Revista Matematica-Volumen 76 Nx

8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx

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Sociedad CanariaIsaac Newton de Profesores de Matemticas

NNMMEE RR OO SSRevista de Didctica de las Matemticas

MMaarrzzoo ddee 22001111 VVoolluummeenn 7766


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http://www.sinewton.org/numeros

Volumen 76, marzo de 2011, pginas 34ISSN: 1887-1984

Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas

ndice

Editorial

Alicia Bruno y Antonio Martinn 5

Apertura

Martin Gardner, inspirador de la Expo 20007-18

Luis Balbuena Castellano

Monogrfico: Martin Gardner

Magia y Matemticas de la Mano de Martin

19-29Pedro Alegra Ezquerra

MatemGicas31-46

Carlos Vinuesa del Ro

Artculos

La fascinante matemtica de los nudos 47-54Rafael Andrs Alema Berenguer y Estrella Jornet Gil

Las Tablas y Grficos Estadsticos como Objetos Culturales55-67

Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo Caadas y J. Miguel Contreras

Las actividades matemticas y su valor competencial. Un instrumento para su

deteccin 69-82Llus Mora Caellas y Nria Rosich

Dificultades en la interpretacin del concepto de variable en profesores de

matemticas de secundaria: un anlisis mediante el modelo 3UV 83-103Jos Antonio Jurez Lpez

Matemticos y Matemticas solidarios105-118

Inmaculada Gayte Delgado y Juan Nez Valds

La presencia matemtica en la isla de La Palma119-134

Jos Antonio Martn Corujo


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ndice (continuacin)

4 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011

Secciones

Experiencias de aula

Coloreando la geografa desde el plano al toroide135-148

Teresa Braicovich y Raquel Cognigni

Problemas

A propsito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y ms de abuelos149-156

Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz

En la red

Los clickers en el aula de matemticas157-166

Isabel Marrero

Juegos

La Matemagia en Martin Gardner. (Introduccin al uso de la matemagia en la

escuela). Graduacin de la dificultad en el Cubo SOMA (II) 167-175Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz

Leer Matemticas

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas. Martin Gardner177-180

Resea: Jos M. Mndez Prez

Rosquillas anudadas. Martin Gardner181-185

Resea: Jos Rodrguez Expsito

Informaciones 187-188

Normas para los autores 189


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Volumen 76, marzo de 2011, pgina 5

ISSN: 1887-1984

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Editorial

Alicia Bruno y Antonio Martinn, Directores

Dedicamos este volumen a la figura de Martin Gardner, que falleci el 22 de mayo de

2010. Se trata de una figura polifactica, que destac como divulgador de las Matemticas,

contribuy a difundir los juegos matemticos, fue un especialista en trucos mgicos,

especialmente con fundamento matemtico, adopt una actitud beligerante frente a la

pseudociencia y tambin dej una obra filosfica.

La apertura de este volumen ha sido realizada por Luis Balbuena Castellano, quien se

centra en la faceta de Martn Gardner como difusor de juegos y entretenimientos matemticos.

Luis Balbuena nos muestra cmo esa difusin ha llegado a muchos rincones del mundo.

Prueba de ello, es la exposicin itineranteMatemticas 2000, realizada en Canarias el ao

2000 (Ao Mundial de la Matemticas), en la que se recogen muchos de los juegos planteadospor Martin Gardner.

La aficin a la magia matemtica de Martn Gardner est representada en diferentes

artculos de este volumen. Pedro Alegra Ezquerra realiza un recorrido por algunaspublicaciones de Martin Gardner dedicadas a laMatemagia y Carlos Vinuesa del Ro presenta

cmo algunos principios matemticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Por su

parte, Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz, en las secciones deJuegos y

Problemas utilizan algunos de los planteados por Martin Gardner en sus publicaciones, entre

los que destacan los basados en trucos matemgicos.

La seccinLeer Matemtica, contribuye a este monogrfico con la resea de dos libros

de Martin Gardner: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas (realizada por

Jos Mndez Prez) yRosquillas anudadas (realizada por Jos Rodrguez Expsito).

El equipo editorial de Nmeros agradece a todos los autores el esfuerzo realizado para

llevar a cabo este reconocimiento a un magnifico divulgador cientfico, como fue Martin

Gardner.


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ISSN: 1887-1984



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Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000

Luis Balbuena Castellano

Artculo solicitado al autor por la revista

Resumen La matemtica recreativa estar siempre en deuda con Martin Gardner porque a l sedebe, en gran parte, la difusin de muchos juegos y otros entretenimientos que, en casitodos los casos haban sido inventados por otros. Pero no solo los difundi sino queprofundiz en ellos y ampli sus posibilidades hasta lmites insospechados. Muchas deesas aportaciones, pasaron del papel a materiales manipulables para formar parte de laexposicin itinerante Expo 2000.

Palabras clave Matemtica recreativa, exposicin matemtica, juegos.

Abstract Recreational Mathematics will always be indebted to Martin Gardner. In fact, in a largepart, the spread of many games and other entertainment that in almost all cases had beeninvented by other is due to him. No just spread them, but deepened them and extended

them and their possibilities to unforeseen limits. Many of his contributions went frompaper to manipulable material and are part of our traveling exhibition Expo.

Keywords Recreational Mathematics, Mathematical Exhibition, Games.

1. Introduccin

La moraleja es: no hay razn para no disfrutar con los divertimentosmatemticos si se tiene la mente y el temperamento necesarios, pero no se

debe rebasar la medida. Permitamos que nos sirvan ocasionalmente dedescanso. Dejmosles despertar y estimar nuestro inters por la ciencia y porlas matemticas. Pero mantengmoslos firmemente bajo control.

Martin Gardner

Martin Gardner, norteamericano nacido en Tulsa (estado de Oklahoma), en 1914, ha dejado unaprofunda huella tras su larga vida pues muri en Norma (tambin en Oklahoma) en 2010. Tras susestudios de filosofa, decide dedicarse al periodismo con tan buena suerte para los amantes de lasmatemticas y, en particular, de la matemtica recreativa, que a partir del nmero de diciembre de1956 empez a publicar en la prestigiosa revista Scientific American las pginas no muchas en cada

nmero dedicadas a Mathematical Games (Juegos Matemticos). Y as estuvo mes tras mes hastaque lo dej en mayo de 1986. Su trabajo estaba hacia el final de la revista y por eso, sus seguidores,entre los que me cuento, empezbamos a mirar esta revista de atrs hacia delante en una vidabsqueda de su seccin. Desconozco el dato de si fall alguna vez pero si no lo hizo fueron nadamenos que 354 trabajos los que lleg a publicar. Los artculos, con buen criterio, empezaron aaparecer juntos en sucesivas publicaciones que forman parte fundamental de su legado. S que trabajtambin en otros aspectos de la ciencia, que fue un enemigo visceral de las pseudociencias hasta el


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Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano

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punto que otro gran divulgador como fue Isaac Asimov, le lleg a calificar de indomable. Los librostienen una ventaja sobre los artculos de la revista y es que en ellos se extiende mucho ms de lo que,seguramente, le permitan las pocas pginas de que dispona en la revista. Por eso deben ser de

obligada lectura y tenencia para los aficionados a la matemtica recreativa.

Si se busca informacin en internet sobre nuestro personaje, se encuentran numerosasaportaciones sobre su vida y su obra. Por eso me ha resultado complicado orientar mi contribucin alnmero especial que le quiere dedicar la revista NMEROS.

2. La Expo 2000

El 2000, como se recordar, fue el Ao Mundial de las Matemticas. Despus de l se han

celebrado, el de la Fsica en 2005 y el de la Qumica en 2011 En Canarias se cre un Comit, paraque esa decisin de la UNESCO no pasara desapercibida, en el que participaron las instituciones delArchipilago que tienen que ver con esta ciencia y otras que colaboraron puntualmente aunque no sedediquen a las matemticas de manera estricta. All estuvo la Sociedad Canaria Isaac Newton deProfesorado de Matemticas, la Facultad de Matemticas de la Universidad de La Laguna, los museosElder de Las Palmas de Gran Canaria y de la Ciencia y el Cosmos de La Laguna, y la FundacinCanaria Orotava de Historia de la Ciencia. Hubo un despliegue de actividades que transmitieron a lasociedad los valores de esta ciencia y su importancia a lo largo de la historia. Por ejemplo, cadasemana durante todo el ao, se publicaron suplementos dedicados a la divulgacin matemtica en dosperidicos,El Da, de Santa Cruz de Tenerife, yLaProvincia, de Las Palmas de Gran Canaria. Todosestos trabajos fueron recogidos en una publicacin que edit la Consejera de Educacin del Gobierno

de Canarias (Figura 1).

Figura 1. Portada del libro La divulgacin de las matemticas en la prensa.

Entre las iniciativas de ese ao est la que llamamos EXPO MATEMTICAS 2000. Se trata deuna exposicin que naci con vocacin de ser itinerante y as permanece desde entonces. Fue posiblegracias a la colaboracin de la Consejera de Educacin del Gobierno de Canaria que concedi unacomisin de servicios a la Profesora Dolores de la Coba para dedicarse a ese cometido (Figura 2,Figura 3). Fruto de su trabajo es esa exposicin de la que se hicieron dos copias: una qued en


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Canarias recorriendo todas las islas y la otra viaj a la Pennsula movindose de un lado para otro:Galicia, Andaluca, Zamora, Valladolid, Burgos, Villanova y la Geltr, La Rioja, San Fernando deHenares, Feria de la ciencia de Madrid, etc.

