S ố phức - thunhan.files.wordpress.com · Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

Số phức

1.1 Khái niệm về số phức

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R

không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm

thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

1.1.1 Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i2 = - 1 gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là

phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng

bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký

hiệu z . Khi đó: số phức liên hợp của z là z.

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức

1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng

Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)

của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục

thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.


Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ OAuuur

Trong nhiều trường hợp,

người ta xem vec tơ OAuuur

như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a +bi và OAuuur

là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy.

Khi đó:

Độ dài r = OAuuur

của vectơ OAuuur

được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển

nhiên ta có:

|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0

Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là OAuuur

≠ 0r

. Góc định hướng giữa tia Ox

và vectơ OAuuur

(đo bằng radian) ϕ = ·( ),Ox OAuuur

được gọi là

argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất

mà sai khác nhau k2π.

Nếu chỉ giới hạn xét ϕ ∈[0;2π) thì khi đó ϕ được gọi là

argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì ϕ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng a = rcosϕ ; b = rsinϕ.

Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)

Ta có: r = 2 2a b+ , ϕ = tg (b/a) , nếu a ≠ 0. a = rcosϕ ; b = rsinϕ

Từ định nghĩa của số phức liên hợp z của z và biểu diễn hình học của z , ta có:

| z | = | z |; arg z = - argz.

Ví dụ:

1. r(cosϕ - isinϕ) có phải là dạng lượng giác của số phức z?

2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác

a. z = -2 + 2i 3 b. z = 1 + i c. z = 1- i

d. z = cos .sin7 7

iπ π − +

e. z = sin .cos3 3

iπ π +

A(a,b)

b

y

O a x ϕ

r


1.2 Những phép tính cơ bản trên số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là r1 (cosϕ1 +

isinϕ1) và r2 (cosϕ2 + isinϕ2)

1.2.1 Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)

1.2.2 Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)

Nhận xét: z. z = a2 + b2 = | z |2.

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:

z.w = r1.r2 (cos(ϕ1 +ϕ2) + isin(ϕ1 +ϕ2)) (3)

Nhận xét: | z.w | = | z |. | w |;

| zn | = | z |n ; Arg(zn) = n. Argz + k2π

1.2.3 Phép chia 2 số phức.

Bổ đề: Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z1 sao cho z.z1 =1. Khi đó z1 được

gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z-1. Vậy z-1 = 1/z.

Chứng minh

Ta cần tìm z1 = c + di sao cho z.z1 = 1.

Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1

Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được: 2 2 2 2;a bc da b a b

−= =

+ +

Vậy z1 tồn tại.

Do đó, z-1 = z1 = 2 2 2 2a b i

a b a b−

+ + (4)

Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z-1 = 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức

liên hợp z

Phép chia hai số phức:

Giả sử w ≠ 0. Khi đó:


2 2 2 2

. ( ).( ) ( ) ( ).

z z w a bi c di ac bd bc ad iw c d c dw w

+ − + + −= = =

+ +(5)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

z/w = (r1/r2). (cos(ϕ1 - ϕ2) + isin(ϕ1-ϕ2)) (6)

1.2.4 Các ví dụ:

1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w,z – w,z.w, z/w.

2. Tính (1 + i)2 , (1 + i)4. Suy ra (1+i)2006, (1 – i)210906

3. (3 –i)(14 +2i); (2+3i)/ (1 - 4i); (1 + 2i)2/1-i

4. (1 + i)9/(1 – i )7 ; 1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)99

5. Tìm modun của các số phức sau: 4(1 )

(1 6 )(2 7 )i

i i+

+ −

1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức

1.3.1 Nâng lên lũy thừa

Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì: [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn (cosnϕ + isinnϕ).

Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với số mũ của lũy thừa.

Áp dụng của công thức Moivre:

Trong công thức đặt r = 1, ta được

(cosϕ + isinϕ)n = (cosnϕ + isinnϕ)

Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần

ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ.

Chẳng hạn với n = 3: ta có:

VT = cos3ϕ + i.3cos2ϕsinϕ - 3cosϕsin2ϕ - isin3ϕ

VP = cos3ϕ + isin3ϕ

Do đó: cos3ϕ = cos3ϕ - 3cosϕsin2ϕ = -3cosϕ + 4 cos3ϕ

sin3ϕ = -sin3ϕ + 3cos2ϕsinϕ = 3sinϕ - 4 sin3ϕ

1.3.2 Phép khai căn

Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn: nn z w w z= ⇔ = . Hay: (cos sin ) (cos sin )n r i iϕ ϕ ρ θ θ+ = +


(cos sin ) (cos sin )nr i n i nϕ ϕ ρ θ θ⇔ + = + Vì trong những số phức bằng nhau. Môđun phải bằng nhau nhưng argument có thể

sai khác một bội 2π nên: ρn = r; nθ = ϕ + k2π

Từ đó: ρ = n r ; θ = 2kn

ϕ π+ ; k là số nguyên tùy ý.

