Örnekleme ve Tahmin · TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: • Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. •

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE

TAHMİN TEORİSİ

1

TEMEL KAVRAMLAR

PARAMETRE:

• Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir.

• Anakütledeki tek bir eleman dahi işlemin dışında kalır ise elde edilen sonuç parametre olarak kabul edilemez.

ÖRNEK İSTATİSTİĞİ

(PARAMETRE TAHMİNLEYİCİSİ):

• Bir örneğin sayısal betimsel ölçüsüdür ve örnekteki gözlemlerden hesaplanır.

• Diğer bir deyişle bilinmeyen bir parametrenin sayısal değerini bulabilmek (tahminlemek) için kullanılır.

2

PARAMETRE VE ÖRNEK

İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER

Parametre

• Anakütle ortalaması

• Anakütle Medyanı M

• Anakütle Varyansı 2

• Anakütle Standart

Sapması

• Anakütle Oranı P

Örnek istatistiği

• Örnek ortalaması

• Örnek Medyanı m

• Örnek Varyansı s2

• Örnek Standart

Sapması s

• Örnek Oranı p

x

3

Bir Populasyon Parametresi Hakkında

En Geniş Bilgiyi Hangi Örnek İstatistiğinin İçerdiğine

Nasıl Karar Verilecek?

Örneğin anakütle ortalaması için

• Aritmetik ortalama

• Geometrik ortalama

• Harmonik ortalama

• Medyan

vb. örnek istatistiklerinden hangisi tercih edilmelidir.

4

Örnek 1a

Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. E(x)= anakütle parametresini (anakütle ortalamasını) bulunuz.

x 1 2 3 4 5 6

P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

xP(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

6

1

1 2 6 21( ) ( ) ...... 3,5

6 6 6 6x

E x xP x

5

Örnek 1b

• Ancak bu değerinin bir an için bilinmediği

ve bunu tahmin etmek için populasyondan

3 örnek alındığını varsayılsın.

6

• Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; x1=2, x2=2,

x3=6 elde edilsin.

333,33

10

3

622

n

xx ve m=2 hesaplanabilir. m:medyan

1 2 3 4 5 6

m=2

X=3.3

=3.5

SONUÇ: x değeri değerine daha yakındır.

7

• Zar 3 kez daha atılsın ve örnek sonuçları; x1=3, x2=4,

x3=6 elde edilsin.

3,43

13x ve m=4

1 2 3 4 5 6

m

x

SONUÇ: m değeri değerine daha yakındır.

8

Örnek için Yorum

2. Ne örnek aritmetik ortalaması

Ne de örnek medyanı (m),

populasyon ortalamasına daima daha yakındır

denilemez.

Sonuçların genellenebilmesi için örnek istatistiklerinin

dağılışına gerek duyulmaktadır.

x

1. Örnekten hesaplanan örnek istatistikleri (tahminleyiciler)

birer şans değişkenidir.

9

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

10

• Anakütleden n adet ölçümden x1, …, xn

oluşan bir örnekten alınmış olsun.

• Anakütledeki eleman sayısı N olsun.

• Anakütleden alınabilecek her biri n adet

eleman içeren tüm mümkün örnek sayısı:

Nk

n

11

• Bu koşullar (N, n) altında hesaplanabilecek

örnek istatistiği sayısı k adettir.

• Örnek istatistiğinin anakütlesindeki eleman

sayısı k olur.

• Örnek verilerinden hesaplanan bir örnek

istatistiği için elde edilen bu anakütle

örnekleme dağılışı olarak adlandırılır.


12


• Örnekleme dağılımı bu istatistiğin bir

olasılık dağılışıdır.

• Örnekleme dağılımı anakütledeki eleman

sayısı N ve n örnek hacminin bir

fonksiyonudur.

Örnek 2

13

• Büyük bir populasyondan alınmış 3 ölçümün (0, 3, 12)

olasılık dağılışı aşağıdaki gibidir;

n = 3

a) Örnek ortalaması ( )’nın örnekleme dağılışı

b) Örnek medyanı (m)’nın örnekleme dağılışını bulunuz.

• DİKKAT: ANAKÜTLEDEKİ ELEMAN SAYISI N

BİLİNMİYOR. FAKAT ŞANS DEĞİŞKENİNİN OLASILIK

DAĞILIMI P(x) BİLİNİYOR.

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

x

Mümkün Örnekler x m Olasılık p= x / n

(x tek sayı

gelmesi durumu)

0 0 0 0 0 1/27 0/3

0 0 3 1 0 1/27 1/3

0 0 12 4 0 1/27 0/3

0 3 0 1 0 1/27 1/3

0 3 3 2 3 1/27 2/3

0 3 12 5 3 1/27 1/3

0 12 0 4 0 1/27 0/3

0 12 3 5 3 1/27 1/3

0 12 12 8 12 1/27 0/3

3 0 0 1 0 1/27 1/3

3 0 3 2 3 1/27 2/3

3 0 12 5 3 1/27 1/3

3 3 0 2 3 1/27 2/3

3 3 3 3 3 1/27 3/3

3 3 12 6 3 1/27 2/3

3 12 0 5 3 1/27 1/3

3 12 3 6 3 1/27 2/3

3 12 12 9 12 1/27 1/3

12 0 0 4 0 1/27 0/3

12 0 3 5 3 1/27 1/3

12 0 12 8 12 1/27 0/3

12 3 0 5 3 1/27 1/3

12 3 3 6 3 1/27 2/3

12 3 12 9 12 1/27 1/3

12 12 0 8 12 1/27 0/3

12 12 3 9 12 1/27 1/3

12 12 12 12 12 1/27 0/3

Örnek 2 Örnek 3 14

15

Örnek 2

• Aritmetik Ortalama Örnekleme Dağılışı

• Medyan Örnekleme Dağılışı

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

xx

m 0 3 12

P(m) 7/27 13/27 7/27

16

Niçin Örnek? Anakütle parametrelerinin örnek değerleri (örnek istatistikleri)

