ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO

El movimiento de un objeto extendido, como una rueda que gira sobre a su eje, no se puede explicar por el movimiento de una partícula, ya que el objeto extendido posee diferentes velocidades y aceleraciones, para lo cual se puede expresar como un conjunto de partículas donde cada una tiene su propia velocidad y aceleración. Así mismo es más sencillo al suponer que el objeto es rígido, es decir, que no sea deformable, aunque todos los objetos se deforman pudiendo ser despreciable.

10.1 POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR

En esta figura se observa un movimiento circular, suponiendo que el disco esta girando en su propio eje, en un punto dado P éste gira respecto al origen O y forma un radio r, esto sucede en cualquier punto del disco. Representando P con sus coordenadas polares (r, θ), donde r es el radio desde el origen a P y θ se mide contra las manecillas del reloj desde una línea de referencia fija en el espacio. Aquí θ cambia en el tiempo y r permanece constante. Conforme la partícula va avanzando desde la línea de referencia, en θ = 0, se mueve a través de una longitud de arco s. La longitud de arco s se relaciona con el ángulo V, esto es:

s=rθ

θ= sr

Ya que θ es la relación de una longitud de arco (en rad) y el radio del círculo, es un número puro.

Al ser el disco un cuerpo rígido, cualquier partícula de éste, como todo el disco se mueve en un ángulo θ, lo cual permite definir la posición angular de un objeto rígido en su movimiento rotacional. Se toma una linea de referencia en el objeto, como una línea que conecte O y una partícula cualquiera. La posición angular del objeto será el ángulo θ entre la línea de referencia del objeto y la línea de referencia fija en el espacio, normalmente el eje x. Esto es similar al desplazamiento de un objeto con una posición de referencia, es decir, conforme la

partícula ciaja de A a B en un tiempo Δt, la línea de referencia fija al objeto se desplaza un ángulo Δθ = θ f - θ i. Este Δθ se define como el desplazamiento angular del objeto rígido: Δθ = θ f - θ i

La rapidez del desplazamiento angular se define como la rapidez angular promedio Wprom

(omega) como la relación del desplazamiento angular en un intervalo de tiempo Δt

La rapidez angular instantánea W es el límite de la rapidez angular promedio conforme Δt tiende a cero:

W es positiva cuando θ aumenta (movimiento contra las manecillas del reloj) y negativa cuando θ disminuye (en sentido de las manecillas del reloj).

Si la rapidez angular instantánea cambia de W i a Wf , el objeto presenta una aceleración angular. La aceleración angular promedio es:

En analogía con la aceleración lineal, la aceleración angular instantánea se define como el límite de la aceleración angular promedio conforme Δt tiende a cero:

α es positivo cuando un objeto rígido que gira contra las manecillas del reloj aumenta su velocidad o cuando un objeto rígido que gira en sentido de las manecillas del reloj disminuye su velocidad. Cuando un objeto rigido gira en su eje, las particulas y el cuerpo presentan la misma aceleración, velocidad y desplazamiento angulares (θ, ω y B).

unidad rad/s

unidad rad/s2

1.2 CINEMÁTICA ROTACIONAL

Cuando un objeto rígido da vueltas respecto a un eje fijo, frecuentemente se tiene una

aceleración constante, definiremos sus formulas. Al escribir en la forma dω = α dt e integrar desde ti = 0 hasta tf =t se obtiene

10.6

donde ωi es la rapidez angular del objeto rígido en el tiempo t = 0. La ecuación 10.6 permite encontrar la rapidez angular ωf del objeto en cualquier tiempo posterior t. Al sustituir la ecuación 10.6 en la ecuación 10.3 e integrar una vez más, se obtiene

10.7

donde θi es la posición angular del objeto rígido en el tiempo t = 0. La ecuación 10.7 permite encontrar la posición angular θf del objeto en cualquier tiempo posterior t. Al eliminar t de las ecuaciones 10.6 y 10.7 se obtiene

10.8

Esta ecuación permite encontrar la rapidez angular ωf del objeto rígido para cualquier valor de su posición angular θf. Si se elimina α entre las ecuaciones 10.6 y 10.7, se obtiene

10.9

.

