ROZPRAWA DOKTORSKAlbartczak/pl/www/?download... · ROZPRAWA DOKTORSKA mgr Leszek Bartczak Analiza matematyczna równań termolepkoplastyczności Promotor dr hab. Krzysztof Chełmiński

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział Matematyki i NaukInformacyjnych

ROZPRAWA DOKTORSKA

mgr Leszek Bartczak

Analiza matematyczna równań termolepkoplastyczności

Promotordr hab. Krzysztof Chełmiński

Streszczenie

W pracy zajmujemy się analizą matematyczna rozwiązań kompletnych ukła-

dów równań opisujących różne modele termolepkospężystości pod kątem istnie-

nia, jednoznaczności i czasu istnienia rozwiązań.

Metodami jakie będziemy wykorzystywać w rozprawie są metoda aproksy-

macji Galerkina dla układów nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych,

metody punktu stałego oraz metody słabej zbieżności. Ponadto ze względu na

skomplikowaną nieliniowość w równaniu przewodnictwa ciepła niezbędne jest sto-

sowanie zaawansowanych technik z nieliniowych równań różniczkowych cząstko-

wych takich jak subtelne oszacowania energetyczne do analizy istnienia w czasie

rozwiązań.

Abstract

The purpose of this dissertation is the mathematical analysis of solution to

complete system of equations describing the various models of thermo-visco-

plasticity. Specifically, we will study existence, uniqueness and time of existence.

Methods used in the project are: Galerkin approximations for nonlinear sys-

tems of partial differential equations, fixed point theorems and weak convergence

of sequences. In addition, due to the complicated non-linearity in the equation

of heat conduction it is necessary to apply advanced techniques of nonlinear par-

tial differential equations such as more subtle energetic estimates to analyse the

existence in time of the solution.

Podziękowania

Dziękuję Panu Profesorowi Krzysztofowi Chełmińskiemu za nieustanną

pomoc i nieocenione wskazówki, za poświęcony mi czas i zaangażowanie,

bez których trudno byłoby sobie wyobrazić powstanie tej rozprawy.

Dziękuję także Pani Profesor Irenie Lasieckiej za inspirujące rozmowy i

pomysły, które rozszerzyły moje spojrzenie na omawiane problemy.

Dziękuję także za wsparcie w postaci stypendium finansowanego przez

Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego, projekt

”Program Rozwojowy Politechniki Warszawskiej” realizowany przez Cen-

trum Studiów Zaawansowanych.

Na koniec chciałbym podziękować najbliższym za to, że nigdy nie prze-

stali we mnie wierzyć i za cierpliwość i wyrozumiałość. Szczególne podzię-

kowania należą się mojej żonie Kamili za podtrzymywanie mnie na duchu

w chwilach zwątpienia oraz moim córkom za radość, której były źródłem.

L’etude approfondie de la nature est la source la plus feconde des

decouvertes mathematiques.

Głębokie studium natury jest najbardziej urodzajnym źródłem odkryć

matematycznych.

Jan Chrzciciel Józef Fourier (1768-1830)

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Wprowadzenie do tematyki rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Wybrane własności macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Przestrzenie funkcji zależnych od zmiennych przestrzennych . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Przestrzeń L2div(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Przestrzenie Bochnera – Lp(I;X), W k,p(I;X) oraz W s,p(I;X) . . . . . . . . . . . 17

4. Nierówność Korna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Pomocnicze zagadnienia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Rozdział I. Model ze związkiem konstytutywnym typu Bodnera-Partoma . . . . . . . 20

I.1. Układ równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I.2. Istnienie rozwiązań układu (TBP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I.2.1. Sprowadzenie problemu do jednorodnych warunków brzegowych . . . . . . . . 25

I.2.2. Przybliżenia Galerkina dla (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

I.2.3. Oszacowania energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I.2.4. Oszacowania dla pochodnych czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I.2.5. Oszacowania dla pochodnych przestrzennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I.2.6. Istnienie rozwiązań (HP) oraz (TBP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I.3. Jednoznaczność rozwiązania problemu (TBP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Rozdział II. Model z Lipschitz’owsko ciągłą funkcją konstytutywną . . . . . . . . . . . . 42

II.1. Układ równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.2. Istnienie lokalnych w czasie rozwiązań (TP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.2.1. Usunięcie warunków brzegowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.2.2. Punkt stały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.3. Istnienie rozwiązań dla dużych czasów w zależności od danych . . . . . . . . . . 57

Dodatek A. Problem liniowej sprężystości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

ROZDZIAŁ . SPIS TREŚCI

Dodatek. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10

Wstęp

1. Wprowadzenie do tematyki rozprawy

W naszej pracy przedstawimy wyniki dotyczące istnienia i jednoznaczności rozwiązań

problemu termolepkoplastyczności. Zastanowimy się także nad tym, kiedy rozwiązanie

jest globalne w czasie, a kiedy czas istnienia zależy od małości danych i w jaki sposób.

Będziemy rozważać różne modele pochodzące z praktyki inżynierskiej. Są to modele opi-

sujące odkształcenia zachodzące w ośrodku ciągłym (najczęściej metalu) przy zmiennej

temperaturze. Będziemy rozpatrywali jedynie modele quasistatyczne, to znaczy takie, w

których bilans sił nie zawiera elementu przyspieszenia odkształcenia. Jest to spowodowane

tym, że w analizowanych przez nas problemach modele są wyprowadzane przy założeniu,

że odkształcenia zachodzą wolno. Dodatkowo, ponieważ w rozważanych modelach zakła-

da się małe odkształcenia, to będziemy używali zlinearyzowanego tensora odkształceń

Cauchy’ego. Dokładniej modele omówimy na początku rozdziałów poświęconych tym mo-

delom.

2. Wybrane własności macierzy

Bardzo często w naszej pracy będziemy używali macierzy kwadratowych o wyrazach

rzeczywistych. Wprowadzimy teraz parę przydatnych symboli. Zbiór wszystkich kwadra-

towych macierzy rzeczywistych wymiaru N będziemy oznaczać symbolem M(N) to znaczy

M(N) := aijNi,j=1 : aij ∈ R dla i, j = 1, 2. . . . , N.

Szczególną macierzą jest oczywiście macierz jednostkowa

I := δijNi,j=1,

gdzie δij jest deltą Kroneckera. Ślad macierzy A = aijNi,j=1 ∈ M(N) będziemy oznaczać

symbolem

trA :=N∑i=1

aii.

11

ROZDZIAŁ . WSTĘP 3. PRZESTRZENIE FUNKCYJNE

Ważnym dla nas pojęciem, będzie też część bezśladowa macierzy A ∈ M(N) (dewiator

macierzy), czyli

AD := A− trAN

I.

Zbiór macierzy symetrycznych wymiaru N jest to

s(N) := A ∈M(N) : A = AT,

gdzie AT oznacza transpozycję macierzy A. Przez iloczyn skalarny macierzy A,B ∈M(N)

będziemy rozumieli

A ·B :=N∑

i,j=1

aijbij,

a przez moduł macierzy A ∈M(N)

|A| :=√A · A.

3. Przestrzenie funkcyjne

3.1. Przestrzenie funkcji zależnych od zmiennych przestrzennych. Jednymi

z ważniejszych klas funkcji w rozważanych zagadnieniach są: przestrzenie Lebesgue’a,

przestrzenie Sobolewa oraz przestrzenie Sobolewa-Słobobeckiego. Niech Ω ⊂ RN będzie

zbiorem otwartym, natomiast przezM(Ω) będziemy oznaczać przestrzeń funkcji mierzal-

nych określonych na zbiorze Ω i, w zależności od kontekstu, o wartościach odpowiednio w

zbiorach R, RN lub s(N).

Przestrzeń Lebesgue’a: dla p ∈ [1,∞) zawiera mierzalne funkcje całkowalne z p-tą

potęgą, to znaczy:

Lp(Ω) :=ϕ ∈M(Ω) :

∫Ω|ϕ(x)|pdx <∞

,

gdzie w zależności od tego jakie wartości przyjmuje funkcja ϕ przez |ϕ(x)| będziemy rozu-

mieć odpowiednio wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, moduł wektora, bądź moduł

macierzy. Jeżeli nie będzie to wynikało jasno z kontekstu będziemy to zaznaczali używając

symboli Lp(Ω;R), Lp(Ω;RN) lub Lp(Ω; s(N)). Przestrzeń Lp(Ω) jest przestrzenią Banacha

z normą:

‖ϕ‖Lp(Ω) =(∫

Ω|ϕ(x)|pdx

)1/p

.

12


Dla p =∞ przestrzeń Lebesgue’a L∞(Ω) składa się z funkcji ograniczonych prawie wszę-

dzie w zbiorze Ω, to znaczy:

L∞(Ω) :=ϕ ∈M(Ω) : ess sup

x∈Ω|ϕ(x)| <∞

.

Przestrzeń L∞(Ω) jest przestrzenią Banacha z normą:

‖ϕ‖L∞(Ω) = ess supx∈Ω

|ϕ(x)|.

Przestrzeń Sobolewa W k,p(Ω) dla k ∈ N oraz p ∈ [1,∞] jest to podprzestrzeń Lp(Ω),

składająca się z funkcji takich, że ich słabe pochodne aż do rzędu k są elementami prze-

strzeni Lp(Ω). Mianowicie

W k,p(Ω) :=

ϕ ∈ Lp(Ω) :∑

0¬|α|¬k‖Dαϕ‖Lp(Ω) <∞

,gdzie α = (α1, α2, . . . , αN) ∈ NN jest wielowskaźnikiem, dla którego w następujący sposób

określamy moduł: |α| = ∑Ni=1 αi. Natomiast Dα = ∂|α|

∂xα11 ∂x

α22 ···∂x

αNN

oznacza operator słabej

pochodnej mieszanej. Przestrzeń W k,p(Ω) jest przestrzenią Banacha z normą odpowiednio

‖ϕ‖Wk,p(Ω) =

∑0¬|α|¬k

‖Dαϕ‖pLp(Ω)

1/p

,

dla 1 ¬ p <∞ oraz

‖ϕ‖Wk,∞(Ω) = max0¬|α|¬k

‖Dαϕ‖L∞(Ω) ,

dla p = ∞. W przypadku wykładnika p = 2 będziemy używali oznaczenia W k,2(Ω) =:

Hk(Ω). Niech teraz C∞0 (Ω) oznacza podprzestrzeń liniową przestrzeni funkcji gładkich,

taką że nośnik każdej funkcji z tej przestrzeni jest zawarty w sposób zwarty w zbiorze Ω.

To znaczy

C∞0 (Ω) := ϕ ∈ C∞(Ω) : x ∈ Ω: ϕ 6= 0 b Ω ,

gdzie U b Ω dla pewnego podzbioru Ω oznacza, że istnieje zbiór zwarty V ⊂ Ω taki,

że U ⊂ V ⊂ Ω. Określimy teraz pewną szczególną podprzestrzeń liniową przestrzeni

W k,p(Ω), mianowicie W k,p0 (Ω), jako

W k,p0 (Ω) := C∞0 (Ω)

‖·‖Wk,p(Ω) .

13


Podobnie jak poprzednio, dla wykładnika p = 2 będziemy używali symbolu W k,20 (Ω) =:

Hk0 (Ω).

Twierdzenie 3.1 (Sobolewa o włożeniu). Niech Ω ⊂ RN będzie zbiorem otwartym

ograniczonym o brzegu ∂Ω klasy C1. Niech p ∈ [1,∞), j ∈ N ∪ 0, m ∈ N. Wtedy mają

miejsce następujące włożenia:

(i) Jeżeli mp < n to dla p ¬ q ¬ npn−mp zachodzi

Wm+j,p(Ω) → W j,q(Ω).

(ii) Jeżeli mp = n to dla p ¬ q <∞ zachodzi


(iii) Jeżeli mp > n albo m = n i p = 1 to

Wm+j,p(Ω) → CjB(Ω),

gdzie przestrzeń

CjB(Ω) := ϕ ∈ Cj(Ω) : ∃K > 0, max

0¬|α|¬jsupx∈Ω|Dαϕ| < K

.

Twierdzenie 3.2 (Rellicha-Kondraszowa o zwartym włożeniu). Niech Ω ⊂ RN będzie

zbiorem otwartym ograniczonym o brzegu ∂Ω klasy C1. Niech p ∈ [1,∞), j ∈ N ∪ 0,

m ∈ N. Wtedy następujące włożenia są zwarte:

(i) Jeżeli mp < n to dla p ¬ q < npn−mp zachodzi


(ii) Jeżeli mp = n to dla 1 ¬ q <∞ zachodzi


(iii) Jeżeli mp > n zachodzi

Wm+j,p(Ω) → CjB(Ω).

14


Przestrzenie Sobolewa-Słobodeckiego W s,p(Ω) definiujemy dla niecałkowitego s > 0

jako

W s,p(Ω) :=

ϕ ∈ W [s],p(Ω) :∑|α|=[s]

∫Ω

∫Ω

|Dαϕ(x)−Dαϕ(y)|p

|x− y|N+p(s−[s])dxdy <∞

,gdzie [s] oznacza część całkowitą liczby s. Jest to przestrzeń Banacha z następującą normą:

‖ϕ‖W s,p(Ω) =

‖ϕ‖pW [s],p(Ω) +

∑|α|=[s]

∫Ω

∫Ω

|Dαϕ(x)−Dαϕ(y)|p

|x− y|N+p(s−[s])dxdy

1/p

.

Analogicznie jak poprzednio będziemy oznaczali W s,2(Ω) =: Hs(Ω). Zachodzi następujące

twierdzenie w pewnym sensie charakteryzujące wartości brzegowe funkcji z przestrzeni

W k,p(Ω).

Twierdzenie 3.3 (O śladzie). Niech Ω ⊂ RN (N > 1) będzie zbiorem otwartym i

ograniczonym o brzegu ∂Ω klasy Ck. Ponadto niech p ∈ (0,∞). Wtedy

(i) Jeżeli ϕ ∈ W k,p(Ω) i |β| ¬ N−1 to istnieje dokładnie jedna funkcja φ ∈ W k−1/p,p(∂Ω)

taka, że Dβφ ∈ W k−|β|−1/p,p(∂Ω) oraz

‖φ‖Wk−|β|−1/p,p(∂Ω) ¬ C ‖ϕ‖Wk,p(Ω) .

Stała C 0 zależy tylko od k, p,N , oraz Ω. Funkcję φ nazywamy śladem funkcji ϕ na

brzegu ∂Ω i oznaczamy ϕ|∂Ω := φ.

(ii) Niech funkcji φ ∈ W k−1/p,p(∂Ω), wtedy istnieje funkcja ϕ ∈ W k,p(Ω), która jest

rozszerzeniem funkcji φ na wnętrze obszaru Ω (to znaczy ϕ|∂Ω = φ). Ponadto spełniona

jest nierówność:

‖ϕ‖Wk,p(Ω) ¬ C ‖φ‖Wk−1/p,p(∂Ω) .

Tak jak w poprzedniej części twierdzenia stała C > 0 nie zależy od wyboru funkcji φ.

Uwaga 3.4. Można wykazać, że

W k,p0 (Ω) =

ϕ ∈ W k,p(Ω) : ϕ|∂Ω ≡ 0

.

Przywoływane w tej części pracy definicje i twierdzenia można znaleźć na przykład w

monografii [1].15


3.2. Przestrzeń L2div(Ω). Ważną klasą funkcji używaną przez nas w pracy jest pod-

przestrzeń przestrzeni L2(Ω), której elementy mają dywergencję (w sensie słabych po-

chodnych) całkowalną z kwadratem:

L2div(Ω) :=

ϕ ∈ L2(Ω) : divxϕ ∈ L2(Ω)

.

Jest to przestrzeń Banacha z normą:

‖ϕ‖L2div(Ω) =

(‖ϕ‖2

L2(Ω) + ‖divxϕ‖2L2(Ω)

)1/2.

Dla przestrzeni L2div(Ω) zachodzi bardzo użyteczne twierdzenie o śladzie w kierunku nor-

malnym do brzegu obszaru Ω. Twierdzenie to, jak również definicję powyższej przestrzeni

można znaleźć w ([19]).

Twierdzenie 3.5. Niech Ω ⊂ RN będzie zbiorem otwartym i ograniczonym z brzegiem

klasy C2, natomiast ~n(x) będzie wersorem zewnętrznym normalnym do brzegu w punkcie

x ∈ ∂Ω. Niech H− 12 (∂Ω) oznacza przestrzeń dualną do przestrzeni H 1

2 (∂Ω). Wtedy istnieje

operator tr~n : L2div(Ω)→ H−

12 (∂Ω) liniowy i ciągły taki, że

tr~n ξ = ξ · ~n

dla każdej ξ ∈ C∞(Ω). Ponadto dla funkcji ϕ ∈ L2div(Ω) i ψ ∈ H1(Ω) zachodzi

(3.1)∫

Ωϕ(x) · ∇xψ(x)− divxϕ(x) · ψ(x)dx = 〈tr~n ϕ ; ψ|∂Ω〉

H−12 ,H

12,

gdzie 〈· ; ·〉H−

12 ,H

12

oznacza działanie funkcjonału z H−12 (∂Ω) na elemencie przestrzeni

H12 (∂Ω).

Uwaga 3.6. Wzór (3.1) jest uogólnieniem wzoru Stokesa. Mianowicie jeżeli ϕ, ψ ∈

H1(Ω) to ∫Ωϕ(x) · ∇xψ(x)− divxϕ(x) · ψ(x)dx =

∫∂Ωϕ(x) · ~n(x) · ψ(x)dS.

W związku z tym będziemy używali symbolu całki powierzchniowej na oznaczenie działa-

nia funkcjonału z H− 12 (∂Ω). To znaczy także, gdy ϕ ∈ H− 1

2 (∂Ω), a ψ ∈ H 12 (∂Ω):∫

∂Ωϕ(x) · ~n(x) · ψ(x)dS := 〈tr~n ϕ ; ψ|∂Ω〉

H−12 ,H

12.

Dodatkowo zamiast pisać tr~n ϕ będziemy używali symbolu ϕ · ~n|∂Ω.

16


Wniosek 3.7. Istotną częścią Twierdzenia 3.5, z której będziemy korzystali jest na-

stępująca nierówność: niech ϕ ∈ L2div(Ω), wtedy istnieje stała C > 0, zależna jedynie od

geometrii zbioru Ω taka, że

(3.2) ‖ϕ · ~n‖H−

12 (∂Ω)

¬ C ‖ϕ‖L2div(Ω) .

3.3. Przestrzenie Bochnera – Lp(I;X), W k,p(I;X) oraz W s,p(I;X). Teraz po-

krótce wprowadzimy przestrzenie funkcji zależnych od czasu. Będziemy się zajmowali

funkcjami ϕ : I → X, gdzie I ⊂ R jest przedziałem, natomiast X jest przestrzenią

Banacha. Wprowadzimy teraz przestrzenie funkcji Lp(I;X) całkowalnych z p-tą potęgą

(w przypadku p = ∞ istotnie ograniczonych), analogicznie do przestrzeni Lp(Ω). Niech

M(I;X) oznacza zbiór funkcji mocno mierzalnych (definicję można znaleźć na przykład

w [13]). Wtedy dla p ∈ [1,∞) definiujemy

Lp(I;X) := ϕ ∈M(I;X) :∫I‖ϕ(t)‖pX dt <∞.

Przestrzeń Lp(I;X) z normą

‖ϕ‖Lp(I;X) :=(∫

I‖ϕ(t)‖pX dt

)1/p

jest przestrzenią Banacha. Natomiast dla p =∞ definiujemy

L∞(I;X) := ϕ ∈M(I;X) : ess supt∈I

‖ϕ(t)‖X <∞.

Przestrzeń L∞(I;X) z normą

‖ϕ‖L∞(I;X) := ess supt∈I

‖ϕ(t)‖X

tworzy przestrzeń Banacha.

Podobnie jak w przypadku funkcji o wartościach w R, RN oraz M(N), dla funk-

cji o wartościach w przestrzeni Banacha X możemy wprowadzić przestrzenie Sobolewa

W k,p(I;X) (k ∈ N) oraz przestrzenie Sobolewa-Słobodeckiego W s,p(I;X) (s ∈ R+ \ N).

Definicja tych przestrzeni i ich norm jest analogiczna do definicji przestrzeni W k,p(Ω) oraz

W s,p(Ω). Także w tym przypadku będziemy używali oznaczeń Hk(I;X) := W k,2(I;X)

oraz Hs(I;X) := W s,2(I;X).

17

ROZDZIAŁ . WSTĘP 5. POMOCNICZE ZAGADNIENIA LINIOWE

Najczęstszym zastosowaniem powyższych przestrzeni (także w tej pracy) są przypadki

kiedy X ≡ Lq(Ω), X ≡ Wm,q(Ω) bądź X ≡ W r,q(Ω) (tutaj q ∈ [1,∞], m ∈ N, r ∈ R+ \N

oczywiście mogą być inne niż p, k, s).

Jednocześnie twierdzenia o włożeniu (ciągłym i zwartym) pozostają prawdziwe. Pod-

stawowe informacje o przestrzeniach Bochnera znajdują się w cytowanym powyżej pod-

ręczniku [13]. Więcej informacji na temat tych przestrzeni można znaleźć na przykład w

[15], [17] oraz [18].

4. Nierówność Korna

W tej części przytoczymy bardzo ważną własność gradientu symetrycznego funkcji

ϕ : Ω ⊂ RN → RN . Wprowadźmy symbol ε(ϕ) := 1/2(∇ϕ+ (∇ϕ)T).

Twierdzenie 4.1. Załóżmy, że 0 < p < ∞. Niech Ω ⊂ RN będzie obszarem ogra-

niczonym z Lipschitz’owskim brzegiem ∂Ω. Istnieje wtedy taka stała C > 0 zależna od p

oraz geometrii obszaru Ω, że zachodzi

‖ϕ‖W 1,p(Ω) ¬ C(‖ε(ϕ)‖Lp(Ω) + ‖ϕ‖Lp(Ω)

)(4.1)

dla każdej funkcji ϕ ∈ W 1,p(Ω).

