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2
Le formule che ti servono
Cariche elettriche e campi elettrici1
L’origine dell’elettricità
Esistono due tipi di carica elettrica: positiva e negativa.Nel SI l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb (C).La carica elettrica di un elettrone o di un protone vale:
e = 1,6021 ⋅ 10–19 C
Oggetti carichi e forza elettrica
Conduttori e isolanti
Legge di conservazione della carica elettrica
La carica elettrica totale di un sistema isolato rimane co-stante durante un processo
Cariche uguali si respingono. Cariche opposte si attraggono
Conduttore elettrico
È un materiale che conduce facilmente le cariche elettriche.
Isolante elettrico
È un materiale che non conduce le cariche elettriche o lo fa con grande difficoltà.
Elettrizzazione per contatto e per induzione.
Polarizzazione
Carica per contatto
La carica elettrica viene fornita a un oggetto ponendolo a contatto con un oggetto già carico.
Carica per induzione
La carica elettrica viene fornita a un oggetto ponendolo nelle vicinanze di un oggetto già carico.
Polarizzazione di un isolante
Modifica temporanea della distribuzione della carica elettrica.
Il campo elettrico
EqF
0=
Si misura in newton per coulomb (N/C)
Campo elettrico creato da una carica puntiforme q
E kr
q2=
Campo elettrico fra le armature di un condensatore piano
E0
v
f=
Il teorema di Gauss
Flusso elettrico attraverso una superficie piana
cosE E A E AS $ zU = =^ h
Flusso elettrico attraverso una superficie (caso generale)
....E E A E A E A E AS
k
k k1 21 2 3 3$ $ $ $U = + + =+^ h /
Teorema di Gauss
EQ
S0f
U =^ h
Legge di Coulomb
F kr
q q2
1 2
=
La forza agisce lungo la linea che congiunge le due cariche.
forza elettrica che due cariche elettriche puntiformi q1 e q2 esercitano una sull’altra.
campo elettrico
superficie chiusa (superficie gaussiana)
carica di prova
carica totale contenuta all’interno di S
distanza dalla carica
angolo che il campo E forma col vettore A
area della superficie S
carica per unità di superficie sulle armature
8,99 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2 = 41
0rf
8,85 ⋅ 10–12 C2/(N ⋅ m2) = costante dielettrica del vuoto
3
Le formule che ti servono
Il potenziale elettrico2
La circuitazione del campo elettrico
Circuitazione di un campo vettoriale
Z Z sk k
k
$DC =c^ h /
Circuitazione del campo elettrico
E 0C =c^ h
Condensatori e dielettrici
Condensatore
È un dispositivo, formato da due armature conduttrici vicine, che immagazzinano carica ed energia.
q = C ∆V
Costante dielettrica relativa 𝛆r di un materiale
E
Er
0f =
Forza di Coulomb fra due cariche puntiformi all’interno di
un dielettrico
r
q qF
4
1
r 02
1 2
rf f=
Capacità di un condensatore a facce piane e parallele
AC
d
r 0f f=
Energia accumulata in un condensatore
C V21
energia 2D=
Densità di energia
(energia immagazzinata nell’unità di volume)
densità di energia E2
1r 0
2f f=
Energia potenziale in un campo elettrico
Lavoro ed energia potenziale elettrica
LAB = UA − UB
Energia potenziale elettrica U fra due cariche puntiformi
q1 e q2
rq q
U kr
q q
4
1 1 21 2
0rf= =
Il potenziale elettrico
Potenziale elettrico V in un punto
VqU
0=
Differenza di potenziale elettrico fra due punti
V VqU
qU
qL
B AB ABA
0 0 0- = - = -
Elettronvolt. Unità di misura per l’energia: 1 eV = 1,60 ∙ 10−19 J
La differenza di potenziale elettrico
di una carica puntiforme
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
V krq
=
Potenziale elettrico totale: in un dato punto il potenziale dovuto a due o più cariche è la somma dei potenziali delle singole cariche.
Le superfici equipotenziali
e la loro relazione con il campo elettrico
Campo elettrico fra due superfici equipotenziali vicine
s
VE
DD
= -
lavoro elettrico
curva chiusa orientata
curva chiusa orientata
carica su ciascuna armatura
intensità del campo elettrico con dielettrico
costante dielettrica relativa del materiale
intensità del campo elettrico senza dielettrico
distanza fra le cariche q1 e q2
area di ciascuna armatura
distanza fra le armature
capacità del condensatore (misurata in farad)
carica di prova posta nel punto in cui si valuta V
distanza del punto considerato dalla carica q
differenza di potenziale fra le superfici
distanza fra le superfici
distanza fra le cariche q1 e q2
8,99 ⋅ 109 N⋅m2/C2
energia potenziale elettrico in B
campo vettoriale
campo elettrico generato da cariche in quiete
differenza di potenziale fra le armature
4
Le formule che ti servono
La corrente elettrica e i circuiti elettrici3
Forza elettromotrice e corrente elettrica
Corrente elettrica
t
qiDD
=
L’unità di misura della corrente è l’ampère (A).
