RM II-POL-GRAFO

8/3/2019 RM II-POL-GRAFO

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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 1

1

1. FLEXO

1.1. INTRODUO

Uma pea, ou trecho de pea est submetido FLEXO, quando a mesma, pela ao doscarregamentos externos, sofre um encurvamento, ocasionando em diferentes regies de duas seesadjacentes, ao mesmo tempo, tenses de trao e de compresso (ver fig.1.3).

antes da FLEXO Durante a FLEXO

Fig.1.1 Fig.1.2

COMPRESSO(regio superior)

TRAO(regio inferior)

Fig.1.3

1.2. TIPOS DE FLEXO

A flexo, pode ser classificada de duas maneiras distintas:- Quanto ao tipo de esforo que produz a flexo.- Quanto disposio dos esforos.

1.2.1. QUANTO AO TIPO DE ESFORO

Os esforos que ocasionam a FLEXO, so denominados MOMENTOS FLETORES (Mf) e podem serproduzidos de duas maneiras distintas:

- momentos diretamente aplicados (figs. 1.2, 1.3,e 1.4)- foras aplicadas de modo a produzirem momentos (fig. 1.5)

F xMf Mf

Fig.1.4 Fig.1.5


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2

Quando a flexo produzida por momentos diretamente aplicados sobre a pea, a mesma denominada FLEXO PURA. Neste caso, a intensidade do momento atuante em qualquer seo dapea tem o mesmo valor (no caso, Mf).

Quando a flexo produzida indiretamente, ou seja, atravs de uma fora, (fig.1.5), o momentofletor atuante em cada seo varia mesmo para uma fora constante, pois seu valor depende nosomente da intensidade desta mas tambm da distncia entre a referida fora e a seo de estudo.

Observe-se ainda, que na flexo simples, alm da flexo, temos tambm esforo cortante, omesmo no acontecendo para a flexo pura.

1.2.2. QUANTO DISPOSIO DOS ESFOROS

Para facilitar o estudo, consideraremos:PC PLANO DAS CARGAS (plano que contm os carregamentos)PP - PLANO PRINCIPAL (plano que contm um dos eixos principais de inrcia da seo. Pode ser

um plano de simetria mas no necessariamente)FLEXO SIMTRICA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num plano de

simetria(plano principal) da seo transversal da pea (fig.1.6)FLEXO OBLQUA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num plano

inclinado em relao aos planos principais da seo transversal da pea (fig.1.7).

FLEXO ASSIMTRICA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num planoparalelo a um dos planos pricipais da seo transversal da pea (fig.1.8).

F1 F1 F2

F2

z Mf

Mf xz

y

y

Fig.1.6 FLEXO SIMTRICA

EIXOSPRINCIPAISDE INRCIA

PP e PCCOINCIDENTES


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3

EIXOSPRINCIPAIS

PPPC(pl. de apl. Das cargas) PP PC

F1 F2F1 FFFF2222

MfMf z

z

x

y y

Fig.1.7 - FLEXO OBLQUA

PP PP PC PC

F1 F2F1

F2

z

zx

yy

Fig. 1.8 FLEXO ASSIMTRICA


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4

1.3. FLEXAO PURA E FLEXO SIMPLES SIMTRICAS

Vimos que quando o esforo interno perpendicular a seo, porm tendendo em determinadaregio, aproximar duas superfcies adjacentes e noutra, a afast-las, ou seja, tende a girar as seesadjacentes, uma em relao outra, em torno de um ejxo pertecente s duas sees (eixo z na flexovertical , e y na flexo horizontal).

Se a flexo for produzida por momentos diretamente aplicados sobre a pea, ela ser denominadaFLEXO PURA. Quando for produzida por cargas aplicadas transversalmente, denominada FLEXAOSIMPLES.

Quando a flexo ocorrer num plano de simetria da seo da pea, ela denominada, FLEXOSIMTRICA.

1.3.1. FLEXO SIMTRICA VERTICAL

Mfz

Mfz

Fig.1.9.FLEXO SIMTRICA VERTICAL

1.3.2. FLEXO SIMTRICA HORIZONTAL

Mfy Mfy Mfy MfyMfy

MfyMfy

MfyMfy

yFig.1.10. FLEXO SIMTRICA VERTICAL


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5

1.3.3. DEMONSTRAO DA EQUAO DE TENSES NORMAIS:

yIMzfzx .=

Consideremos uma pea prismtica de seo retangular e eixo retilneo conforme a fig.1.11(a), etracemos duas linhas paralelas ao referido eixo, sendo uma delas na mesma altura do eixo e a outra, numaposio qualquer abaixo, distante y da primeira. Tracemos ainda, imaginariamente, duas linhas verticais,portanto perpendiculares as duas primeiras, e a uma distncia qualquer uma da outra. Aos quatro pontos,resultantes das intersees destas quatro linhas, denominemos A, B, C e D, definindo assim os segmentosAB e CD, de comprimentos idnticos.

Apliquemos nas extremidades desta pea, os momentos Mfz, demonstrados na fig.1.11(b), o queproduzir um encurvamento (flexo) da pea, sendo que o eixo da mesma permanecer contido no planovertical de simetria xy (flexo simtrica vertical). Observa-se que as linhas anteriormente verticais e

paralelas, tornaram-se concorrentes no ponto O, determinando deste at a curva que contm AB, o raio r, eque o segmento AB no variou de comprimento, enquanto CD, sofreu um aumento. Traando-se uma linhaparalela a 0C, passando por B, na interseo desta com CD, definimos o ponto D, e desta forma, teremosas figuras semelhantes OAB e BDD, sendo DD, a deformao longitudinal do segmento CD.

Sendo estas figuras semelhantes, seus lados so proporcionais, o que permite-nos estabelecer aseguinte proporo:

fig.1.11

fig.1.12


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6

Considerando-se que as deformaes na pea, estejam dentro do regime de proporcionalidade,podemos ento utilizar a LEI DE HOOKE. Assim:

xxEx .= Mas,

r

y

AB

DD

L

L

ox

xxx ==

=

'

assim,

x= E . y/r

ou: x= E /r . y (1.1)

A equao acima, uma equao do tipo y = m.x, que a equao de uma reta, ou seja, y varialinearmente em funo de x. Do mesmo modo ento concIui-se que x varia tambm linearmente emfuno de, y, ou seja, seu valor cresce linearmente para pontos mais afastados do eixo da pea. E e r soconstantes, e constituem, o coeficiente angular da reta que passa pelas extremidades dos vetores x.(ver fig.1.13.a).

fig.1.13

A eq. (1.1), embora simples, de difcil aplicao na prtica, tendo em vista a dificuldade naobteno dos valores de r. Por isto, buscaremos uma maneira de substitui-lo na referida equao.Consideremos que a superfcie em estudo seja subdividida por infinitos elementos de reas

infinitsimas dAx. A fora atuante numa destas reas, ser a fora infinitesimal:

dFx = x.dA

Aplicando-se a condio de equilbrio de translao da esttica para a direo x, teremos:

[Fx=O]


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7

(1.2)

A integral acima, o momento esttico da rea Axda seo transversal, em relao ao eixobaricntrico z, que tambm pode ser calculado, multiplicando-se a rea Ax, pela distncia do seucentro de gravidade, ao eixo z. Denominando yg, esta distncia, ento teremos:

Para que a expresso acima resulte nula, a nica possibilidade vivel, que yg seja nulo, o quesignifica que o centro de gravidade da seo, est posicionado sobreo eixo z.

Aplicando-se a condio de equilbrio de rotao da esttica em torno de z, teremos:

[Mz=O] Momentos Externos Momentos Internos = 0

=A

fzdFyM 0.

=A

xxfz dAyM ..

Vimos que: x= E /r . y (1.1)

Assim: ==A

x

A

xfz dAy

r

EdAy

r

EyM ....

2

mas: zA

xIdAy = .

