RIZIKOS SUPRATIMAS IR RIZIKING Ų PINIG Ų SRAUT Ų ... · 6.8 Markowitz portfelio optimizavimas su Excel Nuolat susiduriame su rizika : kiek būsto draudimo pirkti ?; kiek taupyti

ĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ _________ www.ekonomika.org

___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 179 / 1483

6 RIZIKOS SUPRATIMAS IR RIZIKING Ų PINIGŲ SRAUTŲ VERTINIMAS Turinys 6.1 Rizikos apibrėžimas 6.2 Rizikos matavimas

6.2.1 Galimybės, pasekmės, tikimybės ir laukiama vertė 6.3 Rizikos matai 6.4 Nepakantumas rizikai, rizikos priedas, rizikos ir grąžos pakeičiamumas 6.5 Rizikos šaltiniai: unikali rizika ir sistematinė rizika 6.6 Rizikos panaikinimo/mažinimo būdai 6.7 Apsidraudimo ir diversifikacijos matematika

6.7.1 Apsidraudimas 6.7.2 Diversifikacija

6.8 Markowitz portfelio optimizavimas su Excel ■ Nuolat susiduriame su rizika:

� kiek būsto draudimo pirkti ?; � kiek taupyti senatvei ir pan.?

■ Bet kuris sprendimas, turintis daugiau nei vieną galimą pasekmę, yra loterija (lottery) ar lošimas (gamble), todėl ir būdai matuoti/analizuoti rizik ą atėjo iš ruletės, kauliukų ir pan.


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 180 / 1483

lošėjų.9 Tai buvo tikimybi ų teorijos (probability theory) ištakos, o matematinę formą ji įgavo XVII a. ■ Tikimybi ų teoriją taikome ne tik orų prognozavimui, bet ir ekonomikoje/finansuose: jos supratimas padeda priimti geresnius sprendimus – nors rizik ų dažnai negalime ar neapsimoka visiškai pašalinti, galime jas protingai valdyti :

� vienos rizikos prisiėmimas gali atsverti kitą rizik ą. ■ Pamatėme, kad finansų teorijoje yra svarbus pamatinis principas – žmonės reikalauja kompensacijos už rizikos prisiėmimą. Nemokėdami jos matuoti, negalėtume:

� apskaičiuoti aktuariškai teisingos kainos (actuarially fair price) už rizikos perdavimą;

� negalėtume vertinti akcij ų, obligacijų, paskolų, draudimo produktų; � pasirinkimo sandorių rinka iš viso neegzistuotų, jei nemokėtume apskaičiuoti jų

kainų, naudojant tikimybių teoriją. 6.1 Rizikos apibrėžimas ■ Naudosime šį apibrėžimą:

9 Žr. Peter L. Bernstein (1998) Against the Gods: The Remarkable Story of Risk (John Wiley & Sons, 1998).


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 181 / 1483

Rizika (risk) – a) netikrumo dėl investicijos ateities grąžos matas, b) įvertintas tam tikram laikotarpiui , c) palyginti su etalonu (benchmark). ■ Raktiniai žodžiai:

� pirma, rizika yra matas (measure), t.y. ji iš principo gali būti kiekybiškai įvertinta – lygindami dvi potencialias investicijas, norime žinoti, kuri rizikingesn ė ir kiek , kad galėtume prašyti skirting ų palūkanų. Ekonomistai turi atskirą sąvoką nuo rizikos: (Knight‘o) neapibrėžtumas ((Knightian) uncertainty)10 – situacija, kai nelabai ką galime pasakyti apie a) baigmių aibę11 ir b) jų įvykimo tikimybes.