La exposicin est formada por un buen nmero de actividades que se han ido renovando yampliando con el paso de los aos as como un conjunto de cuarenta carteles dedicados a variadostemas de divulgacin matemtica.

3. La Expo 2000 y Martin Gardner

Pues bien, algunas de las actividades que se ofrecen en las mesas estn inspiradas en trabajos deMartin Gardner. En el anexo se incluye uno de los inventarios que se ha hecho de la exposicin para

que pueda comprobarse la cantidad y variedad de actividades que se proponen. Todos los materialescon que estn hechos los distintos elementos han superado la prueba del uso continuado y lamanipulacin que han realizado con ellos miles de estudiantes. Adems se da la favorablecircunstancia de que es muy raro que sea sustrada alguna pieza de las muchas que existen en losdistintos juegos y puzzles.

Figura 2. Trptico anunciador de la exposicin Matemticas 2000.


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Figura 3. Exposicin Matemticas 2000.

3.1. Cuadrado mgico de cartas

En el libro Nuevos pasatiempos matemticos de Alianza Editorial, presenta este juego quehemos llamado cuadrado mgico con cartas si bien en el libro aparece con las cartas de la barajafrancesa (picas, trboles, etc.). Consiste en colocar esas 16 cartas de forma tal que no se repitan nipalos ni figuras en cada fila o columna. Siempre indicamos que esta es como una primera fase. Lasegunda es conseguir que eso tampoco ocurra en las diagonales. Seala Gardner que en un libro de1624 ya se indicaba que posee 72 soluciones fundamentales diferentes sin contar las que se deducen delas anteriores por rotaciones y simetras. Sin embargo, cuando Gardner trat este tema en la revista ydio ese nmero de soluciones, le escribieron para demostrarle que realmente el problema tiene 144soluciones.

Figura 4. Solucin ptima. No hay repeticin en filas, columnas, diagonales ni en las cuatro esquinas.


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3.2. Pentamins y sus posibilidades

En el mismo libro hay un captulo dedicado a Polimins y rectngulos sin lnea de fractura.Inserta en l, un artculo de Golomb dedicado a los pentamins, es decir, a las piezas formadas porcinco cuadrados. Como es sabido, solo hay doce formas de colocar cinco cuadrados de forma quetengan un lado comn. Son los que estn en la figura. Por tanto, entre todas las piezas hay un total de60 cuadrados. Uno de los entretenimientos ms ingeniosos es colocar esos 60 cuadrados formandorectngulos de distintas dimensiones: 3x20; 4x15; 5x12 y otro de 6x10. Pero adems de esasconfiguraciones existen otras que tienen formas de camello, de torre, etc. cuya construccin llevatambin un buen tiempo el conseguirla. Recientemente ha aparecido en el mercado un juego conocidocomo Katamino que utiliza estas piezas para ir superando pruebas cuyo grado de dificultad crecegradualmente. Hay, en fin, un reto que se plantea con el tablero de ajedrez. Sabemos que ste tiene 64cuadros y que los cuadrados de las piezas de los pentamins son solo 60. Pues bien, el juego consiste

en colocar las doce piezas en los 60 cuadros que quedan en el tablero cuando se eliminan los que sesealan en la figura 6.

Figura 5. Los doce pentamins.

Figura 6. Tablero juego


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3.3. Tetraexos

En Festival mgico-matemtico (Alianza Editorial n 1023), dedica unas pginas a lo que llamatetraexos. Se trata de las siete piezas que se pueden conseguir uniendo por un lado cuatro hexgonos.Que considera un nmero prudente de piezas para utilizarlas como puzles. Si en lugar de cuatrohexgonos se unen cinco entonces se tienen 22 pentaexos. Son muchos aunque es un buenentretenimiento el conseguir dibujarlas todas o al menos llegar al mayor nmero de ellas. Por eso estambin una buena prueba para un torneo de juegos. En la EXPO se tiene un juego de estas piezashechos con tuercas que tienen la forma hexagonal.

Sabemos que el hexgono es uno de los tres polgonos regulares (el tringulo equiltero y elcuadrado son los otros dos) con los que se puede teselar una superficie plana. Pues bien, en el mismolibro aparecen unas figuras que deben ser conseguidas con esas piezas pero con un interesante aadido

y es que, segn indica Gardner, una de ellas no es posible obtenerla dejando al que lo intente que laconsiga descubrir. Por si lo intenta le dir que es el tringulo.

En este libro dedica tambin un espacio a los pentamins proponiendo ms actividades con esasdoce figuras.

Figura 7. Una de estas figuras no se puede conseguir con los tetraexos.


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3.4. Pentalfa

La famosa estrella de Salomn, tambin conocida como estrella pitagrica, es la base del juegoque figura en la EXPO con el nombre de pentalfa. Se dispone de nueve fichas que han de sercolocadas en nueve de los diez agujeros que aparecen en la estrella. Pero no se colocan de cualquiermanera, como es obvio sino que se ha de seguir la siguiente pauta. Se parte de un lugar que est sinficha. Ese sitio es el uno, se dice dos y se pasa a otro punto que puede estar ocupado o libre y acontinuacin se dice tres y se pasa a otro hueco que s debe estar libre para depositar all la ficha. Unprotocolo bien sencillo. Por supuesto los tres puntos que se tocan han de estar en lnea recta. Lo bonitode este juego es que tiene una estrategia ganadora que no resulta fcil de conseguir. Gardner dedicartculos a esta interesante estrella que, como es sabido, est repleta de proporciones ureas entre ladosy diagonales. En el corto de dibujos animados Donald en el pas de las matemticas se pone demanifiesto esa propiedad de una forma atractiva y clara.

Figura 8. Tablero del pentalfa.

3.5. La Torre de Hanoi

En el libro Diversiones matemticas (Selector ediciones, Mxico), dedica un espacio a estejuego que, como l mismo indica, fue inventado por Edouard Lucas. En la exposicin se tienen hastacinco discos. Se aconseja a los que lo intentan resolver que empiecen con tres. Que cuenten los pasosque dan para trasladar esos tres discos de la clavija de un extremo al otro y, generalmente, lo hacen en

ms de los 7 que representan el menor nmero de movimientos. Una vez que lo consiguen, que pasena los cuatro discos y despus a los cinco. Cuando la Facultad de Matemticas de la Universidad de LaLaguna celebr sus 25 aos, se public un libro conmemorativo en el que se insert y artculo mosobre este juego. En l presento una serie de posibilidades para la exploracin didctica del juego.


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Figura 9. Tablero de juego de las Torres de Hanoi.

3.6. Hex

En el mismo libro citado en el prrafo anterior, Gardner habla del juego de hex. El que sepresenta en la expo 2000 est hecho con tuercas hexagonales pegadas y acopladas en un marco demadera. Pesa pero es fuerte. Es el que aparece en la figura 10, en la esquina inferior izquierda de lamesa. Las piezas para insertar en los hexgonos son de plstico. En la figura 11, imagen que aparece

en el libro, se ve el camino de negro a negro que se ha conseguido con las fichas de ese color. Claroque el que juega con las blancas ha de tratar de evitar que esto lo consiga su contrincante. DiceGardner que sus reglas son simples pero que, no obstante, es hex es un juego de una sorprendentesutileza matemtica. Indica que en 1948, John F. Nash, entonces un estudiante graduado enmatemticas en la Universidad de Princeton, reinvent el juego de forma independiente.

Figura 10. El Hex y otros juegos.


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Figura 11. Tablero de juego del Hex.

4. Conclusiones

He querido dejar de manifiesto que, adems de lo entretenido que son los libros de Martin

Gardner, representan una fuente de inspiracin para proponer actividades a los estudiantes, desde unasque son muy sencillas a otras realmente complicadas y propias de especialistas. Los libros de MartinGardner que ofrezco en la lista estn todos en castellano y, aunque lo he intentado, no s si esexhaustiva.

Acertijos divertidos y sorprendentes. RBA LIBROS. 2009Acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones. 1992Aj! Paradojas que hacen pensar. LaborAj! Inspiracin. LaborCarnaval matemtico. Alianza Editorial. 1995Circo matemtico. Alianza (937)Comunicacin extraterrestre y otros pasatiempos matemticos

Damas, parbolas y ms mistificaciones matemticas. GedisaDiversiones matemticas. SelectorEl ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemticos. Alianza Editorial (1991)El idioma de los espas. ZugartoEl universo ambidiestro (I). RBA editoresFestival mgico-matemtico. Alianza Editor

Huevos, nudos y otras mistificaciones matemticas. GedisaIzquierda y derecha en el cosmos. Salvat Editores. 1973Juegos y enigmas de otros mundos. Gedisa

Juegos, los mgicos nmeros del Dr. Matrix. Editorial Gedisa. 1987La nueva era. Alianza (1463)Los acertijos de Sam Lloyd. GranicaMagia inteligente. GranicaMquinas y diagramas lgicos. AlianzaMatemtica para divertirse. GranicaMental Games (en espaol). SelectorMiscelanea matemtica. Salvat


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Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas. LaborNuevos acertijos de Sam Lloyd. Zugarto EdicionesNuevos pasatiempos matemticos. Alianza (391)Nuevos rompecabezas mentales. SelectorOrden y sorpresa. AlianzaPasatiempos matemticos. Alianza

Rompecabezas mentales. SelectorRosquillas anudadas y otras amenidades matemticas. LaborRuedas, vida y otras diversiones matemticas. LaborViajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas. Labor

Luis Balbuena Castellano, catedrtico de Enseanza Secundaria, fundador de la Sociedad Canaria IsaacNewton de Profesores de Matemticas, impulsor de la Federacin Espaola de Sociedades de Profesoresde Matemticas y de la Federacin Iberoamericana de Sociedades de Educacin Matemticas de las queha sido su primer Secretario General.Autor de numerosos trabajos sobre Educacin as como de divulgacin de las matemticas en prensa,radio y televisin y libros como Gua Matemtica de La Laguna, Palillos aceitunas y refrescosmatemticos, Cuentos del Cero,El Quijote y las matemticas, etc.En la actualidad reparte su trabajo entre el Consejo Escolar del Estado, del que es miembro en el grupo depersonalidades de reconocido prestigio, y sus numerosas actividades en Iberoamrica en pro de la mejorade las condiciones educativas en general y las matemticas en particular, dirigiendo cursos deactualizacin cientfica y didctica para profesores de Paraguay, Chile, Mxico, etc.


