Rojová optimalizace v Matlabu - cvut.czmath.feld.cvut.cz/0rese/kolokvia/prezentace/MK_190410_capek.pdf · 19.4.2010 14:48 Dynamické fraktály Matematická kolokvia 2010: Rojová

Rojová optimalizace v Matlabuhledání „ideální“ (fraktální) antény

Miloslav ČapekK13117, B2-819

19.4.2010 14:48

Obsah přednášky

Fraktály – definice, příklady, typy fraktálů a jejich popis editor IFS fraktálů v Matlabu: IFSMaker IFS motiv jako patchová anténa

IFS kandidáti, kriteriální funkce (CM řešený pomocí FEM)

Nastavení optimalizačních mezí (IFSLimiter), start optimalizace

Výsledky, plánovaná rozšíření

Reference, diskuze

I.

III.

Numerické a heuristické (evoluční) metody

Particle swarm optimalizace – princip, chování hejna

PSO parametry, nástroj PSOptimizer, postprocessing

Zobecnění vstupu do optimalizátoru

Jednokriteriální vs. multikriteriální optimalizace

Testovací funkce (Levy, Corana, Rosenbrock a další)

Ukázky použití, výsledky

II.

19.4.2010 14:48

Fraktály – pokus o definici …

B.B.Mandelbrot(1) topologická dimenze ≠ fraktální dimenzi

(2) „Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém; dělí se na soběpodobné a soběpříbuzné.“

fraktální charakter nemusí být vždy zcela zřejmý (dynamickéatraktory atp.)

hodnocení tvaru (fraktální nebo euklidovský) závisí na přiblížení - viz delta řeky

Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46

19.4.2010 14:48

… a několik příkladů

Příklady: Listy, kůra stromů,

řečiště, větvení stromů

Chování ekonomiky(Elliottovy vlny),výskyt (a velikost povodní), rušení na telefonní lince (Cantorovo discontinuum)

Počasí (Lorenzův atraktor), kapání vody z kohoutku, fibrilace srdečních komor (zdvojnásobování periody)


19.4.2010 14:48

Topologická x Hausdorffova dimenze

4/46

výpočet na bázi sledování změn struktury podél délky a měřítka → Box-counting metoda

1.585Sierpinského trojúhelník

~1.26Pobřeží

~1.33Obvod 2D průmětu mraku *)

~2.2 - 2.3Povrch neerodovaných skal

~2.76Povrch mozku člověka

Dh [-]objekt

Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]

jedním z prvních, kdo intuitivně využil dimenze Dhbyl Richardson s měřením obvodu Korsiky

Dt {0 – bod, 1 – křivka, 2 – povrch, 3 – prostor R3, … } Dh je obecně kladné reálné číslo

19.4.2010 14:48

Teorie míry → mřížková dimenze


vnější (a vnitřní) míra μ: systém se σ-algebrou

ε-pokrytí: uvažujeme max. velikost množin, které pokrýváme

= velikost obalu pro objekty množiny

Hausdorffova míra

Hausdorffova dimenze

11 ii

ii AA

11 ii

ii AA

diam

19.4.2010 14:48

Metoda box-counting: výpočet Dh

1log

log NDh

změna měřítka

změna počtu elementů


podstatou je zmenšování měřítka (až k nule) výsledkem je mřížková dimenze Db

podle charakteru zdrojového objektu je potom buďto

71

1 141

2 281

3

hodnota Db resp. Dh koresponduje s „členitostí“ útvaru

19.4.2010 14:48

Metoda box-counting: příklady

1log

log NDh


71

1 141

2 281

3

161 N 522 N 1643 N

585.12log3log

10

10_ orighD

679.17log28log16log164log

1010

1010_

sierpbD

nástroj boxcount:

102.0641.12_ itbD 123.0596.13_ itbD

2063.0948.12_ itbD

19.4.2010 14:48

o L – systémy

o IFS fraktály

o dynamické systémy

o nepravidelné fraktály

příkazy + iterace > gramatikabody, transformace, iterace > dláždění

„deterministický chaos“, systém zpravidla popsán dif. rovnicemi > atraktory

deterministický s.

stochastický s.

deterministický f.

stochastický f.

při tvorbě využíváme náhodných čísel

Brownův pohyb střední bod spektrální syntéza

Fraktály: základní rozdělení


19.4.2010 14:48

Lindenmayerovy (L-) systémy

Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]

syntetické fraktály fixní gramatika (stanovená před výpočtem) úvodní řetězec: inicializátor

G = (V,S,,P)

Př.1: Cantorovo mračnoZnaky: A, BKonstanty: žádnéStart: APravidla: (A ABA), (B BBB)

