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ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO CINEMATICA DIFFERENZIALE relazioni tra velocit` a dei giunti e velocit` a dell’organo terminale Jacobiano geometrico Jacobiano analitico Singolarit` a cinematiche Analisi della ridondanza Inversione della cinematica differenziale Algoritmi per l’inversione cinematica STATICA relazioni tra forze all’organo terminale e coppie ai giunti Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO · parallelo a rotazioni uguali e opposte di ... Manipolatore con polso sferico calcolare ... dinamica ideale forza elastica

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ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

CINEMATICA DIFFERENZIALE

� relazioni tra velocita dei giunti e velocita dell’organo terminale

Jacobiano geometrico

Jacobiano analitico

Singolarita cinematiche

Analisi della ridondanza

Inversione della cinematica differenziale

Algoritmi per l’inversione cinematica

STATICA

� relazioni tra forze all’organo terminale e coppie ai giunti

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

JACOBIANO GEOMETRICO

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� Obiettivo � �� ��������� ��� � ��� ����� ��! � " � �$# � �%����� ��

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Derivata di una matrice di rotazione

� ��� � � � ��� ������� ��� � � � ��� ��� � ��� �

�� � ��� �����

� Posto � ��� � � �� ��� � � � ��� �� ��� �� � � ��� ������� ��� � � � � � ��� � � � ��� �

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Esempio

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�� ����� � �

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Velocita di un braccio

� Velocita lineare

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Velocita angolare

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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� Giunto prismatico� ����

� � �! ����

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� Giunto rotoidale� ����

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Calcolo dello Jacobiano

� � � � � � � ��������� � � � � � ��

� Velocita angolare� giunto � prismatico�

� � � � � � � �� � � � � �� giunto � rotoidale�

� � � � � � �� � � �

�� �� � � � � � �

��

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Velocita lineare� giunto � prismatico�

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�� �� � � � � � �

��

� giunto � rotoidale

�� � � � � � � �

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Colonna dello Jacobiano geometrico

" � � �� � � # � ���� ���" � � � �� # per un giunto prismatico" � � � � ��� � � � � �

� ��� # per un giunto rotoidale

� � ��� � � � � � � � � ����� � � ���� � � � � � � � � � �

� � ���� � � � � � � ����� � � � �� � � � � � �� � �

�� �� � � � � � � ����� � � ���� � � � � � � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Rappresentazione in terna differente

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� � #� " � � �� � � # �

��� � � " � � �

� � � # �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Manipolatore planare a tre bracci

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Manipolatore antropomorfo

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 16

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 17

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 18

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Manipolatore di Stanford

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 19

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� � " � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � �

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 20

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

JACOBIANO ANALITICO �� ������� � � ������ �� � � � ���� � � ����� ���

� � � �� � ���� ��� ����� ���

� � " � �� # � " � � ������ � ����� # ��� ��� ����� ����� ������� ��� �����

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 21

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Velocita di rotazione in terna corrente di angoli di Eulero ZYZ

� per effetto di

�� : � � � ��� ����� �

=

�� � � � �

� per effetto di

��

: � ��� ��� ����� �=

�� � � ��� � � �� �

� per effetto di

��

: � � � � � � � � �=

�� � ��� � � � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 22

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Composizione di velocita di rotazione elementari

� � � � ��� � � � � � ��� � � �

�� �� � ��� � � ��

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 23

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Significato fisico di �� � ��� ��� � � �� � � � � � � ���� �� � �� � � �� � � �

��� � � ��� � � � � � ��� ��� �� � ��� � � �

��� � ��� ��� ��� �

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Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 24

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Relazione tra Jacobiano analitico eJacobiano geometrico

! � " � �� ��� � � # �� � � � � � � ��� � � ��� � � ���

� Jacobiano geometrico� grandezze di significato fisico

� Jacobiano analitico� grandezze differenziali di variabili nello spazio operativo

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 25

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

SINGOLARITA CINEMATICHE

! � �%����� ��� se

�diminuisce di rango

��singolarita cinematiche

(a) perdita di mobilita

(b) infinite soluzioni al problema cinematico inverso

(c) velocita elevate nello spazio dei giunti (nell’intorno di unasingolarita)

