1Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm

R I G T I G M U S I K – ” FA L S K E T O N E S Ø E R ” ?D E B AT ( 1 9 9 3 )

Af Per Nørgård & Ivar Frounberg & Jørgen Mortensen

fastholde, sammentænkende, såvel min sø-gen efter konsistente strukturer (som klassi-ske eksempler på sådanne kan måske nævnes de bach’ske ‘gådekanons’ eller de berg’ske og webern’ske 12-tone-vidundere) som min fak-tiske komposition med ‘forhåndenværende søm’. Dette er i hvert fald min erfaring (som jeg mener at dele med næsten alle de kolle-ger, jeg har diskuteret sagen med): at der er en art indåndings-udåndings-forhold mellem strengt forfulgte, teoretisk-praktiske mål og, på det løseste grundlag (og evt. korteste tid) færdiggjorte opus’er, der kvalitativt ikke (nød-vendigvis) står de ‘strengt’ skabte noget efter.

Karl Aage Rasmussen ynder at forestil-le sig den samtidige kompositionstekniske Zeitgeist for komponister i tidlige stadier af ‘store’ stilarter, såsom barok og klassik: en Schütz tænkte vel næppe, at ”det var egent-lig ærgerligt at være dømt til kun at være en forgænger til den store Bach” – men kompo-nerede ud fra den uomtvistelige nutids-be-vidsthed, som man må formode komponister deler med alle andre mennesker...

Dette er naturligvis rigtigt; men det er jo også rigtigt, at der, historisk set, vitterligt sy-nes at være en ‘teleologi’, en art stilistisk selv-organisering, kulminerende f. eks. i Bachs mangedimensionale kompositionsteknik: stadium for stadium i over 100 år kan man i hvert fald fastslå ‘u-omgørbare’ udviklinger henimod en super raffineret harmonik, en virtuos instrumentbehandling, en storslået formbeherskelse etc.: Det synes altså klart, at der samtidig med en ‘ukompliceret’ daglig-dags komposition udvikles et overordnet bøl-gemønster (udtrykt f. eks. i de nævnte moden-hedsudtryk).

Denne komplementaritet er ikke fremmed for komponisten, der kender til dobbelttydig-hed fra sin egen praksis. Og derfor kan han leve – i hvert fald på dét punkt – lykkeligt med viden om, at han komponerer med overleve-rede (evt. fra egen tidligere produktion), og

Debat: En reaktion på Ivar Frounbergs artikel om Jørgen Mortensens bog ”Per Nørgårds Tonesøer” i Dansk Musik Tidsskrift 1992-93, nr. 7, maj 1993.

Det er næppe indbildning når jeg aflæser en umiskendelig ‘opfordring til dans’ i Ivar Frounbergs kommentarer i forbindelse med Jørgen Mortensens bog om ‘mine tonesø-er’. Han forefinder en inkonsistens mellem på den ene side min egen søgen efter konsi-stens i de kompositionstekniske procedurer og – på den anden – min påviselige brug af en senere som ‘inkonsistent’ karakteriseret (=falsk) tonesø.

Det synes jeg, også, er spændende. Før jeg dog går ind på denne specielle problemstil-ling, vil jeg vie et par ord til belysningen af ‘grader af konsistens’: Det er ganske rigtigt (således som Frounberg gør opmærksom på) at jeg, på den ene side, anvender en 36-tone-række i min 5. Symfoni – og, på den anden, senere offentligt hænger denne række ud for at være en ‘falsk tonesø’!

Men det er også rigtigt, at begrebet ‘tone-sø’ ikke var dæmret for mig, da jeg anvendte 36-tone-rækken, som nemlig ikke er en ‘falsk’ tonerække: Tværtimod er det en særdeles strukturstærk og velproportioneret, kred-sende melodi, uden begyndelse og ende, der sammenvæver 4 tretone-rækker med forskel-lige startpositioner.