Le leggi di Ohm
Prima legge di Ohm
iR
VD= oppure ∆V = Ri
Seconda legge di Ohm
RA
Lt=
Resistività e resistenza al variare della temperatura
ρ = ρ0 [1 + α (T − T0)] R = R0 [1 + α (T − T0)]
ρ e ρ0 = resistività alle temperature T e T0
R e R0 = resistenze alle temperature T e T0
α = coefficiente di temperatura della resistività
Resistori in serie
RS = R1 + R2 + R3 + ...
Resistori in parallelo
R R R R
1 1 1 1
P 1 2 3
f= + + +
12 La corrente elettrica nei liquidi
Prima legge di Faraday
La massa di una sostanza liberata a un elettrodo è diret-tamente proporzionale alla carica che ha attraversato la soluzione.
Seconda legge di Faraday
Una stessa quantità di carica libera agli elettrodi masse di sostanze direttamente proporzionali ai loro equivalenti chimici.
quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore
resistività del materiale
differenza di potenziale agli estremi del conduttore
intervallo di tempo considerato
resistenza di un filo conduttore di lunghezza L e sezione A
resistenza equivalente delle resistenze R1 , R2 , R3 , ... in serie
resistenza equivalente delle resistenze R1 , R2 , R3 ,... in parallelo
resistenza elettrica del conduttore misurata in ohm (Ω)
corrente che attraversa un conduttore a temperatura costante
La potenza elettrica
Potenza elettrica associata a un circuito
P = i ∆V
Potenza dissipata da un resistore
P RiR
V22D
= =
corrente che scorre tra due punti di un circuito
differenza di potenziale fra due punti
Le leggi di Kirchhoff
Legge dei nodi
La somma delle intensità di corrente entranti in un nodo è uguale alla somma delle intensità di corrente uscenti dal nodo.
Legge delle maglie
In una maglia la somma algebrica delle differenze di potenziale è uguale a zero.
Condensatori in parallelo e in serie
Condensatori in parallelo
CP = C1 + C2 + C3 + ...
Condensatori in serie
C C C C1 1 1 1
S 1 2 3f= + + +
capacità equivalente dei condensatori C1 , C2 , C3 , ... in parallelo
capacità equivalente dei condensatori C1 , C2 , C3 , ... in serie
I circuiti RC
Carica e scarica di un condensatore in un circuito in corrente continua con resistenza R e capacità C
Costante tempo del circuito
τ = RC
Carica di un condensatore
q q e1 RCt
0= --^ h
Scarica di un condensatore
q q e RCt
0=-
carica massima carica all’istante iniziale
5
Le formule che ti servono
Campo magnetico4
Il moto circolare di una carica
in un campo magnetico
Una carica q di massa m, in moto con velocità vperpendicolare a un campo B uniforme, percorre una traiettoria circolare di raggio
rqBmv
=
La forza di Lorentz
Forza di Lorentz: su una carica elettrica q positiva, in moto con velocità v in un campo magnetico B , agisce la forza
F qv B#=
Direzione e verso di F possono essere stabiliti dalla prima
regola della mano destra. Ne consegue che
Bqv
Fseni=
Il momento torcente su una spira
percorsa da corrente
Su una spira di area A immersa in un campo B agisce un momento torcente τ tale che
τ = iAB sen ϕ
Momento magnetico
Il momento magnetico di una spira di area A percorsa dalla corrente i è
Aimn =
Unità di misura
1 ampere = intensità di corrente elettrica che, scorrendo in due fili paralleli rettilinei molto lunghi e distanti 1 m, provoca una forza di 2 ⋅ 10−7 N su un tratto di 1 m di filo.
1 coulomb = quantità di carica elettrica che attraversa in 1 s la sezione di un filo percorso da una corrente di 1 A.
La forza magnetica su un filo
percorso da corrente
La forza magnetica agente su un filo rettilineo lungo L, percor-so da una corrente i e immerso in un campo magnetico B, ha intensità
F = iLB sen θ
Direzione e verso di F si determinano con la regola della mano destra.
angolo fra la direzione di i eB .