ABABBBABAn = 2

ABAn = 1

An = 0

9/46

Př.2: Fibonaccioho číslaZnaky: A, BKonstanty: žádnéStart: APravidla: (A B), (B AB)

> 1,1,2,3,5,8,13,21,34 …

ABBABBABABBABn = 6

BABABBABn = 5

ABBABn = 4

BABn = 3

ABn = 2

Bn = 1

An = 0

19.4.2010 14:48

IFS fraktály


m

i

ni XXwXw

1

R ),()(

BA Wwx )(

mřížková dimenze fraktální dimenze pozoruhodné vlastnosti (obvod vs. obsah vs. objem apod.)

syntetický původ, deterministické x stochastické pomocí zvolených (afinních) transformací dlaždíme objekt X IFS → potenciální antény: TVAR? (~ jaké parametry → PSO)

19.4.2010 14:48

IFS fraktály


fe

yx

dcba

yx

wold

old

new

new

posun

rotace

změna měřítka

afinní transformace: posun bodu o vzdálenost [px py] změna měřítka Ms horizontální změna měřítka Mx vertikální změna měřítka My horizontální zešikmení Sx vertikální zešikmení Sy rotace kolem počátku o úhel α

1.iterace 3.iterace

19.4.2010 14:48

Dynamické fraktály


bifurkační graf (zdvojováníperiody, růst populace)

Lorenzův atraktor

počáteční podmínky + popis soustavou (diferenciálních) rovnic některé dynamické systémy nedivergují, ani se neustalují

zpravidla fraktální dynamika, užil se termín „deterministický chaos“

atraktor dynamického systému: stav, do něhož systém směřuje krom jiných (bodový, periodický, chaotický) tzv. podivný atraktor

19.4.2010 14:48

Nepravidelné fraktály


(pseudo)náhodná čísla - koeficienty, pozice atp. roli může hrát pravděpodobnost

Brownův pohyb půlení vzdálenosti spektrální syntéza (Fourierovy obrazy, jejich inverze je fraktál)

z principu stochastický přístup

19.4.2010 14:48

Generátor fraktálů (IFSMaker)


Intuitivní, velice rychlá generace základní objekt (body) trasformace počet iterací (omezeno) export, další operace

FRC struktura

FRC.baseFRC.tranFRC.iterFRC.type

19.4.2010 14:48

IFSMaker


FRC.base = [1.0 00.5 0.886

-0.5 0.886-1.0 0

-0.5 -0.8860.5 -0.886];

FRC.tran = [0.5 0 0 0.5 -0.5 00.5 0 0 0.5 0.25 0.443

0.5 0 0 0.5 0.25 -0.443];

FRC.iter = [3 3 3];FRC.type = ‚pntstrns‘;

19.4.2010 14:48

Vytvořené fraktály


19.4.2010 14:48

Hegel, Pascal


19.4.2010 14:48

Evoluční optimalizace


Jak je možné, že hejna relativněprimitivních jedinců vykazují nesmírně komplexní chování?

GA, PSO, ACO, neuronové sítě

Dff

xxx pro )()( min

optimalizovaná funkce

hledané minimum

hledané minimum

množina přípustných řešení (solution space

v PSO)n-dim. proměnné

Df :za podmínky:

19.4.2010 14:48

Particle swarm optimization (PSO)


r. 1995 (Kennedy, Eberhart) roje včel, hejna ryb a ptáků – silně kolektivní chování

celý koncept vychází z modelu chování, který navrhl Reynolds: všichni členové hejna ~ agenti definované 3 operace:

separace (agent hledá prázdné místo v s.s.) uspořádanost (agent se natáčí do směru, kterým se pohybují ostatní

agenti) spojitost (agent hledá v okolním prostoru místo, které průměru pozici

okolních sousedů)

J.Kennedy R.Eberhart

19.4.2010 14:48

Koncept PSO


Kennedy a Eberhart upravili předchozí model následovně: zavádějí tzv. roost všichni agenti jsou přitahování k/do roostu zavedena paměť agenta – pamatuje si, kde byl nejblíže roostu každý agent sdílí informaci o svém největším přiblížení k roostu s

(původně všemi) ostatními agenty

Avšak jak zajistit pohyb agentů do minima (neznámé) funkce?

19.4.2010 14:48

Matematický popis rojení částic


konvergence (lokální minima, kvalita řešení) dostatečná diverzita agentů

absorbční zeď odrazná zeď neviditelná zeď omezení rychlosti

minimum agenta

minimumcelého roje

rychlostagenta

váhovací faktor rand()(0,1)„poznávací“ koef.