� antra, rizika yra dėl netikrumo ateitimi – ši gali klostytis vienu iš daugybės kelių, bet nežinome kuriuo. Tai galioja net paprastiems atsitiktiniams įvykiams (random event), kaip monetos metimas (flip coin) – bus dvi galimybės (possibilities) („skaičius“ arba „herbas“, bet ne kitaip);

� trečia, rizika susijusi su investicijos ateities grąža, kuri dažnai yra nežinoma ir gana sunkiai įvertinama:

10 Frank Knight (1921) Risk, Uncertainty, and Profit. 11 JAV gynybos sekretorius Donald’as Rumsfeld’as (2002): ”Reports that say that something hasn't happened are always interesting to me, because as we know, there are known knowns; there are things we know we know. We also know there are known unknowns; that is to say we know there are some things we do not know. But there are also unknown unknowns – the ones we don't know we don't know. And if one looks throughout the history of our country and other free countries, it is the latter category that tend to be the difficult one.”


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 182 / 1483

o turime išvardinti (kiek įmanoma) visas galimybes; o įvertinti jų įvykimo tikimybes.

� ketvirta, kalbame apie investiciją, kurią galime apibrėžti plačiai: o loterijos bilietai; o atskiros FP-ės; o NT; o (laiko ir pinig ų) investicijos (per mokymąsi) į žmogiškąj į kapitalą; o įvairių investicijų portfelis.

� penkta, rizika t.b. vertinama konkrečiam laikotarpiui , nes investicijos turi laiko horizontą:

o sužinosime, kad paprastai trumpalaik ės investicijos yra mažiau rizikingos už ilgalaikes;

� šešta, rizika t.b. vertinama palyginti su etalonu, o ne izoliuotai. Jei kas jums sako, kad „j ūsų investicija yra rizikinga“ , klauskite „palyginti su kuo?“ :

o dažnai lyginame su nerizikinga investicija (risk-free investment); o tačiau, pavyzdžiui, lygindami grąžą jūsų investicinio fondo, kaip etaloną

naudojame likusių panašaus profilio fondų grąžos vidurkį; o jei norite žinoti riziką tam tikros investicinės strategijos (investment

strategy), etalonas bus kitų strategijų rizika . 6.2 Rizikos matavimas


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 183 / 1483

6.2.1 Galimybės, pasekmės, tikimybės ir laukiama vertė ■ Tikimybių teorija sako, kad nagrinėjant rizik ą:

� pirma turime išvardinti visas galimybes (possibilities); � antra, jų pasekmes (outcomes); � tada joms priskirti tikimybes (probabilities), kurios parodo pasekmės tik ėtinumą

(likelihood). ■ Pavyzdžiui, monetos ir kauliuko metimas:


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 184 / 1483

Moneta

Galimybė Pasekmė Tikimybė

#1 Skaičius Laimiu 0,5

#2 Herbas Pralaimiu 0,5

Viso 1

Kauliukas

#1 . Laimiu 0,1667

#2 .. Pralaimiu 0,1667

#3 … Pralaimiu 0,1667

#4 …. Pralaimiu 0,1667

#5 ….. Pralaimiu 0,1667

#6 …… Pralaimiu 0,1667

Viso 1 ■ Tikimyb ė (prob):

� visada yra skaičius tarp 0 ir 1: o jei prob = 0, įvykis negali įvykti ; o jei prob = 1, įvykis tikrai įvyks; o kuo prob arčiau 0, tuo mažiau tikėtina, kad įvykis įvyks; o kuo prob arčiau 1, tuo labiau tikėtina, kad įvykis įvyks;


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 185 / 1483

o kiek tik ėtina, kad įvyks keli įvykiai, parodo tikimybi ų suma: tikimybė, kad kauliuku išmesime „1“ ir „5“, yra 0,333 (= 0,1667 + 0,1667), kad išmesim “kokį nors skaičių”, t.y. visų galimybių tikimybių suma = 1.