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AnexoRelacin de materiales de los que constan las mesas de la EXPO MATEMTICAS 2000

Juego MaterialesEl acertijo del mandarn Tablero de madera con 25 huecos y 24 fichas cuadradas y numeradas

Anamorfosis cilndrica Un cilindro de metal pulido a espejo. Plantillas con dibujos anamrficos.

Anamorfosis cnica Base de madera con cono pulido a espejo en el centro. Plantillas con dibujos.

Aparato de Galton 1 prueba Estructura con soporte +canicas

Galton n pruebas (curva normal) Estructura de madera y cristal con 1000 bolitas de acero + atril para inclinarlo

Bjense de la Tierra Tablero cuadrado con disco giratorio con figuras de chinos

Cuatro cuatros Calculadora con slo la tecla del cuatro y las operaciones.

Camino al infinitoCaja de madera con tapa con dos laterales de cristal y dos espejos paralelos enel interior. Plantilla plastificada pegada en el frente.

Cada a lo largo de cuerdas Tablero vertical circular con cuerdas variables + 2 canicas.

El movimiento y la curvacicloide

Una rampa con plano inclinado, otra con superficie siguiendo una curvacicloide y tablillas separadoras. 2 canicas.

Dibujo de la curva cicloideBase de madera recortada siguiendo dos curvas de cicloide. Disco con punta delpiz. Soporte para papel. Lpiz en el extremo de un cordn sujeto al tablero.

Circuito Hamiltoniano33 cubos transparentes con tubo azul interior uniendo caras. 26 con tramo curvoy 7 con tramo recto

Crculos de coloresBase de madera + 16 piezas cuadradas con cuartos de crculos pintados decolores en dos de sus vrtices

Colmena coloreada 7 hexgonos de madera con crculos de colores en los lados

Cruz espacialCuatro piezas iguales, cada una de ellas est formada por 8 cubitos pegados (4claros y 4 oscuros)

Cuadrado mgico de colores Tablero de madera dividido en 4x4 cuadraditos. 16 botones de cuatro colores

Cubo de colores 27 cubos de madera con crculos de colores en las caras

Cubo diablico Cubo de madera cortado en 6 piezas de 2,3,4,5,6 y 7 cubitos respectivamente.

Cubo Soma Cubo cortado en 7 piezas de diversas formas pintadas en colores distintos.

Cubos locos Cuatro cubos con puntos de colores en sus caras en caja de madera con orificios

a

2

-b

2

=(a+b)(a-b) Puzzle de madera de 3 piezas (2 amarillas iguales y una negra)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Cubo dividido en 8 piezas (1 cubo azul, 1 cubo verde, 3 prismas cuadradosnaranjas y 3 prismas rectangulares amarillos)

33+43+53=63 Puzzle formado por 216 cubitos de madera. Estn pegados formando 8 piezas

Cmo vencer a la gravedad? Base de madera con plano inclinado + doble cono

Domin de celosas y calados 28 piezas de domino con fotos de mdulos de calados y otro juego con celosas.

Domino transparente Tablero con nmeros grabados en ambas caras y juego de domino transparente

Estrella mgica Tablero con estrella pintada y perforaciones circulares. 12 fichas numeradas.

Estructuro 42 cubos pintados en 3 colores. Carpeta con problemas.

Superficie reglada: Hiperboloide Dos discos de madera sujetos por barra metlica central y elsticos.

Igual rea, distinta forma Dos puzzles de colores a dos caras. 4 piezas roja-verde y 5 piezas roja-amarilla.

Ilusin ptica: Si me colocas a laderecha encojo

Dos lminas iguales con forma de c

Juega con cuadrados 10 piezas geomtricas de plstico de colores. 5 amarillas y 5 verdes

Juego de los vasos 7 vasos de plstico azules


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Juego MaterialesEl Juego del Hex Tablero de madera con tuercas y 100 fichas (50 negras y 50 blancas)

Ley de Bode Barra de madera con cinta mtrica en placa metlica. 8 discos imantados.Mosaicos peridicos 41 piezas de plstico iguales (17 rojas y 24 negras)

Mosaicos regulares Polgonos regulares de cartn con dibujos coloreados de diversas formas.

Rompecabezas africano Base de madera con agujero, cuerda y una anilla

Tringulos anudados Tres tringulos de madera con agujeros y cuerda verde

Rompecabezas Victoria Tres piezas de madera (una circular y dos alargadas) y cordn.

El paseo de la mosca caprichosa Base de madera con crculos con forma de euro, tachuelas y elstico.

El Pentalfa Tablero con estrella pentagonal y 9 fichas de madera rojas (fichas de repuesto)

Pentaminos 12 piezas distintas de 5 cubitos pegados. 2 plantillas con problemas.

Pirmide de bolas 7 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera

Pirmide de Piet Hein 6 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera

Pompas de jabnDos placas dobles con tirador de metacrilato transparente unidas por tornillos.Estructuras geomtricas metlicas (cubo, tetraedro, crculo cuadrado,...).

Puentes de Konigsberg Tablero con maqueta de Konigsberg, islas, ro y puentes de la ciudad.

Rara partida de dominTablero negro de madera con 7 fichas pegadas y 7 dibujadas. Caja con el restode las fichas del domino

Real ms simtricaSoporte de madera para espejo de dos caras. Cuatro piezas geomtricas iguales,

de plstico cubiertos de vinilo en dos colores. Plantillas con figuras.Reflecto Reflecto (espejo) y piezas de fieltro de colores

Liberar al prisioneroCaja de madera con tapa conteniendo piezas rectangulares y cuadradas, una deellas con el dibujo de un rostro.

La termina caprichosa 27 cubos unidos por un elstico.

Jugando con las simetras Espejo, plantilla con dibujo y plantillas con partes del dibujo y su simtrico.

Libro de espejos Libro de espejos, plantilla con dibujos y piezas poligonales de plstico.

Solitario de trbol Tablero de madera con dibujo de trbol y perforaciones circulares. 15 fichas.

El Solitario ingls Tablero circular con 33 hendiduras, canicas. Plantillas con problemas sencillos.

El Solitario pirmide Tablero de madera con agujeros y 21 fichas de madera verdes.

El Solitario triangular Tablero de madera con orificios cilndricos, 25 fichas de plstico rosa.

Superficie reglada hilos-plomos Caja con tapa de madera y elsticos con pesas

Tangram7 piezas geomtricas de plstico negro (5 tringulos, un cuadrado y unparalelogramo). Fichas con dibujos de figuras variadas para construir.

Pitgoras Tablero de madera con dibujo troquelado y ocho piezas de maderas.

Pitgoras 3 cuadrados blancos y 16 tringulos rectngulos azules de plstico

Tetraexos Dos juegos de 7 piezas, cada una de ellas con cuatro tuercas soldadas

Las Torres de Brahma Base con tres pivotes 13 anillas rojas, 8 negras y 6 blancas

Las Torres de Hanoi Base de madera con tres pivotes y 7 discos de madera de distinto tamao

Slo una vez por cada lado Tablero con tres circuitos, tachuelas en los vrtices y elstico para el camino.

El vigilante desquiciado Plano de dos casas realizado en madera, tornillos y elstico.


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Volumen 76, marzo de 2011, pginas 1929

ISSN: 1887-1984M

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Magia y Matemticas de la Mano de Martin

Pedro Alegra Ezquerra (Universidad del Pas Vasco)


Resumen El pasado mes de mayo falleci, a la edad de 95 aos, Martin Gardner, una personalidadde quien se afirma que ha convertido a miles de matemticos en magos y a miles de

magos en matemticos. Su aficin por esta ciencia y aquel arte, puesta de manifiesto en su

incansable produccin escrita, ha movilizado a los ms diversos colectivos tanto en los

ltimos aos de su vida como despus de ella. La admiracin y el reconocimiento por su

labor didctica le han hecho merecedor de multitud de homenajes, uno de los cuales

pretende ser este trabajo que consiste en un recorrido por algunos juegos de magia

basados en propiedades matemticas que nos ense a lo largo de sus publicaciones.

Palabras clave Martin Gardner, magia, matemticas, didctica.

