TTÜ 

 

07

RST kordamisküsimused  

Marit    Maris 

Andrus    Lauri 

Juhan    Gunnar 

Kalle     Tanel 

Valdur    Keio 

Tiit      Toivo 

Erik      Kaarel 

Mihkel       

 

1 | P a g e  

 

Sisukord 

Sisukord _____________________________________________________________________________________ 1 

1.Süsteemiteooria põhilised mõisted: ______________________________________________________________ 2 

2. Informatsioon  ______________________________________________________________________________ 3 

3. Shannoni  valem _____________________________________________________________________________ 5 

4. Juhtimine __________________________________________________________________________________ 5 

5. Keerulised süsteemid. Probleemide vaatlemine süsteemidena. Süsteemne lahenemisviis. __________________ 6 

6. Süsteemanalüüs ____________________________________________________________________________ 11 

7 Modelleerimine. Lihtsustamise ja ratsionaalsuse printsiibid __________________________________________ 12 

8. Juhusliku sündmuse tõenäosus, üksteist välistavad ja mittevälistavad sündmused. Juhuslike sündmuste täielik süsteem (täisgrupp) ___________________________________________________________________________ 12 

9. Tõenäosuste kaudne arvutamine (liitmine, korrutamine)  ___________________________________________ 12 

12. Juhusliku suuruse arvkarakteristikud. Mõned tüüpilised jaotusseadused (ühtlane, normaalne jm.) _________ 14 

13.Juhusliku vektori arvkarakteristikud. ___________________________________________________________ 15 

14. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid. _________________________ 16 

15. Polüharmoonilised ja peaaegu perioodilised protsessid ____________________________________________ 17 

16. Juhuslikud protsessid ja nende karakteristikud. Statsionaarsed juhuslikud protsessid.  ___________________ 17 

17. Ergoodilised protsessid, spektraaltihedus, juhuslike protsesside klassifitseerimine.______________________ 19 

18. Määramatud ja ebamäärased protsessid. _______________________________________________________ 20 

19. Optimaalsed determineeritud süsteemid. Kumerate sihifunktsioonidega ülesanded. Vajalikud ja piisavad optimumitingimused.  _________________________________________________________________________ 21 

20. Funktsiooni ja keha kumeruse määrang. Nõgusate sihifunktsioonidega ülesanded. Vajalikud ja piisavad optimumitingimused.  _________________________________________________________________________ 23 

21. Sadulpunkt. Minimaks ülesanded. _____________________________________________________________ 23 

22. Sõltuvate muutujate elimineerimise meetod.  ___________________________________________________ 24 

25. Mittelineaarse planeerimise Ulesannete isearasused. Gradient ja gradientmeetodid. ____________________ 26 

26. Trahvifunktsioonide meetod. Lagrange`i meetod _________________________________________________ 27 

29. Monte‐Carlo meetod. Juhuslike arvude tekitamine ja muundamine __________________________________ 32 

2 | P a g e  

 

1.Süsteemiteooria põhilised mõisted: a. Süsteem – on selline objekt, mis koosneb osadest (elementidest), osade vahel on teatud seosed 

ja kogu objekti vaadeldakse kui tervikud. Ehk süsteem on omavahel seostatud elementide hulk, mida vaadeldakse kui tervikut. Süsteem võib olla materiaalne või abstraktne, elus või elutu, looduslik või tehissüsteem. Süsteemid on molekul, rakk, taim, inimene, perekond, riik jne. Süsteemi võib tähistada S=(A,∑), kus A on süsteemi osade hulk ja ∑ tähistab seoseid osade vahel. 

b. Elemendid – operaator, sisendid, väljundid, olekuparameetrid, ülem‐ ja alamsüsteemid c. Sisendid – süsteemi sisenditeks on need süsteemi elemendid, milliseid vaadeldakse kui 

algressursse, algmaterjale, lähtesuurusi, algandmeid või –põhjuseid. Sisendid on süsteemi sõltumatud muutujad. Sisendid võivad olla mittejuhitavad või juhitavad. 

d. Väljundid – süsteemi väljunditeks on need elemendid, millieid vaadeldakse kui tegevuse tulemusi või tagajärgi. Väljundid n süsteemi sõltuvad muutjad. 

e. Operaator – (ehk protsess, funktsioon) nimetatakse eeskirja, algoritmi, tehnoloogiat, protsessi või funktsiooni, mille põhjal süsteemi sisendite alusel saadakse süsteemi väljundid. 

f. Olek – süsteem võib olla normaalolekus, häireolukorras, avariiolukorras, remondis jne). Süsteemi olekute kirjeldamiseks on võetud kasutusele olekumuutujad ehk olekuparameetrid.  Üks reegel olekumuutujate valimiseks on see, et olekumuutujad tuleb valida nii, et nende fikseerimisel muutuks sisendi ja väljundi vaheline seos üks‐üheseks. 

g. Käitumine – kuidas süsteem talitleb  2. Süsteemide liigitamine:  Kirjanduses leidub palju erinevaid süsteemide liigitusi: 

a. Füüsikalised, bioloogilised, sotsiaalsed ja immateriaalsed süsteemid b. Avatud ja suletus süsteemid c. Pideva ja diskreetaja süsteemid d. Materiaalsed ja abstraktsed süsteemid e. Juhitavad ja mitte juhitavad süsteemid 

Kõige lihtsamal tasemel on võimalik süsteeme esimesel juhul liigitada staatilisteks ja dünaamilisteks süsteemideks või teisel juhul liigitada lihtsateks ja keerukateks ehk suurteks süsteemideks. 

3. Süsteemide omadused: a. Süsteemi juhitavus – süsteemi olek või väljund on juhitav intervallis (t0, t1), kui leidub 

selline juhtiv protsess intervallis (t0, t1), mis viib süsteemi suvalisest algolekust x(t0) soovitud lõppolekusse x(t1). 

b. Süsteemi jälgitavus – süsteemi jälgitavuse all mõistetakse võimalust määrata süsteemi olekut selle väljundite jälgimise järgi. Süsteem on jälgitav ajavahemikus (t0,t1), kui süsteemi olek hetkel t0 on üheselt määratav väljundite kaudu intervallis (t0, t1). 

c. Süsteemi tundlikus – süsteemi käitumisomaduste sõltuvus süsteemi parameetrite muutustest. Tagasiside võimaldab vähendada süsteemi tunglikkust teatud parameetri suhtes. 

3 | P a g e  

 

4. Süsteemi struktuur – süsteemi struktuur kirjeldab süsteemi elementide ehk osade vahelisi seoseid. See näitab, millise sisendi ja millise väljundi vahel seos on. Kuid struktuur ei näita selle seose tugevust ega tegelikku sõltuvust. Struktuure kirjeldatakse skeemide, jooniste või ühendusmaatriksite abil. 

5. Süsteemi entroopia – Entroopia H(X) mõõdab juhusliku suuruse X "juhuslikkust". Mida suurem on entroopia, seda "juhuslikum" on X.  Entroopiat võib ka interpreteerida kui informatsioonihulka, mida juhusliku suuruse väärtuse teadasaamine meile annab. Mida "juhuslikum" on X, seda vähem oskame me ära arvata juhusliku suuruse väärtust (juhusliku katse tulemust) ning seda enam informatsiooni selle väärtuse (katse tulemuse) teadasaamine meile annab.  Esmakordselt defineeris entroopia ameerika matemaatik C. Shannon oma 1948.‐l aastal ilmunud teedrajavas artiklis "A mathematical theory of communacation".  

 

2. Informatsioon 

 1. Informatsioonilised sidemed – Süsteemi üksikelementide ja erinevate süsteemide vahel 

eksisteerivad, mille kaudu nad üksteist mõjutavad. Need seosed võivad energeetilised, materiaalsed (ainevahetuslikud) või informatiivsed. Viimasel juhul toimub info edastamine või vahetamine. 

