(Diskrétní) Fourierova transformace

Obsah

Úvod 2

1 Fourierova transformace 31.1 Fourierova řada periodické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Globální charakter transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Transformace náhodných procesů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 Souvislost s Laplaceovou transformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Diskrétní transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Maticové vyjádření transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Zobecnění pro dva rozměry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Fyzikální aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Přenos soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Difrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Reciproká mřížka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Zobrazení čočkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.5 Relace neurčitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Fourierova transformace ve zpracování obrazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Rychlé algoritmy 172.1 Algoritmus Cooleyho a Tukeyho – redukce času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Algoritmus s redukcí kmitočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Sloučený algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Algoritmus FFT s prvočíselným rozkladem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Algoritmy v konečných okruzích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Seznam použité literatury 21

Seznam obrázků

1 Vliv diskretizace na spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Difrakce na čtvercovém a kruhovém otvoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Optické schéma difrakční aparatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Fourierova transformace čtverce 5×5 bodů – Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6c© 11. prosince 2003

1

Úvod

V praxi je často výhodné (teoreticky i experimentálně) používat harmonických funkcí exp(ıωt), neboťjsou snadno prakticky realizovatelné (resp. jejich imaginární či reálná část) a mají výhodné matematickévlastnosti (zvláště vzhledem k derivaci a integrování). Ukazuje se, že za dosti širokých podmínek lzekaždou funkci vyjádřit jako součet či integraci harmonických funkcí, ovšem každé s jinou váhou a fázo-vým posuvem (zpravidla jsou obě hodnoty zahrnuty do komplexní váhové funkce). Váhová funkce tedyudává, jaké frekvence ω je nutno použít v superpozici, aby bylo možno z harmonických funkcí zpětněsestavit původní funkci. Právě tato váhová funkce (spektrum) bývá označována jako (trigonometrická)Fourierova transformace (FT).Definiční vzorec pro FT je integrálem a pro praktickou realizaci není příliš vhodný:

• jeho analytické řešení existuje jen v omezeném počtu případů a je nutno jej tedy řešit numericky(tedy přechodem nekonečný integrál → konečná sumace),

• v případě počítačového zpracování nemáme spojitou funkci, ale jen její hodnoty v diskrétních vzor-kovacích okamžicích.

Z těchto důvodů se definuje diskrétní Fourierova transformace (DFT), která je již polynomem a jejímivstupy a výstupy jsou posloupnosti hodnot. Nevýhodou této definice je její značná časová náročnost, kterároste se čtvercem délky vstupní posloupnosti. Proto byl vypracován algoritmus, který vychází z vlastnostíexponenciálních diskrétních funkcí a výrazně snižuje potřebnou dobu výpočtu. Tento algoritmus je zvykemnazývat rychlá Fourierova transformace (FFT – Fast Fourier Transform).Fourierova transformace se ukázala být účinnou metodou zpracování různých signálů. Často je vy-

užíváno její vlastnosti převodu konvoluce na násobení, což umožňuje u některých soustav zavést tzv.přenosovou (frekvenční) funkci, která vhodným způsobem charakterizuje dynamické vlastnosti soustavy.Metoda umožňuje provádět frekvenční filtraci, tedy odstraňovat ze signálu části s různými frekvencemi,což může např. snížit úroveň šumu v signálu. Operace ve frekvenční oblasti mohou upravovat obrazytakovým způsobem, aby např. došlo ke zvýraznění hran, k odstranění „proužkováníÿ či ke zvýrazněníněkterých struktur v obraze.Výrazným uplatněním FT je také skutečnost, že mnohé fyzikální jevy mohou být aproximovány právě

Fourierovou transformací. V optice se jedná o jevy difrakce v tzv. Fraunhofferově aproximaci, zobrazenítenkou čočkou do ohniskové roviny a další. Zde umožňuje FFT výrazné zjednodušení práce, neboť nenítřeba sestavovat optické aparatury, ale stačí pouze použít kameru a nasnímat např. difrakční clonu. Tentozpůsob navíc umožňuje snadnou archivaci výsledků a další zpracování obrazu počítačem.Teoreticky lze aparát Fourierovy transformace zobecnit tím, že nebudeme jako „bázovéÿ funkce uva-

žovat jen exponenciální funkce, ale libovolný systém funkcí, které splňují několik podmínek (předevšímúplnost). Tyto zobecněné Fourierovy transformace mohou mít velmi různorodé vlastnosti, které lzevyužít v množství aplikací. Jako příklad tohoto zobecnění lze uvést např. vlnkovou transformaci, která vy-užívá systém funkcí, odvozený od základní funkce pomocí posunutí a změny měřítka. V této transformacidochází k transformaci jednorozměrného prostoru do dvourozměrného prostoru, který má tentýž fyzikálnírozměr. Tímto se liší od Fourierovy transformace, která převádí např. prostor s fyzikálním rozměrem [m]do prostoru [m−1].

2

1 Fourierova transformace

Fourierova transformace je matematická metoda, která je úspěšně použitelná k analyzování obrazů(signálů). V obecném případě se jedná o vyjádření funkce popisující obraz v jiných proměnných pomocíintegrální transformace (v podstatě vyjádření funkce v jiné bázi). Ve speciálním případě se uvažujetzv. trigonometrická Fourierova transformace, která za bázové funkce pokládá sin(kt), cos(kt) nebov komplexním tvaru exp(ıkt), kde k je celé číslo v případě Fourierovy řady nebo reálná proměnná v případěFourierovy transformace.

1.1 Fourierova řada periodické funkce

Nejjednodušší odvození Fourierovy transformace vychází z tzv. Fourierovy řady periodické funkce[1], jejíž motivaci lze nalézt ve skládání anizochronních harmonických kmitů téhož směru s takovýmifrekvencemi, aby výsledná funkce mohla být periodická, tedy T1 = nTn, kde n je celé číslo. Funkce danátouto superpozicí bude mít tvar

f(t) = B0 +∞∑

n=1

An sin(nω1t) +∞∑

n=1

Bn cos(nω1t), (1)

kde An, Bn jsou koeficienty tvořící tzv. spektrum funkce f(·).

Koeficienty Fourierovy řady Nejprve budeme uvažovat funkci periodickou na intervalu 〈0, T1〉 abudeme předpokládat platnost výše uvedeného rozvoje pro nějakou kombinaci koeficientů An, Bn. Oběstrany rovnosti vynásobíme funkcí sin(mω1t) a prointegrujeme přes interval délky T1 = 2π

ω1. Dostaneme

rovnici ∫ T1

0f(t) sin(mω1t) dt = B0

∫ T1

0sin(mω1t) dt+

∞∑n=1

An

∫ T1

0sin(mω1t) sin(nω1t) dt

+∞∑

n=1

Bn

∫ T1

0sin(mω1t) cos(nω1t) dt

a využitím ortogonality funkcí 1, sin, cos dostaneme∫ T1

0f(t) sin(mω1t) dt =

AmT12

.

Podobně postupujeme při určení koeficientů Bn a tím získáme vztahy

Am =2T1

∫ T1

0f(t) sin(mω1t) dt, (2)

Bm =2T1

∫ T1

0f(t) cos(mω1t) dt, (3)

B0 =1T1

∫ T1

0f(t) dt. (4)

Fourierovu řadu můžeme vyjádřit také v komplexním tvaru, vezmeme-li do úvahy Eulerovy vztahypro funkce cos(x), sin(x), exp(ıx), jako

f(t) =∞∑

n=−∞Cn exp(ınω1t), (5)

kde pro koeficienty Cn platí vztah

Cn =2T1

∫ T1

0f(t) exp(−ınω1t) dt. (6)

3

Podmínky platnosti rozvoje Vyjádření periodické funkce pomocí řady (1) je pouze formální. Nenízaručeno, že limita posloupnosti částečných součtů této řady v bodě t0 se bude skutečně rovnat f(t0).Lze pouze tvrdit: konverguje-li řada (1) stejnoměrně na intervalu 〈0, T1〉 k funkci f(t), pak je tato funkcena intervalu spojitá a pro koeficienty An, Bn platí vztahy (2,3). (Je možno sestrojit funkce, jejichž Fou-rierova řada nekonverguje v žádném bodě.) Nás však zajímá opačný problém – kdy k funkci f(t) existujeFourierova řada. Aby bylo možno funkci f(t) vyjádřit řadou, musí splňovat např. tzv. Dirichletovy pod-mínky:

1. f(t) je na intervalu 〈0, T1〉 ohraničená,

2. f(t) má na intervalu 〈0, T1〉 nejvýš konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu,

3. f(t) má na intervalu 〈0, T1〉 alespoň jednu z těchto vlastností:

(a) má konečný počet bodů ostrého lokálního extrému,

(b) je po částech monotónní,

(c) je po částech hladká.