■ Užteks žaisti☺ Analizuokim €100 investiciją į dividendų nemokančią akciją, kuri gali duoti teigiamą ir neigiamą grąžą (return), t.y jos kaina rinkoje padidės/sumažės kažkiek procentų, pagal 2-u scenarijus. ■ Lentelėje apačioje matome:

� galimybes, pasekmes ir jų tikimybes; � laukiama grąža (expected return) abiem scenarijais yra ta pati (0,1%, raudoni

stulpeliai). Ji apskaičiuojama kaip:

∑=#

##RprobR ,

t.y. ji lygi tikimyb ėmis pasvertų (probability-weighted) pasekmių sumai. Excel naudokite funkciją =sumproduct(pasekmių_stulpelis; tikimybių_stulpelis).


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 186 / 1483

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

-2% -1% 0% 1% 2%

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

-2% -1% 0% 1% 2%


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 187 / 1483

■ Taigi, matome, kad pavyzdyje laukiama grąža abejuose scenarijuose yra ta pati. Tai nereiškia, kad rizikai nepakantus (risk-averse) investuotojas bus abejingas (indifferent) tarp jų – jos rinksis 2-ą scenarijų:

� 1-as scenarijus turi didesnį galimų baigmių skaičių; � didžiausia grąža yra didesnė ir mažiausia grąža yra mažesnė nei 2-am scenarijuje.

■ Panašius skaičiavimus atliekame skaičiuojant realią palūkanų normą:

� laukiama infliacija (expected inflation) yra tikimyb ėmis pasverta įvairi ų galimų infliacijos tempų suma.

■ Investuotojai, analizuodami investicijų riziką, paprastai:

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

-2% -1% 0,1% 1% 2%


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 188 / 1483

� pasiima tikimybes ir galimas baigmes iš istorinių duomenų; � pamiršta, kad praeitis nebūtinai yra geras orientyras to, kad vyks ateityje.

6.3 Rizikos matai ■ Žmonės paprastai turi intuityv ų jausmą, kad kuo platesnė baigmių aibė, tuo didesnė rizika :

� investicija, turinti 5 galimas grąžas (kaip pavyzdyje) atrodo rizikingesnė nei su 3 galimomis grąžomis;

� žmonės mėgsta pradėti rizikos analizę nuo nerizikingų FP-ų (risk-free asset) – investicijos su viena galima nerizikinga grąžos norma (risk-free rate of return). Mūsų skaitiniame pavyzdyje trečia lentelė rodo to paties dydžio (0,1%) nerizikingą grąžą.

■ Taigi, galime matuoti rizik ą kiekybiškai įvertindami išsibarstymą tarp investicijos galimų grąžų:

� pirmas matas yra statistinis išsibarstymo matas, vadinamas standartiniu nuokrypiu (standard deviation);

� antras matas, vadinamas rizikuojamos vertės matu (Value at risk, VaR), yra blogiausio atvejo rizikingumo matas.


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 189 / 1483

■ Dispersija (variance) – a) tikimybėmis pasvertų b) galimų baigmių nuokrypio nuo c) laukiamos vertės kvadratų d) suma:

� kvadratas tam, kad neigiami ir teigiami nuokrypiai neatsvertų vienas kito.

2#

## )()( rrprobrVar −=∑


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 190 / 1483


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 191 / 1483

■ Standartinis nuokrypis (standard deviation, „sigma“) yra:

� kvadratin ė dispersijos šaknis; � naudingesnė už dispersiją, nes matuojama tais pat vienetais kaip ir grąžos

(pinigais ar %), o dispersija matuojama pinigais2 ar %2.

)()( rVarr =σ

■ Standartinis nuokrypis yra dažniausiai naudojamas finansinės rizikos matas, tačiau kai kuriais atvejais mus domina blogiausio atvejo vertė, pavyzdžiui:

� kiek maksimaliai gali sumažėti mūsų investicijos vertė, jei akcijų rinka papuls į naują Didžiąją depresiją ir pan.;

� iki kokio lygio turi pakilti svyruojan čios būsto paskolos palūkanos, kad nebegalėčiau aptarnauti savo paskolos...