1.3 CANTIDADES ANGULARES Y TRASLACIONALES

Aquí se desbribiran las relaciones de la rapidez y la aceleración angulares de un objeto rígido en rotación y la rapidez y la aceleración traslacionales de un punto en el objeto.

El vector velocidad traslacional V siempre es tangente a la trayectoria, se llama velocidad tangencial. La magnitud de la velocidad tangencial del punto P es por definición la rapidez tangencial v = ds/dt, donde s es la distancia que recorre este punto medida a lo largo de la trayectoria circular. Al recordar que s =rθ y r constante:

Ya que dV/dt = W, v = rω

La aceleración angular del objeto rígido en rotación relaciona con la aceleración tangencial del punto P al tomar la derivada en el tiempo de v:

Ya que v = rω para un punto P en un objeto en rotación, la aceleración centrípeta es:

Y su magnitud:

1.4 ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL

Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece estacionario en el espacio, por lo tanto no hay energía cinética asociada con el movimiento traslacional. Las partículas individuales del objeto se mueven a través del espacio en trayectorias circulares. En

consecuencia, con el movimiento rotacional hay energía cinética asociada.

En un objeto de un conjunto de partículas suponga que da vueltas en torno a un eje fijo z con una rapidez angular W e identifique una partícula sobre el objeto a una distancia ri del eje de rotación. Si la masa de la i–ésima partícula es mi y su rapidez tangencial es vi:

La energía cinética total:

1.5 CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia de un objeto extendido se evalúa como el objeto dividido en

muchos elementos pequeños, cada uno con masa Δm i. Se usa la definición I=∑i

ri2 Δmiy

se toma el límite de esta suma a medida que Δmi→0. En este límite, la suma se convierte en una integral sobre el volumen del objeto:

Es más fácil calcular momentos de inercia en con su volumen, ρ= m/V, donde S es la densidad del objeto y V su volumen. De esta ecuación, la masa de un pequeño elemento

es dm =ρ dV. Al sustituir este resultado en la ecuación 10.17 se obtiene I=∫ ρ r2dV

1.6 MOMENTO DE TORSIÓN

Cuando se ejerce una fuerza en un objeto rígido que se articula en torno a un eje, el objeto tiende a dar vuelta en torno al eje. Esta tendencia se mide mediante el momento de torsión τ (tau).

Considerando la llave de la figura que se quiere dar vuelta en torno a un eje perpendicular a la página y a través del centro del tornillo. La fuerza aplicada F actúa a un ángulo φ con la horizontal. La magnitud del momento de torsión asociada con la fuerza F:

τ ≡ rFsenφ=Fd

A partir del triángulo recto de la figura que tiene la llave como su hipotenusa, se ve que d= r sen φ. Y d se llama brazo de momento (o brazo de palanca) de F.

Si dos o más fuerzas actúan sobre el cuerpo, cada una tiende a producir rotación en torno al eje en O. En este ejemplo, F2 el objeto tiende a dar vuelta en sentido de las manecillas del reloj y F1 tiende a dar vuelta contra las manecillas del reloj. El signo del momento de torsión es positivo si la tendencia a girar es contra las manecillas del reloj y negativo en sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, en la figura, el momento de torsión resultante de F1, que tiene un brazo de momento d1, es positivo e igual a +F1d1; el momento de torsión de F2 es negativo e igual a -F2d2. En consecuencia, el momento de torsión neto en torno a un eje a través de O es:

No se debe confundir el momento de torsión con la fuerza. Las fuerzas pueden causar un cambio en el movimiento traslacional, en el movimiento rotacional, pero esto depende de las magnitudes de las fuerzas y de los brazos de momento de las fuerzas, en su momento de torsión. No se debe confundir momento de torsión y trabajo, que a pesar de tener las mismas unidades, con conceptos diferentes.

1.7 MOVIMIENTO DE RODAMIENTO DE UN OBJETO RÍGIDO

Hablaremos de un objeto rigido que gira en una superficie plana, como se ve en la figura, un punto sobre el borde del cilindro se mueve en una trayectoria compleja llamada cicloide. Es mas sencillo sin observamos el centro de masa,como se ve en la figura, el centro de masa se mueve en línea recta. Si un objeto como un cilindro rueda sin deslizarse sobre la superficie (movimiento de rodamiento puro), hay una correspondencia entre sus movimientos rotacional y traslacional.

