Rezistenta materialor

CAPITOLUL 1

INTRODUCERE N REZISTENA MATERIALELOR

1.1. Obiectul i problemele Rezistenei Materialelor Rezistena Materialelor este o disciplin tehnic de cultur general, care face legtura ntre disciplinele fizico-materiale i disciplinele inginereti. Rezistena Materialelor introduce un nou model al materiei, modelul solidului deformabil, plecnd de la observaia c toate corpurile din natur, sub aciunea unor solicitri exterioare, sunt deformabile. Astfel, n calculele de static sau dinamic a solidului se vor lua n considerare forele interioare care apar n solid i caut s se opun tendinei de deformare a acestuia. Cunoaterea acestor fore interioare, a distribuiei lor pe seciunea corpului solicitat, a valorilor acestor fore pentru diferite condiii de solicitare, constituie obiectul fundamental al Rezistenei Materialelor. Rezistena Materialelor rezolv trei tipuri de probleme: a) Probleme de dimensionare. Se cunosc ncrcrile exterioare, materialul din care este confecionat elementul de rezisten i proprietile mecanice (sau de rezisten) ale materialului. Se determin dimensiunile seciunii transversale a elementului de rezisten, astfel nct acesta s reziste aciunii forelor exterioare date, fr a se deforma periculos. b) Probleme de verificare. Se cunosc ncrcrile exterioare, proprietile materialului elementului de rezisten i dimensiunile acestuia. Se cere s se verifice dac elementul de rezisten rezist sau nu la solicitrile exterioare. c) Probleme de determinare a ncrcrii capabile. Se cunosc proprietile materialului elementului de rezisten, dimensiunile acestuia i se cere ncrcarea maxim pe care o poate suporta elementul de rezisten far a ceda sau fr a se deforma periculos.

Elementele de rezistena proiectate trebuie s satisfac anumite condiii: - Condiia de rezisten: forele interioare care apar n corpul solicitat nu trebuie s depeasc anumite valori limit sau critice, determinate experimental i specifice fiecrui material. - Condiia de rigiditate: dimensiunile elementului de rezisten trebuie stabilite astfel nct deformaiile acestuia s nu depeasc anumite valori limit, impuse de buna funcionare a ansamblului din care face parte elementul de rezisten. - Condiia de stabilitate: forele interioare trebuie s se afle n stare de echilibru stabil cu forele exterioare date, pentru ca elementul de rezisten s nu aib deformaii foarte mari n direcii n care acestea sunt interzise (de exemplu fenomenul de flambaj).

- Condiia de economicitate. Rezistena Materialelor este o disciplin nrudit cu mecanica teoretic. Spre deosebire de mecanica teoretic, care se bazeaz pe modelul corpului rigid nedeformabil, n rezistena materialelor se utilizeaz modelul solidului deformabil. Pe de alt parte, dac

Capitolul 1 12

n mecanic fora este considerat ca vector alunector, n Rezistena Materialelor fora trebuie s fie un vector legat, cu punct de aplicaie bine determinat. Considerm o bar dreapt solicitat ca n Fig.1.1. Din punct de vedere mecanic bara este n echilibru, indiferent de valoarea forei F i de poziia celor dou fore egale pe suportul lor. Din punct de vedere al mecanicii, putem deplasa forele pe suportul lor pn n punctul C. Corpul rmne n echilibru i nu se deformeaz. n realitate, sub aciunea forelor F bara se va deforma, iar dac fora F depete o valoare critic, echilibrul va fi distrus, bara va ceda (se va rupe).

Fig.1.1

1.2. Clasificarea corpurilor n Rezistena Materialelor Diferite dispozitive mecanice, organe de maini, mecanisme sunt realizate din piese componente destinate prelurii unor sarcini exterioare i supuse la diverse solicitri mecanice. Vom denumi aceste piese elemente de rezisten. Datorit marii lor diversiti, elementele de rezisten se schematizeaz printr-un numr redus de tipuri, care se ncadreaz n modelele de calcul. Elementele de rezisten se clasific dup raportul dintre cele trei dimensiuni astfel: a) Elemente de rezisten tip bar, sau corpuri cu fibr medie. Aceste elemente de rezisten au dou dimensiuni mult mai mici dect cea de-a treia i se caracterizeaz prin: - axa geometric a barei, care este locul geometric al centrelor de greutate ale seciunilor transversale ale barei,

- forma seciunii transversale, normal pe axa geometric. Dup forma axei geometrice, elementele de rezisten tip bar pot fi: bare drepte, bare curbe (avnd axa geometric o curb plan), cadre plane (cu axa geometric o linie frnt n plan) i cadre spaiale (avnd axa geometric o linie frnt n spaiu). Seciunea transversal a barei, de anumit form i dimensiuni, determin, alturi de caracteristicile mecanice ale materialului, capacitatea de rezisten a barei. Seciunile transversale pot fi: circulare, inelare, ptrate, dreptunghiulare, diferite suprafee compuse sau profile laminate standardizate (L, I, T, U, etc).

n funcie de modul de solicitare, barele poart diferite denumiri:

Introducere n Rezistena materialelor 13

- tirani, bare supuse la traciune, - stlpi, bare supuse la compresiune, - grinzi, bare supuse la ncovoiere, - arbori, bare supuse la torsiune (rsucire).

b) Elemente de rezisten tip plac, sau corpuri cu suprafa median. Au dou dimensiuni mult mai mari dect cea de-a treia (Fig.1.2). Plcile se caracterizeaz prin forma i dimensiunile suprafeei mediane i grosimea plcii (h), msurat perpendicular pe suprafaa median.

Fig.1.2

Dac placa este foarte subire i nu poate prelua solicitri transversale se numete membran. Placile mici i groase se numesc dale. Dup form i destinaie se poate vorbi despre plci plane, nvelitori (curbe), vase, tuburi, etc. c) Elemente de rezisten masive sau blocuri, au toate cele trei dimensiuni de acelai ordin de mrime, de exemplu: bilele sau rolele de rulmeni, batiurile mainilor unelte, blocurile de fundaii, tuburile cu perei groi, etc. Aceast clasificare este legat i de metodele de calcul specifice fiecrui tip de element de rezisten, metode relativ simple la bare, foarte complicate la plci i nc nedefinitivate la blocuri.

1.3. Clasificarea forelor n Rezistena Materialelor

Forele se pot casifica dup suprafaa pe care acioneaz i dup modul de variaie n timp (Fig.1.3).

Dup suprafaa pe care acioneaz, forele pot fi:

- fore concentrate, care acioneaz pe o suprafa extrem de mic, aproximat printr-un punct (Fig.1.3.a);

Capitolul 1 14

- fore distribuite pe o anumit lungime sau pe o anumit suprafa. Acestea pot fi fore uniform distribuite (Fig.1.3.b) i distribuite dup o anumit lege de variaie (Fig.1.3.c); - momente concentrate, care acioneaz ntr-un punct al elementului solicitat (Fig.1.3.d);

- momente uniform distribuite pe o anumit lungime (Fig.1.3.e). Dup modul de variaie n timp, forele se clasific n: - fore aplicate static, cresc lent de la zero la o valoare final, care rmne constant n timp. n Fig.1.3.f. s-a reprezentat modul de variaie a forei F cu timpul t.

- fore dinamice, variabile n timp. Aceste fore pot fi variabile periodic (Fig.1.3.g) sau variabile aleator: ocuri i percuii (Fig.1.3.h).

Fig.1.3

1.4. Ipoteze de baz n Rezistena Materialelor

Pentru c Rezistena Materialelor stabilete relaii de calcul relativ simple pentru rezolvarea rapid a problemelor, se admit ipoteze simplificatoare referitoare la structura materialelor elementelor de rezisten i la comportarea acestora sub aciunea sarcinilor exterioare.

a. Ipoteza mediului continuu, omogen i izotrop Se consider c materialul elementului de rezisten deformabil este continuu, nu are goluri sau fisuri microscopice i ocup tot spaiul mrginit de conturul su exterior. Materialul este considerat i omogen, adic are aceleai proprieti mecanice i fizice n fiecare punct din interiorul su. Izotropia materialului se refer la faptul c materialul posed aceleai proprieti mecanice n toate direciile.

b. Ipoteza elasticitii perfecte

Introducere n Rezistena materialelor 15

Se consider c atta timp ct sarcinile exterioare nu depesc anumite limite, elementul de rezisten i recapt forma i dimensiunile iniiale dup ncetarea aciunii forelor.

c. Ipoteza proporionalitii dintre tensiuni i deformaii Prin aceast ipotez se consider c materialele elementelor de rezisten

prezint relaii liniare ntre tensiuni i deformaii pentru solicitrile n regim elastic.

d. Ipoteza micilor deplasri Un element de rezisten i schimb forma iniial n timpul solicitrii. Situaia real de echilibru ntre forele exterioare i cele interioare este cea deformat, care iniial nu este cunoscut. De aceea ecuaiile de echilibru static se scriu pe forma iniial, nedeformat a elementului de rezisten.

e. Principiul lui Saint Venant Dac se nlocuiesc forele care acioneaz asupra unui element de suprafa al elementului de rezisten cu un sistem de fore echivalent se modific numai starea local de solicitare, acest lucru neavnd efect la distene mari de locul de aplicare al forelor.

f. Ipoteza lui Bernoulli Aceast ipotez, numit i ipoteza seciunilor plane, este proprie Rezistenei Materialelor i se aplic n studiul solicitrilor de ntindere i ncovoiere, avnd urmtoarea formulare: o seciune plan i normal la axa barei nainte de deformare rmne plan i normal la axa barei i dup deformarea produs de ncrcare.

g. Ipoteza strii normale a elementului de rezisten Conform acestei ipoteze, numit i ipoteza absenei tensiunilor iniiale, se consider c pentru un element de rezisten nencrcat starea de tensiune i deformaie este nul. Pe baza ipotezelor prezentate se obin formulele utilizate n calculele de rezisten, rigiditate i stabilitate ale elementelor de rezisten. Rezultatele calculelor fiind confirmate experimental, formulele din Rezistena Materialelor reflect realitatea.

CAPITOLUL 2

FORE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI.

2.1.Metoda seciunilor

n orice corp solid exist fore interioare, de structur, care asigur pstrarea formei i dimensiunilor corpului. Dac un corp este solicitat mecanic n interiorul su apar nite fore interioare suplimentare, care caut s se opun tendinei de deformare a corpului. Calculul acestor fore interioare suplimentare constituie obiectul fundamental al Rezistenei Materialelor. Fie un corp solid deformabil, ncrcat cu un sistem de fore i momente n echilibru (Fig.2.1). Secionm corpul cu un plan oarecare Q.

