1

Riziko zbytečného signálu v regulačním

diagramu

Riziko zbytečného signálu v regulačním

diagramu

2

Stabilní proces

• Ve výrobě je nutné používat regulační diagramy k tomu, aby se zjistilo působení vymezitelných (nenáhodných) příčin v procesu.

•Jejich případným odstraněním se sníží variabilita procesu na nejmenší možnou míru.

• Tou nejmenší možnou mírou rozumíme stav, kdy na proces působí pouze náhodné příčiny.

• Takový proces se pak nazývá stabilním procesem, protože je reprodukovatelný, a kolísání jeho výstupů je předvídatelné.

 

3

Typy Shewhartových diagramů

Spojitá náhodná proměnná Diagram , R Diagram , s Diagram I, MR

Diskrétní náhodná proměnná Diagram p Diagram np Diagram c Diagram u

xx

4

Regulační meze

Rnebox

Regulační meze UCL, LCL se vypočtou tak, aby byly od celkové průměrné hodnoty vzdáleny o k

Většinou se volí k=3 V tomto případě pravděpodobnost,

že bod bude uvnitř regulačních mezí je p=0,9973

Pravděpodobnost bodu mimo regulační meze je =0,0027

5

Předpoklady

Normální rozdělení hodnot Nekorelované naměřené hodnoty Hodnoty v jedné podskupině

rozsahu n>1, z níž se určuje , tvoří logickou podskupinu

Regulační meze se vypočtou alespoň z k>25 podskupin

Rnebox

6

Metoda Monte Carlo

Bylo vygenerováno N=20 000 n-členných podskupin s normálním rozdělením

Rozsahy podskupin byly n=1,3,5,10 V každém tomto výběru se určily regulační

meze UCL, LCL z postupně k=10 až 1000 podskupin

Vždy se zjistil počet bodů mimo regulační meze

Tento postup se opakoval 300 krát

7

Vztah ARL a rizika • Pravděpodobnost je chyba I. druhu a představuje vlastně riziko zbytečného signálu

• Sledovat hodnotu rizika lze pomocí hodnoty průměrného počtu bodů v regulačním diagramu, kdy narazíme na bod, jenž je mimo regulační meze.

• Tato hodnota se označuje ARL (Average Run Length). • Jestliže pozorované hodnoty procesu jsou nekorelované, pak platí jednoduchý vztah pro teoretickou hodnotu

.3700027,0

11ARL0

8

Geometrické rozdělení

Náhodná proměnná x=RL, tj. počet bodů (podskupin) za sebou ležících uvnitř regulačních mezí v regulačním diagramu, má geometrické rozdělení s monotónně klesající pravděpodobnostní funkcí

a parametrem p=. Směrodatná odchylka tohoto rozdělení je pro malé hodnoty pravděpodobnosti p přibližně rovna střední hodnotě :

,2,1,0x,p1pxp x

.p

1

p

p1,p

1

9

Interval spolehlivosti pro ARL

Náhodná veličina RL má směrodatnou odchylku i střední hodnotu přibližně 370, a proto průměrná hodnota veličiny RL z 20 000 podskupin má směrodatnou odchylku přibližně (jestliže =0,0027)

.

Průměrné hodnoty ze 300 veličin již vykazují normální rozdělení, takže 95%-ní interval spolehlivosti pro ARL je přibližně (za předpokladu =0,0027, tzn. pro vysoké hodnoty k)

.

.3,5054

370

370

20000

370

20000s

RL

RLARL

7,5ARL299

968,13,50ARL

10

Je skutečně konstantní?

Známá odpověď: Není Hodnota se mění s hodnotou n, tzn.

rozsahem podskupiny Hodnota se mění s hodnotou k, tzn. s

počtem podskupin, z nichž se určí meze Hodnota se mění podle toho, zda se

se zajímáme o , a to ještě rozdílně pro jeden či druhý diagram

MRneboRresp.x,nebox

Ale jak ?

11

Nelineární model pro

Všechny tyto závislosti se dají popsat jediným modelem:

Regresní koeficienty se liší nejen podle hodnoty n, ale i podle toho, zda se jedná o z regulačního diagramu ( , R) či (I, MR)

Koeficient b4 je asymptotická hodnota pro

4bb

10 bkbbk 32

xx

12

n=1 n=3 n=5 n=10

x MR R R R

9869,5 1248,0 24,7193 10,3328 -300,477 -43,1886 99,4633 72,2512

0,5114 1,2410 15,5615 7,9983 74,3558 19,3510 8,7226 19,0101

4,5089 3,5810 1,2382 1,0620 1,6683 0,8989 1,1647 1,0792

-0,3359 -0,3658 -0,9131 -1,0374 -0,6967 -1,1164 -1,1501 -1,0379

0,00274 0,0098 0,00270 0,0058 0,00270 0,0046 0,00270 0,0043

Tabulka regresních koeficientů

xxx

0b

1b

2b

3b

4b

13

Riziko a pro rozpětí

200 400 600 800 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

k

0,0027

n=1

n=3

14 Detail

15 20 25 30 35 40 45 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

k

0,0027

n=1

n=3

n=5

n=10

15

Riziko x či x pro

200 400 600 800 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

k

0,0027

n=1

16

Detail

15 20 25 30 35 40 45 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

k

0,0027

n=1

n=3