Rm 5 Secundaria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN

I. E. RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS

TRUJILLO – PERÚ 2009

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Tercer Trimestre

Inicio:

Término:

Docente: Jorge Yáñez Díaz

20 setiembre 2010

18 de diciembre del 2010

Alumno(a): ..................................................................... Sección: ...... Nº de orden: .......

Dirección: ....................................................................... Teléfono: ..................................

Correo electrónico: .........................................................

Horario de clases

Día

Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

7:00 – 7:45

7:45 – 8:30

8:30 – 9:15

9:15 –10:00

10:00 – 10:20 R E C R E O

10:20 – 11:05

11:05 – 11:50

11:50 – 12:35

………………………………………….. ………………………………….. …………………………………………

Ms. Emilio Fernández Lic., Jorge Yáñez Díaz Lic. Ladislao castillo Tuya

Coordinador Académico Docente del curso Asesor del área

I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO

1

Unidad III

Notación funcional

Problemas sobre segmentos

Problemas sobre ángulos

Problemas sobre triángulos

Problemas sobre circunferencias

Problemas sobre Áreas y perímetros

Comprender, interpretar, formular y resuelve creativamente situaciones problemáticas

empleando la teoría de funciones.

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas

empleando las relaciones métricas en el triangulo.


empleando las relaciones métricas de los segmentos.


empleando las relaciones métricas de los ángulos.


empleando las relaciones métricas en la circunferencia.

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente problemas sobre áreas y

perímetros de elementos geométricos.

Demuestra perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Valora la utilidad de las propiedades de las operaciones en la solución de situaciones

problemáticas.

Muestra seguridad y confianza en la aplicación de algoritmos.

Resuelve los problemas de más de una forma.

Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.

Contenidos

Aprendizaje esperado

Actitudes ante el curso


2

Introducción

Una de las características innatas del ser humano es la capacidad de razonar, pues tal capacidad se

activa frente a los estímulos que proporcionan el medio conjuntamente con las necesidades que se

presenten, lo cual en muchos casos desarrollan una aptitud para la matemática. En tal sentido

podemos decir que existe la posibilidad de educar a esta capacidad, que gracias a ello nos permitimos

orientar nuestro pensamiento para analizar situaciones y resolver situaciones problemáticas

La asignatura de Razonamiento Matemático es un complemento de la asignatura de Matemática, pues

su desarrollo en la formación académica del estudiante rafaelino, no sólo va a cubrir una exigencia

académica actual establecida por las instituciones educativas de nivel superior, sino también va a

desarrollar en los estudiantes la capacidad de razonar y pensar lógicamente de manera creativa,

haciendo uso de sus propias experiencias y de los principios y conceptos básicos de la matemática en

la solución de situaciones problemáticas en general.

El presente módulo de trabajo ha sido elaborado para que el alumno de quinto año tenga una

información teórica básica, la cual la analizará y en algunos casos realizará las demostraciones

respectivas para conocer el por qué de la teoría. Posteriormente la ejercitación y práctica con los

ejemplos que se desarrollarán en clase permitirán tener un mejor entendimiento y comprensión del

tema desarrollado.

Durante la conducción del proceso de aprendizaje del educando en el curso de Razonamiento

Matemático se le orientará para que:

Utilice con propiedad el lenguaje, conceptos y términos matemáticos, expresándose con

libertad y autenticidad.

Desarrolle su capacidad de pensar y razonar creativamente con autonomía, respetando las

ideas y expresiones ajenas.

Tome conciencia que la matemática contribuye al desarrollo de las capacidades intelectuales

que le permitirán actuar críticamente, creativamente y responsablemente en su realidad

natural y social para transformarla adecuadamente para el beneficio personal y de la sociedad.

Valore a la matemática como un aporte indispensable en el desarrollo de la ciencia en general y

la tecnología.

El autor


2

NOTACIÓN FUNCIONAL

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando la teoría de relaciones y funciones.

En muchas situaciones con frecuencia existen

ciertas relaciones entre dos o más conjuntos

numéricos, por ejemplo la ganancia “g”

generada por la venta de “x” artículos a un

precio “p” cada uno se puede expresar :

g = px , luego si conocemos la cantidad de

artículo vendidos , entonces podemos calcular

la ganancia por medio de la regla de

correspondencia g=px , esta regla es un

ejemplo de función.

Al parecer la palabra función fue introducida

por René Descartes en 1637

aproximadamente, para él una función

significaba tan solo cualquier potencia entera

positiva de una variable x .