Cho k các giá trị 0,1,2,..., n-1, ta được n giá trị khác nhau của căn. Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc

biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác: Nếu A > 0 thì A = |A| (cos0 + isin0) Nếu A < 0 thì A = |A| (cosπ + isinπ)

Ví dụ: Tìm 33 41, 1, (2 2 )i− + Bài tập: Bài 1 Tính:

1. (3+5i).(4-i) 2. (6+11i).(7+3i) 3. (4 – 7i)30 4. 34 5

ii

−+

5. 2 3

3 2

(1 2 ) (1 )(3 2 ) (2 )

i ii i

+ − −+ − +

6. 3 41 2

ii

+−

7. (1+i 3 )3 8. 5 12i− −

9. ( ) ( )931 3 1 3i i+ + + 10. 81

2i −

− +

11. ( )71 3i− − 12. ( ) ( )200720061 3i i− + −

Bài 2 Tìm các số thực x,y sao cho: 1. (1- 2i)x + (-3 + 4i)y = -1 -3i 2. (2+i)x – (3+5i) = 1 +3i 3. (2 - 3i)x +(1+3i)y = x + 5iy 4. (3-2i)x – (4+5i)y = 2y + 3ix

Bài 3: Tìm |z| (modun của số phức) nếu :

1. ( 1 + i) ( )3 i+ 2. 13

ii

++

3. (1 )(3 )( 2 )(3 4 )(5 )i i i

i i i+ + − −

+ + 4.

32 6

1 3i

i − + +

5. 5(3 4 )

3 4ii

+−

6. 31

iii

+− +

− 7.

20062 33 2

izi

+ = − 8.

4(3 4 )(1 )3 4

i ii

+ + −

Bài 4: Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác

1. – 1 – i 2. 1 3i+ 3. ( )31 3

1

i

i

+

− − 4. ( ) ( )

43 1i i+ − 5. ( )( )( )1 1 3 3i i i+ − − +

Bài 5: Giải các phương trình:

1. z2 = - 1 + i 2. 4z2 + 4z + i = 0 3. 4 22 3 4 0z z− + =


Bài 2. ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

I. Giới hạn hàm số

1. Các giới hạn cơ bản:

1. 1limsinlim00

==→→ t

tgtt

ttt

2. 1)1ln(lim1lim00

=+

=−

→→ tt

te

t

t

t 3.

21cos1lim 20

=−

→ tt

t

4. att a

t=

−+→

1)1(lim0

5. pet

t

p

t∀=

∞→,0lim 6. p

ttp

t∀>=

∞→,0,0lnlim αα

2. Quy tắc L’Hospital:

Cho xo ∈ R hoặc xo = ± ∞. f, g có đạo hàm liên tục thỏa mãn:

0)(lim)(lim00

==→→

xgxfxxxx

hoặc ±∞==→→

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

Giả sử tồn tại Axgxf

xx=

→ )(')('lim

0

. Khi đó: Axgxf

xx=

→ )()(lim

0

3. Giới hạn dạng: [ ] )()(lim0

xg

xxxf

→

1. Giả sử bxgaaxfxxxx

=>=→→

)(lim);0()(lim00

(a,b hữu hạn) thì [ ] )()(lim0

xg

xxxf

→= ab

2. [ ] )()(lim0

xv

xxxu

→ có dạng 00. Đặt y = uv thì lny = v.lnu

Khi đó: yxx

lnlim0→

có dạng 0.0 ta dùng L’Hospital để tính giới hạn.

Nếu yxx

lnlim0→

= )(ln)(lim0

xuxvxx→

=a thì [ ] )()(lim0

xv

xxxu

→ = ea

3. [ ] )()(lim0

xg

xxxf

→có dạng 1∞. Khi đó:

[ ] )()(lim0

xg

xxxf

→= ( )

( )

0

( ) 1 ( )1( ) 1lim 1 ( ( ) 1)

f x g x

f xx x

f x−

−→

+ − =

[ ] ( )

0lim ( ) 1 g x

x xf x

e →−

Bài tập: Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1. 12

1lim 2

2

−−−

∞→ xxx

x 2.

xxxx

x

1)31)(21)(1(lim0

−+++→

3. 52

5

0

)51()1(limxx

xxx +

+−+→

4. 1

3lim32

1 −−++

→ xxxx

x


5. 2

1

1 )1()1(lim

−++−+

→ xnxnx n

x 6.

−

−−→ 31 )1(

31

1limxxx

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

1. x

axax

33

0lim −+

→ 2.

48lim

364 −−

→ xx

x 3.

22lim

axaxax

ax −

−+−→

4. 23

7118lim 2

3

2 +−+−+

→ xxxx

x 5.

1lim

+

++∞→ x

xxxx

6. 2

122lim

x

x xx

−+

∞→

7. 2

1

20

2

11lim

x

x x

+

→

+ 8. ( ) 2

.

