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Ripasso nozioni di base di campi elettromagnetici
Esercitazione 1
onde piane.....
radiazione.....
Definizioni
Onda elettromagnetica
Si ottiene come soluzione delle equazioni di Maxwell con• equazioni costitutive dei mezzi• condizioni al contorno
Si definisce ONDA la variazione temporale di un campo
Ripasso: Equazioni di Maxwell
( ) ( )
( ) ( ) ( )ttrDtrJtrH
ttrBtrE
∂∂
+=×∇
∂∂
−=×∇
,,,
,,rr
rrrr
rrrr
( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωω
ωωω,,,
,,rDjrJrH
rBjrE+=×∇
−=×∇
nel dominio del tempo
nel dominio della frequenza
Trasformata di Fourier
Ripasso: Equazioni costitutive dei mezziCaratteristiche dei mezzi:
– Linearità, isotropia, stazionarietà, omogeneità, dispersione temporale e spaziale, dissipatività
Dielettrici Conduttori
-
+ +
EE
+ -+ -
E
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ωμμωωμω
ωεεωωεω,....,,,
,....,,,
00
00rHrMrHrB
rErPrErD
r
r==+=
==+= ( ) ( )ωσω ,, rErJ =
Polarizzazione dei dielettrici ε, σ
atomica; molecolare; orientamento.
Ripasso: Condizioni al contorno
Interfaccia
All’ ∞
( )( ) s
sJHHn
DDn=−×=−⋅
12
12 ρ mezzo 1mezzo 2
n
r0
S∞( ) 0lim
10lim
0 =−×
<∀=
∞∞→
∞→HErr
Er
r
rη
υυ
Sono le condizioni di radiazione: poiché all’infinito non vi sono cariche, il campo deve tendere a 0 con dipendenza almeno 1/r; inoltre il campo elettrico ed il campo magnetico devono tendere ad una forma ‘tipo’ onda piana.
Onda elettromagneticasi definisce
onda elettromagneticauna soluzione delle equazioni di Maxwell
nel dominio del tempo.....
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermrE Φ−=
nel dominio della frequenza.....
( ) ( ) ( )zctgzctftzE ++−=,
f(z) f(ct-z)z
E
ct
Espressione onda elettromagnetica
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=•Tornando nel tempo (fasori):
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )ωωω
ωω ωωω
,cos,,
,Re,Re, ,
rtrmtra
eermeratra tjrjtj
Φ−=
== Φ−
•La fase dell’onda è data da:( )ωω ,rt Φ−=Ψ
L’onda e.m., nel dominio della frequenza, sarà una grandezza complessa, caratterizzata
da modulo e fase
Velocità di fase
La velocità di fase è la velocità che dovrebbe avere un ipotetico osservatore per nonosservare variazioni di fase nell’onda:
( )( ) 0, =Φ−=Ψ ωω rtdd
( ) 0,=
∂Φ∂
− drrrdt ωω
Lungo una generica direzione r:
( )rrdt
drv f
∂Φ∂
== ωω
,
Propagazione delle onde
Se la funzione iconale è costante nello spazio
l’onda si dice stazionaria;
altrimenti si ha un’onda progressiva
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=
Superfici equifase, equiampiezza
Si definiscono superfici equifase quelle superfici in cui risulta Φ(r) costante
Si definiscono superfici equiampiezza quelle superfici in cui risulta costante il modulo dell’onda
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=
Onda uniforme
Un’onda elettromagnetica si definisce uniformequando
le superfici equifase ed equiampiezza coincidono
piane cilindriche sferiche
L’onda prende il nome dalla forma delle superfici equifase
Onde piane
Un’onda elettromagnetica si definisce piana quandoil luogo dei punti in cui la funzione iconale è costante è un piano.
Le onde piane si ottengono come soluzione particolare delle equazioni di Maxwell,
sotto particolari condizioni semplificative.
i.e., superfici equifase = piani
in quanto: • molti fenomeni propagativi possono essere
schematizzati con la propagazione di onde piane;• il campo lontano di un’antenna è localmente di tipo
onda piana;• nelle strutture guidanti si propagano onde piane;• un qualunque campo elettrico (trasformabile secondo
Fourier) si può esprimere come somma integrale di infinite onde piane di ampiezza infinitesima.
Tuttavia, sono particolarmente importanti
Onde piane
Le onde piane rappresentano un’astrazione.
