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transformada z y sus aplicaciones
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Transformada Z:
La transformada Z, al igual que otras
transformaciones integrales, puede ser
definida como una transformada
unilateral o bilateral, el papel de la
transformada z en los sistemas
discretos es similar al de la
transformada de laplace en los sistemas
continuos. La transformada Z de una
función en tiempo continuo X(t), solo
se toman los valores muestreados de
X(t), esto es X(0), X(T), X(2T),……,
donde T es el período de muestreo. La
Transformada Zeta (TZ) se emplea en
el estudio del Procesamiento de
señales Digitales, como son el análisis y
proyecto de Circuitos Digitales, los
Sistemas de Radar o
Telecomunicaciones y especialmente
los Sistemas de Control de Procesos
por computadoras.
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Funciones Elementales
La aplicación de la transformada Z se
demuestra
calculando la Transformada Z de
Funciones Elementales
tales como escalón unitario, rampa
unitaria, exponencial.
Teoremas y propiedades
de la transformada Z
El uso de la Transformada Z
puede facilitar las
propiedades y teoremas de
ésta, las cuales se basan y se
obtienen de la definición. Se
supone que la función del
tiempo x(t) tiene
transformada z y que x(t) es
cero (0) para t<0.
Es importante resaltar la
aplicación de cada
propiedad con Ejemplos
en particular el Teorema
de Corrimiento el cual
representa básicamente
el desplazamiento de una
señal y su respectiva
transformada Z.
Pag. 2
Teorema de traslación real.
Siendo n un entero no negativo (positivo o
cero),
entonces
y
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Teorema de traslación compleja.
Si x ( t ) tiene la transformada z, X( z ) ,
entonces la
transformada z de
Viene dada por
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Teorema del valor inicial.
Si x ( t ) tiene por transformada z, X( z ) , y si el
existe, entonces el valor inicial x ( 0) de x ( t ) ó x
( k )
está dado por
El teorema del valor inicial es
conveniente para verificar la
incidencia de posibles
errores en el cálculo de la
transformada z. Debido a que x
( 0) se suele conocer,
comprobar su valor mediante
el límite ayuda a descubrir
errores en la transformada z, si
éstos se producen.
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Teorema del valor final.
Suponemos que x (kT) , siendo T el
periodo de muestreo, tiene la
transformada
z, X ( z ) , con x (kT) = 0 para valores
negativos de k, y que todos los polos de
X(z ) están dentro del círculo unitario,
con la posible excepción de un sólo polo
en
z = 1. Esta es la condición para la
estabilidad de X ( z ) , es decir, la
condición para que
x(kT) (k = 0, 1, 2...) permanezca finita.
Entonces el valor final de x (kT) , que es
su
valor conforme el tiempo tiende a
infinito, puede obtenerse mediante
El teorema del valor final
es muy útil para
determinar el
comportamiento de
x(k ) a medida que k
tiende a infinito, a partir de
su transformada z, X ( z )
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Transformada Z unilateral
Consideraremos la definición de la
Transformada Z Unilateral, la cual al
muestrear una señal discontinua x(t),
se supone que la señal es continua por
la derecha. De forma alternativa, en los
casos en que x[n] está definida
únicamente para n ≥ 0, la transformada
Z unilateral se define como
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es
causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con
ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de
probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable
discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como
X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles
en la teoría de la probabilidad
La transformada z representa el
proceso de muestreo de una
señal.
Así como se puede determinar la
transformada Z de una función
continua también podemos
determinar la transformada de Z de
una Función definida en Laplace, ya
que esta representa una función de
tiempo continuo.
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Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el
dominio del tiempo discreto x[n] es una función
X(z) que se define
Donde n es un entero y z es, en
general, un número complejo de la
forma z = Aejω
Donde A es el módulo de z, y ω es
la frecuencia angular en radianes
por segundo (rad/s).
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Transformada Z inversa
La notación de la transformada Z inversa es Z-1.
la transformada z de inversa de X(z) da como resultado la
correspondiente secuencia x(k) o x(t). A partir de la
transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k),
pero no da una única x(t). La secuencia de tiempo x(kT) o x(k) es
cero para k<0.
La Transformada Z inversa se define
donde C es un círculo cerrado que envuelve el
origen y la región de convergencia (ROC). El
contorno, C, debe contener todos los polos x(z).