Abstract Last May died, at the age of 95 years, Martin Gardner, a personality who has turned in

magicians to thousands of mathematicians and in mathematicians to thousands ofmagicians. His passion for this art and that science, as manifested in his many

publications, has mobilized many different groups both in the last years of his life and

after he passed away. The admiration and appreciation for his teaching work has earned

him many honors, one of whom claims to be this work that is a tour through some magic

tricks based on mathematical properties that he teach us throughout their papers .

Keywords Martin Gardner, magic, mathematics, teaching.

1. Introduccin

El elemento ldico que hace recreativa a la matemtica recreativa puede

tomar muchas formas: un problema para resolver, un juego competitivo, un

truco de magia, una paradoja, una falacia o simplemente matemtica con

alguna vuelta curiosa o divertida. Son estos ejemplos de matemtica pura o

aplicada? Es difcil decirlo. En un sentido la matemtica recreativa es

matemtica pura, incontaminada de utilidad. En otro sentido es matemtica

aplicada, ya que responde a la necesidad humana de jugar. Martin Gardner

Qu sentimiento puede padecer un matemtico profesional que ha dedicado su vida a la

investigacin cuando descubre que un aficionado, sin estudios superiores de matemticas, poseenmero de Erds igual a dos1? Qu impresin le asalta a un mago profesional colmado de xitos y

fama internacional cuando se entera que un aficionado, que nunca ha actuado en pblico de manera

profesional, es considerado uno de los cien magos ms influyentes del siglo XX2? Qu clase de

1Se puede comprobar en http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html2Segn la lista publicada por la revista MAGIC Magazine, en junio de 1999.


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Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra

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admiracin produce entre sucesivas generaciones de aficionados a la ciencia ficcin, a sus personajes

y mticos autores, descubrir que el mismo personaje que ha alcanzado los xitos anteriores, fue

fundador, junto con Paul Kurtz, Isaac Asimov y Carl Sagan, entre otros, del "Committee for the

Scientific Investigation of Claims of the Paranormal", con el objetivo de promover la investigacincrtica de los fenmenos paranormales, desde un punto de vista cientfico? Qu mritos ha podido

cosechar este mismo personaje para ser conmemorado cada dos aos mediante un congreso en su

homenaje, del que se han celebrado ya nueve ediciones, y que rene a las personalidades ms

representativas del mundo de la matemtica recreativa, de la magia y del coleccionismo de juegos de

ingenio3? Qu tiempo ha quedado libre a este personaje para ejercer su profesin de escritor, para

publicar cerca de cien libros de temtica variada, a lo largo de casi 80 aos de carrera?

Muchas respuestas se han tratado de ofrecer desde su fallecimiento en mayo de 2010, a la edad

de 95 aos, en diferentes medios y desde los foros ms diversos. Si fuera posible extraer en una sola

frase el contenido de los obituarios que se han difundido en la prensa e internet, as como de losreconocimientos y agradecimientos por su labor, podramos decir que la vida de Martin Gardner ha

despertado la admiracin de muy variados colectivos, todos ellos de acuerdo en que su sugerente estilo

a la hora de escribir en diferentes temas ha conseguido atraer la atencin y el inters en aspectos poco

reconocidos y explorados hasta entonces.

Es claro entonces que sera imposible hacer un recuento de sus contribuciones a la ciencia y la

cultura del siglo XX. De modo que hemos elegido en este artculo centrarnos en la parte ms mgica

de las matemticas (o la ms matemtica de la magia): la que l adopt con el nombre de matemagia.

Haremos un recorrido por sus contribuciones en este campo y sealaremos algunas de las que nos han

parecido ms atractivas. Terminaremos con algunos apuntes sobre las ideas que l defenda sobre los

mtodos de enseanza de las matemticas, tanto a nivel elemental como superior.

Son muchos los escritos que nos ha legado, casi un centenar de libros publicados sobre todos los

campos de conocimiento que l cultiv, desde la literatura hasta la filosofa, pasando por la

divulgacin cientfica, la matemtica recreativa y la magia. Debido a la multitud de ediciones,

reimpresiones y traducciones de los libros de Martin Gardner, nos limitaremos en las referencias a la

recopilacin en versin digital de sus contribuciones mensuales a la revista Scientific American, que

abarcaron desde 1956 hasta 1981, un CD-ROM publicado en 2005 por The Mathematical Association

of America bajo el ttuloMartin Gardners Mathematical Games.

2. La coleccin de libros recopilatorios

La magia, junto con el ajedrez, ha sido la aficin ms duradera de las que Gardner cultiv. As

como el ajedrez se convirti en una obsesin que no le permita atender otras ocupaciones, la magia

fue su compaera inseparable hasta sus ltimos tiempos. A los quince aos public su primer juego de

magia en una de las revistas ms importantes de la poca, The Sphinx. Con 80 aos se le puede ver

(figura 1) haciendo flotar una cuchara en el aire con su fuerza mental.

Dicha aficin le llev a conocer personalmente a las mentes ms brillantes del mundo de la

magia. Pero la magia y las matemticas estn ntimamente ligadas: tanto los magos como los

matemticos estn motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio esencial del mundo.

Los magos ponen de manifiesto hechos sorprendentes y los matemticos tratan de explicarlos. Por otra

parte, como opinaba Arthur Clarke, el famoso escritor de ciencia ficcin, cualquier tecnologa

suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. El propio Gardner se consideraba en la

interseccin de la magia y las matemticas, afirmando que la magia matemtica tiene su propio

3La pgina oficial de los congresos es http://www.g4g4.com/index.html


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encanto, pues combina la belleza de las estructuras matemticas con el valor de entretenimiento de

los trucos de magia.

Figura 1. Martin Gardner, demostrando sus dotes de control mental.

Como muestra de su afirmacin, Gardner no perda oportunidad a lo largo de sus publicacionesde utilizar los juegos de magia para ilustrar alguna teora matemtica o para describir algn principio

matemtico curioso. Este es el objetivo de la seccin: recorrer sus artculos de la Scientific American

para encontrar esos juegos mgico-matemticos que han tenido gran influencia en el entorno docente yen el mundo mgico.

No hace falta llegar muy lejos en el recorrido de sus artculos. En (Gardner, 1988a, pp. 15-18)encontramos la primera referencia a los juegos de magia. Bajo el ttulo Magic with a matrix,

describe un original juego de adivinacin de una suma con nmeros elegidos de forma arbitraria porun espectador, como muestra de las propiedades de los cuadrados mgicos, los cuales aparecen a

menudo en sus artculos. El juego es el siguiente:

Observa el cuadrado de la figura adjunta:

19 8 11 25 7

12 1 4 18 0

16 5 8 22 4

21 10 13 27 9

14 3 6 20 2

Selecciona cualquier nmero trazando un crculo alrededor de l. Tacha ahora el resto de los

nmeros que estn en su misma fila y columna. Repite la misma operacin: traza un crculo alrededor

de cualquier nmero no tachado y tacha todos los nmeros que estn en su misma fila y columna. Al

repetir la operacin cinco veces, habr cinco nmeros con un crculo alrededor. Suma todos ellos y

comprueba que el resultado es 57. Cmo puede saberse de antemano?


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Para comprender la explicacin, basta observar que el cuadro anterior es simplemente la tabla

de sumar de ciertos nmeros, donde se han ocultado los sumandos. La tabla completa sera as:

+ 12 1 4 18 0

7 19 8 11 25 7

0 12 1 4 18 0

4 16 5 8 22 4

9 21 10 13 27 9

2 14 3 6 20 2

De este modo, el proceso anterior hace que la suma de los nmeros resultantes sea siempre la

suma de los nmeros que encabezan la tabla.

El captulo 10 del mismo libro est dedicado ntegramente a juegos de magia con cartas,

elementos que utilizar regularmente en sus artculos, unas veces para plantear problemas de ingenio y

otras veces para motivar el aprendizaje de propiedades matemticas diversas.

El captulo 4 del segundo libro de la coleccin (Gardner, 1987a, pp. 43-48) est dedicado a

explotar, en clave de juego de magia, algunas propiedades de la raz digital de un nmero en relacin

con la regla de divisibilidad del nueve. Explica otros juegos basados en dicha regla en el noveno libro

de la coleccin (Gardner, 1992a, pp. 257-259). En el captulo 7 del mismo libro (Gardner, 1987a, pp.

78-80) presenta algunos efectos mgicos que ilustran algunas caractersticas curiosas y sorprendentes

de la topologa y la teora de grupos. Otros trucos topolgicos aparecen en el captulo 17 del cuatro

libro de la coleccin (Gardner, 1991, pp. 199-201), en el captulo cinco del octavo libro (Gardner,

1989b, p. 73) y todo el captulo nueve del octavo libro (Gardner, 1989b, pp. 123-136) est dedicado al

estudio de las propiedades, tanto mgicas como matemticas, de la banda de Mbius como una forma

sencilla de presentar las superficies no orientables. La figura, aparentemente imposible de construir sin

traspasar la cuarta dimensin, que llama hypercard (cuya imagen se muestra en la figura 2) tambin

merece un tratamiento como juego de magia en (Gardner, 1992b, pp. 125-128).

Figura 2. Imagen del hypercard.

