16

Rozdział 2

WYBRANE ZAGADNIENIA Z ZAKRESU MECHANIKI KLASYCZNEJ

Ludzkie organizm składa się z kości i ich połączeń, które używamy w codziennym życiu do

przenoszenia własnego ciała i do wykonywania złożonych funkcji. Ponieważ kości są sztywnymi

bryłami i połączenia umożliwiają wykonanie prostych ruchów, ludzkie ciało może być opisane jako

system wielomasowy. Taki układ posiada bardzo złożone własności mechaniczne i mózg ludzki musi

o nich wiedzieć, aby nimi sterować. Zanim przeanalizuje się zasadę działania mózgu w sterowaniu

ruchem, należy zrozumieć te własności mechaniczne i to, w jaki sposób opisać je za pomocą równań

matematycznych, uwzględniając wewnętrzne i zewnętrzne siły działające na ludzkie ciało oraz skutki

wywołane przez te siły [18].

2.1. Podstawowe wielkości fizyczne

Mechanika operuje szeregiem pojęć, zwanych pojęciami pierwotnymi, których w zasadzie nie

można zdefiniować. Współczesna nauka uważa jednak, że wielkość fizyczna jest zdefiniowana, jeżeli

potrafimy ją zmierzyć. Pojęcia pierwotne [26]:

- odległość x [m] – długość trasy, jaką pokonało ciało;

- przemieszczenie y [m] – odległość i kierunek. Jest to pomiar długości w prostej linii pomiędzy

pozycją początkową i końcową, czyli zmian pozycji;

- prędkość v [m/s] – przebyta odległość podzielona przez czas, w jakim została przebyta;

- przyspieszenie a [m/s2] – zmiana prędkości podzielona przez czas, w jakim ta zmiana nastąpiła.

Kiedy prędkość i przyspieszenie mają ten sam kierunek, to prędkość zwiększa się, natomiast kiedy

przyspieszenie i prędkość mają przeciwne kierunki, to ciało zwalnia;

- siła F [N, kg m/s2] – nadanie ciału przyspieszenia, zdeformowanie ciała lub oddziaływanie jednego

ciała na drugie (kontakt bezpośredni lub na odległość). Siłę można traktować, jako każdy wpływ,

który powoduje zmianę ruchu ciała lub zmianę jego kształtu. Siła jest wektorem związanym z

prostą;

- moment M [kg m/s] – wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły i

promienia;

- praca W [J, kg m2/s

2] – wynik iloczynu siły i przesunięcia. Jest wielkością skalarną. Ogólnie, pracę

można rozumieć, jako mechaniczną metodę zmiany energii. Zmiana energii jest równa pracy, jaką

wykonują siły nad obiektem;

- moc P [W, kg m2/s

3, J/s] – jest to praca wykonana w pewnym czasie.

17

2.2. Ruch

Ruch to zmiana położenia ciała w odniesieniu do innych ciał, zwanych ciałami odniesienia. Z

punktu widzenia kinematyki, za układ odniesienia można przyjąć każde ciało lub układ ciał. W

zagadnieniach technicznych układem odniesienia jest przeważnie Ziemia, traktowana jako układ

nieruchomy. W mechanice rozważa się ruch [26]:

a) posuwowy: prostoliniowy i krzywoliniowy;

b) obrotowy;

c) ogólny (posuwowy + obrotowy).

Mechanikę dzieli się na: kinematykę (opis i schemat ruchu), dynamikę (badanie sił, które powodują

ruch) oraz statykę (równowaga sił). Statyka jest badaniem sił działających na ciało znajdujące się w

spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym, czyli ze stałą prędkością. W statyce bada się

również zastępowanie jednego układu sił innym, równoważnym, w tym układem złożonym z jednej

siły i jednej pary sił, czyli redukcję do siły i momentu wypadkowego. Mimo, iż ciało ludzkie wciąż

przyspiesza, analiza statyczna umożliwia łatwe rozwiązywanie wielu problemów dla układu

szkieletowo-mięśniowego. Analiza taka może rozwiązać pewien dany problem lub być podstawą dla

bardziej skomplikowanej analizy dynamicznej. Matematycznie, statyka to równania wynikające z

bilansu sił i momentów sił.