12lim

xtg

xx

π

−→

9. 2

1

0

sinlimx

x xx

→


Bài 3 . VÔ CÙNG BÉ

1.1. Định nghĩa:

Hàm α(x) được gọi là lượng vô cùng bé (VCB) khi x → xo nếu lim ( ) 0ox x

xα→

=

Ví dụ: xm, sinx, tgx, ln(1+x), (1-cosx) là các VCB khi x → 0. Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x → ∞ thay vì quá trình x → xo.

Quy ước: quá trình x → ∞ hay x → xo ta gọi chung là trong 1 quá trình. 1.2 Định lý:

Trong 1 quá trình, f(x) → L khi và chỉ khi α(x) = f(x) – L là VCB trong quá trình đó. 1.3 Tính chất:Trong 1 quá trình

1. Nếu α(x) là VCB, C là hằng số thì C.α(x) là VCB. 2. Nếu α1(x), α2(x), ..., αn(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng

α1(x) + α2(x) + + ... + αn(x) cũng là VCB. 3. Nếu α(x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích α(x).f(x) cũng là VCB.

1.4 So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử kxgxf

oxx=

→ )()(lim

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = o(g) Nếu k = ±∞ thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = o(f) Nếu k ≠0, k ≠ ±∞ thì f, g là haiVCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k =1 thì ta nói f, g là

VCB tương đương. Ký hiệu: f ~ g Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f, và g không so sánh được với nhau

Ví dụ: 1. 1 – cosx và x2 là hai VCB ngang cấp khi x → 0. 2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x → 0.

1.5 Các VCB bé tương đương cần chú ý: Nếu x → 0 thì:

sinx ~ x; tgx ~ x; (1 – cosx) ~ ½ x2; arcsinx ~ x; (ex -1) ~ x; ln(1+x) ~ x ; [(1+x)a – 1] ~ ax;

1.6 Khử dạng vô định:

Tính chất 1: Nếu kgf

oxx=

→lim , f ~ f1; g ~ g1 thì k

gf

oxx=

→1

1lim


Chứng minh Thật vậy:

lim lim . . limo o ox x x x x x

f f f g fg gf g g→ → →

= =

Ví dụ:

30 0

ln(1 2 ) 2 2lim lim3 31xx x

x xxe→ →

+= =

−

Tính chất 2: Nếu α(x) = o(β(x)) trong 1 quá trình thì α(x) + β(x) ~ β(x). Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn Ví dụ:

1. 20

1 cos5limsin 2x

xx→

− 2.

0

ln(1 3 )lim2x

xtg x→

− 3.

2 3

3 50

sinlim2 4x

x x tg xx x x→

+ ++ +

4. 30

ln(1 )limsinx

tgxx x→

++

5. 2

20

ln(1 2 sin )limsin .x

x xx tgx→

−

Bài tập:

1. Giả sử t là lượng VCB. So sánh các lượng VCB: u = 5t2 + 2t5 và v = 3t2 +2t3 2. So sánh các VCB u = tsin2t và v = 2tsint khi t → 0. 3. So sánh các VCB u = t2 sin2t và v = ttgt khi t → 0. 4. Sử dụng các VCB tương đương, tính các giới hạn:

a. 20

)sin.31ln(limtgx

xxx

+→

b. xtgx

x 3121lim

0

−+→

c. )21(ln

3sinlim 2

2

0 xx

x +→

d. )41ln(

1lim2

0 xe x

x −−

→ e.

)1ln(coslnlim 20 x

xx +→

f. x

e x

x ln)1sin(lim

1

1

−−

→

g. 1)1().1(

1)1(lim

3 2

5 3

0 −++

−+→ xx

xx

h. 2516238lim

4

3

0 −+−+

→ xx

x i.

)431ln()231ln(lim 32

32

1 xxxxxx

x +−++−+

→

j 2

1

arcsin1lim

ln(1 )x

x

xx→

−−

k. 2

12

4 1limarcsin(1 2 )x

xx→

−−


Bài 4 Công thức khai triển Taylor – Maclaurinh

1. Công thức khai triển Taylor: Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp

n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a. Hãy xác định một đa thức y = Pn(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a)

và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

Pn(a) = f(a); ' ( ) ( )( ) '( );...; ( ) ( )n nn nP a f a P a f a= = (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định

20 1 2( ) .( ) .( ) ... .( )n

n nP x C C x a C x a C x a= + − + − + + − (2) Các hệ số C0, C1, C2, …, Cn được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn. Trước hết, ta tìm các đạo hàm của Pn(x)

' 2 11 2 3

'' 22 3

( )

( ) 2 .( ) 3 .( ) ... ( )

( ) 2 3.2 .( ) ... ( 1) ( )..................................................................................

( )

nn n

nn n

nn

P x C C x a C x a nC x a

P x C C x a n n C x a

P x

−

−

= + − + − + + −

= + − + + − −

= ( 1)...2.1. nn n C

−

(3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

0'

1''

2

( )

( )

( )

( ) 2.1........................