Ya el primer captulo del tercer libro de la coleccin (Gardner, 1995, pp. 14-19), de ttulo The

binary system, contiene diferentes versiones del famoso juego de adivinacin de un nmero a partir


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de una coleccin de tarjetas basadas en la representacin binaria de los nmeros. El famoso juego de

las 21 cartas (o problema de Gergonne), cuya explicacin descansa en el sistema de numeracin

ternaria, es tratado en (Gardner, 1984, pp. 109-110). El captulo 9 (Gardner, 1995, pp. 103-109) est

dedicado ntegramente a describir juegos de magia basados en principios matemticos, desde elsorprendente principio de Gilbreath hasta el elemental principio de paridad. El principio de Gilbreathaparece de nuevo en el octavo libro de la coleccin (Gardner, 1989b, p. 94). La idea bsica de este

principio, descubierto en 1957 por el matemtico-mago Norman Gilbreath, es que una mezcla simple

de una baraja ordenada produce dos sucesiones ordenadas de cartas, quiz entremezcladas entre ellas.Un estudio matemtico sencillo de este principio aparece en (Behrends, 1997). Tambin se han

encontrado sorprendentes conexiones de este principio con la teora de embaldosados no peridicos(de Bruijn, 1987).

Otro juego basado en el principio de paridad puede encontrarse en (Gardner, 1984, p. 75). En el

captulo 20 (Gardner, 1995, pp. 234-235) presenta una novedosa adivinacin, no de un nmero sinode una funcin! utilizando las propiedades del tringulo de Pascal. Utilizando unas cuantas cerillas,

ofrece otro sorprendente truco basado en la paridad en (Gardner, 1992a, pp. 16-17). Tambin explota

el principio de paridad utilizando cuadrados mgicos en (Gardner, 1983, pp. 72-73).

Nuevamente, todo el captulo 13, titulado Chicago Magic Convention, del cuarto libro(Gardner, 1991, pp. 147-159) est dedicado a la magia matemtica. Queremos destacar la versin que

all se describe del llamado truco de cartas de Cheney en el que se utiliza la teora de informacin para

descubrir una carta elegida. Describiremos brevemente el juego, plantendolo como problema deingenio.

Con un ayudante vuelto de espaldas, el mago entrega una baraja completa, de 52 cartas a un

espectador, el cual selecciona cinco cartas. El mago, al verlas, vuelve de dorso una de ellas y ordena

adecuadamente las otras cuatro. El espectador nombra en voz alta las cuatro cartas. Al orlas, el

ayudante es capaz de adivinar la carta que ha quedado de dorso. El problema es pues encontrar la

estrategia que deben utilizar el mago y el ayudante para determinar dicha carta.

Recientemente se ha despertado el inters de la comunidad educativa hacia el problema de

resolver el fundamento matemtico de dicho truco, debido a su potencial pedaggico y la riqueza de

aspectos matemticos involucrados. Un par de ejemplos que confirman lo anterior son los artculos

(Kleber, 2002) y (Holm y Simonson, 2003).

En el mismo captulo, describe tambin las propiedades matemticas de la llamada mezcla

australiana, proceso de eliminacin de cartas en una baraja similar al conocido como problema deJosefo4.

En el captulo 3 del quinto libro (Gardner, 1985, pp. 32-34) aparece un ejemplo de paradoja

geomtrica muy del gusto de Martin Gardner. Anteriormente ya haba dedicado un captulo al estudio

y propiedades de dichas paradojas en su aclamado libro sobre magia matemtica (Gardner, 1956). En

el dcimo (Gardner, 1983, pp. 40-42) y duodcimo (Gardner, 1988b, pp. 58-61) libros de la coleccin,desarrolla de forma amena y didctica otros ejemplos de paradojas probabilsticas, basadas en algunos

fenmenos no transitivos. Un poco ms adelante (Gardner, 1983, pp. 128-129) describe otrasparadojas visuales muy sorprendentes. Con ingeniosa irona describe en el captulo 16 del mismo libro

(Gardner, 1985, pp. 146-157) 26 efectos clsicos de clarividencia y precognicin, descubriendo as

algunos de los mtodos utilizados por los falsos mdiums y pseudovidentes, a quienes siempre trat dedesenmascarar.

4Se puede encontrar una descripcin del problema en http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Flavio_Josefo


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La numerologa tambin estaba presente en muchos de sus artculos. Como continuacin de

(Gardner, 1995, p. 100), en el captulo 19 describe algunas propiedades mgicas del nmero cinco. A

modo de ejemplo, describiremos la siguiente.

Sean x1 y x2 dos nmeros reales positivos arbitrarios. A continuacin construimos la sucesin

recurrente

,...3,2,1

1

1 =+

=

+n

x

xx

n

n

n

A simple vista, si la sucesin fuera convergente, su lmite sera la constante urea. Sin

embargo, no es convergente ya que, curiosamente, se trata de una sucesin 5-peridica: todos los

valores se repiten cada cinco trminos.

En el captulo 14 del sexto libro (Gardner, 1984, pp. 135-142) hace honor a los libros ms

representativos de la magia matemtica hasta el momento, como sonMathemagic de Royal V. Heath

(1933) yMathematical Magic de William Simon (1964).

De nuevo, un captulo completo del sptimo libro (Gardner, 1989a, pp. 77-88) est dedicado a

descubrir algunos trucos utilizados por los calculistas para realizar operaciones relmpago. Como

ejemplo curioso, muestra el secreto de multiplicar rpidamente dos nmeros de nueve cifras (siempre

que uno de ellos sea 142857143). As, si queremos multiplicar el nmero 456887156 por aqul, basta

dividir por siete el nmero 456887156456887156. La explicacin es simple: la multiplicacin de 7 por

142857143 es igual a 1000000001. En ese mismo captulo explica un mtodo sencillo para adivinar el

da de la semana correspondiente a cualquier fecha del siglo XX.

Tambin el captulo 10 (Gardner, 1989a, pp. 123-138) describe de manera atractiva las

propiedades matemticas de las mezclas de cartas y su aplicacin a gran variedad de juegos de magia.

En particular, define la mezcla faro, tambin llamada mezcla perfecta, que consiste en lo siguiente:

Se divide un paquete de cartas exactamente por la mitad. Se mezclan las cartas, imbricndolas de modo que se vayan alternando las cartas de

cada montn, una por una y de forma exacta.

Adems,

Si las cartas superior e inferior del paquete inicial mantienen sus posiciones despus dela mezcla, sta recibe el nombre de faro exterior (Faro-Out).

Si la carta superior pasa al segundo lugar y la inferior al penltimo lugar despus de lamezcla, sta recibe el nombre de faro interior (Faro-In).

Muchas propiedades de dicha mezcla se desarrollan en (Alegra, 2008). Un estudio ms

completo, con aplicaciones de la mezcla faro en el diseo de memoria dinmica de ordenadores, se

encuentra en (Morris, 1998). Destacaremos, por su sorprendente elegancia, la siguiente propiedadobtenida de forma experimental por el mago-informtico Alex Elmsley:

Si queremos pasar la carta superior de la baraja a la posicin n-sima, escribimos el nmero

n1 en el sistema de numeracin binaria y realizamos una sucesin de mezclas faro de acuerdo a las

cifras de dicho nmero: por cada cifra 0 realizamos una faro exterior (Out) y por cada cifra 1

realizamos una faro interior (In). Por ejemplo, para pasar la primera carta a la posicin vigsimo


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tercera, escribimos el nmero 22 en base 2, y obtenemos 10110. As pues realizamos la siguiente

secuencia de mezclas faro: In-Out-In-In-Out.

En el captulo 15 del mismo libro (Gardner, 1989a, pp. 194-196) describe un juego de cartas

basado en las propiedades del tringulo de Pascal y la regla de divisibilidad del nueve. Este ejemplo

vuelve a ratificar uno de los lemas ms caractersticos de Martin Gardner; en la introduccin del libro

afirma que, en un nivel elemental, no es posible motivar a ningn alumno para aprender la teora de

grupos dicindole que la encontrar hermosa, estimulante o incluso til si algn da llega a ser un

fsico especializado en partculas.

Otro juego que le gustaba contar para ratificar sus ideas es el siguiente:

Escribe en una calculadora un nmero de tres cifras, digamos ABC. Escribe a continuacin el

mismo nmero, obteniendo as el nmero ABCABC. Independientemente de las cifras elegidas, puedoadivinar que el nmero es mltiplo de 13. Comprubalo con la calculadora. Divide ahora el cociente

entre 11. Tambin sale exacto! Ms an, divide el resultado entre 7. No slo el resultado es exacto

sino que el cociente resulta de nuevo el nmero ABC!

Gardner afirma que no conoce un mtodo mejor de introducir a los estudiantes en la teora de

nmeros y en las propiedades de los nmeros primos que la explicacin de por qu este truco funciona

siempre.

Es indudable que una baraja de cartas ofrece muchas posibilidades para establecer propiedades

combinatorias y probabilsticas, algunas de ellas poco intuitivas. En el captulo 7 del octavo libro de lacoleccin (Gardner, 1989b, pp. 97-102) describe algunas de ellas.

El nmero 142857 ya citado es motivo del captulo 10 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 97-102). Dicho nmero es precisamente el periodo de la expresin decimal del nmero 1/7 y tiene la

propiedad de que, al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5 6, el resultado contiene las mismas cifras del

nmero en distinto orden, de ah que se llame nmero cclico. En 1919, Leonard Dickson prob que

todo nmero cclico es el periodo de la expresin decimal del inverso de algn nmero primo.

Recprocamente, para que el periodo de la expresin decimal del inverso de un nmero primo p seacclico es suficiente que el nmero de cifras de dicho periodo sea p 1. Los nicos nueve nmeros

primos menores que 100 que generan nmeros cclicos son 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.