yardımıyla tahmin edilmesine imkan sağlamak modern

istatistiğin önemli bir görevidir.

Anakütlenin tamamı incelenmez.

Anakütleden bir şans örneği alınır.

Elde edilen örnek değerlerinin anakütle parametresi yerine

kullanılması için iki şart vardır:

a. Örnek şans örneği olmalı. Anakütledeki her birimin örneğe

girme şansı eşit olmalı

b. Örnek yeterince büyük olmalı

17

Tahminleyicilerin Özellikleri

Sapmasız Sapmalı

B A X

)(XP

1. Sapmasızlık

N birimlik aynı anakütleden farklı sayıda örneklem

seçilebileceği için tahmin edicinin değeri de seçilen

örnekleme göre değişmektedir. Bu durumda örneklem

sayısı kadar elde edilen tahmin edici, bir rassal

değişken olup, ortalaması ve varyansı olan bir olasılık

dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değerinin

anakütle parametresine eşit olmasına, diğer bir ifadeyle

bir istatistiğin beklenen değeri ile bilinmeyen anakütle

parametresi arasındaki farkın sıfıra eşit olmasına

“sapmasızlık” denir. E(X) E(X) 0

18


2. Tutarlılık (Kararlılık)

Küçük örnek hacmi

Büyük örnek hacmi

A

B

)X(P

X

Örneklemdeki birim sayısı sonsuza doğru arttırıldığında, tahmin edicinin değerinin anakütle değerine yaklaşması ve n=N olması durumunda aralarındaki farkın sıfıra inmesi özelliğine “tutarlılık” denir.

nlim P 1

,’nın tutarlı tahmincisidir.

19


3. Etkinlik

A

B

X

)X(P

Birden fazla sapmasız ve tutarlı tahminci olması

durumunda, bir tahmincinin varyansının, aynı

anakütle parametresinin başka bir tahmincisinin

varyansından daha küçük olması durumunda elde

edilen tahmincilere “etkin” tahminci adı verilmektedir.

Etkin Tahminci

Örnek hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür.

X

P(X)

A

BKüçük

örnek

hacimli

durum

Büyük

örnek

hacimli

durum

ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK

HACMİNİN BİR FONKSİYONUDUR

20

• Örnek 2 verileri için aritmetik ortalama ve

örnek medyanının tahminleyici özelliklerini

araştırınız.

21

Örnek 3

Örnek 3

22

Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının sapmasız

bir tahminleyicisi midir?

x

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

1

( )N

i ii

E x x P x

1 1 10 3 12

3 3 3

5

Örnek 3

23

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

xx

1

( )N

x i ii

E x x P x

1 3 10 1 12

27 27 27

5

Örnek 3

24

Sonuç:

E x

olduğundan aritmetik ortalama (tahminleyici), anakütle

ortalamasının (parametrenin) sapmasız bir tahminleyicisidir.

Örnek 3

25

Örnek medyanı m, anakütle ortalamasının sapmasız

bir tahminleyicisi midir?

m 0 3 12

P(m) 7/27 13/27 7/27

7 13 7

0 3 1227 27 27

i ii

E m m P m

4.56

E m

Örnek 3

26

Sonuç:

olduğundan örnek medyanı (tahminleyici), anakütle

ortalamasının (parametrenin) sapmalı bir tahminleyicisidir.

E m

Örnek 3

27

• Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının Minimum

Varyanslı bir tahminleyicisi midir?

x

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

x2 0 9 144

x2P(x) 0 9/3 144/3

2 2 153( )

3i iE x x P x

22 2

x V x E x E x

21535

3

26

Örnek 3

28

Aritmetik ortalamanın varyansı 2

x

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

0 1 4 9 16 25 36 64 81 144

P( ) 0 3/27 12/27 9/27 48/27 150/27 108/27 192/27 243/27 144/27

ix

2

ix

ix

2

ixix

2 2 909

27i iE x x P x

22( ) ( )V x E x E x

2909(5)

27

= 8,66

Örnek 3

29

mi 0 3 12

P(mi) 7/27 13/27 7/27

0 9 144

P(mi) 0 117/27 1008/27

Örnek medyanının varyansı 2

m

2

im2

im

2 2 41.66i iE m m P m

22( ) ( )V m E m E m

241.66 (4.56)

=20.86

Örnek 3

30

Sonuç:

Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının Sapmasız ve

Minimum Varyanslı bir tahminleyicisidir.

V x V m

x

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

31

BEKLENEN DEĞER OPERATÖRÜ E(.)

• Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve

anakütle varyansı 2 olsun.

• a ile b birer sabit sayı olmak üzere,

E(a)=a

E(ax)=aE(x)=a

E(ax+b)=aE(x)+b=a+b

32

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

VARYANS OPERATÖRÜ V(.)

• Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve

anakütle varyansı 2 olsun.

• a ile b birer sabit sayı olmak üzere,

V(a)=0

V(ax)=a2V(x)= a22

V(ax+b)= a2V(x)= a22

MERKEZİ LİMİT TEOREMİ

33

• Şans değişkeni x’in dağılımı ne olursa olsun bu

anakütleden alınan n hacimli örneklerden

hesaplanan aritmetik ortalamanın dağılımı

yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir.

x

x• Örnek hacmi büyüdükçe aritmetik ortalamanın

dağılımının normal dağılıma yakınsaması artar.

Şans Değişkenlerinin

Standartlaştırılması

• Standart değişkenler genellikle z ile gösterilir.

• Ortalaması sıfır, E(z)=0

• Varyansı bir, V(Z)=1.

şans değişkeni-anakütle ortalaması

anakütle standart sapmasız

34

35

BAZI ÖNEMLİ TAHMİNLEYİCİLER İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARININ BELİRLENMESİ

• Aritmetik ortalama

• Örnek varyansı s2

• Örnek oranı p

x

BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ

• Dağılışın tipinin belirlenmesi,

(Normal, Üstel, Poisson vb.)

• Dağılımın parametrelerinin belirlenmesi

36

37

ARİTMETİK ORTALAMA İÇİN

ÖRNEKLEME DAĞILIMI

x

Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve anakütle varyansı

2 olsun.

1 1 2

n

ii nx x x x

xn n

?E x

?V x

Cevaplanması gereken sorular

• Dağılımın tipi?

• Parametreleri;

DAĞILIMIN TİPİ

• Merkezi limit teoremine göre aritmetik

ortalamanın dağılımı yaklaşık olarak

normal dağılıma sahiptir.

• Normal dağılımın parametreleri:

– Anakütle ortalaması

– Anakütle varyansı

38

Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama

için Anakütle Ortalaması

39

11

1n

iin

xE x E E x E x

n n

1 n

E xn n

E x

Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama

için Anakütle Varyansı

40

112

1n

iin

xV x V V x V x

n n

2

2 2

2 2

1 nV x

n n

2

V xn

2

2~ ; ; xx x xx N N

n

41

ARİTMETİK ORTALAMA İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

x

Aritmetik Ortalamanın Standartlaştırılması

42

- x

x

xz

- x

x

xz

n

43

Normal populasyondan örnekleme

• Merkezi eğilim

• Yayılım

– yerine koyarak

örnekleme

Populasyon dağılımı

Örnekleme dağılımı

n =16 X = 2.5

n = 4 X = 5

= 10

X

nX

X

50X

50 X

X

Merkezi Limit Teoremi

xn

x

Örnek

hacmi

yeterince

büyükse

(n 30) ... Örnekleme

dağılışı

hemen hemen

normal olur.

44

45

Alıştırma

• Türk Telekom’da çalışan bir operatörsünüz. Uzun

mesafeli telefon görüşmeleri = 8 dk. & = 2 dk. ile

normal dağılmaktadır. Eğer 25’lik örnekler seçerseniz

örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk. arasında

olacaktır?

46

Çözüm

Örnekleme

dağılımı

.3830

.1915 .1915

Standart normal

dağılım

Z X

n

Z X

n

7 8 8

2 25 50

8 2 8

2 25 50

. .

. .

8

X

= .4

7.8 8.2 0

Z = 1

-.50 Z .50 X

47

ÖRNEK ORANI: p

• Anakütle başarı olasılığını “P” ’yi tahminlemek amacıyla

populasyondan alınan örnekten elde edilen bilgiler

doğrultusunda örnek oranı p hesaplanır.

• İlgilenilen başarı olasılığının P’nin bilinmediği durumlarda n

hacimlik örnek alındığında ve x örnekteki başarı sayısı olarak

ele alındığında, örnekten elde edilen başarı olasılığı (örnek

oranı); x

pn

48

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

xp

n

?p E p

2 ?p V p

Şans değişkeni x sabit n hacimli denemede ortaya çıkan

başarı sayısı olsun. x~B(n;P)

Örnek oranı:

Cevaplanması gereken sorular

• Dağılımın tipi?

• Parametreleri;

DAĞILIMIN TİPİ

• Merkezi limit teoremine göre örnek oranının

dağılımı eğer n örnek hacmi yeterince büyük ise

yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir.

• Bunun temel sebebi örnek oranının, n adet

denemede ortaya çıkan ortalama başarı sayısını

temsil etmesidir.