Det gør jo ikke denne tonerække forkert (‘falsk’), at jeg senere opdager, at såfremt 2 af disse 4 tretonerækker bliver udfoldet retro-gradt og derved, cyklisk, forbinder sig med de to normalt (‘med tiden’) udviklede, opstår der en 36-tone-‘sø’, der via en multiplikati-onsproces med 3 kan formere sig uendeligt med endelige ‘tonesøer’ og dette med en kon-sistens, der overgår den før omtalte 36-tone-kreds. I slutningen af dette indlæg skal jeg ar-gumentere herfor.

Men først til det efter min mening mest spændende ved Frounbergs udfordring: at

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm2

ces). Når det samtidig fastholdes, at der i den samlede rækkefølge på 36 toner indgår en meget streng indbyrdes intervalrelation (som kan anes i den 3. tones kvart/kvint-relation til den 7., den 6.’s til den 10. og den 9.’s til den 13.) kan fraværet af tilfældighed måske ud-trykkes ved kvaliteten af det flertydige potentia-le (på jævnere, men misforståeligere dansk: det er meget svært at forestille sig sådanne strukturelle egenskaber opstået på såvel sta-tistisk grund som udviklede ved simpelt ‘try-and-error’-slid).

NoterNørgårds artikel (Debat: Rigtig musik – ”fal-ske tonesøer”? – trykt i Dansk Musik Tidsskrift (Årgang 67, 1992-1993 nr. 8, 286) er en reak-tion på Ivar Frounbergs anmeldelse af Jør-gen Mortensens’ bog ”Per Nørgårds Tone-søer” (Det store & det små (dmt 67, 1992-93 nr.7 (maj), side 249). Debatten rummede des-uden svar fra Jørgen Mortensen (Debat: Svar til Ivar Frounberg) i DMT 67, 1992-1993 nr. 8, 286), samt indlæg af Svend Hvidtfelt Nielsen (Hvor går tiden hen?. Betragtninger over ‘fal-ske’og ‘ægte’ tonesøer) i DMT 68, 1994-1995 nr. 3, 128-130 – der til orientering begge bringes her, efter Frounbergs igangsættende anmel-delse.

måske om få år forladte, teknikker, samtidigt med at han evt. udvikler og forvandler dem!

Netop denne dobbelthed mellem et tidligt og et modent stadium af en teknisk nydan-nelse, kommer til udtryk i forskellen mellem den tidlige (og bl.a. i min 5. Symfoni anvendte) 36-tone-række og ‘Tonesøen: de 36’.

For overskuelighedens skyld, og for plads-hensynets, vil jeg blot belyse 13 af denne to-nesøs toner og disses forhold til tonaliteten (samt postulere at ‘således forholder det sig hele vejen’: Læseren henvises til mit efterord i Jørgen Mortensens bog, hvis han skulle få lyst til at erhverve sig et samlet overblik). – Se no-deeksempel 1.

I dette fragment kan (udover et fletværk af sti-gende og faldende, kromatiske linier) aflæses to, hinanden udelukkende, diatoniske pola-riteter, henholdsvis i Es/A- eller C/Ges-(dur). Med omtydning fra enharmonikken i eksem-plet til de to flg. tonale tydninger (som nævnt: hinanden udelukkende) opstår en dobbelt ‘gruppetilhørs-rytme’: Se nodeeksempel 2.

For sammenligningens skyld har jeg sværtet hhv. Es- og Ges-noderne. Herved bliver det ty-deligt, at det drejer sig om to tydninger, der fordrer forskellig notation (f.eks. h overfor

Eks. 1

Eks. 2

3Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm

vil kun med besvær forstå computertekniske program-formuleringer, mens programmø-rer ikke har brug for disse elementære for-klaringer. Den optimale forståelighed ville være opnået hvis de musikalske beskrivelser havde været rent håndværksmæssige, mens to efterfølgende appendices beskrev den ma-tematisk/logiske algoritme i et pseudo-pro-gramsprog og – behørigt adskilt – i konkret optimeret kode. Kun det sidste finder vi, om-end RAVEL-sproget har kryptiske egenskaber og der typografisk er sjusket med løkkeind-rykninger i appendix 4.