Posteriormente Gottfried Wilhelm Von

Leibniz ( 1646-1710), quien siempre enfatizó

el lado geométrico de las matemáticas, utilizó

la palabra función para denotar cualquier

cantidad asociada con una curva . Estas

ideas ahora en nuestra era están bien

definidas y su aplicación es muy amplia, por

ejemplo: el salario de una persona puede

depender del número de horas que está

trabajando, la producción total de una fabrica

está en función del número de maquinas

empleadas, la distancia recorrida por un

objeto puede depender del tiempo empleado

desde que abandonó un punto específico, es

volumen del espacio ocupado por un gas a

presión constante está subordinado a la

temperatura del gas, etc. La relación de tales

cantidades con frecuencia está determinada

por los conceptos más importantes en las

matemáticas, fundamentalmente para el

estudio del cálculo y las aplicaciones que

ésta tiene en nuestra vida cotidiana.

FUNCIÓN

Definición: Se define como función al

conjunto de pares ordenados de números

reales (x,y) en los cuales dos pares

ordenados distintos no tienen el mismo primer

componente.permisibles de “x” (dominio) de

la función y el conjunto de todos los valores

resultantes de “y” se conoce como

contradominio o rango de la función.

Ejemplo 01

Sea la función definida por: y = 4x2 ;

debido a que los números estan restringidos

en R, es decir “y” es una función de “x” sólo

para x 2 o bien x -2 el dominio de f es:

- ; -2] [ 2 ; + ; y su rango es [ 0 ; + .

Ejemplo 02

Dado que f es una función definida por :

f(x) = x2 +5x –4

Calcule: a)f(o) b) f(2) c) f(2h) d) f(-1/5)

Resolución

a) f(0) = 0 +5(0) –4 = -4

b) f(2) = 22+ 5(2) –4 = 10

c) f(2h) = (2h)2 + 5(2h) –4 = 4 h2 + 10h –4

d) f(-1/5) =(-1/5)2 +5(-1/5)-4= 25

124


x2

x3

x4

x1

y2

y1

y3

.

.

.

.

.

.

.

.

..

f

Dominio Rango

(figura 1)


3

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN LINEAL

Es aquella función con dominio R y cuya

regla de correspondencia es de la forma:

f(x) = mx + b.

donde “m” y “b” son constantes y m 0.

Su gráfica es una línea recta no vertical con

pendiente m = tan y su ordenada en el

origen es b. Una función lineal es creciente

si m > 0, decreciente si m < 0 y constante si

m = 0.

f(x)

b

Y

X0

Ejemplo 03

Sea f(x)=x + 3 una función lineal. Construya

la gráfica respectiva y encuentre el ángulo

de inclinación de dicho lugar geométrico.

Resolución

Primero construimos la gráfica de la función

f(x) = x + 3 para esto, buscamos los puntos

que interceptan a los ejes del plano

cartesiano, es decir:

Si x = 0, entonces y = f (0) = 3, luego y = 3

Entonces un punto de intersección es (0 , 3)

También hacemos f(x) = y = 0 entonces 0 =

x + 3, luego x = -3

Luego el otro punto de intersección es(-3 , 0)

f(x)

= x

+ 3Y

X0

Para calcular la medida del ángulo de

inclinación ( )

En el gráfico observamos que tan = 1

Sabemos por trigonometría que:

tan -1 1 = = 45º .

Por lo tanto, la inclinación de la recta es 45º.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es aquella función con dominio R y

definida por la regla de correspondencia:

f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son

constantes y a 0.

Su gráfica es una parábola simétrica con

respecto a una recta vertical x = a2

b ,

llamada eje de la parábola. Esta abre hacia

arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0 , su

vértice está dado por el par ordenado

)a2

b(f ,

a2

b.

Y

X0

V )a2

bf( ,

a2

b( )

)a2

bf(

a2

b

a > 0

.

Y

X0

V )a2

bf( ,

a2

b( ))

a2

bf(

a2

b

a < 0

.

Ejemplo 04

Sin construir la gráfica, determinar el vértice

y el eje de la parábola definida por f(x) = -3x2

+ 6x + 1 y determinar si se abre hacia arriba

o hacia abajo.


4

Y

X0

f(x) = 2x

Resolución

Para esta función cuadrática a = -3 ; b = 6

y c = 1, luego la abscisa x del vértice está

dada por: 16

6

32

6

a2

bx

Por tanto la ordenada del vértice es:

41631fa2

bf

En consecuencia, el vértice está ubicado en el

punto (1; 4).