Fig.2.1

Metoda seciunilor este un procedeu de raionament conform cruia, dac un corp este n echilibru atunci fiecare parte a sa , dup secionare, trebuie s fie n echilibru sub aciunea forelor exterioare care solicit partea respectiv i a unui sistem de fore generalizate, pe seciune, echivalent cu aciunea celeilalte pari a corpului secionat. Prin metoda seciunilor s-au rezolvat dou probleme importante: s-a evideniat existena acestor fore interioare suplimentare i s-au trecut aceste fore din categoria forelor interioare n categoria forelor exterioare, crora le putem aplica toate regulile cunoscute din static. 2.2. Eforturi secionale Vom reduce forele interioare suplimentare, care acioneaz pe seciunea fiecrei pri a corpului secionat n centrul de greutate al seciunii G, la un torsor de reducere compus dintr-o for i un moment: pentru partea stng a corpului secionat Ris i Mis ,

Fore interioare. Eforturi. Diagrame de eforturi. 17

respectiv pentru partea dreapt Rid i Mid. Elementele torsoarelor de reducere ale forelor exterioare care acioneaz fiecare parte a corpului secionat vor fi: Res i Mes, pentru partea stng, respectiv Red i Med pentru partea dreapt (Fig.2.2). Se pot scrie urmtoarele ecuaii de echilibru:

isR = - idR , isM = - idM i isR = - esR , isM = - esM idR = - isR , idM = - isM i idR = - edR , idM = - edM Din aceste ecuaii va rezulta:

idR = esR , idM = esM i isR = edR , isM = edM

Fig.2.2

Deci pentru a calcula torsorul de reducere al forelor interioare de pe o anumit fa a seciunii, se reduc n centrul de greutate G al seciunii respective forele exterioare care acioneaz cealalt parte a corpului secionat. De obicei, acest torsor de reducere al forelor interioare se descompune n 6 componente, dup axele unui triedru de referin cu originea n centrul de greutate al seciunii G, ca n Fig. 2.3:

zyid TTNR ++=

iziyxid MMMM ++=

Aceste 6 componente ale torsorului de reducere se numesc eforturi secionale.

S-a convenit c aceste eforturi sunt pozitive dac au sensurile indicate n Fig.2.3.

Capitolul 2 18

Fig.2.3

Fiecare dintre aceste eforturi, luat separat, produce asupra corpului o solicitare simpl: a) Fora axial N este aplicat pe axa barei i are ca efect lungirea sau scurtarea tronsonului pe a crui fa acionez. Fora axial este pozitiv dac lungete tronsonul acionat, caz n care corpul este solicitat la traciune. Dac fora axial este negativ, tronsonul este solicitat la compresiune. b) Forele tietoare Ty i Tz sunt orientate dup axele Gy, respectiv Gz i au ca efect o lunecare a seciunii transversale a corpului solicitat n sensul de aciune a forei tietoare. Aceste fore produc solicitarea de forfecare sau tiere. Pentru un sistem de fore plane, de exemplu n planul xGy, sensul pozitiv al forei tietoare Ty se stabilete astfel: Ty este pozitiv dac rotete tronsonul pe a crui fa acioneaz n sensul acelor de ceasornic. c) Momentul de rsucire sau torsiune Mx are ca efect o rotire a seciunii n jurul axei geometrice Gx. Produce solicitarea de rsucire (torsiune).

Fig.2.4


d) Momentele ncovoietoare Miy, Miz n raport cu axa Gy, respectiv Gz au ca efect o rotire a seciunii n jurul axei dup care este orientat vectorul moment ncovoietor. O parte a fibrelor barei se lungesc, iar o parte se scurteaz. Pentru un sistem de fore plane, n planul xGy, momentul ncovoietor Miz este pozitiv dac ntinde fibrele de jos (dinspre observator) i le comprim pe cele superioare (Fig.2.4). Momentul ncovoietor produce solicitarea de ncovoiere.

2.3.Diagrame de eforturi

Considerm o grind solicitat n planul xGy, ca n Fig.2.5. Pentru un sistem de fore plane vom nota Ty cu T i Miz cu M. Diagramele de eforturi se traseaz pe baza funciilor de eforturi, care reprezint variaia eforturilor N, T, M n lungul axei barei N(x), T(x) i M(x).

Fig.2.5

Pentru determinarea acestor funcii de eforturi se parcurg urmtoarele etape: (1) Se mparte grinda n tronsoane, limitele acestora fiind seciunile n care apar variaii de ncrcare;

Capitolul 2 20

(2) Se nlocuiesc reazemele cu reaciunile corespunztoare i se calculeaz aceste reaciuni din condiia de echilibru static a grinzii sub aciunea ncrcrilor exterioare i a reaciunilor. n mecanic se utilizeaz sistemul de ecuaii de echilibru:

0=)M(

0=)F(0=)F(

O

y

x

(2.1)

n Rezistena Materialelor se utilizeaz sistemul de ecuaii (2.2):

Ecuaiile de momente din sistemul (2.2) se bazeaz pe observaia c n articulaiile reazemelor rotirea este permis, deci momentul ncovoietor este nul. Acest sistem permite verificare calculului reaciunilor cu ajutorul ecuaiei (2.3):

(3) Stabilirea funciilor de eforturi pe tronsoane utiliznd metoda seciunilor. Vom analiza partea din dreapta a grinzii, din Fig.2.5.a. - Fora axial N(x) n seciunea A dreapta este egal cu suma algebric a proieciilor tuturor forelor din stnga seciunii pe axa longitudinal x a grinzii. N(x) este pozitiv dac ntinde partea din dreapta (A-5) a grinzii. - Fora tietoare T(x) n seciunea A dreapta este egal cu suma algebric a tuturor forelor din stnga seciunii (1-A) pe axa y. T(x) este pozitiv dac rotete poriunea A-5 a grinzii n sensul acelor de ceasornic. - Momentul ncovoietor M(x) n seciunea A dreapta este egal cu suma algebric a momentelor tuturor forelor generalizate din stnga seciunii (1-A) n raport cu centrul de greutate al seciunii. Momentul este pozitiv dac ntinde fibrele inferioare ale barei. Vom reprezenta ntotdeauna momentul ncovoietor pe fibra ntins, deci valorile pozitive ale momentului n sensul pozitiv al axei y. (4) Se reprezint grafic funciile de eforturi pe axa longitudinal x a grinzii. Aceste reprezentri grafice constituie diagramele de eforturi.

2.4.Relaii difereniale ntre eforturi i sarcini Considerm o grind dreapt solicitat de o sarcin distribuit dup o lege de variaie oarecare p(x), ca n Fig.2.6.

0=)M(0=)M(0=)F(

5

1

x

(2.2)

0=)F( y (2.3)


Fig.2.6

Dac grinda este n echilibru, atunci i elementul de lungime dx al grinzii va fi n echilibru sub aciunea eforturilor prezentate n figur i a sarcinii p, care datorit faptului c lungimea dx este infinit mic, poate fi considerat sarcin uniform distribuit (p = ct). Pentru elementul de lungime dx se pot scrie urmtoarele ecuaii de echilibru:

dxdM=T 0=dM-M-

2dxdxp-dxT+M 0=)M( K (2.5)

Din ecuaiile (2.4) i (2.5) se observ c: - funcia de efort T(x) este o funcie cu un grad mai mare dect funcia de distribuie a sarcinii p(x); - funcia de efort M(x) este o funcie cu un grad mai mare dect funcia de efort T(x), deci, cu dou grade mai mare dect funcia p(x);

- din ecuaia (2.5) se observ c dac funcia T(x) este o funcie pozitiv pe domeniul de definiie, funcia M(x) va fi o funcie cresctoare, dac T(x) este negativ, funcia M(x) va fi descresctoare, iar dac funcia T(x) se anuleaz ntr-un punct al domeniului de definiie, n acel punct funcia M(x) va avea un extrem local. Din relaiile (2.4) i (2.5) rezult relaia (2.6), care permite determinarea sensului concavitii diagramei de moment ncovoietor:

dxdT=p- 0=dT-T-dxp-T 0=)F( y (2.4)

p- =dxdT =

dxMd2

2 (2.6)

Capitolul 2 22

Fig.2.7

Vom analiza n continuare ce se ntmpl n seciunile grinzilor unde apar fore sau momente concentrate. n Fig.2.7.a. s-a reprezentat un element de lungime infinit mic dx dintr-o grind pe care acioneaz o for concentrat F, respectiv o poriune din diagrama de efort T(x). Pentru elementul de lungime dx putem scrie ecuaia de echilibru a forelor pe vertical:

(F)y = 0 T1 - F - T2 = 0 T2 = T1 F, ecuaie din care rezult c n seciunea n care lucreaz o for concentrat, pe diagrama de efort T apare un salt finit (o discontinuitate finit), n acelai sens i de aceeai valoare cu fora concentrat. n mod analog, vom analiza un element de lungime dx al unei grinzi, pe care acioneaz un moment concentrat Mo (Fig.2.7.b). Scriem ecuaia de echilibru de momente M = 0, din care va rezulta:

M1 + Mo - M2 = 0 M2 = M1 + Mo n concluzie, n seciunea n care lucreaz un moment ncovoietor concentrat, pe diagrama de efort M apare un salt de aceeai valoare i n acelai sens cu momentul concentrat.

2.5.Concluzii (1) Pe tronsoanele nencrcate ale unei grinzi fora tietoare este ntotdeauna constant, iar momentul ncovoietor variaz liniar. (2) Pe tronsoanele ncrcate cu o for uniform distribuit, fora tietoare variaz liniar, iar momentul ncovoietor variaz dup o parabol de gradul 2.


(3) n seciunea n care lucreaz o for concentrat pe diagrama de efort T apare un salt de aceeai valoare i n acelai sens cu fora concentrat, iar pe diagrama de efort M apare o schimbare de pant. (4) n seciunea n care lucreaz un moment ncovoietor concentrat pe diagrama T nu se observ nimic, iar pe diagrama M apare un salt de aceeai valoare cu momentul concentrat. Observaie: Pe diagrama de efort M nu apar salturi dect n seciunile n care lucreaz momente concentrate! (5) n seciunile n care fora tietoare se anuleaz pe diagrama de moment apare ntotdeauna un extrem local (maxim sau minim).

2.6.Grinzi simplu rezemate la capete. Aplicaii.

(1) Grinda simplu rezemat ncrcat cu sarcin uniform distribuit

Fig.2.8

Grinda din Fig.2.8. este ncrcat cu o sarcin uniform distribuit de intensitate p [KN/m]. Fora total aplicat grinzii este F = pl , iar reaciunile din reazemele 1 i 2 , din motive de simetrie vor fi egale i Y1 = Y2 = = pl/2 .

Capitolul 2 24

ntr-o seciune oarecare, definit prin argumentul x, fora tietoare este : T(x) = Y1 - px = pl/2 - px

Fora tietoare variaz liniar pe lungimea l a grizii. n reazeme fora tietoare va avea urmtoarele valori:

- n 1, pentru x = 0 T1(0) = pl/2 = Y1 - n 2, pentru x = l T2(l) = - pl/2 = - Y2 Se observ c funcia T(x) se anuleaz pe domeniul de definiie [0 , l] ntr-o seciune x0: T(x0) = 0 x0 = l / 2. In aceast seciune, funcia M(x) are un extrem local.