Onde piane
Si possono ottenere come soluzioni delle 1. equazioni di Maxwell omogenee (no correnti impresse);2. nello spazio libero (no discontinuità);3. in un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, stazionario,
eventualmente dispersivo nel tempo.
( ) ( ) 0,, 22 =+∇ ωω rEkrE
Si ottengono dall’equazione di Helmholtz omogenea
con la condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+==
ωσεμωμεωj
k c222
Onde piane: caratteristiche
k, vettore di propagazione, deve soddisfare la
2kkk =⋅
r vettore posizione
perché la (1) rappresenti un’onda piana deve essere:
00 =⋅ Ek
( ) rkjeErE ⋅−= 0,ω
Hanno una forma del tipo
(1)
condizione di separabilità
definisce la polarizzazione
Onde piane: caratteristiche
2kkk =⋅ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+==
ωσεμωμεωj
k c222
Dalla condizione di separabilità....
con
αβ jk −=
( ) rjreeErE ⋅−⋅−= βαω 0,
ampiezza + polarizzazione fase
Superfici equifase
superfici equifase = Φ(r) costante
21 rr ⋅=⋅ ββ
( ) 021 =−⋅ rrβ
( ) β⊥−= 2121 rrPP
β
costante r⋅β
Piani!
Superfici equiampiezza
21 rr ⋅=⋅ αα
( ) 021 =−⋅ rrα
( ) α⊥−= 2121 rrPP
α
superfici equiampiezza = modulo costante
costante r⋅α
Piani!
Velocità di fase
Nel caso generale si era trovato:
( )rrdt
drv f
∂Φ∂
== ωω
,
per l’onda piana, allora, lungo la direzione di β:
( ) βω
ωω
=
∂Φ∂
==
rrdt
drv f ,( ) rr ⋅=Φ βω,
Lunghezza d’onda
Si definisce lunghezza d’onda λ la distanza tra due punti fra i quali esiste una differenza di fase
pari a 2πLungo la direzione di β:
πββ 212 =− rrβ
λπ2
12 =−= rr
β
λ
Polarizzazione dell’onda
La condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE
diventa:00 =⋅ Ek
αβ jk −= JR EjEE 000 +=con
00
00
00=⋅−⋅
=⋅+⋅
RJ
JREEEE
αβαβ
Luogo geometrico descritto dall’estremo libero del vettore
Polarizzazione
( ) ( ){ }( ) ( ) ( )rtErtEtrE
eeEjEtrE
JR
tjrjJR
⋅−−⋅−=
+= ⋅−
βωβω
ωβ
sincos,
Re,
00
00
r
r
( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r
ξ
ηE0J
E0R
Luogo geometrico: ellisse
Stato di polarizzazione
ξ
ηE0J
E0R
χ = arc tang(E0J/E0R)
Polarizzazione ellittica
Un’onda piana polarizzata ellitticamente si può scomporre come somma di due onde piane polarizzate linearmente
con uguale direzione di propagazione e polarizzazioni non parallele e non in fase
( ) ( ) zjeyjxrE ⋅−+= βω 00 2,
( ) zjexE ⋅−= β01
( ) zjeyjE ⋅−= β02 2
( ) ( )ztxE βω −= cos01r
( ) ( )2cos2 02πβω −−= ztyE
r
( ) zjeyE ⋅−=′ β02 2 ( ) ( )ztyE βω −=′ cos2 02
r
( ) ( ) zjeyxrE ⋅−+= βω 00 2,
Onde piane: campo magnetico
Il campo H si ottiene dalla prima equazione di Maxwell
( ) ( )ωωμω ,, rHjrE −=×∇
( ) ( ) ( ) rkjeH ⋅−0EkrEkj
jr ×=×−−=
1,1,ωμ
ωωμ
ω
( ) rkjeHrH ⋅−= 0,ω 001 EkH ×=ωμ
Classificazione delle onde
L’onda si definisce:
1. TEM (Trasversa ElettroMagnetica), se né Ené H hanno componenti lungo la direzione di propagazione,
2. TE (Trasversa Elettrica), se E non ha componenti lungo la direzione di propagazione,
3. TM (Trasversa Magnetica), se H non ha componenti lungo la direzione di propagazione.
βE
H
βE
βH
Potenza trasportataSi calcola dal flusso del vettore di Poynting
attraverso una superficie
( ) ( ) ( )ωωω ,,21, * rHrErS ×=
2
21
21 EHES
ζ==
onde piane uniformiζ= impedenza
caratteristica mezzo
modulo del campo
21rmsES
ζ=
valore quadratico medio del campo2
EErms =
Attenuazione - CAMPO
Attenuazione in dB
L’onda si attenua:
( ) lααα
αee
eEeE
EEA xx
x
x
finale
iniziale ==== −−
−01
1
0
0
0
( ) lll ααα 68.8log20log20 1010 === eeAdB
0.434
Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA
deciBel
AdB = 6 dB Che significa?
