Contoh Soal dan Penyelesaiannya 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. (penyelesaian)2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. (penyelesaian)3. Didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(2 ) merupakan ring bagian dari R. (penyelesaian)4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. (penyelesaian)5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma. (penyelesaian)6. Tunjukan bahwa Z4 adalah merupakan suatu Ring. (penyelesaian)7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P subset Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap dan ganjil adalah suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. (penyelesaian)10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c. (penyelesaian)11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. (penyelesaian)12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. (penyelesaian)Diposkan oleh yuli astuti di 20.31 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaia No 12 Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: a P, a-1 P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = eTelah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap emaka P tidak ada unsur balikan atau invers.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan). Diposkan oleh yuli astuti di 20.24 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 11

Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.Penyelesaian :Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3].Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2]. Diposkan oleh yuli astuti di 20.22 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 10 Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian :ab = ac, maka:ab ac = 0a(b c) = 0Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka :b c = 0Jadi b = c Diposkan oleh yuli astuti di 20.21 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 9 Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0Misalkan :X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, a,b P. Diposkan oleh yuli astuti di 20.20 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 8 Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap dan ganjil adalah suatu Ring Komutatif.Penyelesaian:TabelDaftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)- TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil Pgenap + genap = genapgenap + ganjil = ganjilganjil + ganjil = genapKarena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjila + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjilSehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = ganjilMaka P assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genapmaka P ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjilmaka P ada unsur balikan atau invers- KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P(a + b) = (genap + ganjil) = ganjilSehingga :(a + b) = (b + a) = ganjilmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).2. Monoid terhadap perkalian (P, .)- TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil Pgenap . ganjil = genapgenap . genap = genapganjil . ganjil = ganjilkarena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genapa . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genapSehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = genapmaka P assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjilmaka P ada unsur satuan atau identitas- KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P(a . b) = (genap . ganjil) = genap(b . a) = (ganjil . genap) = genapSehingga :(a . b) = (b . a) = genapmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap Pa.(b + c) = genap . (ganjil + genap)= genap.(ganjil)= genap(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)= genap + genap= genapmaka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap(a + b).c = (genap + ganjil). Genap= (ganjil). Genap= genap(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)= genap + genap= genapmaka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genapJadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).

Diposkan oleh yuli astuti di 20.18 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 7 Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.Penyelesaian :Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.a . b = b . a, a,b Z4Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 23 . 2 = 2Sehingga2 . 3 = 3 . 2 = 2Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. Diposkan oleh yuli astuti di 20.15 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 6 Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.Penyelesaian :TabelDaftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)- TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 + 0 = 11 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 0karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Z4 misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0 misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1 misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2 misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3maka Z4 ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 Z4, pilih 0 Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 Z4, pilih 3 Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 Z4, pilih 2 Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 Z4, pilih 1 Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1maka Z4 ada unsur balikan atau invers- KomutatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4(a + b) = (2 + 3) = 1(b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :(a + b) = (b + a) = 1maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)- TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 . 0 = 01 . 1 = 11 . 2 = 21 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2Sehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)= 2.(0)= 0(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)= 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0(a + b).c = (2 + 1).3= (3).3= 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)= 2 + 3= 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).Diposkan oleh yuli astuti di 20.12 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 5 Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)= 2x + 2y= p(x) + p(y)Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri. Diposkan oleh yuli astuti di 20.09 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 4 Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :TabelDaftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 1 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiap a, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)p(1) = 1 . -1-1 = -1Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.

Diposkan oleh yuli astuti di 20.08 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI penyelesaian No 3 Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 ) merupakan ring bagian dari R.Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidak kosong.Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( a c ) + ( b d ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, a c dan a d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. Diposkan oleh yuli astuti di 20.06 Tidak ada komentar: Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke PinterestLabel: PELAJARAN or MATERI Penyelesaian No 2 Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.Bukti :Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Penyelesaian No 1 Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.Jawaban:P = {3x|x Z }Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)= (x+y) + (x+y) + (x+y)= 3(x+y)Karena x+y Z, maka a+b P2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)= 3y + 3x= b + a3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))= 3((x+y) + z)= 3(x+y) + 3z= (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:a + 0 = 3x + 3.0= 3(x+0)= 3x= aIni berarti 0 unsur nol dalam P.5. Ambil sebarang a = 3x P. Pilih b = 3(-x) P. Akan ditunjukkan (3x) = 3(-x)Perhatikan:3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))= 3.0= 0Jadi (3x) = 3(-x)Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b P.Perhatikan:a .b = 3x . 3y= 3. 3xy= 3(3xy)Karena 3xy Z, maka a.b P.2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).cPerhatikan:a.(b.c) = 3x(3y . 3z)= 3x(3(3yz))= 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)= 3.3(xy) . 3z= (3x . 3y). 3z= (a.b). cLangkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.aPerhatikan:a(b+c) = 3x(3y + 3z)= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))= 3.3(xy + xz)= 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x= ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3= (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx= 3y.3x + 3z.3x= b.a + c.aLangkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b = b.aPerhatikan:a .b = 3x. 3y= 3.3xy= 3.3yx= 3y. 3x= b.aJadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.

12 Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: a P, a-1 P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = eTelah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap emaka P tidak ada unsur balikan atau invers.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).