Rozłączne traktowanie kinematyki i dynamiki ma przyczynę jedynie dydaktyczną, jako że

dynamika obejmuje swoim zakresem również kinematykę. Podstawowym zagadnieniem w

kinematyce jest identyfikacja położenia. Z położenia następnie wyznacza się pozostałe wielkości:

prędkość, przemieszczenie, przyspieszenie, drogę, itd. W kinematyce stosuje się głównie

różniczkowanie. Natomiast równania matematyczne w dynamice opierają się przede wszystkim na

rachunku całkowym oraz określeniu stałych całkowania na podstawie warunków brzegowych.

W statyce przeprowadza się analizę dwu- lub trójwymiarową [18,34]. Z analizy dwuwymiarowej

(1) wynika, że jeżeli ciało jest w spoczynku, to nie ma żadnej niezrównoważonej siły zewnętrznej.

FX=0 FY=0 MZ=0 (1)

Ta sytuacja zwana jest statyczną równowagą i suma wszystkich sił zewnętrznych działających na to

ciało musi być równa 0 (w sensie wektorowym suma sił zewnętrznych działających w kierunku środka

masy wynosi 0). Rozwinięciem tej analizy jest analiza trójwymiarowa:

FX=0 FY=0 FZ=0 (2)

MX=0 MY=0 MZ=0 (3)

gdzie: suma wszystkich momentów działających na ciało jest również równa 0.

Do obliczenia sił służą m. in. metody graficzne, używane zamiast typowych – analitycznych. Są

bardzo wygodne, ale coraz mniej popularne, gdyż wypierają je metody komputerowe. Metody

graficzne pozwalają skrócić czas obliczeń, co jest ważne z inżynierskiego punktu widzenia.

18

2.3. Kinematyka liniowa i kątowa

Kinematyka zajmuje się tylko ruchem, bez rozważania sił ruch ten wywołujących. W kinematyce

bada się zależności pomiędzy współrzędnymi punktu, zmieniającymi się w czasie, a jego prędkością i

przyspieszeniem. W kinematyce liniowej rozważany jest ruch postępowy, czyli tory ruchu wszystkich

punktów ciała są równoległe i mają w dowolnej chwili czasu jednakowe prędkości i przyspieszenia.

Można przyjąć uogólnienie, że badanie ruchu postępowego ciała sprowadza się do badania ruchu

jednego punktu ciała. Zaletą kinematyki jest łatwość analizy za pomocą zautomatyzowanego systemu

analizy, jak też dokładność, łatwa do określenia. Ponadto, nie wymaga ona dostarczenia wielu

informacji. Jednak posiada również wadę, a mianowicie, opisuje jedynie ruch bez uwzględnienia sił

ten ruch wywołujących.

2.3.1. Rachunek wektorowy

Biomechaniczne parametry mogą być reprezentowane jako skalary lub wielkości wektorowe.

Skalar to prosta reprezentacja za pomocą swojej wartości (np. masa, czas, długość). Rachunek

wektorowy powstał dla potrzeb mechaniki. Upraszcza on znacznie zapis matematyczny oraz ułatwia

zarówno rozważania teoretyczne, jak i rozwiązywanie zadań. Wektor jest ogólnie opisany za pomocą

wielkości, kierunku, zwrotu i punktu zaczepienia (np. siła, prędkość, przyspieszenie, moment).

Do analitycznego opisu badanych zjawisk stosuje się układy odniesienia. Najczęściej jest to układ

kartezjański, prawoskrętny dwu- lub trójwymiarowy, którego ortonormalną bazę tworzą wektory

jednostkowe (wersory) i, j, k, poprowadzone z początku układu współrzędnych 0 (Rys.2.1-2.2).

Położenie dowolnego punktu P w takim układzie, określa wektor wodzący r [26].

Rys. 2.1. Układ kartezjański [52]

19

Rys. 2.2. Reguła prawej ręki [53]

2.3.2. Trygonometria

Ponieważ kąty są tak ważne w analizie układu szkieletowo-mięśniowego, trygonometria jest

bardzo użytecznym narzędziem biomechaniki. W badaniach klinicznych jednostką miar jest stopień

(3600 w okręgu) [18,34]. Funkcje trygonometryczne są bardzo użyteczne w biomechanice dla

rozkładania sił na ich komponenty za pomocą odniesienia kątów w stosunku do odległości w trójkącie,

a następnie do składania i obliczania wynikowych sił. Każda siła może być przestawiona jako wektor i

rozłożona na poziomy i pionowy komponent. Najważniejsze w trygonometrii są dwa twierdzenia [34]:

Twierdzenie cosinusów - służy do obliczenia katów względnych i jest użyteczne, gdy znana jest

długość segmentów. Twierdzenie cosinusów (wzór Carnota) brzmi (4): „W każdym trójkącie kwadrat

długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków minus podwojony

iloczyn długości tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi” [26].