� Classificazione� Singolarita ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile� Singolarita all’interno dello spazio di lavoro raggiungibile

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 26

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Manipolatore planare a due bracci� � " � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � � � � � � � � � � � � #����� � � � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � parallelo a � � � � � � � � � � � �(componenti di velocita dell’organo terminale nonindipendenti)

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 27

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Disaccoppiamento di singolarita

� calcolo delle singolarita della struttura portante

� calcolo delle singolarita del polso

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 28

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� � " � � � � � �� � � � � � #� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� ��� � �� ���

� � � � � � � � � � ���

� �� �� �� �� � ��

paralleli a� �

, � �������� � � � � � � � � ������ � � � � ����� � � � � � ����� � � � � �

����� � � � � � � ����� � � � � ���

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 29

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Singolarita di polso

�� � parallelo a

� �

� � � � � ��

� rotazioni uguali e opposte di� � e

� �non producono alcuna

rotazione dell’organo terminale

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 30

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Singolarita di struttura portante

� Manipolatore antropomorfo

����� � ��� ��� � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � �� � � � � � � � ��� � � � �

� Singolarita di gomito

� � � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 31

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Singolarita di spalla

� � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 32

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

ANALISI DELLA RIDONDANZA

� Cinematica differenziale ! � �%����� ��

� se � � � �����

� ������� � � � ��� � ������� � � � � � � �

� in generale

� ������� � � � � � ������� � � � ���

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Se � � � ������ ���� ���� ��� ���ove � �� ��� � � � �� verifica: � ���� � ���� � � � ��� � � ���� � !

�� �genera moti interni della struttura

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 34

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

INVERSIONE DELLA CINEMATICADIFFERENZIALE

� Equazione cinematica non lineare

� Equazione cinematica differenziale lineare nelle velocita

� Data ! ��� � + condizioni iniziali��

(����� � � ������ �

)� se

� � � ���� � � � ����� !����� � � �

������ � � � � ��� �� regola di integrazione numerica (Eulero)��������� � ��� ������� ��� �������� ��� �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 35

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Manipolatori ridondanti

� Per una data configurazione�

, trovare le soluzioni

��che

soddisfino ! � � ��e che minimizzino

� � ������ ��

������ ��� metodo dei moltiplicatori di Lagrange

� � �� ��� ��� ��

������ �� ��� � � ! � � �� �� � ����� � � � � � �

� ��� � �

� soluzione ottima���� � �� � � � ��� �

� � � � � � !� se

� ��� ���� � � !ove � �%� � � � � � � � � �e la pseudo-inversa destra di

�Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 36

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Utilizzo della ridondanza

��� � ������ ��� ���� � ����� � � �� � ��� �

� come sopra �����

� � � �� ��� ��� ��� �� � � �� �� � � �� � �� � ��� � � � ! � � ����

� soluzione ottima ���� � � ! � � � � � � � � �� �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 37

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Caratterizzazione dei moti interni�� � � � � � ��� ������ � � �

� misura di manipolabilita

� ����� � ����� � �%����� � � ������ distanza dai fine-corsa dei giunti

� ����� � � �� �

����� �

� � � � �� �� ��� � � �� � �

� distanza da un ostacolo

� ����� � � ����� ������ � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 38

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Singolarita cinematiche

� Le soluzioni precedenti valgono solo se�

e di rango pieno

� Se�

non e di rango pieno (singolarita)� se !�� � � � � ��

soluzione

��estraendo tutte le equa-

zioni linearmente indipendenti (traiettoria “fisicamente”eseguibile)

� se ! �� � � � � ��il sistema non e risolvibile

(traiettoria non eseguibile)

� Inversione nell’intorno di singolarita� ����� � � �

piccolo�� ��

elevate

� inversa a minimi quadrati smorzata��� � � � � � � � � � � � � � �ove

��minimizza

��� � � ������ ! � � �� � � � � �� �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 39

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

ALGORITMI PER L’INVERSIONECINEMATICA

� Inversione cinematica����� ��� � � � ����� � ��� � � � ������� � � � ! ��� � ��� �� fenomeni di deriva della soluzione

