Rijeseni Zadaci Iz Fizike 2. Dio 2

ZADACI IZ FIZIKE

Riješeni ispitni zadaci, riješeni primjeri

i zadaci za vježbu

(2. dio) (2/2)

Zadaci iz fizike (2. dio) (2/2) 1

1. Dva štapa od istog metala imaju duljine l1 = 200 cm i l2 = 200,2 cm na temperaturi t = 20 °C. Ako se kraći štap zagrije, a dulji ohladi za istu razliku temperatura ∆T, njihove duljine se izjednače. Kolike su tada temperature štapova? Temperaturni koeficijent linearnog rastezanja metala je α = 23·10-6 1/°C.

Rješenje

Poslije zagrijavanja prvog štapa i hlađenja drugog štapa njihove duljine su iste.

'' 21 ll =

( ) ( )2211 11 TlTl Δα+=Δα+

- TTTT Δ=ΔΔ=Δ 21 ;

( ) ( )TlTl Δα−=Δα+ 11 21

( )2 1

1 2

21,73l lTl lα−

Δ = =+

°C

Temperatura prvog štapa iznosi 41,73 °C, a drugog -1,73 °C. 2. Staklena posuda, volumena V = 10 L, napunjena je sumpornom kiselinom na temperaturi t1 = 0 °C. Koliko će kiseline isteći iz posude ako se ostavi na suncu, pri čemu se zagrije do temperature t2 = 40 °C? Temperaturni koeficijent linearnog rastezanja stakla je α = 8,1·10-6 1/°C, a temperaturni koeficijent volumnog rastezanja sumporne kiseline je γ = 5,6·10-4 1/°C.

Rješenje

Pri porastu temperature za ∆T volumen sumporne kiseline će porasti za ∆VS ( )TVVVV Δγ+=Δ+= 10SS0SS

Pri porastu temperature za ∆T volumen posude će porasti za ∆VP

( )TVVVV Δα+=Δ+= 310PP0PP 00P0S VVV ==

Razlika ∆VS - ∆VP predstavlja višak sumporne kiseline koja će isteći iz posude. ( ) 3

S P 0 3 0,2143 L 214, 3cmV V V V T γ αΔ = − = Δ − = =

3. Na čeonim sastavcima željezničkih tračnica, dužine l = 25 m i površine poprečnog presjeka S = 80 cm2, ostavljen je razmak od ∆l = 10 mm na temperaturi t1 = 20 °C. Temperaturni


koeficijent linearnog rastezanja tvari od koje su načinjene tračnice iznosi α = 10·10-6 1/°C, a njen Youngov modul elastičnosti Ey = 200 GPa. Odrediti temperaturu na kojoj će se tračnice sastaviti, te silu termičkog naprezanja ako se temperatura povisi za daljnjih 20 °C.

Rješenje Produženje tračnica povećanjem temperature je l l tαΔ = Δ Potrebno povećanje temperature je

ltlαΔ

Δ =

Temperatura na kojoj će se sastaviti tračnice je

2 1 1 60 Clt t t tlαΔ

= + Δ = + = °

Ako se temperatura povisi još 20 °C pojavit će se termalno naprezanje. Sila termalnog naprezanja iznosi 960 kNt yF SE Tα= Δ = 4. U posudi, mase m = 150 g i specifičnog toplinskog kapaciteta c = 837 J/(kg·K), nalazi se količina vode, mase m1 = 1300 g, na temperaturi t1 = 18 °C. Za koliko će se povisiti temperatura vode ako se u posudi kondenzira količina vodene pare, mase m2 = 30 g na standardnom tlaku? Latentna toplina kondenziranja vodene pare je LK = 2,26 MJ/kg.

Rješenje

Količina topline koju prime posuda i voda jednaka je količini topline koju preda vodena para kondenzacijom i nakon toga hlađenjem od 100 °C do temperature t'.

1 2Q Q=

1 1 1 1 2 1 2( ' ) ( ' ) ( ')K Kmc t t m c t t m c t t m L− + − = − +

t' - temperatura smjese nakon izmjene toplina; c1 - specifični toplinski kapacitet vode, c1 = 4,19 kJ/(kg·K);

1( ' )mc t t− - količina topline koju prima posuda;

1 1 1( ' )m c t t− - količina topline koju prima voda;

2 1( ')Km c t t− - količina topline koja se oslobađa hlađenjem vode mase m2 s 100 °C na 0 °C;

2 Km L - količina topline koja se oslobađa kondenziranjem vodene pare mase m2. Temperatura vode će se povisiti za ∆t = t' – t1.


U prethodnu jednadžbu uvrstimo izraz za t' pa dobivamo

2 1 1 2

1 1 2 1

( ) 13,7 CK Km c t t m Ltmc m c m c

− +Δ = = °

+ +

5. U cilindričnom spremniku, visine 10 m, nalazi se nafta na temperaturi 0 °C. Spremnik je ispunjen do nivoa 20 cm ispod vrha. Ukoliko se temperatura poveća na 30 °C odrediti da li će se nafta preliti preko vrha i u kojoj količini: a) ako zanemarimo širenje cilindričnog spremnika, te b) ako uzmemo u obzir širenje cilindričnog spremnika? Temperaturni koeficijent linearnog rastezanja željeza je α = 12·10-6 1/K, a temperaturni koeficijent volumnog širenja nafte je γ = 10-3 1/K.

Rješenje

a) Volumen nafte nakon zagrijavanja je

2 -3 -1 2

0 (1 ) 9,80 m(1 10 K 30 K) 10,094 mN NV V T R RγΔ π π= + = ⋅ + = ⋅ 2 2 210,094 m 10 m 0,094 mN SV V R R Rπ π π− = ⋅ − ⋅ = ⋅

Nafta će se preliti u količini 2 0,094 m.R π ⋅

b) U ovom slučaju se i spremnik širi

2 -6 -1 20(1 3 ) 10 m(1 3 12 10 K 30 K) 10,011 mS SV V T R RαΔ π π= + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 2 210,094 m 10,011 m 0,083 mN SV V R R Rπ π π− = ⋅ − ⋅ = ⋅ Nafta će se i u ovom slučaju preliti u količini 2 0,083 m.R π ⋅

6. Kolika je potrebna količina vodene pare na temperaturi 100 °C i na atmosferskom tlaku 1013,25 mbar za topljenje komada leda, mase m = 50 g, čija je temperatura t = -4 °C? Specifični toplinski kapacitet leda je c = 2,1 kJ/(kg·K), specifični toplinski kapacitet vode je c1 = 4,19 kJ/(kg·K), latentna toplina topljenja leda Lt = 335 kJ/kg, a latentna toplina kondenziranja vodene pare je Lk = 2,26 MJ/kg.

Rješenje

Količina topline koju primi led za zagrijavanje i topljenje jednaka je količini topline koju preda vodena para kondenzacijom i nakon toga hlađenjem od 100 °C do 0 °C.

1 2Q Q=

( )1 1 1( )t t k t kmc t t mL m c t t m L− + = − +

( )tmc t t− - količina topline koju treba dovesti ledu da mu se poveća temperatura na 0 °C;

tmL - količina topline potrebna za topljenje leda mase m;


( )1 1 k tm c t t− - količina topline koju oslobađa voda mase m1 hladeći se s 100 °C na 0 °C;

1 km L - količina topline koja se oslobađa kondenziranjem vodene pare mase m1. Tako je masa potrebne količine vodene pare

( )

31

1

( ) 6,4 10 kg 6,4 gt t

k k t

mc t t mLmL c t t

−− += = ⋅ =

+ −

7. Odrediti temperaturu na kojoj gustoća žive iznosi 13370 kg/m3 ako na 0 °C iznosi 13570 kg/m3. Koeficijent toplinskog širenja žive iznosi 18·10-5 K-1.

Rješenje Gustoća žive na temperaturi T je

( )0

0 1 1m mV V T T

ρργ γ

= = =+ Δ + Δ

Odavde odredimo temperaturnu promjenu, a time i traženu temperaturu.

0 83,1KT ρ ρργ−

Δ = =

0 356,25KT T T= + Δ =

8. Posuda volumena 2 L napunjena je suhim zrakom pri standardnom tlaku i standardnoj temperaturi. U posudu se doda 2 g vode i zatim se posuda zagrije do 100 °C. Koliki je tlak vlažnog zraka u posudi pri toj temperaturi? Molarna masa vode je 18 g/mol.

Rješenje Ovdje ćemo primijeniti Daltonov zakon parcijalnih tlakova koji kaže da, u posudi u kojoj ima više vrsta plinova, ukupan tlak dobijemo zbrajanjem tlakova pojedinih plinova u toj posudi. Sva voda prešla je u paru tako da za vodenu paru možemo pisati

2mp V nRT RTM

= =

2mRTpMV

=

Suhi zrak koji je bio u posudi prije dodavanja vode promatramo posebno. Pri zagrijavanju on je prošao izohornu promjenu stanja plina.

konst.p nRT V

= =


0 1

0

p pT T

=

1 00

Tp pT

=

Ukupni tlak u posudi je

( 01 2 0

0 0

310773,8 PapT mRT mRp p p p TT MV T MV

⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠)

9. Imamo posudu koja je podijeljena pregradom na dva dijela. Tlak plina u jednom dijelu posude je p1 = 0,2 MPa, a u drugom dijelu p2 = 0,4 MPa. Iste količine plina nalaze se u jednom i drugom dijelu posude. Koliki će biti tlak u posudi ako uklonimo pregradu?

Rješenje

Stanje plina u jednom i drugom dijelu izražavamo jednadžbom stanja idealnog plina

1 1 1p V n RT=

2 2 2p V n RT=

Nakon što uklonimo pregradu imamo

RTnnVVp )()( 2121 +=+

Iz ovih jednadžbi i uz uvjet da je n1 = n 2 imamo:

MPa 27,02

21

21 =+

=pppp

p

10. Posuda s helijem ima masu 21 kg na temperaturi od - 3 °C i pri tlaku 6,5·106 Pa. Na toj istoj temperaturi, ali uz tlak od 2·106 Pa, masa posude s helijem iznosi 20 kg. Kolika se masa helija nalazi u posudi uz tlak od 1,5·107 Pa i na temperaturi 27 °C?

Rješenje

Koristeći jednadžbu stanja idealnog plina imamo

11 1 1 1;= =

He

mpV n RT nM

2

2 1=He

mp V RTM


gdje je 1m masa helija u posudi pri temperaturi -3 °C i pri tlaku 6,5·106 Pa, 2m masa helija u posudi pri istoj temperaturi i pri tlaku 2·106 Pa, HeM molarna masa helija. Iz ove dvije jednadžbe dobivamo

11 2

2

=pm mp

U zadatku su zadane mase posuda zajedno s helijem '

1 1= +m m m

'2 2= +m m m

Oduzmemo li ove dvije jednadžbe i uvrstimo li gornji izraz za 1m dobivamo masu 2m

' '1 2

21

2

0, 44 kg1

−= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

m mmpp

Koristeći ponovo jednadžbu stanja idealnog plina imamo

22 1=

He

mp V RTM

33 2=

He

mp V RTM

Iz ovih jednadžbi dobivamo rješenje

3 13 2

2 2

2,97 kg= =p Tm mp T

11. Dušik pri temperaturi 27 °C ima volumen 10 L. Koliki će imati volumen ako ga zagrijemo do temperature 127 °C pri čemu tlak ostaje konstantan?

Rješenje

Jednadžbu stanja idealnog plina

pV nRT=

možemo izraziti u obliku

V nR .T p

= = const


Tako je

1 2

1 2

V VT T

=

Odakle je

L 13,33 11

22 == V

TT

V

12. U prostoriji volumena 60 m3 temperatura se povisi od 17 °C do 27 °C. Pri tome se tlak zraka promijeni od p1 = 1030 mbar na p2 = 1060 mbar. Kolika je promjena mase zraka u prostoriji? Molarna masa zraka je 0,029 kg/mol. Rješenje Iz jednadžbe stanja idealnog plina masa je

1

1

MVpmRT

=

Tako je promjena mase

1 21 2

1 2

384 gp pMVm m m

R T T⎛ ⎞

Δ = − = − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

13. Na kojoj temperaturi se nalazi plin u zatvorenoj posudi ako mu se pri promjeni temperature 2 K tlak poveća 2 %?

Rješenje Pišemo jednadžbu stanja idealnog plina prije i poslije promjene temperature.

