Upload
ivor-cross
View
45
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Wykład 5. RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU. 1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym. Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać:. (1). Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą:. (2). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU
Wykład 5
1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.
a
a
gq a
x
z
a
(1)
Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą:
(2)
Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy:
(3)
a po scałkowaniu
(4)
Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać:
Po przekształceniu otrzymamy kierunkowe równanie płaszczyzny nachylonej do poziomu pod kątem , oznaczonym na rys. 1.a
zatem
Widać zatem, że w rozpatrywanym przypadku powierzchnie jednakowego ciśnienia są płaszczyznami nachylonymi do poziomu pod kątem .a
(5)
(6)
a
x
z
a
Stałą c wyznaczamy z warunku, że gdy x=0 i z=0, to , zatem . Równanie (9) przybiera więc postać:
Rozkład ciśnienia wyznaczamy z zależności
Która po podstawieniu wartości składowych jednostkowej siły masowej, określonym równaniem (2) przybiera postać.
(7)
(8)
bp p bc p
Po scałkowaniu
(9)
(10)
2. Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym wokół pionowej osi.
w
H
z0
h
w2x
g
z
x
R
x
y
w2x
w2y
r
Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:
(11)
Po podstawieniu do równani (1) otrzymamy:
(12)
X
Y
Z
Po scałkowaniu
(13)
Ponieważ , to równanie (13) przybiera postać 2 2 2x y r
(14)
w
H
z0
h
z
x
Równanie swobodnej powierzchni cieczy wyznaczamy dobierając stałą c tak, aby dla r=0 współrzędna (wierzchołek paraboli). Stała . 0z z 0c gz
Po podstawieniu do (14) otrzymujemy równanie swobodnej powierzchni cieczy w postaci
(15)
lub
(15a)
0z - współrzędna z wierzchołka paraboli
Jeśli naczynie w stanie spoczynku było wypełnione do wysokości h, to wyznaczamy z porównania objętości
0z
h
z
x
z0
H
(16)
(16a)
Dla z równania (15) otrzymujemy 0r R, z H z
skąd współrzędna .Po podstawieniu do równania powierzchni (15) otrzymamy
(17)
(18)
Po podstawieniu do (16) i uproszczeniu
(19)
ROZKŁAD CIŚNIEŃ
Po podstawieniu (11) do (7) otrzymamy;
Po scałkowaniu
a po przekształceniu
(20)
(21)
Stałą c wyznaczamy z warunku: i po podstawieniu jej do równania (21) otrzymamy równanie na rozkład ciśnienia w postaci:
0 0 0 0r 0, z z , p=p to c=p gz
(22)
Gdzie występuje największe ciśnienie?
3. Równowaga względna płynu w ruchu jednostajnie obrotowym wokół poziomej osi.
a) w naczyniu całkowicie wypełnionym cieczą
1OO M MAB
z
x
w2 r
w2g
O1
O
rM
A
B
q
g
Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:
Po podstawieniu do równania jednakowej powierzchni ciśnienia Xdx+Ydy+Zdz=0 otrzymamy:
(23)
Po scałkowaniu
(24)
(25)
a po przekształceniu
(26)
Jest to równanie powierzchni walcowych o osi przesuniętej w górę względem osi obrotu o odległość . Odległość tę wyznaczamy z podobieństwa trójkątów , zatem .
1OOw 2
1 1O OM i MAB: OO / r g / r w 21OO g /
Po podstawieniu składowych siły masowej (23) do równania na rozkład ciśnienia otrzymamy:
(27)
które po scałkowaniu przybiera postać
lub
Gdy to i powierzchnie ekwipotencjalne stają się walcami o osi pokrywającej się z osią obrotu (warunek brzegowy r=0, z=0 to p=pb). Wzór na rozkład ciśnienia przybiera postać
w 1OO 0
(28)
(29)
(30)
b) w naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą
(31)
W naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą równowaga względna zachodzi dopiero przy dostatecznie dużej prędkości kątowej. Gdy ,to , a wzór na ciśnienie przybiera postać:
w 1OO 0
z
xO=O1
rM
w 2
ar
r0pb
Przykład 1: Naczynie wypełnione wodą o gęstości ρ=1000kg/m3 obraca się jednostajnie wokół osi pionowej. Średnica naczynia wynosi D=2R=2m. Obliczyć prędkość kątową przy której zwierciadło wody dotknie dna naczynia. Poziom cieczy w stanie spoczynku wynosi H=10m.
