Robust Characterization of Polynomials 1 Robust Characterization of polynomials “IT DOES NOT MAKE SENCE!” מרצים : אורי גרסטן יניב עזריה Ronitt Rubinfeld

Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials

11

Robust Characterization of Robust Characterization of polynomialspolynomials

“IT DOES NOT MAKE SENCE!”

:מרצים אורי גרסטן• יניב עזריה•

•Ronitt Rubinfeld•Madhu Sudan


22

בודק לתוכניתבודק לתוכנית

Program CheckerProgram Checker בודק האם תוכנית - בודק האם תוכנית - PP נותנת פלט נכון לקלט מסויים.נותנת פלט נכון לקלט מסויים.

XP(X) correct

P(X) incorrect

P


33

תוכנית נבדקת עצמיתתוכנית נבדקת עצמית

Self-Testing ProgramSelf-Testing Program עבור פונקציה - עבור פונקציה - ff נכונה לרוב הקלטים. נכונה לרוב הקלטים.PPבודק האם תוכנית בודק האם תוכנית

InputsSpace

P incorrect

P correct


44

תוכנית מתקנת עצמיתתוכנית מתקנת עצמית

Self-Correcting ProgramSelf-Correcting Program מקבלת - מקבלת - שנכונה לרוב הקלטים ומשתמשת שנכונה לרוב הקלטים ומשתמשת PPתוכנית תוכנית

נכונה על כל קלט נכונה על כל קלט ffבה כדי לחשב את בה כדי לחשב את בהסתברות גבוהה.בהסתברות גבוהה.

InputsSpace

Correct f(x) in high probability


55

מרחק בין פונקציותמרחק בין פונקציות

בהנתן תחום סופי בהנתן תחום סופיDD המרחק בין פונקציות , המרחק בין פונקציות ,f,gf,g::

-נאמר ש-נאמר שff-ו- ו gg הן הן εεאם: אם:-קרובות-קרובות

D

xgxfDxgfd

)()(|),(

),( gfd


66

εε – Self Tester – Self Tester

εε-self tester T-self tester T בשביל פונקציה בשביל פונקציה ff מעל תחום מעל תחום DD , ,

ו: ו:PPזוהי תוכנית שמקבלת כקלט תוכנית זוהי תוכנית שמקבלת כקלט תוכנית

..d(p,f) = 0d(p,f) = 0 אם אם PPמקבל את מקבל את –

-קרובות.-קרובות.εε הן לא הן לא ff ו- ו-PP (בהסתברות גבוהה) אם (בהסתברות גבוהה) אם PPדוחה את דוחה את –

TTאחרת אין דרישה מ-אחרת אין דרישה מ-–

הוא מרחב הסתברותי. הוא מרחב הסתברותי.DD* כאן * כאן


77

Testers for function familiesTesters for function families

תהי תהיFF:משפחה של פונקציות: משפחה של פונקציות

–εε-function family tester-function family tester למשפחת פונקציות למשפחת פונקציות

FF מקבל תוכנית , מקבל תוכנית ,PP ובודק האם יש פונקציה ובודק האם יש פונקציה ff מתוך מתוך

FF-כך ש ש- כך ש ש PP היא היא εε-קרובה ל--קרובה ל-ff . .

F

•f שהיאfקיימת פונקציה ε-קרובה ל-P.


88

דוגמא – פונקציות לינאריותדוגמא – פונקציות לינאריות

:משפחת הפונקציות הלינאריות:משפחת הפונקציות הלינאריות

בודק לתוכנית בודק לתוכניתPP עבור משפחת הפונקציות עבור משפחת הפונקציות קרובה ללינאריות, קרובה ללינאריות, PPהלינראיות יבדוק האם הלינראיות יבדוק האם

..PP לינארית שקרובה ל- לינארית שקרובה ל-ffכלומר האם קיימת כלומר האם קיימת

})(,|{ xaxfZafF apalinear


99

איפיון לפונקציות לינאריותאיפיון לפונקציות לינאריות

נרצה לבדוק האם לתוכנית נרצה לבדוק האם לתוכניתPP יש את תכונת יש את תכונת הלינאריות, כלומר:הלינאריות, כלומר:

אם אםPP לא לינארית, אז קיימת דוגמה נגדית לא לינארית, אז קיימת דוגמה נגדית שמוכיחה זאת. שמוכיחה זאת.33מגודל מגודל

)()()(,, yxfyfxfZyx p


1010

בעיה!בעיה!