El eje de simetría de la parábola es la recta

1a2

bx luego como a = -3 < 0 , la parábola

Se abre hacia abajo.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es aquella función con dominio R, cuya regla

de correspondencia es:

f(x) = | x | =

Los elementos de la función f(x) = x son

pares ordenados (x, |x|) donde x R y su

gráfica es la unión de dos partes de las

f(x) = x y f(x) = -x

Y

X0

f(x)

= xf(x) = - x

Ejemplo 05

Construya la gráfica de la función

f(x) = 1x – 3 y determine su dominio y su

r rango.

Resolución

Despejamos el valor absoluto así:

f(x) + 3 = 1x , asumimos que f(x) = y, luego

por definición se tiene:

f(x) + 3 0 [y + 3 = x – 1, si x 1 ó

y + 3 = -x + 1 si x < 1]

y -3 [y = x – 4 si x 1 ó y = -x -2

si x < 1]

La gráfica de f(x), es la unión de dos rectas

cuyos puntos son simétricos a la recta x = 1.

Y

X0

y = - x - 2y =

x -

4x =

1

V(1; -3)

Dom f(x) = R ; Ran f(x) = [-3;

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la

forma f(x) = ax , donde a R y a 1

El dominio de la función f(x) es el conjunto de

todos los números reales.

Ejemplo 06

Grafica función exponencial f(x) = 2x

Dom f(x) = R; Ran f(x) = [0; +

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica de base “a”, donde

a > 0 y a 1 se denota por: f(x) = loga x

si y sólo si x = af(x) (y = loga x x = ay)

x, si x 0

– x, si x < 0


5

Y

X

y = ax

y = log a x

y = x

Características de esta función.

- La intersección de la gráfica con el eje X es

en 1.

- No existe intersección con el eje Y.

- El eje Y es una asíntota vertical de la

gráfica.

- La función logarítmica es decreciente si 0 <

a < 1 y creciente si a > 1.

Observación:

Como las funciones exponencial y

logarítmica son inversos entre si, la gráfica

de una función logarítmica y = log ax es la

reflexión de la gráfica de la función

exponencial y = ax con respecto a la función

identidad y = x.

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Es aquella función con dominio en el

conjunto de los números reales positivos y

cuya regla de correspondencia es:

f(x) = x , x 0

Sus elementos del conjunto de la función

raíz cuadrada son pares ordenados de la

forma (x , x ), si x 0.

Ejemplo 07

Construir la gráfica de f(x) = 2x y

determinar su dominio y rango.

Resolución

Sea y = 2x y tal que x 2 , luego

dominio de la función Y= 2x es: [ 2, +

Así también como f(x) 0 , x Dom f(x)

entonces el rango es [0 , + , y su gráfica

es una rama de la parábola horizontal

TALLER Nº 01

INSTRUCCIÓN: Escribe en tu cuaderno de práctica los ejercicios propuestos y resuélvelos en forma ordenada y coherente.

1. Identifica de los siguientes conjuntos de

pares ordenados los que son funciones

I) { (2,1) , (1,5) , (0,0) , (6,2) }

II) { (-3,1) , (-3,0) , (4,2) , (7,5) }

III) { (-5,2) , (1,2) , (3,2) , (5,2) , (7,2) }

IV) {(0, 2 ) , (2

3,

2

1), (5,2) , (7,2) ,(0,5 ; 0,5) }

a) I y III b) II y III c) III y IV

d) III, IV y I e) I, II, III

2. Indique el rango de la función f, si f tiene

como dominio {-1, 3, 6, 7} y como regla de

correspondencia: f(x) = x2 - 2x

a) {-1, 3, 24, 35 } b) { 3, 24, 35 } c) {-3, 3,

24, 35} d) {-3, 14, -35} e) {-1, 12, -35}

3. Sea f la función:{(1,5),(2,6),(-2,2),(3,7)

Luego el valor de : f(1) +f(2) +f(3) es:

a) 18 b) 16 c) 15 d) 14 e) 20

4. Señale el dominio de la función:

)2x(xf

a) <- , 0> <1, > b) <- , 0] [1, >

c) <- ,0] [2, >

d) <- , > e) <- , 1]

2x)x(f

Y

X0 21 3 4 5 6 7


6

5. Respecto a las siguientes gráficas

identifica las que representan una función

b )

c ) d )

a )

x

y y

x

x

y

x

y

6. Indique la alternativa que expresa el rango

de la función:

F(x) =

-2 si x -1

x-1 si -1 < x < 3

2 si x 3

a) <1, 2> b) <-1, 3> c) <-2, 2>

d) <-1, 5> e) [-2, 2]

7. Si : g(x) = x2- 2x ; el valor de g(2x) - 2g(x)

es:

a) 2x2 b) x c) 0 d) 2x e) x2

8. Sea f(x) =1x

x2, marque (V) ó (F) según

corresponda:

I. El dominio es R - {-1} II. El rango es

R -{-1} III. El dominio es igual al

Rango

a) VVV b) FFF c) VFF d) FVV

e) N.A.