Jestliže funkce f(t) tyto podmínky splňuje, pak v každém bodě spojitosti ji lze rozvinout v řadu (1)tak, že je f(t) součtem této řady a v každém bodě t0 nespojitosti prvního druhu je součet této řadyroven 12 ( lim

t→t0+f(t)+ lim

t→t0−f(t)). Dirichletovy podmínky jsou však pouze postačující, nikoliv nutné. Exis-

tují funkce, které tyto podmínky nesplňují a přesto jim přiřazená Fourierova řada konverguje tak, žejejím součtem je rozvíjená funkce. Lze nalézt množství podmínek konvergence a také uvažovat více typůkonvergencí [1,2,4].

1.2 Fourierova transformace

Výraz pro Fourierovu transformaci můžeme odvodit z Fourierovy řady provedením limitního procesuT1 →∞, tedy zvolením nekonečné doby periody, čímž umožníme využití této metody i pro signály, kterénejsou periodické [1].Dosadíme-li do řady (1) vzorce pro koeficienty (2,3), využitím základních trigonometrických vztahů

(pro cos(τ − t)) dostaneme1

f(τ) =1T1

∫ T12

−T12

f(t) dt+2T1

∞∑n=1

∫ T12

−T12

f(t) cos(nω1(τ − t)) dt. (7)

Budeme-li uvažovat pouze funkce absolutně integrovatelné na celé reálné ose(∫∞−∞ |f(t)| dt < ∞), pak první člen bude mít v limitě pro T1 → ∞ nulovou hodnotu. V druhém členumáme aritmetickou posloupnost nω1 s konstantní diferencí ω1. Označíme-li nω1 = ω a ∆ω = ω1 = 2π

T1,

dostaneme1π

∞∑n=1

(∫ T12

−T12

f(t) cos(ω(τ − t)) dt

)∆ω.

Výraz sumace vyjadřuje v limitě T1 →∞ integrální součet a rovnice (7) přejde ve dvojný integrál

f(τ) =1π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) cos(ω(τ − t)) dtdω. (8)

Dosadíme-li do (8) podle Eulerova vzorce za funkci cos, dostaneme konečný výraz pro Fourierův integrál

f(τ) =12π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f(t)eıω(τ−t) dt

]dω. (9)

1Dále budeme uvažovat interval rozkladu funkce symetricky položený kolem nuly.

4

Tento vztah se dá zapsat v symetrickém tvaru jako

f(τ) =1√2π

∫ ∞

−∞

[1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−ıωt dt

]eıωτ dω.

Výraz uvnitř hranaté závorky považujeme za Fourierovu transformaci funkce f(t) a zbylá část vztahuudává inverzní Fourierovu transformaci :

F (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−ıωt dt = F{f(t)}, (10)

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω)eıωt dω = F−1{F (ω)}. (11)

Podmínky existence obrazu Při odvozování (limitním přechodu) Fourierova integrálu byly použitypředpoklady o integrovatelnosti funkce f(t) a o její rozvinutelnosti ve Fourierovu řadu na každém inter-valu 〈a, b〉 (tedy vyhovuje Dirichletovým podmínkám), přičemž se předpokládalo, že integrál vyjadřujefunkci f(t) ve všech bodech spojitosti. Fourierova transformace však může existovat i k funkcím, kterétyto podmínky nesplňují. Navíc je možno definovat Fourierovy obrazy i k distribucím; tyto však nemusísplňovat některé dále uvedené vlastnosti (např. F{δ(t)} = const., což nesplňuje podmínku nulovosti proω →∞).

Poznámka: V literatuře je možno najít více definic transformace, které se liší koeficientem 2π. Dříveuvedený vztah je v symetrizovaném tvaru, ale je možno přiřadit buď celou hodnotu 2π jednomu z integrálů(u druhého nebude žádná konstanta), nebo 2π přesunout do exponentu integrandu (pak jsou bez konstantoba integrály). Rozdíly v definicích se mohou promítnout do dalších vztahů (např. Parsevalovy věty).

1.2.1 Základní vlastnosti

Pro praktické využití Fourierovy transformace jsou důležité její následující vlastnosti [1,9]:

Linearita Z vlastností integrálu plyne vztah

F{af(t) + bg(t)} = aF{f(t)}+ bF{g(t)}

pro libovolné a, b (i komplexní), z čehož plyne linearita Fourierovy transformace.

Změna měřítka a posun v čase Je-li v argumentu funkce f(t) provedena změna měřítka, pak platí(pro a 6= 0)

F{f(at)} = 1|a|F (ω

a).

Provedeme-li v argumentu posunutí τ , pak pro obraz platí

F{f(t− τ)} = F{f(t)} × e−ıωτ .

Modulační věta Je-li posunutí τ provedeno ve spektrální oblasti, pak platí

F (ω − τ) = F{f(t)eıτt},

tedy posunutí se projeví modulací.

Dualita transformace Pro dvojnásobné užití Fourierovy transformace platí

F{F{f(t)}} = f(−ω),

kde je nutno po provedení první transformace formálně zaměnit ω za t.

5

Derivace originálu Má-li funkce f(t) na každém intervalu konečné délky derivaci ve smyslu abso-lutně spojité funkce f ′(t) a obě tyto funkce jsou lebesgueovsky integrovatelné (popř. obě v kvadrátu)na intervalu 〈−∞,∞〉, pak platí

F{f ′(t)} = ıωF{f(t)},

tedy operace derivování v originálu přechází na násobení v obraze. Opětovným použitím lze odvoditvztah i pro vyšší derivace (n-tého řádu), v němž je výraz ıω nahrazen (ıω)n.

Derivování obrazu Nechť jsou funkce f(t) a tf(t) lebesgueovsky integrovatelné (popř. obě v kvadrátu),pak platí

F{tf(t)} = ı (F{f(t)})′ ,

tedy derivování obrazu přechází v násobení originálu t. Obdobně pro vyšší řády derivace se vyskytnouvztahy ın,tnf(t).

Integrace originálu Existují-li Fourierovy transformace funkcí f(t),∫f(t) dt, pak

F{∫ t

−∞f(τ) dτ

}=1ıωF{f(t)},

tedy integrace v obraze přejde v dělení výrazem ıω, pro n-násobnou integraci se vyskytuje násobení (ıω)n.

Obraz reálné funkce Je-li funkce f(t) reálná a jestliže k ní existuje její Fourierův obraz F (ω), pakplatí pro komplexní sdružení

F (ω) = F ∗(−ω).

Obraz konvoluce a součinu Nechť jsou funkce f(t), g(t) integrovatelné na intervalu (−∞,∞), pakpro obraz konvoluce těchto funkcí platí

F{∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ) dτ

}= F{f(t)} × F{g(t)},

tedy konvoluce originálů je ekvivalentní násobení obrazů. Obdobně pro součin funkcí f(t)g(t) platí

F{f(t)g(t)} =∫ ∞

−∞F (τ)G(ω − τ) dτ.

Parsevalova věta Je-li f(t) absolutně integrovatelná a omezená pro skoro všechna t, pak∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt =

∫ ∞

−∞|F (ω)|2 dω.

Limitní vlastnosti Je-li∫∞−∞ |f(t)| dt <∞, pak pro Fourierův obraz F (ω) platí

limω→∞

F (ω) = 0.

Periodizace funkce Mějme funkci f(t) a vytvořme z ní periodickou funkci f̃(t) =∑∞

n=−∞ f(t−nT1).Pro obraz této funkce platí

F{f̃(t)} =∞∑

n=−∞F{f(t− nT1)} =

∞∑n=−∞

F{f(t)}e−2πıνnT1 .

Použijeme-li vztahu∞∑

i=−∞e2πıij =

∞∑i=−∞

δ(j − i),

6

kde δ(·) je Diracova distribuce, dostaneme výsledný vztah

F{f̃(t)} = F{f(t)}∞∑

i=−∞δ(ν − nT1),

tedy výsledkem periodizace originálu je diskretizace jeho spektra (tato vlastnost plyne i ze způsobu od-vození Fourierovy transformace z Fourierovy řady). Popsaný způsob umožňuje vůbec formálně zavéstFourierův obraz periodické funkce, neboť periodická funkce nemůže splňovat podmínku absolutní inte-grovatelnosti.Vztah platí i obráceně, diskretizací originálu získáme periodické spektrum (tvořené posloupností δ-

funkcí).