Jørgen Mortensens bog om Per Nørgårds ‘tonesøer’ viser meget om computerens egen-skaber: på den ene side kan rækkefænomener som uendelighedsrækken beskrives simpelt i en algoritme (ofte er nogle få programlinier nok!). Algoritmen kan så sættes i gang og der-efter beregner computeren den ene tone efter den anden, så længe computerens RAM ræk-ker. Denne proces kan kaldes ‘materiale-ge-nerering’.

Men efter den simple materiale-genere-ring kommer så den praktiske omsættelse i komposition. Denne proces kan computeren ikke hjælpe med og det fremgår da også tyde-ligt af Per Nørgårds efterord: ”Det er naturlig-vis næppe muligt at sætte sig ind i komposi-tionsprocessen og -oplevelserne....” Denne del af processen, som er nok så spænden-de, mangler fuldstændigt i bogen. Nok siger ovenstående citat, at det nærmest er umuligt, men nogle analyser af afsnit af de omtalte re-levante kompositioner, ville have været en be-gyndende indgang til en ‘kiggen komponisten over skulderen’ og et ønskeligt supplement.

Der kan ikke herske tvivl i mit sind om, at hvis Per Nørgård var startet med compute-ren, ville uendeligheds-rækkens og tonesø-ernes egenskaber simpelthen være gået tabt i mængden af toner. Dét, at udregne og skrive sin materiale-generering i hånden først, be-tyder at komponisten sér materialets egen-skaber i kraft af gentagelsen af den samme proces ”de 324” gange, eller som jeg selv har oplevet det: gennem at nedskrive mere end ét tusinde akkord-par!

Efterordet af Per Nørgård rejser flere inte-ressante spørgsmål. Han beskriver, hvorledes

DET STORE & DET SMÅ (Jørgen Mortensen: ”Per Nørgårds Tonesøer”. Vestjydsk Musikkon-servatorium, 1993)

Af Ivar Frounberg

Uendelighedsrækken fylder ikke meget, bare en halv A4-side skriver Jørgen Mortensen i sit forord. Strengt taget fylder den kun to linier: et DNA, der rummer en mangfoldighed, der strækker sig ud i uendeligheden. Resten af den halve A4-side er computerteknik.

Udgangspunktet for Jørgen Mortensen var et møde mellem ham og Per Nørgård på Ring-købing station i efteråret 1991. Jørgen Mor-tensen, der kender sin computer og som ken-der Per Nørgårds uendelighedsrække fra sin egen kompositoriske virksomhed, ”kunne ... ikke nære mig for at prale lidt.” Men det skal man ikke overfor Per Nørgård, der straks satte pralet på en prøve og dermed blev resultatet denne publikation: ”et forskningsresultat fra Vestjydsk Musikkonservatorium.”

Per Nørgårds Tonesøer består af en relativ lille del, en kortfattet beskrivelse af uendelig-hedsrækken og ‘tonesøerne’; hertil kommer fire appendices: én om fraktaler og tre med computerprogrammer, og så et stort nodeaf-snit med næsten 80 siders udskrifter af de for-skellige ‘tonesøer’. Alligevel kan man ikke sige at både det store og det små berøres i bogen. Groft set er det vel kun Per Nørgårds efterord, der indirekte berører ‘det små’— de kvalitati-ve elementer — men mere herom senere.

Mange af bogens forklaringer er forbilled-ligt enkle, og Jørgen Mortensen er ikke faldet i Per Nørgårds ofte esoteriske formulerings-stil. Men, der sker kvantespring, som ikke øger forståeligheden for ikke-indviede: ”Den enkleste tonesø er på 12 toner, sammensat af 4 enkeltrækker med hver 3 toner.” – Jør-gen Mortensen trækker ikke sammenhæn-gen tilbage til de indledende beskrivelser af uendelighedsrækkerne, og nævner slet ikke at de valgte enkeltrækker udgør en kvint-ud-gave af uendelighedsrækken! Derudover har jeg forbehold overfor sammenblandingen af matematisk/logisk algoritme og indføring i programmeringssprog. De fleste musikere

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm4

relationerne i brugen af uendelighedsrækken groft kan beskrives som ”den elementære” i Rejsen ind i den gyldne skærm eller i 2. Symfo-ni og den ”komplicerede” som i 3. Symfoni. Denne perspektivering peger mod en grund-liggende kompositorisk problemstilling, der ligger udenfor bogens rammer, men som man kunne ønske sig en videre diskussion af.