9. Luego de hallar el el dominio (Df) y el

rango (Rf) de la siguiente función:

f = {(2,5); (-1, -3); (2, 2a-b); (-1, b-a); (a+b2.

a)} ; El Df Rf es:

a) {3} b) {-1} c) {2} d) {5} e) { }

10. Respecto a la función: f(x) = 1x4x2

sabiendo que: x <2, 4>; el rango es:

a) <-15; 35> b) < 3515 ; > c) <13;33>

d) < 3313 ; > e) < 2110 ; >

11. El rango de la función:

F(x) = 2x2 + 3x + 2 ; es:

a) [1/8; + > b) [7/8; + > c) [-1; 2]

d) <- ; 7/8> e) N.A.


f(x) = 64x5

x

2

2

es:

a) [0; 1/5> b) <- ; 1/5] c) [0; 5>

d) [1/5; + > e) N.A.


f(x)= 4x2x

4x2x

2

2

; es:

a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]

d) [1/3; 4] e) [-3; 1]

14. si x <-2; 5>; El rango de la función:

G(x) = x2 - 6x + 3 ; es:

a) <-6; 19> b) [-5; 10> c)[-6; 19>

d) <-6; 6> e) [-7; 10>

15. El rango de la función: F= {(x;y) R2 /y =

25x4x2 } es:

a) R b) [3; + > c) <2; + > d)

[2; + > e) <3; + >

17. Identifica el gráfico de la función:

F(x) = (x+2)2 - 4

e) N.A.

a)

x

y b)

x

y

d)

x

yc)

x

y


7

SEGMENTOS Y ANGULOS

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES

MÉTRICAS CON SEGMENTOS

DELOS FUNCIONALES

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas de los segmentos y ángulos.

El hombre de la prehistoria con sus conceptos

vagos de número y de la medida es muy

probable que contara con los dedos u otros

objetos y que midiera las longitudes de ciertas

líneas (por ejemplo los babilonios

perfeccionaron la AGRIMENSURA)

comparándolas con ciertas partes de su

cuerpo (medición antropométrica) y es allí

donde observamos que el hombre de estos

tiempos ya manejaba la idea de líneas la cual

la fue perfeccionando para lograr mayor

exactitud en el desarrollo de la humanidad

(los egipcios en la construcción de las

pirámides, los incas en la construcción de los

andenes).

Si observamos nuestro entorno

podemos decir que el ser humano se ha

inspirado en gran parte de sus obras en

formas geométricas. Así podemos ver las

formas geométricas en las construcciones de

puentes, túneles, casas, planos de

construcciones, diseños de mosaicos, entre

otros.

Es así como podemos observar que la

matemática en forma particular la geometría

tiene aplicación en diversas disciplinas.

Segmento.

Es una parte de la recta comprendida entre

dos puntos de dicha recta, a los cuales se les

denomina extremos del segmento.

A B

a

Así, en el gráfico se tiene el segmento de

extremos A y B.

Notación: Segmento AB : AB

La Longitud de un Segmento Expresa el

tamaño o medida de un segmento y resulta

que la comparación del segmento con otro

tomado como unidad (metro); por ejemplo: si

un segmento contiene 3 veces la unidad

(metro) entonces dicho segmento tiene una

longitud de 3 m.

Segmentos consecutivos y colineales.

Son aquellos segmentos consecutivos

contenidos en una misma recta:

A B C D

AB BC y CD son colineales y consecutivos.

Ejemplo 01

Una araña camina sobre el borde de una

mesa en línea recta, desde un punto A hacia

el punto B; si al llegar a M (M punto medio de

AB) decide retroceder hasta el punto P y se

encuentra que la distancia de P hasta M es la

cuarta parte de la distancia de P hasta B.

Calcula AB (largo de masa) Si la araña ha

recorrido 144 cm.

Resolución

A BP M

2x x 3x

3x + x = 144

x = 36

AB = 6x = 6(36) = 216 cm = 2,16

Ejemplo 02

Dadas los puntos consecutivos P, Q, R, S en

una misma recta; se cumple que: RS

PS

QR

PQ

y 9

1

PS

1

PQ

1. Calcular PR



8

Resolución

P SQ R

a b c

d

1º) Se conoce: RS

PS

QR

PQ, es decir

c

d

b

a;

entonces forman una cuaterna armónica.