Momentul ncovoietor n seciunea x este dat de relaia: M(x) = Y1x - pxx/2 = (pl/2)x - (p/2)x2

n seciunile de capete se observ c momentul ncovoietor este nul: M1(0) = M2(l) = 0, iar pentru x = x0 , momentul are o valoare maxim:

Mmax = M(x0) = pl2/8. Pe diagrama T se observ dou salturi n dreptul celor dou reazeme, egale n valoare cu reaciunile din reazeme i n acelai sens cu aceste reaciuni. Pe diagrama de moment M nu apare nici un salt deoarece n nici o seciune a grinzii nu acioneaz un moment concentrat.

(2) Grinda simplu rezemat, ncrcat cu o for concentrat Grinda din Fig.2.9. este articulat n 1, simplu rezemat n 3 i ncrcat cu o for concentrat F n seciunea 2. Scriind ecuaiile de momente n reazeme se obin cele dou reaciuni Y1, Y3:

( M)1 = 0 Fa - Y3l = 0 Y3 = Fa/l ( M)3 = 0 Fb - Y1l = 0 Y1 = Fb/l

Dac suma proieciilor tuturor forelor pe axa y este nul, reaciunile sunt calculate corect. Vom efectua aceast verificare:

( F)y = Fa/l + Fb/l - F = 0 Pentru stabilirea funciilor de eforturi pe tronsoane vom parcurge, cu argumentul x, tronsonul (1-2) de la stnga spre dreapta, iar tronsonul (3-2) de la dreapta spre stnga. Vom analiza pe rnd cele dou tonsoane:

Tronsonul (1-2) ; x [0,a] : T(x) = Y1 = Fb/l

M(x) = Y1x M1(0) = 0; M2(a) = Fba/l Tronsonul (3-2) ; x [0,b] :

T(x) = - Y3 = - Fa/l M(x) = Y3x M3(0) = 0; M2(b) = Fab/l Se observ c fora tietoare este constant pe ambele tronsoane, iar diagrama T are salturi n seciunile n care lucreaz forele T, Y1, Y3, egale i n acelai sens cu acestea. De asemenea, se constat c momentul ncovoietor are o variaie liniar pe ambele tronsoane, iar diagrama de moment nu are nici un salt deoarece grinda nu este ncrcat cu nici un moment concentrat.


Fig.2.9

(2) Grinda simplu rezemat ncrcat cu un moment concentrat Grinda din Fig.2.10. este ncrcat cu un moment concentrat M0 n seciunea 2. Vom determina reaciunile din reazeme din ecuaiile de moment n reazeme:

( M)1 = 0 M0 - Y3l = 0 Y3 = M0/l ( M)3 = 0 M0 +Y1l = 0 Y1 = - M0/l

Funciile de eforturi pe tronsoane sunt: Tronsonul (1-2); x[0,a]: T(x) = Y1 = - M0/l M(x) = Y1x M1(0) = 0 M2(a) = - M0 a/l

Tronsonul (3-2); x[0,b]: T(x) = - Y3 = - M0/l M(x) = Y3x M3(0) = 0

M2(b) = M0 b/l Se observ c pe diagrama de moment apare un salt egal cu M0 n seciunea 2, n care acioneaz momentul concentrat.

Capitolul 2 26

Fig.2.10

2.7.Grinzi cu articulaii (Gerber) Grinzile Gerber sunt grinzi pe mai multe reazeme, care prezint articulaii interioare pe deschiderea dintre reazeme. Numrul acestor articulaii interioare este egal cu numrul forelor de legtur n exces, faa de numrul ecuaiilor de echilibru static. Vom analiza grinda Gerber din Fig.2.11. n aparen problema este static nedeterminat, adic numrul reaciunilor necunoscute este 5 (reaciunile din reazeme Y1, Y3 i cele trei reaciuni din ncastrare X6, Y6, Mr6), iar numrul de ecuaii de echilibru static este 3. Se tie c articulaiile au proprietatea important c nu transmit momente, deci n articulaiile 2 i 4 se pot pune dou condiii suplimentare: ( M)2 = 0 i ( M)4 = 0. Astfel, problema este rezolvabil i se reduce la rezolvarea unui sistem de 5 ecuaii cu 5 necunoscute. Practic, problema se rezolv dup cum urmeaz: Grinda Gerber se descompune n grinzi componente, desfcnd articulaiile Gerber, obinndu-se dou tipuri de grinzi: grinzi principale, care sunt perfect rezemate, cum ar fi grinda (4-6) i grinzi secundare, pentru care nlocuim articulaiile Gerber cu reazeme, de exemplu grinzile (1-2) i (2-4).


Fig.2.11

Problema se rezolv de la grinda secundar (1-2) spre dreapta. Pentru grinda (1-2), reprezentat n Fig.2.11.b, Y2 este reaciune i poate fi determinat din ecuaiile de echilibru cunoscute. Pentru grinda (2-4) Y2 va deveni o for exterioar cunoscut, egal i de semn contrar cu reaciunea Y2 determinat pe grinda (1-2). n continuare, grinda (2-4) din Fig.2.11.c. va fi considerat ca o grind simplu rezemat n seciunile 3 i 4 ncrcat cu fora exterioar Y2, cunoscut i cu sarcina exterioar uniform distribuit p. Se va determina apoi reaciunea Y4, care va deveni o for exterioar pentru grinda principal (4-6). Se traseaz diagramele de eforturi pentru fiecare grind n parte, iar diagramele finale, pentru ntreaga grind Gerber se obin desennd pur i simplu diagramele pariale una lng cealalt.

2.8. Cadre plane Dac axa grinzii este o linie poligonal plan format din drepte sau (i) curbe, grinda se numete grind cotit sau cadru plan. Punctele de legtur dintre dou sau mai

Capitolul 2 28

multe bare se numesc noduri i pot fi de dou tipuri: noduri rigide i noduri articulate (noduri Gerber). .

Fig.2.12 Vom analiza cadrul ncastrat din Fig.2.12., bazndu-ne pe urmtoarele observaii generale: - Orice grind dreapt sau cadru ncastrate se parcurg cu argumentul x de la captul liber spre ncastrare (nu se calculeaz reaciunile din ncastrare, acestea fiind egale cu valorile eforturilor determinate n ncastrare cu semn schimbat).


- n nodurile rigide, n care nu acioneaz momente concentrate (nodul 2), momentele ncovoietoare se transmit n valoare i semn de la o bar la cealalt, iar n nodurile articulate, momentele ncovoietoare vor fi nule. - Pentru a determina funciile de eforturi N(x), T(x), M(x) pe tronsoanele unui cadru ne fixm ca observator n interiorul cadrului, aplicnd toate regulile cunoscute de la bare drepte Se vor stabili funciile de eforturi pe tronsoanele cadrului din Fig.2.12, innd cont de observaiile de mai sus :

Tronsonul (1-2), x [0,l]: N(x) = 0 T(x) = px T1(0) = 0 T2(l) = pl M(x) = - px2/2 M1(0) = 0 M2(l) = - pl2/2 Tronsonul (2-3), x [0,l]: N(x) = - pl

T(x) = 0 M(x) = - pl2/2 Tronsonul (3-4), x [0,l]: N(x) = - pl T(x) = - 3pl

M(x) = - pl2/2 +3plx M3(0) = - pl2/2 M4(l) = 5pl2/6

Pe baza funciilor de eforturi stabilite mai sus s-au trasat diagramele de eforturi N, T, M. 2.9. Bare curbe plane Vom analiza bare curbe plane cu raza de curbur constant, ca cea din Fig.2.13.

Fig.2.13

Capitolul 2 30

Se aplic metoda seciunilor, fcnd seciuni definite prin unghiul la centrul de curbur O al barei curbe. Se utilizeaz convenia de semn stabilit de Winckler: momentul ncovoietor este pozitiv dac deschide bara (micoreaz curbura sau mrete raza de curbur). La stabilirea funciilor de eforturi stau la baz urmtoarele observaii: - Ca observator ne plasm ntotdeauna n interiorul barei curbe, aplicnd toate regulile cunoscute de la bare drepte. - Se determin reaciunile din reazeme, dup care se analizeaz n primul rnd funcia de efort T(). Dac aceasta se anuleaz pe domeniul de definiie, se determin unghiul 0 pentru care se anulez funcia T, adic unghiul care satisface ecuaia T(0)=0. n seciunea definit de unghiul 0, att funcia N() ct i funcia M() vor avea un extrem local care trebuie determinat. - Valorile funciilor de eforturi trebuie calculate n toate seciunile pentru care unghiul este multiplu de /2, chiar dac n acele seciuni nu apar variaii de ncrcare, deoarece funciile trigonometrice sin i cos i schimb semnul pentru aceste unghiuri. Pentru bara curb din Fig.2.13. se observ att simetria geometric ct i simetria ncrcrii. Datorit acestui fapt, reaciunile din reazemele 1 i 3 vor fi egale i Y1 = Y3 = F. Vom analiza variaia funciilor de eforturi pe tronsonul (1-2), parcurs cu argumentul [0,/2]. Fora Y1 se reduce n punctul K, definit de unghiul , obinndu-se: -proiecia pe direcia radial (tt) n punctul K, care reprezint fora tietoare T() din seciunea K: T() = Fsin T1(0) = 0 ; T2( /2) = F -proiecia pe direcia tangentei (nn) la bara curb n punctul K, care este chiar efortul axial N(): N() = - Fcos N1(0) = - F; N2( /2) = 0 -momentul dat de fora Y1 = F n punctul K, reprezentnd chiar funcia de efort M(): M() = Fa = F(R - Rcos) M1(0) = 0; M2( /2) = FR Tronsonul (3-2) se va analiza de la dreapta spre stnga. Datorit simetriei eforturile simetrice N i M vor avea aceeai variaie ca pe tronsonul (1-2), iar efortul antisimetric T de asemenea, dar cu semn schimbat:

T() = - Fsin T3(0) = 0 i T2( /2) = - F Diagramele de eforturi s-au reprezentat n Fig.2.14.


Fig.2.14

2.10. Cadre spaiale Dac axa geometric a barei este o linie frnt n spaiu (Fig.2.15.a) sau dac forele exterioare sunt perpendiculare pe planul structurii de rezisten (Fig.2.15.b), se spune c structura este spaial, respectiv avem de-a face cu o stare de solicitare spaial. Se alege un sistem de axe propriu pentru fiecare bar: axa x este ntotdeauna axa longitudinal a barei, avnd sensul de la captul liber (1) spre ncastrare (4). Axa y se alege arbitrar, perpendicular pe axa x, iar sensul axei z rezult rotind axa x peste axa y pe drumul cel mai scurt (regula burghiului drept). La trecerea de la o bar la alta, sistemul de axe trebuie s aib cea mai mic rotaie posibil.