2. Informatsiooni liigid (vormid): a. Deterministlik informatsioon b. Tõenäosuslik informatsioon c. Määramatu informatsioon 

i. Määramatu deterministlik informatsioon ii. Määramatu tõenäosuslik informatsioon 

d. Ebamäärane informatsioon i. Ebamäärane deterministlik informatsioon ii. Ebamäärane tõenäosuslik info 

3. Informatsiooni liikide (vormide selgitused) a. Deterministlik süsteem – Deterministlik süsteem on selline süsteem, mille kõik elemendid on 

deterministlikud  ja nende vahelised seosed on deterministlikud funktsioonid. Teisiti öeldes, deterministlikud süsteemid on need, mis ei sisalda mittedeterministlikke elemente ega seoseid ehk ei sisalda ühtki liiki juhuslikkust. Deterministlik element – element, mille käitumine on rangelt determineeritud. Deterministliku elemendi käitumist on võimalik täpselt ette prognoosida. Deterministlik funktsioon on sõltuvus, kus üks muutuja määrab üheselt kindlaks teise muutuja ehk funktsiooni argumendid määravad üheselt kindlaks funktsiooni väärtuse. 

Seega deterministliku süsteemi puhul: väljundid on determineeritud suurused või protsessid; operaator on determineeritud funktsioon (vektorfunktsioon); sisendid on determineeritud suurused või protsessid; olekumuutujad on determineeritud suurused 

4 | P a g e  

 

või protsessid. Deterministliku süsteemi väljundeid on võimalik mineviku alusel täpselt ette ennustada.  Näiteid: kellad, personaalarvutid, päikesesüsteem, täpsed automaatsüsteemid jt. Neid võib teatud tinglikkusega lugeda deterministlikeks süsteemideks. 

Kuid väga rangelt deterministlikke süsteeme pole üldse olemas. b. Tõenäosuslik süsteem – Tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt 

üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on juhuslik, mida saab piisavalt täpselt kirjeldada tõenäosuslike karakteristikute abil ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud. Seega tõenäosuslik süsteem võib sisaldada deterministlikke elemente ja seoseid. Üldjuhul võivad kõik tõenäosusliku süsteemi väljundid, operaatorid, sisendid ja olekumuutujad olla tõenäosuslikult kirjeldatavad juhuslikud sündmused, suurused, protsessid või funktsioonid. Tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida. Näiteid: täringu viskamine, elektrienergia tarbimine, energiasüsteem, tehas, riik jne. Kõiki keerukamaid süsteeme võib vaadelda tõenäosuslike süsteemidena. Kuid ranges mõttes tõenäosuslikke süsteeme leidub harva. 

c. Määramatu süsteem  – Määramatu süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on teatud intervallis määramatu ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud või tõenäosuslikult määratud. Määramatu süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada. 

i. Määramatu deterministlik süsteem – Määramatu deterministlik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab määramatuid deterministlikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud või tõenäosuslikud. Määramatu deterministliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada. 

ii. Määramatu tõenäosuslik süsteem – Määramatu tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab määramatuid tõenäosuslikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või määramatud deterministlikud elemendid ja seosed. Määramatu tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada. Näiteid: Määramatute süsteemide näideteks on keerukad stohhastilised süsteemid, mis ei ole kirjeldatavad ainult deterministlike ja tõenäosuslike karakteristikute abil.  

d. Ebamäärane süsteem  – Ebamäärane süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on ebamäärane ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või intervallis määramatud. Ebamäärase süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult ning intervallide abil täpselt kirjeldada.  

i. Ebamäärane deterministlik süsteem – Ebamäärane deterministlik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab ebamääraseid deterministlikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või intervallis määramatud. Ebamäärase deterministliku süsteemi käitumist ei ole 

5 | P a g e  

 

võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult ja määramatuse tasandil täpselt kirjeldada. 

ii. Ebamäärane tõenäosuslik süsteem – Ebamäärane tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab ebamääraseid tõenäosuslikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud, määramatud või ebamäärased deterministlikud elemendid ja seosed. Ebamäärase tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada.  Näiteid: Ebamääraste süsteemide näideteks on keerukad stohhastilised süsteemid, mis ei ole kirjeldatavad ainult deterministlike, tõenäosuslike karakteristikute või määramatuse intervallide abil. 

3. Shannoni  valem 

Shannoni  valemit  kasutatakse  info  hulga  arvutamiseks.  Kusjuures  teates  sisalduv  keskmine  info  hulk bittides leitakse järgmise valmi abil: 

∑=

−=n

iii xpxpXH

12 )(log)()(  

Sama  valmit  saab  kasutada  ka  sündmuse  esialgse  määramatuse  ehk  entroopia arvutmiseks: NH 2log0 <<  

Kindlasti  toimuva  (p=1)  sündmuse  puhul  H=0  ja  kui  kõik  võimalikud  variandid  toimuvad  sama 

tõenäosusega, siis on H maksimaalne.  max2log)( HNXH == . 

4. Juhtimine 

Juhtimine on üldmõiste. 

Juhtimine – ühe objekti (süsteemi) sihipärane mõjutamine teise objekti (süsteemi) poolt. 

 

Alati peab olema kaks komponenti: juhitav süsteem + juhtiv süsteem, need kokku on juhtimissüsteem. 

Kui  juhtiv  süsteem mõjutab  juhitavat  süsteemi,  siis on  tegemist  juhttoime või otsesidega, vastupidisel juhul on tegu tagasisidega. 

 

Juhtimisülesanne on määratud, kui on teada:  

1. eesmärk,  2. juhitavad faktorid,  3. lisatingimused ja  4. mittejuhitavad faktorid.  

6 | P a g e  

 

Juhtimisülesanneteks on kõige sagedamini planeerimine, organiseerimine, eestvedamine, kontrollimine, objekti stabiliseerimine, etteantud programmi täitmine, optimeerimine jne. 

Kui  on  tegu  optimeerimisega  (minimeerimine,  maksimeerimine),  siis  sellist  juhtimist  nimetatakse optimaaljuhtimiseks. 

 

Juhtimisprotsess koosneb:  

1. info kogumine ja töötlemine,  2. otsuse vastuvõtmine,  3. otsuse elluviimine,  4. tagasiside 

 

Mittedetermineeritud objektide juhtimine on võimalik ainult tänu tagasisidele. 

 

Juhtimine võib olla:  

o deterministlik,  o mittedeterministlik ehk stohhastiline ja  o adaptiivne. 

Juhtimissüsteemid võivad olla:  

o tsentraalsed o detsentraalsed o jaotatud funktsioonidega 

 

Süsteemi  juhitavus  –  intervallis  (t0,  t1)  on  olemas  selline  funktsioon,  mis  viib  süsteemi  suvalisest algolekust x(t0) soovitud lõppolekusse x(t1). 

Süsteemi jälgitavus – süsteemi olekut on võimalik üheselt määrata tema väljundite jälgimise kaudu. 

Süsteemi  tundlikkus  –  süsteemi  käitumisomaduste  sõltuvus  süsteemi  parameetrite  muutusest. Tagasiside vähendab tundlikkust. 

 

Hierarhiline  süsteem  –  ühed  süsteemid  on  teistele  (alamsüsteemidele)  ülemsüsteemideks.  On alluvussuhted  või  ühed  süsteemid  kuuluvad  teistesse.  Neid  süsteeme  kasutatakse  organisatsioonide juhtimisel  (nt  sõjavägi,  ülikool,  energeetika).  Nende  kasutamine  võimaldab  lihtsustada  süsteemide modelleerimist, analüüsi, juhtimist ja sünteesi.   

