STATISTICAL METHODS FOR SAMPLE SIZE DETERMINATION

Kelompok 3 :Desri Maulina Sari

Ikes DwiastutiLhuri Dwianti Rahmartani

Siti Novy R

Estimasi Proporsi 1 populasi

Estimasi Proporsi Populasi

Proporsi yang sesungguhnya dari suatu populasi tetapi tidak diketahui besarnya, dinyatakan dengan P. distribusi sampel dari proporsi sampel ‘P’ didekati oleh distribusi normal dengan Mean : E(P), dan varian : Var (P) = P(1-P)/n

d dα/2 α/2

P

(Estimasi proporsi populasi)

Besaran“d” menunjukkan jarak, di kedua arah, dari proporsi populasi dan dapat dinyatakan sbb:

Besaran “z” merupakan angka dari standar error dari mean. Besaran “d” ini disebut presisi dan dapat dibuat sekecil yang diinginkan dengan cara memperbesar ukuran sampel n. dan jika nilai Z dipilih sebesar 1.96 maka 95% proporsi sampel akan jatuh diantara 1,96 standar Error dari proporsi populasi P, dimana standar error(SE) =

Namun, standard error ini adalah fungsi dari parameter populasi yang tidak diketahui P. Solusinya yaitu dengan mengubah persamaan dari rumus presisi, menjadi :

(1)

P tidak diketahui besarnya dalam populasi, memilih P sebesar 0,5 akan selalu memberikan nilai observasi yang cukup tanpa melihat besarnya nilai proporsi yang sesungguhnya. Dalam keadaan seperti itu rumus di bawah dapat dipergunakan untuk menduga proporsi populasi dalam jarak d persen dari nilai P yang sesungguhnya.

(1a)

(Estimasi proporsi populasi jika P = 0,5)

Contoh I.1.1Dinas kesehatan wilayah ingin mengetahui proporsi anak-anak di di wilayahnya yang sudah menerima imunisasi lengkap. Dengan anggapan bahwa akan dipilih sebuah simple random sample, berapakah jumlah anak yang harus diteliti agar pendugaaan estimasi yang dihasilkan akan jatuh dalam jarak 10% dibawah dan di atas proporsi yang sesungguhnya dengan kepercayaan sebesar 95%?

Solusi :

Dengan menggunakan rumus

n = (1,96)2(0,25)/(0,10)2 = 96,04 ≈ 97 dengan CI 95%

Angka ini juga bisa diperoleh pada tabel 1b , dimana untuk proporsi populasi selain 0,5 akan memerlukan besar sampel yang lebih kecil.

Selain itu dengan meningkatknya kepercayaan yang diiginkan, besar sampel yang dibutuhkan juga meningkat Seperti yang bisa dilihat pada tabel 1a-1c, jadi seperti hasil diatas bila CI 95% maka sampel minimal yang didapat adalah 97, sedangkan pada CI 99% dengan d= 0,10 sampel minimal yang dihasilkan adalah 167

Table 1b. Sample Size Necessary to Estimate P to Within d Absolute Percentage Points with 95% Cinfidence

dP

0,05 0,10 0,45 0,50

0,01

0,02

0,09

0,10 35 96

Local health department ingin melakukan pendugaan terhadap prevalensi tuberculosis pada anak-anak dibawah lima tahun didaerahnya. Berapa anak yang harus dimasukan dalam sampel sehingga angka prevalensi dapat diduga dalam presisi 5% diatas dan di bawah prevalensi yang sesungguhnya dengan tingkat kepercayaan 99%?

Solusi

Dari tabel 1a , CI = 99% P=0,5 d =0,05 maka n = 666 jika jumlah sampel ini di anggap terlalu besar maka P dikurangi menjadi 20% sehingga P = 0,2 maka n menjadi 427.

Bila sampel tersebut masih tidak memungkinkan mengingat biaya dan waktu sehingga dapat dilakukan dengan menurunkan CI menjdi 90% dengan d=0,05 dan P=0,2 maka di dapatkan n = 174

Contoh I.1.2

• Dalam Contoh I.1.1, perlu dicatat bahwa 97 adalah persyaratan jika "simple random sampling" yang akan digunakan. Namun, Simple Random Sampling jarang digunakan dalam sebuah survei lapangan. sebagai hasilnya, ukuran sampel akan dinaikan dari jumlah “design effect“.