„sociální“koef.

)()( 22111 n

idngd

nnid

nid

nnid

nid prcprcwvv

11 nidt

nid

nid v

aktuální poloha agenta

nová pozice nová rychlost

= 1stará pozice

19.4.2010 14:48

Parametry PSO


počet agentů: doporučení počet agentů = dimenze x 10 + ...

počet iterací: závisí na složitosti funkce, v řádu stovek

pro hodnocení výsledků je nutné průměrovat více cyklů(typicky 25 nebo 50)

hodnocení efektivity optimalizace je obecně složité (NFL, fit.f., kritéria: sucess rate vs. best minimum)

vhodné nastavení všech parametrů → optimalizace optimalizace (metaoptimalizace)

zásadní je způsob omezení agentů v s.s. (zdi) a topologie

váhovací koeficient w může být vytknut před závorku

19.4.2010 14:48

Topologie


komunikace mezi jednotlivými agenty → lze ovlivnit rychlost, jakou jsou transportovány informace napříč hejnem

(1) plně propojená topologie (fully connected)

(2) čtvercová topologie (squared topology)

(3) kruhová topologie (ring topology)

(4) hvězda (star topology)

(5) strom (tree topology)

(6) a další... (dynamic neighborhood, ...)

19.4.2010 14:48

Testovací funkce


napovídají o efektivitě optimalizace (+ nastavení) velkou roli hraje dimenze problému a metodika měření

Rosenbrockovo sedlo

funkce Levy3 funkce Levy5

Rastrigrinova funkce

19.4.2010 14:48

Testovací funkce


4. de Jongova funkce

Ackleyho II. funkce

Griewangkova funkce

Mastersova cosinová funkce

stretched sin wave

Ranova funkce

Schwefelova funkce

19.4.2010 14:48

Aplikace PSOptimizer


Př.: funkce Levy5Rozsah s.s.: <-10 x 10>(x,y)Dimenze: 2 (x,y)Iterací: 50 (na obr. 150)Agentů: 20 (na obr. 30)Glob.min.: -176.1376<x,y>: <-1.307,-1.425>

využívá rojení částic (PSO) s neviditelnou ohraničující zdí plně náhodná generace vektorů r1 a r2

plně propojená topologie agentů, nastavitelné c1 a c2

váhovací faktor w klesá lineárně z 0.9 do 0.4

PsoData_Levy5.data1 = [2 2]data2 = []data3 = []rank = 2type = ‘psopt‘cond = {[1 1 1] [1 1 2]}bound = {[-10 10] [-10 10]}

225

1

5

15 )80032.0()42513.1()))1cos((()))1cos(((),(

yxjyjjixiiyxfji

l

+ MOPSO Matlab toolbox?

19.4.2010 14:48

PSOptimizer fitness funkce

PsoData.data1.data2.data3.cond.bound. …

results. …

Universalita PSOptimizeru


~ FRC.base = [x1 y1;x2 y2;…];~ FRC.tran = [a1 b1 c1 d1 e1 f1; …];~ FRC.iter = [total from to];

~ {[1 1 2],[2 1 3;2 1 6]}~ {[10 15],[0.2 0.8]}

universální vstup (m-file jako f.f.) neomezený počet dimenzí

ResTb = PSOptimizer(PsoData, ‘mFileExmp‘, 25, 175)

PSO input data fitness function agents iteration

function fVal = mFileExmp(sg,in)% sg = ‚eval‘;in.data1, in.data2, in.data3% … zdrojový kód% …% fVal ~ hodnota fitness funkce

19.4.2010 14:48

PSOptimizer: pseudokód


19.4.2010 14:48

Postprocessing


nástroj PSOPost pohyb hejna je názorný omezení jen na dim = 2

19.4.2010 14:48

Vliv parametrů, výsledky


Levy5

kvadrat.fce.

19.4.2010 14:48

Vliv parametrů, výsledky


Levy5 Rosenbrock

19.4.2010 14:48

Rozšíření PSO


SPSO: stretched PSO GSO: kombinace genetického algoritmu (GA) a rojení částic (PSO)

MOPSO: Multiobjective PSO decision & objective space úkolem je nalezení Paretovo hranice (obecně hyperplochy) nutný vyšší level abstrakce

M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV

19.4.2010 14:48

MOPSO


M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV

19.4.2010 14:48

Optimalizace IFS patch antén


Motivace: optimalizace antény vzhledem k fr (pracovní frekvenci), vyzařovacímu diagramu atd.