(4)

Twierdzenie sinusów: opisane zależnością (5), brzmi następująco: „W dowolnym trójkącie stosunek

długości dowolnego boku do sinusa kąta mu przeciwległego jest równy średnicy okręgu opisanego na

trójkącie” [26].

(5)

2.3.3. Kinematyka kątowa

Czysto liniowy ruch całego obiektu występuje wtedy, gdy wszystkie punkty tego obiektu poruszają

się w tym samym kierunku. Jednak taki ruch nie pojawia się zbyt często w połączeniach układu

20

mięśniowo-szkieletowego. Bardziej powszechny jest ruch obrotowy, w którym jeden punkt na kości

pozostaje w spoczynku, a inne obracają się wokół niego (rys. 2.3). Dla analizy 3D punkty poruszają

się wokół osi obrotu. W kinematyce kątowej, ruch obrotowy jest opisany za pomocą współrzędnych

biegunowych, a większość równań jest analogiczna do kinematyki liniowej.

Rys. 2.3. Ruch obrotowy [54]

W kinematyce obrotowej bierze się pod uwagę następujące parametry:

1. pozycja [rad] – kąt, jaki tworzy odcinek łączący oś obrotu i punkt A z nieruchomą osią układu

odniesienia,

2. prędkość kątowa [rad/s],

3. przyspieszenie kątowe [rad/s2] – zmiana prędkości kątowej w jednostce czasu, zgodnie z regułą

prawej ręki. Relacja między prędkością liniową a kątową opisana jest zależnością (6).

v=*r (6)

2.4. Dynamika liniowa i kątowa

Dynamika jest działem biomechaniki, która zajmuje się ruchem, włączając siły jako jego

przyczyny. Dynamika opiera się na prawach Newtona, a w szczególności na drugim prawie (zwanym

prawem dynamiki). Dzieli się ją, podobnie jak kinematykę, na dynamikę punktu materialnego oraz

bryły [26].

W dynamice rozważane są dwa typy zadań [34]:

1) znając ruch punktu o danej masie należy znaleźć siły. Obliczenie sił działających na punkt

materialny o masie m, gdy dane są równania ruchu, polega na dwukrotnym zróżniczkowaniu tych

równań (obliczeniu przyspieszeń), a następnie podstawieniu pochodnych do różniczkowych

równań ruchu, otrzymując siły (dynamika odwrotna);

2) znając siły działające na punkt materialny o danej masie należy określić jego ruch. Wymagana jest

znajomość zmienności sił (dynamika wprost).

2.4.1. Dynamika liniowa

Podczas rozważania zagadnień dynamiki liniowej, najczęściej używa się takich parametrów, jak

[18,26,34]:

- masa m [kg] – reprezentuje ilość materii, z której złożone jest ciało;

21

- waga (ciężar) W [N] – reprezentuje siłę przyciągania pomiędzy ziemią a ciałem. Uproszczona

zależność między ciężarem a masą (7), (8):

W=m*g [N] (7)

g=G*m/l2 [m/s

2] (8)

gdzie G=6.67*10-11

Nm2/kg

2.

- siła F [N] - może być zdefiniowana jako zmienna, która powoduje zmianę ruchu obiektu,

przyspieszając lub opóźniając ten ruch.

Siły, czyli miara oddziaływań na ciało, dzielą się na [34]:

a) wewnętrzne – pochodzące od ciał należących do danego układu. Siły wewnętrzne działają zawsze

jako dwójki zerowe, czyli równoważą się. Skutek ich działania jest zerowy, można je więc

pominąć;

b) zewnętrzne - pochodzące od ciał nie należących do danego układu: czynne (starające się wprawić

ciało w ruch) i bierne, czyli reakcji ( przeciwdziałające ewentualnemu ruchowi).