Si un cilindro uniforme de radio R que rueda sin deslizarse (rodamiento puro) sobre una superficie horizontal, conforme el cilindro da vueltas a través de un ángulo θ, su centro de masa se mueve una distancia lineal s = Rθ. Su rapidez traslacional del centro de masa es:

y su aceleracion:

El movimiento de un objeto que rueda se puede apreciar como una combinación de traslación pura y rotación pura:

2- CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

La cantidad de movimiento angular de un sistema sera la misma si sobre el sistema no actúan momentos de torsión externos. La ley de conservación de cantidad de movimiento lineal y la ley de conservación de cantidad de movimiento angular son leyes aptas para sistemas relativistas y cuánticos.

2.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR: EL SISTEMA NO AISLADO

La cantidad de movimiento angular L de una partícula con cantidad de movimiento lineal p ubicada en la posición vectorial r es un vector conocido por L = r x p. El valor de L depende del eje en torno al que se mida y es un vector perpendicular tanto a r como a p.

Si τ y L se miden respecto al mismo eje, el momento de torsión que actúa sobre una partícula es igual a la relación de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento angular de la partícula. Esto es

La unidad de la cantidad de movimiento angular es kg m2/s. Se debe observar que la magnitud y la dirección de L dependen del eje elejido. Por la regla de la mano derecha, se ve que la dirección de L es perpendicular al plano que forman r y p. En la figura, r y p están en el plano xy, así que L apunta en la dirección z. Ya que P = m V, la magnitud de L es: L =m v r sen φ

2.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN OBJETO RÍGIDO GIRATORIO

Un objeto rígido giratorio en torno a un eje fijo que coincide con el eje z de un sistema coordenado, como en la figura. Cada partícula del objeto da vueltas en el plano xy en torno al eje z con una rapidez angular ω. La magnitud de la cantidad de movimiento angular de una partícula de masa mi en torno al eje z es miviri. Ya que vi= riω , la magnitud de la cantidad de movimiento angular de esta partícula se expresa como

Li= mi ri2 ω

El vector Li se dirige a lo largo del eje z, como el vector ω.

Su cantidad de movimiento angular es: Lz = Iω

El momento de torsión externo neto que actúa sobre un objeto rígido giratorio en torno a un eje fijo es: ∑ τ ext=I α

Esta ecuación también es util en un eje móvil si el eje pasa a través del centro de masa y es un eje de simetría. Si un objeto simétrico da vueltas en un eje fijo que pasa a través de su centro de masa, la ecuación queda en forma vectorial como L⃗=I ω⃗ .

2.3 CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR, SISTEMA AISLADO

La ley de conservación análoga en el movimiento rotacional dice:

"La cantidad de movimiento angular total de un sistema es constante tanto en magnitud como en dirección si el momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistema es cero, es decir, si el sistema está aislado."

Donde L⃗tot=constante o L⃗i=L⃗ f

Si un sistema giratorio aislado es deformable, es decir, que no sea un cuerpo rigido, entonces I iωi=I fωf=constante

La conservacion de cantidad de movimiento angular puede verse en varios ejemplos, como un patinador al momento de girar sobre si mismo, debe pegar sus brazos a su cuerpo para asi incrementar su rapidez angular, y al terminar los giros el momento de inercia de su cuerpo aumenta mientras va separando los brazos de su cuerpo y por consiguiente su rapidez angular disminuye.

Por lo tanto, podemos afirmar que en un sistema aislado la energía, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular se conservan:

E constante… si no hay transferencia de energia P⃗ constante… la fuerza externa neta es cero L⃗ constante… si el momento de torsión externo neto es cero

2.4 EL MOVIMIENTO DE GIROSCOPIOSEn el movimiento de un trompo al igual que en el giroscopio, giran respecto al eje z, este movimiento en torno a la vertical es conocido como movimiento de precesión.

