Rzut oka na wspó czesna matematyke spotkanie 12: Hipoteza ...pawelst/rzut_oka/Zajecia_dla_MISH_2011-12/... · Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 12: Hipoteza Riemanna

Rzut oka na współczesną matematykęspotkanie 12: Hipoteza Riemanna.

P. [email protected]

Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski

MISH UW, semestr zimowy 2011-12

P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 1 / 26

Ile jest liczb pierwszych?

Głupie pytanie. Od 2300 lat wiadomo, że liczb pierwszych jestnieskończenie wiele.

Ale: dowód Euklidesa nie mówi, jaki jest ich rozkład wśródinnych liczb naturalnych;

. . . może jest ich “bardzo mało”?

. . . a może wręcz przeciwnie?

Do XVIII wieku o odpowiedziach na te pytania nie byłowiadomo praktycznie nic.

W związku np. z algorytmem RSA poszukiwanie dużych liczbpierwszych ma także pewne znaczenie praktyczne.


Achilles i żółw

Zenon z Elei: Achilles nigdy nie dogoni żółwiaMatematyk: ale przecież 1

10 + 1100 + 1

1000 + · · ·

= 0, 1+ 0, 01+ 0, 001+ 0, 0001 + · · ·

= 0, 1111 . . . = 0, (1) = 19 ;

tzn. suma nieskończenie wielu składników może jednak byćskończona.


Achilles i żółw

Zenon z Elei: Achilles nigdy nie dogoni żółwiaMatematyk: ale przecież 1

10 + 1100 + 1

1000 + · · ·

= 0, 1+ 0, 01+ 0, 001+ 0, 0001 + · · ·

= 0, 1111 . . . = 0, (1) = 19 ;

tzn. suma nieskończenie wielu składników może jednak byćskończona.


Formalizacja: szeregi

Pojęcie zbieżnego szeregu o wyrazach dodatnich i jego sumy:

dane są liczby dodatnie a1,a2,a3, . . .jeśli istnieje liczba M większa od wszystkich sum częściowychSn = a1 + a2 + · · ·+ an, to szereg nazywa się zbieżny;Kres górny (równoważnie: granica ciągu) sum częściowychSn nazywa się sumą szeregu;

Szereg, który nie jest zbieżny, nazywa się rozbieżny.


Oznaczenia, przykłady

Zapis: zamiast supn∈N

Sn albo limn→∞Sn, piszemy

∞∑n=1

an

(używając tego znaku także wtedy, gdy szereg jest rozbieżny —wtedy umawiamy się, że suma = +∞.)

Przykład.∞∑

n=1

1n

= +∞, bo 1n+ 1 +

1n+ 2 + · · ·+ 1

2n > n ·1

2n =12 .


Uczona nazwa: zagęszczanie

Proste, ale pożyteczne uogólnienie ostatniej sztuczki to tzw.kryterium zagęszczeniowe:

Jeśli a1 > a2 > a3 > . . . > 0, to szeregi∞∑

n=1

an oraz∞∑

n=1

2na2n

są jednocześnie oba zbieżne, albo oba rozbieżne.

Np. dla an = 1n

jest 2na2n = 2n · 12n = 1, a szereg z samych 1

jest rozbieżny, więc i szereg∑ 1

njest rozbieżny.


Inne przykłady

Jeśli an = qn i 0 < q < 1, to szereg∑an (szereg

geometryczny) jest zbieżny;Dla an = 1

n2 mamy 2n · a2n = 2n · 1(2n)2 = 1/2n, więc

∑n=1

1n2 < +∞ (kryterium zagęszczeniowe)

Podobnie, dla każdej liczby s > 1 jest

ζ(s) : =∑n=1

1ns< +∞ (kryterium zagęszczeniowe)


Funkcja dzeta Riemanna

Oznaczmyζ(s) : =

∑n=1

1ns

dla s > 1.

Nieco bardziej zaawansowanymi metodami dowodzi się, że istniejetylko jedna funkcja zmiennej zespolonej z, która

jest równa ζ(s), jeśli z = s jest liczbą rzeczywistą > 1,jest określona dla wszystkich z 6= 1;ma pochodną (w sensie zespolonym) w każdym punkcie swojejdziedziny.


Bernhard Riemann, 1826–1866

Zajmował się analiząmatematyczną, teoriąliczb i geometriąróżniczkową

Słynny wykładhabilitacyjnyO hipotezach, które leżąu podstaw geometrii


Pytanie za milion dolarów

Hipoteza (Riemann, 1859). Jeśli ζ(z) = 0 i część rzeczywistaz > 0, to z = 1

2 + it dla pewnego t rzeczywistego.

Pytanie: Dlaczego w ogóle to kogoś interesuje? I gdzie tu sąliczby pierwsze?