Fig.2.15 Fiind vorba de o stare de solicitare spaial, se urmrete determinarea urmtoarelor eforturi secionale: fora axial N, momentele ncovoietoare Miy, Miz,

Capitolul 2 32

momentul de torsiune Mx = Mt (forele tietoare Ty i Tz sunt neglijabile). Se aplic regula de semne pentru starea de solicitare spaial (momente pozitive n sensul pozitiv al axelor de coordonate, iar fore pozitive n sensul negativ al axelor de coordonate - Fig.2.3, paragraful 2.2). Vom analiza structura spaial din Fig.2.15.a. Funciile de eforturi sunt prezentate n tabelul 2.1.

Fig.2.16

De obicei pentru structurile spaiale simple problema se simplific, diagramele trasndu-se din aproape n aproape. Diagramele de momente ncovoietoare se reprezint pe fibra ntins a barelor, fr semn.


Tabelul 2.1 Tronson Limitele

tronsonului N(x)

Miy(x) Miz(x) Mx = Mt

(1 - 2) [0, l] 0 0 -Fx Mz1 = 0 Mz2 = -Fl

0

(2 - 3) [0, l] 0 0 -Fx Mz2 = 0 Mz3 = -Fl

Fl

(3 - 4) [0, l] -F -Fl -Fl 0 Pe baza funciilor de eforturi din tabelul 2.1, s-au reprezentat diagramele de eforturi din Fig.2.16. 2.11. Aplicaie Pentru grinda din Fig.2.17 se cer:

a. Reaciunile din reazeme b. Funciile de eforturi pe tronsoane c. Diagramele de eforturi a. Pentru calculul reaciunilor din reazeme se rezolv urmtorul sistem de

ecuaii:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )30M

20M

10F

4

2

x

=

=

=

Se observ c grinda nu este ncrcat cu nici o for n lungul axei longitudinale x, deci din ecuaia (1) rezult c reaciunea axial X4 din reazemul 4 este nul i pe grind nu exist for axial (N=0). Din ecuaia (2) rezult:

b. Funciile de eforturi pe tronsoane: Tronsonul 21 , [ ]m2,0x T(x) = 0 M(x) = -M0 = -268 KNm Tronsonul 32 , [ ]m6,0x

T(x) = Y2 px = 321-86x T2(0) = 321 KN T3(6) = -195 KN M(x) = -M0 + Y2x px2/2 = -268+321x-43x2 M2(0) = -268 KNm M3(6) = 110 KNm

Capitolul 2 34

Fig.2.17

KN558

61408618268Y08Y6F3p6M 440 =+

==+

Din ecuaia (3) rezult:

( ) KN3218

21405866268Y02F32p68YM 220 =+

==+++

Ecuaia de verificare a calculului reaciunilor: ( ) 086614055321p6FYYF 42y =++=++= Se observ c funcia T(x) se anuleaz pe domeniul de definiie. Valoarea extrem a funciei M(x) se obine n seciunea n care fora tietoare T este nul: T(x0) = 0 321-86x0 = 0 x0 = 321/86 = 3,73 m


M(x0) = max2 MKNm1,33173,34373,3321268 ==+

Tronsonul 34 , [ ]m2,0x T(x) = -Y4 = -55 KN M(x) = Y4x = 55x M4(0) = 0 M3(2) = 110 KNm c. Pe baza funciilor de eforturi T(x), respectiv M(x) se traseaz diagramele de eforturi din Fig.2.17.

CAPITOLUL 3

TENSIUNI. DEFORMAII. 3.1.Tensiuni Fie un corp solid solicitat de un sistem de fore n echilibru, ca n Fig. 3.1.a.

Fig.3.1 n orice seciune a corpului solicitat apar fore interioare care sunt distribuite pe toat suprafaa seciunii.

Se consider un element de arie dA de pe suprafaa seciunii. Dac elementul este suficient de mic efortul poate fi considerat uniform distribuit pe suprafaa acestuia,

iar rezultanta Fd poate fi aplicat n centrul de greutate al elementului. Mrimea efortului distribuit, aplicat pe unitatea de suprafa din aria seciunii se numete tensiune (efort unitar). Expresia tensiunii este dat de relaia (3.1):

dA

Fdp = (3.1)

Tensiunea este una dintre mrimile fundamentale ale Rezistenei Materialelor.

Tensiunea p are aceeai direcie cu fora elementar d F . Mrimea sa este determinat att de mrimea forei elementare d F , ct i de orientarea acestei fore n raport cu suprafaa dA. n consecin, tensiunea este o mrime mai complicat dect fora, numit mrime tensorial. Avnd o direcie oarecare, tensiunea p se descompune n dou componente:

Tensiuni. Deformaii. 37

- o component pe direcia normalei la seciune, numit tensiune normal, notat , - o component coninut n planul seciunii, numit tensiune tangenial, notat . Tensiunea , dup sensul pe care l are, va avea un efect de ntindere sau de compresiune, exercitat de ctre partea de corp nlturat asupra celei rmase. Tensiunea are asupra seciunii un efect de tiere, forfecare sau alunecare. n baza Figurii 3.1, ntre componentele tensiunii se poate scrie relaia (3.2):

pp 22 +=+= (3.2)

Tensiunea se msoar n N/mm2, sau MegaPascal (MPa), unitate derivat din Pascal (1Pa = 1N/m2). 3.2.Stri de tensiune

Fie un element de volum paralelipipedic infinit mic din corpul solid

solicitat (Fig.3.2.a).

Fig.3.2 Starea de tensiune dintr-un punct al elementului de rezisten solicitat se cunoate dac se cunosc tensiunile care apar pe feele elementului de volum din acel punct, adic: - tensiunile normale x, y, z, indicele reprezentnd axa perpendicular pe faa respectiv a elementului de volum; - tensiunile tangeniale, care se descompun n dou componente dup direciile axelor paralele cu faa respectiv. Aceste tensiuni se noteaz cu doi indici. De exemplu, xy reprezint tensiunea tangenial de pe faa elementului de volum perpendicular pe axa 0x (primul indice), orientat n direcia axei 0y (al doilea indice).

Capitolul 3 38

O fa a elementului de volum se consider pozitiv dac tensiunea normal la faa respectiv are acelai sens cu axa sistemului de coordonate perpendicular pe acea fa. In Fig.3.2.a. s-au indicat tensiunile pozitive de pe feele pozitive ale elementului de volum. Se poate uor demonstra, cu ajutorul ecuaiilor de echilibru pentru elementul de volum c tensiunile tangeniale verific urmtoarele egaliti:

xy = yx , yz = zy , zx = xz Aceste relaii definesc principiul dualitii tensiunilor tangeniale. Deci, starea de tensiune dintr-un punct al unui corp solid solicitat este caracterizat prin 3 tensiuni normale i 6 tensiuni tangeniale, dou cte dou egale, conform principiului dualitii tensiunilor tangeniale. Aceste 9 tensiuni reprezint componentele tensorului tensiunilor:

=zzyzx

yzyyx

xzxyx

T (3.3)

n funcie de forma tensorului tensiunilor, starea de tensiune poate fi: a) Stare spaial (triaxial) de tensiune, avnd tensorul tensiunilor dat de expresia general (3.3), reprezentat n Fig.3.2.a. b) Stare plan (biaxial) de tensiune, reprezentat n Fig.3.2.b, avnd tensorul tensiunilor:

=

zzy

yzy

00

000T

De exemplu, o plac plan solicitat de fore coplanare n planul de simetrie al plcii se afl n stare plan de tensiune. c) Stare monoaxial de tensiune, cu tensorul tensiunilor:

=

00000000

Tx

De exemplu, o bar dreapt solicitat de fore coliniare cu axa longitudinal a barei (Gx).


Fig.3.3

Pentru bara dreapt din Fig.3.3. solicitat la ntindere de fora F, n orice seciune transversal apare doar efortul axial N = F. Astfel, tensiunea normal pe seciune va fi dat de relaia (3.4):

AF

AN

x === (3.4)

3.3. Deformaii specifice Rezistena Materialelor studiaz corpurile innd seama de faptul c acestea se deformeaz sub aciunea sarcinilor exterioare sau a unor factori cu efect analog (de exemplu variaiile de temperatur). Deformaiile depind de forma i dimensiunile corpului, de mrimea i modul de aplicare a sarcinilor, precum i de anumite caracteristici mecanice ale materialelor corpurilor. Atta timp ct tensiunile produse n material sunt inferioare unei anumite valori, numit limit de elasticitate, deformaiile sunt mici i elastice, disprnd o dat cu cauza care le-a produs.

Fig.3.4

a) Deformaia specific liniar

Capitolul 3 40

n Fig.3.4. s-a reprezentat o bar dreapt, de dimensiuni iniiale l0, b0, h0, supus la ntindere prin aplicarea forei F. Bara se lungete, ajungnd la lungimea l. Raportul dintre deformaia l a barei i lungimea ei iniial l0 se numete deformaie (lungire) specific liniar i se noteaz cu x. Indicele x reprezint direcia dup care are loc deformaia:

0

0

0x l

lll

l =

= (3.5)

n cazul solicitrii de compresiune, mrimile l i x sunt negative i se numesc scurtare, respectiv scurtare specific. Deformaiile specifice liniare sunt mrimi adimensionale care uneori se exprim procentual:

100l

ll100l

l)(0

0

00

0x

=

= (3.6)

Concomitent cu deformaia axial a barei (dup direcia longitudinal 0x), apar i deformaii n direcii transversale (0y,0z). Experienele arat c ntre deformaiile specifice transversale y, z i deformaia specific longitudinal x exist o relaie liniar de forma (3.7):

0

0z

0

0y

0

0x

xzxy

bbb,

hhh,

lll

:unde,,

=

=

=

==

(3.7)

n relaiile (3.7) este o constant de material pozitiv subunitar, numit

coeficient de contracie transversal, sau coeficientul lui Poisson; pentru materialele metalice se consider n medie = 0,3.

b) Deformaia specific unghiular (lunecarea specific) Se consider elementul de volum paralelipipedic ABCDA1B1C1D1 din

Fig.3.5. Pe cele patru fee perpendiculare pe planul xA1y, de lime unitar, acioneaz tensiunile tangeniale xy, yx egale, avnd sensurile de pe desen. Dac se consider imobil faa ADA1D1, datorit tensiunilor tangeniale faa BCB1C1 va luneca, paralel cu ea nsi, ajungnd n poziia B'C'B'1C'1.