2 logo: zfz Ir

EM .= (1.3)

Dividindo-se (1.1) por (1.3), teremos:

zfz

x

IrE

yrE

M )./(

)./(=

Ou:

yI

M

z

fzx .= (1.4)


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Exerccios:

1. Uma pea com seo retangular b=3cm e h=10cm, est submetida a um momento fletor de 12kNm.Determinar:a) as mximas tenses de trao e compresso geradas na pea.b) As tenses normais a cada centmetro acima e abaixo da linha neutra.c) Fazer um desenho representando as tenses calculadas.

2. Resolva o exerccio anterior, considerando uma seo transversal igual arepresentada na fig. abaixo.

8cm

2cm

20cm

2cm

14cm


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PP e PCCOINCIDEN

TES

EIXOSPRINCIPAISDE INRCIA

EIXOSPRINCIPAIS

2. FLEXO OBLQUA

2.1. INTRODUO

At o presente momento, no estudo da flexo, consideraram-se somente casos nos quais, a flexoocorria num plano de simetria da seo transversal(flexo simtrica), ou seja,

A flexo ocorria num plano principal da seo da pea

A figura abaixo, ilustra um exemplo de flexo simtrica

F1 F1 F2F2

Mfz

Mfz x

y

y

fig.2.1 FLEXO SIMTRICA

Neste captulo, estudaremos casos, onde a flexo ocorrer em planos inclinados em relao aosplanos de simetria (principais) da seo da pea (fig.7). Quando isto ocorre, dizemos que a pea estasubmetida flexo oblqua.

PP (planos principais)PC (pl. de apl. Das cargas)

PP PC

F1F2 F1 F2222

Mf

Mf z

z

x

yy

Fig 2.2 - FLEXO OBLQUA


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EIXOSPRINCIPAIS

2.2. CLCULO DAS TENSES

Para calcularmos as tenses geradas na flexo oblqua inicialmente decompormos o momento fletorMf em relao aos eixos z e y obtendo-se as componentes Mfz e Mfy (fig.2.3). Ou seja:

PP PC cos.ffz MM = e cos.ffz MM =

F1 F2222 A tenso num ponto qualquer da seo, ponto P por ex. ser

o resultado da soma de duas tenses, uma produzida por Mfz:

Mf Mfy yI

M

z

fzx .' =

z Mfz e outra produzida por Mfy:

zI

M

y

fyx ." =

Assim, a tenso normal resultante que atua no ponto P, ser:

y'''

x xx +=

Fig. 2.3 Decomposio do zI

M

yI

M

y

fy

z

fz

x .. += (2.1)momento fletor Mf nas direes

dos eixos principais z e y. Onde ye zso coordenadas do ponto P.

A eq. (2.1), a equao das tenses atuantes numa pea submetida a flexo oblqua pois aosubstituirmos fzM , fyM , zI e yI , obteremos uma equao que nos permitir calcular a tenso normal emqualquer ponto da seo transversal da pea, bastando para isso, que se substitua as coordenadas z e y doreferido ponto.

2.2. EQUAO E INCLINAO DA LINHA NEUTRA

A determinao da equao da linha neutra (e consequentemente da sua posio e inclinao),

de fundamental importncia, pois que, nos pontos mais afastados da LN que estaro atuando as mximastenses. Mxima trao de um lado da LN, e mxima compresso no outro.

A equao da linha neutra pode ser obtida a partir da equao de tenses (eq. 2.1), adotando-se oseguinte raciocnio: Representando por yln e zln as cordenadas dos pontos pertencentes LN, sabe-se quepara estes pontos, a tenso normal nula ( x=0). Assim:

lnln..0 z

I

My

I

M

y

fy

z

fz+=

mas: cos.ffz MM = e cos.ffz MM =


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11

logo:ln

.

ln

..

sen.

cos0 z

I

My

I

M

y

f

z

f +=

ou:

lnln .. )( ztgI

Iy

y

z= (2.2)

A expresso (2.2), a equao reduzida de uma reta (LN) que passa pela orgem do sistema deeixos zy, sendo o termo entre parnteses, o coeficiente angular desta reta. Representando por mestecoeficiente, ento teremos:

)( tan. y

z

I

Im =

Sabe-se da Geometria Analtica, que:

mtg =

logo: )( tan.tan y

z

I

I= (2.3)

Onde representa o ngulo entre eixo das abcissas (z no caso) e a reta (LN), que quando medidono sentido anti-horrio positivo. (Ver fig. 2.4).

LN

(-)z

(+)

LN

y

Fig. 2.4

A

(-)

z

B

y

Fig.2.5

EIXOSPRINCIPAIS

Analisando o sinal negativo da expresso (2.3), obtida a partir da fig.8, conclui-se que a LNgerada, estar na posio ilustrada pela fig.2.5.

Como vimos anteriormente, os pontos de mximas tenses, so os pontos mais afastadosda LN, que no exemplo, correspondem aos pontos A e B. Para obtermos estas tenses, bastasubstituirmos em (2.1) z e y pelas coordenadas destes pontos respectivamente.


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2.5. PEAS COM SEES TRANSVERSAIS NO SIMTRICAS

Caso a seo transversal no apresente simetria, tal como a seo da fig.2.6.a, no saberemos priori, oposicionamento dos eixos principais. Para encontr-los, usaremos um sistema de eixos auxiliares z1y1

(fig.2.6.b), cuja origem coincida com o centro de gravidade. O sistema de eixos principais zy, estar formandoum ngulo com o sistema auxiliar (fig.2.6.c), cujo valor pode ser obtido por:

11

11.2)2tan(

yz

yz

IIP

= (2.4)

Onde: 11yzP = produto de inrcia da seo em relao ao sistema auxiliarz1 y1.[m4]1zI = momento de inrcia em relao ao eixo auxiliarz1.[m4]1yI = momento de inrcia em relao ao eixo auxiliary1.[m4]

Como sabemos, para calcular as inrcias de uma figura, a mesma pode ser dividida em figuras mais

simples; dois retngulos por exemplo (fig.2.7.a). Os eixos auxiliares devem ser posicionados de modo quefacilitem os clculos. Isso acontecer, se eles forem colocados paralelos aos lados das figuras obtidas peladiviso da seo. (fig.2.7.b)

1z

1z

z

1y

1y y

(a) (b) (c)

fig.2.6

Os momentos de inrcia em relao aos eixos principais, podem ser obtidos pelas expresses:

][ 22, 111111 .4)()(2

1yzyzyzyz PIIIII +++= (2.5)

usando-se o sinal + para obter-se o valor de Ize o sinal para obter-seIy..

As coordenadas (z;y) de um ponto qualquer no sistema principal, podem ser obtidas atravs de:

cos.sen. 11 zyz += (2.6.a) sen.cos. 11 zyy = (2.6.b)

Onde: z1ey1 so as coordenadas do referido ponto em relao ao sistema auxiliar ezeyascoordenadas do mesmo ponto porm em relao ao sistema principal.


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Exemplo:Calcular as mximas tenses de trao e de compresso geradas por um momento fletor de 2400N.m,

inclinado 10o.em relao horizontal, e aplicado numa pea, cuja seo transversal est representada nafig.2.7(a). Com base nas tenses calculadas, fazer um desenho esquemtico demonstrando o comportamento

das tenses no contorno da seo. GBz Gz

Gz GAz A E

A A55cm

Mf CG

10o1

z 1

z GAy

Gy

5cm B C 'z 'z GBy

5cm 35cm'y

1y B

'y 1

y B

(a) (b) (c)

fig.2.7

Primeiramente calculemos a posio do CG, onde posicionaremos paralelamente aos lados da figura, aorigem de um sistema auxiliar z1y1 (fig.2.7.b). Para facilitar o clculo, vamos dividir a figura nos retngulos

A e B. Tomemos como referencial, dois eixos 'z e 'y paralelos a z e y respectivamente. As coordenadas

zGe yG do CG, em relao a estes eixos, podem ser calculadas por.