5. Keerulised süsteemid. Probleemide vaatlemine süsteemidena. Süsteemne lahenemisviis. 

Keerulisel süsteemil on: 

1. suur elementide arv, 

2. keerukad seosed elementide vahel, 

7 | P a g e  

 

3. hierarhiline struktuur, 

4. juhuslike faktorite suur mõju, 

5. süsteem on isekohanev või sisaldab küberneetilisi süsteeme. 

Keerulisteks süsteemideks on energiasüsteem, riigi majandus, suur firma jne. 

Üksikkomponentide käitumine pole alati individuaalselt modelleeritud (või isegi mõistetav). 

Keerulised  süsteemid  lammutatakse  väiksemateks  komponentideks  kuni  iga  komponent  on  piisavalt lihtne selleks, et ta funktsioon on lihtsalt modelleeritav (ja arusaadav). 

Keerulised  koosnevad  allsüsteemidest  ülemsüsteemidest.  Süsteeme    kus  ühed  süsteemid  on  teistele ülemsüsteemideks, nimetatakse hierarhilisteks süsteemideks. 

Hierarhilistes  süsteemides kehtivad alluvussuhted all  ja ülemsüsteemide vahel või ühed  süsteemid on teistest üldisemad, hõlmates ka vastavaid allsüsteeme:  

AA ⊂1  ja  AA ⊂2  

või 

AAAA ⊂⊂⊂ 321  jne. 

Hierarhilisi  süsteeme  kasutatakse  organisatsioonide  juhtimisel.  Ranged  hierarhilised  süsteemid  on kasutusel sõjaväes. Kuid hierarhilisi  süsteeme võib kasutada ka õppetöös ja teadustöös. Laialdane huvi hierarhiliste süsteemide vastu on seletatav sellega, et süsteemide vaatlemine hierarhiliste süsteemidena ja  hierarhiliste  süsteemide  loomine  võimaldab  lihtsustada  süsteemide  modelleerimist,  analüüsi, juhtimist ja sünteesi. Seepärast on hierarhilised süsteemid muutunud väga aktuaalseks. Palju hierarhilisi süsteeme on energeetikas. 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  A                  B 

 

Joonis 1.8. Hierarhilised süsteemid 

 

Probleemide vaatlemine süsteemina 

8 | P a g e  

 

Süsteemide  kirjeldamiseks  kasutatav  keel  sobib  hästi  ka  probleemide  kirjeldamiseks.  Maailmas  on lõpmata palju erinevaid probleeme ehk ülesandeid. Süsteemiteooria põhimõistete abil on neid võimalik liigitada ja  kirjeldada. 

 

Kasutades  süsteemide  kirjeldamise  3  komponenti  (sisend,  väljund  ja  operaator),  saame  järgmise ülesannete liigituse. 

 

1.  Väljundi leidmise ülesanded 

On antud U ja F. Leida Y! 

 

Sellesse  klassi  kuuluvad  tavalised  arvutusülesanded,  tootmise  korraldamine  jm.  mingi  toimingu teostamise ülesanded. 

  

2.  Operaatori leidmise ülesanded 

On antud U ja Y. Leida F! 

 

Siia kuuluvad ülesanded, kus on antud ressursid või lähteandmed ja on teada tulemused, mida soovime saavutada. Leida tuleb operaator, tehnoloogia või meetod kuidas antud tulemust saada. Kui sisendid ja väljundite kohta on kogutud infot, tuleb leida seos, kuidas väljundid sõltuvad sisenditest. Teisiti öeldes, tuleb  objekt  ehk  selle  operaator  identifitseerida.  Seepärast  nimetatakse  antud  ülesannete  klassi identifitseerimise ülesanneteks. 

 

3.  Sisendi leidmise ülesanded 

On antud F ja Y. Leida U! 

 

9 | P a g e  

 

Selliste ülesannete puhul tuleb leida algpõhjus või viga, miks on süsteemil sellised väljundid. Selle klassi ülesandeid nim. diagnostikaülesanneteks.   

 

4.  Operaatori ja väljundi leidmise ülesanded 

On antud ainult sisendid. Leida F ja Y! 

 

On antud mingi materjal, mingid andmed või mingi seade. Kuidas seda kasutada ja mida sellega toota? Selliste ülesannete lahendamisel on suur osa loomingul. 

 

5.  Sisendi ja väljundi leidmise ülesanded 

 

On antud süsteemi operaator F. Leida U ja Y! 

 

Need on loomingulised ülesanded. On antud mingi tehnoloogia, masin, andmebaas, spetsialist või muu ja probleem on selles, milleks neid kasutada? Mida ja millest oleks otstarbekas toota? 

 

6.  Sisendi ja operaatori leidmise ülesanded 

 

On antud väljund Y. Leida U ja F! 

 

On  teada milliseid  tulemusi soovime saada. Probleem on selles kuidas soovitud  tulemusi saada? Suurt rolli nendes ülesannetes mängib looming. 

 

7.  Puhtalt loomingulised ülesanded 

10 | P a g e  

 

 

Midagi pole antud. Leida U, F ja Y! 

 

Sellised on suure vabadusega puhtloomingulised ülesanded.  

 

8.  Revisjoniülesanded 

 

Kõik on antud. Midagi pole vaja leida, kuid kõike on tarvis kontrollida. 

 

Esitatud 8 ülesannete klassi moodustavad täisgrupi. Rohkem ülesannete klasse ei saa olla. 

 

Süsteemne lähenemisviis 

Süsteemanalüüsi  aluseks  on  süsteemne  lähenemisviis.  Viimase  all mõeldakse  keerukate  süsteemide kompleksse analüüsi metodoloogiat. 

 

Probleemide lahendamise üldine skeem on järgmine: 

1. ülesande otstarbekohane püstitamine 

2. matemaatilise mudeli koostamine ja selle adekvaatsuse kontroll 

3. lahendi leidmine mudelil 

4. lahendi sobivuse kontroll 

5. lahendi realiseerimine (elluviimine). 

 

 

 

 

Seejuures tuleb tähelepanu pöörata järgmistele aspektidele: 

11 | P a g e  

 

1.  Püstitage ülesanne õigesti  

Valesti  püstitatud  ülesande  alusel  ei  ole  võimalik  saada  õiget  tulemust. Ülesande  püstitamisel  leidke vastused  järgmistele küsimustele: Mis on eesmärgiks? Mis on otsitavateks? Mis on antud? Millised on ülesande tingimused? 

2.  Probleemi tuleb vaadelda ja analüüsida kui süsteemi 

  Arvestada tuleb kõiki olulisi faktoreid. 

3.  Ülesande püstitamisel ja lahendamisel tuleb arvestada info mittetäielikkust. 

4.   Tuleb uurida optimeerimise võimalusi ja kui võimalik püstitada optimeerimisülesanne 

5.  Kui  probleem  on  liiga  keeruline,  tuleb  see  jagada  osadeks  ja moodustada  alamülesannetest hierarhiline süsteem 

6.  Kasutada deduktiivset lähenemisviisi (üldiselt üksikule). 

7.  Kasutada matemaatikat. 

Koostada matemaatiline mudel, kontrollida mudeli sobivust ja uurida probleemi mudeli abil. 

8.  Probleemi lahendamisel püüda lihtsuse ja fundamentaalsuse poole. 

      Kontrollida kõiki võimalikke lahendeid ja valida neist parim. 

    Vajaduse korral tuleb probleemi lahendamist uuesti algusest alustada. 

 

Süsteemanalüüs,  baseerudes  teaduslikul  lähenemisviisil,  tõstab  oluliselt  inimese mõtlemisvõimet  ja probleemide lahendamise oskusi. 