.בדר"כ לא נוכל לבדוק תכונה באופן מוחלט.בדר"כ לא נוכל לבדוק תכונה באופן מוחלט

,בדוגמא האחרונה, על מנת לבדוק לינאריות, בדוגמא האחרונה, על מנת לבדוק לינאריות מקיימים את מקיימים את x, yx, yיש לבדוק שכל הזוגות יש לבדוק שכל הזוגות

התכונה:התכונה:)()()( yxfyfxf


1111

פשרהפשרה

.כדי להפוך איפיון למעשי, נתפשר על הדיוק.כדי להפוך איפיון למעשי, נתפשר על הדיוק

תהי תהיFF היא משפחת פונקציות שמקיימת את היא משפחת פונקציות שמקיימת את

פונקציה שמקיימת פונקציה שמקיימת ffהתכונה לכל קלט, ותהי התכונה לכל קלט, ותהי

את התכונה לרוב הקלטים. אז קיימת פונקציה את התכונה לרוב הקלטים. אז קיימת פונקציה

gg מתוך מתוך FF-שקרובה ל- שקרובה ל ff..

F

•g שהיאgקיימת פונקציה ε-קרובה ל-f.


1212

אנקדוטהאנקדוטה

באמצעות איפיון מקורב למשפחת הפוקנציות באמצעות איפיון מקורב למשפחת הפוקנציות error errorהלינאריות, נמצאו שיטות אקראיות ל-הלינאריות, נמצאו שיטות אקראיות ל-

detecting codesdetecting codes.. למי שילמד "נושאים מתקדמים ביותר למי שילמד "נושאים מתקדמים ביותר

בסיבוכיות", זהו בסיס להוכחה ש:בסיבוכיות", זהו בסיס להוכחה ש:

MIP = NEXPTIME


1313

Exact and robust characterizationsExact and robust characterizations

בהמשך ניתן הגדרות מדויקות לאיפיון בהמשך ניתן הגדרות מדויקות לאיפיוןפונקציות.פונקציות.

exactexact בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה

מדוייקת, כלומר לכל קלט אפשרי.מדוייקת, כלומר לכל קלט אפשרי.robustrobust בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה –

מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מקורבת, כלומר לרוב הקלטים.מקורבת, כלומר לרוב הקלטים.


1414

Exact and robust characterizationsExact and robust characterizations

עתה נתן מספר מושגים שישמשו אותנו עתה נתן מספר מושגים שישמשו אותנולהגדרת איפיונים מדוייקים של משפחות להגדרת איפיונים מדוייקים של משפחות

פונקציותפונקציות בפרט, נרצה לאפיין את משפחת הפולינום בפרט, נרצה לאפיין את משפחת הפולינום

משתנים. משתנים.mm בעלי בעלי ddממעלה ממעלה בהמשך ההרצאה נראה שניתן לקרב איפיונים בהמשך ההרצאה נראה שניתן לקרב איפיונים

מדוייקים למשפחת הפולינומים.מדוייקים למשפחת הפולינומים.


1515

שכונהשכונה

שכונה שכונהkkמקומית-מקומית- NN היא היא kk יה סדורה מתוך -יה סדורה מתוך-DD..