6 = 20 log10A A = 103/10 = 2
Il campo iniziale era il doppio di quello finale
N.B.: parliamo di campi... in potenza è:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
fin
indB P
PA 10log10 AdB = 3 dB è “il doppio”...
Profondità di penetrazione
La profondità di penetrazione èdefinita come la distanza alla quale
l’onda si è attenuata di 1/e
αδ−= ee1
xx1 x2
E1 = 1 E2 = 1/e
δ
αδ 1=
Costanti primarie e secondarie
Le costanti primarie sono quelle caratteristiche del mezzo
ε , μ, σ
Le costanti secondarie sono definite come:
k = numero d’onda (per opu = cost prop)
ζ = impedenza caratteristica del mezzo
ck μεω=
cεμζ =
Ripasso
( ) ( ) cjjkkk μεωαβαβ 22 =−⋅−==⋅
( ) ( ) 0000 =+⋅−=⋅ JR EjEjEk αβ
( ) rjrrkj eeEeErE ⋅−⋅−⋅− == βαω 00,
Condizione di separabilità:
Polarizzazione:
Forma onda piana:
βω
=fvVelocità di fase:βπλ 2
=Lunghezza d’onda:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅
=−
2
222
ωμσαβ
μεωαβ
( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r
Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA
Problemi di radiazione
Determinazione del campo elettromagnetico irradiato da un’antenna
Potenziale vettore magnetico
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti correnti impresse• Per il principio di sovrapposizione degli effetti si possono considerare
prima le sole correnti elettriche e poi quelle magnetiche, ottenendo il campo effettivo come somma di quelli dovuti alle due sorgenti separatamente
• Consideriamo il caso di presenza delle sole correnti elettriche
• Eseguendo la divergenza della prima di Maxwell, si ottiene
• Il campo H è quindi solenoidale e si può porre
• A è il potenziale vettore magnetico, definito a meno di un gradiente
0Jmi =
0H =⋅∇
AH ×∇=
'AHA'A ×∇=⇒φ∇+=
( )0=×∇⋅∇ E
( )0=∇×∇ φ
Potenziale scalare elettrico
• Sostituendo l’espressione di H nella prima di Maxwell
• Il vettore tra parentesi è dunque irrotazionale e si può porre
• Per un diverso potenziale vettore A′ = A + ∇φ
• Si può dunque porre
• Si passa dalla coppia (A V) alla coppia (A′ V′) con la trasformazione di gauge
VAjEVAjE ∇−μω−=⇒−∇=μω+
( ) 0AjEAjE =μω+×∇⇒×∇μω−=×∇
( ) ( )φμω−−∇μω−=∇−φ−∇μω−= jV'AjV'AjE
'V'AjEjV'V ∇−μω−=⇒φμω−=
φμω−=
φ∇+=
jV'V
A'A
Equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore magnetico
• Per determinare il campo elettromagnetico occorre determinare A e V• Introducendo le espressioni per E e H nella seconda di Maxwell
• Da cui si ottiene
• Se A e V soddisfano la condizione di Lorenz
• Si arriva all’equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore A
• Ricavato A, si ha per E e H
( ) ic JVAjjA +∇−μω−εω=×∇×∇
ic22 JVjAkAA +∇εω−=∇−⋅∇∇
cc j
AVVjAεω⋅∇
−=⇒εω−=⋅∇
i22 JAkA −=+∇
AHk
AAjj
AAjE 2c
×∇=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇∇
+μω−=εω⋅∇∇
+μω−=
Problema duale: presenza di sole correnti magnetiche impresse
• Le equazioni per il caso in cui siano presenti le sole correnti magnetiche impresse (Ji = 0) si ottengono applicando il principio di dualità
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇∇
+εω−=⇒μω⋅∇∇
+εω−=
−=+∇
μω−=⋅∇
=∇−εω−=
=×−∇=
=⋅∇
2cc
mi22
c
kFFjH
jFFjH
JFkF
UjF
magneticoscalarepotenzialeUUFjH
elettricovettorepotenzialeFFE
0E
Soluzione del problema di radiazione
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti solo correnti elettriche impresse che occupino un volume limitato τ
• Il potenziale vettore magnetico A deve soddisfare l’equazione di Helmholtz
• Proiettando l’equazione sui tre assi cartesiani x1, x2, x3 (x, y, z)
• Ogni componente cartesiana di A deve soddisfare separatamente un’equazione differenziale di Helmholtz non omogenea scalare
• L’equazione di Helmholtz, per poter essere risolta, richiede delle opportune condizioni al contorno sul potenziale vettore, derivate a partire da quelle sul campo elettromagnetico
