Routh Hurwitz

7/21/2019 Routh Hurwitz

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ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS

Resumen:

Siendo la estabilidad de un sistema

realimentado en lazo cerrado vital en el diseño

de sistemas de control, se buscan métodos que

ayuden a analizar y diseñar sistemas estables.

Un sistema estable debería mostrar una salida

acotada si la entrada es acotada.

La estabilidad de un sistema realimentado está

directamente relacionado con la situación de las

raíces de la ecuación característica de la función

de transferencia del sistema.

El método de out!"#ur$itz se introduce como

una !erramienta %til &ara calcular la estabilidad

del sistema. La técnica &ermite calcular el

n%mero de raíces de la ecuación característica

en la mitad derec!a del &lano sin calcular

realmente los valores de dic!as raíces.

El criterio de out!"#urt$itz afirma que el

n%mero de raíces de la ecuación característica

q's( con &arte real &ositiva es i)ual al n%mero de

cambios de si)no de la &rimera columna de la

matriz de out!.

Palabras clave: sistema realimentado,

estabilidad, sistema estable.

Abstract:

*t is t!e stability of a closed loo& feedbac+

system vital in t!e desi)n of control systems,

met!ods to !el& analyze and desi)n stable

systems are sou)!t.

stable system s!ould s!o$ a bounded out&ut

if t!e in&ut is bounded.

-!e stability of a feedbac+ system is directly

related to t!e &osition of t!e roots of t!e

c!aracteristic equation of t!e transfer function

of t!e system.

-!e out!"#ur$itz met!od is introduced as a

useful tool to estimate t!e stability of t!e

system. -!e tec!nique allo$s to calculate t!e

number of roots of t!e c!aracteristic equation in

t!e ri)!t !alf of t!e &lane $it!out actually

calculatin) t!e values of t!ese roots.

-!e out!"#ur$itz says t!e number of roots of

t!e c!aracteristic equation q 's( $it! &ositive

real &art is equal to t!e number of cus&s of t!e

first column of t!e out! array.

Keywords: feedback system, stability, stable

systems



1 Introducción

ara sistemas retroalimentados, que se

&resentan &or sus res&ectivas funciones de

transferencia de lazo cerrado -'s(, el !ec!o más

im&ortante se relaciona con las ecuaciones

características asociadas a -'s( y consiste en

determinar si el sistema es estable, esto es, si sus

&olos de lazo cerrado están localizados en el

semi&lano izquierdo s.

En cuanto a los &olinomios característicos, se

&uede establecer que los sistemas de &rimero y

se)undo orden son estables en lazo cerrado/ sinembar)o, a &artir de ecuaciones características

de tercer )rado, los sistemas &ueden o no ser

estables, lo cual de&ende de la ubicación en el

&lano s de los res&ectivos &olos de lazo cerrado

década confi)uración.

2 Definición de estabilidad

La noción de estabilidad es fundamental en el

desarrollo de sistemas de control y en &articular

&ara los sistemas retroalimentados. La ausencia

de esta &ro&iedad vuelve in%til en la &ráctica a

cualquier sistema.

Utilizando realimentación, se &ueden estabilizar

&lantas inestables y con una correcta selección

de &arámetros del controlador se &uede a0ustar

el com&ortamiento transitorio. Se &uede decir

que un sistema realimentado lazo cerrado esestable o inestable.

n sistema estable se define como a!uel !ue

tiene una res"uesta limitada# Esto es$ se dice

!ue el sistema es estable si$ estando su%eto a

una entrada o "erturbación limitada$ su

res"uesta es de ma&nitud limitada#

La localización de los &olos de un sistema en el

&lano s indica la res&uesta transitoria resultante.

Los &olos en la &arte izquierda del &lano s dancomo resultado una res&uesta decreciente &ara

entradas de &erturbación. Los &olos en el e0e 0$

y en el &lano de la derec!a dan como resultado

una res&uesta neutral y una creciente

res&ectivamente, &ara una entrada de

&erturbación.

Una condición necesaria y suficiente &ara que

un sistema de realimentación sea estable es que

todos los &olos de la función de transferencia

del sistema ten)an &artes reales ne)ativas. Si la

ecuación característica tiene raíces sim&les

sobre el e0e ima)inario 'e0e 0$( con el resto de

las raíces en el lado izquierdo del &lano, la

salida en estado estacionario tendrá oscilaciones

mantenidas &ara una entrada limitada.