výhodné vlastnosti fraktálních antén – modální řešení IFS skvělé na optimalizace (zejm. se „spřažením“)

nutná spolupráce všech bloků, ošetření všech vyjímek

Postup:(1) generace antény podle výsledků it-1(2) úprava geometrie, fyziky, ošetření vyjímek(3) CM solver (Comsol, FEM)(4) úprava výsledků, jejich návrat do optimalizátoru

19.4.2010 14:48

Cavity model


= dutinový model anténu považujeme za 2D rezonátor → aproximace

0)( ,2 nznt Ek 2

2

2

2

yxt

, ,0for ; 0 ,0 hzzz zHE

antenna. ofboundary ; 0 ,0 nEH n

. ,2 0

220

nnr

n kc

f

kde

numerický výpočet vlastních čísel rezonanční frekvence potom:

19.4.2010 14:48

Optimalizace IFS patch antén


IFSLimiter – zadávání podmínek (+check, sweep) EvalInFem (obecný problém)

19.4.2010 14:48

Optimalizace obdélníku a FRC_A


19.4.2010 14:48

Optimalizace FRC_B a FRC_C


19.4.2010 14:48

Výsledky


zatím nutná kontrola komerčním softwarem pracujeme na teorii charakteristických modů

pracujeme na multikriteriální optimalizaci (MOPSO)

19.4.2010 14:48

1. problém: určení vnější normály


Můžeme integrovat plošný proud nebo proud na hranách. Výpočet na hranách je výrazně rychlejší:

Problém zejm. s „děravými“ objekty – obtížné určení směru vnějšínormály.

ccVnzL d)...(hledáme

+z / -zvnější normála hodnota pole

na hraně

19.4.2010 14:48

2. problém: operace nad polygony


Existuje algoritmus, který umožňuje vyřadit duplicitní body?

Balík na práci s polygony(Booleovské operace, …)

19.4.2010 14:48

3. problém: vyzařování fraktálních obj.


Fraktální charakter zásadním způsobem měnízpůsob disipace energie.

Lze tvrdit, že fraktálové antény mají – z hlediska vyzařování –optimální TVAR? (Sapoval stanovil hypotézu, že pobřeží máfraktální charakter z důvodu ideálního tlumení dopadající vlny).

Matematicky i fyzikálně velice komplexní problém (viz Sapoval, Berry a další)

IFS+PSO+CM v Matlabu (1)


IFS+PSO+CM v Matlabu (2)


19.4.2010 14:48

Reference


Tým: Ing. Miloslav Čapek (student Ph.D. etapy – 1.rok) Ing. Pavel Hazdra, Ph.D (školitel specialista) Ing. Pavel Hamouz (student Ph.D etapy – 3.rok) Prof. Ing. Miloš Mazánek, CSc. (školitel)- všichni z katedry elektromagnetického pole (K13117)

Podpora: prezentovaná témata budou částí dizertační práce, součást většího

celku (Širokopásmové a multipásmové antény) doktorský grant (DG 13117/13/08005) SGS grant (SGS 10-801700-13117) aplikace využívá diplomant (katedra elmag. pole)

19.4.2010 14:48

Literatura


Publikační činnost: Čapek, M., Hazdra, P.: PSO optimalizace v Matlabu, TCP 2008 Čapek, M.: PSO optimalization of IFS fractal patch antennas, Poster 2009 Čapek, M.: Rojová optimalizace v Matlabu, Rektorysova soutěž 2009 Čapek, M.: Design of IGS Patch Antennas Using Particle Swarm Optimization, EuCAP 2010

Hazdra, P., Čapek, M.: IFS Tool for Fractal Microstrip Patch Antenna Analysis, COMITE, 2008 Hazdra, P., Čapek, M., Kraček, J.: Optimization Tool for Fractal Patches Based on the IFS

Algorithm, EuCAP 2009

Další: Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman,1982 James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. In Proceedings of IEEE

International Conference on Neural Networks,pages 1942–1948, USA, 1995. IEEE Press. Constantine A.Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed., USA, 1997. John Wiley J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, 1989. Peter Peregrinus M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol. 1986 Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization in Electromagnetics. IEEE

Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2, pp.397-407, February 2004 K. E.Parsopoulos, M. N.Vrahatis: Recent approaches to global optimization problems through

Particle Swarm Optimization. Natural Computing, pp.235-306, 2002

Děkuji za pozornost

[email protected]

Documents

Rojová optimalizace v Matlabu - cvut.czmath.feld.cvut.cz/0rese/kolokvia/prezentace/MK_190410_capek.pdf · 19.4.2010 14:48 Dynamické fraktály Matematická kolokvia 2010: Rojová