ricardoramirezchaparro.2011

8/13/2019 ricardoramirezchaparro.2011

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Construccin de polgonos regulares

Ricardo Ramrez Chaparro

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

San Andrs, Isla, Colombia2011


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Construccin de polgonos regulares

Ricardo Ramrez Chaparro

Trabajo de GradoMaestra en Enseanza de las Ciencias Exactas y Naturales

DirectorProfesor Jos Reinaldo Montaez Puentes

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

San Andrs, Isla, Colombia2011


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A mis madre, esposa e instituciones que mecolaboraron.


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AgradecimientosDoy los agradecimientos a las personas e instituciones que me colaboraron para eldesarrollo del presente trabajo de la Maestra en Enseanza de las Ciencias Exactas yNaturales.

Jos Reinaldo Montaez, Profesor de la Universidad Nacional de Colombia y director deeste trabajo.

A mi esposa, Ari Esther Bustamante Olmos, por su apoyo y colaboracin en la digitacindel texto.

A Aury Guerrero Bowie, Rectora del Colegio Luis Amig, por el espacio que me brindpara realizar el trabajo, el uso del internet de la institucin y los permisos requeridos.


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Resumen y Abstract IX

ResumenEn este trabajo se presenta una revisin del tema Construcciones de polgonosregulares en la educacin bsica. Se sealan las dificultades que tienen los estudiantesen el aprendizaje de la geometra, atendiendo a factores de tipo epistemolgico ycognitivo y tomando estos aspectos como base, se presenta una propuesta didcticapara su aprendizaje.

Frases y Palabras clave : Polgono regular, construcciones con regla y comps.

Abstract

In this work presents a review of the topic Construction of regular polygons in basiceducation. Identifies the difficulties faced by students in the learning of geometry, taking

into account factors such epistemological and cognitive and taking these aspect as base,presents a didactic proposal for learning.

Keywords and phrases: regular polygon, constructions with ruler and compass


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Contenido XI

Contenido

Pg.

Resumen ......................................................................................................................... IX

Lista de figuras ............................................................................................................. XV

Lista de Smbolos y abreviaturas .............................................................................. XVII

Introduccin .................................................................................................................... 11. Construccin de polgonos regulares .................................................................... 7

1.1 Identificacin del problema .............................................................................. 71.2 Justificacin ..................................................................................................... 71.3 Objetivo general ............................................................................................... 8

1.3.1 Objetivos especficos ............................................................................ 8

2. Marco de referencia ................................................................................................. 92.1 Aspectos conceptuales .................................................................................... 9

2.1.1 Acerca de las construcciones con regla y comps .............................. 112.1.2 Construccin de polgonos regulares .................................................. 122.1.3 Los Nmeros de Fermat y la construccin de polgonos regulares conregla y comps .................................................................................................. 192.1.4 Otras observaciones sobre los nmeros de Fermat ............................ 202.1.5 Construccin de polgonos regulares con regla y comps a partir deotros polgonos regulares construidos. .............................................................. 232.1.6 Los nmeros complejos y la construccin de polgonos regulares ...... 242.1.7 Los polgonos regulares y las races complejas de la unidad .............. 252.1.8 Los nmeros construibles ................................................................... 282.1.9 Primeras construcciones bsicas con regla y comps como estrategiadidctica para el aprendizaje de la construccin de figuras ............................... 322.1.10 Mediatriz de un segmento ................................................................... 332.1.11 Bisectriz de un ngulo ......................................................................... 332.1.12 Paralela a una recta dada ................................................................... 342.1.13 Divisin de un segmento en partes iguales ...................................... 342.1.14 Perpendicular a una recta dada .......................................................... 352.1.15 Construccin del tringulo equiltero .................................................. 352.1.16 Construccin de un cuadrado .............................................................. 352.1.17 Construccin del pentgono regular: ................................................... 362.1.18 Construccin del hexgono regular ..................................................... 362.1.19 Construcciones slo con regla o slo con comps .............................. 37

3. Aspectos his tricos - epistemolgicos ................................................................ 39


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XII Construccin de polgonos regulares

3.1 Los inicios de la geometra .............................................................................393.2 Pensamiento matemtico Griego ...................................................................403.3 Las primeras construcciones de polgonos regulares con regla y comps ......423.4 Problemas Griegos .........................................................................................44

3.4.1 La triseccin del ngulo .......................................................................453.4.2 La duplicacin del cubo .......................................................................463.4.3 La cuadratura del crculo .....................................................................47

4. Aspectos didcticos ...............................................................................................494.1 Modelo de Van Hiele como estrategia didctica para el aprendizaje de lageometra .................................................................................................................494.2 Propuesta didctica para la construccin de polgonos regulares ..................514.3 Por qu construcciones con regla y comps? ..............................................54

5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................575.1 Conclusiones ..................................................................................................575.2 Recomendaciones ..........................................................................................58

A. Anexo: Conceptos bsicos de geometra .............................................................59

B. Anexo: Segmentos .................................................................................................65

C. Anexo: ngulos ......................................................................................................69

D. Anexo: Tringulos ..................................................................................................87

E. Anexo: Polgonos ................................................................................................. 107

F. Anexo: Polgonos, elementos y sus propiedades .............................................. 111

G. Anexo: Cuadrilteros ............................................................................................ 117

H. Anexo: Cuadri lteros 2 ......................................................................................... 125I. Anexo: Construcciones con regla, transportador y comps - perpendiculares

paralelas - ngulos ....................................................................................................... 129

J. Anexo: Construcciones con regla y comps - tringulos ................................. 137

K. Anexo: Polgonos regulares construcciones con regla, transportador ycomps ......................................................................................................................... 143

L. Anexo: Polgonos regulares construcciones con regla y comps ....................147

M. Anexo: Polgonos regulares construcciones con regla y comps ....................155

N. Anexo: Permetro y reas ..................................................................................... 159

O. Anexo: Otras construcciones con regla y comps .....................................1731. Simetra ........................................................................................................1732. Simetra central ............................................................................................1733. Simetra Axial ...............................................................................................1744. Construccin de un punto con respecto a un centro utilizando la regla y elcomps. .................................................................................................................. 175


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Contenido XIII

5. Construccin del simtrico de una figura con respecto a un centro utilizando laregla y el comps. .................................................................................................. 1766. Construccin del simtrico de un punto con respecto a un eje utilizando laregla y el comps. .................................................................................................. 1767. Construccin del simtrico de una figura con respecto a un eje utilizando reglay comps. ............................................................................................................... 177

Apndice I .................................................................................................................... 179

Bibliografa .................................................................................................................. 185


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Contenido XV

Lista de figurasPg.

Figura 2-1: Polgono regular.......1Figura 2-2: Construccin del cuadrado.....1Figura 2-3: Construccin del tringulo equiltero.......14Figura 2-4: Construccin del hexgono regular......15

Figura 2-5: Construccin del pentgono regular.....16Figura 2-6: Construccin del octgono regular...16Figura 2-7: Rosa de cuatro ptalos construccin del cuadrado y el octgono regular. 18Figura 2-8: Rosa de cuatro ptalos construccin de tringulo equiltero, hexgono ydodecgono regular.Figura 2-9: Tringulo equiltero.....2Figura 2-10: Cuadrado.Figura 2-11: Construccin de a + b...30Figura 2-12: Construccin de a - b...30Figura 2-13: Construccin de ab....3 Figura 2-14: Construccin de a/b...3Figura 2-15: Construccin de ...32Figura 2-16: Mediatriz de un segmento....33Figura 2-17: Bisectriz de un ngulo......33Figura 2-18: Paralela a una recta dada....34Figura 2-19: Perpendicular a una recta dada..35Figura 2-20:

Tringulo equiltero......3Figura 2-21: Cuadrado........3Figura 2-22: Pentgono regular ........3Figura 2-23: Hexgono regular .....3Figura 3-24: La duplicacin del cubo....4Figura 3-25: La cuadratura del crculo......4


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Contenido XVI


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Contenido XVII

Lista de Smbolos y abreviaturasSmbolos con letras latinas

Smbolo Trmino360. ngulo centralA reaa Apotema

SegmentoAB se llama la longitud del segmento El rayoB base mayorb base menorC Comps

2 Circunferencia 2CD Arco CDD Dimetro

Fn Nmero de Fermath alturai parte imaginarial LadoL Longitudm ABC medida del ngulo ABCn 2 el nmeros de tringulos que resulta(n 2)180 La suma de la medida de los ngulos interiores de un polgono de n

ladosn 3 Total de diagonales trazadas desde un vrticeO centro de la circunferenciaP Permetrop nmero primopi primos de Fermat


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XVIII Construccin de polgonos regulares

Smbolo TrminoPC o L Recta PC o Recta L

+1 puntosr radio de la circunferencia

R ReglaSn superficie nT Transportadoru ModuloZ nmero complejo| z | Argumento BAC o ngulo ngulo BAC o ngulo A grado Congruente Semejante|| Paralelo

PerpendicularABC Tringulo ABC

Operadores relacionales

Smbolo Trmino= igual

< Menor que> Mayor que

Menor o igual a

Mayor o igual a

Diferente Pertenece a

Operadores comunes

Smbolo Trmino+ ms _ Menos* Multiplicacin/ divisin


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Contenido XIX

Smbolo Trmino Raz cuadrada Ms menos

Para todo n

Smbolos tipo letra

Smbolo Trmino Nmeros complejos

Nmeros racionales

Nmeros reales

Letras griegas

Smbolo Trmino Pi

, el ngulo polar

Subndices

Subndice TrminoI, n I, n

Superndices

Superndice Trminon, r, t, m Exponente, potencia

Abreviaturas

Abreviatura TrminoALA ngulo, lado, ngulo

Cos CosenoLAL Lado, ngulo, ladoLLL Lado, lado, ladoSen Seno


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Introduccin

Considero que la temtica Construccin de polgonos regulares involucra para suenseanza conceptos relacionados con la congruencia y la semejanza y por ende buenaparte de los conceptos de la geometra elemental. Ahora bien, los estudiantes noreconocen propiedades de los polgonos regulares ni sus elementos involucrados en suconstruccin, estas dificultades tienen su origen en la falta de fundamentacin en

geometra que estn asociadas con obstculos de tipo epistemolgico, cognitivo ymetodolgicos.

