RM-II- 5 - Critérios de Resistência

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - II

TEORIA

Critério de Falha

2

Os critérios de falha determinam a

segurança do componente, embora os

coeficientes de segurança “arbitrários” não

garantem um projeto seguro;

Compreensão clara do(s) mecanismo(s)

de falha (modos de falha);

Aspectos de confiabilidade;

Relação custo x benefício.

Critério de Falha

3

Os modos de falha podem se dar por:

deslocamentos excessivos;

escoamento;

fratura;

critérios operacionais;

Critério de Falha por Escoamento

4

o estado de tensões em um ponto pode ser

escrito em termos de suas tensões principais

(σ1, σ2, σ3);

o material não pode ultrapassar σesc ;

deve existir uma função que permita verificar

se o escoamento ocorreu;

válido para materiais dúcteis;

a tensão de cisalhamento desempenha o

papel mais importante para o início do

escoamento ocorrer.

Critério de Falha por Escoamento

5

Critérios mais comuns:

Teoria da máxima tensão cisalhante –

TMTC (TRESCA).

Teoria da máxima energia de distorção –

TMED (von Mises).

Critério de Tresca (τmax)

6

Quando a tensão de cisalhamento máxima no

ponto crítico do componente atingir o mesmo

valor da tensão de cisalhamento máxima do

corpo de prova no momento do seu

escoamento, num ensaio de tração, tem-se o

limite de referência do critério;

Ocorre deslizamento durante o escoamento ao

longo de planos criticamente orientados;

Teoria adequada para materiais dúcteis.


7

Quando uma chapa de um material dúctil,

como aço carbono, é ensaiada à tração,

observa-se que o mecanismo que é

realmente responsável pelo escoamento é o

deslizamento. Ou seja, cisalhamento ao

longo dos planos de tensão cisalhante

máxima, a 45º em relação ao eixo do

elemento.


8

O escoamento inicial está associado ao

aparecimento da primeira linha de

deslizamento na superfície do corpo de

prova e, conforme a deformação aumenta,

mais linhas de deslizamento aparecem até

que todo o corpo de prova tenha escoado.

Se este deslizamento for considerado o

mecanismo real de falha, então a tensão que

melhor caracteriza esta falha é a tensão

cisalhante nos planos de deslizamento.


9

Deste modo, se for postulado que em um

material dúctil sob qualquer estado de

tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha

ocorre quando a tensão cisalhante em

qualquer plano atinge o valor de σy/2, então

o critério de falha para a teoria da tensão

cisalhante máxima pode ser enunciado

como:


10


11

Portanto, a tensão de cisalhamento máxima

não deve ultrapassar a metade da tensão

limite de tração, obtida no ensaio de tração

simples:

Considerando a tensão admissível como a

tensão limite de tração, o elemento de

tensão é avaliado por intermédio da

condição da equação:

𝜏𝑚á𝑥 ≤𝜎𝑒

2

𝜏𝑚á𝑥 ≤ 𝜏 =𝜎

2

𝜎


12

Em que a tensão de cisalhamento admissível

é constante e igual à metade da tensão

normal admissível:

𝜏


13

Para o estado plano de tensão,

considerando-se a tensão principal σ3 nula,

as tensões principais σ1 e σ2 podem ser

determinadas com a equação:


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19


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21

Portanto, para o caso de tensão plana, o

critério de falha da tensão cisalhante máxima

pode ser enunciado em termos das tensões

principais que atuam no plano σ1 e σ2 como

se segue:


22

As equações acima podem ser

representadas graficamente:


23

Para um elemento sob tensão plana, o

estado de tensão em todos os pontos do

corpo pode ser representado por um ponto

de tensão (σ1, σ2) no plano σ1 - σ2, como

indicado na figura. Se o estado de tensão

para qualquer ponto no corpo corresponde a

um ponto de tensão que se situe fora do

hexágono da figura ou em sua fronteira, diz-

se que ocorreu a falha, de acordo com a

teoria da tensão cisalhante máxima.

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Critério de Von Mises

34

Embora a teoria da tensão cisalhante máxima

forneça uma hipótese razoável para o escoamento

em materiais dúcteis, a teoria da energia de

distorção máxima se correlaciona melhor com os

dados experimentais e, deste modo, é geralmente

preferida. Nesta teoria, considera-se que o

escoamento ocorre quando a energia associada à

mudança de forma de um corpo sob carregamento

multiaxial for igual à energia de distorção em um

corpo de prova de tração, quando o escoamento

ocorre na tensão de escoamento uniaxial, σy.


35

Quando a energia de distorção no ponto crítico

do componente atingir o mesmo valor da

energia de distorção do corpo de prova no

momento do seu escoamento, iniciará também o

escoamento do componente naquele ponto;

Baseado nos conceitos de energia, energia de

dilatação + energia de distorção;

Largamente aceito para tratar materiais dúcteis,

isotrópicos.

Teoria adequada para materiais dúcteis.


36

Os estados mais perigosos são os estados de

tensão que se afastam do estado hidrostático, ou

seja, são as diferenças entre as tensões e as

tensãos principais que causam a ruína do material.