Un caso especial y simple de esta integral circular es
que cuando C es el círculo unidad (que también
puede usarse cuando la ROC incluye el círculo
unidad), obtenemos la transformada inversa de
tiempo discreto de Fourier:
La TZ con un rango finito
de n y un número finito de
z separadas de forma
uniforme puede ser
procesada de forma
eficiente con el algoritmo
de Bluestein.
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Métodos para Obtener la
Transformada Z Inversa.
Método de la División Directa
Se obtiene mediante la expansión
de x (z) en un serie infinita de
potencia Z-1, este método es útil
cuando es difícil obtener la expresión
en forma cerrada para la
transformada Z inversa o cuando
desea encontrar sólo algunos de los
1ros términos de x(K).
Este método se utiliza cuando es difícil encontrar una expresión en
forma cerrada de la transformada z inversa o si se desea encontrar sólo
algunos de los primeros términos de x(k)
Método Computacional
Se presentan 2 enfoques
para determinar la
transformada z:
· Enfoque de MATLAB
· Ecuación en Diferencias.
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Matlab.
Se puede utilizar Matlab para determinar la tranformada z inversa. A partir
de una ecuación específica. Este software tiene una cantidad de funciones y
órdenes muy útiles para resolver problemas de Ingeniería de Control tanto
para sistemas continuos como para sistemas discretos.
Una vez que se ha estudiado los aspectos teóricos se puede utilizar
MATLAB ya que tiene como ventaja que produce soluciones numericas que
implican varios tipos de operaciones incluyendo vectores y matrices.
Ecuación en Diferencias.
Para determinar la transformada z inversa utilizando este enfoque se deben
seguir los siguientes pasos:
• Dada la función (Por ejemplo G(z)) donde su entrada es la función Delta
Kronecker, se linealiza la función, relacionando la entrada con la salida.
• A la función linealizada le aplicamos el Teorema de Corrimiento y
obtenemos una ecuación en diferencias.
• En la ecuación en diferencias sustituimos para los valores de k que nos
permitan encontrar los datos iniciales y(0) y y(1)
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Para encontrar la transformada z inversa, si X(z) tiene uno o más
ceros en el origen (z=0), entonces X(z)/z o x(z) se expande en la
suma de términos sencillos de primer o segundo orden mediante
expansión en fracciones parciales y se emplean una tabla de
transformada z para encontrar x(t) en cada uno de los términos
expandidos.
Antes de estudiar el Método es indispensable realizar un repaso
del Teorema de Corrimiento de la Transformada z, ya que esta es
una herramienta indispensable al aplicar Fracciones Parciales.
Método de Fracciones Parciales
Este mètodo se aplica igual que el de
Transformada de Laplace, es muy
empleado en problemas rutinarios de
transformadas z. El Método requiere
que todos los términos de las
expansiones parciales se puedan
reconocer fácilmente en la tabla de
pares de Transformada Z.
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Método de la Integral de Inversión
Esta es una técnica util para la obtención de la
transformada z inversa. Está basada en la
definición de la Integral de Inversión la cual da
como resultado Residuos de la función X(z)zk-1,
asi se puede definir que :
Z[x(t)] = x(k) = K1 + K2 + K3 + ........... Km
Donde K1, K2, K3 ........... Km son los residuos de
los polos de la función X(z)zk-1
Debe observarse que el método de la integral
de inversión se evalua por residuos, siempre y
cuando la función X(z)zk-1 no tenga polos en el
origen (z=0).
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Región de convergencia (ROC)
Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como
una serie de
potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los
cuales converge la
serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de
X(z) como el
conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere
valores finitos.
Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe
también indicar su correspondiente ROC , esta define la región
donde la transformada-z existe.
Propiedades de la Región de Convergencia:
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la
características de la señal, x[n].
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1.La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es
donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z
para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
2.Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es
todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.
3.Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se
extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z].
4.Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se
extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z].
5.Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en
el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.
Ejemplo 1 (Sin ROC)
Sea Expandiendo en obtenemos
Siendo la suma
No hay ningún valor de Z que
satisfaga esta condición
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Ejemplo 2 (ROC causal)
Sea (donde u es la
función escalón). Expandiendo en
obtenemos
Siendo la suma
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Ejemplo 3 (ROC anticausal)
Sea
(donde u es la función escalón).
Expandiendo entre
obtenemos:
Siendo la suma
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ROC muestra en azul, el círculo unitario
como un punto gris circular y el circulo
exterior muestra del círculo.
Conclusión de los ejemplos
Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la
transformada de es única si y sólo si se
especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos
y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos
como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está
en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples
polos: la ROC nunca contiene polos.