Clculo de Gy : Clculo de Gz :

cmy

AA

AyAy

AA

MM

A

My

G

GG

G

szszsz

87,1935.560.5

)35.5.(5,2)60.5.(30

21

2.21.1'2

'1

'

21

=+

+=

+

+=

+

+==

cmz

AA

AzAz

AA

MM

A

Mz

G

GG

G

sysysy

87,935.560.5

)35.5).(2/355()60.5.(5,2

21

2.21.1'2

'1

'

21

=+

++=

+

+=

+

+==

Clculo dos momentos de inrcia em relao a z1 ey1 - (Iz1e Iy1)

Optaremos por usar a frmula3

.3

1

hbIz = que vlida somente para retngulos que tenham a base b

coincidindo com o eixo z1. Por isso, vamos dividir a pea nos retngulos A e B conforme a fig.2.8(a). Oretngulo B abrange um retngulo vazio C fig.2.8(b), cujo momento de inrcia dever ser descontado.

A40,13cm 40,13cm

C

z1 z1

19,87cm B 19,87cm

40cm 9,87 30,13cm

y1 y1

(a) (b)fig.2.8


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Clculo de1

zI : Clculo de1

yI

4

333

11,173950

)87,14.35(

3

1)87,19.40(

3

1)13,40.5(

3

1

1

1

cmI

I

z

z

=

+=

4

333

11,62700

)87,4.55(

3

1)87,9.60(

3

1)13,30.5(

3

1

1

1

cmI

I

z

y

=

+=

Clculo do Produto de Inrcia (Pz1y1)

Para o clculo do produto de inrcia em relao aos eixos auxiliares z1y1, usaremos a

equao4

).( 211

hbP Yz = (ver exerccio resolvido no item Produto de Inrcia). Cabe ressaltar, que esta equao,

somente pode ser aplicada para retngulos, sendo que os mesmos devem obrigatoriamente estar com umadas bases e um dos lados, coincidindo com os eixos. Faremos os clculos para cada quadranteseparadamente, lembrando que os valores do 1o e 3o quadrante so positivos, e nos outros dois, negativos.

Quadrante 1(fig.2.9): Apliquemos a frmula para o retngulo azul (fig.2.9.a), depois para o retngulo

vermelho (fig.2.9.b), descontando o segundo valor obtido do primeiro, ou seja:422

41,8304)87,14.87,4(4

1-)87,19.87,9(

4

11

.11 cmPQ

YZ ==

40,13cm 40,13cm

B

19,87cm 19,87cm

A 9,87 30,13cm 9,87 30,13cm

(a) (b)fig.2.9

Quadrante 2 (fig.2.10): Procedimento semelhante ao do 1o quadrante.

42295,39421-)87,14.13,30(

4

1-)87,19.13,30(

4

1- ][

2

.11 cmPQ

YZ ==

40,13cm 40,13cm

B

19,87cm 19,87cm

9,87 30,13cm A 9,87 30,13cm

(a) (b)

fig.2.10


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Quadrante 3 (fig.2.10): Como no existe nenhuma parte da fig. neste quadrante, ento:

03

.11 =Q

YZP

Quadrante 4 (fig.2.11): Procedimento semelhante ao do 2o quadrante.

42293,29671-)87,4.13,40(

4

1-)87,9.13,40(

4

1- ][

4.11 cmPQ

YZ ==

B

40,13cm 40,13cmA

19,87cm 19,87cm

9,87 30,13cm 9,87 30,13cm

(a) (b)

fig.2.11

Assim, o produto de inrcia de toda a figura ser:

447,60789-

4

.11

3

.11

2

.111

11.11 cmPPPPPQQQQ

YZYZYZYZYZ =+++=

Clculo da Posio dos Eixos Principais ( )

A posio dos eixos principais zyem relao ao sistema auxiliar z1y1 pode ser obtida pela expresso (2.4):

O sistema principal, estar posicionado a 23,7o no sentido anti-horrio ( positivo), em relao aosistema auxiliar (fig.2.12).

z1

z

y1y

fig.2.12

O5,472 =093,1

11,62700-11,173950

)47,60789-.(2.2

)2( --11

11===

yz

yz

II

Ptg

O7,23=


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Clculos dos Momentos Principais de Inrcia (Iz e Iy)

Os momentos de inrcia em relao aos eixos principais, podem ser calculados pela equao (2.5).

][][ 2222, 47,60787.4)11,62700-11,173950()11,6270011,173950(2

1.4)-()(

2

1111111

++=++= yzyzyzyz PIIIII

28210.04,722.20004,722.200 mcmIz

-== 282 10.18,928.3518,928.35 mcmIy

-==

Obs.: A soma das inrcias em relao ao sistema principal, deve resultar igual a soma das inrcias em relaoao sistema auxiliar, ou seja:-

11+=+ yZyZ IIII (2.7)

Decomposio do Vetor Mf no Sistema Principal zy ( Mfz e Mfy )

Para fazermos a decomposio, precisamos conhecer o ngulo , que o vetor momento formacom o eixo principal z. Analisando a fig.2.13.a, vemos que:

=+10o=23,7o+10o=33,7o

Assim, conforme fig.2.13.b:

mNMM offz .69,19967,33cos.2400cos. ===

e:

mNMM offy .63,1331=7,33sen.2400=sen.=

MfyMf Mf

10o

z1 z1

Mfz

z z

y yy1 y1

(a) (b)

fig.2.13


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Equao das Tenses ( x )

Para obtermos a equao das tenses, substituiremos os valores encontrados para yI , zI , fzM e fyM

em (2.1) . Assim:

zyx .10.18,928.35

63,1331.

10.04,722.200

69,199688 -- +=

zyx .10.71,3.10.95,9 65 += (2.8)

Esta equao, permite calcular as tenses normais em qualquer ponto de coordenadas (z,y) da seotransversal de uma barra. Entretanto, interessa-nos, calcular as tenses nos pontos mais solicitados, ou seja,as maiores tenses, sendo uma de trao, e outra de compresso. Estes pontos, sero obviamente os maisafastados da Linha Neutra, j que sobre esta, as tenses so nulas.

Portanto, nosso prximo passo, ser encontrar a posio da linha neutra sobre a seo transversal, epara isso, precisamos da equao da mesma.

Esta equao pode ser encontrada, adotando-se o seguinte raciocnio: se conhecssemos ascoordenadas (zL,yL ) de todos os pontos da LN, ao substituirmos essas coordenadas na equao (2.8), astenses encontradas seriam todas nulas. A recproca tambm verdadeira, ou seja: fazendo-se x=0 naequao de tenses acima, obteremos valores para zL e yL, que sero coordenadas de pontos pertencentes LN, ou mais propriamente, da equao de uma reta, que ser a equao da LN.

Assim:

LNLN zy .10.71,3.10.95,9065

+=

ou

0.10.95,9.10.71,3 =+ LNLN yz56

Isolando-se a varivel y, teremos a mesma equao, porm na forma reduzida:

LNLN zy .73,310.95,9

10.71,36

-- == 5

onde o coeficiente de z, (-3,73) nada mais , que o coeficiente angular m de uma reta. Sabemos da GeometriaAnaltica, que para obtermos a inclinao de uma reta em relao ao eixo das abscissas, basta fazermos:

)()( -3,73arctgmarctg ==

o-74,69=

Equao da linha neutra = Equao deuma reta na forma geralAx+By+C=0porm com C=0

Equao da linha neutra = Equao de uma reta na forma

reduzida B

C

xB

A

y --=ou

bmx=y+ porm com

b=0


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Este ento o ngulo que a LN forma com o segmento positivo do eixo z, no sentido horrio (negativo).