■ Šias „katastrofines“ rizikas matuojame rizikuojamos vertės metodu (VaR):

� 100p% VaR yra slenkstinė nuostolio vertė (threshold loss value), tokia, kad portfelio nuostolio tikimyb ė per tam tikr ą laikotarp į viršys šią vertę, yra p.


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 192 / 1483

■ Pavyzdžiui, jei akcijų portfelio [1-os dienos VaR5%= €1 mln.], yra [0,05 tikimybė, kad portfelio vertė sumažės >€1 mln. per dieną], t.y. >€1 mln. portfelio nuostolis tikėtinas 1 dieną iš 20 (nes 5% tikimybė).]

Pav. 6.1. Normalusis tikimybinis skirstinys (N(vidurkis) = 0%; σ(st. nuokr.) = 6%)


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 193 / 1483

VaR

Vidurkis 0% B6

St. nuokrypis 6,2% B7

Investicija 100 B8

Pasitikėjimo intervalas 0,99 B9

Minimali grąža su 99% pas. int. -0,14 B10 NORM.INV(1-B9,B6,B7)

Investicijos vertė 85,57 B11 B8*(1+B10)

VaR 14,43 B12 B8-B11

Viso 100 B13 B11+B12 Lent. 6.1. VaR apskaičiavimas Excel‘iu, naudojant normalųj į skirstinį.


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 194 / 1483

Pav. 6.2. VaR interpretavimas

■ Parodėme kaip apskaičiuoti VaR su normaliuoju skirstiniu (normal distribution), bet finansuose geriau naudoti skirstinius su „storom uodegom“ (fat-tailed


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 195 / 1483

distributions), kurie atspindi faktą, kad kartais atsitinka katastrofiniai įvykiai (catastrophic events), vadinami juodosiomis gulbėmis (tail risks, „black swans“):

� 2001 m. rugsėjo 11 d.; � Didžioji depresija; � Fukušimos AE avarija; � flash crash‘ai akcijų rinkose.

■ VaR rodo minimalų laukiamą nuostolį, tarkime, 5% laiko – galite pralošti ir daugiau, todėl nesusikurkite apgaulingo saugumo jausmo:

“VaR is an airbag that works all the time, except when you have a car accident.” David Einhorn (president of Greenlight Capital)).

■ Jei apskaičiavote VaR vienai dienai, VaR mėnesiui bus: [VaR mėnesio] = [VaR dienai] · [kvadratinė prekybos dienų mėnesyje šaknis] ■ Pavyzdžiui, jei per mėnesį yra 22 prekybos akcijų rinkoje dienos: VaR(m.) = VaR(d.) · 221/2


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 196 / 1483

6.4 Nepakantumas rizikai, rizikos priedas, rizikos ir grąžos pakeičiamumas ■ Dauguma žmonių:

� nemėgsta rizikos; � moka, kad jos išvengtų – draudžiasi; � diversifikuoja investicijas; � kartais lošia, bet stengiasi išvengti didelių nuostolių.

■ Mūsų nepakantumą rizikai rodo tai, kad pelno siekiančiai draudimo įmonei polisais sumokame daugiau, nei ji vidutiniškai išmoka – tai nėra aktuariškai teisinga draudimo įmoka (actuarially-fair insurance premium), bet esame rizikai nepakantūs, todėl mums optimalu pirkti tokius aktuariškai neteisingus polisus. ■ Jums pasiūlo monetos metimo lošimą:

� „skaičius“ – laimite €1000; � „herbas“ – gaunate €0; � tikėtinas išlošis (kadangi tikimybės 0,5/0,5) – €500.