Pudsigt nok opleves ‘regnefejl’ som musi-kalsk forsvarlige, det har Per oplevet med of-fentliggørelsen af ‘de falske 36’ i DMT nr. 4 1987/88, der er grundlaget i f.eks. 5. Symfoni. Igen efterlyser jeg analyser: en påvisning af ‘fejlanvendelser’ eller – som Morton Feldman formulerede det – ‘systemernes sammen-brud’ kunne føre videre fra en forståelse af det materielle univers til det kompositoriske.

Ved gennemlæsningen af 5. Symfoni i for-bindelse med denne anmeldelse blev jeg be-kræftet i, at serialismen stadigvæk spøger gennem fraværet af harmonik i den bredeste forstand: som felter med begrænsede inter-valliske egenskaber. Selvom Jørgen Morten-sen beskriver de tonale felter (= harmonik i den snævre klassiske forstand) ses ‘ræk-kefølger’ at medføre, at den eneste form for harmonik, der er mulig i tonesøerne, er he-terofoni. Dette dimensionsbortfald bliver så meget mere interessant, fordi de tonale felter og akser Jørgen Mortensen beskriver i bogen ikke nødvendigvis er statistisk signifikante og dermed en objektiv egenskab for netop ‘tonesøer’.

Der beskrives, hvordan der opstår et kro-matisk equilibrium efter 81 toner i rækken. Når man derefter i tonesøerne udtyder tonale felter udfra tritonus-beslægtede tonaliteter, vil sandsynligheden for at en given tone tilhø-rer en given tonalitet være 7/12. Der er derfor intet mærkeligt i, at der opstår tonale felter. I tonesø ”de 108” er den tonale balance mel-lem de to tonaliteter så tæt på 108 * 7/12 = 63 som den kan være! Helt ekstremt har jeg for-søgt med en lineært distribueret tilfældighed i den kromatiske skala og fundet lignende to-nale felter og grupperinger.

I sit forskningsprojekt burde Jørgen Mor-tensen nok have gennemskuet dette og givet en mere udtømmende beskrivelse af de ob-jektive kvaliteter, som Per Nørgård refererer

til. Som det fremtræder nu, kan man accep-tere Per Nørgårds objektive kvaliteter som et kompositorisk udgangspunkt, men ikke som en specifik egenskab i materialet.

■

DEBAT: SVAR PÅ IVAR FROUN-BERGS ANMELDELSE AF MIN BOG (Per Nørgårds Tonesøer) I DMT nr. 7, 1993.

Af Jørgen Mortensen

Det hører vist egentlig ikke til god tone at svare på en anmeldelse, men når den direkte er behæftet med fejl, må det vel være på sin plads.

Til oplysningen om, at jeg skulle kende Per Nørgårds uendeligheds-række fra mit eget kompositoriske virke, må jeg sige, at jeg aldrig har anvendt andet materiale, end det, som jeg selv har udviklet. Jeg har hverken brugt Nørgårds eller nogen andens rækker el-ler systemer.

Den manglende sammenkædning mellem rækker og tonesøer, som anmelderen iagtta-ger, må vist skyldes, at han er kommet til at springe over side 21, for her står de formid-lende sætninger faktisk.

Anmelderen påstår, at de tonale felter og akser, som jeg beskriver, ikke nødvendigvis er statistisk signifikante.

Dette er ikke rigtigt. Jeg har ikke været uvi-dende om, at også tilfældigt udvalgte toner vil gruppere sig i tonale felter, forstået som et udvalg af toner, der tilhører en bestemt dur-tonalitet. Men de tonale flader er på en eller anden måde selve det fascinerende ved tone-søerne. Dette har jeg erfaret pr. øre, og jeg har grund til at tro, at det også er ud fra de fluk-tuerende tonaliteter, at Per Nørgård ‘tænder’ på tonesøerne. Hvis tonesøerne var konstant atonale – eller tonale – ville de nok ikke være interessante. I Nørgårds udvikling af tone-søerne lå da også i første omgang nogle to-nale overvejelser, og for de korte tonesøers vedkommende er der mange ejendommeli-ge regelmæssigheder, hvoraf nogle er påvist i bogen. For de større tonesøers vedkommen-

5Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm

de er billedet mere uregelmæssigt, men til gengæld optræder der tonale grupperinger af et omfang, som langt overgår, hvad en tilfæl-dighedsgenerator kan præstere.