אוסף-שכונות אוסף-שכונותkkמקומי-מקומי- NN הוא קבוצה של הוא קבוצה של -מקומיות.-מקומיות.kkשכונות שכונות


1616

תכונהתכונה

תכונה תכונהkkמקומית-מקומית- PP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונותNN היא היא פונקציה:פונקציה:

).).ff הוא טווח לפונקציה הוא טווח לפונקציה RRהוא תחום ו-הוא תחום ו- DD(כאן (כאן נאמר שפונקציה נאמר שפונקציהff תכונה תכונה מספקתמספקת PP:אם: אם

1,0)(: kRDP

1)(, NxxfxP


1717

exact characterizationexact characterization

תכונה תכונהPP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונות NN איפיון איפיון יקרא יקרא אם: אם:FF של משפחת פונקציות של משפחת פונקציות מדויקמדויק

NN מתוך מתוך NNלכל השכונות לכל השכונות PP מספקת את מספקת את ffפונקציה פונקציה

..FF היא מתוך היא מתוך ffבדיוק כאשר בדיוק כאשר

N • N Ff

P(N) = 1


1818

דוגמה – פונקציות לינאריותדוגמה – פונקציות לינאריות

:אוסף השכונות:אוסף השכונות

התכונה התכונהPP מקומות והיא מסתפקת ע"י:-מקומות והיא מסתפקת ע"י:33היא היא-

לכן, מעל לכן, מעלNN התכונה , התכונה ,PP מקומי -מקומי 33 היא איפיון היא איפיון-מדוייק של משפחת הפונקציות הלינאריותמדוייק של משפחת הפונקציות הלינאריות

pZyxyxyxN ,|),,(

)()()( if),,( 321321 xfxfxfxxx


1919

robust characterizationrobust characterization

תכונה תכונהPP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונות NN תקרא איפיון תקרא איפיון))εε,,δδ מקורב של )-מקורב של-(FF:אם: אם

על כל על כל PP מספקת את מספקת את ffאם כאשר פונקציה אם כאשר פונקציה –--εε מהן, אז היא מהן, אז היא δδ מלבד החלק ה- מלבד החלק ה-NNהשכונות השכונות

..FF מתוך מתוך ggקרובה לפונקציה קרובה לפונקציה

NP

P P(N) = 0

P(N) = 1

δ*|N|

F

•gקיימת

gפונקציה שהיא

ε-קרובה ל-f.


2020

robust characterizationrobust characterization

בנוסף, כל חברי בנוסף, כל חבריFF מספקות את מספקות את PP בכל בכל . . NNהשכונות של השכונות של

N • N Ff

P(N) = 1


2121

איפיונים מדוייקים של פולינומיםאיפיונים מדוייקים של פולינומים

בחלק זה נראה מספר אפיונים מדוייקים בחלק זה נראה מספר אפיונים מדוייקים..ddמוכרים היטב של פולינומים ממעלה מוכרים היטב של פולינומים ממעלה

נתבונן באוספים שונים של שכונות נתבונן באוספים שונים של שכונותNN . . ולכל ולכלמסופקת מסופקת PP, נאמר שתכונה , נאמר שתכונה NNשכונה ספציפית שכונה ספציפית אם קיים פולינום אם קיים פולינום NN בשכונה בשכונה ffעל ידי פונקציה על ידי פונקציה

..NN על כל הנקודות ב- על כל הנקודות ב-ffששווה ל-ששווה ל-


2222

. פולינומים עם משתנה אחד. פולינומים עם משתנה אחד11

יהי יהיRR.חוג. חוג איפיון: נאמר שפונקציה איפיון: נאמר שפונקציהff-מ- מ RR-ל- ל RR היא היא

אם ורק אם: אם ורק אם:ddפולינום ממעלה לכל היותר פולינום ממעלה לכל היותר

..dd הוא פולינום ממעלה לכל היותר הוא פולינום ממעלה לכל היותר ggכאשר כאשר

:מבנה השכונות:מבנה השכונות

)()( s.t. ,,1010 ,,,,10 ixxixxd xgxfgRxx

dd

2 dRN


2323

. פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות . פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות 22מרחקמרחק