� Soluzione algoritmica� errore nello spazio operativo

� � ��� � ��� � �

� � ���� �

� � � ��� ����� ��� trovare

���� ���� � � : ��� �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 40

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

(Pseudo-)inversa dello Jacobiano

� Linearizzazione della dinamica di errore���� � � �� ����� � ���� ��� � ���

� ��� � � �

� Per un manipolatore ridondante���� � �� � ���� ��� � ��� � � � � �� � � � ���

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 41

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Trasposta dello Jacobiano

���� ���� � � senza linearizzare la dinamica di errore

� Metodo di Lyapunov

� � � ��� �� �� � �

ove� � � ��� � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � ��� � � � �

��� � � � � � � ����� ��� la scelta

���� � �� ����� � �comporta che�

� � � ��� � � � ���� � � � � � � ����� � �� ����� � �

� se

���� � � �� �

� � con

� � (asintotica stabilita)

� se � � � �� � ���� �� �� �

se� � � � � � �� ����� �

con ��� �

(stallo?)

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 42

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Se

���� �� �

� � ��� � limitato (conviene aumentare la norma di�

)� � ��� � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 43

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Esempio

� �� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � �

� ��� � � � � � � ��� � � � � � ��� � � ���

� nullo di� ��

� �� � � � �

��� � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 44

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Errore di orientamento

� Errore di posizione

� � � � � �������� � � � � � �

� Angoli di Eulero� � � � � � � ������� � � �

� � ������� � � �� ����� " � � ��� � � ��

� � ��� � � � #� agevole per assegnare l’andamento temporale

� � ��� �� richiede comunque il passaggio attraverso � � ��� � �

� Manipolatore con polso sferico� calcolare

� � �� � �� calcolare � � � � � �� � �(angoli di Eulero ZYZ)

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 45

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Asse/angolo � � � � ��� � � � � �� errore di orientamento

� � � � ��� �� �����

�� �

��

�� �

��

�� ��

� � ��� � � � � � �ove

� � � �� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��

� � " �� ��� � # � " � � � ��������� ��

� � � � � � ��� ����� �� #� " � �� � � � # � " � �

� � # � ������ � � � ����� " � � ��� � � �� �� � � � � � ��� � � � #

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 46

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Confronto tra gli algoritmi per l’inversionecinematica

� Manipolatore planare a tre bracci

� � � ������ � �� �

�� � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � �� ��� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

��� � � � � � � ��� � � m

� � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ��

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 47

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� ����� ��� ����� �

���� � �

rad�

� � � � � � � � m� �

rad

� traiettoria desiderata � ��� � � " � � � � � ����� �� �

� � � � � ��� �� � # �� � �

� � ��� � � ��� �� � �� � �

� Simulazione in MATLAB con integrazione numerica di Eulero��������� � ��� ������� �� �������� ��� �e� ��� �

ms

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 48

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

���� � � �� ����� ��

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2x 10

−3

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0x 10

−5

[s]

[rad

]

errore orien

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 49

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

���� � � �� ����� � ���� ��� � � � � � � ����� �� � � ��

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

pos giunti

1

2

3

0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10

[s]

[rad

/s]

vel giunti

12

3

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−5

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−8

[s]

[rad

]errore orien

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 50

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

��

libero (� � �

,� ���

)

���� � �� � � � ��� � � � � � � � � � ����� �� ��

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5x 10

−6

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

[s]

[rad

]

orien

���� � �� ����� � � � � � � � � � ����� �� ��

0 1 2 3 4 50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

[s]

[rad

]

orien

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 51

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���� � �� � � � ��� � � � �� � � � � �� ��� � �� �� � � � � ����� �� ��

� misura di manipolabilita

� � � � � � � � � ��� � �� � � �� �

���� � � � � ��� �����

� � � � � � �

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

pos giunti

1

2

3

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

/s]

pos giunti

1

2

3

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5x 10

−6

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 50.85

0.9

0.95

1

[s]

[rad

]

manip

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 52

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� distanza dai fine-corsa dei giunti