• Sebagai contoh, jika Cluster Sampling digunakan, efek design-nya dapat diperkirakan sebesar 2. Ini berarti bahwa untuk mendapatkan presisi yang sama, 2 kali lebih banyak sampel (individu) dengan cluster sampling dibandingkan dengan menggunakan simple random sampling. Maka, sampelnya menjadi 184 individu.

Table 1c. Sample Size Necessary to Estimate P to Within d Absolute Percentage Points with 90% Cinfidence

dP

0,05 0,10 0,20 0,45 0,50

0,01

0,05 173

0,10

Suatu pengobatan baru telah menyembuhkan 3 diantara 10 kasus penyakit yang sebelumnya merupakan penyakit yang berbahaya. Berapa jumlah kasus yang harus diobati dengan 95% tingkat kepercayaan bahwa tingkat penyembuhan obat tersebut berkisar antara 25% dan 35%?

Penyelesaian:

Dalam tabel 1b dengan melihat kolom P=0,30 dan baris d= 0,05, dapat diketahui bahwa besar sampel yang diperlukan adalah 323 kasus

Contoh I.1.3

Table 1b. Sample Size Necessary to Estimate P to Within d Absolute Percentage Points with 95% Cinfidence

dP

0,05 0,10 0,30

0,01

0,02

0,05 323

Estimasi proporsi interval populasi

Tampak reasonable, untuk estimasi P dengan Presisi relative 10% daripada dengan presisi absolute 10%.

misalnya, jika proporsi yang benar divaksinasi adalah 0,20, strategi yang digunakan dalam contoh di atas akan menghasilkan perkiraan jatuh antara 0,10 dan 0,30 pada 95 dari setiap 100 sampel yang diambil dari populasi. sebaliknya, jika kita membutuhkan estimasi jatuh dalam 10% (presisi relative) dari 0,20, kita akan menemukan bahwa 95 dari setiap 100 sampel akan menghasilkan perkiraan antara 0,20 + 0,1 (0,20) = 0,22 dan 0,20 - 0,1 (0,20) = 0,18.

Pada contoh tsb, dpt dikatakan bahwa

dan, jika membagi kedua sisi dengan P, kita memperoleh hasil yang mirip dengan yang disajikan di atas untuk diperoleh, yaitu

Perhatikan informasi yang diberikan pada contoh 1.1.1 hanya sekarang kita akan menentukan besar sample yang diperlukan untuk menduga proporsi anak yang sudah divaksinasi di populasi didalam interval 10% dari nilai sesungguhnya (bukan 10 persen absolut)

Solusi

Dalam contoh ini, dengan mengandaikan P = 0,5 dan menggunakan rumus (2) maka :

N = [(1,96)2 (0,5)]/[(0,10)2(0,5)] = 384,16

Jadi diperlukan 385 anak sebagai sampel agar dicapai tingkat kepercayaan 95% bahwa estimasi yang dihasilkan akan jatuh pada nilai antara 0,45 dan 0,55. Angka ini juga bisa diperoleh di tabel 2b didalam kolom berkepala 0,50 dan pada baris berkepala 0,10. Perhatikan bahwa sampel yang jauh lebih besar yang besarnya 385 diperlukan untuk menduga P dalam jarak 1% dari nilai P sesungguhnya, dibandingkan sampel yang berukuran 97 yang diperlukan sebelumnya untuk menduga P dalam jarak 10%.

Contoh I.1.4

Berapakah besar sampel yang diperlukan untuk menduga proporsi kehamilan pada populasi yang memanfaatkan perawatan prenatal dalam trimester pertama kehamilan dengan presisi relatif 5% dari proporsi sesungguhnya dengan tingkat kepercayaan 95%. Diperkirakan bahwa proporsi wanita yang memanfaatkan perawatan seperti itu adalah 25% sampai dengan 40%.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan tabel 2b jika P= 0,25; ε = 0,05; n= 4610 wanitaJika P= 0,30; ε = 0,05; n= 3586 wanitaJika P= 0,35; ε = 0,05; n= 2854 wanitaJika P= 0,40; ε = 0,05; n= 2305 wanita

Oleh karena itu, penelitian ini harus dirancang dengan besar sampel sekitar 4610 untuk memenuhi tujuan penelitian. Namun, jika angka ini terlalu besar. Dapat digunakan sampel yang lebih kecil dengan akibat berkurangnya presisi atau tingkat kepercayaan atau keduanya.