5. Pomocnicze zagadnienia liniowe

Rozważymy teraz dwa pomocnicze zagadnienia liniowe. Niech Ω ∈ R3 będzie zbiorem

otwartym ograniczonym z brzegiem klasy C2 oraz niech (x, t) ∈ Ω × (0, T ), dla pewne-

go T > 0. Pierwsze, to równanie przewodnictwa ciepła z niejednorodnymi warunkami

brzegowymi

∂tθ(x, t) = κ∆θ(x, t),

θ(x, t)|∂Ω = gθ(x, t),(LP1)

θ(x, 0) = θ0(x),

gdzie θ0 jest zgodna z gθ na brzegu ∂Ω. To znaczy, że θ0|∂Ω(x) − gθ(x) = 0 dla prawie

wszystkich x ∈ ∂Ω. Drugi problem to niejednorodne zagadnienie liniowej sprężystości18

ROZDZIAŁ . WSTĘP 5. POMOCNICZE ZAGADNIENIA LINIOWE

z niezerowymi warunkami brzegowymi:

(LP2)−divxD(ε(u(x, t))) = −c∇θ(x, t) + c∇θR(x) + f(x, t),

u(x, t)|∂Ω = gu(x, t).

W drugim problemie funkcja temperatury θ jest już funkcją daną.

Lemat 5.1. (i) Załóżmy, że warunki brzegowe spełniają gθ ∈ L2(0, T ;H32 (∂Ω)) ∩

H34 (0, T ;L2(Ω)) ∩ L∞(0, T ;H

12 (∂Ω)). Ponadto niech dane początkowe θ0 należą do prze-

strzeni H1(Ω) i niech będą zgodne z gθ. Wtedy problem (LP1) posiada jednoznaczne roz-

wiązanie θ spełniające θ ∈ L2(0, T ;H2(Ω)) ∩ L∞(0, T ;H1(Ω)) oraz ∂tθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)).

Dodatkowo dostajemy następujące oszacowania∥∥∥θ∥∥∥

L2(0,T ;H2(Ω))+∥∥∥θ∥∥∥

L∞(0,T ;H1(Ω))+∥∥∥∂tθ∥∥∥

L2(0,T ;L2(Ω))

¬ C(T )(∥∥∥θ0

∥∥∥H1(Ω)

+ ‖gθ‖L2(0,T ;H

32 (∂Ω))

+ ‖gθ‖H

34 (0,T ;L2(∂Ω))

+ ‖gθ‖L∞(0,T ;H

12 (∂Ω))

).

(ii) Niech wektor sił spełnia f ∈ H1(0, T ;L2(Ω)), co więcej, niech temperatura odniesienia

spełnia θR ∈ H1(Ω) oraz niech dla danych brzegowych zachodzi gu ∈ L∞(0, T ;H32 (∂Ω)) ∩

H1(0, T ;H12 (∂Ω)). Wtedy problem (LP2) posiada jednoznaczne rozwiązanie u należące do

przestrzeni L∞(0, T ;H2(Ω))∩H1(0, T ;H1(Ω)). Ponadto spełnione są następujące oszaco-

wania

‖u‖L∞(0,T ;H2(Ω)) ¬ C(∥∥∥θ∥∥∥

L∞(0,T ;H1(Ω))+ ‖∇θR‖H1(Ω) + ‖f‖L∞(0,T ;L2(Ω))

+ ‖gu‖L∞(0,T ;H

32 (∂Ω))

),

‖∂tu‖L2(0,T ;H1(Ω) ¬ C(∥∥∥∂tθ∥∥∥

L2(0,T ;L2(Ω))+ ‖∂tf‖L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∂tgu‖

L2(0,T ;H12 (∂Ω))

)

Uwaga 5.2. Pierwsza część tezy wynika z ogólnej teorii równań parabolicznych (patrz

na przykład [16] Twierdzenie 9.1 str. 341). Druga część wynika z liniowej teorii spręży-

stości (patrz na przykład Twierdzenie 7.1 str. 80 [20]).

Uwaga 5.3. Można pokazać, że jeżeli w powyższych dwóch problemach dane funkcje

są klasy C∞ to rozwiązania też są klasy C∞.

19

ROZDZIAŁ I

Model ze związkiem konstytutywnym typu Bodnera-Partoma

I.1. Układ równań

W pierwszym rozdziale będziemy zajmować się modelem odkształceń termolepkopla-

stycznych ze związkiem konstytutywnym typu Bodnera-Partoma. Podstawowy związek

konstytutywny w rozważanym przez nas modelu zaproponowali S. R. Bodner oraz Y.

Partom ([8]) w 1975 roku. Około dziesięciu lat temu K. Chełmiński oraz P. Gwiazda

uogólnili klasę funkcji konstytutywnych, dla których pokazali istnienie i jednoznaczność

rozwiązań w przypadku czysto mechanicznym, to znaczy przy stałej temperaturze ([9],

[10], [12]). Wyniki przedstawione w tym rozdziale stanowią główne wyniki w pracy [5].

Rozważany przez nas układ równań jest uzupełniony o równanie przewodnictwa cie-

pła. Ponadto funkcja temperatury ma bezpośredni wpływ na tensor naprężeń oraz na

plastyczną część tensora odkształceń. Ciało, które rozpatrujemy, zajmuje w chwili po-

czątkowej obszar Ω ⊂ R3 z gładkim brzegiem ∂Ω. Niech x ∈ Ω oznacza punkt materialny

ciała, podczas gdy t ∈ (0,+∞) jest czasem. Układ równań przyjmuje następującą postać:

−divxσ(x, t) = f(x, t),

σ(x, t) = D(ε(u(x, t))− εp(x, t))− cI(θ(x, t)− θR(x)),

∂tεp(x, t) = G

(|σD(x, t)|+ β(θ(x, t))+

y(x, t)

)σD(x, t)|σD(x, t)|

,(TBP)

∂ty(x, t) = γ(y(x, t))G(|σD(x, t)|y(x, t)

)|σD(x, t)| − Aδ(y(x, t)),

∂tθ(x, t) = κ∆θ(x, t)− αdivx∂tu(x, t) + ∂tεp(x, t) · σ(x, t).

Pierwsze równanie opisuje równowagę sił działających na rozważane ciało w przypadku

quasistatycznym. Oznacza to, że ciało odkształca się na tyle wolno, że można pominąć

wyraz zawierający przyspieszenie. Funkcja σ : Ω × R+ → s(3) opisuje tensor naprężeń.

Zaś dana funkcja wektorowa f : Ω × R+ → R3 jest gęstością sił objętościowych działa-

jących na ciało. W drugim równaniu dana jest zależność pomiędzy naprężeniem σ oraz

20

ROZDZIAŁ I. MODEL BODNERA-PARTOMA I.1. UKŁAD RÓWNAŃ

funkcją przemieszczenia u : Ω × R+ → R3. Część symetryczna gradientu przemieszcze-

nia: ε(u) = 12(∇xu+ (∇xu)T) jest tensorem odkształceń Cauchy’ego w przypadku małych

deformacji. Bezpośrednio z definicji wynika, że tensor odkształceń Cauchy’ego jest elemen-

tem s(3). Będziemy zakładać, że tensor odkształceń można rozłożyć na część plastyczną

i sprężystą, to znaczy ε(u) = εp + (ε(u) − εp). Drugie równanie jest uogólnieniem prawa

Hooke’a i opisuje zależność między naprężeniem, częścią sprężystą tensora odkształceń

oraz funkcją temperatury θ : Ω× R+ → R. Natomiast funkcja θR : Ω→ R to temperatu-

ra odniesienia. Operator D : s(3) → s(3) jest liniowy, symetryczny i dodatnio określony.

Trzecie równanie opisuje ewolucję w czasie części plastycznej tensora odkształceń. Przez

σD, zgodnie z oznaczeniami wprowadzonymi we wstępie oznaczamy dewiator napręże-

nia (σD = σ − 13trσ · I). Dana funkcja konstytutywna G : R+ → R+ jest uogólnieniem

funkcji ze związku konstytutywnego zaproponowanego przez Bodnera i Partoma. Przez

x+ = max0, x będziemy rozumieć część nieujemną liczby rzeczywistej. Dana funkcja

β : R → R opisuje wpływ temperatury na plastyczne zachowanie rozważanego materia-

łu. Zmienna wewnętrzna y : Ω × R+ → R+ opisuje sztywność izotropową metalu. Ewo-

lucja w czasie tej zmiennej jest modelowana przez czwarte równanie. W tym związku

γ : R+ ⊃ D(γ)→ R+ oraz δ : R+ ⊃ D(δ)→ R+ są danymi funkcjami, podczas gdy A 0

jest stałą. Równania trzecie i czwarte to niesprężysty związek konstytutywny. Układ rów-

nań uzupełnia równanie przewodnictwa ciepła (przy założeniu prawa Fouriera; to znaczy,

że strumień ciepła jest liniowo proporcjonalny do gradientu temperatury). Ponadto c, κ

oraz α są stałymi dodatnimi, których wielkość zależny od rozważanego materiału. Problem

(TBP) będziemy rozważać z warunkami brzegowymi typu Dirichleta

(D)u(x, t) = gu(x, t) dla (x, t) ∈ ∂Ω× R+,

θ(x, t) = gθ(x, t) dla (x, t) ∈ ∂Ω× R+,

oraz położymy dane początkowe jako

εp(x, 0) = εp0(x),

y(x, 0) = y0(x),(I)

θ(x, 0) = θ0(x).

Dodatkowo zakładamy, że εp0(x) jest bezśladową macierzą symetryczną dla prawie wszyst-

kich x ∈ Ω. Co więcej, będziemy wymagali aby spełniony był warunek zgodności danych

21


początkowych z warunkami brzegowymi w postaci

(CC) θ0|∂Ω = gθ(x).

Naszym celem jest wykazanie istnienia oraz jednoznaczności rozwiązania (u, εp, y, θ) ukła-

du (TBP)+(D)+(I). Najpierw używając metody przybliżeń Galerkina pokażemy rozwią-

zywalność problemu (TBP)+ (D)+(I). W tym celu usuniemy najpierw warunki brzegowe

używając Lematu 5.1. Następnie dla problemu jednorodnego skonstruujemy ciąg przy-

bliżeń Galerkina i wykorzystamy oszacowania energetyczne, aby pokazać, że uzyskany

ciąg przybliżeń jest ograniczony w przestrzeni H1((0, T ) × Ω). Dalej używając twierdze-

nia Rellicha-Kondraszowa o zwartym włożeniu pokażemy zbieżność ciągu przybliżeń. W

drugiej części rozdziału pokażemy jednoznaczność rozwiązania rozważanego problemu.

Jednoznaczności będziemy dowodzić poprzez analizę różnicy dwóch rozwiązań, przy nie-

znacznie wzmocnionych założeniach.

Definicja I.1.1. Mówimy, że wektor (u, εp, y, θ) taki, że

u ∈ L2(0, T ;H1(Ω;R3)), ∂tu ∈ L2(0, T ;L2(Ω;R3))

εp ∈ W 1,∞(0, T ;L2(Ω; s(3)))

y ∈ W 1,∞(0, T ;L2(Ω;R))

θ ∈ L2(0, T ;H1(Ω;R)), ∂tθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω;R3))

jest rozwiązaniem (słabym) problemu (TBP)+(D)+(I), jeżeli spełnione są następujące

równości: ∫ΩD(ε(u(x, t))− εp(x, t)) · ε(v(x))dx+ c

∫ΩI(θ(x, t)− θR(x))∇xv(x)dx

=∫

Ωf(x, t)v(x)dx,

∂tεp(x, t) = G

(|σD(x, t)|+ β(θ(x, t))+

y(x, t)

)σD(x, t)|σD(x, t)|

,

∂ty(x, t) = γ(y(x, t))G(|σD(x, t)|y(x, t)

)|σD(x, t)| − Aδ(y(x, t)),∫

Ω∂tθ(x, t)w(x)dx+ κ

∫Ω∇xθ(x, t)∇xw(x, t)dx

= α∫

Ω∂tu(x, t)∇xw(x)dx+

∫Ω∂tε

p(x, t) · σ(x, t)w(x)dx,

22


dla każdych v ∈ H10 (Ω;R3), w ∈ H1

0 (Ω;R) oraz dla prawie wszystkich (x, t) ∈ Ω× (0, T ).

Ponadto warunki brzegowe (D) są spełnione w sensie śladu, a warunki początkowe I

prawie wszędzie w Ω.

Sformułujemy teraz grupę założeń, przy których będziemy szukać rozwiązań. Są to

założenia nałożone na rozważany model fizyczny. Jednocześnie rozszerzają one model

zaproponowany przez S. R. Bodnera i Y. Partoma.

Założenia o modelu

Pierwsza grupa założeń dotyczy nieliniowej funkcji ze związku konstytutywnego G:

A1 G(p) oraz G(p)p

są funkcjami klasy C∞(R+,R+),

A2 Istnieje g ∈ R takie, że G(p) < g dla wszystkich p ∈ R+ (G jest ograniczone),

A3 G ′(p) 0 dla wszystkich p ∈ R+ (G jest niemalejące),

A4 Istnieje g′ takie, że G ′(p)p < g′ dla wszystkich p ∈ R+.

Druga grupa założeń dotyczy funkcji γ oraz δ:

A5 D(γ) = D(δ) = [y2, y1], gdzie 0 < y2 < y1 oraz γ, δ są funkcjami klasy

C∞(D(γ),R+),

A6 γ′(p) ¬ 0 dla wszystkich p ∈ [y2, y1] (γ jest nierosnąca),

A7 γ(y2) > γ(y1) = 0 oraz δ(y2) = 0. Ponadto δ(p) > 0 dla wszystkich p ∈ (y2, y1].

Ostatnia grupa założeń jest związana z funkcją β opisującą sprzężenie równania przewod-

nictwa ciepła oraz niesprężystego związku konstytutywnego:

A8 β jest funkcją klasy C∞(R,R),

A9 Istnieje k > 0 takie, że β(t) ∈ (−k, 0) dla wszystkich t ∈ R,

A10 limt→∞ β(t) = 0,

A11 Istnieje B takie, że B β′(t) 0 dla wszystkich t ∈ R.

Założenia A1-A7 są wzięte z artykułu [12]. Dodane przez nas założenia A8-A11 są

związane z rozszerzeniem układu równań o równanie przewodnictwa ciepła (patrz [5]).

Uwaga I.1.2. S. R. Bodner oraz Y. Partom w swojej pracy (patrz [8]) rozważali

funkcje G, γ oraz δ w postaci

G(p) = d exp(−αpn

),

γ(y) = m(y1 − y),

23


δ(y) = y1

(y − y2

y1

)r,

gdzie n, r > 1, d,m > 0, y1 > y2 > 0 są stałymi zależnymi od rozważanego materia-

łu, natomiast α = 1/2 + 1/n. Łatwo zauważyć, że funkcja G oraz, że funkcje γ oraz δ

zaproponowane powyżej spełniają założenia odpowiednio A1-A4 oraz A5-A7.

Uwaga I.1.3. Aby uprościć zapis będziemy oznaczać część mechaniczną naprężenia

przez T(x, t) := D(ε(∇xu(x, t))− εp(x, t)). Można zauważyć, że

εp · σ = εp · σD = εp · T = εp · TD.

Rzeczywiście zarówno σ jak i T macierzami symetrycznymi, natomiast εp jest macierzą

beśladową (dla prawie wszystkich x ∈ Ω), pod warunkiem, że tr εp0(x) = 0 dla wszystkich

x ∈ Ω. Dodatkowo zauważmy, że σ(x, t)−T(x, t) = c(θ(x, t)−θR(x))I, jest zatem macierzą

diagonalną dla prawie wszystkich (x, t) ∈ Ω × R+ i każdy element na diagonali jest taki

sam (równy c(θ(x, t)− θR(x))). Ponadto z równania ewolucyjnego na εp (trzecie równanie

w układzie (TBP)), widzimy, że tr ∂tεp = 0 zatem także tr εp = 0.

Uwaga I.1.4. Wartość początkowa u(x, 0) może być wyliczona z układu (TBP) dla

danych εp0, θ0, gu|t=0 oraz f |t=0 i θR (patrz na przykład [11]). Rzeczywiście u(x, 0) jest

rozwiązaniem następującego statycznego zagadnienia liniowej sprężystości:

−divxD(ε(u(x, 0))) = −divxD(εp0(x)) + c∇x(θ0 − θR(x)) + f |t=0(x),

u(x, 0)|∂Ω = gu|t=0(x).

Aby znaleźć rozwiązanie problemu (TBP), będziemy używać metody energetycznej.

Zatem zdefiniujemy teraz funkcję energii (potencjalnej) dla trójki (u, εp, y):

E(u, εp, y)(t) =12

∫ΩT(x, t) · (ε(∇xu(x, t))− εp(x, t))) dx

=12

∫ΩD(ε(∇xu(x, t))− εp(x, t)) · (ε(∇xu(x, t))− εp(x, t))) dx.

Uwaga I.1.5. Ponieważ operator D jest symetryczny i dodatnio określony, to istnieją,

takie stałe c1, c2 > 0, że

(E) c1 ‖T(t)‖L2(Ω) ¬ E(u, εp)(t) ¬ c2 ‖T(t)‖L2(Ω) .

24

ROZDZIAŁ I. MODEL BODNERA-PARTOMA I.2. ISTNIENIE ROZWIĄZAŃ UKŁADU (TBP)

I.2. Istnienie rozwiązań układu (TBP)

Dowód istnienia rozwiązań układu (TBP) jest jednym z głównych wyników w naszej

pracy [5].

I.2.1. Sprowadzenie problemu do jednorodnych warunków brzegowych. Aby

sprowadzić rozważany problem do problemu jednorodnego, wykorzystamy rozwiązania

problemów (LP1) oraz (LP2) ze wstępu. Niech dane w problemie (TBP) funkcje f , gu,

gθ oraz θR spełniają założenia Lematu 5.1. Ponadto ustalmy pewną funkcję θ0 ∈ H1(Ω)

zgodną z gθ na ∂Ω (θ0|∂Ω(x) − gθ(x) = 0 dla p.w. x ∈ ∂Ω). Niech teraz θ oraz u będą

rozwiązaniami odpowiednio zagadnień (LP1) oraz (LP2) dla powyższych danych. Wpro-

wadźmy oznaczenie θ := θ − θ, u := u − u oraz T := T − T = T − D(ε(u)). Funkcje

(u, εp, y, θ) są rozwiązaniami układu (TBP)+(D)+(I) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje z

„dachem” spełniają następujący układ równań:

divxT(x, t) =c∇xθ(x, t),

T(x, t) =D(ε(u(x, t))− εp(x, t)),

∂tεp(x, t) = G

(|TD(x, t)|+ β(θ(x, t))+

y(x, t)

)TD(x, t)|TD(x, t)|

,(HP)

∂ty(x, t) = γ(y(x, t))G(|TD(x, t)|y(x, t)

)|TD(x, t)| − Aδ(y(x, t)),

∂tθ(x, t) = κ∆θ(x, t)− αdivx∂tu(x, t) + ∂tεp(x, t) · T(x, t),

z jednorodnymi warunkami brzegowymi typu Dirichleta oraz z następującymi danymi

początkowymi:

u(x, 0) = u(x, 0)− u0(x) =: u0(x),

εp(x, 0) = εp0(x),

y(x, 0) = y0(x),

θ(x, 0) = θ0(x)− θ0(x) =: θ0(x),

gdzie u(x, 0) uzyskujemy zgodnie z Uwagą I.1.4.25


Uwaga I.2.1. Można łatwo zauważyć, że εp oraz y są takie same w (TBP) co w

(HP), ponieważ nie występowały w problemach (LP1) i (LP2): zatem możemy po prostu

przepisać trzecie i czwarte równanie z (TBP) do układu (HP). Z tego samego powodu

po prawej stronie piątego równania w układzie (HP) występują funkcje u, T oraz εp bez

„dachów”. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemu (HP) będziemy je traktować jako

sumę odpowiednio funkcji u i u, oraz T i T.

I.2.2. Przybliżenia Galerkina dla (HP). Aby rozwiązać problem (HP) będzie-

my stosować metodę przybliżeń Galerkina. Cała procedura będzie przebiegała podobnie

jak w pracach K. Chełmińskiego i P. Gwiazdy ([9], [10], [12], [14]). Najpierw będziemy

regularyzować zachowanie G(p)/p2 w pobliżu punktu p = 0. Zatem podobnie jak w [12]

skonstruujemy ciąg funkcji Gk∞k=1 działających z R+ w R+. Najpierw wprowadźmy funk-

cję wycinającą χ : R+ → [0, 1] klasy C∞ taką, że χ(p) = 0 dla p < 12 oraz χ(p) = 1 dla

p > 1. Ponadto niech χ będzie niemalejącą oraz pχ′(p) ¬ χ0 dla wszystkich p 0 gdzie

χ0 ∈ R+ jest stałą. Teraz możemy zdefiniować Gk jako Gk(p) := χ(kp)G(p). Można spraw-

dzić (patrz [9], [10]), że ciąg funkcji Gk∞k=1 spełnia założenia A1-A4. W szczególności

0 ¬ Gk(p) = χ(kp)G(p) ¬ G(p) ¬ g =: gk.

Ponadto z założeń o funkcji χ wynika, że

G ′k(p)p = kpχ′(kp)G(p) + χ(kp)G ′(p)p ¬ χ0G(1k

)+ g′ =: g′k.