E

LN

z1

z BLN

y1 y

fig.2.14

Vemos assim, que os pontos mais afastados da LN so os pontos B e E, logo, num deles estaratuando a mxima tenso de trao e noutro, a mxima tenso de compresso. Com base no sentido deatuao tanto do momento resultante quanto de suas componentes, podemos prever que a mximatenso de trao estar ocorrendo em B e a mxima compresso em E.

Clculo das Tenses nos Pontos B e E ( xB e xE )

Para calcular a tenso num ponto qualquer, basta substituir as coordenadas (z,y) desteponto na eq.(2.8).

Clculo das Coordenadas e da Tenso no Ponto B ( zB , yB e xB )

As coordenadas do ponto B em relao ao sistema auxiliar so:

cmz B 87,91 = cmy B 87,191 =

Utilizando (2.6.a) e (2.6.b) respectivamente, teremos as coordenadas desse ponto em relao aosistema principal:

oo

BBB zyz 7,23cos.87,97,23sen.87,19cos.sen. 11 +=+= cmzB 0,17=

oo

BBB zyy 7,23sen.87,97,23cos.87,19sen.cos. 11 == cmyB 2,14=

A tenso em B ser ento:

BB zyxB .10.71,3.10.95,965

+=

170,0.10.71,3142,0.10.95,965

+=xB

MPaxmxtxB 77,0==

Clculo das Coordenadas e da Tenso no Ponto E ( zE , yE e xE )

As coordenadas do ponto E em relao ao sistema auxiliar so:

cmz E 87,41 = cmy E 13,401 =


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Utilizando (2.6.a) e (2.6.b) respectivamente, teremos:

oo

EEE zyz 7,23cos.87,47,23sen.13,40cos.sen. 11 +=+= cmzE 7,11=

oo

EEE zyy 7,23sen.87,47,23cos.13,40sen.cos. 11 == cmyE 7,38=

A tenso em E ser ento:

EE zyxE .10.71,3.10.95,965

+=

)117,0.(10.71,3)387,0.(10.95,9 +=65

xE

MPaxmxcxE 82,0==

Distribuio das Tenses

As tenses obviamente ocorrem em qualquer ponto da seo transversal. Na figura 2.15 entretanto,estamos representando somente as tenses atuantes no permetro da seo, o que j suficiente para ter-seuma idia de como elas se distribuem ao longo de toda a seo.

MPaxmxcxE 82,0==

LN

MPaxmxtxB 77,0== LN

fig.2.15


21/53


20

Na fig.2.16, estamos representando os sistemas de eixos retangulares auxiliarz1y1, e principalzy, alinha neutra, o momento fletoraplicadoe como suas componentes sobre o sistema principal, bem como todosos ngulos envolvidos.

LN

Mfy

Mf

z1

Mfzz

LN

yy1

Fig.2.16


22/53


21

3. FLEXO COMBINADA COM ESFORO NORMAL

3.1. INTRODUO

At o presente momento, estudamos os esforos internos, Esforo Normal, Esforo Cortante,Toro e Flexo, separadamente, como se cada um deles atuasse individualmente sobre uma pea.Entretanto, na prtica, constata-se que na maioria dos casos, dois ou mais esforos atuam ao mesmotempo em uma mesma pea. No presente captulo, passaremos a estudar um destes casos, qual seja, acombinao da Flexo com o Esforo Normal.

Cabe ressaltar, que o presente estudo vlido tanto para a Flexo Pura quanto para a FlexoSimples, bem como para os Esforos Normais de Trao e de Compresso, independentemente destesserem produzidos por um nico carregamento, ou por carregamentos distintos, conforme ilustrado abaixo.

Fx = fora axial ou longitudinal (direo x) Fy = fora transversal (direo y) Fz = fora transversal (direo z)Fy

Mfz Mfz Fz

Fx Fx Fx

(a)FLEXO VERT. (Mfz) + ESFORO NORMAL DE TRAO (Fx) (b) FLEXO VERT. (Mfz=Fty.x) +FLEXO HORIZ.(MfY=Ftz.x)+ ESFORO NORMAL TRAO(Fx)

eyFx z

Fx z

(-)eZ

y y

(c) FLEXO VERT. (Mfz=Fx.eY) + ESF. (d) FLEXO HORIZ.(Mfy(-)=Fx.eZ(-))+ESF.NORMAL DE TRAO (Fx) NORMALDE TRAO (Fx)

eYz

Fx

(-)eZ

y

(e) FLEXO VERTICAL (Mfz=Fx.eY) + FLEXO HORIZONTAL (Mfy(-)=Fx.eZ(-))+ESFORO NORMAL DE TRAO (Fx)

fig. 3.1


23/53


22

3.2. EQUAO DE TENSESVamos considerar, o caso flexo combinada com esforo normal mais abrangente, ou seja, aquele

ilustrado pela figura E da pgina anterior, o qual engloba os casos ilustrados pelas figuras C e D.A figura abaixo, reproduz tal situao, onde a fora Fx aplicada paralelamente ao eixo longitudinal da

pea (eixo x), passando sua linha de ao, por um ponto qualquer P, situado a uma distncia eY em relao az, e eZem relao a y.

zP e

y

ezx

yFx

Fig.3.1

Nestas condies, a fora Fx produzir numa seo transversal qualquer da pea, os seguintesesforos:

- Momento fletor em relao a z:yxfz

eFM .= .- Momento fletor em relao a y: zxfy eFM .= .

- Esforo normal na direo x: xnx FF += .

Estes esforos produziro respectivamente num ponto qualquer da seo, como o ponto P porexemplo, de coordenadas (z,y) as seguintes tenses:

- Tenso normal causada pelo momento fletor Mfz: yz

fzx

IM

.=

- Tenso normal causada pelo momento fletor Mfy: zy

fyx

IM

.=

- Tenso normal causada pelo esforo cortante Fnx:x

xx

AF

=

A tenso normal total, ser obtida pela soma destas trs tenses. Assim:

x

x

y

fy

z

fzx

AF

zI

My

IM

++= .. (3.1)

Equao que calcula a tenso normal, num ponto de coordenadas (x,y) da seotransversal de uma pea submetida flexo nos planos vertical (xy) e horizontal(xz), e a


24/53


23

3.3. EQUAO DA LINHA NEUTRA

Sabemos que nos pontos da seo que coincidem com a linha neutra, as tenses so nulas. Assim,

representando por (zLN,yLN) esses pontos teremos:

0.. =+ +x

x

y

fy

z

fz

AF

zI

My

IM

LNLN (3.2)

Ou isolando y, teremos:

xfz

xz

yfz

zfy

AMFI

zIMIM

y LNLN.

..

.

.= (3.3)

A equao (3.2) a equao geral da reta, no caso, a linha neutra (compare esta equao com aequao geral de uma reta na geometria analtica 0.. =++ CyBxA ). J a equao (3.3), a equaoreduzida da reta, no caso, a linha neutra (compare esta equao com a equao reduzida de uma reta na

geometria analticaB

C

B

Axy = ou ( bxay += . ) onde

B

Aa = o coeficiente angularda reta (tangente

do ngulo formado entre a reta e o eixo horizontal x no sentido anti-horrio. Ver fig.2.3.a ), eB

Cb = o

coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y que obtido, fazendo-se x=0). Assim, conclui-se que o

coeficiente angular dalinha neutraser:

yfz

zfy

IMIM

a.

.= (3.4)

Conseqentemente, se representarmos por a inclinao da linha neutra, esta ser dada por:

)(.

.arctan)arctan(

yfz

zfy

IMIM

a == (3.5)

y

B

C

B

Axy =

xfz

xz

AMFI

byLN.

.==

z LNz )(

.

.arctan)arctan(

yfz

zfy

IMIM

a ==

)(arctan)arctan(B

Aa ==

xfz

xz

yfz

zfy

AMFI

zIMIM

y LNLN.

..

.