angolo formato da B e dalla normale al piano della spira
angolo formato da ve da B
Campi magnetici prodotti da correnti
Legge di Biot-Savart: per un filo molto esteso e percorso da una corrente I, il campo magnetico B a una distanza r dal filo vale
Br
i
2
0
r
n=
permeabilità magnetica del vuoto = 4π ∙ 10−7 T ∙ m/A
Spire e solenoidi
Intensità di un campo magnetico al centro di una spira circo-
lare piana
B NR
i
2
0n=
All’interno di un solenoide
BL
Ni0n=
avvolgimenti della spira
numero di spire
raggio della spira
lunghezza del solenide
Il teorema di Gauss per il campo
magnetico
Flusso del campo magnetico
AB BS k k
k
$U =^ h /
Teorema di Gauss
B 0SU =^ h
flusso di B superficie S di area A
Il teorema di Ampère
Circuitazione del campo magnetico
B B Ak k
k
$C D=c^ h /
Teorema di Ampère
Lungo una curva chiusa γ risulta
B i jj
0nC =c^ h /
circuitazione diB
curva chiusa
curva chiusa orientata
corrente concatenata con γ
6
Le formule che ti servono
Induzione elettromagnetica5
L’alternatore e la corrente alternata
F.e.m. di un alternatore (spira di area A che ruota con velo-cità angolare ω in un campo magnetico uniforme B ):
fem = f0 sen ωt = ωAB sen ωt
Corrente in un circuito di soli resistori:
i(t) = i0 sen ωt R
f0= sen ωt
Valori efficaci per correnti e forza elettromotrice alternata (con I0 e f0 valori di picco):
I effI
2
0= f eff
f
2
0=
Potenza media in un circuito in corrente alternata:
P = i eff f eff
Circuiti RLC in corrente alternata
Impedenza: quando un resistore, un condensatore e un induttore sono connessi in serie si ha
feff = ZIeff
Z R X XC L2 2
= + -^ h
L’angolo di sfasamento ϕ tra corrente e tensione è tale che
L
X Xtg
L Cz =-
La potenza media dissipata sul resistore vale
P = I eff f eff cosϕ
Legge di Lenz
La corrente indotta ha un verso tale da generare un campo magnetico indotto che si oppone alla variazione di flusso magnetico che l’ha provocata.
La legge dell’induzione elettromagnetica
di Faraday-Neumann
femt
B
D
DU= -
^ h
f.e.m. media indotta nel circuito considerato
variazione di flusso magnetico attraverso una superficie delimitata dal circuito
intervallo di tempo in cui avviene la variazione ∆Φ
valori di picco
impedenza
C1~
~L
Mutua induzione e autoinduzione
Per effetto della mutua induzione, la f.e.m. media fem
indotta nella bobina secondaria da una variazione di corrente ∆Ip nella bobina primaria nel tempo ∆t vale:
fem Mt
ip
DD
= -
Per effetto dell’autoinduzione, la variazione di corrente ∆i in una bobina induce nella stessa bobina una f.e.m. media
fem Lt
i
DD
= -
Per un solenoide lungo l, con N avvolgimenti di area A, valgono le relazioni
LI
NA0
2
n= Li21
energia 2=
In ogni punto dello spazio in cui esiste un campo magnetico B la densità di energia (energia immagazzinata per unità di volume) è espressa dalla relazione
densità di energia B2
1
0
2
n=
mutua induttanza fra le bobine
induttanza della bobina
Trasformatore
In un trasformatore con Np avvolgimenti nella bobina primaria e Ns avvolgimenti nella bobina secondaria, le tensioni Vs e Vp
ai capi delle bobine sono tali che
V
V
N
N
p
s
p
s= rapporto di
trasformazione
7
Le formule che ti servono
Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche6
Lo spettro elettromagnetico
c = f λ
L’insieme delle onde elettromagnetiche formano lo spettro elettromagnetico. La luce visibile è compresa tra 380 nm (violetto) e 750 nm (rosso).
Energia e quantità di moto di un’onda
elettromagnetica
Densità di energia totale nel vuoto
u E B2
1
2
10
2
0
2f
n= + E = cB
Irradiamento S di un’onda elettromagnetica nel vuoto
S = cu
Densità della quantità di moto trasportata da un’onda
elettromagnetica
P E B Pc
u0 #f= =^ h
Pressione di radiazione dovuta a radiazione incidente
perpendicolarmente
p = u
(superficie assorbente)
p = 2u
(superficie riflettente)
Pressione di radiazione dovuta a radiazione diffusa
up3
1=
(superficie assorbente)
p u3
2=
(superficie riflettente)
Le equazioni di Maxwell
Teorema di Gauss
QES
T
0fU =^ h
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
Et
BC
D
DU= -c
^^
hh
Teorema di Gauss per il campo magnetico
B 0SU =^ h
Teorema di Ampère generalizzato
Bt
Ei0 0n fC
DDU
= +c^ ^bh h l
Le onde elettromagnetiche
Un’onda elettromagnetica consiste di campi elettrici e campi magnetici oscillanti perpendicolari fra loro. L’onda è trasversale perché i campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell’onda. Le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto alla velocità della luce
c1
0 0f n=
costante dielettrica del vuoto
frequenza
permeabilità magnetica del vuoto
L’effetto Doppler
f fc
vv c1 se0 s
rel
rel! %= b l
Segno +: sorgente e osservatore in avvicinamento.
