .

En su trabajo, Cooley y Tukey muestran especial atencion en la eleccion deN y muestran que los mejores resultados se obtienen al elegir N = 2m. De estamanera el tiempo de computo requerido se vuelve proporcional a N log2(N),lo cual implica una enorme reduccion en el tiempo de computo requerido. Porejemplo, el tiempo necesario para calcular una transformada discreta de Fourier(DFT) a 1024 puntos tomara aproximadamente 100 veces mas que utilizandola transformada rapida de Fourier (FFT).

Matlab contiene dos funciones que calculan la transformada discreta deFourier y la transformada discreta inversa de Fourier (fft(x) e ifft(x) respecti-vamente) mediante un algoritmo de transformada rapida que se basa en unarutina desarrollada en el MIT1 y se calcula mediante la siguiente suma:

1 Dicha rutina se encuentra disponible en el sitio http://www.fftw.org y es conocida comola Transformada de Fourier mas Rapida de Oeste (The Fastest Fourier Transform in the West)


X(k) =

N∑

j=1

e−2πiN

(j−1)(k−1)x(j). (5)

Asimismo, la transformada rapida inversa se calcula en Matlab como

x(j) =

(1

N

) N∑

k=1

e2πiN

(j−1)(k−1)X(k). (6)

La ecuacion (6) es esencial en este trabajo de investigacion ya que losalgoritmos de valuacion que veremos mas adelante se desarrollaron en Matlabutilizando la funcion fft(x).

2.3 Funcion caracterıstica

La funcion caracterıstica ϕ(ω), ω ∈ R, de una variable aleatoria X con dis-tribucion FX(x) absolutamente continua y con densidad de probabilidad

F ′

X(x) = fX(x) se define como

ϕ(ω) = F [fX(x)] =

∫∞

−∞

exiωfX(x)dx = E[exiω], (7)

es decir, la funcion caracterıstica ϕ(ω) es la transformada de Fourier de lafuncion de densidad de probabilidad, fX(x).

3. El modelo Varianza Gamma (VG)

El proceso VG fue concebido inicialmente por Madan y Seneta (1990), Madany Milne (1991). En sus inicios el proceso permitıa controlar la volatilidad yla curtosis. Posteriormente fue generalizado por Madan, Carr y Chang (1998)y por Carr y Madan (1999) quienes implementaron al modelo la metodologıade valuacion mediante transformada rapida de Fourier y pasaron de dos a tresparametros para ası controlar volatilidad, sesgo y curtosis presentes en la den-sidad de los rendimientos del subyacente.

El modelo VG es un buen ejemplo para ilustrar el potencial de lametodologıa de valuacion mediante transformada de Fourier ya que se tratade un modelo en el cual la funcion de densidad es complicada mientras que lafuncion caracterıstica asociada es mucho mas simple. Se trata de un procesode salto puro con incrementos estacionarios e independientes en el cual se tieneuna cantidad infinita de saltos pequenos y una cantidad finita de saltos grandes.

Consideremos un movimiento Browniano con tendencia θ y volatilidad σ, elcual se evalua aleatoriamente en el tiempo y supongamos que dicha aleatoriedaden el tiempo sigue un proceso gamma. Al proceso anterior se le conoce comoproceso Varianza Gamma (VG) y se puede definir como un proceso estocasticoXt; 0 <= t <= T creado al evaluar un movimiento Browniano con tendenciaaleatoriamente en el tiempo (subordinar el tiempo) mediante un subordinador0-estable (subordinador gamma) con tasa media unitaria.

X(t; ϑ, θ, σ) = Bt(γ(t; 1, ϑ); θ, σ). (8)

donde


Bt(γ(t; 1, ϑ); θ, σ) = θ(γt) + σW (γt), (9)

donde W (t) es un movimiento Browniano estandar. El proceso gamma,γ(t;µ, ϑ), con tasa media µ y tasa de cambio ϑ, es un proceso con incrementosindependientes gamma sobre intervalos de tiempo que no se traslapan, (t, t+h).La distribucion de los incrementos gamma g = γ(t + h;µ, ϑ)− γ(t;µ, ϑ) estaradada por la funcion de densidad gamma con media µh y varianza ϑh

fh(g) =

(µ

ϑ

)µ2h

ϑ gµ2h

ϑ−1e(−

µ

ϑg)

Γ(µ2hϑ

), g > 0, (10)

donde Γ(x) es la funcion gamma. Como ya se menciono, el proceso VG,X(t; σ, θ, ϑ), se puede definir en terminos del movimiento Browniano con ten-dencia Bt(t; θ, σ) y un proceso gamma con tasa media unitaria γ(t; 1, ϑ). Elproceso VG se obtiene evaluando un movimiento Browniano en un tiempo dadopor un proceso gamma. De esta manera se obtienen tres parametros que son lavolatilidad del movimiento Browniano σ la tasa de cambio del proceso gammaϑ y la tendencia agregada al movimiento Browniano θ. Con esto se logra controlsobre el sesgo y curtosis mediante θ y ϑ respectivamente adicionales al de lavolatilidad. El proceso VG se define como un proceso de Levy de salto purocon una tasa de arribo de saltos infinita donde se tiene una cantidad infinita desaltos pequenos y una cantidad finita de saltos grandes.

Madan, Carr y Chang (1998) expresan la densidad al tiempo t del procesoVG condicional en que se de el cambio en el tiempo g como una funcion de den-sidad normal. Luego sugieren que la densidad no condicional se puede obtenerintegrando g y utilizando la ecuacion (10), la distribucion de los incrementosgamma. Con esto obtienen la densidad del proceso VG,fX(t)(X), como sigue:

fX(t)(X) =

∫∞

0

1

σ√

2πgexp

(−(X − θg)

2

2σ2g

)g

tϑ−1exp(−g

ϑ )

ϑtϑ Γ( t

ϑ )dg. (11)

Al evaluar la funcion caracterıstica asociada a la funcion de densidad delproceso varianza gamma se obtiene que2

φX(t)(ω) =

(1

1 − iθϑω + (σ2ϑ/2)ω2

) tϑ

. (12)

Condicional en el cambio gamma en el tiempo, g, el proceso VG, X(t), sedistribuye como una variable normal con media θg y varianza σ

√g, por lo que

se puede escribir que

X(t) = θg + σ√gξ. (13)

donde ξ es una variable normal estandar independiente de la variable aleatoriag y con media t y varianza ϑt. Al calcular valores esperados tenemos que

2 Para un desarrollo mas detallado sobre el calculo de la funcion de densidad y de lafuncion caracterıstica se pueden ver los trabajos de Madan y Seneta (1990), Madan y Milne

(1991), Madan, Carr y Chang (1998) o bien el de Kazuhisa Matsuda (1994)


E[X(t)] = θt. (14)

Luego, para x = X(t) − E[X(t)] se puede escribir

x = θ(g − t) + σ√gξ,

por lo que

E[x2] = E[(X(t) −E[X(t)])2] = θ2ϑt+ σ2t. (15)

Calculando el tercer y cuarto momentos con respecto a la media, x3 y x4,tenemos que

E[x3] = (2θ3ϑ2 + 3σ2θϑ)t, (16)

y

E[x4] = (3σ4ϑ+ 12σ2θ2ϑ2 + 6θ4ϑ3)t+ (3σ4 + 6σ2θ2ϑ+ 3θ4ϑ2)t2. (17)

Evaluando el sesgo mediante las ecuaciones (15) y (16):

sesgo =(2θ3ϑ2 + 3σ2θϑ)t√

(θ2ϑ+ σ2)3t3

(18)

se observa que cuando θ = 0 el sesgo es igual a cero y que el signo de θ tambiendetermina el signo del sesgo (dado que los otros parametros son mayores oiguales a cero), por lo que el parametro θ es el que determina si existe o no unsesgo y su signo.

Suponiendo que no hay sesgo (θ = 0) y haciendo t = 1, al dividir el cuartomomento central entre el cuadrado del segundo momento central se evalua lacurtosis como

curtosis =3σ4ϑ+ 3σ4

σ4= 3(1 + ϑ), (19)

por lo que ϑ es el parametro que define el grado de exceso de la curtosis presenteen la densidad del proceso.

3.1 Modelo de valuacion VG mediante procesos de Levy

Para el modelo VG tenemos un proceso exponencial de Levy en el cual sereemplaza el movimiento Browniano estandar por un proceso VG definido enel espacio de probabilidad (Ω,F , P ) y se modifica el termino de tendencia enel proceso de Levy, esto es

St = S0exp(mt+X(t; ; σ, θ, ϑ) + ηt) (20)

η =1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

),


y m es la tasa de rendimiento promedio del activo subyacente bajo el espaciode probabilidad P . Asumiendo neutralidad al riesgo y encontrando una medida

de probabilidad equivalente neutral al riesgo, P ∼ P , es posible sustituir elrendimiento promedio esperado por la tasa libre de riesgo, por lo que podemosreescribir (20) como

St = S0exp(rt+X(t; ; σ, θ, ϑ) + ηt), (21)

con

η =1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

).

Expresando la densidad al tiempo t del logaritmo del precio relativoz = ln(St

S0), condicional en que se de el cambio en el tiempo g, como una funcion

de densidad normal, la densidad no condicional se puede obtener integrando gpara obtener la densidad del proceso z . Tras un buen numero de tediosas ma-nipulaciones algebraicas Madan, Carr y Chang obtienen la funcion de densidadde z = ln(St

S0) cuando los precios siguen la dinamica de la ecuacion (21) como

h(z) =2exp( θx

σ2 )

σϑtϑ

√2πΓ( t

ϑ)

(x2

2σ2

ϑ + θ2

) t2ϑ

−1

4

K tϑ−

1

2

(1

σ2

√x2

(2σ2

ϑ+ θ2

)), (22)

donde K es una funcion de Bessel modificada de segundo tipo y de ordenh = t

ϑ− 1

2con

x = z −mt − t

ϑln

(1 − θϑ− σ2ϑ

2

)t. (23)

Sabemos que el precio de una opcion call europea para un strike K y convencimiento en t se puede escribir como

C(K, t) = e−rtE[max(St −K, 0)]. (24)

Madan, Carr y Chang (1998) evaluan la ecuacion (24) basandose en elprocedimiento utilizado por Madan y Milne (1991)3 y realizando una buenacantidad de cambio de variables encuentran una forma cerrada de valuacionpara calcular el precio de la opcion4:

C(K, t) = S0Ψ

(d

√1 − c1ϑ

, (α+ s)

√ϑ

1 − c1,t

ϑ

)

3 La evaluacion de (24) se lleva a cabo condicional en que exista el cambio aleatorio en

el tiempo g, el cual tiene una distribucion gamma independiente. Condicional en g, X(t)se distribuye normalmente y el valor de la opcion estara dado por una formula tipo B-S. Elprecio de la opcion para el modelo VG se obtiene entonces integrando esta formula sobre gcon respecto a la densidad gamma.

4 Ver “Demostracion de Teorema 2”en apendice de Madan, Carr y Chang (1998).


−Ke−rtΨ

(d

√1 − c2ϑ

, αs

√ϑ

1 − c2,t

ϑ

)(25)

donde Ψ esta definida en terminos de una funcion de Bessel modificada desegundo tipo y de una funcion hipergeometrica de dos variables5 y cuya formageneral es la siguiente:

Ψ(a, b, γ) =

∫∞

0

N

(a√u

+ b√u

)uγ−1e−u

Γ(γ)du, (26)

y donde

d =1

s

[ln

(S0

K

)+ rt+

t

ϑln

(1 − c11 − c2

)], (27)

c1 =ϑ(α+ s)

2

2, (28)

c2 =ϑα2

2, (29)

α = ζs, (30)

ζ = − θ

σ2(31)

y

s =σ√

1 + ( θσ )

2(ϑ

2 ). (32)

La aplicacion de la forma cerrada del modelo VG no es nada simple y porlo mismo no se hace dicha aplicacion en este trabajo de investigacion. Paraimplementar la metodologıa de transformada de Fourier en el calculo del pre-cio de una opcion cuando el subyacente sigue un proceso VG necesitamos lafuncion caracterıstica del logaritmo del precio del activo lnSt. A partir de laecuacion (21) podemos establecer la dinamica del logaritmo del precio del activosubyacente como

lnSt = lnS0+(rt+X(t; σ, θ, ϑ) + ηt), (33)

con

η =1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

).

Asimismo, sabemos que un proceso VG, xt, tiene una funcion de densidadigual a (22), por lo que en este caso podemos reescribir (33) en terminos delproceso VG como

5 Ver anexo, ecuacion (A11), de Madan Carr y Chang (1998).


xt = lnSt −[lnS0 + rt+

1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

)t

]. (34)

Entonces podemos establecer la densidad neutral al riesgo del logaritmodel precio del activo subyacente para el modelo VG de la siguiente manera

h(lnSt) =2exp( θx

σ2 )

σϑtϑ

√2πΓ( t

ϑ )

(x2

2σ2

ϑ + θ2

) t2ϑ

−1

4

K tϑ−

1

2

(1

σ2

√

x2

(2σ2

ϑ+ θ2

))(35)

con

xt = lnSt −[lnS0 + rt+

1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

)t

]. (36)

El calculo de la transformada de Fourier de la funcion de densidad (35) re-sulta complicado dado que la funcion de densidad incluye una funcion de Besselmodificada de segundo tipo. Matsuda (2004) infiere la funcion caracterısticamediante una logica muy simple mostrando que la funcion caracterıstica de unproceso que sigue un movimiento Browniano con tendencia se puede obtenermediante un simple producto entre la funcion caracterıstica de un proceso quesigue un movimiento Browniano estandar multiplicativo y e(iAtω). Utilizando lamisma logica para el modelo VG se tiene que la funcion caracterıstica asociadaa la funcion de densidad del proceso varianza gamma esta dada por la ecuacion(12)

φX(t)(ω) =

(1

1 − iθϑω + (σ2ϑ/2)ω2

) tϑ

.

Entonces, partiendo de la dinamica neutral al riesgo del logaritmo del preciodel activo subyacente para el modelo VG, y tomando el termino de tendencia

At = lnS0 + [r+ 1ϑ ln(1 − θϑ− σ2ϑ

2 )]t Matsuda (2004) establece que la funcioncaracterıstica asociada al modelo VG al tiempo t = T y con lnSt = st estadada por

φT (ω) = exp

[iω

lnS0 +

[r +

1

ϑln

(1 − θϑ− σ2ϑ

2

)]t+

]∗

(1

1 − iθϑω + (σ2ϑ/2)ω2

) tϑ

. (37)

Sustituyendo la ecuacion (37) en la ecuacion general de valuacionmediante transformada de Fourier6, tendremos la forma de valuacion asociadaal modelo VG:

6 Para ver a detalle el desarrollo de la ecuacion general de valuacion mediante transfor-mada de Fourier se pueden consultar los trabajos de Madan D.B., Carr P. y Chang E.C.(1998) The variance gamma process and option pricing, Matsuda, K. (2004) Introduction toOption Pricing with Fourier Transform: Option Pricing with Exponential Levy Models, obien Borak S., Detlefsen K. y Hrdle W. (2005) FFT based option pricing. En este trabajo se

asume que la ecuacion general de valuacion mediante transformada de Fourier es conocida.


CV G(T, k) =e−αk

2π

∫∞

−∞

e−iωk e−rT ϑT (ω − (α + 1)i)

α2 + α− ω2 + i(2α+ 1)ωdω, α > 0; (38)

donde

φT (ω) = exp

[iωlnS0 +

[r +

1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

)]t

]∗

(1

1 − iθϑω + (σ2ϑ/2)ω2

) tϑ

. (39)

3.2 Metodo de valuacion VG mediante transformada de Fourier.

Para implementar la metodologıa de valuacion utilizando transformada rapidade Fourier necesitamos la version discreta de las ecuaciones (38) y (39). Sim-plemente necesitamos adecuar la forma general de valuacion al modelo VG deMadan, Carr y Chang (1998), lo cual nuevamente resulta poco complicado yaque unicamente debemos sustituir la funcion caracterıstica asociada al modeloVG en la siguiente ecuacion:

c(T, kn) =e−αkn

π

N−1∑

j=0

wje−i∆ωjknψ(ωj)∆ω

=e−αkn

π

N−1∑

j=0

wje−i∆ωj(−∆kN

2+n∆k)ψ(ωj)∆ω

=e−αkn

π

N−1∑

j=0

wjei∆ωj ∆kN

2 e−i∆ωjn∆kψ(ωj)∆ω

=e−αkn

π

N−1∑

j=0

wjeijπe−ijn 2π

N ψ(ωj)∆ω

=e−αkn

π

N−1∑

j=0

e−ijn 2πN hj , (40)

con lo cual tenemos que

C(T, kn)V G =e−αkn

π

N−1∑

j=0

e−ijn 2πN hj , (41)


donde

hj = wjeijπψ(ωj)∆ω, (42)

ψ(ω) =e−rTϕ(ω − (α+ 1)i)

α2 + α− ω2 + i(2α + 1)ω′, (43)

φT (ω) = exp

[iω

lnS0 +

[r +

1

ϑln

(1 − θϑ − σ2ϑ

2

)]t

]∗

(1

1 − iθϑω + (σ2ϑ/2)ω2

) tϑ

(44)

y

= wj

12

1

para j = 0 y N − 1

otros casos

4. Metodologıa y analisis de resultados

El metodo de valuacion mencionado en los apartados anteriores se aplicaraa continuacion sobre el modelo Varianza-Gamma para valuar opciones sobreındices de acciones de tipo europeo. Para ello se llevo a cabo la recoleccionde informacion necesaria para nuestro fin. Nuestra base de datos consta deinformacion historica de niveles de los ındices NASDAQ 100 (EU), S&P 500(EU), NIKKEI 225 (Japon), HANG SENG (Hong Kong), DAX (Alemania),CAC 40 (Francia) y FTSE 100 (Inglaterra) ası como de precios historicos deopciones sobre dichos ındices. Dicha informacion contiene niveles de los ındicespara el periodo de enero-1997 a agosto-2010.