.=

B

Cb = x

fig.3.2 y

Equao da Linha Neutra na forma geral

Equao da Linha Neutra na forma reduzida


25/53


24

Os pontos onde a linha neutra intercepta os eixos y ez, so obtidos fazendo-se respectivamente zLN=0e yLN=0 em (3.2) ou (3.3). Assim teremos:

xfz

xz

AMFI

yLN.

.= (3.6) exfy

xy

AMFI

zLN.

.= (3.7)

3.4. MXIMAS TENSES

Determinados estes pontos, podemos posicionar a LN na seo, localizando assim em cada lado ospontos mais afastados desta. Num destes pontos, ocorrer a mxima tenso de trao e no outro, a mximatenso de compresso. Estas tenses sero obtidas, substituindo-se na eq. de tenses (eq.3.1), ascoordenadas destes pontos. Assim, chamando de (zA ;yA) e (zB ;yB ) as coordenadas dos pontos A e B

respectivamente, teremos:

x

x

y

fy

z

fzx

AF

zI

My

IM

AAA ++= .. x

x

y

fy

z

fzx

AF

zI

My

IM

BBB ++= ..

3.5. DUAS OU MAIS CARGAS

No estudo anterior, consideramos a atuao de uma nica carga. Para duas ou mais cargas, digamos ncargas, a equao de tenses assumir a forma:

x

x

y

fy

z

fzx

AF

zIM

yIM

+

= +.. (3.8)

Onde:ynnyyfz eFeFeFM ....... 2211 +++= a soma dos mom. das foras em relao z.

znnzzfy eFeFeFM ....... 2211 +++= a soma dos mom. das foras em relao y.

nfz FFFM +++= ....21 a soma das das foras na direo x.


26/53


25

Exemplo:

A pea da figura abaixo, est submetida s cargas ali indicadas, todas elas atuando na direo x. Aolado, representa-se as dimenses da seo transversal da referida pea.

Determine:a) A equao de tenses.b) A equao da LN na forma reduzidac) A inclinao da LN.d) Os pontos onde a linha neutra intercepta os eixos z e y.e) As mximas tenses de trao e compresso geradas na seo.

2cm

F1F2 2 cm

F3 16cmx

F4 30cmz

2cm 20cm

F5 12 cm

y

(a) (b)

F1 = 11 kN fig.3.3F2 = 12 kNF3 = 13 kNF4 = 14 kNF5 = 15 kN


27/53


26


28/53


27

4. DEFORMAO NA FLEXO

4.1. INTRODUOConsideremos a barra prismtica da fig.4.1.(a). Inicialmente, a barra retilnea, e seu eixo coincide

com o eixo x. Aps a aplicao da fora F, a mesma ficar sujeita a um momento fletor Mfz, que produzirna mesma, e conseqentemente no seu eixo, um encurvamento conforme representado na fig.4.1.(b).Esta curva, denominada curva elstica ou linha elstica. Na situao da fig.(a), as sees transversaisem qualquer posio ao longo da pea so verticais, e o centro de gravidade de todas estas sees,coincidem com o eixo x.

Na situao (b), as sees transversais giraramde um ngulo em relao s posies anteriores(verticais), e ao mesmo tempo, deslocaram-se para baixo, de um valor y. Ao ngulo , denominamos giroou deslocamento angular da seo, e ao deslocamento y, denominamos flechaou afundamentodaseo.

Consideraremos as seguintes convenes: OFlechas: ngulos:

y(-) (-)y(+) (-)

r

direo perpend.F seo antes da

deformaox

x y

linhaelstica

inclinao daseo aps inclinao da seo direo perpenddeformao antes da seo aps a.

y deformao deformao

(a) (b)

fig.4.1

4.2. APLICAES

Determinao das deformaes para que no ultrapassem determinados limites que no caso daconstruo civil por exemplo, no deve ser superior 1/300 do vo, ou seja:

300

Lymx (4.1)

Em projetos mecnicos, as mximas deformaes permitidas, variam conforme o tipo de projeto. Auxiliar na resoluo de problemas hiperestticos envolvendo peas submetidas flexo.


29/53


28

4.3. RELAO ENTRE ESFORO CURVATURA E MOMENTO FLETOR

Consideremos a viga da fig.4.2.(a), onde foram traadas duas linhas verticais, e duas linhas

horizontais, que interceptam-se gerando os pontos A, B, C e D. Consideremos ainda, que a linha quecontm o segmento AB, pertena superfcie neutra. Neste caso, aps submeter-se a pea a flexo, estesegmento no sofrer alterao no seu comprimento. Entretanto, o segmento CD, sofrer umalongamento L, conforme representado na fig.4.2.(b).

O

Linha sobre aSuperfcie neutra r

A By

C D

A L0 By

C D' D

L(a) (b)

fig.4.2

Considerando-se que as deformaes estejam dentro do regime de proporcionalide, da lei de

Hooke sabemos que: .Ex = (4.2)

Representando por L0 os comprimentos iniciais dos segmentos AB e CD, e por L o acrscimo sofridopelo segmento CD, teremos:

0L

L= (4.3)

Como os setores circulares OAB e BD'D so semelhantes, podemos estabelecer a seguinterelao de proporcionalidade entre seus lados:

r

y

L

L=

0

Substituindo esta expresso em (4.3), e aps, esta em (4.2), teremos:

yr

Ex .=

Isolando 1/r vem:

Eyr

x

.

1 =

Mas:

yI

M

z

fzx .=

Logo:


30/53


29

z

fz

IE

M

r .

1= (4.4)

Observaes:

1) Como foi utilizada a lei de Hooke, as equaes (4.3) e (4.4) somente podem ser usadas dentro doregime de proporcionalidade.

2) O presente estudo considera que Mfz, EeIzsejam constantes ao longo do trecho considerado, oque implica em rconstante.

4.3.1. EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA

Na fig.4.3, temos a curva elstica de uma viga submetida flexo. Tomemos duas sees 1 e 2afastadas de uma grandeza infinitesimal ds. As direes perpendiculares a estas sees (tangentes acurva t1 e t2), formam com o eixo x, respectivamente os ngulos 1 e 2 , e entre s, o ngulo infinitesimald. Considerando este ngulo em radianos, podemos escrever:

drds .= ou:ds

d

r

=

1(4.5)

O

dr

2 1 x1 ds

2 dx 1 d

dx t2 dyds

t1 2

(a) (b)

fig.4.3

Como as deformaes permitidas em geral so muito pequenas, podemos considerar com umamargem de erro bastante pequena, que:

dxds edx

dytg = (4.6)

Substituindo (6.6) em (6.5), teremos:

dx

dx

dyd

r

)(1

= ou2

21

dx

yd

r

=


31/53


30

Que substituindo-se em (6.4), resulta:

z

fz

IE

M

dx

yd

.2

2

= (4.7)

Para carregamentos horizontais, e consequentemente, flexo no plano horizontal (plano xz), teremos:

y

fy

IE

M

dx

zd

.2

2

= (4.8)

4.4. DESLOCAMENTO ANGULAR

Integrando-se uma vez a expresso (4.7), obtm-se:

1..

1CdxM

IEdx

dyfz

z

+= (4.9)

Mas vimos em (6.6), que:

dx

dy=

Logo: 1..

1CdxM

IEfz

z

+= (4.10)

4.5. AFUNDAMENTOS OU FLECHAS

Integrando-se a expresso (4.9), teremos:

21)( ..

1CdxCdxM

IEy fz

z

++=

2)( Cdxy += (4.11)

EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA PARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)

EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA PARA FLEXO NO PLANO HORIZONTAL (PLANO XZ)

EQUAO DOSDESLOCAMENTOS ANGULARESPARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)

EQUAO DOSAFUNDAMENTOSPARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)


32/53


31

Exerccios:

Determinar para fig. abaixo, =f(x) ey=f(x), ou seja, asas equaes dos deslocamentos angulareselinearesdevido aos momentos fletores produzidos pelos carregamentos ali indicados. Determine tambm, o

mximo afundamentoe as mximas deflexes angulares positivae negativadas sees.q(N/m)

L(m)


33/53


32

4.6. RELAO ENTRE AFUNDAMENTO ESFORO CORTANTE E CARREGAMENTO

Derivando-se a eq. (4.7), teremos:

)()(.2

2

z

fz

IE

M

dx

d

dx

yd

dx

d=

dx

dMfz

IEdx

yd

z.

