Universita degli Studi di L’Aquila

Tesina di Fisica dei Fluidi

Rossby Adjustment Problem

Autore:Maddalena Cataldo

Professore:Guido Visconti

5 agosto 2014

Indice

1 Introduzione al problema 2

2 Risoluzione 22.1 Adjustment senza rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Adjustment con rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Considerazioni di tipo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Risoluzione per via numerica 63.1 Listati dei programmi utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Programma Fortran77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Programma Fortran90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 Script Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Risultati ottenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Osservazioni sulla sezione di computazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Appendice 154.1 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Vorticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Equazioni dell’approssimazione Shallow Water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Metodo Perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Bibliografia 18

1

1 Introduzione al problema

Nel problema che trattero si suppone di avere un fluido in approssimazione di shallow water[Vedere Appendice] inizialmente in equilibrio geostrofico e di perturbare quest’equilibrio. Inseguito alla perturbazione verranno allora a generarsi delle onde inerziali di gravita che agiscono alfine di riportare la distribuzione di massa e del momento di nuovo in condizioni di stabilita.

Questo processo prende il nome di Adjustment geostrofico o Rossby Adjustment. Rossby risolseper primo l’equazione del transitorio negli anni 1930.

Questo problema, con particolari condizioni al contorno, rappresenta il fenomeno schematizzatodi rottura di una diga. Infatti considero inizialmente il fluido in equilibrio con un profilo a gradino(diga a riposo), e successivamente suppongo di perturbare l’equilibrio rompendo la diga, ovveroeliminando praticamente ed istantaneamente il muro di separazione tra i due blocchi di fluido.Questo portera allo stabilirsi di un nuovo equilibrio dopo una situazione di transito. Il tuttoviene trattato, per semplicita, nel caso unidimensionale, cioe nel piano xz e nel caso di un fluidoincomprimibile in cui vale l’approssimazione di shallow water. In tutta la trattazione viene resaimplicita l’applicazione del metodo perturbativo [Vedere Appendice].

2 Risoluzione

2.1 Adjustment senza rotazione

Voglio calcolare la soluzione stazionaria considerando un fluido in condizioni di shallow water esenza rotazione, cioe con f0 = 0 le equazioni del momento e di continuita [Vedere Appendice] sono:

∂u′

∂t= −g ∂η

′

∂x

∂v′

∂t= −g ∂η

′

∂y

∂η′

∂t+H

(∂u′

∂x+∂v′

∂y

)= 0

Derivo la prima rispetto ad x, la seconda rispetto ad y e le sommo fra loro ottenendo:

∂

∂t

(∂u′

∂x+∂v′

∂y

)= −g

(∂2η′

∂x2+∂2η′

∂y2

)mettendo ora questo risultato insieme alla terza equazione ottengo:

− 1

H

∂2η′

∂t2= −g

(∂2η′

∂x2+∂2η′

∂y2

)Che rappresenta l’equazione di un oscillatore armonico con c2 = gH, che ha per soluzione unafunzione della forma:

η′(x, t) =1

2[G(x− ct) +G(x+ ct)]

2

con G(x− ct) ∼ ei(x−ct). Ho cosı imposto per semplicita che η′ non dipenda da y per cui ho dallaseconda equazione del moto che v′(t = 0) = v′(t) rimane, cioe, costante nel tempo. Mentre possoricavare la componente della velocita u′(x, t) dalla prima equazione nel seguente modo:

∂u′

∂t= −g

2

∂η′(x, t)

∂x

Integrando rispetto ad t:

u′(x, t) = − g

2c[G(x− ct)−G(x+ ct)]

A questo punto occorre imporre le condizioni iniziali seguenti, per ottenere la soluzione completa:

u(x, 0) = 0

v(x, 0) = 0

η(x, 0) = −η0sgn(x)