6. Süsteemanalüüs 

 

Eesmärk 

Süsteemanalüüsi  eesmärgiks  on  probleemide  õige  püstitamine,  analüüs  ja  nende  optimaalne lahendamine, süsteemide efektiivsuse analüüs ning efektiivsete süsteemide süntees. 

Süsteemanalüüs on kunst anda halbu vastuseid nendele küsimustele, millele muul moel antakse veelgi halvemaid vastuseid. 

 

Süsteemne lähenemisviis 

Süsteemanalüüsi  aluseks  on  süsteemne  lähenemisviis.  Viimase  all mõeldakse  keerukate  süsteemide kompleksse analüüsi metodoloogiat. 

Siia alla vt ka ülevalt probleemide lahendamine. 

 

12 | P a g e  

 

7 Modelleerimine. Lihtsustamise ja ratsionaalsuse printsiibid 

 

Modelleerimine  põhineb  süsteemide  või  objektide  sarnasusel,  kusjuures  objekti  ja mudeli  sarnasust hinnatakse kindlate kriteeriumide järgi. Originaali ja mudeli sarnasust tähistatakse A ~ B. Kuna sarnasus on vastastikune, siis ka B ~ A.  

Lähtesüsteemist  A  lihtustamise  teel  saadud  süsteemi  B  nimetatakse  süsteemi  A  homomorfeks  ehk lihtsustatud mudeliks. Originaali A ja mudeli B vahelised suhted ei ole pööratavad. 

Kaks  süsteemi  on  isomorfsed,  kui  neil  on  ühesugused  sisendid  ja  väljundid  ning  nad  reageerivad välistoimetele ühtemoodi. 

Deterministlik süsteemimudel:  sisendid, väljundid  ja olekumuutujad on determineeritud  suurused või protsessid.  Süsteemimudelid  võivad  olla  staatilised  (ajas  muutumatud)  või  dünaamilised  (sisendid, väljundid ja olekumuutujad on üldjuhul ajast sõltuvad protsessid). 

 

8.  Juhusliku  sündmuse  tõenäosus,  üksteist  välistavad  ja  mittevälistavad  sündmused. Juhuslike sündmuste täielik süsteem (täisgrupp) 

 

Juhuslikud  on  need  sündmused, mis  katse  tulemusena  võivad  toimuda  või mitte  toimuda.  Juhusliku sündmuse  toimumist  iseloomustatakse  sündmuse  toimumise  tõenäosusega P(A). Ühe katse puhul on sündmuse tõenäosus selle sündmuse toimumise ja katsete arvu suhte piirväärtus. 

 

Üksteist välistavate  sündmuste A  ja B korral ei  saa  sündmused A  ja B  toimuda  samaaegselt. Üksteist välistavate  sündmuste  hulka,  millest  üks  sündmus  võib  katse  tulemusena  toimuda,  nimetatakse elementaarsündmuste ruumiks. 

 

Üksteist  mittevälistavad  sündmused  võivad  toimuda  samaaegselt.  Ehk  teisiti,  sündmusi  A  ja  B nimetatakse  mittevälistavateks,  kui  leiduvad  elementaarsündmused,  mis  kuuluvad  üheaegselt  nii sündmusele A kui ka sündmusele B. 

 

Üksteist  välistavate  sündmuste  süsteemi  nimetatakse  täisgrupiks  (täielikuks  süsteemiks),  kui  katse tulemusel toimub tingimata üks ja ainult üks nendest sündmustest. 

  

9. Tõenäosuste kaudne arvutamine (liitmine, korrutamine) 

Sündmuste summa A∪B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub sündmus A või sündmus B. 

13 | P a g e  

 

Kahe teineteist välistava sündmuse A  ja B summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga 

P(A∪B)=P(A)+P(B) 

 

Kahe mittevälistava  sündmuse  summa  tõenöosus on  võrdne nende  sündmuste  summa  ja  sündmuste korrutise tõenäosuste vahega 

 

P(A∪B)=P(A)+P(B)‐P(A∩B)  

 

Sündmuste korrutis A∩B on sündmus, mis toimub siis kui toimuvad sündmused A ja B. 

Kahe  sündmuse  korrutise  tõenäosus  on  võrne  ühe  sündmuse  tõenäosuse  ja  teise  sündmuse  tingliku tõenäosuse korrutisega 

 

P(A∩B)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B) 

 

Kui A ja B on sõltumatu sündmused, siis P(A∩B)=P(A)*P(B) 

14 | P a g e  

 

12.  Juhusliku  suuruse  arvkarakteristikud.  Mõned  tüüpilised  jaotusseadused (ühtlane, normaalne jm.) 

 

Juhusliku suuruse osaliseks kirjeldamiseks on kasutusele võetud mitmeid jaotusseadust iseloomustavaid arvkarakteristikuid. 

 

Keskväärtus (matemaatiline ootus) 

Juhusliku suuruse keskväärtus ehk matemaatiline ootus on  juhusliku suuruse tähtsaim arvkarakteristik, mis näitab juhusliku suuruse kaalutud keskmist 

Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus: 

∑=

⋅=n

iii pxEX

1                  (4.19) 

Pideva juhusliku suuruse keskväärtus: 

∫∞

∞−

⋅= dxxfxEX )(                   (4.20) 

 

Dispersioon ja standardhälve 

Juhusliku  suuruse  iseloomustamiseks  ei  piisa  ainult  keskväärtusest.  Tähtsuselt  järgmisteks karakteristikuteks  on  dispersioon  ja  standardhälve.  Need  iseloomustavad  juhusliku  suuruse  hajuvust keskväärtuse ümber. 

Dispersiooniks nimetatakse juhusliku suuruse hälvete ruutude keskmist keskväärtusest: 

2)( EXXEDX −=                   (4.21) 

Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon: 

∑=

⋅−=n

iii pEXxDX

1

2)(                 (4.22) 

Pideva juhusliku suuruse dispersioon: 

∫∞

∞−

−= dxxfEXxDX )()( 2 .                (4.23) 

Kasutatakse ka mitmeid teisi arvkarakteristikuid: mood, mediaan asümmeetria tegur, ekstsess jne. 

 

Standardhälve on ruutjuur dispersioonist: 

DXx =σ .                    (4.24) 

15 | P a g e  

 

Normaaljaotus 

∫∞

∞−

−−= dxEXxxf )

2)(exp(

21)( 2

2

σπσ.              (4.25) 

Normaaljaotus  on  määratud  kahe  arvkarakteristikuga  –  keskväärtusega  ja  standardhälve  ehk dispersiooniga. Normaaljaotus on piirjaotusseadus. Seepärast on ta väga laialt levinud. 

   

 

Joonis 4.5.   Normaaljaotuse jaotusfunktsioon                       Joonis 4.6.   Normaaljaotuse jaotustihedus 

 

13.Juhusliku vektori arvkarakteristikud. 

Kahemõõtmelise  juhusliku  vektori  uurimisel  on  oluline  tähtsus  korrelatsioonimomendil  ehk kovariatsioonil, mis  iseloomustab  ligikaudu  juhuslike  suuruste  vahelist  sõltuvust. Kovariatsiooniks  ehk korrelatsioonimomendiks nimetatakse järgmist keskmist: 

))()((),cov( EYYEXXEYX −⋅−=              (4.30) 

Seega kovariatsioon on kahe  juhusliku suuruse hälvete korrutise keskmine. Kovariatsioon  iseloomustab mitte ainult sõltuvuse olemasolu, vaid ka sõltuvuse intensiivsust. 

Sõltuvuse mõju tugevuse hindamiseks kasutatakse dimensioonita suhet: 

yxxy

YXrσσ

),cov(= ,                   

  (4.31) 

mida nimetatakse korrelatsioonikordajaks. 

Sõltumatute juhuslike suuruste X ja Y kovariatsioon ja korrelatsioonikordaja on võrdsed nulliga. 