En el movimiento de un giroscopio simple articulado a una distancia h de su centro de masa la fuerza gravitacional M g produce un momento de torsión en torno al eje y este momento de torsión es perpendicular al eje, y la fuerza normal n que actúa hacia arriba en el centro de giro punto O no produce momento de torsión en torno a un eje que pasa a través del eje, porque su brazo de momento a través del punto es cero.

El momento de torsión resulta en un cambio en cantidad de movimiento angular d L en una dirección perpendicular al eje mientras que el eje barre un ángulo dφ en un intervalo de tiempo dt:

τ⃗=d L⃗dt

Dondela magnitud de L⃗ no cambia, pero su direccion si. Ya que el cambio en la cantidad de movimiento angular d L⃗ es en dirección de τ, localizada en el plano xy, el giroscopio se somete a movimiento de precesión.

La figura muestra que, en el intervalo de tiempo dt, el vector cantidad de movimiento angular da vueltas a través de un ángulo dφ, que también es el ángulo a través del que da vueltas el eje. A partir del triángulo vectorial:

y su rapidez angular (o frecuencia de precesion) es , siempre y cuando esta sea mucho menor a su velocidad angular. Esto se logra cuando la rueda gira rapidamente, donde esta frecuencia de precesion disminuye conforme la rueda gira mas rapido conforme a su eje de simetría.

Una aplicación util del giro del giroscopio es dentro de una nave espacial, donde para poder girar en el espacio evitando gasto de combustible se puede emplear giroscopios dentro de ella, con los cuales al girarlos, la nave rotara en sentido opuesto y al incluir tres giroscopios con ejes perpendiculares entre si podremos realizar cualquier rotación en el espacio.

3- LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Isaac Newton determino que entre la Tierra y la Luna habia una fuerza que obligaba a la Luna a girar alrededor de la Tierra, ya que de lo contrario la Luna tomaria una trayectoria recta, observó que esta fuerza es la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la Luna, Newton entendió que la misma fuerza que hace que un objeto caiga hacia el suelo, es la que mantiene a la Luna cerca de la Tierra.

3.1 LEY DE NEWTON DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La ley de Newton de la gravitación universal:

"Toda partícula en el Universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas."

Fg=Gm1m2

r2

Donde G es una constante llamada constante gravitacional universal. Su valor en unidades del SI es G =6.673 x10 -11 N · m2/kg2 .

3.2 CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Henry Cavendish determino la constante de gravitacion universal mediante este sistema, donde las masas M al ejercer una fuerza sobre m, hacian girar el espejo con el cual se apreciaba el cambio de angulo de la luz incidida en el.

Esta fuerza se expresa vectorialmente con el vector unitario ȓ12 . Como ȓ12 se dirige de la partícula 1 a la partícula 2, la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2 es:

F⃗12=−Gm1m2

r2ȓ12

El signo negativo indica que la particula 2 es atraida hacia la particula 1, por lo tanto la fuerza se dirige de 2 a 1. Por tercera ley de newton la fuerza ejercida de 2 a 1 ( F⃗21) es igual

en magnitud y opuesta en sentido contrario a F⃗12 . Tambien se debe mencionar que esta fuerza entre 2 masas esta presente en todo momento sin importar el medio que las separe, y que esta fuerza ira decreciendo a medida que la distancia se incremente.

Con esta ecuación tambien se muestra que la fuerza gravitacional que ejerce una masa esféricamente simétrica y de tamaño finito sobre una partícula afuera del cuerpo, es la misma como si toda la masa del cuerpo se concentrara en el centro. Por ejemplo, la magnitud de la fuerza, que va hacia el centro de la Tierra, que ejerce ésta en una partícula de masa m cerca de su superficie es:

Fg=GMT m

RT2

Con MT como masa de la Tierra y RT su radio.