( ) .( 1)...2.1.

n

n

n

nn n

P a C

P a C

P a C

P a n n C

=

=

= = −

So sánh với điều kiện (1) ta có:

0

1

2

( )

( )'( )''( ) 2.1.

.......................

( ) .( 1)...2.1.nn

f a Cf a Cf a C

f a n n C

=

= = = −


0

1

2

( )

( )'( )

1 . ''( )2!

.......................1 . ( )!

nn

C f aC f a

C f a

C f an

=

=⇒ = =

(4)

Thay các giá trị của C0, C1, …, Cn vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm ( )

2 3'( ) ''( ) '''( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1! 2! 3! !

nn

nf a f a f a f aP x f a x a x a x a x a

n= + − + − + − + + −

Ký hiệu bằng Rn(x), hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập Pn(x) (hình vẽ)

( ) ( ) ( )n nR x f x P x= +

Hay: ( )

2 3'( ) ''( ) '''( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1! 2! 3! !

nn

nf a f a f a f af x f a x a x a x a x a R x

n= + − + − + − + + − + (6)

Rn(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư Rn(x) bé, thì khi đó đa thức Pn(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức Pn(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư Rn(x).

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư Rn(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: 1( )( ) ( )

( 1)!

n

nx aR x Q xn

+−=

+ (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định. Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị

xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q. Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x)

2 1( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( )

1! 2! ! ( 1)!

n nnx t x t x t x tF t f x f t f t f t f t Q

n n

+− − − −= − − − − − −

+ (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

O a

y

x

Rn(x)

y = f(x)

x

y = Pn(x)

Pn(x) f(x)


2 1 1( ) ( )

( 1)

( ) 2( )'( ) '( ) '( ) ''( ) ''( )1 2!

( ) ( ) ( ) '''( ) ... ( ) ( )2! ( 1)! !

( ) ( 1)( ) ( )! ( 1)!

n nn n

n nn

x t x tF t f t f t f t f t

x t x t n x tf t f t f tn n

x t n x tf t Qn n

− −

+

− −= − + − +

− − −− + − +

−

− + −− +

+

Rút gọn lại ta được : ( 1)( ) ( 1)( )'( ) ( )

! ( 1)!

n nnx t n x tF t f t Q

n n+− + −

= − ++

(9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a. Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0. Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = ξ nằm giữa

a và x sao cho F’(ξ) = 0. Thế vào (9) ta có :

( 1)( ) ( 1)( )'( ) ( )! ( 1)!

n nnx n xF f Q

n nξ ξ

ξ ξ+− + −= − +

+

Suy ra : ( 1) ( )nQ f ξ+= Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

1( 1)( )( ) ( )

( 1)!

nn

nx aR x fn

ξ+

+−=

+- số hạng dư Larange

Vì ξ là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: ( ) , [0;1]a x aξ θ θ= + − ∈

Nghĩa là : 1

( 1)( )( ) [ ( )]( 1)!

nn

nx aR x f a x an

θ+

+−= + −

+

Công thức:

( )2 3

1( 1)

'( ) ''( ) '''( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1! 2! 3! !

( ) [ ( )]( 1)!

nn

nn

f a f a f a f af x f a x a x a x a x an

x a f a x an

θ+

+

= + − + − + − + + − +

−+ + −

+

gọi là công thức Taylor của hàm số f(x). Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

2 3 1( ) ( 1)( ) (0) '(0) ''(0) '''(0) ... (0) ( ) , [0;1]

1! 2! 3! ! ( 1)!

n nn nx x x x xf x f f f f f f x

n nθ θ

++= + + + + + + ∈

+

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư Rn(x) – được gọi là công thức khai triển Maclaurinh. Tóm lại, ta có định lý sau:


Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f’(x), f’’(x), f(n)(x) liên tục tại điểm xo và có đạo hàm f(n+1)(x) trong lân cận của xo thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

f(x) = 1)1()(

2 )(!

)()(!

)(...)(

!2)(''

)(!1

)(')( +

+

−+−++−+−+ no

nn

oo

n

oo

oo

o xxn

cfxxn

xfxx

xfxx

xfxf

(c ở giữa xo và x, c= xo + a(x-xo), 0 < a <1) Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt xo = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận xo = 0):

f(x)= )10(,!

)(!

)0(...!2

)0(''!1

)0(')0( 1)1()(

2 <<+++++ ++

θθ n

nn

n

xn

xfxn

fxfxff

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:

1. ex= ∑=

+n

k

nk

xokx

0)(

!

2. sinx = )()!12(

)1(...!5!3

1212

153

−−

− +−

−+++− mm

m xomxxxx = ∑

=

−−

− +−

−n

k

nk

k xokx

1

1212

1 )()!12(

)1(

3. cosx = )()!2(

)1(...!4!2

1 2242

mm

m xom

xxx+−+++− = ∑

=

+−n

k

nk

k xok

x0

22

)()!2(

)1(

4. ln(1+x) = )()1(...432

1432

nn

n xonxxxxx +−+−+− −

5. (1+x) α = )(!