יהי יהיZZmm.חוג. חוג :נגדיר את המקדמים הבינומיים:נגדיר את המקדמים הבינומיים

:ונתבונן בנקודות שוות מרחק:ונתבונן בנקודות שוות מרחק

1)1(1

i

i i

d

hdxhxx )1(,,,


2424


איפיון: נאמר שפונקציה איפיון: נאמר שפונקציהff-מ- מ ZZmm -ל- ל ZZmm היא היא אם ורק אם: אם ורק אם:ddפולינום ממעלה לכל היותר פולינום ממעלה לכל היותר

0)(,,1

0

d

iim hixfZhx


2525


:מבנה השכונה:מבנה השכונה

ולכן אוסף השכונות האפשריות ולכן אוסף השכונות האפשריותNN::

10,N

dihx hix

mZhx

hxNN

,

,


2626

. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים33

איפיון זה נוגע לפונקציות איפיון זה נוגע לפונקציותmm מימדיות מעל -מימדיות מעל-. . FFmmשדה סופי שדה סופי

:יהיו:יהיו:אז הקו יהיה:אז הקו יהיה

-נשים לב ש-נשים לב שll-הוא פולינום שתלוי רק ב- הוא פולינום שתלוי רק ב ii..

mFhx ˆ,ˆ

}|ˆˆ{)(ˆ,ˆFihixil

hx


2727


אפיון: פונקציה אפיון: פונקציהff-מ- מ FFmm -ל-לFF היא פולינום היא פולינום אם ורק אם: אם ורק אם:ddממעלה לכל היותר ממעלה לכל היותר

ff מוגבלת לקו מוגבלת לקו ll-היא פולינום חד-משתני ב- היא פולינום חד-משתני ב ii ממעלה ממעלה ..ddלכל היותר לכל היותר

mFhx ˆ,ˆ


2828


מבנה השכונה במקרה זה הוא קו מבנה השכונה במקרה זה הוא קוll..

:אוסף השכונות לכן:אוסף השכונות לכן

mhxhx

FhxlN ˆ,ˆ|N ˆ,ˆˆ,ˆ


2929

. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות 55מרחקמרחק

:איפיון – פונקציה:איפיון – פונקציה

היא פולינום ממעלה לכל היותר היא פולינום ממעלה לכל היותרdd:אם ורק אם: אם ורק אם

pmp ZZf :

0)ˆˆ(,ˆ,ˆ1

0

d

ii

mp hixfZhx


3030

. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות 55מרחקמרחק



10,N

dihx hix

mZhx

hxNN

ˆ,ˆ

ˆ,ˆ


3131

. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק 66))22((

איפיון זה נובע מהאיפיון הקודם, והוא אף נראה איפיון זה נובע מהאיפיון הקודם, והוא אף נראהחלש יותר.חלש יותר.

נציין את איפיון זה כי האיפיון המקורב המתאים נציין את איפיון זה כי האיפיון המקורב המתאיםלו שימושי מאוד.לו שימושי מאוד.


3232


:איפיון – פונקציה:איפיון – פונקציה

היא פולינום ממעלה לכל היותר היא פולינום ממעלה לכל היותרdd:אם ורק אם: אם ורק אם

הערכים של הערכים שלff:בנקודות: בנקודות

מתאימים לפולינום חד-משתני ממעלה לכל מתאימים לפולינום חד-משתני ממעלה לכל..ddהיותר היותר

pmp ZZf :

mpZhx ˆ,ˆ

dihix 10,,0|ˆˆ


3333




d

ihxhix

10

0ˆ,ˆˆˆN

mZhx

hxNN

ˆ,ˆ

ˆ,ˆ


3434

איפיונים מקרובים של פולינומיםאיפיונים מקרובים של פולינומים

נציג ונוכיח כעת אלגוריתם שבודק את תכונת נציג ונוכיח כעת אלגוריתם שבודק את תכונתהדרגה לפולינומים, כלומר השאלה, בהנתן הדרגה לפולינומים, כלומר השאלה, בהנתן