Princip neurčitosti Uvažujme funkci f(t) se spojitou derivací (pro jednoduchost) a nulovou pro do-statečně vysoké abs. hodnoty t. Disperze této funkce vzhledem k bodu a je dána vztahem Df (a) =∫∞−∞ (t− a)2|f(t)|2 dt. Hodnotu a, pro kterou je Df (a) minimální, nazýváme střední argument funkcef . Nechť dále je b střední argument Fourierovy transformace funkce f(t) a předpokládejme a = b = 0.Uvažujme funkci parametru τ

I(τ) =∫ ∞

−∞|tf(t) + τf ′(t)|2 dt,

kterou rozepsáním, integrací per partes a použitím Parsevalovy rovnosti pro f ′(t) upravíme do tvaru

I(τ) = Df (0)− τ‖f‖2 + τ2DF (0) ≥ 0.

Diskriminant tohoto výrazu musí být nekladný:

‖f‖4 − 4Df (0)DF (0) ≤ 0,

z čehož plyne pro normovanou funkci f(t)

Df (0)DF (0) ≥14, (12)

vyjádřeno slovně : čím více je funkce f(t) soustředěna kolem středního argumentu, tím méně je soustředěnaokolo svého středního argumentu její Fourierova transformace F (ω).

1.2.2 Příklady

Pro ilustraci charakteru Fourierovy transformace bude v tomto oddíle uvedeno pár příkladů (bez prů-běžných výpočtů).

Diracova δ-funkce Hledejme obraz funkce, která vytváří nekonečně tenký impuls, který má ovšemkonečnou plochu (správněji bychom měli uvažovat distribuci). Takováto funkce má definiční předpisδ(0) =∞ a δ(t) = 0 pro t 6= 0, přičemž platí

∫Lδ(t)f(t) dt = f(0), kde f(·) je libovolná funkce a integrační

interval L obsahuje bod t = 0. Fourierovu transformaci δ-funkce můžeme lehce spočítat z uvedenéhointegrálního vztahu:

F{δ(t)} = 1√2π

∫ ∞

−∞δ(t)e−ıωt dt =

1√2πe−ıωt

∣∣t=0=1√2π. Obraz δ-funkce

Výsledek lze interpretovat tak, že přesně lokalizovaný impuls je rozprostřen v celé frekvenční oblasti. Tomá závažný důsledek v tom, že frekvenční filtrace je nevhodná k odstraňování impulsního šumu.

Konstantní funkce K analýze spektra konstantní funkce využijeme předchozí výsledek a sudost δ-funkce, dualitu a linearitu transformace a rozepsání funkce f(t) = konst. = k = k · 1. Jednoduchývýpočet dává

F{k} = kF{1} =√2πkδ(ω). Obraz konstanty

7

Jednotkový skok Důležitou (teoretickou) funkcí v mnoha oblastech je jednotkový skok s předpisemη(t) = 0 pro t ≤ 0 a η(t) = 1 pro t > 0, který např. umožňuje stanovovat odezvy systémů při přecho-dových jevech (připojení stejnosměrného napětí apod.). Jeho Fourierovu transformaci lze odvodit přímoz definičního vzorce nebo z poznatku, že pro skok platí η(t) =

∫ t

−∞ δ(τ) dτ a tedy z vlastnosti o integracioriginálu plyne

F {η(t)} = F{∫ t

−∞δ(τ) dτ

}=1ıωF{δ(t)} = 1

ı√2πω

. Obraz jednotkovéhoskoku

Gaussova funkce Pro modelování z oblasti pravděpodobnosti i jiných má velký význam Gaussova

funkce γ(t) = e−t2

σ2 , kde σ > 0 je parametr určující „šířkuÿ funkce. Stanovení jejího obrazu provedemez definičního vztahu, v němž obě exponenciály sloučíme a exponenty převedeme na součet čtverce a části

nezávislé na t a využijeme vztahu∫∞−∞ e

− t2

σ2 =√πσ2. Tedy lze psát

F {γ(t)} = 1√2πe−

ω2σ2

4

∫ ∞

−∞e−(

tσ+

ıωσ2 )

2

dt =σ√2e− σ2

( 2σ )2

, Obraz Gaussovyfunkce

z čehož je vidět, že tvar funkce se zachová, ale šířky originálu a obrazu jsou si (v souladu s principemneurčitosti) nepřímo úměrné.

1.2.3 Globální charakter transformace

Při studiu vlastností Fourierovy transformace nelze zapomenout na její globální charakter. V transfor-movaném obraze se projevující periodické jevy, což jsou charakteristiky „rozmáznutéÿ přes celý originál,budou „stlačenyÿ do jediného frekvenčního bodu. Fourierova analýza má ovšem význam, pokud jsou tytoperiody přítomny v celém definičním oboru. Uvažujme např. tyto dvě funkce, obsahující stejné „tvořícíÿfunkce:

f1(t) = sin t+ sin 2t,

f2(t) =

{sin t t < 0,sin 2t t ≥ 0.

V první funkci jsou obě frekvence zastoupeny v celém def. oboru a ve spektru se objeví dvě složkytak, jak bychom očekávali. Ve druhém případě jsou frekvence zastoupeny jen v polovině def. oboru avýsledné Fourierovo spektrum neposkytuje jasný obraz o zastoupených frekvencích. V tomto případěby bylo výhodnější použít okénkovou transformaci, která by pracovala pouze s částí obrazu — jednoupolovinou.

1.2.4 Transformace náhodných procesů

Prozatím jsme vždy uvažovali funkci f(t), která byla deterministická – její hodnoty bylo možnokdykoliv předem určit. Fourierovou transformací jsme k ní určili její spektrum (obraz) F (ω), které jeobecně komplexní funkcí a dá se tedy rozepsat na amplitudové spektrum |F (ω)| a fázové spektrumargF (ω). Tato transformace byla vzájemně jednoznačná, tedy spektru bylo možno přiřadit zpětně původnífunkci.Uvažujeme-li náhodný proces, máme k dispozici vždy jen několik jeho konkrétních realizací (dále

uvažujeme jen jednu – f(t)). K této realizaci můžeme sice sestrojit Fourierův obraz, nicméně tento bynecharakterizoval náhodný proces, protože zpětnou transformací bychom dostávali stále tutéž funkci –odstranila by se náhodnost. K popisu náhodných procesů je proto nutno zavést jiné charakteristiky.Používá se tzv. (jednostranná) spektrální výkonová hustota G(ω) [6], která se stanovuje měřenímvýkonu signálu, který je omezen frekvenčně na úzké pásmo 〈ω, ω +∆ω〉 a časově na dobu T0

G(ω) = lim∆ω→0

1∆ω

[lim

T0→∞

1T0

∫ T0

0f2T0(ω,∆ω) dt

]. (13)

8

Tato charakteristika je určena čtvercem amplitudového spektra, tedy ztrácíme informaci o fázi signálua tím i jednoznačnost transformace. Navíc touto cestou získáváme pouze odhad výkonového spektra,protože spektra stanovená ze dvou různých realizací téhož náhodného procesu budou sice podobná, aleobecně různá. Výkonové spektrum lze samozřejmě zavést i u deterministického signálu, ale u něj před-stavuje zbytečnou ztrátu informace. Náhodnými procesy se dále zabývat nebudeme.

1.2.5 Souvislost s Laplaceovou transformací

Uvažujme funkci jednotkového skoku f(t) = 1 pro t ≥ 0, f(t) = 0 pro t < 0. Tato funkce není absolutněintegrovatelná a nelze k ní přímo z definičního vztahu nalézt Fourierův obraz. Lze však nalézt obrazk funkci exp(−at) pro libovolné kladné a a t ≥ 0. Budeme-li limitovat a → 0, dostaneme z této funkcejednotkový skok. Provedeme-li limitní proces i v obraze, můžeme jej tedy považovat za Fourierův obrazjednotkového skoku. Podobný proces je nutno provádět i u jiných funkcí, nabízí se tedy možnost zavéstpřímo transformaci, která by již v sobě zahrnovala násobení klesající exponenciálou. Taková transformacese nazývá (jednostranná) Laplaceova transformace a je definována pro všechny funkce nulové v zápornýchčasech vztahem

L{f(t)} = F (p) =∫ ∞

0f(t)e−pt dt, (14)

kde p je komplexní číslo odpovídající ω ve Fourierově transformaci. Inverzní transformace je definovánavztahem

f(t) =12πı

∫ a+ı∞

a−ı∞F (p) dp, (15)

kde a je pouze „integrační parametrÿ, na jehož hodnotě nezáleží. Je vidět, že Fourierův obraz funkce lzedostat z Laplaceova obrazu (za jistých předpokladů) záměnou p→ ω.