• Normal dağılımın parametreleri:

– Anakütle ortalaması

– Anakütle varyansı

49

Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için

Anakütle Ortalaması

50

1x

E p E E xn n

Not: x şans değişkeni binom dağılımına sahip olduğundan:

E(x)=nP

E(x)=nP

n

nPpE

PpE

Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için

Anakütle Varyansı

51

2

1xV p V V x

n n

Not: x şans değişkeni binom dağılımına sahip olduğundan:

V(x)=nP(1-P)

V(x)=nP(1-P)

2

1

n

PnPpV

n

PPpV

1

52

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

n

PPPNN pp

1;; 2p ~

Örnek Oranının Standartlaştırılması

53

- p

p

pz

nPP

Ppz

1

Örnek Hacminin Örnek Oranı

Üzerindeki Etkisi

54

Anakütle oranı P sabitken örnek hacmi arttığında örnek

oranının standart hatası küçülür.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi örnek hacmi arttığında p’in

kendi ortalaması etrafında yoğunlaştığı görülmektedir.

( )f p

.72 .88 .92.84.80.76.68

n=400

n=100

p

55

Örnek 4

pi 0/3 1/3 2/3 3/3

0/9 1/9 4/9 9/9

P(pi) 8/27 12/27 6/27 1/27

2

ip

( ) i i

i

E p p P p

( ) pE p

8 0 12 1 6 2 1 3( ) 0.33

27 3 27 3 27 3 27 3E p

Büyük bir populasyondan alınan 3 ölçüm ile ilgili örneğe

dönersek x başarı sayısının örnekte tek sayı gelme olayını

göstermek üzere örnek oranının beklenen değerini ve

varyansını bularak dağılımını elde ediniz.

Örnek 4

56

22 2( ) ( )p E p E p

2 2( ) i i

i

E p p P p

2 8 0 12 1 6 4 1 9( ) 0.185

27 9 27 9 27 9 27 9E p

22 2 2( ) ( ) 0.185 (0.33) 0.074p E p E p

I. YÖNTEM

II. YÖNTEM

n

PPpVp

12

074.0

3

33.0133.012

n

PPp

Örnek 5

57

• Gelirler Genel Müdürlüğü’ne göre, bütün vergi

beyannamelerinin % 75’i vergi iadesine yol açmaktadır.

100 beyannamelik bir rassal örneklem alınmıştır.

a) Vergi iadesine yol açan beyannamelerin örneklem

oranının ortalaması kaçtır?

b) Örneklem oranının varyansı kaçtır?

c) Örneklem oranının standart hatası kaçtır?

d) Örneklem oranının 0,8’den büyük olma olasılığı kaçtır?

Örnek 5

58

2 0,75(1 0,75)0,001875

100p

2 0,001875 0,0433p p

Çözüm:

a)

b)

c) Standart Sapma (ya da Standart Hata)

75.0 PpE

n

PPp

12

Örnek 5

59

( 0,8) ?P p d)

pp

PPpPpP

8.08.0

0433.0

75.08.0zP

1251.03749.05.015.1 zP

n = örnek miktarı

s 2 = örnek varyansı

2 = anakütle varyansı

df = serbestlik derecesi = n – 1=v

Ki-Kare Dağılışı

= 2

(n - 1) s 2 2

v

60


61

• Ki-kare dağılımının tek bir parametresi vardır: v

• Bu parametre genel olarak serbestlik derecesi olarak

adlandırılır.

• şeklinde gösterilir.

• Ki-kare dağılımı normal (standart normal) dağılıma sahip

şans değişkenlerinden elde edilir.

2

v


62

2

2

1

ix xs

n

221 in s x x

22

2

12 2

1 i

n

x xn s

Şans değişkenleri xi‘ler normal dağılıma sahip olmak üzere,

örnek varyansı:

Eşitliğin her iki tarafı anakütle varyansına bölünerek


63

2

vE v

2 2vV v

Ki-kare şans değişkeninin beklenen değeri:

Ki-kare şans değişkeninin varyansı:

Ki-kare istatistiğinin dağılışının

özellikleri

1. ki-kare dağılışı simetrik değildir

2. Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (normale yaklaşır).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

df = 10

df = 20

Tüm değerler sıfır veya pozitif

Simetrik değil

x2

0

64

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

65

Anakütle ortalaması μx ve anakütle varyansı olan

bilinmeyen bir populasyondan x1, x2,…, xn ile gösterilen n

adet rassal bir örnek alındığında populasyon varyansı

aşağıdaki gibi bir beklenen değer ifadesine eşittir:

2

x

2 2( )x i xE x

Populasyon ortalaması μx bilinmediğinde yerine

konularak örnek varyansı aşağıdaki gibi tanımlanır.

x

2 2

1

1( )

1

n

x i

i

s x xn


DAĞILIMI

66

• Varyansı olan bir populasyondan alınan

n hacimlik bir örneğin örnek varyansı

olarak ifade edildiğinde;

2

x

2

xs

2

2

12

1 x

n

n s

2 22 1

1

x nxs

n


DAĞILIMI

67

• ’nin örnekleme dağılımının ortalaması ’dir. 2

xs 2

x

2 2 212

1

1 1

x n x

x

E nE s

n n

2 2( )x xE s


DAĞILIMI

68

• ’nin örnekleme dağılımının varyansı,

örnekleme dağılımın Ki-Kare dağılımına

uygun olduğunu sonucundan hareketle;

2

xs

4 22 212 1

21 1

x nx nx

VV s V

n n

4

2

2

2 1

1

x

x

nV s

n

42 2

1

xxV s

n

69

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN


Ortalamalar arası farkın örnek dağılımının ortalaması μ1 – μ2

ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

2 2

1 2

X X

1 2n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

X XZ

n n

70

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN


Örnek: İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık

un paketleri test edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100

paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04 kg; ikinci

fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart

sapması 0.05 kg bulunmuştur. Anakütle standart sapmaları

bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle

ortalamalar arası farkın standart hatası;

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2X X

1 2 1 2

2 2

s s

n n n n

(0.04) (0.05) =

100 120

= 0.006

71

ORANLAR ARASI FARKLARIN


Oranlar arası farkın örnek dağılımının ortalaması P1 - P2 ve

standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P 1 P P 1 P

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

p p P PZ

P 1 P P 1 P

n n

72

ORANLAR ARASI FARKLARIN


Örnek: Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci

fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir.