Fig.3.5

Lunecarea poate fi msurat prin unghiul xy, dintre feele ABA1B1 i AB'A1B'1. Acest unghi, care msoar variaia unghiului drept iniial, ca n figur, poart numele de lunecare specific sau deformaie specific unghiular. Lunecarea specific este pozitiv dac unghiul de 90 se micoreaz i negativ n caz contrar. Lunecarea specific se msoar n radiani. n cazul general, al strii triaxiale de tensiune, starea de deformaie se caracterizeaz prin 3 deformaii specifice liniare: x, y, z i 6 deformaii specifice unghiulare, egale dou cte dou, ca urmare a principiului dualitii tensiunilor tangeniale: xy = yx, yz = zy, zx = xz. Aceste deformaii specifice definesc aanumitul tensor al deformaiilor:

=zzyzx

yzyyx

xzxyx

5,05,05,05,05,05,0

T

3.4. Legea lui Hooke

Capitolul 3 42

Una dintre ipotezele de baz ale Rezistenei Materialelor este ipoteza proporionalitii dintre fore i deformaii, aceast ipotez fiind verificat practic n special la metale dac forele, respectiv deformaiile nu depesc anumite limite.

Fig.3.6

Reprezentarea variaiei tensiunii normale n funcie de deformaia specific pe parcursul ncercrii la traciune a unui anumit material definete curba caracteristic a materialului respectiv. n cazul traciunii unei bare drepte dintr-un anumit material deformaia specific crete liniar cu fora aplicat, respectiv cu tensiunea normal , dac aceasta nu depete o anumit valoare critic numit limita de proporionalitate p a materialului respectiv. Din Fig.3.6. va rezulta:

=

= tgtg

Se definete modulul de elasticitate longitudinal E (modulul lui Young) ca fiind coeficientul unghiular al dreptei -, deci E = tg. Astfel, legea lui Hooke va fi exprimat prin relaia (3.9): = E (3.9)

Deformaia specific fiind o mrime adimensional, rezult c unitatea de msur a modulului de elasticitate longitudinal este N/mm2. n cazul solicitrii de forfecare, legea lui Hooke, ntre tensiunea tangenial i deformaia specific unghiular , are forma: = G (3.10)


n relaia (3.10) G se numete modul de elasticitate transversal. ntre modulul de elasticitate longitudinal E, modulul de elasticitate transversal G i coeficientul de contracie transversal se poate stabili urmtoarea relaie de legtur:

)1(2

EG+

= (3.11)

E, G i sunt constante de material, determinate experimental pentru fiecare material n parte. Pentru oeluri aceste constante se situeaz n jurul valorilor: = 0,3 ; E = 2,1105 N/mm2; G = 8104 N/mm2. 3.5. ncercarea la traciune a materialelor. Proprietile mecanice ale materialelor Pentru stabilirea relaiei fizice dintre tensiuni i deformaii se recurge la ncercri experimentale. ncercarea de baz la materialele metalice este ncercarea la traciune. Aceasta const n solicitarea la traciune a unei piese cu dimensiuni standard din materialul studiat, numit epruvet, cu o for variabil lent urmrindu-se deformaia epruvetei pn la ruperea ei complet. Pe baza acestei ncercri se poate trasa curba caracteristic a materialului studiat, -, iar cu ajutorul acesteia se pot trage concluzii n legtur cu comportarea materialului supus ncercrii i se pot defini mrimile caracteristice ale materialului studiat.

Fig.3.7

n Fig.3.7. s-a reprezentat curba caracteristic pentru un oel moale, cu ajutorul creia se pot defini o serie de mrimi caracteristice importante:

Capitolul 3 44

1) Ordonata punctului P, pn unde curba caracteristic este o dreapt se numete limita de proporionalitate a materialului, p. Poriunea OP este zona de proporionalitate a curbei caracteristice, adic zona de valabilitate a legii lui Hooke. 2) Ordonata punctului E, pn unde materialul este perfect elastic, adic dup descrcare i reia forma i dimensiunile iniiale, se numete limita de elasticitate a materialului, e. 3) Limita de curgere, c, este valoarea tensiunii la care deformaia epruvetei crete pentru prima dat cnd sarcina se menine constant. Dup atingerea limitei de curgere curba caracteristic are un traseu orizontal, uneori sinuos, CD numindu-se palier de curgere. Pe acest palier apar deformaii permanente, plastice. Dup descrcare se constat c epruveta nu-i mai reia forma i dimensiunile iniiale, ci rmne cu aanumite deformaii permanente. 4) Dup depirea palierului de curgere curba caracteristic are din nou un traseu ascendent, DH, care definete zona de ntrire. Ordonata punctului H, care definete valoarea maxim a tensiunii pe parcursul ncercrii se numete rezistena la rupere a materialului, r. 5) Cnd tensiunea se apropie de valoarea maxim, ntr-un loc al epruvetei apare o gtuire care se dezvolt din ce n ce mai mult, pn cnd se produce ruperea complet prin separare a materialului. Dup apariia gtuirii fora aplicat epruvetei scade, ceea ce duce la traseul descendent HF al curbei din Fig.3.7. 3.6. Proprietile mecanice ale materialelor n Rezistena Materialelor sunt deosebit de importante proprietile mecanice ale materialelor din care sunt confecionate elementele de rezisten. Aceste proprieti mecanice permit o clasificare a materialelor dup diferite criterii. 1) Dup comportarea materialelor n urma ndeprtrii sarcinilor, materialele se clasific n: Materiale elastice sunt acele materiale la care deformaiile dispar o dat cu sarcinile care le-au produs. Se definete elasticitatea ca proprietatea materialelor de a se deforma sub aciunea sarcinilor exterioare i de a-i relua forma i dimensiunile iniiale cnd sarcinile se anuleaz. Materiale plastice sunt acelea care se deformeaz fr a mai reveni la forma i dimensiunile iniiale dup ndeprtarea sarcinii. Materiale elasto-plastice sunt materiale care se deformeaz parial elastic, parial plastic. Pe msura creterii tensiunii, deformaiile plastice cresc n dauna celor elastice. Majoritatea materialelor folosite n aplicaiile tehnice inginereti sunt materiale elasto-plastice. 2) Dup mrimea deformaiilor produse nainte de rupere materialele pot fi: Materiale ductile sunt materiale care sufer deformaii plastice mari nainte de rupere (cuprul, alama, aluminiul, oelurile de rezisten mic, etc.). Materiale fragile (casante) sunt materialele care se deformeaz foarte puin nainte de a se rupe (fonta, sticla, oelurile de mare rezisten, etc.).


3) Dup valorile constantelor elastice E, G, , msurate pe diferite direcii materialele pot fi: Materiale izotrope, care au aceeai valoare a constantelor elastice pe toate direciile (oelurile, sticla, cauciucul, etc.). Materiale anizotrope, care sunt materiale stratificate i se comport elastic diferit pe direcii diferite (lemnul, rocile sedimentare, etc.). n majoritatea aplicaiilor din Rezistena Materialelor se utilizeaz materiale izotrope, de care se ocup teoria clasic a elasticitii. 3.7. Tensiuni admisibile. Coeficieni de siguran. Cunoscnd curba caracteristic a materialului unui element de rezisten se pune ntrebarea: pn la ce valoare a tensiunii poate fi solicitat elementul de rezisten, astfel nct acesta s nu cedeze, deci s fie asigurat condiia de bun funcionare? n baza rezultatelor practice se stabilesc valori maxime admisibile pentru tensiuni, numite tensiuni admisibile. Acestea se noteaz a , a . Tensiunea admisibil a unui material se definete n funcie de una dintre valorile particulare de pe curba caracteristic a materialului respectiv. Astfel, pentru materialele ductile, la care se constat o limit de curgere, tensiunea admisibil este:

c

ca c

= (3.12)

Pentru materialele fragile, tensiunea admisibil se ia n funcie de rezistena la

rupere:

r

ra c

= (3.13)

Coeficienii cc , cr sunt supraunitari i se numesc coeficieni de siguran. Valorile lor, ca i ale rezistenelor admisibile se aleg n funcie de mai muli factori: natura materialului, tratamentele termice aplicate materialului, durata de folosire a piesei, modul de acionare a sarcinilor n timp, felul solicitrii, temperatura de funcionare, etc. n calculele de Rezistena Materialelor, la dimensionare, proiectantul consider tensiunea admisibil a materialului piesei ca o constant cunoscut, cu ajutorul creia determin dimensiunile piesei, astfel nct tensiunea efectiv maxim produs n pies s fie egal, la limit, cu tensiunea admisibil a materialului max = a n calculul de verificare, tensiunea efectiv maxim produs n pies n timpul funcionrii trebuie s fie inferioar sau cel mult egal cu tensiunea admisibil a materialului piesei: max a .

CAPITOLUL 4

SOLICITAREA DE TRACIUNE COMPRESIUNE 4.1. Fore axiale Dac asupra unei bare drepte se aplic fore dirijate n lungul axei longitudinale bara este solicitat la traciune (Fig.4.1.a) sau la compresiune (Fig.4.1.b). In cazul cel mai simplu, reprezentat n Fig.4.1, cnd se aplic numai forele F la capetele barei, egale si de sens contrar, n orice seciune transversal a barei fora axial N este egal cu fora aplicat F, fiind pozitiv dac ntinde bara i negativ dac o comprim.

Fig.4.1 Dac n lungul axei barei sunt aplicate mai multe fore este necesar construirea unei diagrame a forelor axiale. ntr-o seciune oarecare fora axial este egal cu suma algebric a proieciilor tuturor forelor situate de o parte a barei pe axa longitudinal a acesteia. n Fig.4.2 s-a reprezentat o bar ncastrat solicitat de fore axiale. Pentru a trasa diagrama forelor axiale se mparte bara n tronsoane, limitele acestora fiind seciunile n care apar ncrcri exterioare. Se aplic metoda seciunilor, parcurgnd bara de la captul liber spre ncastrare.

Fig.4.2

Solicitarea de traciune - compresiune 47

Diagrama de fore axiale se traseaz pe baza funciei de efort N(x). De exemplu, pentru tronsonul (3-4), fora axial va fi:

N(x) = 3F + F - 5F = -F Diagrama arat c fora axial este maxim pe tronsonul (5-6), avnd valoarea 5F, egal cu reaciunea axial X din ncastrare. 4.2. Tensiuni i deformaii Dac n bara prismatic din Fig.4.3. se face o seciune normal BC pe axa longitudinal a barei, fora axial N produce pe seciune tensiuni normale , de acelai sens cu fora axial. Pentru solicitrile de traciune sau compresiune, n cazul barelor omogene, se admite ipoteza lui Bernoulli: o seciune plan normal pe axa barei nainte de deformare rmne plan i normal la axa barei i dup deformare.

Din enunarea ipotezei lui Bernoulli rezult c deformaiile l sunt constante pe ntreaga seciune, deci i deformaiile specifice, = l/l, sunt constante pe seciune. Aplicnd legea lui Hooke: = E , rezult c tensiunea normal este constant pe ntreaga seciune: = const. (4.1)

Fig.4.3

Trecnd la ecuaiile de echivalen din mecanic, se poate scrie c fora axial din seciune, N, este rezultanta forelor interioare elementare dF = dA de pe toate elementele de arie dA ale seciunii:

==== AdAdAdFNAAA

Capitolul 4 48

AN

= (4.2)

A reprezint aria seciunii transversale a barei.