Ponieważ układ mieśniowo-szkieletowy człowieka jest po prostu serią obiektów połączonych ze sobą,

podstawowe prawa wprowadzone przez Newtona stają się użyteczne [26]:

Prawo grawitacji Newtona (prawo powszechnego ciążenia): dowolne dwa ciała oddziaływują na

siebie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu

odległości między nimi (odległość między ich środkami) (9),

(9)

gdzie: G - stała grawitacji = 6.7 x 10-11

Nm2/kg

2 (nawet miedzy dwiema osobami siedzącymi obok

siebie występuje siła przyciągania). Na powierzchni Ziemi efekt tych sił jest tak mały, że nie ma

żadnych konsekwencji i można go pominąć. Przyjęto więc zapis (10)

F=mg (10)

I prawo dynamiki Newtona: Ciało, na które nie działa żadna siła lub działające siły równoważą

się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

II prawo dynamiki Newtona: przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do przyłożonej do

niego siły i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. Przyspieszenie działa w tym samym kierunku, co

siła (11) (rys. 2.4).

a=F/m (11)

Rys. 2.4. Ilustracja II prawa dynamiki Newtona [55]

III prawo dynamiki Newtona: Kiedy ciało działa z określoną siłą na inne ciało, to drugie ciało

oddziaływuje na pierwsze z taką samą siłą co do wielkości ale w przeciwnym kierunku (rys. 2.5).

22

Rys. 2.5. Ilustracja III prawa dynamiki Newtona [55]

„Prawo superpozycji”: jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to

każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła

równa wektorowej sumie danych sił.

Kinematyka i dynamika podlega II prawu Newtona, które podaje, że zewnętrzna sił (F) działająca

na obiekt jest proporcjonalna do iloczynu masy i liniowego przyspieszenia obiektu (11). W warunkach

statycznej równowagi nie ma sił zewnętrznych, ponieważ nie występuje przyspieszenie i suma sił

zewnętrznych wynosi 0. Jednak gdy obiekt przyspiesza, muszą być rozważone tzw. siły bezwładności

(wskutek przyspieszenia) i suma tych sił nie będzie wynosiła zero. Podobna analogia odnosi się do

momentu bezwładności. Im dalej masa od środka obrotu, tym większy moment bezwładności. Siła

bezwładności nie jest zwykłą siłą, nie wynika z oddziaływania między ciałami, jak to wynika z

definicji siły, jest tzw. siłą pozorną, efektem wynikającym z samego przyspieszenia układu

odniesienia. Pojawia się tylko w nieinercyjnych układach odniesienia.

Siła jest wielkością niezwykle użyteczną, ponieważ dla bardzo wielu sytuacji można określić

wartość oddziaływania sił na ciało na podstawie warunków, w jakich znajduje się ciało. Jeżeli ciało

styka się z innym, to na drugie ciało będzie działać siła nacisku, siła tarcia czy też siła napięcia

powierzchniowego. Własności tych sił zostały dosyć dobrze poznane przez fizykę, a ich znajomość

pozwala na przewidzenie zachowania się ciała.

Na ciało człowieka działają również siły tarcia (rys. 2.6). Mogą zapobiec ruchowi obiektu, kiedy

znajduje się w spoczynku i przeciwdziałać ruchowi, gdy obiekt porusza się. W warunkach statycznych

siła tarcia na obiekt jest taka sama, jak zastosowana siła i nie może być większa niż współczynnik

statycznego tarcia pomnożony przez siłę nominalną. Gdy zastosowana siła będzie większa niż

statyczna siła tarcia, obiekt zacznie się poruszać i będą to już warunki dynamiczne.

a) b)

Rys. 2.6. Tarcie: a) statyczne, b) dynamiczne [55]

23

W warunkach dynamicznych siła tarcia jest równa iloczynowi dynamicznego współczynnika tarcia i

siły normalnej. Wartość współczynnika tarcia zależy m.in. od składu chropowatości dwóch

powierzchni w kontakcie. Dynamiczny współczynnik tarcia jest mniejszy niż statyczny współczynnik

tarcia. Siła tarcia zależy od rodzaju materiałów, jakości powierzchni i rodzaju smarowania.

Stwierdzono, że [26]:

1. Siła tarcia nie zależy od wielkości stykających się powierzchni, a jedynie od rodzaju materiałów,

jakości powierzchni oraz rodzaju smarowania.

2. W przypadku, gdy ciało jest w równowadze, siła tarcia przeciwdziała siłom chcącym je wytrącić z

położenia równowagi. Natomiast, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest

skierowana przeciwnie do prędkości, a jej wartość w przybliżeniu nie zależy od prędkości

poślizgu.