)1)...(1(...!2

)1(1 2 nn xoxn

nxx ++−−

++−

++ααααα

α

3. Bài tập: Bài 1:

a. Khai triển đa thức x4 – 5x3 + 5x2 + x + 2 thành lũy thừa của ( x – 2)

b. Khai triển đa thức x5 + 2x4 - x2 + x + 1 thành lũy thừa của ( x + 2)

c. Khai triển hàm số f(x) = sinx tới số hạng x4 tại lân cận xo = π/4 .

d. Khai triển hàm số y = x với xo = 1 và n = 3. Bài 2: Viết khai triển các hàm sau đây theo lũy thừa nguyên dương của biến x đến

số hạng cấp cho trước

1. f(x) = esinx đến x3 2. f(x) = ( )6040

100

)21()21(1

xxx

+−+ đến số hạng

x2

3. f(x) = 2

2

11

xxxx

+−++ đến số hạng x4. f (4)(0) =? 4. 22 xxe − đến số hạng x5


5. 3 23 3121 xxxx +−−+− đến số hạng x3. 6. tgx đến số hạng x5

7. 1)1( −−xex đến số hạng x4 8. 3 3sin x đến số hạng x13. f (7)(0) = ?

9. f(x) = )1ln( 2xx ++ đến x5. 10. f(x) = ln(cosx) đến x6

11. f(x) =

xxsinln đến x6. f(4)(0) = ? 12.sin(sinx) đến số hạng x3

Bài 3: Ước lượng sai số tuyệt đối của các công thức gần đúng:

1. ex ≈ !

...!2

12

nxxx

n

++++ khi 0≤ x ≤ 1. 2.sinx ≈ 6

3xx − , khi |x| ≤ 0.5

Bài 4: Với giá trị x nào thì ta có công thức gần đúng cosx ≈ 2

12x

− với độ chính xác

0,0001? Bài 5: Dùng công thức Taylor tính gần đúng

1. 3 250 2. sin(18o) 3. (1,1)1,2 và ước lượng sai số.

4. sin1o với độ chính xác 10-8 5. lg11 với độ chính xác 10-5

Bài 6: Sử dụng khai triển để tính các giới hạn sau:

1.

21

sinlim 20 xxe

xxx

x−−−

−→

2. 5

3

0

)sin(2limx

xxtgxx

−−→

3.

−

→ctgx

xxx

11lim0

4. 6 566 56lim xxxxx

−−+∞→

5.

+−

+−

∞→1

2lim 6

123 xexxx x

x 6.

+−

∞→ xxx

x

11lnlim 2


TÍCH PHÂN PHÂN THỨC HỮU TỶ

1. Lấy tích phân các phân thức hữu tỷ sơ cấp:

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: ( )( )

P xQ x

, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức.

Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu degP(x) < degQ(x). Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

I. Ax a−

II. ( )

, 1,mA m m Z

x a≥ ∈

−

III. 2

Ax Bx px q

++ +

, tam thức bậc hai x2 + px + q không có nghiệm thực

IV. ( )2

, 1,nAx B n n Z

x px q

+≥ ∈

+ +, x2 + px + q không có nghiệm thực

Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên

I. .lnA dx A x a Cx a

= − +−∫

II. ( ) 1

1.1 ( )m m

A Adx Cm x ax a −= − +

− −−∫

III. 2

2 2

2 2ln( )2 4 4A B Ap x px px q arctg C

q p q p− +

+ + + +− −

Ví dụ: Tính 2

12 2 5

x dxx x

++ +∫

3. Xét tích phân dạng IV:

Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại IV: 2 2( )n

dtt a+∫ . Ta có:

2 2 2 2 2 2

12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )n nn n n n n

dt a t t dt t dt td t aI dt It a a t a a t a a t a a a t a−−

+ − += = = − = −

+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho 2 2

2 2

( )( )n

td t at a

++∫ . Ta có:


1 12 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2

1 1 1 1 2 3. . .2 ( 1)( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) ( ) 2 2n n nn n n

t dt t nI I Ia a n t a a n t a a n t a a n− −− − −

−= + − = +

− + − + − + −∫

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về 2 2

dtt a+∫

Ví dụ: tính 2 3( 1)dx

x +∫

- Tích phân dạng IV:

Cần tính ( )2 n

Ax B dxx px q

+

+ +∫ ,

2

04p q− <

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

(2 )(2 )2 2

2 2n n n n

A Apx p BAx B A x p Ap dxdx dx dx B

x px q x px q x px q x px q

+ + − + + = = + − + + + + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

- dễ dàng tính tích phân thứ nhất. -

( ) 2 222 2 ( )

2 4

n n n

dx dx dtt ax px q p px q

= =+ + + + + −

∫ ∫ ∫

Ví dụ: tính 2 2

3 2( 2 10)

x dxx x

++ +∫

4. Tích phân các phân thức hữu tỷ nhờ phân tích các phân thức đơn giản nhất:

Xét phân thức hữu tỷ ( )( )

P xQ x

(1)

- Nếu (1) là phân thức hữu tỷ không thật sự thì ta có thể đưa về dạng phân

thức thật sự bằng cách chia tử cho mẫu. Khi đó: ( ) ( )( )( ) ( )

P x R xS xQ x Q x

= + , S(x), R(x) là các đa

thức và degR(x) < degQ(x).