Formula (4.2) reprezint relaia fundamental a solicitrii de traciune - compresiune. Conform legii lui Hooke, deformaia specific (lungire specific n cazul traciunii i scurtare specific n cazul compresiunii) va fi:

AE

NE =

= (4.3)

Avnd n vedere c deformaia specific este dat de relaia binecunoscut: = l/l, deformaia (lungirea) barei va fi:

AElNll

== (4.4)

Mrimea EA se numete rigiditatea la traciune a barei. Se observ c

materialul barei este cu att mai puin deformabil (l mic), cu ct rigiditatea este mai mare. Pentru un element de bar de lungime infinit mic dx, deformaia va fi:

AEdxN)dx(

= (4.5)

Deformaia (lungirea) total a barei se poate obine i prin integrarea relaiei (4.5):

=

=

==l

0

l

0l AElNdx

AEN

AEdxN)dx(l

Cu aceast relaie se poate determina i deplasarea unei seciuni oarecare a

barei ntinse sau comprimate. De exemplu, deplasarea seciunii BC a barei din Fig. 4.3. va fi:

AElNu

= (4.6)


4.3. Probleme de rezisten la solicitarea de traciune - compresiune Pentru a fi asigurat buna funcionare a unui element de rezisten, trebuie ca acesta s ndeplineasc condiia de rezisten i anume: tensiunea maxim produs n elementul de rezisten trebuie s aib o valoare inferioar tensiunii admisibile a materialului elementului de rezisten. La solicitarea de traciune compresiune, condiia de rezisten se exprim prin relaia:

amax

max AN

= (4.7)

Relaia (4.7), la limit, reprezint o relaie ntre trei mrimi, oricare dintre ele putnd fi necunoscut. Cu ajutorul acestei formule se pot rezolva urmtoarele trei tipuri de probleme de rezisten:

a) Probleme de dimensionare Se cunosc: fora axial maxim care acioneaz bara, determinat de pe diagrama forelor axiale, Nmax , i tensiunea admisibil a materialului din care este confecionat bara a. Se determin aria necesar a seciunii, Anec, astfel nct tensiunea efectiv maxim produs n bar sa nu depeasc valoarea tensiunii admisibile:

a

maxnec

NA

= (4.8)

De exemplu, dac se impune pentru bar o seciune circular, de diametru necunoscut d, diametrul necesar se va determina cu relaia:

anec

2nec

a

maxnec

N4d4dNA

=

=

=

Diametrul efectiv al seciunii circulare se va alege din standarde, mai mare

dect diametrul necesar determinat, la valoarea cea mai apropiat de acesta.

b) Probleme de verificare Se cunosc fora axial maxim, Nmax i aria efectiv a seciunii barei Aef. Se calculeaz tensiunea efectiv maxim care se produce n bar. Valoarea tensiunii maxime efective trebuie s fie inferioar valorii tensiunii admisibile a materialului barei:

Capitolul 4 50

aef

maxmax,ef A

N= (4.9)

c) Probleme de determinare a sarcinii capabile Se determin sarcina capabil sau admisibil, Ncap, pe care o poate suporta bara cu seciunea de arie efectiv cunoscut Aef, astfel nct s nu se depeasc valoarea tensiunii admisibile a materialului barei a: aefcap AN = (4.10)

Exist situaii n practic n care, pe lng condiia de rezisten, se impun pentru elementul de rezisten i anumite condiii de deformabilitate. n cazul solicitrii de traciune compresiune, dac s-ar impune o valoare admisibil pentru deformaia l sau pentru deformaia specific , bara s-ar putea dimensiona pe baza unei condiii de rigiditate:

l (l)a sau a

Din relaia (4.4) se poate determina, din condiia de rigiditate, aria necesar a seciunii:

a

nec )l(ElNA

AElNl

=

= (4.11)

Determinarea deformaiei l cu relaia (4.4) i compararea acesteia cu valoarea

admisibil (l)a reprezint, de asemenea, un calcul de verificare.

4.4. Probleme static nedeterminate la traciune - compresiune O problem static nedeterminat este o problem cu mai multe necunoscute dect numrul ecuaiilor de echilibru static ale mecanicii teoretice. Gradul de nedeterminare al unei probleme static nedeterminate este egal cu diferena dintre numrul necunoscutelor i numrul ecuaiilor de echilibru static. Pentru a rezolva o astfel de problem sunt necesare ecuaii suplimentare, obinute din condiia de deformaie pe care trebuie s-o satisfac bara sau sistemul de bare. Rezolvarea problemelor static nedeterminate, pe baza consideraiilor de deformaii, implic cunoaterea prealabil a rigiditilor EA. Alegnd la ntmplare aceste rigiditi se pot determina tensiunile normale, dar nu se pot realiza soluii economice, care s duc la atingerea tensiunii admisibile n toate elementele construciei. a) Bara dublu articulat


Se consider bara din Fig.4.4, de rigiditate EA, articulat la ambele capete i ncrcat cu o for n lungul axei longitudinale, aplicat n seciunea 2. Se cer reaciunile din articulaiile reazemelor X1 i X3.

Fig.4.4

Singura ecuaie de echilibru static care este util n rezolvarea acestei probleme este ecuaia de proiecii pe axa longitudinal a barei: 0FXX0)F( 31x =+= (1)

Aceast ecuaie conine dou necunoscute. Pentru a determina o ecuaie suplimentar trebuie stabilit condiia de deformaie. Se observ c tronsonul (1-2) al barei se ntinde, iar tronsonul (2-3) se comprim. Cum reazemele 1 i 3 sunt fixe, lungirea total a barei, egal cu suma algebric a lungirilor celor dou tronsoane, este nul. Forele axiale de pe cele dou tronsoane sunt: N12 = F, pe tronsonul (1-2) N23 = X1 - F = X3, pe tronsonul (2-3) Ecuaia de deformaie este, deci: 0)l(l

ii == (2)

Din ecuaiile (1) i (2) se pot determina cele dou necunoscute X1 i X3. Din ecuaia (2) rezult:

lbF

babFX

0b)FX(aX0AE

bNAE

aN0)l()l(

1

112312

2312

=+

=

=+=

+

=+

Folosind i ecuaia de echilibru (1) se va obine i reaciunea X3. Deci, cele dou reaciuni vor fi:

laFX;

lbFX 31 ==

Metoda este aplicabil pentru orice numr de fore axiale i pentru cazul n care rigiditatea se schimb pe diferite tronsoane ale barei.

b) Sistem de bare paralele

Capitolul 4 52

Se consider bara rigid OC din Fig.4.5, articulat n O, ncrcat cu fora F i susinut de doi tirani verticali de lungime l i rigiditi E1A1, respectiv E2A2. Se cer eforturile N1 i N2 din cei doi tirani.

Fig.4.5

Componenta orizontal a reaciunii din articulaia O este nul: Xo = 0. Celelalte dou ecuaii de echilibru sunt: 0FYNN0)F( 021y =+= (1) 0FcNbNa0)M( 210 =+= (2)

Problema are trei necunoscute: N1, N2 i Yo, deci trebuie precizat o condiie de deformaie pentru a obine o ecuaie suplimentar ntre cele trei mrimi necunoscute. Bara rigid OC nu sufer deformaii, deci rmne rectilinie cnd sistemul se deformeaz, ajungnd n poziia OC' (figura 4.5.b). Deplasarea punctului A (segmentul AA') reprezint chiar lungirea tirantului 1: (l)1, iar deplasarea punctului B (BB'), lungirea tirantului 2: (l)2. Se observ asemnarea triunghiurilor OAA' i OBB', din care se poate scrie relaia (3):

ba

)l()l(

2

1 =

(3)


nlocuind lungirile celor doi tirani prin expresiile date de formula (4.4), ecuaia (3) devine:

22

2

11

1AE

lNba

AElN

=

(3')

S-au obinut astfel trei ecuaii care permit determinarea celor trei necunoscute. c) Sistem de bare articulate concurente Se consider trei bare articulate ca n Fig.4.6, acionate de fora F, aplicat n articulaia O. Sistemul are simetrie geometric i mecanic, barele 1 i 3 avnd rigiditatea E1A1, iar bara central 2, rigiditatea E2A2. Se cer eforturile axiale din cele 3 bare: N1, N2 i N3.

Fig.4.6 n nodul articulat O putem scrie dou ecuaii de echilibru static: 3131x NN0sinNsinN0)F( === (1) 0FNcosN20)F( 21y =+= (2) Este necesar o a treia ecuaie, stabilit din condiia de deformaie a sistemului de bare. Condiia de deformaie rezult din triunghiul OBO1:

BO1 = OO1 cos (-)

Capitolul 4 54

n aceast relaie se observ c segmentul EO1 este chiar lungirea barei 1: (l)1, iar segmentul OO1, lungirea barei 2: (l)2. De asemenea, variaia unghiului , fiind foarte mic, se poate neglija ( 0). Astfel, se obine a treia relaie necesar pentru rezolvarea problemei:

=

=

=

cosAE

lNcosAElN

cosAElN

AElNcos)l()l(

22

2

11

1

22

22

11

1121

= 222

11

2

1 cosAEAE

NN

(3)

Rezolvnd sistemul de ecuaii (1), (2) i (3) se vor obine cele trei eforturi necunoscute:

223

11

211

31AEcosAE2

cosAEFNN+

==

22

311

222

AEcosAE2AEFN

+

=

4.5.Aplicaie Pentru bara din Fig.4.7 se cunosc F = 12KN i m42,0= . Bara este confecionat din dou materiale diferite, avnd ariile seciunilor transversale A1=6,4cm2, respectiv A2=5,6cm2 i modulele de elasticitate longitudinale

251 mm/N101,2E = , respectiv

252 mm/N103,1E = .