Para la valuacion de las opciones se hizo la implementacion de las ecua-ciones (41), (42), (43) y (44) en Matlab. Se llevo a cabo la valuacion dediversas opciones tomando un periodo restante para el vencimiento de en-tre 665 y 2 dıas y se hizo una agrupacion entre opciones que se encontrabanfuera del dinero”(Out-of-the-money), “en el dinero”(At-the-money) y “dentrodel dinero”(In-the-money).

Para la estimacion de los parametros se utilizo el metodo de optimacion de-sarrollado por Nelder-Mead (1965), el cual es un algoritmo simplex que intentaminimizar una funcion no-lineal de n variables f(x) con x ∈ Rn mediante lacomparacion de sus propios valores sin hacer uso de ningun tipo de derivado. Aeste tipo de metodos se les conoce como metodos simplex de busqueda directa.7

7 Ver trabajo de Nelder-Mead(1965) “A simplex algorithm for function minimization”,

Computer Journal 7.


En la Tabla 1 se muestran los parametros estimados para cada ındice:

Tabla 1. Parametros estimados

Se observa que en todos los casos la distribucion de los rendimientoslogarıtmicos esta ligeramente sesgada a la derecha (sesgo negativo) y se presentacierto grado de curtosis.

Con los parametros estimados se calculo el precio de la opcion medianteel modelo Varianza-Gamma con transformada de Fourier (VGTF) para luegocomparar la valuacion contra la forma cerrada de Black-Scholes. Se utilizo lamisma volatilidad en ambos calculos para hacer comparables los resultados.Dicha volatilidad se estimo con la informacion de los rendimientos historicosde cada ndice y fue anualizada en base a 260 das. Se hizo la inclusion deprecios observados en el mercado (Bloomberg) simplemente como informacionadicional ya que no es posible hacer una comparacion real de los precios demercado contra los precios calculados en este trabajo debido a que los precioscalculados suponen que no hay tasa de dividendos mientras que los preciosobservados en el mercado incluyen este factor en su precio. Las opciones quese valuaron fueron las siguientes:



En general se observo que ambos metodos de valuacion entregan preciosmas altos que los precios observados en el mercado. Esto era de suponerse yse debe que los precios calculados asumen que no hay tasas de dividendos. Elmercado incorpora dicho factor en su precio, razon por la cual es entendible quelos precios calculados se encuentren por arriba del mercado. Aunque no pode-mos hacer una comparacion formal contra los precios del mercado por motivoscomo el mencionado anteriormente, es interesante observar que el precio calcu-lado con el modelo Varianza-Gamma esta por debajo del precio calculado conla forma cerrada de Black-Scholes y por ende se acerca mas al precio observadoen el mercado. Esto nos podrıa indicar como el mercado esta incorporandode alguna manera informacion historica en su precio (efectos de sesgo y colaspesadas) que el modelo VG esta reflejando en su valuacion y que Black-Scholesno lo esta haciendo. En el caso del ındice Hang Seng se observo una volatili-dad muy alta al estimar sus parametros y esto al parecer no corresponde conla percepcion del mercado, lo que provoco grandes diferencias entre los precioscalculados y los precios observados en el mercado.


Tabla 2. Media de los errores relativos absolutos contralos precios de mercado (unicamente informativo)

5. Conclusiones

Mediante este trabajo de investigacion se logro implementar una nuevametodologıa de valuacion de opciones mediante la aplicacion de los conceptosde procesos de Levy y transformada de Fourier. A partir del trabajo de Madany Seneta (1990), Madan y Milne (1991) y Madan, Carr y Chang (1998), seobtuvo una forma general para evaluar el precio de una opcion europea par-tiendo del hecho de que para toda densidad de probabilidad existe una funcioncaracterıstica asociada que es unica. Mediante la implementacion de la teorıapropuesta, se logro aplicar esta metodologıa al modelo Varianza-Gamma.

Los resultados obtenidos fueron alentadores y sugieren que es posible valuaropciones mediante modelos que parten de la funcion caracterıstica de la densi-dad de probabilidad de la dinamica del subyacente y que esta teorıa nos puedeayudar a crear modelos de valuacion mas sencillos en casos donde la funcionde densidad de probabilidad sea demasiado compleja como para llegar a unaforma cerrada de valuacion. Un ejemplo claro es el modelo Varianza-Gamma,el cual requiere de un desarrollo matematico extenso para llegar a una “formade valuacion”un tanto complicada y cuya aplicacion no es del todo sencilla. Encambio, partiendo de la funcion caracterıstica, se obtuvo una forma devaluacion sencilla y practica. A partir de las pruebas realizadas, se comproboque el modelo VG resulta de mayor utilidad para valuar opciones sobre ındicesde tipo europeo, entregando mejores resultados que modelos mas sencillos comoBlack-Scholes. Esto no es sorpresa, ya que este modelo nos ofrece el control so-bre parametros de sesgo y curtosis, con los cuales se puede modelar de mejormanera el comportamiento del mercado.

Es necesaria una mayor investigacion en este campo y se propone realizarun ejercicio similar para este tipo de modelos y para algunos mas complejosestimando los parametros con informacion de mercado. Si se logra el desarrollode algoritmos que nos permitan calibrar de manera optima los parametros decada modelo y se logra desarrollar un software que no requiera de una capaci-dad de computo muy elevada podrıamos tener en nuestras manos poderosasherramientas de valuacion de instrumentos derivados.


6. ReferenciasNelder, J.A., & Meadf, R. A simplex method for function minimization, pp.

308-313.Lam, K., Chang, E., & Lee, M.C. (2001). An Empirical Test of the Variance

Gamma Option Pricing Model, pp. 1-39.Carr, P., Geman, H., Madan, D.B., & Yor, M. (2002). The Fine Structure of

Asset Returns: An Empirical Investigation. Journal of Business, 75, no.2, pp. 305-332.

Tan, S.M. Chapter 9 The Discrete Fourier transform. Linear Systems. TheUniversity of Auckland, pp. 1-8.

Lagarias, J., Reeds, J., Wright, M., & Wright, P. (1998). ConvergenceProperties of the Nelder (Mead Simplex Method in Low Dimensions). 9,no. 1, pp. 112-147.

Cooley, J. W., & Tukey, J. W. (1964). An Algorithm for the Machine Calcu-lation of Complex Fourier Series, pp. 297-301.

Gilliam, D.S. Mathematics 5342 Discrete Fourier Transform. Texas Tech Uni-versity, pp. 1-16.

Black, F. and Scholes, M., 1973, “The Pricing of Options and Corporate Lia-bilities,”Journal of Political Economy 3.

Carr, P., & Madan, D. B. (2000). Factor Models for Option Pricing, pp. 2-18.Borak, S., Detlefsen, k., & Hrdle, W. (2005). FFT Based Option Pricing. SFB

649 Economic Risk, pp. 1-18.Brigham, E. O., 1988, The Fast Fourier Transform and Its Applications, Pren-

tice Hall.Applebaum, D. (2005). Lectures on Levy Processes, Stochastic Calculus and

Financial Applications, Ovronnaz September 2005, pp. 1-30.Matsuda, K. (2004). Introduction to Option Pricing with Fourier Transform:

Option Pricing with Exponential Levy Models. Department of EconomicsThe Graduate Center, The City University of New York, pp. 1-241.

Leon, A., & Serna, G. (2004). Modelos alternativos de valoracion de opcionessobre acciones: una aplicacion al mercado espanol. Cuadernos Economicosde ICE N. 69, pp. 33-49.

Venegas, F. (2001). Opciones, Cobertura y procesos de Difusion con Saltos:Una Aplicacion a los Tıtulos de GCARSO. Oxford University, pp. 203-226.

Han, Z. (2007). Option Pricing with The Fourier Transform Method, Basedon The S tochastic Volatility Model. Computational Engineering De-partment of Computer Science Friedrich Alexander University of Erlangen-Nuremberg. Germany, pp. 1-53.

Carr, P., Madan, D. B., 1998, “Option Valuation Using the Fast Fourier Trans-form,”Journal of Computational Finance 2, 61-73.

Madan, D. B., Carr, P., and Chang, E., 1998, “The Variance Gamma Processand Option Pricing,”European Finance Review 2, 79-105. Carr, P., & Wu,L. (2004). Time-changed Levy processes and option pricing. Journal ofFinancial Economics, 71, pp. 113141.

Calvo. (2000). Transformada de Fourier. Matematica 4, pp. 1-13.Fiorani, F. The Variance-Gamma Process for Option Pricing, pp. 1-60.



Valuacion de Mercado delseguro de desempleo

Fausto Humberto Membrillo Hernandez∗

Marco Antonio Ruız Olvera ∗∗

Recibido 21 de febrero de 2011. Aceptado 11 de mayo de 2011

Resumen

El presente documento de investigacion propone una metodologıa alterna parala valuacion de un seguro de desempleo con cobertura renovable utilizando lametodologıa de credit default swaps dentro del marco teorico de los modelosde forma reducida aplicados en el riesgo credito. La metodologia propuestaincorpora una cadena de Markov con intensidad variable acorde al estado dela naturaleza que se este modelando. Asimismo, se demuestra que un modeloneutral al riesgo puede ser utilizado en el calculo de una prima justa para estetipo de seguro.

Abstract

A new aproach is provided for the market valuation of credit insurance thatis based on reduced- form methods for the pricing of income securities underdefault risk. We suggest how a risk neutral valuation model with a Markovchain embeded using interchangeable probabilities to emulate the state ofthe economy can be applied, both to the calculation of a fair market depositinsurance premium and to the valuation of long-term claims against the insurer.

Clasificacion JEL: G12, G14, G23

Palabras clave: Valuacion, Mercados, Seguros, Desempleo

1. Introduccion

Este documento de investigacion propone una metodologıa alterna parala valuacion de un seguro de desempleo con cobertura renovable, utilizandomodelos de forma reducida los cuales, incorporan los metodos de valuacionpara credit default swaps y cadenas de Markov con intensidad variable. Elcalculo de la probabilidad del desempleo y del empleo se realizara de formaempırica para determinar el estado de inicio de la cadena de Markov, y parasimulaciones de largo plazo las variables macroeconomicas mas significativaspara el comportamiento laboral y el de los ingresos de los asegurados seranpropuestas para futuros lıneas de investigacion. Por otro lado, para la valuacionde la exposicion al riesgo por el pago de dicho seguro se utilizara un modelo

∗ Infonavit, Contralor Interno, [email protected]∗∗ Instituto Tecnologico de Estudios Superiores de Monterrey, [email protected]

Valuacion de Mercado del seguro de desempleo 35

de tasas afın, el cual permitira correlacionar el valor de las obligaciones de unaaseguradora con los ciclos economicos prevalecientes.

El modelo neutral al riesgo propuesto para la valuacion del seguro dedesempleo debera ser capaz de dar como resultado una prima justa de mercadoque refleje los ciclos economicos a traves del tiempo.

Seguro de Desempleo

El seguro de desempleo para creditos financieros tiene como principal objetivo,otorgar una cobertura temporal de los pagos de periodicos de un credito, quepudieran ser interrumpidos por riesgo de desempleo inesperado por parte delacreditado. El maximo numero de pagos por perıodo de cobertura del segurotıpicamente se establece en seis.

Los supuestos siguientes son importantes para la administracion del segurode desempleo. La cobertura puede ser ejercida de manera consecutiva o endiferentes perıodos de desempleo ocurridos durante el perıodo de proteccion.Para cada evento de desempleo sera necesario cumplir el perıodo de espera. Elcual, generalmente se define como un periodo para verificar que el acreditadohaya sufrido un desempleo involuntario.

Por otro lado, el seguro otorga a la Institucion Financiera una cobertura,contra el riesgo de que los acreditados desempleados incumplan la obligacion depago de las amortizaciones mensuales del credito que la Institucion Financierales otorgo.

Como cualquier seguro, es un contrato sin dolo, por lo anterior, cuandotermine su relacion laboral de forma voluntaria, cuando antes del otorgamientodel credito, sea del conocimiento del acreditado que se extinguira su relacionlaboral como consecuencia de programas de recorte de personal o de retirosanticipados por parte del patron no tendra derecho a la cobertura.

Por lo anterior, podemos observar que la aseguradora al momento de otor-gar sus seguros por desempleo, esta acrecentando su portafolio de activos ypasivos contingentes de mediano plazo en la misma proporcion. Esto debido aque los pasivos contingentes vistos como la cobertura por desempleo, pudieranse ejercidos en cualquier momento dada una situacion de desempleo que afec-tara a sus asegurados. De la misma forma los activos contingentes significan unflujo de efectivo para la aseguradora que esta dado por la primas pagadas porlos asegurados, siendo que dichas primas estan condicionadas a la preservaciondel empleo por parte de los acreditados.

Por otro lado, cuando un asegurado pierde su empleo la companıa asegu-radora deja de percibir las primas de forma temporal y mantiene una salidaimportante de flujos temporales de efectivo. Por lo antes mencionado pode-mos apreciar que el riesgo intertemporal al que se enfrenta la aseguradora estacompuesto por multiples facetas, los riesgos financieros medidos por laadministracion los activos y los pasivos contingentes los cuales son influidos porla tasa libre de riesgo, la Macro-Economica dada por el comportamiento delPIB, la tasa de desempleo junto con la del empleo y la actuarial. La ultimadada por los riesgos de invalidez y mortandad que pudieran intervenir con elpago de la prima o el ejercicio de la cobertura.

Todo lo anterior, nos obliga a establecer un planteamiento teorico quederive en un modelo de valuacion capaz de incorporar, sintetizar y modelar las


distintas facetas en las cuales se encuentra inmerso el seguro de desempleo paracreditos financieros.

Para comenzar con dicha tarea en la siguiente seccion comenzaremos ahablar de un modelo simplificado del fenomeno de estudio. Partiremos de lostrabajos previamente realizados en finanzas en materia de las obligaciones con-tingentes, para posteriormente adicionar el marco teorico relacionado con losmodelos afines de tasas de interes junto con la valuacion de activos o pasivoscontingentes y por ultimo estudiaremos la utilidad de modelar la probabilidadde empleo y desempleo con cadenas de Markov para obtener una prima justaque refleje los ciclos economicos dentro de los cuales se encuentra inmerso elseguro de desempleo para creditos financieros.

2. Valuacion de obligaciones contingentes para un solo periodo

Con el objetivo de contar con una forma sencilla de obtener una prima justade mercado para la valuacion del seguro de desempleo se definira un primermodelo basico.

Los principales fundamentos para la construccion de un marco neutral alriesgo estan basados en la ausencia de fricciones de mercado tales como comi-siones u otros costos ligados a este tipo de seguros junto con la ausencia deoportunidades de arbitraje. En la ausencia de dichas fricciones de mercado,existen probabilidades neutrales al riesgo. Dichas probabilidades permiten es-tablecer que la valuacion de un flujo incierto C de una obligacion contingenteen un tiempo t, tiene un valor presente igual a valor descontado de su flujoesperado.

z(t)E∗(C).

Donde z(t) es el factor de descuento en t y E∗ denota la esperanza bajoprobabilidades neutrales al riesgo. El enfoque general de la valuacion de obliga-ciones contingentes fue planteado inicialmente por Cox y Ross (1976) y Harrisony Kreps (1979).

Para periodos independientes de tiempo la existencia de las probabilidadesneutrales al riesgo es mostrada por Dalang et al. (1990).