Juhuslike  suuruste  vahelist  sõltuvust  iseloomustatakse  ka  regressioonivõrrandite  või regressioonifunktsiooniga: 

)(xmy x=                     (4.32) 

Regressioonifunktsioon näitab Y keskväärtuse sõltuvust suuruse x väärtustest. 

Normaaljaotuse jaotusfunktsioon

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

-3 -2,7 -2,3 -2 -1,6 -1,3 -0,9 -0,6 -0,2 0,15 0,5 0,85 1,2 1,55 1,9 2,25 2,6 2,95

Standardiseeritud normaaljaotuse tihedusfunktsioon

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

-3 -2,7 -2,3 -2 -1,6 -1,3 -0,9 -0,6 -0,2 0,15 0,5 0,85 1,2 1,55 1,9 2,25 2,6 2,95

F(X)f( )

XX

16 | P a g e  

 

14. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid.  

 

Protsessiks nimetatakse objekti (sündmuse, suuruse, funktsiooni, vektori, süsteemi või muu) muutumist aja või mõne muu parameetri järgi. Tavaliselt on protsessi puhul muutujaks aeg:  )(tx . 

Protsessi minevikku nimetatakse realisatsiooniks ja tulevikku – prognoosiks. 

Informatsiooni protsessi mineviku  kohta nimetatakse  aposterioorseks  ehk  retrospektiivseks  infoks  ja tuleviku kohta ka aprioorseks infoks.  

 

Protsesside liigid: 

o pideva aja ja pideva väärtusega protsessid 

o pideva aja ja diskreetse väärtusega protsessid 

o diskreetse aja ja pideva väärtusega protsessid 

o diskreetse aja ja diskreetse väärtusega protsessid. 

 

Näiteid: 

Pideva  aja  ja  pideva  väärtusega  protsessid:  taevakehade  liikumine,  elektri  tarbimine  (kuid  see  ei  ole deterministlik protsess). 

Pideva aja diskreetse väärtusega protsessid: signaalide edastamine sidekanalis kahendsüsteemis. 

Diskreetse aja ja pideva väärtusega protsessid: õhutemperatuuri muutumine täistundidel, kõik väärtuse järgi pidevad protsessid kui neid registreeritakse teatud ajaintervallide (tunni, ööpäeva, kuu jne) järel 

Diskreetse  aja  ja  diskreetse  väärtusega  protsessid:  eksami  tulemused,  kui  igat  üliõpilast eksamineeritakse täpselt 15 min. 

 

Determineeritud  protsessiks  nimetatakse  sellist  protsessi,  mille  tulevikku  on  võimalik  täpselt  ette prognoosida, kui on  teada  selle protsessi piisavalt pikk  realisatsioon. See on protsess, mille  tulevik on ette määratud. D‐protsessid on: maakera pöörlemine, täpsed kellad jm. 

Determineeritud protsessid jaotatakse kahte gruppi: 

perioodilised protsessid 

mitteperioodilised protsessid. 

Determineeritud protsessi x(t) nimetatakse perioodiliseks protsessiks, kui mingi ajaperioodi T järel selle protsessi väärtused korduvad: 

)()( nTtxtx ±= ,    n=1, 2, 3, …              (3.6) 

Protsessi,  mille  puhul  ei  leidu  sellist  ajaperioodi  T,  mille  puhul  kehtib  võrdus  (3.6),  nimetatakse mitteperioodiliseks.  

Ajaperioodi T nimetatakse protsessi perioodiks  ja  tsüklite arvu ajaühikus – sageduseks. Sageduse  f  ja perioodi T puhul kehtib järgmine seos: 

17 | P a g e  

 

Tf 1= .                      (3.7) 

Perioodilised protsessid võivad olla 2 liiki: 

o harmoonilised protsessid 

o polüharmoonilised protsessid. 

 

15. Polüharmoonilised ja peaaegu perioodilised protsessid 

 

Polüharmoonilisteks protsessideks nimetatakse selliseid protsesse, mis on küll perioodilised, aga mis ei ole harmoonilised. 

Selliseid protsesse saab kirjeldada Fourier’ rea abil. 

[ ]∑∞

=

++=1

000 )2sin()2cos(

2)(

nnn tnfbtnfa

atx ππ  

Kõikide harmooniliste sagedused on mingid põhisageduse kordsed. 

Polüharmoonilise protsessi näiteks on muusikalised helid. Neis on põhiharmooniline, mis määrab heli kõrguse ja kõrgemad harmoonilised, mis annavad helile tämbri. 

Polüharmoonilise protsessi spektrit iseloomustab amplituudi ja sageduse karakteristik. 

 

Peaaegu  perioodiliseks  nimetatakse  sellist  protsessi,  mis  ei  ole  perioodiline,  aga  mida  saab  ikkagi kirjeldada kui perioodilist protsessi. 

∑∞

=

Θ+=1

)2sin()(n

nn tnfXtx π  

Nt:  )50sin()2sin()2sin()( 321 tXtXtXtx ++=  

Erinevus  perioodiliste  protsessidega  seisneb  selles,  et  antud  juhul  võib  siinuse  argument  olla irratsionaalarv. 

Ratsionaalarv on arv, mille saab esitada kujul a/b, kus a ja b on täisarvud ning b ei võrdu nulliga. 

Irratsionaalarv on reaalarv, mis pole ratsionaalarv. 

Reaalarv – arv, mida saab esitada lõpliku või lõpmatu kümnendmurruna. 

16.  Juhuslikud  protsessid  ja  nende  karakteristikud.  Statsionaarsed  juhuslikud protsessid. 

 

18 | P a g e  

 

Juhusikuks protsessiks nimetatakse protsessi, mille  väärtus  argumendi  iga  väärtuse  korral on  juhuslik suurus. See on protsess, mille kulgu ei ole võimalik täpselt ette prognoosida. Apriori on võimalik teada ainult  juhusliku  protsessi  võimalike  väärtuste  piirkonda  ja  protsessi  tõenäosuslikke  karakteristikuid. Juhuslik protsess kulgeb iga kord isemoodi. 

 

Selleks,  et  arvestada  protsessi  väärtuste  sõltuvusi  erinevatel  ajahetkedel,  ei  piisa  ühemõõtmelistest jaotusseadustest. Kasutusele tuleb võtta mitmemõõtmelised jaotusseadused. 

 

Juhusliku  protsessi  n‐mõõtmelised  jaotusseadusfunktsioon  (näitab  tõenäosust,  millega  juhuslik  protsess hetkel t1 võtab väiksema väärtuse kui x1 ja hetkel t2 väiksema väärtuse kui x2 jne) 

 

Fn(x1;t1;…;xn;tn)=P((X(t1)<x1)∩…∩(X(tn)<xn)) 

 

ja jaotustihedus (n järku jaotusfunktsiooni n järku segatuletis) 

 

fn(x1;t1;…;xn;tn)=δnFn(x1;t1;…;xn;tn)/δx1…δxn 

 

Sageli  pole  vaja  juhuslikke  protsesse  kirjeldada  mitmemõõtmeliste  jaotusseaduste  tasemel,  piisab mitmesugustest arvkarakteristikutest, nagu näiteks: 

 

Juhusliku protsessi keskväärtus (matemaatiline ootus) EX(t)=∞‐∞∫x*f(x;t)dx 

 

Juhusliku protsessi dispersioon DX(t)= ∞‐∞∫(x‐EX(t))2*f(x;t)dx 

 

Juhusliku protsessi kovariatsioonifunktsioon 

Kx(t1;t2)=E[(X(t1)‐EX(t1))(X(t2)‐EX(t2))] 

 

Juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioon 

Rx(t1;t2)= Kx(t1;t2)/σ1(t1)*σ2(t1) 

 