Se cer:

a. Diagrama forelor axiale N b. Verificarea barei, cunoscnd tensiunile admisibile ale celor dou materiale

a1=110N/mm2, respectiv a2=60N/mm2. c. Deplasarea seciunii A. a. Diagrama N se traseaz pe baza funciei de efort N(x), plecnd de la

capatul liber spre ncastrare: Tronsonul AD: N(x) = 1,5 F Tronsonul DH: N(x) = 1,5 F- 4F = -2,5F Tronsonul HC: N(x) = 1,5 F- 4F + 5,5F = 3F


Fig.4.7

b. Verificarea barei:

1a2

2

3

11

max1max1 mm/N25,56

104,610123

AF3

AN

=

===

2amax22

2

3

22

max21max2 ;mm/N57,53

106,510125,2

AF5,2

AN

=

=

==

c. Deplasarea pe vertical a seciunii A este egal cu deformaia total a barei, deci cu suma algebric a deformaiilor tronsoanelor:

( ) ( ) ( ) +++=== = 11112222

4

1iitotA AE

2F3AE

F5,2AE

2F5,2AE

2F5,1v

mm1072,0v 2A=

CAPITOLUL 5

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR PLANE

5.1. Generaliti Forma i dimensiunile seciunilor transversale ale elementelor de rezisten tip bar sunt deosebit de importante n calculele de rezisten. n cazul traciunii i compresiunii n calculele de dimensionare, verificare sau sarcin capabil intervine doar aria seciunii transversale, forma seciunii nefiind important. La alte solicitri, ca de exemplu ncovoierea sau torsiunea, conteaz foarte mult att forma ct i dimensiunile seciunii transversale, acestea fiind descrise prin aanumitele caracteristici geometrice ale seciunii. 5.2. Momente statice (de ordinul I)

Fig.5.1

Se consider o suprafa plan de arie A, ntr-un sistem de axe de coordonate yOz. Acest plan definete planul seciunii transversale a unui element de rezisten tip bar. Se noteaz cu dA aria unui element oarecare de suprafa, de coordonate y i z. Prin definiie, momentele statice ale suprafeei considerate n raport cu axele Oy, respectiv Oz sunt: ]mm[dAyS;dAzS 3

Az

Ay == (5.1)

Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane 57

Se observ c momentul static are dimensiunea unei lungimi la puterea a treia i poate fi pozitiv, negativ sau nul, valoarea sa depinznd de forma, dimensiunile suprafeei i de poziia axelor de coordonate. Coordonatele centrului de greutate al suprafeei se determin cu relaiile cunoscute din mecanic:

A

dAzz;

A

dAyy AGAG

=

= (5.2)

Comparnd aceste relaii cu relaiile (5.1), se obin momentele statice ale

suprafeei n funcie de coordonatele centrului de greutate G: AzS;AyS GyGz == (5.3)

Din (5.3) rezult c momentul static al unei suprafee n raport cu o ax este nul dac axa trece prin centrul de greutate al suprafeei. Axele care trec prin centrul de greutate al suprafeei se numesc axe centrale. Particulariznd relaiile (5.2) pentru o suprafa compus din n suprafee simple, de arii Ai, cu centre de greutate cunoscute Gi, se obin relaiile (5.4):

=

=

=

=

=

= n

1ii

n

1iiGi

Gn

1ii

n

1iiGi

G

A

Azz;

A

Ayy (5.4)

5.3. Momente de inerie (de ordinul II) a) Momentele de inerie axiale ale unei suprafee n raport cu axele de coordonate Oy, respectiv Oz, se definesc prin relaiile: ]mm[dAyI;dAzI 4

A

2

Az

2y == (5.5)

b) Momentul de inerie polar al unei suprafee n raport cu originea sistemului de axe O, se definete prin expresia: ( ) ]mm[IIdAzydArI 4yz

A

22

A

2p +=+== (5.6)

Capitolul 5 58

Se observ c momentele de inerie axiale i momentul de inerie polar sunt mrimi pozitive, avnd dimensiunea unei lungimi la puterea a patra. Se definesc razele de inerie (giraie) ale unei suprafee de arie A, n raport cu axele Oy, respectiv Oz, urmtoarele mrimi:

]mm[AIi;

AI

i zzy

y == (5.7)

c) Momentul de inerie centrifugal al unei suprafee n raport cu axele sistemului yOz, se definete prin relaia (5.8): ]mm[zydAI 4

Ayz = (5.8)

Se observ c momentul de inerie centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul.

5.4. Variaia momentelor de inerie n raport cu axe paralele

Fig.5.2

Fie o suprafa plan de arie A i dou sisteme de referin ortogonale, cu axe paralele: y1O1z1 i yGz, cu originea n centrul de greutate G al suprafeei.


Se presupun cunoscute momentele de inerie ale suprafeei n raport cu axele centrale: Iy, Iz, Iyz i se cer momentele de inerie ale suprafeei respective n raport cu axele sistemului y1O1z1: Iy1, Iz1, Iy1z1. Coordonatele elementului de arie dA fa de sistemul central de axe yOz sunt y i z, iar fa de sistemul y1O1z1 sunt y1 = y + c i z1 = z + a .

nlocuind n relaia de definiie a momentului de inerie axial Iz1 expresia lui y1, rezult:

AccS2II

dAcydAc2dAydA)ccy2y(dA)cy(dAyI

2zz1z

A

2

AA

2

A

22

A

2

A

211z

++=

++=++=+==

Momentul static Sz al suprafeei n raport cu axa central Oz, este, dup cum s-

a artat anterior, nul: Sz = 0. Procednd analog pentru calculul lui Iy1 se va obine o expresie similar, deci:

AaII

AcII2

y1y

2z1z

+=

+= (5.9)

Relaiile (5.9) reprezint formulele lui Steiner, care arat c momentul de inerie axial n raport cu o ax oarecare este egal cu suma dintre momentul de inerie axial n raport cu o ax central, paralel cu cea dat, i produsul dintre aria suprafeei i ptratul distanei dintre cele dou axe. Momentul de inerie centrifugal al suprafeei n raport cu axele sistemului y1Oz1 se calculeaz astfel:

acAIacAcSaSIdAaczdAcydAayzdA

dA)acczayyz(dA)az)(cy(dAzyI

yzyzyzAAAA

AAA111y1z

+=+++=+++=

=+++=++==

acAII yz1y1z += (5.10)

5.5. Variaia momentelor de inerie n raport cu axe concurente Dac pentru o suprafa oarecare se cunosc momentele de inerie Iz, Iy, Izy fa de dou axe rectangulare Oy, Oz, se pune problema de a determina momentele de inerie fa de un alt sistem de axe y1Oz1, rotit cu un unghi fa de sistemul iniial (Fig.5.3).

Capitolul 5 60

Fig.5.3

Considerm un element de suprafa de arie dA, de coordonate y, z. In sistemul de axe y1Oz1, coordonatele elementului de arie vor fi: y1 = FD - FH = y cos - z sin z1 = OB + BH = z cos + y sin Momentele de inerie fa de noile axe se calculeaz astfel:

)11.5(2sinIsinIcosIIdAzsin

yzdAcossin2dAycosdA)sinzcosy(dAyI

yz2

y2

z1zA

22AA

22

A

2

A

211z

+=+

+===

)12.5(2sinIcosIsinIIdAysin

yzdAcossin2dAzcosdA)sinycosz(dAzI

yz2

y2

z1yA

22AA

22

A

2

A

211y

++=+

++=+==


( )( )

( ) ( ) +==+

=+==

zy22

yz

A

2

A

2

A

2A A

2

A111y1z

IsincosIIcossin

zydAsindAycossindAzcossin

yzdAcosdAsinycoszsinzcosydAzyI

+

= 2cosI2sin2

III zy

yz1y1z (5.13)

Dac se adun cele dou momente de inerie axiale fa de axele Oz1 i Oy1, date de relaiile (5.11), respectiv (5.12), rezult:

pyz22

y22

z1y1z III)cos(sinI)cos(sinIII =+=+++=+

n concluzie, suma momentelor de inerie axiale n raport cu orice pereche de axe ortogonale care trec printr-un punct dat este constant i egal cu momentul de inerie polar n raport cu acel punct, indiferent de poziia acestor axe ocupat prin rotirea n jurul punctului respectiv.

nlocuind 2

2cos1cos2 += i 2

2cos1sin2 = n relaiile (5.11) i

(5.12), se obine:

++

= 2sinI2

2cos1I2

2cos1II yzyz1z

++

+

= 2sinI2

2cos1I2

2cos1II yzyz1y

Astfel, n funcie de unghiul dublu 2 vom obine pentru momentele de inerie

axiale Iz1, Iy1 i momentul de inerie centrifugal Iz1y1 relaiile (5.14):

++

= 2sinI2cos2

II2

III yz

yzyz1z

+

+

= 2sinI2cos2

II2

III yz

yzyz1y (5.14)

+

= 2cosI2sin2

III yz

yz1y1z

Capitolul 5 62

5.6. Momente de inerie principale i axe principale Evident, toate cele trei momente de inerie date de relaiile (5.14) sunt funcii de unghiul dublu 2. n calculele de rezisten prezint interes axele n raport cu care momentele de inerie axiale iau valori extreme, numite axe principale de inerie i momentele de inerie corespunztoare, numite momente de inerie principale. Pentru a determina unghiul pentru care momentul de ineri axial Iz1 este maxim derivm funcia Iz1(2) n raport cu unghiul dublu 2 i anulm derivata:

02cosI2sin2

II)2(d

dIyz

yz1z =

=

Derivata se anuleaz pentru:

zy

yz

III2

2tg

= (5.15)

Din relaia (5.13) se observ c i momentul de inerie centrifugal Iz1y1 se

anuleaz pentru aceeai valoare a unghiului 2. De aici se trage concluzia c momentele de inerie principale apar pe axele principale de inerie, pe care se anuleaz momentul de inerie centrifugal. Ecuaia (5.15) d dou valori ale unghiului 2, decalate ntre ele cu radiani, respectiv dou valori ale unghiului , decalate cu /2 radiani, reprezentnd axele principale, perpendiculare ntre ele. Pentru a afla valorile momentelor de inerie principale se calculeaz sin2 i cos2 din relaia (5.15) i se nlocuiesc n prima dintre formulele (5.14):

2yz

2zy

yz2 I4)II(

I2

2tg1

2tg2sin+

=+

=

2yz

2zy

zy2 I4)II(

II

2tg1

12cos+

=

+=

+

+

+=

2yz

2zy

yzyz2

yz2

zy

zyyzyz2,1

I4)II(

I2I

I4)II(

II2

II2

III

2yz2

yzyz

2,1 I4)II(21

2II

I ++

= (5.16)


Lund semnul plus n faa radicalului se obine momentul de inerie axial maxim I1, iar cu semnul minus, momentul de inerie axial minim I2. Dac o suprafa are o ax de simetrie, aceasta mpreun cu orice ax perpendicular pe ea, constituie axe principale de inerie. ntr-adevr, dac axa Oy este ax de simetrie, oricrui element de arie dA, de coordonate y,z, i corespunde un element simetric fa de axa Oy de coordonate y, z' = -z, astfel nct momentul de inerie centrifugal = Ayz zydAI este nul. 5.7. Momente de inerie pentru suprafee simple

a) Dreptunghiul Se cer momentele de inerie axiale Iz i Iy fa de axele principale centrale i fa de axe paralele cu acestea pentru un dreptunghi de dimensiuni b,h. Considerm un element dreptunghiular cu baza b i nlimea dy, de arie dA = bdy i aplicm formula de definiie a momentului de inerie axial Iz:

12bh

2h

2h

3b

3yb)bdy(ydAyI

3332/h

2/h

32/h

2/h

2

A

2z =

=

===

+

+

Fig.5.4

n mod analog se procedeaz pentru calculul momentului de inerie axial Iy. Deci, momentele de inerie fa de axele principale ale dreptunghiului vor fi:

Capitolul 5 64

12hbI;

12bhI

3

y

3

z == (5.17)

Cu ajutorul formulelor lui Steiner se calculeaz momentele de inerie fa de laturile dreptunghiului:

3bhbh

4h

12bhA

2hII

3232

zBA =+=

+=

3hbbh

4b

12hbA

2bII

3232

yDA =+=

+=

Particulariznd relaia (5.17) pentru un ptrat cu latura a vor rezulta relaiile:

3aII;

12aII

4

DABA

4

yz ====

b) Cercul

Fig.5.5

Datorit simetriei polare momentele de inerie axiale fa de orice axe centrale perpendiculare vor fi egale, deci:

Iz = Iy ; Iz + Iy = 2Iz = Ip


Se calculeaz momentul de inerie polar n raport cu centrul cercului, lund ca

arie elementar o coroan circular de raz r i grosime dr, de arie dA = 2rdr (Fig.5.5.a).