Il profilo iniziale di η′ e a gradino e le componenti della velocita iniziale sono entrambe nulle. Siosserva in conclusione che le due componenti del fluido, quella per x > 0 e per x < 0, all’aumentaredel tempo mantengono la loro forma iniziale ma si allontanano indefinitamente nel modo presentatoin figura raggiungendo la condizione di equilibrio solo per t = +∞ e per distanze infinite: x = ∞.L’evoluzione temporale presenta un andamento di questo tipo:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-30 -20 -10 0 10 20 30

eta

/eta

0

x/lambdaR

eta

-3

-2

-1

0

1

2

3

-30 -20 -10 0 10 20 30

eta

/eta

0

x/lambdaR

eta

-3

-2

-1

0

1

2

3

-30 -20 -10 0 10 20 30

eta

/eta

0

x/lambdaR

eta

2.2 Adjustment con rotazione

Calcolo la soluzione stazionaria nel caso di fluido con rotazione. Le equazioni del moto e di continuitaper un fluido in cui e presente la rotazione, cioe con f0 6= 0 sono :

∂u′

∂t− f0v′ = −g ∂η

′

∂x

∂v′

∂t+ f0u

′ = −g ∂η′

∂y

∂η′

∂t+H

(∂u′

∂x+∂v′

∂y

)= 0

Derivo la prima rispetto ad x e la seconda rispetto ad y e le sommo ottenendo:

3

∂2η′

∂t2− c2

(∂2η′

∂x2+∂2η′

∂y2

)+ f0Hζ

′ = 0

Dove con c indico la velocita di fase delle onde di gravita inerziali il cui quadrato e pari ac2 = gH, mentre ricordiamo che la vorticita ζ e pari a ζ = ∂v′

∂x −∂u′

∂y di cui nell’equazione abbiamoconsiderato le sue variazioni.

Abbiamo ora bisogno di un’altra equazione che ci determina la dipendenza tra η e ζ e vienericavata nel seguente modo:

Sottraggo alla seconda derivata rispetto ad x la prima derivata rispetto ad y:

∂ζ ′

∂t+ f0

(∂u′

∂x+∂v′

∂y

)= 0

Sostituisco adesso alla somma delle due derivate meno la derivata temporale di η′ fratto H,ricavata dalla equazione di continuita, e raccolgo la derivata temporale:

∂

∂t

(ζ ′

f0− h′

H

)= 0

Questa rappresenta l’equazione della conservazione della vorticita potenziale nel tempo,indicata con:

Q =ζ

f0− h

H

Infatti integrando rispetto al tempo si ottiene che la vorticita potenziale al tempo t = 0 e paria quella calcolata in qualsiasi istante di tempo.

Q′(x, y, t) = Q′(x, y, 0)

Mettendo ora insieme le due equazioni ottengo l’equazione che regola l’Adjustment geostroficoin un fluido barotropico:

∂2η′

∂t2− c2

(∂2η′

∂x2+∂2η′

∂y2

)+ f20 η

′ = −f0(Hζ ′0 − f0η′0)

Dove ho indicato con ζ ′0 e η′0 i valori delle variazioni nella vorticita e nell’altezza al tempo t = 0.Per trovare la soluzione stazionaria bisogna imporre le condizioni iniziali.Fisso al tempo t = 0:

u(x, 0) = 0

v(x, 0) = 0

ζ(x, 0) = 0

η(x, 0) = −η0sgn(x)

Impongo come condizione iniziale quindi che la velocita sia nulla, la vorticita nulla e il profilo siaa gradino. Si puo, come gia detto, pensare di stare trattando il caso reale di una diga inizialmentein equilibrio dove il profilo del fluido e schematizzato come un gradino di altezza ±η0.

4

Considero adesso per semplicita il caso unidimensionale, in cui non c’e dipendenza da y. Dalmomento che inizialmente η si trova solo sul piano xz allora anche la soluzione finale giacera sullostesso piano.

Fatta questa supposizione posso allora riscrivere l’equazione dell’adjustment nel seguente modo:

∂2η′

∂t2− c2

(∂2η′

∂x2

)+ f20 η

′ = −f20 η′0sgn(x)

Sempre ricordando che la vorticita si conserva per cui rimane costante dall’instante 0 in poi.La soluzione stazionaria sara la somma della soluzione dell’omogenea piu una soluzione partico-

lare η′(x) = η′omogenea(x) + η′particolare(x).

La soluzione dell’omogenea e pari a η′omogenea(x) = Aefc x+Be−

fc x. Mentre la soluzione partico-

lare si trova con il metodo dei coefficienti indeterminati e sapendo che la forma deve essere del tipoη′particolare(x) = Csgn(x) mettendo questa soluzione nella equazione iniziale si vede che C = −η0Successivamente imponendo che la soluzione sia continua nel punto x = 0 si trovano i valori dellecostanti A, B.