Som et eksempel (se Eks. 3) kan man i ta-bel l se, hvorledes C-durs toner ‘afsættes’. 294 toner står som enkelttoner, dvs. en en-kelt tone tilhørende C-dur skalaen (f.eks, d) med mindst én tone, der ikke tilhører C-dur skalaen før og mindst én efter. Grupper á 2 toner – igen to C-dur toner med ”ikke-C-dur toner” før og efter – forekommer 161 gange, grupper á 3 toner 214 gange etc. (se tabel 1). Det ses, at 2 gange forekommer grupper á 21 toner, l gang en gruppe á 30 toner og 2 gan-ge en gruppe á 38 toner. De tilsvarende tal for 2916 tilfældigt udvalgte toner (her resultatet af en ‘gennemkørsel’ med en tilfældigheds-generator) kan – som det ses – slet ikke hamle op med dette. For fuldstændighedens skyld er grupperingerne af ”ikke-C-dur-toner” også vist (tabel 2). Den første af de to grupper med 38 C-dur toner kan iagttages i bogens udskrift fra slutningen af takt 90 på side 83. Der vil forekomme to korresponderende flader i Fis-dur. Jeg har givet disse tal til matematikeren cand. scient. Jørgen Harboe Jensen, som har regnet videre på dem og har fundet sandsyn-ligheden for, at der i 2916 tilfældigt udvalgte toner er et tonalt felt i en bestemt toneart på 20 toner eller mere. Der er 1.9 % chance for,

at der er ét sådant område Der er 0.0 % chan-ce for at der er 2 eller flere områder (tabel 3). Det er altså ikke tilfældigt, at der optræder så mange og så omfangsrige tonale felter. Der er en signifikant forskel på det observerede og tilfældigheder.

Det som ”Jørgen Mortensen nok burde have gennemskuet” er altså forkert.

Med hensyn til bogens indhold og sigte, så var det først og fremmest min idé at vide-regive disse musikalske strukturer, tonesøer-ne, — som for de flestes vedkommende blev synlige første gang på min computerskærm – til andre, samt at give en første gennemgang af deres struktur. Det er mit håb, at dette ma-teriale vil sætte andre i stand til at tage kvali-ficeret stilling til Per Nørgårds nyeste og for-mentlig også kommende værker. Med den strukturelle nøgle (der måske er fulgt!) i hån-den kan man kigge komponisten over skul-deren og bedømme selve musikken. En musi-kalsk struktur er jo, som nævnt i bogen, ikke det samme som en komposition.

Det var ikke bogens sigte at belyse de ny-este værker, som anvender tonesøerne, men jeg glæder mig til, at der må komme bøger og artikler – af andre, og måske også af mig selv — som belyser musikken og eventuelt uddy-ber forståelsen af tonesøerne.

■

Eks. 3

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm6

HVOR GÅR TIDEN HEN?

Af Svend Hvidtfelt Nielsen

I sin omtale af Per Nørgårds brug af tonesøer i 5. Symfoni (DMT nr. 7 1993/94, At redigere det moderne), bemærker Ursula Andkjær Olsen i en fodnote, at hun ikke vil komme ind på pro-blematikken om sande og falske tonesøer. I forbindelse med det ærinde Andkjær Olsen er ude i er det ganske forståeligt. Men det gør ikke problematikken mindre spændende. Selv om jeg vil foretrække at tale om ‘ægte’ i stedet for ‘sande’ tonesøer, vil jeg her tage Andkjær Olsens fodnote som en anledning til at prøve at belyse denne problematik. Og det kan der være flere grunde til.