■ Jūsų nepakantumo rizikai laipsnį (degree of risk aversion) parodys suma, kurią pasiryžę mokėti už tokį loterijos bilietą:

� jei €500, jūs – neutralus rizikai (risk-neutral)? � kuo mažiau už €500, tuo nepakantesnis rizikai (risk-averse) esate;


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 197 / 1483

� kuo daugiau už €500, tuo labiau rizikuoti m ėgstantis (risk loving) esate. ■ Loterijos bilietas yra investicija, todėl tą pačią logiką pritaikome investuotojų elgsenai:

� rizikai nepakantus investuotojas teiks pirmenybę investicijai su apibrėžta grąža, o ne kitai su ta pačia laukiama grąža, bet rizikingai;

� todėl investuotojai reikalauja kompensacijos (rizikos priedo (risk premium)) už rizikos prisiėmimą:

o [rizikingos investicijos laukiama grąža t.b.] > [nei nerizikingos investicijos grąža];

o kuo didesnė rizika , tuo didesnis t.b. rizikos priedas.


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 198 / 1483

Lent. 6.2. Pasirinkimas tarp rizikos ir laukiamos grąžos


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 199 / 1483

■ Kad pamatytumėt rizikos priedą (risk premium), palyginkite, pavyzdžiui:

� Graikijos ir Vokietijos vyriausybės obligacijų pajamingumą; � IBM ir kokios mažiau žinomos kompanijos obligacijų pajamingumą.

6.5 Rizikos šaltiniai: unikali rizika ir sistematin ė rizika ■ Rizika:

� yra beveik visur; � turi daug formų.

■ Daugumoje atvejų rizikos šaltiniai yra akivaizdūs:

� vairuotojams – padaryti avarij ą; � ūkininkams – blogas oras; � investuotojams – krentančios investicijų vertės.

■ Nepaisant šaltinio, galime klasifikuoti visas rizikas į 2 grupes:

� individuali rizika (idiosyncratic, unique, specific risk) – nedidelei grupei žmonių; � sistematinė rizika (systematic, economywide, common risk) – visiems.

Lent. 6.3. Individuali ir sistematinė rizika


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 200 / 1483

■ Tarkime, turite konkretaus automobilių gamintojo (pavyzdžiui, Mercedes-Benz) akcijų. Užėjus ekonominei krizei, jos gali kilti/kristi dėl:

� a) to, kad krito ekonomika ir paklausa automobiliams bendrai: � b) to, kad M-B gamina prabangesnius automobilius, ir turtingi žmon ės atideda jų

pirkim ą geresniems laikams. ■ Arba, jei nėra kriz ės, bet mažėja paklausa būtent M-B automobiliams, ir M-B praranda rinkos dalį (market share):

� mažės M-B akcijų kursas; � didės kitų, rinkos dalį didinančių automobilių gamintojų, akcijų kainos.

■ Taigi, individuali rizika veikia konkre čias įmones, o ne visą ekonomiką (ar jos sektorių):


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 201 / 1483

� jei krenta paklausa viso sektoriaus produkcijai, nes žmonės sugalvojo persėsti ant dviračių – sistematinė rizika , nes visiems automobilių gamintojams blogai vienu metu;

� jei mažėja M-B rinkos dalis sektoriuje – tai M-B individuali rizika . ■ Makroekonominiai veiksniai, tokie kaip a) vartotojų/gamintojų pasitikėjimo (consumer/business confidence, „animal spirits”) svyravimai, b) geopolitiniai įvykiai , c) gamtinės/technologinės katastrofos..., yra sistematinės rizikos šaltiniai, veikiantys daugiau mažiau visas įmones ir žmones ekonomikoje. ■ Individualios rizikos g.b. priešingų ženklų. Pavyzdžiui, naftos kainų padidėjimo šokas:

� automobilių gamybos industrijai blogai – paklausa ir pelnai mažėja; � naftos gamintojų (ExxonMobil, Shell, Texaco...) pelnai auga.