Por simplicidad tomamos los periodos independientes de corto plazo t(mensuales por ejemplo) y que los pagos de la aseguradora son al final de estosmismos periodos. La exposicion al riesgo por el pago del seguro es C. Dondeq(t) = E∗() es la probabilidad neutral al riesgo de desempleo (Es decir, queesta empleado en t − 1 y paga en t el siniestro por desempleo).

Por lo anterior, la prima justa para este tipo de seguro en el modelo sim-plificado serıa la siguiente:

P = q(t)z(t)(1).

Con q(t) se refleja la prima de riesgo que los accionistas de una aseguradorademandarıan por asumir el riesgo del pago del seguro de desempleo y perdidaspotenciales dado el desempleo. La incertidumbre del tiempo en el cual se dael pago del seguro tiene una prima de riesgo positiva dado que las condicionesmacroeconomicas tienen una correlacion positiva con el desempleo.

Con la finalidad de ampliar el modelo anterior definiremos el marco teoricode los procesos afines en el mundo de las finanzas y se establecera una definicion


general de los mismos, que nos sirva para la modelacion de las tasas de interesy las condiciones macroeconomicas a traves del tiempo. Sea (Ω, Ft, F, P) unespacio de probabilidad.

La teorıa para la valuacion de activos nos dice que en un tiempo t el valorde un activo (pasivo) contingente V (t) cuyo pago sera recibido en T > t con unafuncion G(XT ) de un proceso subyacente del precio, esta dada por la esperanzacondicional.

V (t) = B(t)EQB [B(t)−1G(XT )|Ft] 2

Donde B(t) es la numeraria utilizada para calcular el valor presente, QB esla medida de probabilidad asociada con la numeraria y EQB [ ] es la esperanzabajo la medida de probabilidad.

El mayor problema con esta lınea de razonamiento es el calculo de la es-peranza.

Ahondando en los componentes de este marco teorico podemos decir losiguiente:

∗ B(t) Son los precios de los bonos cupon cero libres de riesgo asociadoscon la tasa libre de riesgo R(t, Xt), tal que R esta es considerada una funcionafın de X(t);

∗ X(t) es un proceso afın con saltos bajo la medida de probabilidadQB ≡ Q

∗La funcion de pago G del activo (pasivo) contingente es de la formaG(Xt) = (υ0 + υ1)e

µXt donde υ0 es un escalar (real o complejo), υ1 y µ sonvectores columna n-dimensionales (reales o complejos).

El valor del activo (pasivo) contingente puede ser expresado como:

V (t) = EQ

[

e−

∫

T

tR(s,Xs) ds

(υ0 + υ1) eµ·XT | Ft

]

3

3. Modelo Teorico de forma reducida para la valuacion del Segurode Desempleo

Tomando en consideracion el paradigma de Harrison y Pliska (1981), se deter-mina un espacio de probabilidad con su filtracion correspondiente. Tomando enconsideracion un proceso de tasa de corto plazo, se asume que se puede invertirun peso en un instrumento libre de riesgo en un cierto tiempo s y reinvertir

sus pagos de interes para tener un valor de mercado de e

∫

T

tr(u)du

pesos en untiempo futuro t.

Asumiendo mercados sin fricciones y libres de arbitraje, las probabili-dades neutrales al riesgo pueden seleccionarse de manera que mantengan unapropiedad fundamental, la cual, nos dice que todas la obligaciones con un pagovariable Y en un tiempo t, tienen un valor de mercado en s menor a t igual a

Es∗

(

e

∫

T

tr(u)du

Y

)

donde Es∗ denota la esperanza condicional en el tiempo s

dada toda la informacion del mercado relacionada a las probabilidades neutralesal riesgo.


Suponiendo la existencia de una aseguradora que administra el seguro dedesempleo con cobertura renovable que quisiera saber, cual serıa la prima justaque debiera cobrar por este nuevo seguro, esta podrıa tener en cuenta el siguientemarco teorico.

Se asume un proceso de estados multidimensional X que determinan lastasas de interes, las intensidades neutrales al riesgo y el cambio en los nivelesdel PIB. Se asume que bajo las probabilidades neutrales al riesgo que X es unproceso afın. Lo anterior implica que el logaritmo de la funcion caracterısticade X(t) dado X(s) es afın, con respecto de X(s) (e.g., Duffie et al., 2000).

Por otro lado, cada una de las componentes del proceso afın esta definidade la siguiente manera:

Sea X(t) ∈ D ⊂ R un proceso afın, el cual, es un proceso de Markov quese sigue la siguiente dinamica.

dXt = µ(Xt)dt + σ(Xt)dWt 4

∗El vector de tendencia µ(Xt) : D → Rn es una funcion afın de X;

∗La matriz de covarianza σ(Xt)σT (Xt) es una funcion afın de X;

∗ Wt Es un movimiento browniano (Ft) n-dimensional;

Los procesos afines, son procesos cuya tendencia, matriz de varianza-cova-rianza y saltos (en su caso) son afines.

Ejemplos de procesos afines de una dimension incluyen:

∗El proceso de Ornstein-Ulhenbeck (Vacisek):

dXt = κ(x − Xt)dt + σdW(t) 5

∗El proceso de Feller (Cox Ingersoll-Ross):

dXt = κ(x − Xt)dt + σ√

(Xt)dW(t) 6

∗El proceso definido como el logaritmo de un Movimiento GeometricoBrowniano, donde se considera que la ecuacion diferencial estocastica de S(t)es:

dSt = µStdt + σStdWt 7

El proceso Y (t) = ln(St) se considera como un proceso afın con unaecuacion diferencial estocastica:

dYt =

(

µ − 1

2σ2

)

dt + σdWt 8

A la cual, se le agrega un proceso de saltos como se muestra en el siguientecaso.

Con la finalidad de ampliar la introduccion de los modelos afines con-sideraremos lo siguiente, sea X(t) ∈ D ⊂ Rn un proceso afın, el cual, es unproceso de Markov que se sigue la siguiente dinamica.

dXt = µ(Xt)dt + σ(Xt)dWt + dZt 9


∗El vector de tendencia µ(Xt) : D → Rn es una funcion afın de X;

∗La matriz de covarianza σ(Xt)σT (Xt) es una funcion afın de X;

∗Wt Es un movimiento browniano (Ft) n-dimensional;

∗Zt Es un proceso de saltos, tal que este tiene asignado una distribucionprobabilidad υ en Rn una intensidad (λX(t)) : t ≥ 0 para alguna funcion afınλ : D → [0,∞].

El primer esfuerzo formal para utilizar los procesos afines en la teorıade valuacion de activos (APT) fue realizado por Duffie y Kan (1996), estosmostraron que si la tasa libre de riesgo de corto plazo r(t) es una funcion afınde un proceso de estados que tiene una difusion afın con saltos X(t),

rt = ρ0 + ρ1Xt 10

Entonces el valor de un bono cupon cero en el tiempo t cuyo plazo devencimiento esta dado por T es V (t),

V (t) = EQ

[

e−

∫

T

tρ0+ρ1·Xsds | Ft

]

= eα(t)+β(t)·X(t) 11

Donde α(t) y β(t) resuelven las ecuaciones diferenciales ordinarias.

4. Modelacion de las Probabilidades de Incumplimiento y los CiclosEconomicos

Con la finalidad de modelar en el largo plazo las probabilidades de Desempleo yRecuperacion del Empleo como funciones afines discretas que sean congruentescon el proceso afın de la tasa de corto plazo y que sean capaces de modelarlos ciclos economicos, proponemos inicialmente un modelo basado en una ca-dena de Markov de cuatro estados. El modelo propuesto intenta modelar deforma empırica el comportamiento de las probabilidades de desempleo, recu-peracion del empleo, con economıa en crecimiento y probabilidades de desem-pleo, recuperacion del empleo, con economıa en recesion. Utilizando un modeloeconometrico en el cual, las probabilidades dependen de una cadena de Markovde cuatro estados. Los estados implıcitos corresponden a una desaceleracioneconomica en la cual, la probabilidad de desempleo es alta y la tasa de recu-peracion es baja y a un crecimiento economico en el cual, lo inverso se cumple.Por lo anterior, podemos interpretar la cadena de Markov para un periodo comoun ciclo economico.

Para cada periodo, el estado de empleo-desempleo condicionado a los esta-dos de crecimiento y recesion de la economıa es determinado por la evolucionde la cadena de Markov de cuatro estados. Esto significa que la dinamica delempleo dado el ciclo economico es parametrizado utilizando probabilidades detransicion, es decir, implıcitamente la economıa puede estar en el estado cre-ciente o en estado decreciente.

Para las proyecciones de largo plazo, la forma funcional de la probabilidadde desempleo y de reempleo es descrita a continuacion. La forma funcional de laprobabilidad sera condicional al estado inicial de la economıa y estara definidapor una intensidad (hazard rate) discreta. Esta forma funcional servira paraestablecer la matriz inicial de forma que este calibrada al estado actual de laeconomıa y sirva como estado inicial a la matriz de transicion.


En particular para realizar el calculo en tiempo discreto del valor total demercado de las obligaciones por el pago por los siniestros de la aseguradora yde la prima justa de mercado cobrada a los beneficiarios del seguro en periodosde tiempo independientes [0, T ] se puede construir una cadena de Markov de lasiguiente manera:

Como primer paso se revisan las propiedades que debe cumplir un procesoestocastico para ser una Cadena de Markov de tiempo continuo.

∗Los estados deben formar un conjunto numerable (En caso contrario pode-mos tener un proceso de Markov).

∗Si X(t) es el evento En el instante t el sistema se encuentra en estado ise debe cumplir:

P X(tn) = i|X(t1) = j, X(t2) = k, ... = P (X(tn) = i|X(t1) = j) 12

Para cualquier tn > t1 > t2 > t3 ...

Las probabilidades de transicion se definen de la siguiente manera:

pij(s, t) = P X(t) = j|X(s) = i 13

Definamos los posibles estados de la economıa en cada periodo de la cadenade Markov:

Ec economıa buenaEc∗ economıa mala

E∗ = Ec, Ec∗Ahora definiremos las probabilidades de transicion asociadas a los estados:

Las probabilidades de transicion para el cambio de estado de la economıa semuestran abajo:

(

1 − p pq 1 − q

)

.

Las probabilidades antes mencionadas seran calibradas inicialmente conlos historicos de la economıa en recesion. Es decir, si se tienen dos trimestresconsecutivos o mas con resultados negativos en el PIB, se podra decir que laeconomıa habra pasado de buena a una economıa mala. Por otro lado si setiene un trimestre con resultados positivos despues de uno negativo, se podradecir que la economıa habra pasado de mala a una economıa buena.

Por todo lo antes mencionado, podemos definir las probabilidades de tran-sicion condicionadas a los estados de la economıa de la siguiente forma:

PEcEc = P (Xn+1 = Ec | Xn = Ec) = 1 − p

PEcEc∗ = P (Xn+1 = Ec∗ | Xn = Ec) = p

PEc∗Ec = P (Xn+1 = Ec | Xn = Ec∗) = q

PEc∗Ec∗ = P (Xn+1 = Ec∗ | Xn = Ec∗) = 1 − q


Por otro lado, comenzaremos definiendo los posibles estados del empleodependientes de la economıa en cada periodo de la cadena de Markov:

e empleado economıa buenad dempleado economıa buenae∗ empleado economıa malad∗ desempleado economıa mala

E = e, d, e∗, d∗Es importante mencionar que la economıa es el primer factor exogeno (Macro)que afecta nuestro modelo y por lo tanto nuestra definicion de las probabili-dades de transicion de empleo y desempleo. Es decir, el estado actual de laeconomıa determinara el nivel de empleo, desempleo y su recuperacion obser-vada para el siguiente trimestre o semestre a partir de la fecha de su medicion,dependiendo del sector de la economıa. Dicho de otra manera, los estados de laeconomıa y su transicion determinan las probabilidades de empleo, desempleoy su recuperacion para los periodos inmediatos de tiempo. Por ejemplo cuandola economıa tuviera un buen desempeno los niveles de empleo aumentarıan ylos niveles de desempleo disminuiran por lo tanto las probabilidades correspon-dientes seran distintas al caso donde la economıa tuviera un mal desempeno.Por todo lo antes mencionado, podemos definir las probabilidades de transicioncondicionadas a los estados de la economıa de la siguiente forma:

Pee = P (Xn+1 = e|Xn = e, Ec) = 1 − λ

Ped = P (Xn+1 = d|Xn = e, Ec) = λ

Pee∗ = P (Xn+1 = e∗|Xn = e, Ec) = 1 − λ

Ped∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = e, Ec) = λ

Pdd = P (Xn+1 = d|Xn = d, Ec) = ω

Pde = P (Xn+1 = e|Xn = d, Ec) = 1 − ω

Pdd∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = d, Ec) = ω

Pde∗ = P (Xn+1 = e∗|Xn = d, Ec) = 1 − ω

Pe∗e = P (Xn+1 = e|Xn = e∗, Ec∗) = 1 − λ∗

Pe∗d = P (Xn+1 = d|Xn = e∗, Ec∗) = λ∗

Pe∗e∗ = P (Xn+1 = e∗|Xn = e∗, Ec∗) = 1 − λ∗

Pe∗d∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = e∗, Ec∗) = λ∗

Pd∗d = P (Xn+1 = d|Xn = d∗, Ec∗) = ω∗

Pd∗e = P (Xn+1 = e|Xn = d∗, Ec∗) = 1 − ω∗


Pd∗d∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = d∗, Ec∗) = ω∗

Pd∗e∗ = P (Xn+1 = e∗|Xn = d∗, Ec∗) = 1 − ω∗

Ahora definiremos las matrices asociadas a los estados de la economıa:

Transicion de Estado Economıa Buena a Economıa Mala

(

1 − λ −λω 1 − ω

) (

1 − λ∗ −λ∗

ω∗ 1− ω∗

)

Economıa Buena = Ec Economıa Mala = Ec∗

Empleado en economıa buena = e Empleado en economıa mala = e∗

Desempleado en economıa buena = d Desempleado en economıa mala = d∗

Periodo Inicial Periodo Siguiente

En economıa buena como estado inicial definiremos la matriz de transicionpara el empleo, desempleo y la recuperacion del mismo como se muestra abajo:

(

1 − λ −λω 1 − ω

)

En economıa mala como estado inicial definiremos la matriz de transicionpara el empleo, desempleo y la recuperacion del mismo como se muestra abajo:

(

1 − λ∗ −λ∗

ω∗ 1 − ω∗

)

Ademas la economıa y su desempeno es una variable aleatoriaindependiente del comportamiento y dinamica del empleo, el desempleo y surecuperacion. Sin embargo, no obstante su independencia sus efectos en el mer-cado laboral son inminentes. Por lo tanto, al tener dos variables aleatoriasindependiente podemos incorporar sus efectos al modelo, utilizando una ma-triz de transicion que incorpore todos los estados de la economıa a traves desus probabilidades correspondientes y todos los estados de la dinamicalaboral con sus probabilidades condicionales al estado economico actual. Porlo anterior, podrıamos definir la matriz de transicion del empleo, desempleoy la recuperacion del mismo condicionado a todos los posibles estados de laeconomıa de la siguiente forma:

E. Buena E. Mala

E. Buena

(

1 − λ λω 1 − ω

)

(1 − p)

(

1 − λ λω 1 − ω

)

(p)

E. Mala

(

1 − λ∗ λ∗

ω∗ 1 − ω∗

)

(q)

(

1 − λ∗ λ∗

ω∗ 1 − ω∗

)

(1 − q)


Para el corto plazo las probabilidades podran ser calculadas de formaempırica para el caso particular de estudio.

Por otro lado, para proyecciones de largo plazo las probabilidadesantes mencionadas seran calibradas inicialmente con los historicos de la tasade desempleo, recuperacion del empleo, Cetes 28 dıas y la Tasa de crecimientomensual de PIB.

λ (t) =(

1 + exp (γ0 + γ1rt + γ2PIBt)−1

)

14

λ∗ (t) =(

1 + exp (γ0 + γ1r∗

t + γ2PIB∗

t )−1

)

Donde rt es la tasa libre de riesgo (Cetes) y PIBt representa la tasa decrecimiento del PIB en economıa buena. Por otro lado, r∗t es la tasa libre deriesgo estresada 2σ (Cetes) y PIB∗

t representa la tasa de crecimiento estresada(−)2σ del PIB en economıa mala.

La determinacion de los parametros se realizara aplicando una regresionlogıstica.

Lo mismo aplicarıa para la probabilidad de recuperacion del empleo.