frequenza osservata
velocità relativa fra osservatore e sorgente
frequenza emessa dalla sorgente
La polarizzazione delle onde
elettromagnetiche
Legge di Malus
cosS S02i=
irradiamento medio della luce che esce dall’analizzatore
angolo fra gli assi di trasmissione
irradiamento medio della luce polarizzata incidente sull’analizzatore
lunghezza d’onda
8
Le formule che ti servono
Relatività7
I postulati della relatività ristretta
1. Principio di relatività. Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2. Principio di invarianza della velocità della luce. La velocità della luce nel vuoto, misurata in qualsiasi sistema inerziale, ha sempre lo stesso valore c, indipendentemente dalla velocità relativa fra la sorgente di luce e l’osservatore.
La relatività della simultaneità
Stabilire la simultaneità o meno di due eventi in punti diversi dipende dallo stato di moto dell’osservatore.
La relatività del tempo:
dilatazione temporale
t
c
v
t tt
11
2
2
0
2
0
0
bcD
D DD=
-
=
-
=
La relatività delle distanze:
contrazione delle lunghezze
L Lc
v L10 2
20
c= - =
La contrazione si verifica solo lungo la direzione del moto relativo.
velocità relativa tra l’osservatore che misura ∆t0 e l’osservatore che misura ∆t
coefficiente di dilatazione
lunghezza contratta
lunghezza propria
velocità relativa
La quantità di moto relativistica
p
c
v
mv
12
2=
-
massa del corpo
velocità della particella
quantità di moto relativistica
La composizione relativistica delle velocità
Per corpi in moto lungo la stessa direzione
c
v v
v vv
12
1 2
1 2=
+
+ velocità dell’oggetto rispetto al sistema di riferimento S′
velocità del sistema S′ rispetto al sistema S
velocità di un oggetto rispetto al sistema di riferimento S
Le trasformazioni di Lorentz
Sono le trasformazioni sotto le quali le equazioni dell’elettro-magnetismo rimangono invariati nel passare da un sistema di riferimento a un altro in moto relativo
xx vt
x vt1
2bc=
-
-
= -l ^ h
y = y ′
z = z ′
cxt
tc
vx
t1
2
2
bc
b=
-
= -
-
l b l
L’equivalenza tra massa ed energia
Energia e massa sono
c
vE
mc
12
2
2
=
-
Energia a riposo E0: equivale all’energia totale di un corpo fermo
E0 = mc2
Energia cinetica: l’energia totale di un corpo è la somma della sua energia a riposo e della sua energia cinetica K.
mc
c
vK E E
1
112
2
20 =
-
-= -
J
L
KKKK
N
P
OOOO
Energia totale e quantità di moto
E2 = p2c2 + m2c4
massa del corpo
velocità del corpo
energia totale del corpo
quantità di moto relativistica
9
Le formule che ti servono
Oltre la fisica classica8
I fotoni e l’effetto fotoelettrico
Energia di un fotone: la radiazione elettromagnetica è forma-ta da fotoni, che sono pacchetti di energia
E = hf
Caratteristiche dell’effetto fotoelettrico
∙ Un metallo emette fotoelettroni solo se la frequenza della luce incidente è superiore a un valore soglia f0 che dipende dal metallo.
∙ L’energia cinetica massima dei fotoelettroni espulsi non varia quando l’intensità della luce aumenta ma rimane costante la sua frequenza.
Conservazione dell’energia ed effetto fotoelettrico:
gli elettroni emessi dal metallo possono avere un’energia cine-tica massima Kmax lagata all’energia hf del fotone incidente e al lavoro di estrazione W0 del metallo:
hf = Kmax + W0
energia di un fotone
costante di Planck
frequenza del fotone
La radiazione di corpo nero
e l’ ipotesi di Planck
Legge di Stefan-Boltzmann: un corpo nero a temperatura as-soluta T irradia in 1 s da 1 m2 di superficie una energia totale
E = σT 4
Energie degli oscillatori atomici
Planck ipotizzò che un corpo nero sia costituito da oscillatori atomici che possono avere solo energie quantizzate espresse da
E = nhf con n = 1, 2, 3, ...
costante di Stefan-Boltzmann =
= 5,67 ⋅ 10−8 J/(s ⋅ m2 ⋅ K4)
frequenza di vibrazione dell’oscillatore
costante di Planck = = 6,626 068 76 ∙ 10−34 J ∙ s
La quantità di moto di un fotone
e l’effetto Compton
Quantità di moto di un fotone
ph
m=
Variazione della lunghezza d’onda nell’effetto Compton
cosh
mc1 im m = --l ^ h
lunghezza d’onda del fotone
differenza fra la lunghezza d’onda λ′ del fotone diffuso e la lunghezza d’onda λ del fotone incidente
massa dell’elettrone
lunghezza d’onda Compton del fotone diffuso
angolo di diffusione
costante di Planck
Il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno
Il modello atomico di Bohr vale per atomi o ioni con un solo elettrone orbitante attorno a un nucleo contenente Z protoni. L’elettrone percorre orbite circolari dette orbite stazionarie.