1 1pV nRT=

2 2p V nRT= S jedne strane grupiramo promjenljive veličine, a s druge strane konstantne pa dobivamo

1 2

1 2

p pT T

= (1)

Tlak plina nakon zagrijavanja je

2 1 1 10,02 1,02p p p p= + = (2) Temperatura plina nakon zagrijavanja je


2 1T T T= + Δ (3)

Uvrstivši (2) i (3) u (1) dobivamo traženu temperaturu

1 1

1 1

1,02p pT T T

=+ Δ

1 100 K0,02TT Δ

= =

14. U valjkastom spremniku, koji je zatvoren klipom mase 21 kg, nalazi se vodik mase 0,17 g. Volumen vodika je 1400 cm3, a klip se nalazi na visini od 40 cm. Odrediti atmosferski tlak izvan spremnika ako je temperatura 300,15 K. Molarna masa vodika iznosi 2 g/mol.

Rješenje Sile koje djeluju na klip su uravnotežene. Prema gore djeluje tlačna sila vodika, a prema dolje tlačna sila atmosfere i sila teža.

apS p S mg= +

2

aH

mg mghp p pS V

= − = −

Za vodik u spremniku vrijedi jednadžba stanja idealnog plina.

2HmpV nRT RTM

= =

Tlak u spremniku je

2 2

151509,29 PaH H

nRT mRTpV MV

= = =

Traženi atmosferski tlak je

92649,29 Paap = 15. Riba u jezeru ispusti zračni mjehurić volumena 2 mm3 na dubini od 15 m. Mjehurić se diže prema površini gdje su standardni tlak i temperatura (p0 = 101325 Pa, T0 = 273,15 K). Koliki je volumen zračnog mjehurića neposredno prije izlaska na površinu? Rješenje Zračni mjehurić prolazi izotermnu promjenu stanja.


1 1 2 2pV p V=

Tlak na dubini h je

1 0 248475Pap p ghρ= + = Tlak na površini je standardni atmosferski tlak

2 0 101325Pap p= = Volumen zračnog mjehurića neposredno prije izlaska na površinu je

312 1

2

4,9 mmpV Vp

= =

16. Dvije jednake metalne kuglice, svaka mase 1,2 g, obješene su u istoj točki na svilenim nitima dugačkim l = 1 m tako da se upravo dotiču. Kuglice se nalaze u zraku. Dotaknemo li jednu od njih nabijenim staklenim štapom, kuglice se odbiju tako da niti međusobno zatvaraju kut α = 20°. a) Kolika je Coulombova sila između kuglica? b) Koliki je naboj na svakoj kuglici? Rješenje a) Na svaku kuglicu djeluje Coulombova sila CF i sila teža GF FFF =+ CG Zbroj tih dviju sila daje silu F čiji je iznos jednak iznosu sile zatezanja ZF

Z=F F

C

G2FtgF

α=

Iznos Coulombove sile je

3C G 2,076 10 N

2 2F F tg mgtgα α −= = = ⋅

b) Izraz za iznos Coulombove sile je

2

C 20

14

qFrπε

= ⋅

Odakle je


0 C2 πε= ⋅q r F

2 sin2α

=r l

Naboj na jednoj kuglici je

7

0 C4 sin 1,67 10 C2α πε −= ⋅ = ⋅q l F

17. Rastojanje između dva točkasta naboja q1 = 2·10-8 C i q2 = -3·10-8 C iznosi 8 cm. Odrediti jačinu električnog polja u točki koja je od pozitivnog naboja udaljena 7 cm, a od negativnog naboja 5 cm (za vakuum ε0 = 8,854·10-12 C2N-1m-2).

Rješenje

Iznosi električnih polja 1E i 2E su

11 2

0

1 kV36,703 4 m

qEaπε

= ⋅ =

2

2 20

1 kV107,908 4 m

qEbπε

= ⋅ =

Iznos rezultirajućeg polja E možemo dobiti uz pomoć kosinusovog poučka.

2 21 2 1 2

kV2 cos 108,897 m

E E E E E α= + − =

Kosimus kuta α smo također dobili pomoću kosinusovog poučka

2 2 2 2 cosd a b ab α= + − ⋅

2 2 2

cos 0,1432

a b dab

α + −= =

18. Na kružnici polumjera 4 cm, na jednakom rastojanju jedan od drugog nalaze se tri naboja

q1 = q2 = + 82 10 C3

−⋅ i q3 = 82 10 C.3

−− ⋅ Odrediti jakost električnog polja u centru kružnice.

Naboji se nalaze u zraku 120( 8,854 10ε −= ⋅ C2N-1m-2).

Rješenje

Iznosi električnih polja su jednaki.

1

1 20 1

14

qErπε

= ⋅ = 37,468 kV/m


2

2 20 2

14

qErπε

= ⋅ = 37,468 kV/m

3

3 20 3

14

qErπε

= ⋅ = 37,468 kV/m

Koristeći kosinusov poučak zbrajamo E1 i E2

2 2

1,2 1 2 1 22 cos120E E E E E= + + ° = 37,468 kV/m

Iznos rezultirajućeg polja u središtu kružnice je

1,2 3E E E= + = 74,936 kV/m

19. Dva točkasta naboja q1 = 1 μC i q2 = 9 μC međusobno su udaljena d = 10 cm. Na kojem mjestu na spojnici ova dva naboja treba staviti negativni naboj q3 da bi električna sila koja djeluje na njega iščezla?

Rješenje

Ukupna električna sila na naboj q3 treba biti jednaka nuli.

13 23 0F F F= + = dakle 13 23F F= − Iznosi sila od međudjelovanja s nabojima q1 i q2 moraju biti jednaki.

13 23 F F=

231

013 4

1aqq

F⋅

⋅πε

= ( )2

32

023 4

1adqq

F−

⋅⋅

πε=

Izjednačivši ova dva izraza dobivamo

2

1

2,5 cm1

daqq

= =+

20. Količine naboja, q1 = q i q2 = -q, nalaze se na udaljenosti l. Kolika je jakost rezultirajućeg električnog polja u točki A (slika), koja se nalazi na udaljenosti r od količine naboja q1?

Rješenje

Ukupno električno polje je

21 EEE +=


Iznosi električnih polja 1E i 2E su

1 22 2 20 0

1 1 4 4

q qE Er r lπε πε

= =+

Iznos ukupnog električnog polja možemo dobiti koristeći kosinusov poučak

ϕ−+= cos2 21

22

21 EEEEE

Gdje je

22cos

lrr+

=ϕ

Tako je

( ) ( )

12

2 2 2

2 34 2 2 2 20 2

1 24

q q qEr r l r r lπε

⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟

+⎜ ⎟+⎝ ⎠

21. Naboj q1 = -2·10-6 C nalazi se u točki A (2, 3), a naboj q2 = 3·10-6 C u točki B (-1, 4) Kartezijeva koordinatnog sustava. Jedinica u kojoj su izražene koordinate je cm. Odrediti iznos Coulombove sile na naboj q3 = -1·10-6 C koji se nalazi u ishodištu koordinatnog sustava.

Rješenje

Točke A i B određene su radijus-vektorima 1r i 2r

1 2 3r i j= +

2 1 4r i j= − + Duljina ovih radijus-vektora je

( ) ( )2 21 1 12 3 3,61 cmr r r= + = − =

( )2 22 1 4 4,12 cmr = − + =

Coulombova sila 13F u suprotnom je smjeru od radijus-vektora 1,r a Coulombova sila 23F u istom je smjeru kao i radijus-vektor 2.r Stoga ćemo pomoću skalarnog umnoška radijus-

vektora 1r− i 2r odrediti kosinus kuta φ, te iznose sila 13F i 23.F I, na kraju, koristeći kosinusov poučak odredit ćemo iznos rezultantne Coulombove sile na naboj q3.


1 2 1 2 cosr r r r ϕ− ⋅ = −

1 2 1 2 1 2( )x x y yr r r r r r− ⋅ = − + −

1 2 1 2

1 2

( )cos 0,672x x y yr r r r

r rϕ

− + −= = −

−

1 313 2

0 1

1 13,81 N4

q qFrπε

= =

2 3

23 20 2

1 15,89 N4

q qFrπε

= =

2 2

3 13 23 13 232 cos 12,2 NF F F F F ϕ= + + = 22. Naboji q1 = 1·10-6 C, q2 = 2·10-6 C i q3 = -3·10-6 C nalaze se u točkama A (0, 0), B (3, 0) i C (1, 4) Kartezijeva koordinatnog sustava. Jedinica u kojoj su izražene koordinate je m. Odrediti električni potencijal u točki P (2, 2).

Rješenje Električni potencijal u točki P dobit ćemo zbrajanjem potencijala naboja q1, q2 i q3 u točki P.

1 2 3ϕ ϕ ϕ ϕ= + +

11

0 1

14

qd

ϕπε

=

2

20 2

14

qd

ϕπε

=

3

30 3

14

qd

ϕπε

=

Točke A, B i C određene su radijus-vektorima 1,r 2r i 3r

1 1 1 0 0r x i y j i j= + = +

2 2 2 3 0r x i y j i j= + = +

3 3 3 1 4r x i y j i j= + = + d1, d2 i d3 su udaljenosti točke P od pojedinih naboja.


( ) ( )221 1 1 2,83 mP Pd x x y y= − + − =

( ) ( )222 2 2 2,24 mP Pd x x y y= − + − =

( ) ( )223 3 3 2,24 mP Pd x x y y= − + − =

Traženi električni potencijal u točki P je

1 2 3

0 1 2 3

1 836,93 V4

q q qd d d

ϕπε

⎛ ⎞= + + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 23. Kolika je razlika potencijala između dvije točke u Coulombovom polju točkastog naboja q = 30 nC, koje su na udaljenosti r1 = 5 cm i r2 = 3 cm od središta tog polja? Točke se nalaze u zraku (ε0 = 8,854·10-12 C2N-1m-2).

Rješenje:

Razlika potencijala u prvoj i drugoj točki je:

2 10 2 1

1 1 3597 V4q

r rϕ ϕ ϕ

πε⎛ ⎞

Δ = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ako bi htjeli neki naboj pomaknuti iz prve točke u drugu točku trebamo izvršiti rad. (Radi se o oba pozitivna naboja.)

24. U vrhovima kvadrata stranice a = 0,1 m nalaze se četiri jednaka pozitivna naboja q = 0,1 nC. Izračunati iznos Coulombove sile koja djeluje na svaki od naboja i naći smjer tih sila. Naboji se nalaze u zraku (ε0 = 8,854·10-12 C2/Nm2).

Rješenje Coulombova sila na naboj 1q jednaka je zbroju međudjelovanja s nabojima 2 3 4, i q q q

1 21 31 41F F F F= + + Analogno vrijedi i za 2 3 4, i q q q

2 12 32 42F F F F= + +

3 13 23 43F F F F= + +

4 14 24 34F F F F= + +


Iznosi ovih Coulombovih sila su jednaki 2

21 41 12 32 23 43 14 34 20

14

qF F F F F F F Faπε

= = = = = = = = ⋅

Iznosi ovih Coulombovih sila su jednaki

2

31 42 13 24 20

14 2

qF F F Faπε

= = = = ⋅

Iznos Coulombove sile na naboj 1q je

2 2 8

1 21 41 31 1,72 10 NF F F F −= + + = ⋅ Iznosi ostalih sila su jednaki

8

2 3 4 1 1,72 10 NF F F F −= = = = ⋅ 25. Metalna lopta, polumjera R = 1 cm, naelektrizirana je količinom naboja q = 40 nC. Lopta se nalazi u ulju relativne električne permitivnosti εr = 4. Koliki je potencijal električnog polja u točki koja se nalazi na udaljenosti d = 2 cm od površine lopte? (ε0 = 8,854·10-12 C2N-1m-2)

Rješenje

Potencijal u nekoj točki izvan metalne lopte nabijene nabojem q isti je kao potencijal od iste količine naboja skoncentrirane u točki u središtu lopte.

q

R dϕ

πε ε= ⋅ =

+0 r

1 2997,4 V4

26. Kuglica mase 0,5 g, nabijena nabojem 2·10-6 C, premjesti se iz točke A, u kojoj je potencijal 600 V, u točku B, u kojoj je potencijal 100 V. Kolika je brzina kuglice u točki B ako je iz točke A kuglica krenula iz mirovanja?