Następnie używając założeń A1-A2 na funkcję G otrzymujemy, że g′k → g′ gdy k → ∞

oraz oszacowanie g′k ¬ χ0g + g′. Ponadto, bezpośrednio z definicji Gk wynika, że Gk ⇒ G

(gdzie ⇒ oznacza zbieżność jednostajną funkcji) gdy k →∞. Rzeczywiście

supp0|Gk(p)− G(p)| = sup

1kp0|χ(kp)G(p)− G(p)| = sup

1kp0|χ(kp)− 1| |G(p)| ¬ 2G

(1k

).

W k-tym przybliżeniu Galerkina zamieniamy G na Gk. Aby otrzymać ciąg funkcji gładkich

uk, εpk, yk, θk∞k=1 potrzebujemy także, aby funkcja f , temperatura odniesienia θR, dane

brzegowe gu, gθ oraz warunki początkowe εp0, y0, θ0, θ0 były funkcjami klasy C∞.

Niech vk∞k=1 będzie ciągiem wektorów własnych odpowiadających wartościom wła-

snym 0 < λ1 ¬ λ2 ¬ λ3 ¬ . . . operatora L : H2(Ω,R3) ∩ H10 (Ω,R3) → L2(Ω,R3) zdefi-

niowanego jako Lv = −divxD(ε(∇xv)). Ponadto niech wk∞k=1 będzie ciągiem wektorów

własnych odpowiadających wartościom własnym 0 < η1 ¬ η2 ¬ η3 ¬ . . . operatora26


−∆: H2(Ω,R) ∩ H10 (Ω,R) → L2(Ω,R). Z własności operatorów L oraz −∆ wynika, że

vk∞k=1 ⊂ C∞(Ω,R3) można wybrać w taki sposób, aby tworzyły układ ortonormalny w

przestrzeni L2(Ω,R3) i jednocześnie bazę ortogonalną w przestrzeni H10 (Ω,R3), podczas

gdy wk∞k=1 ⊂ C∞(Ω,R) można wybrać w taki sposób, aby tworzyły układ ortonormalny

w przestrzeni L2(Ω,R) i jednocześnie bazę ortogonalną w przestrzeni H10 (Ω,R). Połóżmy

uk oraz θk jako następujące skończone liniowe kombinacje:

uk(x, t) =k∑j=1

φjk(t)vj(x)

θk(x, t) =k∑j=1

ψjk(t)wj(x),

gdzie φkj , ψkj jak również εpk, yk znajdujemy rozwiązując następujący układ równań dla

każdego j = 1, 2, . . . k: ∫ΩTk · ∇xvjdx = −c

∫Ω∇xθkvjdx

Tk = D(ε(uk)− εpk)

∂tεpk = Gk

(|TDk |+ β(θk)+

yk

)TDk|TDk |

(GA)

∂tyk = γ(yk)Gk(|TDk |yk

)|TDk | − Aδ(yk)∫

Ω∂tθkwjdx+ κ

∫Ω∇xθk∇xwjdx = α

∫Ω∂tuk∇xwjdx− α

∫Ω

divx∂tuwjdx

+∫

Ω∂tε

pk · Tkwjdx,

gdzie oznaczyliśmy Tk := Tk − T. Układ (GA) rozważamy z danymi początkowymi:

φkj (0) = (u0, vj)

ψkj (0) = (θ0, wj)(IG)

εpk(x, 0) = εp0(x)

yk(x, 0) = y0(x).

Stwierdzenie I.2.2. Załóżmy, że rozwiązania θ problemu (LP1) oraz u problemu

(LP2) są funkcjami klasy C∞((0, T ?)×Ω). Ponadto niech warunki początkowe będą gładkie,

to znaczy εp0 ∈ C∞(Ω), y0 ∈ C∞(Ω), θ0 ∈ C∞(Ω), oraz θ0 ∈ C∞(Ω). Wtedy dla każdego

27


k = 1, 2, . . . istnieje lokalne w czasie jednoznaczne rozwiązanie (uk, εpk, yk, θk) problemu

(GA).

Dowód. Wprowadźmy symbol B(k) := ∫

Ω vi∇xwjdxmi,j=1. Korzystając z własności

wybranych baz możemy zapisać problem (GA) w następujący sposób:

λjφjk =

∫ΩDεpk · ∇xvjdx− c

k∑l=1

ψlkB(k)lj

Tk =k∑j=1

(φjkD(ε(∇xwj))

)−D(εpk)

∂tεpk = Gk

(|TDk |+ β(θk)+

yk

)TDk|TDk |

(GA*)

∂tyk = γ(yk)Gk(|TDk |yk

)|TDk | − Aδ(yk)

∂tψjk + κ

k∑l=1

ψlkηl = αk∑l=1

∂tφlkB(k)jl − α

∫Ω

divx∂tuwjdx+∫

Ω∂tε

pkTk · wjdx,

dla j = 1, 2, . . . , k. Aby rozwiązać powyższy problem będziemy postępować w analogiczny

sposób do dowodu Faktu A.0.7 w Dodatku A. Z pierwszego równania wyliczamy funcje φjkdla j = 1, . . . , k, a następnie wstawiamy je do pozostałych równań. Uzyskujemy w ten spo-

sób układ równań różniczkowych zwyczajnych z prawą stroną lokalnie lipschitz’owską (wy-

korzystujemy odwracalność macierzy I(m) + αcB(m)diagλ−11 , λ−1

2 . . . , λ−1k B(m)T udo-

wodnioną w Dodatku A i postępujemy tak jak w [9], [10] oraz [14]). Zatem dostajemy

gładkie, lokalne w czasie rozwiązania (εpk, yk, ψ1k, . . . , ψ

kk), z których wyliczamy funcje φjk

dla j = 1, . . . , k.

Uwaga I.2.3. Powyżej wykazaliśmy jedynie istnienie lokalnego w czasie rozwiązania

k-tego kroku przybliżenia Galerkina. Jednakże z oszacowań energetycznych, które dalej

udowodnimy, będzie wynikało, że rozwiązania są globalne w czasie. To znaczy T ?k = T ?

może być dowolnie duże i nie zależy od kroku k przybliżenia.

I.2.3. Oszacowania energetyczne. Na początku przywołamy Lemat 2.1 z pracy

[12]. Rezultat ten jest potrzebny do uzyskania wymaganych oszacowań energetycznych,

ponieważ umożliwia nam jednostajne ograniczenie funkcji sztywności izotropowej y.

Lemat I.2.4. Załóżmy, że funkcja σD jest ciągła dla wszystkich rozwiązań y(x, t)

czwartego równania z układu (TBP) klasy C1, których warunek początkowy spełnia y2 ¬28


y0(x) ¬ y1. Wtedy prawdziwe jest oszacowanie y2 ¬ y(x, t) ¬ y1 dla wszystkich (x, t) ∈

Ω× R+.

Wykażemy teraz naturalne oszacowania dla ciągu galerkinowskiego. W dowodzie wi-

dać, że aby uzyskać poniższe oszacowania, istotne są założenia poczynione na funkcję

konstytutywną G, w szczególności założenie ograniczoności.

Lemat I.2.5. Funkcja energii E(t) zdefiniowana dla ciągu (uk, εpk, yk) jest jednostajnie

ograniczona w czasie, ponadto dla wszystkich T ? 0 ciąg θk jest ograniczony w prze-

strzeni L∞(0, T ?;L2(Ω)) oraz ciąg ∇xθk jest ograniczony w przestrzeni L2(0, T ?;L2(Ω)).

Dodatkowo dla wszystkich t 0 zachodzi następująca nierówność:

E(uk, εpk, yk)(t) +

∥∥∥θk(t)∥∥∥2+∫ t

0

∥∥∥∇xθk(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∫Ω

Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)|TDk |

|TDk |2dxdτ

¬ C(t)(E(uk, ε

pk, yk)(0) +

∥∥∥θk(0)∥∥∥2

L2(Ω)+∫ t

0

∥∥∥TD∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0‖divx∂tu‖2

L2(Ω) dτ).

Dowód. W k-tym kroku przybliżenia Galerkina mnożymy pierwsze równanie (GA)

przez ∂tφjk i sumujemy po j = 1, . . . , k otrzymując:∫ΩTk · ε(∂t∇xuk)− cθkdivx∂tukdx = 0.

Następnie odejmujemy stronami wyraz∫

Ω Tk · ∂tεpkdx. Co daje:∫ΩTk · (ε(∂t∇xuk)− ∂tεpk)−

c

αθkαdivx∂tukdx = −

∫ΩTk · ∂tεpkdx.

Analogicznie wykorzystując przybliżone równanie przewodnictwa ciepła w (GA) otrzymu-

jemy: ∫Ω∂tθkθkdx+ κ

∫Ω∇xθk∇xθkdx

= α∫

Ω∂tuk∇xθkdx− α

∫Ω

divx∂tuθkdx+∫

Ω∂tε

pk · Tkθkdx.

Biorąc pod uwagę równość∫Ω Tk · εpkdx =

∫Ω TDk · ε

pkdx oraz definicję funkcji energii dosta-

jemy:

∂tE(uk, εpk, yk)(t) +

cκ

α

∫Ω∇xθk∇xθkdx+

c

α

∫Ωθk∂tθkdx

29


=c

α

∫Ωθk∂tε

pk · TDk dx−

∫ΩTk · ∂tεpkdx+ c

∫Ωθkdivx∂tudx.

Co możemy zapisać jako:


cκ

α

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)+

c

2α∂t∥∥∥θk∥∥∥2

L2(Ω)

=c

α

∫Ωθk∂tε

pk · TDk dx−

∫ΩTk · ∂tεpkdx+ c

∫Ωθkdivx∂tudx.

Spójrzmy teraz na wyraz −∫

Ω Tk ·∂tεpkdx. Używając trzeciego równania (GA) otrzymamy:

−∫

ΩTk · ∂tεpkdx = −

∫ΩGk(|TDk |+ β(θk)+

yk

)TDk|TDk |

TDk dx

= −∫

Ω

Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)|TDk |

|TDk |2dx−∫

Ω

Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)|TDk |

TDTDk dx(I.2.1)

¬ −12

∫Ω

Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)|TDk |

|TDk |2dx+1

2y2supp0

Gk(p)p

∫Ω|TD|2dx.

Również łatwo można zauważyć, że∫

Ω θk∂tεpk · TDk dx ¬ g

∥∥∥θk∥∥∥2+ g

2

∥∥∥Tk∥∥∥2+ g

2

∥∥∥T∥∥∥2. Zatem

ostatecznie:


cκ

α

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)+

c

2α∂t∥∥∥θk∥∥∥2

L2(Ω)+

12

∫Ω

Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)|TDk |

|TDk |2dx

¬ 12

(1y2

supp0

Gk(p)p

+ g

)∥∥∥TD∥∥∥2

L2(Ω)+(g +

12

) ∥∥∥θk∥∥∥2

L2(Ω)+g

2

∥∥∥Tk∥∥∥2

L2(Ω)+c2

2‖divx∂tu‖2

L2(Ω)

¬ 12

(1y2

supp0

Gk(p)p

+ g

)∥∥∥TD∥∥∥2

L2(Ω)+c2

2‖divx∂tu‖2

L2(Ω) + C(c

2α

∥∥∥θk∥∥∥2

L2(Ω)+ E(uk, ε

pk, yk)

).

Stąd, stosując nierówność Gronwalla dostajemy oszacowanie z tezy lematu. Wszystkie

wyrazy supp0Gk(p)pk są wpólnie ograniczone dzięki założeniom A1-A2. Ponadto z Le-

matu 5.1 wynika, że T ∈ L∞(0, T ?;L2(Ω)) oraz divx∂tu ∈ L∞(0, T ?;L2(Ω)) dla wszystkich

T ? > 0. Co kończy dowód lematu.

I.2.4. Oszacowania dla pochodnych czasowych. Ponieważ chcemy skorzystać z

twierdzenia o zwartym włożeniu potrzebujemy także wykonać oszacowania energetyczne

dla pochodnych czasowych ciągu galerkinowskiego. Do zamknięcia tych oszacowań po-

nownie w istotny sposób wykorzystamy założenia na konstytutywną funkcję G.30


Lemat I.2.6. Dla każdego T ? 0 istnieje stała C(T ?) 0 niezależna od k taka, że

dla wszystkich k zachodzi poniższa nierówność:∫ t

0E(∂tuk, ∂tε

pk, ∂tyk)(τ)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∂tθk(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∥∥∥∇xθk(t)∥∥∥2

L2(Ω)

¬ C(T ?)(∫ t

0‖∂tdivxu(τ)‖2

L2(Ω) dτ +∫ t

0

∥∥∥Tk(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ + 1

)+∥∥∥∇xθk(0)

∥∥∥2

L2(Ω).

Dowód. Po zróżniczkowaniu pierwszego i drugiego równania z (GA) w k-tym kroku

metody Galerkina względem czasu, podobnie jak w poprzednim lemacie otrzymujemy:∫Ω∂tTk · ∂tε(∇xuk)dx+

c

α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+cκ

2α∂t∥∥∥∇xθk

∥∥∥2

L2(Ω)

= c∫

Ω∂tu∂t∇xθkdx+

c

α

∫Ω∂tε

pk · TDk ∂tθkdx.

Następnie wykorzystując definicję funkcji energii dostajemy:

2E(∂tuk, ∂tεpk, ∂tyk) +

c

α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+cκ


∥∥∥2

L2(Ω)

= c∫

Ω∂tu∂t∇xθkdx+

c

α

∫Ω∂tε

pk · Tk∂tθkdx−

∫Ω∂tTk · ∂tεpkdx

Całkujemy przez części pierwszy z wyrazów po prawej stronie i używamy ograniczoności

∂tεpk, co pociąga za sobą:


c

α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+cκ


∥∥∥2

L2(Ω)

¬ −c∫

Ω∂tdivxu∂tθkdx+ ‖∂tεpk‖L∞(Ω)

c

α

∫Ω|Tk||∂tθk|dx−

∫Ω∂tTk · ∂tεpkdx

i stosujemy nierówność Younga do każdego wyrazu po prawej stronie:


c

α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+cκ


∥∥∥2

L2(Ω)

¬ αc ‖∂tdivxu‖2L2(Ω) +

c

4α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+c

α‖∂tεpk‖

2L∞(Ω)

∥∥∥Tk∥∥∥2

L2(Ω)+

c

4α

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)

+ε∥∥∥∂tTk∥∥∥2

L2(Ω)+ C(ε) ‖∂tεpk‖

2L2(Ω) ,

gdzie ε jest na tyle małe, aby zachodziła nierówność ε∥∥∥∂tTk∥∥∥2

¬ E(∂tuk, ∂tεpk, ∂tyk). Stąd

łatwo dostajemy:

E(∂tuk, ∂tεpk, ∂tyk) +

∥∥∥∂tθk∥∥∥2

L2(Ω)+ ∂t

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)

31


¬ C(‖∂tdivxu‖2

L2(Ω) + g2∥∥∥Tk∥∥∥2

L2(Ω)+ g2

).

Całkowanie po czasie kończy dowód lematu.

I.2.5. Oszacowania dla pochodnych przestrzennych. Zanim pokażemy oszaco-

wania dla pochodnych przestrzennych, udowodnimy pomocnicze nierówności. Pierwsza to

oszacowania x-wej pochodnej funkcji yk oraz εpk. Następna to oszacowanie pochodnych

przestrzennych drugiego rzędu funkcji uk. Dalej używając dwóch poprzednich nierówności

pokażemy oszacowanie dla ∇xTk. Istotne we wszystkich tych nierównościach jest to, że

otrzymane oszacowania są jednostajne ze względu na k-ty krok przybliżenia Galerkina.

Stwierdzenie I.2.7. Ciąg przybliżeń (uk, εpk, yk, θk) spełnia poniższe nierówności

(i)

‖∂xiyk(t)‖2L2(Ω) ¬ ‖∂xiy0‖2

L2(Ω) + C1

∫ t

0

(∥∥∥∂xiTDk ∥∥∥2

L2(Ω)+ ‖∂xiyk‖

2L2(Ω)

)dτ,

(ii)

‖∂xiεpk(t)‖

2L2(Ω)

¬ 2 ‖∂xiεpk(0)‖L2(Ω) + tC2

∫ t

0

(∥∥∥∂xiTDk ∥∥∥2

L2(Ω)+ ‖∂xiθk‖

2L2(Ω) + ‖∂xiyk‖

2L2(Ω)

)dτ,

gdzie θk = θk + θ,

(iii)

‖uk(t)‖2H2(Ω) ¬ C3

(‖∇xε

pk‖

2L2(Ω) +

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)

),

a dodatnie stałe C1, C2 oraz C3 są niezależne od k.

Dowód. Nierówność (i) jest udowodniona w pracy [12]. Ponieważ równanie ewolu-

cyjne na sztywność izotropową nie zależy explicite od temperatury, to w analizowanym

przez nas modelu zachodzi takie samo oszacowanie.

Używając trzeciego równania w układzie (GA) oraz nierówności Jensena łatwo otrzy-

mujemy:

‖∂xiεpk(t)‖

2L2(Ω) ¬ 2t

∫ t

0

∥∥∥∥∥∂xi(Gk(|TDk |+ β(θk)+

yk

)· T

Dk

TDk

)∥∥∥∥∥2

L2(Ω)

dτ + 2 ‖∂xiεpk(0)‖L2(Ω) .

32


Następnie liczymy pochodną cząstkową z εpk(t) po xi dla i = 1, 2, 3 i szacujemy jej normę

‖∂xiεpk(t)‖

2L2(Ω)

¬ 2t∫ t

0

∥∥∥∥∥G ′k(|TDk |+ β(θk)+

yk

)·(∂xi |TDk |+ β′(θk)∂xiθk

ykχZ −

|TDk |+ β(θk)+∂xiyky2k

)TDk|TDk |

+Gk(|TDk |+ β(θk)+

yk

)·(∂xiTDk|TDk |

− TDk ∂xi |TDk ||TDk |2

)∥∥∥∥∥2

L2(Ω)

dτ

+2 ‖∂xiεpk(0)‖L2(Ω) ,

gdzie χZ jest funkcją charakterystyczną zbioru Z = |TDk | + β(θk) > 0 (w zbiorze Ω\Z

zachodzi ∂xi|TDk |+ β(θk)+ = 0). Zatem widzimy, że:

‖∂xiεpk(t)‖

2L2(Ω)

¬

4t(

supp0G ′k(p)

1y2

)2

+ 8t(

supp0

Gk(p)p

)2∫ t

0

∥∥∥∂xiTDk ∥∥∥2

L2(Ω)dτ

+4tB2

(supp0G ′k(p)

1y2

)2 ∫ t

0‖∂xiθk‖

2L2(Ω) dτ + 4t

(supp0G ′k(p)p

1y2

)2 ∫ t

0‖∂xiyk‖

2L2(Ω) dτ

+2 ‖∂xiεpk(0)‖L2(Ω) .

Powyższa nierówność kończy dowód oszacowania (ii).

Nierówność (iii) uzyskujemy z własności operatora liniowej sprężystości u 7→ divxD(ε(∇xu))

(można porównać na przykład [20]) i pierwszego równania w układzie (GA), analogicznie

do oszacowań z tezy Lematu 5.1.

Twierdzenie I.2.8. Istnieje stała D(T ?) 0 niezależna od k taka, że dla każdego

0 ¬ t ¬ T ? i dla wszystkich kroków k zachodzi poniższa nierówność:∥∥∥∇xTk(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

¬ D(T ?)(‖∇xy0‖2

L2(Ω) + ‖∇xεpk(0)‖2

L2(Ω) + E(uk, εpk, yk)(0) +

∥∥∥θ0k

∥∥∥2

L2(Ω)

+∫ t

0‖∂tdivxu‖2

L2(Ω) dτ +∫ t

0

∥∥∥∇xθ∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∇xTD∥∥∥2

L2(Ω)dτ).

33


Dowód. Rozpatrzmy najpierw nierówność (i) ze Stwierdzenia I.2.7. Stosując lemat

Gronwalla uzyskujemy:

‖∂xiyk(t)‖2L2(Ω) ¬ (C1te

C1t + 1)(‖∂xiy0‖2

L2(Ω) + C1

∫ t

0

∥∥∥∂xiTDk ∥∥∥2

L2(Ω)dτ).

Jeżeli dodamy stronami nierówności (i) oraz (ii), a następnie użyjemy powyższej nierów-

ności, otrzymamy: następujące oszacowanie wyrazu ‖∂xiεpk(t)‖L2(Ω):

‖∂xiεpk(t)‖

2L2(Ω) ¬ ‖∂xiε

pk(t)‖

2L2(Ω) + ‖∂xiyk(τ)‖2

L2(Ω)

¬ (teC1t(C1 + tC2) + 1) ‖∂xiy0‖2L2(Ω) + 2 ‖∂xiε

pk(0)‖2

L2(Ω)

+(C1teC1t + 1)(C1 + tC2)

∫ t

0

∥∥∥∂xiTDk ∥∥∥2

L2(Ω)dτ + tC2

∫ t

0‖∂xiθk‖

2L2(Ω) dτ.

Wykorzystując drugie równanie z układu (GA) zróżniczkowane względem x otrzymamy∥∥∥∇xTk(t)

∥∥∥2

L2(Ω)¬ D1

(‖uk(t)‖2

H2(Ω) + ‖∇xεpk(t)‖

2L2(Ω)

).

Z nierówności (iii) ze Stwierdzenia I.2.7 oraz z oszacowania na ‖∂xiεpk(t)‖L2(Ω), pokazanego

powyżej, wynika:∥∥∥∇xTk(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

¬ D1(t)(‖∇xy0‖2

L2(Ω) + ‖∇xεpk(0)‖2

L2(Ω) +∫ t

0

∥∥∥∇xTk∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∇xTD∥∥∥2

L2(Ω)dτ

+∥∥∥∇xθk(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∫ t

0

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∇xθ∥∥∥2

L2(Ω)dτ).