ω (t) =(

1 + exp (ν0 + ν1rt + γ2PIBt)−1

)

15

ω∗ (t) =(

1 + exp (ν0 + ν1r∗

t + γ2PIB∗

t )−1

)

Ademas el marco teorico anterior permite modelar los saltos en el procesoafın de estados.

Por otro lado, podemos decir que para el largo plazo, tanto en el modelode tasas rt = R(x), el modelo de las intensidades de desempleo λt y de regresoal empleo ω∗

t tienen un proceso afın subyacente.En consecuencia existe una correlacion implıcita entre el pago del seguro

de desempleo y la estructura de tasas de interes dada por el ciclo economico.Finalmente, si definimos a Ps como el pago de la prima del seguro

de desempleo en el tiempo t, y Vt como el pago del seguro de desempleo cuyomodelo del comportamiento teorico del pago del seguro estarıa dado porVt = e(d(X(t)) donde d() es afın. Esto permite que haya dependencia del modelodel pago con respecto a las tasas de interes y al riesgo del nivel de desempleoobservado.


El modelo de los arribos de las intensidades es doblemente estocastico,cuya trayectoria es definida por X , como es establecido por Karr (1991). Loanterior significa que condicional a la trayectoria del proceso de estados X, eldesempleo y el regreso al empleo ocurren con la primera llegada del procesoBinomial con intensidades cambiantes acorde a los estados de la naturaleza λt

y ωt (cadena de Markov con intensidades variables). En particular, condicional

a las trayectorias de X, la probabilidad del riesgo de supervivencia e−

∫

t

0

λ∗t(µ)du

para el no desempleo y para el no regreso al empleo e−

∫

t

0ω∗

t(µ)du

en el tiempot.

5. Valuacion de obligaciones contingentes utilizando una cadena deMarkov con intensidad variable

El Modelo

Un modelo de Markov Switching supone la existencia de dos (o mas) es-tados y ademas asume que el estado no es directamente observable. El patronobservado de realizaciones de la variable de la serie de tiempo es impulsado porel cambio en las distribuciones o estados subyacentes.

Estos interruptores entre los estados evolucionan como un proceso en pri-mer orden de Markov. En nuestra version especıfica del modelo mas general,hay dos estados implıcitos de la economıa: uno estado normal y un estadoinestable.

Las variables que se ponen en marcha por la variable de estado son elcambio en la tasa de interes y el PIB. La realizacion de estas variables es unafuncion del estado-dependiente de la media y la varianza.

Los estados no son observables directamente, por lo que para cada obser-vacion hay un estimado de probabilidad de estar en un estado determinado. Elmodelo Markov Switching tambien calcula las probabilidades de transicion y ladistribucion dentro de los dos estados.

La trayectoria esperada de una probabilidad de transicion estimada, se es-perarıa que a medida que evoluciona a traves del tiempo y describe la relacionentre el detonador de cambio de un estado a otro y sus probabilidades de tran-sicion asociadas, permanezca variando a traves del tiempo.

El modelo Markov Switching asume que los datos se derivan de mas deun mecanismo generador o de distribucion. Sin embargo, a pesar de algunasinvestigaciones previas como la de Donaldson (1992) el cual, encuentra resul-tados que sugieren cambios en la generacion del mecanismo, por otro lado, lade Calomiris y Gorton (1991) que encuentran que las principales variables secomportaron de una manera que fue consistente a traves de perıodos de inesta-bilidad y de estabilidad.

Se propone utilizar los datos de mercado dentro de la configuracion delmodelo de Markov Switching, primero, para determinar los puntos de inicio yfinalizacion de los perıodos de inestabilidad y luego parametrizar las probabili-dades de transicion para tener estimaciones sobre sucesos desencadenantes.

El primer paso, es examinar los datos de los perıodos de inestabilidad paraposteriormente aplicar probabilidades de transicion constantes.

Por lo anterior, la matriz de transicion tomando dado el estado de laeconomıa para un periodo esta dada por:


16

Para nuestro caso en particular, la cadena de Markov con intensidad inter-cambiable podrıa definirse como sigue:

17

Donde M contiene las intensidades de desempleo y regreso al empleo, V (t)es el valor de mercado de los pagos por siniestros del seguro de desempleo,considerando una economıa buena y a los integrantes grupo de acreditados conempleo.

Esto es,

18

Y ρ el valor de mercado de las primas recibidas dado el nivel de empleo enel tiempo t, considerando una economıa buena.

Tal que,


19

Derivado del supuesto principal de nuestra valuacion tenemos que, el valorpresente del valor esperado del de las obligaciones debera ser igual al valorpresente del valor esperado de las primas cobradas, podemos afirmar que secumple la ecuacion (19).

Por lo tanto, la prima justa anualizada del seguro de desempleo con cober-tura renovable para un solo periodo es:

20

Si quisieramos calcular la ecuacion (20) para cada peso cubierto esta deverıa de la siguiente forma:


21

Por lo tanto, para el largo plazo obtenemos como resultado una primajusta de mercado que refleja los ciclos economicos a traves del tiempo. Y parael corto plazo (un ciclo economico) la ecuacion (19) nos darıa la prima justapor ese periodo por cada peso asegurado.

Analisis Econometrico para el mediano y largo plazo

Antes de utilizar las series de tiempo del PIB, de los cetes y de correr cualquiertipo de regresion para nuestro modelo, realizaremos las pruebas de raıces uni-tarias (contrastes) para las variables de interes: Prueba de Dicky - Fuller Au-mentada y prueba de Phillips - Perron. No se puede realizar la regresion si noconocemos si la serie es estacionaria o no. Se dice que una serie es estacionaria,si la media y las auto-covarianzas de las series no dependen del tiempo.

La evidencia empırica muestra que la mayorıa de las series macroeconomi-cas no son estacionarias tıpicamente en sus niveles (series de tiempo originales),indicado por una alta correlacion serial entre las observaciones sucesivas. Estoimplica que la t clasica y las pruebas F no son adecuadas y llevaran a conclu-siones erroneas.

Se espera obtener variables dependientes e independientes que esten in-tegradas del mismo orden. No se puede realizar la regresion combinando raıcesde distinto orden para cada variable. Lo anterior nos ayudara a determinarsi las series de tiempo utilizadas son las adecuadas para nuestro modelo enterminos de las correlaciones implıcitas existentes entre el desempleo, el PIB ylas tasas libres de riesgo (Cetes).

Si la variable no es estacionaria, debemos saber el numero de diferencia-ciones que debemos hacer para volver la serie estacionaria. Por lo tanto, elconcepto de estacionalidad es clave para todo el analisis posterior.

Para saber si existe estacionalidad se necesita conocer el grado de inte-gracion de cada una de las variables. El grado de integracion se denota comoI(d), indicando el numero de raıces unitarias que tiene la serie analizada hastavolverla estacionaria.


De modo que si la serie es estacionaria se denota como I(0), pero si tieneuna raız unitaria se denota como I(1). Si tiene n raıces unitarias, se denotaracomo I(n). Las diferencias entre I(0) y I(1) segun Surinach, Artis, etc. (1995)se describen a continuacion.

Un proceso I(0) se caracteriza por tener:* Una media constante y una tendencia de la serie a volver a esta media

cuando se ha desviado de ella, es decir fluctua alrededor de la media.* Una funcion de auto correlacion simple que decrece rapidamente cuando

aumentan los rezagos. * Varianza finita e independiente del tiempo.

Un proceso I(1) se caracteriza por tener las siguientes caracterısticas:

∗El tener un comportamiento divagante, en el sentido que no se mantienesobre un valor medio a lo largo de su historia.

∗Las auto correlaciones tienden a 1 para cualquier rezago.

∗La varianza depende del tiempo y tiende al infinito cuando este tiende alinfinito.

Para conocer el grado de integracion usamos dos pruebas: la DF(A) yla prueba de Phillips - Perron. La primera prueba (DFA, como se abrevia,considera uno o mas de un rezago) sirve para probar la estacionalidad de unaserie, es decir, es la prueba de raız unitaria.

La prueba Phillips Perron (PP) realiza lo mismo pero propone un metodono parametrico para controlar las correlaciones seriales de ordenes mas altosen las series. Se puede afirmar que esta prueba sirve para averiguar las raıcesunitarias que posee la variable para estacionalizarlo.

La diferencia entre la prueba DFA y la PP es que mientras la ADF corrigela correlacion serial de alto orden al anadir terminos rezagados en diferenciapor el lado derecho de la ecuacion, la prueba PP hace una correccion pararepresentar la correlacion serial en el termino error (ε).

Para la prueba Dicky - Fuller se incluye una prueba con constante y otrasin constante. Para la prueba a niveles en DF se uso 0 rezagos. Para la DFA seusa un rezago o mas rezagos. Lo mismo se aplico para las pruebas en primerasdiferencias.

En la prueba de raız unitaria Phillips Para los niveles se uso 0 rezagos.Para la primera diferencia se usa 1 o mas rezagos, dependiendo si la serieses mensual, trimestral, semestral o anual (4 rezagos en este estudio, por sertrimestral los datos).

Debido a que las series economicas, en su mayor parte no son I(0), esnecesario estacionalizarlos, sacando diferencias (en nuestro caso, primeras ysegundas). Esto se puede relacionar con lo que se conoce como co-integracion.Este concepto se basa en la idea que, aunque las series economicas muestran uncomportamiento tendencioso (implicando no estacionalidad), una combinacionlineal adecuada entre variables tendenciosos deberıa quitar el componente detendencia y de aquı las series estarıan co-integradas.

La co-integracion es relevante al problema de determinacion de las rela-ciones economicas de equilibrio o de largo plazo. La importancia de la co-integracion posa en que nos permite describir la existencia de relaciones deequilibrio entre dos o mas series de tiempo, los cuales no son estacionariosindividualmente.


La existencia de una relacion a largo plazo entre las variables puede serprobada. La investigacion sobre pruebas de co-integracion pueden ser desa-rrolladas en dos direcciones principales: pruebas basadas en los residuales desdeuna regresion de co-integracion (Engle-Granger) y usando un vector de co-integracion (Johansen).

Cuando se usan diferencias, se pierde informacion a largo plazo que pre-sentan las series en niveles (las originales), y permanece solo informacion acorto plazo. Para corregir esto y volver a obtener estimadores a largo plazo seacostumbra usar el Mecanismo de Correccion de Errores (MCE). Este metodofue demostrado como un buen estimador para los Mınimos Cuadrados Ordina-rios por Engle y Granger en 1987 y consisten en introducir los residuos de laregresion estatica retardada un periodo en el MCE.

Esto corrige la perdida de informacion a largo plazo. En este trabajo soloanalizaremos la informacion a corto plazo. Cuando se quiere hacer pronosticosde tendencia, entonces se usa el MCE.

Empezamos el analisis econometrico como la de Box - Pierce, estableciendoque estos conceptos y tecnicas, a lo largo del tiempo y conforme avanza elconocimiento, han tenido ciertas crıticas y sugerencias de como tratar a lasvariables. En estos analisis que realizaremos nos basamos en la metodologıaestandar que se sigue actualmente en la literatura econometrica.

Prueba BOX-PIERCE (Conjunta)

Las graficas de qq de normalidad sugieren que las colas de las distribuciones delas tasas de crecimiento del PIB y de los Cetes son mas gordas que las de ladistribucion normal.

Esta prueba sirve para ver si todos los coeficientes de auto-correlacion (losAC al correr el correlograma en primer nivel) son simultaneamente iguales acero. Para hacerlo usamos el estadıstico Q desarrollado por Box y Pierce y estadefinido como:


Q = n∑

m k = 1(AC)2 22

Tabla 1.

Los resultados indican que para el caso de los Cetes el ruido blanco nopuede ser descartado, sin embargo para el caso del PIB no es tan claro.

Prueba de Dicky Fuller (DF) - Aumentada (DFA)

Cuando se supone que existe el problema de raız unitaria en alguna variable,estamos entendiendo una situacion de no estacionalidad. En econometrıa, unaserie de tiempo que tiene una raız unitaria se conoce como una caminata aleato-ria y no es estacionario.

La prueba DFA muestra el grado de integracion para cada una de lasvariables. Las pruebas de raız unitaria son realizadas por niveles, en primerasy segundas diferencias.

Esta prueba supone un H0 (hipotesis nula) como paseo aleatorio y un pro-ceso auto regresivo de orden 1, AR(1) estacionario; como hipotesis alternativo.En 1981, la prueba DF es ampliado para el caso en que el proceso siga un es-quema AR(p) estacionario como hipotesis alternativo. Esta generalizacion es loque se conoce hoy como DFA.

Si una serie de tiempo ha sido diferenciado una vez y la serie diferenciadaresulta ser estacionaria, se dice que la serie original es integrada de orden 1. Silo diferenciamos 2 veces (sacar diferencia a la primera diferencia) para hacerlaestacionaria se dice que la serie original es de orden 2. Antes de hacer estaprueba, debemos especificar el numero de rezagos adecuados.


(Tabla 2.)


(Tabla 2.1)


Prueba de Phillips Perron (PP)

Esta prueba sirve para confirmar la estacionalidad de todas las variables in-volucradas en el modelo, por lo tanto es otro contraste, es decir una pruebaalternativa de la prueba Dicky Fuller Aumentada. No se hizo para las segun-das diferencias porque desde las primeras diferencias se muestra estacionalidad.

(Tabla 3)

(Tabla 3.1)


Podemos concluir que se requieren mas pruebas para poder afirmar quetodas las variables que son parametros del modelo del seguro de desempleo sonI(1). Al parecer las variables no son del mismo orden de integracion. Porlo tanto, si se requiere realizar las regresiones para determinar si las series detiempo que son utilizadas son las adecuadas para nuestro modelo en terminosde las correlaciones implıcitas existentes entre el desempleo, el PIB y las tasaslibres de riesgo (Cetes) se deberan tomar en cuenta los resultados observadospara las series analizadas. Los resultados observados hasta ahora nos obligan arealizar un analisis mas profundo con miras a realizar proyecciones de medianoy largo plazo para realizar una valuacion de mercado.

En teorıa las propiedades afines del modelo deberan funcionar podran servalidadas en el corto plazo. En la siguiente parte de nuestro trabajo de inves-tigacion se muestra la aplicacion practica del modelo utilizando una cadena deMarkov, junto con la estimacion de sus parametros para el corto plazo.

6. Estimacion de Parametros e Implementacion del Modelo delSeguro de Desempleo para Creditos Hipotecarios

6.1 Estimacion de Parametros

Vasicek

Se tomaron observaciones de los ultimos 20 anos del cete a 28 dıas, apli-cando a las mismas el metodo de maxima verosimilitud para ajustar los parame-tros del modelo. Dando como resultado:

(Tabla 3.1)

dr = 0.59[0.13− r(t)] + 0.20dB∗ 23


Tasas de Recuperacion del Empleo y Desempleo para acreditadosde Instituciones Financieras

Para una valuacion de corto plazo (seguro a un ano), es decir de un cicloeconomico, bastara con tomar las probabilidades empıricas en la matriz ini-cial. Por otro lado, si se realiza el calculo por cada peso asegurado, podremosomitir los saldos asegurados actuales.

Tomando en consideracion el numero de creditos y su monto originados enel ano 2007 y 2008, y sabiendo que estos cuentan con un seguro de pago decreditos proporcionado por una aseguradora especializada en el ramo que cubreel pago de seis mensualidades en caso de perdida del empleo. El numero desiniestros registrados en un periodo normal de nuestra economıa (enero 2007a Julio 2010) es utilizado para obtener la primera estimacion de la tasa dedesempleo entre las personas que tienen un credito con un banco y que tendrıanderecho a ejercer su cobertura dado que perdieron de manera involuntaria surelacion laboral, esta es del 2.9%.

En un periodo de crisis (2008) la perdida involuntaria del empleo ha sidode 4.5%. La tasa de recuperacion del empleo en un periodo normal de nues-tra economıa es obtenida del numero de personas que recuperan su empleo yvuelven a pagar su credito registrados en las bases de datos de la InstitucionFinanciera para el 2009 siendo esta del 7.05%. En un periodo de crisis (2008)la recuperacion del empleo ha sido de 3.5 %.

(

1 − λ −λω 1 − ω

)

=

(

97.1% 2.9%7.05% 92.95%

)

en economıa buena

(

1 − λ∗ −λ∗

ω∗ 1 − ω∗

)

=

(

95.5% 4.5%3.5% 96.5%

)

en economıa mala


(Tabla 5.)


(Tabla 6.)Comportamiento histrico de la economa y sus probabilidades de cambio de estado



Para la determinacion inicial de las probabilidades de transicion de laeconomıa se usaron datos anuales de la tasa de crecimiento para poder observarel efecto cıclico de la economıa.