La problemtica anterior plantea la necesidad de buscar otro tipo de acercamientos detipo metodolgico y didctico. Es as como en este trabajo, se plantean actividades paraque los estudiantes se motiven en el estudio de la geometra, verifiquen que esta seencuentra reflejada en objetos de la vida real y que observen que de cierta maneramodela nuestro universo. Pero adems, se pretende que las actividades sugeridas

desarrollen en los estudiantes la creatividad, la intuicin, la capacidad crtica, lacapacidad de anlisis y la capacidad de sntesis. Las actividades consideran losconceptos necesarios para el aprendizaje del concepto de polgono regular y susconstrucciones con regla y comps, la importancia de este hecho radica en que esta esuna forma de argumentar.Con el diseo de las actividades se propone una metodologaactiva, centrada en el estudiante como protagonista de la actividad de enseanza-aprendizaje.Finalmente, con esta idea en mente, el presente trabajo se propone orientarla enseanza de la geometra en los niveles bsicos.

El trabajo plantea la construccin de polgonos regulares y el uso de la regla y el compscomo una propuesta para solucionar la dificultad de aprendizaje que presentan losestudiantes de sexto grado de la institucin educativa Bolivariano, relacionados con ladificultad en reconocer, identificar, caractersticas, construccin y solucin de problemas


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2 Introduccin

relacionados con los polgonos regulares. Estas dificultades las encontramos cuando setrabaja la trigonometra y el desarrollo del clculo a nivel superior.

Los principales objetivos de este trabajo se traducen en brindar al estudiante una

presentacin clara y lgica de los conceptos y principios bsicos de la geometra paraque pueda solucionar problemas relacionados con la construccin de polgonos regularesy en general con la geometra. La propuesta est diseada para que el estudiante sea elprotagonista de su propio aprendizaje y romper con el tipo de educacin tradicional. Estapropuesta consiste en que el estudiante deje de ser un sujeto pasivo en su proceso deenseanza aprendizaje a ser un sujeto activo en dicho proceso. Se desarrollarntalleres constituidos por actividades, donde el estudiante se fundamente y ponga enprctica los conceptos previos y bsicos de la geometra, se fundamente y deduzca las

caractersticas y propiedades de los polgonos regulares, se fundamente y construya conregla y comps rectas paralelas, perpendiculares, ngulos, copiar ngulos, bisectriz deun ngulo, mediatriz de un segmento, polgonos construibles con estos instrumentos, etc.De tal manera que l mismo vaya construyendo significativamente su propio aprendizaje.

Lo nuevo para esta propuesta es que el desarrollo de las actividades en cada taller serpor parte del estudiante y el docente ser su gua u orientador donde presentedificultades, lo que se quiere es que el docente intervenga lo menos posible, por

consiguiente diremos que una metodologa a seguir sera donde el estudiante puedaexplorar, investigar y descubrir, construir, etc.

Este trabajo est dividido en cuatro captulos los cuales se describen a continuacin.

En el primer captulo se identifica el problema de aprendizaje relacionado con laconstruccin de polgonos regulares, se justifica por qu los estudiantes tienendificultades en el aprendizaje de la geometra, en particular porqu los bajos niveles de

apropiacin y comprensin de los conceptos bsicos de esta. Se traza un objetivogeneral y varios objetivos especficos que orientan la solucin del problema deaprendizaje ya identificado, los cuales nos guiarn, entre otros, a fundamentar a losestudiantes en los conceptos bsicos, en la teora que sustenta la construccin depolgonos regulares y a disear actividades para los estudiantes, que les permitanapropiarse de los conceptos bsicos y la construccin de polgonos regulares.


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Introduccin 3

En el segundo captulo se hace una sntesis de los elementos fundamentales sobre losconceptos bsicos y el sustento matemtico para el estudio de la construccin depolgonos regulares con regla y comps; se estudian los conceptos (ver apndice I),

desde las ideas intuitivas de punto, recta y plano hasta aquellos conceptos mselaborados que giran alrededor de la nocin de polgono y que justifican cuales polgonosson construibles con regla y comps. Se presenta el sustento matemtico para lospolgonos que se pueden construir con regla y comps. Hay que tener en cuenta que loselementos como la regla y el comps son elementos ideales y que no todas lasconstrucciones son factibles de realizar usando solamente regla y comps. En estepunto, vale la pena mencionar, los tres problemas famosos de la antigedad, a saber, laduplicacin del cubo, la triseccin del ngulo y la cuadratura del crculo. Ahora bien, para

el caso que nos ocupa aquellos polgonos regulares que se pueden construir con regla ycomps tienen una condicin especial sobre su nmero de lados y que tiene que ver conlos nmeros de Fermat, segn el matemtico Gauss en 1796 de lo cual se hablar msadelante. Tericamente, existen polgonos regulares de cualquier nmero de lados y eneste captulo tambin se presenta la construccin de algunos de ellos, entre otros elcuadrado, el hexgono y el octgono. La idea central para construir un polgono regularde n lados, es partir de una circunferencia y en ella dibujar ngulos centrales de 360/n.Adems, en este captulo, se presentan algunas observaciones sobre la construccin de

polgonos regulares, a partir de otros, realizando bisecciones del arco de la circunferenciacomprendida entre dos vrtices; como construcciones especiales se presenta laconstruccin de una rosa de cuatro ptalos. Como lo acabamos de mencionar, losnmeros de Fermat, juegan un papel importante en la construccin de polgonos

regulares, estos son de la forma22 + 1 . Para que un polgono regular sea construiblecon regla y comps, el nmero de lados debe ser de la forman = 2 r *.p1*p2**pk donde pi es un nmero de Fermat. Ahora, si polgonos regulares de a lados y b lados sonconstruibles con regla y comps y a y b son primos relativos, entonces el polgono

regular de ab lados tambin es construible. En este captulo se hace, adems, un estudioque relaciona a los nmeros complejos con las construcciones de polgonos regulares,para ello se hace uso del teorema de DeMoivre, en especial con las races complejas dela unidad y as demostrar porque el polgono de 7 o de 9 lados no se puede construir conregla y comps, entre otros. Por ltimo tenemos una mirada a la teora de cuerpos, la quenos da una respuesta a la imposibilidad de la solucin de los tres problemas clsicos de


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4 Introduccin

las construcciones geomtricas con regla y comps como son la duplicacin del cubo, latriseccin del ngulo y la cuadratura del crculo. Finalmente se podr observar que si a yb son nmeros construibles, tambin son construibles los nmeros a + b, a b, ab, a/b y

, llegndose a establecer, de manera un poco informal, que los nmeros construiblescon regla y comps tienen estructura de campo.

Adems se describe como se realizan ciertas construcciones, como son: construir lamediatriz de un segmento, bisectriz de un ngulo, la paralela a una recta dada, divisinde un segmento en partes iguales, la perpendicular a una recta dada, construccin depolgonos regulares como: el tringulo equiltero, el cuadrado, el pentgono, y elhexgono, por ltimo se trata de los intentos de realizar construcciones nicamenteutilizando slo regla o slo comps y el porqu de su imposibilidad de otros como el

heptgono regular, etc.

En el tercer captulo se hace una descripcin de los aspectos histricos yepistemolgicos donde se encuentran temas como los inicios de la geometra, de cmoel hombre fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, lneas, los que dieronorigen a la parte matemtica que designamos con el nombre de geometra, lo cual naceen forma prctica a orillas del ro Nilo, en el antiguo Egipto. Para los antiguos griegos, eltratamiento que le dieron a la matemtica, fue dividirla en cuatro campos que son: la

teora de los nmeros, la geometra mtrica, la teora del razonamiento, y la geometra nomtrica centrada en las construcciones geomtricas con regla y comps, en el cualhicieron ms aportes. En cuanto a las primeras construcciones de polgonos con regla ycomps, podemos decir que existieron considerables intentos para la construccin defiguras con regla y comps entre ellas se encuentra: Abul Wefa (Persa del siglo X),Lorenzo Mascherani. En el siglo XIX el francs Poncelet, el suizo Jacob Steiner, De igualmanera en este captulo se describen los problemas griegos de la construccin con reglay comps como son la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo y la duplicacin

del cubo, con sus respectivas justificaciones matemticas, porque no se pueden construircon dichos instrumentos.

En cuarto captulo se hace una descripcin de la propuesta didctica la cual presenta lasactividades para el aprendizaje de los conceptos necesarios para superar las dificultadesen la construccin de polgonos regulares con regla y comps, se tiene en cuenta el


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Introduccin 5

modelo de Van Hiele que comprende cinco niveles de comprensin relacionados con losprocesos del pensamiento, los cuales son la Visualizacin, Anlisis, Deduccin Informal,Deduccin Formal, Rigor. Es de anotar que, puesto que la propuesta est dirigida algrado 6, solo se consideraran los dos primeros niveles que son la Visualizacin (percibe

los objetos en su totalidad y como unidades), Anlisis (Percibe los objetos comoformados por parte y dotados de propiedades, aunque no identifica las relaciones entreellas).

La propuesta didctica para la construccin de polgonos regulares, cuenta con eldiseode actividades. Se propone una metodologa activa, centrada en el estudiante comoprotagonista de la actividad de enseanza-aprendizaje,por lo tanto los talleres estnorientados en temas y contenidos en donde los estudiantes presentan dificultades, y as

favorezcan su aprendizaje. Es de anotar que estos talleres son una alternativa para laenseanza de los temas con dificultades y ayudan a que el estudiante se fundamente yponga en prctica los conceptos previos y bsicos de la geometra, deduzca lascaractersticas y propiedades de los polgonos regulares, construya con regla y compsrectas paralelas, perpendiculares, ngulos, copiar ngulos, bisectriz de un ngulo,mediatriz de un segmento, polgonos construibles con estos instrumentos, etc.; de talmanera que l mismo vaya construyendo significativamente su propio aprendizaje.