La soluzione finale e la seguente:

η′(x) = η0

e−

fc x − 1 x ≥ 0

1− efc x x < 0

Mentre ricavo il campo di velocita tramite la seconda equazione, in cui ho imposto la condizionedi stazionarieta e dal momento che η′ e indipendente da y ottengo questo risultato:

0 + f0u′ = −g ∂η

′

∂y= 0

Da cui ottengo che u′(0) = 0 e sostituendolo nella prima equazione ed imponendo la stazionarietav ha questa forma:

v′ =g

f0

∂η′

∂x= − gη0

f0λRe− |x|λR

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-10 -5 0 5 10

v/v

0

x/lambdaR

v

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10 -5 0 5 10

eta

/eta

0

x/lambdaR

eta

Nota: Viene definito λR = cf =

√gHf come il raggio di deformazione di Rossby che

rappresenta la scala di lunghezze su cui il fluido risente dell’effetto della rotazione.

5

2.3 Considerazioni di tipo energetico

Calcolo l’energia dispersa nel processo semplicemente calcolando la variazione dallo stato inizialee finale. Nello stato iniziale l’energia e totalmente potenziale, il fluido e in equilibrio. L’energiapotenziale per unita di area e : ∫ h′

0

ρgzdz = ρgh′2

2

Quindi l’energia potenziale dispersa per unita di lunghezza lungo y sara data dall’integrazionesu tutto l’asse x :∫ +∞

−∞ρgh202dx−

∫ +∞

−∞ρgh′2

2dx = 2

∫ +∞

0

ρgh202

[1− (1− e−x/λR)2]dx =3

2ρgh20λR

Nel caso in cui non abbiamo rotazione, cioe per λR → ∞, tutta l’energia potenziale vienetrasformata in energia cinetica. In questo caso viene dispersa infinita energia sottoforma di ondedi gravita; lo stato finale e rappresentato dalla superficie statica e che si estende per tutto x→∞e per t→∞.

Nel caso in cui e presente anche rotazione la quantita precedentemente calcolata viene trasforma-ta in energia cinetica, e di questa solo 1

3 rimane in circolo all’interno del sistema anche in condizionistazionarie. Questa energia cinetica per unita di lunghezza infatti e data da :

2

∫ +∞

0

ρHν′2

2dx = ρH

(gh0fλR

)2 ∫ +∞

0

e−2x/λRdx =1

2ρgh20λR

3 Risoluzione per via numerica

Per quanto riguarda la soluzione del transitorio tra i due stati in equilibrio geostrofico, iniziale efinale, questa non puo essere ottenuta analiticamente, ma esclusivamente per via numerica.

Per la risoluzione numerica del problema ho utilizzato un programma scritto in Fortran77, che hotradotto successivamente in Fortran90. Questo perche il processore del computer che ho utilizzatonon riusciva a compilare quel tipo di codice. Il programma presenta la soluzione della equazionedi Bessel che a meno di costanti e quella che regola il transitorio del nostro sistema. Un esempiomolto piu generico di una funzione di Bessel puo essere questo:

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − α2)y = 0

Per questo tipo di equazione si e utilizzata la funzione gia presente nelle librerie del codice, comesi vede dal listato.

3.1 Listati dei programmi utilizzati

Vengono di seguito riportati entrambi i listati. Dal primo programma non e stato prodotto alcunrisultato.

6

3.1.1 Programma Fortran77

1 c2 c Rossby Adjustment Problem ( Trans ients )3 c G i l l (1982) chapter 7 .34 c5 c compi les wi th f o r t r a n g77 om MacBook Pro OS X 1 0 . 5 . 86 c7 c Oct .−4 , 2005 Andreas Muenchow , U n i v e r s i t y o f Delaware8 c Mar.−16 , 20129 c