2º) Luego PS

1

PQ

1

PR

2

3º) Según los datos tenemos: 9

1

PS

1

PQ

1

4º) Reemplazando: (3º) en (2º)

18PR 9

1

PR

2

ANGULOS

El hombre de la prehistoria también se

observa que ya tenían la idea de ángulo para

dar forma a figuras cerradas que la usaban

para delimitar los terrenos de cultivo, dar

forma a los bloques de piedras para las

edificaciones, etc.

En la actualidad también notamos el uso de

estas figuras en el diseño de ciertos objetos

Angulo.

Es aquella figura geométrica formada por dos

rayos que tienen el mismo origen.

A dichos rayos se les denomina lados y al

origen común vértice del ángulo.

A

BO

Región interior

del ángulo AOB

Elementos:

Lados: OA y OB

Vértice: O

Notación: Ángulo AOB: AOB

Medida del ángulo AOB: m AOB

AOB m

Clasificación

a) Por su magnitud:

B) Por su posición

Observaciones:

Las parejas de ángulos alternos internos,

alternos externos o correspondientes entre si

son congruentes. Las parejas de ángulos

conjugados internos o externos son

suplementarios.

NULO

O B A

m AOB = 0º

AGUDO

A

O

B

0º < m AOB <

90º

RECTO

O

B

A

m AOB = 90º

OBTUSO

O

B

A

90º < m AOB

< 180º

LLANO

A O B

m AOB = 180º

CÓNCAVO -

CONVEXO

A

B

Convexo:

0º < < 180º

Cóncavo:180º

< < 360º

CONSECUTIVOS

A

B

C

O D

BOA , COB y

DOC son

consecutivos

ADYACENTES

A

B

CO

BOA y COB

son adyacentes y

forman un par lineal.

OPUESTOS POR

EL VÉRTICE

A

BC

D O

m AOB = m COD


9

C) Por la suma de sus medidas

Sean los ángulos cuyas medidas son y

, entonces los ángulos pueden ser:

Complementarios si + = 90º

Suplementarios si + = 180º

Replementarios si + = 360º

Bisectriz de un ángulo

Es aquel rayo ubicado en la región interior del

ángulo cuyo origen es el vértice de dicho

ángulo y que forma con sus lados, ángulos de

igual medida.

En la figura OP : bisectriz del ángulo AOB.

Entonces: POB m AOP m

O

A

B

P

Propiedades:

ax c

b

a

b

c

d

e

L2

L1

x

L2

L1

x

y

z

Ejemplos de Aplicación:

1.- La medida de dos ángulos adyacentes

suplementarios se diferencian en 50°.

Halla la medida del lado mayor.

Resolución:

a – b = 50

a + b = 180

a = 115

2. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y

BOC. Se traza OD bisectriz de AOB.

Hallar la medida del ángulo COD si AOC

+ BOC =160

Resolución:

Según el gráfico: La incógnita: COD = a +

B Pero: AOC + BOC = 160°

80ba

160bba2

3. Se consideran los ángulos adyacentes

ABC, CBE, de tal modo que BD es

bisectriz del ángulo CBE y la suma de las

x = a + b + c a + b + c + d + e = 180º

Si L1 // L2 + = x

Si L1 // L2 + + = x+ y + z


10

medidas de los ángulos ABC y ABE es

52°. Calcula el valor del ángulo ABD.

Resolución:

Por dato:

m < ABD = x

m < ABC = x – a

m < ABE = x + a

Resolviendo: 2 x = 52; x = 26

TALLER Nº 02

INSTRUCCIÓN:

Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada. Luego encierra con una circunferencia la respuesta correcta

1.-A, B, C y D son puntos situados en una recta de modo que se cumple que

CD

AD

BC

AB. Si además

3

1

AD

1

AB

1,

entonces la longitud de AC es:

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

2 .Dados los segmentos consecutivos y

colineales AB , BC DEyCD, se cumple

que: DE11

9CDyCD

7

5BC;BC

9

7AB ,

además sus medidas están expresadas en números enteros, siendo los menores posibles. Entonces la distancia de A al punto

medio de BD es:

a) 110 b) 89 c) 108 d) 70 e) 56

3. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, donde AC = 2BD. Si 2AB+7 = 3BC + 4CD. El valor de BC es:

a) 7 cm b) 2 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 3,5 cm 4. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D, siendo CD = 3AB además AD + 3BC = 60.Luego el valor de AC es:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 23 5. En una línea recta se consideran los puntos

consecutivos A, B, C y D si: “M” y “N” son puntos medios de AB y CD

respectivamente, además: AD = 60; BC = 10. Luego el valor de MN es: a) 25 b) 15 c) 60 d) 45 e) 35

6. Sobre una recta se dan los puntos

consecutivos A, B, C, D tal que: AC = 17m; BD = 25m. siendo: P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente. Luego el valor de PQ es:

a) 30 b)40 c) 50 d)60 e) 45.