- Nếu 2 2( ) ( ) .( ) .( ) .( )n mQ x x a x b x px q x lx sα β= − − + + + + , (a, b là các nghiệm thực, x2 + px + q và x2 + lx + s không có nghiệm thực, α, β, m. n là các số tự nhiên) thì:

1 2 1 22 2

1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2

( ) ... ...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

... ...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ m m n nm n

BAA A B BP xQ x x a x a x a x b x b x b

M x N P x NM x N M x N P x Q P x Qx px q x px q x px q x lx s x lx s x lx s

βαα β= + + + + + + + +

− − − − − −+ ++ + + +

+ + + + + + ++ + + + + + + + + + + +

Để tìm các hệ số A1, A2,...,Aα, B1, B2, ..., Bβ, M1, M2,..., Mn, N1, N2, Nm,.... ta có thể tính theo 2 cách:

- 1/ Nhân hai vế cho Q(x), rút gọn các số hạng đồng bậc ở vế phải, sau đó cho đồng nhất hệ số hai vế


- 2/ Sau khi nhân hai vế cho Q(x), ta cũng có thể cho x các giá trị khác nhau để xác định giá trị của các hệ số.

Ví dụ: Phân tích phân thức hữu tỷ: 2

5 2

1xx x

+−

thành phân thức đơn giản

5. Phương pháp Ostrogradsky:

Nếu Q(x) có nghiệm bội thì: 1 2

1 2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

P x P xP x dx dxQ x Q x Q x

= +∫ ∫ (5)

Trong đó: Q1(x) là ước chung lớn nhất của Q(x) và Q’(x); Q2(x) = Q(x) : Q1(x); P1(x) và P2(x) là những đa thức có hệ số chưa xác định, bậc của chúng lần lượt kém bậc của Q1(x) và Q2(x) 1 bậc.

Các hệ số của P1(x), P2(x) được tính bằng phép lấy vi phân của (5)

Ví dụ: Tính tích phân: ( )22

3 2

2 10

x dxx x

+

+ +∫

Bải tập: 1. Tính các tích phân sau:

1. 4( 1)dx

x −∫ 2. 3(2 3)dx

x +∫ 3. 2 6 18dx

x x− +∫ 4. 2

6 32 3x dx

x x+ +∫

5. 2

24 7

x dxx x

−− +∫ 6. 2

5 310 29x dx

x x+

+ +∫ 7. ( )22

2 3

2 5

x dxx x

+

+ +∫ 8.

( )22

3 4

6 13

x dxx x

+

+ +∫

2. Tính các tích phân sau:

1. 2 3( 2)( 5)

x dxx x

+− +∫ 2.

( 1)( 2)( 3)xdx

x x x+ − +∫ 3. 10

2 2x dx

x x− −∫

4. 2

2 2

5 6 9( 3) .( 1)

x x dxx x

+ +− +∫ 5. 2 3

2 3( 3 2)

x dxx x

−− +∫ 6.

3 2

2

3 5 72

x x x dxx

+ + ++∫

7. 5

4 2

18 16

x dxx x

+− +∫ 8*.

9

10 5 2( 2 2)x dx

x x+ +∫

3. Dùng công thức Ostrogradsky, tính các tích phân:

1. 4 2( 1)dx

x +∫ 2. 2 2( 1)dx

x x+ +∫


Bài 5 Tích phân hàm vô tỉ

1. Các tích phân cơ bản:

2

1 arcsin xdx Caa x2

= +−

∫

2

2

1 lndx x x k Cx k

= + + ++

∫

2 2 2 21 1 arcsin2 2

xa x dx x a x a Ca

2 − = − + +∫

2 2 21 ln2 2

kx kdx x x k x x k C+ = + + + + +∫

2. Các tích phân dạng 31 2

1 2 3, , , ,...mm m

n n nax b ax b ax bR x dxcx d cx d cx d

+ + +

+ + +

∫

Gọi k là mẫu số chung của 1 2

1 2

, ,..., n

n

mm mn n n

Đặt: kax b tcx d

+=

+ để đưa về tích phân hữu tỉ.

Ví dụ: Tính 3

1 11 1

x dxx

− ++ +∫

3. Xét tích phân dạng: ( ) , ( , , ; , )m n px a bx dx m n p Q a b R+ ∈ ∈∫ (tích phân nhị thức vi phân)

Tích phân chỉ có nguyên hàm nếu rơi vào 1 trong 3 trường hợp sau: 1. p ∈ Z. Đặt x = tS. s là mẫu số chung của m và n. 2. 1m Z

n+

∈ . Đặt a + bxn = tk, k là mẫu số của p.