10 double p r e c i s i o n u (50 ,400) , eta (50 ,400) , v (50 ,400)11 r e a l eta0 , dx , arg , arg1 , arg2 , x , x1 , x212 r e a l a , c , f , h13 open ( un i t =7, f i l e=’ ad jus t . dat ’ )14 c15 c A l l u n i t s are SI16 c17 eta0 = 1 .18 f = 0.000119 g = 9.8120 H = 100 .21 c = s q r t ( g∗H)22 a = c/ f23 c24 c ” i t ” r e p r e s e n t s the time s t e p p i n g25 c ” i x ” r e p r e s e n t s the space s t e p p i n g26 c27 do 1 i t =1 ,2028 c do 2 i x = 1 ,429 do 2 ix = 1 ,40030 t = 0 .5/ f ∗ f l o a t ( i t ) ∗431 x = 0.5∗ a∗ f l o a t ( ix−1) ∗0 .132 c33 c Keep t r a c k o f where the ” f r o n t ” i s34 c35 i f ( x . l t . c∗ t ) then36 c37 c Eq . ( 7 . 3 . 1 4 )38 c39 arg = f ∗ s q r t ( t ∗ t−x∗x/c/c )40 u( i t , i x ) = g∗ eta0 /c∗BesJ0 ( arg )41 c42 c c a l c u l a t e v ( x , t ) as the i n t e g r a l o f u( x , t ) as d ( v ) / dt=−f ∗u from y−

momentum

7

43 c c a l c u l a t e e ta ( x , t ) as the i n t e g r a l o f u( x , t ) as d ( e ta ) / dt=−h∗d (u) /dxfrom c o n t i n u i t y

44 c45 v ( i t , i x ) = 0 .46 eta ( i t , i x ) = 0 .47 dx = a ∗0 .0548 do 3 i t t =1, i t ∗10049 t = 0 .5/ f ∗ f l o a t ( i t t ) ∗0 .0450 t2 = t ∗ t51 c2 = c∗c52 x1 = x−dx53 x2 = x+dx54 xx = s q r t (max( x1∗x1 , x2∗x2 ) )55 i f (max(x , xx ) . l t . c∗ t ) then56 arg = f ∗ s q r t ( t2−x∗x/c2 )57 arg1 = f ∗ s q r t ( t2−x1∗x1/c2 )58 arg2 = f ∗ s q r t ( t2−x2∗x2/c2 )59 v ( i t , i x ) = v ( i t , i x )−BesJ0 ( arg )60 c t e s t 1 = BesJ0 ( arg2 )61 c t e s t 2 = −BesJ0 ( arg1 )62 c w r i t e (6 ,∗ ) t e s t 1 , t e s t 2 , t e s t 1+t e s t 263 eta ( i t , i x ) = eta ( i t , i x )−eta0 ∗( BesJ0 ( arg2 )−BesJ0 (

arg1 ) )64 e l s e65 eta ( i t , i x ) = 0 .66 end i f67 3 cont inue68 c s c a l i n g time−s t e p space−

s t e p69 v ( i t , i x ) = g∗ eta0 /c∗ v ( i t , i x ) ∗0 . 5∗0 . 0470 eta ( i t , i x ) = c∗ eta0 ∗ eta ( i t , i x ) ∗0 .5∗0 .04/ f /dx /2 .71 e l s e72 u( i t , i x ) = 0 .73 eta ( i t , i x ) = −eta074 v ( i t , i x ) = 0 .75 end i f76 2 cont inue77 101 format ( f 6 . 2 , 10 f9 . 3 )78 102 format ( f 6 . 2 , 10 f9 . 5 )79 1 cont inue80 c81 c For some unknown reason e ta ( i t , i x ) becomes a ”nan” on occas ion82 c f o r some even ” i x ” (akm Mar.−15 , 2012)83 c84 do 4 ix =1 ,400 ,285 wr i t e (7 ,101) ( ix−1) ∗0 . 5∗0 . 1 , ( u( i t , i x ) , i t =1 ,20 ,2)

8

86 wr i t e (8 ,102) ( ix−1) ∗0 . 5∗0 . 1 , ( eta ( i t , i x ) , i t =1 ,20 ,2)87 wr i t e (9 ,101) ( ix−1) ∗0 . 5∗0 . 1 , ( v ( i t , i x ) , i t =1 ,20 ,2)88 4 cont inue89 wr i t e (10 ,103) ( f l o a t ( i t ) /4 ,u( i t , 4 ) , v ( i t , 4 ) , i t =1 ,50)90 103 format ( f 5 . 1 , 2 f 9 . 3 )91 stop92 end