h
z
x
H
D
ω
V’
Objętość paraboloidy obrotowej
21'
8V D h
Z bilansu objętości wynika, że2 2
21
4 4 8
D DH h D h
2h H
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej (15a) ma postać
w 2 21z r
2g
(32)
(33)
(34)
(35)
Dla punktu z=h i r=R i podstawieniu (34)
w 2 21h R 2H
2g
skąd w
2 2
4gH 4g 10 rad19,8
sR 1
(36)
(37)
Przykład 2: Naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełniono całkowicie cieczą. Jaka objętość cieczy przeleje się przez obrzeże naczynia jeśli wiruje ono z prędkością kątową ω.
h
z
x
H
D
ω
V
z0
21
8V D h
w 2 20
1z(R) H R z
2g
w 2 20
1h H z R
2g
2 2 2
4 2
1 1
8 2
64
V D Rg
D
g
w
w
Przykład 3Przykład 3 Zbiornik stożkowy o wymiarach R i H, napełniony całkowicie cieczą, wprowadzono w ruch jednostajnie obrotowy wokół pionowej osi. Przy jakiej prędkości kątowej powierzchnia swobodna cieczy będzie styczna do ściany zbiornika ?
Równanie swobodnej powierzchni cieczy ma postać:
w
2 2
0
rz z ,
2g(1)
a po przekształceniu
w 0
2gr z z . (2)
Pochodna dr/dz wynosi
w
0
2gdr 1,
dz 2 z z
aw
z H 0
2gdr 1 Rtg .
dz 2 HH z
a w punkcie z=H odpowiednio
(3)
(4)
Równanie (1) dla z=H i r=R przybiera postać:
ww
2 20 2 2
0
1 2gH z R / 2g .
H z R(5)
Stąd
w
0
2g1.
RH z (6)
Po podstawieniu równania (6) do (4) otrzymamy:
ww w
2g 2gR 1
gHH 2 R R
(7)
Przykład 4 Zbiornik w kształcie sześcianów o boku b wirują w płaszczyźnie poziomej w odległości r od osi obrotu. Oblicz liczbę obrotów n, przy której ściany zbiorników bliższe osi będą suche.
Po odjęciu stronami wyrażenia (2) i (1)
w
2 2
0
rz z
2g(1)
w
22
0z z b r b .2g
(2)
Zapiszemy równanie swobodnej powierzchni cieczy dla r i r+b
w
22 2b r b r ,
2g(3)
stąd
w w
2 2 2 2 2g2gb r 2rb b r .
2r b (4)
Prędkość obrotowa wynosi
30 2g obrn , .min2r b
(5)
Przykład 5 Znaleźć kształt powierzchni jednakowego ciśnienia dla cieczy wypełniającej naczynie cylindryczne wirujące dookoła pionowej osi i zsuwającej się po gładkiej osi nachylonej do poziomu pod kątem.
Na cząstkę cieczy w dowolnym punkcje M działają siły masowe: . Składowe jednostkowej siły masowej wynoszą odpowiednio:w a++++++++++++++++++++++++++ ++
2r , g, gsin
w a aw
a
2
2
2
X x gsin cos ,
Y y,
Z g gsin .Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przybiera więc postać:
w a a w a 2 2 2x gsin cos dx y dy g gsin dz 0.
Po scałkowaniu :
w a a a 2 2 2 21x y gx cos sin gz cos c.
2
Powierzchnie jednakowego ciśnienia mają więc kształt paraboloid obrotowych
Przykład 6 Zamknięte naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełnione jest cieczą do wysokości h. Przy jakiej prędkości kątowej paraboloidy tworzącej powierzchnię swobodną dotknie dna.
(1)
a) Dla h<H/2 Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( )0z 0
w
2 2rz
2g
a w punkcie A zachodzi równość
w w
2 2 2 2
1
R Dh .
2g 8g
Wysokość paraboloidy obrotowej wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.
2 2 21 1
1R H h R h R H h .
2
1h
(2)
Po wymnożeniu
2 2 2 2 21 1
1R H R h R h R H R h h 2h.
2(2a)
w 4
gh.D
Po podstawieniu do (1) otrzymamy:
(3)b) Dla h>H/2
(4)
Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( )0z 0
w
2 2rz
2g
a w punkcie A zachodzi równość
w
2 21rH .2g
Wartość promienia wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.
21rD
H h H,4 2
1r
(5)
stąd
221
D H hr .
2H (6)
Po podstawieniu (6) do (4) otrzymamy:
w
2H g.
D H h (7)