Juhuslikku  protsessi  nimetatakse  statsionaarseks,  kui  selle  keskväärtus  on  konstante EX(t)=const, dispersioon on konstantne DX(t)=const ning kvariatsioonifunktsioon sõltub ainult argumentide vahest Kx(t1;t2)= kx(τ) 

 

Kehtivad järgmised võrdused 

19 | P a g e  

 

o Statsionaarse juhusliku protsessi dispersioon on konstantne ja võrdub kovariatsioonifunktsiooni väärtusega punktis τ=0; kx(0)=DX(t) 

o Statsionaarse juhusliku protsessi kovariatsioonifunktsioon on paarisfunktsioon; kx(‐τ)=kx(τ) 

o ⎢kx(τ)⎢≤kx(0) 

 

17.  Ergoodilised  protsessid,  spektraaltihedus,  juhuslike  protsesside klassifitseerimine. 

Enamikul  statsionaarsetel  juhuslikel  protsessidel  on  praktika  seisukohast  tähtis  omadus,  mida nimetatakse  ergoodilisuse  omaduseks  ja mis  seisneb  selles,  et  küllalt  pika  ühe  realisatsiooni  järgi  on võimalik määrata kõik statsionaarse juhusliku protsessi tõenäosuslikud karakteristikud. Teiste sõnadega, ergoodilisuse  omadus  tähendab  seda,  et  statsionaarse  juhusliku  protsessi  faasikeskmised  võrduvad ajakeskmisega: 

∫ ∫∞

∞− −=⋅=

T

dttxTT

dxtxfxtEX )(2

1lim),()( . 

Juhusliku protsessi sageduslikuks kirjeldamiseks kasutatakse spektraaltihedust. 

Statsionaarse  juhusliku protsessi  spektraaltiheduseks nimetatakse  funktsiooni S, mis määrab protsessi harmoonikute dispersiooni jaotustiheduse sõltuvalt sagedusest: 

∫= τωττπ

ω dkS XX )cos()(1)(         

Spektraaltiheduse integraal võrdub dispersiooniga: 

∫∞

=0

)( ωω dSD XX .                 

Spektraaltiheduse graafik 

 

Praktikas kasutatakse spektraalt‐e asemel normeeritud spektraaltihedust: X

XX D

S )()(

ωωσ =    

               

Tõenäosuslikud juhuslikud protsessid on statsionaarsed või mittestatsionaarsed. 

20 | P a g e  

 

Järelmõju järgi liigitatakse juhuslikke protsesse järgmiselt: 

sõltumatu  juurdekasvuga  juhuslikud  protsessid  –  protsessid,  milliseid  saab  adekvaatselt  kirjeldada ühemõõtmeliste jaotusseaduste abil 

lihtsad  Markovi  protsessid  –  protsessid,  milliseid  saab  ammendavalt  kirjeldada  kahemõõtmeliste jaotusseaduste abil 

keerukad  Markovi  protsessid  ‐  protsessid,  milliseid  saab  ammendavalt  kirjeldada  n‐mõõtmeliste jaotusseaduste abil (n>2) 

eriti keeruka  järelmõjuga protsessid – protsessid, milliseid on võimalik ammendavalt kirjeldada ainult lõpmatumõõtmeliste jaotusseaduste abil. 

18. Määramatud ja ebamäärased protsessid. 

 

Intervallis  määramatud  juhuslikud  protsessid  on  sellised  juhuslikud  protsessid,  mille  tõenäosuslike karakteristikute  kohta  on  teada  ainult  nende  võimalike  väärtuste  intervallid  või  pole  tõenäosuslikke karakteristikuid üldse teada. 

Näiteks,  kui  jaotusseadus  ei  ole  teada,  siis  võib  ette  anda  kõige  halvema  või  kõige  kahjulikuma jaotusseaduse. Kõige suurema entroopiaga on ühtlane jaotusseadus.  

Tavaliselt on teada ainult keskväärtuse ja dispersiooni (standardhälve) intervallid: 

)()()( tXtEXtX +− ≤≤                    

)()()( ttDt XXX+− ≤≤ σσ .                   

 

 

Väärtused asuvad etteantud vahemikes. 

 

 

 

Ebamäärased  protsessid  on  sellised  juhuslikud  protsessid,  mille  võimalike  väärtuste  ruum  on ebamäärane  ja/või  info protsessi  tõenäosuslike karakteristikute kohta on ebamäärane. Seejuures võib juhuslik protsess sisaldada deterministlikke, tõenäosuslikke ja määramatuid komponente. 

Näiteid. 

1.   Ebamäärane protsessi väärtuste ruum: 

)(~)( tAtX ∈ ,                      (4.58)  

kus  

},(,{)(~ txAtA μ=  ‐ ebamäärane ruum. 

21 | P a g e  

 

 

 

 

ebamäärane protsess 

 

2.  Ebamäärase protsessi keskväärtus 

Protsessi keskväärtuse kohta on teada kuuluvusfunktsioon: 

)},(,{)(~ tEXBtB EXEXEX μ=  

 

 Ebamäärase protsessi keskväärtus 

 

 

 

19.  Optimaalsed  determineeritud  süsteemid.  Kumerate  sihifunktsioonidega ülesanded. Vajalikud ja piisavad optimumitingimused. 

 

Optimaalse  süsteemi  all  mõistetakse  süsteemi,  mis  toimib  ja  areneb  teatud  kriteeriumi  või kriteeriumide  ja  lisatingimuste  suhtes  optimaalselt  või mille  struktuur  on  optimaalne.  Optimaalne süsteem on ideaal, mille poole tuleb püüda, kuid mida alati ei saavutata. 

Deterministlik  süsteem  on  selline  süsteem,  mille  kõik  elemendid  on  deterministlikud    ja  nende vahelised seosed on deterministlikud funktsioonid. Teisiti öeldes, deterministlikud süsteemid on need, mis ei sisalda mittedeterministlikke elemente ega seoseid ehk ei sisalda ühtki liiki juhuslikkust.  

Deterministlik  element  –  element,  mille  käitumine  on  rangelt  determineeritud.  Deterministliku elemendi käitumist on võimalik täpselt ette prognoosida. 

Deterministlik  funktsioon  on  sõltuvus,  kus  üks muutuja määrab  üheselt  kindlaks  teise muutuja  ehk funktsiooni argumendid määravad üheselt kindlaks funktsiooni väärtuse. 

 

Seega deterministliku süsteemi puhul: 

o väljundid on determineeritud suurused või protsessid 

o operaator on determineeritud funktsioon (vektorfunktsioon). 

o sisendid on determineeritud suurused või protsessid 

o olekumuutujad on determineeritud suurused või protsessid 

22 | P a g e  

 

 

Deterministliku süsteemi väljundeid on võimalik mineviku alusel täpselt ette ennustada.   

Näiteid:  kellad,  personaalarvutid,  päikesesüsteem,  täpsed  automaatsüsteemid  jt.  Neid  võib  teatud tinglikkusega lugeda deterministlikeks süsteemideks. 

 

Kuid väga rangelt deterministlikke süsteeme pole üldse olemas. 

 

Süsteem  Lihtne  Keerukas 

 

Determineeritud 

Süsteemid 

 

Akna riiv 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

Alajaama       projekt 

 

Personaalarvuti 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

Automaatikasüsteemid 

 

Kriitilisteks punktideks, kus võib asuda funktsiooni optimum, on: 

o punktid, kus on f(x) katkevuskoht 

o punktid, kus f(x) on pidev, kuid tuletis puudub 

o punktid, kus f’(x)=0. 

 

Kui x0 on sileda funktsiooni miinimumkoht, siis f’(x0)=0. 

Teoreem 

Selleks, et funktsioon omaks punktis x0 lokaalse ekstreemumi on vajalik, et f’(x0)=0. 