Rješenje

Na kuglicu djeluje Coulombova sila koja ju pomiče u pravcu nižeg potencijala. Pri tome se kuglica ubrzava do brzine .v Ukupna energija kuglice je očuvana.

0k pE E EΔ = Δ + Δ =

k pE EΔ = −Δ

2

1 2 1 2( )2 p pmv E E q ϕ ϕ= − = −

Odavde dobivamo brzinu kuglice


-11 22 ( ) 2 msqvm

ϕ ϕ−= =

27. Elektron ulijeće u prostor između ploča kondenzatora s pravcem gibanja paralelnim pločama kondenzatora, a izlazi pomaknut za h = 1 mm. Duljina ploča je s = 5 cm, a međusobna udaljenost d = 1 cm. Između ploča vlada napon U = 250 V. Odrediti srednju brzinu kretanja elektrona između ploča kondenzatora. Masa elektrona je me = 9,1·10-31 kg, a električni naboj e = 1,6·10-19 C.

Rješenje

Električno polje između ploča kondenzatora ubrzava elektron duž osi y ubrzanjem:

ye e e

F eE eUam m m d

= = =

Pomak duž osi y je

2 2

2 2ye

t eU th am d

= =

Odavde možemo odrediti vrijeme za koje elektron prođe između ploča kondenzatora

2 ehm dteU

=

Srednja brzina kretanja elektrona između ploča kondenzatora je

7 -17, 4 10 ms2x

e

s eUv st hm d

= = = ⋅

28. Sa suprotnih ploča kondenzatora istovremeno pođu iz mirovanja proton i elektron. Ako je jakost električnog polja između ploča kondenzatora E i njihova udaljenost d, odrediti mjesto njihovog susreta.

Rješenje

Na proton i elektron djeluje sila istog iznosa.

e pF F eE= =


Ubrzanja se razlikuju zbog razlike u masama.

pp

eEam

= i

ee

eEam

=

Ako je mjesto susreta točka A, pređeni put protona je

212 px a t=

A prijeđeni put elektrona je

212 ed x a t− =

Tako dobivamo da je

1 p

e

dx mm

=+

29. Kolika struja teče kroz ampermetar? (Zanemariti otpor ampermetra i baterije.)

Rješenje

Trebamo odrediti ukupni električni otpor da bismo izračunali jakost struje kroz strujni krug. Najprije odredimo ekvivalentni otpor paralelno spojenih otpornika 3R i 4R

3 4

3434 3 4 3 4

1 1 1 5 R RRR R R R R

= + ⇒ = = Ω+

Ekvivalentni otpor serijski spojenih otpornika 2R i 34R

234 2 34 15 R R R= + = Ω Ukupni otpor je

1 234

1 234 1 234

1 1 1 7,5R RRR R R R R

= + ⇒ = = Ω+

Jakost struje kroz strujni krug


1 AUIR

= =

Jakost struje koja teče kroz otpornik 1R je

A5,015

V5,7

11 =

Ω==

RUI

Koristeći prvo Kirchhoffovo pravilo dobivamo struju 2I

A5,0A5,0A112 =−=−= III

Napon u grani BC je

BC AB 2 2 2,5 VU U U U I R= − = − =

Struja kroz ampermetar je:

A25,010

V5,2

3

BC3 =

Ω==

RUI

30. Kolike su jakost struje i snaga struje kroz otpornike R1 = 1 Ω i R2 = 9 Ω u strujnome krugu na slici, ako je ukupna jakost struje I = 1A? Rješenje Za čvor A vrijedi 1 2= +I I I

1 2R i R spojeni su na isti napon, stoga vrijedi

1 1 2 2=I R I R Odavde slijedi

2 11 2

1 2 1 2

0,9 A; 0,1 A R RI I I IR R R R

= = = =+ +

2

1 AB 1 1 1 0,81 WP U I R I= = =

22 AB 2 2 2 0,09 W= = =P U I R I

31. Količina od 4,5 L vode na temperaturi 23 °C proključa pomoću električnog grijača, pri čemu je utrošena električna energija od 0,5 kWh. Koliki je koeficijent korisnog djelovanja grijača? Specifični toplinski kapacitet vode iznosi 4,19 kJ/(kg·K)


Rješenje Stupanj korisnog djelovanja jednak je omjeru dobivene toplinske energije i utrošene električne energije.

dobivena topl. energija 'utrošena el. energija

QQ

η = =

' 1451835000 JQ mc T Vc Tρ= Δ = Δ =

Voda proključa na 100 °C, odnosno na 373,15 K pa je ∆T = 77 K.

30,5 kWh 0,5 10 W 3600 s 1800000 JQ = = ⋅ ⋅ = Traženi stupanj korisnog djelovanja je

0,81 81 %η = = 32. Grijač električnog čajnika čiji je električni otpor R1, priključen je u strujni krug kao na slici. Elektromotorna sila baterije (izvora) iznosi E =120 V, električni otpor R2 = 10 Ω, a ampermetar pokazuje jakost struje I = 2 A. Odrediti vrijeme τ potrebno da količina vode od 0,5 L proključa, ako je početna temperatura vode 4 °C, a koeficijent korisnog djelovanja grijača η = 76 %.

Rješenje Električna struja koja prolazi grijačem električnog čajnika iznosi

1 2

IR R

=+E

Odavde dobivamo električni otpor grijača

1 50R = Ω Stupanj korisnog djelovanja jednak je omjeru dobivene toplinske energije i utrošene električne energije.

21

mc TI R

ητ

Δ=

Odavde dobivamo traženo vrijeme

21

1323,2 s 22,1 minmc TI R

τη

Δ= = =


33. Proton, ubrzan razlikom potencijala od 9 kV, uleti u homogeno magnetsko polje jakosti 1 T, u smjeru okomitom na smjer magnetskog polja. Odrediti polumjer zakrivljenosti putanje i moment količine gibanja protona.

Rješenje

Na proton djeluje Coulombova sila koja ga pomiče u pravcu nižeg potencijala. Pri tome se on ubrzava do brzine .v Ukupna energija protona je očuvana.

0k pE E EΔ = Δ + Δ =

k pE EΔ = −Δ

2

1 2 1 2( ) U2 p pmv E E q ϕ ϕ= − = − = −

Proton ide prema mjestu nižeg potencijala, te je stoga

9 kVU = − Stoga je

2

2pm v

eU=

Proton se u magnetskom polju počinje rotirati jer magnetska sila, pošto djeluje u smjeru okomitom na smjer gibanja protona, predstavlja centripetalnu silu na proton.

2

pm vevB

r=

Iz ove dvije relacije dobivamo radijus zakrivljenosti putanje

21 1,37 cmpm Ur

B e= =

Masa protona iznosi 271,67 10 kg.−⋅ Moment količine gibanja protona iznosi

23 22 3,005 10 kgm /sp pL m vr r m eU −= = = ⋅

34. Dva beskonačno duga ravna vodiča, kroz koje protječu struje jednakih jakosti od 10 A, križaju se pod pravim kutom. Smjerovi struja označeni su na slici. Kolika je jakost magnetskog polja u točkama A i B koje su udaljene od oba vodiča 1 m?


Rješenje

Jakost magnetskog polja u točki A je 2 2

1 2A A AB B B= + Jakost magnetskog polja u točki B je 2 2

1 2B B BB B B= + Pošto su jakosti struje

1 2I I I= = jakosti pojedinih magnetskih polja su

701 1 2 2 20 10 T

2A B A BIB B B Ba

μπ

−= = = = = ⋅

Tako je

702 28,2 10 T2A BIB Ba

μπ

−= = = ⋅

35. O oprugu čija je konstanta 1 Nm-1 obješena je kuglica mase 10 g koja harmonijski oscilira s amplitudom 2·10-2 m. Odrediti elongaciju kuglice nakon 0,5 s ako su oscilacije neamortizirane i ako je početna faza nula. Masu opruge i dimenzije kuglice zanemariti.

Rješenje

Gibanje tijela kod harmonijskog titranja opisujemo jednadžbom

0sin( )s A tω ϕ= +

20 0, 2 10 mAϕ −= = ⋅

Tijelo na opruzi titra kružnom frekvencijom

110 radskm

ω −= =

rad2cmsin 10s

s t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


Položaj kuglice nakon 0,5 s iznosi

1,92 cms = −

36. Posuda s utezima obješena je na opruzi i titra s periodom 0,5 s. Dodavanjem utega u posudu period titranja se promijeni na 0,6 s. Koliko se produljila opruga dodavanjem utega?

Rješenje Periodi titranja prije i nakon dodavanja dodatnog utega iznose

kmT 1

1 2π= kmT 2

2 2π=

Odavde su mase

kTm ⋅π

= 2

21

1 4 kTm ⋅

π= 2

22

2 4

Zbog težine utega opruga se istegne za Δl u odnosu na situaciju bez utega.

2

11 1 1 2

4Tm g k l l gπ

= Δ ⇒ Δ = ⋅

2

22 2 2 2

4Tm g k l l gπ

= Δ ⇒ Δ = ⋅

Produljenje opruge je 2

2 1 2,7 10 m 2,7 cml l lΔ Δ Δ −= − = ⋅ =

37. Jedan kraj elastične opruge, koja je na horizontalnoj podlozi, učvršćen je, a na drugom kraju je tijelo mase 1,5 kg. Tijelo je pomaknuto 4 cm iz ravnotežnog položaja silom od 20 N i tu zadržano. Zatim se tijelo pusti i ono počne oscilirati. Kolika je potencijalna energija tijela u trenutku 12 st π= nakon početka gibanja? (Trenje zanemariti.)

Rješenje


0sin( )s A tω ϕ= + U početnom trenutku je:

0 2s A πϕ= ⇒ =

Konstanta opruge je


-1500 NmFk

A= =

Opruga titra kružnom frekvencijom:

118,25 radskm

ω −= =

U trenutku 12 st π= imamo da je

-3rad4 cmsin(18,25 s rad) 0,25 cm 2,5 10 ms 12 2

s π π= + = = ⋅

Potencijalna energija tijela u tom trenutku je:

231,563 10 J

2PksE −= = ⋅

38. Ukupna energija tijela koje harmonijski titra iznosi 3·10-3 J, a maksimalna sila koja na tijelo djeluje iznosi 1,5·10-2 N. Napisati jednadžbu gibanja tog tijela ako je period titranja 2 s, a početna faza 30°.

Rješenje

Silu koja tjera tijelo na titranje možemo predstaviti elastičnom silom čiji je iznos

F ks=

Maksimalan iznos ove sile je

kAF =

Elastična potencijalna energija tijela je

2

2P

ksE =

Maksimalna potencijalna energija, a ujedno i ukupna energija oscilatora je

2

2kAE =

Sređivanjem imamo

12 4 10 m 0,4 m2 FFA EE A −= ⇒ = = ⋅ =


Kružna frekvencija ω iznosi

srad

π=π

=ωT2

Općenita jednadžba gibanja tijela kod titranja je

( )0sins A tω ϕ= +

U našem slučaju, uz napomenu da i početnu fazu izražavamo u radijanima (zbog uniformnosti), imamo

rad40cmsins 6

s t ππ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

39. Tijelo mase 50 g, koje je vezano za kraj opruge, izvučeno je iz ravnotežnog položaja za 20 cm i pušteno. Napisati jednadžbu gibanja koje će tijelo izvoditi. Izračunati silu koja djeluje na tijelo te brzinu i akceleraciju kada je tijelo udaljeno od ravnotežnog položaja 5 cm. Koristiti podatak da se opruga produlji 10 cm kada na nju djeluje sila od 1 N. Zanemariti masu opruge. Pretpostaviti da opruga izvodi jednostavno harmonijsko titranje. Zanemariti trenje između tijela i podloge.