■ Tačiau ne visas individualias rizikas galime taip atsverti:

� rizikos, kad koks Microsoft gaus didelę baudą už monopolizaciją ir j ų akcijų vertė kris , neatsvers Microsoft konkurentų didesni pelnai, jei vartotojai į tai nereaguos ir liks su WindowsTM.

6.6 Rizikos panaikinimo/mažinimo būdai


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 202 / 1483

■ Prisiimdami dideles rizikas, galite rimtai susigadinti gyvenimą. Kaip rašė Servantesas 1605 m. Don Kichote: „protingas žmogus... nededa visų kiaušinių į vieną krepšį“. ■ Yra keli pagrindiniai b ūdai (žr. pav.).

Pav. 6.3. Ką daryti su rizikom?

RIZIKŲ VALDYMAS

RIZIKŲ PANAIKINIMAS

PARDAVIMAS APSIDRAUDIMAS

Išvestiniai vertybiniai popieriai

Dvi investicijos su koreliacija = -1

RIZIKŲ SUMAŽINIMAS

DIVERSIFIKACIJA

Investicijos su koreliacija ≈ 0

"IGNORAVIMAS"

Ilgesnis investavimo horizontas


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 203 / 1483

■ Paveldėjote akcijų ir nė velnio nežinote kas tai yra ir ką su joms daryt? Parduokite, gausite pinigus, kuriuos labiau suprantate. Pinigų laikymas irgi nėra be rizik ų (infliacija, vagystės...), bet gyvenimas bus paprastesnis. ■ . Rizika g.b. sumažinta prisiimant >1 rizik ą vienu metu. Apsidraudimas (hedging) panaikina individuali ą rizik ą turint dvi investicijas su visiškai priešingom rizikom :

� dvi akcijos su koreliacija = –1, [pavyzdžiui, hipotetiniu naftos šoko atveju, Ford ir Exxon];

� kitas grąžos draudimo būdas, [pavyzdžiui, Italijos VVP ir Italijos kredito įsipareigojimų neįvykdymo rizikos apsikeitimo sandoris (credit default swap, CDS)].

■ Pavyzdžiui, Ford ir Exxon atveju, tarkime, kad galite bendrai investuoti $100, o naftos kainos kilimo/kritimo tikimyb ės: Grąža tik iš: Galimybė Ford Exxon Tikimyb ė Poil ↑ 100 120 0,5 Poil ↓ 120 100 0,5


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 204 / 1483

■ Nesvarbu, ar investuosite $100 tik į Ford ar Texaco: � laukiama grąža = 0,5 · 120 + 0,5 · 120 = 110; � standartinis nuokrypis = [0,5(120 – 110)0,5 + 0,5(100 – 110)0,5]0,5 = 10

■ Bet jei padarysite diversifikaciją „50:50“, t.y. investuosite po $50, tada:

� grąža bus ta pati ($50 arba $60, kart du); � bet panaikinsite riziką:

o standartinis portfelio nuokrypis = 0; o nes dviejų portfelio akcijų kursų koreliacijos koeficientas (coefficient of

correlation) = –1. Investavimo strategija Laukiama grąža Standartinis nuokrypis tik Ford 110 10 tik Texaco 110 10 per pusę į abu 110 0

t1 t2 t3 t4

Nafta ↑ Nafta ↓ Nafta ↑ Nafta ↓

Ford 100 120 100 120

Exxon 120 100 120 100

Koreliacijos koeficientas -1 CORREL(Ford_eil.;Exxon_eil.)