מחשבת (בהסתברות מחשבת (בהסתברות PP, האם , האם PPתוכנית תוכנית ..ddגבוהה) פולינום מדרגה גבוהה) פולינום מדרגה

לאחר מכן, נראה אלגוריתים לבדיקה האם לאחר מכן, נראה אלגוריתים לבדיקה האםPP ..ddממעלה ממעלה ff-קרובה לפולינום -קרובה לפולינום εεאכן אכן


3535

בדיקת דרגהבדיקת דרגה

program degree-test (program degree-test (P,P,εε,,ββ))Repeat Repeat ΘΘ(1/(1/εεlog(1/log(1/ββ)) times)) times

Pick x, h from Pick x, h from ZZ and test that: and test that:

Reject Reject PP if the test fails more than if the test fails more than

an an εε fraction of the time. fraction of the time.

1

0

0)(d

ii hixP


3636

בדיקת דרגה - נכונותבדיקת דרגה - נכונות

כדי להוכיח שאכן כדי להוכיח שאכןPP מחשבת פולינום מדרגה מחשבת פולינום מדרגה dd::

..PP-קרוב ל- -קרוב ל- εεנוכיח משפט על קיום פולינום נוכיח משפט על קיום פולינום –

נציג נוסחה חדשה שמראה שאכן האלגוריתים נציג נוסחה חדשה שמראה שאכן האלגוריתים –מוודא את הקירבה לפולינום.מוודא את הקירבה לפולינום.


3737

55משפט – קירוב איפיון משפט – קירוב איפיון

יהייהי

ותהיותהי

:המקיימת:המקיימת

אז קיים פולינום אז קיים פולינוםgg ממעלה ממעלה dd 22 אשר אשרδδ קרוב קרוב ..PPל-ל-

20 )2(2

1

d

pmp ZZP :

0

1

1,)()(Pr

,

d

ii

ZhxhixPxP

mp


3838

שלבים בהוכחהשלבים בהוכחה

נגדיר את נגדיר אתg(x)g(x):להיות: להיות

..PP-קרוב ל--קרוב ל-22δδ הוא הוא ggנראה ש-נראה ש-1.1.

..dd הוא פולינום ממעלה הוא פולינום ממעלה ggנראה ש-נראה ש-2.2.-נקבל את נכונות המשפט. נקבל את נכונות המשפט.22 ו- ו-11מ-מ

1

1

)(maj)(d

iiZh

hixPxg mp


3939

11טענה טענה

gg-ו- ו PP)-1-21-2 שווים ביותר מ-( שווים ביותר מδδ מהקלטים ) מהקלטים (האפשריים.האפשריים.

-קרובים)-קרובים)22δδ(ולכן הם (ולכן הם


4040

11הוכחת טענה הוכחת טענה

ראשית נשים לב שעבור הנקודות ראשית נשים לב שעבור הנקודותxx:כך ש: כך ש

:מתקיים: מתקייםP(x)=g(x)P(x)=g(x)(כי אם ההסתברות גדולה מחצי אז וודאי שהתנאי (כי אם ההסתברות גדולה מחצי אז וודאי שהתנאי

מתקיים לרוב הקלטים)מתקיים לרוב הקלטים)

2

1)()(Pr

1

1

d

iih hixPxP


4141


נתבונן אם כן בקבוצת הנקודות הבעיתיות נתבונן אם כן בקבוצת הנקודות הבעיתיותxx כך כך ש:ש:

?כמה נקודות כאלו יש?כמה נקודות כאלו יש-22אם יש יותר מ-אם יש יותר מδδ:נקודות כאלה: נקודות כאלה

2

1)()(Pr

1

1

d

iih hixPxP

2δנקודות בעיתיות -

נקודות "טובות"


4242


:אז נקבל סתירה לתנאי מהנתון:אז נקבל סתירה לתנאי מהנתון

עבור הנקודות הלא בעיתיות מתקיים אם כן עבור הנקודות הלא בעיתיות מתקיים אם כןp(x)=g(x)p(x)=g(x)..