3. 1m p Zn+

+ ∈ . Dùng phép thế ax-n + b = tS, s là mẫu số của p.

Ví dụ: Tính 3 21

xdx

x+∫ ;

( )104 1

dx

x x +∫ ;

( )1

4 2 21

dx

x x−

+∫


4. Tích phân vô tỉ dạng: 2( , )R x ax bx c dx+ +∫

TH1:( )

2

22 2 22

2

4; ;44

4

dx dx du b b acu x ka aax bx c a u kb b aca x

a a

−= = = + =

+ + −− + −

∫ ∫ ∫

1/ Nếu k > 0 và a > 0:

( )2

2 22

1 1. ln 11

du du dt t t Ca ka u k a k ta u k

= = = + − +− −−

∫ ∫ ∫ ; utk

=

2/ Nếu k > 0 và a > 0:

( ) 2 22

1 1. arcsin1

du du dt t Ca ka k u a k ta u k

= = = +− − −−

∫ ∫ ∫ ; utk

=

3/ Nếu k < 0 thì chắc chắn a phải dương:

( )2

2 2 22 2

1 1. ln 11

du du dt t t Ca ka u b a b ta u b

= = = + + ++ ++

∫ ∫ ∫ ;b2 = -k

TH2:

2

2 2 2 2

(2 )( )2 2

2 2

A Abax b BAx B A d ax bx c Ab dxa adx dx B

a aax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

+ + − + + + = = + − + + + + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

TH3: 2

( )nP x dxax bx c+ +

∫ , Pn(x) là đa thức bậc n

Được tính theo công thức: 2

12 2

( ) ( ).nn

P x dxdx Q x ax bx cax bx c ax bx c

λ−= + + ++ + + +

∫ ∫ (*)

Với Qn-1(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số phải tìm; λ là số thực càn xác định Những hệ số của đa thức Qn-1 và hệ số λ được xác định bằng cách lấy đạo hàm của

(*) và so sánh các hệ số.

Ví dụ: 3

21 2x dxx x+ −

∫ :

TH4: Các trường hợp khác 1. Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm thực x1, x2 thì đặt 2

1( )ax bx c t x x+ + = − 2. Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm ảo thì

a. Đặt 2 , ( 0)ax bx c ax t a+ + = + > b. Đặt 2 , ( 0)ax bx c xz c c+ + = + >


Ví dụ: ( )2

2

2 2

1 1

1

x xdx

x x x

− + +

+ +∫

4/ Tích phân các hàm lượng giác: (sin ,cos )R x x dx∫

- Phép thế vạn năng: Đặt t = tg(x/2). Khi đó: 2

2 2

1 2cos ;sin1 1

t tx xt t

−= =

+ +

- Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với sinx, Đặt t = cosx - Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với cosx, Đặt t = sinx - Nếu R(sinx,cosx) là hàm chẵn đối với cosx và sins, Đặt t = tgx

Ví dụ: 3cos xdx∫ ; sin1 sin

x dxx+∫

Bài tập: Tính tích phân 1.

2 1dx

x x− −∫ 2.

2 2 8dx

x x− − +∫ 3.

2

5 34 51

x dxx x

+

− + +∫

4.3

2

12 2

x x dxx x

− +

+ +∫ 5

44 1dx

x+∫ . 6.

( )5

2 3 32

dx

x x+∫

7. 3 41 x dx

x+

∫ 8. 3 3 3. 2

dxx x−

∫ 9. 2 3sin cosx xdx∫

10. 4 5sin

dxx−∫ 11. 2 2sin

dxx tg x+∫ 12. 4 4

sin 2cos sin

x dxx x+∫

13. 41

1x dxx

++∫ 14.

6

31x dx

x+∫ 15. 11

x dxx x

−+∫

16. 3 2. 1

dxx x −

∫ 17.3

3

22

x x dxx x

++ +∫ 18. 21 2x x dx− −∫


TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1. Tích phân suy rộng loại 1: 1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hũu hạn a≤x≤b< +∞ Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

lim ( ) : ( )b

ba a

f x dx f x dx+∞

→+∞=∫ ∫

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ( )a

f x dx+∞

∫ là hội tụ

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy

rộng ( )a

f x dx+∞

∫ là phân kỳ.

Ví dụ: 21 1

dxx

+∞

+∫ là hội tụ; 1

dxx

+∞

∫ là phân kỳ

1.2 Định nghĩa:

( ) : lim ( )c c

dd

f x dx f x dx→−∞

−∞

=∫ ∫

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: a>0; >0a

dxxα α

+∞

∫

Nếu α =1 thì tích phân phân kỳ Nếu α > 1 thì tích phân hội tụ Nếu α <1 thì tích phân phân kỳ

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0 1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

a. Nếu ( )a

g x dx+∞

∫ hội tụ thì tích phân ( )a

f x dx+∞

∫ hội tụ

b. Nếu ( )a

f x dx+∞

∫ phân kỳ thì tích phân ( )a

g x dx+∞

∫ phân kỳ.