13

3

=

z

y

IEdx

yd Q.3

3

= (4.12)

Derivando-se esta equao (4.12), teremos:

)()(.3

3

z

y

IE

Q

dx

d

dx

yd

dx

d=

dx

dQ

IEdx

yd y

z.

14

4

=

z

y

IEdx

yd q.4

4

= (4.13)

onde:yq = carga distribuda (N/m)


34/53


33

5. ESTADO PLANO DE TENSES

5.1.Introduo

Consideremos um elemento infinitesimal de dimenses dx, dy, dz, representado nafig. 5.1, e submetido ao estado plano de tenses ali indicado.

Consideraremos que as tenses de trao sero positivas e as tangenciais tambm osero para a disposio da figura (convergindo para o canto superior direito)

y ny

xy x yx T

yx ds dy x x dy dsxy yx

dx dz x dx z xy

y ty

n

Tx xy

yx

y t

fig. 5.1

Aplicando as condies de equilbrio parcela do elemento (Fig. 5.1) para as foras queatuam nas direes n e t (normal e tangente superfcie), teremos:

Para a direo n:

[ ]0=nF


35/53


34

0..sen...cos...sen...cos... = dzdxdzdydzdydzdxdzds yxyxxy

dividindo por dz, e observando que dx ds= .sen e dy ds= .cos, teremos:

0sen.cos..cos..sen.cossen..22 = dsdsdsds yxyxxy

dividindo por dse lembrando que yxxy = ficar:

0sen.cos.cossen..222 = yxxy

lembrando ainda que:

2sencos.sen.2 = , ( )cos cos21

21 2 = + e ( )sen cos2

1

21 2 =

teremos:

( ) ( ) 02cos12

2cos12

2sen =+

yx

xy e,

2sen.2cos22

xyyxyx

+

++

= (5.6)

Para a direo t:

[ ]0= tF

0..cos...sen...sen...cos... =++ dzdxdzdydydxdzdydzds yxxyxy

dividindo por dz, e observando que dx ds= .sen e dy ds= .cos teremos:

0.cos.sen..cos.sen..sen..cos..22 =++ dsdsdsdsds yxxyxy

dividindo por dse lembrando que xyxy = ficar:

0cos.sen).()sen.(cos 22 =+ yxxy

lembrando que, cos2)sen(cos 22 = e2

2sencos.sen

= vem:

02sen.2

2cos. =

+

yx

xy

logo:

2cos.2sen2

xyyx

= (5.7)


36/53


35

5.2. Tenses principais -Planos principais

As expresses (5.6) e (5.7) fornecem-nos respectivamente os valores de e paraqualquer posio da seco de estudo, definida pelo ngulo . Entretanto, paradeterminados valores de , e assumiro valores mximos ou mnimos, j que estastenses so originadas pela decomposio da resultante T nas direes n e t, que variamcom a mudana de .

Os planos onde ocorrem os valores mximos e mnimos para so chamadosPLANOS PRINCIPAIS e os ngulos que definem suas posies, so representados porpmx e pmn.

Os ngulos que definem os posicionamentos dos planos onde ocorrem os valoresmximos e mnimos para , so denominados qmx e qmn. respectivamente.

A) Determinao das Posies dos Planos PrincipaisCom base no exposto acima, determinar a posio dos planos principais, significa

determinar os valores de (pmx e pmn), para os quais ocorrem os valores mximos emnimos de .

Com base na teoria dos mximos e mnimos do clculo diferencial teremos,derivando a expresso (5.6) em relao a , teremos:

Da expresso (5.8), obtm-se dois valores para o arco 2p (2p e 2p) que estodefasados de 180:

2p= 2p+180

o que implicar em dois valores para p, (pep) que estaro defasados de 90

opp 90"" =

o que demonstra que os planos onde ocorrem as tenses normais mxima e mnima, soperpendiculares entre si.

0cos..22sen2

=+ pp xyyx

yx

xy

p

p

=

2

2cos

2sen

yx

xytg p

=

22

yx

xyarctgp

=

2

2

1 ( )a.8.5

2.2cos.2).2sen(2

ppxy

yx

d

d

+

=

( )8.5


37/53


36

B) Determinao das Tenses Principais

As tenses principais simbolizadas por mx e mn (ou 1 e 2), podem ser calculadaspelas expresses:

Ou:

Demonstrao:Para obtermos as tenses principais, basta substituirmos na expresso (5.6) sen2

e cos2 por sen2p e cos2p.

Da trigonometria, sabe-se que:

logo teremos:

+

=

yx

xy

p

2

2cos2

1

1

21

1cos

tg+=e

21

sentg

tg

+=

( )2

2222

)(

4

.2

.21

.2

21

22sen

yx

xyyx

yx

xy

yx

xy

yx

xy

ptg

ptgp

+

=

+

=

+=

( ) 22

4

22sen

xyyx

xyp

+

=

( ) 22

4

2cos

xyyx

yxp

+

=

( )( ) 221 4

2

1

2xyyx

yx

++

+=

( )( ) 222 4

2

1

2xyyx

yx

+

+=

( )( ) 222,1 4

2

1

2xyyx

yx

+

+=


38/53


37

Substituindo estes valores em (5.6), teremos:

5.3. Tenses de Cisalhamento Extremas (Mxima e Mnima) - Planos Onde Atuam

A) Planos de Tenses Cisalhamento Extremas

Derivando (5.7) em relao a e igualando a zero:

( )( ) 22 4

2

1

2xyyx

yx

mnmx

+

+= ( )9.5

2).2sen.(2.2cos.2

qq xyyx

d

d

=

xyyx

q

q

22cos2sen =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )2222

22

2

22

2

2222

4.2

4

2

4.2

4

4.22

2

2.4

2

422

xyyx

xyyxyx

xyyx

xy

xyyx

yxyx

xyyx

xyxyxyyx

yxyxyx

mnmx

mnmx

mnmx

+

++

+=

++

+

+

+=

++

+

++=

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

22

22

2222

22

22

22

22

42

1

2

4.2

4.4

2

4

4

.

4.2

4

2

xyyx

yx

xyyx

xyyxxyyxyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyxyx

mnmx

mnmx

mnmx

+

+

=

+

++

++

=

+

+

+

++

+=


39/53


38

Ou:

Da expresso (5.10), obtm-se dois valores para o arco 2q (2q e 2q), quediferem de 180:

2q= 2q+180

o que implicar em dois valores para (qeq), que diferiro de 90:

oqq 90'" =

o que demonstra que os planos onde ocorrem as tenses cortantes mxima e mnima, soperpendiculares entre si.

B) Tenses de Cisalhamento ExtremasAs Tenses Cisalhamento Extremas simbolizadas por mx e mn, podem ser

calculadas pelas expresses:

Ou:

(5.11)

Demonstrao:

Para obtermos os valores extremos (mximo e mnimo) para as tenses cortantes,basta substituirmos na expresso (5.7), sen2 e cos2 por sen2q e cos2q.

Como:

xy

yxtg q

22

= ( )10.5

21

1cos

tg+=e

21

sentg

tg

+=

)2( xy

yxarctgq

=

( ) 22 42

1xyyxmx ++ ( ) 22 4

2

1xyyxmn +=

( ) 22 42

1xyyx

mn

mx +=


40/53


39

2

.21

12cos

+

=

xy

yx

q

Substituindo estes valores em (5.7), teremos:

( ) 22 .42

1 xyyxmnmx += ( )11.5

( ) 22

4

2sen

xy

yxq

yx

+

=

m

( ) 22

4

.22cos

xy

xyq

yx

+

=

( )2

22

22

4

4

.2

.21

.2

21

22sen

xyyxxy

xy

yx

xy

yx

xy

yx

qtg

qtgq

+

=

+

=+

=

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+

+

+

+=

+

+=

+

+

+

=

+

+

=

22

22

22

22

22

22

22

2

22

2

2222

4

4

.