1

1,)()(Pr

,

d

ii

ZhxhixPxP

mp


4343

22טענה טענה

לכללכל

:מתקיים:מתקיים

כלומר כלומרg(x)g(x)-קרוב מאוד ל- קרוב מאוד ל PP..

mpZx

)1(21)()(Pr1

1

dhixPxgd

iih


4444


נזדקק למעט הסתברות: נזדקק למעט הסתברות:22להוכחת טענה להוכחת טענה -נסמן ב-נסמן בppii-את ההסתברות למאורע ה- את ההסתברות למאורע ה ii..

:אם מתקיים:אם מתקיים

:אז:אז i i

ii pppp 112

נוסחת ההסתברות השלמה

21 pp


4545


:מתקיים:מתקיים

:לכן מהנתון נקבל:לכן מהנתון נקבל

mp

mp ZhjxZhix )( and )( 21

1)()()1(1

1211

,Pr

21

d

jj

hh

hjhixPhixP

1)()()2(1

1212

,Pr

21

d

ii

hh

hjhixPhjxP


4646


נרשום כ: נרשום כ:))11((את את

נרשום כ: נרשום כ:))22((ואת ואת

1

1

1

121

1

12

,)()(Pr

21

d

i

d

jji

d

jj

hhhjhixPhjxP

1

1

1

121

1

11

,)()(Pr

21

d

i

d

jji

d

ii

hhhjhixPhixP


4747


:נרצה אם כן לחשב את ההסתברות הבאה:נרצה אם כן לחשב את ההסתברות הבאה

1

1

1

121

1

12

1

11

,

)(

)(

)(

Pr21

d

i

d

jji

d

jj

d

ii

hh

hjhixP

hjxP

hixP


4848


נסמן את המאורע נסמן את המאורעAA:ונחשב את: ונחשב את

1

12

1

1

1

121

1

11

,

)(

)(

)(

Pr)APr(21

d

jj

d

i

d

jji

d

ii

hh

hjxP

hjhixP

hixP


4949


-על ידי שימוש ב-על ידי שימוש בunion boundunion bound:נקבל: נקבל

ההסתברות לכל אחד מהמאורעות היא ההסתברות לכל אחד מהמאורעות היאδδ..:ולכן בסה"כ:ולכן בסה"כ

,)*1(Pr)*1(Pr)APr( 2211, 21

hxPhxPhh

1)2(d-1[...]Pr1)2(dA)Pr(2,1

hh


5050

סיימנו? – לא!סיימנו? – לא!

ההסתברות הראשונה תלויה בההסתברות הראשונה תלויה בh1h1ו- ו -h2h2 אנו -. אנו .-נרצה:נרצה:

מהגדרת מהגדרתgg ומהאבחנה הקודמת נקבל את ומהאבחנה הקודמת נקבל אתהנ"ל.הנ"ל.

)1(21)()(Pr1

1

dhixPxgd

iih


5151

33טענה טענה

לכללכל

:אז:אז

ולכן ולכןgg פולינום ממעלה פולינום ממעלה הוא הואdd..

2)2(2

1 if ,,

dZhx mp

1

0

0)(d

ii hixg


5252


:מתקיים:מתקיים: 00ולכן לכל :ולכן לכל ≤ ≤ i ≤ d+1i ≤ d+1 22 (לפי הוכחת טענה (לפי הוכחת טענה((

:יתרה מכך, אנו כבר יודעים היטב ש:יתרה מכך, אנו כבר יודעים היטב ש

mpZihh 21

)1(21)(Pr1

021

, 21

dihhjhixPhixgd

jj

hh

10))()((1

021

,Pr

21

d

ii

hh

hjhihjxP


5353


:משילוב השניים:משילוב השניים

-נשים לב שבאגף ימין אנו תלויים רק ב-נשים לב שבאגף ימין אנו תלויים רק בhh!! מסקנה – אם ההסתברות חיובית היא שווה מסקנה – אם ההסתברות חיובית היא שווה

. . dd הוא פולינום מדרגה הוא פולינום מדרגה gg. ולכן . ולכן 11ל-ל-

00))()(()(Pr1

1

1

021

1

0, 21

d

j

d

iij

d

ii

hhhjhihixPhixg


5454

))eeדיוק האלגוריתים)-דיוק האלגוריתים-(

נראה שהאלגורים בודק את התכונה נראה שהאלגורים בודק את התכונהββבהסתברות בהסתברות

Need to say anything more???Need to say anything more???

