Riešenie príkladu výsledným pomerom a s váhou Etapa I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Váha

T4max 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

RPMmax 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

Startt 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

NakladyF 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Úspešnosť C 4/4 4/4 3/4 2/4 3/4 3/4 3/4 1/4 3/4 3/4 Úspešnosť T 2/2 2/2 1/2 0/2 0/2 0/2 2/2 0/2 1/2 1/2 0,625 Úspešnosť Č 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 0/1 0/1 1/1 1/1 0,075 Úspešnosť F 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 0,3

[ ]%5,72725,010.4

3313332344=

+++++++++=CE

[ ]

[ ]

[ ]%303,01.3,01010.3,0

%606,08,0.075,010

11111111.075,0

%12,2828125,045,0.625,010.2

112122.625,0

===

==+++++++

=

==+++++

=

VF

VČ

VT

E

E

E

[ ]%13,6464125,03,006,028125,0 =++=++= VF

VČ

VT

VC EEEE

• 1. Konštrukcia systémov – systémový a procesný pohľad • 2. Teória informácií – informačná hodnota, entropia. • 3. Základy teórie pravdepodobnosti – javové pole, podmienená

pravdepodobnosť, geometrická pravdepodobnosť, odhady. • 4. Hodnotenie kvalitatívnych parametrov systémov, experimentálna

identifikácia, znalostná báza, vzťah spoľahlivosti, bezpečnosti a efektívnosti.

• 5. Informačné systémy – syntéza a analýza informačných systémov, procesný a systémový pohľad,

• 6. ZÁPOČTOVÁ PÍSOMKA - príklady • 7. Podniková integrácia a podnikové informačné systémy – štruktúry,

štandardy a vývojové trendy • 8. Mikroinformačné systémy – mobilné riešenia pre riadenie, diagnostiku,

monitorovanie • 9. ZÁPOČTOVÁ PÍSOMKA – teória • 10. NÁHRADNÁ ZÁPOČTOVÁ PÍSOMKA – udeľovanie zápočtov

Pravdepodobnosť v technike a informatike

Ing. Vladimír Gašpar

Náhodný jav – abstraktný pojem opisujúci výskyt udalosti, ktorú je možné množinovo popísať, Javový výrok – boolovská hodnota, ktorá hovorí či jav nastal alebo nie, Javové pole – abstraktný priestor, ktorý vymedzuje všetky možné javy aktuálne riešeného problému, Booleova algebra – logické operácie pre počítanie s javmi, Prienik – logický operátor „a“ ( ). Tá časť javového poľa, kde platí jav A spolu s javom B. Zjednotenie – logický operátor „alebo“ ( ). Tá časť javového poľa, kde platí jav A alebo jav B.

∨

∧

Istý jav (I) – jav, ktorý pokrýva celé javové pole, Nemožný jav (O) – jav, ktorý sa nenachádza v javovom poli, Opačný jav – negácia javu, Odvodený jav – značí sa symbolom ⊆ napr. A ⊆ B, t.j. z A vždy plynie B. To znamená, že ak nastane jav A tak jav B je istým javom.

A B BAAB ∧= BAAB ∧= BABA ∨=+

BABA ∨=+ BABA ∨=+ BABA ∧= ABABAB ∧==−

( ) ( ) ( ) ( )ABBAABBABA ∧∨∧=−+−=∆

Symetrická diferencia

• Predpokladáme, že jav A aj opačný jav k javu A patria do toho istého javového poľa. Platí teda, že

• Ak vykonáme n pozorovaní javu A potom predpokladáme, že jav A nastal x-krát a teda jav opačný nastal n-x krát.

• Ak sa podmienky počas pozorovania nezmenili môžeme konštatovať, že vzťahy

hovoria o pravdepodobnosti, javu A a opačného.

IAA =∨

( ) ( )xn

xAPnxAP

−== ;

• V prípade, ak platí, že všetky sledovateľné javy A1, ...,Am patria do toho istého javového poľa, potom platí:

• Ak platí, že sa podmienky pri opakovaní pokusu nezmenia, tak pri nekonečnom počte pokusov osciluje empiricky zistená „pravdepodobnosť“ (relatívna početnosť) okolo konštanty. Čím viac opakovaní, tým sú odchýlky oscilácie nižšie.

( ) 1...21 =∨∨∨ mAAAP

( )∑=

=m

iiAP

11

• Hod dokonale vyváženou mincou, ak sledovaný jav je padnutie mince na líce.