 

Teoreem 

Kui  f(x)  on  rangelt  ülespoole  kumer  funktsioon,  siis  ta  omab  ainult  ühe  lokaalse maksimumi, mis  on ühtlasi ka globaalseks maksimumkohaks. 

 

Teoreem 

Kui f(x) on rangelt allapoole kumer funktsioon, siis ta omab ainult ühe lokaalse miinimumi, mis on ühtlasi ka globaalseks miinimumkohaks. 

 

Teoreem 

Olgu f(x) allapoole kumer funktsioon ja grad f(x0)=0, siis x0 on miinimumkoht. 

Teoreem 

23 | P a g e  

 

Olgu f(x) ülespoole kumer funktsioon ja grad f(x0)=0, siis x0 on maksimumkoht. 

 

Rangelt  kumerate  funktsioonide  puhul  on  tingimus  grad  f(x0)=0  tarvilikuks  ja  piisavaks  miinimumi /maksimumi tingimuseks. 

20.  Funktsiooni  ja  keha  kumeruse  määrang.  Nõgusate  sihifunktsioonidega ülesanded. Vajalikud ja piisavad optimumitingimused. 

 

Allapoole kumer funktsioon 

Funktsiooni f nimetatakse kumeraks allapoole kui iga reaalarvu α  (0<α <1) 

ning iga 1x  ja  2x  korral kehtib võrratus: 

)()1()()1(( 2121 xfxfxxf ⋅−+⋅≤−+ αααα              

 

Kui kehtib range võrratus, siis nimetatakse funktsiooni rangelt kumeraks allapoole. 

 

Ülespoole kumer funktsioon 

Funktsiooni f nimetatakse kumeraks ülespoole kui iga reaalarvu α  (0<α <1) 

ning iga 1x  ja  2x  korral kehtib võrratus: 

)()1()()1(( 2121 xfxfxxf ⋅−+⋅≥−+ αααα              

 

Kui kehtib range võrratus, siis nimetatakse funktsiooni rangelt kumeraks ülespoole. 

 

Kui f(x) on allapoole kumer, siis –f(x) on ülespoole kumer ja vastupidi. 

 

Kehtib järgmine võrdus. 

))(min()(max xfxf −−=  

   

Optimumtingimused toodud eelmises punktis. 

21. Sadulpunkt. Minimaks ülesanded. 

24 | P a g e  

 

Punkti  (x0,  y0)  nimetatakse  funktsiooni  f(x,y)  sadulpunktiks,  kui  x0  on  selle  funktsiooni miinimumpunktiks ja y0 on maksimumpunktiks: 

)0,()0,0(),0( yxfyxfyxf ≤≤ .   

 

22. Sõltuvate muutujate elimineerimise meetod.  

Barjäärfunktsioonide meetod(selle kohta ei olnud konspektis sõnagi kirjas, ega leidnud ka kuskilt mujalt seda). 

 

Iga  võrrand määrab  ära  ühe muutuja  kui  sõltuva muutuja  teistest muutujatest.  Seega m  võrrandit määravad m sõltuvat muutujat. Valime sõltuvateks muutujateks  mxx ,...,1  ja sõltumatuteks muutujateks 

nm xx ,...,1+ . Siis võib võrrandisüsteemi  (5.14) asendada  järgmiste  funktsioonidega, mis üldjuhul võivad 

olla ilmutamata funktsioonid: 

 

),...,( 111 nm xxhx +=  

…………………..                    (5.15) 

),...,( 1 nmmm xxhx += . 

 

Viies need sõltuvused sihifunktsiooni (5.13), saame järgmise ilma lisatingimusteta ülesande: 

),...,),,...,(),...,,...,((min 1́111 nmnmmnm xxxxhxxhf ++ ,          (5.16) 

kus  mxx ,...,1  asemel on sõltuvused (5.15). 

 

Funktsioon  (5.16) optimeeritakse  sõltumatute muutujate  nm xx ,...,1+   järgi.  Seega  selle meetodi puhul 

sõltumatute  otsitavate  arv  väheneb. Alul oli  n  sõltumatut otsitavat, pärast  lisatingimuste  asendamist sõltuvustega jääb ülesandesse n‐m sõltumatut muutujat. 

Sihifunktsiooni gradiendi arvutamisel tuleb arvestada, et muutujad  mxx ,...,1  on sõltuvad suurused. 

 

Sihifunktsiooni gradient on järgmine vektor: 

nm xf

xfgradff

∂∂

∂∂

==∇+

,...,1

,                (5.17) 

 

kus gradiendi komponendid arvutatakse arvestades sõltuvaid muutujaid  mxx ,...,1 : 

25 | P a g e  

 

∑= ∂

∂+

∂

∂

∂∂

=∂∂ m

j ii

j

ji xf

xh

xf

xf

1)( .                  (5.18) 

 

Meetodi eeliseks on sõltumatute muutujate arvu vähenemine. 

Meetodi puudusteks on: 

1. vajadus korduvalt lahendada lisatingimuste võrrandisüsteemi (5.14), 

2. gradiendi arvutamine on keerukas, 

3. funktsioonid  mhh ,...,1  on üldjuhul ilmutamata funktsioonid. 

26 | P a g e  

 

25.  Mittelineaarse  planeerimise  Ulesannete  isearasused.  Gradient  ja gradientmeetodid. 

Funktsiooni gradient 

Funktsiooni gradient on vektor, mille koordinaatideks on  funktsiooni osatuletised vastavate muutujate järgi: 

nxf

xfgradff

∂∂

∂∂

==∇ ,...,1

                  (5.10) 

 

Gradient  näitab  suunda,  milles  funktsioon  kasvab  kõige  kiiremini.  Antigradient  näitab  funktsiooni väärtuste kõige kiirema vähenemise suunda. 

 

Gradiendi pikkus 

Gradiendi pikkus määratakse valemiga: 

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇n

i ixff

1

2

. 

 

Gradientmeetod 

 

Vaatleme ülesannet leida funktsiooni f miinimumkoht: 

),...,(min 1 nxxf . 

 

Ülesande lahendamise algoritm on järgmine: 

 

1.  Valitakse alglähend:   >=< 0100 ,..., nxxX  

2.  Arvutatakse funktsiooni gradient selles punktis: 

>∂

∂∂

∂=<

n

iii x

XfxXf

Xgradf)(

,...,)(

)(1

, 

kus I on iteratsiooni number. Alglähendi puhul i=0. 

3.  Lähendi optimaalsuse kontroll: 

kontrollitakse kas optimaalsustingimused on täidetud või kas gradiendi pikkus on piisavalt väike: 

27 | P a g e  

 

  ε≤)( iXgradf , 

  kus ε  on lubatud lahendusviga. 

  Jah korral ‐   punkt 5 

  Ei korral   punkt 4. 

4.  Leitakse uus lähend 

 gradf

xfsxx ii1

11/ ∂∂

= m  

  ………………….. 

 gradf

xfsxx n

nini∂∂

=/

m  

kus i on iteratsiooni number ja s sammu tegur (s>0), mille väärtus valitakse eksperimentaalselt. 

 

5.   Lõpp. 

 

Uue  lähendi  leidmisel  tuleb  kasutada märki miinus,  kui  soovime  leida  funktsiooni miinimumkohta  ja märki pluss, kui soovime leida maksimumkohta. Märk “‐“ tagab lähendi muutumise antigradiendi suunas ja märk “+” – liikumise gradiendi suunas. 

 

26. Trahvifunktsioonide meetod. Lagrange`i meetod 

 

Trahvifunk 

T                                                            Trahvifunk. graafik 

x 

 

28 | P a g e  

 

Kui muutujad  lähevad  lubatud piiridest välja, siis  lisatakse sihifunk‐le trahv, mis on seda suurem, mida suurem on rikkumine. Meetod sobib väga hästi võrratusekujuliste lisatingimuste arvestamiseks.  