Por lo anterior, las probabilidades de cambio de estado de la economıa sedefinirıan como sigue:

(

1 − p pq 1 − q

)

=

(

82% 18%12% 88%

)

Estadısticas Originacion y Perdida y Recuperacion del Empleo dela Cartera

El cuadro inferior nos muestra los efectos de la perdida y recuperacion delempleo de una cartera hipotecaria. De lo observado podemos intuir la impor-tancia para la aseguradora al momento de realizar el calculo de su prima ya queel numero de acreditados varıa a traves del tiempo en magnitudes considerables.


Tabla 7.

Matriz de Transicion para la cadena de Markov del modelo

La matriz de transicion obtenida cumple con las caracterısticas requeridaspara ser aplicada en una cadena de Markov finita y estable. Lo anterior semuestra en la siguiente grafica, donde puede apreciarse que la misma tiende aestabilizarse con el paso del tiempo.

Es decir las migraciones entre empleo y desempleo bajo los distintos estadosde la economıa tienden a estabilizarse en el largo plazo como lo muestra lasiguiente grafica.


Trayectorias de Migracion Laboral

6.2 Implementacion del Modelo del Seguro de Desempleo paraCreditos Financieros

Esta seccion muestra una implementacion empırica del modelo para la valuaciondel seguro de desempleo para el caso de los creditos hipotecarios utilizandoel metodo de cadenas de Markov con intensidad variable acorde al estado dela naturaleza que se este modelando. En el modelo las probabilidades sonconstruidas de forma empırica para el estado inicial. La valuacion de la primajusta se realizara por cada peso de la cobertura asegurada.

Modelo Afın de Tasas

El modelo afın de estados implıcito X esta definido como X(t) = (r(t), P IB(t))donde r(t) es la tasa de interes de corto plazo y PIB(t) es una medida delcrecimiento del PIB. Por lo cual, en el largo plazo modelamos a X como unproceso de difusion afın el cual, su dinamica es llevada por un Borwniano.

dXt = κ[r(t) − rt]dt + σdWt 24

drt = 0.59[0.13− r(t)] + 0.20dW ∗

1

Modelo aplicado en economıa buena para un periodo anual.

Por otra parte, si en primera instancia quisieramos validar el resultado en elcorto plazo para un nuevo grupo de creditos recientemente originados, en elcual, todos los acreditados tienen trabajo, la economıa es buena y el tasas deempelo y desempleo corresponden a la situacion macroeconomica imperante.


El valor total de las obligaciones contingentes (pagos potenciales por siniestros)que tendrıa que realizar la aseguradora al final del primer periodo (primer ano)es igual a la siguiente formula:

A = [(λ)(1 − p) + (λ)(p)]/(1.045) = [2.4% + 0.5%]/(1.045) = 2.77%

El valor de las primas recibidas en ese mismo periodo:

B = [(1 − λ)(1 − p) + (λ)(p)]/(1.045) = [76.6% + 17.5%]/(1.045) = 90.04%


Todo lo anterior nos da como resultado:

ρ = A/B = 0.031%

Los cuales, en una economıa buena se traducirıan en 0.031% anual, queson 0.003% Mensuales.

Modelo aplicado en economıa mala para un periodo anual.

En segunda instancia quisieramos validar el resultado en el corto plazopara un nuevo grupo de creditos recientemente originados, en el cual, todoslos acreditados tienen trabajo, la economıa es mala y el tasas de empleo ydesempleo corresponden a la situacion macroeconomica imperante. El valortotal de las obligaciones contingentes (pagos potenciales por siniestros) quetendrıa que realizar la aseguradora al final del primer periodo (primer ano) esigual a la siguiente formula:

A = [(λ∗)(1 − p) + (λ∗)(p)]/(1.045) = [0.5% + 4.0%]/(1.045) = 4.30%

El valor de la primas recibidas en ese mismo periodo:


B = [(1 − λ∗)(1 − p) + (λ∗)(p)]/(1.045) = [11.6% + 85%]/(1.045) = 91.39%

Todo lo anterior nos da como resultado:

ρ = A/B = 0.047%

Los cuales, en una economıa buena se traducirıan en 0.047% anual, que son0.0039% Mensual. Observando los dos resultados anteriores podemos decir quela metodologıa propuesta refleja de manera correcta los efectos de los estadosprevalecientes en la economıa y sus correspondientes ciclos.

Conclusiones

El resultado anterior, nos muestra que una metodologıa alterna para lavaluacion de un seguro de desempleo con cobertura renovable puede ser uti-lizada para determinar la prima un seguro de desempleo que modele los cicloseconomicos de corto plazo. La metodologıa expuesta incorpora una cadena deMarkov con intensidad variable acorde al estado de la naturaleza que se estemodelando. Asimismo, se demostro que un modelo neutral al riesgo puede serutilizado en el calculo de una prima justa para este tipo de seguro.

Con las probabilidades para el empleo y la recuperacion delmismo correspondientes a los posibles estados de la economıa, la valuacion dela prima del seguro sera suficiente para hacer frente a las futuras obligacionescontingentes derivadas de los posibles estados de la economıa y de su mercadolaboral.

La metodologıa expuesta nos muestra que una cadena de Markov con in-tensidad variable acorde al estado de la naturaleza puede proporcionar unavaluacion justa que refleja la prima de riesgo asumida derivada de las condi-ciones economicas prevalecientes.

Para ampliar y complementar la presente investigacion se propone que seutilicen simulaciones de los parametros de calibracion de la probabilidad deperdida del empleo y la recuperacion del mismo utilizando ecuaciones diferen-ciales estocasticas (con difusiones distribuidas Normal (0, 1)) y con reversiona la media de largo plazo. Por otro lado, utilizar dichos escenarios para veri-ficar la modelacion de los ciclos economicos, su correlacion con la dinamica delotorgamiento de creditos y el desempleo.

Dichas simulaciones permitiran obtener las proyecciones multianuales delas primas correspondientes a las distintas trayectorias de ciclos economicos enel futuro.


6. ReferenciasBjork, T. Arbitrage Theory in Continuous Time.Oxford University Press, 1998.Brigo, D., & Mercurio, F. Interest Rate Models: Theory and Practice. Springer

Finance. Springer-Verlag, 2 edition, 2006.Duffe, D., & Filipovic, D. Affine processes and applications in finance. Annals

of Applied Probability, 13:984 1053, 2003.Duffe, D., & Kan, R. A yield-factor model of interest rates. Mathematical

Finance 6:379 406, 1996.Duffe, D., Pan, J, & Singleton, K. Transform analysis and asset pricing for

affine jump-diffusions. Econometrica, 68(6):1343 1376, 2000.Heston, A. A closed-form solution of options with stochastic volatility with ap-

plications to bond and currency options. The Review of Financial Studies,6:327 343, 1993.

Lando, D. On cox processes and credit risky securities. review of DerivativesResearch, 2:99 102, 1998.

Singleton, K. Estimation of affine diffusion models based on the empirical char-acteristic function. Journal of Econometrics, 102:111 141, 2001.



Un modelo para evaluar el VPN

mediante modelos autorregresivosM. Beatriz Mota Aragon∗

Faviola Hernandez Jimenez∗∗

Recibido 09 de febrero de 2011. Aceptado 13 de mayo de 2011

Resumen

En investigaciones anteriores se sostuvo que los flujos de efectivo netos (FNE) yla tasa de rendimiento (rt) de un proyecto de inversion son procesos estocasticos.Incluso se sugirio un nuevo modelo estocastico continuo que explicara estaevolucion aleatoria1 .

Esta investigacion parte de lo anterior, y considera que para evaluar unproyecto de inversion de manera mas certera a traves del Valor Presente Neto(VPN) estocastico, los pronosticos de los FNE y de (rt) pueden ahora ser realiza-dos con modelos econometricos, especıficamente con modelos del tipo ARIMA,(Box-Jenkings, 1976) y modelos de Suavizamiento Exponencial, (Holt-Winters1960). El modelo propuesto es:

V PNT : −I0

n∑

t=0

β0 + β1(FNE)t−1 + ut

(1 + (β0 + β1) + Et + ut)n.

Abstract

In previous investigations it was said that Net Cash Flows (NCF) and theInterest Rate (rt) of the investment project are stochastic processes. There waseven suggestion for a new stochastic continous model which would explain thisrandom evolution.

This investigation began from there, and agrees that to evaluate an invest-ment project in a more accurate way through the stochastic Net Present Value(NPV). The forecasts NCF and the (rt) can now be achieved with econometricmodels, specifically with ARIMA models, (Box - Jenkings, 1976) and smoothingexponential models, (Hot - Winters, 1960). The proposed model is:

V PNT : −I0

n∑

t=0


(1 + (β0 + β1) + Et + ut)n.

∗ Profesora Titular ”C” de Tiempo Completo en la Universidad Autonoma Metropolitana

- Iztapalapa. E-mail: [email protected].∗∗ Directora Administrativa C De Vino S.A. de C.V. E-mail: [email protected]

1 Mota, Beatriz (2006). Net Cash Flow Analysis as Stochastic Processes TheoryApplication and the Real Options Theory: A New Approach. Doctoral Dissertation, EGADE-

ITESM, Mexico. Mota, Beatriz (2008, 2009).

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos 67

Clasificacion JEL: C32, G12

Palabras clave: Modelos ARIMA, Suavizamiento Exponencial, Procesos estocasticos, Proyec-

tos de inversion, Pronosticos, Flujos de Efectivo, Tasa de Rendimiento.

1. Introduccion

La teorıa de procesos estocasticos aporta los elementos teoricos necesarios paraevaluar proyectos de inversion desde una perspectiva distinta de la teorıa tradi-cional del VPN. Los flujos de efectivo y la tasa de rendimiento pueden ser mode-lados como procesos aleatorios. El VPN es entonces un proceso estocastico. Esevidente que los resultados obtenidos son mas certeros bajo esta metodologıaque con la evaluacion convencional del VPN. Adicionalmente a esta nuevaperspectiva, es posible incluir en la evaluacion de las variables que componen elVPN modelos econometricos, del tipo ARIMA (Box-Jenkings, 1976) y modelosde Suavizamiento Exponencial, (Holt-Winters 1960).

Esta investigacion parte del debate teorico y de una profunda reflexionacerca de las limitaciones de la metodologıa ortodoxa del VPN, e incorporala teorıa de procesos estocasticos, para ver a los componentes del VPN comovariables aleatorias.

Segundo, se plantean las generalidades teoricas del metodo (Box-Jenkings,1976) el cual se utiliza como herramienta en los pronosticos de FNE. Ter-

cero, se describe la metodologia desarrollada en esta investigacion; se utilizantres metodos para obtener los FNE mediante el modelo ARIMA; Primero, sepronostican las variables independientes del modelo (V1, V2, V3 y V4) a travesde ARIMA Univariante. Segundo, se realiza el modelo Univariante para FNEdesde sus historicos y tercero; se realiza el modelo ARIMA Estructural paraFNE. Dichos metodos se realizan con los datos de la empresa CONTAL (caso deestudio) en el periodo 2003-2015, las series utilizadas son trimestrales. Cuarto,se utiliza el metodo de Suavizamiento Exponencial de (Holt-Winters 1960) parapronosticar la variable independiente adicional del modelo completo de VPN;la tasa de rendimiento, segundo componente basico del VPN, a traves de Cetes(V5) e Inflacion (V6). Por ultimo, se propone un modelo teorico para evaluar elVPN econometrico mediante los metodos contenidos en los numerales III y IV.

La idea principal en esta investigacion es hacer enfasis en que los proyectosde inversion deben modelarse como procesos de difusion y es posible utilizar enla evaluacion modelos autorregresivos.

2. La reflexion teorica al enfoque tradicional del VPN y la teorıa deprocesos estocasticos

Esta investigacion parte del debate teorico y de una profunda reflexion acercade las limitaciones que presenta la metodologıa ortodoxa del VPN.

La principal crıtica al metodo tradicional de VPN es que produce una es-timacion simple, y esto es una desventaja, ya que los eventos que afectan lospronosticos de los flujos de efectivo son altamente inciertos; Myers (1987), Tri-georgis (1993), (Copeland y Vladimir, 2001). Sin embargo, Trigeorgis (1993), almismo tiempo plantea que la teorıa del VPN tradicional no debe ser desechadapor completo, sino mas bien es la base de otras importantes teorias y que debeverse con otro enfoque. Otras crıticas estan en Hayes y Garvin (1982) y Hayes y


Abernathy (1980) quienes reconocen que el criterio de VPN subestima las opor-tunidades de inversion. Brennan y Schwartz (1985) argumentan que el DiscountCash Flow (DCF) presenta severas limitaciones porque los precios son volatiles.Paddock, Siegel y Smith (1988) enumeran las desventajas de la tecnica de VPN.

Por otro lado, Dixit y Pindick (1994) aseveran que: The simple NVP ruleis not just wrong; it is often very wrong, (Ver cap. 5).

Una de las debilidades fundamentales que se observan en la tecnica tradi-cional de VPN es que la estimacion de los FNE depende de una tasa derendimiento constante y de flujos esperados estaticos. En diversos trabajos elmetodo elegido para resolver el problema de la estimacion de los flujos de efec-tivo esperados del proyecto, consiste en suponer que el proyecto genera rentasperpetuas en terminos constantes identicas a las generadas en el ultimo ejerci-cio, y la tasa de interes con la cual descuentan los flujos de efectivo esperadossigue las reglas del CAMP. Copeland y Antikarov (2001), Dıaz (1999, 2000),kester (1984), Gil (1991) y Smith (2001), entre otros.2

Por otra parte, la teorıa de procesos estocasticos y las propiedades de susmodelos de difusion nos proporcionan las herramientas para admitir una nuevamanera de concebir el VPN tradicional. A traves del estudio de los procesos deWiener, los procesos de Wiener generalizado y de Wiener geometrico, ası comolos procesos del tipo Ornstein-Uhlenbeck (1930), Vasicek (1977), Longstaff(1979) y Hull-White (1990) para los flujos de efectivo, y el modelo de CIR(1985) para la tasa de rendimiento, inferimos en un VPN estocastico.3

A partir de aquı, se eligen los modelos que mejor representen la aleato-riedad de las variables FNE y tasa de rendimiento, y afirmamos que VPN y suscomponentes no son constantes sino son procesos estocasticos.

Como es claro, no estamos desechando la teorıa ortodoxa, la vemos desdeel enfoque de la teorıa estocastica, y en esta investigacion se modelara a travesde modelos econometricos.

3. Generalidades

La mayorıa de las empresas realizan proyecciones sobre su comportamientoevolutivo y de su entorno. Estas se utilizan en la toma de decisiones operativas oestrategicas; por ejemplo, la rentabilidad que obtendrıa al realizar una inversionen un periodo determinado.

En Econometrıa utilizar las series de tiempo es un punto de partida. Ahorabien, desde el punto de vista analıtico, los procesos estocasticos que con mayorfrecuencia describen las series de tiempo y poseen un conjunto de propiedadesdeseadas son los procesos autorregresivos (AR) (Kendall, 1944)4 y de mediasmoviles (MA) (Aigner, 1971)5 . Estos modelos representan procesos estocasticoslineales, dado que se caracterizan por una suma ponderada de variables aleato-rias.

2 Mota, B. (2009). Una Crıtica a la Teora Tradicional del VPN: Una Nueva Propuesta

para Evaluar los Flujos Netos de Efectivo de la Firma. Denarius,19:230.3 Mota, B. (2008). La Teorıa de Procesos Estocasticos en el Analisis de los Flujos de

Efectivo de un Proyecto de Inversion. FCA-UNAM..4 Kendall, M.G. (1944).On Autoregressive Time Series, Biometrika. 33, pp. 105-122.5 Aigner, D.J.(1971). A Compedium on estimation of the, autoregressive moving average

model from time series data. International Economic Review. 12(3), pp. 348-371.


A partir de los estudios de Box y Jenkins (1970)6, el modelo ARIMA partede la consideracion general de que la serie temporal que se trata de predecir esgenerada por un proceso aleatorio cuya naturaleza es caracterizada y descritamediante la modelacion.

Los modelos ARIMA se describen en terminos de los parametros estruc-turales p,d y q. Razon por la cual se utiliza la notacion ARIMA (p,d,q), lo quesignifica que combinan tres tipos de procesos Autorregresivos (AR), Integracionde la serie (I) y medias moviles (MA)7. El esquema general del modelo Arimaes el siguiente: Si Yt es I(d) entonces Zt = ∆d Yt = (1- L)d Yt es I(0), siendoL el operador de retardos. Si ademas Zt se comporta como un ARMA (p,q)entonces Yt se denomina ARIMA (p,q,d).