3.3 ACELERACIÓN EN CAÍDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL

En la ecuacion pasada se determino la magnitud de la fuerza que actúa sobre un objeto de masa m en caída libre cerca de la superficie de la Tierra, se puede igualar esta fuerza con la que se proporciona por la ecuación, Fg =mg, para obtener

Con un objeto de masa m ubicado a una distancia h sobre la superficie de la Tierra o a una distancia r del centro de la Tierra, donde r = RT + h. La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre este objeto es

La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto en esta posición también es Fg = mg. Al sustituir esta expresión para Fg en la última ecuación:

Se puede observar como en la ecuacion de la fuerza gravitacional que, en este caso la fuerza de gravedad, disminuye conforme se incrementa la altura.

3.4 LAS LEYES DE KEPLER

En la antigüedad se pensaba que los planetas girabas alrededor de la Tierra, años despues se conoció que mas bien los planetas giraban alrededor del sol, a partir de esto el astrónomo Tycho Brahe realizo estudios de las estrellas, y a partir de estos Kepler pudo determinar el movimiento planetario con 3 leyes que llevan su nombre. Las leyes de Kepler son:

Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos. El radio vector dibujado desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en intervalos

de tiempo iguales. El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo del

semieje mayor de la órbita elíptica.

Primera ley de Kepler

La primera ley menciona que la trayectoria de los planetas es una elipse donde el sol esta en uno de sus focos. Para comprender esta ley es necesario entender la composición de la elipse, donde los focos F1 y F2 se encuentran a la misma distancia cada uno del centro, la suma de las distancias r1 y r2 siempre sera igual (constante), a la distancia a se le conoce como semieje mayor, y a b como semieje menor.

La excentricidad de una elipse se define como e = c/a. Para un circulo c=0 por lo que no hay excentricidad. Mientras mas pequeña sea b respecto a a , c aumenta y la excentricidad es mayor. La excentricidad e va de 0 a 1.

Las excentricidades de las orbitas planetarias varian ampliamente, por ejemplo la excentricidad de la órbita de la Tierra es 0.017, lo que la hace casi circular, mientras que la de Mercurio es 0.21 siendo la mas grande del sistema solar, la del cometa Halley es 0.97 siendo una elipse mas definida.

De la figura anterior, suponiendo que el sol esta en F2 y la Tierra en el extremo izquierdo, la distancia entre ellos es a+c. En este punto (afelio) el planeta está a su máxima distancia del Sol (Para un objeto en órbita alrededor de la Tierra, este punto se llama apogeo.). Por lo contrario, cuando el planeta está en el extremo derecho de la elipse, la distancia entre el planeta y el Sol es a - c. En este punto, llamado perihelio (para una órbita terrestre, el perigeo), el planeta está a su distancia mínima desde el Sol.

La primera ley de Kepler es un resultado directo de la naturaleza de cuadrado inverso de la fuerza gravitacional. Las formas permitidas de las órbitas (circular y elíptica) para objetos están ligados al centro de fuerza gravitacional. Estos objetos incluyen planetas, asteroides y cometas que se mueven repetidamente alrededor del Sol, así como lunas que orbitan un planeta. También hay objetos no ligados, como un meteoroide, provenientes desde el espacio profundo, que pueden pasar por el Sol una vez y no regresar. La fuerza gravitacional entre el Sol y estos objetos también se determina con la ecuacion de la fuerza gravitatoria, y las rutas permitidas para estos objetos son parábolas con e=1, e hipérbolas con e> 1.

Segunda ley de Kepler

La segunda ley de Kepler es una consecuencia de la conservación de la cantidad de movimiento angular. Considerando un planeta como un sistema, de masa Mp que se mueve en torno al Sol en una órbita elíptica. Siendo el Sol mas pesado que el planeta, el sol no se mueve. La fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre el planeta es una fuerza central, siempre a lo largo del radio vector, dirigido hacia el Sol. El momento de torsión sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero porque Fg es paralela a r. Ya que τ⃗=d L⃗/dt , y el momento de torsión externo sobre el planeta es cero, se modela como un sistema aislado para cantidad de movimiento angular y la cantidad de movimiento angular L del planeta es una constante del movimiento:

L⃗=r⃗ × p⃗=M p r⃗× v⃗=constante

Este resultado se puede relacionar con que en un intervalo de tiempo dt, el radio vector r en la figura barre el área dA, que es igual a la mitad del area

|r⃗ ×d r⃗| del paralelogramo formado por los vectores

r⃗ y d⃗r. Ya que el desplazamiento del planeta en el

intervalo de tiempo dt se conoce pord r⃗= v⃗ dt.