Tesadüfi olarak birinci fabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150

mamul seçilmiş ve birinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.09,

ikinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarak gözlenmiştir.

Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatası:

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P P

P P

P 1 P P 1 P

n n

0.08 0.92 0.05 0.95

100 150

0.0324

73

İstatistiksel Tahminleme

Nokta Tahmini Aralık Tahmini

Pp

σs

μ

X

.035P0.25

3.4σ2.5

60μ20

2

Populasyon parametresinin

tek bir tahmin değerini verir.

Populasyon parametresinin tahmin

aralığını verir. Nokta tahmini

kullanılarak hesaplanır.

74

• Örneğin yeterince büyük olmaması veya bir örnekten elde

edilen istatistiğin bir başka örnekten sağlanan istatistikle

aynı olmayışı yüzünden anakütle parametresini bir noktada

tahmin etmek yanlış sonuçlar doğurabilir.

• Bu yüzden anakütle parametresi belirli bir hata seviyesi

göz önüne alınarak belirli bir aralıkta aranır. Hata terimini a

ile gösterirsek, 1- a güven seviyesinde aralık tahmini

yapabiliriz.

• Hata terimi normal eğrinin her iki ucunda eşit olarak yer

alır.

75

Bu a/2 lik hata terimine karşılık gelen ± Z değerleri

belirlenerek örnek dağılımının standart hatası ile

çarpıldığında hata payı elde edilir.

Hata payının örnek istatistiğine eklenip çıkarılması ile aralık

tahmini yapılır. Bu şekilde, anakütle parametresinin belirli

aralıkta yer aldığını, 1-a güven seviyesinde söyleyebiliriz.

Güven sınırlarından küçük olanına alt güven sınırı, büyüğüne

ise üst güven sınırı denir.

Hata terimi küçüldükçe güven aralığı genişler. Güven

sınırlarının belirleneceği olasılık seviyesine göre Z değeri

değişir.

76

Güven Aralığı Tahmininin Elemanları

Güven aralığı

Örnek istatistiği

Alt güven sınırı Üst güven sınırı

Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin

olasılığı

Güven Aralığı Tahmini

Bir değer aralığı verir.

Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi verir.

Olasılık terimleriyle ifade edilir.

77

Güven Aralığı Tahminleri

Ortalama

Güven Aralıkları

Oran

bilinmiyor biliniyor

Varyans

n<30 n30

t dağılımı Z dağılımı

78

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Bir örnekten elde edilen istatistiği anakütle ortalaması x‘in

nokta tahminidir.

Gerçek anakütle ortalaması, 1-a güven seviyesinde

X

X X2 X 2P X z X z 1

n na a

a

aralığında yer alır.

79

Güven aralığı

Örneklerin 90%

Örneklerin 95%

Örneklerin 99%

x _

X Z X ZnX

X2.58 1.645 1.645 2.58X X X X

X X X X

1.96 1.96X XX X

80

Aralıklar ve güven seviyesi

Ortalamanın

örnekleme

dağılımı

Çok sayıda aralık

Aralık,

Aralıkların

%(1 - a)‘ı

’yü kapsar.

%a‘sı

kapsamaz.

x

=

1 - a a /2 a /2

X

_

x _

.'

'

uzanirkadaraX

ZX

danX

ZX

81

• Bilinmeyen populasyon parametresinin aralık içine

düşme olasılığıdır.

• %(1 - a güven seviyesi

• a : Parametrenin aralık içinde olmaması olasılığıdır.

• Tipik değerler %99, %95, %90

Güven Seviyesi

82

%95 güven sınırları belirlenirken a hatası 1-0.95=0.05 dir. Bu

hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

a /2 =0.05/2=0.025 dur.

Bu alanları belirleyen biri negatif, diğeri pozitif iki Z değeri

vardır.

Normal eğri alanları tablosunda

0.50-0.025=0.4750 değerini gösteren Z= ±1.96 değerleri

aradığımız Z değerleridir.

83

%99 güven sınırları belirlenirken

a hatası 1-0.99=0.01’dir.

Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

a/2=0.01/2=0.005 bulunur.

Normal eğri alanları tablosunda

0.5-0.005=0.4950 değerini gösteren Z= ±2.58 değerleri aradığımız

Z değerleridir.

84

Aralık genişliğini etkileyen faktörler

• Verilerin yayılımı (

• Örnek hacmi

• Güven seviyesi (1 - a)

x

xn

Aralık

uzanır.

ya'dan'X

ZXX

ZX

85

Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı

1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat

prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle

hangi aralıktadır?