1.3 Diskrétní transformace

V případě počítačového zpracování signálů máme k dispozici vždy jen vzorky funkce f(t) v diskrét-ních časových okamžicích (tyto tvoří originální posloupnost {fi}∞i=−∞). Zavádíme tedy tzv. diskrétníFourierovu transformaci, kterou dostaneme formálním nahrazením integrálu integrálním součtem s dě-lením odpovídajícím periodě vzorkování T1 (zpravidla se volí ekvidistantní okamžiky). Definiční vztahpro diskrétní Fourierovu transformaci tedy je [6,9]

Fk =∞∑

i=−∞fie

−ı2πkiT1 , (16)

kde {Fk}∞k=−∞ je obrazová posloupnost. Nemůžeme však hovořit o Fourierově transformaci posloupnosti,ale pouze funkce. Abychom odvodili vztah (16), budeme vzorkovat spojitou funkci f(t) (platí f(iT1) = fi)posloupností δ-funkcí a na tuto funkci uplatníme spojitou Fourierovu transformaci:

f̂(t) =∞∑

i=−∞f(iT1)δ(t− iT1)

F̂ (ν) =∞∑

i=−∞f(iT1)e

−ı2πνiT1

a ve funkci F̂ provedeme vzorkování, neboť diskrétní signál může být vyjádřen spočetnou bází.Pro praxi má větší význam tzv. konečná diskrétní Fourierova transformace, u níž sumace probíhá pouze

v mezích od 0 do N −1, kde N je počet vzorků. Základní vztah pro diskrétní konečnou transformaci tedyje

Fk =N−1∑i=0

fie−ı2π ki

N (17)

9

a symbolicky ji označíme jako{Fk}N−1

k=0 = FDN{f(i)}.

Podle vztahu (17) můžeme určit jen N různých hodnot spektra, neboť exponenciální funkce je periodickás periodou N . Výsledkem transformace je tedy buď N -členná posloupnost nebo periodická nekonečnáposloupnost. Inverzní diskrétní Fourierova transformace je dána vztahem

fi =1N

N−1∑k=0

Fkeı2π ki

N , (18)

což lze dokázat dosazením z (17).

Poznámka 1: Aby byla zaručena rozměrová správnost, měla by ve vzorcích (17,18) být i vzorkovacíperioda T1 (z přechodu dt→ T1). Ve většině literatury se však tato konstanta vynechává.

Poznámka 2: Spektra jsou rozdílná, nahlížíme-li na fi jako na posloupnost N vzorků nebo jakona „spojitouÿ funkci definovanou pro všechny časy t a nulovou mimo okamžiky iT1. V prvém případěmá spektrum pouze N složek, ve druhém nekonečně mnoho, ale prvních N složek je (až na násobek)shodných s prvým případem.

Poznámka 3: Vliv diskretizace na tvar spektra budeme demonstrovat na obdélníkové funkci, kteráje jednotková v intervalu 〈−T1/2, T1/2〉, jinde nulová. Budeme-li počítat spojitou transformaci této spojitéfunkce, dostaneme tvar sinω

ω (viz obr. 1a)). Budeme-li obdélníkovou funkci diskretizovat a uplatníme na ni

spojitou transformaci, dostaneme tvar sin[(2N+1)ω]sinω , kde N je počet vzorků (viz obr. 1b)). Tato funkce jižje periodická s periodou 2π a je zřejmé, že tím dochází ke zkreslení spektra (vzhledem ke spojité funkci).Provedeme-li z diskretizované obdélníkové funkce (s počtem vzorků N) diskrétní transformaci (také N -prvkovou), dostaneme obr. 1c). Tato funkce má jedinou nenulovou hodnotu pro i = 0. Je to dáno tím, ževolba počtu „krokůÿ diskretizace a transformace je taková, že není možno odlišit, zda-li transformujemeobdélníkovou funkci nebo funkci jednotkovou na celém intervalu (−∞,∞). Aby se objevila maxima aminima jako v předchozích případech, je třeba provést diskretizaci i transformaci např. s 2N vzorky(při zachování periody vzorkování). I v tomto případě bude spektrum zkresleno periodizací. Aby byl vlivperiodizace malý, muselo by spojité spektrum spojité funkce od maxima rychle klesat k nule.

a) b) c)

Obrázek 1: Vliv diskretizace na spektrum.

Většina vlastností spojité transformace je platná i pro diskrétní transformaci, jen je nutno nahraditpříslušné integrály sumacemi a posunutí musí odpovídat vzorkovacím okamžikům.Např. místo věty o obrazu derivace platí věta o obrazu diference :

F ′k =N−1∑i=0

(fi − fi−1)e−ı2π ki

N = (1− eı2π kN )Fk.

Pro konečné posloupnosti signálu uvedeme ještě některé další vlastnosti [5].

10

Doplnění nulami Potřebujeme-li ze signálu s N vzorky signál o délce rN , kde r je celé číslo, můžemesignál doplnit nulami (vznikne posloupnost f ′i). Pro Fourierovu transformaci upraveného signálu platí

F ′k =rN−1∑i=0

f ′ie−ı2π ki

rN =N−1∑i=0

fie−ı2π ki

rN =N−1∑i=0

fie−ı2π

kr

i

N .

Je-li k dělitelné r, pak je mezi spektry souvislost

F ′k = F kr,

není-li dělitelné, je souvislost pouze přes původní posloupnost.

Opakování Signál můžeme prodloužit také postupným opakováním r−krát všech hodnot. Pro trans-formaci takovéhoto signálu f̃i pak platí

FDN{f̃i} =

rN−1∑i=0

f̃ie−ı2π ki

rN =N−1∑i=0

fi

r−1∑j=0

e−ı2π (i+jN)krN =

=N−1∑i=0

fie−ı2π ik

rN

r−1∑j=0

e−ı2π jNkrN .

Druhá sumace je rovna r nebo 0, když je nebo není k dělitelné r, tedy mezi spektry signálů fi a f̃i platí

F̃k =

{rF (kr ) pro k dělitelná r0 pro ostatní 0 ≤ k ≤ rN − 1 .

Zředění r-krát zředěnou posloupností budeme rozumět posloupnost, ve které je za každý člen (původníposloupnosti) vloženo p− 1 nul, tedy platí

gi =

{fj pro i = rj0 pro i 6= rj j = 0, 1, . . . , N − 1.

Pro obraz {Gk} dostáváme

Gk =rN−1∑i=0

gie−ı2π ik

rN =N−1∑j=0

grje−ı2π jrk

rN =

=N−1∑j=0

fje−ı2π jk

N pro k = 0, 1, . . . , rN − 1,

což znamená, že obrazem p-krát zředěné posloupnosti je p-krát opakovaná posloupnost.

Parsevalova věta V diskrétní verzi má tato věta pro reálnou vstupní posloupnost tvar

N−1∑i=0

f2i =1N

N−1∑k=0

|Fk|2.

1.3.1 Maticové vyjádření transformace

Vytvořme ze vstupních hodnot fi sloupcový vektor tvaru Tf= (f0, f1, . . . , fN−1) (T označuje trans-pozici matice), z transformovaných hodnot Fk vytvoříme vektor TF= (F0, F1, . . . , FN−1). Pak můžemeFourierovu diskrétní transformaci vyjádřit ve tvaru [5]

F=Σf,

11

kde Σ je čtvercová matice transformace řádu N

Σ=

σ0 σ0 σ0 . . . σ0

σ0 σ1 σ2 . . . σN−1

σ0 σ2 σ4 . . . σ2(N−1)

......

.... . .

...σ0 σN−1 σ2(N−1) . . . σ(N−1)(N−1)

.

σ je N -tý primitivní kořen jednotky, tedy σ = e−ı 2πN . Inverzní Fourierovu transformaci lze vyjádřit

vztahemf = Σ−1F,

kde Σ−1 je matice inverzní k Σ a je dána vztahem Σ−1 = 1NΣ

∗. Z vlastností matice Σ uveďme alespoňregulárnost a symetričnost TΣ=Σ, T

(Σ−1

)= Σ−1 a unitárnost

(TΣ)∗= 1

NΣ−1. Charakteristická čísla

dané matice jsou√N , −

√N , −ı

√N , ı

√N , ovšem každé s jinou násobností závisející na řádu matice.