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 205 / 1483

90

95

100

105

110

115

120

125

1 2 3 4

Ford

Exxon

■ Visiškai panaikinti rizik ą dažniausiai būna neoptimalu:

� „maža rizika, maža ir grąža“; � kiekvienas turime savo didesnį ar mažesnį rizikos biudžetą (risk budget), t.y.

galimybę prisiimti rizik ą, nesusigriaunant sau gyvenimo. ■ Tada turime kelias galimybes:


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 206 / 1483

� adrenalinas: investuoti didelės prigimtin ės rizikos rinkose (akcijų) ir stengtis rizik ą sumažinti iki priimtinos likutin ės rizikos;

� kantryb ė: investuokite į akcijų rinkas ilgesniam laikotarpiui; � ramybė: investuoti į nedidelės prigimtin ės rizikos rinkas (JAV, Vokietijos

trumpalaikių obligacijų), rizika ir taip jau bus nedidelė, todėl sumažinti ją iki priimtinos likutinės rizikos bus santykinai lengva.

Pav. 6.4. Prigimtinė, suvaldyta ir likutin ė rizikos

■ Skirting ų investicijų grąžos koreliacijos koeficientas retai būna arti –1, bet jei diversifikuojate portfelį į menkai susijusios grąžos FP-es (ir kuo daugiau FP-ų, tuo geriau, tik nepamirškite transakcijų kaštų), sumažinate portfelio riziką (standartinį nuokrypį ir VaR). ■ Rizikos diversifikacija yra draudimo industrijos veiklos pagrindas:

Prigimtinė rizika

Suvaldyta rizika

Likutinė rizika


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 207 / 1483

� draudikas „investuoja“ į jus, tikėdamasis, kad, pavyzdžiui, ne visi padarysite avarijas (Jono ir Petro avarijos padarymo rizikos nepriklausomos), ne visų būstai sudegs ir pan.

� didžiųjų skaičių dėsnis leidžia vis patikimiau prognozuoti nelaimingų įvykių tikimybes, todėl didelis „katilas“ (pool) nepriklausomų rizikų nėra labai rizikingas.

6.7 Apsidraudimo ir diversifikacijos matematika 6.7.1 Apsidraudimas

■ Tęskime dviejų FP-ų (Ford, Exxon akcijų) pavyzdį: ■

� galimų investicijų (FP-ų) aibė a = {a1, a2} � laikotarpiai t = {t1, t2}

■

� istorinė grąža r(t, a):


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 208 / 1483

� gražų tikimybės prob (a) = 1/T, kur T – duomenų eilutės ilgis, šiuo atveju = 2.

■ � investuojamų lėšų sumos dalys x(a) = {x1, x2}

■

� tikėtina FP-ės grąža: ∑=t

atata rprobr ,,

� tikėtina portfelio grąža: ∑=a

aaport rxr

■ Kokia tik ėtinos portfelio grąžos dispersija? Dispersija (Var) svertinės sumos x1r1 + x2r2: Var(x1r1 + x2r2) = 2

1x Var(r1) + 22x Var(r2) + 2 x1x2Cov(r1,r2)

■ (kur) Var yra dispersija, o Cov – kovariacija:


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 209 / 1483

� dispersija rodo kintamojo (atskiros FP-ės grąžos) svyravimų jo vidurkio atžvilgiu mastą;

� kovariacija rodo dviejų kintamųjų svyravimų vienas kito atžvilgiu mastą – pavyzdžiui, jei:

o dvi akcijos kyla ir krenta savo istorinių grąžos vidurkių atžvilgiu kartu, tada jų kovariacija bus teigiama;

o jei vienos kursas kyla, o kitos mažėja, tada kovariacija bus neigiama. ■ Dispersija kintamojo r yra:

∑ −==t

ttr rrprobrVar 22 )()( σ

■ Kovariacija r1 ir r2:

∑ −−==t

tttrr rrrrprobrrCov ))((),( 2,21,1,21 21σ

■ Ford/Exxon pavyzdyje x1 = x2 = 0,5, todėl portfelio dispersija: Var(portf) = 1/4Var(r1) + 1/4Var(r2) + 1/2Cov(r1,r2)


