Rzut oka na współczesną matematykęspotkanie 12: Hipoteza Riemanna.
Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
MISH UW, semestr zimowy 2011-12
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 1 / 26
Ile jest liczb pierwszych?
Głupie pytanie. Od 2300 lat wiadomo, że liczb pierwszych jestnieskończenie wiele.
Ale: dowód Euklidesa nie mówi, jaki jest ich rozkład wśródinnych liczb naturalnych;
. . . może jest ich “bardzo mało”?
. . . a może wręcz przeciwnie?
Do XVIII wieku o odpowiedziach na te pytania nie byłowiadomo praktycznie nic.
W związku np. z algorytmem RSA poszukiwanie dużych liczbpierwszych ma także pewne znaczenie praktyczne.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 2 / 26
Achilles i żółw
Zenon z Elei: Achilles nigdy nie dogoni żółwiaMatematyk: ale przecież 1
10 + 1100 + 1
1000 + · · ·
= 0, 1+ 0, 01+ 0, 001+ 0, 0001 + · · ·
= 0, 1111 . . . = 0, (1) = 19 ;
tzn. suma nieskończenie wielu składników może jednak byćskończona.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 3 / 26
Achilles i żółw
Zenon z Elei: Achilles nigdy nie dogoni żółwiaMatematyk: ale przecież 1
10 + 1100 + 1
1000 + · · ·
= 0, 1+ 0, 01+ 0, 001+ 0, 0001 + · · ·
= 0, 1111 . . . = 0, (1) = 19 ;
tzn. suma nieskończenie wielu składników może jednak byćskończona.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 3 / 26
Formalizacja: szeregi
Pojęcie zbieżnego szeregu o wyrazach dodatnich i jego sumy:
dane są liczby dodatnie a1,a2,a3, . . .jeśli istnieje liczba M większa od wszystkich sum częściowychSn = a1 + a2 + · · ·+ an, to szereg nazywa się zbieżny;Kres górny (równoważnie: granica ciągu) sum częściowychSn nazywa się sumą szeregu;
Szereg, który nie jest zbieżny, nazywa się rozbieżny.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 4 / 26
Oznaczenia, przykłady
Zapis: zamiast supn∈N
Sn albo limn→∞Sn, piszemy
∞∑n=1
an
(używając tego znaku także wtedy, gdy szereg jest rozbieżny —wtedy umawiamy się, że suma = +∞.)
Przykład.∞∑
n=1
1n
= +∞, bo 1n+ 1 +
1n+ 2 + · · ·+ 1
2n > n ·1
2n =12 .
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 5 / 26
Uczona nazwa: zagęszczanie
Proste, ale pożyteczne uogólnienie ostatniej sztuczki to tzw.kryterium zagęszczeniowe:
Jeśli a1 > a2 > a3 > . . . > 0, to szeregi∞∑
n=1
an oraz∞∑
n=1
2na2n
są jednocześnie oba zbieżne, albo oba rozbieżne.
Np. dla an = 1n
jest 2na2n = 2n · 12n = 1, a szereg z samych 1
jest rozbieżny, więc i szereg∑ 1
njest rozbieżny.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 6 / 26
Inne przykłady
Jeśli an = qn i 0 < q < 1, to szereg∑an (szereg
geometryczny) jest zbieżny;Dla an = 1
n2 mamy 2n · a2n = 2n · 1(2n)2 = 1/2n, więc
∑n=1
1n2 < +∞ (kryterium zagęszczeniowe)
Podobnie, dla każdej liczby s > 1 jest
ζ(s) : =∑n=1
1ns< +∞ (kryterium zagęszczeniowe)
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 7 / 26
Funkcja dzeta Riemanna
Oznaczmyζ(s) : =
∑n=1
1ns
dla s > 1.
Nieco bardziej zaawansowanymi metodami dowodzi się, że istniejetylko jedna funkcja zmiennej zespolonej z, która
jest równa ζ(s), jeśli z = s jest liczbą rzeczywistą > 1,jest określona dla wszystkich z 6= 1;ma pochodną (w sensie zespolonym) w każdym punkcie swojejdziedziny.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 8 / 26
Bernhard Riemann, 1826–1866
Zajmował się analiząmatematyczną, teoriąliczb i geometriąróżniczkową
Słynny wykładhabilitacyjnyO hipotezach, które leżąu podstaw geometrii
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 9 / 26
Pytanie za milion dolarów
Hipoteza (Riemann, 1859). Jeśli ζ(z) = 0 i część rzeczywistaz > 0, to z = 1
2 + it dla pewnego t rzeczywistego.
Pytanie: Dlaczego w ogóle to kogoś interesuje? I gdzie tu sąliczby pierwsze?
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 10 / 26
Pytanie za milion dolarów cd.
Głównym celem Riemanna było nie samo badanie funkcji ζ, aleposzukiwanie jak najlepszego, a przy tym możliwie prostegoprzybliżenia funkcji
π(N) = liczba liczb pierwszych w zbiorze {1, 2, . . .N}.