1.4 Zobecnění pro dva rozměry

Dvourozměrnou Fourierovu transformaci můžeme definovat v bázi z funkcí exp[−ı(kx+ ly)] tak, abyzůstaly zachovány vlastnosti platné pro jednoduchou transformaci. Definujeme tedy:

F (ζ, ξ) = F{f(x, y)} =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(x, y)e−ı(xζ+yξ) dxdy, (19)

f(x, y) = F−1{f(t)} =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞F (ζ, ξ)eı(xζ+yξ) dζ dξ. (20)

Pro diskrétní (konečnou) verzi budeme transformaci definovat vztahem

Fk,l =N1−1∑i=0

N2−1∑j=0

fi,je−ı2π( ik

N1+ jl

N2). (21)

Tuto transformaci můžeme zapsat také ve tvaru

Fk,l =N1−1∑i=0

N2−1∑j=0

fi,je−ı2π jl

N2

e−ı2π ikN1 , (22)

což je v podstatě zápis dvou jednorozměrných transformací, nejprve transformace provedené „po sloup-cíchÿ a poté „po řádcíchÿ a samozřejmě lze pořadí výpočtu přehodit.Vlastnosti této transformace jsou shodné s vlastnostmi jednorozměrné po případné záměně operací

jednorozměrných dvourozměrnými (např. dvourozměrná konvoluce, . . . ). Jako další vlastnosti uvedeme :

1. Lze-li psát f(x, y) = f1(x)f2(y), pak je možno psát také transformovanou funkci ve tvaru F (ζ, ξ) =F1(ζ)F2(ξ), pokud ovšem všechny obrazy existují.

2. Obraz kruhově symetrické funkce je také kruhově symetrický.

Posunutí Z definice diskrétní Fourierovy transformace vyplývá, že transformace obdélníku budeperiodickou funkcí, která bude maximálních hodnot nabývat v rozích. Naproti tomu difrakce na obdélníku(viz dále) bude mít maximum uprostřed. Tento rozdíl je dán definicí (17), v níž sumace probíhá od 0do N −1, zatímco „fyzikálněÿ by vyhovovala sumace od −N/2 do N/2. K zajištění shody obou obrazů jemožno spočtený obraz posunout o polovinu periody podél obou os (počítačově lze realizovat prohozenímjednotlivých čtvrtin). Toto posunutí je možno provést, protože transformace je periodická, viz obr. 4, kdeje vykreslen2 kvadrát modulu transformace čtverce 5× 5 bodů, u něhož je fi,j rovno nule mimo čtverec

2Pro lepší názornost je výstup vykreslen jako funkce spojitých argumentů k, l, ale smysl mají samozřejmě pouze bodypříslušné celočíselným k, l.

12

a jedné uvnitř čtverce (velikost celého obrazu je 512× 512 bodů). Pro tento obrazec má Fourierův obraztvar

Fk,l =4∑

i=0

4∑j=0

eı2πki+jl512 .

Na horním obrázku je jedna perioda transformace s maximy v rozích, na spodním dvě periody v obousměrech. Je vidět, že posunutím o půl periody podél obou os dosáhneme vystředění maxima.

1.5 Fyzikální aplikace

Fourierova transformace má ve fyzice četná využití, a to jak v experimentální, tak i v teoretické.V teoretické fyzice jde především o metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, např. řešení tako-véto lineární rovnice jen pro monochromatické funkce a výsledná funkce řešící daný problém (s poč. aokrajovými podmínkami) se vytvoří (váženou) sumací řešení monochromatických.V následujícím textu bude ukázáno několik příkladů využití transformace ve fyzice.

1.5.1 Přenos soustavy

Mějme lineární soustavu, na jejíž vstup působí funkce f(t), která vyvolá na výstupu reakci g(t). Jelikožje soustava lineární, je výstupní funkce váženou superpozicí vstupní funkce v různých časech τ [7]

g(t) =∫ ∞

−∞h(t, τ)f(τ) dτ,

kde h(t, τ) je váhovou funkcí. Budeme-li uvažovat soustavu časově invariantní, musí platit h(t, τ) = h(t−τ)a pravá strana předešlé rovnice se stane konvolucí. Využijeme-li Fourierovy transformace a konvolučníhoteorému, dostaneme jednoduchý vztah

G(ω) = H(ω)F (ω),

kde H(ω) je přenosová funkce soustavy.Význam zavedení přenosových funkcí je v tom, že umožňují jednoduché stanovení přenosu celé sestavy,

známe-li přenosy jednotlivých prvků (bez zavedení přenosů by bylo nutno pracovat s diferenciálnímirovnicemi). Např. sériové spojení dvou prvků s přenosy H1(ω), H2(ω) má výsledný přenos Hs(ω) =H1(ω)H2(ω) a paralelní spojení Hp(ω) = H1(ω) +H2(ω).

1.5.2 Difrakce

Vyjděme z Helmholtzovy rovnice pro (bezčasovou) vlnovou funkci ψ a řešme ji pomocí Greenovyintegrální věty tak, že napíšeme tutéž rovnici pro funkci ψ0 =

exp(−ıκr)r , vynásobíme ji ψ a odečteme

od první rovnice násobené ψ0, čímž dostaneme ψ∆ψ0 − ψ0∆ψ = 0 a aplikací Greenovy věty dostaneme∮S

(ψ grad ψ0 − ψ0 grad ψ) d~S = 0.

Provedeme-li integraci tak, že kolem bodu r0 opíšeme malou kouli a integrál přes plochu S rozdělímena dva, vyčíslíme hodnoty a poté budeme zmenšovat poloměr koule k nule, dostaneme tzv. Kirchhoffůvintegrální vzorec

ψ(R) =14π

∮S

(exp(−ıκr)

rgrad ψ − ψ grad

exp(−ıκr)r

)d~S. (23)

Pro vypočítání integrálu rozdělíme int. plochu na tři části : plochu stínítka, plochu otvoru a kulovouplochu s poloměrem hodně velkým. Budeme předpokládat, že na ploše otvoru se hodnoty ψ a gradientuliší jen zanedbatelně od stavu bez stínítka, a že na ploše stínítka a kulové plochy je ψ = grad ψ = 0.

13

Budeme-li dále předpokládat, že vzdálenost zdroje a bodu pozorování od bodu stínítka jsou r0 � λ, r � λ,dostaneme pro bodový zdroj světla tzv. Fresnelův–Kirchhoffův difrakční vzorec:

ψ(R) =ıA

2λ

∫S

e−ıκ(r+r0)

rr0

[cos(~r, ~S)− cos(~r0, ~S)

]dS, (24)

kde cos(·, ·) je kosinus úhlu mezi vektory. Mění-li se člen [·] jen málo (je přibližně cos τ) a vzdálenosti r, r0lze nahradit vzdálenostmi od počátku souřadnic (v ploše otvoru), dostaneme z (24)

ψ(R) =ıA cos(τ)RR0λ

∫S

e−ıκ(r+r0) dS.

Rozvineme-li vzdálenosti r0, r v řadu a zanedbáme-li členy vyšších řádů než lineární (což lze provést,vzhledem k periodicitě funkce exp(x), jen tehdy, jsou-li nelineární členy mnohem menší než 2π), dostanemevzorec ve tvaru

ψ(R) = B∫

S

e−ıκ(ζx+ξy) dS,

kde ζ, ξ jsou směrové kosíny polohového vektoru bodu R k osám x, y. Zavedeme-li funkci amplitudovépropustnosti Γ(x, y), která je jednotková v bodech otvoru a nulová mimo něj, můžeme rozšířit integracipřes celý prostor a výsledná vlna je úměrná dvourozměrné Fourierově transformaci funkce propustnosti3:

ψ(R) = ψ(ζ ′, ξ′) ∼ F{Γ(x, y)}; (25)

pro čtvercový a kruhový otvor je difrakční obrazec vykreslen na obr. 2.

a) b)

Obrázek 2: Difrakce na čtvercovém a kruhovém otvoru.

Je však nutno upozornit, že daná metoda uvažuje pouze skalární funkci, zatímco elektromagneticképole má vektorový charakter, čímž se dopouští dalšího zjednodušení.

Poznámka 1: Možnost zanedbání členů vyšších než lineárních nastává tehdy, jsou-li R,R0 „neko-nečnéÿ (lze zajistit použitím čočky se zdrojem v ohnisku), nebo platí-li R = −R0 (tedy i při konečnýchvzdálenostech). Poslední podmínka vychází z úvahy, že při rozvoji funkce v Taylorovu řadu absolutníhodnoty jednotlivých členů s rostoucí mocninou argumentu klesají. Předpokládá se, že tato vlastnostzůstává přibližně zachována i při nulovém kvadratickém členu.