Emissione di fotoni
hf = Ei − Ef
Momento angolare orbitale dell’elettrone: il suo modulo può avere solo i seguenti valori discreti
, , ,L nnh
21 2 3conn fr= =
Raggio ed energia totale dell’orbita: il raggio rn dell’orbita n-esima e l’energia totale associata En hanno i seguenti valori discreti
, , , ,rn h
nm e
n5 29 10 1 2 3m conn
e
20
211
22
$ ff
r= = =
-^ h
, , , ,Eh
m e
n nn
8
15 29 10
11 2 3m conn
e
02 2
4
211
2$ ff
= = =-^ h
energia meno elevata
energia più elevata
costante di Planck
frequenza del fotone emesso
10
Le formule che ti servono
La meccanica quantistica9
L’atomo di idrogeno secondo
la meccanica quantistica
Numeri quantici: la meccanica quantistica descrive l’atomo di idrogeno in termini di quattro numeri quantici:∙ numero quantico principale n (n = 1, 2, 3, ...)∙ numero quantico azimutale l (l = 0, 1, 2, ..., n – 1)∙ numero quantico magnetico ml (ml = –l, ..., –2, –1, 0,
+1, +2, ..., +l)∙ numero quantico di spin ms (ms = + 1/2, – 1/2)
Il principio di esclusione di Pauli
e la tavola periodica degli elementi
Principio di esclusione di Pauli: in un atomo due elettroninon possono avere lo stesso insieme di valori dei quattro numeri quantici. Questo principio determina il modo in cui gli elettroni di un atomo a più elettroni si distribuiscono in gusci (determinati da n) e in sottogusci (determinati da l).
I raggi X
Spettro dei raggi X: contiene righe (o picchi) pronunciati, sovrapposti a un intervallo continuo di lunghezze d’onda; la riga Kα corrisponde al salto di un elettrone dal livello n = 2 al livello n = 1; la riga Kβ al salto di un elettrone da n = 3 a n = 1.
Lunghezza d’onda di taglio
(V = differenza di potenziale ai capi del tubo a raggi X):
eV
hc0m =
Il principio di indeterminazione
di Heisenberg
Fissa dei limiti alla possibilità di conoscere il comportamento di una particella
ph
x4x $r
D D^ ^h h
Può essere espresso dalla relazione (energia e tempo):
hE t
4$r
D D^ ^h h
indeterminazione nella componente x della posizione di una particella
indeterminazione nell’intervallo di tempo
indeterminazione nella componente x della quantità di moto della particella
indeterminazione nell’energia della particella
La lunghezza d’onda di de Broglie
e la natura ondulatoria dei corpi materiali
hp
m =costante di Planck
modulo della quantità di moto relativistica della particella
11
Le formule che ti servono
Fisica nucleare10
La struttura del nucleo
Il raggio approssimato (in metri) di un nucleo è
r ≈ (1,2 ∙ 10−15 m) A1/3
La radioattività
Decadimento 𝛂: i raggi α sono formati da particelle cariche positivamente, corrispondenti a un nucleo di elio. La forma del decadimento è
P F HeZ
A
Z
A
24
24
" +-
-
Decadimento 𝛃–: i raggi β sono costituiti da elettroni. La forma del decadimento è
eP FZA
Z
A
1 10
" + -+
Decadimento 𝛃+: avviene per emissione di un positrone, particella che ha la stessa massa dell’elettrone e carica +e (anziché −e)
eP FZA
Z
A
1 10
" +-
Decadimento 𝛄: i raggi γ sono fotoni ad alta energia emessi da un nucleo radioattivo. La forma del decadimento è
*P PZ
A
Z
A" c+
Il difetto di massa del nucleo
e l’energia di legame
energia di legame = ∆mc2
difetto di massa del nucleo = (differenza tra la somma delle masse dei singoli nucleoni e la massa del nucleo completo)
velocità della luce
Decadimento radioattivo e attività
Tempo di dimezzamento T1/2 di un isotopo radioattivo:
è il tempo necessario affinché la metà dei nuclei inizialmente presenti decadano.