Milion dolarów to nagroda ufundowana przez Instytut Claya w2000 roku (hipoteza Riemanna jest jednym z tzw. siedmiuproblemów milenijnych).
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 11 / 26
Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x.
Zatem
exp(∑
p6N
1p
)>
∏p6N
(1 +
1p
)>
∑n6N
n bezkw.
1n
.
(Liczba bezkwadratowa: nie dzieli się przez żaden pełny kwadratwiększy od 1.)
Stąd
2 exp(∑
p6N
1p
)>
∑n6N
1n2 ·
∑n6N
n bezkw.
1n
>∑n6N
1n≈ logN.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 12 / 26
Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x. Zatem
exp(∑
p6N
1p
)>
∏p6N
(1 +
1p
)
>∑n6N
n bezkw.
1n
.
(Liczba bezkwadratowa: nie dzieli się przez żaden pełny kwadratwiększy od 1.)
Stąd
2 exp(∑
p6N
1p
)>
∑n6N
1n2 ·
∑n6N
n bezkw.
1n
>∑n6N
1n≈ logN.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 12 / 26
Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x. Zatem
exp(∑
p6N
1p
)>
∏p6N
(1 +
1p
)>
∑n6N
n bezkw.
1n
.
(Liczba bezkwadratowa: nie dzieli się przez żaden pełny kwadratwiększy od 1.)
Stąd
2 exp(∑
p6N
1p
)>
∑n6N
1n2 ·
∑n6N
n bezkw.
1n
>∑n6N
1n≈ logN.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 12 / 26
Rozbieżność szeregu odwrotności liczbpierwszychLiczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istotnie,exp(x) > 1 + x. Zatem
exp(∑
p6N
1p
)>
∏p6N
(1 +
1p
)>
∑n6N
n bezkw.
1n
.
(Liczba bezkwadratowa: nie dzieli się przez żaden pełny kwadratwiększy od 1.)
Stąd
2 exp(∑
p6N
1p
)>
∑n6N
1n2 ·
∑n6N
n bezkw.
1n
>∑n6N
1n≈ logN.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 12 / 26
Wzór Eulera: związek ζ z liczbami pierwszymi
To, że ∑p pierwsza
1p= +∞
wiedział już Leonard Euler, jakieś sto lat przed Riemannem.Euler wiedział również, że dla s > 1 zachodzi wzór:
∏p pierwsza
1
1 −1ps
=
∞∑n=1
1ns
= ζ(s) .
Ten wzór stał się dla Riemanna punktem wyjścia do poszukiwania“wzoru” na π(n).
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 13 / 26
Kilka słów o wartościach π(n)
Liczby pierwsze pojawiają się wśród innych liczb kapryśnie:
co jakiś czas — para bliźniaków;dowolnie długie przedziały bez żadnej liczby pierwszej: dlan > 3 wszystkie liczby n! + 2,n! + 3, . . . ,n! + n są złożone.
Wykres funkcji π(x), na pierwszy rzut oka wygląda jak dośćchaotyczny zygzak, ale
. . . oglądany “z daleka”, wygładza się i porządnieje.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 14 / 26
Pierwsza połowa XIX wieku
Twierdzenie (Dirichlet, 1837). Jeśli a,b są względnie pierwsze, tow ciągu arytmetycznym a,a+ b,a+ 2b,a+ 3b, . . . jestnieskończenie wiele liczb pierwszych.
Czebyszew, 1848–1850: dwie prace o liczbach pierwszych;początek poważnych prób badania rozkładu liczb pierwszychmetodami analizy matematycznej.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 15 / 26
Twierdzenie o liczbach pierwszych (1896)
Z lewej: Jacques Hadamard, 1865–1963.Z prawej: Charles-Jean Étienne Gustave Nicolas,baron de la Vallée Poussin, 1866–1962
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 16 / 26
TLP i heurystyka GaussaTwierdzenie o liczbach pierwszych: błąd względny przybliżenia
π(x) ≈ x/ log x
dąży do zera dla x→∞.
Gauss, posługując się danymi empirycznymi, sugerował, że
π(x) ≈∫x
2
dt
ln t = Li(x) dla x > 2. (1)
Przybliżenie Gaussaoparte jest na rozumowaniu heurystycznym, zakładającym, żerozkład liczb pierwszych jest losowy;jest znacznie lepsze od π(x) ≈ x/ ln x.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 17 / 26
Praca Riemanna
Riemann rozważa funkcję
R(x) = π(x) + 12π(√x) + 1
3π(3√x) + · · · . (2)
Spełnia ona, jak się okazuje, inny wzór:
R(x) = Li(x) + n(x) + pewien szereg, S(x), (3)
gdzie nieistotny składnik
n(x) =∫∞x
dt
t(t2 − 1) ln t → 0 dla x→∞,
a błąd S(x) jest wyrażony za pomocą zer funkcji ζ.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 18 / 26
Sens Hipotezy RiemannaChodzi o to, żeby błąd S(x) we wzorze R(x) = Li(x) + n(x) + S(x)był jak najmniejszy. Z obu wzorów na R(x) Riemann wywiódł, że
π(x) ≈ Li(x) +∞∑
n=2
µ(n)
nLi(
n√x), (4)
gdzie
µ(n) =
1, jeśli n = iloczyn parzystej liczby
różnych liczb pierwszych,−1, jeśli n = iloczyn nieparzystej liczby
różnych liczb pierwszych,0 w pozostałych przypadkach.