Rješenje Sila opruge, koja tjera tijelo na titranje, iznosi F ks= Konstanta opruge je

1N N100,1m m

Fks

= = =

Kružna frekvencija titranja iznosi

km

ω = = 14,14 rad/s

20 cm 0,2 mA = = Jednadžba gibanja je ( )0sins A tω ϕ= + Jednadžba gibanja je


rad20cmsin 14,14s 2

s t π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Iznos sile u trenutku kad se tijelo nalazi 5 cm od ravnotežnog položaja je 0,5 NF ks= = Preko jednadžbe gibanja nalazimo brzinu i ubrzanje u tom trenutku

( )0 0sin arcsin 14,5ss A t tA

ω ϕ ω ϕ= + ⇒ + = = °

( )0mcos 2,74s

dsv A tdt

ω ω ϕ= = + =

( )20 2

msin 10s

dva A tdt

ω ω ϕ= = − + = −

40. Materijalna točka harmonijski oscilira sa amplitudom 4 cm, tako da maksimalna kinetička energija iznosi 6·10-7 J. Odrediti udaljenost od ravnotežnog položaja na kojoj će na točku djelovati sila od 1,5·10-5 N.

Rješenje

Na materijalnu točku djeluje elastična sila čiji je iznos

F ks=

Maksimalna potencijalna energija je jednaka maksimalnoj kinetičkoj energiji

2 2max

max max 2 2P Kmv kAE E= = =

Slijedi da je

3Pmax2

2 N0,75 10m

EkA

−= = ⋅

Sila od 1,5·10-5 N djeluje na udaljenosti

22 10 m 2 cmFs

k−= = ⋅ =

41. Jedan kraj elastične opruge, koja je na horizontalnoj podlozi, je učvršćen, a na drugom kraju je tijelo mase 1,5 kg. Tijelo je pomaknuto 4 cm iz ravnotežnog položaja silom od 20 N i tu zadržano. Zatim se tijelo pusti i ono počne oscilirati. Kolika je potencijalna energija tijela u

trenutku s12

t π= nakon početka gibanja. (Trenje zanemariti.)


Rješenje


0sin( )s A tω ϕ= +

U početnom trenutku je:

0 2s A πϕ= ⇒ =

Konstanta opruge je

-1500 NmFk

A= =

Opruga titra kružnom frekvencijom

-118, 25 radsk

mω = =

U trenutku s12

t π= imamo da je

3rad0,04cm sin(18,25 s ) 2,5 10 cm

s 12 2s π π −= ⋅ ⋅ + = ⋅

Potencijalna energija tijela u tom trenutku je:

231,563 10 J

2PksE −= = ⋅

42. Jednadžba titranja materijalne točke mase 10 g ima oblik rad5cmsin5 s 4π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠s t . Naći

maksimalnu silu koja djeluje na materijalnu točku i njenu ukupnu energiju.

Rješenje Amplituda titranja je

cm 5=A

Maksimalna sila i ukupna energija su

F kA=


2

2kAE =

Konstantu dobijemo iz kružne frekvencije:

2 ω=⇒=ω mk

mk

2 -33,94 10 N/mk mω= = ⋅

Dakle,

-41,97 10 NF = ⋅ 64,93 10 JE −= ⋅

43. Jednadžba gibanja materijalne točke koja harmonijski oscilira ima oblik sin6

s tπ= .

Odrediti u kojim vremenskim trenucima t materijalna točka ima maksimalnu brzinu i maksimalno ubrzanje.

Rješenje

Brzina je derivacija pomaka po vremenu

cos6 6

dsv tdt

π π= =

Brzina je maksimalna kad je

cos 16tπ

=

Slijedi da je

0, 2 s, 4 s, 6 s, ...6tπ

= π π π

Niz na desnoj strani zamjenjujemo općim izrazom, pa imamo

2 s6t kπ

= π

k = 0, 1, 2, …

t = 12k s


Ubrzanje je derivacija brzine po vremenu

2

sin6 6

dva tdt

π π⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ubrzanje je maksimalno kad je

sin 16tπ

=

Slijedi da je:

s, 5 s, 9 s, ...6 2 2 2tπ π π π

=

Niz na desnoj strani zamjenjujemo općim izrazom, pa imamo

( )4 1 s6 2t kπ π

= +

k = 0, 1, 2, …

( )3 4 1 st k= +

44. Odrediti period titranja matematičkog njihala u vodi. Trenje zanemariti. Duljina niti njihala je 1 m, a materijal kuglice je željezo čija je gustoća 7,8 g/cm3.

Rješenje

- Titranje ovog matematičkog njihala se vrši pod utjecajem sile

( )sinα= − uF mg F

Ako je kut α mali možemo u gornjoj relaciji pisati

sinα =xl

ρρ

=uFe

mF g

Silu koja izaziva titranje možemo predstaviti kao elastičnu silu čiji je iznos

=F kx


Sredivši ove relacije dobivamo

1 ρρ

=⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠Fe

m lk

g

Uvrstivši ovo u izraz za period titranja harmonijskog oscilatora dobivamo rješenje

2 2,148 sπ= =mTk

45. Koliki je omjer kinetičke energije čestice, koja harmonijski titra, i njene potencijalne energije u trenutku t = T/12? Početna faza φ0 = 0.

Rješenje

2

2K

2 2P

2

2

mvE mv

ksE ks= =

( )0 0sin 0s A tω ϕ ϕ= + =

cosdsv A tdt

ω ω= = ⋅

2 2 2

K2 2

P

cossin

E m A tE kA t

ω ωω

=

212Tt

Tπω= =

2

K

2P

cos6 3

sin6

EE

π

π= =

46. U liftu visi matematičko njihalo čiji je period osciliranja 1 s. Kolikim ubrzanjem se kreće lift ako period osciliranja matematičkog njihala tada iznosi 1,1 s? U kom smjeru se kreće lift?

Rješenje Znamo da je period matematičkog njihala koje miruje

2 lT

gπ=


Pored sile teže, na matematičko njihalo u liftu djeluje i inercijalna sila

0inF ma= −

Tako da se titranje matematičkog njihala vrši pod utjecajem sile

( ) ( )0 0sin sinF mg ma m g aα α= − = − Ako je kut α mali možemo u gornjoj relaciji pisati

sinα =xl

Silu koja izaziva titranje možemo predstaviti kao elastičnu silu čiji je iznos

=F kx

Sredivši ove relacije dobivamo

( )0m g a

kl−

=

Uvrstivši ovo u izraz za period titranja harmonijskog oscilatora dobivamo

10

2 2m lTk g a

π π= =−

Izrazimo l iz izraza za T i T1 i izjednačimo: 2 2

1 0( )T g T g a= −

2 2-21

0 21

( ) 1,7 msg T TaT

−= =

Smjer gibanja lifta je prema dolje. 47. Amplituda harmonijskog titranja materijalne točke je 4 cm, a maksimalna kinetička energija je 6·10-7 J. Na kojoj će udaljenosti od ravnotežnog položaja na materijalnu točku djelovati sila od 1,5·10-5 N?

Rješenje

Maksimalna kinetička energija harmonijskog titranja je


2

2kAE =

Odavde slijedi da je konstanta proporcionalnosti

4

2

2 7,5 10EkA

−= = ⋅ J/m2

Na osnovu ovoga određujemo položaj u kojem djeluje zadata sila

F ks= ⇒ 2Fsk

= = cm

48. Tijelo A, mase m1 = 0,5 kg i tijelo B, mase m2 = 2,5 kg, povezani su međusobno oprugom. Tijelo A oscilira slobodno i harmonijski sa amplitudom 2 cm i kružnom frekvencijom 30 rad/s. Zanemarujući masu opruge, odrediti najveću i najmanju veličinu sile pritiska ovog sustava na podlogu.

Rješenje

Ukupna težina kojom sustav tijela djeluje na podlogu je

FGGG ±+= BA

Iznos sile opruge je

2

1F ks m sω= = Maksimalna sila pritiska na podlogu je

( ) 2

max 1 2 1 38, 43 NG m m g m Aω= + + = Minimalna sila pritiska na podlogu je

( ) 2

min 1 2 1 20, 43 NG m m g m Aω= + − = 49. Koliki je omjer kinetičke energije čestice, koja harmonijski titra, i njene potencijalne energije a. u trenutku t =T/12 s, b. kada je pomak tijela jednak polovini amplitude? Početna faza jednaka je nuli.

Rješenje


a) 2

2K

22P

1cos2 31 sin

2

mvE tE tks

ωω

= = =

b) ( )2 2

K

2P

12

12

k A sEE ks

−=

K

P

32A Es

E= ⇒ =

50. Na okomici na ravnu stijenu nalazi se zvučni izvor frekvencije 1700 Hz i prijemnik. Izvor i prijemnik su nepokretni, a stijena se udaljava od izvora brzinom 6 cm/s. Odrediti frekvenciju zvučnih udara koju registrira prijemnik. Brzina zvuka iznosi 340 m/s.

Rješenje

Prvo određujemo frekvenciju zvuka koju bi registrirala stijena koja se udaljava od izvora.

' pv vf f

v−

=

Ovi valovi zvuka se odbijaju od stijene te sad ona ima ulogu izvora koji se udaljava.

'' ' p

i i

v vvf f fv v v v

−= =

+ +

Odbijeni val od stijene i val koji ide izravno s izvora interferiraju i stvaraju zvučne udare frekvencije

'' 1 0,599 Hz 0,6 Hzp i p

i i

v v v vf f f f f

v v v v− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Δ = − = − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

51. Klavirska žica duga 1,5 m je od željeza gustoće 7,7 g/cm3, a modul elastičnosti iznosi 2,2·1011 Pa. Naprezanje žice je takvo da je relativno produljenje žice 1%. Izračunati osnovnu frekvenciju žice.

Rješenje

Brzina širenja vala u žici je

zFv σμ ρ

= =


gdje je ρ – gustoća tvari u kojoj se širi val; σ – sila po jedinici presjeka žice koja je uzrok istezanju i koju možemo odrediti na osnovu relativnog istezanja:

Eδ=σ

gdje je E – Youngov modul elastičnosti tvari koji za željeznu žicu u našem primjeru iznosi:

112,2 10 Pa;E = ⋅ δ – relativno istezanje: l lδ = Δ U zadatku je zadano relativno istezanje u postocima:

100% ⋅δ=δ slijedi da je 0,01δ =

Uvrstivši u izraz za silu po jedinici presjeka žice dobivamo:

92,2 10 Paσ = ⋅

Osnovna frekvencija žice je:

11 178,3 Hz2

fl

σρ

= =

52. Za koliko je potrebno zagrijati čeličnu žicu, promjera 0,6 mm, zategnutu silom od 100 N, da bi se njen osnovni ton snizio dva puta? Modul elastičnosti čelika je E = 250 GPa, a koeficijent linearnog rastezanja α = 10·10-6 1/K. Rješenje

Frekvencija zategnute žice je

2n Ffl μ

= n = 1,2,3,..

Za frekvenciju osnovnog tona je n = 1.