Z =0 z=1.96

a/2=0.05/2=0.025

%95 için z değeri ± 1.96

0.475

z=-1.96

86

X X2 X 2P X z X z 1

n na a

a

X

25 25P 1040 1.96 1040 1.96 0.95

100 100

XP 1035.1 1044.9 0.95

87

Örnek

• n = 25 hacimli bir şans örneğinin ortalamasıX = 50’dir.

Populasyonun standart sapmasının X=10 olduğu

bilindiğine göre X için %95‘lik güven aralığını

oluşturunuz.

92 . 53 08 . 46

25 10 96 . 1 50

25 10 96 . 1 50

x x

α/2 α/2P(X Z μ X Z ) 1 αn n

P( )=0.95

P( )=0.95

88

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde

ve n 30 olduğunda ortalama için güven aralığı

1. Varsayımlar:

Popülasyonun standart sapması bilinmiyor,

Populasyon normal dağılımlı.

2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı

kullanılır.

3. Güven aralığı tahmini:

Örneğin standart sapması

α1)n

SZXμ

n

SZXP( x

α/2x

α/2

89

Örnek

• Bir ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya

sürüyor. Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak seçiliyor

ve bunların standart sapması 140 saat, kulanım süreleri de

ortalama olarak 1280 saat bulunuyor. a=0.05 için

populasyon ortalamasının güven aralığını bulunuz.

100

14096.11280

100

14096.11280

95.0)44.130756.1252(P

α1)n

SZXμ

n

SZXP( x

α/2x

α/2

Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95

olasılıkla 1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.

P( )=0.95

90

Student t Dağılımı

• Küçük örneklerden (n<30) elde edilen

istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uyar.

• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım

normal eğri gibi simetriktir. Normal eğriye göre

daha basık ve yaygın bir şekil alır. Böylece eğrinin

kuyruklarında daha büyük bir alan oluşur.

• Küçük örnekler için z cetveli yerine, çeşitli örnek

büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı

hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.

91

z

t

0

t (sd = 5)

Standart

Normal

t (sd = 13)

Çan şekilli

simetrik,

‘Tombul’

kuyruklar

92

Üst kuyruk alanı

sd .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t 0

Student t Tablosu

n = 3

sd = n - 1 = 2

a = .10

a/2 =.05

olsun:

2.920 t değerleri

.05

93

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde

ve n< 30 olduğunda ortalama için güven aralığı

1. Varsayımlar:

Popülasyonun standart sapması bilinmiyor

Populasyon normal dağılımlıdır.

2. Student’ın t Dağılımı kullanılır.


Örneğin standart sapması

x x

v;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

94

ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde ve

populasyonun normal dağıldığı varsayımı altında güven aralığı

tahmini:

/2 a /2 a a 1 -

11,2

n

stX na 1

1,2

n

stX na

2at 2at

s

x x

v;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

95

ÖRNEK

• Bir fabrikada rasgele üretilen 25 ürünün ortalama ağırlığı

1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle

bu imalat prosesinde üretilen ürünlerin ortalama ağırlığı hangi

aralıkta yer alır?

125

25064.21040

125

25064.21040

53.105047.1029

x x

v;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

96

Bir Oranın Güven Aralığı

1. Varsayımları

– İki kategorik çıktı vardır.

– Populasyon binom dağılımı gösterir.


α/2 p α/2 pP(p Z .S P p Z .S ) 1 α

.p

p qS

n

xp

n

Örnek

hacmi

Özellikli

birim sayısı

Örnek oranı p anakütle oranı P’nin nokta tahminidir.

97

• 400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci üniversite

sınavını kazanmıştır. Üniversite öğrencilerinin sınavı kazanma

oranı için %95’lik güven aralığını bulunuz.

α/2 p α/2 pP(p Z .S P p Z .S ) 1 α

320.08

400p

ÖRNEK

0.08 1 0.08 0.08 1 0.08P 0.08 1.96 P 0.08 1.96 0.95

400 400

P 0.053 P 0.107 0.95

98

İki Ortalamanın Farkı için Güven Aralığı

Örnek ortalamalarından büyük olan ile gösterilirse örnek

ortalamaları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları

arasındaki farkın güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

1X

Populasyon Varyansları Biliniyorsa:

a

aa

1

nnZXX

nnZXXP

2

22

1

21

2/2121

2

22

1

21

2/21

α1n

S

n

SZXXμμ

n

S

n

SZXXP

2

22

1

21

α/2,2121

2

22

1

21

α/2,21

Populasyon Varyansları Bilinmiyor fakat n > 30 olduğunda:

99

Örnek

Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B

sınıfında klasik yöntemlerle eğitim verilmektedir. Kursun

başlangıcından 6 hafta sonra her iki sınıfa da aynı test

uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A sınıfından rassal

olarak seçilen 40 öğrencinin test sonucunda elde ettiği ortalama

başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rassal

olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve

standart sapması 14’tür. Her iki sınıftaki öğrencilerin ortalama

başarı notları arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla

belirleyiniz.