Tambin encontrarn en los talleres la construccin de figuras utilizando otros recursos ymateriales como son palillos y el geoplano, as como tambin preguntas sobreposibilidades de construccin de algunas figuras.

La propuesta est diseada para que en un primer paso se fundamenta al estudiante enlos elementos y conceptos necesarios para poder enfrentar la construccin de polgonosregulares con regla y comps, ya que dichas construcciones necesitan de muchoselementos previos de la geometra. En algunos talleres se profundiza en sus contenidos

con el objetivo de que el estudiante no le vayan quedando vacios tericos en geometra,todo esto crea confianza en el estudiante para su aprendizaje y para que desarrolle supensamiento geomtrico.

En las construcciones con regla y comps se debe visualizar que a partir de varios trazosprecisos se pretende combinar la mayor cantidad de conceptos geomtricos y


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6 Introduccin

nicamente se permite utilizar dos sencillos instrumentos. Para la construccin de figurasregulares, es indispensable que el estudiante trabaje con una geometra activa. A travsde los talleres el alumno ir elaborando su conocimiento en geometra a partir deactividades sobre objetos reales y concretos.


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1. Construccin de polgonos regulares

1.1 Identificacin del problemaLos estudiantes no reconocen propiedades de los polgonos regulares ni sus elementosinvolucrados en su construccin.

1.2 JustificacinTeniendo en cuenta los estndares de matemticas para sexto y sptimo grado elestudiante debe ser capaz de Utilizar tcnicas y herramientas para la construccin defiguras planas y cuerpos con medidas, adems los objetivos generales para sexto gradoen el pensamiento espacial y sistemas geomtricos el estudiante debe describir, dibujar yanalizar figuras en dos dimensiones, identificar las caractersticas de los diferenteselementos de un polgono, identificar y describir relaciones entre diversas formasgeomtricas , aplicar diferentes transformaciones geomtricas sobre una figura. Si elestudiante no tiene claro los conceptos bsicos de la geometra euclidiana no tendr lahabilidad para construir figuras planas y alcanzar los objetivos.

Al respecto, la inquietud que surge es:

Aportan las actividades de construccin con regla y comps a la comprensin de laconstruccin de Polgonos Regulares?

Generalmente los estudiantes presentan dificultad en reconocer, identificar,caractersticas, propiedades, construccin y solucin de problemas relacionados con lospolgonos regulares, tal vez por los bajos niveles de apropiacin y comprensin de losconceptos bsicos de la geometra euclidiana como son las nociones deperpendicularidad y paralelismo, ngulos, bisectriz, mediatriz, clasificacin de polgonos,relaciones, propiedades de los cuadrilteros y sus construcciones. Esto se suma al hecho


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8 Construccin de polgonos regulares

de que en las evaluaciones predomina y se manifiesta una enseanza memorstica, en laque se aplican formulas o algoritmos.

1.3 Objetivo generalProfundizar en los conceptos bsicos de geometra plana como fundamento paradisear actividades que potencien a los estudiantes nios y nias de sexto grado en laconstruccin de polgonos regulares usando sus propiedades y relaciones.

1.3.1 Objetivos especficos

Estudiar los conceptos bsicos de la geometra elemental necesarios para entenderla construccin de los polgonos regulares.

Estudiar la teora que sustenta la construccin de los polgonos regulares con regla ycomps.

Revisar los estndares bsicos relacionados con el pensamiento geomtrico de losgrados sexto y sptimo.

Disear actividades relacionadas con los conceptos bsicos, entre otros, segmentos,ngulos y tringulos involucrados en la construccin de polgonos regulares.

Disear actividades relacionadas con el reconocimiento, caracterizacin yconstruccin de polgonos regulares.


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2. Marco de referencia

2.1 Aspectos conceptualesPara la elaboracin de la propuesta es necesario la identificacin de elementosfundamentales para la construccin de polgonos regulares y su sustento matemtico,aspectos que se describen en esta seccin.

Tericamente, todo polgono regular puede considerarse inscrito en una circunferencia.En efecto, para construir un polgono regular de n lados basta, dibujar una circunferencia

y en ella dibujar ngulos centrales de medida360.

Ahora bien, es de anotar que para entender la definicin y construccin de un polgonoregular, suponemos que se deben conocer previamente conceptos y resultadosrelacionados con los segmentos, las rectas, los rayos, los ngulos, la medida angular.Ahora, para profundizar en el estudio de los polgonos se requiere las nociones detringulo, apotema y congruencia de tringulos. La profundizacin a que se hacereferencia considera, entre otros, por ejemplo las diagonales de un polgono, la suma desus ngulos interiores, su permetro y su rea.

Consideramos que la enseanza de la geometra en niveles bsicos, en particular parael caso que nos ocupa, el nivel 6, no debe ser de carcter formal. As que al respecto,suponemos como ideas intuitivas, el punto, la recta y el plano, ideas motivadas por losobjetos fsicos de nuestro entorno. En particular en los textos de Euclides Punto es loque no tiene partes. Una Lnea, para nosotros una recta, es aquella que tiene longitud yno tiene anchura. Una superficie, para nosotros un plano, es lo que tiene ancho y largosolamente, as que estas no tienen espesor; una superficie plana contiene a todas susrectas.

Los siguientes conceptos como segmentos, rayos, ngulos, la longitud de un segmento,


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la amplitud angular etc., en general, lo sealados arriba, deben tener carcter formal,pero tambin en lo posible, deben ser motivados por experiencias y modelos cotidianos.

Sealamos un breve recuento de algn aspecto de notacin y definiciones de algunos

conceptos en cuestin que los encontraremos en el apndice I.

Polgono: un polgono es una figura formada por la reunin de varios segmentos demanera que no se crucen y solamente se toquen en los extremos. Podemos dar unadefinicin ms precisa de la siguiente manera: Sean P1, P2, , Pn, una sucesin de npuntos distintos de un plano con n 3. Supongamos que los n segmentosP1 P2 , P2 P3 , . , Pn 1 Pn , Pn P1 tienen las siguientes propiedades: (1) Ningn par de segmentos seintersecan, salvo en sus puntos extremos. (2) Ningn par de segmentos con un extremo

comn son colineales. Entonces la reunin de los n segmentos se llama Polgono. Lospuntos P1, P2, , Pn son los vrtices del polgono y los segmentosP1 P2 , P2 P3 , . ,Pn 1 Pn , Pn P1 son los lados. Los ngulos del polgono son el PnP1P2, el P1P2P3, yas sucesivamente. Segn el nmero de lados los polgonos se pueden clasificar entringulo (tres lados), cuadrado (cuatro lados) pentgono (cinco lados) hexgono (seislados), heptgono (siete lados) octgono (ocho lados), n gono n lados), si un polgonotiene sus ngulos internos congruentes, es equingulo y si sus lados son congruentes, esequiltero, el segmento cuyos extremos son dos vrtices no consecutivos de un polgonose llama Diagonal. En un polgono de n lados el nmero total de diagonales trazadasdesde un vrtice es n 3, el nmeros de tringulos que resulta es n 2, y la suma de lamedida de los ngulos interiores de un polgono de n lados es (n 2)180.

Polgono regular : es aquel que es equiltero y equingulo, el ngulo central del polgonoregular es el formado por dos vrtices consecutivos del polgono y el centro del polgono,(Como todo polgono regular puede inscribirse en una circunferencia, al centro de lacircunferencia en la cual se inscribe un polgono regular se llama centro del polgono o ),

al segmento trazado perpendicularmente desde el centro del polgono a cada uno de suslados se llama apotema y su longitud corresponde a la altura de cada uno de lostringulos en que puede descomponerse el polgono regular. (Ver figura 2-1).


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Marco de referencia 11

Figura 2-1: Polgono regular.

Permetro: El permetro de un polgono es la suma de la medida de sus lados.

2.1.1 Acerca de las construcciones con regla y compsLas construcciones con regla y comps las podemos considerar, quizs de manera unpoco exagerada, como un sistema axiomtico con vida propia, esto es, inicialmentedisponemos de los conceptos y resultados de la geometra elemental, ahora en el casoque nos ocupa, nuestros postulados fundamentales son tenemos regla sin marcas ytenemos comps y nuestros teoremas van a ser las construcciones. En este punto esde resaltar, que debe tenerse claro que los objetos de los que disponemos son objetosideales.

Con esta idea en mente, con la regla solo podemos trazar segmentos y rectas y con elcomps podemos trazar circunferencias. As, una construccin con regla y compsconsiste de un nmero finito de construcciones de este tipo.

Es de anotar que la regla y el comps son objetos ideales, que naturalmentematerializamos en aula de clase. Con objetos ideales se quiere decir que son conceptosmatemticos abstractos, como la raz cuadrada de un nmero, no son instrumentosfsicos. Representan la perfeccin de la mente y deben utilizarse para crearconstrucciones ideales, las cuales son tan concluyentes como el lgebra. En el mundoreal, en la hoja de papel, los puntos son manchas bidimensionales y los segmentos sonfranjas de cierto ancho; pero en la mente son manifestaciones plenas de precisin ybelleza. Este es el eje sobre el que giran las construcciones; la sutil distincin entre elmayor o menor grado de precisin aproximado y la exactitud del pensamiento.

A B

C

D

F

E

Apotema


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Es importante anotar que una vez se ha logrado hacer la construccin propuesta, sedebe verificar, mediante una demostracin matemtica, que dicha construccin resuelverealmente el problema.