32d

2d

24r2)drr2(rdArI

442/d

0

42/d

0

2

A

2p

=

=

===

Astfel, momentele de inerie axiale vor fi:

64d

2I

II4

pyz

=== (5.18)

c) Suprafaa inelar (Fig.5.5.b) Procedm ca i la seciunea circular, modificnd doar limitele de integrare:

Ddkunde

,)k1(32D

32)dD(

4r2)drr2(rdArI 4

4442/D

2/d

42/D

2/d

2

A

2p

=

=

=

===

)k1(64D

2

III 4

4p

yz

=== (5.19)

5.8. Momente de inerie pentru suprafee compuse din forme simple n calculele de rezisten sunt foarte importante axele i momentele principale de inerie. Pentru suprafeele cu o ax de simetrie, sistemul de axe principale este sistemul central de axe care conine axa de simetrie i o ax perpendicular pe aceasta.

Pentru suprafee compuse, ca cea din Fig.5.6., este necesar n primul rnd calculul momentelor de inerie axiale Iz i Iy, fa de axele centrale Gz, respectiv Gy, urmat de calculul momentelor de inerie principale I1 i I2. Fie suprafaa din figur, compus din dou dreptunghiuri: dreptunghiul 1, de arie A1, cu baza b1 = 4a , nlimea h1 = a i dreptunghiul 2, de arie A2, cu baza b2 = 2a , nlimea h2 = 6a.

Capitolul 5 66

Fig.5.6 Se pot calcula momentele de inerie principale pentru cele dou dreptunghiuri:

433

111y

433

111z a33,512

)a4(a12bhI;a33,0

12)a(a4

12hbI ======

433

222y

433

222z a412

)a2(a612

bhI;a3612

)a6(a212

hbI ======

Se determin poziia centrului de greutate G al seciunii compuse, n raport cu sistemul de axe ZOY, cu relaiile cunoscute:

a125,3a12a4

a122a6aa4

2a

AAAyAy

AAy

y 22

22

21

22G11G

i

iiGG =

+

++

=+

+=

=

a25,1a12a4

a12aa4a2AA

AzAzA

Azz 22

22

21

22G11G

i

iiGG =

+

+=

+

+=

=


Cu ajutorul acestor coordonate se obine sistemul central de axe zGy. Aplicnd relaiile lui Steiner, se calculeaz momentele de inerie ale seciunii compuse fa de sistemul central de axe: Iz, Iy i Izy. Distanele c1, c2, d1, d2 dintre axele paralele vor fi:

a625,2a5,0a125,3)yy(c 1GG1 =+==

a875,0a125,3a4yyc G2G2 ===

a75,0a25,1a2zzd G1G1 ===

a25,0aa25,1)zz(d 2GG2 =+== Momentele de inerie fa de sistemul de axe zGy, vor fi:

[ ]

[ ] 4224224

2222z1

211zz

a08,73a12)a875,0(a36

a4)a625,2(a33,0)AcI()AcI(I

=++

++=+++=

[ ]

[ ] 4224224

2222y1

211yy

a33,12a12)a25,0(a4

a4)a75,0(a33,5)AdI()AdI(I

=++

++=+++=

42

22222y2z1111y1zyz

a5,10a12)a25,0(a875,0

a4a75,0)a625,2()AdcI()AdcI(I

=+

+=+++=

Unghiul , cu ajutorul cruia vom determina poziia axelor principale de inerie se determin cu relaia:

'329)345,0(arctg21345,0

III2

2tgzy

yz ===

=

Momentele principale de inerie se calculeaz astfel:

42

41

2424444

2yz

2yz

yz2,1

a56,10I;a84,74I

)a5,10(4)a33,12a08,73(21

2a33,12a08,73

I4)II(21

2II

I

==

++

=

=++

=

Capitolul 5 68

S-a obinut astfel valoarea momentului de inerie principal maxim I1 i a momentului de inerie principal minim I2. 5.9. Aplicaii Pentru urmtoarele suprafee compuse se cer:

a. Poziia centrului de greutate b. Momentele de inerie principale

1)

Fig.5.7

a. Suprafaa din Fig.5.7 este compus din dou dreptunghiuri A1, cu baza b1=4t i nlimea h1=2t, respectiv A2, cu b2=t i h2=4t.

Se observ c axa Oy este ax de simetrie pentru seciunea compus, deci centrul de greutate G se afl pe aceast ax. n raport cu sistemul de axe ZOy coordonata yG se calculeaz cu relaia (5.4):

t2t4t8

t4t4t8t

A

Ayy 22

22

2

1ii

2

1iiGi

G =+

+=

=

=

=


Prin centrul de greutate G, paralel cu axa de referin OZ, se traseaz axa central Gz a seciunii compuse.

b. Axa Gy, fiind ax de simetrie pentru seciunea compus, va fi i ax principal de inerie. Deci sistemul de axe principale al suprafeei este yGz.

Distana dintre axele paralele G1z1 i Gz este c1=t, iar dintre axele paralele G2z2 i Gz este c2=2t.

Aplicnd formula lui Steiner pentru calculul momentului de inerie principal Iz se obine:

+

+= 1

21

311

z Ac12hbI =

+ 2

22

322 Ac

12hb ( )

+

+ 22

3t8t

12t2t4

( ) ( ) 422

3t32t4t2

12t4t

=

++

Avnd n vedere c axa Gy este ax de simetrie, momentul de inerie principal

Iy va fi:

( ) 433322311y t1112

tt412

t4t212

bh12bhI =+=+=

n concluzie, momentele de inerie principale ale suprafeei compuse sunt:

I1=32t4 i I2=11t4. 2) Suprafaa din Fig.5.8 este compus din dreptunghiul de arie A1 (cu baza b=10t i nlimea h=16t) i cercul de arie A2 (de diametru d=6t). Practic, o astfel de suprafa se obine decupnd cercul din dreptunghi.

a. Axa Oy este ax de simetrie, deci coordonata yG a centrului de greutate G

n raport cu axa de referin ZO va fi:

( ) ( )

t86,8t274,28t160

t44t6t8t16t10

AAyAyAy 22

2

21

2G21G1G =

=

=

b. Distanele dintre axele paralele:

t86,0t8t86,8yyc 1GG1 === ; t86,4t4t86,8yyc 2GG2 ===

Capitolul 5 70

Fig.5.8 Momentul de inerie principal Iz se calculeaz utiliznd formula lui Steiner:

( ) ( )

+=

+

+= 22

3

222

4

121

3

z t160t86,012t16t10Ac

64dAc

12bhI

( ) ( ) 422

4t23,2800t274,28t86,4

64t6

=

+

( ) ( ) 44343

y t72,126964t6

12t10t16

64d

12hbI ===

CAPITOLUL 6

NCOVOIEREA BARELOR DREPTE

6.1. ncovoierea pur. Formula lui Navier. Considerm bara de seciune dreptunghiular din Fig.6.1, pentru care s-au trasat diagramele de eforturi T i M.

Fig.6.1

Se observ c pe tronsonul dintre fore (2-3) fora tietoare este nul (T = 0) i momentul ncovoietor este constant (M = Fa). ncovoierea pur este solicitarea cu moment ncovoietor constant i for tietoare nul. Barele solicitate la ncovoiere se numesc grinzi. ntr-o seciune oarecare a unei grinzi solicitate la ncovoiere pur apar numai tensiuni normale, produse de momentul ncovoietor. Se consider un element de lungime dx din tronsonul solicitat la ncovoiere pur, reprezentat n Fig.6.2. Se admite c planul forelor este un plan de simetrie al barei (xOy), deci seciunea barei este simetric n raport cu planul forelor. Atunci axa vertical a seciunii Oy este ax principal de inerie i vectorul moment ncovoietor M , perpendicular pe planul forelor, este aplicat pe axa principal Oz : M = Mz.

Capitolul 6 72

Fig.6.2

Lungimea dx a elementului de grind este delimitat de liniile AB i CD perpendiculare pe axa longitudinal Ox a grinzii, acestea reprezentnd dou seciuni normale ale grinzii. n urma aplicrii momentului ncovoietor M grinda se deformeaz, iar elementul de lungime dx ia forma A'B'C'D'. Se constat c seciunile A'B' i C'D' rmn tot plane i perpendiculare pe axa deformat a grinzii, iar axa grinzii RS, care iniial era linie dreapt, se curbeaz. Aceasta nseamn c este aplicabil ipoteza seciunilor plane a lui Bernoulli. Se observ c n urma deformaiei segmentele BC, HK se lungesc, iar segmentul AD se scurteaz. Dreptele A'B' i C'D' din Fig.6.2.a. sunt concurente ntr-un punct Q, care este centrul de curbur al arcelor A'D', RS, H'K' i B'C'. Linia RS care unete centrele de greutate ale tuturor seciunilor transversale, numit fibra medie a grinzii, rmne de lungime neschimbat, deci se poate scrie relaia : = ddx (6.1) n relaia (6.1) este raza de curbur a fibrei medii deformate. Se consider o fibr HK, paralel cu axa grinzii, situat la distana y de fibra medie. n urma deformrii HK se lungete, devenind arcul H'K', de lungime:

( ) += dyKH ,

ncovoierea barelor drepte 73

Astfel, creterea lungimii fibrei HK este:

( ) ( ) =+=== ydddyHKKHdxHK ,

iar deformaia specific a acestei fibre va fi:

=

=

=y

dyd

dxdx

(6.2)

Relaia (6.1) se poate scrie i astfel:

=

= 1

dxd

(6.3)

n relaia (6.3) raportul dxd

reprezint unghiul cu care se rotesc una fa de

cealalt dou seciuni normale, situate iniial la distana dx i se numete rotire specific, notndu-se cu . Relaia (6.2) devine:

yy =

= (6.4)

Relaia (6.4) arat c deformaia specific variaz liniar pe seciune, aceasta fiind o consecin a ipotezei lui Bernoulli. n Fig.6.3. s-a reprezentat grafic variaia deformaiei specifice pe seciune.

Documents

Rezistenta materialor