Otro curioso juego basado en propiedades de algunos nmeros es el siguiente (Gardner, 1988b,p. 270):

Escribe en una calculadora el nmero 98765432 y divdelo por 8. Sorprendentemente, el

resultado es 12345679, donde estn todas las cifras en orden creciente, pero ha desaparecido

precisamente el 8. Si quieres que vuelva a aparecer, multiplica el resultado por 72. Vers que el

resultado est formado solamente por ochos.

La famosa sucesin de Fibonacci tambin se presta a realizar trucos de adivinacin. Bastaaplicar algunas propiedades poco conocidas de dicha sucesin para sorprender a pblicos profanos.

Varios ejemplos se muestran en el captulo 13 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 159-165).

Despus de efectuar uno de estos trucos, cualquier persona est mejor predispuesta para escuchar yretener propiedades matemticas de esta y otras sucesiones definidas por relaciones de recurrencia. En

el dcimosegundo libro (Gardner, 1988b, p. 273) describe el siguiente juego, donde aparece la relacin

entre la sucesin de Fibonacci y el nmero ureo:


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Escribe en una fila dos nmeros arbitrarios. Debajo de ellos escribe la suma de ambos. Sigue

escribiendo nmeros en fila, cada uno de ellos igual a la suma de los dos inmediatamente superiores a

l, hasta tener alrededor de veinte nmeros. Ahora divide el ltimo entre el penltimo o el penltimo

entre el ltimo, como prefieras. Observo que las tres primeras cifras de la parte decimal son 6, 1 y 8.

Es fcil entender la explicacin: el lmite del cociente de dos trminos sucesivos de una

sucesin de Fibonacci es, o bien el nmero ureo 1,61803 o bien su inverso 0,61803 En cualquier

caso, una buena aproximacin al lmite la produce el cociente entre dos trminos suficientemente

grandes.

El captulo 19 del dcimo libro (Gardner, 1983, pp. 206-213) est dedicado nuevamente a

juegos matemticos con cartas. Como muy acertadamente seala, los trucos matemticos suelen ser

aburridos para la mayora de la gente, debido a la acumulacin de tareas repetitivas que conllevan. Sin

embargo, tienen un curioso atractivo entre los matemticos aficionados o profesionales, por esa mismarazn. En el citado captulo presenta toda una rutina de juegos con cartas basados en diferentes

principios matemticos, como el de paridad, el de Hummer y el de Fulves, principios que estn

descritos con detalle en (Alegra, 2008).

Otro interesante principio matemtico, relacionado con la teora de la probabilidad, es el

conocido como principio de Kruskal (Gardner, 1997a, pp. 274-276), descubierto por el fsico de la

Universidad de Rutgers, recientemente fallecido, Martin Kruskal. El desarrollo del juego es el

siguiente:

Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la mesa.

Se pide a un espectador que piense un nmero del uno al diez. A continuacin, debe realizar las

siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indicacin de sus resultados:

Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el nmeropensado.

Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver arecorrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho nmero. En caso

de que se haya detenido en una figura, recorrer cinco pasos.

El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre quehaya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo ms,

debe fijarse y recordar la ltima carta del ltimo trayecto.

Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, es posible descubrir el valor de dicha

carta con una probabilidad mayor que 0,8. Esto es debido a que, para casi todas las elecciones de la

primera carta, el camino converge al mismo resultado final. El modelo matemtico que mejor se ajusta

a las caractersticas de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos

estocsticos, de gran inters en ciertas aplicaciones estadsticas5.

En el penltimo libro de la coleccin dedica un captulo (Gardner, 1992b, pp. 67-70) al

reconocido filsofo Charles Sanders Peirce y describe con detalle lo que llama el truco de cartas ms

difcil y fantstico jams inventado, publicado en los Collected Papersde Peirce, con el que

cualquier profesor puede motivar a los estudiantes interesados en la aritmtica de congruencias.Tambin en el ltimo libro de la coleccin (Gardner, 1997b, pp. 239-240) utiliza la aritmtica de

congruencias mdulo 13 con el que mostrar un mtodo sencillo para adivinar cualquier carta eliminada

de una baraja completa. En el libro (Gardner, 1987b, pp. 11-12), el tercero de la coleccin que recopila

5Una curiosa prueba del origen divino de la Biblia se encuentra en

http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html


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sus contribuciones a la revista Isaac Asimov' s Science Fiction Magazine durante diez aos, explica

con detalle un fantstico juego de cartas basado en la aritmtica de congruencias mdulo 5.

3. La enseanza de las matemticas segn Gardner

La variedad de los temas que trat a lo largo de veinticinco aos y el estilo directo que

destilaban sus columnas mensuales en la revista Scientific American causaron gran inters entre sus

lectores y tuvieron mucha influencia entre estudiantes de matemticas, muchos de los cuales seran

docentes en un futuro prximo. No es de extraar entonces que, a menudo, se dirigiera a este pblicomostrando su preocupacin por la formacin matemtica a niveles elementales y sugiriendo algunas

ideas sobre los mtodos de enseanza de las matemticas que consideraba ms efectivos. La siguiente

reflexin ha sido citada en varias ocasiones para resumir sus ideas sobre estos temas:El mejor mtodo

para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemtico intrigante,un pasatiempo, un truco mgico, una chanza, una paradoja, un trabalenguas o cualquiera de esas mil

cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades.

En la seccin anterior hemos citado algunos ejemplos de juegos de magia que l consideraba

que representaban excelentes ocasiones para despertar el inters de los estudiantes por cuestiones

matemticas de dificultad variable. En muchos otros lugares de su amplia produccin escrita se refierede manera general a sus conclusiones en torno a la enseanza de las matemticas a niveles

elementales. Citaremos dos de dichos pasajes.

En (Gardner, 1992b, pp. 61-75) se muestra seguidor del, entre muchas otras profesiones,filsofo y matemtico Charles Peirce al afirmar que su enfoque recreativo hacia las matemticas es

ms evidente en su visin de cmo las matemticas deben ensearse a los nios. En dicho artculo,

afirma:

Al recorrer los manuscritos de sus libros de texto se observa que estn repletos de mtodos

novedosos de utilizacin de rompecabezas y juegos con los que introducir conceptos matemticos.

As, por ejemplo, la paradoja de Zenn le serva de excusa para llevar la discusin hacia los

conceptos del continuo y del lmite, con la geometra proyectiva y las sombras que produce el gira de

una rueda iluminada por una lmpara introduca la idea del infinito. Peirce reconoci, antes de 1900,

el gran valor de la topologa elemental para estimular la imaginacin matemtica de un nio. La

frmula de Euler para los esqueletos de los poliedros, la teora de nudos, la teora de grafos, la

conjetura del mapa de los cuatro colores (que Peirce trat en vano de probar durante varias

dcadas), la banda de Mbius, son slo algunos de los temas topolgicos que us para excitar el

inters de los estudiantes. Le encantaba pedir a los profesores que le dejaran instruir grupos de

jvenes que detestaban las matemticas y parecan incapaces de aprenderlas. Para ensear

aritmtica, Peirce recomendaba el uso constante de cuentas, la introduccin temprana de la notacin

binaria, el uso de tarjetas numeradas y otros dispositivos que son ahora comunes en la instruccin

escolar. Tambin recomendaba usar barajas de cartas. As contaba en una ocasin a una de sus

personajes: "Si logras hacerte, querida Brbara, con un mazo completo de naipes, te har tragar una

leccioncita de matemticas tan fcilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de

leche."

Recientemente, durante una entrevista a Don Albers (Albers y Gardner, 2005), comenta lasnuevas reformas de la enseanza de las matemticas. No se siente conforme con algunas nuevas

tendencias sobre la enseanza de las matemticas, las cuales se definen como matemticas difusas.

Afirma que la idea de esos mtodos consiste en organizar a los estudiantes en pequeos grupos quetrabajan en cooperacin para descubrir teoremas. Y contina diciendo:


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Habra entonces grupos a quienes, en lugar de ensearles el teorema de Pitgoras, dejaramos

cortando tringulos para que trataran de descubrirlo por s mismos. De esta manera, los profesores

no tendran mucho que hacer, salvo dejar a los estudiantes perder el tiempo tratando de descubrir

teoremas. Lo que ocurre normalmente es que hay en el grupo un estudiante ms brillante que hacetodo el trabajo y los dems le siguen. O podran tardar una semana en descubrir el teorema de

Pitgoras. Pienso que es una gran prdida de tiempo, a pesar de que la teora afirma que, en el

mundo real, siempre estamos formando parte de un equipo, de modo que lo realmente necesario sera

aprender a trabajar juntos y resolver los problemas de forma colectiva. Lo importante a estas edades

es lograr la motivacin de los estudiantes para aprender los nuevos conceptos.

Para terminar, as como Martin Gardner se consideraba seguidor de las doctrinas y enseanzas

de grandes maestros de la filosofa y la ciencia, muchos de los que hemos seguido con avidez sus

chanzas, pasatiempos, trucos, problemas, rompecabezas y cuentos, hemos podido aprovechar todo su

conocimiento, sus ideas y maestra narrativa. Gracias!

Bibliografa

Albers, D. y Gardner, M. (2005). Mathematical Games and Beyond: Part II of an Interview with

Martin Gardner, The College Mathematics Journal 36 (4), 301314.Alegra, P. (2008).Magia por principios. Publidisa.