Se han hecho numerosos estudios a travs del tiempo sobre que construcciones puedenrealizarse con estos instrumentos, sin embargo, muchas de ellas salen del alcance denuestros conocimientos (es decir, se requiere ms madurez matemtica para entenderlas demostraciones de este hecho), aun as, mencionaremos algunas de ellas, porejemplo; Gauss atac el problema de la divisin de la circunferencia enn partes iguales;Gauss descubri el hecho notable de que se poda construir un polgono regular de 17lados con regla y comps, mas aun descubri que sip es un numero primo de la forma

22 + 1 era construible un polgono regular dep lados con estos instrumentos. Tambinse ha demostrado que si se nos da un cubo de arista 1 no se puede construir con regla ycomps un cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado. En cuanto a la triseccin deun ngulo se ha probado que no se puede construir con regla y comps un ngulo de40, por lo tanto no se puede trisecar un ngulo que mida 120.

2.1.2 Construccin de polgonos regulares

Como lo advertimos anteriormente, tericamente, todo polgono regular, digamos de n

lados, puede considerarse inscrito en una circunferencia y para ello basta dibujar unacircunferencia y en ella dibujar ngulos centrales de medida360.

Veamos algunos resultados relacionados con la construccin de algunos polgonosregulares.

Construccin del cuadrado: El polgono regular, que consideramos ms sencillo deconstruir es el cuadrado. En tal caso, dibujamos una circunferencia y dos dimetrosperpendiculares, de esta manera, hemos construido ngulos centrales de 90. Al unir losextremos consecutivos de dichos dimetros se obtiene el cuadrado. La prueba de queefectivamente la figura construida es un cuadrado se sigue de los criterios decongruencia de tringulos rectngulos y de que cada uno de ellos es un tringuloissceles. Veamos la demostracin de carcter formal. (Ver figura 2-2).


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Figura 2-2: Construccin del cuadrado

Sean y dimetros de la circunferencia de centro O y radio r, como lo muestra lafigura y supongamos que .Los tringulos AOB,COB, DOC y AOD son rectngulos porque los dimetros de

la circunferencia son perpendiculares y los dimetros se bisecan en O. Por lo tanto, = = = = r, radio de la circunferencia y adems AOB COB DOC AOD por el criterio de LAL. De donde AB=BC=CD=DA.El AOB es issceles porque por ser radios de la circunferencia, luego losngulos de la base son congruentes, es decir ABO BAO y cada uno mide 45 yaque el AOB recto. La justificacin de que cada ngulo de la base mide 45 es porque elm AOB + mOBA + mBAO = 180, entonces m AOB + 2mOBA = 180, as 90 +2mOBA = 180, luego 2mOBA = 90, y finalmente mOBA = 90/2 = 45.

Entonces el COB tambin es issceles y el CBO BCO y cada uno mide 45 yaque el AOB es recto. Luego el m ABO + m CBO = 90, esto es que el m ABC =90, m BCD = 90, m CDA = 90 y m DAB = 90. Por lo tanto el cuadriltero ABCDes un cuadrado.

Construccin del tringulo equiltero: Para construir el tringulo equiltero procedemos

as, dibujamos una circunferencia de centro O y radio r y dividimos 360 entre el nmerode lados que es tres (3) y nos da un ngulo central de 120. Tomamos sobre lacircunferencia arcos de 120, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos untringulo equiltero. (Ver figura 2-3).


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Figura 2-3: Construccin del tringulo equiltero

El ngulo central AOB mide 120, = = r, por ser radios de la circunferencia,luego el AOB es issceles, luego los ngulos de la base con congruentes, es decir OAB OBA y cada uno mide 30 ya que el m AOB = 120. La justificacin de que

cada ngulo de la base mide 30 es porque el m AOB + mOAB + mOBA = 180,entonces m AOB + 2mOAB = 180, as 120 + 2mOAB = 180, luego 2mOAB =60, y finalmente mOAB = 60/2 = 30.

Por otra parte tenemos que los tringulos AOB, AOC y BOC son congruentes por elcriterio LAL. Segn el criterio de congruencia sus ngulos y sus lados son congruentes.

Luego los ngulos BAO CAO ACO OCB CBO OBA y cada unomide 30, entonces m BAO + m CAO = 60, esto es que los ngulos m BAC = 60,m ACB = 60 y m CBA = 60. Y adems los lados AB BC AC.Como los tres ngulos y los tres lados del tringulo ABC son congruentes, entonces eltringulo es equiltero.

Construccin del hexgono regular: Para construir el hexgono regular procedemos as,dibujamos una circunferencia de centro O y radio r y dividimos 360 entre el nmero delados que es seis (6) y nos da un ngulo central de 60. Tomamos sobre la circunferenciaarcos de 60, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexgono regular.(Ver figura 2-4).

A B

C

O


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Figura 2-4: Construccin del hexgono regular

El ngulo central AOB mide 60, = = r, por ser radios de la circunferencia deradio r, luego el AOB es issceles, luego los ngulos de la base con congruentes, esdecir OAB OBA y cada uno mide 60 ya que el m AOB = 60. La justificacin deque cada ngulo de la base mide 60 es porque el m AOB + mOAB + mOBA =180, entonces m AOB + 2mOAB = 180, as 60 + 2mOAB = 180, luego 2mOAB= 120, y finalmente mOAB = 120/2 = 60, podemos decir que el tringulo esequiltero.

Por otra parte tenemos que los tringulos AOB, AOF, BOC, COD, DOE y EOF son equilteros y congruentes por el criterio LAL. Segn el criterio de congruencia

sus ngulos y sus lados son congruentes.

Luego los lados = r. los ngulos OAB OBA BOC COD DOE EOF y cada uno mide 60.

Construccin del pentgono regular: Para construir el pentgono regular dibujamos unacircunferencia de centro O y radio r, y dividimos 360 entre el nmero de lados que escinco (5) y nos da un ngulo central de 72. Tomamos sobre la circunferencia arcos de

72, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexgono regular. (Verfigura 2-5). Para este polgono regular se mostrar su construccin con regla y comps.

Es de anotar que ms adelante se mostrar la forma de construir el pentgono regularcon regla y comps.

A B

D

OC

E

F


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Figura 2-5: Construccin del pentgono regular

Construccin del octgono regular: Para construir el octgono regular procedemos as,dibujamos una circunferencia de radio r y dividimos 360 entre el nmero de lados que esocho (8) y nos da un ngulo central de 45. Tomamos sobre la circunferencia arcos de

45, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexgono regular. Conargumento similar a los dados en las construcciones anteriores se tiene queefectivamente el polgono construido es un octgono regular. (Ver figura 2-6).

Figura 2-6: Construccin del octgono regular

OBSERVACIONES

Como en un hexgono inscrito en una circunferencia el lado del hexgono es igual alradio su construccin se hara trasladando sobre la circunferencia su radio seis veces apartir de un punto dado en la circunferencia, de esta forma se determinan los vrtices delhexgono.

El tringulo se puede construir a partir del hexgono tomando tres vrtices noconsecutivos. Pero no solamente se pueden construir estos sino que tambin podemos

A B

D

O

CE

A B

D

O

C

EF

G

F


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construir los polgonos de 12. 24, 48, 96, lados por bisecciones del arco de lacircunferencia comprendidos entre dos vrtices. De la misma forma podemos construirlos polgonos de 4, 8, 16, 32, lados a partir de dos dimetros perpendiculares y lainterseccin de los dimetros sobre la circunferencia determinan los vrtices delcuadrado y los otros se obtienen por bisecciones del arco le la circunferenciacomprendidos entre dos vrtices.

En general, podemos decir que dado un polgono regular den lados se puede trazar elpolgono regular correspondiente de2 lados, considerando la circunferencia circunscritaal polgono de lados y en lugar de bisecar los ngulos comprendidos entre dosvrtices, trazando las mediatrices por cada uno de los lados, as la interseccin de lasmediatrices con la circunferencia determinan los vrtices restantes del polgono de 2 lados. Esto permite trazar los de = 6,8, 10, 12, 16 , a partir de los casos = 3,4 5.

Si un polgono regular den lados puede construirse con regla y comps, tambin puedenconstruirse los polgonos cuyo nmero de lados sea un divisor den. slo basta trazarsegmentos entre sus vrtices de m en m . De este modo, a partir de un dodecgono (12lados), si se unen sus vrtices de 4 en 4 se obtiene un tringulo (3 lados), de 3 en 3 sellega a un cuadrado (4 lados) y de 2 en 2 se logra un hexgono (6 lados).

Hay una construccin que permite inscribir el tringulo, el hexgono, el dodecgono, elcuadrado y el octgono que es la rosa decuatro ptalos . Su construccin se realiza de lasiguiente forma se trazan dos dimetros perpendiculares que intersectan a lacircunferencia en cuatro puntos A, B, C y D. Con centro en A y radio AO donde O es elcentro de la circunferencia; se traza la circunferencia con centro en B y radio BO dondeO es el centro de la circunferencia; se traza la circunferencia con centro en A y radio COdonde O es el centro de la circunferencia; se traza la circunferencia y por ltimo concentro en D y radio DO donde O es el centro de la circunferencia, se traza lacircunferencia. Estas circunferencias formarn los ptalos de la rosa con vrtices a, b, c,d. Los segmentos (los segmentos se acostumbra a nombrarlos con maysculas)AC y BD cortan a la circunferencia en cuatro puntos que son los vrtices del cuadrado. Estospuntos y los puntos A, B, C y D son los vrtices del octgono. (Ver figura 2-7).Tomandolos puntos A, B, C, D y los puntos de interseccin de los ptalos con la circunferencia


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determinan los vrtices del dodecgono. Por ltimo el hexgono y el tringulo se trazan apartir del dodecgono. (Ver figura 2-8). Gutirrez [10]

Figura 2-7: Rosa de cuatro ptalos, construccin del cuadrado, octgono regular.

Figura 2-8: Rosa de cuatro ptalos, construccin del tringulo equiltero, hexgono,dodecgono regular.

Es de observar que las construcciones del pentgono y el decgono son menosevidentes.


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2.1.3 Los Nmeros de Fermat y la construccin de polgonosregulares con regla y comps

Un polgono regular de n lados es construible con regla y comps en el sentido expuesto,

si y slo, si la descomposicin en factores primos de n es de la forma n = 2 r *.p1*p2**pk siendo r 0 y los pi primos de Fermat distintos entre s, un primo de Fermat es un nmero

de la forma22 + 1 . Zaldivar [19].

