Román Pérez Enríquez , Centro de Geociencias, UNAM

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Wavelets (0ndeletas)

Román Pérez Enríquez,

Centro de Geociencias, UNAM

A donde quiera que miremos hay señales que podemos analizar. Por ejemplo, hay tremores sísmicos, discurso

humano, vibraciones de máquinas, imágenes médicas, datos financieros, música, y muchos otros tipos de señales. El

análisis de wavelets es una técnica nueva y prometedora para analizar estas señales.



Si escuchamos una sinfonía clásica, oímos muchas partes, usualmente 3 ó 4, cada una de ellas con una clave principal: Do menor, Mi bemol mayor, etc.

El análisis de espectro de potencias de Fourier de la sinfonía revelará, por supuesto, los tonos y sus armónicos, así como otras frecuencias que se repiten en modulaciones y vibraciones.

Si tocamos las partes en otro orden, el espectro de potencias no cambia en absoluto, pero para el escucha se tratará de una pieza totalmente diferente, y más aun si intercambiamos partes dentro de las partes, a una escala más fina.

Por el contrario, el análisis de wavelets no sólo nos da las frecuencias principales, sino que nos indica cuándo ocurren y cuál es su duración.

En palabras de Lau and Went las wavelets “hacen cantar la serie de tiempo”



Características

•La transformada de Wavelets fue diseñada originalmente para estudiar señales no estacionarias.•Como presenta covariancia ante retrasos, parece ser la mejor herramienta para estudiar señales con espectro de ley de potencias.•Se trata de un análisis de tiempo-frecuencia. •Es capaz de revelar aspectos de los datos como tendencias, puntos de quiebre, discontinuidades en las derivadas, y auto-similaridad.•El análisis de wavelets puede muchas veces comprimir o eliminar ruido sin degradación apreciable.



¿Cómo es?

- Una wavelet es una onda de duración efectiva limitada que tiene un valor promedio cero.

-Mientras que el análisis de Fourier consiste en descomponer una señal en funciones de senos de varias frecuencias,- el análisis de wavelets consiste en descomponer una señal en versiones escaladas móviles

de la wavelet original (“madre”).-Sólo viendo wavelets y senoides se puede ver intuitivamente que las señales con cambios

bruscos se pueden analizar mejor con una wavelet irregular, de la misma manera que ciertas comidas se comen mejor con un tenedor que con una cuchara.



Aspectos de escala y de tiempo

•Rugosidad (por ejemplo, aluminio que cubre una naranja y un limón.

•Detección de bordes y Procesos transitorios (por ejemplo, un sismo)



Es una técnica matemática para transformar nuestra visión de la señal de una base temporal a una base de frecuencias.

Transformada de Fourier

Para muchas señales, el análisis de Fourier es muy útil, debido al contenido de frecuencias

en la señal. Entonces, para qué otra técnica como wavelets.Porque, al transformar al dominio de frecuencias, la información temporal se pierde. Es decir, es imposible decir cuándo ocurrió un evento particular. Ahora bien, si las propiedades de la señal no cambian mucho con el tiempo, esto es, si la señal es estacionaria, no importa mucho. Sin embargo, las señales más interesantes son no estacionarias, pues presentan tendencias, cambios bruscos, y comienzos y terminaciones de

eventos, para los cuales el análisis de Fourier NO es adecuado.



Este problema, que se soluciona parcialmente mediante la introducción de una ventana, no

es suficiente, a menos que sea variable, tal como es el caso de wavelets.

C es la suma sobre toda la señal multiplicada por versiones móviles, escaladas, de la función wavelet ψ. La C se llama transformada

continua de wavelet (CWT). Nótese que el análisis de wavelet no utiliza una región de tiempo-frecuencia, sino una de tiempo-escala.



¿Qué puede hacer el análisis de wavelets?

La más grande ventaja es su habilidad para realizar análisis local—es decir, analizar un área localizada de una señal más grande. Veamos un ejemplo:

Una gráfica de los coeficientes de Fourier muestra sólo un espectro plano con dos picos que representan

una sola frecuencia. Sin embargo, una gráfica de los coeficientes de wavelets muestran claramente la localización exacta, en el tiempo, de la discontinuidad.



Cinco pasos para crear una CWT:

1. Tome una wavelet y compárela con una sección al inicio de la señal original.

2. Calcule un número, C, que representa

qué tanto se correlaciona la wavelet con la sección de la señal. Entre mayor sea C, mayor es la semejanza. Más precisamente, si la energía de la señal y

de la wavelet son iguales a uno, C se puede interpretar como el coeficiente de correlación. Hay que hacer notar aquí que los resultados dependen de la forma de la

wavelet que se elija.

3. Mueva la wavelet hacia la derecha y repetir los pasos 1 y 2., hasta cubrir toda la señal.



4. Escale (estire) la wavelet y repita los pasos 1 al 3.

5. Repita los pasos 1 al 4 para todas las escalas.

Al terminar, se tendrán los coeficientes producidos a diferentes escalas, por las diferentes secciones de la señal. Los coeficientes constituyen los resultados de una regresión de la señal original obtenida por las wavelets.Las gráficas de los coeficientes de la transformada de wavelet son precisamente la representación tiempo-escala de la señal.



Esta aparente desventaja (recordemos que el análisis de Fourier nos da una representación frecuencia-amplitud), no es tal ya que en realidad es mucho mas natural, y nos muestra patrones que antes no eran visibles. Es más, podemos ver que

hay una correspondencia entre la escala de las wavelets y la frecuencia que es manifiesta y proviene directamente del análisis.



Sirve para agilizar el proceso, sin tanta memoria requerida, y además se ha encontrado que la eficiencia se puede mantener utilizando escalas diádicas (escalas y posiciones en potencias de 2). Una manera de implementar la DWT es utilizando filtros, lo que lleva a la transformada rápida de wavelets; una caja a la que entra una señal y de la que salen coeficientes.--Para muchas señales, el contenido de bajas frecuencias (“aproximación”, de gran escala) es el más importante. Es el que le da a la señal su identidad. Las altas frecuencias (los “detalles”, de pequeña escala) imparten “sabor”.--El proceso básico se ve así:

La transformada de wavelets discreta (DWT)



Mediante un submuestreo (downsampling) se elimina la duplicación de los datos:

Por ejemplo, una senoide con ruido añadido:

[cA,cD]=dwt(s,’db2’);



El proceso de descomposición puede ser iterado (multinivel):



Reconstrucción de la señal

Mientras que el análisis de wavelets involucra filtraje y submuestreo, la reconstrucción involucra sobremuestreo (upsampling) y filtraje.El sobremuestreo es el proceso de alargar la señal componente insertando ceros entre muestreos.



Descomposición y Reconstrucción (sencilla y múltiple)



Relación entre los filtros y la forma de las wavelets

La elección de los filtros determina la forma de la wavelet a usar para hacer una mejor reconstrucción.Considérese el filtro de reconstrucción pasa baja (L’) para la wavelet db2.



Descomposición de wavelets en paquete:

A diferencia del análisis de wavelets, la de paquete se ve así:



Ejemplo:

Micropulsaciones magnéticas para el día

7/octubre/2001

Decomposición a nivel 5



Estadística de la serie original



Estadística de la serie de coeficientes

detallados

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