100

1 1 1

2 2 2

X 86 S 12 n 40

X 72 S 14 n 35

2 2 2 2

1 2 1 21 2 α/2 1 2 1 2 α/2

1 2 1 2

S S S SP X X μ μ X X 1 α

n n n nZ Z

99.035

14

40

1258.22768μμ

35

14

40

1258.27268P

22

21

22

99.082.21μμ18.6P 21

Örnek

101

Örnek

İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen ve hacimlerindeki

iki küçük örnekten hareketle anakütle ortalamaları arasındaki

farkın güven sınırları belirlenebilir.

Birinci örneğin serbestlik derecesi n1 -1 ve ikinci örneğin

serbestlik derecesi n2 – 1 dir ve toplam serbestli derecesi

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı

belirlenirken serbestlik derecesine

ve hata payına göre t tablo değerleri bulunur.

1n 2n

221 nnv

2a

221 nnv olur.

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 21 2 α/2,n n 2 1 2 1 2 α/2,n n 2

1 2 1 2

s s s sPr X X t μ μ X X t 1 α

n 1 n 1 n 1 n 1

102

ÖRNEK 13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml

fazla benzin ölçümü yaparken standart sapma 17 ml

olmuştur. Bir başka benzin pompası ise 10 deneme

sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin

ölçümü yapılmış ve standart sapması 19 ml bulunmuştur.

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99 güven sınırlarını

bulunuz.

2121013 v 831.2tabt

110

19

113

17831.2)110125(

22

1 27.68 37.68

Pompaların fazla ölçümleri arasındaki fark %99 güvenle -7.68 ml

ile 37.68 ml arasındadır.

α11n

s

1n

stXXμμ

1n

s

1n

stXXPr

2

2

2

1

2

12nnα/2,2121

2

2

2

1

2

12nnα/2,21 2121

103

İki Oran Farkının Güven Aralığı

1. Varsayımları

İki kategorik çıktı vardır.

Populasyonlar binom dağılımı gösterir.


1 2 1 21 2 α/2 p p 1 2 1 2 α/2 p pPr p p Z S P P p p Z S 1 a

İki oran farkının

standart sapması 1 2

1 1 2 2

1 2

. .p p

p q p qS

n n

Örnek oranlarından büyük olan p1 ile gösterilirse örnek oranları

arasındaki farktan hareketle anakütle oranları arasındaki farkın

güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

104

İki Oran Farkının Güven Aralığına Örnek

İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup

olmadığı kontrol edilmek istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet

hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi sonunda A ve B

ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği

gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının

farkının %95’lik güven aralığını bulunuz.

n1 = 1000, n2 = 1000 1 2

825 7600.825 0.760

1000 1000p p

1 2

1 1 2 2

1 2

. . 0.825.(1 0.825) 0.760.(1 0.760)

1000 1000

0.018

p p

p q p qS

n n

105

95.0018.096.1760.082.0PP018.096.1760.082.0Pr 21

a 1SZPPSZPr2121 α/22121α/221 pppp pppp

95.010.0PP029.0Pr 21

106

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

1. İki ilişkili populasyonun ortalamasını test eder.

– Çift ya da eşleştirilmiş

– Tekrarlı gözlemler (önce/sonra)

2. Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır.

Varsayımları

– İki populasyon da normal dağılımlıdır.

– Eğer normal değilse normale yaklaşmaktadır.

(n1 30 & n2 30 )

Aynı veya benzer denekler üzerinde birbirinden farklı iki işlemin

uygulanması sonucu elde edilen verilere eşleştirilmiş örnekler

denir.

107

İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test

etmek için 12 ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat

vermeleri isteniyor. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir. İki komisyoncunun fiyat

ortalamaları arasındaki farka ilişkin güven aralığını hesaplayınız.

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

Komisyoncular

Evler A B D D2

1 181.0 182.0 -1.0 1.00

2 179.9 180.0 -0.1 0.01

3 163.0 161.5 1.5 2.25

4 218.0 215.0 3.0 9.00

5 213.0 216.5 -3.5 12.25

6 175.0 175.0 0.0 0.00

7 217.9 219.5 -1.6 2.56

8 151.0 150.0 1.0 1.00

9 164.9 165.5 -0.6 0.36

10 192.5 195.0 -2.5 6.25

11 225.0 222.7 2.3 5.29

12 177.5 178.0 -0.5 0.25

Toplam -2.0 40.22

108

D 2D 0.167

n 12

2 2

2

D

D 2D 40.22

n 12s 1.904n 1 12 1

ttab : t11,0.05 = ± 2.201 1 12 1 11 . .v n s d

, 1 , 12 2

D D Dn nD t s D t sa a

)904.1(201.2167.0)904.1(201.2167.0 D

023.4357.4 D

BİR POPULASYON VARYANSI İÇİN GÜVEN

ARALIKLARI

Bir anakütle varyansı için de güven aralığı bulmak gerekir.

Bu tahminler örneklem varyansına dayanır.

Varyansı olan bir normal anakütleden n gözlemli rassal

bir örneklem seçilsin. Örneklem varyansı da s2 ile gösterilsin.

2

22

1 2

( 1) xn

n S

Rassal değişkeni, (n-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımına

uymaktadır. Bu bulgu, normal bir dağılımdan örneklem

alındığında anakütle varyansı için güven aralıklarının

türetilmesinin temelini oluşturur.