Esto quiere decir, que un polgono regular es construible, s, el nmero de lados delpolgono es una potencia de 2, un nmero de Fermat, producto de una potencia de 2 yvarios primos de Fermat distintos o producto de varios nmeros de Fermat. De estamanera tenemos determinados los polgonos regulares que podemos construir con reglay comps, as por ejemplo, son construibles con regla y comps los siguientes polgonos.

El tringulo, (22 + 1 = 21 + 1= 2 + 1 = 3)El cuadrado (22 = 4)

El pentgono (22 + 1 = 22 + 1= 4 + 1 = 5)El hexgono2(2 2 + 1) = 2(21 + 1)= 2(2 + 1) = 2(3) = 6El octgono (23 = 8)

Por lo tanto, entre otros, el heptgono regular (22 + 1 7 ) y el enegono regular(22 + 1 32= 9 ) no son construibles con regla y comps.(http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/).

En general, se tiene el siguiente teorema:El n-gono regular es construible con regla y comps si y solo si, todos los primos imparesque dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide n. Fraleigh [8]. Para ilustrareste hecho, el polgono regular de 18 lados (18 gono) no es construible ya que 3 es unprimo de Fermat, pero su cuadrado 9 (32) divide a 18 contradiciendo el resultado antes

mencionado. Este teorema nos ayuda a probar que el 60-gono regular se puede construircon regla y comps, en efecto, tenemos que 60 = (22)(3)(5) y los nmeros 3 y 5 sonprimos de Fermat, 9 y 25 que son los cuadrados de 3 y 5 respectivamente no dividen a60. Luego podemos asegurar que 60-gono es construible con regla y comps.
http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/


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2.1.4 Otras observaciones sobre los nmeros de Fermat

Teniendo la expresin n= 2ap1bp1cp1d podemos realizar las siguientes consideraciones:que los exponentes de los primos sean todos cero, entonces n = 2r , ahora, si el

exponente del 2 es cero, tenemos entonces = 2 2 + 1 , luego miraremos algunos dela forma n= 2ap1bp1cp1d.

A continuacin se darn algunos ejemplos teniendo en cuenta algunas condiciones,empezaremos con los nmeros de la forma n = 2r , r 2, para estos tomaremos algunosvalores para r. Cuando r = 2, entonces el polgono de 22 = 4 lados se puede construir,cuando r = 3, entonces el polgono de 23 = 8 lados se puede construir, cuando r = 4,entonces el polgono de 24 = 16 lados se puede construir, cuando r = 5, entonces el

polgono de 25 = 32 lados se puede construir, etc., entonces los polgonos regulares cuyonmero de lados son una potencia de dos se pueden construir.

Si los nmeros son de la forma = 2 2 + 1 , r 0, tomemos algunos valores para r.Cuando r = 0, entonces el polgono de22 + 1 = 3 lados se puede construir, cuando r = 1,entonces el polgono de 22 + 1 = 5 lados se puede construir, cuando r = 2, entonces elpolgono de 22 + 1 = 17 lados se puede construir, cuando r = 3, entonces el polgono de22 + 1 = 257 lados puede construir, entonces los polgonos regulares cuyo nmero delados son un primo de Fermat se pueden construir.

Ahora si los nmeros son de la forma = 2 (2 2 + 1) , m, r 0, examinaremos algunospolgonos regulares con el siguiente nmero de lados. El polgono regular de 3 lados(tringulos equiltero), se puede construir porque 3 es un primo de Fermat y adems es

de la forma 2 (2 2 + 1) , m = 0 y r = 0, El polgono regular de 6 lados (hexgono), sepuede construir porque 6 = (2)(3) donde 2 es una potencia de 2 y 3 es un primo de

Fermat y adems 6 es un nmero de la forma2 (2 2 + 1) , m = 1 y r = 0, El polgonoregula de 7 lados (heptgono), no se puede construir porque para ningn m y r, 7 no esde la forma2 (2 2 + 1) , adems 7 no es un primo de Fermat, el polgono regular de 9lados (enegono), no se puede construir porque para ningn m y r, 9 no es de la forma

2 (2 2 + 1) , adems 9 no es un primo de Fermat, el polgono regular de 10 lados


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(decgono) se puede construir porque 10 = (2)(5) de donde 2 es una potencia de 2 y 5 es

un primo de Fermat y adems es de la forma2 (2 2 + 1) , m = 1 y r = 1.

Es posible construir polgonos regulares de 45, 48, 47, 52, 53, 2748, etc.? Para verificarsi estos polgonos regulares son construibles con regla y comps, se tomara cadanmero y se hallara su descomposicin factorial y se aplica el criterio de construccin.

La descomposicin de factorial 45 = 32*5, entonces, este polgono regular si se puedeconstruir porque 3 y 5 son primos de Fermat, la descomposicin de factorial 48 = 24*3,entonces, este polgono regular si se puede construir porque la descomposicin factorialde 48 es una potencia de 2 y 3 es un primo de Fermat, como 47 es un nmero primo notiene descomposicin factorial, y adems no es primo de Fermat, entonces no se puedeconstruir, la descomposicin de factorial de 52 = 22*13, no se puede construir porque 13no es un primo de Fermat, como 53 es un nmero primo no tiene descomposicinfactorial, y no es primo de Fermat, entonces no se puede construir, la descomposicinfactorial de 2748 = 22*3*229, aunque 2 es una potencia de dos, y 3 es un primo deFermat no se puede construir porque 229 no es un primo de Fermat.

De esta forma podemos determinar si un polgono de n lados se puede construir conregla y comps.

Probar si es posible construir polgonos regulares de 22, 28, 36, 39, 42, 51, 80, 85, 90,93, 98. Y argumentar las respuestas.

Los nmeros de Fermat son realmente primos?

Fermat conjeturo que los nmeros de la forma = 2 2 + 1 , son todos primos para cadavalor de un nmero natural r, est afirmacin la hizo teniendo en cuenta las siguientesevidencias:

Cuando r = 0, entonces = 2 2 + 1 = 3.Cuando r = 1, entonces = 2 2 + 1 = 5.Cuando r = 2, entonces = 2 2 + 1 = 17Cuando r = 3, entonces = 2 2 + 1 = 257.


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Cuando r = 4, entonces = 2 2 + 1 = 65537.

Pero Euler, prob que cuando r = 5, entonces = 2 2 + 1 = (641) (6700417), es unnmero compuesto. Se ha observado que para 5 r 16, cada nmero de Fermat escompuesto. Tambin se sabe que son compuestos para los siguientes nmeros aisladosde r: 18,19, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 36, 38, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125,144, 150, 207, 226, 228,260, 267,268, 284, 316, 452 y 1945. Apostol [2], Stewart [16]

Por otro lado tenemos el siguiente teorema:

Teorema: Un nmero de Fermat del tipo22 + 1 es igual al producto de todos losanteriores ms 2.

Prueba: Por induccinN0 = 3N1 = 5 = N0 + 2 = 3 + 2 = 5N2 = 17 = N0N1 + 2 = (3)(5) + 2 = 17Si para todo nmero s que precede a n se cumple que:Ns = N0N1N2 + 2, entonces N0N1N2 Nn-2Nn-1+ 2 = (Nn-1 2)Nn-1 + 2 = N2n-1 2Nn-1 + 2 =(Nn-1 1)2 + 1

N2n-1 2Nn-1 + 2 = (22 + 1 )2 2(22 + 1 ) + 2N2n-1 2Nn-1 + 2 = 222+ 2 22 + 1 2(22 ) 2 + 2N2n-1 2Nn-1 + 2 = 222+ 1 N2n-1 2Nn-1 + 2 = 22 + 1 = Nn.

En relacin con el resultado anotado arriba, el matemtico Gauss en 1796, fue el primeroen demostrar que nicamente se pueden construir con regla y comps los polgonos deun nmero impar de lados cuando los factores primos de son nmeros primos de

Fermat (Fn = 22 + 1 ) y, encontr que se poda construir el polgono de 17 lados. Dehecho 17 es el tercer primo de Fermat; los cinco primeros primos de Fermat son 3, 5, 17,257 y 65537. Es de anotar que Gauss demostr la condicin suficiente. . As que slopodemos construir estos polgonos, o bien, polgonos cuya cantidad de lados sea unapotencia de 2 multiplicada por uno de los 5 nmeros anteriores. 7 y 9 no son de esta


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forma as que no puedes construir heptgonos ni enegonos regulares (con regla ycomps).

En el ao de 1837 Wantzel prob la condicin necesaria; que Gauss tambin crey, peroque no dio ninguna demostracin alguna.

El problema de la construccin del polgono de 17 lados no fu construida por Gauss, esdecir no nos mostr los pasos para construirlo, parece ser que la primera construccinfsica fue realizada por Johannes Erchinger quien sera el primero en mostrar un mtodopara construir el polgono regular de 17 consistente en 4 pasos.(http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/)

2.1.5 Construccin de polgonos regulares con regla y comps apartir de otros polgonos regulares construidos.

Los antiguos griegos daban mucha importancia al problema de saber, qu polgonosregulares podan ser construidos con regla y comps. Ellos saban construir un tringuloregular, un cuadrado y un pentgono y saban doblar el nmero de lados de un polgonomediante la biseccin del ngulo. Tambin saban construir un polgono regular de 15lados combinando un tringulo y un pentgono y otros que se obtienen de la mismaforma. (15 = 3*5).

Es evidente que si uno tiene un polgono conn lados y a n (a es un divisor den) , esto esn = ab , el polgono con a lados puede obtenerse tomando cada b vrtices. De esto loms interesante es el hecho de que los resultados bsicos sobre ecuacionesindeterminadas nos dan o nos proporcionan, bajo ciertas condiciones, un camino paraconstruir polgonos con un gran nmero de lados.