Pytanie za milion dolarów cd.

Głównym celem Riemanna było nie samo badanie funkcji ζ, aleposzukiwanie jak najlepszego, a przy tym możliwie prostegoprzybliżenia funkcji

π(N) = liczba liczb pierwszych w zbiorze {1, 2, . . .N}.

Milion dolarów to nagroda ufundowana przez Instytut Claya w2000 roku (hipoteza Riemanna jest jednym z tzw. siedmiuproblemów milenijnych).


Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x.

Zatem

exp(∑

p6N

1p

)>

∏p6N

(1 +

1p

)>

∑n6N

n bezkw.

1n

.

(Liczba bezkwadratowa: nie dzieli się przez żaden pełny kwadratwiększy od 1.)

Stąd

2 exp(∑

p6N

1p

)>

∑n6N

1n2 ·

∑n6N

n bezkw.

1n

>∑n6N

1n≈ logN.


Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x. Zatem

exp(∑

p6N

1p

)>

∏p6N

(1 +

1p

)

>∑n6N

n bezkw.

1n

.


Stąd

2 exp(∑

p6N

1p

)>

∑n6N

1n2 ·

∑n6N

n bezkw.

1n

>∑n6N

1n≈ logN.



exp(∑

p6N

1p

)>

∏p6N

(1 +

1p

)>

∑n6N

n bezkw.

1n

.


Stąd

2 exp(∑

p6N

1p

)>

∑n6N

1n2 ·

∑n6N

n bezkw.

1n

>∑n6N

1n≈ logN.



exp(∑

p6N

1p

)>

∏p6N

(1 +

1p

)>

∑n6N

n bezkw.

1n

.


Stąd

2 exp(∑

p6N

1p

)>

∑n6N

1n2 ·

∑n6N

n bezkw.

1n

>∑n6N

1n≈ logN.


Wzór Eulera: związek ζ z liczbami pierwszymi

To, że ∑p pierwsza

1p= +∞

wiedział już Leonard Euler, jakieś sto lat przed Riemannem.Euler wiedział również, że dla s > 1 zachodzi wzór:

∏p pierwsza

1

1 −1ps

=

∞∑n=1

1ns

= ζ(s) .

Ten wzór stał się dla Riemanna punktem wyjścia do poszukiwania“wzoru” na π(n).


Kilka słów o wartościach π(n)

Liczby pierwsze pojawiają się wśród innych liczb kapryśnie:

co jakiś czas — para bliźniaków;dowolnie długie przedziały bez żadnej liczby pierwszej: dlan > 3 wszystkie liczby n! + 2,n! + 3, . . . ,n! + n są złożone.

Wykres funkcji π(x), na pierwszy rzut oka wygląda jak dośćchaotyczny zygzak, ale

. . . oglądany “z daleka”, wygładza się i porządnieje.


Pierwsza połowa XIX wieku

Twierdzenie (Dirichlet, 1837). Jeśli a,b są względnie pierwsze, tow ciągu arytmetycznym a,a+ b,a+ 2b,a+ 3b, . . . jestnieskończenie wiele liczb pierwszych.

Czebyszew, 1848–1850: dwie prace o liczbach pierwszych;początek poważnych prób badania rozkładu liczb pierwszychmetodami analizy matematycznej.


Twierdzenie o liczbach pierwszych (1896)

Z lewej: Jacques Hadamard, 1865–1963.Z prawej: Charles-Jean Étienne Gustave Nicolas,baron de la Vallée Poussin, 1866–1962


TLP i heurystyka GaussaTwierdzenie o liczbach pierwszych: błąd względny przybliżenia

π(x) ≈ x/ log x

dąży do zera dla x→∞.

Gauss, posługując się danymi empirycznymi, sugerował, że

π(x) ≈∫x

2

dt

ln t = Li(x) dla x > 2. (1)

Przybliżenie Gaussaoparte jest na rozumowaniu heurystycznym, zakładającym, żerozkład liczb pierwszych jest losowy;jest znacznie lepsze od π(x) ≈ x/ ln x.


Praca Riemanna

Riemann rozważa funkcję

R(x) = π(x) + 12π(√x) + 1

3π(3√x) + · · · . (2)

Spełnia ona, jak się okazuje, inny wzór:

R(x) = Li(x) + n(x) + pewien szereg, S(x), (3)

gdzie nieistotny składnik

n(x) =∫∞x

dt

t(t2 − 1) ln t → 0 dla x→∞,

a błąd S(x) jest wyrażony za pomocą zer funkcji ζ.


