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Matemáticas, sucesiones geométrica y aritméticas, probabilidades, contéo.
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La historia de las matemáticas.
La magia de las matemáticas.
La historia de las matemáticas.
La magia de las matemáticas.
Ejemplo:
Si el dominio de la función f(x)=2x-1, es
el conjunto de los números naturales,
encontraremos los elementos del
recorrido es decir los términos de la
sucesión.
Solución:
Dominio Recorrido
1 _____________f (1)= 2(1)-1= 1
2 _____________f (2)= 2(2)-1= 3
3______________f (3)=2(3)-1= 5
Según esto los términos de la sucesión
son:
{1, 3, 5, 7, 9, 11,…}
Cuando se enumeran los términos de
una sucesión se acostumbra suprimir las
llaves y también escribir el término
n-esimo, es decir que resulta de
sustituir x por n, donde n es un número
natural desconocido.
Así es nuestro ejemplo, los términos de
la sucesión son:
1, 3, 5, 7, 9,11,…, (2n-1)
El termino f(n)=2n-1, recibe el nombre
de termino general de la sucesión y es la
misma ley de asignación de la función,
con la única diferencia que en vez de x
aparece n.
A partir del término general de una
sucesión se obtienen todos los términos
restantes.
Definición:
Se llama sucesión a
una función cuyo
dominio es el
conjunto de los
números naturales N.
Sucesiones.
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Definición:
Se dice que una sucesión es
Aritmética cuando la diferencia entre
un término cualquiera y el anterior
es constante.
En el caso de las sucesiones aritméticas
el término general se calcula en 2
etapas:
ETAPA 1:
La primera parte del término general se
obtiene multiplicando n por la
diferencia que hay entre dos términos
consecutivos.
ETAPA 2:
Al sustituir n por 1 en la primera
expresión que se ha construido en la
etapa anterior deberá obtenerse el
primer término. Si esto no ocurre
porque hay una diferencia, ya sea por
exceso o por defecto, entonces ala
expresión deberá restársele o
sumársele.
Ejemplo:
Encontremos el término general de la
sucesión cuyos términos son:
7, 11, 15,…
Solución:
Podemos observar que se trata de una
sucesión aritmética por que es constante la
diferencia de término a término.
El término general se obtiene de la siguiente
manera:
1) diferencia entre dos términos
consecutivos es 4. Por tanto la
primera parte del término general es:
4n
2) al sustituir n por 1 resulta: 4(1)=4. A
este número debemos sumarle 3
unidades para que sea igual al primer
término de la sucesión, que es 7,
entonces el termino general resulta
ser
F(n)= 4n+3
Dominio Recorrido
1______________f (1)= 7
2______________f (2)= 11
3______________f (3)= 15
efectivamente el termino general es
f(n)=4n+3
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Definición:
Una sucesión es geométrica si el
cociente entre dos términos
consecutivos es constante.
El término general de una
sucesión geométrica se calcula en
dos etapas de la manera siguiente:
Etapa 1:
La primera parte del término general se
obtiene elevando a la potencia “n”, el
cociente entre dos términos
consecutivos.
Etapa 2:
Al sustituir n por 1, en la expresión
que se ha obtenido en la etapa
anterior, debería obtenerse el primer
termino de la sucesión. Si no ocurre
entonces deberá multiplicarse por la
constante necesaria para obtener
dicho primer término.
Ejemplo:
Obtengamos el término general de
9, 27, 81,…
Solución:
El cociente entre un término y el anterior
es constante e iguala 3.
1) la primera parte del termino general
es por lo tanto:
3n
2) al sustituir n por 1 tiene 31= 3
En este número debe multiplicarse por 3
para obtener el primer término de la
sucesión, que es 9. Por lo tanto el termino
general buscado es f(n)=3(3n)=3n+1
Los términos de la sucesión son:
32, 33, 34,…
Calculo del término general de
una sucesión geométrica.
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Los factoriales de los primeros cinco
números naturales son:
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Aunque el cero no es un número
natural se define su factorial como igual
a 1. Por tanto
1! = 1 y también 0! = 1
Ejemplo:
Juan el indeciso desea comprar comida
rápida para ir a cenar a su casa, pero no
se ha decidido entre pizza o
hamburguesa. Tampoco por la bebida si
refresco o gaseosa?
De cuantas formas podría cenar Juan?
Refresco
Pizza gaseosa
Refresco
Hamburguesa gaseosa
Formas:
=Pizza-refresco
=Pizza-gaseosa
=Hamburguesa-refresco
=Hamburguesa-gaseosa
Las formas que tiene de comer comida
rápida son cuatro es decir que tiene 4
formas para escoger su comida.