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Volumen 76, marzo de 2011, pginas 3146

ISSN: 1887-1984M

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Carlos Vinuesa del Ro (Universidad de Cambridge2)


Resumen Motivados por la aficin de Martin Gardner a la magia matemtica, mostramos cmoalgunos principios matemticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Enparticular nos detenemos en el principio de paridad, el principio de Gilbreath ycoincidencias del estilo de la paradoja de los cumpleaos.

Palabras clave Martin, Gardner, magia, matemagia, paridad, Gilbreath, paradoja, cumpleaos.

Abstract Motivated by Martin Gardner's liking for mathematical magic, we show how somemathematical principles can be employed in magic tricks. In particular we go over theparity principle, Gilbreath's principle and coincidences with the flavour of the birthdayparadox.

Keywords Martin, Gardner, magic, mathemagic, parity, Gilbreath, paradox, birthday.

1. IntroduccinAntes de nada, una pregunta para ir pensando en algo: Puede un caballo de ajedrez ir de una

esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla exactamente una vez?

Martin Gardner tuvo tantas inquietudes que sera muy difcil resumirlas aqu. Pero para dar unaidea del tipo de cosas que le gustaba hacer, nada mejor que las palabras de Ronald Graham: Martin

ha transformado a miles de nios en matemticos y a miles de matemticos en nios. Escribi ms de70 libros y ha sido posiblemente el divulgador matemtico ms famoso de la historia. Sus puzles yproblemas favoritos eran aquellos que requeran de una inspiracin repentina que a l le gustaballamar el momento aj! Otra cosa que sin duda le apasionaba era la magia matemtica; de hechopodramos parafrasear la cita anterior y asegurar sin miedo a equivocarnos que Martin interes amuchos magos en las matemticas y a muchos matemticos en la magia.

En las pginas siguientes trataremos de dar una visin variada y amena de este mundo del quetantas veces nos habl Martin donde conviven las matemticas y la magia.

1 Las letras maysculas MG son las iniciales de Martin Gardner.

2 El autor agradece a la Fundacin Ramn Areces la concesin de la beca postdoctoral de la que disfruta en laactualidad.


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R 2. ParidasdTodos sabemos que existen nmeros pares e impares. Aparentemente es una idea sencilla. Sin

embargo hay literalmente cientos de excelentes y engaossimos juegos de magia basados en esteinocente principio.

2.1. Las monedas

Tenemos cuatro monedas3

sobre la mesa. Pedimos a un espectador que, mientrasestamos vueltos de espaldas, realice 7 volteos (un volteo es coger una moneda que est caraarriba y ponerla cara abajo o viceversa) y despus tape una de las monedas con su mano.Al girarnos, adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Introducimos una nueva moneda. Decimos al espectador que ahora puede realizartantos volteos como quiera, con la nica condicin de decir vuelta cada vez que hagauno, y que tape una moneda al final. Pese a ello y a que hemos estado girados durante losvolteos, adivinamos de nuevo si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Un nuevo espectador entra en juego. Ahora, un espectador realiza un volteo y el otro leresponde con otro volteo, como si estuvieran jugando una partida, hasta que finalmente,tras mover el segundo jugador, tapan una moneda. Pese a que no dicen cuntosmovimientos realizan y a que estamos vueltos durante todo el proceso, de nuevoadivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Pese a lo difcil que pueda parecer a simple vista, el juego anterior es muy sencillo de realizar.La clave para explicrnoslo es la siguiente observacin: un volteo altera la paridad del nmero demonedas que muestran su cara. Imaginemos que hay unas cuantas monedas sobre la mesa (el nmerono es muy importante). Supongamos que el nmero de monedas cara arriba es par. Si se realiza unvolteo slo hay dos posibilidades:

O bien volteamos una moneda que estaba cara arriba, teniendo una cara menos tras elvolteo.

O bien volteamos una moneda que estaba cara abajo, teniendo una cara ms tras el volteo.As, en cualquier caso, tras el volteo el nmero de caras ser impar. Y tras un nuevo volteo

volver a ser par. Y as sucesivamente: impar, par, impar, par, impar, par...

Ya sabemos cmo realizar el juego! Para la primera fase basta con que observemos la paridaddel nmero de monedas cara arriba antes de girarnos. Como el espectador realiza 7 volteos, la paridaddel nmero de caras cambiar tras los mismos. As, si haba un nmero par de caras ahora habr unnmero impar y viceversa. Mirando las monedas que han quedado a la vista podremos saber si la quese oculta bajo la mano del espectador muestra su cara o su dorso.

En cuanto a la segunda fase, como ya sabemos, introducir una nueva moneda no complica las

cosas aunque a ojos del espectador pueda hacerlo ms difcil. Basta con que nos fijemos en la paridaddel nmero de caras antes de girarnos, paridad que ir cambiando con cada vuelta que diga el

3 Si realizas este juego para pocas personas que estn muy cerca puedes usar monedas cualesquiera. Sinembargo, si vas a realizar este juego para bastantes espectadores (por ejemplo en una clase) y dado que a ciertadistancia es muy difcil distinguir si una moneda muestra su cara, te recomiendo que construyas pequeos discosde cartn que por un lado sean de un color y por el contrario de otro.


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espectador. Una sencilla forma de no perdernos a la hora de controlar la paridad consiste en que nosgiremos con el puo cerrado si el nmero de caras es par o bien con el pulgar extendido (gesto deOK) si es impar. Con cada vuelta cambiamos de una posicin a otra y al final slo tenemos que

mirar nuestro dedo...

Por ltimo, la introduccin de un nuevo espectador y el hecho de plantear los volteos por pares(el segundo espectador responde siempre al movimiento del primero) hace que todo sea facilsimo,pues sabemos que el nmero de volteos ser par y por lo tanto la paridad del nmero de monedas quemuestran su cara no variar. Pese a que a ojos de los espectadores podra parecer ms difcil que lasegunda fase en realidad es mucho ms fcil. Dicho sea de paso, esto es algo que ocurre confrecuencia en magia.

2.2. Los vasos

Este juego de las monedas recuerda a una curiosa apuesta con vasos que nos puede hacer ganaralguna que otra invitacin4.

Se colocan tres vasos en lnea, de manera que quedan alternados boca arriba y bocaabajo. El movimiento permitido es coger dos vasos adyacentes y voltearlos sin cambiarlosde sitio. Mostramos cmo se pueden dejar los 3 vasos boca arriba y decimos que no es tansencillo, retando al espectador a que haga lo mismo. El espectador es incapaz de hacerlo.

El secreto es tan simple que puede incluso que no engae a nadie y te toque invitar a ti5. Al

comienzo t colocas los vasos como muestra la figura de la izquierda: boca abajo, boca arriba y bocaabajo. Por supuesto, pondras poner todos boca arriba en dos movimientos, pero conviene alargarlo unpoco y no dejar los tres vasos boca arriba hasta que llevemos ya unos cuantos movimientos.

Despus colocas los vasos como muestra la figura de la derecha: boca arriba, boca abajo y bocaarriba. Es suficientemente parecido como para que pueda colar que estaban as al principio (aqucuentan mucho tus dotes de actor para hacerlo con convencimiento y sin sentirte culpable). Como elmovimiento permitido no cambia la paridad del nmero de vasos boca arriba (si se voltean dos vasos obien habr dos vasos ms boca arriba si los dos estaban boca abajo, o bien dos menos si los dos

estaban boca arriba, o bien los mismos si uno estaba boca abajo y otro boca arriba), el espectador noconseguir poner todos los vasos boca arriba.

4 De hecho, si te fijas, tanto el juego anterior de las monedas como la mayora del resto de los juegos de magia sepueden presentar tambin como apuestas. Si decides hacerlo as recuerda mandar siempre un 10% de lo queganes a quienquiera que sea el autor del artculo donde lo leste.5 En este caso no es necesario que mandes el 10% de la factura a nadie.


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R Observa que tanto el hecho de que los vasos que se voltean tengan que ser adyacentes como elde que no se cambien de sitio son condiciones que no afectan a nada de lo que hemos dicho. Pero elhecho de poner esas condiciones despista un poco ms al primo que pagar la siguiente ronda...

2.3. La mansin embrujada

Colocamos sobre la mesa 9 cartas cara arriba formando un cuadrado de 3 x 3 cartas.

Sacamos un sobre, explicando al espectador que dentro del mismo hay una tarjeta coninstrucciones que hemos escrito basndonos en las decisiones que creemos que va a tomaren un momento. Le pedimos que coloque un vaso (o cualquier otro objeto, pero es bonito

que sea un objeto transparente) sobre la carta que ms le guste de todas. Cuando lo hace(imaginemos que coloca el vaso sobre el 4 como en la figura) le decimos Ya lo saba. Ledecimos que un movimiento consiste en desplazar el vaso de una carta a otra contiguaen vertical o en horizontal (en diagonal no vale!) y le entregamos la tarjeta coninstrucciones que hay dentro del sobre, donde puede leer:

1. Retira el 3 y mueve 3 veces.2. Retira el 6 y el 8 y mueve 5 veces.3. Retira el 7 y el 9 y mueve o bien 7 veces o bien 9 veces.4. Retira el 2 y mueve tantas veces como el nmero que prefieras de los que quedan

sobre la mesa.