7. En la siguiente figura. El valor de CD es:

A B C D

30

80

a) 20 b) 40 c) 60 d)50 e) 24.

8. En la siguiente figura. el valor de AB 2

3 es:

A B C D

20

40 a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 56 9. En la siguiente figura. el valor de

CDAB es:

A B C D

50

20

a) 15 b) 30 c) 40 d)45 e) 54

10. En la siguiente figura. El valor de BC es:

A B C D

38

20

25

a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e) 9


11

TALLER Nº 03

INSTRUCCIÓN:


01 . Dos ángulos adyacentes están en la

relación de 3 a 5 . Luego el ángulo menor

mide:

a) 22º30’ b)112º30 c)67º30’

d) 52º30’ e) 15º37.

02. Si la diferencia entre su suplemento y

complemento de un ángulo es seis veces

el valor de dicho ángulo, entonces el

ángulo mide:

a) 15º b) 18º c ) 9º d) 12º e) 24º

03.Si a un ángulo se le resta su complemento,

es igual a la cuarta parte de su

suplemento. El ángulo mide:

a) 80º b) 45º c) 15º d) 60º e) 75º

04.Si a uno de dos ángulos suplementarios se

le disminuye 35º para agregarle al otro,

este nuevo ángulo resulta ser ocho veces

mayor de lo que queda del primero. El

menor de los ángulos suplementarios

mide:

a) 50º b) 45º c) 125º d) 55º e) 75º.

05. En la figura ORyOB Son bisectrices.

160º., :POR BOC mide

AD

P

B C

R

O

a) 80º b) 140º c) 100º d) 120º e) 30º

06.Se tiene los ángulos consecutivos NOM

y

PON

y OM bisectriz de POM

.

si NOP

- NOM

= 50º, luego RON

mide:

a) 100º b) 25º c) 30º d) 60º e) 80º

07.Se tienen los ángulos consecutivos BOA

y

COB

. Se traza OD bisectriz de BOA

.

si COA

+ COB

= 160º, DOC

mide:

a) 60º b) 40º c) 80º d) 100º e)50º

8. La diferencia de dos ángulos consecutivos

RQP

y SQR

es 30º.El ángulo que forman la

bisectriz del SQP

con el lado QR ? mide:

a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 15°

9. Tres ángulos consecutivos situados a un

mismo lado de una recta están en

progresión aritmética., si el menor y el

mayor están en la relación de 3 a 7, los

ángulos miden:

a) 36°, 60°, 84° b) 0°, 60°, 84° c)60°,

20°, 70° d)40°,50°,80° e)10°, 60°, 82°

.

10. Cinco ángulos situados alrededor de un

punto están en progresión aritmética. Si el

suplemento del mayor y el suplemento del

menor están en relación de 4 es a 5, el

mayor mide:

a) 84° b) 48° c) 70° d) 40° e) N.A.

11. Sabiendo que: OQ: Bisectriz de AOB; OR:

Bisectriz de AOC y BOC = 48°,El

ángulo QOR mide:

O

Q

R

B

C

a) 14°

b) 24°

c) 12°

d) 26°

e) 10°

A

12. En el siguiente gráfico:

B

A

C

DO


12

PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS

AOC + BOC = 100°

AOC – BOC = 40°

OD : Bisectriz de AOC. Luego DOB mide:

a) 8° b) 6° c) 5° d) 15° e) 10°

13. Sabiendo que: OQ es bisectriz de A O B;

OR es bisectriz de A O C y B O C = 48°,

luego Q O R mide:

B

A

O

C

R

Q

a) 14° b) 24° c) 12° d) 26° e) 10°

14. En el siguiente gráfico BD es bisectriz del

ángulo CBE y la suma de los ángulos ABC

+ ABE = 86°. Luego el ángulo ABD mide:

B

A

C

D

E

a) 45°

b) 30°

c) 43°

d) 48°

e) 60°

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas del triángulo.