3.1.2 Programma Fortran90

1 ! ======================================2 ! Rossby Adjustment Problem ( Trans ients )3 ! September , 20134 ! Maddalena Cataldo5 ! ======================================6 program t e s i n a7 i m p l i c i t none8

9 r ea l ,DIMENSION(50 ,400) : : u , eta , v10 r e a l : : eta0 , dx , arg , arg1 , arg2 , x1 , x211 r e a l : : a , c , f , H, t , x , xx , t2 , c2 , g12 i n t e g e r : : i t , ix , i t t13

14 open ( un i t =7, f i l e=” dat/u . dat ” )15 open ( un i t =8, f i l e=” dat/ eta . dat ” )16 open ( un i t =9, f i l e=” dat/v . dat ” )17 open ( un i t =10, f i l e=” dat/uvt . dat ” )18

19 ! A l l u n i t s are SI20

21 eta0 = 1 .22 f = 0.000123 g = 9.8124 H = 10025 c = s q r t ( g ∗ H)26 a = c / f27

28 ! ” i t ” r e p r e s e n t s the time s t e p p i n g29 ! ” i x ” r e p r e s e n t s the space s t e p p i n g30 do i t = 1 ,2031 do ix = 1 ,40032 t = 0 .5 / f ∗ f l o a t ( i t ) ∗ 433 x = 0 .5 ∗ a ∗ f l o a t ( i x − 1) ∗ 0 .134

9

35 i f ( x . l t . c∗ t ) then36 arg = f ∗ s q r t ( t ∗ t − x ∗ x / c / c )37

38 u( i t , i x ) = g ∗ eta0 / c ∗ BESSEL J0( arg )39

40 ! c a l c u l a t e v ( x , t ) as the i n t e g r a l o f u( x , t ) as d ( v ) / dt=−f ∗u from y−momentum

41 ! c a l c u l a t e e ta ( x , t ) as the i n t e g r a l o f u( x , t ) as d ( e ta ) / dt=−h∗d (u) /dx from c o n t i n u i t y

42 v ( i t , i x ) = 0 .43 eta ( i t , i x ) = 0 .44 dx = a ∗0 .0545

46 do i t t = 1 , i t ∗10047 t = 0 .5/ f ∗ f l o a t ( i t t ) ∗0 .0448 t2 = t ∗ t49 c2 = c∗c50 x1 = x−dx51 x2 = x+dx52 xx = s q r t (max( x1∗x1 , x2∗x2 ) )53

54 i f (max(x , xx ) . l t . c∗ t ) then55 arg = f ∗ s q r t ( t2 − x ∗ x / c2 )56 arg1 = f ∗ s q r t ( t2 − x1 ∗ x1 / c2 )57 arg2 = f ∗ s q r t ( t2 − x2 ∗ x2 / c2 )58 v ( i t , i x ) = v ( i t , i x ) − BESSEL J0( arg )59

60 eta ( i t , i x ) = eta ( i t , i x ) − eta0 ∗ (BESSEL J0( arg2 )− BESSEL J0( arg1 ) )

61 e l s e62 eta ( i t , i x ) = 0 .63 end i f64 end do65

66 v ( i t , i x ) = g ∗ eta0 / c ∗ v ( i t , i x ) ∗ 0 .5 ∗ 0 .0467 eta ( i t , i x ) = c ∗ eta0 ∗ eta ( i t , i x ) ∗ 0 .5 ∗ 0 .04 / f / dx

/ 2 .68 e l s e69 u( i t , i x ) = 0 .70 eta ( i t , i x ) = −eta071 v ( i t , i x ) = 0 .72 end i f73 end do74

75 101 format ( f 6 . 2 , 10 f9 . 3 )76 102 format ( f 6 . 2 , 10 f9 . 5 )

10

77 end do78

79 do ix = 1 , 400 , 280 wr i t e (7 , 101) ( i x − 1) ∗ 0 .5 ∗ 0 . 1 , (u( i t , i x ) , i t = 1 , 20 , 2)81 wr i t e (8 , 102) ( i x − 1) ∗ 0 .5 ∗ 0 . 1 , ( eta ( i t , i x ) , i t = 1 , 20 , 2)82 wr i t e (9 , 101) ( i x − 1) ∗ 0 .5 ∗ 0 . 1 , ( v ( i t , i x ) , i t = 1 , 20 , 2)83 end do84