For det første er dette forhold hidtil kun tå-get grænsende til misvisende behandlet. Om forholdet beretter Per Nørgård i sit efterord til Jørgen Mortensens bog, Per Nørgårds Tone-søer, noget svævende, at den falske tonesø op-stod ”på grund af en ukorrekt bestemmelse af tilbageløbende og fremadløbende uende-lighedsrækker” (Jørgen Mortensen: Per Nør-gårds Tonesøer, Vestjysk Musikkonservatori-um 1992, s. 64). Som eksempel på en sådan ”ukorrekt bestemmelse” vises da 36-toners-udvidelsen fra violinkoncerten Helle Nacht. Det ukorrekte i dette eksempel er at ingen af uendelighedsrækkerne er tilbageløbende.

For det andet kan netop forholdet mellem de ‘falske’ og de ‘ægte’ tonesøer give et ind-blik i de gradvise tilblivelsesprocesser i Per Nørgårds kompositoriske praksis, et indblik i hvorledes Per Nørgårds komplicerede serielle systemer ikke kommer i stand som åbenba-ringer, men er resultat af slidsomme ‘try-and-error’-processer.

Endelig kan en undersøgelse af forholdet mellem ‘ægte’ og ‘falske’ tonesøer bruges til at perspektivere Per Nørgårds teoretisk/filo-sofiske overvejelser over sine systemers im-plikationer, samt belyse vekselvirkningen mellem kompositionsteknik og teoretisk tolkning hos Per Nørgård.

Jeg vil forsøge at fremstille forholdet mel-lem de forskellige tonesø-versioner i form af en kronologisk gennemgang af teknikkens udvikling fra ‘forvandlingskugle’ til ‘tonesø’.

Denne gennemgang vil friste til at drage en forsøgsvis teoretisk konklusion af, hvilke filo-sofisk/teoretiske implikationer den ‘ægte’ to-nesø indebærer. En konklusion der – det må understreges – står helt og aldeles for under-tegnedes regning.

FORVANDLINGSKUGLENUdgangspunktet er ‘Forvandlingskuglen’, ‘De 12’, eller hvilket navn man vil hæfte på den toneranke, der for første gang optrådte i strygekvartetten Tintinnabulary.

Som Andkjær Olsen rigtigt fremhæver, er den konstrueret af fire kvintstabler, der kan grupperes to og to. Disse parvise gruppe-ringer repræsenterer to diatoniske skalaer i tritonus-afstand, C-dur og Fis/Ges-dur (re-præsenteret ved henholdsvis tonerne: F-C-G/A-E-H og H-Fis-Cis/Es-B- F).

Denne kvintstabling af en dia-tonisk ska-la med udelukkelse af en af skalaens toner (i C-dur versionen: D) genfindes i artiklen Er diatonik et universelt fænomen. Her argumen-terer Per Nørgård for, at den diatoniske ska-la kan afledes af overtone- og undertoneræk-ken. Nørgård skelner mellem ‘grundtoner’, dvs. de toner som man opbygger en durtre-klang over, og ‘fokustoner’, dvs. de toner der genererer en moltreklang nedad som diffe-renstoner. En fokustone er kvinten i en mol-treklang, mens en grundtone er, ja, grund-tonen i en durtreklang.

Det er disse grund- og fokus-toner, der er stil-let op i de to kvintgrupper, der udgør ‘forvand-lingskuglen’. Med andre ord er det ikke ‘bare’ to kvintgrupper. Hvis C-dur kvintgruppen ses som model for universel diatonik overhovedet, må den i en eller anden forstand repræsentere enhver mulig diatonisk musik, hvis ikke den, udledt som den er af overtonerækken, repræ-senterer hele det hørbare klangrum. I en sådan tolkning bliver tritonus-afledningen et pro-blem. Hvad brug er der for den?

Det forklarer Per Nørgård i DMT nr. 4, 1987/88 i artiklen Henimod en optimalt økono-misk signalsystematik: Denne tritonuspol må teoretisk forstås som antiresonans til det, jeg her har kaldt C-dur kvintgruppen.

Forvandlingskuglen kommer i stand ved at flette de fire kvintstabler ind i hinanden.

7Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm

Kuglens smukke melodiske udformning kommer af, at fis/ges-dur-stablens kvinter forløber retrogradt: F-B-Es og Cis-Fis-H. Den-ne omvending passer fint med tolkningen af gruppen som ‘antiresonans’. Anti må jo ret beset være omvendt af det, det er anti til.

Når kvintstablerne flettes, begyndes ideelt set med nonespringet fra stablernes sidste til første tone (fx G-F). Vi nummererer de såle-des omarrangerede fire kvintstabler: 1.G-F-C, 2.H-A-E, 3.Eb-F-B, 4.H-Cis-Fis.

Forvandlingskuglens forløb, G-A-B-H-F-E-Es-Cis-C-H-F-Fis (-G-A etc. ad infinitum), fremkommer da ved at flette disse fire kvint-stabler ind i hinanden således at stabel 1’s før-ste tone efterfølges af stabel 2’s anden tone, der efterfølges af stabel 3’s tredje tone, der ef-terfølges af stabel 4’s første tone, der efterføl-ges af stabel 1’s anden tone og så fremdeles.

EGENSKABERAf de specielle egenskaber ved denne for-vandlingskugle, som Per Nørgård har hæftet sig ved, skal et enkelt tonalt aspekt kommen-teres her.

Fletværkets systematik medfører, at ac-centuering af hver anden tone i denne for-vandlingkugle vil fremhæve tonerne fra enten

stabel 1 og 3, eller stabel 2 og 4. Med andre ord er det ikke i første omgang den tilgrund-liggende tritonuspolaritet mellem C- og Fis/Ges-dur, der får konsekvenser i den komposi-toriske praksis. Det er derimod sammenflet-ningens biprodukt, tritonuspolariteten mel-lem tonegrupperne G-F-C-Eb-F-B (stabel 1 og 3) og H-A-E-H-Cis-Fis (stabel 2 og 4).

Disse to grupper tillader forskellige tona-le tolkninger. Per Nørgård vælger at se dem som repræsentanter for henholdsvis Eb-dur og A-dur, da netop disse tonearter begge in-deholder de to eneste toner, der ikke med i forvandlingskuglen: D og As/Gis. At det er Eb-dur/A-dur polariteterne, og ikke C-dur/Fis-dur, der anses for forvandlingskuglen konsti-tuerende element, får betydning, når denne forvandlingskugles karakteristika søges for-størret op i længere forløb (36-, 108-, etc. to-nesøer) ved hjælp af uendelighedsprincippet.

BAGLÆNS TIDEfter kompositionen af Helle Nacht, hvor ræk-ken blev udvidet til en 36-tonersgruppe – om-end i et andet end ‘tonesø-regi’ (her udbyggedes den til en ‘Supersekvens’) opstod en musikteo-retisk skruppel for Per Nørgård. Komponisten fik nemlig da den nærliggende tanke, at Fis/

Eks. 4. De toner, der udgør ‘de 12’er noteret fire sekstendedele lange. Læses Stabel 3 og 4 bagfra fra hhv. to-nerne Cis og F fremgår det, at de er transpositioner af stablerne 1 og 2 læst forfra, fra hhv. tonerne G og H.

Nederste linje udgøres af de fire stablers samlede tonesum. Bemærk at tonesøen spejler sig, trans-poneret en tritonus, omkring de to tritoni: D-As og E-Ais (notationen skal fremhæve treklange og tonale felter). Bemærk ligeledes de to tonale områder: g-mol og des-mol.

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm8

Ges-rækkens toner, der jo udgør en retrograd version af C-dur rækkens toner, var udtryk for baglæns tid! Skulle denne forvandlingskugle, 12-tone-søen, udvides ved hjælp af uendelig-hedsprincippet, ja, så måtte udvidelsen af Fis/Ges-dur kvinterne ske baglæns. En udvidelse måtte ske med udgangspunkt i de oprindeli-ge kvintstabler, begyndende med sidste tone i hver, således at de fremstod i en form begyn-dende med faldende none. Når så udvidelsen var udarbejdet, vendes hele rækken igen, og flettes med de to C-dur rækker.

I dette lys fremstod den form som 36-to-ners udgaven af forvandlingskuglen havde i Helle Nacht som håbløst inkonsekvent.