37


Representa-se o estado de tensão como sendo um

vetor:


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43


Por se tratar de uma energia associada a

deformação, pode-se determinar de forma

experimental a deformação limite εlimite

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50

Critério de Von Mises x Tresca

51

Critério de Von Mises x Tresca

52

A tensão normal desempenha o papel

mais importante para a ruptura ocorrer;

Válido para materiais frágeis, os quais

apresentam maior resistência à

compressão.

Critério de Falha por Fratura

53

Critério mais comum é o da Teoria da

máxima tensão normal – TMTN

(RANKINE).

Critério de Coulomb.

Critério da envoltória de Mohr

Critério de Falha por Fratura

54

Um material frágil, quando submetido a um

teste de tração, falha subitamente por

fratura, sem escoamento prévio.

Critério de Rankine

55

Já a fratura de um corpo de prova dúctil (aço

laminado a quente), ocorre em um ângulo de

45º com o eixo da amostra (tipo copo –

cone) e é devida a componente de tensão

cisalhante atuante na superfície.


56

Por outro lado, quando um elemento

constituído por um material frágil é

submetido a um teste de torção, ocorre falha

por fratura mas em planos de máxima tensão

trativa. Desta forma, conclui-se que

elementos frágeis são menos resistentes em

tração do que em cisalhamento, enquanto

elementos dúcteis são menos resistentes em

cisalhamento.


57

Quando a tensão principal no ponto crítico

do componente atingir o mesmo valor da

tensão de ruptura do corpo de prova, a

ruptura do componente ocorrera;

não ocorrem grandes deformações, ou

deslizamentos devidos a cisalhamento.

teoria adequada para materiais frágeis.


58

Testes experimentais têm mostrado que o valor da

tensão normal no plano de fratura para um estado

biaxial de tensões não é significativamente

diferente da tensão da fratura σu em um teste de

tração uniaxial. Portanto, a hipótese da teoria da

tensão normal máxima considera que um elemento

constituído de material frágil falha quando a tensão

principal máxima no material atinge a tensão

normal máxima que o material pode suportar em

um teste de tração uniaxial. Esta teoria também

admite que falhas em compressão ocorrem na

mesma tensão máxima que as falhas em tração.


59

Para o caso de tensão plana, o critério da tensão

normal máxima é dado pelas equações:


60


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σ2

σ1

+σrup

+σrup

-σrup

-σrup

Seguro

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Critério de Coulomb

63


64

Este critério, estabelecido por Mohr, é aplicável a

materiais frágeis quando os resultados de diversos

tipos de ensaios estão disponíveis. Não

constituindo propriamente um critério, mas sim

uma metodologia de análise, permite uma

avaliação de resistência suficientemente precisa

em qualquer ponto de um dado corpo, quando são

conhecidos os resultados dos seguintes ensaios:

Critério de Mohr

65

Critério de Mohr

66

Este critério é particularmente interessante para

materiais que apresentam resistências diferentes

quando solicitados à tração e à compressão. Este

tipo de comportamento, em geral, é apresentado

pelos materiais frágeis.

A proposição deste critério e que os estados são

igualmente perigosos quando forem tangentes à

reta apresentada na figura.

Critério de Mohr

67

Com os resultados destes ensaios, traçam-se os

círculos de Mohr correspondentes a cada um dos

três estados de tensão. Desenha-se uma curva

envolvente aos 3 círculos (o processo é geralmente

feito graficamente). Nestas circunstâncias, um

dado estado de tensão é um estado de tensão

situado abaixo do limite de resistência se o maior

dos 3 círculos de Mohr que se podem desenhar a

partir das 3 tensões principais, σ1, σ2 e σ3, se

encontra totalmente contido na área limitada pela

envolvente anteriormente traçada.

Critério de Mohr

68

A tensão equivalente para este critério é:

Critério de Mohr

69

Obtém-se experimentalmente uma envoltória-limite

que, em geral, é uma parábola.

Para avaliar a resistência do material é analisado o

discriminante Δ da equação do segundo grau,

resultante da equação da reta-limite (Coulomb) ou

da envoltória-limite (Mohr) e a equação do círculo

de Mohr, que indica se o círculo intercepta a

envoltória, sendo possíveis três situações:

Critério de Mohr

70

1. Δ > O, existem duas raÍzes reais para σθ. Significa que o

círculo intercepta a reta-limite (Coulomb) ou a envoltória-

limite (Mohr) em dois pontos, indicando que o elemento de

tensão excede os limites. 2. Δ = O, existe uma raiz real dupla para σθ e o círculo

tangencia a reta-limite (Coulomb) ou a envoltória-limite

(Mohr). O elemento de tensão está na iminência de exceder

os limites.

3. Δ < O, não existem raÍzes reais. O elemento de tensão

não excede os limites, pois o círculo não intercepta a reta-

limite (Coulomb) ou a envoltória-limite (Mohr).

Critério de Mohr

71

Critério de Mohr

Baseia-se na idéia do atrito interno entre as

partículas do material que compõem o corpo.