2.4.2. Dynamika kątowa

W dynamice kątowej bierze się pod uwagę następujące parametry [26]:

- Moment obrotowy T [N*m], opisany zależnością (12). Za każdym razem, kiedy występuje obrót,

odpowiedzialny jest za niego moment obrotowy. Jeżeli jest ustalona oś obrotu, moment obrotowy

jest obliczany dookoła osi, natomiast gdy nie ma jednoznacznej osi obrotu, moment obliczany jest w

stosunku do środka masy (rys. 2.7). Jeżeli siły działają po obu stronach osi obrotu, to jest to

przypadek złożony (na układ działa kilka momentów) i w rezultacie na ciało działa moment

wynikowy:

T=r*F (12)

gdzie: T – moment obrotowy wyrażony w [N*m), r- odległość od środka obrotu, tzw. ramię działania

siły [m], F – siła działająca na ciało [N].

Rys. 2.7. Środek masy ciała [56]

- Środek ciężkości – dla układu sił ciężkości równoległych istnieje punkt leżący na wypadkowej tego

układu mający tę własność, że nie ulega zmianie, gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów

zaczepienia o dowolny, stały dla wszystkich kąt (rys. 2.7). Punkt ten to środek ciężkości. W pozycji

anatomicznej, środek ciężkości dla kobiet wynosi 53-56% wysokości ciała, dla mężczyzn 54-57%

wysokości. Jest to punkt ciała, wokół którego masa jest równomiernie rozłożona. Gdy pominie się

zmianę wartości przyspieszenia ziemskiego (g=const), to środek masy pokrywa się ze środkiem

ciężkości.

- Moment bezwładności I [kgm2] jest opisany zależnością (13), Masowy moment bezwładności

względem punktu, osi lub płaszczyzny jest sumą (całką) iloczynów mas przez kwadraty ich

24

odległości od punktu, osi lub płaszczyzny. Przykładem wykorzystania momentu bezwładności mogą

być: rzut młotem, nurkowanie czy też zamach kijem do golfa.

I=m*r2

(13)

- Moment kątowy H [kgm2/s] jest opisany zależnością (14). Moment kątowy jest wektorem o zwrocie

takim samym, jak prędkość kątowa .

H=I* (14)

W dynamice kątowej obowiązują również prawa Newtona dla ruchu obotowego:

I prawo kątowe Newtona: ciało będzie obracało się ze stałym momentem obrotowym do

momentu, gdy nie zostanie do niego przyłożony zewnętrzny moment obrotowy.

II prawo kątowe Newtona dla ruchu obrotowego: Jeżeli zostanie przyłożony do ciała moment

obrotowy, ciało dozna przyspieszenia kątowego. Im większy moment, tym większe przyspieszenie

obrotowe; im większy moment bezwładności, tym mniejsze przyspieszenie kątowe.

Rys. 2.8. Ilustracja II prawa dynamiki kątowej Newtona [54]

III prawo dynamiki kątowej Newtona dla ruchu obrotowego: jeżeli jeden układ wywiera

moment obrotowy na inny układ, to drugi układ będzie wywierał taki sam moment o przeciwnym

działaniu na pierwszy.

Układ mięśniowo-szkieletowy jest odpowiedzialny za generowanie sił, które poruszają ciałem

ludzkim w przestrzeni oraz zapobiegają niechcianym ruchom. Zrozumienie mechaniki i patomechaniki

ludzkiego ruchu wymaga zdolności do przestudiowania przyłożonych sił i momentów zewnętrznych

oraz generowanych przez ludzkie ciało lub jego segmenty.

Rys. 2.9. Momenty sił w układzie szkieletowym stopy [59]

25

W kinezjologii moment M jest przeważnie powodowany siłą F, działającą w odległości r od środka

obrotu segmentu. Moment dąży do powodowania rotacji i jest zdefiniowany jako funkcja produktu

kartezjańskiego. Z tego powodu moment jest reprezentowany przez wektor, który przechodzi np. przez

środek obrotu i jest prostopadły zarówno do wektora siły, jak i do kierunku. Dla analizy 2D, zarówno

wektor siły, jak i odległości leżą w płaszczyźnie papieru, więc wektor momentu jest zawsze

skierowany prostopadle do kartki z linią działania przechodzącą przez określony punkt, np. punkt

obrotu (rys. 2.9). Ponieważ istnieje jeden kierunek i linia działania, moment jest często traktowany

jako wielkość skalarna w analizie 2D, z jedynie wielkością i kierunkiem. Odległość, która jest

prostopadła do wektora siły, nazywana jest ramieniem momentu siły. W układzie mięśniowo-

szkieletowym to mięśnie są odpowiedzialne za produkowane sił i momentów dając w rezultacie ruch

posuwowy i obrotowy.