En nuestro alrededor al observar podemos identificar las formas de muchas figuras geométricas, por ejemplo en las partes de una ventana o de una puerta o las esquinas de las paredes nos indican la presencia de líneas, ángulos y triángulos que en su conjunto forman diversas figuras geométricas.

Es así como podemos observar que la matemática en forma particular la geometría tiene aplicación en diversas disciplinas.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Las relaciones métricas más importantes del

triángulo rectángulo ABC, con sus elementos,

son los siguientes.

Elementos:

a y b : catetos.

c : Hipotenusa

m : Proyección de a sobre c

n : Proyección de b sobre c

h : Altura.

PROPIEDADES:

222

2

2

2

222

b

1

a

1

h

1

n.mh

c.nb

c.ma

h.cb.a

bac

TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

Teorema de Euclides: 1

Si 90 cm2cba 222

Teorema de Euclides: 2



13

10

1

10)1(

.

2

2

r

r

arb

Si 90 cm2cba 222

Teorema de la bisectriz interior.

BE : es bisectriz interior

m

n

c

a

mnacx 2

Teorema de la bisectriz exterior.

CD = bisectriz exterior

b

a

n

m

abmnCD2

Aplicaciones

1.- El cateto c de un triángulo rectángulo mide

tres metros y el cateto b mide un metro. La

altura que parte del vértice A del ángulo recto

divide a la hipotenusa en dos segmentos: r y

s, adyacentes respectivamente, a los catetos

b y c. La relación r/s es:

Resolución:

Construyendo la figura, según la indicación.

Hallando la hipotenusa a:

ma

cba

10

222

Por propiedad 3: c.ma 2

Por propiedad 4: c.nb2

10

9

.2

s

asc

la relación r/s es:

9

1

10

9

10

1

1. Respecto a la figura:

A. Halla el valor de “m”

Por teorema de bisectriz interior

m18

12

m

15; Resolviendo m = 10

B. Hallar BH


14

10BH

80180BH

8x1012x15BH

2

2

2. En la figura calcular BF

BC

AB

CF

AF

Reemplazando: 5

7

CF

CF8 de donde:

CF = 20 y AF = 8 + 20 = 28

Luego: BF = ( 20) ( 28) -7 x 5

215BF

TALLER Nº 04

INSTRUCCIÓN:

Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada.

1.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, si AB= 20cm, BC= 15cm, BD es altura,

Calcula la diferencia entre los perímetros

de los triángulos ABD y BDC.

2.- Si en la figura AB = 50cm y CD = 24cm.

¿Cuánto mide DH?

3.- Las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa de un triángulo rectángulo son

dos números enteros consecutivos y la

altura relativa a la hipotenusa es 42 m

¿Cuánto mide la hipotenusa?

4.-Elabora según tu criterio un problema

,sobre relaciones métricas en el triángulo

rectángulo.

5.- En un triángulo ABC, 222 cba ,

donde a, b y c son los lados opuestos a

los vértices A, B y C respectivamente.

Hallar el valor de al mitad del ángulo A

6.- Calcula el valor de “x” en el gráfico.

7.- En el triángulo ABC, AB= 15cm; BC=

14cm, la proyección de AC sobre BC mide

5 m. Calcula AC

8.- La medida de los lados de un triángulo

acutángulo están en proyección

aritmética, si el menor de ellos mide 13 cm

y su proyección sobre el lado intermedio

es de 5 cm. Encuentra la suma de los dos

lados mayores.

9.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz

AD = 14cm y los lados valen AB = 15m y

AC = 24m. Calcula el valor de los

segmentos determinados sobre el lado BC.

10.- Los lados de un triángulo miden AB = 21,

BC = 35 y AC = 28, la bisectriz BR corta

AC en el punto R.

Encuentra la distancia de R a BC.

11- En un triángulo rectángulo de 13m de

hipotenusa, la bisectriz interior del mayor

ángulo divide al cateto opuesto en dos

segmentos cuya suma es 12m. Calcula su

diferencia.


15

PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

12.-Calcula la hipotenusa del triángulo

rectángulo de 60m de perímetro, si la

bisectriz del ángulo recto divide a dicha

hipotenusa en dos segmentos parciales,

uno de ellos es 2,4 veces el otro.