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 210 / 1483

■ Pavyzdyje laukiamos Ford ir Texaco grąžos yra $110, o standartiniai nuokrypiai yra $10. Dispersija yra standartinis nuokrypis kvadratu, todėl lygi 100. ■ Kovariacija: Cov(r1,r2) = 1/2(100 – 110)( 120 – 110) + 1/2(120 – 110)(100 – 110)= –100 ■ Portfelio dispersija: Var(portf) = 1/4(100) + 1/4(100) – 1/2(100) = 0 ■ Neigiama Ford ir Exxon grąžų kovariacija reiškia, kad portfelio dispersija yra mažesnė nei atskirų akcijų. 6.7.2 Diversifikacija ■ Tarkime, investuojame į nesusijusių grąžų Ford ir Microsoft, t.y darome prielaidą, kad kovariacija tarp Ford ir Microsoft grąžų yra 0. ■ Tarkim, kad abiejų akcijų dispersija lygi 100, o portfelį dalinam per pusę: Var(portf) = 1/4(100) + 1/4(100) = 50


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 211 / 1483

■ Tai rodo, kad akcijos su nepriklausomomis grąžomis sumažina portfelio riziką. ■ Tarkime, turime n akcijų su tomis pačiomis nuosavomis dispersijomis ir grąžomis. Laukiama grąža vienodų investicijų dalių portfelio:

∑=

==n

aa rr

nportfr

1

1)(

■ Kovariacija visų a yra nulis, todėl portfelio grąžos dispersija:

∑=

=

=

n

a

aa nn

portfVar1

22

21

)(σ

σ

■ Kai n tampa didelis, portfelio grąžos dispersija artėja prie nulio . 6.8 Markowitz portfelio optimizavimas su Excel


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 212 / 1483

Portfelio sudarymas (Markowitz)

I. DUOMENYS

II. Dispersijos-kovariacijos matrica

IBM Ford Exxon T-bill IBM Ford Exxon T-bill

2000 0,111 0,223 0,122 0,040 IBM 0,041 0,023 0,031 0,000

2001 0,114 0,460 0,003 0,050 Ford 0,023 0,048 0,015 0,000

2002 0,323 -0,090 0,111 0,060 Exxon 0,031 0,015 0,090 -0,002

2003 0,001 -0,107 0,054 0,030 T-bill 0,000 0,000 -0,002 0,000 Porfelio dispersija

2004 -0,209 0,120 0,169 0,040 Disp. 0,001 0,003 0,001 0,000 0,0040 Min (TF)

2005 0,223 0,309 -0,035 0,050

2006 0,260 0,411 0,133 0,060 Portfelio dalys

2007 0,210 0,050 0,732 0,030 IBM 0,060

2008 0,144 0,100 0,021 0,040 Ford 0,201

2009 0,412 0,445 0,131 0,050 Exxon 0,083

2010 -0,013 0,123 0,006 0,060 T-bill 0,655

2011 0,553 0,550 0,908 0,030 Viso 1 Aprib_1

Vid. gr. 0,177 0,216 0,196 0,045 Portf. gr. 0,1 Aprib_2

Gr. tikslas 0,10

Excel Solver nustatykite:

Minimize Portfelio dispersijos lauką

Keičiant Portfelio dalių vektorių

Apribojimas1 (portfelio dalių suma =1)

Apribojimas2 (portfelio grąža = norima)

FP-ų grąžos (%)


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 213 / 1483


___________________________________________________________________________ 12/21/2015 Psl. 214 / 1483

5,00%

7,00%

9,00%

11,00%

13,00%

15,00%

17,00%

19,00%

21,00%

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00%

Lau

kia

ma

grą

ža

Rizika (standartinis nuokrypis)

Ford

IBM

Documents

RIZIKOS SUPRATIMAS IR RIZIKING Ų PINIG Ų SRAUT Ų ... · 6.8 Markowitz portfelio optimizavimas su Excel Nuolat susiduriame su rizika : kiek būsto draudimo pirkti ?; kiek taupyti