É apropriado para os materiais frágeis, em

que:

A tensão de cisalhamento máxima não deve

ser maior do que uma tensão de

cisalhamento limite:

em que a tensão varia linearmente.

72


73

Exercício

O primeiro passo é calcular as tensões

principais:

74

Solução

75

Solução

76

Solução

77

Solução

Verificar se o elemento de tensão excede os limites

admissíveis pelos seguintes critérios:

a) von Mises

b) Tresca Dado: tensão normal admissível σadm= 130 MPa ou 13kN/cm2.

c) Rankine Dados: tensão normal de tração admissível σt = 150 MPa; tensão normal de

compressão admissível I σc l = 600 MPa.

78

Exercício

79

Exercício

Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,

sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são

determinadas com a Equação:

Substituindo os valores dados no problema:

Temos:

80

Solução

Critério da energia de distorção máxima (von Mises):

Para não exceder os limites admissíveis, a seguinte

condição deve ser respeitada:

No estado plano de tensão σ3 =0 e a tensão ideal é

calculada através da seguinte equação:

A máxima tensão admissível deve ser:

(Materiais dúcteis)

81

Solução


Portanto, pelo critério de von Mises, o elemento de tensão

não excede os limites admissíveis.

82

Solução

Critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):



Para o sistema:

três possibilidades devem ser analisadas:

83

Solução

84

Solução

Do cálculo das tensões principais:

85

Solução

Esta situação se enquadra na 1ª possibilidade, na

qual deve ser respeitada a condição:

86

Solução

Ou utilizando-se a condição da Equação

Com

Temos:

𝜎𝑖 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜎

𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎1

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3 = 0

87

Solução

88

Solução

89

Solução

Portanto, pelo critério de Tresca, o elemento de

tensão excede os limites admissíveis.

90

Solução

Critério das tensões normais máximas (Rankine)

o elemento de tensão corresponde a um estado plano de tensão (σ3 = O) e pode ser analisado no

sistema σ1 x σ2. As tensões principais σ1 =

14kN/cm2 > 0 e σ2 =4kN/cm2 >0 definem um ponto

no 1º quadrante no qual devem ser respeitadas as

seguintes condições:

91

Solução

Portanto, pelo critério de Rankine, o elemento de

tensão não excede os limites admissÍveis.

92

Exercício

Verificar se o elemento de tensão excede os limites

admissíveis pelos seguintes critérios:

a) von Mises b) Tresca

Dado: tensão normal admissível sadm = 180 MPa.

c) Rankine d) Coulomb

Dados: tensão normal de tração admissível sadmt =

80 MPa; tensão normal de compressão admissível

sadmc = 400 MPa.

93

Exercício





Temos:

94

Solução








95

Solução




96

Solução




Para o sistema:


97

Solução

98

Solução


99

Solução



100

Solução


Com

Temos:


101

Solução

102

Solução

Portanto, pelo critério de Tresca, o elemento de

tensão excede os limites admissíveis.

As tensões principais s1 = 6 kN/cm2 > 0 e s2 = -14

kN/cm2 < 0 definem um ponto no 4º quadrante

103

Solução

Critério das tensões normais máximas (Rankine)

o elemento de tensão corresponde a um estado plano de tensão (σ3 = O) e pode ser analisado no

sistema σ1 x σ2. As tensões principais σ1 = 6kN/cm2

> 0 e σ2 = -14kN/cm2 <0 definem um ponto no 4º

quadrante no qual devem ser respeitadas as

seguintes condições:

104

Solução

Portanto, pelo critério de Rankine, o elemento de

tensão não excede os limites admissÍveis.

105

Exercício

Respeitando-se os sentidos das tensões,

determinar o valor admissível da tensão p. O

material segue o critério das tensões de

cisalhamento máximas (Tresca).

Dado: tensão normal admissível sadm = 100 MPa





106

Solução




Para o sistema:


107

Solução

108

Solução


109

Solução



110

Solução


Com

Temos:


111

Solução

112

Exercício

Respeitando-se os sentidos das tensões,

determinar o valor admissível da tensão p. O

material segue o critério das tensões de

cisalhamento máximas (von Mises).

Dado: tensão normal admissível sadm = 120 MPa





113

Solução








114

Solução




115

Solução

116

Exercício

Portanto:

Para considerar os sentidos das tensões indicados e

respeitar a condição de resistência do material, os valores

da tensão p podem variar no intervalo de 0 < p < 49,0 MPa.

Portanto, o valor admissível vale p = 49,0 MPa.

Verificar se o elemento de tensão excede os

limites admissíveis pelos seguintes critérios:

a) von Mises

b) Tresca Dado: tensão normal admissível σadm= 130 MPa ou 13kN/cm2.

117

Exercício





Temos:

118

Solução








119

Solução




120

Solução




Para o sistema:


121

Solução

122

Solução

123

Solução

Para este caso a possibilidade é a seguinte:

Substituindo os valores do problema:

s1=14kN/cm2 ≥ 13kN/cm2

Portanto, pelo critério de Tresca o elemento de tensão

excede os limites admissíveis.

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