)log()log(

1 1)1(

e


5555

Self-Testing PolynomialsSelf-Testing Polynomials

בחלק זה נראה שימושים באיפיונים מקורבים בחלק זה נראה שימושים באיפיונים מקורביםכדי לבנות בודקים לתוכניות.כדי לבנות בודקים לתוכניות.

:בעבר היה נהוג לבדוק תוכניות כך:בעבר היה נהוג לבדוק תוכניות כך..P(x)=f(x)P(x)=f(x)ובדוק אם ובדוק אם xxהגרל קלט הגרל קלט –

:החסרונות:החסרונות עובדת נכון. עובדת נכון.ffאנו מניחים ש-אנו מניחים ש-–..ffנהיה תלויים בזמן הריצה של נהיה תלויים בזמן הריצה של –

.נראה שיטה "יותר עדיפה" לבדיקת תוכנית.נראה שיטה "יותר עדיפה" לבדיקת תוכנית


5656

Test SetsTest Sets

:נגדיר את:נגדיר את

להיות להיות((d,md,mקבוצת מדגם פולינומית-)קבוצת מדגם פולינומית-):אם: אם משתנים כך ש: משתנים כך ש:mm בעל בעל dd מדרגה מדרגה יחידיחידישנו פולינום ישנו פולינום

"תמיד קיימת קבוצת מדגם בגודל תמיד קיימת קבוצת מדגם בגודל "ידוע ש" "ידוע ש))d+1d+1((mm

),(,),,( 11 tt yxyxT

ii yxfti )(],,,1[


5757

דוגמהדוגמה

נניח שיש לנו תוכנית נניח שיש לנו תוכניתPP:שאמורה לחשב את: שאמורה לחשב את

בגישה המסורתית לבדיקת בגישה המסורתית לבדיקתPP יש צורך לדעת יש צורך לדעת ..xx לכל לכל ffאת הערך של את הערך של

:במקרה שלנו נצטרך רק את המידע הבא:במקרה שלנו נצטרך רק את המידע הבא

-בנוסף לעובדה ש-בנוסף לעובדה שff 33 הוא פולינום מדרגה הוא פולינום מדרגה..

mxxf mod)( 3

8)2(,1)1(,1)1(,0)0( ffff


5858

אלגוריתם בדיקהאלגוריתם בדיקה

) בהנתן קבוצת בדיקה בגודל (בהנתן קבוצת בדיקה בגודלd,md,m:(:(

..dd אכן מחשבת פולינום מדרגה אכן מחשבת פולינום מדרגה PPנבדוק האם נבדוק האם 1.1.

..ff-קרובה ל--קרובה ל-εε היא היא PPאם כן, נבדוק אם אכן אם כן, נבדוק אם אכן 2.2.


5959

בדיקת קירבהבדיקת קירבה

program equality-test (program equality-test (P,P,εε,,ββ,T),T)for for j j going from 1 to going from 1 to t t dodo

Repeat Repeat ΘΘ(log((log(dd//ββ))))Pick h from Pick h from ZZ and test that: and test that:

Reject Reject PP if the test fails more than 1/4 if the test fails more than 1/4thth

of the time. of the time.

1

1

)()(d

iij hixPxf

Documents

Robust Characterization of Polynomials 1 Robust Characterization of polynomials “IT DOES NOT MAKE SENCE!” מרצים : אורי גרסטן יניב עזריה Ronitt Rubinfeld