Dzięki Lematowi I.2.5 oraz Lematowi I.2.6 mamy oszacowania dla∥∥∥∇xθk(t)

∥∥∥2

L2(Ω)oraz∫ t

0

∥∥∥∇xθk∥∥∥2

L2(Ω)dτ , co pociąga za sobą:

∥∥∥∇xTk(t)∥∥∥2

L2(Ω)

¬ D2(t)(‖∇xy0‖2

L2(Ω) + ‖∇xεpk(0)‖2

L2(Ω) + E(uk, εpk, yk)(0) +

∥∥∥θ0k

∥∥∥2

L2(Ω)

+∫ t

0‖∂tdivxu‖2

L2(Ω) dτ +∫ t

0

∥∥∥∇xθ∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∇xTD∥∥∥2

L2(Ω)dτ

+∫ t

0

∥∥∥∇xTk∥∥∥2

L2(Ω)dτ),

gdzie stała D2 nie zależy od k. Następnie wykorzystujemy nierówność Gronwalla, co koń-

czy dowód twierdzenia.

34


Pokazaliśmy wszystkie oszacowania potrzebne do dowodu istnienia i jednoznaczności

rozwiązań układu (HP).

I.2.6. Istnienie rozwiązań (HP) oraz (TBP). Aby pokazać istnienie rozwiązań

problemu (HP), musimy wykazać, że przy przejściu z parametrem aproksymacji k do

nieskończoności granica ciągu przybliżeń istnieje i spełnia odpowiedni układ równań.

Twierdzenie I.2.9. Załóżmy, że dane początkowe spełniają: εp0 ∈ H1(Ω)), y0 ∈

H1(Ω), θ0 ∈ H1(Ω), oraz, że εp0 jest macierzą symetryczną oraz bezśladową (tr εp0(x) = 0)

dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Dodatkowo niech dane początkowe y0 spełniają y2 ¬ y0(x) ¬

y1 dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Niech warunki brzegowe gu, gθ wektor sił zewnętrznych

f , oraz temperatura odniesienia θR są tak regularne jak w założeniach Lematu 5.1 (dla

T = T ?). Ponadto niech spełnione są założenia A1-A11. Wtedy istnieje globalne w czasie

rozwiązanie (u, εp, y, θ) problemu (HP) takie, że:

u ∈ L∞(0, T ?;H2(Ω)), ∂tu ∈ L2(0, T ?;H1(Ω)),

εp ∈ L∞(0, T ?;H1(Ω)), ∂tεp ∈ L∞(0, T ?;L∞(Ω)),

y ∈ L∞(0, T ?;H1(Ω)), ∂ty ∈ L∞(0, T ?;L2(Ω)),

θ ∈ L2(0, T ?;H2(Ω)) ∩ L∞(0, T ?;H10 (Ω)), ∂tθ ∈ L2(0, T ?;L2(Ω)),

dla każdego T ? > 0. Ponadto funkcja y jest ograniczona na każdym odcinku (0, T ?)× Ω i

spełnia y2 ¬ y(x, t) ¬ y1 dla prawie wszystkich (t, x) ∈ (0, T ?)× Ω.

Dowód. Dowód pochodzi z naszej pracy [5] i będzie przebiegał podobnie do dowodu

Twierdzenia 2.9 w pracy [12]. Zatem najpierw przybliżamy dane (εp0, y0, θ0, f, θR, gu, gθ)

ciągiem funkcji gładkich (εp0,i, y0i , θ

0i , fi, θR,i, gu,i, gθ,i), zbieżnym w następującym sensie:

(I.2.2)

εp0,i → εp0 w H1(Ω)

y0i → y0 w H1(Ω)

θ0i → θ0 w H1(Ω)

fi → f w H1(0, T ?; (L2(Ω)))

θR,i → θR w H1(Ω)

gu,i → gD w L∞(0, T ?;H32 (∂Ω)) ∩H1(0, T ?;H

12 (∂Ω))

gθ,i → gθ w gθ ∈ L2(0, T ?;H32 (∂Ω))

∩H 34 (0, T ?;L2(Ω)) ∩ L∞(0, T ?;H

12 (∂Ω))

dla i→∞.

35


Dodatkowo istotne jest, aby ciąg norm w wyżej wymienionych przestrzeniach ciągu (εp0,i, y0i , θ

0i , fi, θR,i, gu,i, gθ,i)

był niemalejący. Dla każdego i = 1, 2, 3, . . . dla danych (εp0,i, y0i , θ

0i , fi, θR,i, gu,i, gθ,i) kon-

struujemy ciąg galerkinowski (uik, εpik, yik, θik), czyli przybliżamy rozwiązanie (HP) funk-

cjami gładkimi. Wykorzystując oszacowania dowiedzione w Lemacie I.2.5, Lemacie I.2.6 a

także Twierdzeniu I.2.8 oraz dodatkowo monotoniczność norm ciągu (εp0,i, y0i , θ

0i , fi, θR,i, gu,i, gθ,i)

uzyskujemy to, że dla każdego T ? > 0 ciąg przybliżeń spełnia:

‖uik‖L∞(0,T ?;H2(Ω)) , ‖∂tuik‖L2(0,T ?;H1(Ω)) ,

‖εpik‖L∞(0,T ?;H1(Ω)) , ‖∂tεpik‖L∞(0,T ?;L∞(Ω)) ,

‖yik‖L∞(0,T ?;H1(Ω)) , ‖∂tyik‖L∞(0,T ?;L2(Ω)) ,∥∥∥θik∥∥∥L∞(0,T ?;H1

0 (Ω)),

∥∥∥∂tθik∥∥∥L2(0,T ?;L2(Ω))

¬M(T ?)

dla pewnej stałej M(T ?) 0 niezależnej od k-tego kroku aproksymacji oraz od indeksu i.

Zatem możemy z niego wybrać podciąg, który jest słabo zbieżny (∗-słabo zbieżny w

przypadku przestrzeni L∞) do (u, εp, y, θ). Na mocy twierdzenia Rellicha-Kondraszowa

włożenie H1((0, T ?)×Ω) ⊂ L2((0, T ?)×Ω) jest zwarte, stąd podciąg (uik, εpik, yik, θik) jest

prezwarty w L2((0, T ?)×Ω) i możemy wybrać podciąg zbieżny mocno w L2((0, T ?)×Ω)

do tej samej granicy (u, εp, y, θ) (z jednoznaczności słabej granicy).

Pozostało udowodnić, że rzeczywiście funkcje graniczne (u, εp, y, θ) rozwiązują problem

(HP). Dla uproszczenia zapisu będziemy dalej oznaczać podciąg wybrany poprzednio przez

(uk, εpk, yk, θk). Łatwo zauważyć, że funkcje graniczne (u, εp, y, θ) spełniają pierwsze i dru-

gie równanie w układzie (HP), ponieważ przechodzimy do granicy tylko w wyrażeniach

liniowych. Aby pokazać, że w trzecim równaniu w (HP) można przejść do granicy w nie-

liniowości, musimy się upewnić, że ciąg funkcji Gk zbiega mocno w L2((0, T ?) × Ω). W

rzeczy samej mamy TDk → TD w L2((0, T ?)× Ω). Ponadto∫(0,T ?)×Ω

|β(θ + θk)− β(θ + θ)|2dtdx ¬ B∫

(0,T ?)×Ω|θk − θ|2dtdx→ 0, gdy k → 0,

pociąga za sobą, że |TDk |+β(θk)+ → |TD|+β(θ)+ w przestrzeni L2((0, T ?)×Ω). Poza

tym wykorzystując Lemat I.2.4 wnioskujemy, że∫

(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣|TDk |+ β(θk)+

yk− |T

D|+ β(θ)+

y

∣∣∣∣∣2

dtdx

¬ 1y2

2

∫(0,T ?)×Ω

∣∣∣|TDk |+ β(θk)+ − |TD|+ β(θ)+

∣∣∣2 dtdx36


+1y4

2

∫(0,T ?)×Ω

||TD|+ β(θ)+|2|yk − y|2dtdx→ 0, gdy k → 0.

Zbieżność drugiego wyrazu po prawej stronie powyższej nierówności wynika z twierdzenia

Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej. Teraz szacujemy następująco:∫

(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣Gk(|TDk |+ β(θk)+

yk

)− G

(|TD|+ β(θ)+

y

)∣∣∣∣∣2

dtdx

¬∫

(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣Gk(|TDk |+ β(θk)+

yk

)− G

(|TDk |+ β(θk)+

yk

)∣∣∣∣∣2

dtdx

+∫

(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣G(|TDk |+ β(θk)+

yk

)− G

(|TD|+ β(θ)+

y

)∣∣∣∣∣2

dtdx→ 0, gdy k → 0.

Pierwszy wyraz po prawej stronie w powyższej nierówności jest zbieżny z powodu zbież-

ności jednostajnej Gk ⇒ G. Zbieżność drugiego wyrazu jest konsekwencją twierdzenia

Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej. Dalej wprowadzając dla uproszczenia zapisu

oznaczenie Gk := Gk(|TDk |+β(θk)+

yk

)oraz G := G

(|TD|+β(θ)+

y

)dostajemy oszacowanie:

∫(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣GkTDk|TDk |

−G TD

|TD|

∣∣∣∣∣2

dtdx

¬∫

(0,T ?)×Ω|Gk −G|2 dtdx+

∫(0,T ?)×Ω

∣∣∣∣∣G TDk|TDk |

−G TD

|TD|

∣∣∣∣∣2

dtdx→ 0, gdy k → 0

(jeszcze raz używając w powyższym rozumowaniu twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności

zmajoryzowanej). Dzięki powyższej nierówności uzyskujemy to, że funkcje (u, εp, y, θ) speł-

niają trzecie równanie w układzie (HP). Postępując podobnie można wykazać, że funkcje

(u, εp, y, θ) spełniają także czwarte równanie w układzie (HP). Aby udowodnić, że także

piąte równanie w układzie (HP) jest spełnione, wystarczy zauważyć, że ∂tεpik ·Tk → ∂tεp ·T

mocno w L2(0, T ?×Ω) gdy k →∞. Jest to bezpośrednia konsekwencja zbieżności wyka-

zanych powyżej.

Ponadto z Lematu I.2.4 dostajemy wymagane oszacowanie na sztywność izotropową y.

Co więcej, θ ∈ L2(0, T ?;H2(Ω)) ponieważ jest to rozwiązanie równania parabolicznego z

prawą stroną o regularności L2((0, T ?) × Ω) i jednorodnym warunkiem brzegowym typu

Dirichleta (patrz [16]).

Teraz istnienie rozwiązań układu (TBP)+(D)+(I) jest prostym wnioskiem z Lematu

5.1 oraz z Twierdzenia I.2.9.37

ROZDZIAŁ I. MODEL BODNERA-PARTOMA I.3. JEDNOZNACZNOŚĆ ROZWIĄZANIA PROBLEMU (TBP)

Wniosek I.2.10. Załóżmy, że dane początkowe spełniają: εp0 ∈ H1(Ω), y0 ∈ H1(Ω), θ0 ∈

H1(Ω). Niech εp0 będzie macierzą symetryczną spełniającą warunek trεp0(x) = 0 dla prawie

wszystkich x ∈ Ω. Niech dane początkowe y0 szacują się następująco y2 ¬ y0(x) ¬ y1 dla

prawie wszystkich x ∈ Ω. Niech warunki brzegowe gu, gθ oraz wektor sił f mają regular-

ność zakładaną w Lemacie 5.1. Oraz niech θR ∈ H1(Ω). Niech warunek brzegowy gθ oraz

dane początkowe θ0 spełniają warunek zgodności (CC). Ponadto przypuśćmy, że spełnione

są założenia A1-A11. Wtedy istnieje globalne w czasie rozwiązanie (u, εp, y, θ) problemu

(TBP)+(D)+(I) i zachodzą poniższe inkluzje:

u ∈ L∞(0, T ?;H2(Ω)), ∂tu ∈ L2(0, T ?;H1(Ω)),

εp ∈ L∞(0, T ?;H1(Ω)), ∂tεp ∈ L∞(0, T ?;L∞(Ω)),

y ∈ L∞(0, T ?;H1(Ω)), ∂ty ∈ L∞(0, T ?;L2(Ω)),

θ ∈ L2(0, T ?;H2(Ω)) ∩ L∞(0, T ?;H1(Ω)), ∂tθ ∈ L2(0, T ?;L2(Ω)),

dla dowolnego czasu T ? > 0. Co więcej, y ∈ L∞(0, T ?) × Ω oraz dla prawie wszystkich

(t, x) ∈ (0, T ?)× Ω spełnione są nierówności y2 ¬ y(t, x) ¬ y1.

I.3. Jednoznaczność rozwiązania problemu (TBP)

Wyniku o jednoznaczności rozwiązań pochodzi z pracy [5]. Sposób jego dowodzenia

jest analogiczny do użytego w pracy [12]. Wykażemy najpierw ciągłość rozwiązań w zależ-

ności od parametru A. Następnie, wykorzystując uzyskany wynik, sformułujemy wniosek

o jednoznaczności rozwiązań problemu (TPB). Zdefiniujmy zatem następującą różnicę

(u∆, εp,∆, y∆, θ∆) := (u1 − u2, εp,1 − εp,2, y1 − y2, θ1 − θ2), gdzie (ui, εp,i, yi, θi) są rozwią-

zaniami układu (TBP)+(D)+(I) odpowiednio dla A := Ai w czwartym równaniu (TBP).

Stąd (u∆, εp,∆, y∆, θ∆) rozwiązują poniższy układ równań:

divxT∆(x, t) = c∇xθ∆(x, t),

T∆(x, t) = D(ε(∇xu(x, t))− εp(x, t)),

∂tεp,∆(x, t) = G

(|TD,1(x, t)|+ β(θ1(x, t))+

y1(x, t)

)TD,1(x, t)|TD,1(x, t)|

− G(|TD,2(x, t)|+ β(θ2(x, t))+

y2(x, t)

)TD,2(x, t)|TD,2(x, t)|

∂ty∆(x, t) = γ(y1(x, t))G

(|TD,1(x, t)|y1(x, t)

)|TD,1(x, t)| − A1δ(y1(x, t))

38


− γ(y2(x, t))G(|TD,2(x, t)|y2(x, t)

)|TD,2(x, t)|+ A2δ(y2(x, t))

∂tθ∆(x, t) = κ∆θ∆(x, t)− αdivx∂tu∆(x, t)

+ ∂tεp,1(x, t) · TD,1(x, t)− ∂tεp,2(x, t) · TD,2(x, t)

z zerowymi danymi początkowymi i z jednorodnym warunkiem brzegowym. Będziemy wy-

korzystywać oszacowania energetyczne analogiczne do tych z Lematu I.2.5, aby wykazać,

że różnice (u∆, εp,∆, y∆, θ∆) można ograniczyć przez wyraz |A1 − A2|. Uzyskamy zatem

rezultat podobny do tego z Twierdzenia 3.1 w pracy [12]. Niestety, aby tego dokonać

musimy wzmocnić założenie A4. Mianowicie:

A4’: Istnieje g′ takie, że dla wszystkich p ∈ R+ G ′(p)p2 < g′.

Uwaga I.3.1. Oczywiście funkcja G zaproponowana w pracy S. R. Bodnera oraz Y.

Partoma ([8]) spełnia także założenie A4’.

Twierdzenie I.3.2. Niech (u1, εp,1, y1, θ1) oraz (u2, εp,2, y2, θ2) będą rozwiązaniami

(TBP) z tymi samymi danymi początkowymi, warunkami brzegowymi oraz tą samą siłą

objętościową, odpowiednio ze stałą A1 bądź A2 w czwartym równaniu w układzie (TPB).

Niech stałe te spełniają A1, A2 < A∗. Niech dla prawie wszystkich (x, t) ∈ Ω× (0,∞) za-

chodzi y2 ¬ yi(x, t) ¬ y1 (i = 1, 2). Wtedy różnice (u∆, εp,∆, y∆, θ∆) spełniają następujące

oszacowanie:

E(u∆, εp,∆, y∆, θ∆)(t) +∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥y∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)¬M1 exp(M2t)|A1 − A2|2,

gdzie M1 nie zależy od A∗, natomiast M2 zależy od A∗ afinicznie.

Dowód. Używając metod analogicznych do tych z dowodu Lematu I.2.5 otrzymujemy

następującą równość energetyczną:

∂tE(u∆, εp,∆, y∆, θ∆)(t) +c

2α∂t∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+cκ

α

∥∥∥∇xθ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

=c

α

(θ∆(t), ∂tεp,1(t) · TD,1(t)− ∂tεp,2(t) · TD,2(t)

)− (T∆(t), ∂tεp,∆(t)).

39


W taki sam sposób jak w pracach [12] oraz [5] otrzymujemy, że:

−(T∆, ∂tεp,∆)

¬ −∫

Ω

(G(|TD,1|+ β(θ1)+

y1

)− G

(|TD,2|+ β(θ2)+

y2

))(|TD,1| − |TD,2|

)dx.

Następnie także metodami wykorzystywanymi w [12] oraz [5], używając założeń A1 a

także A2 uzyskujemy, że istnieje taka stała C, że G ′(p)p + G ′(p) ¬ C dla wszystkich

p 0, a zatem∣∣∣∣∣G(|TD,1|+ β(θ1)+

y1

)− G

(|TD,2|+ β(θ2)+

y2

)∣∣∣∣∣¬ C

1 + min|TD,1|+β(θ1)+

y1 , |TD,2|+β(θ2)+

y2

max

1y1,

1y2

∣∣∣∣|TD,1|+ β(θ1)+ − |TD,2|+ β(θ2)+

∣∣∣∣+ min

|TD,1|+ β(θ1)+, |TD,2|+ β(θ2)+

∣∣∣∣ 1y1− 1y2

∣∣∣∣

¬ C

y2

(|TD,1 − TD,2|+B|θ1 − θ2|+ y1

y2|y1 − y2|

).

Powyżej użyliśmy też nierówności |β(θ1) − β(θ2)| ¬ B|θ1 − θ2|, która wynika z założeń

A8 oraz A11. Teraz oszacujemy wyraz zawierający różnice funkcji temperatury. Jeśli

wykorzystamy związek konstytutywny na ∂tεp,∆ otrzymamy, że(θ∆(t), ∂tεp,1(t) · TD,1(t)− ∂tεp,2(t) · TD,2(t)

)

¬∫

Ω

∣∣∣θ∆(t)∣∣∣ ∣∣∣∣∣G

(|TD,1|+ β(θ1)+

y1

)|TD,1| − G

(|TD,2|+ β(θ2)+

y2

)|TD,2|

∣∣∣∣∣ dx.Zatem łatwo uzyskamy to, że

−(T∆, ∂tεp,∆) ¬ C1

∥∥∥TD,∆∥∥∥2

L2(Ω)+ C2

∥∥∥θ∆∥∥∥2

L2(Ω)+ C3

∥∥∥y∆∥∥∥2

L2(Ω),

gdzie C1, C2 oraz C3 nie zależą od A∗. Następnie, postępując podobnie jak w [12], wyko-

rzystamy założenia A4’,A8, A11, aby szacować∣∣∣∣∣G(|TD,1|+ β(θ1)+

y1

)|TD,1| − G

(|TD,2|+ β(θ2)+

y2

)|TD,2|

∣∣∣∣∣¬(

supp0G(p) +

Cy1

(y2)2

)(|TD,1 − TD,2|+B|θ1 − θ2|

)+C(y1)2

(y2)2|y1 − y2|,

40


gdzie G ′(p)p2 + G ′(p) ¬ C dla wszystkich p 0. W ostatniej części dowodu użyjemy

następującej nierówności:

∂t∥∥∥y∆

∥∥∥2

L2(Ω)¬ D1

(∥∥∥y∆∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥TD,∆∥∥∥2

L2(Ω)

)+D2|A1 − A2|2

dowiedzionej w [12] (wykorzystując raz jeszcze wzmocnione założenie A4’), gdzie D1

zależy afinicznie od A∗ natomiast D2 nie zależy od A∗. Ostatecznie uzyskujemy:

∂tE(u∆, εp,∆, y∆, θ∆)(t) + ∂t∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∇xθ

∆(t)∥∥∥2

L2(Ω)+ ∂t

∥∥∥y∆(t)∥∥∥2

L2(Ω)

¬ M(E(u∆, εp,∆, y∆, θ∆)(t) +

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥y∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

)+D2|A1 − A2|2.

Stosując nierówność Gronwalla kończymy dowód.

Wniosek I.3.3 (Jednoznaczność rozwiązań (TBP)). Przy tych samych założeniach,

co w Twierdzeniu I.3.2 jeżeli A1 = A2 = A to dla wszystkich t > 0 i dla prawie wszystkich

x ∈ Ω zachodzi:

(i): T1(x, t) = T2(x, t),

(ii): θ1(x, t) = θ2(x, t),

(iii): y1(x, t) = y2(x, t),

(iv): εp,1(x, t) = εp,2(x, t).

Dowód. Rzeczywiście (i)-(iii) natychmiast wynikają z Twierdzenia I.3.2. Wykorzystu-

jąc równanie na ∂tεp,∆ pomnożone przez εp,∆ oraz scałkowane po przestrzeni dostajemy

następujące oszacowanie:

12∂t∥∥∥εp,∆∥∥∥2

L2(Ω)

¬∫

Ω

∣∣∣∣∣G(|TD,1|+ β(θ1)+

y1

)TD,1

|TD,1|− G

(|TD,2|+ β(θ2)+

y2

)TD,2

|TD,2|

∣∣∣∣∣ |εp,∆|dx.Wykorzystując równości (i)-(iii) oraz ciągłość funkcji G uzyskujemy, że:

∂t∥∥∥εp,∆∥∥∥2

L2(Ω)¬ 0,

a zatem zachodzi też (iv).