5. SYMFONII 5. symfoni råder Per Nørgård bod på sin in-konsekvens ved at arbejde med tonesøer (36- og 108-) der er udarbejdet således, at ‘antire-sonans’-gruppen forløber i baglæns tid, mens den anden gruppe stadig forløber i retvendt tid (se eks. 4).

Problemet er bare, at denne tonesø-udfor-ming også viser sig at være falsk. Hvorfor? Per Nørgård ønskede med sine forlængelser af den oprindeligt 12 toner lange række at proji-cere netop de egenskaber, som appellerede til ham i hans kompositoriske praksis, op i stør-re format. Fx de tonale komplekser Eb-dur og A-dur. Det viste sig imidlertid i 5. symfoni, at netop denne regelmæssighed ikke var repræ-senteret i 36- og 108-toners søerne. Og med al vor bagklogskab kan vi sige, ‘selvfølgelig ikke’.

Eb/A-polariteten beroede jo på, at kvint-stablerne blev sammenholdt parvis 1 og 3, og 2 og 4. Denne pardannelse bliver brudt i sam-me øjeblik stabel 1 og 2 udsættes for en an-den procedure end stabel 3 og 4. Skal en for-længelse af stablerne bevare Eb-A polernes regelmæssighed, må de stabler, der udgør henholdsvis Es og A tonaliteterne, behandles ens. Skal to stabler forlænges retrogradt, må det således være enten stabel 1 og 3 (Eb-po-len) eller stabel 2 og 4 (A-polen).

Stillet over for denne situation vælger Per Nørgård, at lade stabel 2 og 4, de to fokustone-stabler, forløbe retrogradt, altså i baglæns tid.

Nu går kabalen op. De karakteristika, som tiltalte Per Nørgård i den oprindelige forvand-

lingskugle, bibeholdes ved tonesøernes ud-videlser (se Jørgen Mortensen: Per Nørgårds Tonesøer).

TOLKNINGDer er altså to typer ‘falske’ tonesøer (eller hvad man vil kalde dem).

Den ene er den type, der indgår i den så-kaldte ‘Supersekvens’, der benyttes i sidste sats af violinkoncerten Helle Nacht, hvor der ved udvidelser ved hjælp af uendeligheds-princippet ikke er taget hensyn til den bag-læns forløbende tid. Den anden er den, der bruges i 5. symfoni, hvor det er de forkerte kvintstabler, der løber baglæns.

Men hvis såvel resonans som antiresonans er splittet op i en fortløbende og en baglæns forløbende række, hvorledes passer disse pro-cesser da ind i en teoretisk tolkning? Hele den metafysiske fundering, der ifølge artiklen Heni-mod... synes at være netop disse tilgrundliggen-de kvintstablers raison d’etre, er den ikke nu gået fløjten? Nej, det er den ikke nødvendigvis.

Som enhver anden ordentlig metafysik er også den Per Nørgårdske føjelig overfor for-anderlig empiri.

Man må nu se det som en fejl at tro at forskel-len i tidsretningen havde noget med forskel-len mellem resonans og anti-resonans at gøre. Nej, den egentlige modsætning ligger i forhol-det mellem grund- og fokus-toner. Det er ‘selv-følgelig’ fokustone-kvintstablerne, der løber i modsat tidsretning. Den moltreklang, som en fokustone generer nedad, er jo netop en præ-cis intervallisk omvending af den durtreklang, der bygges op over en grundtone. Stor plus lille terts nedad overfor stor plus lille terts opad!

Per Nørgård har mig bekendt ikke selv foretaget ovenstående revision af sin meta-fysik. Men går man ind på ideen, åbnes der for en ny og banebrydende tolkning af fæ-nomenet ‘mol’. ‘Mol’ kan ikke længere bare ses som forbundet med ‘dur’ i kraft af de to tonaliteters omvendingsforhold (jvf. forhol-det mellem grund- og fokus-toner). Nej, tages de implikationer, der ligger i konstruktionen af den ægte tonesø, op til tolkning, må man indse, at ‘mol’ ganske enkelt må opfattes som ‘dur’ forløbende i baglæns tid!!

Voila!