AÑO 1|NUMERO 1|DICIEMBRE 2014

Dirección General y Edición

Cesar Bravo

Edgar Yanez

EDITORIAL SAIA

Maracay - Edo. Aragua

PSM SAIA Maracay

Instituto Universitario

Politécnico “ Santiago Mariño”

Sin Restricciones 2

Optimización sin restricciones en función de varias variables Introducción…………………………………………………………..4 Métodos Método de Ascenso y/o Descenso acelerado…………5,6 Método Davidon-Fletcher-Powell…………………………..7 Método de Fletcher-Reeves…………………………………...8 Método del Gradiente conjugado…………………………..9 Método Multiplicadores de LaGrange…………………...10,11 Ejercicios Ejercicios Resueltos………………………………………………..12,13 Información General Importancia…………………………………………………………...15 Referencias Bibliográficas…………………………………………………..16

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La optimización sin restricciones es el problema

de minimizar o maximizar una función sin la existen-

cia de restricciones, esta función puede ser de una o

mas variables. Esto es importante porque un proble-

ma con restricciones puede tratarse con los multipli-

cadores de LaGrange como uno sin restricciones.

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Método de Ascenso y/o Descenso acelerado

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Método de Ascenso y/o Descenso acelerado

Ejemplo

Método de DFP (Davidon-Fletcher-Powell)

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El método de GCFR se utiliza para minimizar funciones

generales (cuadráticas y no cuadráticas).

Método de Fletcher Reeves

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El método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones linea-les cuyas matrices son simétricas ydefinidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los siste-mas dispersos que son demasiado grandes para ser tratados por métodos directos como ladescomposición de Cholesky. Tales sistemas surgen frecuentemente cuando se resuelve numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales.

El método del gradiente conjugado se puede utilizar también para resolver los problemas de optimización sin restricciones como la minimización de la energía.

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En los problemas de optimización, el método de

los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph

Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restriccio-

nes. Este método reduce el problema restringido con n variables a

uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número

de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fá-

cilmente.

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

lo que es equivalente a

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Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilís-tica discreta con máxima entropía. Entonces

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

lo que nos da

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende sola-mente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la

mayor entropía.

Ejemplo:

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EJERCICIO 2 : Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:

Solución:

En este caso es más conveniente aplicar la definición de deri-vada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una in-determinación.

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EJERCICIO 4: Halla los extremos de la función en el círcu-

lo

Solución:

Localizamos el círculo expresándolo en forma canónica , lue-go se trata del círculo C con centro en el punto C(1,0) y radio 2. a) Determinamos los puntos críticos de la función situados dentro del círculo.

b) Determinamos los puntos críticos de la función condicionados por el contorno del círculo.

tenemos que resolver el sistema:

del que obtenemos cuatro puntos , , , c) Comparamos el valor de la función en cada uno de los puntos críticos:

f(0,0)=0 , f(-1,0)=1 , f(3,0)=9 , ,

luego el mínimo absoluto está en el punto y el máximo en los

puntos y

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Los métodos sin restricciones son importantes porque:

*Hay problemas que se pueden formular sin restricciones

*Permiten introducir muchos conceptos y explorar ideas que se

usarán en problemas NLP

*Muchos problemas de optimización utilizan en alguna fase algo-

ritmos sin restricciones

*Algunos problemas NLP pueden reformularse como problemas

sin restricciones

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Multiplicadores de Lagrange. Disponible en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange

Optimización. Disponible en:

http://optimizacionlinealing.blogspot.com/2013_01_01_archive.html

El método de newton. Disponible en:

http://www.fing.edu.uy/~acanelas/MatCursos_files/Optimizacion_05.pdf

Sin restricciones. Disponible en:

http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf

Formas cuadráticas. Disponible en:

http://www.uv.es/~perezsa/docencia/material/MateEcoEmp/formascuadraticas/

formascuadraticas.htm