De polgonos con ladosa y b, donde a y b son primos entre s, un polgono con ladosab se puede obtener:Como (a, b) = 1 podemos encontrar enteros x e y tales que ax by = 1, dividiendo estaecuacin por ab nos da:
http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/


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axab

byab

=1

ab

Entonces nos da:xb

ya

=1

ab

y multiplicando por 360, tenemos:

x360

b y360

a=

360 ab

Esto demuestra que el ngulo central de un polgono con lados ab es la diferencia entredos mltiplos del ngulo central del polgono de con lados a y b. por ejemplo conpolgonos de 3 lados y 5 lados, un polgono de 15 lados es construible. Ore [13]. Acevedo[1]

2.1.6 Los nmeros complejos y la construccin de polgonosregulares

Un nmero complejo z = x + iy donde x, y e i es la parte imaginaria que corresponde

a 1 ( = 1). El nmero complejo z puede representarse geomtricamente conrespecto a un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, por el punto (x, y), con elque se establece una biyeccin entre los nmeros complejos y los puntos del planoEucldeo.

Empleando un sistema de coordenadas polares en el plano, cuyo polo sea el punto 0 ycuyo eje polar, sea el semieje real positivo, el punto (x, y) del complejo z = x + iy, puede

representarse por sus coordenadas (r,), donde r = | z | ( = 2+ 2 ) se llama elargumento del complejo y el ngulo polar.

Como x = rcos , y = rsen, resulta que z = r(cos + isen).Definicin: si z = r(cos + isen), entonces zn = [r(cos + isen)]n = r n[cos(n) + isen(n)]que es la frmula DeMoivre.

Mirando las races de un nmero complejo tenemos que:Decimos que u es la raz n-sima de un nmero complejo z (n), a todo complejotalque un = z.


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Denotamos el mdulo y el argumento de u por t y, respectivamente, as queu = t[cos + isen]. Si u es una raz n-sima de z = r[cos + isen], entonces, por elteorema DeMoivre, tenemos:

un = z que se puede escribir de la forma tn[cos(n) + isen(n)] = r[cos + isen] . Cuandodos nmeros complejos son iguales, sus mdulos son necesariamente iguales. Entoncestenemos: tn = r y cos(n) + isen(n) = cos + isen, igualando las parte reales eimaginarias de estas ecuaciones, tenemos: cos(n) = cos y sen(n) = sen, de donde

se deduce que n = + 2k, o = + 2kn , donde k es un entero cualquiera. Como kasume los valores enteros sucesivos 0, 1, 2,, n 1, obtenemos n races diferentes dez. Para k n, los valores de sen y cos repiten los valores obtenidos cuando k = 0, 1,

2,, n 1. Para ver esto, suponemos que k = n + m donde m = 0, 1, 2, entonces,

= + 2(n + m)

n=

+ 2m n

+ 2

Como el seno y el coseno tienen un periodo de 2, tenemos:

sen = sen + 2mn y cos = cos + 2m

n Y as no se obtienen nuevas races cuando k n.

2.1.7 Los polgonos regulares y las races complejas de la unidad

En este apartado relacionamos los nmeros complejos de la unidad y los polgonosregulares utilizando el teorema DeMoivre, para determinar cuando un polgono regular esconstruible con regla y comps. Podemos decir que otra forma de justificar porque elheptgono regular no es construible con regla y comps. Si miramos la relacin queexiste de los puntos del plano con los nmeros complejos, para construir un polgono

regular de lados debe ser construible el nmero complejo = cos 2 + 2 , en

particular para el caso del heptgono debera ser construible el punto= cos 2

7 +

27 , donde es raz del polinomio 7 1 . La descomposicin en polinomiosirreducibles en de este polinomio quedara as: 1 ( 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ + 1) .Como no es raz de ( 1) debe serlo entonces del otro factor. Pero el grado delmismo es 6, y para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mnimo


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irreducible en debera ser una potencia de 2. Por lo tanto no podemos construir elnmero complejo z y en consecuencia tampoco podemos construir el heptgono regular.Podemos agregar que el octgono se puede construir pero el enegono o sea elpolgono regular de nueve lados no se puede construir. Acevedo [1]

Consideremos ahora el problema de hallar las 3 races cubicas de la unidad. Para hallarla forma trigonomtrica de 1, tenemos z = 1 +i0, luego r = 1 y = 0

1 = cos 0 + isen 0

u = 1 cos 0 + 2k 3 + sen0 + 2k

3 , k = 0, 1, 2 Para k = 0

u0 = cos 0 3 + sen0 3 = cos (0) + sen (0) = 1 + o

Para k = 1

u1 = cos 0 + 23 + sen 0 + 23 = cos 0 + 2

3 + sen 0 +2 3 = cos

2 3 + sen

2 3 =

12+ 32

Para k = 2

u2 = cos 0 + 43 + sen 0 + 43 = cos 0 + 4

3 + sen 0 +4 3 = cos

4 3 + sen

4 3 =

12

32 .

Las tres races cbicas de 1 las podemos representar en una circunferencia de radio 1 yestas se encontraran espaciadas equitativamente alrededor de la circunferencia concentro en el origen. En general podemos decir que las races n-simas de un nmerocomplejo diferente de cero z estn distribuidas proporcionalmente en las circunferenciasdel crculo de radio | z |1/2 con centro en el origen.

Si unimos estos punto de dos en dos obtenemos un polgono regular en este caso un

tringulo equiltero como lo muestra la figura 2-9.


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Figura 2-9: Tringulo equiltero.

Si seguimos hallando las races de la unidad, por ejemplo, las races cuartasobtendremos los vrtices de un cuadrado, con las races quintas obtendremos unpentgono regular, con las races sextas obtendremos un hexgono regular, etc.,teniendo en cuenta que el de 7, 9 lados por ejemplo no se pueden construir.

Para ver otro ejemplo, ahora hallemos las 4 races cuartas de la unidadPara la forma trigonomtrica de 1, tenemos z = 1 +i0, luego r = 1 y = 0

1 = cos 0 + isen 0

u = 1 cos0 + 2k

4 + sen0 + 2k

4 , k = 0, 1, 2, 3 Para k = 0u0 = cos 0 4 + sen

0 4 = cos (0) + sen (0) = 1 + o

Para k = 1

u1 = cos 0 + 24 + sen 0 + 24 = cos 0 + 2

4 + sen 0 +2 4 = cos

2 + sen

2 = 0 +

32 Para k = 2

u2 = cos 0 + 44 + sen 0 + 44 = cos 0 + 4

4 + sen 0 + 4

4 = cos ( ) + sen ( ) = 1 0

Para k = 3

u3 = cos 0 + 64 + sen 0 + 64 = cos 0 + 6

4 + sen 0 +6 4 = cos

3 2 + sen

3 2 = 0

1


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Si unimos estos punto de dos en dos obtenemos un polgono regular en este caso uncuadrado como lo muestra la figura 2-10.

Figura 2-10: Cuadrado.

2.1.8 Los nmeros construibles

La teora de cuerpos da respuesta a la imposibilidad de la solucin de los tres problemasclsicos, de construcciones geomtricas con regla y comps, de la Geometra Elemental.Los tres problemas famosos de los gemetras Griegos son: la duplicacin del cubo, latriseccin del ngulo y la cuadratura del crculo Para esto, se traducen los problemasgeomtricos lgebra. En particular, en este apartado mostraremos de manera informal

que los nmeros construibles con regla y comps forman un campo intermedio entre y ..

Los tres problemas famosos de los gemetras Griegos son: la duplicacin del cubo, latriseccin del ngulo y la cuadratura del crculo.

Para demostrar que no es posible duplicar un cubo se considera la ecuacin x3 - 2 = 0 yse llega a que esta ecuacin no puede ser factorizada en los racionales y dado que el

grado no es potencia de 2, se concluye que el cubo no puede ser duplicado por medio deconstrucciones con regla y comps. En la teora de Galois se sigue se sigue que paraque esta ecuacin sea soluble por radicales debe tener propiedades especiales; una deellas es que tenga como grado una potencia de 2. Fraleigh [8]. Acevedo [1]

u0

u1

u2

u3


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Para demostrar que no es posible trisecar un ngulo se considera la ecuacin 4X3 3X 1 = 0, y se muestra que la ecuacin 4X3 3X 1 = 0. No tiene solucin a que debido aque esta ecuacin no puede ser factorizada en los racionales y, dado que es cbica, seconcluye entonces que no se puede trisecar con regla y comps un ngulo arbitrarioFraleigh [8]. Acevedo [1].

Para demostrar que no es posible la cuadratura del crculo, se demuestra que estrascendente, lo cual significa que no existe un polinomio con coeficientes en quetenga a como raz; esto es equivalente a encontrar una construccin para con regla ycomps, como ya vemos este problema es diferente a los dos anteriores, pues lo queocurre en este es que no existe una ecuacin algebraica asociada con este problema. no es construible con regla y comps. Acevedo [1]

Teorema: El conjunto de los nmeros construibles con regla y comps es un campo.Fraleigh [8].

Construir un nmero x con regla y comps se traduce en construir un segmento delongitud x. A continuacin se muestra una forma de construir la suma, el producto y elrecproco de un nmero construible. El resultado enunciado en el teorema puedeverificarse siguiendo De Viola [7]. Gutierrez [10]. Fraleigh [8]. Acevedo [1]

Si a y b son nmeros construibles, entonces a + b, a b, ab, a/b, y 1/b con b 0 son

construibles. Los nmeros construibles tienen estructura de campo, para demostrar suspropiedades se requiere de de los teoremas de Pascal y Desargues y omitiremos estaspruebas.

En lo que sigue, supongamos que a y b son construibles y mostremos que a + b,ab y 1/a son construibles.

Construccin de a + bPrueba : como a y b son construibles, podemos decir que = | | y = | | sobreuna recta tomamos el segmento y tomando como centro B trazamos una


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circunferencia de radio la longitud |b|, esta cortar la recta que contiene al segmento en el punto D y el segmento ser el segmento de longitud |a + b|. (Ver figura 2-11).