• L R R L L R R R L L R L L L R R R L R R L L L R R

• Vypočítaná hodnota pravdepodobnosti, že nastane jav A na základe všetkých existujúcich možností.

Napr. pravdepodobnosť, že práve pri 1 hode 6 stennou kockou padne číslo 2 je. 1/6.

Šanca tvorí základ teórie kombinatoriky.

• Platí, že

• Ak poznáme P(A|B), potom P(B|A) vyjadríme ako

( ) ( )( ) ( ) 0,| ≠= BPakBP

ABPBAP

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,|| ≠= APakAP

BPBAPABP

• Pre 2D

• Pre 3D

• Pre 2D

• Pre 3D

( ) [ ]%2525,02525,6

.

.2

2

21

2

1 ====rr

SSAP

ππ

( ) [ ]%91,3434907,0900

1592,31430.30.70.70.100

... 2

2

1 =====ππ

cbavr

VVAP

• Pri výrobe bolo zistené, že zo vzorky 300 súčiastok je v priemere jedna súčiastka chybná (chyba nie je špecifikovaná).

• Aká je pravdepodobnosť, že chyba na chybnej súčiastke zasiahne práve kritický priestor.

• Pri výrobe bolo zistené, že zo vzorky 300 súčiastok je v priemere jedna súčiastka chybná (chyba nie je špecifikovaná).

• Aká je pravdepodobnosť, že chyba na chybnej súčiastke zasiahne práve kritický priestor.

( ) [ ]%91,3434907,0900

1592,31430.30.70.70.100

... 2

2

1 =====ππ

cbavr

VVAP

( ) [ ]%33,03300,0300

1==BP

( ) ( ) ( ) [ ]%115,00011519,00033,0.34907,0. === BPAPABP

• Meraním bolo zistené, že priemerná úspešnosť prenosu TCP paketov v neudržiavanej metalickej sieti je 970 z 1000 paketov.

• Odhadnite aký objem dát sa v tejto sieti stratí (počet paketov aj objem dát), ak veľkosť paketu je 32kB (spolu s 2kB hlavičkou) a prenáša sa 750MB súbor.

• Meraním bolo zistené, že priemerná úspešnosť prenosu TCP paketov v neudržiavanej metalickej sieti je 970 z 1000 paketov.

• Odhadnite aký objem dát sa v tejto sieti stratí (počet paketov aj objem dát), ak veľkosť paketu je 32kB (spolu s 2kB hlavičkou) a prenáša sa 750MB súbor.

Jav A – úspešnosť prenosu ; Jav opačný – chybovosť prenosu Veľkosť dátovej zložky paketu je teda 32kB-2kB = 30kB Pri 3% stratovosti paketov sa v sieti stratí približne 22,5 MB dát, t. j. 768 paketov neprejde.

( ) 03,010009701 =−=AP

[ ][ ]

[ ]MBSpaketovS

paketovN

D

P

P

5,2203,0.75076803,0.25600

25600301024.750

====

==

• Poznáme x,y hodnoty. • Nech x je teplota prostredia [°C] na dopravníku a y je

chybovosť výrobkov [ks] (platí predpoklad lineárnej závislosti).

• Majme 4 merania: {[20,0];[40,5];[70,17];[85,18]}

• Lineárnou regresiou odhadnite koľko výrobkov bude chybných pri teplote 100°C.

x y x2 y2 xy 20 0 400 0 0 40 5 1600 25 200 70 17 4900 289 1190 85 18 7225 324 1530

SUMA 215 40 14125 638 2920

rxy = 0,984785

Závislosť medzi veličinami x,y existuje a má silne proporcionálny / priamoúmerný charakter

rxy = 0 – neexistuje vzťah medzi veličinami rxy > 0 & rxy <=1 – existuje priamoúmerný vzťah medzi veličinami rxy < 0 & rxy >=-1 – existuje nepriamoúmerný vzťah medzi veličinami

0,2998.100 6,1119 23,8681y = − =

Pri teplote 100°C na dopravníku sa poškodí cca 24 výrobkov

• Opakovanie príkladov (ak bude treba) – Modelovanie

• Prvé 3 kroky návrhu systémov • IDEF0 • Grafová a maticová reprezentácia

– Teória informácií • Sigmatická, syntaktická, spojená miera informácie

– Hodnotenie efektívnosti • Absolútne (binárne) vyjadrenie efektívnosti • Relatívne (pomerové) vyjadrenie efektívnosti

– Pravdepodobnosť • Geometrická pravdepodobnosť • Odhad chybovosti výrobkov • Odhad chybovosti v sieti

• Informačné systémy (ak nebude treba opakovať)