1

12

Ffl μ

= (1)

Frekvencija se smanjila dva puta tako da imamo

1 12 'f f= (2)

( )1

1'2 1

F SE Tfl T

αα μ

− Δ=

+ Δ (3)

gdje je 2

2 9282,6 10 m2dS r π π −⎛ ⎞= = = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠


Uvrštavanjem (1) i (3) u (2) i sređivanjem dobijemo

( ) TSEFTFTFF Δα−=Δα+Δα+ 442 22

Član sa ( )22 TΔα možemo zanemariti pa imamo

( )3 106,08 K

2 2FT

F SEαΔ = =

+

53. U avionu koji leti stalnom brzinom nalazi se sirena. Čovjek prema kojem se avion obrušava čuje zvuk frekvencije 1000 Hz. Kada se avion udalji od čovjeka, on čuje zvuk frekvencije 400 Hz. Kolika je brzina aviona? Uzeti da je brzina zvuka 330 ms-1.

Rješenje

Kada se avion približava čovjek čuje zvuk frekvencije

1i

vf fv v

=−

Kada se avion udaljava čovjek čuje zvuk frekvencije

2i

vf fv v

=+

Ove dvije jednadžbe nam daju brzinu aviona

1 2

1 2

m141,43 si

f fv vf f

−= =

+

54. Valna duljina jedne linije helija iznosi 5876 μm. Kolika je promjena valne duljine ove svjetlosti ako ona potiče od spiralne maglice koja se udaljava od Zemlje brzinom 19200 km/s?

Rješenje

Izvor se udaljava, a opažač registrira ovu frekvenciju

'i

cf fc v

=+

' i

c c cc vλ λ

= ⋅+

' ic vc

λ λ +=


Tako je promjena valne duljine ove svjetlosti

' 376 μmλ λ λΔ = − =

55. Dva automobila se kreću jedan prema drugom paralelnim putanjama, stalnim brzinama v1 = 70 km/h i v2 = 30 km/h. Ako prvi automobil proizvodi zvuk frekvencije f = 300 Hz koliku će frekvenciju imati zvuk koji čuje vozač drugog automobila prije i poslije susreta? Uzeti da je brzina zvuka v = 340 m/s.

Rješenje

Frekvencija zvuka koju bi prije susreta čuo vozač drugog automobila, kad bi mirovao, bila bi

'i

vf fv v

=−

Gdje su: 300 Hz,f = iv - brzina izvora, u ovom slučaju prvog automobila. Pošto se i drugi automobil giba njegov vozač čuje zvuk frekvencije

'' ' 325,8Hzp p

i

v v v vf f f

v v v+ +

= = =−

Gdje je: pv - brzina prijemnika, u ovom slučaju drugog automobila. Poslije susreta vozač drugog automobila, kad bi mirovao, čuo bi zvuk frekvencije

'i

vf fv v

=+

Pošto se i drugi automobil giba njegov vozač čuje zvuk frekvencije

'' ' 276,9 Hzp p

i

v v v vf f f

v v v− −

= = =+

56. Osvjetljenje je postavljeno samo s jedne strane ulice. Na koju visinu treba postaviti uličnu svjetiljku da bi osvijetljenost druge strane ulice bila najveća? Širina ulice je 9 m.

Rješenje

Osvijetljenost u točki na drugoj strani ulice je

α= cos2rIE

Sa slike vidimo da je


rh

=αcos ⇒ 3rhIE ⋅

=

22 dhr +=

Tako je osvijetljenost na drugoj strani ulice kao funkcija od h

( )2

322 dh

hIE+

⋅=

Tražimo maksimum te funkcije:

0=dhdE

( ) ( )( )

02

23

322

21

2223

22

=+

+−+=

dh

hdhIhdhI

dhdE

( ) ( ) ( )21

2221

2223

22 0223 dhIhdhIhdhI +÷=+−+

03 222 =−+ hdh

Visina svjetla za maksimalnu osvijetljenost na drugoj strani ulice je

2 6, 36 m22

d dh = = =

57. Svijetla slika, dimenzija (24 × 36) mm2, uveća se projektorom, pri čemu se na platnu dobije oštra slika dimenzija (2 × 3) m2. Kolika je žarišna duljina leće u projektoru ako je udaljenost između filmske vrpce i platna d = 15 m?

Rješenje

Na osnovi zadanih podataka možemo napisati

a b d+ = Povećanje leće je

1 2

1 2

' 'y y bmy y a

= = = −

1 2 1 2' 2 m; ' 3 m; 24 mm; 36 mmy y y y= − = − = =


Predznak minus označava obrnutu sliku. Uvrstivši ove vrijednosti dobit ćemo 83,33m = − Izrazimo nepoznate a i b preko povećanja i uvrstimo u prvu jednadžbu.

1da ma d am

− = ⇒ =−

1b mdb d bm m

− + = ⇒ =−

Uvrstivši u jednadžbu leće dobijemo žarišnu udaljenost:

1 1 1m md md f− −

+ =

( )2 17, 58 cm

1mdfm

= − =−

58. Sportski teren kvadratnog oblika ima površinu 625 m2. Iznad centra terena nalazi se točkasti izotropni izvor svjetlosti. Na kojoj visini treba da se nalazi izvor, da bi osvijetljenost u kutovima terena bila maksimalna? Rješenje

Osvijetljenost u točki A je

α= cos2rIEA

Sa slike vidimo da je

rh

=αcos ⇒ 3rhIE ⋅

=A

22

22

22 ahdhr +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Tako je osvijetljenost u točki A kao funkcija od h (a je zadato):

23

22

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=

ah

hIEA

Tražimo maksimum te funkcije:


0=dhdE

0

2

222

32

322

21

22

23

22

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ah

hahIhahI

dhdE

21

22

21

22

23

22

202

223

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+÷=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ahIhahIhahI

032

22

2 =−+ hah

Visina svjetla za maksimalnu osvijetljenost u kutovima terena je

mm 2 256252

2 =⇒=== aaSah

h = 12,5 m

59. Snop monokromatske svjetlosti pada pod pravim kutom na bočnu stranu prizme, načinjene od stakla indeksa loma n = 1,60. a) Kolika je najveća vrijednost kuta prizme Om pri kojem snop svjetlosti još izlazi iz prizme? b) Koliki je kut skretanja δ ovog snopa svjetlosti ako je kut prizme Om/2?

Rješenje

a) Upadni kut na drugu bočnu stranu prizme je θm, pa je po zakonu loma

sin sin 90mn θ = °

Odakle je traženi najveći kut

38,68 38 40' 40'mθ = ° = °

a) Kut prizme je 2 ,mθ a to je i upadni kut na drugu

bočnu stranu prizme

19 20'2mθ

= °

Iz zakona loma dobijemo β


sin sin 322mn θ β β⋅ = ⇒ = °

Tako je kut skretanja

12 40'2mθδ β= − = °

60. Na kojem rastojanju od konvergentne leće je potrebno postaviti predmet tako da udaljenost od predmeta do njegove realne slike bude najmanja? Rješenje

Udaljenost predmeta i slike je

d a b= +

Iz jednadžbe leće

1 1 1a b f

+ =

izrazimo b:

afba f

=−

Sada je udaljenost predmeta i slike:

2 2af a af af ad a b a

a f a f a f+ −

= + = + = =− − −

Imamo udaljenost predmeta od slike u ovisnosti o udaljenosti predmeta od leće. Deriviranjem izraza i izjednačavanjem s nulom dobijemo ekstremnu vrijednost, u ovom slučaju minimalnu:

( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2 0a a f a a afd d

da a f a f− − −

= = =− −

2 2 0a af− =

2a f=

61. Svjetlost pada na prizmu pod kutom 25°. Kut prizme je 60°. Odrediti koliki bi morao biti indeks loma prizme da svjetlost ne izađe na suprotnoj strani prizme.

Rješenje


Zakon loma za prvu plohu daje

1sin25sin β⋅=° n

Da svjetlost ne bi izašla na drugoj plohi mora vrijediti

1sin 2 =β⋅n

Na slici vidimo da vrijedi

°=β+β 6021

Dobili smo tri jednadžbe s tri nepoznate, čijim rješavanjem dobijemo n.

2 2sin 25 sin 60 cos cos 60 sinn nβ β° = ⋅ ⋅° − ⋅ ° ⋅

2 2 2

1sin 1 cos 1nn

β β⋅ = ⇒ = −

( )sin 21 125 3 12 2

n° = − −

( )2sin 25 sin 25 12 1, 46

3n

° + ° += =

62. Na plankonveksnu leću polumjera zakrivljenosti 20 cm upada paralelni snop bijele svjetlosti. Koliki je razmak između fokusa za crvenu i plavu svjetlost ako je indeks loma stakla leće za crvenu svjetlost 1,62, a za plavu 1,63?

Rješenje

Osnovna jednadžba za leće je

2

1 1 2

1 1 1 1 11⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

na b f n R R

Leća je u zraku, pa je n1 = 1, a za n2 pišemo n2 = n. R1 = R i R2 = ∞. Tako imamo

Rn

f11 −

=

Žarišna daljina za crvenu svjetlost je


1−

=C

C nRf

Žarišna daljina za plavu svjetlost je

1−

=P

P nRf

Udaljenost ovih dvaju žarišta je

( )

( )( ) cm 51,011

=−−

−=−=Δ

PC

CPPC nn

nnRfff

63. Tanka konvergentna leća žarišne duljine 0,1 m daje realnu sliku nekog predmeta udaljenog od leće 0,3 m. Kada se uz leću postavi tanka divergentna leća, slika istog predmeta pomakne se na udaljenost 0,4 m od sustava leća. Odrediti žarišnu duljinu divergentne leće, kao i njenu optičku jakost.

Rješenje

I. način Koristeći jednadžbu leće odredit ćemo udaljenost slike koju bi konstruirala konvergentna leća.

f abf a b a f

= + ⇒ = =−

k

k k

1 1 1 ' 0,15 m'

Kad bi dodali divergentnu leću slika bi bila na udaljenosti 0,4 m od sustava leća. Slika koju je konstruirala konvergentna leća predstavlja virtualni predmet za divergentnu leću.

a bff a b a b

= − + ⇒ = = −−d

d

1 1 1 ' 0,24 m' '

II. način Ekvivalentna žarišna duljina sustava ovih dviju leća iznosi

ee

1 1 1 0,17 mabff a b a b

= + ⇒ = =+

Znamo da je

f f f= +

e k d

1 1 1 stoga je e kd

k e

0,24 mf fff f

= = −−


Optička jakost divergentne leće je

1d

d

1 4,17 mf

ω −= = −

64. Leća žarišne duljine 16 cm daje oštru sliku predmeta na dva položaja međusobno udaljena 60 cm. Izračunajte udaljenost d predmeta od zastora.

Rješenje

Udaljenost predmeta od zastora (slike) je

d a b= + Za prvu sliku vrijedi

1 1 1f a b

= +

Za drugu sliku vrijedi

1 1 1

60 60f a b= +

− +

Iz prve jednadžbe izvučemo b:

afba f

=−

Zatim uvrstimo u drugu jednadžbu


1 1 160 60aff a

a f

= +− +

−

Dobivamo kvadratnu jednadžbu s dva rješenja od kojih je jedno nerealno, a realno je a = 80 cm. To uvrstimo u jednadžbu leće s prve slike pa imamo

b = 20 cm ⇒ d = a + b = 100 cm

65. Čovjek stoji udaljen 2 m od ruba bazena. Njegove oči su 1,8 m iznad tla. Na dnu bazena, koji je dubok 2 m, nalazi se predmet udaljen 1,5 m od ruba bazena prema kojem čovjek stoji. Do koje visine treba napuniti bazen vodom da bi čovjek ugledao predmet? (Indeks loma vode iznosi 1,33.)

Rješenje

β=α sinsin n

1

1

arctg 48,01dh

α = = °


sinarcsin 33,98n

αβ = = °

tgxhβ

=

2 2 2' ( )tg x d d d h h α= − = − − ⇒

2 2tg 1,65 m

tg tgh dh α

α β−

= =−

66. Tanki sloj ulja, indeksa loma n = 1,4, nanesen je na staklenu ploču (indeks loma stakla veći je od indeksa loma ulja). Ploča je osvijetljena snopom paralelnih bijelih zraka svjetlosti, koje padaju okomito na ploču. Kolika treba biti debljina sloja ulja da bi nastalo pojačanje zelene svjetlosti valne duljine λ = 560 nm?