Con L y Mp constantes. El radio vector desde el Sol a cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto es resultado de la fuerza gravitacional que es una fuerza central, lo que implica que la cantidad de movimiento angular del planeta es constante. Por tanto, la ley aplica a cualquier situación que involucra una fuerza central.

Tercera ley de Kepler

Un planeta de masa Mp en movimiento alrededor del Sol (masa MS) en una órbita circular, ya que la fuerza gravitacional proporciona la aceleración centrípeta del planeta conforme se mueve en un círculo, se usa la segunda ley de Newton para una partícula en movimiento circular uniforme

el periodo es:

la constante

generalizando:

como Ks es independiente de la masa del planeta, esta ecuacion es aplicable para cualquier orbita de un planeta respecto al sol.

3.5 EL CAMPO GRAVITACIONAL

Cuando Newton publico sus leyes de movimiento, con la fuerza que actúa a distancia, no pudo explicar como era posible que dos objetos interactuaran sin contacto, para aclarar esto posteriormente se definió el campo gravitacional que es el que actua sobre un cuerpo ejerciendo una fuerza. Se define como

g⃗=F⃗g

m

Esto es, el campo gravitacional es igual a la fuerza ejercida sobre la particula, entre la masa de la particula. Al objeto que crea el campo se le llama partícula fuente, y la particula de prueba no es necesaria para que se forme el campo gravitacional.

Como ejemplo, un objeto cerca de la superficie de la Tierra, su vector unitario apuntaria hacia afuera de la Tierra mientras que el campo apunta hacia el centro de la Tierra. Los vectores de campo en diferentes puntos alrededor de la Tierra varían en dirección y magnitud. En una pequeña región cerca de la superficie de la Tierra, el campo hacia abajo es aproximadamente constante y uniforme. En la superficie de la Tierra, g tiene una magnitud de 9.80 m/s2 .

3.6 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

A medida que una partícula de masa m se mueve de A a B sobre la superficie de la Tierra, la energía potencial gravitacional del sistema partícula–Tierra cambia de acuerdo con la ecuación

Para energía potencial cero como la misma para la cual la fuerza es cero. Al considerar Ui = 0 en ri =∞, se tiene

Esta expresión se usa cuando la partícula está fuera y separada del centro de la Tierra una distancia r, siempre que r >= RT.

La energía potencial gravitacional con cualquier par de partículas de masas separadas una distancia r es

Aquí la energía potencial es negativa porque la fuerza es de atracción y se eligió la energía potencial como cero cuando la separación de las partículas es infinita. Debido a que la fuerza entre las partículas es de atracción, un agente externo debe hacer trabajo positivo para aumentar la separación entre ellas. El trabajo realizado por el agente externo produce que U se vuelva menos negativa conforme r aumenta.

En un sistema de mas de 2 particulas la energía potencial total del sistema es la suma sobre todos los pares de partículas. Por ejemplo, para 3 particulas se tiene la siguiente igualdad, donde el valor absoluto de Utotal representa el trabajo necesario para separar las partículas una distancia infinita.

3.7 CONSERVACION DE LA ENERGIA DE PLANETAS Y SATÉLITES EN MOVIMIENTO

Un objeto de masa m con rapidez v cerca de otro objeto de masa M, siendo M>>m. Este sistema puede ser un planeta alrededor del sol, entonces si M esta en reposo en un marco de referencia inercial, la energia total del sistema es la suma de la energia cinetica de m y la energía potencial del sistema: E = K+ U

E=12mv2−GMm

r

Donde la energía total para órbitas circulares es

E=−GMm2 r

Y la energía total para órbitas elípticas, donde a es el semieje mayor

E=−GMm2a

Si la energía total es constante y el sistema está aislado, conforme el objeto de masas m se mueve de A a B, la energía total permanece constante y:

En conclusión, la energía total y la cantidad de movimiento angular total de un sistema de 2 objetos gravitacionalmente ligados son constantes del movimiento.