2.5. Mechanika mięśnia

Mechanika mięśnia to opis mięśnia jako urządzenia do produkcji siły. Mechanika mięśnia, czyli

fizjologia mięśnia (w zależności od punktu widzenia), ma dużo praktycznych zastosowań.

Doświadczenia na mięśniach, pojedynczych włóknach lub nawet miofilamentach mają często na celu

studiowanie mechanizmów produkcji siły mięśniowej. Dziedzina mechaniki mięśnia może być bardzo

użyteczna w biomechanice sportu dla przewidzenia optymalnego wykonania ćwiczeń lub też ich

poprawy. Jednak podejścia do mechaniki mięśnia w biomechanice sportu właściwie nie istnieją. Jedną

z dziedzin, która jest rozważana jest kolarstwo. Kolarstwo jest cyklicznym, kinematycznie łatwym

procesem do opisu i nadaje się do studiowania mechaniki mięśnia. Badania mechaniki mięśnia mają

dwa główne cele:

1) określenie obciążenia działającego na system mięśniowo-szkieletowy;

2) badanie interakcji siły mięśniowej podczas ruchu.

Przypuszczalnie, najbardziej podstawową własnością mięśnia jest produkcja siły. Pomimo jednak

rozległych badań niektóre aspekty produkcji siły mięśnia nie zostały jeszcze rozwiązane.

Przykładowo, precyzyjny mechanizm połączenia przekroju fizjologicznego i ruchu przekroju, który

powoduje relatywne ruchy miofilamentów i produkuje siłę, nie jest jeszcze dokładnie zrozumiany.

Rozważając mechaniczne własności mięśnia należy pamiętać o jego fizjologicznych i

biomechanicznych własnościach.

Czynniki powodujące siłę mięśnia to:

1. wielkość pobudzenia dostarczona przez system nerwowy;

2. własności samego mięśnia (mechaniczne własności mięśnia, efekty strukturalne ze względu na

różnorodną architekturę mięśnia, przez co siła wytworzona przez włókna mięśnia nigdy nie

jest taka sama).

26

Jednym z najczęściej używanych przypadków stosowania równowagi statycznej dla systemu

mięśniowo-szkieletowego jest obliczenie nieznanych sił mięśnia. Jest to bardzo użyteczne narzędzie,

ponieważ nie ma obecnie nieinwazyjnych metod eksperymentalnych, które mogłyby zmierzyć siły

mięśnia metodami in vivo. Istnieją trzy typy sił w problemach układu mięśniowo-szkieletowego:

- siła reakcji połączenia (stawu) pomiędzy dwoma poruszającymi się powierzchniami;

- siła mięśnia;

- siła ze względu na reakcję ciała na zewnętrzne otoczenie.

Podstawowe czynniki określające siły mięśnia to [23]:

fizjologiczne obszary sekcji przecięcia (PCSA);

związek długość – natężenie: siła, którą produkuje mięsień, różni się na długości sarkomeru;

związek obciążenie – prędkość: prędkość skracania mięśnia ma wpływ na obciążenie;

związek siła – czas: siła generowana przez mięsień jest proporcjonalna do czasu skurczu;

inne czynniki: wstępne naciągnięcie, temperatura mięśnia, urazy.

2.5.1. Metody badań sił mięśni

Jedną z metod analizowania układu niewyznaczalnego jest metoda optymalizacji. Ponieważ układ

posiada nieskończenie wiele rozwiązań, podejście optymalizacji pomaga wybrać najlepsze z nich.

Model optymalizacyjny minimalizuje niektóre funkcje kosztu w celu wygenerowania pojedynczego

rozwiązania. Funkcja może być całkowitą siłą dla wszystkich mięśni lub całkowitym napięciem we

wszystkich mięśniach. Ponieważ centralny układ nerwowy dąży do minimalizowania pracy w celu

wykonania pewnej funkcji, współdziałające żądania stawów muszą również podlegać temu prawu.