Rješenje

Za pojačanje interferirane svjetlosti na sloju ulja na staklu razlika optičkih putova reflektiranih zraka je

2nd kλ= Dakle, minimalna debljina sloja ulja je

nm 2002

=λ

=n

d

67. Razlivena mala količina nekog ulja na površini vode može formirati vrlo tanki, intenzivno obojen sloj. Boja tog sloja obično ovisi o kutu pod kojim ga se promatra. a) Nađite za koju valnu duljinu nastaje konstruktivna interferencija kada bijela svjetlost upada

pod kutom α na tanki sloj ulja debljine d i indeksa loma n. b) Ako je debljina sloja d = 0,26 μm, indeks loma n = 1,32, nađite pod kojim kutom bi taj sloj

bio: crven λ = 0,68 μm, žut λ = 0,59 μm, zelen λ = 0,54 μm.

Rješenje a) Da bi imali konstruktivnu interferenciju razlika optičkih putova zraka 1 i 2 treba biti:

kδ λ= (n1 < n2)


Lako se izvodi da je razlika optičkih putova 1 i 2:

2 cosndδ β=

β−=β 2sin1cos

Po zakonu loma: sinβ = sinα/n, λ=α

− kn

nd 2

2sin12 , dakle:

λ=α− knd 22 sin2

Traži se interferencija prvog reda (k = 1), tako da imamo: 2 22 sind nλ α= − b) Iz izraza za λ koji smo dobili pod a) možemo izvući α

( )22arcsin / 2 n dα λ= − Slijedi da su kutovi gledanja

za crvenu: 10 22 za žutu: 42 25 i za zelenu: 54 34

αα

α

′= °′= °

′= °

68. Optička rešetka koja ima 250 zareza po milimetru osvijetljena je snopom bijele svjetlosti koji pada okomito. Iza rešetke je zastor na udaljenosti 1,5 m. Kolika je širina tamne pruge na zastoru između spektara prvog i drugog reda? (Valna duljina crvene svjetlosti iznosi 760 nm, a ljubičaste 400 nm.)

Rješenje

Uvjet za maksimalnu interferenciju kod optičke rešetke je:

λ=α⋅ kc sin , c – konstanta rešetke mm 2501

=c


Zrake koje imaju veću valnu duljinu više se otklanjaju tako da je zadnja boja u prvom maksimumu crvena, a prva boja u drugom maksimumu je ljubičasta.

I: 11sin cc λ=α⋅ k = 1 II: 22 2sin ljc λ⋅=α⋅ k = 2

Pošto su vrijednosti 1,2 y d možemo aproksimirati

sin ytgd

α α≈ =

Tako je

I: 31 c1c1 1 285 10 my dc y

d cλλ −⋅

⋅ = ⇒ = = ⋅

II: lj2 32lj2 2

22 300 10 m

dyc yd c

λλ −⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = = ⋅

Širina tamne pruge je

3

2 1 15 10 my y y −Δ = − = ⋅

69. Plastična folija debljine 0,3 μm, čiji je indeks loma 1,59, nalazi se u zraku i osvijetljena je zrakama bijele svjetlosti koje na nju padaju okomito. Za koju valnu duljinu vidljivog dijela (400 nm – 750 nm) spektra će interferencija u reflektiranoj svjetlosti biti destruktivna.

Rješenje

Za destruktivnu interferenciju, razlika optičkih putova reflektiranih zraka 1´i 2´ mora biti

( )2 2 12 2

nd kλ λ+ = +

2nd kλ=

(Zraka 1' se reflektira s promjenom faze za kut π, a zraka 2' bez promjene u fazi i zbog toga optičkoj razlici hoda treba dodati λ/2.)

2ndk

λ =

Tako je za k = 1; λ = 9,54·10-7 m = 9,54 nm (nije iz vidljivog spektra)

k = 2; λ = 4,77·10-7 m = 477 nm


k = 3; λ = 3,18·10-7 m = 318 nm (nije iz vidljivog spektra)

Dakle iz ovog dijela spektra imamo poništavanje svjetlosti valne duljine 477 nm.

70. Na optičku rešetku okomito pada snop svjetlosti. Kolika je valna duljina crvene svjetlosti ako je crvena linija vidljiva u spektru trećeg reda pod kutom 60°, a u spektru četvrtog reda pod istim se kutom vidi linija valne duljine λ = 473 nm? Kolika je konstanta rešetke?

Rješenje

Uvjet za konstruktivnu interferenciju kod optičke rešetke je

λ=α kc sin

Za crvenu liniju u spektru trećeg reda imamo

Cc λ=α 3sin

Za liniju s valnom duljinom λ = 473 nm imamo

λ=α 4sinc

Odavde slijedi da je konstanta rešetke

m 2,185nm 69,2184sin4

μ==α

λ=c

Valna duljina crvene svjetlosti je

sin 4 630,67 nm

3 3Cc α λλ = = =

71. Na difrakcijsku rešetku konstante 2,2 μm okomito pada monokromatska svjetlost. Odrediti valnu duljinu ove svjetlosti, ako je kut između maksimuma prvog i drugog reda spektra 15°.

Rješenje

Za maksimum prvog reda imamo

λ=αsinc

Za maksimum drugog reda imamo

( ) λ=°+α 215sinc

Podijelimo drugu s prvom pa imamo


( ) 2sin

15sin=

α°+α

sin cos15 cos sin 15 2sin

α αα

° + °=

215sinctg15cos =°α+° 0,966 0, 259 ctg 2α+ ⋅ =

ctg 3,99α =

arcctg 3,99 14α = = ° λ=°⋅ 14sinμm 2,2

Valna duljina ove svjetlosti je

nm 530μm 53,0 ==λ

72. Snop bijele svjetlosti pada okomito na staklenu ploču debljine d = 0,4 μm. Indeks loma stakla je n = 1,5. Koje će valne duljine iz vidljivog spektra (od 4 ·10-4 do 7·10-4 mm) biti pojačane u reflektiranom snopu? Staklena ploča se nalazi u zraku.

Rješenje

Da bi dobili pojačanje reflektiranih zraka 1' i 2' razlika optičkih putova treba iznositi

22

nd kλ λ+ =

(Zraka 1' se reflektira s promjenom faze za kut π, a zraka 2' bez promjene u fazi i zbog toga optičkoj razlici hoda treba dodati λ/2.) Valne duljine za koje će svjetlost biti pojačana su

12

4−

=λknd

Tako je za k = 1; λ = 24·10-7 m (nije iz vidljivog spektra)

k = 2; λ = 8·10-7 m (nije iz vidljivog spektra)

k = 3; λ = 4,8·10-7 m k = 4; λ = 3,4·10-7 m (nije iz vidljivog spektra)

Dakle, iz vidljivog spektra je pojačana samo svjetlost valne duljine 4,8·10-7 m.


1. Na temperaturi t1 = 10 °C u metalni spremnik može se uliti količina nafte čija masa je m1 = 10525 kg, a na temperaturi t2 = 30 °C masa ulivene količine nafte je m2 = 10575 kg. Koliki je linearni koeficijent toplinskog rastezanja metala od kojeg je načinjen spremnik? Volumni koeficijent toplinskog širenja nafte je γ = 9·10-4 1/K. (Rješenje: α = 3,822·10-4 1/K) 2. U posudu, u kojoj se nalazi 10 kg vode na temperaturi 10 °C, stavi se komad leda ohlađen na temperaturu -50 °C. Temperatura smjese nakon izjednačenja je -4 °C. Kolika je masa leda stavljena u posudu? Specifični toplinski kapacitet vode je c1 = 4,2·103 J/(kg·K), a specifični toplinski kapacitet leda je c2 = 2,1·103 J/(kg·K). Latentna toplina taljenja leda je Lt = 3,36·105 J/kg. (Rješenje: m = 40 kg) 3. Koliku je količinu topline potrebno dovesti količini leda, mase m = 1 kg, koji se nalazi na temperaturi t = -10 °C, da bi se pretvorio u paru? Promjena agregatnog stanja vrši se na standardnom tlaku. Specifični toplinski kapacitet leda je c1 = 2,1 kJ/(kg·K), a specifični toplinski kapacitet vode je c2 = 4,19 kJ/(kg·K). Latentna toplina topljenja (očvršćivanja) leda je LT = 335 kJ/kg, a latentna toplina kondenziranja (isparavanja) vodene pare je LK = 2,26 MJ/kg. (Rješenje: 3,035 MJQ = )

4. Na sredini diska nalazi se kružni otvor promjera D = 12,15 mm na temperaturi t1 = 20 °C. Do koje temperature je potrebno zagrijati disk kako bi kroz ovaj otvor mogla proći metalna kuglica promjera d = 12,18 mm? Linearni koeficijent toplinskog rastezanja metala od kojeg je načinjen disk je α = 18·10-6 1/K. (Rješenje: t2 = 157,2 °C) 5. Dužina šipke je 1000 mm na temperaturi 0 °C, a 1002 mm pri temperaturi 100 °C. Odrediti pri kojoj temperaturi će dužina šipke biti 1011,6 mm. (Rješenje: t = 580 °C)

6. Metalna lopta ima promjer d1 = 15 cm na temperaturi t1 = 10 °C. Za koliko se poveća površina lopte kad se ona zagrije do temperature t2 = 80 °C? Linearni koeficijent toplinskog rastezanja metala od kojeg je načinjena lopta je α = 15·10-6 1/K. (Rješenje: ΔS = 1,48 cm2) 7. U bakarnoj posudi, mase m = 100 g, nalazi se količina vode, mase m1 = 200 g, na temperaturi t1 = 4 °C. U posudu se unese bakarno tijelo, mase m2 = 300 g, čija je temperatura t2 = -20 °C. Kolika je krajnja temperatura u posudi? Specifični toplinski kapacitet bakra iznosi 0,39 kJ/(kg·K). (Rješenje: tS = 1,18 °C)

8. Posuda, volumena V = 10 cm3, sadrži N = 5,4·1020 molekula nekog plina na temperaturi t = 0 °C. Koliki je tlak plina u posudi? (Boltzmannova konstanta k = 1,38·10-23 J/K) (Rješenje: p = 204 kPa)

9. Kolika je promjena temperature plina ako se volumen poveća dva puta, a tlak smanji tri puta? (Rješenje: T2 = (2/3)·T1; ∆T = T2 - T1 = -T1/3 )


10. Kolika masa kisika se nalazi u balonu, volumena V = 50 L, u kojem je tlak p = 0,2 MPa, a temperatura t = 27 °C? Molarna masa kisika je M = 32 g/mol. (Rješenje: m = 128 g)

11. Kolika je masa zraka koji se nalazi u prostoriji dimenzija 4 × 4 × 3 m3, na temperaturi t = 27 °C i tlaku p = 1013,25 mbar? Molarna masa suhog zraka je M = 0,029 kg/mol. (Rješenje: m = 56,5 kg)