41

ROZDZIAŁ II

Model z Lipschitz’owsko ciągłą funkcją konstytutywną

II.1. Układ równań

W tym rozdziale będziemy rozważać kolejny model odkształceń termolepkoplastycz-

nych. Ponownie będziemy brać pod uwagę przypadek małych odkształceń i tak jak w mo-

delu Bodnera-Partoma będziemy zakładać, że odkształcenia zachodzą na tyle wolno, że

możemy zaniedbać przyspieszenie deformacji (model z quasistatycznym bilansem sił). W

rozważanym przez nas modelu niesprężysty związek konstytutywny jest dany przez funkcję

Lipschitz’owsko ciągłą. Sprzężenie między problemem czysto mechanicznym, a równaniem

przewodnictwa ciepła jest analogiczne, do tego rozważanego w poprzednim rozdziale. Tak

jak poprzednio rozważane ciało zajmuje w chwili początkowej obszar Ω ∈ R3 z gładkim

brzegiem ∂Ω. Przez x ∈ Ω oznaczymy punkt materialny, natomiast przez t ∈ R+ czas.

Układ równań, który będziemy rozważać w tym rozdziale przyjmuje następującą postać:

(TP)

−divxσ(x, t) = f(x, t),

σ(x, t) = D(ε(u(x, t))− εp(x, t))− cI(θ(x, t)− θR(x)),

∂tεp(x, t) = Λ(σ(x, t), θ(x, t)),

∂tθ(x, t)− κ∆θ(x, t) = −αdivx∂tu(x, t) + ∂tεp(x, t) · σ(x, t).

Przyjęliśmy te same oznaczenia co w rozdziale, w którym analizowaliśmy model Bodnera-

Partoma. Stąd pozostaje jedynie opisać niesprężysty związek konstytutywny, który w tym

wypadku jest inny. Po pierwsze, nie występuje parametr opisujący sztywność izotropo-

wą. Po drugie, w powyższym modelu rozważamy inną funkcję konstytutywną opisującą

ewolucję w czasie niesprężystej części tensora odkształceń εp (trzecie równanie (TP)). W

równaniu tym funkcja konstytutywna Λ : s(3) × R → s(3) jest Lipschitz’owsko ciągła ze

względu na oba argumenty, to znaczy, że istnieją takie stałe L1, L2 > 0, że dla wszystkich

σ1, σ2 ∈ s(3) and θ1, θ2 ∈ R zachodzi:

|Λ(σ1, θ1)− Λ(σ2, θ2)| ¬ L1|σ1 − σ2|+ L2|θ1 − θ2|.

42

ROZDZIAŁ II. MODEL LIPSCHITZ’OWSKI II.1. UKŁAD RÓWNAŃ

Należy zaznaczyć, że mimo, iż nieliniowość w związku konstytutywnym na εp jest

Lipschitz’owsko ciągła, to rozważany przez nas model zawiera nieliniowości, które są nie

są globalnie Lipschitz’owskie. Jest to spowodowane tym, że po prawej stronie w równaniu

przewodnictwa ciepła znajduje się wyraz ∂tεp · σ. Upraszczając można powiedzieć, że ze

względu na oszacowania udowodnione poniżej zachowuje się on podobnie do wyrazu |∇xθ|2

(porównaj też [6]).

Podobnie jak w poprzednim rozdziale układ (TP) uzupełniamy o warunki brzegowe

typu Dirichleta:

(D)u(x, t)|∂Ω = gu(x, t),

θ(x, t)|∂Ω = gθ(x, t),

oraz kładziemy dane początkowe:

(I)εp(x, 0) = εp0(x),

θ(x, 0) = θ0(x).

Ponadto, tak jak w poprzednim rozdziale, zakładamy warunek zgodności na dane postaci

(CC) θ0(x)|∂Ω = gθ(x, 0).

Naszym celem jest udowodnienie istnienia jednoznacznego rozwiązania (u, εp, θ) problemu

(TP)+(D)+(I). Najpierw, tak jak poprzednio, przetransformujemy problem (TP) w taki

sposób, aby miał jednorodne warunki brzegowe. Dla problemu jednorodnego wykorzystu-

jąc twierdzenie Banacha o punkcie stałym pokażemy istnienie lokalnych w czasie rozwią-

zań. Z istnienia lokalnych w czasie rozwiązań dla problemu jednorodnego wywnioskujemy

analogiczny wynik dla problemu wyjściowego. Ostatecznie pokażemy, że dla dowolnie dłu-

giego odcinka czasowego możemy dobrać tak małe dane, aby rozwiązanie było określone

na całym tym odcinku. Wyniki przedstawione w tym rozdziale są głównymi wynikami z

pracy [7].

Definicja II.1.1. Mówimy, że wektor (u, εp, θ) taki, że

u ∈ L2(0, T ;H1(Ω;R3)), ∂tu ∈ L2(0, T ;L2(Ω;R3))

εp ∈ W 1,∞(0, T ;L2(Ω; s(3)))

θ ∈ L2(0, T ;H1(Ω;R)), ∂tθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω;R3))

43

ROZDZIAŁ II. MODEL LIPSCHITZ’OWSKI II.2. ISTNIENIE LOKALNYCH W CZASIE ROZWIĄZAŃ (TP)

jest rozwiązaniem (słabym) problemu (TP)+(D)+(I) jeżeli dla każdych v ∈ H10 (Ω;R3),

w ∈ H10 (Ω;R) oraz dla prawie wszystkich (x, t) ∈ Ω × (0, T ) spełnione są następujące

równości: ∫ΩD(ε(u(x, t))− εp(x, t)) · ε(v(x))dx+ c

∫ΩI(θ(x, t)− θR(x))∇xv(x)dx

=∫

Ωf(x, t)v(x)dx,

∂tεp(x, t) = Λ(σ(x, t), θ(x, t)),∫

Ω∂tθ(x, t)w(x)dx+ κ

∫Ω∇xθ(x, t)∇xw(x, t)dx

= α∫

Ω∂tu(x, t)∇xw(x)dx+

∫Ω∂tε

p(x, t) · σ(x, t)w(x)dx.

Ponadto warunki brzegowe (D) są spełnione w sensie śladu, a warunki początkowe I

prawie wszędzie w Ω.

Podobnie jak w modelu ze związkiem konstytutywnym Bodnera-Partoma dla pary

(u, εp) wprowadzamy następującą funkcję energii:

E(u, εp)(t) =12

∫ΩT(x, t) · (ε(u(x, t))− εp(x, t))dx

=12

∫ΩD(ε(u(x, t))− εp(x, t)) · (ε(u(x, t))− εp(x, t)) dx,

gdzie ponownie użyliśmy oznaczenia T(x, t) := D(ε(u(x, t))− εp(x, t)).

Uwaga II.1.2. Zauważmy, że Uwaga I.1.5 odnosi się bezpośrednio także do energii

wprowadzonej powyżej, to znaczy ze względu na własności operatora D istnieją takie

stałe c1, c2 > 0, że zachodzi

(E) c1 ‖T(t)‖L2(Ω) ¬ E(u, εp)(t) ¬ c2 ‖T(t)‖L2(Ω) .

II.2. Istnienie lokalnych w czasie rozwiązań (TP)

W tej części będziemy dowodzić, że istnieje na tyle krótki odcinek czasu (0, T ), że

rozwiązanie (u, εp, θ) problemu (TP)+(D)+(I) istnieje i jest określone na zbiorze Ω ×

(0, T ). Przeprowadzone rozumowanie pochodzi z pracy [7] i będzie podobne do dowodu

istnienia lokalnych w czasie rozwiązań z pracy [6]. Najpierw usuniemy warunki brzegowe,

a następnie użyjemy twierdzenia Banacha o punkcie stałym.44


II.2.1. Usunięcie warunków brzegowych. Aby usunąć warunki brzegowe w pro-

blemie (TP) należy użyć rozwiązań dwóch problemów liniowych (LP1) oraz (LP2) (o ist-

nieniu i jednoznaczności rozwiązań tych problemów mówi Lemat 5.1). Procedura, którą

zastosujemy, jest analogiczna do tej przeprowadzonej w poprzednim rozdziale. Niech za-

tem (θ, u) będą rozwiązaniami odpowiednio problemów (LP1) oraz (LP2) (gdzie dane

funkcje w (LP1) oraz (LP2) są tymi samymi funkcjami, co dane w problemie (TP)). Na-

stępnie definiujemy (u, θ) := (u− u, θ − θ) oraz σ := σ − σ, gdzie σ = D(u)− cI(θ − θR).

Stąd σ = D(ε(u−εp))− cIθ. Ponadto biorąc pod uwagę trzecie równanie w układzie (TP)

widzimy, że:

∂tεp = Λ(σ, θ) = Λ(σ + σ, θ + θ) := Λ(σ, θ).

Zauważmy, że Λ spełnia warunek Lipschitz’a z tymi samymi stałymi co Λ. Rzeczywiście

|Λ(σ1, θ1)− Λ(σ2, θ2)| = |Λ(σ1 − σ, θ1 − θ)− Λ(σ2 − σ, θ2 − θ)|

¬ L1|(σ1 − σ)− (σ2 − σ)|+ L2|(θ1 − θ)− (θ2 − θ)|

= L1|σ1 − σ2|+ L2|θ1 − θ2|.

Zatem, analogicznie jak dla modelu ze związkiem konstytutywnym Bodnera-Partoma,

będziemy szukać rozwiązań następującego jednorodnego problemu brzegowego:

−divxσ(x, t) = 0,

σ(x, t) = D(ε(u(x, t))− εp(x, t))− cIθ(x, t),

∂tεp(x, t) = Λ(σ(x, t), θ(x, t)),(HP)

∂tθ(x, t)− κ∆θ(x, t) = −αdivx∂tu(x, t) + ∂tεp(x, t) · σ(x, t)

+ ∂tεp(x, t) · σ(x, t) + αdivx∂tu(x, t)

z jednorodnymi warunkami brzegowymi typu Dirichleta, oraz z następującymi danymi

początkowymi:

u(x, 0) = u(x, 0)− u(x, 0) =: u0(x),

εp(x, 0) = εp0(x),

θ(x, 0) = θ0(x)− θ0(x)[

=: θ?0].

45


II.2.2. Punkt stały. W tej części wykażemy istnienie i jednoznaczność lokalnego

w czasie rozwiązania problemu (HP) oraz, jako wniosek, sformułujemy analogiczny wy-

nik dla problemu (TP)+(D)+(I). Skonstruujemy operator R, który będzie kontrakcją na

zbiorze B(M,T ) := ξ ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)) | ‖ξ‖L∞(0,T ;H1

0 (Ω)) ¬ M dla odpowiedniego

wyboru długości przedziału czasowego T > 0. Dowód będzie przebiegał w trzech krokach.

Pierwszy to rozwiązanie problemu lepkoplastyczności dla ustalonej temperatury należącej

do B(M,T ). Kolejnym krokiem będzie rozwiązanie pomocniczego problemu termospręży-

stości. Ostatnim krokiem będzie pokazanie, że dla dostatecznie krótkiego odcinka czasu

operator R jest kontrakcją.

Ustalmy θ? ∈ B(M,T ) i rozważmy pierwszy pomocniczy problem:

−divxσ(x, t) = 0,

σ(x, t) = D(ε(w(x, t))− εp(x, t))− cIθ?(x, t),(AP1)

∂tεp(x, t) = Λ(σ, θ?),

gdzie warunki brzegowe i dane początkowe kładziemy

w(x, t)|∂Ω = 0,

εp(x, 0) = εp0(x).

Lemat II.2.1. Załóżmy, że εp0 ∈ H1(Ω). Dla dowolnego T > 0 oraz θ? ∈ B(M,T ) ist-

nieje jednoznaczne rozwiązanie (σ, εp) problemu (AP1) takie, że σ ∈ L∞(0, T ;H1(Ω; s(3)))

oraz εp ∈ W 1,∞(0, T ;H1(Ω; s(3))). Ponadto zachodzą następujące oszacowania:

(II.2.1)

∥∥∥σ∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+ ‖εp‖W 1,∞(0,T ;H1(Ω))

¬ C(1 + T )eCT(∥∥∥θ?∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))+ |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

).

Dowód. Wykorzystamy twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Ustalmy najpierw

σ? ∈ L∞(0, T ;H1(Ω; s(3))) i połóżmy

εp(x, t) =∫ t

0Λ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))dτ + εp0(x).

Stąd otrzymujemy poniższe nierówności:

|εp(x, t) +∇xεp(x, t)|

46


¬∫ t

0

∣∣∣Λ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))∣∣∣ dτ +

∫ t

0

∣∣∣∇xΛ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))∣∣∣ dτ + |εp0(x) +∇xε

p0(x)|

¬∫ t

0

∣∣∣Λ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))− Λ(0, 0)∣∣∣ dτ + t|Λ(0, 0)|

+∫ t

0

∣∣∣∇σΛ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))∇xσ?(x, τ) +∇θΛ(σ?(x, τ), θ?(x, τ))∇xθ

?(x, τ)∣∣∣ dτ

+|εp0(x) +∇xεp0(x)|

¬∫ t

0L1 |σ?(x, τ)|+ L2 |θ?(x, τ))| dτ + t|Λ(0, 0)|

+∫ t

0L1 |∇xσ

?(x, τ)|+ L2 |∇xθ?(x, τ)| dτ + |εp0(x) +∇xε

p0(x)|.

Zatem dostajemy następujące oszacowanie:∥∥∥εp∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))

¬ T(L1

∥∥∥σ?∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+ L2

∥∥∥θ?∥∥∥L∞(0,T ;H1

0 (Ω))+ |Ω||Λ(0, 0)|

)+ ‖εp0‖H1 .

Następnie rozwiązujemy problem liniowej sprężystości w postaci:

(II.2.2)−divxD(ε(w(x, t))) = −divxD(εp(x, t)) +∇xθ

?(x, t),

w(x, t)|∂Ω = 0.

Podobnie jak w drugiej części Lematu 5.1, wykorzystując twierdzenie o regularności w

problemach liniowej sprężystości (porównaj [20]), uzyskujemy to, że istnieje jednoznaczne

rozwiązanie w ∈ L∞(0, T ;H2(Ω))∩L∞(0, T ;H10 (Ω)) spełniające następujące oszacowanie:

‖w‖L∞(0,T ;H2(Ω)) ¬ C(‖∇xε

p‖L∞(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθ?‖L∞(0,T ;L2(Ω))

),

gdzie stała C > 0 zależy jedynie od współczynników operatora D oraz geometrii zbioru Ω.

Zatem, jeżeli oznaczymy σ := D(ε(w)− εp)− cIθ?, uzyskujemy następujące oszacowanie:∥∥∥σ∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))¬ C

(‖w‖L∞(0,T ;H2(Ω)) +

∥∥∥εp∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+∥∥∥θ?∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))

)¬ C

(∥∥∥εp∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+∥∥∥θ?∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))

)¬ C

(TL1

∥∥∥σ?∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+ (T + 1)L2

∥∥∥θ?∥∥∥L∞(0,T ;H1

0 (Ω)).

+T |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1

)Teraz możemy zdefiniować operator P : L∞(0, T ;H1(Ω; s(3))) → L∞(0, T ;H1(Ω; s(3)))

jako P(σ?) := σ. Twierdzimy, że możemy wybrać tak krótki przedział czasu, aby operator

47


P był kontrakcją. Rzeczywiście, jeżeli rozważymy σ?1, σ?2 ∈ L∞(0, T ;H1(Ω; s(3))) to:

εp1(x, t) =∫ t

0Λ(σ?1(x, τ), θ?(x, τ))dτ + εp0(x),

εp2(x, t) =∫ t

0Λ(σ?2(x, τ), θ?(x, τ))dτ + εp0(x).

Stąd:

‖εp1(t)− εp2(t)‖H1(Ω) ¬∫ t

0

∥∥∥Λ(σ?1(τ), θ?(τ))− Λ(σ?2(τ), θ?(τ))∥∥∥H1(Ω)

dτ

¬ L1

∫ t

0‖σ?1(τ)− σ?2(τ)‖H1(Ω) dτ

i natychmiast otrzymujemy, że:∥∥∥εp1 − εp2∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

¬ L1T ‖σ?1 − σ?2‖ .

Następnie bierzemy w1 oraz w2 – rozwiązania (II.2.2) odpowiednio dla εp1 oraz εp2 po prawej

stronie. Zatem różnica w1 − w2 spełnia:

−divxD(ε(w1(x, t)− w2(x, t))) = −divxD(εp1(x, t)− εp2(x, t)),

w1(x, t)− w2(x, t)|∂Ω = 0

oraz możemy szacować następująco:

‖w1 − w2‖L∞(0,T ;H2(Ω)) ¬ C∥∥∥εp1 − εp2∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

,

gdzie stała C > 0 zależy jedynie od geometrii zbioru Ω oraz współczynników operatora

D. Stąd dla różnicy P(σ?1)− P(σ?2) zachodzi, że

(II.2.3)∥∥∥P(σ?1)− P(σ?2)

∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

¬ CT∥∥∥σ?1 − σ?2∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

,

gdzie stała C > 0 nie zależy od czasu T oraz warunków początkowych. Zatem może-

my wybrać tak małe T1 > 0, żeby operator P był kontrakcją na L∞(0, T1;H1(Ω; s(3))).

Z twierdzenia Banacha o punkcie stałym otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie problemu

(AP1) na odcinku (0, T1). Wykorzystując standartowe rozumowanie możemy rozszerzyć

znalezione rozwiązanie na cały przedział (0, T ) ponieważ oszacowanie (II.2.3) nie zależy

od danych początkowych.

48


Ponadto wykorzystując drugie równanie w układzie (AP1) możemy szacować nastę-

pująco:

‖σ(t)‖H1(Ω) ¬ C(‖w(t)‖H2(Ω) + ‖εp(t)‖H1(Ω) + ‖θ?(t)‖H1(Ω)

)¬ C

(‖εp(t)‖H1(Ω) + ‖θ?(t)‖H1(Ω)

)¬ C

(∫ t

0‖σ(τ)‖H1(Ω) dτ(II.2.4)

+∫ t

0‖θ?(τ)‖H1(Ω) dτ + t|Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θ?(t)‖H1(Ω)

).

Lemat Gronwalla zastosowany do powyższego wyrażenia skutkuje nierównością:

(II.2.5) ‖σ(t)‖H1(Ω) ¬ C(1 + t)eCt(∥∥∥θ?∥∥∥

L∞((0,T );H1(Ω))+ |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

)Wyraz ∂tεp(t) można oszacować podobnie:

‖∂tεp(t)‖H1(Ω) ¬ C(‖σ(t)‖H1(Ω) + ‖θ?(t)‖H1(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|

)¬ C(1 + t)eCt

(∥∥∥θ?∥∥∥L∞((0,T );H1(Ω))

+ |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

).(II.2.6)

Nierówność (II.2.5) razem z nierównością (II.2.6) dają nam oszacowanie (II.2.1).

Następnie dla θ? ∈ B(M,T ) oraz dla rozwiązania (σ, εp) problemu (AP1) odpowiada-

jącego θ? rozwiązujemy drugi problem pomocniczy, który można sformułować następująco:

−divxD(ε(u(x, t))) = −divxD(εp(x, t))− c∇θ(x, t),

∂tθ(x, t)− κ∆θ(x, t) = −αdivx∂tu(x, t)(AP2)

+ ∂tεp(x, t) · (σ(x, t) + σ(x, t)) + divx∂tu(x, t)

wraz z następującymi warunkami brzegowymi i danymi początkowymi:

u(x, t)|∂Ω = 0,

θ(x, t)|∂Ω = 0,

θ(x, 0) = θ?0(x).

Powyższy problem to układ liniowej termosprężystości, którego rozwiązywalność udowod-

niliśmy w Dodatku A w ogólnym przypadku. Jeżeli zastosujemy Twierdzenie A.0.5 do

problemu (AP2) uzyskamy natychmiast49


Lemat II.2.2. Niech (εp, σ) będzie rozwiązaniem (AP1) dla θ? ∈ B(M,T ), ponadto

niech θ?0 ∈ H10 (Ω). Niech u, θ będzie odpowiednio rozwiązaniem (LP1) oraz (LP2) podczas

gdy σ = D(u)−cI(θ−θR). Wtedy istnieje jednoznaczne rozwiązanie (u, θ) problemu (AP2)

takie, że odpowiednio u ∈ H1(0, T ;H10 (Ω)) oraz θ ∈ L∞(0, T ;H1

0 (Ω)) ∩ H1(0, T ;L2(Ω)).

Dodatkowo zachodzą następujące oszacowania:

sup0¬t¬T

∥∥∥u(t)∥∥∥2

H10 (Ω)

+ sup0¬t¬T

‖θ(t)‖2L2(Ω) + ‖∇xθ‖2

L2(0,T ;L2(Ω))

¬ C

‖∂tεp‖2L4((0,T )×Ω)

(‖σ‖2

L4((0,T )×Ω) + ‖σ‖2L4((0,T )×Ω)

)+ ‖u‖2

H1(0,T ;H1(Ω))(II.2.7)

+ ‖εp‖2H1(0,T ;H1(Ω)) + ‖θ?0‖

2H1(Ω)

‖∂tu‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∂tθ‖2L2(0,T ;L2(Ω)) + sup

0¬t¬T‖∇xθ(t)‖2

L2(Ω)

¬ C

‖∂tεp‖2L4((0,T )×Ω)

(‖σ‖2

L4((0,T )×Ω) + ‖σ‖2L4((0,T )×Ω)

)+ ‖u‖2

H1(0,T ;H1(Ω))(II.2.8)

+ ‖∂tεp‖2L2(0,T ;H1(Ω)) + ‖∇xθ

?0‖

2L2(Ω)

.

Zatem definiujemy operator R : B(M,T ) → L∞(0, T ;H10 (Ω)) dla θ? ∈ B(M,T ) jako

R(θ?) := θ, gdzie θ ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)) jest rozwiązaniem (AP2). Udowodnimy teraz, że

możemy wybrać taką stałą M? > 0 oraz taki czas T ? > 0, że operator R : B(M?, T ?) →

B(M?, T ?). Dzięki temu uzyskamy oszacowanie na wartości operatora R, które będzie

pomocne w dowodzeniu, że R jest operatorem zwężającym.