Inną metodą analizowania układów niewyznaczalnych jest model redukcyjny, w którym stosuje się

zbiór reguł dla relatywnego rozłożenia sił mięśni bazując na sygnałach EMG, anatomii i

fizjologicznych ograniczeniach [24].

2.5.2. Modele mięśnia

Model Maxwella

Model stanowi połączenie szeregowe elementu sprężystego o module Younga E i tłumika o

lepkości . W takim typie połączenia naprężenie w obu elementach jest jednakowe, zaś odkształcenie

całkowite układu jest sumą odkształceń sprężyny i tłumika (rys. 2.10) [23].

27

Rys. 2.10. Model mięśnia Maxwella [23]

Model Kelvina-Voigta

Model stanowi równoległe połączenie elementów sprężystego i tłumiącego. Przy tym typie

połączenia elementy odkształcają się jednakowo [23]. Całkowity opór układu stawiany obciążeniu

zewnętrznemu jest sumą oporu sprężyny i tłumika. W modelu Kelvina-Voigta początkowo całe

obciążenie jest przenoszone przez tłumik, zatem szybkość jest maksymalna. W miarę rozciągania

sprężyny jej naprężenie wzrasta, obniżając tym samym naprężenie działające na tłumik. Szybkość

odkształcania sprężyny dąży do zera w miarę, jak zbliża się ono do wartości maksymalnej, przy której

naprężenie całkowite równe jest naprężeniu sprężyny (rys. 2.11)

Rys. 2.11. Model Kelvina-Voigta [57]

Model Hilla:

Model składa się z elementu kurczącego (CE), który reprezentuje strukturę kurczenia się w mięśniu

(włókna mięśnia), szeregowo połączonego z elementem elastycznym (SEE), który reprezentuje serię

elastycznych struktur w układzie mięsień-ścięgno. SSEu – element elastyczny bez tłumienia, a SEEd z

tłumieniem (rys. 2.12) [23].

F

E

28

Rys. 2.12. Model mięśnia Hill’a [58]

Hill wykazał doświadczalnie, że maksymalna moc uzyskiwana przez mięsień w fazie skracania zależy

liniowo od różnicy siły maksymalnej, czyli siły przy skurczu izometrycznym, oraz bieżącej wartości

siły dla skurczu izotonicznego. Prędkość skurczu jest największa, gdy mięsień kurczy się bez

obciążenia i odwrotnie. Model Hilla służy do wyznaczenia produkcji siły i charakterystyk długości

mięśnia. Jest to tzw. quasistatyczny model reologiczny. W modelu uwzględnione są elementy

kurczliwe (sarkomery), elementy sprężyste równoległe (ścięgna, tkanki łączne) i elementy sprężyste

szeregowe (powięzi).

2.6. Dźwignie w ciele człowieka

Ciało jest systemem dźwigni. Dźwignia jest przykładem układu równoległych sił, co jest częstym

przykładem w układzie mięśniowo-szkieletowym. Dźwignia składa się z ciała sztywnego z dwiema

siłami zewnętrznymi i punktem obrotu. W układzie mięśniowo-szkieletowym jedna z sił jest

produkowana przez mięsień, a druga dostarczana przez kontakt z otoczeniem (lub przez grawitację),

natomiast punkt obrotu jest środkiem obrotu, np. stawu. Dwie siły mogą znajdować się po tej samej

lub po różnych stronach środka obrotu. Na ogół mięśnie pracują w niekorzystnych warunkach

mechanicznych, przy przełożeniach dźwigni kostnych nawet w stosunku 10:1. Takie przełożenia nie

są korzystne z punktu widzenia sprawności mechanicznej, ale umożliwiają uzyskanie w stawach

dużych prędkości kątowych, często niezbędną do lokomocji lub ruchów manipulacyjnych. Pomimo

niekorzystnych uwarunkowań, można przez okres kilku sekund utrzymać w dwóch rękach, przy

poziomej pozycji przedramienia, przedmiot o ciężarze 900N. Siła rozwijana przez mięsień musi być

10 x większa (9000N). Podnoszona masa jest prawie 2000 razy większa od masy pracujących mięśni.

