UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

PROGRAMI ANALIZË DHE ALGJEBËR

DISERTACION

PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”

Rezultate në teorinë e martingaleve dhe

zbatime të saj

Kandidati Udhëheqës shkencor

M.Sc. Danjela Braho Prof. Dr. Agron Tato

TIRANË, 2017

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

DISERTACION

me temë

Rezultate në teorinë e martingaleve dhe

zbatime të saj

PROGRAMI ANALIZË DHE ALGJEBËR

Paraqitur nga: M.Sc. Danjela BRAHO

PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”

Udhëheqës shkencor: Prof. Dr. Agron TATO

Mbrohet më datë ___/___/______, para Komisionit të përbërë nga:

1. _____________________________________ (Kryetar)

2. _____________________________________ (Anëtar/oponent)

3. _____________________________________ (Anëtar/oponent)

4. _____________________________________ (Anëtar)

5. _____________________________________ (Anëtar)

FALENDERIM

Ky falenderim i shkon personave që më mbështetën në realizimin e këtij studimi.

Së pari ky falenderim i shkon udhëheqësit të kësaj teme disertacioni pedagogut Prof. Dr.

Agron Tato për mbështetjen, udhëheqjen dhe bashkëpunimin e tij gjatë gjithë periudhës së

përgatitjes të këtij disertacioni, që ky studim të jetë sa më i kompletuar në çdo aspekt.

Gjithashtu, falenderoj familjen time që në çdo moment më ka përkrahur, me ka mirëkuptuar

dhe më ka nxitur akoma më shumë për të finalizuar këto studime.

Së fundi dua të falenderoj të gjithë miqtë, kolegët që më kanë inkurajuar dhe mbështetur gjatë

kësaj pune të lodhshme.

Përzemërsisht

Danjela

PËRMBAJTJA

Përmbledhje. ................................................................................................................. iiHyrje ............................................................................................................................ iiiKAPITULLI 1

MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT BOCHNER TË

INTEGRUESHËM ........................................................................................................ 1

1.1 Përkufizime dhe kuptime bazë ............................................................................. 1

1.2 Pritja matematike statistikore me kusht, veti të saj .............................................. 5

1.3 Disa teorema konvergjence për pritjen matematike statistikore me kusht ......... 13

1.4 Konvergjenca statistikore e martingaleve të funksioneve st-Bochner të

integrueshëm ............................................................................................................ 15

1.5 Vetia e Radon-Nikodym-it dhe konvergjenca statistikore e martingaleve ........ 28

KAPITULLI 2

MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT PETTIS TË

INTEGRUESHËM ...................................................................................................... 33

2.1 Përkufizime dhe rezultate ndihmëse .................................................................. 33

2.2 Pritja matematike statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Pettis të

integrueshëm ............................................................................................................ 35

2.3 Martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm.......................................... 37

2.4 Martingalet e funksioneve uniformisht të integrueshëm .................................... 45

2.5 Martingalet e funksioneve st- Pettis të integrueshëm dhe vetia e dobët e Radon-

Nikodym ................................................................................................................... 51

KAPITULLI 3

MARTINGALET ASIMPTOTIKE TË FUNKSIONEVE STATISTIKISHT TË

INTEGRUESHËM ...................................................................................................... 55

3.1 Njohuri paraprake ............................................................................................... 55

3.2 Teorema konvergjence për martingalet asimptotike .......................................... 60

3.3 Amartet e funksioneve st-Bochner të integrueshëm .......................................... 65

Përfundime ................................................................................................................... 77Literatura ...................................................................................................................... 78

ii

Përmbledhje.

Në qendër të këtij studimi janë vendosur martingalet dhe konvergjenca e tyre. Nga

shqyrtimi teorik i tyre kemi arritur në rezultatin e shtrirjes së konceptit të konvergjencës

së martingaleve në një konvergjencë më të gjerë dhe më afër realitetit siç është

konvergjenca statistikore e martingaleve dhe zbatime të saj. Studimi ynë fokusohet

kryesisht në konvergjencën e martingaleve të funksioneve statistikisht të integrueshëm

sipas Bochner-it dhe Pettis-it, në hapësirën e Banach-ut. Për rastin e martingaleve të

këtyre funksioneve bëhet shtrirja e disa rezultateve të njohura për to. Gjithashtu janë

studiuar teorema të konvergjencës së martingaleve me vlera në hapësira të Banach-ut

që gëzojnë vetinë e Radon-Nikodym-it. Konfirmimin e kësaj shtrirje të re të

martingaleve në martingale statistikisht konvergjente e jep shembulli i një martingaleje

që konvergjon statistikisht, por nuk konvergjon në mënyrë të zakonshme. Gjithashtu

është studiuar lidhja midis martingaleve të funksioneve statistikisht Pettis të

integrueshëm dhe vetisë së dobët të Radon-Nikodym-it. Një vëmendje e veçantë në këtë

punim u është kushtuar edhe teoremave të konvergjencës së martingaleve të

funksioneve uniformisht statistikisht të integrueshëm. E së fundi janë studiuar

martingalet asimptotike të funksioneve statistikisht të integrushëm sipas Bochner-it,

vetitë e tyre dhe disa teorema konvergjence.

Fjalë çelës: martingale, konvergjencë statistikore, statistikisht Bochner i integrueshëm,

statistikisht Pettis i integrueshëm, amart

Abstract.

Martingales and their convergence lie at the center of our thesis. The result we have

obtained is the extension of convergence concept for martingales in a wider

convergence which is closer to reality such as statistical convergence of martingales

and its applications. Statistical convergence is used to obtain some convergence

theorems for Banach valued martingales of statistical Bochner and Pettis integrable

functions similarly to those in classical case which are well known for the Bochner and

Pettis integration. We have studied convergence theorems for martingales with values

in Banach spaces with Radon-Nikodym property. The confirmation of this new

extension of martingales it is shown by the example of a martingale that is not

convergent in usual meaning but is convergent by the statistical convergence. Specially

convergence theorems of martingales uniformly statistical integrable functions are

studied. Also asymptotic martingales of statistical Bochner integrable functions

convergence theorems are considered. We study also their properties.

Key words: martingale, statistical convergence, statistical Bochner integrable,

statistical Pettis integrable, amart

iii

Hyrje

Teoria e martingaleve është një nga temat më të rëndësishme të probabilitetit modern.

Ajo luan një rol të rëndësishëm në studimin e proceseve stohastike të cilët janë zbatuar

në shumë degë të ekonomisë. Studimi i teorisë se probabilitetit në hapësirat abstrakte u

mundësua me futjen e teorisë së integrimit në këto hapësira. Kështu pritja matematike

e ndryshoreve të rastit me vlera në hapësirat e Banach-ut u studiua nga Frechet-i [17]

për rastin e integrueshmërisë sipas Bochner-it dhe nga Mourier-i [15] për

integrueshmërinë sipas Pettis-it. Në vitet 1960 teoria e martingaleve të ndryshoreve të

rastit reale ose komplekse, për ndryshoret e rastit me vlera në hapësirat e Banach-ut

është përshtatur nga mjaft autorë.

Studimet e detajuara mbi martingalet u nisën nga Doob-i [42]. Impakti që ato patën në

analizën matematike ende nuk është dobësuar. Pa dyshim që martingalet janë thelbësore

në shumë pjesë të matematikës jashtë teorisë së hapësirave Banach dhe është disi

surprizues fakti që në të shkuarën teoricienët e hapësirave Banach nuk i kanë kushtuar

shumë vëmendje martingaleve. Megjithatë, në vitet e fundit studiuesit kanë filluar të

përdorin ndërveprimin frytdhënës e kësaj teorie të hapësirave Banach dhe teorisë së

martingaleve, një ndërveprim që ka filluar të tregojë përfitimet e veta.

Tema e konvergjencës së martingaleve të funksioneve me vlera në një hapësirë të

Banach-ut është trajtuar së pari nga Scalora [38] dhe Chatterji [36], [37], të cilët, në

mënyrë të pavarur nga njëri- tjetri treguan se martingalet e funksioneve me vlera në një

hapësirë reflektive të Banach-ut u binden afërsisht të njëjtave teorema themelore të

konvergjencës së martingaleve të funksioneve me vlera reale dhe komplekse. Disa vite

me vonë vërshuan punimet që rezultuan gur themeli për lidhjen midis teoremës se

Radon-Nikodym-it dhe teoremave mbi konvergjencën e martingaleve. Ndër punimet

më të njohura në këtë drejtim ishte padyshim punimi i Chatterji [31], të tjera punime që

trajtuan këtë lidhje të martingaleve me teoremën e Radon-Nikodym-it ishin dhe

punimet e Metivier-it [39] dhe Uhl-it [40], [41]. Në vitet e fundit mund të përmendim

punimet e Marraffa-s [19, 20] për martingalet e funksioneve Pettis dhe McShane të

integrueshëm. Ndërsa, ndër autorët që kanë prezantuar punimet më të njohura mbi

martingalet asimptotike janë Uhl-i [32, 40], Chacon-i dhe Sucheston-i [28] dhe Egghe-

si [33].

Nga ana tjetër, konvergjenca statistikore ka qenë një ndër temat e lëvruara nga autorë

të ndryshëm, sigurisht në fusha të ndryshme të matematikës ndër të cilat përmendim:

teorinë e masës [21], seritë trigonometrike [29], teoria e përafrimit, hapësirat lokalisht

konvekse, në bashkësinë e funksioneve aditivë të fundmë, sistemet ergodike [1] dhe në

hapësirat e Banach-ut [2], [16], etj.

Në këtë punim doktorature është arritur të shtrihen me sukses nga ana jonë e disa

teoremave të konvergjencës së martingaleve dhe martingaleve asimptotike (amartet)

kryesisht me vlera në hapësirën e Banach-ut nga konvergjencën e zakonshme e

martingaleve në një konvergjencë më të përgjithëshme, siç është konvergjenca

statistikore.

Siç dihet nga literatura, një varg ndryshoresh rasti të integrueshme nf , të adaptuara

në lidhje me n ,n NF në hapësirën probabilitare , , , të cilën do e shënojmë

( , , )nnf nF , është një martingale, në qoftë se dhe vetem në qoftë se,

iv

A An mf d f d për m n dhe mAF . Përveç konvergjencës së martingaleve,

kemi përgjithësuar edhe klasën e funksioneve Bochner të integrueshëm me atë të

funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.

Në hyrje të kapitullit të parë trajtohen koncepte dhe rezultate të cilat do të përdoren

në vazhdim të punimit. Në një çështje të veçantë trajtohen vetitë e pritjes matematike

statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm. Më tej

provohen teorema konvergjence për martingalet e funksioneve statistikisht Bochner të

integrueshëm, në hapësirat e Banach-ut, që konvergjojnë pothuajse kudo si dhe jepet

shembulli i një funksioni statistikisht të integrueshëm i cili nuk është i integrueshëm.

Kryesisht në këtë kapitull studiohen teoremat e konvergjencave statistikore sipas

normës dhe ato pothuajse kudo të martingaleve. Gjithashtu kemi vërtetuar një teoremë

Banach për operatorët, tek e cila mbështetemi për vërtetimin e disa prej teoremave të

konvergjencës që kemi marrë në studim, bazuar në faktin se pritja matematike

statistikore me kusht është operator linear. Në çështjen e fundit të këtij kapitulli

trajtohen disa teorema të konvergjencës së martingaleve me vlera në hapësira të

Banach-ut që gëzojnë vetinë e Radon-Nikodym-it.

Në kapitullin e dytë trajtohen martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të

integrueshëm. Në fillim studiohen vetitë e pritjes matematike me kusht të funksioneve

statistikisht të dobët. Me pas shqyrtohen teorema konvergjence për martingalet e

funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Pettis-it si dhe në një çështje të veçantë

shqyrtohen martingalet uniformisht të integrueshme. Gjithashtu në këtë kapitull jepet

shembulli i një martingale që konvergjon statistikisht, por nuk konvergjon në mënyrë

të zakonshme. Në këtë kapitull janë provuar se disa rezultate të Uhl-it [27] për

martingalet e funksioneve Pettis të integrueshëm mund të përshtaten edhe për

martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm. Në veçanti është provuar se një

martingale e mbyllur është statistikisht konvergjente sipas normës Pettis që kemi

ndërtuar. Në çështjen e fundit të këtij kapitulli janë trajtuar teorema të konvergjencës

se martingaleve me vlera në hapësira të Banach-ut që gëzojnë vetinë e dobët të Radon-

Nikodym-it.

Në kapitullin e tretë trajtohen martingalet asimptotike (amartet) të funksioneve

statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it gjithashtu me vlera në hapësirën e

Banach-ut. Fillimisht shqyrtohen veti themelore të amarteve të funksioneve statistikisht

të integrueshëm, e me pas, kalohet në teoremat e konvergjencës për to. Ne jemi

munduar të vërtetojmë një teoremë të tipit Vitali-Hahn-Saks tek e cila mbështetemi për

vërtetimin e teoremave të konvergjencës së martingaleve asimptotike. Përgjithësisht

janë shqyrtuar rastet e konvergjencave statistikore pothuajse kudo të amarteve.

Kryesisht është bërë shtrirja për rastin e martingaleve asimptotike të funksioneve

statistikisht Bochner të integrueshëm të disa rezultateve të njohura për këto martingale

të funksioneve Bochner të integrueshëm.

1

KAPITULLI 1

MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT BOCHNER

TË INTEGRUESHËM

Martingalet e funksioneve vektoriale fillimisht u trajtuan në punimet e Dunford-it dhe

Pettis-it si dhe tek punimet e Phillips-it. Në fillimet e viteve 1960 teoria e martingaleve

të ndryshoreve reale ose komplekse u shtri nga autorë të ndryshëm në ndryshoret me

vlera në hapësirat e Banach-ut, psh nga Scalora [38], Chatterji [36], A. Ionescu-Tulcea

and C. Ionescu-Tulcea [43], etj. Disa vite më vonë Chatterji [37] tregoi se shtrirja mund

të bëhej edhe për ndryshoret me vlera në hapësirat reflektive të Banach-ut. Në punimet

që pasuan u shqytrua edhe lidhja midis konvergjencës së martingaleve dhe vetisë së

Radon-Nikodym-it.

Duke futur konceptin e ri të konvergjencës statistikore të martingaleve, në këtë kapitull,

ne bëjmë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të disa rezultateve të paraqitura

tek Chatterji [31, 36] dhe disa të rezultateve të paraqitura tek Uhl dhe Diestel [6] për

rastin e martingaleve të funksioneve Bochner të integrueshëm duke i zëvendësuar këto

funksione me funksione statistikisht të integrueshëm sipas Bochner në hapësirat e

Banach. Gjë e cila bën të mundur përgjithësimin e tyre për një klasë më të gjerë

funksionesh si ajo e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm. Kryesisht

rezultatet e marra në këto teorema konvergjence konsistojnë në konvergjencën

statistikore sipas normës dhe konvergjencën statistikisht pothuajse kudo të

martingaleve. E më pas jepen disa rezultate në lidhje me konvergjencën stastistikore të

martingaleve të funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm dhe vetinë e Radon-

Nikodym.

1.1 Përkufizime dhe kuptime bazë

Terminologjia e përdorur në lidhje me konvergjencën statistikore është adaptuar nga

ajo më e përhapura që vihet re tek [10], [11], [12], [24], [25] dhe [3].

Le të jetë A një nënbashkësi e bashkësisë së renditur me densitet:

| |( ) lim n

n

AA

n , ku An = {k < n ; kA}

dhe me |A| shënojmë kardinalin e bashkësisë A. Duket qartë se bashkësitë e fundme

kanë densitet zero dhe δ(A)= 1-δ(A) ku A'= \ A. Nëse P(k)={k ; kA} dhe δ(A)=1,

pra thuhet se P përmban pothuajse të gjitha k, shkurt p.p.gj.k.

Vargu x është statistikisht konvergjent tek një element L, i një hapësire vektoriale të

normuar në qoftë se për çdo ε >0

1

lim | : ||x || | 0n kk n Ln

2

Pra, ||x ||k L p.p.gj.k.

Në këtë rast mund të shkruajmë lim kst x L .

Vargu x është varg statistikisht Cauchy (Koshi), në qoftë se për çdo 0 , ekziston

një numër ( )N N i tillë që

x xk N p.p.gj.k.

Le të kemi një varg { }k

f , termat e të cilit janë funksione me vlera në një hapësirë

vektoriale. Për çdo x nga bashkësia e përcaktimit merret vargu i vektorëve ( )kf x . Le

të jetë S bashkësia e atyre x -ve, ku ( )kf x konvergjon. Funksioni f i përcaktuar si

( ) lim ( )k kf x f x ; xS

quhet funksion limit i vargut { }k

f , pra vargu { }k

f konvergjon në mënyrë pikësore tek

f në S.

Kjo do të thotë se, për çdo xS dhe për çdo ε > 0, ekziston N (e varur nga x dhe ε) e

tillë që

k > N sjell || ( ) ( ) ||k

f x f x .

Përkufizim 1.1.1 Vargu i funksioneve { ( )}k

f x konvergjon statistikisht në mënyrë

pikësore tek f në një bashkësi S, në qoftë se për çdo > 0

1

lim |{ : || ( ) ( ) || , }| 0kn

k n f x f x x Sn

,

pra, për çdo xS,

|| ( ) ( ) ||k

f x f x

pothuajse për të gjitha k-të.

Në këtë rast shkruajmë lim ( ) ( )k

st f x f x ose st

kf f në S.

Pra, për çdo δ > 0, ekziston një N(natyror)

1lim |{ : || ( ) ( ) || , }|kn

k n f x f x x Sn

(1)

për çdo n>N = (N(ε,δ,x)) dhe për çdo ε>0.

Duket qartë se, nëse mosbarazimi (1) ka kuptim për një numër të fundëm k , atëherë

lim ( ) ( )k kf x f x

në S dhe prej këndej rrjedh se kur ky limit ekziston, do të thotë se ekziston

3

st lim ( ) ( )k kf x f x .

E anasjellta nuk është e vërtetë siç tregon shembulli i mëposhtëm: ku kx është një varg

shumë i njohur i ndërtuar në mënyrë të tillë

2

20k

x kur k=mx

kur k m

k=1,2,... . Ky varg është divergjent në kuptimin e zakonshëm, por konvergjon në zero

në mënyrë statistikore.

Përkufizim 1.1.2 Vargu i funksioneve është statistikisht Cauchy (Koshi) në

qoftë se për çdo , gjendet një numër i tillë që për ( )n N

.

Duke patur parasysh një rezultat të Salat [22] në të cilin ai përcakton se vargu ( nx )

është statistikisht konvergjent tek L, atëherë dhe vetëm atëherë kur ekziston një

bashkësi

K = {n1< n2< . . . }

e tillë që (K) = 1 dhe kn

nlim x L

.

Duket qartë që bashkësia K është plotësisht e renditur. Vargun e ri knx e quajmë

nënvargesencial të vargut ( nx ) dhe pohimi i Salat mund të riformulohet:

Vargu ( nx ) është statistikisht konvergjent tek numri L, atëherë dhe vetëm atëherë kur

në të gjendet nënvargu esencial knx që konvergjon në mënyrë të zakonshme tek L.

Këtë fakt do ta shënojmë lim nK

x L .

Në këtë mënyrë, përkufizimet e mësipërme mund të përdoren edhe në formulimin e

mëposhtëm:

Vargu { nf x }, ku :S Xnf (X një hapësirë vektoriale e normuar) është statistikisht

konvergjent tek funksioni f x , atëherë dhe vetëm atëherë kur gjendet nënvargu i tij

esencial ( )knf konvergjent tek f x .

Në vijim (S,∑,μ) është një hapësirë e masës probabilitare, S një bashkësi çfarëdo

sigma algjebra e Borelit.

Përkufizim 1.1.3 Një funksion : S Xf , ku X është një hapësirë vektoriale e

normuar quhet funksion i thjeshtë sipas μ, në qoftë se për një varg bashkësish të

matshme {Ei}, ku Ei S, Ei Ej = për ij, S = 1

n

iiE

dhe if s x për s Ei,

{ ( )}kf x

0 ( )N N

  ( ) ( )k Nf x f x

4

, , ... , ,i n 1 2 ai paraqitet në trajtën 1 i

n

i Eif x

, ku

iE është funksioni

karakteristik i Ei.

Përkufizim 1.1.4 Le të kemi një varg funksionesh të thjeshtë me vlera reale

:nf S . Funksioni :f S quhet statistikisht i matshëm sipas në bashkësinë

S, në qoftë se për çdo >0 dhe për çdo >0 ekziston N natyror e N(, ) që

1

|{ : | ( ) ( ) | }|kk n f s f sn

për n>N(,).

Përkufizim 1.1.5 Funksioni :f S X quhet statistikisht i matshëm fortësisht sipas

μ në bashkësinë S në qoftë se gjendet një varg funksionesh të thjeshtë ( )nf T(μ,X) i

tillë që për çdo s S në dhe për çdo 0 :

1lim |{ : || ( ) ( ) || , }| 0kn

k n f s f s s Sn

. (2)

pothuajse kudo sipas μ në bashkësinë S.

Pohim 1.1.6 Kombinimi linear i funksioneve statistikisht të matshme fortësisht është

funksion statistikisht i matshëm.

Përkufizim 1.1.7 Vargu { ( )}nf x është statistikisht konvergjent pothuajse kudo tek

f x në S, në qoftë se ekziston një nënvarg esencial { ( )}knf x i cili të konvergjojë

pothuajse kudo tek ( )f x .

Përkufizim 1.1.8 Vargu i funksioneve të matshëm fort { nf } në S me vlera në hapësirën

separabël të Banach-ut X quhet statistikisht konvergjent sipas masës tek funksioni

f s në qoftë se për çdo 0 dhe 0 gjendet një nënvarg esencial { (s)}knf

i

vargut { (s)}nf që

{ :|| ( ) ( ) || }kns f s f s

ose,

lim : s (s)kK

ns f f 0 .

E shënojmë ( ) ( )st

nf s f s

.

Përkufizim 1.1.9 Vargu i funksioneve fortësisht të matshëm { (s)}nf me vlera në

hapësirën separabël të Banach-ut X quhet statistikisht themelor sipas masës në një

nënbashkësi AX, në qoftë se gjendet një numër N(, s) dhe një nënvarg esencial

5

{ (s)}knf

i tillë që për çdo >0

lim { :|| ( ) ( ) || } 0k N

Kns f s f s

.

Përkufizim 1.1.10 Funksioni :f S X quhet uniformisht statistikisht i matshëm

fortësisht sipas μ në bashkësinë S, në qoftë se për çdo > 0 dhe për çdo > 0 ekziston

N natyrore N(, ) që

1|{ : || ( ) ( ) || }|kk n f s f s

n

për n> N(, ) dhe pothuajse për çdo sS. Në këtë rast thuhet se vargu konvergjon

statistikisht pothuajse uniformisht sipas μ tek funksioni f me bashkësinë S.

Teoremë 1.1.11 (Teorema Egorov) [4]

Në qoftë se funksioni :f S X është st -i matshëm fortësisht sipas μ, atëherë funksioni

f është st-i matshëm fortësisht uniformisht sipas μ pothuajse kudo në S.

Përkufizim 1.1.12 Funksioni :f S X është statistikisht i matshëm dobët në qoftë

se funksioni skalar x* f është statistikisht i matshëm për çdo funksion x* nga hapësira

duale X*.

Teoremë 1.1.13 (Pettis) [5] Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut. Funksioni :f S X

është statistikisht i matshëm fortësisht atëherë dhe vetëm atëherë kur plotësohen dy

kushtet e mëposhtme

1) Funksioni f është me vlera separabël pothuajse kudo sipas .

2) Funksioni f është statistikisht i matshëm dobët.

Pohim 1.1.14 Në qoftë se X është një hapësirë e Banach-ut separabël, atëherë

:f S X është statistikisht i matshëm fortësisht atëherë dhe vetëm atëherë kur

funksioni f është statistikisht i matshëm dobët.

Përkufizim 1.1.15 Një familje H funksionesh të integrueshme është uniformisht e

integrueshme nëqoftëse

për çdo .

1.2 Pritja matematike statistikore me kusht, veti të saj

Studimi i teorisë së probabilitetit në hapësirat abstrakte u mundësua me futjen e teorisë

së integrimit në këto hapësira. Kështu, pritja matematike e ndryshoreve të rastit me

vlera në hapësirat e Banach u studiua nga Frechet-i [17] për rastin e integrueshmërisë

sipas Bochner-it (Bohner) dhe nga Mourier-i [15] për integrueshmërinë sipas Pettis-it.

(E) 0lim 0

E

h d

h H

6

Në këtë çështje do të shqyrtojmë pritjen matematike statistikore me kusht të

funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.

Përkufizim 1.2.1 [4] Funksioni :f S X quhet funksion statistikisht i integrueshëm

sipas Bochner (Bohner) në qoftë se gjendet një varg funksionesh të thjeshtë

statistikisht Cauchy (Koshi) { }k

f i tillë që

i) konvergjon statistikisht pothuajse kudo sipas tek funksioni f

ii) lim || ( ) ( ) || 0k Nk

S

st f s f s d pothuajse kudo

lim ( )nSn

st f s d

quhet st-integrali i Bochnerit (Bohnerit) dhe shënohet me (Bs) ( )S

f x d .

Bashkësia e funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it (Bohner) është

hapësirë lineare dhe e shënojmë me ' ( , )pL X .

Disa nga vetitë e integralit statistikor të Bochner-it (Bohner)[4] po i paraqesim si vijon:

Teorema 1.2.2 Në qoftë se f është statistikisht i integrueshëm atëherë f është i

integrueshëm.

Barazimi

lim ( ) nn

S S

st f d Bs f d ,

ku ( )f s është vargu i funksioneve të thjeshtë përcaktues për funksionin f dhe vetitë

e njohura të integralit të Bochner-it (Bohner) në rastin klasik kanë vend vetitë e

mëposhtme:

(I) (Bs) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )S S S

f s g s d Bs f s d Bs g s d .

(II) Në qoftë se A=A1 A2 dhe A1A2= dhe ( ( )nf s ) një varg funksionesh të thjeshtë

përcaktues të funksionit ( )f s atëherë duke shënuari

k

n n Af f i=1,2 ka vend barazimi

1 2

( ) ( ) ( )n n n

A A A

f s d f s d f s d .

Duke kaluar në limitin statistikor marrim

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A

Bs f s d Bs f s d Bs f s d ,

(III) ( ) || || ( ) || ||S S

Bs fd Bs f d .

Kjo veti rrjedh nga mosbarazimi për funksionet e thjeshtë

7

|| || || ||k k

S S

f d f d

(IV) Duke zbatuar vetinë (III) për funksione statistikisht të kufizuar, ku (s)f K

p.p.gj.k, do të kemi:

( ) || || ( ) || || ( )S S

Bs f d Bs f d K S .

Duke marrë një nënbashkësi C të S që ( )CK

për çdo >0 do të kemi:

( ) || ||C

Bs f d .

(V) Duke u nisur nga mosbarazimi për funksionet e thjeshtë k k

f g p.p.gj.k

marrim:

|| || || ||k k

S S

f d g d p.p.gj.k.

Duke zbatuar vetinë izotonisë, do të kemi:

( ) || || ( ) || ||S S

Bs f d Bs g d .

(VI) Në qoftë se A1 dhe A2 bëjnë pjesë në dhe A1A2 atëherë

1 2

( ) || || ( ) || ||A A

Bs f d Bs f d .

(VII) Le të jenë f dhe k

f funksione të integrueshme dhe për çdo > 0 kemi

kf f në bashkësinë A dhe A , atëherë nga vetia (V):

( ) || || ( ) || || ( )k k

A A

Bs f f d Bs f f d A

që nga rrjedh se për çdo dhe A:

1

:|| || ( ) || ||k k

A

x f f Bs f f d

.

Teorema 1.2.3 [5] Le të jetë (S, , ) një hapësirë e masës pozitive, është e fundme

dhe një varg { nf }, ku nf : S X janë uniformisht të integrueshëm. Në qoftë se

a) lim𝐾

𝑓𝑛 = 𝑓,

b) || (x)f || < ,

8

atëherë kanë vend pohimet:

1. f L1(),

2. || || 0n

E

Bs f f d .

Lema 1.2.4 (Fatou)[4] Le të jetë { nf x } një varg funksionesh statistikisht të

matshëm fortësisht nga S tek X, atëherë për çdo AS ka vend mosbarazimi

liminf || || liminf || ||n n

A A

st f d st f d

Përkufizim 1.2.5 Le të jetë F një nën- -fushë e dhe 1( , )f L X . Një element

g nga 1( , )L X quhet pritje matematike statistikore me kusht e f në lidhje me F

në qoftë se g është statistikisht F - e matshme dhe

E E

st g d st f d për të gjitha EF .

Kështu ( | )g E f F .

Lema 1.2.6 Në qoftë se është një funksion statistikisht i matshëm me vlera të fundme i

Ω në X, atëherë

( ) ( | )( )A A

st f d st E f d F për çdo AF .

Vërtetim

1

1

( | )( ) ( | )( )

( | )( )

( )

j

j

k

jjA A

k

jj A

A

A

A

st E f d st E d

st E d

st f d

F F

F

ku integrali është në sensin e zakonshëm.

Lema 1.2.7 Në qoftë se f është një funksion statistikisht i matshëm me vlera të

fundme i Ω në X, atëherë ( | ) ( | )E f E fF F statistikisht pothuajse kudo.

Vërtetim Meqënëse

1

1

( | )( ) ( | )( )

( | )( )

j

j

k

jj

k

jj

A

A

E f E

E

F F

F

për 1 0.jA ose

( | )( )E f F pothuajse kudo.

9

Lema 1.2.8 Në qoftë se 1,..., kf f janë funksione statistikisht të matshëm me vlera të

fundme dhe 1,..., ka a janë skalare, atëherë

1 1 1

( ... | )( ) ( | )( )k

j jk k jE a f a f a E f

F F .

Vërtetim Le të jetë

{ }: m 1,..., pm

A

një ndarje e Ω e tillë që çdo jf merr vetëm një vlerë në secilën mA ; në fakt, le të jetë

( ) (A )j j mf për mA .

Atëherë meqë ( | )E f F varet nga f dhe F dhe jo nga ndarja e Ω, e njëjta paraqitje

ka vend për të gjitha ( | )jE f F .

Kështu, 1

( | )( ) (A ) ( | )( )m

p

j j mm AE f E

F F .

Atëherë:

1

1 1 1 11

1 1( ) ( | )( ) ...

( ... | )( ) [ ( ) ... (A )] ( | )( )

m

m

m A

p

m m Ak k k km

p

m

k

A E

E a f a f a A a E

a

a

F

F F

1

1

(A ) ( | )( )

( | )( )

m

p

m Akm

k

j jj

E

a E f

F

F

Teorema 1.2.9 Në qoftë se nf janë statistikisht Bochner (Bohner) të integrueshëm për

të gjitha n dhe

,lim 0n m S

n mst f f d

,

atëherë gjendet një element statistikisht Bochner (Bohner) i integrueshëm

lim 0n S

nst f f d

.

Në qoftë se g ka të njëjtën veti atëherë f g pothuajse kudo. Atëherë ka vend

barazimi

limn S S

nst f d st f d .

Vërtetim Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh menjëherë nga teoremat 9 [4] dhe teorema

12[4] dhe nga vetitë e funksioneve statistikisht Bochner (Bohner) të integrueshëm.

Teorema 1.2.10 Le të jetë :f X statistikisht i integrueshëm sipas Bochner-it

(Bohner) dhe F një fushë e Borelit e bashkësive të matshme të Ω. Atëherë gjendet një

funksion

( | )(.) : XE f F ,

10

i cili është statistikisht Bochner (Bohner) i integrueshëm, fortësisht i matshëm në lidhje

me F , i vetëm p.k., dhe

( ) ( | )( )A A

st f d st E f d F

për të gjitha AF .

Vërtetim Le të jetë f funksion statistikisht fortësisht i matshëm dhe i integrueshëm

sipas Bochner (Bohner). Atëherë ekziston një varg nf funksionesh të matshëm me vlera

të fundme të tillë që ( ) ( )nf f ;

0mnst f f d

kur ,n m ;

dhe nst f d st f d

.

Tani ( | )nE f F është e përkufizuar për të gjitha nf nga përkufizimi 1.2.5. Gjithashtu,

kemi

( | ) ( | ) ( | )

( | )

0

m m

m

n n

n

n m

st E f E f d st E f f d

st E f f d

st f f d

F F F

F

nga vetia e venf , kur , 0n m .

Kështu nga teorema 1.2.9 ekziston një funksion y, i cili është statistikisht Bochner

(Bohner) i integrueshëm, fortësisht i matshëm në lidhje me F , i vetëm pothuajse kudo

dhe i tillë që:

( | ) 0nst E f y d kur n

F . (3)

Atëherë:

( | ) ( | )

( | ) nga lema 1.2.6

A A

n nA A A A

nA A A

n

y d f d

y d E f d E f d f d

y E f d f d f d

F F

F

0 kur n nga (3) më sipër dhe nga përkufizimi i A

st f d . Kështu

yA A

st d st f d

për të gjitha AF .

Tani mund të quajmë (.)y pritjen matematike e fortë statistikore me kusht të ësf

në lidhje me F dhe për këtë do përdorim simbolin ( | )(.)E f F .

11

Lema 1.2.11 Le të jetë F një nën- fushë e . Atëherë ( | )E f F ekziston për

çdo 1( )f L ( 1' ( , )L R ). Në fakt, në qoftë se ' ( )pf L (1 p ), atëherë

( | ) ' 'p pE f fF .

Rrjedhimisht ( | )E F është projeksion linear kontraktiv në ' ( )pL ,1 p .

Vërtetim Le të jetë 1' ( )f L dhe përcaktojmë një masë skalare në F nga

(A)A

st f d për AF .

Atëherë, është dukshëm një masë F - e vazhdueshme e fundme. Nga teorema e

Radon-Nikodym, gjendet 1' ( )g L , F - statistikisht e matshme e tillë që

(A)A

st g d për të gjitha AF .

Nga përkufizimi i kemi se ( | )g E f F . Për më tepër, vërejmë që ky ndërtim tregon

që:

( ( | ) | ) ( | )E E f E fF F F për 1' ( )f L

dhe që ( | )E F është një projeksion linear rangu i të cilit përputhet me atë të

funksioneve F - të matshëm në 1' ( )L .

Për të përfunduar vërtetimin mbetet të tregojmë se

( | ) ' 'p pE f fF

për f në ' ( )pL .

Si përfundim, vërejmë se ( | )E F pasqyron funksionet jonegative në funksione

jonegative dhe ruan funksionet konstante.

Duke marrë superiorin kemi

( | ) ( | )p p

E f E fF F .

Rrjedhimisht arrijmë në përfundimin se:

( | ) ( | )pp p

st E f d st E f d st f d

F F ,

meqënëse F , prej nga rrjedh se operatori ( | )E F është një kontraksion.

Nga vërtetimi i lemës mund të themi se, në qoftë se X ka vetinë Radon-Nikodym-it,

afërsisht i njëjti vërtetim do të kishte kuptim me ' ( , )pL X duke zëvendësuar ' ( )pL .

Edhe në qoftë se X nuk e ka vetinë Radon-Nikodym-it, konkluzioni i lemës mund të

përshtatet nga konteksti i ' ( )pL në kontekstin e ' ( , )pL X .

12

Teorema 1.2.12 Le të jetë F një nën- -fushë e , atëherë ( | )E f F ekziston për

çdo 1' ( , )f L X . Në fakt në qoftë se ' ( , )pf L X (1 p ), atëherë

( | ) ' 'p pE f fF .

Rrjedhimisht ( | )E F është një projeksion linear kontraktiv në ' ( , )pL X , 1 p .

Vërtetim Le të jetë

1 i

n

i Eif x

ku ,i ix X E ,

dhe i jE E për i j funksion i thjeshtë në ' ( , )pL X . Shënojmë ( | )E f F me

1( | ) ( | )

i

n

i EiE f x E

F F

ku ( | )EE F është pritja matematike statistikore me kusht e ' ( , )E pL R ekzistenca

e të cilës sigurohet nga lema 1.2.11.

Një kontroll i thjeshtë tregon se ( | )E F është qartësisht i përcaktuar dhe është linear

në nënbashkësinë e dendur të funksioneve të thjeshtë në ' ( , )pL X .

Për më tepër, në qoftë se f është si më sipër, atëherë

11

1

1

1

( | ) ' ( | ) ( | )

|

i

i

p pnp p

p i Ei

p pn

i Ei

E f st E f d st x E d

st E x d

F F F

F

1

1

'

i

n

i Eip

p p

p

x nga lema

st f d f

Kështu ( | )E F ka një zgjerim linear kontraktiv në të gjithë ' ( , )pL X , të cilin sërish

e shënojmë me ( | )E F .

Le të shohim tani disa nga vetitë e pritjes matematike statistikore me kusht për

funksionet statistikisht të integrueshëm e cila ka veti të ngjashme me pritjen matematike

me kusht.

Vetia 1.2.13 Në qoftë se 0f , atëherë ( ) 0E f F| statistikisht pothuajse kudo.

Vërtetim Në qoftë se 0f atëherë 0st f d pothuajse kudo.

Vetia 1.2.14 ( | )E f fF statistikisht pothuajse kudo.

13

Meqënëse,

( | )A A

st E f d st f d F për të gjitha AF ,

dhe dhe ( | )f E f F janë statistikisht të matshme ne kemi ( | )E f fF statistikisht

pothuajse kudo.

Vetia 1.2.15 Në qoftë se gf statistikisht pothuajse kudo atëherë

( | ) (g | )E f EF F statistikisht pothuajse kudo.

Vërtetim Për të gjitha AF , kemi

A Ast f d st g d

dhe nga vetia 1.2.13. kemi ( | )E f fF p.k. rrjedhimisht kemi se

( | ) (g | )st E f d st E d F F statistikisht pothuajse kudo.

Kështu, ( | ) ( | )E E gf F F statistikisht pothuajse kudo.

Nga vetia e mësipërme rrjedh që

( | ) ( | )E f E f G G .

Në qoftë se 1G dhe 2

G janë nën algjebra të F atëherë ka vend vetia e mëposhtme:

Vetia 1.2.16 Në qoftë se 1 2G G atëherë 2 1 1( ( | ) | ) ( | )E E f E fG G G statistikisht

pothuajse kudo.

Meqënëse,

2 1 2 1( ( | ) | ) ( | ) për të gjithaA A

st E E f d st E f d A G G G G

dhe meqë 1 2G G kemi:

2 1 2

1 1

( ( | ) | ) ( | )

( | ) për çdo

A A

A

A

st E E f d st E f d

st f d

st E f d A

G G G

G G

Pra, 2 1 1( ( | ) | ) ( | )E E f E fG G G statistikisht pothuajse kudo.

Teorema e konvergjencës monotone dhe fakti se seritë jonegative mund të integrohen

term për term kanë analogët e tyre në lidhje me konvergjencën satistikore.

1.3 Disa teorema konvergjence për pritjen matematike statistikore me kusht

Së pari, provojmë për pritjen matematike statistikore me kusht teoremën e

konvergjencës monotone.

14

Teorema 1.3.1

Në qoftë se ng g statistikisht p.k. atëherë ( ) ( )nE g E g F F statistikisht p.k..

Vërtetim

Provojmë se:

1

lim : ( ) ( ) , 0kn

k n E g E g xn

F F

ose që ( ) ( )kE g E g F F .

Meqënëse,

( ) ( ) [( ) ] ( )k k kE g E g E g g g g F F F

por ne kemi që ng g statistikisht p.k. kështu që:

ng g

pra,

( ) ( )nE g E g F F .

Lema 1.3.2

Në qoftë se ng janë funksione statistikisht të matshëm, atëherë

( liminf ) liminf ( )n nE st g st E g F F .

Vërtetim Le të jetë ' infn k n kg g , kemi

.

' ' liminfn nnst

g g st g . Nga teorema e

konvergjencës monotone

'( ) ( ' )n

E g E g F F statistikisht p.k.

Por '

n ng g , kështu kemi që

' '( ' ) lim ( ) liminf ( )

liminf ( )

n nn n

nn

E g st E g st E g

st E g

F F F

F

Pra, ( liminf ) liminf ( )n nE st g st E g F F .

Teorema 1.3.3

Në qoftë se ( ) ( ), , ) , dhe(n ng n E gf f f statistikisht pothuajse kudo

atëherë

( | ) ( | )nE f E f F F , statistikisht pothuajse kudo.

15

Vërtetim Meqënëse n gf dhe ng f janë ndryshore rasti pozitive për të gjitha ën t ,

duke zbatuar lemën Fatou ( Lema 1.3.2) kemi që

[ | ] [ lim ( ) | ]

lim [ | ]n

n

n

E g E st inf g

st inf E g

f f

f

F F

F

dhe

[ | ] [ lim ( ) | ]

lim [ | ].

n

nn

E g E st inf g

st inf E g

f f

f

F F

F

Prej nga marrim se

lim [ | ] [ | ]nn

inf E Est f f

F F

dhe

lim sup [ | ] [ | ]nn

E Est f f

F F .

Teorema 1.3.4 Le të jetë 1' ( , )f L X . Atëherë

lim ( ) ( )nn

st E f E f

F F| | në 1' ( , )L X .

Vërtetim Për çdo 11 nnf L'

F , ( | )nE f F është konstante për ndonjë n , por

11 nnL'

F është e dendur në 1L' F dhe operatorët | nE . F janë kontraksione.

1.4 Konvergjenca statistikore e martingaleve të funksioneve st-Bochner të

integrueshëm

Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut dhe ( , , ) një hapësirë e matshme e fundme

dhe ,n n 0F një familje monoton rritëse nën- - fushash të , një filtrim i dhe

( , )nf n 0 një varg ndyshoresh.

Siç dihet nga literatura një proces ( , , )n nf nF quhet martingale nëqoftëse

i) i adaptuar në lidhje me filtrimin { }nF ,

ii) ,

iii) ( | ) ,n n nE f f n 1 F .

Përkufizim 1.4.1 Një proces 0nf f ,n quhet i adaptuar në lidhje me filtrimin

{ }nF në qoftë se për çdo n , nf është statistikisht nF - matshme.

Teorema 1.4.2 Në qoftë se x është statistikisht e matshme fort në lidhje me fushën e

Borel-it F të bashkësive të matshme dhe statistikisht Bochner (Bohner) të

( : 0)nf n

( ) < , nE f n

16

integrueshme dhe të tilla që ( ) 0A

st x d për çdo bashkësi A në F , atëherë

( ) 0x pothuajse kudo.

Teorema 1.4.3 ( , , )nnf nF është një martingale funksionesh statistikisht Bochner

(Bohner) të integrueshëm në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

A An mst f d st f d për m n dhe mAF .

Vërtetim Në qoftë se ( , , )nnf nF është një martingale, atëherë ( | )mn mE f fF .

Kështu për çdo A në mF kemi

( | )mA A A

m n nst f d st E f d st f d F ,

ku barazimi i fundit rrjedh nga përkufizimi i pritjes matematike statistikore me kusht.

Anasjellas, në qoftë se

A An mst f d st f d për m n dhe mAF ,

atëherë

( | )mA A

n mst E f d st f d F .

Prandaj, ( | )mn mE f fF nga teorema 1.4.2, kështu procesi është martingale.

Është e qartë se është normë (gjysmë-normë) në hapësirën e

funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it (Bohner) e cila është hapësirë

lineare dhe e kemi shënuar me ' ( , )pL X . E shënojmë normën me simbolin pf ' .

Ne provojmë që në të njëjtën mënyrë si është treguar në [4] për

hapësirën L1.

Shembull. Marrim në konsideratë vargun funksional të përcaktuar si më poshtë:

1

( 1) ( ) për [3 ,3 [,s 1,2,...( )

0 për ndryshe

k

p p

k

s sk x k sf x

Në qoftë se ne marrim x \[-1,1] , k=1,2,... atëherë

1

1 s(s 1)|{ : ( ) 0 nqs x \[ 1,1] |

3k s

fk n x Rn

.

Kështu, ne kemi që lim ( ) 0kst f x ose \[ 1,1]

| ( ) | 0pk

RBs f x d

.

1/

lim | ( ) |

p

p

nE

st f x

( , ) ' ( , )p pL X L X

17

Në anën tjetër, integrali i zakonshëm është i pacaktuar

1

1

1 1| (k 1) ( ) | ( 1) | | ( 1)

kB B

p p p k kx dx k x dx B .

Ky shembull na tregon se kemi funksione që janë statistikisht Bochner të integrueshëm,

por që nuk janë të integueshëm sipas Bochner-it.

Le të jetë një hapësirë e Banach-ut dhe një hapësirë e matshme e

fundme, ( )n ,n F një familje monotone rritëse nën- -fushash të .

Përkufizim 1.4.4 Një martingale ( , , )n nf nF është statistikisht konvergjente sipas

normës në ' ( , )pL X në qoftë se ekziston e tillë që

'1lim |{ :|| ( ) ( ) || , }| 0

k pn

k n f x f x x Xn

.

Meqënëse ( , , )n nf nF është martingale statistikisht konvergjente në (

) kemi që në qoftë se nnE F , atëherë ekziston limiti

Për këtë le të jetë nnE F . Meqënëse (familja) ( , )n nF është varg monoton

rritës i nën -- fushave të , gjendet një n0 e tillë që E nF për n n0.

Rrjedhimisht për n n0 kemi:

0 0( | )n n

E E E

n nf d E f B d f d

,

ku vargu n

E

f d është konstant dhe statistikisht konvergjent tek funksioni F(E).

Pohim 1.4.5 Në qoftë se n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale

statistikisht konvergjente në '

1( , )L X atëherë dhe shuma nn nf g , ,n F është

martingale statistikisht konvergjente.

Vërtetim Meqë n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale statistikisht

konvergjente ekzistojnë '

1,f g L të tilla që

'

1

1lim { : ( ) ( ) , } 0kn

k n f x f x x Xn

( , )X · ( , , )

' ( , )pf L X

' ( , )pL X

1 p

( )limn nE

st F Ef d

18

dhe

'

1

1lim { : ( ) ( ) , } 0kn

k n g x g x x Xn

.

Së pari duhet të tregojmë se n n nf g , ,n F është martingale.

Kështu, nga lineariteti i pritjes matematike statistikore me kusht kemi që:

+ | | |m m mn n n nE f g E f E g F F F

dhe meqë n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale

| |m m mn n mE f E g f g F F

kështu |n m mn mE f g f g F .

Për të provuar që:

'

1

1lim { : ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , } 0k kn

k n f x g x f x g x x Xn

,

është e mjaftueshme të provojmë se

'

1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))k kf x g x f x g x .

Meqë

' '

1 1

' '

1 1

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) .2 2

k k k k

k k

f x g x f x g x f x f x g x g x

f x f x g x g x

Në teoremat në vijim bejmë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të disa

rezultateve të paraqitura tek [31, 36] në hapësirën e Banach-ut.

Teorema 1.4.6 [18] Le të jetë ( , , 1)nnf n F një martingale funksionesh statistikisht

Bochner integrueshëm te tillë që ( | )nnf E f F , 1n , ku ' ( , , ) pf L ,

1 p . Atëherë

'lim 0

pnnst f f ,

ku ( )f E f F dhe fusha e Borel-it e gjeneruar nga nn F F .

Vërtetim Le të jetë 0

1

n

n

F F . Qartësisht 0F është fushë. Për ' ( , , ),pf L F

1 p , le të jetë

( | )n nT f E f F ,

n m

19

{ , 1}nT n është varg operatorësh linear të kufizuar në hapësirën e Banach-ut

' ( , , )pL F . Në qoftë se ( ) ( )Ff a ku 0,a X F F . Atëherë meqënëse për

ndonjë , NN FF , rrjedh që

,nT f f n N .

Kështu,

lim ' 0n pn

st T f f . (1)

Prandaj (1) ka kuptim për të gjitha funksionet e thjeshta f të matshme në lidhje me

0F . Meqënëse funksione të tilla janë të dendur në ' ( , , )pL F dhe 1nT ,

mosbarazimi:

' ' ' '

' 2 '

n p n p n n p p

n p p

T f f T g g T f T g g f

T g g g f

menjëherë vendos validitetin e (1) për çdo ' ( , , )pf L F . Tani për çdo

' ( , , )pf L F , ( | ) ' ( , , )pE f L F F dhe ( | )n nT f T E f F .

Ky përfundim së bashku me argumentin e mëparshëm vërteton teoremën.

Teorema 1.4.7 [18] Le të jetë ( , , 1)nnf nF një martingale funksionesh statistikish

Bochner (Bohner) të integrueshëm, le të jetë 1 ' ( , , )pf L , 1 p . Atëherë

lim ' 0n pn

st f f

ku 1( | )f E f F dhe nn F F .

Vërtetim Vërtetimi i teoremës është i ngjashëm me vërtetimin e teoremës 1.4.6.

Shënojmë ( | )n nT f E f F , për 1n , dhe 1' ( , , )pf L F . Duke përdorur

teoremat klasike të konvergjencës se martingaleve provojmë supozimin e teoremës për

f të formës F a ku 1F F . Për të përfunduar vërtetimin mjafton të ndjekim të

njëjtën rrugë si në teoremën 1.4.6.

Lema 1.4.8 [18] Le të jetë , 1nT n dhe T operator linear i kufizuar që pasqyron

hapësirën Banach Y në veten e vetë dhe e tillë që

i) lim nn

st T f Tf

për të gjitha f Y dhe

ii) min( , )m n m nT T T

Le të jetë nf Y e tillë që 1n nnT f f dhe që gjendet një nënvarg knf statistikisht

konvergjent dobët tek f . Atëherë limn

nst f f

.

20

Vërtetim Nga kushtet e lemës, kemi që

min( , )m n m nT f f (4).

Gjithashtu m mknT f T f kur k për çdo m . Për k mjaft të mëdha për shkak të

(4), m kn mT f f dhe kështu m mT f f .

Nga kushti (i) i lemës lim mm

st T f Tf

, kështu rrjedh se limm

mst f f

.

Teorema 1.4.9 [18] Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut reflektive dhe le të jetë

( , , 1)nnf n F një martingale funksionesh me vlera në X statistikisht Bochner

(Bohner) të integrueshëm e tillë që

' ( , , )pnf L F , 1n , 1 p dhe 'pnf C .

Atëherë, ekziston ' ( , , )pf L i tillë që

lim ' 0pn

nst f f

dhe ( | )n nf E f F .

Vërtetim Le të jetë fusha e Borel-it e gjeneruar nga nn F F , ( | )n nT f E f F ,

1n për ' ( , , )pf L F .

Së pari, konsiderojmë rastin 1 p . X është reflektive, ' ( , , , )pL X F është

gjithashtu reflektive dhe kështu bashkësia e kufizuar { }nf ka një nënvarg që konvergjon

dobët tek elementi f i ' ( , , , )pL X F . Kështu në rastin 1 p , , 1nT n ,

operatori identik I, I f f dhe , 1nf n plotësojnë të gjitha kushtet e lemës 1.4.8,

(për të treguar këtë nisemi nga fakti që ( , , )nnf n 1 F është martingale dhe që ka vend

teorema 1.4.6.). Kështu, pohimi në teoremë për 1 p rrjedh menjëherë nga lema

1.4.8.

Rasti 1p tregohet në mënyrë të ngjashme.

Teorema 1.4.10 (Teorema Banach) Le të jetë (S, n, , ) një hapësirë e matshme -

e fundme. Le të jenë A1 A2 … bashkësi të panumerueshme dhe për çdo n A1. Le

të jetë Tn= E (f(s) | n ) një pasqyrim linear i vazhdueshëm nga një hapësirë Banach Y

në hapësirën L1(S, n, , ) të funksioneve fortësisht të matshëm me vlera reale ose

komplekse. Supozojmë që

(i) për çdo f në Y

1

supn A

||Tn(f(s))||<,

pothuajse kudo në S; dhe

(ii) për çdo f në një bashkësi Y0 të dendur në Y

21

st-,

lim supn

n k m A

||Tk(f(s))-Tm(f(s))||=0

pothuajse kudo në S. Atëherë

st- limn

E(f(s) | n )

ekziston për çdo f në Y.

Vërtetim Vërejmë së pari, që është e mjaftueshme të provojmë teoremën për rastin e

një hapësire të matshme e fundme (Për detaje shiko [3] f.333). Rrjedhimisht supozojmë

që është masë e fundme. Le të jetë n1, n2, …, një numërim i elementëve të A1. Le të

jenë pasqyrimet W, V, Vk, k = 1, 2,…, të hapësirës Y në L1(S, n, , ) të përcaktuar

nga ekuacionet

1

( ( )) sup || ( ( ) ||mn p

m n

V f s T f s

,

1

( ( )) sup || ( ( )) ||pp A

V f s T f s

,

1,

( ( )) lim sup || ( ( )) ( ( )) ||k mn k m A

W f s T f s T f s

.

Shihet qartë që Vn është pasqyrim i vazhdueshëm i Y në L1(S, n, , ) që plotëson

ekuacionet

||Vn (f+g) || ||Vn(f)|| + ||Vn(g)|| dhe ||Vn(f)|| = ||Vn(f)||

për çdo çift f, g në Y dhe skalar . Kushti (i) na siguron që V pasqyron Y në L1(S, n,

, ), dhe nga përkufizimet e tyre dhe fakti i sapo vërtetuar rrjedh që

||Vn(f)|| = ||Vn(f)||.

Për çdo f, V(x) 0 kur 0 dhe kështu bashkësia {Vn(f(s)) | n = 1,2,…} është

bashkësi e kufizuar ([3],II.1.7 f.51) në hapësirën L1(S, n, , ). Nga teorema 1.1.11

[Teorema 7, 4] ne arrijmë në përfundimin që

st- 0

lim ( ( )) 0nf

V f s

,

uniformisht për n 1. Nga rrjedhimi ([3], III, 6. 13(b), f. 150) Vn (f(s)) st

V(f(s)) dhe

kështu rrjedh se V është vazhdueshëm në f = 0 pothuajse kudo.

Meqënëse,

||W (f(s)) || 2 V(f(s)),

rrjedh se

|| W(f(s)) || 2 || V(s) ||

dhe kështu W është i vazhdueshëm në f = 0. Tani lehtësisht mund të tregohet që

22

||W(f(s)) – W(g(s))|| W(f- g, s),

për pothuajse të gjitha s, si rrjedhim

||W(f(s)) – W(g(s))|| || W(f- g, s)||, f, g Y.

Kjo tregon që W është i vazhdueshëm në çdo pikë të Y. Nga (ii) W anulohet në një

bashkësi e cila është e dendur në Y, rrjedhimisht W anulohet identikisht. Plotësia e

bashkësisë L1(S, n, , ) provon ekuacionin tonë.

Teorema 1.4.11 Le të jetë 1' ( , , , )f L X F ku X është hapësirë Banach. Atëherë

martingalja ( , , 1)nnf n F ku ( | ) nnf E f F është e tillë që

lim . .n

nst f f p k

ku ( )f E f F .

Vërtetim Shënojmë ( | )n nE f fF , 1n për '

1( , , , )f L X F , ku ( . | )nE F janë

operatorë linear të kufizuar nga 1' ( , , , )L XF në 1' ( , , , )L XF . Nëqoftëse

1

( ) ( ) , ,F n

n

f a a X F

F

atëherë qartësisht ( | )nE f fF për n mjaft të mëdha.

Kështu

lim ( | )nn

st E f f

F p.k.

për të gjithë funksionet e thjeshtë f të matshëm në lidhje me 1

n

n

F . Meqënëse

funksionet e thjeshtë janë të dendur në '

1( , , , )L X F dhe meqë ne kemi

sup ( | )nn

E f F p.k.,

nga teorema 1.4.10 rrjedh që

lim lim ( | )nn n

nst f st E f f

F ,

p.k. për të gjitha '

1( , , , )f L X F .

Për f të çfarëdoshme në '

1( , , , )L X F kemi se ( )f E f F , duke zbatuar

argumentin e mësipërm kemi

lim . .n

nst f f p k .

Në të njëjtën mënyrë mund të provojmë teoremen e mëposhtme.

23

Teorema 1.4.12 Le të jetë ( , , )nnf n -1F një martingale me vlera në hapësirën Banach

X. Atëherë lim . .n

nst f f p k

ku 1( | )f E f F dhe 1

n

n

F F .

Teorema 1.4.13 Le të jetë ( , , 1)nnf n F martingale me vlera në X, X hapësirë

reflektive e Banach-ut. Në qoftë se { }nf është uniformisht e integrueshme, atëherë

ekziston 1' ( , , , ) f L XF e tillë që

lim ( ) . .n

nst f f p k .

Vërtetim Nisur nga teorema 1.4.9, atëherë ekziston 1' ( , , , )f L X F e tillë që

'

1lim

nnst f f .

Atëherë, për A F , kemi se

limn

A A

nst f d st f d .

Meqënëse ( | )n k n nE f f F , për nBF , rrjedh që

n k

B B

nst f d st f d .

Le të kalojmë në limit kur k dhe ne kemi

B B

nst f d st f d për çdo nBF .

Kjo do të thotë që ( | ), 1n nf E f n F . Prandaj nga teorema 1.4.11 rrjedh që

lim . .n

nst f f p k .

Në teoremat në vijim kemi bërë shtrirjen në rastin e konvergjencës statistikore të disa

nga rezultateve të paraqitura në [6] në hapësirën e Banach.

Teorema 1.4.14 [7] Një martingale ( , , )n nf nF në ( ) është

statistikisht konvergjente sipas normës në ' ( , )pL X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

e tillë që, për çdo nnE F të kemi

.

Vërtetim Meqënëse martingalja është statistikisht konvergjente nga përkufizimi rrjedh

se ekziston e tillë që

' ( , )pL X 1 p

' ( , )pf L X

( )limn

nE Est F E stf d f d

' ( , )pf L X

24

.

Anasjelltas, supozojmë që ekziston e tillë që

për të gjitha nnE F .

Le të jetë F një fushë e gjeneruar nga nnF dhe shënojmë |f E( f ) F .

Atëherë, për të gjitha nnE F . Për më tepër kemi

| n nE f f F për të gjitha .

Tani do të tregojmë që . Supozojmë se F . Për më tepër

nnF është fushë, meqënëse n( ,n )F është monoton rritës. Nga fakti që

nn F , funksionet e thjeshtë të formës ku dhe

i nnE F

janë të dendur në . Rrjedhimisht, për çdo gjendet një funksion i thjeshtë

me dhe i nnE F

të tillë që '|| ||2

pf f

.

Sërish, meqë n ,n KF është familje monoton rritëse, gjendet një indeks i tillë që

0i nE

F për të gjitha . Kështu është nF - e matshme për të gjitha ,

nK dhe | n nE f f F për dhe nK.

Tani në qoftë se , atëherë

|

2

p p p

n p p

p

n nf f ' f f ' f f '

E f f ' f f '

f f '

F

p.p.gj. k.

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

Si rrjedhim të kësaj teoreme kemi:

Rrjedhim 1.4.15 [7] Një martingale n nf , ,nF në eshtë statistikisht

konvergjente sipas normës në në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ekziston

e tillë që | n nE f fF për të gjitha .

Me tej do të trajtohet konvergjenca statistikore pothuajse kudo e martingaleve të formës

n nf , ,nF të indeksuara sipas bashkësisë së numrave natyrore.

( )limn

nE Est F E stf d f d

' ( , )pf L X

( )limn

nE Est F E stf d f d

( )E

F E st f d n

'lim 0

pnnst f f

1

n

i

i

Eix

ix X

'( , )pL X 0

1

n

i

i

Eif x

ix X

0n

i K f 0n n

0n n

0n n

' ( , )pL X

' ( , )pL X

' ( , )pf L X n K

25

Lema 1.4.16 (Maximal lemma) [6, lemma 7, f.128] Le të jetë n nf ,F një martingale

në dhe le të jetë > 0. Në qoftë se atëherë

limsup (|| || ) 0nK

S

f d ,

rrjedhimisht .

Vërtetim Vërtetimi ec njësoj si vërtetimi i maximal lemës në [6].

Teorema 1.4.17 [7] Një martingale statistikisht konvergjente n nf , ,nF në

është statistikisht konvergjente në limit në '

1( , )L X pothuajse kudo.

Vërtetim Le të jetë limn

nst f f sipas normës në '

1( , )L X . Në qoftë se ,

atëherë ekziston e tillë që në qoftë se , atëherë .

Tani fiksojmë dhe veme re se n m nf f , ,n m F është një martingale në

'

1( , )L X . Sipas maximal lemës për martingalet, kemi

.

Prej nga rrjedh menjëherë që ( )nf është pothuajse uniformisht statistikisht Cauchy

(Koshi). Meqë limn

nst f f sipas normës në '

1( , )L X , është e qartë se

limn

nst f f është pothuajse kudo konvergjente.

Si rrjedhim të teoremës se mësipërme marrim:

Rrjedhim 1.4.18 Në qoftë se ( , , )nnf nF është martingale statistikisht konvergjente

në '

1L , atëherë n m nf f , ,n m F është gjithashtu martingale statistikisht

konvergjente në '

1L .

Vërtetim Meqë ( , , )nnf nF është martingale statistikisht konvergjente

e tillë që p.p.gj.k. Gjithashtu është statistikisht

Cauchy (Koshi) kështu për çdo , gjendet e tillë që p.p.gj.k.

Tani meqë

p.p.gj.k

n m nf f , ,n m F është gjithashtu martingale statistikisht konvergjente.

1' ( , )L X { :sup || || }nK

S f

'

1

1: sup || ( ) || sup || ||n n

K K

f f

1' ( , )L X

, 0

0 ( , )n 0n n0

'

1n nf f

0m n

1

1 1: sup ( ) ( ) sup

n m n mn m n m

f f f f

1' ( , )f L X'

1 kf f ( )nf

0 N'

1 n Nf f

' ' '

1 1 1 2 2

n m n N N mf f f f f f

26

Në pohimin në vijim ne bëjmë shtrirjen e një rezultati të Duarte [45] por tashmë për

martingalet e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.

Pohim 1.4.19 Në qoftë se një martingale n nf , ,nF konvergjon statistikisht në

1L' sipas normës, atëherë ajo konvergjon statistikisht sipas pothuajse kudo.

Vërtetim Supozojmë se f është i integrueshëm dhe 1 0nf f ' . Zgjedhim

numrat km të tillë që km dhe

11 kmkk f f '

.

Për çdo k , k kn mf f : n m është martingale nga rrjedhimi 1.4.18, pra plotësohet

mosbarazimi

1

1k k

kn mn m msup f f ' k f f '

k

atëherë duke i mbledhur për 1 2k , ,... marim

1

1k

k

kn m

n msup f f 'k

Kjo sjell që:

0k

kk n m

n mst lim sup f f '

,

-statistikisht pothuajse kudo. Me fjalë të tjera kemi treguar se nf është varg

statistikisht Cauchy (Koshi) sipas pothuajse kudo.

Teorema 1.4.20 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , )S hapësirë pobabilitare,

pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për një martingale ( , ), 1nnf n me vlera në

X.

1. Në qoftë se 1 1sup ' ,n nf atëherë limn

nf st f

ekziston fortësisht

statistikisht pothuajse kudo.

2. Në qoftë se 1 1sup ' ,n nf atëherë limn

nf st f

ekziston dobësisht

statistikisht pothuajse kudo, (në kuptimin që ekziston f statistikisht e matshme

fort e tillë që për të gjitha y X ,

n

nst lim f s , y f s , y

për 0

y ys N , N ).

3. Në qoftë se tënf janë uniformisht të integrueshëm, atëherë ekziston

'

1( , )f L X me

1st lim ' 0n

nf f .

Vërtetim Kalimi (1) (2) është trivial. Le të shohim tani që (3) (1). Meqënëse

tënf janë uniformisht të integrueshme, atëherë 1 1sup 'n nf dhe kështu limiti

27

st lim nf f ekziston fortësisht statistikisht p.k.

Meqënëse është e qartë se '

1( , )f L X nga lema Fatou (lema 1.2.4) rrjedh se

1lim nE f st f .

Kështu nf f si varg i çfarëdoshëm funksionesh me vlera reale është uniformisht i

integrueshëm dhe shkon në 0 statistikisht pothuajse kudo, meqënëse

1st lim st lim ' 0n n

n nE f f f f .

Le të provojmë tani kalimin (2) (3). Le të jetë ( , )nnf martingale uniformisht e

integrueshme me vlera në X. Është e qartë se 1 1supn nf ; kështu nga (2) ekziston

f , e cila tregohet lehtë që i takon '

1( , )L X , e tillë që

st lim , ,nf y f y

p.k.

për çdo y X . Meqënëse integrueshmëria uniforme e venf sjell qartësisht të

njëjtën gjë për ,nf y rrjedh se për çdo y X ,

, , ,1nnf y n

është një martingale me vlera skalare dhe prandaj, në veçanti, për nA , relacioni

, , , ,A A A A

n nst f y st f y st f y st f y

ka kuptim për çdo y X . Si rrjedhim,

, për të gjitha nA A

nst f st f A .

Pra, nnf E f . Tani nga teorema 1.4.14 rrjedh që .

1' 0st

nf f .

Teorema 1.4.21 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , ) hapësirë pobabilitare,

pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për një martingale ( , ), 1 nnf nF me vlera në

X.

1. Në qoftë se 1supn nf C , pothuajse kudo për ndonjë 0C , atëherë

limn

nf st f

ekziston fortësisht statistikisht p.k.

2. Nëqoftese për ndonjë 0C , 1supn nf C , pothuajse kudo atëherë

limn

nf st f

ekziston dobësisht statistikisht p.k. në kuptimin e pohimit 2

në teoremën 1.4.20.

28

Vërtetim Kalimi (1) (2) është i menjëhershëm. Le të shohim tani implikimin (2)

(1). Nga teorema e mësipërme, kalimi (2) (3) tregon që (2) (1) meqënëse kushti në

(1) sjell integrueshmërinë uniforme dhe kemi treguar me përpara se ekziston f e tillë

që

1

.

' 0 st

nf f ,

Prej nga rrjedh se | nnf E f F , që nga teorema 1.4.14 na çon te përfundimi i (1).

Teorema 1.4.22 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , ) hapësirë pobabilitare,

në qoftë se për një martingale ( , ), 1 nnf nF me vlera në X, t ënf janë uniformisht

të integrueshme dhe ekziston '

1( , )f L XF e tillë që

1st lim ' 0n

nf f .

Atëherë, 1sup , 1n pnf p dhe ekziston

' ( , ) pf L XF e tillë që

st lim ' 0pn

nf f .

Vërtetim Për një martingale të dhënë ( , )nnf F me

1sup , 1n pnf p ,

rrjedh menjëherë që tënf janë uniformisht të integrueshëm dhe prandaj nga kushti,

ekziston f , e tillë që

.

10

st

nf f .

Kjo sjell që | nnf E f F , për me tepër ' ( , ) pf L XF meqënëse nga lema Fatou

1.2.4 kemi

limp p

nn

st f st f

.

Teorema 1.4.14 lë të kuptohet se .

' 0st

pnf f .

1.5 Vetia e Radon-Nikodym-it dhe konvergjenca statistikore e martingaleve

Tashmë është e njohur që funksioni me vlera reale ose komplekse plotësisht aditiv i cili

është absolutisht i vazhdushëm në një hapësirë të matshme të fundme është në fakt

integrali në sensin e zakonshëm i një funksioni të matshëm të fundëm

(i vetëm pothuajse kudo). Ekzistenca e një funksioni të tillë sigurohet nga teorema e

Radon-Nikodym.

29

Përkufizim 1.5.1 [6] Një hapësirë Banach X ka vetinë e Radon- Nikodym-it në lidhje

me në qoftë se për çdo masë të vazhdushme me variacion të

kufizuar gjendet e tillë që

për të gjitha .

Një hapësirë e Banach X ka vetinë Radon-Nikodym në qoftë se X ka vetinë Radon-

Nikodym në lidhje me çdo hapësirë të matshme të fundme.

Në këtë çështje do të provojmë disa teorema konvergjence mbi martingalet në hapësirat

Banach që kanë vetinë e Radon-Nikodym.

Në teoremën në vijim kemi bërë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të një

prej rezultateve në [6] në hapësirën Banach.

Teorema 1.5.2 [9]

Le të jetë X një hapësirë me vetinë e Radon-Nikodým, dhe le të jetë

( )n nf , ,n F një martingale në . Atëherë ekziston në

sipas normës në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

i) dhe ( )n nf , ,n F është uniformisht i integrueshëm,

ose

ii) dhe .

Vërtetim Provojmë së pari mjaftueshmërinë e (i), për nnE F , shënojmë

.

Meqë ( )n nf , ,n F është uniformisht e integrueshme, është e qartë se

në nnF .

Gjithashtu në qoftë se nn F është një ndarje e , atëherë gjendet një indeks 0n

i tillë që 0n F .

Rrjedhimisht kemi se

.

Si rrjedhim F është me variacion të kufizuar në nnF . Nisur nga I.5.2 në [6] kemi se

masa G, -e vazhdushme me variacion të kufizuar në , -fusha e gjeneruar nga

nnF , e tillë që G(E)=F(E) për të gjitha nn

E F . Meqë ka vetinë Radon-

Nikodým-it, gjendet i tillë që

për të gjitha .

( , , ) :G X

1( , )g L X

(E)E

G g d E

1 p ' ( , )pL X lim

nnst f ' ( , )pL X

'

11, supn np f

1 p '

supn pnf

( ) st limEn

nF E f d

( ) 0lim ( ) 0E

F E

0 0

'

1( ) supn n

E nE E

nF E f d f d f

0

X

'

1 0( , )f L X

G( )E

E f d 0E

30

Por, në qoftë se nnE F , atëherë

.

Duke u mbështetur në teorema 7 e [7] përfundon vërtetimi i kushtit (i).

Për të provuar mjaftueshmërinë e kushtit (ii), le të jetë dhe supozojmë se

. Nga mosbarazimi i Holder-it kemi se ( )n nf , ,n F është gjithashtu

martingale e kufizuar uniformisht të integrueshme në . Nga mjaftueshmëria e

(i), gjendet

e tillë që '

1lim 0

nnst f f ,

rrjedhimisht:

,

për të gjitha nnE F . Pasi të jetë treguar se , mbështetur në teoremën

7 në [7] do të përfundojë vërtetimi i teoremës. Për ta përfunduar vërtetimin zgjedhim

një varg (n ) Nk të tillë që

dhe të tillë që sipas -pothuajse kudo. Nga lema Fatou (Lema 1.2.4),

rrjedh se

.

Kjo përfundon dhe vërtetimin e mjaftueshmërisë së (ii).

Nevojshmëria e (i) dhe (ii) është e qartë nga fakti se F(E) është e barabartë me E

f d

sepse,

,

kështu F është i vazhdueshëm dhe meqënëse

|p n p pnf ' E f ' f ' F

e cila tregon se '

suppnf është i fundëm, atëherë kushti i nevojshëm plotësohet.

Vlen për t’u përmendur se i njëjti rezultat i paraqitur nga teorema e mësipërme vlen

gjithashtu edhe për hapësirat Banach reflektive.

Teorema 1.5.3 [9] Supozojmë se X është një hapësirë Banach, e tillë që, për çdo

hapësirë të matshme të fundme , çdo martingale uniformisht e integrueshme

e kufizuar në konvergjon statistikisht në sipas normës. Atëherë X ka

vetinë e Radon-Nikodym.

st lim ( ) ( )E En

nf d F E G E f d

1 p '

supp

nnf

'

1( , )L X

'

1( , )f L X

st lim ( )E En

nf d f d F E ' ( , )pf L X

'

1lim 0

kknst f f

limkk

nf f

lim supk

p p p

n pk n

nf d f d f

( ) 0 ( ) 0lim ( ) lim 0

EE EF E fd

( , , )

'

1( , )L X '

1( , )L X

31

Vërtetim Le të jetë , , një hapësirë e matshme e fundme e fiksuar. Le të jetë P

klasa e të gjitha ndarjeve të në bashkësitë dhe P e renditur nga mënyra e ndarjes.

Në qoftë se është masë me variacion të kufizuar dhe -e vazhdueshme,

shënojmë

duke vërejtur se .

Le të jetë , -fusha triviale e gjeneruar nga . Qartësisht është

një martingale në me

En

nF E st lim f d për çdo E .

Një llogaritje e thjeshtë tregon se

,

për çdo n të tillë që . Gjithashtu, meqënëse F , ne kemi F . Prandaj

për çdo , gjendet e tillë që kur . Tani, në qoftë se

dhe , atëherë

.

Kështu është uniformisht e integrueshme. Nga hipoteza

'

1lim 0

nnst f f për ndonjë . Kështu ne kemi

E En

nF E st lim f d f d

për të gjitha E .

Si ilustrim të lidhjes së konvergjencës statistikore të martingaleve me vetinë e Radon –

Nikodym-it do të shohim rezultatet e mëposhtëme.

Teorema 1.5.4 Le të jetë' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme

dhe

' p

pf f , 1 p .

Atëherë për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka

vetinë

'lim 0

pnnst f f ,

ku me ( | )f E f shënojmë pritjen matematike statistikore me kusht të f për -

algjebrën e dhënë të gjeneruar nga nn .

:F X

( )

( )n

n E

E

F Ef

E

0 00

( )n n 1{ , ( )}n nnf

'

1( , )L X

( )nf d F

n P

0 0 ( )F E ( )E

( )nE ( )E

(E)nf d F

1{ , ( )}n nnf

'

1( , )f L X

32

Vërtetim Supozojmë së pari që f është - statistikisht e matshme. Në qoftë se f

është statistikisht e matshme në lidhje me algjebrën nn atëherë

( | )nE f f për 0n n .

Meqënëse f është -statistikisht e matshme mund të përafrohet mjaftueshëm në

'pL sipas normës nga funksione statistikisht të matshme në lidhje me algjebrën

nn , atëherë për çdo ' ( , )pf L X ,

'lim 0

pnnst f f .

Meqënëse

( | ) ( ( | ) | ) ( | )n n nnf E f E E f E f .

Menjëherë, nga teorema marim dy rrjedhimet e mëposhtme:

Rrjedhim 1.5.5 Le të jetë ' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme

dhe

' p

pf f , 1 p .

Në qoftë se për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka

vetinë ( )A

A st f d , atëherë

'lim 0

pnnst f f .

Vërtetim Meqënëse ( | )nnf E f dhe qartësisht në këtë rast.

Rrjedhim 1.5.6 Le të jetë ' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme

dhe

' p

pf f , 1 p .

Në qoftë se për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka

vetinë ( )A

A st f d , atëherë martingalja është statistikisht Cauchy (Koshi).

Vërtetim Në këtë rast ne duhet të provojmë që për çdo 0 ,

'

pmkf f p.p.gj.k..

Meqënëse nga rrjedhimi 1.5.5 ne kemi që '

lim 0pn

nst f f atëherë

' ' '

pp pm mk kf f f f f f p.p.gj.k.

33

KAPITULLI 2

MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT PETTIS TË

INTEGRUESHËM

Ndryshe nga martingalet e funksioneve Bochner të integrueshëm martingalet e

funksioneve Pettis të integrueshme kanë qenë më pak të studiuara. Studimi i tyre filloi

disa vite me vonë dhe pati një zhvillim të konsiderueshëm. Ndër autorët që kanë

studiuar këto martingale të funksioneve Pettis të integrueshëm mund të përmendim Uhl

[27], Musial [30] si dhe në vitet e fundit Marraffa [19, 20], etj.

Ishin punimet e Marraffa mbi martingalet e funksioneve Pettis të integrueshëm, të cilat

janë përgjithësime të rezultateve të Uhl-it [27] që na dhanë idenë e studimit të këtyre

rezultateve, por tashmë për një klasë funksionesh më të përgjithshme atë të funksioneve

statistikisht Pettis të integrueshëm në hapësirat e Banach-ut. Në këtë kapitull bëhet

përgjithësimi i disa rezultateve mbi martingalet të Uhl-it [27] dhe Marraffa-s [19, 20],

por tashmë për martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm. Nga ky

zëvendësim kemi përftuar edhe një konvergjencë më të përgjithshme siç është

konvergjenca statistikore e këtyre martingaleve.

2.1 Përkufizime dhe rezultate ndihmëse

Le të kujtojmë fillimisht disa rezultate ndihmëse në lidhje me integralin statistikor të

Pettis-it.

Lema 2.1.1 (Dunford)[5] Në qoftë se 𝑓: 𝑆 → 𝑋 është statistikisht fortësisht i matshëm

në hapësirën e normuar X dhe për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗ funksioni 𝑥∗(𝑓): 𝑆 → 𝑅 është

statistikisht (Bochner) i integrueshëm (𝑥∗(𝑓) ∈ 𝐿1), atëherë për çdo bashkësi të

matshme E S gjendet një element i vetëm 𝑥∗∗ ∈ 𝑋∗∗, i tillë që

EE

x Bs x f për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.

Përkufizim 2.1.2 [5] Në qoftë se 𝑓: 𝑆 → 𝑋 është statistikisht i matshëm dobët dhe i tillë

që funksioni 𝑥∗(𝑓): 𝑆 → është statistikisht i integrueshëm sipas Bochner-it, atëherë

integrali statistikor i Dunford-it E

Ds f i funksionit f në bashkësinë e matshme

E S përcaktohet nga elementi 𝑥∗∗ ∈ 𝑋∗∗ i dhënë në lemën (2.1.1), d.m.th.

E

x Ds f ,

ku EE

x x Bs x f për 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.

Shënojmë me Ds bashkësinë e të gjithë funksioneve Ds- të integrueshëm :f S X .

Për funksionet f ∈ Ds kemi 𝑥∗(𝑓) ∈ 𝐿1 për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.

34

Përkufizim 2.1.3 [5] Në qoftë se :f S X është st-Dunford i integrueshëm, ku

E

Ds f X për çdo bashkësi të matshme E I , (ose më konkretisht

**( )E

Ds f e X , funksioni e është zhytja kanonike e X në **X ), atëherë

funksioni f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe

E E

st P fd Ds fd

integrali mësipërm quhet integrali statistikor i Pettis-it i funksionit f në çdo bashkësi

E.

Le të jetë ( , , ) një hapësirë e matshme me masë të fundme dhe X një hapësirë

Banach.

Përkufizim 2.1.4 [5] Le të jetë E një nënbashkësi e bashkësisë . Funksioni

:f X quhet statistikisht Pettis i integrueshëm në qoftë se

a) funksioni x f* është statistikisht Bochner i integrueshëm për çdo x X* *

b) ekziston Ex nga X e tillë që

( ) ( )EE

x x st x f d * * për çdo x X* *

Atëherë Ex quhet integral statistikor Pettis i pacaktuar dhe e shënojmë

EE

x st f d .

Bashkësia e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm është hapësirë lineare dhe

e shënojmë me P'(E) .

Duket qartë se kur hapësira e Banach X është hapësirë reflektive **X X integrali

statistikor i Dunfordit dhe integrali statistikor i Pettis-it përputhen. Në qoftë se hapësira

X nuk është reflektive ata do të jenë të ndryshëm, pra gjendet një funksion që është st-

Dunford i integrueshëm, por jo st-Pettis i integrueshëm.

Teorema 2.1.5 [5] Në qoftë se funksioni :f S X është statistikisht Bochner i

integrueshëm atëherë f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe ka vend barazimi

E E

Ps fd Bs fd .

Teorema 2.1.6 Në qoftë se :f S X është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe i

përcaktuar në një bashkësi të matshme E S atëherë funksioni

( )E

E Ps fd X (integrali i pacaktuar st-Pettis-it)

është aditiv i numërueshëm.

35

Teorema 2.1.7 Ka vend përfshirja e mirëfilltë Bs Ps në përgjithësi për hapësirën e

Banach X , dmth, gjendet një hapësirë e Banach X dhe funksioni :f S X i cili është

st – Pettis i integrueshëm por jo st- Bohner i integrueshëm.

Themi se një martingale ( )n nf , ,n F me vlera në X është uniformisht e kufizuar

në qoftë se gjendet M e tillë që për çdo x X dhe n N

nx f M x sipas -statistikisht p.k.

Përkufizim 2.1.8 Një martingale ( )n nf , ,n F është me variacion të kufizuar në

qoftë se n

n

sup , ku n nst f d .

Përkufizim 2.1.9 Martingalja ( )n nf , ,n F është uniformisht e vazhdueshme në

qoftë se për 0 , ekziston 0 dhe 0n N të tilla që në qoftë se 0n n dhe E

është e tillë që E atëherë E

nst f d .

Përkufizim 2.1.10 Martingalja ( )n nf , ,n F është uniformisht e integrueshme në

qoftë se është me variacion të kufizuar dhe uniformisht e vazhdueshme.

2.2 Pritja matematike statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Pettis të

integrueshëm

Në këtë çështje do të shqyrtojmë pritjen matematike me kusht të funksioneve

statistikisht të dobët dhe disa veti të saj.

Le të jetë C hapësira e numrave kompleks. Supozojmë se X dhe Y janë hapësira

komplekse Banach, B(X) -fusha e Borel-it: më e vogla -fushë e gjeneruar nga

nënbashkësitë e hapura të X . Shënimi ,x x do të përdoret për ( )x x kur x X dhe

x X , ku X është duali i hapësirës X . Le të jetë ( , , ) F hapësirë probabilitare.

Përkufizim 2.2.1 Le të jetë f një element st-Pettis i integrueshëm në Y dhe le të jetë

F një fushë në F. Elementi ( | )E f F st-Pettis integrueshëm në Y thuhet se është

pritje matematike statistikore me kusht e Pettis e f në lidhje me F nëqoftëse,

(i) ( | )E f F është skalarisht F i matshëm dhe st-Pettis i integrueshëm,

(ii) ( | ) për çdoA A

st fd st E f d A F F .

Ne do pranojmë se Y X , për shembull elementi i merr vlerat në hapësirën duale të

hapësirës jo-separabël të Banach.

Le të shohim disa veti të rëndësishme të pritjes matematike statistikore me kusht, për

funksionet st-Pettis të integrueshëm, të përmbledhura në teoremën në vijim, të cilat janë

një shtrirje e rezultatit të [46].

36

Teorema 2.2.2 Supozojmë që f dhe g janë ndryshore të kufizuara e skalarisht të

matshme dhe statistikisht Pettis të integrueshme të tilla që { , : 1}f x x dhe

{ g, : 1}x x janë bashkësi dobësisht parakompakte në ( )L . Atëherë

(i) Në qoftë se , p.kf c , atëherë ( | ) c, .k.st w

E f p

F

(ii) Në qoftë se k is a skalar, atëherë

( | ) ( | ) (g | ), . .E k f g kE f E p k F F F

(iii) Në qoftë se { , } F atëherë ( | ) , p.k.st w

E f E f

F

(iv) ( | F) , . .st w

E f f p k

(v) Në qoftë se 1 2F F atëherë

2 1 1( ( | ) | ) ( | ), . .st w

E E f E f p k

F F F

(vi) Në qoftë se A është operator linear i kufizuar në X , atëherë

(A | ) ( | ), . .st w

E f AE f p k

F F

Vërtetim (i), (ii) dhe (iii) rrjedhin menjëherë nga lineariteti dhe vetitë bazë të integralit

statistikor të Pettis, dhe nga përkufizimi 2.2.1. Për (iv) kemi

, ( | F) , , për të gjitha FA A

st x E f d st x f d A .

Meqënëse , ( | F)x E f dhe ,x f janë të matshme F, kemi që

, ( | F) ,x E f x f ,

e cila nënkupton ( | F) , . .st w

E f f p k

Për (v) vemë re se matshmëria skalare dhe integrueshmëria e dobët e 1( | )E f F rrjedhin

menjëherë nga përkufizimi 2.2.1,

2 1 2 1, ( ( | ) | ) , ( | ) , për të gjithaA A

st x E E f d st x E f d A F F F F

Meqënëse 1 2F F , kemi

2 1 2

1

, ( ( | ) | ) , ( | )

,

, ( | ) për të gj

A A

A

A

st x E E f d st x E f d

st x f d

st x E f d

F F F

F

1itha A F

Kështu, 2 1 1( ( | ) | ) ( | ), . .

st w

E E f E f p k

F F F

37

Për (vi), nga përkufizimi 2.2.1

, (A | ) ,A ,

,

, ( | )

,A ( | )

A A

A

A

st x E f d st x f d

st A x f d

st A x E f d

st x E f d

F

F

F

1për të gjithaA

A F

Kështu, (A | ) ( | ), . .st w

E f AE f p k

F F .

2.3 Martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm

Le të jetë E hapësirë Banach e normuar, B(E) sfera njësi dhe E* duali i saj.

Nënbashkësia T e E* quhet bashkësi total mbi E, në qoftë se ( ) 0f x për çdo f T

kemi x=0. Përgjatë kësaj çështje treshja ( , , ) F është hapësirë probabilitare dhe

( )n n NF familje e nën- -algjebrave të F e tillë që m nF F në qoftë se m n . Për

më tepër, pa humbur përgjithësimin, do të pranojmë se F është plotësim i ( ).nn F

Në rastin e martingaleve të funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm do të

përdorim:

sup lim|| ||

0 për n K

n K n

E

f df

si normë për integralin statistikor të Pettis.

Pohimi i mëposhtëm është një shtrirje e Lema 1.4 e Uhl [27] për martingalet e

funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Pettis-it.

Pohimi 2.3.1 [23] Le të jetë ( , )nnf F një martingale funksionesh st-Pettis

integrueshëm.

Atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente

(i) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që nf është -

statistikisht konvergjente tek f .

(ii) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që | n nE f fF për

çdo n .

(iii) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që për çdo nnA F

lim nA An

st f st f .

Vërtetim Supozojmë se ka vend pohimi (i). Atëherë ekziston një funksion :f E ,

i cili është st- Pettis i integrueshëm dhe i tillë që

1

lim : 0n k

k n f fn

ose k

f f pothuajse për të gjitha k.

38

Meqënëse

sup limAn K

nk kf f f f d

,

kemi se lim nA An

st f st f për të gjitha AF .

Pra, ka vend (iii). Për më tepër, në qoftë se mAF , ne kemi, nga kushti i të qënit

martingale, se për të gjitha n m ,

n mA A

st f st f .

Atëherë mA A

st f st f , domethënë, ( )n nE f fF| që sjell (ii).

Anasjelltas supozojmë se ka vend (iii). Meqënëse ( )nf është martingale kemi se

n mA A

st f st f

për të gjitha n m dhe mAF , si rrjedhim:

nA A

st f st f , pra ( )n nE f fF| .

Meqë f është statistikisht Pettis i integrueshëm ekziston funksioni i thjeshtë

1i

l

ii

Af x I

, për të cilin kemi

2

f f .

Supozojmë që, për 1,...,i l , 0i mA F . Kështu, për

0n m , meqënëse

0( )mf fE

F| dhe nga fakti se pritja matematike statistikore me kusht është një

kontraksion, kemi

(( ) )2

2

2 2

nnf f f f f f E f f

f f

F|

Kështu, nf është -statistikisht konvergjente tek f , rrjedhimisht ka vend (i). (ii)

implikon (iii) dhe kështu përfundon vërtetimi i pohimit.

Implikimi (ii) (i) në pohimin e mësipërm tregon se një martingale e mbyllur është

statistikisht konvergjente sipas normës.

39

Pohimi 2.3.2 [23] Le të jetë n nf ,F një martingale funksionesh statistikisht Pettis të

integrueshme. Atëherë, për të gjitha nnA F , funksioni

( ) lim nn

A

A st f

është absolutisht i vazhdueshëm dhe me rang relativisht kompakt sipas normës, në qoftë

se dhe vetëm në qoftë se martingalja n nf ,F është - statistikisht Cauchy (Koshi).

Vërtetim Së pari tregojmë se kushti është i nevojshëm.

Meqë ka rang relativisht kompakt sipas normës, nga Teorema Hoffman-Jorgensen

(Teorema 9,[34]) për çdo 0 gjendet një funksion :H E i tillë që

1

k

i

iAi

H x I

me i nnA F dhe ix E

kështu që

sup ( ) :A

nnA H A F .

Marrim 0 dhe le të jetë 4

H H , ekziston 0m për të cilën

0i mA

F , për 1,..., .i k

Meqë

( ) lim nAn

A st f

gjendet 0m e tillë që ( )4

nA

A f

për 0n m . Le të jetë 0,n m m .

Kemi

sup ( ) :

sup ( ) : sup ( ) :

sup ( ) : sup ( ) :

sup ( ) : sup ( ) :

4 4 4 4

n mA

n mA A

nA A

mA A

nn

n nn n

n nn n

n nn n

f f A

f H A H f A

f A A A H A

f A A A H A

F

F F

F F

F F

Atëherë n mf f për 0,n m m .

Anasjelltas, zgjedhim 0 dhe gjejmë 0m të tillë që, në qoftë se 0,n m m , atëherë

n mf f .

40

Në qoftë se ( )n nA

A st f për nnA F , atëherë

( ) ( )n m P n mA A f f .

Kështu vargu i masave n është Cauchy (Koshi), prandaj lim ( ) ( )n n A A ekziston.

Funksionet nf janë statistikisht Pettis të integrueshëm, atëherë n ka rang relativisht

kompakt sipas normës dhe meqë konvergjenca është uniforme në nnA F rrjedh që

është absolutisht i vazhdueshëm dhe ka rang relativisht kompakt sipas normës.

Le të tregojmë tani me anën e një shembulli se ekzistojnë funksione që nuk janë Pettis

të integrueshëm por që janë statistikisht Pettis integrueshëm.

Shembull. [26] Supozojmë se c0 është një hapësirë Banach e vargjeve reale

x = (x1, x2,…) = (xn)

për të cilin lim 0nn

x

, me normë

|| || max | |nn

x x .

Le të përcaktojmë

1 1 1 12 4 5 2

2 2

]0,1] ]0, ] ]0, ] ]0, ] ]0, ]

1 1( ) ( , ,..., 2 , ,..., ,...)

2 5 k

f t k

për t ]0,1].

Qartësisht, f(0) = 0 = (0,…,0,…) dhe në qoftë se t ]0,1] gjendet një n’ e tillë që

1 1] , ]

' 1t

n n

dhe ( )f t = (1, 2 21 1

, ,2 ,..., k' ,0,...)2 3

për këtë t ]0,1]. Kështu, vlerat e

f i përkasin c0.

Në qoftë se *

0* ( )x c , atëherë gjendet një varg =(2

1

n ) 1l , me

1 21

1|| ||l n n

i tillë që,

21

1*( ) nn

x x xn

,

për x = (xn) c0.

41

Atëherë

2

12]0, ]

2

12]0, ]

1 1

*( ( ))1

k Kk

k K

k

k kx f t

kk

Ky funksion real nuk është i matshëm, dmth nuk është dobësisht i matshëm. Dhe prej

inekuacionit të mëposhtem rrjedh

2

1 1

2

12]0, ]

0 0

1| *(f(t)) | dt | ( ) |

k K

k

x k t dtk

,

që ky funksion nuk është Pettis i integrueshëm. Nga ana tjetër,

1 1

12]0, ]

0 0

1| *(f(t)) | dt | ( ) |

k Kk

x k t dtk

,

që tregon se ky funksion është statistikisht i integrueshëm.

Për më tepër

1

0

1 1 1( ) (1, , ,..., ,...)

2 3st P f t dt

n 0 0( )**c c .

Pra, funksioni f : [0,1] c0 është statistikisht Pettis i integrueshëm.

Le të shohim tani disa rezultate në lidhje me konvergjencën statistikore sipas normës të

martingaleve në '( )P X të cilat janë shtrirje të rezultateve të Uhl [27].

Lema 2.3.3 Le të jetë 0F një nënfushë e F e tillë që 0 F F . Në qoftë se F

është masë aditive e numërueshme me vlera në X e përcaktuar në 0F , atëherë F

mund të paraqitet

E

F E st f d , 0E F ,

për ndonjë f P' ,F X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

i) F ka rang të kufizuar.

ii) μ(E) 0lim F(Ε) = 0

iii) Për 0 të dhënë gjendet një bashkësi konvekse kompakte e dobët KX e

tillë që për çdo 0 gjendet 0 0E F me 0( )E dhe

(E) ( )K UF E për të gjitha 0 0, E E E F , ku U është rruzulli njësi i

mbyllur i X .

Vërtetim Meqënëse F është -i vazhdushëm, F ka një zgjerim - të vazhdushëm aditiv

të numerueshëm (të cilin sërish e shënojme me F) tek e gjithë F .

42

Atëherë, gjendet një bashkësi 0 S F e tillë që 0( )S dhe (E) ( )KF E për

të gjitha 0 , E S E F .

Në këto kushte gjendet f P' ,F X e tillë që

E

F E st f d , E F dhe 0E F .

Supozojmë që ekziston f P' ,F X e tillë që

E

F E st f d ,

për të gjitha 0E F dhe le të jetë dhënë 0 . Ekziston 0 0S F dhe një bashkësi K

kompakte sipas normës të cilën mund të pranojmë se është konvekse nga teorema e

Mazur, e tillë që (E) ( )KF E për të gjitha 0 , E S E F . Për një 0 të fiksuar,

mund të gjejmë 0 0E F , 0( )E të tillë që 0 0, E E E F sjell që

(E) ( )K UF E .

Rrjedhim 2.3.4 Lema 2.3.3 mbetet e vërtetë nëse fjalët "kompakte e dobët"

zëvëndësohen me "kompakte sipas normës".

Teorema 2.3.5 Le të jetë ( , , )n nf nF një martingale në '( )P X . Familja

( , )nf n është statistikisht konvergjente sipas normës tek ndonjë funksion

'( )f P X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

i) supn nf ,

ii) Për çdo 0 gjendet 0 dhe indeksi 0n të tillë që ( )E implikon

Enf për të gjitha 0n n ,

iii) Për çdo 0 ekziston një bashkësi konvekse kompakte e dobët KX e tillë

që për çdo 0 gjendet indeksi 0n dhe bashkësia 0 0nE F , 0( )E që

për 0n n kemi ( )K UE

nst f d E për të gjitha 0 , nE E E F .

Vërtetim Meqënëse F X' ( ),nnP është nënhapësirë e mbyllur e '( , )P F X

nuk humbasim asgjë nëse supozojmë se nn( ) F F .

Supozojmë se

0n

nst lim f f për '( )f P X .

Nga pohimi 2.3.1, | n nE f fF për çdo n . Gjithashtu meqënëse | nE . F

është një kontraksion,

| nnf f f F .

43

Për të provuar (ii) vëmë re që

0

E E E En n

n

n n

n

st lim f f st lim f f

st lim f f

uniformisht në E . (ii) rrjedh tani direkt nga fakti që 0

0EElim f

.

Për të treguar (iii), le të jetë dhënë 0 . Nga rrjedhimi 2.3.4 gjendet një bashkësi

konvekse kompakte sipas normës XK e tillë që për 0 të dhënë, gjendet

FnnE e tillë që

( )E

st fd E K U ,

për E E , FnnE . Për një 0 të fiksuar, zgjedhim 0n të tillë që 0

.FnE

Atëherë, për 0n n dhe FnE , E E nga vetia e të qënit martingale kemi

( )E Enst f d st fd E K U .

Përcaktojmë funksionin F në Fnn me

F(E) , nnE nF st f d E .

Të qenit një martingale na siguron që familja që përcaktuam në të djathtë është

përfundimisht konstante për FnnE . Kështu, F është e mirpërcaktuar dhe qartësisht

aditive e fundme në Fnn . Për më tepër

x xF sup ( ) sup st lim sup

st lim sup

1 1 En

En

n

n

x F E x f d

f

Kështu, pika (ii) e hipotezës sjell që

( ) 0lim F 0E

. Prandaj F është -i

vazhdueshëm dhe si rrjedhim, aditiv i numerueshëm në Fnn. Me një argumentim

të ngjashëm, së bashku me (i) tregohet se F është me gjysmë variacion të fundëm në

Fnn. Mbështetur tek pohimi 2.3.1 vërtetimi do të plotësohej në qoftë se ne mund të

tregojmë që gjendet 1' ( , )f P F X e tillë që

limE En

nst f d st fd

për të gjitha FnnE .

Për ketë, le të jetë 0 i dhënë dhe le të jetë K si në (iii). Nga (iii) për një 0 të

fiksuar të zgjedhur ekziston 0n and F00 nE , 0( )E e tillë që

44

( )E

st fd E K U ,

për 0E E . Kështu në qoftë se FnnE , F

1nE , për ndonjë 1 0n n dhe

(E) ( )E nF st f d E K U .

Nga lema 2.3.3 ekziston '( , )f P F X e tillë që

F(E) , nnEF st fd E .

Nga pohimi 2.3.1 rrjedh dhe vërtetësia e kushtit të mjaftushëm.

Le të paraqesim tani shembullin e një martingaleje e cila nuk është konvergjente, por

është statistikisht konvergjente.

Shembull.[26] Kujtojmë që një quasi pemë e pafundme J në X është një varg ( )nx me

vetinë

( 1)

2 1( )

( 1) ( 1)11

1 s=2 1

2 1

nqs s 2 1, 2 ,...,22 1

k

k k

kk

s k kk k kr r

k

x nqs

xx x

r k k

Për të treguar se vargu i mësipërm është martingale në 1([0,1), )L X , le të jetë masë e

Lebesgue dhe shënojmë

1 1 [0,1/2)f x , 2 2 [1/2,1)f x , 3 3 4[0,1/3) [1/3,2/3)( ) / 3f x x

dhe

1

( ),

2 2( )

,

2 1

nqs i=2 +k-1

nqs i 2 1

k

k

k ki Ik i

kk k k

i Ik i

i k

x

fx k

ku

1 1 1 1,I [( 2 1) / 2 1,( 2 2) / 2 1)k k k k

k i i i

për i=2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1 dhe k1.

45

Menjëherë, vëmë re që 1 3[0,1/2) [0,1/2)

f d f d , meqënëse (x3 + x4)/3=x1. Me të

njëjtin arsyetim kemi

, ,1

s i s issI I

f d f d

për çdo i =2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-2, k 2 dhe s = 2k+k-1.

Për s 2k+k-1 ne kemi gjithashtu

, ,, , , ,

( ) ( 1)1

1s i s i

s i s i s i s i

s ss i i sI II I I I

f d x d x d f ds

Kështu në qoftë se B0 është -fusha triviale që përbëhet nga dhe [0,1), dhe Bk është

-fusha e fundme e gjeneruar nga {Ik,i , i =2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1} k2 atëherë

( , )k k

f B është një martingale në 1([0,1), )L X .

Shembuj të quasi pemëve të pafundme jo triviale mund të gjenden në hapësirën 1[0,1).L

Ne do të tregojmë që mund të ndërtojmë quasi pemë të kufizuar por jo konvergjente në

këtë hapësirë. Në anën tjetër ajo është statistikisht konvergjente.

Le të jetë

1 [0,1/2)x , 2 [1/2,1)x , 3 [0,1/3)x … ,s is Ix

ku

s=2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1, k2 nqs s 2k+k-1 dhe ,

(2 1)s i

ks Ix k .

Martingalja nuk është konvergjente. Ne këtë rast shohim që

1|| || 1m Llf f nqs m =2k+k-1 dhe l=2k+1+k.

Në anën tjetër, në qoftë se shënojmë {2 1}kA k për çdo k dhe k 2 atëherë

| \ |lim 1n

A

n . Për çdo , 2 1ks r k marrim që

10

Ls rf f , kur ,s r N .

Si përfundim, quasi pema është martingale që konvergjon statistikisht, por nuk

konvergjon në mënyrë të zakonshme.

2.4 Martingalet e funksioneve uniformisht të integrueshëm

Në këtë çështje do të shqyrtohen martingalet uniformisht të integrueshme të

funksioneve st-Pettis të integrueshëm tek të cilat është bërë përgjithësimi i

konvergjencës sipas normës duke kaluar në konvergjencë statistikore sipas normës

duke përgjithësuar rezultate të Marraffa-s [19, 20].

Le të jetë E hapësirë Banach e normuar, B(E) sfera njësi dhe E* duali i saj. Përgjatë

kësaj çështje treshja ( , , ) F është hapësirë probabilitare dhe ( )n n NF familje e nën-

46

-algjebrave të F e tillë që m nF F në qoftë se m n . Për më tepër, pa humbur

përgjithësimin, do të pranojmë se F është plotësim i ( )nn F .

Teorema 2.4.1 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshme

funksionesh statistikisht Pettis të integrueshëm dhe supozojmë që gjendet një funksion

statistikisht dobësisht i matshëm :f E i tillë që ( )nx f konvergjon statistikisht

tek ( )x f pothuajse me siguri. Atëherë nf është statistikisht konvergjente tek f

sipas normës.

Vërtetim Meqënëse ( )n nf është uniformisht i integrueshëm funksioni

: ,nnE F i përcaktuar si më poshtë

( ) lim nn

A

A st f

është masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar dhe ajo mund të shtrihet

në të gjithë F dhe të jetë sërish masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të

kufizuar. Për më tepër për çdo N me ( ) 0P N , ( ( ))nx f konvergjon

statistikisht tek ( ( ))x f për çdo x E * . Kështu, meqë f është st-Pettis i

integrueshëm dhe ( ) st f

. Atëherë x E * për çdo nnA F ,

lim nn

A A

st f st f

dhe nga pohimi 2.3.1 rrjedh vërtetësia e pohimit.

Le të vazhdojmë tani me një teoremë tjetër për martingalet uniformisht të integrueshëm

të funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm.

Teorema 2.4.2 [8] Le të jetë ( , )n nf F martingale uniformisht e integrueshme e

funksioneve st-Pettis të integrueshëm dhe le të jetë f një funksion dobësisht i

matshëm. Për më tepër le të jetë T nënbashkësi dobësisht ⃰ e dendur sipas vargjeve e

E , dhe pranojmë që ( )nx f është st-konvergjente tek ( )x f pothuajse me siguri, për

çdo x T . Atëherë f P'(E) dhe për çdo AF

limn nA A

st f st f

Për më tepër në qoftë se martingalja ( , )n nf F është satistikisht Cauchy në P'(E) ,

atëherë nf është st-konvergjent tek f sipas normës.

Vërtetim Le të jetë nnA F dhe shënojmë

( ) limA

nn

A st f .

47

Meqë ( , )n nf F është uniformisht e integrueshme, : nnE F është me variacion të

kufizuar dhe aditive e numerueshme, rrjedhimisht është fortësisht aditive.

Nga teorema e zgjerimit të Caratheodory–Hahn–Kluvanek, mund të shtrihet në një

masë aditive të numerueshme në F , absolutisht e vazhdueshme në lidhje me P dhe

me variacion të kufizuar. Gjithashtu

( ) lim nAn

A st f

ekziston për të gjitha AF . Le të jetë AF dhe fiksojmë 0 . Meqë ( )nf është

uniformisht i vazhdueshëm, gjendet 0 e tillë që, në qoftë se ( )P D atëherë

nD

st f

uniformisht në lidhje me n . Prandaj gjendet 1n dhe 1nBF e tillë që

( )P A B (shiko [14], f. 56). Në qoftë se 2 1n n , atëherë

n mB B

f f për çdo 2,n m n .

Kështu

/ / / /5

n mA A

n m n m n mB B B A B A A B A B

f f

f f f f f f

si rrjedhim ( ) lim nAn

A st f ekziston për të gjitha AF . Për çdo x T dhe

AF , nga teorema Vitali [5], kemi

( ) lim ( ) ( )nA An

x A st x f st x f . (1)

Gjithashtu, për çdo x E , ( ( ), )nnx f F është martingale me vlera reale e kufizuar në

1L , atëherë gjendet një ndryshore reale xf , e tillë që

( ) lim ( )nA An

xx A st x f f .

Le të jetë x E dhe zgjedhim ( )k kx T e tillë që, për çdo f E , ( )kx f konvergjon

tek ( )x f . Për çdo k

( ) ( ) ( )k k kA

x f x A x A

dhe, meqë nga teorema Banach–Steinhaus supk kx , vargu ( )k kx f është

uniformisht i integrueshëm në 1L . Atëherë nga teorema Vitali [5]

48

lim kA Ak

st x f st xf (2)

dhe f është skalarisht i integrueshëm.

Tani nga (1), për çdo k dhe AF

( )k kA

x A st x f .

Gjithashtu

lim ( ) ( )kk

st x A x A . (3)

Atëherë (1), (2) and (3) sjellin që

( )A

x A xf ,

për të gjitha x E dhe AF . Kështu f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe

(A)=stA

f për të gjitha AF . Gjithashtu kemi se

lim ( )A A

nn

st f A st f .

Meqënëse ( )n nf është një martingale kjo sjell që ( )n n

E f fF| . Supozojmë se ( )nf

është Cauchy në P'(E) . Duke zbatuar teoremën Doob–Helms për rastin skalar ne

përftojmë konvergjencën e kërkuar.

Rrjedhim 2.4.3 [8] Le të jetë ( , )n nf F martingale uniformisht e integrueshme

funksionesh statistikisht Pettis të integrueshëm, f një funksion fortësisht i matshëm.

Le të jetë T një nënbashkësi total e X dhe supozojmë se ( )n

x f është statistikisht

konvergjente tek xf pothuajse me siguri. Për çdo x T (bashkësia nul varet nga x ),

atëherë f P'(E) dhe nf është statistikisht konvergjent tek f sipas normës.

Vërtetim Nga teorema 1.1.13 për matshmërinë sipas Pettis ne mund të supozojmë se E

është separabël atëherë, meqë T është e mbyllur dhe dobësisht∗ e dendur, nga teorema

e mëparshme ne kemi se f është st-Pettis i integrueshëm dhe ( ) n nE f f| F për

.n Prandaj supozimi rrjedh nga pohimi 2.3.1.

Duke pranuar një kusht më të dobët për matshmërinë tek martingalja ( , )nnf F dhe mbi

ndryshoren f , në teoremën 1 [8] ne mund të dobësojmë hipotezën mbi bashkësinë.

Teorema 2.4.4 [26] Le të jetë ( , )nnf F një martingale uniformisht e integrueshme

funksionesh st-Pettis të integrueshëm. Supozojmë se ekziston një varg rritës bashkësish

të matshme ( )m mB , m mB F , i tillë që lim ( ) 1mm

P B dhe që funksionet f dhe nf të

ngushtuar tek secila mB janë statistikisht fortësisht të matshëm, 1,2,...n . Supozojmë,

49

për më tepër, që për çdo x T , ku T është bashkësi total, ( )nx f konvergjon

statistikisht tek ( )x f pothuajse me siguri. Atëherë f P'(E) dhe për çdo AF

limA An

nst f st f .

Gjithashtu në qoftë se martingalja ( , )nnf F është statistikisht Cauchy (Koshi) në P'(E),

atëherë nf konvergjon statistikisht tek f në normë.

Vërtetim Ashtu si në teoremën 2.4.2 le të jetë : E F zgjerimi absolutisht i

vazhdueshëm me variacion të kufizuar, tek F i masës

(A) lim nAn

nst f F .

Për çdo m shënojmë:

,

,

n

m

n Bm

n

n B

f I n m,f

f

n

I n

q

nqs m

s

.

Atëherë ( )m

n nf është një martingale uniformisht e integrueshme funksionesh st-Pettis të

integrueshëm e tillë që për të gjitha x T

( ) ( ) . .m

m

n Bx f x f p sI st

Nga rrjedhimi 2.4.3 rrjedh se

. .m

m

n B st p sf f I

Gjithashtu funksioni mBf I është st-Pettis i integrueshëm dhe për çdo x E , ( )

mBx f I

konvergjon statistikisht tek ( )x f . Familja { ( ) : , }mBx f I x E m është uniformisht

e integrueshme, meqë e tillë është { ( ) : , , }m

nx f x E n m . Atëherë nga teorema

Vitali [5]

lim ( ) ( )mB

mst x fI x f

dhe nga teorema Vitali [5], f është st-Pettis i integrueshëm. Për x T dhe AF

kemi

(A) st lim ( ) ( )A A An

nx x f st x f x f ,

ku barazimi i fundit është i vërtetë nga fakti se f është st- Pettis integrueshëm.

Meqënëse T është bashkësi total ne kemi që

( )A

A f .

Gjithashtu

( ) limA An

nA st f f .

50

Meqënëse ( )nnf është një martingale, kjo sjell që ( )n nE f f F . Tani supozojmë që

( )nf është statistikisht Cauchy (Koshi) në P'(E) , atëherë si në teoremën 2.4.2

konvergjenca e kërkuar rrjedh nga zbatimi i teoremës Doob–Helms për rastin skalar.

Teorema 2.4.5 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshme

funksionesh st-Pettis të integrueshëm fortësisht të matshëm, f një funksion dobësisht

i matshëm. Le të jetë T një nënbashkësi total e X , dhe supozojmë që ( )nx f

konvergjon statistikisht tek ( )x f p.s. për çdo x T . Atëherë f P'(E) dhe nf është

st-konvergjent tek f në normë.

Vërtetim Nga teorema 1.1.13 e Pettis për matshmërinë ne mund të pranojmë që E është

separabël, atëherë meqë T është e mbyllur dhe e dendur dobësisht ⃰ , vërtetimi rrjedh

nga teorema 2.4.2.

Teorema 2.4.6 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshëm

funksionesh st- Pettis të integrueshëm dhe supozojmë që ekziston një funksion

statistikisht dobësisht i matshëm :f E , i tillë që nx f konvergjon statistikisht

tek x f pothuajse me siguri në topologjinë e dobët. Atëherë nf është -

statistikisht konvergjente tek f .

Vërtetim Meqënëse nnf është uniformisht i integrueshëm funksioni F: nn

E

i përcaktuar si vijon

( ) lim nnA

A st f

është masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar dhe mund të shtrihet në

të gjithë F tek një masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar.

Gjithashtu, si në teoremën 2.4.2 për çdo FA

( ) lim nnA

A st f .

Për më tepër, për çdo N me ( ) 0P N , ( ( ))nx f konvergjon statistikisht tek

( ( ))x f për çdo x E * . Kështu, rrjedh se f është st-Pettis i integrueshëm dhe

( ) st f . Atëherë për çdo FnnA ,

lim nnA A

st f st f

dhe pohimi rrjedh nga Pohimi 2.3.1.

51

2.5 Martingalet e funksioneve st- Pettis të integrueshëm dhe vetia e dobët e

Radon-Nikodym

Në këtë çështje do të shohim se zëvendësimi i funksioneve statistikisht të integrueshëm

sipas Bochner me funksione statistikisht të integrueshme sipas Pettis-it do të na japë

një karakterizim të hapësirave Banach që gëzojnë vetinë e dobët të Radon-Nikodym.

Në rezultatet në vijim në ndjekim idenë e Musialit [30] për martingalet e funksioneve

Pettis të integrueshëm dhe jemi munduar të provojmë rezultatet e mëposhtme të cilat

janë për martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm.

Le të jetë X një hapësirë Banach (reale ose komplekse), B(X) rruzulli njësi dhe X

duali i vet. Le të jetë S bashkësi joboshe, një -algjebër e nënbashkësive të S dhe

masë probabilitare e përkufizuar në .

Pohimi 2.5.1 Le të jetë 0 nën- - algjebër e dhe le të jetë f : S X funksion

dobësisht 0 i matshëm, i cili është gjithashtu st-Pettis i integrueshëm në 0 . Atëherë

f është gjithashtu st- Pettis i integrueshëm në .

Vërtetim Le të jetë 0: X masë e dhënë nga:

E

E st f d .

Shënojmë për çdo F :

0|FS

F st E d

Atëherë, për çdo x X dhe F

0

0

0

|

|

|

FS

FS

FS F

x F st E dx

st E x f d

st E x f d st x fd .

Kjo provon që F

F st f d .

Funksioni nn N: X

i përcaktuar si

nn

E st lim E

quhet funksion limit i ( )n nf , ,n .

Është e qartë se

n n nn

E st lim E sup E

ka vend për çdo nnE .

Teorema 2.5.2 Le të jenë X një hapësirë e Banach dhe S, , një hapësirë

probabilitare atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:

i) X ka masë me vetinë e rangut kompakt. (Compact Rang Property (CRP));

ii) Çdo martingale uniformisht e integrueshme ( )n nf , ,n funksionesh të

thjeshtë me vlera nga X, në S, , është st- Cauchy në P'(S, , ,X ) ;

52

iii) Çdo martingale e kufizuar uniformisht e integrueshme ( )n nf , ,n

funksionesh të thjeshtë me vlera nga X, në S, , është st- Cauchy në

P'(S, , ,X ) .

Vërtetim i ii Pranojmë se ka vend (i) dhe le të jetë ( )n nf , ,n martingale

uniformisht e integrueshme. Pa humbur përgjithësimin supozojmë se nn .

Le të jetë nn N: X

funksioni limit i martingales. Prej integrueshmërisë

uniforme rrjedh që është -e vazhdueshme me variacion të fundëm. Kështu, ekziston

një masë -e vazhdueshme : X me variacion të fundëm që është zgjerimi i

vetëm i në të gjithë . Nga supozimi është bashkësi kompakte e kushtëzuar

dhe kështu, nga pohimi 2.3.2, martingalja ( )n nf , ,n është st- Cauchy në

P' ,X .

ii iii Le të jetë ( )n nf , ,n martingale uniformisht e kufizuar funksionesh

me vlera në X në S, , dhe le të jetë M e tillë që për x X të dhënë dhe n N

mosbarazimi

nx f M x

Ka vend - statistikisht p.k. Atëherë, ne kemi për çdo E

nE

E sup st x f d : x B X M E

dhe kështu martingalja është uniformisht e integrueshme.

Po të aplikojme tani (ii) marrim vetinë e kërkuar të ( )n nf , ,n .

iii i Le të jetë : X masë e vazhdueshme me variacion të fundëm. Nga

një rezultat i Phillips ([35], Lema 5.4) mund të supozojmë që

E M E

për të gjitha E dhe M pozitive.

Kështu ( )n nf , ,n është martingale uniformisht e kufizuar funksionesh të thjeshtë.

Në qoftë se 1 2n n ... atëherë, nga supozimi, ( )

k kn nf , ,k është st-Cauchy në

P ,X , dhe kështu ( )n nf , ,n është st-Cauchy. Nga pohimi 2.3.2 funksioni limit

i ( )n nf , ,n është me rang relativisht kompakt sipas normës.

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

Përkufizim 2.5.3 X gëzon vetinë e dobët të Radon-Nikodym në qoftë se dhe vetëm në

qoftë se për çdo S, , të plotë dhe çdo masë të vazhdueshme : X me

variacion të fundëm ekziston f P'( S, , ,X ) , e tillë që

E

E st f d për çdo E .

53

Pohim 2.5.4 Në qoftë se X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym-it atëherë ajo ka

gjithashtu vetinë e rangut kompakt.

Vërtetim Le të jetë S, , hapësirë probabilitare dhe le të jetë : X masë

e vazhdueshme me variacion të fundëm. Pa humbur përgjithësimin ne mund të

supozojmë se është e plotë. Për më tepër, gjendet hapësira probabilitare e plotë

perfekte S, , e tillë që:

a) S S dhe S

b) E S E për çdo E

Ndërtojmë masën : X duke shënuar

E E S për çdo E .

Duket qartë se është -e vazhdueshme dhe .

Meqë X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym-it gjendet f P' S, , ,X , e tillë

që

E

E st f d për çdo E .

Kështu, rangu i është nënbashkësi e X relativisht kompakte sipas normës, atëherë

edhe rangu i është relativisht kompakt sipas normës po ashtu.

Teorema 2.5.5 Për hapësirën Banach X dhe hapësirën probabilitare S, , kushtet e

mëposhtme janë ekuivalente, nëse hapësira probabilitare S, , është e plotë:

i) X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym;

ii) Çdo martingale funksionesh të thjeshtë uniformisht e integrueshme

( )n nf , ,n e X në S, , është statistikisht konvergjente në P'(S, , ,X ) ;

iii) Çdo martingale funksionesh të thjeshtë të kufizuar uniformisht e integrueshme

( )n nf , ,n e X në S, , është statistikisht konvergjente në P'(S, , ,X ).

Vërtetim

i ii Le të jetë ( )n nf , ,n martingale uniformisht e integrueshme

funksionesh me vlera në X i përcaktuar në S, , . Ne duhet të tregojmë ekzistencën

e një funksioni f P'(S, , ,X ) i cili plotëson barazimin

0n

nst lim f f .

Nga pohimi 2.5.1 mund të pranojmë pa humbur gjë se është plotësimi i nn

në lidhje me tkurjen e tek nn .

Le të jetë nn N: X

funksioni limit i martingales. Prej integrueshmerisë

uniforme rrjedh që është -e vazhdueshme me variacion të kufizuar. Kështu,

ekziston një masë -e vazhdueshme : X me variacion të fundëm që është

zgjerimi i vetëm i në të gjithë . Nga pohimi (i) gjendet :f S X , i tillë që:

E

E st f d kur E .

54

Nga pohimi 2.5.4 E bashkësi relativisht kompakte sipas normës dhe kështu nga

pohimi 2.3.2 rrjedh që ( )n nf , ,n është statistikisht Cauchy (Koshi) në

P'(S, , ,X ) . Duke zbatuar tani teoremën e Doob dhe Helms për martingalen

( )n nx f , ,n , x X , marrim

0n

nst lim f f .

ii iii është rrjedhim i integrueshmërisë uniforme të çdo martingale uniformisht

të kufizuar.

iii i Le të jetë : X masë e vazhdueshme me variacion të fundëm. Pa

humbur përgjithësimin mund të supozojmë se

E M E

për të gjitha E .

Në këtë rast ( )n nf , ,n është martingale uniformisht e kufizuar funksionesh të

thjeshtë. Për më tepër nga supozimi rrjedh që, ( )n nf , ,n është st- Cauchy (Koshi)

në P' ,X .

Prej teoremës Radon-Nikodym-it ekziston një funksion dobësisht i matshëm

f : S X i tillë që

E

x E st x f d

për të gjitha E dhe x X .

Duket qartë tani që kushti st-Cauchy (Koshi) për martingalet dhe teorema e Doob and

Helms e zbatuar për nnx f , ,n N sjell relacionin

0n

nlimsup st x f f d : x B X

,

prej nga rrjedh se ekziston një varg 1 2n n ... i tillë që:

E Ek knst lim x f d st x f d x E

për të gjitha E dhe x X .

Meqënëse nga supozimi gjendet g P'(S, , ,X ) , e tillë që:

0k knlim f g

marrim barazimin

E

E st g d

për çdo E .

55

KAPITULLI 3

MARTINGALET ASIMPTOTIKE TË FUNKSIONEVE

STATISTIKISHT TË INTEGRUESHËM

Tashmë dihet që martingalja klasike është një nga proceset më të rëndësishme

stohastike dhe teoria e martingaleve është një mjet i nevojshëm në analizën stohastike

dhe zbatime të saj (për shembull në matematikën financiare). Me zhvillimin e teknikave

të stopping time-ve u bë e mundur gjenerimi i koncepteve të martingaleve. Rezultati i

kësaj përpjekjeje ishte edhe futja në përdorim e konceptit dhe studimi i detajuar i

martingaleve aimptotike (amartet). Studimi i amarteve është i rëndësishëm sepse nuk

është vetëm një zgjerim i teorisë së martingaleve, por gjithashtu përfshin shumë

teorema klasike të limitit. Ndër autorët që kanë studiuar amartet mund të përmendim

Chacon dhe Sucheston [28] me studimin e tyre mbi martingalet asimptotike të

funksioneve Bochner të integrueshëm si dhe Uhl [32], Egghe [33] me studimet mbi

martingalet asimptotike të funksioneve Pettis të integueshëm.

Në këtë kapitull kemi bërë shtrirjen e disa rezultateve të Chacon dhe Sucheston [28]

dhe Bellow [44] për martingalet asimptotike të funksioneve Bochner të integrueshëm

duke zëvendësuar këto funksione me funksione statistikisht Bochner të integrueshëm,

fillimisht duke shqyrtuar disa nga vetitë e amarteve, e më pas, duke shqytuar

konvergjencën e tyre statistikore pothuajse kudo.

3.1 Njohuri paraprake

Le të jetë , , hapësirë probabilitare. Shënojmë 1 2 3 , , ,... , 3 2 1 ... , ,

dhe le të jetë D shënimi për ose . Le të jetë n n D

F familje rritëse nën- -

algjebrash të F , dmth., në qoftë se n m , atëherë n mF F . Një stopping time i

vargut n n D

F është funksioni : i tillë që nn F për të gjitha

n D . Le të jetë DT T bashkësia e të gjithë stopping time-eve të kufizuara.

Le të jetë n Dnf

familje e adaptuar ndryshoresh rasti, :nf është n F i

matshëm për çdo n D . Për një stopping time , përcaktojmë ndryshoren e rastit f

si f f .

Përkufizim 3.1.1 Vargu n n Df

thuhet se është martingale asimptotike (amart) për

n n D

F në qoftë se dhe vetëm në qoftë se nst f për të gjitha n D dhe

T

st f

konvergjon.

56

Vëmë re që n n DX

është amart për vargun rritës n n D

F të algjebrave, atëherë

ai është gjithashtu amart për vargun rritës të algjebrave n n DG , në qoftë se nf

është i adaptuar në lidhje me n n DG dhe n n G F .

Lema 3.1.2 Le të jetë nf një varg ndryshoresh të tilla që T

sup st f , atëherë për

çdo numër pozitiv

1n

n T

sup f sup st f .

Vërtetim Le të jetë N një numër i plotë pozitiv i fiksuar dhe përcaktojmë T si vijon:

Në qoftë se n N , 1 1 0 0n nf ,..., f , f le të jetë n . Në qoftë se

1n

n N

sup f

, shënojme N . Le të jetë 1

N nn N

A sup f

, për të cilën kemi

N

NAT

sup st f st f st f A .

Tani mjafton të kalojmë në limit kur N dhe marrim mosbarazimin e kërkuar.

Lema 3.1.3 Le të jetë n n Df

një amart për

n n DF . Atëherë

Tst f

është st- i

kufizuar.

Vërtetim Do të provojmë vetëm rastin D ; rasti tjetër provohet njësoj. Meqënëse

T

st f

konvergjon, gjendet N , e tillë që

1Nst f st f për të gjitha N .

Në qoftë se është ndonjë stopping time e kufizuar, atëherë

1

N nn N

st f max f

dhe 1N Nf f ,

kështu:

1

1N N N nn N

st X f f f max f

.

Prandaj T

sup f .

Është e qartë se kombinimi linear i amarteve është amart. Tani do të tregojmë që dhe

maksimumi dhe minimumi janë po ashtu amarte.

Pohim 3.1.4 Le të jenë n n Df

dhe n n D

g

vargje të adaptuar në lidhje me n n DF .

Në qoftë se D , supozojmë për më tepër që ata janë 1L -të kufizuar.

57

Atëherë

(a) Në qoftë se T

st f

dhe T

st g

janë të kufizuar nga sipër (poshtë)

atëherë edhe T

st f g

dhe T

st f g

janë të kufizuara nga

sipër (poshtë).

(b) Në qoftë se nn D

st f

dhe nn D

st g

janë amarte atëherë edhe

n nn D

st f g

dhe n nn D

st f g

janë amarte.

Vërtetim

(a) Ne do të tregojmë vetëm një nga supozimet, supozimi tjetër rrjedh për simetri.

Le të jenë T

st f

dhe T

st g

të kufizuar nga sipër dhe le të jetë T .

Zgjedhim n D , n ( në qoftë se D , zgjedhim 1n ). Shënojmë , ' T

me

0

0

nqs f

n nqs f

,

0

0

' nqs g

n nqs g .

Atëherë

0 0

0 0n n

X YT

n ' nX Y

T D n T D n

st f g f g

f f g g

sup f sup f sup g sup g

Kështu, Tsup st f g .

(b) Le të tregojmë tani se n nf g është amart. Njësoj do të tregohet që n nf g është

amart.

Shënojmë n n nZ f g . Nga lema 3.1.3 st f dhe st g janë të kufizuar. Nga

pika (a), T

st Z

është e kufizuar. Le të jetë dhënë 0 . Ne mund të zgjedhim

0 T të tillë që, në qoftë se 0, , atëherë

f f , g g . (1.1)

Meqënëse st Z është e kufizuar, mund të zgjedhim 1 0 të tillë që, në qoftë se

0 , atëherë

1st Z st Z . (1.2)

58

Tani për ndonjë stopping time të kufizuar 1 , Le të jetë 1 1

A f g dhe

përcaktojmë 1 T me

1 1 në

në

c

A

A .

Atëherë

1 1 1cA Af Z f (1.3)

1 1cA Af f f . (1.4)

Zbresim barazimin (1.4) nga (1.3), dhe duke përdorur mosbarazimin (1.1) kemi që:

1 1 1c c

c

A A

A

Z f f f

Z .

(1.5)

Përsëri

1 1 1cA Ag Z g (1.3’)

1 1cA Ag g g . (1.4’)

Zbresim barazimin (1.4’) nga (1.3’), dhe duke përdorur mosbarazimin (1.1) kemi që:

1 1 1A A

A

Z g g g

Z .

(1.5’)

Duke kombinuar tani mosbarazimet (1.5) dhe (1.5’), kemi

12Z Z .

Nga ky mosbarazim dhe nga (1.2) kemi

12Z Z .

Kjo sjell që T

st Z

është st-Cauchy (Koshi), pra konvergjent.

Rrjedhim 3.1.5 Le të jetë n n Df

amart për n n D

F . Në qoftë se D , supozojmë

gjithashtu që nsup f . Atëherë

a) 0n n n nf , f , f , f janë amarte 1L - të kufizuara për n n D

F ;

b) Tsup st f ;

c) nsup f , p.k.

59

Vërtetim

(a) nf dhe nf janë amarte, kështu nga pohimi i mësipërm 3.1.4,

n n nf f f është amart. Në qoftë se ng për të gjitha n, atëherë ng

është amart 1L - i kufizuar, kështu 0 0n n n nf f , f f dhe nf

janë amarte 1L - të kufizuara.

(b) Nga pika (a), nf është amart 1L - i kufizuar, kështu nga lema 3.1.3

Tsup st f .

(c) Nga pika (b) dhe lemma 3.1.2 kemi që nsup f , p.k.

Pohim 3.1.6 Le të jetë n n Df

amart për familjen rritëse n n D

F të algjebrave.

Le të jetë n n DG një tjetër familje rritëse e algjebrave me n nG F për të gjitha

n D . Atëherë |n n ng E f G është amart për n n DG .

Vërtetim Çdo stopping time e n n DG është gjithashtu stopping time e n n D

F dhe

st f st g .

Pohim 3.1.7 Le të jetë n nf

nje amart për n n

F dhe le të jetë k k një

varg jozbritës stopping times të kufizuara për nF . Shënojmë kkg f dhe

për të gjithakk nA : A n n G F F F .

Atëherë k kg

është një amart për k k

G .

Vërtetim algjebra kG është e përcaktuar, kështu që kg është kG -e matshme

dhe në qoftë se është stopping time për kG , atëherë është stopping time për

kF . Për 0 të dhënë, zgjedhim N të tillë që

'f f

për të gjitha stopping time-et e kufizuara , ' për nF me , ' N .

Shënojmë kk

st lim

; është stopping time për nF .

Tani kemi se

k N Nf f kur k dhe

kk Nsup f ,

kështu nga teorema e konvergjencës së dominuar (teorema 1.3.3) vargu k k

Nf

është amart.

60

Zgjedhim K , të tillë që

'N Nf f

për të gjitha stopping time-et e kufizuara , ' për kG me , ' K .

Le të jenë , ' K ; ', janë stopping time për nF , kështu

2' '' N N N Ng g f f f f

.

Le të shohim tani se çdo martingale është amart.

Vargu i adaptuar n n Df

quhet martingale në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

nst f për të gjitha ën t dhe

|n m mE(f ) fF për të gjitha n,m D me n m .

Në veçanti n mst f st f . Në qoftë se T , zgjedhim n D me n , atëherë

k n n{ k} { k}

k k

st f f f st f

.

Kështu st f është konstant. Prandaj çdo martingale është amart.

3.2 Teorema konvergjence për martingalet asimptotike

Le të shohim në këtë çështje disa teorema në lidhje me martingalet asimptotike

(amartet). Shënimet n n DD, ,T

F do të jenë njësoj si në çështjen e parë. Në qoftë se

D , ne do të përdorim shënimin F për algjebrën e gjeneruar nga nnF ;

në qoftë se D , ne do të shkruajmë n

n

F F . Këtë çështje do ta fillojmë me

një lemë.

Lema 3.2.1 a) Le të jetë D , dhe le të jetë g ndryshore rasti F e matshme e

tillë që për çdo , numri g është pikë limite e vargut n nf

. Gjendet

k T k , me 1k k dhe k k , e tillë që kk

lim f g

statistikisht pothuajse

kudo.

b) Le të jetë D , dhe le të jetë g një ndyshore rasti F e

matshme e tillë që për çdo , numri g është pikë limite e vargut n nf .

Gjendet k T k , me 1k k dhe k k , e tillë që

kklim f g

statistikisht

pothuajse kudo.

61

Vërtetim Për ndonjë N D dhe 0 të dhënë, ndërtojmë një stopping time T

me përN N D , të tillë që

1f g .

Duke zbatuar induktivisht këtë argumentim marrim një varg k k D të tillë që

kf g

sipas masës dhe, duke marrë një nënvarg i cili konvergjon p.k., përfundon dhe

vërtetimin e teoremës.

Le të fillojmë të provojmë a). Le të jetë N dhe 0 të dhënë. Meqënëse g është

F -i matshëm gjendet N' N dhe ndryshorja g' e cila është N' F -e matshme e tillë

që

12 2

g g'

.

Meqënëse g është pikë limite e n nf

për të gjitha , rrjedh që

për ndonjë 12 2

n: f g' n N'

.

Prandaj, gjendet N" N' e tillë që 12

A

, ku

për ndonjë me2

nA : f g' n N' n N"

.

Përcaktojmë : me

2

nmin n : N' n N" dhe f g' nqs A

N" nqs A

Atëherë T dhe 1f g .

Tani do të provojmë pikën b) të lemës. Le të jenë N dhe 0 të dhëna.

Meqënëse g është një pikë limite e vargut n nf

për të gjitha , rrjedh që

për ndonjën: f g n N ,

prandaj, gjendet N' N e tillë që 1A , ku

për ndonjë menA : f g n N' n N .

Përcaktojmë : si më poshtë

nmin n : N' n N dhe f g nqs A

N nqs A

62

Atëherë T (meqë g është n F i matshëm për të gjitha n) dhe plotëson vetinë e

kërkuar

1f g .

Pohim 3.2.2 Le të jetë n n Df

varg ndryshoresh të matshme i tillë që

D nst sup f . Atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:

a) nf konvergjon st-p.k.;

b) nf është amart.

Vërtetim Supozojmë se nf konvergjon statistikisht pothuajse kudo tek g . Në qoftë

se n T dhe n , atëherë

nf g statistikisht pothuajse kudo,

kështu nga teorema e konvergjencës së dominuar ne kemi

nst f st g statistikisht p.k.

Kështu st f konvergjon statistikisht tek st g .

Anasjellas, supozojmë se nf është amart. Le të jenë nf lim sup f , nf lim inf f

nga lema 3.2.1 gjenden vargjet

n n, T me n , n

dhe

nf f

, n

f f st-p.k..

Nga teorema e konvergjencës së dominuar (teorema 1.3.3) kemi

0n nnf f st lim f f

, kështu f f

p.k,

prej nga rrjedh se nf konvergjon statistikisht p.k..

Teorema 3.2.3 Le të jetë n n Df

një amart. Në qoftë se D , supozojmë gjithashtu

që nsup st f . Atëherë n n D

f

konvergjon st-p.k.

Vërtetim Nga pika (c) e rrjedhimit 3.1.5 ne kemi që nsup f st-p.k. Prandaj në

qoftë se 0 është e madhe, atëherë nsup f ka arbitrarisht masë të vogël. Tani

nga pika (a) e rrjedhimit 3.1.5 vargu n n Df

është amart. Nga pohimi 3.2.2

vargu nf konvergjon st-p.k..

63

Meqënëse

për të gjithan nf f n

ka masë arbitrarisht afër 1, ne kemi që nf konvergjon st-p.k.

Lema 3.2.4 Le të jetë n nf

amart, një stopping time. Atëherë nn

f f

është

amart.

Vërtetim Zbatojmë pohimin 3.1.4 me n n . Në këtë rast është e lehtë të shihet që

n n F F , n dhe ( nnf ,

F ) është amart.

Përkufizim 3.2.5 Vargu i ndryshoreve n nf

është i parashikueshëm (për vargun

n n DF të algjebrave ) në qoftë se dhe vetëm në qoftë se nf është i matshëm në

lidhje me 1nF për të gjitha ën t .

Teorema 3.2.6 Le të jetë n nf

amart i parashikueshëm. Atëherë gjendet një

bashkësi G e tillë që nf konvergjon st-p.k. në G dhe nlim sup f ,

nlim inf f në Gc.

Vërtetim Le të jetë dhënë 0 . Le të jetë nG sup f . Përcaktojmë një

stopping time si në vijim:

1 1

për

me i vogli nr i tillë që përk k

G

.k f ,..., f , f G

Meqënëse nf është i parashikueshëm dhe stopping time nga lema 3.2.4, n nf̂ f

është amart. Gjithashtu nf̂ kështu nˆsup st f prej nga nf konvergjon

statistikisht pothuajse kudo. Tani n nˆf f për të gjitha n në bashkësinë

nG sup f , kështu nf konvergjon statistikisht p.k. në G . Pra nf konvergjon

statistikisht p.k. në

n nG sup f limsup f .

Njësoj tregohet se nf konvergjon statistikisht p.k. në bashkësinë

nlim inf f .

Le të jetë n nG limsup f lim inf f .

Teorema 3.2.7 Le të jetë n nf

amart. Le të jetë k varg rritës i kufizuar stopping

times me k k k .

64

Supozojmë që

1k kk

st sup f f

.

Atëherë gjendet një bashkësi G e tillë që nX konvergjon statistikisht pothuajse

kudo në G dhe

nlim sup f , nlim inf f në cG .

Vërtetim Le të jetë dhënë 0 . Përcaktojmë stopping time-et dhe ' si në vijim:

në qoftë se k është numri i plotë më i vogël i tillë që kf atëherë ;k' k , në

qoftë se kf për të gjitha k atëherë ' . Përcaktojmë stopping time n' me

në

në

n' n n '

n '

dhe le të jetë nn 'f f

. Në qoftë se ' n , atëherë n , kështu n' është e kufizuar.

Nga pohimi 3.1.4 nf

është amart. Tani në qoftë se n ' , atëherë n

f ,

dhe në

qoftë se n ' , atëherë knf f

ku k ' , dhe 1kf . Kështu, në secilin rast

1k knk

f sup f f

,

prej nga rrjedh se

nsup f

.

Nga teorema 3.2.3 nf konvergjon statistikisht p.k. Tani nnf f

për të gjitha ën t në

bashkësinë

nG sup f ,

kështu nf konvergjon st-p.k. në G . Prandaj nf konvergjon statistikisht pothuajse

kudo në

n nG sup f limsup f .

Njëlloj nf konvergjon statistikisht p.k. në nlim inf f .

Teorema 3.2.8 Supozojmë se D . Le të jetë n nf

varg i adaptuar

ndryshoresh rasti, të tilla që T

st f

të jetë i kufizuar. Atëherë T

f është

uniformisht i integrueshëm.

65

Vërtetim Nga pohimi 3.1.3 T

st f

është i kufizuar. Le të jetë dhënë 0 .

Zgjedhim 0 T të tillë që për të gjitha T ,

0st f st f .

Le të jetë N e tillë që 0N , nga lema 3.1.2 gjendet 0 e tillë që

nn N n

sup fmax f .

Le të jetë një stopping time e kufizuar N . Le të jetë A f dhe përcaktojmë

1

0

në

në c

A

A .

Atëherë

1 0 02

A Ast f f f f .

Në qoftë se është një stopping time e kufizuar, kemi N N , dhe

3

n n Nn N n N

f sup f ff sup f f .

Kështu T

f është uniformisht i integrueshëm.

3.3 Amartet e funksioneve st-Bochner të integrueshëm

Në këtë çështje do të shqyrtojmë disa teorema në lidhje me martingalet asimptotike të

funksioneve st-Bochner të integrueshëm në hapësirën e Banach. Le të jetë E një

hapësirë e Banach.

Teorema 3.3.1 Në qoftë se m E , nf statistikisht të integrueshëm në E, dhe për

çdo bashkësi të matshme F E , Fn

nlim f ekziston dhe është e fundme, atëherë

nst f janë uniformisht absolutisht të vazhdushme.

Vërtetim Supozojmë se integralet nuk janë uniformisht absolutisht të vazhdueshëm.

Atëherë ekziston 0 e tillë që për çdo N dhe 0 gjendet një bashkësi e

matshme Z me m Z dhe 0n N me

0Znst f .

Duke marrë në konsideratë bashkësitë ku 0

0nf dhe

00nf

, për çdo N marrim

një bashkësi M me m M dhe 0n N me

0Mnst f .

66

Hapi 1. Do të tregojmë se gjendet një varg bashkësish dy e nga dy jo prerëse M dhe

një varg rritës numrash të plotë n të tilla që

2Mnst f

për të gjitha .

Fillimisht zgjedhim një nënbashkësi 1Z të E dhe 1n të tillë që

11 2Z

nst f

.

Vëmë re se ekziston 0 mjaftueshëm e vogël, e tillë që, në qoftë se 1Z' Z me

m Z' , atëherë përseri kemi

11 \ 2Z Z'

nst f

.

Nga supozimi ynë marrim tani 2 1n n dhe një bashkësi 2Z me 2m Z , por

22 2Z

nst f

. Meqënëse 2 1m Z Z , ne kemi

11 2 1\ 2Z Z Z

nst f

dhe

22 2Z

nst f

.

Në të njëjtën mënyrë marrim 3 2n n dhe një bashkësi 3Z me masë mjaft të vogël dhe

11 1 2 3\Z 2Z Z Z

nst f

,

22 3 2\ 2Z Z Z

nst f

,

33 2Z

nst f

.

Duke vazhduar në këtë mënyrë përftojmë një varg rigorozisht rritës n dhe bashkësitë

Z të tilla që

11 1 2\Z 2Z Z ... Z

nst f

,

22 2 3\ 2Z Z Z ... Z

nst f

,…,

2Znst f

.

Shënojmë:

.………………………

.

janë dy e nga dy jo prerëse dhe për të gjitha , duke plotësuar

kështu vërtetimin e hapit të parë.

1 1 1 2\ jj

M Z Z Z

2 2 2 3\ jj

M Z Z Z

1\ jj

M Z Z Z

M 2M

nst f

67

Hapi 2. Dihet se për çdo bashkësi të matshme , ekziston dhe është i

fundëm. Duke u mbështetur në hapin e parë do të tregojmë se nuk

ekziston për ndonjë , gjë që do të plotësojë vërtetimin e teoremës. Le të jenë

dhe si në hapin e parë, shënojmë dhe në mënyrë që . Nga

vazhdueshmëria absolute e , gjendet e tillë që në qoftë se (Z) ,m 1

atëherë . Meqënëse ekziston (dhe është i fundëm),

gjendet e tillë që

në qoftë se dhe .

Duke qenë se ekziston , e tillë që, në qoftë se , atëherë

.

Meqënëse bashkësitë janë nënbashkësi të matshme joprerëse të E, dhe

ekziston e tillë që dhe ( )m M

21 . Shënojmë .

Duke qenë se ekziston , e tillë që në qoftë se , atëherë

Znst f

2 12.

Meqënëse ekziston, gjendet e tillë që

në qoftë se dhe .

Sërish ekziston , e tillë që, në qoftë se , atëherë

dhe ekziston e tillë që dhe .

Shënojmë .

MMn

nst lim f

Mnnst lim f

M 1M

1n 1 1G M 1 1 1 1n n

1nst f 1 0

1 12Znst f

1Gnnst lim f

1 1N n

1 1 12G G

n n'st f st f

1n N 1n' N

1 1 10 1m Z

1 12N

Zst f

M m E

2 2 1n N 1 22G M M

2 2 10 2m Z

2Gnnst lim f

22N n

2 2 12G G

n n'st f st f

2n N 2n' N

2 2 20 2m Z

2 12N

Zst f

3 3 2n N 3

2m M

1 2 33G M M M

68

Duke vazhduar në këtë mënyrë marrim dy vargje numrash të plotë pozitiv dhe

me

(I) ,

e dy vargje numrash pozitive dhe me

(II)

që kanë vetitë

(III) ,

ku janë si në hapin e parë;

(IV) në qoftë se ,

(V) në qoftë se .

Për më tepër në qoftë se , atëherë

(VI) në qoftë se dhe .

Kujtojmë nga hapi i parë që

(VII) për të gjitha .

Shënojmë dhe , tani kemi

(VIII)

Nga (VI) . Meqënëse

, nga (V) ;

dhe meqënëse

nga (IV) .

jn

jN

1 21 2 i in N n N ... n N ...

j j

1 1 2 2 i i... ...

1i

i im M

M

12in

Zst f

im Z

12iNZ

st f

im Z

1 j

i

i jG M

12i iG Gn n'f f

in N in' N

2ii

Mnst f

i

1 iiM M

\i iR M G

1i iM MnNf f

1 11 1 1

1 11 1 1

i ii i ii i i i

i ii i ii i i i

i

i

G G R M R

M G G R R

n n nN N

n n nN N

f f f f f

f f f f f

11 1 12i ii iG G

nNf f

1 1i im R 1

1 12iiR Nf

i im R 12iiR

nf

69

Këto pohime së bashku me (VII) dhe (VIII) sjellin se

për të gjitha .

Kështu nuk mund të ketë limit të fundëm kur , gjë që kundërshton

hipotezën pra mbetet që teorema është e vërtetë.

Teorema 3.3.2 (Vitali-Hahn-Saks) Le të jetë hapësirë e matshme dhe

varg i vazhdueshëm funksionesh aditiv me vlera skalare ose vektoriale në . Në

qoftë se ekziston për çdo E nga atëherë

uniformisht për n=1,2,….

Vërtetim Nga teorema 3.3.1, është e vazhdueshme në dhe kështu për çdo

bashkësitë

,

,

janë të mbyllura në hapësirën metrike . Meqënëse ekziston për çdo

E nga , ne kemi . Tani nga teorema I.6.9 [3] kemi që njëra nga

bashkësitë ka një pikë të brendshme. Kështu ekziston një numër i plotë , një

numër pozitiv dhe një bashkësi e tillë që

,

për çdo bashkësi E në sferën

Le të zgjedhim të tillë që për çdo me

kështu që bashkësitë janë të dyja në . Atëherë

tregon që për të gjitha .