Contoh I.1.5

PENGUJIAN HIPOTESIS UNTUK PROPORSI 1 POPULASI(One-tailed)

Misalnya kita akan menguji hipotesis : Ho : P=P0

Versus hipotesis alternative : Ha: P>P0

kita akan menyatakan P yang sesungguhnya dipopulasi dengan Pa. ini akan bisa disajikan secara grafik seperti yang ditampilkan dalam gambar 2 ;

Dalam gambar ini, untuk distribusi sampel yang berpusat pada Po (yaitu ditribusi yang berlaku jika hipotesis nol benar) titik “c” menunjukan batas atas dari ke 100 (α) persen dari distribusi p :

Po PaC

αβ

Area dimana kita menolak HoArea dimana kita gagal menolak Ho

Dalam gambar tsb, untuk distribusi sampel yang berpusat pada Po (yaitu ditribusi yang berlaku jika hipotesis nol benar) titik “c” menunjukan batas atas dari ke 100 (α) persen dari distribusi p :

dan

 Untuk mendapatkan n, kita mengatur kedua sisi tersebut sama

atau

Oleh karena itu : besar sampel yang diperlukan, untuk hipotesis satu sampel ditentukan dengan rumus :

PENGUJIAN HIPOTESIS UNTUK PROPORSI POPULASI TUNGGAL

Selama masa wabah tetanus neonatorum yang virulen, petugas kesehatan menginginkan untuk menetukan apakah prevalensinya turun setelah sebelumnya naik sampai pada tingkat 150 kasus per 1000 kelahiran hidup. Berapakah besar sampel yang diperlukan untuk menguji Ho : P = 0,15 pada α=0,05 bila diinginkan untuk mempunyai 90% kemungkinan dapat mendeteksi angka kesakitan 100 per 1000 jika ini merupakan proporsi yang sesungguhnya?

Solusi

Dengan menggunakan rumus 3 akan diperoleh :

N = {1,645 √[(0,15) (0,85)] + 1,282 √[(0,10)(0,90)]2/(0,05)2 = 377,90

Jadi sampel sebesar 378 kelahiran hidup harus diambil. Cara lain untuk mengetahui besar sampel ini adalah dengan melihat pada tabel 3d dengan Po =0,15, Pa = 0,10 α=0,05 dan β = 0,10 (kekuatan uji yang diinginkan adalah 90%). Dalam tabel itu kita menemukan bahwa diperlukan sampel sebesar 378. Perhatikan bahwa semakin jauh Pa dari Po, besar sampel yang diperlukan semakin kecil.

Contoh I.1.6

Contoh I.1.7

Dalam survei yang dilakukan sebelumnya, diketahui bahwa angka prevalensi karies gigi pada anak sekolah di suatu daerah adalah 25%. Berapa jumlah anak sekolah yang harus diteliti dalam survei yang akan dilakukan bila diinginkan 8% keyakinan bahwa prevalensinya adalah 20% atau kurang dengan tingkat kemaknaan 0,05?

Penyelesaian :

Dengan menggunakan tabel 3e, pada baris Pa = 0,20 dan pada kolom Po = 0,25, dapat dilihat bahwa 441 anak harus diteliti.

Table 3e. Besar Sampel untuk Uji Proporsi Satu Sampel(Tingkat kemaknaan : 5%; kekuatan : 80%; Hipotesis alternatif : 1 sisi)

PaPo

0,05 0,10 0,25 0,50

0,10

0,15

0,20 441

0,50

menolak HoGagal menolak Ho

αβ

Po PaC

Ho ditolak jika p yang diamati, terlalu besar atau terlalu kecil. Kita menentukan daerah α/2 pada tiap ekor pada distribusi sampel dibawah Ho, kekuatan uji digambarkan sebagai daerah dibawah distribusi yang berpusat pada Pa yang jatuh pada daerah penolakan. Akan tetapi, harus dicatat bahwa jika Pa lebih besar daripada Po , probabilitas bahwa proporsi sampel dari distribusi yang berpusat pada Pa jatuh pada daerah kritis sebelah kiri dari distribusi sampel yang berpusat di Po akan menjadi sangat kkecil. Dilain pihak, bila gambar itu dibalik dan Pa lebih kecil daripada Po maka probabilitas bahwa proporsi yang disampel dari distribusi yang berpusat pada Pa jatuh pada daerah sebelah kanan dari distribusi sampel yang berpusat pada Po akan menjadi sangat kecil.

PENGUJIAN HIPOTESIS UNTUK PROPORSI 1 POPULASI(two-tailed)

menolak Ho

Rumus menghitung n untuk uji hipotesis proporsi 1 populasi (two-tailed)

• Pada pengujian hipotesis 1 sampel dengan 2-tailed, kita tidak bisa yakin apakah Pa lebih besar daripada Po.