13.- En un triángulo ABC, recto en B se traza

la altura BH, la cual es acortada en los

puntos Q y M por la bisectrices interiores

AD y CE respectivamente. Hallar MQ, si

BE = 9 y BD = 14

14. En el gráfico hallar el valor de BF

15- En el triángulo ABC ; la diferencia del

ángulo C respecto al ángulo A es 42 ;BC

es bisectriz exterior halla la medida del

ángulo CEB

16.- En el triángulo ABC , BK es bisectriz ; BF

es bisectriz exterior, si AK=33m, KC=17m

Calcula el valor de CF

17. En el triángulo ABC , AB=24m; BC=18m

y AC=21m. Por el vértice B se traza la

bisectriz interior y exterior interceptando

al lado AC y a su prolongación en los

puntos P y Q respectivamente hallar

PQ

Comprende, interpreta, formula y resuelve creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas de la circunferencia. 1.- CIRCUNFERENCIA.

Es el lugar geométrico de todos los puntos de

un plano que equidistan de otro punto llamado

centro. La distancia del centro a cualquiera de

los puntos del lugar geométrico se llama radio.

2.- ELEMENTOS:

ARCO

CUERDA : CD

RADIO : OM

DIAMETRO : MN

RECTA TANGENTE: T

RECTA SECANTE: 2L

CENTRO: O

3.- PROPIEDADES GENERALES.



16

BQAQQDCQ

ACBCDC2

2

ATBTA

TEOREMA DE PONCELET

AB + BC = AC + 2r

4.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

4.1.- En el círculo del centro “O” A = 20°

BM es tangente al círculo.

Encuentra el valor de MBC

20AMBC

2

BCA

2

BCMBC

4.2.- En una circunferencia se traza una recta

tangente que pasa por un punto. Del mismo punto

se traza una secante, del otro extremo de la secante

se traza otra secante que se une a la tangente. Si la

tangente mide m34 . Halla la medida exterior

de la segunda secante, si se sabe que la cuerda

mide 8m.

Resolución:

4.3.- Los segmentos de una cuerda que se corta con

otra mide 16cm. y 7 cm. Hallar el segmento mayor

de la otra, sabiendo que es el cuádruplo de la

primera.

Por teorema de cuerdas:

72x

28x

716x4

2

2

TALLER Nº 05

INSTRUCCIÓN:

Escribe en tu cuaderno de práctica los ejercicios propuestos y resuélvelos en forma ordenada.

1. En el círculo del centro “O” A = 20°

BM es tangente al círculo. Encuentra el

valor de MBC

2.- En una circunferencia se traza una recta

tangente que pasa por un punto. Del mismo

punto se traza una secante, del otro extremo

de la secante se traza otra secante que se une a

la tangente. Si la tangente mide m34 .

Calcula la medida exterior de la segunda

secante, si se sabe que la cuerda mide 8m.

3 .- Los segmentos de una cuerda que se corta con

otra mide 16cm. y 7 cm. Hallar el segmento

mayor de la otra, sabiendo que es el cuádruplo

de la primera.

4 . El ángulo ABC de un triángulo ABC mide 68°

y el ángulo BCA = 12°. ¿Calcular el menor


17

ángulo que forman entre sí las alturas bajadas

de las vértices B y C?

5. Determinar el radio de la circunferencia inscrita

en un triángulo rectángulo de catetos 7 y 24.

INSTRUCCIÓN:


6. Se tiene un triángulo ABC la circunferencia

inscrita es tangente a AC en “T” y AB = 13, BC

= 14 y AC = 15. Luego el valor de AT

expresado en metros mide:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

7. En una circunferencia a una cuerda que mide

12metreos le corresponde una flecha que mide

2 metros. Luego el valor del radio expresado en

metros es:

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

8. En la figura mostrada “O” es centro de la

semicircunferencia y “T” es punto de tangencia.

Si AO = OB = BC. El valor de “x” expresado

en grados es:

xº

T

A B CO

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

10. En la figura, el valor de “x” expresado en

grados sexagesimales es:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 36

11. Si el perímetro del triángulo ABC es 24

metros, CT mide:

8

A B

C

xT

a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 8m

12. Si AB = 6m y BC = 8m, el valor de R

expresado en metros es:

B

A C

R

a) 16 b) 14 c) 12 d) 20 e) 10

13. En la figura “O” es el centro y AB = AC.

Siendo mediada del arco AB = 86 y mediana

del arco AC=y. El valor de 2x + 3y es:

x°OA

B

C

a) 580 b) 570 c) 634 d) 660

e) 654

14. En la figura “O” es centro, CD = OD, mediada

del arco CD = y. El valor de 6y - 4x es :

A

B

C

115°

O

D

x°

a) 12 b) 14 c) 15 d) 10 e) 9


18

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Rm 5 Secundaria