1.4.2 Định lý so sánh 2: Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân

cận +∞ ( tức là x đủ lớn) và ( )lim( )x

f x kg x→+∞

=

a. Nếu k = 0 thì ( )a

g x dx+∞

∫ hội tụ ⇒ tích phân ( )a

f x dx+∞

∫ hội tụ

b. Nếu 0 < k < +∞ thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

c. Nếu k = + ∞ thì ( )a

f x dx+∞


g x dx+∞

∫ hội tụ.

1.5 Các ví dụ:

Xét sự hội tụ của các tích phân: 2xe dx

+∞−

−∞∫ ;

2 lndx

x

+∞

∫ ; 3 2

1 1 1dx

x x

+∞

+ +∫ ;

3

21 1

xdxx

+∞

+∫

1.6 Trường hợp f(x) có dấu tùy ý:

Định lý: Nếu ( )a

f x dx+∞


f x dx+∞

∫ hội tụ

2. Tích phân suy rộng loại 2: 2.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) khả tích trên [a;c] với a ≤ c < b và lim ( )x b

f x−→

= ∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

lim ( ) : ( )c b

c ba a

f x dx f x dx−→

=∫ ∫

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a;b].

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ( )b

a

f x dx∫ là hội tụ

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy

rộng ( )b

a

f x dx∫ là phân kỳ.

2.2 Định nghĩa: Giả sử f(x) khả tích trên [a;c] với a ≤ c < b và lim ( )

x af x

+→= ∞ thì

( ) : lim ( )b b

c aa c

f x dx f x dx+→

=∫ ∫

Ví dụ: 1

21 1

dxx− −

∫ là hội tụ;


Xét sự hội tụ của các tích phân: 1

20

arcsin1

xdxx−

∫ ; 2

1 lndx

x x∫

2.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: ( )

b>a; >0b

a

dxb x α α

−∫

( )

b

a

dxb x α−∫ hội tụ với α < 1 và phân kỳ với α≥ 1.

2.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0 2.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và f(x) ≤ g(x) ở lân cận trái của b. Khi đó:

a. Nếu ( )a

g x dx+∞


f x dx+∞

∫ hội tụ

b. Nếu ( )a

f x dx+∞

∫ phân kỳ thì tích phân ( )a

g x dx+∞

∫ phân kỳ.

2.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và ( )lim( )x b

f x kg x−→

=

a. Nếu k = 0 thì ( )b

a

g x dx∫ hội tụ ⇒ tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ

b. Nếu 0 < k < +∞ thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

c. Nếu k = + ∞ thì ( )a

f x dx+∞


g x dx+∞

∫ hội tụ.

Chú ý: Khi xét sự hội tụ của f(x), bằng mọi cách phải tìm được hàm g(x) có dạng

tích phân ở mục 2.3. Muốn vậy, cần chú ý các đại lượng VCB tương đương sau: sinx ~ x, 1 – cos2x ~ ½ x2; tgx ~ x; tgx – sinx ~ ½ x3 ;

(1-x)α - 1~ xα; ln(1+x) ~ x; ex -1~ x… xα.|lnx| → 0 (khi x → 0)

2.5 Các ví dụ:

Xét sự hội tụ của các tích phân: 1 3

sin0

ln(1 )1x

x dxe

+−∫

2.6 Trường hợp f(x) có dấu tùy ý:

Định lý: Nếu ( )b

a

f x dx∫ hội tụ thì tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ


Bài tập: 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

1. 1

ln(1 )x dxx

+∞ +∫ 2.

1

21 cos dxx

+∞ − ∫ 3.

2

31

1x dxx

+∞ +∫

4. 2

4 20 1

x dxx x

+∞

− +∫ HT 5. 0

arctgxdxxα

+∞

∫ 6. 2 2

2 2

0

a bx xe e dx

+∞− −

−

∫ HT

7. 2

3 41

sin 31

xdxx

+∞

+∫ HT 8. 3

1 sinxdx

x x

+∞

+∫ HT 9. 3 5

0 2xdxx

+∞

+∫ HT

10. 2

0

11

x dxx x

+∞ ++ +∫ HT 11.

1

1 1sin dxx x

+∞ ∫ 12. 2

0

cos5 cos 7x x dxx

+∞ −∫ HT

3. Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

1. 3

1

0 1x

dxe −∫ 2.

1

sin0 1x

xdxe −∫ 3.

1

0 cosxdx

e x−∫

4. 2

0

ln(sin )x dx

π

∫ HT 5. 1 3 2

0

ln(1 ).sin

x dxx x+

∫ HT 6. 2

3 21

( 2)3 4

x dxx x

−− +∫ PK

7. 20

sin x dxx

π

∫ HT 8. ( )

1

30x x

dx

x e e−−∫ HT 9.

1

5 30

42

arctg xdxx x+

∫ HT

Documents

S ố phức - thunhan.files.wordpress.com · Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó