Riascos Clases 2,3.pptx

8/17/2019 Riascos Clases 2,3.pptx

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MODELADO EN POLITICA PUBLICA Y GESTION

Módulo de Estadística

Profesor: Javier Riascos O.


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Propiedades de laproailidad

1) 0≤ P ( A) ≤ 1, evento∀ A.

2) P ( A) = 0, si evento A no ocurre .

3) P ( A) = 1, si evento A siempre ocurre con certeza.

4) Si A1 , A2 , A3 , … son mutuamente excluyentes(i.e., P(Ai ∩ A j) = 0, para todo i ≠ j ), entonces

P ( A ∪ B ∪ C !) =∪ P ( A) " P ( B) " P (C )" #

$) Si A1 , A2 , A3 , … son mutuamente excluyentes y ex%austivos, i.e.,

entonces,

P ( A ∪ B ∪ C !) = 1∪


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I!depe!de!cia estadística

•

A" B" C" so! e#e!tos s$i!depe!die!tes si laproailidad de %ue ocurra! &u!tos es i'ual alproducto de las proailidades i!di#iduales(

&( A ' B ' C '!) = P ( A) P ( B) P (C )!

&roailidad conunta

de *, +, ,!

&( A , B, C, !)

&roailidades mar-inales o

individuales.


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$) Si dos enventos A, + no son mutuamente excluyentes entonces

P ( A ∪ B) = P ( A) " P ( B) P ( A,B)

Ejemplo 1

&roailidad de /ue una carta de una araa sea de corazones o sea

una reina

P (Carta sea de ♥ o Carta sea una reina) =

P (Carta sea de ♥ ) " P (Carta sea una reina) P (Carta sea la reina de ♥ ) =

12$ " 4$2 1$2 = 41


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Proailidad co!dicio!al

s la proailidad de /ue ocurra A saiendo /ue %a ocurrido B,

denotada como P ( A 3 B), y se lee

proailidad condicional de A, condicionada al evento B5 o

proailidad condicional de A, dado B

P ( A 3 B) = P ( A , B) P ( B)6 si P ( B)70

P ( B 3 A) = P ( A , B) P ( A)6 si P ( A)70

Ejemplo 2! 8ema de investi-aci9n en el doctorado (ner-:a,ducaci9n, Salud), entre %omres y mueres

;u


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)ariales aleatorias * sudistriució! de proailidad

>ariales aleatorias discretas

Función de masa de probabilidad (pmf):

Ejemplo!

"! #$%mero de &aras en dos lan'amientos de una moneda…

(iura)

ω &(ω) " &( " )

14 2 14

S 14 112

S 14 1

S S 14 0 14


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>ariales aleatorias continuas?a proailidad de una v. a. continua siempre est< en un intervalo

(no tiene sentido un valor @nico).

Función de densidad de probabilidad (pdf)

" es una pdA de la v.a. " si, para todo *1, *2 en R cumple

&ropiedades

1) Bepresenta el


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>ariales aleatorias continuas Ejemplo

" ( *) = *2C, 0 ≤ * ≤ . P (0D *D1) =

Función acumulada de probabilidad (CDF)

+ " ( *) = &( " ≤ *)

.a. dis&reta!

.a. &ontinua!


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PD+,s * CD+,s del !u-ero de caras ote!idas e! . la!/a-ie!tos de u!a-o!eda

N0-ero decaras 123 )alor de 2 PD+ )alor de 2 CD+

4 4 5 2 6 7 7879 2 5 4 7879

7 7 5 2 6 : .879 2 5 7 ;879: : 5 2 6 < 9879 2 5 : 77879

< < 5 2 6 . .879 2 5 < 7;879

. . 5 2 6 ; 7879 2 5 . 7

Ejemplo


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+UNCIONES DE P=OBABILIDADMULTI)A=IADA

Ejemplo Ena tienda vende impresoras y &Fs durante 200 d:as. Se

re-istra el n@mero de d:as (Arecuencia asoluta) en /ue se venden

determinado n@mero de &s (G) e impresoras (H).

1) Iallar la pmA y JK de la distribución de probabilidad conjunta. ",- ( *,) + ",- ( *,)

2) Iallar las distribuciones marginales.

" ( *) = L . ",- ( *,) - ( ) = L * ",- ( *,)

n el caso continuo


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Distriució! de proailidadco!dicio!al

Se reAiere a la pdA (pmA) o JK asociada a la proailidad condicional

de la v.a. " dada -, "/- ( *) , o de la v.a. - dada " , -/" ( ).