Attività
t
NNm
D
D= -
,
T
0 693
/1 2m =
Integrando l’espressione precedente si ha (N0 = numero di nuclei inizialmente presenti)
N = N0 e−λt
variazione del numero N di nuclei radioattivi
tempo di dimezzamento
tempo in cui avviene tale variazione
Datazioni radiometriche
A = A0 e−λt
attività attualeattività iniziale
costante di decadimento
età dell’oggetto
Gli effetti biologici delle radiazioni
ionizzanti
Le radiazioni ionizzanti sono costituite da fotoni o particelle in movimento in grado di ionizzare un atomo o una molecola.
Esposizione (in C/kg): fornisce una misura della ionizzazione prodotta in aria da raggi X o γ. Quando un fascio di raggi X o γ passa attraverso una massa m di aria secca e produce ioni positivi aventi carica totale q, si ha
m
qesposizione =
Esposizione (in roentgen):
, m
q
2 58 10
1esposizione 4
$=
-
Dose assorbita: è il rapporto tra l’energia assorbita e la massa di materiale assorbente. Si misura in gray (Gy) o in rad (1 rad = 0,01 Gy).
Fattore di qualità Q di una radiazione: è definito come la dose assorbita di raggi X a 200 keV in grado di produrre un certo danno biologico divisa per la dose della radiazione in grado di produrre lo stesso effetto.
Equivalente di dose: è il prodotto tra la dose assorbita e il fattore di qualità Q. Si misura in sievert (Sv) o in rem (1 Sv = 100 rem).
Famiglie radioattive
Il decadimento in sequenza di un tipo di nucleo dopo l’altro dà luogo a famiglie radioattive. Una serie di decadimento ini-zia con un nucleo radioattivo e termina con un nucleo stabile.
numero di massa
12
1Cariche elettriche e campi elettrici
QUESITI
1 Quesito
Considera i quattro schemi seguenti.
Spiega perché tre di essi non possono rappresentare l’andamento delle linee di forza del campo elettrico nelle immediate vicinanze del punto P.
2 Quesito
Una carica q =+18 μC posta in P risente di una forza elettrica di 5,2 ⋅ 10–3 N.
a. Calcola l’intensità del campo elettrico in P.
b. Considera una superficie sferica S che racchiude solo la carica q. È possibile calcolare il flusso del campo elettrico attraverso S? Spiega ed eventualmente calcolane il valore.
[290 N/C; 2,0 ⋅ 106 N ⋅ m2/C]
3 Quesito svolto
In una certa regione dello spazio si trova un cilindro carico di lunghezza infinita, di raggio pari a r =1,00 cm e di densità di volume t =1,00 ⋅ 10–7 C/m3. All’esterno del cilindro, si muove un elettrone su un’orbita circolare, con asse coincidente a quello del cilindro, di raggio R =50,0 cm.
a. Dopo aver determinato il campo elettrico E agente su tale particella, trova la sua velocità v.
b. Tale velocità dipende dal raggio dell’orbita dell’elettrone?
[1,13 N/C; 3,15 ⋅ 105 m/s; no]
P
P
P
PE
E
E
E
E
A B C D
e Ð
R
r
ρ
13
Mettiti alla prova Ð Quesiti, problemi, problemi esperti
Soluzione
Per determinare il campo elettrico è sufficiente considerare un cilindro di altezza L co-assiale al cilindro carico di raggio R e applicare il teorema di Gauss unito alle usuali considerazioni di simmetria, e al fatto che il flusso di campo elettrico attraverso le due basi del cilindro è nullo. Si ottiene:
ESV
0ft
=
dove S = 2rRL, V = rr2. Dunque, si ha:
,E Rr
2 1 13 N/C0
2
t f= =
Inoltre, per le stesse ragioni di simmetria, il campo agente sull’elettrone è radiale verso l’esterno.Per determinare la velocità dell’elettrone, è sufficiente osservare che la forza elettrosta-tica agente su di esso determina la forza centripeta; dunque, si ha:
eE Rmv2
=
da cui si ha:
,r me
v meER
2 3 15 10 m/s0
5$f
t= ==
Dall’espressione della velocità risulta che essa non dipende dalla distanza a cui si trova l’elettrone rispetto all’asse del cilindro.
PROBLEMI
4 Problema
Un dipolo elettricoUn dipolo elettrico è un sistema formato da due cariche puntiformi uguali e opposte Q e −Q, separate da una distanza d. Considera come asse x la retta che passa per le due cariche e come verso positivo sulla retta quello che va dalla carica negativa a quella positiva. Le cariche sono poste nel vuoto.Indica con A il punto occupato dalla carica negativa e con B quello in cui si trova la carica positiva. Considera poi una terza carica puntiforme positiva q, che può essere posta in qualunque punto P dello spazio, diverso da A e da B.
a. Mostra che, quando P si trova sull’asse x all’esterno del segmento AB, la forza su q ha la stessa direzione e lo stesso verso dell’asse x. Mostra anche che, per i punti P compresi tra A e B, la forza sulla carica positiva q è rivolta verso A.
b. Calcola il modulo della forza su q quando questa è posta nel punto medio tra A e B.
c. Trova il modulo della forza su q quanto essa si trova in un punto C dell’asse x, che dista d da A e 2d da B.
d. Determina il modulo, la direzione e il verso della forza su q quando essa si trova in un punto D che forma, con le posizioni delle cariche del dipolo, un triangolo equilatero ABD.