To, na ile dobrym przybliżeniem π jest pierwszy składnik sumy(tzn. logarytm całkowy), zależy właśnie od HR.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 19 / 26
Równoważne wersje HR
Hipoteza 1 (von Koch, 1901). Istnieje taka stała C, że∣∣π(x) − Li(x)∣∣ 6 C√x ln x dla każdego x > 2.
Hipoteza 2 (Lagarias, 2000). Niech σn oznacza sumę dzielnikówliczby n i niech Hn = 1 + 1
2 + · · ·+ 1n
. Wtedy
σn 6 Hn + eHn lnHn dla wszystkich n > 1,
przy czym równość ma miejsce tylko dla n = 1.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 20 / 26
HR (prawie) dla dzieci
Liczby > 1 dzielimy na trzy klasy: czarne, czerwone i białe.Białe są te, które dzielą się przez jakiś pełny kwadrat > 1:np. 72, 99, 2012 i 102012.Czarne są te, które są iloczynem parzystej liczby różnychczynników pierwszych, np. 6, 15, 210,Czerwone są te, które są iloczynem nieparzystej liczbyróżnych czynników pierwszych, np. 11, 30, 1001.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 21 / 26
Zliczamy czerwone i czarne
Niech bk i rk oznaczają, odpowiednio, liczbę liczb czarnychi czerwonych w przedziale [2,k] (przykład: b20 = 4, r20 = 8).
Hipoteza 3. Dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba M > 0, że
|bk − rk| 6Mk12+ε
dla wszystkich k > M.
Jeszcze trochę inaczej: dla bardzo dużych k liczba |bk − rk| ma,z grubsza, dwa razy mniej cyfr od k.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 22 / 26
Co wiadomo o zerach ζ?
Są zera trywialne w punktach −2,−4,−6,−8, . . .;Są zera nietrywialne gdzieś w pasie 0 < Rez < 1.HR: wszystkie zera nietrywialne są na prostej krytycznejRez = 1
2 ;Hardy, 1914: na prostej krytycznej jest nieskończenie wielezer funkcji ζ.Levinson, 1974: na prostej krytycznej jest co najmniej 1
3nietrywialnych zer ζ.Znamy (pocz. XXI wieku) wartości około 1013 zernietrywialnych; wszystkie należą do prostej krytycznej.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 23 / 26
Inna ciekawostka, związana z ζ
Niech Qk(n) oznacza liczbę tych liczb naturalnych 6 n, które niedzielą się przez żadną k-tą potęgę.
k 1/ζ(k) Qk(1000) Qk(106)2 0,607927. . . 608 6079263 0,831907. . . 833 8319104 0,923938. . . 925 9239395 0,964387. . . 965 9643886 0,982953. . . 984 982954
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 24 / 26
Nieco inne ‘proste’ twierdzenie na deser
Twierdzenie (Ben Green, Terence Tao, 2004). Istnieją dowolniedługie ciągi arytmetyczne złożone z samych liczb pierwszych.
Np. ciąg AP 24 (Jarosław Wróblewski, U.Wr., styczeń 2007) ma 24liczby pierwsze:
46839566204823 + 45872132836530 · k, k = 0, 1, . . . , 23.
Najdłuższy znany taki ciąg to AP 26 (2010, patrz np. Wikipedia).Znalezienie konkretnego przykładu AP 27 wymagałoby kilkunastuprocent całej mocy obliczeniowej, jaką dysponuje dziś cała naszacywilizacja.
Terrence Tao: medal Fieldsa 2006.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 25 / 26
Ile jest takich ciągów
Hardy, Littlewood, 1923 (hipoteza): liczba ciągów arytmetycznychp1,p2, . . . ,pk o wszystkich wyrazach pi 6 N rośnie dla N→∞tak, jak
CkN2/(logN)k, (5)
gdzie Ck jest pewną konkretną stałą dodatnią. Np.
C3 =32∏p>5
(1 +
1(p− 1)3
)= 1,534 . . .
Green, Tao: Hipoteza H–L zachodzi dla k = 3, 4. Dla k > 5 —namiastka: dobre tempo wzrostu z dokładnością do stałegoczynnika.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 26 / 26
Jeszcze jeden problem otwarty
Hipoteza (Erdős): jeśli A jest takim podzbiorem zbioru liczbnaturalnych, że ∑
n∈A
1n
= ∞,
to A zawiera dowolnie długie ciągi arytmetyczne.
P. Strzelecki [email protected] (IM) Rzut oka. . . 12. RH 2.01.2012 27 / 26