Figura 2-11: Construccin de a + b.

Construccin de a bPrueba : Como a y b son construibles, podemos decir que = | | y = | | sobreuna recta tomamos el segmento y tomando como centro B trazamos unacircunferencia de radio la longitud |b|, esta cortar la recta que contiene al segmento

en el punto D y el segmento ser el segmento de longitud |a b|. (Ver figura 2-12).

Figura 2-12: Construccin de a b.

Construccin de ab Prueba : Tomemos dos recta m y n que se corten en el punto O, en m trazamos (a partirde O) un segmento de longitud |a|, en n trazamos (a partir de O) los segmentos delongitud 1 y |b|, trazamos el segmento que una, por el punto B trazamos una rectaparalela a que corte a la recta m en el punto Q. As se obtienen dos tringulossemejantes OAP y elOQB de dondeOB1 =

OQOB Es decir

|a|1 =

OQ|b| , el segmento tiene longitud |ab|, (Ver figura 2-13).

A B Da b

a + b

A BDa

ba - b


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Figura 2-13: construccin de ab.

Construccin de a/b Prueba : Tomemos dos recta m y n que se corten en el punto O, en m trazamos (a partir

de O) un segmento de longitud |a|, en n trazamos (partir de O) los segmentos de longitud1 y |b|, trazamos el segmento que una, por el punto P trazamos una recta paralela a

que corte a la recta m en el punto Q. As se obtienen dos tringulos semejantesOQP y elOAB de dondeOQ1 =

OAOB Es decir

OQ1 =

|a||b| , el segmento tiene longitud

|a||b| . (Ver figura 2-14).

Figura 2-14: construccin de a/b.

En particular si a =1 es posible construir con regla y comps el nmero 1/b.

Construccin de , con a > 0Prueba : En una recta trazamos un segmento de longitud 1y BA de longitud |a|.

Trazamos la semicircunferencia de centro el punto medio de OA y radio1+2 . Trazamos laperpendicular a OA que pase por B, que cortara a la semicircunferencia en el punto C. El

O

P

A

B

Q

n

b

a

1

O

P

A

B

Q

n

b

a

1


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OCB es semejante con BCA, tenemos: = o sea: 1 =| |

entonces (BC)2 = |a|,

luego BC = , (Ver figura 2-15).

Figura 2-15: Construccin de

Para un estudio inicial que muestre relaciones entre Algebra y Geometra puedenconsultarse en Prez [14] y Stewart [16].

2.1.9 Primeras construcciones bsicas con regla y comps comoestrategia didctica para el aprendizaje de la construccinde figuras

Una de las formas de abordar la geometra elemental hoy en da est basada en elconcepto de mtrica: se miden distancias, se miden ngulos y las ideas fundamentalesde congruencias y segmentos y congruencia de ngulos se dan en trminos de distanciay medida angular. Respectivamente las herramientas utilizadas son una regla graduadacon la cual es posible medir longitudes de segmentos con toda precisin y, desde luego,trazar rectas entre dos puntos dados y un transportador que permite medir ngulos. Eluso de estos instrumentos llevo a resolver una buena cantidad de problemas tericos porejemplo. Muchos de los llamados teoremas de existencia cuya demostracin exige una

construccin y a plantear otros cuantos que solo pudieron ser resueltos en la pocamoderna cuando el desarrollo del algebra proporciono otras tcnicas matemticasconsideradas, en cierta forma, ajenas al razonamiento geomtrico. Gutirrez [10]

La elaboracin de propuestas en la construccin de figuras con instrumentos como losnombrados con anterioridad, hace necesario que se describa cuales fueron las primeras


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construcciones y la forma como deben ser construidas. Algunas de las construccionesque se pueden realizar con regla y comps se explicaran a continuacin:

2.1.10 Mediatriz de un segmentoA partir de dos puntos A y B podemos construir elsegmento que los une. Pinchamos ahora con el en Ay trazamos una circunferencia tomando como radio ladistancia entre A y B. Despus pinchamos en B ytrazamos otra circunferencia cuyo radio es la mismadistancia anterior. De esta forma hemos construidos

dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortanlas dos circunferencias C y D. Uniendo esos dos

puntos obtenemos la mediatriz del segmento inicial. (Ver figura 2-16).

2.1.11 Bisectriz de un ngulo

Para esta construccin se utilizan trespuntos no alineados A, B y C trazamoslas rectas que pasan A y B y B y C concentro en B trazamos un arco decircunferencia que corte a la recta AB,obteniendo el punto D. Ahora trazamos unarco de circunferencia con centro D y radiola distancia entre D y B y otro arco concentro en E y radio la misma distancia.Esos dos arcos se cortan en un punto F.

Trazamos la recta que une ese punto con B y obtenemos la bisectriz del ngulo formadopor A, B y C. (Ver figura 2-17).

A B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

Figura 2-1Figura 2-16: Mediatriz de unsegmento

Figura 2-17: Bisectriz de un ngulo.


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2.1.12 Paralela a una recta dada

Para esta construccin se utiliza tres puntos noalineados O, A y B: trazamos la recta que pasa por O

y A. Despus trazamos un arco de la circunferencia decentro B 2 y radio de la distancia entre O y A y otroarco de circunferencia de centro A y radio la distanciaentre O y A. Acabamos de construir otro punto E: elpunto de corte de los dos arcos de circunferencia.

Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y porB obtenemos la paralela buscada. (Ver figura 2-18).

2.1.13 Divisin de un segmento en partes iguales

Partiendo de 0 1 trazamos el segmento que los une, que ser el que vamos a dividiren partes iguales. Trazamos arco de circunferencia con centro en cada uno de esospuntos y radio la distancia entre ellos. Obtenemos dos puntos de corte de esos arcos.Tomamos uno de ellos, digamos 2, y trazamos la semirrecta que parte de 0 y pasapor 2. Llamemos a esta semirrecta . Con centro en 2 y radio la distancia entre

0 2 trazamos una circunferencia que cortar a en otro punto, digamos 3. Concentro en 3 y radio la distancia entre 0 2 trazamos una circunferencia que cortara a en otro punto, digamos 4. Continuamos con el proceso hasta que hayamos dividido la

semirrecta en partes iguales. Segn nuestra notacin pararamos en el punto +1.Ahora trazamos el segmento que une +1 con 1 y vamos trazando semirrectasparalelas a ste que pasen por cada uno de los puntos obtenidos en la semirrecta yque corten al segmento inicial. As conseguimos dividirlo en partes iguales.

O A

B E

Figura 2-18: Paralela a unarecta dada


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2.1.14 Perpendicular a una recta dada

Para esta construccin se utiliza tres puntos no alineadosO, B, C, trazamos la recta que pasa por O y B. Se quieretrazar la recta perpendicular a esa que pasa por C.Trazamos la mediatriz del segmento que une O y B. Si Cpertenece a esa mediatriz ya hemos acabado. Y si nopertenece trazamos la paralela a la mediatriz que pasa porC como hemos explicado justo antes. (Ver figura 2-19).

2.1.15 Construccin del tringulo equilteroTriangulo equiltero: Trazamos una circunferenciacon centro en A y radio AB y otra con centro en B y mismoradio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos C. Trazando los

segmentos AC y BC obtenemos el triangulo equilteroABC. (Ver figura 2-20).

2.1.16 Construccin de un cuadrado

Cuadrado: Trazamos una circunferencia con centro A yradio AB Esa circunferencia corta al en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos . Trazamos la rectaparalela al

que pasa por y la recta paralela al eje

que pasa por B. El punto de corte de las mismas, digamosQ, es el vrtice que nos faltaba. Trazando los segmentos AP,PQ y QB, obtendremos nuestro cuadrado. (Ver figura 2-21).

A B

C

1

1

A B

P Q

O B

C

MEDIATRIZ DE OB

Figura 2-19: Perpendicular auna recta dada.

Figura 2-20: Tringuloequiltero.

Figura 2-21: Cuadrado.


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2.1.17 Construccin del pentgono regular:Trazamos dos rectas perpendiculares que denominaremos eje x y eje y, a cuyainterseccin llamamos O. Trazamos la paralela al que pasa por , digamos . Se

traza la mediatriz ddel segmento

obteniendo el punto como corte con el .Trazamos la circunferencia de centro y radio

, digamos 1. Obtenemos el punto como corte de 1 con la recta . Con centro Otrazamos la circunferencia de radio , 2, obteniendo el punto de corte en el eje .Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio , 3. Obtenemos el punto al cortar

1 y el punto como corte con la mediatriz del segmento . Para obtener el vrtice quenos falta, , simplemente construimos el punto simtrico a respecto de la mediatriz delsegmento . Uniendo los vrtices obtenemos el pentgono regular buscado. (Ver figura2-22).

2.1.18 Construccin del hexgono regularCon radio AB trazamos circunferencias con centro Ay B. Tomamos unos de los puntos digamos de corte,digamos O. Ese es el centro del hexgono. Trazamosahora la circunferencia de centro O y radio OA.Obtenemos los puntos P y Q como cortes con lascircunferencias anteriores y R como corte con el

. Trazando la paralela al que pasa por B

obtenemos el ltimo vrtice S, como corte de estarecta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo

los vrtices obtendremos el hexgono regularbuscado. (Ver figura 2-23).

1

1

B

r

AO

C1

MC2

S

C3

P

Q

1

1

O

A B

P Q

R S

Figura 2-22: Pentgono Regular.

Figura 2-23: HexgonoRegular.


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2.1.19 Construcciones slo con regla o slo con compsSe refiere a los intentos de realizar, utilizando nicamente uno de los instrumentos, todaslas construcciones que Euclides haba logrado con regla y comps.

Esto condujo a resultados que demostraron la posibilidad real de obtener cualquierconstruccin contando slo con el comps, exceptuando claro est el trazado de rectas.Se llego a que todos los puntos que conforman una construccin estn al alcance delcomps y que se puedan despreciar las rectas sin perder el sentido de dichaconstruccin.