Cuyas propiedades estocasticas, eliminan la deficiencia de los metodostradicionales para la obtencion de los FNE estaticos, y por lo tanto la defi-ciencia de la herramienta tradicional del VPN al obtener FNE estocasticos.

No es suficiente establecer un modelo ARIMA, este tiene que pasar por unproceso de validacion, dicho proceso fue propuesto por Box y Jenkins (1976)para estimar, contrastar y predecir series temporales8.

Los parametros con los que se va a trabajar y evaluar los diferentes metodospara obtener los FNE futuros mediante un modelo ARIMA son los siguientes:

1. Grafica del comportamiento de las variables.

2. Correlograma de las variables, se evaluara mediante la Funcion de Auto-correlacion y la Funcion de Autocorrelacion Parcial, esto permite identificar aque orden pertenece cada una de las variables I(d).

3. La estructura AR y MA, en esta parte se observaran principalmente doscriterios, el primero el de la R2 (Greenberg , 1986)9 que tiene que ser muyextremo a 1 y -1, el segundo el criterio de no Autocorrelacion (Durbin-Watson,1950, 1951)10 nos dice si el modelo tiene correlacion entre las variables y elcriterio de decision es; si el valor de Durbin Watson se encuentra entre 1.550 y2.45 no se tiene correlacion en el modelo, si un valor esta por debajo o encimade este rango el modelo no es util para la prediccion.

4. La prueba de Normalidad (Jarque-Bera, 1980,1981, 1987)11 muestra si elmodelo se distribuye como una normal y si tiene presencia de valores extremos,es decir, el criterio para saber si los errores son normales es; si el valor de Jarque

6 Box, George E.P. and F.M. Jenkins (1970). Time Series Analysis: Forescasting and

Control, San Francisco, Calif. Holden-Day Inc.7 Arnau, J. (2001). Disenos de series temporales: tcnicas de anlisis. Barcelona, Edicions

de la Universitat de Barcelona, pag. 48.8 Box, George E.P., and F.M. Jenkins (1976). Time Series Analysis: Forecasting and

Control, 2nd. ed. Oakland, CA: Holden-Day.9 Greenberg, R., Johnson, G. and Ramesh, K.(1986) . Earnings versus cash flow as a

predictor of future cash flow measures. Journal of Accounting, Auditing, and Finance. 1, pp.

266-277.10 Durbin, J., and Watson, G. S. (1950) .Testing for Serial Correlation in Least Squares

Regression, I. Biometrika 37, 409428.11 Jarque, C. M., and Bera, A. K. (1980). ”Efficient tests for normality, homoscedasticity

and serial independence of regression residuals”. Economics Letters 6 (3): 255259.


Bera (JB) es menor a 5.99 tiene una distribucion normal y si este es mayor a5.99 los errores tienen problemas de normalidad.

5. La grafica de los residuos, muestra como es el comportamiento de los errores,este se debe comportar como un ruido blanco12.

Una vez establecidos los parametros de bondad de ajuste (verificacion) an-teriores se procede a la elaboracion del modelo ARIMA de los FNE estructural.

4. Metodologıa - el modelo ARIMA en los FNE

Para la realizacion de esta investigacion se tomo como caso de estudio a laempresa Contal, con 52 observaciones trimestrales de las cuales 28 son datoshistoricos contenidas en los Estados de Resultados (2003-2009) de la empresa,y 24 datos pronosticados (2010-2015) mediante El Modelo ARIMA univariantepara cada una de las principales variables explicativas Ventas (V1), Costo deVentas (V2), Gastos Operativos (V3) y Dep. (V4) identificadas que conformanlos flujos de efectivo de la firma, para ello se utilizo E-views.

4.1 El modelo ARIMA univariante para V1, V3, V3 y V4

Ahora realizaremos modelos ARIMA individuales para cada variable, empezan-do con la variable V1 (Ventas netas), de manera similar se analiza su grafica,correlograma, se establece la estructura ARIMA y se procede a la prediccion.Para realizar el pronostico de cada una de las variables es necesario restar a cadaperiodo la cantidad del periodo anterior debido a que en los Estados de Resulta-dos Trimestrales de Grupo Continental se presentan de forma acumulada. Paraque las series de tiempo de cada variable muestren su comportamiento originaly no se vea influenciada por su estacionalidad.

Como lo muestra la tabla siguiente:

12 Griffiths, W. Hill,C. Y Judge, G. (1993). Learning and Practicing Econometrics.

Wiley.


Tabla 1. Datos historicos por trimestre para la obtencion de los FNE futuros


Se utiliza las series trimestrales de CONTAL, porque ofrecen mayor numerode observaciones y proporcionan informacion mas precisa en el flujo de efectivo,Lorek y Willinger (1996)13.

En la grafica 1 y en el correlograma 1 se observa que la variable tiene unaforma estacional en su movimiento, las FACP (La Funcion de AutocorrelacionParcial) decaen de manera rapida por lo que no existe problema con la varianzay la media, por lo tanto V1 tiene un orden I(0).

El cuadro 1 muestra la estructura del modelo para V1 el cual es un modeloARIMA (4,0,3) tiene un R2 ajustada de 0.933926 que es un nivel alto, el valorde Durbin Watson es muy proximo a 2 por lo que no tiene correlacion entre lasobservaciones, es decir, el modelo es util para la prediccion. La tabla muestralos valores pronosticados para V1.

Una vez obtenidos los valores pronosticados se observa como se comportanlos datos historicos y pronosticados mediante el modelo ARIMA para V1. DondeVENTAS son los historicos y VENTASF los pronosticos.

13 Lorek, K y Willinger, G. (1996). A Multivariante Time-Series Prediction Model ForCash- Flow. The Accounting Review, Vol. 71, American Accounting Association (jan 1996),

pag. 82.


La grafica 2 muestra la forma en que actuan los datos historicos y pronos-ticados, comportandose con la misma tendencia.

Grafica 2. Datos Historicos y pronosticados de Ventas Netas

En la grafica 3 se muestra que los residuos tambien poseen un tipo ruidoblanco, es decir, cada una de las observaciones no guarda relacion con la ante-rior, y en la grafica 4 se presentan que todos los errores son normales ya que elvalor Jarque Bera es 0.3421 menor a 5.99.

En esta investigacion se realizo el mismo procedimiento para las variablesV2, V3 y V4. Sin embargo, por cuestiones de espacio se omiten dichos pro-cedimientos. Los resultados generales de dichos procedimientos resultan sermodelos ARIMA (p,d,q) Univariantes (los valores a predecir dependen de losvalores pasados de las variables regresoras).

En la tabla siguiente se presentan los valores pronosticados de V1, V2, V3

y V4 , con la finalidad de obtener los FNE pronosticados mediante el ModeloARIMA Univariante.


Tabla 3. FNE Pronosticados mediante ARIMA Univariante


4.2 El modelo ARIMA univariante para FNE

Otra forma de obtener los FNE pronosticados son mediante la realizacion delModelo FNE univariante, es decir, que se realiza el pronostico de los FNEmediante sus historicos que se presentan en la tabla 1.

Las grafica 5 y el correlograma 2 muestran la estacionalidad de la variableFNE con un orden de integracion de I(0).

La estructura de AR y MA del modelo del cuadro 2 muestra que el modeloARIMA de los FNE es (4, 0 ,2), con una R2 ajustada de 0.778830, el valorde Durbin Watson entra en el rango de no correlacion, lo que ındica que estemodelo es viable para realizar las predicciones. La tabla presenta los valorespronosticados de la variable FNE.


Se observa en la grafica siguiente el comportamiento de la Variable FNEhistorica y pronosticada. Donde FNE son los flujos historicos y FNEF son losflujos pronosticados.

Grafica 2. Datos Historicos y pronosticados de Ventas Netas

En las grafica 7 se observa un comportamiento del tipo ruido blanco, en lagrafica 8 se observa un valor JB de 0.101698, cuenta con una probabilidad de0.950422.

Por lo que los valores pronosticados por el Modelo FNE Univariante (4, 0,2) son los siguientes:

Tabla 5. Pronosticos mediante el Modelo ARIMA Univariante (4, 0, 2) para FNE


4.3 El modelo ARIMA estructural planteado para FNE

El paso previo es establecer el modelo teorico para FNE, el cual tiene unavariable dependiente (FNE) y cuatro variables independientes, V1 (Ventas Ne-tas), V2 (Costo de Ventas), V3 (Gastos de operacion) y V4 (Depreciaciones yAmortizaciones) mas un error aleatorio.

Yt = β0 + β1V1t−1 − β2V2t−1 − β3V3t−1 − β4V4t−1 + ut.

Con los datos de las tablas 1(historicos) y 3 (pronostico de las variables V1,V2, V3 y V4 ) se procede a realizar la estimacion del modelo estructural medianteARIMA. El primer paso consiste en convertir las series de observaciones en unaserie estacionaria; se observan las graficas y los correlogramas de cada variableindependiente y si no es estacionaria, esto se puede lograr cuando se le aplicala prueba de raıces unitarias a las variables independientes.

Se prosigue con las estimacion de los coeficientes mediante AR y MA (laparte I ya es obtenida mediante las raıces unitarias) (Dickey-Fuller, 1979)14 yfinalmente se procede a efectuar un analisis de los residuos. Se comprobo que alutilizar ARIMA el valor realmente observado y el valor previsto por el modelose ajusto a los datos de manera adecuada.

Enseguida se muestra el procedimiento anterior en la empresa, caso deestudio. Para generar un modelo Arima es necesario obtener el mayor numerode observaciones posibles de esta forma se ocupan los datos historicos de lasvariables explicativas V1, V2, V3 y V4 y la variable dependiente FNE, obteniendoun total de 52 observaciones. Y se sigue el mismo procedimiento de los metodosde las secciones anteriores.

Grafica 9. Comportamiento de las variables independientes

14 Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979).Distribution of the Estimators for AutoregressiveTime Series with a Unit Root. Journal of the American Statistical Association. 74, p. 427431.


Se muestra en la grafica 9 que la variable independiente Ventas Netastiene estacionalidad por lo que se prosigue a observar el comportamiento en lasfunciones de Autocorrelacion y Autocorrelacion parcial.

Correlograma 3. Variables independientes

Se observa en el Correlograma 3 que las variables independientes presentanproblemas de estacionariedad, en la Funcion de Autocorrelacion los coeficientesno decaen rapidamente lo cual ındica falta de estacionariedad en la media,mientras que en la Funcion de Autocorrelacion Parcial no se observa estructurade coeficientes significativos para ningun tipo de retardo estacionales, por loque no hay estacionalidad.

Por lo tanto se deben diferenciar las variables dando un orden de inte-gracion. Una vez diferenciadas las variables se observan nuevamente los Corre-logramas con las series diferenciadas y si ya se elimino la falta de estacionariedadse comprueba con test de raız unitaria.

Correlograma 4. Primera diferencia de las variables independientes


Cuadro 3. Prueba de Raız Unitaria

Se observa que las variables son estabilizadas mediante la primera diferen-ciacion por lo que el modelo propuesto tiene un orden de integracion I (1).

Una vez estacionalizadas las variables se procede a estimar los coeficientesde AR y MA para dicho modelo estructural. Es importante mencionar queen muchas ocasiones el encontrar los coeficientes de AR y MA es a traves delejercicio de prueba y error.

Cuadro 4. Identificacion de los parmetros de AR y MA

Para la estimacion del modelo no se diferencio Ventas Netas, esto por ser lavariable mas significativa del modelo. El modelo tiene un valor Durbin Watsonde 1.95 lo cual indica que no hay autocorrelacion entre las variables, ademas deun R2 del 0.85 muy proximo a 1 y todas las variables son significativas para elmodelo.

A continuacion se presentan las pruebas de verificacion para el ModeloFNE (9, 1, 4).

La prueba de Normalidad muestra que los errores tienen un comportamien-to normal con un valor JB de 0.8299 menor a 5.99 con una probabilidad del66.03 por ciento de que los errores sean normales.


En la grafica 11 se observa que el comportamiento de los errores son detipo ruido blanco, la amplitud entre las frecuencias se debe a que los datosson trimestrales y los errores solo muestran una parte del periodo (2005-2009)ocasionado por los retardos autorregresivos con los que cuenta el modelo.

Correlograma 5. Estructura ARIMA

Se observa en el Correlograma que el modelo no presenta problemas de esta-cionariedad y se observa en la Funcion de Autocorrelacion que sus coeficientesdecaen rapidamente, lo cual indica estacionariedad en la media, mientras que enla Funcion de Autocorrelacion Parcial se observa una estructura de coeficientessignificativos para los retardos estacionales.

Por lo tanto, se procede a realizar el planteamiento del Modelo empıricoestructural para FNE (9, 1, 4);

FNE = −1040130.574 + 0.781986392904 ∗ V N − 2.8406989487 ∗ DCV +

+5.54829633097 ∗ DGO + 24.2838031323 ∗ DDP + [AR(9)

= −1.07231598838,MA(4) = 0.891007213837]+ RESID.

Se ha comprobado que el modelo se ajusta a todos los parametros de vali-dacion, por lo tanto, se pueden realizar las predicciones de FNE para el periodo2010-2015.


Tabla 6. Predicciones para FNE (9, 1, 4)

Los hallazgos encontrados con los FNE pronosticados trimestralmente del2010-2015 mediante los tres metodos anteriores, fueron los siguientes: Para elpronostico de FNE mediante las variables V1, V2, V3 y V4 son de $486, 483,447mdp., mientras que para el Modelo FNE Univariante son $559,357.42 mdp.,y para el Modelo Estructural (9, 1, 4) son $124,491.4 mdp. En sus reportestrimestrales del 2010, la empresa presenta 425 mdp., de Flujo Neto de Efectivo,acercandose mas a la realidad observada el pronostico de FNE por cada variableexpuesto en el numeral III.1.

Otra ventaja de utilizar Modelos univariantes para cada variable es elconocimiento de su valor pronosticado individualmente lo cual puede mejorar larealizacion de Estados Financieros Pro-Forma tal como lo muestra el siguienteresultado.

El 23 de julio del 2010 en la pagina electronica www.enlaeconomia.comGrupo Continental reporta Ventas Netas en su primer semestre por 6 mil 816mdp., el cual es un valor muy aproximado a el pronostico en esta investigacionel cual es de $6, 683, 406 mdp. En cuanto a los Costos de Ventas en el segundotrimestre reporto $3, 355,400 mdp., y lo pronosticado fue $3,237,634 mdp., losde Gastos de Operacion ascendieron a $2, 389,397 mdp.,el pronostico fue de


$2,252,929 mdp. y para las Depreciaciones y Amortizaciones el pronostico fuede $136,540 mdp., mientras que CONTAL reporta $145,851 millones de pesos.

5. Suavizamiento exponencial para TREMA

El Suavizamiento Exponencial o Alisado Exponencial, (Holton y Keating,2007)15. Para realizar esta prediccion es necesario tener en cuenta la esta-cionalidad de las series, como anteriormente se menciono estas series no tienenestacionalidad, por lo tanto utilizaremos el metodo de Suavizamiento de Holt-Winters no seasonal.

Winters basado en el metodo de Suavizamiento Exponencial, (Holt,1959)16

para tratar con datos que presenten variaciones estacionales, desarrollo el meto-do Holt-Winters, (Winters, 1960)17 que aplica tres parametros; el primero estarelacionado con la componente aleatoria (a), el segundo con la tendencia (b) yel tercero con la componente estacional (c). Este metodo incorpora la tendenciade crecimiento o de decrecimiento de la serie temporal. Por lo que es el metodoque mejor se ajusta para realizar los pronosticos de TREMA, bajo los siguientescriterios:

TREMA= (Tasa de Mercado Inflacion) + Prima de Riesgo.

La tasa de mercado es una tasa nominal (CETES a 28 dıas) mas unaprima de riesgo. Para esta investigacion se considero que la prima de riesgo esla tasa de rendimiento del sector, ya que se desconoce la(s) prima(s) de riesgode la empresa Contal utilizadas para la evaluacion de sus inversiones. Paracomprobar el metodo utilizado en este trabajo para pronosticar TREMA seutiliza la tasa real y la prima de riesgo, con la logica de que los inversionistasno arriesgan su capital a una tasa menor que la tasa de inflacion.

Entonces,

TREMA= Tasa real + prima de riesgo.

Para utilizar el metodo de Suavizamiento Exponencial para TREMA esnecesario aclarar bajo que criterios de Bondad de Ajuste se validaran el Suaviza-miento Exponencial de Holt-Winters. El primero es el correlograma con losparametros establecidos en el numeral II, la grafica de estacionalidad en susmedias y la grafica comparativa entre la serie original y suavizada.

Se observa que no existe estacionalidad en las series de tiempo de Cetes eInflacion, se revisan ahora sus Correlogramas.