Lemat II.2.3. Istnieje taka stała M? > 0 oraz taki czas T ? > 0, że operator R

przekształca B(M?, T ?) w B(M?, T ?).

Dowód. Ustalmy pewien przedział (0, T ), dla którego rozwiązujemy problemy (LP1)

oraz (LP2). Następnie wykorzystując oszacowanie (II.2.1) z Lematu II.2.1 oraz oszacowa-

nia (II.2.7) i (II.2.8) z Lematu II.2.2 uzyskujemy następujące nierówności:

sup0¬t¬T

‖θ(t)‖2H1(Ω) ¬ C

(‖∂tεp‖2

L4((0,T )×Ω)

(‖σ‖2

L4((0,T )×Ω) + ‖σ‖2L4((0,T )×Ω)

)

+ ‖u‖2H1(0,T ;H1(Ω)) + ‖εp‖2

H1(0,T ;H1(Ω)) +∥∥∥θ?0∥∥∥2

H10 (Ω)

)50


¬ C

(‖∂tεp‖4

L4((0,T )×Ω) + ‖σ‖4L4((0,T )×Ω) + ‖σ‖4

L4((0,T )×Ω)

+ ‖u‖2H1(0,T ;H1(Ω)) + ‖εp‖2

H1(0,T ;H1(Ω)) +∥∥∥θ?0∥∥∥2

H10 (Ω)

).

Dalej wykorzystując twierdzenie Sobolewa o ciągłym włożeniu dostajemy poniższe osza-

cowanie:

sup0¬t¬T

‖θ(t)‖2H1(Ω) ¬ C

(‖∂tεp‖4

L4(0,T ;H1(Ω)) + ‖σ‖4L4(0,T ;H1(Ω)) + ‖σ‖4

L4((0,T )×Ω)

+ ‖u‖2H1(0,T ;H1(Ω)) + ‖εp‖2

H1(0,T ;H1(Ω)) +∥∥∥θ?0∥∥∥2

H10 (Ω)

)

¬ C

(T∥∥∥∂tεp∥∥∥4

L∞((0,T );H1(Ω))+ T

∥∥∥σ∥∥∥4

L∞((0,T );H1(Ω))+ ‖σ‖4

L4((0,T )×Ω)

+ ‖u‖2H1(0,T ;H1(Ω)) + T ‖εp‖2

W 1,∞(0,T ;H1(Ω)) +∥∥∥θ?0∥∥∥2

H10 (Ω)

)

¬ TC(1 + T )4eCT(∥∥∥θ?∥∥∥4

L∞((0,T );H1(Ω))+∥∥∥θ?∥∥∥2

L∞((0,T );H1(Ω))(II.2.9)

+|Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

)+C

(‖σ‖4

L4((0,T )×Ω) + ‖u‖2H1(0,T ;H1(Ω))

).

W ostatniej z powyższych nierówności wykorzystaliśmy oszacowanie (II.2.1). Teraz wy-

bieramy M? > 0 oraz T ? > 0 w następujący sposób

(M?)2 > 2T ?C(1 + T ?)4eCT?(|Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

)+ 2C

(‖σ‖4

L4((0,T ?)×Ω) + ‖u‖2H1(0,T ?;H1(Ω))

),

T ?(1 + T ?)4eCT?

<(M?)2

2C((M?)4 + (M?)2

) =1

2C((M?)2 + 1

) .Zatem nierówność (II.2.9) można przepisać jako:

(II.2.10) sup0¬t¬T ?

‖θ(t)‖2H1(Ω) <

(M?)2

2+

(M?)2

2= (M?)2 .

Nierówność (II.2.10) kończy dowód.

Lemat II.2.4. Istnieje taki czas 0 < TC < T ?, że operator R jest kontrakcją z

B(M,TC) do B(M,TC).

51


Dowód. Niech (σ1, εp1), (σ2, ε

p2) będą odpowiednio rozwiązaniami (AP1) dla θ?1, θ?2 ∈

B(M?, T ?). Ponadto niech (u1, θ1), (u2, θ2) będą odpowiadającymi im rozwiązaniami (AP2).

Oznaczmy różnicę dwóch funkcji przez funkcję z kreską, to jest ξ := ξ1−ξ2. Wtedy różnice

u, θ spełniają następujący układ:

−divxD(ε(u(x, t)) = −divxDεp(x, t)−∇θ(x, t),

∂tεp(x, t) = Λ(σ1(x, t), θ?1(x, t))− Λ(σ2(x, t), θ?2(x, t)),

∂tθ(x, t)− κ∆θ(x, t) = −αdivx∂tu(x, t) + ∂tεp1(x, t) · σ1(x, t)− ∂tεp2(x, t) · σ2(x, t)

+ ∂tεp(x, t) · σ(x, t).

Z powyższym układem związane są jednorodne warunki brzegowe i dane początkowe:

u(x, t)|∂Ω = 0,

θ(x, t)|∂Ω = 0,

εp(x, 0) = 0

θ(x, 0) = 0,

Zatem postępując analogicznie do dowodu Lematu II.2.2 możemy uzyskać następujące

oszacowania:

sup0¬τ¬t

∥∥∥u(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

+ sup0¬τ¬t

∥∥∥θ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+∫ t

0

∥∥∥∇θ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ

¬ Ct

(sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+ sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ)σ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

)

+C∫ t

0

∫Ω|∂tεp1(τ) · σ1(τ)− ∂tεp2(τ) · σ2(τ)|2 dτ,∫ t

0

∥∥∥∂tu(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

dτ +∫ t

0

∥∥∥∂tθ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ + sup

0¬τ¬t

∥∥∥∇θ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

¬ Ct

(sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+ sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ) · σ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

)

+C∫ t

0

∫Ω|∂tεp1(τ) · σ1(τ)− ∂tεp2(τ) · σ2(τ)|2 dτ.

Stąd natychmiast dostajemy oszacowanie:

sup0¬τ¬t

∥∥∥θ(τ)∥∥∥2

H1(Ω)¬ Ct

(sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+ sup

0¬τ¬t

∥∥∥∂tεp(τ) · σ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

)

52


+C∫ t

0

∥∥∥∂tεp1(τ) · σ1(τ)− ∂tεp2(τ) · σ2(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ.

Zatem wykorzystując trzecie równanie w (AP1) możemy szacować następująco:∥∥∥∂tεp1(τ) · σ1(τ)− ∂tεp2(τ) · σ2(τ)

∥∥∥L2(Ω)

=∥∥∥Λ(σ1(τ), θ?1(τ)) · σ1(τ)− Λ(σ2(τ), θ?2(τ)) · σ2(τ)

∥∥∥L2(Ω)

¬∥∥∥ (Λ(σ1(τ), θ?1(τ))− Λ(σ2(τ), θ?1(τ))

)· σ1(τ)

∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥ (Λ(σ2(τ), θ?1(τ))− Λ(σ2(τ), θ?2(τ))

)· σ1(τ)

∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥(σ1(τ)− σ2(τ)

)· Λ(σ2(τ), θ?2(τ))

∥∥∥L2(Ω)

¬(L1 ‖σ(τ)‖L4(Ω) + L2

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥L4(Ω)

)‖σ1(τ)‖L4(Ω) + ‖σ(τ)‖L4(Ω) ‖∂tε

p2(τ)‖L4(Ω)

¬ C(‖σ(τ)‖H1(Ω) +

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥H1(Ω)

)‖σ1(τ)‖H1(Ω) + C ‖σ(τ)‖H1(Ω) ‖∂tε

p2(τ)‖H1(Ω) .

Co więcej, z oszacowań (II.2.1) oraz z założeń dowodzonego lematu otrzymujemy, że:

sup0¬τ¬t

‖σ1(τ)‖H1(Ω) + sup0¬τ¬t

‖εp2(τ)‖H1(Ω)

¬ C(1 + t)eCt(

sup0¬τ¬t

‖θ?1‖H1(Ω) + sup0¬τ¬t

‖θ?2‖H1(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

)

¬ C(1 + t)eCt(M? + |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

).

Dodatkowo podobnie jak w dowodzie Lematu II.2.1 otrzymujemy następujące oszacowa-

nia:

‖σ(τ)‖H1(Ω) =∥∥∥D(ε(w(τ))− εp(τ))− cIθ?(τ)

∥∥∥H1(Ω)

¬ C(‖w(τ)‖H2(Ω) + ‖εp(τ)‖H1(Ω) +

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥H1(Ω)

)¬ C

(‖εp(τ)‖H1(Ω) +

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥H1(Ω)

)¬ C

(∫ τ

0‖σ(s)‖H1(Ω) ds+

∫ τ

0

∥∥∥θ?(s)∥∥∥H1(Ω)

ds+∥∥∥θ?(τ)

∥∥∥H1(Ω)

).

Nierówność Gronwalla zastosowana do powyższej nierówności skutkuje

sup0¬τ¬t

‖σ(τ)‖H1 ¬ C(t+ 1)eCt sup0¬τ¬t

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥H1

0

,

a także

sup0¬τ¬t

‖εp(τ)‖H1 ¬ C(t+ 1)eCt sup0¬τ¬t

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥H1

0

.

53


Co pociąga za sobą oszacowanie:

sup0¬τ¬t

∥∥∥θ(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

¬ Ct

(C(t+ 1)eCt sup

0¬τ¬t

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

)(1 + sup

0¬τ¬t

∥∥∥σ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

)

+Ct((‖σ(τ)‖2

H1(Ω) +∥∥∥θ?(τ)

∥∥∥2

H1(Ω)

)‖σ1(τ)‖2

H1(Ω) + C ‖σ(τ)‖2H1(Ω) ‖∂tε

p2(τ)‖2

H1(Ω)

)

¬ Ct

(C(t+ 1)eCt sup

0¬τ¬t

∥∥∥θ?(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

)

·(

1 + sup0¬τ¬t

∥∥∥σ(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+ (M?)2 + |Ω|2|Λ(0, 0)|2 + ‖εp0‖

2H1(Ω)

).

Zatem istnieje taki czas 0 < TC ¬ T ? oraz taka stała 0 < δ < 1, że zachodzi poniższe

oszacowanie dla różnic:∥∥∥θ∥∥∥2

L∞(0,TC ;H10 (Ω))

¬ δ∥∥∥θ?∥∥∥2

L∞(0,TC ;H10 (Ω))

,

które kończy dowód lematu.

W oparciu o powyższe rozważania możemy wywnioskować

Twierdzenie II.2.5. Załóżmy, że εp0 ∈ H1(Ω). Wtedy istnieje lokalne w czasie, jed-

noznaczne rozwiązanie (u, εp, θ) problemu (HP). Co więcej rozwiązanie ma następującą

regularność:

u ∈ L∞(0, TM ;H10 (Ω)) ∩ L∞(0, TM ;H2(Ω)), ∂tu ∈ L∞(0, TM ;H1

0 (Ω)),

εp ∈ W 1,∞(0, TM ;H1(Ω)),

θ ∈ L∞(0, TM ;H10 (Ω)) ∩ L2(0, TM ;H2(Ω)), ∂tθ ∈ L2(0, TM ;L2(Ω)),

gdzie 0 < TC ¬ TM oznacza maksymalny czas istnienia rozwiązania.

Dowód. Z twierdzenia Banacha o punkcie stałym wynika, że skonstruowany po-

wyżej operator R : B(M,TC) → B(M,TC) posiada dokładnie jeden punkt stały θ ∈

B(M,TC). Bezpośrednio z Lematu II.2.1 uzyskujemy w sposób jednoznaczny funkcje σ ∈

L∞(0, TC ;H1(Ω, s(3))) oraz εp ∈ W 1,∞(0, TC ;H1(Ω, s(3))) spełniające (AP1). Zatem na

podstawie Lematu II.2.2 wyznaczamy jednoznacznie także funkcję u ∈ H1(0, TC ;H10 (Ω)).

Oczywiście ma miejsce tożsamość u ≡ w, gdzie funkcja w pochodzi z (AP1). Zatem, tak jak

w Lemacie II.2.1, możemy wzmocnić regularność funkcji u, to jest u ∈ L∞(0, TC ;H2(Ω)).54


Co więcej można zaobserwować, że w podobny sposób uzyskujemy, iż ∂tu ∈ L∞(0, TC ;H10 (Ω)).

Następnie zauważamy, że prawa strona czwartego równania w układzie (HP) należy do

przestrzeni L2(0, TC × Ω). Zatem dzięki paraboliczności tego równania ze względu na θ

dostajemy, że θ ∈ L∞(0, TM ;H10 (Ω))∩L2(0, TM ;H2(Ω)), ∂tθ ∈ L2(0, TM ;L2(Ω)). Ostatecz-

nie rozszerzamy znalezione rozwiązanie do maksymalnego czasu istnienia TM TC > 0.

Jednak używaliśmy punktu stałego jedynie na przestrzeni B(M,TC), zatem musimy wy-

kazać jeszcze jednoznaczność rozwiązań. Ustalmy zatem (u1, εp1, θ1) oraz (u2, ε

p2, θ2) roz-

wiązania problemu (HP) dla tych samych danych. Rozważając różnicę (u∆, εp,∆, θ∆) :=

(u1, εp1, θ1)− (u2, ε

p2, θ2) można zauważyć, że spełnia następujący układ równań:

(II.2.11)

−divxσ∆ = 0

σ∆ = D(ε(u∆)− εp,∆)− cIθ∆

∂tεp,∆ = Λ(σ1, θ1)− Λ(σ2, θ2)

∂tθ∆ − κ∆θ∆ = −cdivx∂tu∆ + ∂tε

p1 · σ1 − ∂tεp2 · σ2 + ∂tε

p,∆ · σ.

Układ (II.2.11) uzupełniony jest zerowymi warunkami początkowymi i jednorodnymi wa-

runkami brzegowymi typu Dirichleta. Stąd stosując metodę oszacowań energetycznych

otrzymujemy następującą nierówność:

∂tE(u∆(t), εp,∆(t)) + ∂t∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∇xθ

∆∥∥∥2

L2(Ω)

¬ C∫

Ω

∣∣∣Λ(σ1(t), θ1(t)) · σ1(t)− Λ(σ2(t), θ2(t)) · σ2(t)∣∣∣ |θ∆(t)|dx

+C∫

Ω

∣∣∣Λ(σ1(t), θ1(t))− Λ(σ2(t), θ2(t))∣∣∣ |θ∆|dx+

∫Ω|T∆(t)||∂tεp,∆(t)|dx

¬ C∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t)) · σ1(t)− Λ(σ2(t), θ2(t)) · σ2(t)

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥L2(Ω)

+

C∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t))− Λ(σ2(t), θ2(t))

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥T∆(t)

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥∂tεp,∆(t)∥∥∥L2(Ω)

.

Następnie korzystamy z nierówności Younga oraz własności (E) aby otrzymać:

∂tE(u∆(t), εp,∆(t)) + ∂t∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∇xθ

∆∥∥∥2

L2(Ω)

¬ C∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t)) · σ1(t)− Λ(σ2(t), θ2(t)) · σ2(t)

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥L2(Ω)

+(II.2.12)

C∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t))− Λ(σ2(t), θ2(t))

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥∂tεp,∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω).

Dalej podobnie jak w Lemacie II.2.4 szacujemy∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t)) · σ1(t)− Λ(σ2(t), θ2(t)) · σ2(t)

∥∥∥L2(Ω)

55


=∥∥∥Λ(σ1(t), θ1(t)) · σ1(t)− Λ(σ2(t), θ2(t)) · σ2(t)

∥∥∥L2(Ω)

¬∥∥∥ (Λ(σ1(t), θ1(t))− Λ(σ2(t), θ1(t))

)· σ1(t)

∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥ (Λ(σ2(t), θ1(t))− Λ(σ2(t), θ2(t))

)· σ1(t)

∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥(σ1(t)− σ2(t)

)· Λ(σ2(t), θ2(t))

∥∥∥L2(Ω)

¬(L1

∥∥∥σ∆(t)∥∥∥L4(Ω)

+ L2

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥L4(Ω)

)‖σ1(t)‖L4(Ω) +

∥∥∥σ∆(t)∥∥∥L4(Ω)

‖∂tεp2(t)‖L4(Ω)

¬ C(∥∥∥σ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

+∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

)‖σ1(t)‖H1(Ω) + C

∥∥∥σ∆(t)∥∥∥H1(Ω)

‖∂tεp2(t)‖H1(Ω) .

Co więcej, z oszacowań analogicznych do (II.2.1) wynika, że

sup0¬τ¬t

‖σ1(τ)‖H1(Ω) + sup0¬τ¬t

‖εp2(τ)‖H1(Ω)

¬ C(1 + t)eCt(

sup0¬τ¬t

∥∥∥θ1

∥∥∥H1(Ω)

+ sup0¬τ¬t

∥∥∥θ2

∥∥∥H1(Ω)

+ |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω)

)¬ D(1 + t)eCt,

gdzie stała D zależy od max∥∥∥θ1

∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

;∥∥∥θ2

∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

i danych. Dodatkowo

podobnie jak w dowodzie Lematu II.2.1 otrzymujemy następujące oszacowania:∥∥∥σ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

=∥∥∥D(ε(u∆(t))− εp,∆(t))− cIθ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

¬ C(∥∥∥u∆(t)

∥∥∥H2(Ω)

+∥∥∥εp,∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

+∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

)¬ C

(∥∥∥εp,∆(t)∥∥∥H1(Ω)

+∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

)¬ C

(∫ t

0

∥∥∥σ∆(τ)∥∥∥H1(Ω)

dτ +∫ t

0

∥∥∥θ∆(τ)∥∥∥H1(Ω)

dτ +∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥H1(Ω)

).

Nierówność Gronwalla zastosowana do powyższej nierówności skutkuje

(II.2.13) sup0¬t¬TM

∥∥∥σ∆(t)∥∥∥H1¬ C(TM + 1)eCTM

∥∥∥θ∆∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

,

oraz

(II.2.14) sup0¬t¬TM

∥∥∥∂tεp,∆(t)∥∥∥H1¬ C(TM + 1)eCTM

∥∥∥θ∆∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

.

Zatem wobec powyższych rozważań z nierówności (II.2.12) uzyskujemy

∂tE(u∆(t), εp,∆(t)) + ∂t∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∇xθ

∆∥∥∥2

L∞(0,TM ;L2(Ω))¬ C(TM)

∥∥∥θ∆(t)∥∥∥2

L2(Ω).

56

ROZDZIAŁ II. MODEL LIPSCHITZ’OWSKI II.3. ISTNIENIE DLA DUŻYCH CZASÓW

Nierówność Gronwalla zastosowana do powyższego oszacowania pozwala nam stwierdzić,

że

sup0¬t¬TM

E(u∆(t), εp,∆(t)) +∥∥∥θ∆(t)

∥∥∥2

L∞(0,TM ;L2(Ω))+∫ TM

0

∥∥∥∇xθ∆∥∥∥2

L∞(0,TM ;L2(Ω))dt = 0.

Zatem z nierówności (II.2.13) oraz (II.2.14) wynika, że także∥∥∥σ∆

∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

+ ‖∂tεp‖L∞(0,TM ;H1(Ω)) = 0.

Stąd natychmiast z pierwszego oraz z drugiego równania w układzie (II.2.11) dostajemy,

że ∥∥∥u∆∥∥∥L∞(0,TM ;H1(Ω))

= 0,

co kończy dowód jednoznaczności.

Z Twierdzenia II.2.5 oraz z Lematu 5.1 wynika

Twierdzenie II.2.6. Niech spełnione będą założenia Lematu 5.1 dla czasu T TM .

Ponadto niech εp0 ∈ H1(Ω). Wtedy istnieje lokalne w czasie jednoznaczne rozwiązanie

(u, εp, θ) problemu (TP)+(D)+(I). Co więcej, rozwiązanie posiada następującą regular-

ność:

u ∈ L∞(0, TM ;H2(Ω)), ∂tu ∈ L∞(0, TM ;H10 (Ω)),

εp ∈ W 1,∞(0, TM ;H1(Ω)),

θ ∈ L∞(0, TM ;H1(Ω)) ∩ L2(0, TM ;H2(Ω)), ∂tθ ∈ L2(0, TM ;L2(Ω)).

II.3. Istnienie rozwiązań dla dużych czasów w zależności od danych

W tej części rozdziału będziemy rozważać w jaki sposób maksymalny czas istnienia

rozwiązań układu (TP) – TM zależy od danych wartości brzegowych i początkowych.

Udowodnimy, że dla dowolnie wybranego przedziału czasowego (0, TA) możemy wskazać

tak małe dane, aby maksymalny czas istnienia rozwiązań spełniał TM TA. Będziemy

stosować metodę oszacowań energetycznych, zatem ja wpominaliśmy we wstępie, najwięk-

sze problemy będzie stwarzał wyraz ∂tεp · σ w równaniu przewodnictwa ciepła. Wyniki

prezentowane w tej sekcji, również pochodzą z pracy [7].57


Najpierw wykonamy pewne oszacowania podobne do tych z poprzedniej części roz-

działu. Nowymi elementami, które się w tych oszacowaniach pojawią będą wyrazy zwią-

zane z niejednorodnymi warunkami brzegowymi, temperaturą odniesienia oraz wektorem

sił objętościowych. Do uzyskania potrzebnych oszacowań będziemy potrzebowali szeregu

pomocniczych nierówności spełnionych przez rozwiązanie problemu (TP). Mówi o tym

następujący

Lemat II.3.1. Dla prawie wszystkich czasów 0 < t < TM rozwiązanie problemu (TP)

spełnia następujące oszacowania:

‖u(t)‖H2(Ω) ¬ C(‖divx∂tεp(t)‖L2(Ω) + ‖∇xθ(t)‖L2(Ω)(II.3.1)

+ ‖∇θR‖L2(Ω) + ‖gu(t)‖H

32 (∂Ω)

+ ‖f(t)‖L2(Ω)

)‖∂tu(t)‖H1(Ω) ¬ C

(‖∂tεp(t)‖L2(Ω) + ‖∂tθ(t)‖L2(Ω)(II.3.2)

+ ‖∂tf(t)‖L2(Ω) + ‖∂tgu(t)‖H

12 (∂Ω)

)‖∂tεp(t)‖2

L2(Ω) ¬ C(E(u(t), εp(t) + ‖θ(t)‖2

L2(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|2)

(II.3.3) ∥∥∥σ(t) · ∂tεp(t)∥∥∥L2(Ω)

¬ K(t+ 1)2eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

),(II.3.4)

gdzie C, K, K > 0 są stałymi zależnymi jedynie od współczynników operatorea D, sta-

łej c występującej w drugim równaniu w układzie (TP) oraz stałych L1, L2 z warunku

Lipschitz’a dla funkcji Λ. Dodatkowo będziemy używać następującego oznaczenia

Ψ(t) := |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω) + sup0¬τ¬t

‖gu(τ)‖H

32 (∂Ω)

+ sup0¬τ¬t

‖f(τ)‖L2(Ω) .