Örneklem varyansının gözlenen belli değeri ise, anakütle

varyansının güven aralığı aşağıdaki gibidir:

2xs

2 2

2

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n S n SP

a a

a

an

an

Red BölgesiRed

Bölgesi1-a

Örneğin a=0.05 n=10 olsun

2

0.975;9 2

0.025;9

111

Örnek

Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların

sağlamlığının incelenmesi amacıyla 10 beton örneği alınmış ve

bu örneklerin sağlamlılıkları saptanmıştır. Bu örneklerin

ortalama ve varyansı olarak bulunmuştur. Fabrikanın ürettiği tüm betonların varyansına ilişkin güven

aralığını hesaplayınız.

2312 195x s

1 0.90a

a n

a n

Red BölgesiRed

Bölgesi

2

0.95;9 3.33 2

0.05;9 16.92

a=0.10

112

1 0.90a

2 2

2

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n s n sP

a a

a

2

2 2

0.05;9 0.95;9

9 195 9 1950.90P

29 195 9 1950.90

16.92 3.33P

2103.72 527.02 0.90P

3.33 16.92

103.72 527.02S

2

an

1-a

2312 195x s 0.10a

Örnek

Denenen bir motorun 16 deneme sürüşündeki yakıt

tüketimlerinin standart sapması 2.2 golondur. Motorun yakıt

tüketiminin gerçek değişkenliğini ölçen anakütle varyansının

% 99 güven aralığını hesaplayınız. n=16 s=2.2

an

an

Red BölgesiRed

Bölgesi

a

aa

1)1()1(

2

1,2

1

22

2

1,2

2

nn

snsnP

01.0a

2 20.005,15

, 12

32.80n

a

2 20.995,15

1 , 12

4.60n

a

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1)1

n n

n s n sP

a a

a

99.060.4

)2.2(15

80.32

)2.2(15 22

2

P

99.078.1521.2 2 P

n=16 s=2.2

115

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Normal dağılımlı iki populasyonun varyanslarının oranı F

dağılımına uymaktadır. F dağılışı simetrik olmayan bir

dağılıştır. Bu nedenle güven aralığının hesaplanmasında her

iki F değeri için F tablosuna bakmak gerekmektedir.

1 2

2

1

2

1n 1,n 1 2

2

2

2

s

Fs

a

a

aa

aa

1

1/

/

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

12

2

2

1

1,1;2

2

2

2

2

2

1

2

1

1,1;2

1

2121

2121

nnnn

nnnn

Fs

sF

s

sP

Fs

sFP

116

1 2

2 1

1 ; 1, 12

; 1, 12

1

n n

n n

FF

a

a

a

a

a

a

aa

11

1

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

12

2

2

1

21

12

2121

nn

nn

nnnn

Fs

s

Fs

sP

Fs

sF

s

sP

117

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI

Normal dağılımlı iki populasyonun varyanslarının oranına

ilişkin güven aralığı :

F 0

1 2α/ 2;n 1,n 1,F 1 21-α/2;n 1,n 1,F

a

a

a

11

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

21

12

nn

nn

Fs

s

Fs

sP

118

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Aşağıda verilen bilgiler yardımıyla pazara sunulan iki ayrı

bağımsız hisse senedinin değişkenliklerinin oranına ilişkin

çift yönlü güven aralığını bulunuz.

2

1 123.38s 2

2 8.02s 02.0a

0.99;16,10

0.01;10,16

1 10.271

3.69F

F

1 2

2 1

1 ; 1, 12

; 1, 12

1

n n

n n

FF

a

a

2 11n1 17n

a

a

a

11

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

21

12

nn

nn

Fs

s

Fs

sP

56.410.16,01.01,1;

221

FFnn

a

119

2

1 123.38S 2

2 8.02S 2 11n 1 17n

a

156.4

02.8

38.123

69.3

1

02.8

38.1232

2

2

1P

a

1

110,16;01.02

2

2

1

2

2

2

1

16,10;01.0

2

2

2

1 Fs

s

Fs

sP

98.067.69168.4

98.0)56.4(38.15)271.0(38.15

2

2

2

1

2

2

2

1

P

P

85.2

49.2

10,16,05.0

16,10,05.0

F

F

ÖRNEK Pazara yeni sürülmüş on yedi AAA dereceli sınai tahvilden oluşan rassal

bir örneklemde vadelerin varyansı 123.35’tir. On bir yeni CCC dereceli

sınai tahvilden oluşan bağımsız bir rassal örneklemde vadelerin varyansı

8.02’dir. Bu iki tahvilin değişkenliklerinin %90 güven aralığını bulunuz.

n1=17 s12=123.35 s2

2=8.02 n1-1=16 n2-1=10 sd.

n2=11

a

a

a

11

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

21

12

nn

nn

Fs

s

Fs

sP

38.1502.8

35.1232

2

2

1 s

s

121

90.0)85.2(38.15)49.2

1(38.15

2

2

2

1

P

90.083.4318.62

2

2

1

P

90.0)85.2(38.15)402.0(38.152

2

2

1

P

a

a

a

11

1,1;2

2

2

2

1

2

2

2

1

1,1;2

2

2

2

1

21

12

nn

nn

Fs

s

Fs

sP

85.2

49.2

10,16,05.0

16,10,05.0

F

F

Documents

Örnekleme ve Tahmin · TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: • Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. •