Poznámka 2: Předpoklad nulovosti funkce ψ a grad ψ na ploše konečné velikosti je matematickynesprávný, neboť takováto funkce by musela být nulová v celém prostoru. Nicméně fyzikálně tato apro-ximace vyhovuje.

3Odlišnost exponentu oproti definici (19) v předešlém vzorci nemá na vyjádření podstatný vliv, κ je zahrnuto do čárko-vaných proměnných.

14

Poznámka 3: Při difrakčních jevech s pouze absorpčními stínítky se hlavní maxima nacházejí vždyuprostřed. Je to možno demonstrovat tím, že vzorec pro Fourierovu transformaci je ve své podstatě spo-jitým skládáním komplexních vektorů, jejichž směr určuje jednotkový člen eıκ(ζx+ξy), násobený nulovounebo jednotkovou velikostí. Takový součet nabývá největší hodnoty tehdy, jsou-li vektory skládány podélpřímky, tedy pro ζ = ξ = 0.

Poznámka 4: Omezenou platnost pojímání difrakce coby Fourierovy transformace lze ukázat tímtopostupem. Z platnosti relací neurčitosti je zřejmé, že poloměr osvětlujícího svazku a šířka difrakčníhoobrazce si jsou nepřímo úměrné. Tedy při zvětšování kruhového otvoru by se měl difrakční obrazecpostupně zužovat až na nulovou hodnotu. Z experimentu je však zřejmé, že od jisté velikosti clony budemít obrazec šířku právě rovnu průměru osvětlujícího svazku.

Experimentální difrakční uspořádání Příklad sestavení difrakční aparatury je uveden na obr. 3.Osvětlení clony je provedeno He–Ne laserem, jehož výstup je roztažen a homogenizován kolimátorem (tvo-řeným dvěma čočkami a clonkou s kruhovým otvorem o průměru několika µm). Pro zajištění podmínekFraunhofferovy difrakce je použita spojná čočka umístěná tak, aby se zdroj záření jevil v nekonečnévzdálenosti. Difrakční obrazec dopadá na stínítko, odkud je snímán kamerou.

Laser -���*

HHHjKamera

ClonaStínítko

KolimátorČočka

Obrázek 3: Optické schéma difrakční aparatury.

Poznámka 1: Pro případ, kdy tvar clony získáváme optickou projekcí a nasnímáním kamerou, jenutno rozšířit definici funkce amplitudové propustnosti, protože nelze očekávat náhlé skoky intenzityna hranicích clony, ale „pozvolnéÿ průběhy. Rozšířená definice vychází z hodnot komplexních amplitudoptické vlny před a za clonou

Γ(x, y) =komplexní amplituda vlny těsně za clonoukomplexní amplituda vlny těsně před clonou

.

Uvedená definice přidává funkci Γ komplexní charakter, protože může dojít i ke změně fáze (tato situaceovšem nemůže nastat, stanovujeme-li Γ kamerou).

Poznámka 2: Při snímání obrazu kamerou získáváme pouze informaci o rozložení intenzity (jedná seo kvadratický optický detektor), ztrácíme tedy fázi. Tento způsob tedy neumožňuje počítat difrakčníjevy způsobené právě fázovými členy (nehomogenitou fáze v ploše clony). Při tomto způsobu zpracovánítedy můžeme počítat jen se čtvercem absolutní velikosti |Γ(x, y)|2. V případě, že by clony byly ideálněvyrobeny a projekce clon by probíhala dle pravidel geometrické optiky, nešlo by o žádné zkreslení, protože02 = 0, 12 = 1. V ostatních případech by bylo nutno získané originály nejprve odmocnit (abychom získali|Γ(x, y)|), což ovšem není (v celočíselném oboru, běžně používaném při počítačovém zpracování obrazů)prostá operace, a může tudíž vnést další chyby.

1.5.3 Reciproká mřížka

Pojem reciproké mřížky je využíván v krystalografii a fyzice pevných látek, v nichž umožňuje zjedno-dušit teoretické popisy. Tato konstrukce je v úzkém vztahu s difrakcí rentgenova záření, která sloužíjako základní nástroj výzkumu struktury krystalů. Uvažujme ideální krystal, který je tvořen bodo-vými nepohyblivými atomy umístěnými přesně v bodech krystalové mříže, tedy s polohovými vektory~r = u~a+ v~b+ w~c, kde u, v, w jsou celá čísla. Předpokládejme, že funkce popisující rozložení mřížkových

15

bodů je dána superpozicí Diracových δ–funkcí, posunutých do koncových bodů vektorů ~r a spočtěme jejíFourierovu transformaci (trojrozměrnou), čímž dostáváme

F

{ ∞∑u,v,w=−∞

δ(~r0 − (u~a+ v~b+ w~c)

)}=

∞∑h,k,l=−∞

δ

(~k0 −

(h

~b× ~c~a · (~b× ~c)

+ k~c× ~a

~a · (~b× ~c)+ l

~a×~b~a · (~b× ~c)

)),

kde ~k má charakter vlnového vektoru (s fyzikálním rozměrem reciprokým k ~r) a nahrazuje proměnné ξ,ζ z dvojrozměrného případu. Transformovaná funkce může být interpretována jako množina mřížkovýchbodů v reciprokém prostoru, v němž je primitivní buňka popsána třemi vektory

~a∗ =~b× ~c

~a · (~b× ~c), ~b∗ =

~c× ~a~a · (~b× ~c)

, ~c ∗ =~a×~b

~a · (~b× ~c).

Jako poznámka může být uvedeno, že uvedenou soustavu bázových vektorů také dostaneme, budeme-lipro vektor ~g řešit soustavu rovnic

h = ~g · ~a, k = ~g ·~b, l = ~g · ~c.

Její řešení je jednoznačné a ~g = h~a∗ + k~b∗ + l~c ∗. Ekvivalentní formou zadání je požadavek, aby platilo~ei · ~e ∗j = δik, kde ~ei = ~a,~b,~c a ~e ∗i = ~a∗,~b∗,~c ∗ v tomtéž pořadí, což je totéž co předchozí soustava proh = k = l = 1.

1.5.4 Zobrazení čočkou

Tenká sférická čočka transformuje rovinnou vlnu dopadající pod malými úhly θx, θy na parabolic-kou vlnu sfokusovanou do bodu (θxfc, θyfc), kde fc je ohnisková vzdálenost. Jednotlivým směrům vlntedy připadají různé body v obrazové ohniskové rovině čočky. Bude-li dopadat na čočku optická vlnas rozložením f(x, y) v předmětové ohniskové rovině, můžeme ji rozložit (Fourierovou transformací) na ro-vinné vlny, přičemž vlna šířící se pod úhlem θx = λζ, θy = λξ bude mít amplitudu úměrnou Fourierovětransformaci F (ζ, ξ). Amplituda v obrazové ohniskové rovině tedy bude mít v bodě (x, y) hodnotu úměr-nou F ( x

λfc, y

λfc). Pro stanovení konstanty úměrnosti nejprve vyjádříme přenosové funkce volného prostoru

délky d (e−ıκdeıπλd(ζ2+ξ2)), přenosovou funkci čočky (eıπ(x2+y2)/λfc), vynásobíme amplitudu vlny přenoso-

vými funkcemi a zintegrujeme přes všechny hodnoty ζ, ξ. Budeme-li výslednou vlnu pozorovat v ohniskovérovině, bude pro její rozložení platit (v tzv. Fresnelově aproximaci) [7]:

g(x, y) =ı

λfce−ı2κfcF (

x

λfc,y

λfc). (26)

1.5.5 Relace neurčitosti

V kvantové mechanice se lze setkat s veličinami, jejichž hodnoty není možno přesně stanovit současněs hodnotami jiných veličin – operátory těchto veličin spolu tzv. nekomutují, neboť výsledek postupnéhopůsobení operátorů na vlnovou funkci obecně závisí na pořadí. Z matematického hlediska tyto operátorynemají společné vlastní funkce, ale jsou k sobě ve vztahu (obecné) Fourierovy transformace, z čehož dlevzorce (12) plyne vzpomínaná neurčitost, protože právě disperzi Df lze ztotožnit s kvadrátem nepřesnostiměření a předpoklad ψ(x)→ 0 pro x→ ±∞ je základním předpokladem kvantové mechaniky pro vázanéstavy.Jako příklad lze uvést vztah mezi vlnovou funkcí ψ v x– a p–reprezentaci

ψp(px) =1√2πh̄

∫ ∞

−∞ψx(x)e

ıh̄ pxx dx

a tvar komutátoru [x, px] = ıh̄, z čehož plyne⟨(∆px)

2⟩ ⟨(∆x)2

⟩=h̄2

4

(symboly 〈·〉 označují kvantovou střední hodnotu).