• Se anche le condizioni al contorno si possono separare per le tre componenti cartesiane, il problema complessivo da vettoriale diventa scalare
i22 JAkA −=+∇
( )3,2,1sJAkA iss2
s2 =−=+∇
Se le correnti irradiano in spazio libero il problema è scalarizzabile
Funzione di Green
• Per risolvere l’equazione di Helmholtz scalare introduciamo l’operatore L
• Ponendo As = f e Jis = h
• Si definisce funzione di Green dell’operatore L, con le associate condizioni al contorno, la soluzione dell’equazione
• La funzione di Green rappresenta, in generale, la risposta impulsiva spaziale del sistema rappresentato attraverso l’operatore L
( )22 k+∇−=L
hf =L
sorgentedipunto'rneosservaziodipuntor)'rr()'r,r(G ==−δ=L
Nel caso dell’equazione di Helmholtz per il potenziale vettore magnetico, la funzione di Green rappresenta il potenziale prodotto da un impulso
spaziale di corrente
Soluzione mediante l’utilizzo dellafunzione di Green
• Data una generica distribuzione di correnti impresse in τ, si può sempre pensare di scomporla in una serie di infinite sorgenti impulsive di ampiezza infinitesima
• Grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale sarà dato dalla somma integrale dei potenziali dovuti alle singole sorgenti impulsive
• In formule...
• Moltiplicando per h(r′) e integrando su τ rispetto alla variabile r′
• Osservando che L opera su r e può quindi essere portato fuori integrale
• Confrontando la precedente equazione con la L f = h
)'rr()'r,r(G −δ=L
'd)'rr()'r(h'd)'r,r(G)'r(h τ−δ=τ ∫∫ ττ L
)r(h'd)'r,r(G)'r(h =τ∫τL
'd)'r,r(G)'r(h)r(f τ= ∫τ
Equazione di Helmholtz scalare per lo spazio libero e condizioni al contorno
• Il problema di radiazione per lo spazio libero riempito di un mezzo LSOI richiede la soluzione dell’equazione di Helmholtz scalare
• Le condizioni al contorno utilizzate, nel caso di un distribuzione di sorgenti contenute in un volume τ limitato, sono le condizioni di radiazione o di Sommerfeld
• La prima condizione impone che il potenziale vada a zero all’infinito almeno come 1/r e deriva da considerazioni energetiche
• La seconda condizione impone che l’onda all’infinito abbia le caratteristiche di un’onda sferica che si propaghi radialmente allontanandosi dalle sorgenti
( )3,2,1sJAkA iss2
s2 =−=+∇
( ) ( )
( )3,2,1s0Akjr
Arlim
3,2,1sArlim
ss
r
sr
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∂
==
∞→
∞→l
Funzione di Green per lo spazio libero (1/5)
• La funzione di Green per lo spazio libero deve soddisfare
• Facendo coincidere il punto di sorgente con l’origine (r′ = 0)
• Assumendo un sistema di coordinate sferiche e sfruttando la simmetria sferica dello spazio libero e della sorgente
• Esprimendo l’operatore ∇2 in coordinate sferiche
• Cercando la soluzione per r ≠ 0
( ) )'rr()'r,r(Gk22 −δ=+∇−
( ) )r()r(Gk22 δ=+∇−
)r(G)r(G;0G;0G==
ϕ∂∂
=θ∂
∂
)r()r(Gkdr
)r(dGrdrd
r1 222 δ=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
0)r(Grkdr
)r(dGrdrd
r10)r(Gk
dr)r(dGr
drd
r1 22222 =+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⇒=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Funzione di Green per lo spazio libero (2/5)
• Imposizioni…
• Moltiplicando per r l’ultima equazione
• Sostituendo nell’equazione di partenza
• Si giunge finalmente alla semplice equazione
• La soluzione cercata è dunque (k ≠ 0)
GdrG~d
drdGrG
drdGr
drG~d)r(Gr)r(G~ −=⇒+=⇒=
G~drG~drGr
drG~dr
drdGr2 −=−=
0G~kdrG~d
drG~dr
drG~d
r10G~kG~
drG~dr
drd
r1 2
2
22 =+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⇒=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0G~kdr
G~d 22
2=+
reC
reC)r(GeCeC)r(G~
rkj
2
rkj
1rkj
2rkj
1 +=⇒+=−
−
Funzione di Green per lo spazio libero (3/5)
• Restano da imporre le condizioni al contorno, per determinare C1 e C2• Per la prima condizione...