Dowód. Łatwo zauważyć, że rozwiązanie problemu (TP) spełnia układ liniowej sprę-

żystości ze wzgędu na przemieszczenie u w postaci

−divxD(ε(u)) = −divxD(εp)− c(∇xθ −∇xθR) + f

u|∂Ω = gu.

Zatem na mocy Lematu 5.1 wykorzystując teorię liniowej prężystości (patrz [20]) natych-

miast uzyskujemy oszacowania (II.3.1) oraz (II.3.2). Nierówność (II.3.3) jest oczywistą58


konsekwencją drugiego i trzeciego równania w układzie (TP) oraz własności (E). Rzeczy-

wiście

‖∂tεp(t)‖2L2(Ω) ¬

∫Ω|Λ(σ(t, x), θ(t, x))|2dx ¬ 2L1 ‖σ(t)‖2

L2(Ω) + 2L2 ‖θ(t)‖2L2(Ω) + 2|Ω||Λ(0, 0)|2

¬ C(‖T(t)‖2

L2(Ω) + ‖θ(t)‖2L2(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|2

)¬ C

(E(u(t), εp(t)) + ‖θ(t)‖2

L2(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|2).

Teraz udowodnimy nierówność (II.3.4). Podobnie jak w dowodzie Lematu II.2.1 wykorzy-

stując trzecie równanie z układu (TP) możemy szacować następująco:

‖εp(t)‖H1(Ω) ¬ L1

∫ t

0‖σ(τ)‖H1(Ω) dτ + L2

∫ t

0‖θ(τ)‖H1(Ω) dτ + t|Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) ,

dla wszystkich t ¬ TM . Stąd biorąc pod uwagę drugie równanie w układzie (TP) uzysku-

jemy

‖σ(t)‖H1(Ω) ¬C(‖u(t)‖H2(Ω) + ‖εp(t)‖H1(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω)

)¬C

(‖εp(t)‖H1(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω) + ‖gu(t)‖H3/2(∂Ω) + ‖f(t)‖L2(Ω)

)¬C

∫ t

0‖Λ(σ(τ), θ(τ)‖H1(Ω) dτ + ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω)

+ ‖gu(t)‖H

32 (∂Ω)

+ ‖f(t)‖L2(Ω)

¬C

L1

∫ t

0‖σ(τ)‖H1(Ω) dτ + L2

∫ t

0‖θ(τ)‖H1(Ω) dτ + t|Ω||Λ(0, 0)|

+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω) + ‖gu(t)‖H

32 (∂Ω)

+ ‖f(t)‖L2(Ω)

.Zatem stosując nierówność Gronwalla do powyższego oszacowania, dostajemy:

‖σ(t)‖H1(Ω)

¬ CeCL1t∫ t

0e−CL1τ

L2

∫ τ

0‖θ(s)‖H1(Ω) ds+ τ |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θ(τ)‖H1(Ω) .

+ ‖θR‖H1(Ω) + ‖gu(τ)‖H

32 (∂Ω)

+ ‖f(τ)‖L2(Ω)

dτ+L2

∫ t

0‖θ(τ)‖H1(Ω) dτ + t|Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω)

59


+ ‖gu(t)‖H

32 (∂Ω)

+ ‖f(t)‖L2(Ω) .

Stąd możemy szacować:

‖σ(t)‖H1(Ω) ¬ C(tL1 + 1L1

eCL1t + tL2 + 1)

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖H1(Ω)

+C(tL1 + 1L1

eCL1t + t)(|Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω)(II.3.5)

+ sup0¬τ¬t

‖gu(τ)‖H3/2(∂Ω) + sup0¬τ¬t

‖f(τ)‖L2(Ω)

).

Co więcej, wykorzystując trzecie równanie z (TP) wnioskujemy, że

(II.3.6) ‖∂tεp(t)‖H1(Ω) ¬ L1 ‖σ(t)‖H1(Ω) + L2 ‖θ(t)‖H1(Ω) + |Ω||Λ(0, 0)|

Ostatecznie z nierówności Holdera oraz z twierdzenia Sobolewa o włożeniu wynika, że

‖σ(t) · ∂tεp(t)‖L2(Ω) ¬ ‖σ(t)‖L4(Ω) ‖∂tεp(t)‖L4(Ω) ¬ C ‖σ(t)‖H1(Ω) ‖∂tε

p(t)‖H1(Ω) .

Powyższa nierówność wraz z oszacowaniem (II.3.5) oraz (II.3.6) kończy dowód oszacowa-

nia (II.3.4).

Uwaga II.3.2. Zauważmy, że jeżeli rozważymy pierwsze równanie w układzie (TP)

(podobnie jak w poprzednim rozdziale w Uwadze (I.1.4)) w czasie t = 0 i użyjemy definicji

oraz własności funkcji energii, to natychmiast uzyskamy następującą nierówność

E(u(0), εp0) ¬ C(‖θ0‖2

H1(Ω) + ‖εp0‖2H1(Ω) + ‖θR‖2

H1(Ω)(II.3.7)

+ ‖f |t=0‖2L2(Ω) + ‖gu|t=0‖2

H12 (∂Ω)

),

gdzie stała C > 0 zależy jedynie od geometrii zbioru Ω oraz współczynników operatora D.

Teraz wykażemy, że zachodzi jeszcze jedno użyteczne oszacowanie

Lemat II.3.3. Niech dane początkowe (I) spełniają inkluzję εp0 ∈ H1(Ω), θ0 ∈ H1(Ω).

Ponadto niech temperatura odniesienia spełnia θR ∈ H1(Ω). Dodatkowo niech warun-

ki brzegowe (D) spełniają inkluzję gu ∈ L∞(0, T ;H32 (∂Ω)) ∩ H1(0, T ;H

12 (∂Ω)), gθ ∈

L2(0, T ;H32 (∂Ω)) ∩H1(0, T ;H

12 (∂Ω)) dla pewnego T TM . Ponadto załóżmy, że wektor

sił objętościowych spełnia f ∈ H1(0, T ;L2(Ω)). Wtedy istnieją stałe K,C,D > 0, któ-

re zależą jedynie od geometrii zbioru Ω, współczynników operatora D oraz stałych L1, L2

60


takie, że dla wszystkich czasów 0 < t < TM zachodzą następujące oszacowania:

E(u(t), εp(t)) +∫ t

0E(∂tu(τ), ∂tεp(τ))dτ

+ ‖θ(t)‖2H1(Ω) +

∫ t

0κ ‖∇xθ(τ)‖2

L2(Ω) dτ +1κ

∫ t

0‖∂tθ(τ)‖2

L2(Ω) dτ

¬ CeCt(‖θ0‖2

H1(Ω) + ‖εp0‖2H1(Ω) + ‖θR‖2

H1(Ω)(II.3.8)

+ ‖f |t=0‖2L2(Ω) + ‖gu|t=0‖2

H12 (∂Ω)

)

+CeCtK(t+ 1)3eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

)

·(∫ t

0‖θ(τ)‖L2(Ω) + ‖∂tθ(τ)‖L2(Ω) dτ

)+DeCt

∫ t

0

(‖f(τ)‖2

L2(Ω) + ‖∂tf(τ)‖2L2(Ω) + ‖gu(τ)‖2

H12 (∂Ω)

+ ‖∂tgu(τ)‖2H

12 (∂Ω)

+ ‖gθ(τ)‖2H

32 (∂Ω)

+ ‖∂tgθ(τ)‖2H

12 (∂Ω)

)dτ,

gdzie użyliśmy notacji Ψ wprowadzonej w Lemacie II.3.1.

Dowód. Do naszego układu zastosujemy metodę oszacowań energetycznych. Zatem

pomnożymy pierwsze równanie w układzie (TP) przez αc∂tu(t), a czwarte równanie z (TP)

przez θ. Następnie całkujemy po przestrzeni, aby otrzymać:

α

c∂tE(u(t), εp(t)) +

α

c

∫ΩD(ε(u(t)− εp(t)) · ∂tεp(t)dx

+12∂t ‖θ(t)‖2

L2(Ω) + κ ‖∇xθ(t)‖2L2(Ω)

=α

c

∫∂Ω

(D(ε(u(t)− εp(t))− cIθ(t)) · ~n∂tgu(t)dS +α

c

∫Ωf(t)∂tu(t)dx

+α

c

∫Ω∇xθR∂tu(t)dx+ κ

∫∂Ωgθ(t)

∂θ

∂~n(t)dS +

∫Ωσ(t) · ∂tεp(t)θ(t)dx.

Następnie mnożymy pierwsze równanie w układzie (TP) zróżniczkowane względem t przezαc∂tu(t) oraz czwarte równanie z (TP) przez ∂tθ. Wtedy, jak poprzednio, całkujemy po

przestrzeni, aby otrzymać:

2αcE(∂tu(t), ∂tεp(t)) +

α

c

∫ΩD(ε(∂tu(t)

−∂tεp(t)) · ∂tεp(t)dx+ ‖∂tθ(t)‖2L2(Ω) +

κ

2∂t ‖∇xθ(t)‖2

L2(Ω)

=α

c

∫∂Ω

(D(ε(∂tu(t)− ∂tεp(t))− cI∂tθ(t)) · ~n∂tgu(t)dS +α

c

∫Ω∂tf(t)∂tu(t)dx

61


+κ∫∂Ω∂tgθ(t)

∂θ

∂~n(t)dS +

∫Ωσ(t) · ∂tεp(t)∂tθ(t)dx.

Mnożymy pierwszą z powyższych nierówności przez 2, podczas gdy drugą przez 2/κ, a

następnie dodajemy je stronami. Stąd dostajemy:

2αc∂tE(u(t), εp(t)) +

4αcκE(∂tu(t), ∂tεp(t))

+∂t ‖θ(t)‖2H1(Ω) + 2κ ‖∇xθ(t)‖2

L2(Ω) +2κ‖∂tθ(t)‖2

L2(Ω)

=2αc

∫∂Ω

(T(t)− cIθ(t)) · ~n∂tgu(t)dS +2αcκ

∫∂Ω∂tσ(t) · ~n∂tgu(t)dS

+2∫∂Ω

(κgθ(t) + ∂tgθ(t))∂θ

∂~n(t)dS +

2αcκ

∫Ω

(κf(t) + ∂tf(t))∂tu(t)dx

+2αc

∫Ω∇xθR∂tu(t)dx− 2α

c

∫ΩT(t) · ∂tεp(t)dx−

2αcκ

∫Ω∂tT(t) · ∂tεp(t)dx

+2∫

Ωσ(t) · ∂tεp(t)θ(t)dx+

2κ

∫Ωσ(t) · ∂tεp(t)∂tθ(t)dx.

Teraz będziemy szacować wyrazy po prawej stronie powyższej nierówności. Najpierw,

wykorzystując nierówności (II.3.2) oraz (II.3.3), możemy oszacować wyraz zawierający

siły objętościowe f(t) oraz ich pochodną czasową ∂tf(t):

2αcκ

∫Ω

(κf(t) + ∂tf(t))∂tu(t)dx

¬ 12κ

(‖∂tθ(t)‖2

L2(Ω) + ‖∂tεp(t)‖2L2(Ω) + ‖∂tgu(t)‖2

H12 (∂Ω)

)+C

(‖f(t)‖2

L2(Ω) + ‖∂tf(t)‖2L2(Ω)

)¬ 1

2κ‖∂tθ(t)‖2

L2(Ω) + CE(u(t), εp(t)) + C ‖θ(t)‖2L2(Ω)

+C(‖∂tgu(t)‖2

H12 (∂Ω)

+ ‖f(t)‖2L2(Ω) + ‖∂tf(t)‖2

L2(Ω)

).

Następnie wykorzystując własności funkcji z przestrzeni L2div(Ω) oraz własność (E) otrzy-

mujemy oszacowanie wyrazu brzegowego zawierającego σ(t):

2αc

∫∂Ω

(T(t)− cIθ(t)) · ~n∂tgu(t)dS

¬ 2αc

(‖T(t) · ~n‖

H−12 (∂Ω)

+ c ‖Iθ(t) · ~n‖H−

12 (∂Ω)

)‖∂tgu(t)‖

H12 (∂Ω)

¬ C(‖divxT(t)‖L2(Ω) + ‖T(t)‖L2(Ω) + ‖θ(t)‖

H12 (∂Ω)

)‖∂tgu(t)‖

H12 (∂Ω)

¬ C(‖f(t)‖L2(Ω) + ‖T(t)‖L2(Ω) + ‖θ(t)‖H1(Ω)

)‖∂tgu(t)‖

H12 (∂Ω)

62


¬ C(E(u(t), εp(t)) + ‖θ(t)‖2

H1(Ω) + ‖f(t)‖2L2(Ω) + ‖∂tgu(t)‖2

H12 (∂Ω)

).

Trochę inaczej postępujemy z wyrazem brzegowym zawierającym ∂tσ(t). Mianowicie:

2αcκ

∫∂Ω∂tσ(t) · ~n∂tgu(t)dS

¬ 2αcκ‖∂tσ(t) · ~n‖

H−12 (∂Ω)

‖∂tgu(t)‖H

12 (∂Ω)

¬ C(‖divx∂tσ(t)‖L2(Ω) + ‖∂tσ(t)‖L2(Ω)

)‖∂tgu(t)‖

H12 (∂Ω)

¬ C(‖∂tf(t)‖L2(Ω) + ‖∂tσ(t)‖L2(Ω)

)‖∂tgu(t)‖

H12 (∂Ω)

¬ 12κ‖∂tθ(t)‖2

L2(Ω) +α

cκE(∂tu(t), ∂tεp(t))

+C(‖f(t)‖2

L2(Ω) + ‖gu(t)‖2H

12 (∂Ω)

+ ‖∂tgu(t)‖2H

12 (∂Ω)

).

Z wyrazów brzegowych pozostaje tylko wyraz zawierający pochodną normalną tempera-

tury. Jeszcze raz wykorzystując własności przestrzeni L2div(Ω) uzyskujemy:

2∫∂Ω

(κgθ(t) + ∂tgθ(t))∂θ

∂~n(t)dS ¬ 2

∥∥∥∥∥∂θ∂~n(t)

∥∥∥∥∥H−

12 (∂Ω)

‖κgθ(t) + ∂tgθ(t)‖H

12 (∂Ω)

¬ 2 ‖∇xθ(t)‖H

12 (∂Ω)


12 (∂Ω)

¬ 2 ‖θ(t)‖H

32 (∂Ω)


12 (∂Ω)

¬ C(‖gθ(t)‖2

H32 (∂Ω)

+ ‖gθ(t)‖2H

12 (∂Ω)

+ ‖∂tgθ(t)‖2H

12 (∂Ω)

)¬ C

(‖gθ(t)‖2

H32 (∂Ω)

+ ‖∂tgθ(t)‖2H

12 (∂Ω)

).

Dalej używamy własności (E) oraz nierówności (II.3.3), aby szacować∫ΩT(t) · ∂tεp(t)dx ¬ ‖T(t)‖L2(Ω) ‖∂tε

p(t)‖L2(Ω) ¬12‖T(t)‖2

L2(Ω) +12‖∂tεp(t)‖2

L2(Ω)

¬ C(E(u(t), εp(t)) + ‖θ(t)‖2

L2(Ω)

).

Teraz ponownie używając własności funkcji energii (E) możemy szacować następująco:∫Ω∂tT(t) · ∂tεp(t)dx ¬ ‖∂tT(t)‖L2(Ω) ‖∂tε

p(t)‖L2(Ω)

¬ α

cκE(∂tu(t), ∂tεp(t)) + C ‖∂tεp(t)‖2

L2(Ω)

¬ α

cκE(∂tu(t), ∂tεp(t)) + C

(E(u(t), εp(t)) + ‖θ(t)‖2

L2(Ω)

).

63


Pozostaje jeszcze oszacować dwa najbardziej kłopotliwe wyrazy po prawej stronie. Pierw-

szy z nich to∫

Ω σ(t) · ∂tεp(t)θ(t)dx, a będziemy go szacować wykorzystując nierówność

(II.3.4) w następujący sposób:∫Ωσ(t) · ∂tεp(t)θ(t)dx ¬ ‖σ(t) · ∂tεp(t)‖L2(Ω) ‖θ(t)‖L2(Ω)

¬ ‖θ(t)‖L2(Ω)K(t+ 1)2eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

)

¬ ‖θ(t)‖L2(Ω)K(t+ 1)2eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

).

Ostatni wyraz po prawej stronie:∫Ω σ(t) · ∂tεp(t)∂tθ(t)dx oszacujemy analogicznie do po-

przedniego wyrazu:∫Ωσ(t) · ∂tεp(t)∂tθ(t)dx ¬ ‖σ(t) · ∂tεp(t)‖L2(Ω) ‖∂tθ(t)‖L2(Ω)

¬ ‖∂tθ(t)‖L2(Ω)K(t+ 1)2eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

).

Zatem dzięki obserwacjom poczynionym powyżej otrzymujemy:

2αc∂tE(u(t), εp(t)) +

2αcκE(∂tu(t), ∂tεp(t))

+∂t ‖θ(t)‖2H1(Ω) + κ ‖∇xθ(t)‖2

L2(Ω) +1κ‖∂tθ(t)‖2

L2(Ω)

¬ C(E(u(t), εp(t)) + ‖θ(t)‖2

H1(Ω)

)(II.3.9)

+K(t+ 1)2eKt(

sup0¬τ¬t

‖θ(τ)‖2H1(Ω) + Ψ2(t)

)(‖θ(t)‖L2(Ω) + ‖∂tθ(t)‖L2(Ω)

)+D

(‖f(t)‖2

L2(Ω) + ‖∂tf(t)‖2L2(Ω) + ‖gu(t)‖2

H12 (∂Ω)

+ ‖∂tgu(t)‖2H

12 (∂Ω)

+ ‖gθ(t)‖2H

32 (∂Ω)

+ ‖∂tgθ(t)‖2H

12 (∂Ω)

),

gdzie dodatkowo wykorzystaliśmy oczywisty fakt, że ‖θR‖2H1(Ω) ¬ Ψ2(t) (co wynika bezpo-

średnio z definicji Ψ). Zatem nierówność Gronwalla, oraz oszacowanie (II.3.7) zastosowane

do nierówności (II.3.9) kończą dowód wymaganego oszacowania.

Przy pomocy oszacowania (II.3.8) możemy udowodnić następujące

Twierdzenie II.3.4. Niech spełnione będą założenia Lematu II.3.3 dla pewnego usta-

lonego przedziału czasowego (0, TA). Ponadto niech dla pewnej stałej δ ∈ (0, 1) zachodzą64


poniższe szacowania:

Ψ(TA) ¬ δ <1

CK(TA + 1)3e(K+C)TA,(II.3.10)

‖θ0‖2H1(Ω) ¬

1− δCK(TA + 1)3e(K+C)TA

,(II.3.11)

RHS ¬ 1− δCK(TA + 1)3e(K+C)TA

,(II.3.12)

gdzie wprowadziliśmy następującą notację:

RHS := DeCTA(‖θ0‖2

H1(Ω) + ‖εp0‖2H1(Ω) + ‖θR‖2

H1(Ω) + ‖f |t=0‖2L2(Ω) + ‖gu|t=0‖2

H12 (∂Ω)

)+CeCTA

(‖f‖2

L2(0,TA;L2(Ω)) + ‖∂tf‖2L2(0,TA;L2(Ω)) + ‖gu‖2

L2(0,TA;H12 (∂Ω))

+ ‖∂tgu‖2L2(0,TA;H

12 (∂Ω))

+ ‖gθ‖2L2(0,TA;H

32 (∂Ω))

+ ‖∂tgθ‖2L2(0,TA;H

12 (∂Ω))

),

Ψ(TA) = |Ω||Λ(0, 0)|+ ‖εp0‖H1(Ω) + ‖θR‖H1(Ω) + ‖gu‖L∞(0,TA;H

32 (∂Ω))

+ ‖f‖L∞(0,TA;L2(Ω)) .

Wówczas maksymalny czas istnienia rozwiązań układu (TP) spełnia TM TA.

Dowód. Dzięki oszacowaniom (II.3.7) oraz (II.3.8) otrzymujemy, że

E(u(t), εp(t)) +∫ t

0E(∂tu(τ), ∂tεp(τ))dτ + ‖θ(t)‖2

H1(Ω)

+(1−CK(TA + 1)3e(K+C)TA

)(sup

0¬τ¬t‖θ(τ)‖2

H1(Ω) + Ψ2(TA))

·(∫ t

0‖θ(τ)‖L2(Ω) + ‖∂tθ(τ)‖L2(Ω) dτ

)¬ CeCTA

(‖θ0‖2

H1(Ω) + ‖εp0‖2H1(Ω)

+ ‖θR‖2H1(Ω) + ‖f |t=0‖2

L2(Ω) + ‖gu|t=0‖2H

12 (∂Ω)

)(II.3.13)

+DeCTA(‖f‖2

L2(0,TA;L2(Ω)) + ‖∂tf‖2L2(0,TA;L2(Ω))

+ ‖gu‖2L2(0,TA;H

12 (∂Ω))

+ ‖∂tgu‖2L2(0,TA;H

12 (∂Ω))

+ ‖gθ‖2L2(0,TA;H

32 (∂Ω))

+ ‖∂tgθ‖2L2(0,TA;H

12 (∂Ω))

).