' M(todo de Rout)*+ur,it-

Este método es un arre)lo numérico que tiene

como ob0etivo determinar el n%mero de raíces

de un &olinomio característico que estén en el

semi&lano derec!o del &lano s. or eso al

&rocedimiento de out!"#ur$itz de le

denomina método de estabilidad absoluta, ya

que el resultado no indica la &osición es&ecifica

de los &olos, como en el caso de los distintos

métodos de evaluación de raíces de &olinomios.

El criterio de Rout)*+ur,it- establece !ue el

n.mero de cambios de si&nos en la columna

"rinci"al corres"onde al n.mero de ra/ces

!ue se encuentran a la derec)a del e%e jw #

Sea el &olinomio característico de )rado n1

an sn+an−1 s

n−1+…+a1 s+a0=0

2on el ob0etivo de investi)ar la estabilidad del

sistema es necesario determinar si al)una de las

raíces de q's( está en la derec!a del &lano s &ara

lo cual se debe tomar en cuenta1

"-odos los coeficientes sean &ositivos.

"-odos los coeficientes sean diferentes de cero.

Si no satisfacen, inmediatamente se saben que el

sistema es inestable/ &ero si satisfacen, entonces



debe &rocederse a determinar la estabilidad del

sistema.

Este criterio se basa en el ordenamiento de los

coeficientes de la ecuación característica, &ara

comenzar el arre)lo, se &rocede a escribir delasi)uiente manera1

0i&ura 1# 2uadro 2om&arativo 3e!ículo Eléctrico 4 3e!ículo de

combustión. 5uente1 utor

6es&ués se &rocede a com&letar el arre)lo,

a)re)ando los elementos b7, b8, c7, c8. 9 se

calculan de la si)uiente manera

b1=an−1 (an−2 )−an(an−3

)

an−1

−1

an−1

an an−2

an−1

an−3

b2=an−1 (an−4 )−a

n(a

n−5)

an−1

c1=b1 (an−3 )−a

n−1(b2)b1

c2=b1 (an−5 )−an−1

(b3)

b1

Una vez que este !a sido com&letado se a&lica

el criterio de out!"#ur$itz

Los cambios de si)no en la &rimera columnanos dan el n%mero de &olos inestables.

Ejemplo:

s3+s2+2 s+24=0

b1=an−1 (an−2 )−a

n(a

n−3)

an−1

b1=1 (2 )−1(24)

1

b1=−22

b2=an−1 (an−4 )−a

n(a

n−5)

an−1

b2=1 (0 )−1(0)

1 =0

c1=−22 (24 )−1(0)

−22 =24

c2=b1 (an−5 )−an−1

(b3)

b1

c2=0



Este e0em&lo &resenta 8 cambios de si)no &or lo

que tiene dos raíces con &arte real &ositiva.

Este es inestable.

Simulación en matlab

0i&ura 1# olos en el &lano.

Se puede observar que en la gráfca queel sistema es inestable.

asos es"eciales en el an3lisis deRout) +ur,it-

#1# eros en la columna "rinci"al#

Si el término de la &rimera columna de

cualquier ren)lón es cero, &ero los términos

restantes no son cero, o no !ay términosrestantes, el término cero se sustituye con un

n%mero &ositivo muy &equeño : y se eval%a el

resto del arre)lo.

ara entender de me0or manera se &lantea un

e0em&lo1

Sea el &olinomio característico1

s; < s= < =s 8 < =s < 7> ? >

e&resentándole en el arre)lo de out!"#ur$itz

s; 1 3 10

s= 1 3

s 8 0 10

s

s>

Lue)o al cuantificar el valor de b7 y b8, seobserva que este resultado es cero.

unque b8 es distinto dc cero, los elementos de

las si)uientes filas no &ueden evaluarse, ya que

todos ellos quedarían divididos entre cero, lo

que daría lu)ar a indeterminaciones.

Si los coeficientes que com&onen el numerador

de b7 fueran levemente diferentes, el resultado

sería distinto de cero, con lo que el arre)lo &odría ser com&letado, &ara lo cual se &lantea

un n%mero 4, que es casi cero, &ero &ositivo, el

cual se sustituye &or el cero de la columna

&rinci&al, con lo que el coeficiente b7 &uede ser

evaluado1

6e esta manera el arre)lo es1

s; 1 3 10s= 1 3



s 8ð 10

s (3ð -10! ð

s> 10

s;

1 3 10s= 1 3

s 8ð 10

s (3ð -10

s> 10

2uando codos los elementos de una

determinada fila !an sido evaluados, &ara

facilitar los cálculos, el ren)lón ba0o

consideración &uede multi&licarse &or cualquier

n%mero diferente de cero 'en este caso, la cuarta

fila se multi&licó &or :( sin alterar el resultado

del arre)lo.