• Perché l’espressione risulti limitata per r → ∞ serve C2 = 0 (se kJ ≠ 0 ⇒mezzo dissipativo)
• Per la seconda condizione...
• Perché l’espressione tenda a zero per r → ∞ serve C2 = 0 (anche se kJ = 0)• In conclusione la soluzione è
∞→=+= −− rpereeCeeC)r(Gr rkrkj2
rkrkj1 JRJR l
( )
( ) ∞→=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++−=+−=+
−−
−
rper0r1kj2eC
reC
reC
reC1rkj
eCeCkjGrkjGdrG~dGrkj
drdGr
rkj2
rkj
1
rkj
2
rkj
1
rkj2
rkj1
reC)r(G
rkj
1
−=
Funzione di Green per lo spazio libero (4/5)
• Per determinare C1 includiamo ora il punto r = 0 e consideriamo la sorgente• Integriamo l’equazione di partenza ad un volume sferico τ0 di raggio r0 avente
centro nell’origine, limitato dalla superficie sferica S0
• Applicando il teorema della divergenza
• Si ottiene, per la sfera di raggio r0
∫∫∫ ττττδ=τ−τ∇−
000
d)r(dGkdG 22
1dGkdSnG1dGkdSGn
0000
2
S
2
S=τ−
∂∂
−⇒=τ−∇⋅− ∫∫∫∫ ττ
1drerdsindCkdrdGr4
1dddrsinrGkdSdrdG
0
0
0
00
r
0
rkj
0
2
01
2
rr
20
r
0
2
0
2
0
2
Srr
=θθϕ−π−⇒
⇒=ϕθθ−−
∫∫∫∫∫∫∫
−ππ
=
ππ
=
Funzione di Green per lo spazio libero (5/5)
• Facendo tendere il raggio r0 della sfera a zero, dalla precedente espressione si vede che il contributo dell’integrale volumetrico tenderàanch’esso a zero, ottenendo
• Da cui si ottiene
• Se la sorgente non è posizionata nell’origine basterà sostituire r con |r – r′|, ottenendo finalmente la funzione di Green per lo spazio libero
r4e)r(G
41C
rkj
1 π=⇒
π=
−
'rr4e)'r,r(G
'rrkj
−π=
−−
( ) 1C4r
e1rkjCr4lim
drerdsindCkdrdGr4lim
120
rkj0
120
0r
r
0
rkj
0
2
01
2
rr
20
0r
0
0
0
00
=π=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−π−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθϕ−π−
−
→
−ππ
=→ ∫∫∫
Come si ricava il potenziale vettore?
• La conoscenza della funzione di Green per lo spazio libero permette di ricavare il potenziale vettore prodotto da un’assegnata distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero
• L’integrale va esteso a tutto lo spazio, ovvero al solo volume occupato dalle sorgenti
• Moltiplicando per il versore coordinato x0s e sommando per s da 1 a 3
• La precedente è la soluzione dell’equazione di Helmholtz vettoriale non omogenea per il potenziale vettore magnetico in presenza di una generica distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero
∫∫ τ
−−
ττ
−π=τ= 'd
'rr4e)'r(J'd)'r,r(G)'r(J)r(A
'rrkj
isiss
∫τ−−
τ−π
= 'd'rr4
e)'r(J)r(A'rrkj
i