85 wr i t e (10 , 103) ( f l o a t ( i t ) / 4 , u( i t , 4) , v ( i t , 4) , i t = 1 , 50)86

87 103 format ( f 5 . 1 , 2 f 9 . 3 )88

89 end program

3.1.3 Script Gnuplot

Utilizzando Gnuplot sono stati graficati i dati forniti dal secondo programma. Ho scritto tre diversiscript, uno per ogni variabile, al fine di velocizzare il procedimento della generazione dei grafici deisalvataggi e della loro modifica e perfezionemento. Di seguito riporto lo script della variabile u incui, per ottenere gli altri, sono stati modificati solo nome della variabile, colore e tipologia dei punti.

infile(name) = sprintf("dat/%s.dat", name)

outfile(name, number) = sprintf("animation/%s/%s_%2.1f.eps", name, name,

number)

ylabelname(name, time) = sprintf("%s(x, %2.1f) (m/s)", name, time)

func = "u"

set term postscript eps enh color

do for [i=2:11]

time = 2 * i - 3

set output outfile(func, time)

set xlabel "x (m)"

set ylabel ylabelname(func, time)

set style line 5 lt rgb "red" lw 3 pt 3

plot infile(func) using 1:i with lp ls 5 title func, infile(func)

using (-1)*$1:i with lp ls 5 notitle

11

3.2 Risultati ottenuti

I dati forniti rappresentano i vari andamenti delle componenti lungo x (u) e lungo y (v) del profilodella velocita, in funzione della coordinata spaziale x (caso unidimensionale). Mentre con η erappresentata la coordinata la cui variazione indica gli spostamenti del profilo del fluido lungol’asse z, rispetto alla posizione media z = H. Ogni immagine rappresenta una fotografia a tempofissato, e dalla sequenza di tutte le immagini ottengo l’andamento temporale dei vari profili.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

1.0

) (m

/s)

x (m)

eta

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 3

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 3

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

3.0

) (m

/s)

x (m)

eta

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 5

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 5

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

5.0

) (m

/s)

x (m)

eta

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 7

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 7

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

7.0

) (m

/s)

x (m)

eta

12

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 9

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 9

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

9.0

) (m

/s)

x (m)

eta

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

1.0

) (m

/s)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

1.0

) (m

/s)

x (m)

v

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

11

.0)

(m/s

)

x (m)

eta

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 7

.0)

(m/s

)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 7

.0)

(m/s

)

x (m)

v

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

7.0

) (m

/s)

x (m)

eta

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

3.0

) (m

/s)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

3.0

) (m

/s)

x (m)

v

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

13

.0)

(m/s

)

x (m)

eta

13

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

5.0

) (m

/s)

x (m)

u

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

5.0

) (m

/s)

x (m)

v

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

15

.0)

(m/s

)

x (m)

eta

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

7.0

) (m

/s)

x (m)

u

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

7.0

) (m

/s)

x (m)

v

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

17

.0)

(m/s

)

x (m)

eta

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

u(x

, 1

9.0

) (m

/s)

x (m)

u

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

v(x

, 1

9.0

) (m

/s)

x (m)

v

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

eta

(x,

19

.0)

(m/s

)

x (m)

eta

Figura: Adjustment di u, v, η (in ordine)

3.3 Osservazioni sulla sezione di computazione

• Il programma e scritto in modo che dia soluzioni esclusivamente per la parte di fluido inx > 0, per questo motivo all’interno dello script di Gnuplot ho fatto in modo che il graficofosse riportato a specchio anche nella parte in cui x < 0, in modo da ottenere una visionecompleta del fenomeno e che rispecchiasse al meglio il problema schematizzato della digatrattato nella sezione degli stati stazionari. C’e comunque da dire che non sono riuscita atraslare i due blocchi delle funzioni lungo l’asse y, per cui il problema rappresentato non eesattamente quello di cui ho parlato nella sezione degli stati stazionari.

• Dovendo riscrivere il programma, ho scelto di utilizzare Fortran90 perche e il linguaggio ame piu noto, ed inoltre e particolarmente adatto per la risoluzione di questo tipo di problemicomputazionali anche dal punto di vista della velocita di calcolo.