2on res&ecto a la columna &rinci&al, ésta

&resenta dos cambios de si)no, &ues : es casi

cero, &ero &ositivo, =: 7> @ >/ &or lo tanto, el

sistema es inestable con dos &olos en cl S6.

manera de com&robación, a ubicación de los

&olos obtenida con Aatlab corres&onden a1

1#1# Terminación antici"ada del arre&lo#

En ocasiones, ocurre que &ara ciertos

&olinomios característicos su arre)lo

corres&ondiente finaliza en forma antici&ada,

esto es antes de terminar el arre)lo éste contiene

una fila formada eBclusivamente &or ceros en

al)uno de sus ren)lones intermedios/ &or

e0em&lo, el caso del &olinomio característico1 ali)ual que &ara el análisis del caso anterior,

&lanteamos un e0ercicio.

s; < 8s= < Cs 8 < ;s < 7> ? >

e&resentándole en el arre)lo de out!"#ur$izt

s; 1 " 10

s= # $

s 8 % 10

s 0 0

s>

La eB&licación de la terminación &rematura del

arre)lo 'al)una fila intermedia com&uesta

totalmente &or ceros( indica que eBiste un

&olinomio divisor cuyas raíces son ima)inarias,

> D0b, además de dividir eBactamente al

&olinomio característico ori)inal.

ara com&letar el arre)lo, se &rocede a sustituir

la fila de ceros &or la derivada en s del

&olinomio divisor, el cual se identifica a &artir

del ren)lón inmediato anterior no nulo del

arre)lo/ en este caso, s 8 < 7> 'raíces com&le0as

con0u)adas en el e0e ima)inario.

or lo tanto &ara el desarrollo del e0em&lo

anterior, se &rocede a tomar la fila de análisis y

la derivamos &ara obtener los valores del

arre)lo.

d (5 s2+10)ds

=10 s

or lo que el arre)lo final queda de la si)uientemanera1

s; 1 " 10

s= # $

s 8 % 10

s 10 0

s> 10

Lue)o de com&letado el arre)lo, se observa queel sistema es estable, ya que la columna

&rinci&al no &resenta cambios de si)no.

A"licación de m(todo de 5Rout)*

+ur,it-6 7 a%uste de &anancia 58 7 81*

826#

La a&licación del método 'out!"#ur$itz( se da

&ara los sistemas retroalimentados, es decir

me0ora la estabilidad, &recisión en ré)imen

&ermanente y res&uesta transitoria adecuada.



Los &olos del &olinomio característico

de&enderán tanto de los coeficientes del

&olinomio ori)inal como el valor de )anancia de

F, en consecuencia si la )anancia es a0ustable

&ara cada valor de F los &olos de lazo cerrado

tendrán ubicaciones diferentes en el &lano s.

En la fi) 7 la ecuación característica del sistema

de&ende de dos coeficientes a y b así como la)anancia a0ustable de valores de F &or.

1+G ( s ) H (s )=s2+(a+b ) s+ (a¿b+k )=0

-odos los sistemas de &rimero y se)undo )rado

siem&re serán estables en lazo cerrado &ara toda

)anancia k ≥0 . Si los si)nos de los

coeficientes del &olinomio son &ositivos o

ne)ativos, )arantiza que el sistema res&ectivo

será estable, sin embar)o &ara &olinomios de

)rado tres en adelante no es a&licable &or lo

tanto eBiste este método de out!"#ur$itz &ara

determinar las &osibles soluciones de )anancia

F &ara obtener que los sistemas sean estables.

S*S-EA 6E AEGHA*EI-H ES-JJLE.

Las &osibles soluciones de este sistema se dan

&or el re)ulador o valores F.

1Fig(Analisis Dinamico del Sistemaslide)

2Fig(Analisis Dinamico de los Sistema)

3Fig(Precision en Regimen)

4Fig(slide Transitoria Adecuada)

onclusiones

2on el método del criterio de out! #ur$itz se

&uede determinar si un sistema es estable o

inestable de&endiendo la ubicación de sus &olos,

sin tener que factorizar el &olinomio.

2uando observamos que !ay dos cambios de

si)no en los coeficientes de la &rimera columna,

lo cual si)nifica que eBisten dos raíces con

&artes reales &ositivas, y &or lo tanto el sistema



tiene com&ortamiento inestable.

Si todos los &olos en lazo cerrado se encuentran

en el lazo izquierdo cualquier res&uesta

transitoria termina &or alcanzar el equilibrio.Esto re&resenta un sistema estable.

9 Biblio&rafia

olitécnica Salesiana, 5eb. 8>7.



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