4.2

4

4.2

4

4.2

4

4.2

2

2.

4

2

42

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xy

xyyx

yx

xyyx

xyxy

xyyx

yxyx

mnmx

mnmx

mnmx

mnmx

m

m

m

m

mm

m


41/53


40

Observe-se que subtraindo mn de mx na expresso (5.9), teremos:

donde conclui-se que:

Comparando a expresso (5.10) que define os planos onde ocorrem mx e mn,com a expresso (5.8) que define os planos onde ocorrem mx e mn, conclui-se que:

Que a condio de perpendicularismo entre dois planos,ou seja, 2q e 2p diferem de 90( 2q=2q90o), logo, q e p diferem de 45.

Assim:

Em outras palavras, conclui-se que os planos onde ocorrem as tenses extremas decisalhamento, esto inclinados de 45 em relao aos planos onde ocorrem as tensesnormais extremas(tenses principais).

Nos planos de cisalhamento extremos, a tenso normal no nula, e seu valor podeser obtido substituindo-se senq e cosq na expresso (5.6), que resulta:

( )

2

mnmx

mnmx

=

( ) mnmxmnmx xyyx .24

22

=+=

ptgqtg

2

12 =

45opq = ( )13.5

( )12.5

22'

mnmxyx

++

== ( )14.5


42/53


41

5.4. Planos de Tenses de Cisalhamento Nulas

Se a tenso de cisalhamento pode assumir valores positivos e negativos, ento

dever assumir tambm o valor nulo para um determinado plano, cuja inclinao,denominaremos n.

Os planos onde as tenses de cisalhamento anulam-se, podem ser obtidas fazendo-se = 0 na expresso (5.7), donde resulta:

Esta expresso coincide com a expresso ( 5.8 ) o que demonstra que os planos detenso de cisalhamento nulas, so coincidentes com os planos principais. Assim conclui-seque: Nos planos principais, no atuam tenses de cisalhamento.

yx

xy

ntg

=

22

yx

xyarctg

n

=2

2

1( )15.5


43/53


42

RESUMO

2sen.2cos22

xyyxyx

+

++

= (5.6)

2cos.2sen2

xyyx

= (5.7)

yx

xy

tg p

=

2

2 yx

xy

arctgp

=

2

2

1 ( )a.8.5( )8.5

xy

yxtg q

22

= ( )10.5)

2(

2

1

xy

yxarctgq

=

( ) 22 .42

1 xyyxmnmx += ( )11.5

45opq = ( )13.5

22'

mnmxyx ++

== ( )14.5

( )( ) 22 4

2

1

2xyyx

yx

mnmx

+

+= ( )9.5

opp 90'" =


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43

Exerccio:

Um elemento plano, est submetido s tenses que se indicam na figura. Determinar:a) as tenses principais e os planos onde elas ocorrem;b) as tenses extremas de cisalhamento, e os planos onde elas atuam;c) as tenses normais nos planos de cisalhamentos extremos.

150MPa

90MPa

200MPa 200MPa

150MPa


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44

6. FLEXO-TORO

Na flexo-toro, como o prprio nome sugere, temos uma combinao das solicitaes, FLEXO eTORO. Como resultado desta combinao, teremos atuando na pea, ao mesmo tempo, as tensesoriginadas por estas duas solicitaes.

Podemos ter a combinao TORO-FLEXO PURA ou TORO-FLEXO SIMPLES.

- No primeiro caso, teremos as seguintes tenses geradas:

Tenso cortante (tangencial)produzida pelo momento toror

Tenso normal produzida pelo momento fletor.

- No segundo caso, alm destas duas tenses, teremos tambm, tenso cortante(ou tangencial), produzida pelo esforo cortante.

Por ser o segundo caso, aquele onde temos o maior nmero de solicitaes, certamente ser o de

maior risco, e portanto ser o objetivo do nosso estudo.

FLEXO SIMPLES COMBINADA COM TORO

Conforme acima exposto, neste caso teremos:

- Tenso cortante produzida pelo momento toror: rI

M

p

txtx .= mx

p

txtx r

I

Mmx .= (1)

- Tenso normal produzida pelo momento fletor: yI

M

z

fzx .= mx

z

fzx y

I

Mmx .= (2)

- Tenso cortante devido ao esforo cortante:zz

szy

yxxy

Ib

MQ

.

.==

zz

szy

yxxy

Ib

MQ mxmxmx

.

.== (3)

Na engenharia mecnica, este tipo de combinao de esforos surge com maior freqncia nos eixos ervores de transmisso de potncia, que na sua quase totalidade, apresentam seo transversalcircular. Portanto, nosso estudo estar voltado para este tipo de seo transversal.Consideremos ento, o eixo abaixo, que est submetido a uma fora vertical F aplicada distncia Lda seo hachurada e a uma distncia D/2 do eixo baricntrico x.

LFy

MfzMtx

z D

x

y

fg.7.1


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45

Esta fora, ir gerar nesta seo transversal os seguintes esforos internos e respectivas tenses:

Esforo Interno Tenses Geradas

momento fletor (Mfz=F.L) tenses normais ( yI

M

z

fzx .= )

momento toror (Mtx=F.D/2) tenses tangenciais (2

.D

I

M

p

txtx = )

esforo cortante (Qy=F) tenses tangenciais (zz

szyxy

Ib

MQ

.

.= )

O comportamento destas tenses ao longo de uma linha vertical que passa pelo centro da seo, estorepresentados respectivamente nas figuras (a), (b) e (c) abaixo.

mxcA txmx A A

xymx

B mxt B txmx B

(a) (b) (c)

fig.7.2

Observando-se as figuras acima, conclui-se que a regio mais solicitada da seo, so os pontos A eB, onde teremos a combinao das mximas tenses normais x causadas por Mfz, com asmximas tenses cortantes tx, produzidas por Mtx.Assim, passemos a analisar, um elemento infinitesimal retirado de uma destas regies mais solicitadas,B por exemplo.

x xttx xt

x tx tx x

xt tx x

xt

(a) (b)Elemento infinitesimal retirado da vista superior do elemento

posio inferior (B) do eixo com a mesmaorientao que encontrava-se na pea

fig.7.3


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46

( )( ) 22 4

22txyx

yx

mnmx

+=

( )223

.

32txfzfz

mnmx

MMMd

+=

Temos assim um estado plano de combinao de tenses conforme estudado no tem 5.2. Naquelaoportunidade, vimos que as tenses normais resultantes, denominadas tenses principais, so obtidas

pela equao (5.9): + 1

Neste caso temos: y=0, x obtida por mxz

fzx y

I

Mmx .= (2) e tx, por mx

p

txtx r

I

Mmx .= (1)

Para uma seo circular, temos:

2

Drmx = 4.

32DIp

= (5) (seo cheia) ).(

32

44 dDIp =

(6) (seo vazada)

D d D

(a) (b)

fig.7.4

Substituindo-se estes valores em (1), teremos:

3

16

D

Mtxtxmx

= (7) (seo cheia)

)(

.1644 dD

DMtxtxmx

=

(8) (seo vazada)

Temos ainda:

2

Dymx =

64

4DIz

= (9) (seo cheia)

64

)(44 dD

Iz

=

(10) (seo vazada)

Substituindo (9) e (10) em (2), teremos respectivamente:

332DM

fzxmx

= (11) (cheia)

)(.32 44 dDDM

fzxmx

=

(12) (vazada)

Substituindo (7) e (11) em (4), e aps algumas operaes matemticas elementares, teremos para o eixomacio:

(13)

Equao que calcula as tenses principais, num eixomacio com seo circular, submetido flexo no planovertical (xy), e toro em torno de x.