16

1.6 Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Zpracování obrazů lze rozdělit na tři tématické části — restaurování obrazu, zkvalitňování zobrazenía segmentaci obrazu [11].

Restaurování obrazu

Restaurování obrazů je proces, při němž se snažíme převést obraz do takového stavu, v jakém bylpřed degradací (např. vlivem šumu v přenosové cestě). K úspěšnému provedení restaurace je nutno znátpředevším způsob degradace. V praxi se ve většině případů vystačí, předpokládáme-li poškození způ-sobené lineárním systémem s prostorově invariantní odezvou. Působení takového systému na obraz lzevystihnout konvolučním integrálem a tedy charakterizovat ve spektrální oblasti součinem původníhospektra obrazu F (ζ, ξ) a přenosové funkce H(ζ, ξ). Proces rekonstrukce pak náleží ve vytvoření filtrus přenosovou funkcí Hf (ζ, ξ) = H−1(ζ, ξ). Obecně nemusí hledaný filtr existovat, pak se hledá podlevhodně zvolených kritérií „optimálníÿ filtr.Příkladem může být záznam interferenčního obrazce sloučeného s aditivním šumem. Nezašuměný

interferenční obrazec bude blízký dvourozměrnému sinusovému signálu, jeho spektrum bude tedy nenu-lové jen v blízkém okolí průměrné frekvence. Zašuměný obraz bude mít i další složky nenulové. Ideálnífiltr k restaurování bude mít jednotkovou velikost pro frekvence ležící v kruhu se středem na průměrnéfrekvenci a nulovou pro ostatní; optimální velikost poloměru kruhu se musí určit na základě zvolenýchkritérií.

Zkvalitňování zobrazení

Při procesu zkvalitňování zobrazení není prioritní snaha dosažení maximální věrnosti výsledného ob-razu, ale zdůraznění některých charakteristických rysů. Může se jednat např. o intenzitní mapování,při němž se nelineárním způsobem mění stupnice šedi v obraze, nebo pseudokolorování, kde se monochro-matický obraz pro lidský zrak zvýrazní na základě kontrastu mezi jednotlivými barvami, které jsoupřiřazeny původním stupňům šedi.Z hlediska Fourierovy transformace jsou významné např. procesy zostřování obrysů, při nichž se zvý-

razňují náhlé intenzitní přechody v obraze zesílením spektrálních složek s vyššími hodnotami prostorovýchfrekvencí (v prostorové oblasti odpovídá derivaci obrazu).

Segmentace obrazu

V předchozích metodách zpracování šlo pouze o takovou úpravu obrazu, aby se z něj získalo vícevizuální informace. V procesech segmentace se jedná o analýzu obrazu, která spočívá ve vytvoření popisuobrazu. Mezi používané metody patří např. komparace („šedivýÿ obraz se převede na černobílý tak, žese porovnává intenzita v daném bodě s referenční hodnotou a na základě porovnání se přiřadí hodnota 0nebo 1), detekce rozhraní (stanovují se čáry náhlých změn intenzity) nebo vyhledávání obrazců.

2 Rychlé algoritmy

Provádění výpočtu diskrétní Fourierovy transformace je velmi časově náročné. Vzorec (17) je vlastněekvivalentní vyčíslení hodnoty polynomu stupně N − 1 s koeficienty fi v bodě e−ı2π k

N . Jak známo,optimálním postupem pro výpočet polynomů je Hornerovo schéma, které potřebuje N − 1 násobení asčítání, což pro celou transformaci dává počet operací 2 × N × (N − 1), tedy přibližně N2 operací. Užpro malý počet vzorků čas výpočtu neúměrně narůstá. Proto je nutno užít k výpočtu jiných algoritmů,které využívají speciálních vlastností definice transformace. Důležitým krokem ve vytváření časové úsporyje minimalizace počtu násobení, neboť na všech výpočetních systémech je násobení časově náročnější nežsčítání, což platí obzvláště pro komplexní čísla.

17

2.1 Algoritmus Cooleyho a Tukeyho – redukce času

Algoritmus je založen na definici Fourierovy transformace

Fk =N−1∑i=0

fi

(e−ı 2π

N

)ki

,

kterou můžeme rozepsat do tvaru (předpokládáme, že N je mocninou dvou) [12]

Fk = f0

(e−ı 2π

N

)0+ · · ·+ fN−1

(e−ı 2π

N

)k(N−1)=

=

[f0

(e−ı 2π

N

)0+ f2

(e−ı 2π

N

)2k+ · · ·+ fN−2

(e−ı 2π

N

)(N−2)k]+ (27)

+(e−ı 2π

N

)k[f1

(e−ı 2π

N

)0+ f3

(e−ı 2π

N

)2k+ · · ·+ fN−1

(e−ı 2π

N

)(N−2)k].

Závorky na pravé straně představují Fourierovy transformace dvou „vektorůÿ (f0, f2, . . . , fN−2) a (f1, f3,. . . , fN−1), každého o N/2 složkách, z nichž se čísla Fk snadno zkombinují. Tedy první polovina číselFk se získá rozdělením transformace na dvě transformace o poloviční velikosti. Zbylá část Fk pro k =N/2, . . . , N − 1 se získá z úvahy, že platí(

e−ı 4πN

)i

=(e−ı 4π

N

)(N/2)+i

, i = 0, . . . , (N/2)− 1

a proto se výrazy pro Fk, Fk+N/2 liší jen hodnotou(e−ı 2π

N

)k

, zatímco transformace vektorů jsou stejné.

Označíme-li závorky ve vztahu (27) jako F̂k, F̌k, pak platí

Fk = F̂k +(e−ı 2π

N

)k

F̌k, Fk+N/2 = F̂k −(e−ı 2π

N

)k

F̌k (28)

pro k = 0, . . . , (N/2)−1. Uvedený postup se dá samozřejmě dále opakovat až do kroku, ve kterém budouvzorky ve skupinách po dvou. Snížení doby výpočtu plyne z úvahy 2× (N/2)2 = N2/2 < N2. Pro odhadrychlosti tohoto postupu platí, že existuje konstanta a taková, že provedení transformace vyžaduje časnejvýše aN logN . Nejvýše proto, že některá násobení jsou násobení jedničkou, tedy není třeba je provádět.

Provádění algoritmu Princip konkrétního výpočtu bude demonstrován na příkladu transformaceproN = 4. Uvažujme tedy posloupnost prvků {fi}i=3

i=0 a její transformaci Fk =∑3

i=0 fie−ı2π ki4 . Použijeme-

li jednou rozklad transformace (dle C–T algoritmu), dostaneme

f0 + f2e−ıπk +

[f1 + f3e

−ıπk]e−ıπ k

2 ,

což pro jednotlivé hodnoty k dává

k = 0 [f0 + f2] + [f1 + f3] ,k = 1 [f0 − f2] − ı [f1 − f3] ,k = 2 [f0 + f2] − [f1 + f3] ,k = 3 [f0 − f2] + ı [f1 − f3] .

(29)

Je tedy vidět, že při výpočtu je nutno nejprve spočítat hodnoty tvaru fi ± fi+2 a z nich poté určitvýsledky podobným zkombinováním. Výpočet tedy může probíhat tak, že se nejprve spočtou hodnotyF̃0,2 = f0 ± σf2, F̃1,3 = f1 ± σ1f3, kde σ = σ1 = e−ıπ = 1 + ı0. Ve druhém kroku se spočítají konečnéhodnoty F0,2 = F̃0 ± σF̃2, F1,3 = F̃1 ± σ1F̃3, kde σ = e−ıπ = 1 + ı0 a σ1 = σe−ı π

2 = −ı. Tento postuplze již jednoduše zobecnit pro libovolné N , které je mocninou dvojky. Pro lepší orientaci v poli je všakvhodnější vstupní posloupnost přerovnat, protože v jednotlivých součtech se sčítají prvky v tzv. bitověpřevráceném kódu (např. původnímu binárnímu číslu 0011010 odpovídá číslo 0101100).