• Ho scelto di presentare un numero di immagini pari a dieci prese nei diversi intervalli di tempoprogressivi dal momento che, dopo vari tentativi, in questo modo la soluzione risultava essere

14

chiaramente leggibile. Ho fatto la stessa considerazione per tutte e tre le variabili. Gli istantidi tempo, come si vede dal programma (ll. 80, 81, 82), sono presi partendo da t = 1 edaumentando di due unita.

• Nei grafici vengono riportati sugli assi i valori delle variabili non normalizzate ma con le lorounita di misura. Per una questione di ordine ho preferito riportare i grafici affiancati facendocorrispondere lungo le righe i grafici agli istanti di tempo uguali per tutte le variabili piuttostoche ingrandirli per far sı che si leggessero meglio le didascalie. Ho ritenuto piu importanteuna lettura d’insieme chiara.

4 Appendice

4.1 Equazione di continuita

Considero un fluido che fluisce attraverso una superficie chiusa S con una certa velocita |v| in modulocostante ma il cui vettore varia punto per punto sulla superficie. Allora questo flusso di materiapuo essere scritto nel seguente modo ed uguagliato alla variazione di massa nel tempo (uscente):

Φ(~r, t) =

∫S

ρ~v · ~ndS = −∂m∂t

dove ho indicato con ρ la denita del fluido, con ~n la normale alla superficie S nel punto individuatodal vettore posizione ~r. Adesso sostituisco ad m =

∫VρdV dove V e il volume racchiuso nella

superficie. ∫S

ρ~v · ~ndS = − ∂

∂t

∫V

ρdV

Dal teorema della Divergenza ottengo:∫V

∇ · (ρ~v)dV = − ∂

∂t

∫V

ρdV

Posso allora portare dentro la derivata temporale e uguagliare i due integrandi:

∇ · (ρ~v) = −∂ρ∂t

Scomponendo la divergenza di ρ~v ottengo:

ρ(∇ · ~v) + ~v · ∇(ρ) +∂ρ

∂t= 0

Definisco i due termini ~vρ∇(ρ) + ∂ρ∂t = Dρ

Dt la derivata totale della densita, ed infine ho:

1

ρ

Dρ

Dt= −∇ · ~v

Ho cosı ricavato l’ equazione di continuita o legge di conservazione della massa. Da questorisultato ricaviamo la condizione di incompressibilita, ovvero se stiamo trattando, come nel nostrocaso, un fluido incompressibile cioe per cui la densita rimane costante allora abbiamo che la suaderivata e nulla, da cui ricavo la equazione di continuita in questo caso:

∇ · ~v = 0 =⇒ ∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0.

15

4.2 Equazioni del moto

Considero l’equazione del moto di un fluido sottoposto ad un gradiente di pressione e ad un genericopotenziale gravitazionale indicato come un gradiente del campo di forze:

∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v = −∇P

ρ−∇Φ

Adesso ricordo per la proprieta dell’algebra vettoriale

(∇× ~v)× ~v = (~v · ∇)~v − 1

2∇(~v · ~v)

(~v · ∇)~v = (∇× ~v)× ~v +1

2∇(~v · ~v)

Sostituisco nell’equazione iniziale ed ho:

∂~v

∂t+ (∇× ~v)× ~v +

1

2∇(~v · ~v) = −∇P

ρ−∇Φ

Definisco ora la vorticita come ~Ω = ~∇×~v ed ottengo infine l’equazione generale del moto del fluido:

∂~v

∂t+ ~Ω× ~v +

1

2∇(~v · ~v) = −∇P

ρ−∇Φ

4.3 Vorticita

Ho appena definito la vorticita, una grandezza necessaria per determinare un fluido in movimento.Adesso ne determino la sua evoluzione temporale. Considero l’equazione del moto precedentementetrovata e applico il rotore ad entrambi i membri:

~∇× (∂~v

∂t+ ~Ω× ~v) = ~∇× (−1

2∇(~v · ~v)− ∇P

ρ−∇Φ)

Ora osservo che il secondo membro e sempre nulla indipendentemente dalle funzioni all’internodelle parentesi, dal momento che ho un rotore applicato sul gradiente. Ho cosı ricavato l’equazioneche determina l’evoluzione temporale della vorticita. Questa insieme alle altre equazioni trovateprecedentemente mi determina interamente il fluido incompressibile in moto.