15 Holton y Keating (2007). Pronostico para los negocios. Mexico, Mc-Graw hill.16 Holt, C.C. 1959. Forecasting seasonals and trends by exponentially weighted moving

averages. ONR Research Memorandum 52.17 Winters, P.R. (1960). Forecasting sales by exponentially weighted moving averages.

Management Science 6; pp. 324-342.


Correlograma 6. Cetes e Inflacion

En el correlograma de Cetes las FAPS (Funcion de autocorrelacion parcial)decaen rapidamente solo tienen un perıodo no significativo, en las FAC (Funcionde autocorrelacion) torna mas lento la convergencia, el valor de las probabil-idades son significativas debido a que todos son menores de 0.05 y la Q-Statson mayores a 0.05. Mientras que en el correlograma de la variable Inflacion sepuede ver como las FAC decaen lentamente lo que significa que existe problemacon las medias de la serie, por otro lado las FAPS decaen de manera rapida estono muestra mayor problema en su varianzas, los valores de la probabilidad sontodos menores a 0.05 por lo tanto todos son significativos y los de la Q-Stat sonmayores a 0.05.

Grafica 12. Estacionalidad en la Media de Cetes e Inflacion

Se observa en la grafica 12 una tendencia de V5 en sus medias, por lo tantose realiza el pronostico de esta serie y de la misma forma para la serie V6.


En la grafica 13 se observa los datos historicos y pronosticos de V5 y V6 .Donde la terminacion sm indica la serie suavizada.

Tabla 7 Valores Pronosticados Mediante el Suavizamiento Exponencial de Holt-Winters

Grafica 13. Historicos y Pronosticos de Cetes e Inflacion

En la tabla 8 se muestran los valores pronosticados para TREMA portrimestre durante 2010.

Tabla 8. Valores pronosticados para TREMA

Los hallazgos encontrados para TREMA en cuanto al pronostico realizadopor el metodo de Suavizamiento Exponencial (Holt Winters ,1960) son similares


a los resultados obtenidos por el Modelo ARIMA para los pronosticos de FNE.Los cuales se presentan enseguida:

Tabla 9.Comparativo entre los valores pronosticados y reales de V5 y V6

Se observa que la diferencia entre el valor pronosticado y el valor observadoes mınima, por lo cual se comprueba que el metodo para el pronostico de estasseries de tiempo es optimo.

6. El modelo propuesto en esta investigacion

Tomamos del VPN discreto sus componentes principales que son los FlujosNetos de Efectivo y la Tasa Interna de Retorno para expresarlos, el primerocomo la estructura de un modelo ARIMA, ( Box-Jenkings,1976) Yt = β0 +β1(FNE)t−1 + ut , y el segundo como un modelo del tipo Suavizamiento Ex-ponencial, (Holt-Winters,1960) Yt = (β0 + β1) + Et + ut, entonces:

V PNT : −I0

n∑

t=0


1 + (β0 + β1) + Et + ut)n.

Como se observa esta propuesta infiere en el uso de los Modelos Econometri-cos para la generacion de pronosticos estocasticos. La relevancia de esto es quese captan los movimientos aleatorios de cada una de las variables explicativasque intervienen en el comportamiento de los Flujos Netos de Efectivo. Ası comolas variaciones estocasticas de las variables explicativas que conforman la tasainterna de rendimiento esperada de un proyecto de inversion.

7. Conclusiones

Como podemos observar la teorıa de procesos estocasticos aporta los elementosteoricos necesarios para evaluar proyectos de inversion desde una perspectivadistinta a la convencional. Al adicionar los metodos econometricos ARIMA ylos de Suavizamiento Exponencial en la generacion de pronosticos de lasvariables independientes del modelo VPN econometrico, se origina una impli-cacion directa, que los resultados obtenidos son mas certeros y cercanos a larealidad, segun se demuestra empıricamente al revisar la informacion financierapublicada por la empresa durante 2010, comparativamente con los resultadosque generarıa la evaluacion tradicional del VPN. De ahı la importancia de pro-poner un nuevo modelo para evaluar el VPN mediante modelos Autorregresivosy de utilizar este tipo de modelos en la evaluacion de inversiones de capital.


Aunado a lo anterior, se cuenta con una herramienta mas exacta parala proyeccion de Estados Financieros Pro-forma, mediante la modelacion yprediccion individual (mediante sus historicos) de cada variable que los inte-gra. Al utilizar el modelo ARIMA Univariante, se elimina la menos certeraproyeccion tradicional de la administracion y se origina informacion mas realpara la toma de decisiones de la firma.

8. Referencias

Ali, A. (1994). The incremental information content of earnings, working capi-tal from operations, and cash flows. Journal of Accounting Research. 32,pp 61-74.

Aigner, D. J. (1971). A Compedium on estimation of the, autoregressive mo-ving average model from time series data. International Economic Review.12(3), pp. 348-371.

Arnau, J. (2001). Disenos de series temporales: tecnicas de analisis. Barcelona,Edicion de la Universidad de Barcelona.

Barth, M. E., Hand, J., and Landsman, W.R.(1999). Accruals, cash flows, andequity values. Review of Accounting Studies. 4, pp. 205-229.

Bartlett, M.S. (1946). On the theoretical specification of sampling propertiesof autocorrelated time series. J. Roy, Statist., Ser. B. 8, pp. 27-41.

Box, George E.P. and F.M. Jenkins (1970). Time Series Analysis: Forecastingand Control, San Francisco, Calif. Holden-Day Inc.

Box, George E.P., and F.M. Jenkins (1976). Time Series Analysis: Forecastingand Control, 2nd. ed. Oakland, CA: Holden-Day.

Box, G.E. P. and Pierce, D. A. (1970). Distribution of autocorrelations inautoregressive integrated moving average time series models. J. Amer.Statis. Ass. 65, pp. 1509-1526.

Chatfield, C. (1978). The Holt - Winters forecasting procedure. AppliedStatistics. 27(3), pp. 264-279.

Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979). Distribution of the Estimators forAutoregressive Time Series with a Unit Root. Journal of the AmericanStatistical Association. 74, p. 427431.

Durbin, J., and Watson, G. S. (1950).Testing for Serial Correlation in LeastSquares Regression I. Biometrika. 37, pp. 409428.

Durbin, J., and Watson, G. S. (1951). Testing for Serial Correlation in LeastSquares Regression II. Biometrika. 38, 159179.

Gersh, W. and Genshiro, K. (1983). The Prediction of Rime Series with Trendsand Sesonalites. The journal de Business and Economic Statistic. 1(3), pp.253-264.

Glass, G. V.(1972).Estimating the effects of intervention into a non-stacionarytime-series. American Educational Research Journal. 9, pp. 463-477.

Granger, C. W. J., and Morris, M. J. (1976). Time Series Modelling andInterpretation, Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A. 139, pp.246-257.

Greenberg, R., Johnson, G. and Ramesh, K.(1986) . Earnings versus cashflow as a predictor of future cash flow measures. Journal of Accounting,Auditing, and Finance. 1, pp. 266-277


Hipel, K.W., Macleod, A.I., and Lennox, W.C. (1977). Advances in Box-Jenkins Modeling. The American Geophysical Union. 13(3), pp. 567-575.

Holt, C.C. (1959). Forecasting seasonals and trends by exponentially weightedmoving averages. ONR Research Memorandum, 52.

Holton y Keating (2007). Pronostico para los negocios (2 Edicion). Mexico:Mc-Graw Hill.

Jarque, C. M. and Bera, A. K. (1980). Efficient tests for normality, ho-moscedasticity and serial independence of regression residuals. EconomicsLetters. 6 (3), pp. 255259.

Jarque, C. M. and Bera, A. K. (1981). Efficient tests for normality, ho-moscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Car-lo evidence. Economics Letters. 7 (4) pp. 313318.

Jarque, C. M. and Bera, A. K. (1987). A test for normality of observations andregression residuals. International Statistical Review. 55 (2) pp. 163172.

Jimenez, J., Gazquez, J., and Sanchez, R. (2006). La capacidad predictiva enlos metodos Box-Jenkins y Holt-Winters: Una aplicacion al sector turıstico.Revista Europea de Direccion y Economıa de la Empresa. 15(3), pp. 185-198.

Kendall, M.G. (1944).On Autoregressive Time Series, Biometrika. 33, pp. 105-122.

Lorek, K y Willinger, G. (1996). A Multivariante Time-Series Prediction ModelFor Cash-Flow. The Accounting Review, Vol. 71, American AccountingAssociation (jan 1996), pp. 81-102.

Maddala G.S, (1996). Introduccion a la econometrıa (2 Edicion). New York:Prentice Hall.

Mota, B. (2008). La Teorıa de Procesos Estocasticos en el Analisis de los Flujosde Efectivo de un Proyecto de Inversion. FCA-UNAM.

Mota, B. (2009). Una crıtica a la Teorıa tradicional del VPN: Una propuestapara evaluar los Flujos Netos de Efectivo de la Firma. Denarius, 19, 230.

Sargan, J. D., (1958).The estimation of Econornic relationships using instru-mental variables, Econometrica, 26. pp. 393-415.

Wing-keung, W. and Miller, R. (1990). Repeated Time Series Analysis ofARIMA-Noise Models. Journal of Business & Economic Statistics. 8(2)pp. 243-250.

Winters, P.R. (1960). Forecasting sales by exponentially weighted movingaverages. Management Science 6; pp. 324-342.

Trigeorgis, L. (1993). Real Options and Interactions with Financial Flexibility,Financial Management 22 (3), 202-224.



Comparando Distancias en los

Mercados Financieros MundialesLinda Margarita Medina Herrera∗

Ernesto Pacheco Velazquez∗∗

Recibido 12 de enero de 2011. Aceptado 15 de abril de 2011

Resumen

En este artıculo se analiza la correlacion de los principales ındicesfinancieros mundiales. Se compara la estructura del arbol de ex-pansion mınima construido a partir de la matriz de correlacion (distanciaeuclıdea) con los arboles de expansion mınima obtenidos usando tres distan-cias no euclideas. Se encuentra que los mercados en Europa Occidental, Asiay Norteamerica forman grandes conglomerados; mientras que los ındices de las

bolsas de Sudamerica, Europa del Este y Africa forman bloques menos fuertes.Se encuentra, ademas, que las distancias City Block y Chi-City Block permitendistinguir de una manera mas clara los conglomerados y el vertice central delarbol, siendo preferibles sobre el coeficiente de correlacion de Pearson paraanalizar la estructura de correlacion de los arboles.

Abstract

This paper analyzes the correlation of the world main financial indexes. Wecompare the structure of the minimum spanning tree constructed from thecorrelation matrix (Euclidean distance) with minimum spanning trees obtainedusing three Non-Euclidean distances. It is found that indexes in WesternEurope, Asia and North America form large clusters, while the indexes of SouthAmerica, Eastern Europe and Africa are less strong blocks. It is also found thatthe distances Chi-City Block and City Block , best separate clusters and pointexactly the central vertex of the tree. The above distances are preferable toPearson correlation coefficient to analyze the correlation structure of the trees.

Clasificacion JEL: C02, C22, C38, C45, C61,C81,D85

Palabras clave: Indices Financieros. Correlacion. Distancias. Arboles de expansion mınima.

1. Introduccion

La globalizacion financiera es un fenomeno que se ha venido desarrollando enlas ultimas decadas. Las crisis financieras que han azotado a numerosos paıses

∗ Departamento de Fısica y Matematicas, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad deMexico, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 2, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan,

14380 Mexico, D.F., Telefono +52(55)54832190, E-mail: [email protected]∗∗ Departamento de Ingenierıa Industrial, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de

Mexico, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 3, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan,

14380 Mexico, D.F., Telefono +52(55)54832190, E-mail: [email protected]

Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 89

y regiones del mundo, han sido frecuentes y con repercusiones que se han hechonotar en zonas geograficas muy distantes de su origen.

La estrecha interrelacion entre los mercados, la inestabilidad financieray las crisis economicas han producido una abundante literatura tratando deencontrar las causas de estos procesos, anticiparlos y analizar y comprender lamanera en que estos efectos son transferidos.

Desde hace unos veinte anos se ha venido desarrollando una literaturaparalela que entiende los mercados financieros como sistemas que son influen-ciados por una gran cantidad de informacion en tiempo real. Esta literaturaestadıstica se ha denominado Econofısica y ha tratado, especialmente, de es-tablecer estructuras jerarquicas, taxonomıas y simular el proceso aleatorio delos valores o los tipos de cambio de diversas acciones o monedas con el objetode analizar el grado de correlacion que existe entre las acciones y los diferentesmercados financieros (Mantegna, 1999; Bonano, 2001; Ortega, 2005; Medina,2010; entre muchos otros).

En artıculos recientes se ha mostrado la importancia de los arboles deexpansion mınima en el analisis del comportamiento de activos financieros. Lamayorıa de estas investigaciones utilizan la distancia euclidea para construir losarboles, una de las razones mas importantes para que esto suceda es la facilidadpara obtener esta distancia a partir de la matriz de correlacion. No obstante,no existe ninguna evidencia de que esta distancia sea la mas adecuada parala construccion y el analisis de estos arboles. De hecho, en este artıculo semostrara que otras distancias no euclideas permiten analizar de una maneramas adecuada, la estructura de correlacion de los ındices mundiales.

El presente artıculo analiza la estructura jerarquica y la dinamica de lasrelaciones existentes en un conjunto de ındices mundiales. Para ello, seconstruye arboles de expansion mınima (MST) y se calcula las medidas masimportantes sobre dichas redes.

2. Revision de la Literatura

Desde los trabajos fundamentales de Mantegna, Bonano y otros (1989), unagran cantidad de literatura ha proporcionado pruebas abrumadoras de que losmercados de valores se comportan como sistemas complejos. Existe una ampliaevidencia de que es posible estudiar las propiedades topologicas de las redesfinancieras, que tienen asociada un taxonomıa economica significativa. M.Tumminello, F. Lillo, R.N. Mantegna, (2010) presentan una novedosa e intere-sante revision de esta literatura.

Los arboles de expansion mınima han sido usados en la optimizacion deportafolios (Bonano, 2004), Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertesz (2002) ex-plotando la idea de que los activos del portafolio optimo de Markowitz estanpracticamente todo el tiempo en las ramas externas del arbol. Se han definidoimportantes medidas topologicas, con el fin de caracterizar los arboles y clasi-ficar los vertices dependiendo de sus distancias a un vertice especial que simulael centro de masa del arbol (M. Barthelemy, A. Barrat, R. Pastor-Satorras,2005).

Algunos estudios empıricos han mostrado que estas medidas son altamentesusceptibles a las crisis del mercado y que clasifican los sectores economicos deacuerdo a su importancia relativa en el arbol (Kim, D., and Jeong, H.,2005),


(Tabak, B. Serra, T. Cajueiro, D., 2010), (Medina, L. Mansilla, R. ,2007) y(Medina, L. Dıaz, B. ,2011).

La investigacion reciente ha aportado indicios de que las redes financierasevolucionan con el tiempo (R. Coelho, S. Hutzler, P. Repetowicz, P. Richmond,2007). Sin embargo, hasta ahora no hay una prueba clara de si los parametrosque caracterizan a las redes financieras cambian en cierto plazo. Tampocoexiste evidencia de que la distancia euclidea y el coeficiente de correlacion quese obtiene a partir de ella, sea la forma mas adecuada de obtener la taxonomıade los arboles. Este documento pretende contribuir a este debate, comparandodistancias y analizando la taxonomıa de los arboles.

3. Distancias y arboles de expansion mınima

Sea N el numero de acciones con precio Pi(t) para el activo i en el tiempot, con t = 0, 1, 2, , T . Tomamos Si(t) como el logaritmo de los rendimientos delos activos Si(t) = lnPi(t) − lnPi(t − 1) y al estandarizar la serie, obtenemosZi(t) = Zit.

Las distancias que usaremos son:1. La distancia euclidea.

d2(Zi, Zj) =

T∑

k=1

(Zik − Z2

jk) = 2 − 2ρij

donde: ρit es el coeficiente de correlacion entre Zi y Zj .

2. Distancia de Manhattan o city block.

dM (Zi, Zj) =

T∑

k=1

|Zik − Zjk|

3. Distancia chi-cuadrado.

dX2(Zi, Zj) =

T∑

k=1

wk(Zik − Zjk)2

4. Distancia chi-city block.

dX(Zi, Zj) =

T∑

k=1

wk|Zik − Zjk|

La distancia chi-cuadrado permite estandarizar las distancias en terminosde sus rangos o desviaciones estandar. En este caso el analisis se realizo uti-lizando los rangos.