• Untuk menentukan besar sampel yang adekuat, perhitungan n dua kali :

I. dengan Pa lebih besar dari Po dengan selisih yang ditentukan.

II. Dengan Pa lebih kecil dari Po dengan selisih yang sama

• Besar sampel yang dipergunakan adalah angka yang lebih besar dari kedua angka yang diperoleh tersebut.

Misalnya angka keberhasilan perawatan bedah untuk suatu penyakit jantung dilaporkan dalam literatur sebesar 0,70. Suatu perawatan baru diusulkan, dan diduga mempunyai tingkat keberhasilan yang sama dengan perawatan bedah . sebuah rumah sakit yang tidak memiliki fasilitas perawatan bedah dan dokter ahli yang memadai telah menetapkan untuk menggunakan metode perawatan baru ini terhadap semua pasien dengan diagnose penyakit jantung tersebut. Berapa jumlah pasien yang harus diteliti untuk menguji Ho : P =0,70 melawan Ha : P ≠ 0,70 pada tingkat kemaknaan 0,05 jika diinginkan untuk mendapatkan kekuatan (power) uji 90% untuk mendeteksi perbedaan proporsi keberhasilan sebesar 10 persen atau lebih?

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus (4) pertama-tama kita menetapkan bahwa Pa 10% lebih besar daripada Po (artinya Pa=0,8)

n = [1,96 √ {(0,7)(0,3)} + 1,282√{(0,8)(0,2)}]2/[0,1]2 = 199,09

Jadi dibutuhkan sebuah sampel sebesar 200 pasien. Dengan cara yang sama, karena nilai Pa bisa 10% lebih kecil daripada Po dilakukan perhitungan dengan menggunakan Pa = 0,6

n = [1,96 √ {(0,7)(0,3)} + 1,282√{(0,6)(0,4)}]2/[0,1]2 = 232,94

Jadi dengan mengambil angka yang terbesar dari kedua perhitungan tersebut diatas, kita membutuhkan 233 pasien untuk diteliti dengan metode perawatan yang baru. Angka ini dapat diperoleh secara langsung dengan menggunakan tabel 4d pada kolom yang sesuai dengan 1-P = 0,3 dan pada baris yang sesuai dengan | Po-Pa | = 0,10

Contoh I.1.8

Table 4d. Sample size for one-sample Test of Proporsi(Tingkat kemaknaan : 5%; kekuatan : 90%; Hipotesis alternatif : 2 sisi)

| Po-Pa | Po

0,05 0,10 0,30 0,50

0,01

0.02

0,10 233

Menurut data yang dikeluarkan oleh suatu Dinas Kesehatan Tingkat II, proporsi pasien yang melakukan pemeriksaan kehamilan pada trimester pertama adalah 40%. Petugas kesehatan di kabupaten lain tertarik untuk membandingkan keberhasilan mereka dalam pelayanan perawatan kehamilan dengan data tersebut di atas. Berapa ibu yang harus diteliti untuk menguji Ho: P= 0,40 melawan Ha: P 0,40 agar kita memiliki tingkat kepercayaan 80% untuk mendeteksi perbedaan sebesar 5% dengan α = 0,05?

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus (4) pertama-tama kita menetapkan bahwa Pa 5% lebih besar daripada Po (artinya Pa=0,45)

n = [1,96 √ {(0,4)(0,6)} + 0,842√{(0,45)(0,55)}]2/[0,05]2 = 760,76

Jadi dibutuhkan sebuah sampel sebesar 761 pasien. Dengan cara yang sama, karena nilai Pa bisa 5% lebih kecil daripada Po dilakukan perhitungan dengan menggunakan Pa = 0,35

n = [1,96 √ {(0,4)(0,6)} + 0,842 √{(0,35)(0,65)}]2/[0,05]2 = 741,81

Jadi dengan mengambil angka yang terbesar dari kedua perhitungan tersebut diatas, kita membutuhkan 761 pasien untuk diteliti dengan metode perawatan yang baru. Angka ini dapat diperoleh secara langsung dengan menggunakan tabel 4e pada kolom yang sesuai dengan Po = 0,40 dan pada baris yang sesuai dengan | Po-Pa | = 0,05

Contoh I.1.9

Table 4e. Sample size for one-sample Test of Proporsi(Tingkat kemaknaan : 5%; kekuatan : 80%; Hipotesis alternatif : 2 sisi)

| Po-Pa | Po

0,05 0,10 0,40 0,50

0,01

0,02

0,05 761

0,10