Znane są trzy rodzaje dźwigni (rys. 2.13-2.14) [23,34]:

1) pierwszej klasy (czaszka, stopa) - siły znajdują się po różnych stronach środka obrotu;

2) drugiej klasy (podnoszenie pięty) - siły znajdują się po tej samej stronie środka obrotu, a siła

zewnętrzna jest bliżej tego środka niż siła mięśnia. Ten typ dźwigni prawie nigdy nie jest

zauważany w ludzkim ciele;

3) trzeciej klasy (łokieć, kolano, biodro, itd) - siły są po tej samej stronie środka obrotu, a siła

mięśnia jest bliżej środka obrotu niż siła zewnętrzna. Większość stawów w ludzkim ciele

zachowuje się jak takie dźwignie.

29

opór siła

opór

siła

opór

siła

1)

2)

3)

Rys. 2.13. Podstawowe typy dźwigni

Dzięki systemowi dźwigni, jaki tworzy układ mięśniowo-szkieletowy, człowiek może:

- zmieniać położenie całego ciała (wykonywać ruchy lokomocyjne);

- zmieniać ułożenie części ciała względem siebie, na przykład zginać rękę lub nachylać głowę;

- utrzymać odpowiednią postawę ciała, co ma szczególne znaczenie, ponieważ człowiek jest istotą

dwunożną;

- znacznie osłabiać skutki działania różnego rodzaju przeciążeń, na przykład w trakcie wykonywania

gwałtownych ruchów.

a) b) c)

Rys. 2.14. Typy dźwigni w ludzkim ciele: a) pierwszej klasy, b) drugiej klasy, c) trzeciej klasy [59]

2.7. Mechanika płynów

Mechanika płynów zajmuje się badaniem sił, które tworzą się, gdy obiekt przesuwa się w czynniku

płynnym. Rozważane są dwa rodzaje środowisk: powietrze i woda. Ma to szczególne znaczenie w

sporcie. Jednym z czynników rozważanych podczas badania obiektu jest pływalność (fot. 2.1)

30

Fot. 2.1. Pływalność [60]

Aby zminimalizować opór powietrza, należy rozważyć: prędkość ruchu oraz pracę daną również przez

inne siły niż opór powietrza. Źródła oporu mogą wywodzić się z kilku czynników:

1. grawitacja – waga równa jest masie pomnożonej przez przyspieszenie grawitacyjne;

2. bezwładność – wagi dostarczają wewnętrznych sił, co jest wynikiem iloczynu masy i

pionowego przyspieszenia;

3. tarcie – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu współczynnika tarcia dwóch

powierzchni, które stykają się ze sobą, oraz siły, która dociska je do siebie;

4. opór substancji (powietrze, woda) – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu

prędkości względnej substancji oraz obiektu, który się z nią styka, oraz stałej, która

odzwierciedla fizyczne charakterystyki zarówno substancji, jak i obiektu;

5. opór elektryczny – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu odległości na

jaką element elastyczny jest naciągnięty, poza długość spoczynkową, oraz stałej, która

odzwierciedla fizyczne własności elementu elastycznego.

Przykładem zminimalizowania oporu powietrza jest np. konstrukcja roweru przedstawiona na rys.

2.15. Przed wprowadzeniem udogodnień poniższej konstrukcji, rekord prędkości roweru wynosił 105

km/h. Obecnie, rekord prędkości roweru na długości 200 m wynosi 130 km/h.

Rys. 2.15. Nowoczesny model roweru, zbudowany w celu poprawy pływalności i zmniejszenia oporu

powietrza [61]

2.8. Własności mechaniczne tkanek biologicznych

Biologiczne tkanki są zarówno elastyczne, jak i lepkosprężyste. Rozważa się następujące własności

[23]:

1. Elastyczność - odnosi się przeważnie do tkanek stałych, w których opór jest proporcjonalny do

odkształcenia.

2. Lepkosprężystość - jest to własność materiału zależna od czasu, gdzie naprężenie materiału zależy

od napięcia w stosunku do napięcia zastosowanego. Lepkosprężystość jest zauważalna w wielu

31

tkankach miękkich, gdzie występuje rozproszenie energii lub histereza pomiędzy obciążonymi i

nieobciążonymi tkankami podczas testów mechanicznych. Niektóre tkanki miękkie mogą być

wstępnie obciążone powtarzającym się cyklem obciążenia do momentu, gdy krzywa napięcie-

naprężenie dla części obciążonych i nieobciążonych podczas testu nie najdzie na siebie.