5. Mueve tantas veces como el nmero sobre el que te encuentras y retira el 5 y el 1.Ests sobre el 4.

El nombre de este juego procede de que a veces se presenta diciendo que las nueve cartas sonlas estancias de una mansin embrujada en la que las habitaciones desaparecen. Aunque, como estarspensando (el ttulo de la seccin ayuda bastante), este juego est basando en la paridad, seguro que hayalgo que todava no te cuadra... Y si hubieras puesto el vaso sobre el 3 en lugar de sobre el 4?Bueno... digamos que hay una parte del secreto no tan matemtica... La tarjeta donde estn escritaslas instrucciones tiene dos caras y en la otra cara pone:

1.

Retira el 6 y mueve 5 veces.2. Retira el 7 y el 9 y mueve 8 veces.3. Retira el 5 y mueve 5 veces.4. Retira el 8 y el 2 y mueve tantas veces como el nmero que prefieras de los que quedan

sobre la mesa.5. Mueve tantas veces como el nmero sobre el que te encuentras y retira el 1 y el 3. Ests

sobre el 4.


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As que si el espectador comienza sobre una carta par sacamos y le ofreceremos la tarjetamostrando las otras instrucciones y si comienza sobre una carta impar se la ofreceremos mostrandoestas ltimas. Vaya argucias tienen estos magos! Poco ms hay que explicar. Como las cartas pares e

impares estn alternadas como las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez6, en cadamovimiento se cambia de paridad. Las instrucciones siempre dicen que se retire una carta de laparidad contraria a aquella en la que se encuentra el espectador. Adems, y esto es lo que utilizamos alfinal, si el espectador mueve tantas veces como el nmero sobre el que se encuentra entonces siempreterminar en una carta par (par + par = par e impar + impar = par).

En realidad, si cambiamos un poquito el inicio, el juego se presta a que muchos espectadores lorealicen a la vez, movindose mentalmente sobre las cartas, lo que har que el efecto sea distinto ymucho ms fuerte. La primera instruccin podra ser, por ejemplo, que cada espectador se site sobrela carta que quiera y mueva tantas veces como indica su valor. As, sabemos que todo el mundo est

sobre una carta par y podemos seguir nuestra lista de instrucciones (ahora slo hay una lista para todoel mundo), o bien con las primeras que hemos escrito o bien con otras de nuestra invencin, puesahora que entendemos el secreto podemos jugar y hacer nuevas versiones del juego. De hecho, paraque veas que se puede hacer, el conocido ilusionista David Copperfield present una versin de este

juego por televisin7, invitando a los espectadores a participar desde sus casas.

2.4. El tapiz del seor Kolo

El siguiente juego est basado en una idea antigua de la que no se conoce al autor original.Richard Vollmer (Vollmer, 1991, pp. 53 y siguientes) lo llamaLa tapisserie de Mr. King y en espaol

(Giobbi, 2004, pp. 77-81) se conoce comoEl tapiz del seor Kolo. La historia es la siguiente:

Se explica que el millonario seor Kolo mand realizar un carsimo tapiz de vivoscolores, que se representa con las doce figuras y los cuatro dieces de la baraja (pues son las

cartas con ms color), formando un cuadrado de 4 x 4 cartas. En la figura de la pginasiguiente se muestra el tapiz desde el punto de vista del mago, el pblico estara situado enfrente.

Dado el desorbitado precio del tapiz, el seor Kolo decidi que sera buena ideamarcar el mismo con su inicial, la letra K, pues as en caso de robo podra reconocerlo de

nuevo. La marca se realiza volteando algunas de las cartas, como muestra la figura(recurdese que la figura muestra el punto de vista del mago, as que los espectadoresvern algo parecido a una letra K mayscula.

6 Recuerda que todava tenemos pendiente una pregunta sobre un caballo de ajedrez...7 Puedes verla aqu: http://www.youtube.com/watch?v=OZ1WTRkTjcA.


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R Cierto da, el seor Kolo se fue de viaje y unos ladrones entraron a robar el tapiz. Parallevrselo tuvieron que doblarlo. El tapiz de cartas se va doblando por las lneashorizontales o verticales que los espectadores deseen, hasta que ocupa slo el tamao de

una carta (todas las cartas terminan en un montn).

Se cuenta cmo el Seor Kolo, tiempo despus, crey reconocer su tapiz en una tiendade antigedades. Mand que lo extendieran y se pudo comprobar que era el suyo, pues suinicial estaba all por cuadruplicado: al extender las cartas sobre la mesa, todas estn caraabajo, excepto los cuatro reyes, que estn cara arriba.

El juego se basa de nuevo en la paridad, concretamente en el que es conocido como principio deplegado de Henry Dudeney. Para entenderlo, pensemos en la siguiente situacin: si disponemos lascartas cara arriba y cara abajo alternndolas como si fueran las casillas blancas y negras de un tablerode ajedrez, cualquier plegado terminar dejando todas las cartas en el mismo sentido (todas cara arribasi terminan sobre una de las cartas que estaba cara arriba originalmente y todas cara abajo si lo hacensobre una de las cartas que estaba cara abajo originalmente). Pinsalo, es muy sencillo.

Una vez entendido eso, si queremos que una carta termine tras el plegado en sentido contrario alresto, partiendo de la configuracin de tablero de ajedrez, bastar con que volteemos la cartadeseada. Si lo que queremos es que los cuatro reyes terminen en sentido contrario al resto de las cartas,bastar con colocar todas las cartas en la configuracin de tablero de ajedrez y voltear ahora loscuatro reyes. Coloquemos los reyes (desde nuestra perspectiva) en las dos posiciones situadas ms a laderecha de la fila ms cercana al pblico y en las dos posiciones situadas ms a la izquierda y ms a la

derecha respectivamente de la segunda fila ms cercana a nosotros, como mostraba la primera figura.Pues bien, si ahora volteamos las cartas necesarias para llegar a la configuracin de tablero deajedrez comenzando por la carta situada ms a la izquierda de la fila ms cercana al pblico, y acontinuacin cambiamos de sentido los cuatro reyes (independientemente del sentido en que sehayen), obtendremos la configuracin de K del seor Kolo. As, al principio, las posiciones en quecolocamos los reyes son cruciales, pero como las posiciones de todas las cartas restantes no importanes muy fcil colocar los reyes sin levantar sospechas. Por cierto, si te ests preguntando qu hacer encaso de que tras el plegado queden todas las cartas cara arriba y los cuatro reyes cara abajo, es muysencillo: cuando se termine el plegado del tapiz, coge el montn de cartas (como para mostrarlo) yvoltalo sin dar ms explicaciones. Si no le das importancia, nadie se la dar.

El principio de plegado es muy flexible y podrs crear nuevos juegos basados en l (coloca lascartas de manera que las que muestran su dorso formen tu dibujo favorito y mira a ver cuntas cartastienes que voltear para llegar a la disposicin en tablero de ajedrez). De hecho, la forma de plegar notiene por qu imitar a la de una tela real, podemos coger por ejemplo una sola carta y doblarla hacia ellado que queramos. Las posibilidades son muchas juega con ellas!


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2.5. El caballo

Para terminar esta seccin, retomemos la pregunta del comienzo del artculo: Puede un caballode ajedrez ir de una esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casillaexactamente una vez? El ataque ms directo quiz sera tratar de encontrar uno de esos caminos(infructuosamente). Sin embargo, podemos dar una respuesta negativa de modo mucho ms elegante,basndonos de nuevo en la paridad.

Aj! Cuando un caballo de ajedrez realiza un movimiento, siempre cambia de color (o bienpasa de una casilla negra a una blanca como en la figura, o bien al contrario). Es decir, si un caballoparte de una esquina blanca, los colores de las casillas que pisar sern blanco (B), negro (N), B, N, B,N, B... Si queremos que el caballo termine en la esquina diagonalmente opuesta, la lista tendr quecomenzar y terminar en B. Pero el caballo tiene que dar exactamente 63 saltos para pisar las 64casillas, una cada vez. Y por lo tanto, si empieza en una casilla B, tras los 63 saltos terminar en unacasilla N, lo cual es una contradiccin.

3. Orden en el caosMezclar la baraja en una partida de cartas es la garanta que tienen los jugadores de que nadie

posee informacin sobre las cartas que se reparten. Y si pese a la mezcla pudiramos saber mucho delas cartas? Bienvenidos al mundo del principio de Gilbreath.

3.1. El principio de Gilbreath

Lo primero que hay que decir es que, pese a la sugerente introduccin, es difcil que puedassacar provecho de todo lo que sigue en una partida de cartas. Sin embargo s que podrs realizaralgunos sorprendentes juegos de magia. Por ejemplo:

Entregamos una baraja8 a un espectador que va repartiendo cartas sobre la mesahasta que l desea para formar dos montones (el que queda sobre la mesa y el que queda

8 Al igual que en el juego del tapiz del seor Kolo y en todos los dems que aparecern en el artculo, siempreque nos refiramos a una baraja ser una baraja de pquer sin comodines, es decir las 52 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, J, Q y K de picas, corazones, trboles y diamantes.


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R en su mano). El propio espectador mezcla a la americana9 los dos paquetes formados.

Cogemos la baraja recin mezclada por el espectador y sin mirar ninguna carta la

llevamos a nuestra espalda o debajo de la mesa. Utilizando tan slo nuestro tacto

podremos encontrar tantos pares de cartas de diferente color como se nos pida.

Como has adivinado, el juego funciona por el principio de Gilbreath. Ahora slo falta saber ques el principio de Gilbreath. Antes de nada coge una baraja y ordena sus cartas

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Revista Matematica-Volumen 76 Nx