[8 k0d
qQ2 ; 3 k0
d
4 2 ; k0d
qQ2 ]
14
1 ◾ Cariche elettriche e campi elettrici
5 Problema
Piano infinito di caricaNello spazio vuoto sono dati un piano infinito e omogeneo di carica positiva con densità di carica σ e una distribuzione sferica omogenea di carica negativa di raggio R, carica complessiva Q e centro C. La distanza tra C e il piano di carica è uguale a 2R.Indichiamo con a una semiretta che passa per C, che è perpendicolare al piano di carica e ha l’origine sul piano stesso.
a. Determina qual è la parte di a, interna alla sfera di carica, in cui è possibile che il campo elettrico complessivo sia nullo.
b. Stabilisci qual è il valore di Q per il quale il campo elettrico si annulla, nella zona individuata in precedenza, a distanza R/2 da C;
c. Trova la posizione dell’altro punto P di a in cui, con il valore di Q appena calcolato, il campo elettrico complessivo è nullo.
d. Dimostra che non esiste nessun altro punto dello spazio, oltre ai due già individuati, in cui il campo elettrico complessivo possa essere nullo.
[Q = –4πσR2; CP R2= ]
6 Problema
Cariche, forze e campi elettriciLa carica q1=+7,4 nC posta nel punto A esercita sulla carica q2= –4,5 nC posta nel punto B una forza attrattiva F12 di 0,56 N.
a. Che cosa puoi affermare della forza F21 che la carica q2 esercita sulla carica q1?
b. Calcola la distanza fra le due cariche. Esiste un punto sul segmento AB tale che il campo elettrico totale dovuto alle due cariche sia nullo? Spiega.
c. Il punto C appartiene all’asse di AB. Spiega perché uno dei due campi elettrici rap-presentati non può essere il campo elettrico generato da q1 e q2 in C.
d. Considera la sfera S1 centrata su q1 con raggio r1 = 1,5 m e la sfera centrata su q2 con raggio r2 = 15 cm. Calcola il flusso del campo elettrico totale attraverso rispettiva-mente S1 e S2.
[0,73 m; 3,28 ⋅ 105 N ⋅ m2; –5,08 ⋅ 105 N ⋅ m2/C]
A B
C
E1
E2
+7,4μC –4,5μC
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Mettiti alla prova Ð Quesiti, problemi, problemi esperti
7 Problema
Cariche di segno oppostoDue cariche, rispettivamente Q1 = –3,5 nC e Q2 = +2,6 nC, sono poste a 32 cm di di-stanza.
a. Determina intensità, direzione e verso della forze che si esercitano fra di esse.Determina intensità, direzione e verso del campo elettrico nel punto medio del seg-mento di cui le cariche sono estremi.
b. Traccia l’andamento qualitativo del campo elettrico generato dalle due cariche. Il numero di linee di forza che entra in Q1 è uguale a quello delle linee di forza che escono da Q2? Spiega.
c. Calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica di raggio 15 cm centrata sulla carica Q2.
d. Dimostra che non esiste alcun punto sulla retta passante per le due cariche in cui il campo elettrico sia nullo.
[–8 ⋅ 10−7 N; –2,1 ⋅ 103 N/C; 2,9 N ⋅ m2/C]
PROBLEMI ESPERTI
8 Problema esperto
Tre sfere conduttriciSono date tre sferette A, B e C conduttrici identiche, tutte dotate di supporti isolanti. All’inizio la sfera A è elettrizzata con una carica positiva Q, mentre le sfere B e C sono scariche. Poi B è messa a contatto con A, C è posta in contatto con B e infine C è messa in contatto ancora con A.La figura seguente mostra i risultati di un esperimento in cui si è misurata la forza di repulsione tra le sfere A e B nella loro condizione finale e poste in aria. La distanza r è quella tra i centri delle sferette.
100,00
90,00
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
0,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Distanza r (cm)
Forz
a F
(×
10
^(–
6)
N)
16
1 ◾ Cariche elettriche e campi elettrici
a. Individua la legge sperimentale che si può dedurre dall’analisi dei dati.
b. Sulla base del risultato precedente, calcola la forza che si sarebbe dovuta misurare tra le sferette se la misura fosse stata effettuata anche con r = 6,0 cm.
c. Individua quanto valgono, in funzione di Q, le tre cariche che si trovano sulle diverse sferette prima che inizi l’esperimento.
d. Determina i valori della carica Q posta all’inizio sulla sferetta A e quelli delle due cariche QA e QB utilizzate per l’esperimento.