Que es el factorial de un numero natural?
El factorial de un numero natural es el producto de dicho numero por todos los números naturales menores que el.
Conteo
La primera operación matemática y que sirve
de base a todas las demás es la de contar. Es de
mayor utilidad conocer técnicas especiales
para poder contar con mayor rapidez estas son
las técnicas de conteo.
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Ejemplo:
Cuantas cantidades de 4 cifras
significativas se pueden formar con los
números dígitos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8,9?
a) Si no se permite la
repetición.
9 man x 9 man x 8 man x 7 man
1ra op. 2da op. 3ra op. 4ta op.
4,536 cantidades significativas que se
pueden formar con los números dígitos
si no se permite la repetición.
b) Si se permite la repetición.
9man x 10man x 10man x10man
1ra op. 2da op. 3ra op. 4ta op.
9,000 cantidades de 4 cifras
significativas que se pueden formar con
los números dígitos si se permite la
repetición.
Ejemplo:
Se esta organizando una excursión y no
se sabe todavía si visitar una playa o una
montaña. Si existen cuatro posibles
playas y cinco montañas para ser
visitadas. De cuantas maneras diferentes
se puede organizar la excursión?
Solución:
Una operación:
Se visita una playa 4 maneras
Otra operación:
Se visita la montaña 5 maneras
La excursión puede organizarse de
4+ 5= 9 maneras
Nota: para distinguir entre el principio
de la multiplicación y la suma se debe
considerar así:
Principio de la Multiplicacion
Si una primera operación
puede realizarse de n
maneras y a continuación
una segunda puede hacerse
de m maneras. Entonces las
dos operaciones, una a
continuación de la otra,
pueden realizarse de n x m.
Principio de la Suma
Si dos operaciones no pueden
efectuarse simultáneamente y una de
ellas puede hacerse de n maneras
diferentes; mientras que la otra puede
hacerse de m maneras, entonces una
operación o la otra pueden efectuarse
de n + m maneras.
a) Una operación y la otra, se hace
uso del principio de la
multiplicación.
b) Una operación o la otra, se hace
uso del principio de la suma.
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En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1, 2, 3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
Ilustración:
Con los números 3 y 4 se pueden construir dos permutaciones que son:
34 y 43.
(El orden de aparición de cada uno de los elementos es importante).
Ejemplo:
De cuantas maneras se pueden permutar las cinco letras vocales?
5m x 4m x 3m x 2m x 1m
1a 2a 3a 4a 5a
5!= 120 permutaciones.
Una permutación de n objetos, es todo arreglo de estos
objetos, en que el orden de aparición de cada uno de ellos se
toma en cuenta.
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También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) 2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
Ejemplo:
Cuantas combinaciones de tres letras pueden obtenerse a partir de las vocales?
Solución:
5 5! 5!
3 3! (5-3)! 3!2!
= 10 combinaciones
Una combinación es toda selección de objetos en la que no se
toma en cuenta el orden de aparición de estos.
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Estudiemos
probabilidades
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En teoría de la probabilidad un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo
conjunto aparente de condiciones iníciales, puede presentar resultados diferentes, es
decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia
particular.
Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos
los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo.
Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber
exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío.
Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son los siguientes:
a) extraer una bolita de una urna que contiene 10 bolitas numeradas del 0 al 9.
b) marcador final de dos equipos de baloncesto que realizan un partido.
c) someterse a un examen medico, para ver la cantidad de glóbulos rojos por mm3.
Se llama fenómeno o experimenta aleatorio a todo aquello que
no se sabe exactamente de que manera ocurrirá.
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En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E,
S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un
experimento aleatorio.
Ejemplo:
El ratón de la izquierda buscara el queso de la derecha. Cual es el espacio muestral
adecuado para la ruta que seguirá?
A C E
B D F
S= {ACE, ACF, ADE, ADF, BCE, BCF, BDE, BDF}
Se llama especio muestral al conjunto formado por todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio.
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En la [teoría de la probabilidad], un evento o suceso es un subconjunto de un espacio
muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un
experimento aleatorio. Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va
a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo
en varias ocasiones.
Ejemplo:
De una urna que contiene 3 bolitas blancas y 3 rojas, se extraen tres, una después de la
otra. Si se tienen los dos sucesos
A: “salen mas bolitas blancas que rojas”
B: “sale un numero impar de bolitas blancas”
Encontremos los sucesos A, B.
Solucion:
S= {bbb, bbr, brb, rbb, brr, rbr, rrb, rrr}
A= {bbb, bbr, brb, rbb}.
B= {bbb, brr, rbr, rrb}.
Se llama suceso o evento a todo subconjunto del espacio
muestral.
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