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Características de las distriucio!esde proailidad

1) >alor esperado µ " = E M " N. (&rimer momento)

Oide la tendencia promedio de la v.a.

2) >arianza ar M " N. (Se-undo momento central)

Oide la dispersi9n de la distriuci9n de la v.a.


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) Jesviaci9n est


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Q) oeAiciente de correlaci9n

ρ = cov( " ,- )σ " σ -

Propiedades!

14 ρ 4 1

R s adimensional

R Si dos v.aFs son sPindependent, su covarianza (y su coeA. de

correlaci9n) es cero. l inverso no es verdadero necesariamente(e. relaci9n no lineal).

) STeUness 5

5= M( " µ " )N σ " 3

V) Wurtosis 6

5= M( " µ " )4N ar M " N2 Ki-uras!..


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Muestreo aleatorio

- Xeneralmente no se conoce la distriuci9n de la variale aleatoria " (e.-., el universo es muy

-rande, no se tienen recursos para &ensar toda la polaci9n, no se tienen suAicientes datos,

etc!.).

- Ena muestra aleatoria, de tamaYo n, de una variale aleatoria " , con distriuci9n te9rica + " ,

son n variales aleatorias, " 1 , "

2 ,…, "

n, independientes e i-ualmente distriuidas (iid ), con

distriuci9n com@n + " .

- Ena realización de la muestra son los valores particulares *1 , *2 ,…, *n, oservados para las

variales " 1 , " 2 ,…, " n.

-omo consecuencia, la Aunci9n de distriuci9n conunta de " 1 , " 2 ,…, " n es

+ " 1 , " 2 ,…, "n ( *1 , *2 ,…, *n) = + " ( *1) + " ( *2) ! + " ( *n)

- * partir de la muestra aleatoria se pueden estimar las caracter:sticas de la distriuci9n real

(e.-., valor esperado, varianza, etc.)


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1) &romedio muestral (estimador de M " N)

2) >arianza muestral (estimador de varM " N)

) ovarianza muestral 5ample &o(",-) (estimador de &o(",-))

4) oeAiciente de correlaci9n muestral r (estimador de ρ )


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E&e-plos de distriucio!es deproailidad de #>a> co!ti!uas

La distribución normal

" Z [( µ " , σ " 2)

&ar


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- Si " Z [( µ " , σ " 2), - Z [( µ - , σ - 2), y son independientes, entonces

"9- : [( µ " " µ - , σ " 2" σ - 2)

a"9;- : [(a µ " "; µ - , a2σ " 2 " ;2σ - 2)

# Z [(0, 1), su JK se denota por Φ( ' )

- P ( " D *) = P ( >? * µ " σ " ) = Φ( * µ " σ " )


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Ejemplo

Ena universidad espera reciir, para el si-uiente aYo escolar, 1Q.000 solicitudes de

in-reso para el primer aYo de licenciatura. Se supone /ue las caliAicacionesotenidas por los aspirantes en la pruea selectiva si-uen una distriuci9n [(C$0,

1002). Si la universidad decide admitir al 2$\ de todos los aspirantes /ue oten-an

las caliAicaciones m


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Teorema del lmite central

Sea , " 1 , " 2 ,…, " n, un conunto de v.a. iid de una distriuci9n con media µ "y varianza σ " 2≠0. ntonces, si n es suAicientemente -rande, la v.a.

correspondiente a su promedio muestral,

tiene aproximadamente una distri;u&in normal con media µ " y varianza

σ " 2n. s decir,

!ota:

Si " 1 , " 2 ,…, " n se distriuyen cu !( X , X "), el teorema se cumple para todo

n.


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Ejemplo

Sea G el n@mero de millas por -al9n alcanzados por los carros de una marca particular. Si nos

dicen /ue GZ[(20,4), ;cu


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La distribución t (o t #$tudent)

Si se utiliza la varianza muestral 5 " 2

, en vez de la varianza real σ " 2

de la v.a. G, entonces el promedio muestral estandarizado (de

una muestra de tamaYo n) se distriuye tstudent de -rado d =n1.

omparando

con la normal

est


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Ejemplo

&ara los aYos 1CQ a 1CC0 el est de Aptitud Es&olar arro9 los si-uientes datos para el

promedio y la varianza

Ena muestra aleatoria de los resultados de 10 %omres del test veral dio como resultado un

promedio muestral de 440.Q0 y una varianza muestral de 1.Q0. ;u.: .;4

)aria!/a

7.:>4@ 97 @@@


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