18

2.2 Algoritmus s redukcí kmitočtu

Algoritmus spočívá v rozdělení posloupnosti vzorků {fi}N−10 na dvě poloviční s přirozeným uspořá-

dáním vzorků {fi}(N/2)−10 , {fi}N−1

N/2 . Provedeme-li definiční transformaci, uvidíme, že je možno výstupníposloupnost rozdělit na sudou a lichou část, kde sudá část je dána transformací N/2-členné součtovéposloupnosti vstupních dvou a lichá část je dána transformací rozdílové posloupnost. Postup rozdělenílze opět opakovat až na dvojice vzorků. Pro odhad doby výpočtu platí totéž jako u redukce časové —aN logN .

Inverzní transformace Oba dva algoritmy můžeme použít i pro výpočet inverzní transformace

fi =1N

N−1∑k=0

Fk

(eı2πN

)ki

,

protože provedeme-li komplexní sdružení a vynásobení N , dostáváme

Nf∗i =N−1∑k=0

F ∗k

(e−ı 2π

N

)ki

, (30)

což představuje přímou transformaci vzorků F ∗k a hledaný signál můžeme získat vydělením N a komplex-ním sdružením.

2.3 Sloučený algoritmus

Tento algoritmus je založen na vlastnosti transformace reálných posloupností, na její redundantnosti:Fk = F ∗N−k. Při provádění transformace se zároveň vypočítávají Fourierovy koeficienty pro dvě nezávisléposloupnosti fi, gi tak, že se spočítá transformace posloupnosti fi + ıgi. Z těchto hodnot se pak pří-slušné koeficienty určí jako lineární kombinace reálné a imaginární části. Za vstupní posloupnosti lze vzítnapř. dva následující řádky obrazu, pak je doba výpočtu poloviční. Metoda neumožňuje další snižovánínáročnosti.

2.4 Algoritmus FFT s prvočíselným rozkladem

Přestože je Cooleyho a Tukeyův algoritmus velmi rychlý, je možno sestavit algoritmy (v některýchpřípadech) ještě rychlejší. Jedná se o algoritmy Winogradova a Kolbeho–Parkseho (tzv. FFT s prvočí-selným rozkladem) [12,13]. Tyto postupy jsou založeny na rozdělení transformace N–složkového vektoru,kde N = N1N2 · · ·Nn a Ni jsou prvočísla či jejich mocniny, na n transformací vektorů o Ni složkách.Pro Ni = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16 se ukazuje, že počet aritmetických operací v těchto algoritmech je menší nežu původního algoritmu. U Winogradova algoritmu je počet násobení dokonce minimální možný.Uvažujme druhý algoritmus a postup proveďme nejprve pro n = 2. Zvolme čísla i1, i2, k1, k2 tak, aby

k = k1 +N1k2 , i = i2 +N2i1 a 0 ≤ k1, i1 < N1, 0 ≤ k2, i2 < N2. Pak pro transformaci platí

Fk =N−1∑i=0

fie−ı2π ki

N =N1−1∑i1=0

N2−1∑i2=0

fi2+N2i1e−ı2π (k1+N1k2)(i2+N2i1)

N1N2 =

=N2−1∑i2=0

f(1)k1,i2e−ı2π k2i2

N2 ,

kde

f(1)k1,i2

=N1−1∑i1=0

fi2+N2i1e−ı2π k1i1

N1 .

Transformace se tedy rozpadá na dvě části:

19

1. nejprve určíme obrazy N1 vektorů o N2 složkách,

2. pak určíme obrazy N2 vektorů o N1 složkách.

Zvolíme-li N1 = N2 =√N , je doba výpočtu úměrná N3/2.

Nyní volme číslo N = N1N2 · · ·Nn, Ni = 2 a rozložme čísla k =∑n

i=0 ki2i−1, j =∑n−1

m=0 jn+1−m2m−1,ki, jm = 0, 1. Vyjádříme-li nyní transformaci, dostáváme

Fk1,...,kn= Fk =

N−1∑j=0

fje−ı2π jk

N =12

1∑jn=0

· · ·1∑

j1=0

fjn+2jn−1+···+2n−1j1 ×

× exp

[−ı2π

n∑m=1

(n−m+1∑

i=1

ki2i+m−n+2

)jn+1−m

]=

=12

1∑jn=0

exp

(−ı2πjn2−n

n∑i=1

ki2i−1

)12

1∑jn−1=0

exp

(−ı2πjn−121−n

n−1∑i=1

ki2i−1

)· · ·

· · ·

12

1∑j1=0

exp(−ı2πj12−1k1

)fjn+2jn−1+···+2n−1j1

· · ·

.

Tento vztah je možno zapsat rekurentně ve tvaru :

F(m)k1,...,km;jm+1,...,jn

=12

1∑jm=0

exp

(−ı2πjm2−m

m∑i=1

ki2i−1

)Fm−1

k1,...,km−1;jm,...,jn,

F(0)j1,...,jn

= fjn+2jn−1+···+2n−1j1 , F(n)k1,...,kn

= Fk1,...,kn = Fk.

Celková náročnost výpočtu je úměrná N logN .

2.5 Algoritmy v konečných okruzích

Dříve uvedené algoritmy provádí výpočty v tělese komplexních čísel a potřebují vyčíslovat hodnotye−ı2π i

N , což jsou zpravidla iracionální čísla. Výpočty lze proto provádět jen přibližně a odhad přesnostivýpočtu je velmi složitý. Proto je výhodné použít některého konečného tělesa, v němž budeme počítatmodulo Q, kde Q je přirozené číslo takové velikosti, aby v tělese čísel 0, . . . , Q existoval N–tý primitivníkořen jednotky (tj. takové číslo σ, že σN = 1 mod Q, σi 6= 1 mod Q pro i = 1, . . . , N − 1) a aby byloumožněno vyčíslení hodnot. Navíc se ukazuje, že daná čísla nemusí tvořit těleso, ale bude stačit, budou-lisplněny následující požadavky pro čísla x, y ∈ {1, . . . , Q− 1},N,Q a číslo 1 < σ < Q [12]:

σN = 1 mod Q, σi 6= 1 mod Q pro i = 1, . . . , N − 1N−1∑i=0

σij =

{N pro j = 00 pro j = 1, . . . , N − 1

xσ = 1 mod Q, yN = 1 mod Q.

První vztah je základním požadavkem Fourierovy diskrétní transformace, druhý zaručuje rozdílnost jed-notlivých mocnin σ a tím možnost vyčíslení „polynomuÿ v N bodech, poslední dva vztahy zaručujímožnost definice matice inverzní transformace a třetí vztah zaručuje její inverznost k matici přímé trans-formace.Důležitou otázkou je volba velikosti Q. Lze dokázat, že je-li Q prvočíslo, vytváří těleso a N–tý pri-

mitivní kořen jednotky v něm existuje právě tehdy, když N dělí Q − 1. Je-li tedy N = 2i, je vhodnévolit Q = n2i + 1, kde n je celé číslo. V obecném případě můžeme volit Q = 22

i/2 + 1 pro σ = 2 apři počítání modulo Q budou splněny všechny požadované vztahy. Tato volba navíc umožňuje převéstnásobení mocninami σ na posuny a odčítání, ale vyžaduje velkou délku binárního zápisu.

20

Seznam použité literatury

1. Kufner, Alois; Kadlec, Jan : Fourierovy řady, Academia 1969

2. Veit, Jan : Integrální transformace, SNTL 1983

3. Rektorys, Karel : Přehled užité matematiky, Prometheus 1995

4. kolektiv autorů : Aplikovaná matematika, SNTL 1997

5. Čížek, Václav : Diskrétní Fourierova transformace a její použití, SNTL 1981

6. Uhlíř, Jan; Sovka, Pavel : Číslicové zpracování signálů, ČVUT 1995

7. Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl : Základy fotoniky, Matfyzpress 1994–96

8. Vrba, Vladislav : Moderní aspekty klasické fyzikální optiky, Academia 1974

9. Vejražka, František : Signály a soustavy, ČVUT 1996

10. Jaroslavskij, Leonid; Bajla, Ivan : Metódy a systémy číslicového spracovania obrazov, Alfa1989

11. Ptáček, Milan : Digitální zpracování a přenos obrazové informace, NADAS 1983

12. Kučera, Luděk; Nešetřil, Jaroslav : Algebraické metody diskrétní matematiky, SNTL 1989

13. Bahvalov, N.S. : Qislennye metody, Nauka 1973

Obrázek 4: Fourierova transformace čtverce 5×5 bodů, zobrazen čtverec absolutní hodnoty.

21