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En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que
incluye , mientras que al sistema anticausal del
ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye .
La estabilidad de un sistema se puede determinar
simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC
contiene el círculo unidad (p. ej. ) entonces
el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el
sistema causal es estable porque contiene
el círculo unidad.
Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un
ambiguo) podemos determinar una única señal en función
de que ramos o no las siguientes propiedades:
.Estabilidad
.Causalidad
Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo
unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al
infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe
contener al origen.
De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo
que sea única.
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Propiedades
Linealidad: La TZ de una
combinación lineal de dos
señales en el tiempo es la
combinación lineal de sus
transformadas en Z.
Desplazamiento temporal:
Un desplazamiento de k hacia
la derecha en el dominio del
tiempo es una multiplicación
por z−k en el dominio de Z.
Convolución: La TZ de la
convolución de dos señales en
el tiempo es el producto de
ambas en el dominio de Z.
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donde X(t) es la señal continua muestreada,
X [n]= X(nT) la n-ésima muestra, T el
período de muestreo, y con la sustitución :
Z= e^sT
Del mismo modo, la TZ unliateral es
simplemente la transformada de Laplace
unilateral de la señal ideal muestreada. En
ambas se asume que la señal muestreada
vale cero para todos los índices negativos en
el tiempo.
Relación con Laplace
La TZ bilateral es simplemente la
transformada de Laplace
bilateral de la señal muestreada
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Relación con Fourier
La TZ es una generalización de
la transformada de Fourier de
tiempo discreto (DTFT). La
DTFT puede hallarse
evaluando la TZ X(z) en
z=℮^jw o, lo que es lo mismo,
evaluada en el círculo unidad.
Para determinar la respuesta
en frecuencia del sistema, la TZ
debe ser evaluada en el círculo
unidad.
UN APORTE
IMPORTANTE
Jean-Baptiste-Joseph
Fourier, fue
un matemático y físico francés
conocido por sus trabajos sobre
la descomposición de funciones
periódicas en series
trigonométricas convergentes
llamadas Series de Fourier,
método con el cual consiguió
resolver la ecuación del calor.
La transformada de
Fourier recibe su nombre en su
honor. Fue el primero en dar una
explicación científica al efecto
invernadero en un tratado. Se le
dedicó un asteroide que lleva su
nombre y que fue descubierto
en1992.
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Aplicaciones en la vida Real
de la transformada Z
Es utilizada en el procesamiento
de imágenes digitales. como por
ejemplo los televisores de alta
definición y las cámaras digitales
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Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes
La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una
representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media
autorregresiva.
Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por α0, si no es cero,
normalizando α0=1 la ecuación LCCD puede ser escrita
Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la
salida actual Y(n) se define en función de las salidas anteriores Y(n - p) , la
entrada actual X(n) , y las entradas anteriores X(n – p) .
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Función de transferencia
Se calcula haciendo la TZ de la ecuación
y dividiendo
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Ceros y polos
Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que
el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el
denominador tiene N raíces (llamadas polos).
Factorizando la función de transferencia
Donde qk es el k-ésimo cero y pk es el k-ésimo polo.
Los ceros y polos son por lo general complejos, y por
tanto se pueden dibujar en el plano complejo.
En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación
obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los
polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a
cero el denominador.
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Grafica Simple de Polos y Ceros
H(z)=z(z−1/2)(z+3/4)
Los ceros son: {0}
Los polos son: {1/2,−3/4}
Graficas de Polos y Ceros
Figura: Usando los ceros y polos de la funcion de
transferencia, un cero es graficado a el valor cero y los
dos polos se colocan en 1/2 y −3/4
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Salida del sistema
Si por un sistema H(z) pasa una señal X(z) entonces la
salida será Y(z) =H(Z) X(z) . Haciendo una
descomposición en fracciones simples de Y(z) y la TZ
inversa de cada una de ellas puede encontrarse
entonces la salida Y(n)
Región de convergencia de la transformada z.
Como se puede observar, la transformada z se
puede expresar como una serie de
potencias infinita y existe sólo para aquellos
valores de z para los cuales converge la
serie. De esta forma, se define la región de
convergencia (ROC) de X(z) como el
conjunto de todos los valores de z para los cuales
X(z) adquiere valores finitos.
Siempre que se calcule la transformada z de una
secuencia, se debe también indicar
su correspondiente ROC. En el ejemplo 1, X(z)
toma valores finitos para todo z
excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se
define como C-{0}
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