12. Koliki je tlak potrebno ostvariti na temperaturi t = 0 °C u posudi, volumena V = 5 L, kako bi se u njoj nalazila količina helija čija je masa m = 10 g? Promatrati kao idealni plin. Molarna masa helija je M = 4·10-3 kg/mol. (Rješenje: p = 1,135 MPa) 13. Za koliko se promijeni gustoća zraka ako se temperatura povisi od -2 °C do 35 °C na standardnom tlaku? Molarna masa zraka je 29 g/mol. Standardni tlak iznosi 101325 Pa. (Rješenje: ∆ρ = -0,16 kg/m3) 14. U zatvorenoj posudi volumena 12 L nalazi se kisik mase 0,858 kg. Poznato je da litra kisika na atmosferskom tlaku ima masu 1,5 g pri istoj temperaturi. Koliki je tlak u posudi? (Rješenje: p2 = 4,83·106 Pa) 15. Kolika količina topline se potroši da bi se količini kisika, mase 10 g, koji se nalazi na temperaturi od 27 °C, povećao volumen 3 puta pri stalnom tlaku, a zatim povisio tlak 2 puta pri stalnom volumenu? Specifični toplinski kapaciteti zraka su cP = 908 J/(kg·K) i cV = 653 J/(kg·K). (Rješenje: Q = 11330,7 J) 16. Dva balona su međusobno spojena preko jedne slavine. U prvom balonu volumena 3·10-3 m3 nalazi se plin pod tlakom 1,2·105 Pa, a u drugom balonu volumena 10-3 m3 nalazi se isti plin pod tlakom 0,9·105 Pa. Koliki će tlak biti u balonima pri otvaranju slavine? Temperatura u balonima je jednaka i ne mijenja se poslije otvaranja slavine. (Rješenje: p = 1,125·105 Pa) 17. Dva balona, volumena V1 = 5 L i V2 = 3 L, spojena su preko jedne slavine. Veći balon ima odušak koji ispušta plin ako tlak preraste graničnu vrijednost od 3,04 bar. Slavina je zatvorena, a u balonima su tlakovi p1 = 2,03 bar i p2 = 4,06 bar pri temperaturi od 275,15 K. a) Kolika je ukupna količina plina u oba balona? b) Hoće li odušak na većem balonu puštati plin ako se otvori slavina? c) Kolika će količina plina biti u balonima ako se sustav zagrije na 400,15 K? (Rješenje: a) n = 0,97 mol; b) p = 2,77 bar, dakle odušak neće puštati plin; c) n' = 0,73 mol) 18. U vrhovima kvadrata, stranice a = 2 cm, nalaze se točkasta tijela s količinom naboja q = 2 nC. Kolika Coulombova sila djeluje na svako tijelo? Tijela se nalaze u zraku. (Rješenje: F = 172 μN)


19. Dva tijela, nabijena količinama naboja q1 = -4 nC i q2 = -1 nC, nalaze se na udaljenosti a u vakuumu. Kakav predznak može imati naboj trećeg tijela, koje je nabijeno količinom naboja q3 = 1 nC i gdje ga je potrebno postaviti da bi bilo u ravnoteži u odnosu na djelovanje Coulombovih sila od prva dva tijela? (Rješenje: i + i -; x = 2a/3) 20. Elektron se giba u homogenom električnom polju jakosti 120 V/m. Koliku udaljenost će prijeći elektron do potpunog gubljenja brzine ako je u električno polje uletio brzinom 106 m/s, čiji se pravac i smjer poklapaju s pravcem i smjerom električnog polja? Koliko vremena će trajati ovo gibanje? Elektron se giba u vakuumu. (Rješenje: s = 2,37 cm; t = 47,4 ns) 21. Dva točkasta tijela nabijena količinom naboja q1 = 10 nC i q2 = -20 nC nalaze se na udaljenosti 2d = 0,1 m, u prostoru ispunjenom tvari čija je relativna permitivnost εr = 5. a) Kolika je jakost električnog polja u točki A, koja je jednako udaljena od ovih tijela, a

nalazi se na spojnici koja ih spaja? b) Koliki je potencijal električnog polja u točki A? c) Koliku bi potencijalnu energiju imalo tijelo naboja q3 = 1 nC kada bi se našlo u točki A? (Rješenje: a) EA = 21,582 kN/C; b) φA = -359,7 V; c) Ep = -359,7 μJ)

22. Dva iznosom jednaka naboja, ali suprotnog predznaka, međusobno su udaljena 20 cm. Koliki su naboji ako je jakost električnog polja u točki na sredini spojnice ova dva naboja

3 -11,8 10 VmE = ⋅ ? Kolika bi sila djelovala na proton u toj točki? Elementarna količina električnog naboja je 191,6 10 Ce −= ⋅ . Naboji se nalaze u zraku. (ε0 = 8,854·10-12 C2N-1m-2) (Rješenje: q1 = 1 nC, q2 = -1 nC, F = 2,88·10-16 Vm-1)

23. Kolika je razlika potencijala između dvije točke električnog polja točkastog naboja q = 30 nC, koje su na udaljenosti r1 = 5 cm i r2 = 3 cm od njegovog središta? Točke se nalaze u zraku. (Rješenje: ∆φ = -3596V) 24. Naboj q1 = -4·10-9 C nalazi se u točki A (-2, 5), a naboj q2 = -2·10-9 C u točki B (5, -3) Kartezijeva koordinatnog sustava. Jedinica u kojoj su izražene koordinate je cm. Odrediti iznos Coulombove sile na naboj q3 = 3·10-9 C koji se nalazi u ishodištu koordinatnog sustava. (Rješenje: F3 = 2,69 N) 25. Naboji q1 = -2·10-9 C, q2 = 3·10-9 C i q3 = -4·10-9 C nalaze se u točkama A (1, 2), B (-1, -3) i C (-2, 5) Kartezijeva koordinatnog sustava. Jedinica u kojoj su izražene koordinate je cm. Odrediti potencijal u točki P (3, -2). (Rješenje: φ = -165,8 V) 26. Elektron uleti brzinom v0 u homogeno električno polje, krećući se okomito na na pravac silnica ovog polja. Napon između ploča je U = 300 V, a njihova međusobna udaljenost d = 2 cm. Koliku najmanju brzinu treba imati elektron kako bi izašao iz polja, a da ne udari u ploču ako je duljina ploča l = 10 cm? Elementarna količina električnog naboja je

191,6 10 Ce −= ⋅ , a masa elektrona je 319,1 10 kg.em−= ⋅

(Rješenje: v0 = 36,3·106 m/s)


27. Potencijal električnog polja u točkama A i B iznosi φA = 300 V i φB = 1200 V. Koliki rad treba izvršiti da bi se naboj q = 30 nC premjestio iz točke A u točku B? (Rješenje: W = 27 μJ)

28. Elektron čija je kinetička energija Ek = 120 eV ulijeće u homogeno električno polje okomito na pravac polja. To homogeno polje stvaraju dvije paralelne ploče čije su duljine l = 9 cm, a međusobna udaljenost d = 1,5 cm. Između ploča vlada napon U = 10 V. Za koliki kut skrene elektron sa svog pravca pri izlasku iz tog električnog polja? Elementarna količina električnog naboja je 191,6 10 C.e −= ⋅ (Rješenje: α = 14°2'10'')

29. Proton i α–čestica ulete jednakim brzinama v u homogeno električno polje ravnog kondenzatora jakosti E po pravcu okomitom na pravac električnog polja. Koliko puta je veće skretanje protona od α–čestice u električnom polju? (α–čestica se sastoji od 2 protona i dva neutrona; mp ≈ mn) (Rješenje: yp/yα= 2) 30. U električnom polju metalne lopte, nabijene količinom naboja q1 = 420 nC, nalazi se točkasti naboj q2 = 2 nC, koji se pomakne s udaljenosti r1 = 0,4 m na udaljenost r2 = 0,5 m od središta sfere. Koliki rad se izvrši pri ovom pomicanju? Lopta i naboj se nalaze u zraku. Naboji se nalaze u zraku. (ε0 = 8,854·10-12 C2N-1m-2) (Rješenje: W = 3,83 μJ) 31. Kroz vodič poprečnog presjeka 0,5 mm2 prolazi struja jakosti 0,2 A. Na krajevima vodiča vlada napon od 1,6 V. Treba odrediti masu vodiča. Specifični otpor materijala od kojeg je načinjen vodič je 0,42·10-6 Ωm, gustoća tog materijala je 8,5·103 kg/m3. (Rješenje: 40,48 gm = ) 32. Elektroni i protoni ubrzaju se istom razlikom potencijala U = 0,1 MV. Ovako ubrzani, oni ulijeću u homogeno magnetsko polje jakosti B = 10 mT, i to u smjeru okomitom na smjer magnetskog polja. Odrediti radijus zakrivljenosti putanja elektrona i protona. Elementarna količina električnog naboja je 191,6 10 C,e −= ⋅ masa protona 1,672·10-27 kg, a masa elektrona 9,1·10-31 kg. (Rješenje: 0,106 m; 4,56 m)e pr r= = 33. Spirala električnog grijača kalorimetra, električnog otpora R1, povezana je u strujni krug kao na slici. Elektromotorna sila izvora iznosi E = 110 V, a koeficijent korisnog djelovanja spirale grijača η = 80 %. Ampermetar pokazuje jakost struje 2 A, a voltmetar napon od 10, 8 V. (Unutarnji otpor voltmetra smatrati beskonačno velikim.) a) Koliki je električni otpor spirale R1? b) Koliki je električni otpor R2? c) U kalorimetar je ulivena količina od 500 g kerozina. Odrediti specifični toplinski kapacitet kerozina ako se nakon 5 min protjecanja struje temperatura povisi za 5 °C. (Rješenje: a) R1 = 5,4 Ω; b) R2 = 49,6 Ω; c) c = 2,074 kJ/(kg·K))


34. Proton i elektron, ubrzani jednakom razlikom potencijala, ulete u homogeno magnetsko polje, u smjeru okomitom na smjer magnetskog polja. Koliki je odnos polumjera zakrivljenosti njihovih putanja u magnetskom polju? Masa protona je 1,672·10-27 kg, a masa elektrona 9,1·10-31 kg. (Rješenje: 43p e p er r m m= ≈ ) 35. Dva ravna beskonačno duga vodiča kroz koje protječu struje jednakih jakosti I1 = I2 = 10 A, križaju se pod pravim kutom. Smjerovi ovih struja označeni su na slici. Kolika je jakost magnetskog polja u točkama A i B koje se nalaze na rastojanju a = 40 cm od oba vodiča? Vodiči se nalaze u zraku. (µ0 = 4π·10-7 Tm/A) (Rješenje: 510 T; 0 TA BB B−= = ) 36. Na slici je prikazan presjek dva strujna vodiča kroz koje prolaze struje jednakih jakosti I1 = I2 = 100 A u naznačenim smjerovima. Vodiči su na međusobnoj udaljenosti d = 50 cm. Kolike su jakosti magnetskih polja u točkama A, B i C koje su na udaljenosti d/2 od vodiča? (Rješenje: BA = 5,33·10-5 T; BB = 1,6·10-4 T; BC = 5,33·10-5 T) 37. Period titranja tijela je 30 s. Ako je početna faza titranja φ0 = 0, odrediti najkraće vrijeme za koje će elongacija titranja biti jednaka polovici amplitude. (Rješenje: t = 2,5 s)

38. Uteg, mase m = 10 kg, visi na elastičnoj opruzi koju sila, jakosti F = 10 N, rastegne za x = 2 cm. Koliki su period i frekvencija titranja ovog sustava? (Rješenje: T = 0,89 s; f = 1,12 Hz) 39. Kada se na kraj opruge objesi uteg mase 0,5 kg period njegovog titranja je 2 s. Kolika treba biti masa dodatnog utega da bi se period titranja povećao tri puta? (Rješenje: 4 kgm = )

40. Tijelo harmonijski titra oko položaja ravnoteže. U početnom trenutku ima pomak 4 cm i brzinu jednaku nuli. Period titranja je 3 s, a masa tijela 2 g. a) Odrediti kutnu frekvenciju i maksimalnu brzinu. b) Odrediti akceleraciju u trenutku t = 4 s. c) Za koliko vremena tijelo stigne u točku koja je od ravnotežnog položaja udaljena 2 cm? (Rješenje: a) ω = (2/3)π s-1 , vmax = 8,37 cm/s; b) a = 8,67 cm/s2; c) t = 0,5 s)

41. Tijelo mase 0,1 kg harmonijski titra s amplitudom od 8 cm. Maksimalno ubrzanje je 4 cm/s2. Odrediti period titranja i kinetičku energiju tijela u trenutku njegovog prolaska kroz ravnotežni položaj.