Sens Hipotezy RiemannaChodzi o to, żeby błąd S(x) we wzorze R(x) = Li(x) + n(x) + S(x)był jak najmniejszy. Z obu wzorów na R(x) Riemann wywiódł, że

π(x) ≈ Li(x) +∞∑

n=2

µ(n)

nLi(

n√x), (4)

gdzie

µ(n) =

1, jeśli n = iloczyn parzystej liczby

różnych liczb pierwszych,−1, jeśli n = iloczyn nieparzystej liczby

różnych liczb pierwszych,0 w pozostałych przypadkach.

To, na ile dobrym przybliżeniem π jest pierwszy składnik sumy(tzn. logarytm całkowy), zależy właśnie od HR.


Równoważne wersje HR

Hipoteza 1 (von Koch, 1901). Istnieje taka stała C, że∣∣π(x) − Li(x)∣∣ 6 C√x ln x dla każdego x > 2.

Hipoteza 2 (Lagarias, 2000). Niech σn oznacza sumę dzielnikówliczby n i niech Hn = 1 + 1

2 + · · ·+ 1n

. Wtedy

σn 6 Hn + eHn lnHn dla wszystkich n > 1,

przy czym równość ma miejsce tylko dla n = 1.


HR (prawie) dla dzieci

Liczby > 1 dzielimy na trzy klasy: czarne, czerwone i białe.Białe są te, które dzielą się przez jakiś pełny kwadrat > 1:np. 72, 99, 2012 i 102012.Czarne są te, które są iloczynem parzystej liczby różnychczynników pierwszych, np. 6, 15, 210,Czerwone są te, które są iloczynem nieparzystej liczbyróżnych czynników pierwszych, np. 11, 30, 1001.


Zliczamy czerwone i czarne

Niech bk i rk oznaczają, odpowiednio, liczbę liczb czarnychi czerwonych w przedziale [2,k] (przykład: b20 = 4, r20 = 8).

Hipoteza 3. Dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba M > 0, że

|bk − rk| 6Mk12+ε

dla wszystkich k > M.

Jeszcze trochę inaczej: dla bardzo dużych k liczba |bk − rk| ma,z grubsza, dwa razy mniej cyfr od k.


Co wiadomo o zerach ζ?

Są zera trywialne w punktach −2,−4,−6,−8, . . .;Są zera nietrywialne gdzieś w pasie 0 < Rez < 1.HR: wszystkie zera nietrywialne są na prostej krytycznejRez = 1

2 ;Hardy, 1914: na prostej krytycznej jest nieskończenie wielezer funkcji ζ.Levinson, 1974: na prostej krytycznej jest co najmniej 1

3nietrywialnych zer ζ.Znamy (pocz. XXI wieku) wartości około 1013 zernietrywialnych; wszystkie należą do prostej krytycznej.


Inna ciekawostka, związana z ζ

Niech Qk(n) oznacza liczbę tych liczb naturalnych 6 n, które niedzielą się przez żadną k-tą potęgę.

k 1/ζ(k) Qk(1000) Qk(106)2 0,607927. . . 608 6079263 0,831907. . . 833 8319104 0,923938. . . 925 9239395 0,964387. . . 965 9643886 0,982953. . . 984 982954


Nieco inne ‘proste’ twierdzenie na deser

Twierdzenie (Ben Green, Terence Tao, 2004). Istnieją dowolniedługie ciągi arytmetyczne złożone z samych liczb pierwszych.

Np. ciąg AP 24 (Jarosław Wróblewski, U.Wr., styczeń 2007) ma 24liczby pierwsze:

46839566204823 + 45872132836530 · k, k = 0, 1, . . . , 23.

Najdłuższy znany taki ciąg to AP 26 (2010, patrz np. Wikipedia).Znalezienie konkretnego przykładu AP 27 wymagałoby kilkunastuprocent całej mocy obliczeniowej, jaką dysponuje dziś cała naszacywilizacja.

Terrence Tao: medal Fieldsa 2006.


Ile jest takich ciągów

Hardy, Littlewood, 1923 (hipoteza): liczba ciągów arytmetycznychp1,p2, . . . ,pk o wszystkich wyrazach pi 6 N rośnie dla N→∞tak, jak

CkN2/(logN)k, (5)

gdzie Ck jest pewną konkretną stałą dodatnią. Np.

C3 =32∏p>5

(1 +

1(p− 1)3

)= 1,534 . . .

Green, Tao: Hipoteza H–L zachodzi dla k = 3, 4. Dla k > 5 —namiastka: dobre tempo wzrostu z dokładnością do stałegoczynnika.


Jeszcze jeden problem otwarty

Hipoteza (Erdős): jeśli A jest takim podzbiorem zbioru liczbnaturalnych, że ∑

n∈A

1n

= ∞,

to A zawiera dowolnie długie ciągi arytmetyczne.


Documents

Rzut oka na wspó czesna matematyke spotkanie 12: Hipoteza ...pawelst/rzut_oka/Zajecia_dla_MISH_2011-12/... · Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 12: Hipoteza Riemanna