� ������� � ��

����� �

� � � � �� �� ��� � � �� � �

� ��� � � � �

������ � � � � �

��� � ����� � � � � �

����

���� � � � � ��� �����

� � � � � � � �

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2x 10

−4

[s]

[m]

norma errore pos

0 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

0

2

4

6

[s]

[rad

]

pos giunto 1

0 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

0

2

4

6

[s]

[rad

]pos giunto 2

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

pos giunto 3

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 53

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STATICA

� Relazione tra forze e momenti (forze) � all’organo terminalee forze e/o coppie (coppie) � ai giunti con il manipolatore inconfigurazione di equilibrio� lavoro elementare compiuto dalle coppie

����� � � � � �� lavoro elementare compiuto dalle forze

����� � � � � � � � � �� � � ��������� � � � � � � ����� � �� � � �%����� � �� spostamenti elementari

�spostamenti virtuali

� � � � � � � �� � � � � � �%����� � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 54

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Principio dei lavori virtuali� il manipolatore e in equilibrio statico se e solo se

� ��� � � � � � � ��

� � � � ����� �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 55

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Dualita cineto-statica

� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� forze � � � � � � �

interamente assorbite dalla struttura

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 56

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Interpretazione fisica dello schema con la trasposta delloJacobiano� dinamica ideale � � ��� forza elastica

� � che tira l’organo terminale verso lapostura desiderata nello spazio operativo

� ha effetto solo se� � �� � � � � �

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 57

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Trasformazione di velocita e forze

" � �� � # � " � � � � � � � �� � # "� �� � #

� � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � �� � ��� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � �� � ��

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 58

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

" � ��� �� # � " � � � � � � � � � � �� � �� � � � # "� ��� �� #! �� � � �� ! ��

� in virtu della dualita cineto-statica:

��� � � �� � � ��" � �� �� # � " � �� �

� � � �� � � � �� � �� # " � �� �� #

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 59

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ELLISSOIDI DI MANIPOLABILITA

� Ellissoide di manipolabilita in velocita� insieme delle velocita ai giunti a norma costante���� ���� �� manipolatore ridondante�� � � � ����� !

�! � � �%����� � � ����� � � ! � �� Assi

� autovettori � � di� � � ��

direzioni� valori singolari � � � � � � � � � � � ��

dimensioni

� Volume� proporzionale a

� ����� � ����� � �%����� � � �����

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 60

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

Manipolatore planare a due bracci

� Misura di manipolabilita

� � � ����� � � ��� � � � � � � � � �

� � ���per

� � � �����

� � ���per �

� � � � (a parita di estensione � � � � � )

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 61

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� Ellissi di manipolabilita in velocita

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

[m]

[m]

� Valori singolari

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

min

max

[m]

[m]

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 62

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� Ellissoide di manipolabilita in forza� insieme delle coppie ai giunti a norma costante

� � � � ��

� � � �%����� � � ����� � � �� Dualita cineto-statica

� una direzione lungo la quale si ha elevata manipolabilitain velocita e una direzione lungo la quale si ha scarsamanipolabilita in forza, e viceversa

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 63

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Manipolatore planare a due bracci

� Ellissi di manipolabilita in velocita

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

[m]

[m]

� Ellissi di manipolabilita in forza

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

[m]

[m]

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 64

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Manipolatore�

trasformatore meccanico di velocita e forzedallo spazio dei giunti allo spazio operativo� rapporto di trasformazione lungo una direzione per

l’ellissoide in forza

� ����� � �� � �%����� � � ����� � � �

��� �

� rapporto di trasformazione lungo una direzione perl’ellissoide in velocita

� ����� � �� � � �%����� � � ����� � � � � �

��� �

� utilizzazione di gradi di mobilita ridondanti

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 65

ROBOTICA INDUSTRIALE Prof. Bruno SICILIANO

� Compatibilita della struttura ad eseguire un compito assegnatolungo una direzione� compito di scrittura su superficie orizzontale

forza

vel

piano di scrittura

� compito di lancio di un peso in direzione orizzontale

forza

vel

direzione di lancio

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 66