Pero en el caso de la regla, se lleg a la conclusin de que era este instrumento de

manera individual no permite realizar todas las construcciones; por ejemplo, no sepueden trazar segmentos equivalentes al valor de la raz cuadrada de un nmero. De allse dedujo que era indispensable contar, por lo menos, con una circunferencia y su centroprefijados en la hoja. O de lo contrario, se deba tener un comps de apertura fija(tambin denominado tenedor o comps oxidado) que posibilite trazar circunferencias deun nico radio.


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3. Aspectos histricos - epistemolgicos

Para llegar a introducir el tema y para que el estudiante lo maneje y quede inmerso en eltrabajo cotidiano, es indispensable el manejo de todos los aspectos que giran alrededorde dichos temas, es entonces relevante, Par el caso que nos ocupa, consideramosimportante, conocer iniciar con algunos aspectos de la historia de la geometra, de lospolgonos regulares y como fueron las primeras construcciones de polgonos con regla y

comps; aspectos que nos permitieron encontrar elementos tiles para el desarrollo de lapropuesta.

3.1 Los inicios de la geometraLa palabra geometra est formada por las races griegas: geo, tierra y metrn,medida, por lo tanto, su significado es medida de la tierra. Segn lo registra la historia,los conceptos geomtricos que el hombre ide para explicarse la naturaleza nacieron en

forma prctica a orillas del ro Nilo, en el antiguo Egipto. Las principales causas fuerontener que remarcar los lmites de los terrenos ribereos y construir diques paralelos paraencauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundacionesperidicas. Pero el verdadero motivo era que las clases altas conocan de esta maneracuanto sembraban sus sbditos para luego saber cunto deban cobrarles de impuestos.

Para medir las tierras los egipcios y los babilonios aprendieron a calcular el rea de losrectngulos y de los tringulos usando cuerdas para resolver problemas de herencia,

mas adelante conocieron polgonos como el pentgono, hexgono, heptgono y enespecial los crculos. Gracias a estos descubrimientos por parte de estas y otrascivilizaciones se lograron: creacin del sistema sexagesimal para elaborar el calendario yel almanaque, tiles para el cultivo del cereal; nace la astronoma; la divisin de lacircunferencia en trescientos sesenta grados.


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El hombre entonces, ve la necesidad de crear instrumentos que le permitieran acercarsems a la realidad de los objetos u otros; por lo tanto, los primeros instrumentos sern ensu principio solo punzones y tablillas encerradas (ver(http://www.geocitiescom/fudbiro/Antecdentes.html)), y ms adelante para poder

conseguir firmeza en los trazos e idealizar los objetos a dibujar crea la regla y el comps.

3.2 Pensamiento matemtico GriegoPara los antiguos griegos, la matemtica era un arte y estaba ms vinculada con lafilosofa que con los problemas prcticos de la vida ordinaria.

El tratamiento que le dieron la dividi en cuatro campos diferenciales y bien reconocibles:la teora de los nmeros, la geometra mtrica (referida al desarrollo de las frmulas paracalcular el rea y el volumen de las figuras y cuerpos geomtricos conocidos), la teoradel razonamiento, y la geometra no mtrica centrada en las construcciones geomtricascon regla y comps.

De todo esto, fue el ltimo campo el que ocup el lugar privilegiado y en el cual hicieronms aportes.

Este tipo de geometra era, segn la consideracin de Platn (Grecia, 427 347 a. C.), elarte de la mente. Su concepcin de un mundo de las ideas y de un mundo de lossentidos se ve reflejada directamente en las construcciones. En el mundo quepercibimos todos los das, el mundo real, el potencial de la regla y el comps se veareducido a una simple aproximacin que poda alcanzar mayor o menor grado deprecisin. Pero en el mundo ideal, el que se manifiesta en nuestras mentes, lasconstrucciones son perfectas y manifiestan de manera pura a la belleza.

La razn de esto se encuentra en que las rectas y las circunferencias eran vistas comolas curvas perfectas y bsicas a partir de las cuales todas las dems construcciones eranposibles. Y su presencia en el mundo fsico se lograba a travs de la regla y el comps,los denominados instrumentos divinos.


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Con ellos se aseguraba una geometra simple, ordenada, armnica y estticamente bella.Y fue justamente esto, con el objetivo de mantenerla as, inalterable y cercana a lo ideal,lo que motiv la implementacin de restricciones arbitraras a lo que se poda utilizar paracrear las construcciones. Adems, Platn consideraba que cualquier otro instrumentohara intervenir y depender demasiado del mundo fsico, dejando relegado al mundo delo ideal y lo perfecto. En tanto que Pappus (Grecia, Siglo V) indicaba que si unaconstruccin puede realizarse con regla y comps, cualquier otra solucin utilizandomedios distintos no era satisfactoria.

Es importante tambin mencionar aquellos filsofos griegos que dieron su aporte en lageometra y en la construccin de polgonos y otras figuras ya que gracias a ellos se dioel carcter cientfico, incorporaron las demostraciones en base a razonamientos. Uno deellos es Tales de Mileto (600 a.d.c), explic diferentes principios geomtricos a partir deverdades simples y evidentes, fue el primer filosofo que intent dar una explicacin fsicadel universo, que para l era un espacio racional pese a su aparente desorden sinembargo, no busco un creador en dicha racionalidad, pues para el todo naca del agua, lacual era el elemento bsico de lo que estaban hechas todas las cosas. Supona que latierra flotaba en un ocano infinito.

En geometra, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elabor un conjuntode teoremas generales y de razonamientos deductivos que posteriormente fue recopiladoPor Euclides en su obra Elementos.

Otro filsofo importante en el desarrollo de la geometra fue Pitgoras (582-496 a.c), suescuela era reconocida por el pentgono estrellado, que lo llamaba Pentalfa (cinco alfas).Jugaban con piedritas y formaron los nmeros cuadrados y rectangulares, gracias a l ya su escuela se le da un carcter deductivo a la Geometra y su famoso teorema llamadopor su nombre Teorema de Pitgoras.

Platn mostr la importancia del estudio de la geometra y para l, el orden en el que sedeba impartir su enseanza era el siguiente: las definiciones, los axiomas, lospostulados y los teoremas; tambin Euclides lo tuvo en cuenta para la elaboracin de sulibro. Los slidos platnicos, cuerpos platnicos, cuerpos csmicos, slidos pitagricos opoliedros de platn, son cuerpos geomtricos caracterizados por ser poliedros convexos


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cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cuyos vrtices se unen el mismonmero de caras.

Para platn solo existen cinco poliedros regulares, los cuales tambin se denominan

slidos platnicos, el tetraedro regular, de cuatro caras triangulares; el hexaedro, o cubode seis caras cuadradas; el octaedro regular, de ocho caras triangulares; el dodecaedroregular, de doce caras pentagonales; y el icosaedro regular de veinte caras triangulares.La denominacin de slidos platnicos se debe a que la escuela platnica atribuyo unacorrespondencia mstica entre el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, con locuatro elementos naturales: tierra, fuego, aire y agua, en cuanto al dodecaedro loconsideraban como la forma que envuelve la totalidad del universo. Castillo [3].

3.3 Las primeras construcciones de polgonos regularescon regla y comps

Se puede decir que una Construccin con Regla y Comps consiste en la determinacinde puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de la mismas) a partirde una regla y un comps. Collantes [5]. La geometra clsica griega fue la primera enimplementar la norma para que todas las construcciones fueran realizadas con estosinstrumentos, y aparte de estos, existieron otros bsicos que fueron utilizados. Para losgriegos todas las figuras que se imaginaban deban ser sistemticamente construibles atravs de estos instrumentos, de lo contrario lo consideraban poco elegante.

Existieron considerables intentos para la construccin de figuras con regla y compsentre ellas se encuentra: Abul Wefa (Persa del siglo X), que se preocup por los objetosque podan ser construidos solo con regla y comps rgida o comps oxidado, uninstrumento que permita trazar circunferencias de nico radio prefijado. Para la pocadel Renacimiento, Leonardo Da Vinci y otros se preocuparon por este tipo deconstrucciones, pero hasta 1673, cuando apareci en msterdam un libro annimo(posteriormente se supo que el autor fue George Mohr), llamado Compendius EuclidisCuriosi que daba un tratamiento serio al problema. Ms adelante en Londres, WilliamLeybourn, escribi un libro acerca de juegos y pasatiempos con regla y tenedor (untenedor puede hacer las veces de comps rgido). En 1794 el italiano Lorenzo


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Mascherani prueba que toda construccin con regla y comps poda ser realizadanicamente con el comps (aunque esto fue un aporte por Mohr).

En el siglo XIX el francs Poncelet, demostr que toda construccin con regla y compspuede ser llevada nicamente con regla y comps rgido (o sea un tenedor); y, el suizoJacob Steiner, prueba que bastaba nicamente con una regla y una circunferencia fija enel papel para realizar las construcciones.

Solo hasta el siglo XIX, las demostraciones de los teoremas fundamentales sobreecuaciones polinmicas, la comprensin de los nmeros irracionales y trascendentes, yel algebra abstracta fueron explicadas a travs de la regla y comps, pero hubo otrosteoremas que no fueron posibles de explicar a travs de estos instrumentos tales como:la construccin de la cuadratura del crculo, la duplicacin del cubo y la triseccin delngulo y la construccin del heptgono regular (el primero de los infinitos polgonosregulares imposible de crear con regla y comps), y el endecgono regular.

La historia muestra, que Napolen pudo haber demostrado, en el momento en que lepropone a Mascherani la posibilidad de realizar cualquier construccin con regla ycomps a partir de una coleccin infinita de palillos de dientes planos y del mismotamao; Esta demostracin, solo fue validada en el ao de 1939 por Dawson. Para elsiglo XX, finalmente se prueba que solo haca falta la regla, el centro de la circunferenciay un arco de tamao arbitrario de la misma.

Gauss a los 19 aos encontr una construccin geomtrica para construir e

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ricardoramirezchaparro.2011