Musimy upewnić się, że ostatni wyraz po lewej stronie powyższej nierówności jest dodat-

ni dla wszystkich t ∈ (0, TA). Wykorzystując najpierw założenia (II.3.10) oraz (II.3.11)

dostajemy, że istnieje tak mały czas t > 0, że

1−CK(TA + 1)3e(K+C)TA

(sup

0¬τ¬t‖θ(τ)‖2

H1(Ω) + Ψ2(TA))> 0.

65

ROZDZIAŁ . MODEL LIPSCHITZ’OWSKI II.3. ISTNIENIE DLA DUŻYCH CZASÓW

Jednak z drugiej strony założenie (II.3.12) na RHS dostarcza nam oszacowania:

sup0¬t¬TA

‖θ(t)‖2H1(Ω) ¬

1− δCK(TA + 1)3e(K+C)TA

.

Stąd lewa strona (II.3.13) nie może wybuchnąć w czasie na przedziale (0, TA). Co kończy

dowód twierdzenia.

66

DODATEK A

Problem liniowej sprężystości

Rozważania z tego rozdziału będą bardzo podobne do tych poczynionych w Dodatkach

w artykułach [6] oraz [7]. Będziemy rozwiązywać pomocniczy problem liniowej sprężysto-

ści w postaci:

−divxD(ε(u(x, t))) = −c∇xθ(x, t) + f(x, t),

∂tθ(x, t)− κ∆θ(x, t) = −αdivx∂tu(x, t) + h(x, t),(A)

u(x, t)|∂Ω = 0,

θ(x, t)∂Ω = 0,

θ(x, 0) = θ?0(x).

Będziemy dowodzić istnienia, jednoznaczności oraz regularności rozwiązań. Sformuujemy

zatem

Twierdzenie A.0.5. Niech h ∈ L2((0, T )×Ω), f ∈ H1(0, T ;L2(Ω)) oraz θ?0 ∈ H10 (Ω).

Wówczas istnieje jednoznaczne rozwiązanie (u, θ) problemu (A) należące odpowiednio do

przestrzeni H1(0, T ;H10 (Ω)) oraz L∞(0, T ;H1

0 (Ω)) ∩ H1(0, T ;L2(Ω)). Ponadto zachodzą

następujące oszacowania:

sup0¬t¬T

‖∇xu(t)‖2L2(Ω) + sup

0¬t¬T‖θ(t)‖2

L2(Ω) + ‖∇xθ‖2L2(0,T ;L2(Ω))

¬ C(‖h‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖f‖2H1(0,T ;L2(Ω)) + ‖θ?0‖

2L2(Ω)

)‖∇x∂tu‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∂tθ‖2L2(0,T ;L2(Ω)) + sup

0¬t¬T‖∇xθ(t)‖2

L2(Ω)

¬ C(‖h‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∂tf‖2L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθ

?0‖

2L2(Ω)

).

Uwaga A.0.6. Ponieważ operator D jest symetryczny i dodatnio określony, to wyko-

rzystując nierówność Poincare oraz nierówność Korna możemy stwierdzić, że dla każdej

funkcji φ ∈ H10 (Ω) istnieją stałe C1, C2 > 0 zależne jedynie od geometrii zbioru Ω oraz

67

ROZDZIAŁ A. PROBLEM LINIOWEJ SPRĘŻYSTOŚCI

współczynników operatora D takie, że

(E1) C1

∥∥∥φ∥∥∥H1

0 (Ω)¬∫

ΩD(ε(φ))ε(φ)dx ¬ C2

∥∥∥φ∥∥∥H1

0 (Ω).

Podobnie jak w metodzie Galerkina dla modelu Bodnera-Partoma będziemy konstru-

owali bazy odpowiednich przestrzeni. Niech vk∞k=1 będzie ciągiem wektorów własnych

odpowiadających wartościom własnym 0 < λ1 ¬ λ2 ¬ λ3 . . . operatora L : H2(Ω,R3) ∩

H10 (Ω,R3) → L2(Ω,R3) zdefiniowanego jako Lv = −divxD(ε(∇xv)), jednocześnie niech

wk∞k=1 będzie ciągiem wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym 0 <

η1 ¬ η2 ¬ η3 . . . operatora −∆: H2(Ω,R) ∩ H10 (Ω,R) → L2(Ω,R). Tak jak w przy-

padku przybliżeń Galerkina dla modelu ze związkiem Bodnera-Partoma ciąg vk∞k=1 ⊂

C∞(Ω,R3) można wybrać w taki sposób, aby tworzył układ ortonormalny w przestrzeni

L2(Ω,R3) i jednocześnie bazę ortogonalną w przestrzeniH10 (Ω,R3), podczas gdy wk∞k=1 ⊂

C∞(Ω,R) będzie tworzył układ ortonormalny w przestrzeni L2(Ω,R) i jednocześnie ba-

zę ortogonalną w przestrzeni H10 (Ω,R). Połóżmy um oraz θm jako następujące skończone

liniowe kombinacje:

um(t) =m∑k=1

φkm(t)vk,

θm(t) =m∑k=1

ψkm(t)wk,

gdzie funkcje φkm(t) oraz ψkm(t) znajdujemy dla każdego k = 1, 2, . . . ,m poprzez rozwią-

zanie układu: ∫ΩD(ε(um(t))) · ε(vk)dx = −c

∫Ω∇xθm(t)vkdx+

∫Ωf(t)vkdx∫

Ω∂tθm(t)wkdx+ κ

∫Ω∇xθm(t)∇xwkdx = α

∫Ω∂tum(t)∇xwkdx+

∫Ωh(t)wkdx(G)

dmk (0) =∫

Ωθ?0wkdx.

Fakt A.0.7. Dla każdej m ∈ N+ istnieją absolutnie ciągłe funkcje φkm oraz ψkm takie,

że zdefiniowane powyżej funkcje um oraz θm rozwiązują (G).

Dowód. Wprowadźmy macierz B(m) := ∫

Ω vi∇xwjdxmi,j=1. Korzystając z własności

wybranych baz możemy zapisać problem (GA) w następujący sposób

λiφim(t) = −c

m∑j=1

ψjm(t)B(m)ji +∫

Ωf(x, t)vi(x)dx(GA*)

68


∂tψkm(t) + κ

m∑l=1

ηlψlm(t) = α

m∑l=1

∂tφlm(t)B(m)kl +

∫Ωh(x, t)wk(x)dx,

dla i, k = 1, 2, . . . ,m. Zatem dla każdego l = 1, 2, . . . ,m

∂tφlm(t) = λ−1

l

−c m∑j=1

∂tψjm(t)B(m)jl +

∫Ω∂tf(x, t)vl(x)dx

.Stąd

∂tψkm(t) + κ

m∑l=1

ηlψlm(t)

= αm∑l=1

λ−1l

−c m∑j=1

∂tψjm(t)B(m)jl +


B(m)kl +∫

Ωh(x, t)wk(x)dx.

Czylim∑j=1

∂tψjm(t)

(δkj + αc

m∑l=1

(λ−1l B(m)jl

)B(k)kl

)

= κm∑l=1

ηlψlm(t) + α

m∑l=1

(λ−1l


)B(m)kl +

∫Ωh(x, t)wk(x)dx.

Należy zatem wykazać, że macierz

M(m) := I(m) + αcB(m)diagλ−11 , λ−1

2 . . . , λ−1k B(m)T

jest nieosobliwa, gdzie I(m) oznacza macierz jednostkową wymiaru m, natomiast sym-

bol diagλ−11 , λ−1

2 . . . , λ−1m oznacza macierz diagonalną z wyrazami λ−1

1 , λ−12 . . . , λ−1

m na

przekątnej. Rzeczywiście, zauważmy, że macierz B(m)diagλ−11 , λ−1

2 . . . , λ−1k B(m)T jest

nieujemnie określona, ponieważ dla każdego ~r = (r1, r2, . . . , rm)T ∈ Rm mamy

~rTB(m)diagλ−11 , λ−1

2 . . . , λ−1k B(m)T~r =

m∑i=1

λ−1i

m∑j=1

Bji rj

2

0

(λi > 0 dla i = 1, 2, 3 . . . ). Zatem macierz M(m) jako suma macierzy jednostkowej oraz

macierzy nieujemnie określonej jest odwracalna. Stąd po odwróceniu macierzy M(m)

uzyskujemy liniowy układ równań różniczkowych zwyczajnych na ψ1m, ψ

2m, . . . , ψ

mm z prawą

stroną w przestrzeni L2(0, T ). Zatem istnieje rozwiązanie. Dodatkowo uzyskujemy, że

rozwiązaniem są funkcje absolutnie ciągłe.

69


Następnie wstawiamy znalezione funkcje ψ1m, ψ

2m, . . . , ψ

mm do pierwszego równania w

układzie (GA*) i wyliczamy funkcje φ1m, φ

2m, . . . , φ

mm. Oczywiście są one także absolutnie

ciągłe.

Uwaga A.0.8. Można zauważyć, że z pierwszego równania w układzie (GA*) daje się

wyliczyć φkm(0) za pomocą φ(0), a co za tym idzie za pomocą θ?0. Ponadto dla każdego m

zachodzi, że∥∥∥∇xum(0)

∥∥∥2

L2(Ω)=∥∥∥ m∑k=1

φkm(0)∇xvk∥∥∥2

L2(Ω)¬ C

(∥∥∥θm(0)∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥f∥∥∥

L2(Ω)

)

= C

∥∥∥∥∥m∑k=1

ψkm(0)wk

∥∥∥∥∥2

L2(Ω)

+∥∥∥f∥∥∥

L2(Ω)

¬ C(‖θ?0‖

2L2(Ω) +

∥∥∥f∥∥∥L2(Ω)

)

oraz analogicznie ∥∥∥∇xθm(0)∥∥∥2

L2(Ω)¬∥∥∥∇xθ

?0

∥∥∥2

L2(Ω).

Lemat A.0.9 (Oszacowania energetyczne). Ciągi um∞m=1 oraz θm∞m=1 są jednostaj-

nie ograniczone odpowiednio w przestrzeniach L∞(0, T ;H10 (Ω,R3)) ∩H1(0, T ;H1

0 (Ω,R3))

oraz L∞(0, T ;H10 (Ω,R))∩H1(0, T ;L2(Ω,R)). Co więcej, zachodzą następujące oszacowa-

nia:

‖um‖2L∞(0,T ;H1

0 (Ω)) + ‖θm‖2L∞(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθm‖2

L2(0,T ;L2(Ω))(A.0.14)

¬ C(‖h‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖f‖2H1(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθ

?0‖

2L2(Ω)

)‖∂tum‖2

L2(0,T ;H10 (Ω)) + ‖∂tθm‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθm‖2L∞(0,T ;L2(Ω))(A.0.15)

¬ C(‖h‖2

L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∂tf‖2L2(0,T ;L2(Ω)) + ‖∇xθ

?0‖

2L2(Ω)

)

Dowód. Różniczkujemy pierwsze równanie w układzie (G) względem czasu, a następ-

nie mnożymy przez ∂tφkm (pamiętając, że funkcje φkm oraz ψkm są absolutnie ciągłe, zatem

prawie wszędzie istnieją ich pochodne czasowe), podczas gdy drugie równanie w układzie

(G) mnożymy przez ∂tψkm. Wtedy sumujemy po k = 1, 2 . . . ,m i otrzymujemy:∫ΩD(ε(∂tum(t))) · ε(∂tum(t))dx = −c

∫Ω∇x∂tθm(t)∂tum(t)dx+

∫Ω∂tf(t)∂tum(t)dx,

∥∥∥∂tθm(t)∥∥∥2

L2(Ω)+ κ

12∂t∥∥∥∇xθm(t)

∥∥∥2

L2(Ω)= α

∫Ω∂tum(t)∇x∂tθm(t)dx+

∫Ωh(t)∂tθm(t)dx.

70


Dzielimy pierwszą z powyższych równości przez c, natomiast drugą przez α, po czym doda-

jemy obie równości stronami. Następnie wykorzystując nierówność Younga oraz własność

(E1) otrzymujemy:∥∥∥∂tum(t)

∥∥∥2

H10 (Ω)

+∥∥∥∂tθm(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+ ∂t

∥∥∥∇xθm(t)∥∥∥2

L2(Ω)¬ C

(∥∥∥h(t)∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∂tf(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

).

Całkujemy po czasie, by natychmiast uzyskać:∫ t

0

∥∥∥∂tum(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

dτ +∫ t

0

∥∥∥∂tθm(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ + sup

0¬τt

∥∥∥∇xθm(τ)∥∥∥2

L2(Ω)

¬∥∥∥∇xθ

?0

∥∥∥2

L2(Ω)+ C

(∫ t

0

∥∥∥h(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∂tf(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ).

Zatem z powyższego oszacowanie wynika druga nierówność z tezy lematu.

Aby udowodnić pierwsze oszacowanie energetyczne mnożymy pierwsze równanie w

układzie (G) przez ∂tφkm, podczas gdy drugie równanie przez ψkm i jak poprzednio dodajemy

po k = 1, 2 . . . ,m otrzymując:

12∂t

∫ΩD(ε(um(t))) · ε(um(t))dx = −c

∫Ω∇xθm(t)∂tum(t)dx+

∫Ωf(t)∂tum(t)dx,

12∂t∥∥∥θm(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+ κ

∥∥∥∇xθm(t)∥∥∥2

L2(Ω)= α

∫Ω∂tum(t)∇xθm(t)dx+

∫Ωh(t)θm(t)dx.

Zatem, jeżeli wykorzystamy nierówność Younga oraz nierówność Holdera, możemy szaco-

wać następująco:

∂t

∫ΩD(ε(um(t))) · ε(um(t))dx+ ∂t

∥∥∥θm(t)∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∇xθm(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

¬ C(∫

Ω|f(t)∂tum(t)|dx+

∫Ω|h(t)θm(t)|dx

)¬ C

(∥∥∥f(t)∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥∂tum(t)∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥h(t)

∥∥∥L2(Ω)

∥∥∥θm(t)∥∥∥L2(Ω)

)¬ 1

2

∥∥∥∇xθm(t)∥∥∥2

L2(Ω)+ C

(∥∥∥∂tum(t)∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥f(t)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥h(t)

∥∥∥2

L2(Ω)

).

Stąd całka względem czasu, poprzednio dowiedziona nierówność (A.0.15) oraz ponownie

własność (E1) doprowadzają nas do:

sup0¬τ¬t

∥∥∥um(τ)∥∥∥2

H10 (Ω)

+ sup0¬τ¬t

∥∥∥θm(τ)∥∥∥2

L2(Ω)+∫ t

0

∥∥∥∇xθm(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ

¬∥∥∥um(0)

∥∥∥2

H10 (Ω)

+∥∥∥θ?0∥∥∥2

L2(Ω)+ C

(∫ t

0

∥∥∥∂tum(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥h(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥f(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ)

¬ C(∥∥∥θ?0∥∥∥2

H10 (Ω)

+∫ t

0

∥∥∥h(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥f(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ +

∫ t

0

∥∥∥∂tf(τ)∥∥∥2

L2(Ω)dτ).

71


Powyższa nierówność kończy dowód.

Zatem wykorzystując Lemat A.0.9 możemy już udowodnić Twierdzenie A.0.5. Pod-

stawowym narzędziem potrzebnym w dowodzie będzie metoda wykorzystująca zwarte

włożenia (tak jak na przykład w [12]).

Dowód Twierdzenia A.0.5. Będziemy powtarzać rozumowanie z dowodu Twier-

dzenia 4 w [6]. Najpierw przybliżamy problem (AP) ciągiem problemów (G). Dzięki osza-

cowaniom dowiedzionym w Lemacie A.0.9 otrzymujemy słabą zbieżność (∗-słabą zbież-

ność w przypadku przestrzeni L∞) ciągu przybliżeń. Oznacza to, że istnieją podciągi

umj∞j=1 ⊂ um∞m=1 oraz θmj∞j=1 ⊂ θm∞m=1 takie, że

umj u in H1(0, T ;H10 (Ω,R3))

oraz

θmj θ in L∞(0, T ;H10 (Ω,R)) ∩H1(0, T ;L2(Ω,R)).

Z twierdzenia Rellicha-Kondraszowa o zwartym włożeniu podciągi umj∞j=1 oraz θmj∞j=1

są prezwarte w przestrzeni L2((0, T ) × Ω) (ponieważ są one ograniczone w przestrzeni

H1((0, T ) × Ω)). Stąd jeszcze raz wybieramy podciągi, które teraz zbiegają mocno w

L2((0, T ) × Ω) do tej samej granicy (u, θ) (z jednoznaczności słabej granicy). Ponieważ

rozważany problem (AP) jest liniowy, to łatwo zauważyć, że para (u, θ) jest jego rozwią-

zaniem.

Aby udowodnić jednoznaczność rozwiązania będziemy, jak zwykle, rozważać różnicę

(u, θ) := (u1, θ1) − (u2, θ2), gdzie (u1, θ1) oraz (u2, θ2) są dwoma różnymi rozwiązaniami

problemu (AP). Zatem analogicznie do oszacowań energetycznych z dowodu Lematu A.0.9

uzyskujemy:

‖u‖2L∞(0,T ;H1

0 (Ω)) +∥∥∥θ∥∥∥2

L∞(0,T ;L2(Ω))+∥∥∥∇xθ

∥∥∥2

L2(0,T ;L2(Ω))¬ 0

‖∂tu‖2L2(0,T ;H1

0 (Ω)) +∥∥∥∂tθ∥∥∥2

L2(0,T ;L2(Ω))+∥∥∥∇xθ

∥∥∥2

L∞(0,T ;L2(Ω))¬ 0.

Co oczywiście kończy dowód jednoznaczności.

72

Bibliografia

[1] R. A. Adams, J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Pure and Applied Mathematics, vol. 140, Else-

vier/Academic Press, Amsterdam, 2003.

[2] H.-D. Alber, Materials with memory, Lecture Notes in Math., vol. 1682, Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg New York, 1998.

[3] H.-D. Alber, K. Chełmiński, Quasistatic problems in viscoplasticity theory. I. Models with linear

hardening. Operator theoretical methods and applications to mathematical physics, Oper. Theory

Adv. Appl., 147 (2004), 105–129.

[4] H.-D. Alber, K. Chełmiński, Quasistatic problems in viscoplasticity theory. II. Models with non-

linear hardening, Math. Models Methods Appl. Sci. 17 (2007), no. 2, 189–213

[5] L. Bartczak, Mathematical analysis of a thermo-visco-plastic model with Bodner - Partom consti-

tutive equations, J. Math. Anal. Appl., 385 (2012), 961-974.

[6] L. Bartczak, On existence of global in time solutions to thermoelasticity with a quadratic nonline-

arity for small data, Przyjęty do Topological Methods in Nonlinear Analysis.

[7] L. Bartczak, Mathematical analysis of a thermo-visco-plastic model with Lipschitz-continuous con-

stitutive equations, Wysłany do Mathematical Methods in the Applied Sciences.

[8] S. R. Bodner, Y.Partom , Constitutive Equations for Elastic-Viscoplastic Strain-Hardening Ma-

terials, J. of Appl. Mech., 1975, 385-389.

[9] K. Chełmiński , Global in time existence of solutions to the constitutive model of Bodner-Partom

with isotropic hardening, Demonstratio Math. 28 (1995), no. 3, 667-688.

[10] K. Chełmiński, Energy estimates and global in time results for a problem from nonlinear viscoela-

sticity, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 44 (1996), no. 4, 481-493.

[11] K.Chełmiński On Large Solutions for the Quasistatic Problem in Non-linear Viscoelasticity with

the Constitutive Equations of Bodner-Partom, Math. Meth. App. Sci. 19 (1998), no. 12, 933-942.

[12] K. Chełmiński, P. Gwiazda , On the model of Bodner-Partom with nonhomogeneous boundary

data, Math. Nachrichten, 214 (2000), 5-23.

[13] L. C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2004

[14] P. Gwiazda, On singular limits to Bodner-Partom model, Math. Meth. Appl. Sci. 24 (2001), no. 3,

159-178.

[15] A. Kufner, O. John, S. Fucık, Function spaces, Academia, Prague, 1977

[16] O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov, and N. N. Ural’ceva, Linear and Quasilinear Equ-

ations of Parabolic Type, Transl. Math. Monographs, Amer. Math. Soc. vol. 23, Providence, 1988.

73

ROZDZIAŁ A. BIBLIOGRAFIA

[17] J. Simon, Compact sets in the space Lp(0, T ;B), Ann. Mat. Pura Appl. 4 (1987), 146, 65–96.

[18] J. Simon, Sobolev, Besov and Nikolskii fractional spaces: imbeddings and comparisons for vector

valued spaces on an interval, Ann. Mat. Pura Appl. 4 (1990), 157, 117–148.

[19] R. Temam, Navier-Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam,

New-York, 1984.

[20] T. Valent, Boundary Value Problems of Finite Elasticity, Springer Tracts in Natural Philosophy,

Vol. 31, Springer-Verlag, New York, 1988.

74

Documents

ROZPRAWA DOKTORSKAlbartczak/pl/www/?download... · ROZPRAWA DOKTORSKA mgr Leszek Bartczak Analiza matematyczna równań termolepkoplastyczności Promotor dr hab. Krzysztof Chełmiński