Rrjedhim 3.3.3 Le të jetë hapësirë e matshme dhe varg i

vazhdueshëm funksionesh aditiv me vlera skalare ose vektoriale në .

1 2 12 12 12 4i iM MnNf f

i

Mnf n

S, , n

nn

st lim E

0

0n,E

lim E

n

0

| 1 2n,m n mE E , E E , n,m , ,...

1 2p n,m

n,m p

, p , ,...

nn

st lim E

1 pp

p k

n A

n mE E , n,m k

|K E E , ,A E r

0 r 1 2n B , n , ,...,k B

,B A B, A B K

n k n k

k n k n k

B B B B

B A B A B A B A B ,

3n B 1 2n , ,...

S, , n

70

Në qoftë se ekziston për çdo E nga dhe variacion total

atëherë funksioni

është aditiv i numërueshëm në .

Vërtetim Aditiviteti i rrjedh nga aditiviteti i dhe për të treguar që është aditiv i

numërueshëm mjafton të tregojmë që për çdo varg zbritës me

prerje boshe. Meqënëse rrjedh që, për vargje të tillë,

dhe kështu, nga teorema, për çdo ekziston një numër i tillë që

Si përfundim

.

Lema 3.3.4 Le të jetë një varg ndryshoresh të tilla që , atëherë

për çdo numër pozitiv

.

Vërtetim vërtetimi është i njëjtë si te lema 3.1.2.

Lema 3.3.5 Le të jetë k numër pozitiv i fiksuar, . Në qoftë se ekziston

, atëherë konvergjon statistikisht.

Vërtetim Për të dhënë gjendet një numër i tillë që në qoftë se

atëherë

.

Tani për të dhëna përcaktojmë si më poshtë. Le të jetë një numër

dhe shënojmë

në A,

në A,

në .

nn

st lim E ,S

nn

E st lim E

n

0mE mE

1m k k

k m

,E ,E E

0m,E 0 m

1 2n mE , m m , n , ,...

mE , m m

nf T

sup st f a

1n

n T

P sup f a sup st fa

kA F

Tst lim f z A

Tst f

0 N k1 1 N, T

1 1f f

N, T 1 1, 1N

1 1max ,

1

1

1 1 1N cA

71

Atëherë kemi

, për ;

.

Kështu është stopping time. Njëlloj tregohet që edhe është stopping time. Atëherë

kemi

,

gjë e cila përfundon vërtetimin e lemës.

Teorema 3.3.6 Supozojmë që E është hapësirë Banach me dual separabël dhe me vetinë

e Radon-Nikodym-it. Në qoftë se është martingale asimptotike me vlera në E, e

tillë që

, (*)

Atëherë nf konvergjon statistikisht pothuajse kudo në topologjinë e dobët të E.

Vërtetim Mbështetur në lemat 3.3.4 dhe 3.3.5 problemi i konvergjencës së amarteve

që plotësojnë kushtin (*) kthehet në problemin e konvergjencës së amarteve që

plotësojnë kushtin .

Le të jetë një konstante pozitive. Përcaktojmë një stopping time si më poshtë

për të gjitha , përndryshe është e parë që .

Le të jetë , atëherë .

Vërtet në . Në , kështu

nga lema Fatou (lema 1.2.4) dhe nga fakti se inferiori i dy stopping time-eve është

stopping time. Qartësisht në A, kështu .

Meqënëse

,

kështu është amart.

1 1 1N N 1 nn n A F1n [ N,N )

11 1

c

k NN A F F

1 1

1 1A Af f f f

nf

T

sup st f

1nn

sup f L'

a

nnqs f a n n nf a

nn

g sup f st g

st g a A nf f

n nA A An n T

st f liminf st f liminf st f sup st f M

nf f st g a M

' ' ' 'st f f st f f

nf

72

Nga lema 3.3.4, përputhet me me përjashtim të ndonjë bashkësie masa e

të cilës është e vogël, në qoftë se është e madhe. Kështu, ne mund të pranojmë pa

humbur përgjithësimin se vetë është e tillë që .

Përcaktojmë tani një varg të përgjithësuar masash me vlerë në E , me

.

Nga lema 3.3.5 ekziston për çdo . Në qoftë se

atëherë për çdo ekziston një bashkësi , e tillë që

. Meqënëse për të gjitha ,

,

kjo sjell që

ekziston për çdo AF . Qartësisht është masë aditive e fundme me variacion të

fundëm. Duke zbatuar teoremën Vitali-Hahn-Saks, rrjedhimin 3.3.3 dhe vetinë e

Radon-Nikodym-it për E, marim që ekziston një ndryshore rasti f e tillë që

, . ( )

Le të jetë hapësira duale e E, dhe le të jetë një varg i dendur në

rruzullin njësi të . Fiksojmë i; duke zbatuar të kemi

.

Kështu, nga pohimi 3.2.2. ekziston pothuajse kudo dhe nga barazimi i

mësipërm limiti është statistikisht pothuajse kudo themi se

me përjashtim të një bashkësie nul i . Ky argumentim vlen për çdo i; kështu nf

konvergjon dobët f jashtë bashkësisë nul . Vërtet, sjell që

është i kufizuar në n për çdo jashtë një bashkësie me masë të vogël. Ky përfundim

provon teoremën.

Le të jetë E hapësirë Banach me normë , B(E) rruzulli njësi i saj dhe E* duali i saj.

nf nf

a

nf 1nn

sup f g L'

T

A

A st f , A F

T

st lim A A nnA F

AF 0 nnA' F P A A'

f g

A A'f f g

T

A st lim A

A ATlim f dP st f dP AF

E 1 2ix ,i , ,...

Eix

i iA AT

lim x f st x f , A F

i nn

lim x f

ix f

i n i nn

lim x f x f

i1n

n

sup f L' nf

73

Le të jetë një hapësirë probabilitare dhe një familje nën- -

algjebrash të e tillë që në qoftë se . Për më tepër, pa humbur

përgjithësimin, ne do të pranojmë që F është plotësim i .

Pohimi në vijim është një zgjerim tek amartet e funsioneve st-Bochner të integrueshëm

i një rezultati të njohur për amartet e funksioneve Bochner të integrueshëm.

Pohim 3.3.7 Le të jetë amart. Atëherë familja konvergjon

statistikisht tek limiti për çdo dhe konvergjenca

është uniforme në në kuptimin që për çdo gjendet e tillë që në

qoftë se dhe , atëherë

.

Vërtetim Le të jetë amart. Meqënëse familja konvergjon,

për çdo të fiksuar gjendet të tilla që , atëherë

(1).

Tani fiksojmë . Le të jetë A F . Zgjedhim një numër natyror e

tillë që dhe përcaktojmë

,

Atëherë janë stopping times dhe . Për më tëpër,

,

kështu nga (1) ne marrim

. (2)

Le të jetë , atëherë për ndonjë . Tani është përcaktuar

për të gjitha dhe është st-Cauchy në E. Vërtet, në qoftë se

dhe

nga (2) ne marrim

.

( , , ) F ( )n n NF

F m nF F m n

( )nnF

n n nf ,

F A

A nT nA F F F

F 0 0 T

T0

për të gjithaE

A A , A F

n n nf ,

F

Tst f

0 0 T 0 T

2Ef f

0 n

n

1

në

në

A,

n \ A.

1

në

në

A,

n \ A.

1 1, 1 1 0

1 1A A

A A f f f f

për të gjitha2E

A A , A

F

A FmAF m A

m m

A

0 m 0 m

0 0m mE E E

A A A A A A

74

Kështu, limiti ekziston në E për të gjitha A F , atëherë mund të marrim

limitin në (2).

Për teoremën në vijim do pranojmë që [ , ) 0 1 , F - -algjebra e bashkësive të

Borelit, masa e Lebesgue, dhe për çdo .

Lema e mëposhtme është një formë e dobët e lemës Dvorotezky-Rogers të cilën do ta

përdorim në vërtetimin e teoremës në vijim.

Lema 3.3.8 (Dvorotezky-Rogers). Le të jetë E hapësirë Banach me dimension të

pafundëm. Le të jenë dhënë numrat positive . Atëherë ekzistojnë

vektoret e ndryshëm me për të tillë që, në qoftë se

është shuma mbi një nënbashkësi të , atëherë

. (1)

Nisur nga një rezultat i Bellow-t [44] për martingalet asimptotike të funksioneve

Bochner të integrueshëm ne jemi munduar të provojmë se ky rezultat mund të shtrihet

edhe për martingalet asimptotike të funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.

Teorema 3.3.9 Për hapësirën Banach E pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:

1) E është me dimension të fundëm;

2) Çdo martingale asimptotike me vlera në E, e tillë që

, konvergjon statistikisht pothuajse kudo fortësisht;

3) Çdo martingale asimptotike me vlera në E, e tillë që për

çdo dhe konvergjon statistikisht pothuajse kudo fortësisht.

Vërtetim Le të jetë një bazë për E. Atëherë mund të shkruajmë

për çdo dhe

.

Tregohet lehtësisht se për çdo , është martingale asimptotike me

vlera reale me . Qartësisht konvergjenca e fortë pothuajse kudo

e është ekuivalente me konvergjencën sipas kordinatave dhe kjo rrjedh prej

rastit real.

është triviale.

Supozojmë që E është me dimension të pafundëm. Ndërtojmë një martingale

asimptotike me vlera në E, me për çdo dhe , e cila nuk

mund të konvergjojë fortësisht pothuajse kudo.

A

P 1n nf ,..., f F n

1 0 0n,...,

1 ne ,...,e E 1ie 1i ,...,n '

1,...,n

2 23i i i' e '

n nf

Tsup st f n n

f

1nf

n

1 2 1 ru ,...,u

n

1

1

r

n n n rf f u ... f u

1 j r j

n nf

j

n nsup st f n n

f

2 3

3 1

n nf

1nf n

75

Për çdo numër , le të jetë , një ndarje e rendit e ,

domethënë

, .

Zbatojmë tani Lemën Dvoretzky-Rogers tek për . Atëherë gjenden

vektorët njësi të ndryshëm , në E, të tillë që mosbarazimi ((1) i lemës

3.3.8) plotësohet. Përcaktojmë tani

, për .

Atëherë është algjebra e gjeneruar prej .

Le te tregojmë tani se kur

. (1)

Që sjell sigurisht se është martingale asimptotike. Për këtë le të jetë .NA0

F

Marrim , atëherë gjendet ndonjë numër K i tillë që

,

dhe kështu

(n)

(n) (n) (n)

{ n} A' ' .

j

K K

j j jAAn N j n N j

st f st e P A e

0 0

1

Nga lemma Dvoretzky-Rogers, kemi për çdo

Pra,

për mjaft të mëdha. Kështu (1) u vërtetua.

1n n

iA 1 2ni n 0 1,

1

2 2

n

i n n

i iA ,

1 2ni

1

2

n

i n 1 2ni

1 2

n n

ie , i

2

1

1

n

ni

n

n i

iA

f e

1n nf ,..., f F 1 2n n

iA , i

0nn A TA st f F

n nf

0T , N

0N n K n

j njn A ' A

0N n K

12

12

12

2

3

1 3 33

2 2 2

n n n

j j j

j j

n

j nn nnj

'P A e 'P A

'P A P

0 0

13

2

K Kn n

j j nAn N j n N

st f 'P A e

0N

76

Në veçanti, për çdo , kemi

.

Meqë nf 1 për çdo dhe , rrjedh që

0n nn AA f

F F . (2)

Supozojmë tani që martingalja asimptotike konvergjon statistikisht fortësisht

pothuajse kudo:

lim fortësisht pothuajse kudo përn

nst f f . (3)

Nga teorema e konvergjencës së dominuar të Lebesgue, (3) rrjedh se

(4)

Nga (2) dhe (4) kemi .

Por kjo bie në kundërshtim me (3), meqë për çdo dhe . Kjo

përfundon vërtetimin e teoremës.

nnA

F

0nA

st f

n

n nf

për çdo nA A

st f st f A F

puthuajse kudo përA

st f

1nf n

77

Përfundime

Së pari, është gjetur një zbatim i rëndësishëm i konvergjencës statistikore. Është

konstruktuar për herë të parë konvergjenca statistikore e martingaleve.

Së dyti, në këtë punim është arritur të shtrihen me sukses disa teorema të

konvergjencës së martingaleve kryesisht me vlera në hapësirën e Banach nga

konvergjenca e zakonshme e martingaleve në një konvergjencë më të

përgjithëshme, siç është konvergjenca statistikore. Disa prej rezultateve që kemi

marrë janë:

Nëse një martingale konvergjon statistikisht sipas normës ajo konvergjon

statistikisht sipas pothuajse kudo.

Nëse një martingale konvergjon statistikisht ajo konvergjon statistikisht

pothuajse kudo.

Një martingale e mbyllur është statistikisht konvergjente sipas normës.

Së treti, ndërtohet një shembull i një funksioni statistikisht të integrueshëm sipas

Bochner i cili nuk është i integrueshëm sipas Bochner, provon mësëmiri se

ekzistenca e tyre ngjall edhe interesin e studimit të martingaleve të këtyre

funksioneve dhe për të hulumtuar teoremat e konvergjencës së tyre

Së katërti, tregohet me anë të një shembulli të ndertuar nga ne se ekzistojnë

funksione të cilët nuk janë Pettis të integrueshëm por janë statistikisht Pettis

integrueshëm.

Së pesti kemi ndërtuar një quasi pemë të pafundme, të cilat njihen për

potencialin e madh ekonomik që kanë, si shembull i një martingaleje që nuk

konvergjon në mënyrë të zakonshme por që konvergjon statistikisht.

Së fundmi, kemi hapur një drejtim të ri të studimeve të integraleve ku mund të

merren potencialisht rezultate të reja.

78

Literatura

[1] Burgin M., Duman, O., Statistical Convergence and Convergence in Statistics,

internet article

[2] Connor, J., Ganichev, M., and Kadets, V., “A characterization of Banach spaces

with separable duals via weak statistical convergence,” Journal of Mathematical

Analysis and Applications, vol. 244, no. 1, pp. 251–261, 1989.

[3] Dunford, N., and J. T. Schwartz: Linear operators, part I, Interseience, N.Y. (1958).

[4]Çaushi, A., Tato, A., A statistical integral of Bohner type on Banach space, Hikari

Ltd Appl. Math. Sci., Vol. 6, 2012,

no. 137-140, 6857-6870.

[5] Çaushi, A., Tato, A.,Pettis Integration via Statistical Convergence, Journal of

Advances in Mathematics Vol 3, No 2.p.159-167

[6] Diestel, J. and Uhl J. J. Jr., Vector measure, Math.Surveys no. 15. Providence (1977)

[7] D. Braho, A. Caushi, 2015, On the Statistical Convergence of Martingales, Hikari

Ltd Appl. Math. Sci., Vol. 9, no. 17, 821- 830.

[8] Braho, D., Donefski, E., Margo, L., 2015: A note on statistical convergence of

martingales, Third International Conference Research and Education in Natural

Sciences: Harmonization of Environment Research and Teaching with Sustainable

Policy, HERTSPO 2015, Vol I, pp. 151-157.

[9] Braho, D., Donefski, E., On the martingale statistical convergence and Radon-

Nikodym property, Global Journal of Mathematics, Vol. 6, 2016, No. 3, pp. 630-635.

[10] Fridy, A., “On statistical convergence,” Analysis, vol. 5, no. 4, pp. 301–313, 1985.

[11] Fridy, J. A., “Statistical limit points,” Proceedings of the American Mathematical

Society, vol. 118, no. 4, pp. 1187–1192, 1993.

[12] Fridy, J. A., Orhan, C., Statistical limit superior and limit inferior, Proc. Amer.

Math. Soc., 125, nr. 12(1997) 3625-3631.

[13] Gökhan, A., Güngör, M., On pointwise statistical convergence, Indian Journal of

pure and application mathematics, 33(9): 1379-1384, 2002.

[14] Halmos, P. R. 1950: Measure Theory. Van Nostrand, New York. 323 pp.

[15] E. Mourier, Elements aleatoires dans un espace de Banach, Gauthier-Villars, Paris,

1954.

[16] Kolk, E., The statistical convergence in Banach spaces, Acta et Comment. Univ.

Tartu., 928 (1991), 41-52.

[17] M. Frechet, Generalites sur les probabilites, elements aleatoires, Gauthier-Villars,

Paris, 1950.

[18] Braho, D. & Tato, A. “Martingales via statistical convergence” Journal of

Advances in Mathematics, Volume 12, no.7, 2016, pp.6402-6406.

79

[19] Marraffa, V., Convergence of Banach valued stochastic processes of Pettis and

McShane integrable functions, internet article.

[20] Marraffa, V. 2005: Stochastic processes of vector valued Pettis and McShane

integrable functions. Folia Mathematica, Vol. 12, No. 1, pp. 25–37.

[21] Miller, H. I. 1995: A measure theoretical sub sequence characterization of

statistical convergence. Trans. Amer. Math. Soc., 347, 1819-1881.

[22] Salat T., On statistically convergent sequences of real numbers. Math. Slovaca, 30.

No.2 (1980), 139-150

[23] Braho, D & Donefski, E. 2015: On the martingale statistical convergence. Aktet,

Journal of Institute Alb-Shkenca, Vol. 9, No. 1, 2016, pp. 46-49

[24] Tripathy, B.C., On statistically convergent and statistically bounded sequences,

Bull. Malaysian Math. Soc.(second series), 20, No. 1 (1997), 31-33.

[25] Tripathy, B.C., On statistically convergent sequence, Bulletin of the Calcutta

Mathematical Society, vol.90,nr.4. pp.259-262,1998

[26] Braho, D. & Tato, A. “Statistical Convergence of Banach Valued Martingales”

ISJ, JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol. 2, 2016, pp.71-75

[27] Uhl, J.J., Jr., Martingales of strongly measurable Pettis integrable functions, Trans.

of American Math. Soc., Vol. 167, 369-378, (1972).

[28] R. V. Chacon and L. Sucheston, On convergence of vector-valued asymptotic

martingales, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb., 33 (1975), 55-59.

[29] Zygmund, A., Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK

(1979).

[30] K.Musial, Martingales of Pettis Integrable Functions, Proc. Conf. Measure Theory,

Oberwolfach 1979, Lect. Notes in Math. 794, Springer Verlag, (1980), 324-339.

[31] S. D. Chatterji, Martingale convergence and the Radon-Nikodym theorem, Math.

Scand., 22 (1968), 21-44.

[32] J.J. Uhl. Jr., Pettis-mean-convergence of vector valued asymptotic martingales, Z.

Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete, 37 (1977), 291-295.

[33] L. Egghe, Convergence of adapted sequences of Pettis-integrable functions. Pacific

Journal of Mathematics. Vol. 114, No. 2, 1984.

[34] J. Hoffmann-Jorgensen, Vector measures, Math. Scand. 28(1971), 5-32.

[35] R.S. Phillips, On weakly compact subsets of a Banach space, Amer. J. Math.

66(1943), 108-136.

[36] S. D. Chatterji, Martingales of Banach-valued random variables, Bull. Amer. Math.

Soc. 66 (1960), 395-398.

[37] S. D. Chatterji, A note on the convergence of Banach space valued martingales,

Math. Ann. 153 (1964), 142-149.

80

[38] F. S. Scalora, Abstract martingale convergence theorems, Pacific J. Math. 11

(1961), 347-374.

[39] M. Motivier, Martingales à valeurs vectorielles. Applications à la dérivations des

mesures vectorielles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 17 (1967), fase. 2, 175-208.

[40] J. J. Uhl, Jr., Applications of Radon-Nikodym theorems to martingale

convergence, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 271-285.

[41] J. J. Uhl, Jr., The Radon-Nikodym theorem and the mean convergence of Banach

space valued martingales, Proc. Amer. Math. Soc. 21, 139-144.

[42] J. L. Doob, Stochastic processes, Wiley, New York; Chapman and Hall, London,

1953.

[43] A. Ionescu-Tulcea and C. Ionescu-Tulcea, Abstract ergodic theorems, Proc. Nat.

Acad. Sci. U.S. 48, 204-206 (1962)

[44] A.Bellow, On vector-valued asymptotic martingales, Proc. Natl. Acad. Sci. USA,

Vol. 73, No. 6, pp. 1798-1799, June 1976

[45] L.B. Duarte, Another look at the martingale theorem, Journal of mathematical

analysis and applications 23, 551-557 (1968)

[46] Shishebor, Z., Soltani, A. R., Sharifitabar M. and Sajjadnia, Z., Conditional

expectation of weak random elements. Iranian Journal of Science & Technology, IJST

(2012) A4: 461-467.