1

Náhodný jav a náhodná veličina

Vlastnosti NV

Diskrétna a spojitá NV

2

Náhodný jav

charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne,

alebo kvantitatívne – číselne.

Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu (xi )

3

Náhodná veličina (NV)

Je určená výsledkom náhodného pokusu

Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu

Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo hodnoty z rôznych intervalov

Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

4

Diskrétna NV

Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu

Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty

5

Príklady na diskrétnu NV

Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100

Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)

Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)

Odmeraný smer na stanovisku Adičná konštanta a pod.

6

Spojitá náhodná veličina

Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný.

7

Príklady na spojitú NV Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom

chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mm

Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty

Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre

Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)

8

Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)

Zákon rozdelenia NV

9

matematickým vzorcom distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV

grafom na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny x i a na osi y sú jej

príslušné pravdepodobnosti P(xi)

pravdepodobnostnou tabuľkou u diskrétnej náhodnej veličiny

Popis zákona rozdelenia pravdepodobnosti NV

10

Distribučná funkciaSlúži k popisu diskrétnej aj spojitej NVKaždému reálnemu číslu priraďuje

pravdepodobnosť, že náhodná veličina x nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo

Distribučná funkcia spojitej NV

) ( )( ii xxPxF

dxxxFx

)(

11

Vlastnosti distribučnej funkcieDistribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1

vrátane

Distribučná funkcia je neklesajúca

Distribučná funkcia je spojitá zľava

Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky

)()0( ixxPxF

1)(0 xF

0 )(F

1)(F

)()(x 2121 xFFxx

)()0( xFxF

12

Graf distribučnej funkcie

Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností

13

Výpočet kumulatívnej početnosti (pravdepodobnosti)

  r f (%) r f Ft Ft*100

1 -0.456 0 0.0 0 0.0 0.0002 0.02

2 -0.391 1 0.4 1 0.4 0.0013 0.13

3 -0.326 2 0.9 3 1.3 0.0062 0.62

4 -0.261 5 2.2 8 3.5 0.0228 2.28

5 -0.196 8 3.5 16 7.0 0.0668 6.68

6 -0.130 13 5.7 29 12.6 0.1587 15.87

7 -0.065 38 16.5 67 29.1 0.3085 30.85

8 0.000 44 19.1 111 48.3 0.5000 50.00

9 0.065 55 23.9 166 72.2 0.6915 69.15

10 0.130 28 12.2 194 84.3 0.8413 84.13

11 0.196 24 10.4 218 94.8 0.9332 93.32

12 0.261 7 3.0 225 97.8 0.9772 97.72

13 0.326 2 0.9 227 98.7 0.9938 99.38

14 0.391 2 0.9 229 99.6 0.9987 99.87

15 0.456 1 0.4 230 100.0 0.9998 99.98

14

Symbolika

– triedny interval r – skutočné početnosti f (%) – relatívne početnosti

n – počet hodnôt r – kumulatívne početnosti f – kumulatívne relatívne početnosti Ft – teoretická distribučná funkcia

Ft*100 – kumulatívne pravdepodobnosti

100% n

rf

15

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

x

x

Graf distribučnej funkcie

diskrétnej NV spojitej NV

16

Pravdepodobnostná tabuľkaPopisuje len diskrétnu náhodnú premennúJe najjednoduchšou formou zákona rozdelenia

Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti

xi x1 x2 ... xnSpolu

P(i) P(1) P(2) ... P(n) 1

17

Pravdepodobnosť diskrétnej NVSúčet pravdepodobností je rovný 1

Pravdepodobnosť je určená vzťahom

Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom

1)( ixP

)()()( 1221 xFxFxxxP

ixx

iii xPxFxxP )()()(

18

Hustota pravdepodobnosti (x)

zobrazuje sa frekvenčnou krivkou popisuje rozdelenie spojitej NV má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť

pri diskrétnej veličine

x

xFxxF

dx

xdFxFx

x

)()(lim

)(0

19

Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti

1. Je nezáporná

2. Spĺňa vzťah

3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>

0x

1

dxx

dxxxxxPx

x

2

1

21

20

Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti

21

Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličínPopisujú hlavné vlastnosti NV Charakteristiky polohy Charakteristiky premenlivosti Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špicatosti Momentové charakteristiky

Charakteristiky náhodných veličín

22

Charakteristiky polohy

Stredná hodnotaMediánModusHarmonický priemerGeometrický priemerAritmetický priemerKvadratický priemer, ...

23

Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdelenia

Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny

Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

ix

ii xPxxE )(.)(

dxxxxE )(.)(

Stredná hodnota

24

Vlastnosti strednej hodnoty

Súčin konštanty a NV

Súčet dvoch náhodných veličín x a y

Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín

)(.).( xEkxkE

)()()( yExEyxE

)().().( yExEyxE

25

Medián

je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice

5,0)()( medmed xxPxxP

26

Modus

pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou

27

Aritmetický priemer

je to zvláštny prípad strednej hodnoty

Všeobecný aritmetický priemer

(vážený aritmetický priemer)

n

xxxx

nx i

nAP 21

1

i

iinn

iVAP p

xpxpxpxp

px 2211

1

28

Harmonický priemer

je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt

Príklad: priemerná rýchlosť

nHP xxxnx11111

21

29

Geometrický priemer

Príklad: finančný prírastok

nnGP xxxx .. 21

30

Kvadratický priemer

Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie

nxxx

x nQ

222

21

31

Momentové charakteristiky

Počiatočný moment k-teho rádu

Centrálny moment k- teho rádu

kk xE

kkk xExExE 1

32

Momenty diskrétnej náhodnej veličiny

)(xPxkk

x

kk xPxEx )(

33

Momenty spojitej náhodnej veličiny

dxxxEx kk )()(

dxxxkk )(

34

Charakteristiky premelivosti

VarianciaStredná kvadratická odchýlkaPriemerná odchýlkaPravdepodobná odchýlka

35

je mierou variability náhodnej premennej

je definovaná ako druhý centrálny moment

222 )()()()( xExExExExV

n

iii xPxExxV

1

2 )(.)()(

dxxxExxV i )()()( 2

Variancia (rozptyl, disperzia)

36

Vlastnosti variancie

Variancia konštanty

Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny

Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV

0)( kV

)().( 2 xVkxkV

)()()( yVxVyxV

37

Stredná kvadratická odchýlka

Základná charakteristika premenlivosti

Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka

)(xV

38

Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty

Prvý absolútny centrálny moment

V prípade skutočnej chyby v základnom súbore

hovoríme o priemernej lineárnej chybe

)(1 xExE

E

lL

39

Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty

medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty

V prípade skutočnej chyby v základnom súbore hovoríme o pravdepodobnej chybe

5,0)()( xExrPxExrP

5,0 rPrP

40

Normovaná náhodná veličina

Štandardizovaná veličina

Stredná hodnota normovanej veličiny

Variancia normovanej veličiny

)(xEx

u

0)( uE

1)( uV

41

Charakteristiky šikmosti

Tretí normovaný moment Koeficient šikmosti

Symetrické rozdelenie

33

3

3

3

)()(

xExEtA

0)(3 t

42

Charakteristiky špicatosti

Štvrtý normovaný moment

Koeficient špicatosti

Pre normálne rozdelenie je rovný 0Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako

normálne

44

4

4

4

)()(

xExEt

33)( 44

4 tE