El calculo de los pesos se realizo usando wi = 1

Ri

donde Ri es el rango de

los precios de las acciones del dıa i con i = 1, 2, ..., T .Una vez calculada la matriz de distancia para cada una de estas distancias,

se construyen los correspondientes arboles de expansion mınima.Un arbol de expansion es una grafica de N objetos (vertices o nodos) unidos

por N − 1 arcos que permiten ir de un vertice a cualquier otro. Si cada arco


representa una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia un peso(numero real), la suma de los pesos de todos los lados de un arbol, sera el pesototal del arbol. Un arbol de expansion mınima es un arbol de expansion queminimiza el peso total del arbol.

Revisaremos brevemente las diferentes medidas y parametros que nos per-mitiran una primera caracterizacion estadıstica de los arboles.

Fortaleza del vertice: la fortaleza del vertice si se define como:

Si =∑

jεV (i)

dij

La fortaleza del vertice integra la informacion de su conectividad y de laimportancia de los pesos de sus vertices conectados.

Grado del vertice: El grado del vertice i, K(i), es el numero de nodos queestan conectados directamente al nodo i, esto es, el numero de elementos queintegran la vecindad de i , (V (i)).

El Promedio de ocupacion: es la distancia promedio del vertice vi a losdemas vertices, esto es:

l(vi) =1

N

n∑

j=1

vij

El nodo con promedio de ocupacion mas baja es el centro de masa delarbol.

El vertice central: El vertice central Vc es considerado como la raız de todoslos vertices del arbol. Se usa como punto de referencia en el arbol, contra elcual la posicion de los demas vertices es relativa. Hay un poco de arbitrariedaden la eleccion del vertice central, usaremos los siguientes criterios que puedenayudar a escoger al mejor candidato: el vertice de mayor grado, el vertice demayor peso y el centro de masa.

Arboles empıricos

Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio estanformadas por los precios de cierre diario de 45 ındices: America del Norte (6),America del Sur y el Caribe (7), Europa Occidental (8), Europa Oriental (7),

Africa (6), Asia y Oceanıa (11) en el periodo comprendido entre 01/01/2005 y27/09/2011.

La Fig. 1 Muestra el arbol de expansion mınima de los ındices financieroscuando se utiliza la distancia euclidea. En el arbol se distinguen claramentetres grandes conglomerados: el de America del Norte, liderado por S&P500 deUSA; el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia yAustralia liderado por HSI de Hong Kong.

Mexico aparece unido al conglomerado de America del Norte, pero tambienunido a los paıses Sudamericanos, en particular, por el ındice brasileno. Uncuarto conglomerado, corresponde a paıses Sudamericanos, que parecen tenermas influencia de los ındices Europeos (excepto por Jamaica y Venezuela,quienes muestran comportamientos atıpicos al resto de los paıses de esta region).

Los paıses de Europa Oriental tambien forman un pequeno conglomeradoalrededor de los ındices de los paıses de Europa Occidental. Los ındices de


paıses Africanos no forman conglomerados. Sin embargo, llama la atencion queel ındice de Sudafrica parece estar influenciada por el ındice FTSE250 del ReinoUnido.

Fig.1. El arbol de expansion mınima utilizando la distancia euclidea.

Se distinguen tres grandes conglomerados: Asia, Europa y Norteamerica.

En la tabla 1 se presenta un analisis del Grado, la Fortaleza y el Promediode Ocupacion de los vertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones.El vertice central es ocupado por el ındice frances CAC40.

Tabla 1. Esta tabla muestra los ındices que obtuvieron los valores optimos por region

cuando se utiliza la distancia euclidea. Los cinco mejores clasificados son el CAC40,

HSI de Hong Kong, el AS51de Australia, El FTSE250 del Reino Unido y el

S&P500 de USA. El CAC40 es el vertice con mayor grado y fortaleza y menor promedio

de ocupacion, lo cual lo convierte en el vertice central del arbol.


La Fig. 2 Muestra el arbol de expansion mınima de los ındices financieroscuando se utiliza la distancia City Block. En el arbol se distinguen cinco con-glomerados: el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el deAsia y Oceanıa liderado por HSI de Hong Kong; el de Europa del Este, queesta liderado por el WIG de Polonia; el bloque de America (que reune a todoslos paıses del continente) liderado por el S&P500 de Estados Unidos y un bloqueafricano liderado por el ındice BGSMDC de Botswana.

El unico paıs africano que aparece fuera del bloque es Sudafrica, quien nue-vamente aparece unido al ındice FTSE250 de Reino Unido; Jamaica y Venezuelamuestran nuevamente un comportamiento atıpico con respecto a su region; Ser-bia tambien aparece separado del resto de los paıses de Europa del Este; final-mente, Mexico nuevamente aparece unido al ındice S&P500 (USA2) y al ındicebrasileno.

Fig.2. El arbol de expansion mınima utilizando la distancia City Block.

Se distinguen una mejor distribucion en los conglomerados.

La tabla 2 presenta un analisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio deOcupacion de los vertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. Elvertice central nuevamente es ocupado por el ındice frances CAC40


Tabla 2. Esta tabla muestra los ındices que obtuvieron los valores optimos por

region cuando se utiliza la distancia City Block. Un ındice de un paıs

africano y uno de Europa del Este pasan a formar parte de esta lista.

La Fig. 3 muestra el arbol de expansion mınima cuando se utiliza la dis-tancia Chi Cuadrada. En el arbol se distinguen tres conglomerados: el deEuropa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el de Asia y Oceanıaliderado por ındice australiano AS51 y el de America (que nuevamente reune ala mayorıa de los paıses de este continente) y liderado por el ındice MERVALde Argentina. Sudafrica nuevamente aparece unido al ındice de Reino Unido;Jamaica y Venezuela nuevamente se encuentran separados del resto de paıses desu region; Peru, Colombia y Chile estan mas unidos a Europa que a los paısesdel continente americano. Los paıses de Europa del Este se encuentran un pocomas dispersos que en las figuras anteriores, aunque nuevamente aparecen unidosa paıses de Europa Occidental; Mexico nuevamente aparece unido al ındice S&Py al ındice brasileno.

La tabla 3 presenta un analisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio deOcupacion de los vertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones.Como puede notarse, la fortaleza de los vertices se encuentra repartida entrevarios ındices aunque definitivamente el vertice central nuevamente se encuentraen el ındice frances CAC40.


Fig.3. El arbol de expansion mınima utilizando la distancia Chi Cuadrada.

Los conglomerados parecen distinguirse de forma menos clara que en los graficos anteriores.


cuando se utiliza la distancia Chi Cuadrada. No aparece el ındice de la

bolsa de Hong Kong ni tampoco ningun ındice de Estados Unidos.

La Fig. 4 muestra el arbol de expansion mınima cuando se utiliza la dis-tancia Chi City Block. En el arbol se distinguen muy claramente cinco grandes


conglomerados: el de Europa Occidental liderado por el ındice CAC40 de Fran-cia; el de Asia y Oceanıa liderado por el ındice de HSI de Hong Kong y el deAmerica (que nuevamente reune a la mayorıa de los paıses de este continente) yliderado por el S&P500 de Estados Unidos; Europa del Este esta liderado por elındice WIG (de Polonia) y finalmente un bloque mas claro de paıses africanosencabezados por y el ındice BGSMDC de Botswana.

El ındice de Sudafrica una vez mas aparece unido al ındice de Reino Unido;Jamaica y Venezuela estan separados del resto de paıses de su region; Colombiay Chile nuevamente estan mas cercanos a la economıa europea. Mexico apareceunido al ındice S&P500 pero separado del ındice brasileno.

Fig.4. El arbol de expansion mınima Chi City Block muestra a Francia

como vertice central y cinco conglomerados geograficos. El conglomerado central esta

liderado por el CAC40 de Francia.

Como podra observarse en la siguiente tabla, existe un ındice que lideraclaramente cada una de las regiones. La fortaleza de estos vertices no se encuen-tra disgregada, y se distingue claramente que el ındice frances CAC40 vuelve aser el vertice central del arbol.



cuando se utiliza la distancia Chi City. Aparece nuevamente el ındice de la

bolsa de Hong Kong y el ındice de la bolsa S&P500 de Estados Unidos.

Conclusiones

El arbol construido con la distancia euclidea muestra tres grandesconglomerados: el de America del Norte, liderado por S&P500 de USA; el deEuropa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia y Australialiderado por HSI de Hong Kong. El vertice central es el CAC40 seguido porHSI de Hong Kong. Las relaciones entre los ındices fuera de estos tres grandesconglomerados no son tan claras.

Las distancias City Block y Chi City Block nos permiten distinguir de unamanera mas clara los conglomerados, el vertice central y los ındices que liderancada region. Con estas distancias se logra vislumbrar dos conglomerados adi-cionales y encontrar relaciones entre ındices que no eran claras con la distanciaeuclidea. Europa, Asia y Norteamerica son las regiones en donde mas clara-mente se distinguen los conglomerados. El ındice frances CAC40 es el verticecentral bajo cualquiera de estas distancias.

Investigaciones futuras podrıan analizar el comportamiento de las medidasen diferentes horizontes de tiempo y su relacion con las crisis financieras. Estametodologıa tambien puede aplicarse a otras variables financieras y economicas.

6. ReferenciasEom, C., Oh, G., Woo-Sing Jung., Jeong, S. & Kim, S. (2009) Topological

properties of stock networks based on minimal spanning tree and randommatrix theory in financial time series, Physica A: Statistical Mechanics andits Applications 388.

Bonanno, G. , Caldarelli, G., Lillo, F., Mantegna, R.N. Topology of correlation-based minimal spanning trees in real and model markets, (2003) PhysicalReview E 68.


Bonanno, G. , Vandewalle, N., & Mantegna, R.N., Taxonomy of stock marketindices, (2000) Physical Review E 62 R7615.

Brida, J.G. & Risso, W.A., Multidimensional minimal spanning tree: the dowjones case, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 387 (2008)52055210.

Onnela, J.P., Chakraborti, A., Kaski, K., Kertesz, J., & Kanto, A., Dynamicsof market correlations: Taxonomy and portfolio analysis, (2003) PhysicalReview E 68.

Saramaki, J., Kivela, M., Onnela, J., Kaski, K., & Kertesz, J., Generalizationsof the clustering coefficient to weighted complex networks, Physical ReviewE 75(2007) 027105.

Barthelemy, M., Barrat, A., Pastor-Satorras, R., & Vespignani, A. Charac-terization and modeling of weighted networks, (2005) Physica A 346 3443.

Tumminello, M., Aste, T., Di Matteo, T., & Mantegna, R.N. , Correlationbased networks of equity returns sampled at different time horizons, (2007)EPJB 55 209217.

Medina, L., & Mansilla, R. (2007) Un arbol de expansion mınima en la BolsaMexicana de Valores, Revista de Administracion, Finanzas y Economıa(Journal of Management, Finance and Economics) (2007) vol. 1, issue 2,pages 116-124

Medina, L., & Dıaz, B., Caracterizacion y modelado de redes: el caso de laBolsa Mexicana de Valores. (2011) Revista de Administracion, Finanzas yEconomıa (Journal of Management, Finance and Economics) vol. 1, issue1.

Hage, P., & Harary, F. Eccentricity and centrality in networks, (1995) SocialNetworks 17

Mantegna, R.N. Hierarchical structure in financial markets, (1999) EuropeanPhysical Journal B 11 193197.

Mantegna, R.N., & Stanley, H.E. An Introduction to Econophysics: Correla-tions and Complexity in Finance, Cambridge University Press, Cambridge,2000.

Cukur, S., Eryigit, M., & Eryigit, R. (2007) Cross correlations in an emergingmarket financial data, Physica A: Statistical Mechanics and its Applica-tions 376 555564.

Tabak, B., Serra, T., & Cajueiro, D. Topological properties of stock marketnetworks: The case of Brazil. (2010) Physica A 389 3240-3249

Jung, W.S., Chae, S., Yang, J.S., & Moon, H.T. Characteristics of the koreanstock market correlations, (2006) Physica A: Statistical Mechanics and itsApplications.

INSTRUCCIONES PARA LOS AUTORES

1) La Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics) recibe trabajos de investigación en cualquiera de las áreas o especialidades de administración, economía, contabilidad y finanzas; en la dirección electrónica: < [email protected]>

2) Los trabajos que se sometan a arbitraje y dictaminación deberán ser inéditos y no podrán ser enviados simultáneamente para su publicación en otro medio. 3) Los trabajos pueden ser escritos en español o inglés. 4) El documento puede ser escrito en cualquier editor de texto (Word, PcTex,

MiKTex, LaTex) con letra tipo Times New Roman, tamaño 11 a doble espacio. El justificado no se deberá realizar en los primeros párrafos de cada sección o después de una tabla o fórmula.

5) Los títulos y subtítulos de secciones se escribirán de tamaño 14 y en negritas, comenzando siempre con una capitular. Se numerarán empleando la numeración arábiga. La numeración para los subtítulos será una numeración anidada: 2.1., 2.2., 2.3., etc.

6) La primera página del documento deberá contener a) título del trabajo; b) nombre del autor o autores, sin incluir el grado académico; c) institución de filiación; d) resumen de no más de 100 palabras en inglés y en español; palabras claves en Inglés y Español; f) clasificación JEL, disponible en el sitio electrónico: http://www.aeaweb.org/journal/jel_class_system.html#G y g) al pie de página deberán incluirse domicilio, teléfono y correo electrónico del autor o de los autores para recibir correspondencia.

7) Sólo podrá existir un pie de página adicional en la primera hoja. En dicho pie podrán los autores expresar sus agradecimientos o incluir alguna información adicional que consideren relevante. 8) Las ecuaciones deben estar numeradas consecutivamente, al igual que los cuadros, las figuras y las gráficas. 9) Los cuadros, gráficas y figuras deben poseer un título o encabezado que las distinga. Cada cuadro, gráfica o figura deberá incluir alguna referencia, el origen de la fuente de información y siempre deberá presentarse en blanco y negro. 10) La relación bibliográfica deberá presentarse al final del documento, en orden alfabético de autores y éstas deben ser como: Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía Mexicana, núm. 7, pp. 21-33. Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384. Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John Wiley, New York. Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238. The Trouble with Rational Expectations and the Problem of Inflation Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).


INSTRUCTIONS TO AUTHORS

1) Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics) is a peer reviewed scientific journal and receives manuscripts with subject matter in Management, Economics, Accounting and Finance. Articles should be sent to:

< [email protected]> 2) Manuscripts will be considered for possible publication provided they are unpublished and not submitted elsewhere. 3) The articles could be written in English or Spanish. 4) The manuscripts could be written in Microsoft Word, PcTex, MiKTex, or LaTex format, the font must be Times New Roman, size 11 and pages must be double spaced. Do not use indentation in the first paragraph of each section or after a table or equation. 5) Titles and subtitles of sections should be written in size 14 and bold faces. It should use the arabic numerals. Numerals for the subtitles should be consecutive: 2.1., 2.2., 2.3., etc. 6) The Cover page should include: a) titles of the paper; b) full name of the author(s), no specification of academic grade; c) institutional affiliation(s) ; d) a summary of your …paper in English and Spanish of at most 100 words; e) keywords in English and …Spanish;_f)_JEL_classification,_which_can_be_found_in:_http://www.aeaweb.org/journ…al/j_el_class_system.html#G and g) footnote should has: address, telephone and …electronic mail of the author(s). 7) Only one footnote at the first page is allowed. In the footnote, the author(s) could include some relevant information. 8) The equations should be in consecutive arabic numerals, and the same applies for the tables, figures and graphics. 9) Tables, figures and graphics should have a title. Each table, figure, graphic should include any reference or source. 10) Bibliographical references will be at the end of text with the author(s) in ….alphabetical order, according to the following examples: Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía Mexicana, núm. 7, pp. 21-33. Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384. Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John Wiley, New York. Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238. The Trouble with Rational Expectations and the Problem of Inflation Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).


EGADE BUSINESS SCHOOL

Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management,

Finance and Economics) es una revista de investigación científica con arbitraje,

sus artículos son responsabilidad de los autores, son ajenos a ella las institu-

ciones que representan, la revista o el Tecnológico de Monterrey.

Índice en el que aparece la revista: IDEAS-RePEc.

Revista de Administración, Finanzas y Economía

(Journal of Management, Finance and Economics)

EGADE Business School

Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P. 14380, México D.F.

Aulas III, cuarto piso. Tel.+52(55) 54832020 ext. 1390 y 1392

Correo electrónico: [email protected]

Página: http://www.egade.mx

(Elegir “DOCTORAL PROGRAMS” y “PUBLICATIONS”)


http://www.egade.mx/

Documents

REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA · Emeritus Professor of Management & Economics in the Paul Merage ... Enrique Cásares Gil ... M. Beatriz Mota Arago´n y Faviola