[F = (7,8 ⋅ 10−8 N ⋅ m2)/r2; 2,2 ⋅ 10−5 N; 3Q/8, Q/4; 3Q/8; 9,6 nC, 3,6 nC, 2,4 nC]
9 Problema esperto
Tra una sfera elettrizzata e una carica puntiformeUna sfera con centro fisso nel punto A = (0 m; 0,12 m) e raggio R = 1,0 cm ha una carica Q = +2,8 nC distribuita in modo uniforme nel suo volume. Una carica puntiforme q = +2,8 nC è fissa nel punto B = (0,0 m; –0,12 m). Supponi che la carica q non alteri la distribuzione di carica elettrica sul guscio.
a. Spiega perché nell’origine degli assi O è nullo il campo elettrico totale generato dalla sfera e dalla carica.
b. Dimostra che nei punti dell’asse x il modulo Et del campo elettrico è
, /,
Ex
x50 40 12
N m Cm /t
22 3 2$=+
^^h
h6 @
c. Il grafico mostra i valori del modulo Et del campo elettrico totale nei punti dell’asse x da x = 0 m a x = 0,50 m. Stabilisci direzione e verso del campo elettrico nei punti dell’asse x.
d. Descrivi il moto di una particella avente carica q2 = 1,3 nC lasciata libera nel punto D = (0,001 m; 0,0 m).Supponi che la particella carica abbia una massa m = 2,4 g. Calcola il valore massimo dell’accelerazione che subisce nei primi 50 cm del suo moto.
[7,3 ⋅ 10−4 m/s2]
O
Ð0,12
0,12
y (m)
x (m)
EEE (N/C)C((N/C)EE
14000400
12000200
10000000
8000800
6000600
4000400
0550500 0,1,0 1 0,15500 15 0,2,0 2 0,255200 25 0,3,0 3 0,355300 35 000,4,0 4 0,455400 45x x m)m)(((
0,50 5
222000200
00 0,00 0
000
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10 Problema esperto
Induzione… e non solo!Una sfera metallica S1 di raggio R = 20 cm è montata su un supporto isolante e ha una carica Q1 = 65 nC. La sfera non può essere spostata. Hai a disposizione una sfera metallica S2 più piccola, montata su supporto isolante, filo conduttore e una connessione a terra.
a. Spiega qual è l’esito finale di questa sequenza di operazioni:∙ colleghi S2 a terra mediante il filo;∙ avvicini S2 a S1;∙ stacchi il filo da S2;∙ allontani S2 da S1.
b. Descrivi una procedura mediante la quale puoi caricare una sfera metallica S3 di rag-gio R = 50 cm, posta in un’altra stanza, con una carica maggiore in valore assoluto a Q1.
c. Calcola la forza che agisce su un elettrone (e = 1,60 ⋅ 10–19 C) a 1,5 m di distanza da S1.
d. Supponi che S2 abbia una carica 0,1 Q1 e sia posta a 1 m da S1. Traccia l’andamento qualitativo delle linee di forza del campo elettrico generato dalle due sfere:
∙ immediatamente fuori della superficie di S2;∙ a distanza molto maggiore del raggio di S1.
Determina intensità, direzione e verso del campo elettrico generato nel punto medio della congiungente i centri delle due sfere.
11 Problema esperto
Una pallina su un piano di caricaLa figura mostra, in blu, un piano infinito di carica inclinato di 45° rispetto alla verticale e disposto in modo da formare un angolo di 135° con la direzione positiva dell’asse delle ascisse, che è orizzontale.Una pallina di massa m = 2,5 g e carica q = 7,2 ⋅ 10−8 C si trova nel vuoto ed è lascia-ta partire da ferma da un punto A che si trova nel primo quadrante del sistema di riferimento indicato.
a. Stabilisci di quale segno deve essere la carica presente sul piano infinito, per fare in modo che la pallina acquisti una velocità orizzontale come quella indicata nella figura.
b. Stabilisci, nella maniera più rapida, qual è il valore dell’accelerazione con cui la palli-na si muove quando procede in orizzontale. Quanto valgono la velocità della pallina e la distanza percorsa rispetto al punto A dopo 0,40 s dal momento in cui la pallina è stata libera di muoversi?
c. Descrivi un esperimento ideale, effettuato con oggetti che si trovano normalmente in casa, in cui si fornisce a una pallina da ping-pong lo stesso moto descritto nella figura precedente mediante una forza analoga a quella dovuta al piano di carica.
d. Calcola quanto deve valere la densità superficiale di carica elettrica del piano infinito per fare sì che il moto della pallina sia orizzontale.
[g, 3,9 m/s, 78 cm; 8,5 ⋅ 10−6 C/m2]
y
q
135¡
v
x
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