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47

Para determinarmos as inclinaes em relao vertical onde esto situados os planos principais, ouseja, os planos onde atuam mx e mn, usaremos a expresso (5.8.a) do tem 5.2.2:

(5.8.a)

Assim, substituindo (7) e (11), teremos:

que resultar:

(14)

Esta equao, fornece-nos dois valores para p, (p e p) que correspondem aos dois planosprincipais, ou seja, um plano (pmx) onde atua a tenso principal mx e o outro(pmn ), onde atua a outratenso principal mn. Para descobrirmos qual destes ngulos corresponde ao plano onde atua cada uma dastenses principais, basta substituirmos um dos ngulos, p por exemplo, na expresso (5.7).

2sen.2cos22

xyyxyx

+

++

= (15)

Se o valor obtido for o de mx, ento p ser o pmx . Caso obtenha-se mn, ento p ser o pmn.

Para determinarmos as tenses extremas de cisalhamento resultantes no eixo, usaremos (5.11):

(5.11)

Que resultar, pela substituio de (7) e (11), a equao:

(16)

Para determinarmos as inclinaes em relao vertical onde atuam estas tenses mx e mn, usaremos a

expresso (5.10) do tem 5.2.3:

(7.10)

Assim, substituindo (7) e (11), teremos:

(17)

yxxyarctgp

= 221

)(

)(

3

3

32

162

2

1

D

MD

M

arctgpfz

tx

=

)2

(2

1

xy

yxq arctg

=

( ) 22 .42

1xyyx

mnmx +=

)(2

1

fz

fyp

M

Marctg=

22

3.

16txfz

mnmx

MMD

+=

)(2

1

fz

txq

M

Marctg =


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48

22

3.

16txfy

mnmx

MMD

+=

No estudo anterior, consideramos uma carga Fy, atuando na direo vertical (direo y), o que produziana pea, flexo no plano vertical (plano xy). Se esta carga atuasse no plano horizontal (ver fig.6.5.a abaixo),teramos uma flexo horizontal (plano xz), e as equaes (13), (14), (16) e (17), assumiriam as formas.

(18) (19)

(20) (21)

L

F FY

Fz

MfZz Mtx Fz

D z MtxMfy x

Mfy xy

y

(a) (b)

fig.6.5

Se tivermos duas foras atuando ao mesmo tempo, uma na direo y (Fy) e outra na direo z (Fz), outivermos uma fora num plano zy, porm inclinada em relao a estes eixos, produzindo assim ascomponentes Fy e Fz, as frmulas anteriores assumiro a forma:

(22)

(23)

Onde MfR, o momento fletor resultante da combinao de Mfycom Mfzque pode ser obtido por:

22fzfyfR MMM += (24)

)(2

1

fy

txq

M

Marctg =

22

3.

16txfR

mnmx MM

D+=

( )223.

16txfRfR

mnmx

MMMD

+=

Equao que calcula as tenses principais, num eixomacio com seo circular, submetido flexo nos planos

vertical x ), horizontal xz), e tor o em torno de x.

[ ]223.

16txfyfy

mnmx

MMMD

+=

)(2

1

fy

tx

M

Marctgp =


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49

( )222

1txfRfRfe MMMM +=

22txfRte MMM +=

A figura a seguir, ilustra esta situao:

MfRD

MfzD

MfyD

x

ED

B CA

MfyB

MfzB

MfRB

As expresses (22) e (23), podem ser colocadas na forma:

3

32

D

Mfe

mnmx

= (22.a)

3

16

D

Mte

mnmx

= (23.a)

Sendo:

(25) (26)

Onde Mfe e Mte, so respectivamente, os momentos fletor e toror equivalentes, os quais significam:

Mfe=momento fletor equivalente o mometo fletor que sozinho, produziria na pea, os mesmosefeitos (tenses e deformaes) produzidos pela combinao de Mfz, Mfye Mtx.

Mte=momento toror equivalente o mometo toror que sozinho, produziria na pea, os mesmosefeitos (tenses e deformaes) produzidos pela combinao de Mfz, Mfy e Mtx.


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50

EXERCCIO RESOLVIDO:

1) Qual o dimetro mnimo nescessrio que dever ter o eixo da fig. abaixo, para que as tenses admissveis=160MPae = 80MPano sejam ultrapassadas? Dpolias =20 cm.

As foras esto todas em kN. Calcular a deformao angular entre as extremidades do eixo. G= 80 MPa.=23.Para melhor entender a decomposio das foras, observe o desenho no incio da prxima pg.

120 360

160

80 30cm 30cm 30cm 30cm 30cm

A B C D E F

62,52 110,46 140,66

CARREGAMENTOSVERTICAIS (kN)

RyB=228,43 RyE=11,57 73,64Mfz (kN.m)

18,76

MOM. FLET.VERT. (PL XY) 0 0 x(m)

-22,09-31,02

-47,66

46,89 331,38

CARREGAMENTOSHORIZONTAIS (kN)

147,28 RyB=44,24 RzE=243,97 31,26

Mfy (kN.m)

MOM. FLET. 0 0 x(m)HORIZ. (PL XZ) -9,38

-44,18

-75,10

-91,94Mtx (kN.m)

25,7714,73

MOM. TOR.x(m)

-7,36


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51

r (direo radial)

FAr(componente radial vertical de FA- produz flexo vertical - Mfz)

FA

FAt (componente tangencial horizontal FA produz toro Mtx e flexo horiz.- Mfy)t (direo tangencial)

FAr = FA.sen = 160.103.sen23 = 62,52 kN FAt = FA.cos = 160.10

3.cos23 = 147,28 kN

MtxA = FAt.R = 147,28.103.0,10 = 14,73 kN.m

Observando a combinao dos valores dos diagramas da pg. anterior, podemos concluir que a seocrtica, aquela situada na posio D, pois nesta posio, ocorrem os maiores valores para Mfz, Mfy e Mtx.

Consequentemente, faremos os clculos para o dimensionamento do eixo, utilizando estes valores.

Momento fletor resultante (24):

mkNMMMfyDfzDfrD .56,103)10.94,91()10.66,47(

232322 =+=+=

Momento fletor equivalente (25):

mkNMMMMtxDfrDfrD

feD .14,105))10.77,25()10.56,103(10.56,103(2

1)(

2

1 2323322 =++=++=

Dimetro do eixo com base na tenso normal admissvel (22.a):

adm

feD

mxD

M

=

3.

.32 6

3

3

10.160.

10.14,105.32

DD 0,188 m = 18,85 cm

Momento toror equivalente (26):

mkNMMMtxDfrDteD .72,106))10.77,25()10.56,103()

232322 =+=+=

Dimetro do eixo com base na tenso cortante admissvel (23.a):

adm

teD

mxD

M

=

3.

.16 6

3

3

10.80.

10.72,106.16

DD 0,189 m = 18,9 cm

O nosso eixo, dever ter um dimetro que satisfaa as duas condies estabelecidas ao mesmotempo, ou seja, que as tenses geradas em decorrncia das solicitaes no sejam superiores s tensesnormais admissveis, e nem s tenses tangenciais admissveis. Logo, a resposta a ser escolhida, deverser D 18,9 cm. (ou Dmn = 18,9 cm).


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EXERCCIO PROPOSTO:

1) Qual o dimetro mnimo que dever ter o eixo da fig. abaixo, para que as tensesadmissveis =160 MPa e = 80 MPa no sejam ultrapassadas?Dpolias= 20 cm. As foras esto todas em N.

300 360100

50 10080

150 240

20cm 20cm 20cm 20cm 20cm

A B C D E F

CARREGAMENTOSVERTICAIS

Mfz ( )

X( )

CARREGAMENTOSHORIZONTAIS

Mfy ( )

X( )

Mtx ( )

X( )

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RM II-POL-GRAFO