∂~v

∂t+ ~Ω× ~v +

1

2∇(~v · ~v) = −∇P

ρ−∇Φ

~∇× (∂~v

∂t+ ~Ω× ~v) = 0

∇ · ~v = 0

4.4 Equazioni dell’approssimazione Shallow Water

Ho ricavato le equazioni che regolano il moto di un fluido incompressibile e che comprendono casimolto generali. Adesso pero voglio adattarle al caso semplificato esaminato nella nostra trattazione.Innanzitutto considero l’equazione di continuita ∂u

∂x + ∂v∂y + ∂w

∂z = 0, suppongo che ∂u∂x e ∂v

∂y siano

16

indipendenti dalla coordinata z. Fisso il suolo a z = 0 e, secondo la teoria delle perturbazioni dicui parlero in seguito, fisso la coordinata della profondita z = H + η, con H l’altezza media ed ηl’elevazione. Integro questa equazione in dz da 0 a H + η:

(H + η)

(∂u

∂x+∂v

∂y

)= −

∫ H+η

0

∂w

∂zdz

(H + η)

(∂u

∂x+∂v

∂y

)+

∫ H+η

0

dw = 0

(H + η)

(∂u

∂x+∂v

∂y

)+ w(H + η)− w(0) = 0

Ora fisso la velocita nulla in z = 0, ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento che w(H + η) =D(H+η)Dt = Dη

Dt dato che H e costante e non varia nel tempo.

w(η) =∂η

∂t+∂η

∂xu+

∂η

∂yv

(H + η)

(∂u

∂x+∂v

∂y

)+∂η

∂t+∂η

∂xu+

∂η

∂yv = 0

∂η

∂t+

∂

∂x[u(H + η)] +

∂

∂y[v(H + η)] = 0

Se H >> η cioe l’altezza media e molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nella somma conH:

∂η

∂t+H

[∂u

∂x+∂v

∂y

]= 0

Adesso considero la equazione del moto, divisa lungo le due componenti x ed y, e considero inoltreche le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro, in questo caso, possoscriverle cosı ∂P

∂x = ρg ∂η∂x , ∂P∂y = ρg ∂η∂y . Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale tra la velocita e

la vorticita ottengo due termini di questo tipo (~Ω × ~v)x = −2Ωvsenφ, (~Ω × ~v)y = 2Ωusenφ, dovecon φ indico l’angolo che e la coordinata dell’elementino generico che ruota. Definisco adesso comef = 2Ωsenφ = 2|~∇ × ~v|senφ il fattore comune che prende il nome di Parametro di Coriolis.Mettendo insieme queste considerazioni allora ho:

∂u

∂t− fv = −1

ρ

∂P

∂x= −g ∂η

∂x

∂v

∂t+ fv = −1

ρ

∂P

∂y= −g ∂η

∂y

In conclusione, le seguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditamedia e piccola rispetto alle lunghezze d’onda tipiche delle onde che vi si generano all’interno.

∂u

∂t− fv = −g ∂η

∂x∂v

∂t+ fv = −g ∂η

∂y

∂η

∂t+H

[∂u

∂x+∂v

∂y

]= 0

17

4.5 Metodo Perturbativo

In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicita ogni variabile composta da una partecostante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabile, e una parteinvece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da t ed x, y, z. Per esempioper la componente rispetto ad x della velocita scrivo u = u+ u′. Utilizzando queste considerazionisi posso fare delle semplificazioni utili in espressioni del tipo:

u∂u

∂t= (u+ u′)

∂(u+ u′)

∂t' u∂u

′

∂

In cui so che la derivata di u e nulla essendo questo costante, ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni, cioe del secondo ordine,poiche piccoli rispetto a quelli del primo ordine.

5 Bibliografia

• James R. Holton, An introduction to Dynamic Meteorology (fourth edition)

• Ross Tulloch, (April 29, 2004) Rotation and nonlinear effects in shallow water: the Rossbyadjustment problem

• Appunti del corso di Fisica dei Fluidi (2012/2013), prof. G. Visconti.

18