(Rješenje: 8,88 sT = , 4max 1,6 10 JKE

−= ⋅ )

42. Na česticu mase 0,20 kg djeluje elastična sila konstante k = 22 N/m i ona titra s amplitudom od 15 cm. Izračunati potencijalnu i kinetičku energiju čestice kada je ona udaljena od ravnotežnog položaja 5 cm, te period titranja. (Rješenje: EP = 27,5·10-3 J, EK = 0,22 J, T = 0,6 s)

43. Tijelo mase 50 g koje je vezano za kraj opruge izvučeno je iz ravnotežnog položaja za 20 cm silom od 2 N i pušteno. Izračunati brzinu i akceleraciju kada je tijelo udaljeno od ravnotežnog položaja 5 cm. (Rješenje: v = 2,7 m/s, a = 10 m/s2) 44. Homogeno uže mase 1 kg i duljine 6,4 m zategnuto je silom od 40 N. Na jednom kraju užeta proizvede se mali transverzalni pomak. Za koliko vremena će se ovaj poremećaj prenijeti na drugi kraj užeta? (Rješenje: t = 0,4 s) 45. Žica duljine 0,4 m daje osnovni ton frekvencije 300 Hz. Kolika će biti minimalna frekvencija tona koji proizvodi žica ako se ona skrati za 10 cm, pri čemu sila zatezanja ostaje ista? (Rješenje: ' 400 Hzf = ) 46. Odrediti tri najmanje frekvencije pri kojima se u olovnom štapu duljine 1 m, učvršćenom u sredini, formiraju longitudinalni stojni valovi. Modul elastičnosti olova iznosi 1,7·1010 N/m2, a gustoća olova je 11,34·103 kg/m3. (Rješenje: 1 2 3612,192 Hz; 1836,378 Hz; 3060,963 Hzf f f= = = ) 47. Na jednom kraju bakarne šipke duljine 50 m udari se čekićem. Na drugom kraju šipke zvuk udara čuje se za 0,011 s prije nego kroz zrak. Odrediti modul elastičnosti bakra ako mu je gustoća 8,9·103 kg/m3, a brzina zvuka 340 m/s. (Rješenje: E = 1,2·109 N/m2) 48. Razlika nivoa buke dva zvučna izvora iznosi 1 dB. Koliki je odnos intenziteta ova dva zvuka? (Rješenje: I1/ I2 = 1,259)

49. Frekvencija tona kojeg daje sirena lokomotive je 650 Hz. Kolika je frekvencija tona kojeg čujemo ako se lokomotiva udaljava od nas brzinom od 20 m/s? Uzeti da je brzina zvuka 340 m/s. (Rješenje: ' 613,89 Hz)f =

50. Vlak A giba se brzinom od 50 m/s u mirnom zraku, a njegova sirena odašilje zvuk frekvencije 600 Hz. a) Koliku bi frekvenciju zvuka registrirao detektor ako je postavljen ispred vlaka, a koliku

ako se nalazi iza njega? b) Koliku bi frekvenciju sirene registrirali putnici u vlaku B, ako vlak B mimoilazi vlak A

brzinom od 100 m/s, prije prolaza pored vlaka A, a koliku nakon prolaza? Uzeti da je brzina zvuka 344 m/s.


(Rješenje: a) ispred vlaka ' 703,45 Hz,f = iza vlaka ' 533,08 Hz;f = b) prije prolaza ' 907 Hz,f = nakon prolaza ' 371 Hz)f =

51. Ultrazvučni izvor sonarnog sustava razarača radi na frekvenciji 50 kHz. Izračunati brzinu udaljavanja podmornice na osnovi podatka da je razlika frekvencija između emitiranog zvuka iz razarača i zvuka reflektiranog od podmornice 400 Hz. Razarač miruje, a brzina zvuka u morskoj vodi iznosi 1450 m/s. (Rješenje: v = 5,8 m/s) 52. Slijepi miš leti okomito od stijene brzinom 8,5 m/s, pri čemu proizvodi ultrazvuk frekvencije 45 kHz. Kolika je frekvencija ultrazvuka koji prima slijepi miš? Brzina zvuka iznosi 340 m/s. (Rješenje: 42,805 kHzf = )

53. Na sredini plafona nalazi se sijalica čija je jakost svjetlosti I = 100 cd. Prostorija je u obliku kocke, čije stranice su veličine a = 3 m. Kolika je osvijetljenost zidova prostorije u njenim kutovima na podu? (Rješenje: E = 4,28 lx) 54. U središtu kvadratne sobe površine 16 m2 visi lampa. Smatrajući lampu točkastim izvorom svjetlosti odrediti na kojoj se visini od poda ona treba nalaziti da bi osvijetljenost u kutovima sobe bila maksimalna. (Rješenje: h = 2 m) 55. Točkasti izvor svjetlosti S osvjetljava površinu MN. Koliko će se povećati osvijetljenost u točki A ako se sa strane izvora S na rastojanju SZ = SA postavi ravno zrcalo Z?

(Rješenje: 1,125 puta) 56. Na planparalelnu staklenu ploču indeksa loma 1,8 i debljine 4,2 cm pada svjetlost pod kutom 60°. Izračunati paralelno pomjeranje svjetlosne zrake nakon prolaska kroz ploču. (Rješenje: x = 2,5 cm)

57. Dvije staklene ploče iste debljine od po 2 mm nalaze se na rastojanju 1 mm. Između njih je voda indeksa loma 4/3. Zraka svjetlosti pada na jednu od njih pod kutom 35°. Koliko je pomjeranje zrake svjetlosti po površini druge ploče koju zraka napušta? Indeks loma stakla iznosi 1,64. (Rješenje: x = 1,53 mm) 58. Staklena prizma, čiji je kut pri vrhu O = 38°, ima za neku monokromatsku svjetlost minimalni kut skretanja δmin = 27°. Koliki je indeks loma tvari od koje je napravljena prizma? (Rješenje: n = 1,65)


59. Snop bijele svjetlosti pada na bočnu stranu staklene prizme pod takvim upadnim kutom da crveni zrak napušta prizmu po pravcu koji je okomit na njenu bočnu stranu. Izračunati kut skretanja crvene i ljubičaste svjetlosti u odnosu na prvobitni pravac. Kut prizme je O = 45°, a indeks prelamanja stakla od koga ja napravljena prizma iznosi za crvenu svjetlost nc = 1,37, a za ljubičastu nlj = 1,42. (Rješenje: δc = 30° 36'; δlj = 33° 26') 60. Paralelni snop svjetlosti valne duljine 500 nm pada okomito na staklenu ploču debljine 8 mm, čiji je indeks loma 1,6. Koliko se valnih duljina te svjetlosti nalazi u debljini te ploče? (Rješenje: N = 25600) 61. Prizma od stakla indeksa loma 1,7 potopljena je u vodu. Indeks loma vode je poznat. Kut prizme je 100°. Na jednu stranu prizme, i to bočnu, pada zraka svjetlosti i totalno se reflektira na drugoj bočnoj strani. Koliki je najveći upadni kut pri kojem nastupa totalna refleksija na drugoj bočnoj strani prizme? (Rješenje: αmax = 73° 16' 8'') 62. Staklena prizma čiji je kut 30° ima stranu AB posrebrenu. Zraka svjetlosti koja dolazi iz zraka pada na stranu prizme AC pod kutom 40°. Prelomljena zraka se odbija od posrebrene površine AB, vraća se na stranu AC, prelama se i izlazi iz prizme. Odrediti kut pod kojim zraka izlazi iz prizme. Indeks loma stakla prizme je 1,57.

(Rješenje: α' = 66°47'35'') 63. Pomoću konkavnog sfernog zrcala polumjera zakrivljenosti R može se dobiti slika koja je 2 puta veća od predmeta. Za koliko treba pomjeriti zrcalo duž glavne optičke osi pa da se dobije slika istih dimenzija kao i prvi put? (Rješenje: x = R/2) 64. Svijetli predmet nalazi se na udaljenosti 100 cm od konveksnog zrcala polumjera zakrivljenosti 60 cm. Za koliko treba pomjeriti predmet, i u kojem pravcu, da bi se dobila dva puta veća slika nego što je bila u prvobitnom slučaju? (Rješenje: a2 = 35 cm) 65. Konkavno i konveksno zrcalo, okrenuto jedno prema drugom, imaju jednake polumjere zakrivljenosti 40 cm i nalaze se na međusobnoj udaljenosti od 70 cm. Na kojoj udaljenosti od tjemena konveksnog zrcala treba da se nalazi osvijetljen predmet da bi njegove slike u oba zrcala bile jednake? (Rješenje: a2 = 15 cm) 66. Ispred tanke konvergentne leće, žarišne daljine f = 10 cm, postavljen je predmet veličine y = 2 cm. a) Gdje treba postaviti predmet kako bi se dobila njegova realna slika veličine y' = 8 cm?


b) Kolika će biti i kakva je slika ovog predmeta ako se umjesto konvergentne leće upotrijebi divergentna leća iste žarišne daljine?

(Rješenje: a) a = 0,125 m; b) Slika je imaginarna i umanjena, veličine y' = 0,88 cm.)

67. Tanka sferna konvergentna leća, žarišne daljine f = 5 cm, upotrijebljena je kao lupa. Na kojoj udaljenosti od leće treba postaviti predmet da bi njegova imaginarna slika bila udaljena 25 cm od lupe? (Rješenje: a = 4,17 cm)

68. S jedne strane tanke konvergentne leće, žarišne daljine f = 20 cm, postavljeno je ravno ogledalo na udaljenosti d = (3/5)f od njega, a s druge strane svijetli predmet, veličine y = 1,2 cm, na udaljenosti a = 0,6f od leće. Odrediti položaj realne slike predmeta. (Rješenje: b2 = 31,76 cm) 69. Predmet se nalazi na udaljenosti 50 cm od tanke konvergentne leće žarišne daljine 3 cm. Na udaljenosti 20 cm od predmeta postavi se druga tanka leća žarišne daljine 8 cm. a) Grafičkim putem odrediti položaj i karakter slike. b) Odrediti udaljenost slike od prve leće kao i uvećanje opisanog sustava leća. (Rješenje: b) b1 = 3,659 cm, m = - 0,146) 70. Teleobjektiv se sastoji od konvergentne leće žarišne daljine 20 cm i divergentne leće žarišne daljine 7 cm. Leće se nalaze na udaljenosti od 17,83 cm. Gdje se mora postaviti fotografska ploča za snimanje objekta koji se nalazi 5 m ispred prve leće? (Rješenje: b2 = 5,25 cm) 71. U eksperimentu (Youngov eksperiment) sa dvije pukotine udaljene 0,15 mm pruge interferencije formiraju se na zastoru koji je 75 cm udaljen od pukotine. Četvrta svijetla pruga formira se na udaljenosti 1,1 cm od centralne pruge. Izračunati valnu duljinu upotrijebljene svjetlosti. (Rješenje: λ = 550 nm) 72. Tanki sloj ulja, indeksa loma n = 1,4 nanijet je na staklenu ploču. Ploča je osvijetljena paralelnim snopom zraka bijele svjetlosti, koji okomito pada na nju. Kolika treba biti debljina sloja ulja da nastane pojačanje zelene svjetlosti valne duljine λ = 560 nm? (Rješenje: dmin = 0,2 μm)

73. Paralelni snop svjetlosti, koji sadrži boje valnih duljina od 360 nm do 780 nm, pada okomito na sloj ulja, debljine d = 0,06 µm i indeksa loma n = 1,5, koji je nanijet na staklenu ploču. Koje boje ovog spektra promatrač neće vidjeti iznad ploče, uslijed njihovog poništavanja pri interferenciji? (Rješenje: λ1 = 360 nm)

74. Na optičku rešetku pada monokromatska svjetlost valne duljine λ = 625 nm. Spektar 2. reda nalazi se pod kutom O = 30°. Koliki je broj zareza na duljini od 1 cm ove optičke rešetke? (Rješenje: N = 4000 zareza) 75. Konstanta difrakcijske rešetke iznosi 5·10-3 mm. Odrediti broj maksimuma koji se mogu promatrati ako je valna duljina svjetlosti 640 nm. (Rješenje: 15 maksimuma)

Documents

Rijeseni Zadaci Iz Fizike 2. Dio 2