Trahvifunktsioonide  kasutamine  halvendab  sageli  esinevate  optimeerimismeetodite  koonduvust,  kui optimeerimise algoritmid on küllaltki lihtsad. 

 

N: 

Vaatleme ül f(x1,...,xn) 

Lisatingimusel  nibxa iii ...1; =≤≤  

Kasutades trahvifunk võime ül formuleerida kujule 

)}...()...(min{ 11 nn xxTxxf +    

kus T (...) on trahvifunk: 

[ ]22

11 )(*)(*)...( iiiiiiii

n

in bxEaxExxT −+−Σ==

βα    

kus Ei on trahvitegur: 

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<→≥→

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<→≥→

=

ii

iii

ii

iii

bxbx

axax

10

10

β

α 

 

Ülesande optimaalsustingimused on järgmised: 

0=+ii x

Txf

δδ

δδ

       i=1...n 

Võrrandikujulisi lisatingimusi aitab arvestada järgmine trahvifunktsioon: 

( ) [ ])...(... 12

11 nj

m

jn xxgxxT=Σ=  

 

 

Lagrange 

Meetod  seisneb  selles,  et    ette  antud  tingimusliku  (piirangutega)  optimeerimisülesande  asemel lahendatakse piiranguteta ül 

 

Lagrange meetodi tuletamiseks vaatleme ühe vabadusastmega ülesannet: 

),(min 21 xxF                       (5.19) 

29 | P a g e  

 

lisatingimusel, et 

0),( 21 =xxg .                      (5.20) 

Vaatleme, et võrrand (5.20) määrab  1x  sõltuvana  2x : 

)( 211 xhx = .                      (5.21) 

Viime selle sõltuvuse tagasi võrrandisse (5.20). Siis muutub see võrrand samasuseks: 

0)),(( 221 ≡xxhg .                    (5.22) 

Samasuse korral on ka tuletis  2x  järgi võrdne nulliga: 

022

1

12

=+=dxdg

dxdx

dxdg

dxdg

.                  (5.23) 

Märgime, et 

2

1

2

1

dxdh

dxdx

= . 

Eeldame, et  

02

1 ≠dxdx

. 

 

Siis saame võrrandist (5.23): 

1

2

2

1

dxdgdxdg

dxdx

−= .                      (5.24) 

Viime sõltuvuse (5.21) ka sihifunktsiooni. Siis saame järgmise optimaalsustingimuse: 

22

1

12 dxdF

dxdx

dxdF

dxdF

+≡                     (5.25) 

Arvestades võrdust (5.24) saame: 

λ==

2

2

1

1

dxdgdxdF

dxdgdxdF

.                   

  (5.26) 

Seega võib ülesande optimaalsustingimused avaldada järgmisel kujul: 

30 | P a g e  

 

011

=−dxdg

dxdF λ                     

  (5.27) 

022

=−dxdg

dxdF λ                    

  (5.28) 

kus λ  on mingi konstant, mida nimetatakse Lagrange kordajaks. 

Nüüd  selgub,  et  selle  asemel,  et  lahendada  lisatingimusega  optimeerimisülesanne  (5.19)‐(5.20),  võib optimeerida järgmist funktsiooni ilma lisatingimusteta, sest nende ülesannete optimaalsustingimused on samad: 

),(),( 2121 xxgxxF λ−=Φ .                  (5.29) 

Funktsiooni  Φ   nimetatakse  Lagrange  funktsiooniks.  Funktsiooni  Φ   optimaalsustingimusteks  on võrrandid (5.26) ja (5.27).  

Seega võib ülesande (5.19)‐(5.20) asemel lahendada ülesande 

),,(min 21 λxxΦ                       (5.30) 

kusjuures λ  väärtus tuleb valida selline, et oleks täidetud lisatingimus (5.20). 

Uuemas  optimeerimisteoorias  on  tõestatud,  et  ülesandega  (5.19)‐(5.20)  on  ekvivalentne  ka  järgmine minmax‐ülesanne: 

),,(maxmin 21 λxxΦ ,                    (5.31) 

kus Lagrange funktsioon minimeeritakse  21,.xx  järgi ja maksimeeritakse λ  järgi. 

 

 

 

Vaatleme nüüd üldist lisatingimustega optimeerimisülesannet (5.13)‐(5.14). Selle ülesande lahendamine Lagrange meetodil toimub järgmise skeemi kohaselt: 

1. Koostada Lagrange funktsioon:

∑=

⋅−=Φm

jnjjn xxgxxf

111 ),...,(),...,( λ . (5.32)

2. Koostada optimaalsustingimused:

∑=

=∂∂

⋅−∂∂

=∂Φ∂ m

j ij

ii xg

xf

x 10λ , i=1,…,n; (5.33)

0),...,( 1 ==∂Φ∂

njj

xxgλ

, j=1,…,m. (5.34)

31 | P a g e  

 

3. Leida optimaalne lahend otsesel või kaudsel meetodil. Kaudse meetodi puhul leitakse optimaalne lahend optimaalsustingimuste (5.33)‐(5.34) lahendamise teel. 

Langrange meetod on kasutatav ka võrratusekujuliste lisatingimuste puhul (Kuhn‐Tuckeri tingimused). 

 

N: 

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

010042

02*4*52

02*2102

02*42

02*24

;;;);;;(;;;;;;0500

;;;010042510422min

432111

42144

3133

22122

12111

4321224321114321

4321224

23

22

21

432114321

24

23

22

21

=−+++==Φ

=−−−=Φ

=−−−=Φ

=−−−=Φ

=−−−=Φ

−−=Φ⇒=−+++

⇒=−+++−+−+−+−

xxxxg

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxgxxxxgxxxxFxxxxgxxxx

xxxxgxxxxxxxx

δλδ

λλδδ

λλδδ

λλδδ

λλδδ

λλ

 

050024

23

22

212

2

=−+++==Φ xxxxg

δλδ

 

32 | P a g e  

 

29. Monte­Carlo meetod. Juhuslike arvude tekitamine ja muundamine 

 http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method 

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_number_generator 

 

In  general, Monte  Carlo methods  are  used  in mathematics  to  solve  various  problems  by  generating suitable  random  numbers  and  observing  that  fraction  of  the  numbers  obeying  some  property  or properties.  The  method  is  useful  for  obtaining  numerical  solutions  to  problems  which  are  too complicated  to solve analytically. The most common application of the Monte Carlo method  is Monte Carlo integration. 

Interestingly, Monte Carlo  simulation methods do not generally  require  truly  random numbers  to be useful  ‐ for other applications, such as primality testing, unpredictability  is vital (see Davenport (1995) [3]). Many of the most useful techniques use deterministic, pseudo‐random sequences, making  it easy to  test and  re‐run simulations. The only quality usually necessary  to make good simulations  is  for  the pseudo‐random sequence to appear "random enough" in a certain sense.  

What this means depends on the application, but typically they should pass a series of statistical tests. Testing that the numbers are uniformly distributed or follow another desired distribution when a large enough number of elements of the sequence are considered is one of the simplest, and most common ones. 

Monte Carlo methods are useful in many areas of computational mathematics, where a lucky choice can find the correct result. A classic example is Rabin's algorithm for primality testing: for any n which is not prime, a random x has at least a 75% chance of proving that n is not prime. Hence, if n is not prime, but x says  that  it might be, we have observed at most a 1‐in‐4 event.  If 10 different random x say  that n  is probably prime when  it  is not, we have observed  a one‐in‐a‐million event.  In  general  a Monte Carlo algorithm of this kind produces one correct answer with a guarantee n is composite, and x proves it so, but another one without, but with a guarantee of not getting this answer when it is wrong too often ‐ in this case at most 25% of the time.