S1 - Calcul - TDEX - DOC - Rev 2020...3. Par rapport à la production totale de ces quatre céréales, quelle est l’évolution dans le temps de la production de blé ? Lors d’une

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IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S1 – Calcul – TDEx – Rev2020

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

________ Calcul et analyse ________

TD et exercices

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section DUT Maths S1.

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IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S1 – Calcul – TDEx – Rev2020

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1 Pourcentages et indices

On donne ci-dessous un diagramme montrant l’évolution de l’indice boursier Français « CAC40 », depuis sa date de création, le 31 décembre 1987, jusqu’à 2012. Cet indice de « Cotation Assistée en Continu » témoigne de l’évolution des valeurs boursières des 40 actions les mieux cotées parmi les 100 entreprises françaises ayant le plus gros volume d’échanges européens.

Quelques faits marquants : * Le CAC 40 a atteint son record maximum le 4 septembre 2000 à 6 944,77 points, puis s'est effondré jusqu'à 2 401,15 points le 12 mars 2003.

* A la suite de cela, pendant une période d’environ 4 ans, l’indice a bénéficié d’une hausse d’environ 150 %, pour franchir à nouveau la barre des 6 000 points le 2 mai 2007.

* Mi-juillet 2007, l'indice représentait environ 70 % de la capitalisation totale de la Place de Paris, soit 1 300 milliards d'euros. Au début 2008, la capitalisation est d'un peu moins de 1 000 milliards d'euros.

* A partir de 2008, une crise boursière a fait chuter à nouveau le CAC 40, cédant plus de 43,5% entre le 21 janvier et le 10 octobre (date à laquelle il passe sous les 3 200 points), dont près de 22% dans la seule semaine du 6 au 10 octobre !

* Le lundi 13 octobre 2008, l'indice progressait de 11,18 % à 3 531,50 points, la plus forte progression quotidienne depuis sa création ! Ce record survenait peu après le record inverse de la plus forte chute : le lundi 6 octobre 2008, le CAC 40 clôturait en baisse de 9,04 % à 3 711,98 points.

1. Quel a été le pourcentage de chute de l’indice entre le 4 septembre 2000 et le 12 mars 2003 ? 2. Vérifions que la hausse annoncée entre 2003 et 2007 est bien de 150 %. 3. Mi-juillet 2007, quelle valeur en euros représentait l’indice ? 4. Entre mi-juillet 2007 et début janvier 2008, quel a été le pourcentage de baisse de la capitalisation

boursière de la Place de Paris ? 5. Si le 10 octobre 2008 on donne à l’indice une valeur de 3200 points, combien de points valait-il le

21 janvier 2008 ? 6. Combien valait l’indice au début et à la fin du 6 octobre 2008 ? du 13 octobre 2008 ?

Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg année N ; 2,12 €/kg année N+1 ; 1,53 €/kg année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 pour l’année N, calculer les indices du cours en N+1 et N+2.

Taux de 20 par rapport à 25 : Taux de 50 par rapport à 48 :

Taux de 8 par rapport à 32 : Taux de 56 par rapport à 28 :

Exercice 1. TD

Exercice 2.

Exercice 3.


Taux de variation de 20 vers 25 : Taux de variation de 50 vers 48 :

Taux de variation de 28 vers 56 : Taux de variation de 56 vers 28 :

Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". À combien se vend-il, soldé ?

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

Le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3,

et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date. 2. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4. 3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

Compléter le tableau suivant, sachant que les listes sont proportionnelles :

Liste 1 5 12 28

Liste 2 15 37 70

Cours de la bourse et consommation des ménages : proportionnalité ?

date janv-09 févr-09 mars-09 avr-09

CAC 40 3588 3825 3644 3860

indice conso 115 122,6 116,8 123,7

On relève, dans un groupe, les évolutions comparées du CA annuel et du nombre moyen d'employés de la même année :

date 2016 2017 2018 2019

A : CA (M€) 250 300 320 280

B : nb employés 1500 1800 1920 1680

1. Quelle formule pourrait-on établir pour calculer directement B en fonction de A ? 2. Donner une estimation du nombre d'employés pour que le CA monte à 350 M€ en 2020. 3. Si en 2020 on compte 1560 employés en moyenne, donner une estimation du CA.

Un lot de 15 articles est vendu 87 €, mais ils peuvent être vendus à l'unité. Combien coûtent 6 articles ?

Si 100 g d’un aliment donné fournissent 300 kJ, combien une portion de 30 g fournit-elle ?

Compléter le tableau suivant, sachant que les deux listes sont inversement proportionnelles :

février mars avril mai juin

28 12 5 Jours de pluie dans le mois

70 130 245 Nombre de visiteurs

Exercice 4.

Exercice 5.

Exercice 6.

Exercice 7.

Exercice 8.

Exercice 9.

Exercice 10.

Exercice 11.

Exercice 12.

Exercice 13.


Une bouteille d’une capacité de 1,5L est partiellement remplie de jus d’orange. Calculer le volume restant, sachant qu’on a réalisé les mesures suivantes : à l’endroit, on remarque que jus d’orange remplit un cylindre de 18 cm de hauteur ; à l’envers, le cylindre d’air mesure 12 cm de hauteur.

Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% ……% 50% 150%

40 …… …… …… …… ……

80 …… 4 20 …… ……

100 …… …… …… …… ……

…… …… 15 75 …… ……

800 …… …… …… …… ……

M. D. est représentant pour sa société. Sur le montant de chaque vente qu'il réalise, il touche cette année une commission de 15 %. 1. Ce mois-ci, il a fait un chiffre d'affaires de 14 000 €. Combien a-t-il gagné en commissions ? 2. Le mois dernier, il a touché 850 € de commissions. Quel a été son chiffre d'affaires ? 3. Au même mois de l'an dernier, il avait touché 1032 € pour un CA de 8600 €. Quel pourcentage de

commission touchait-il sur ses ventes ?

Un hebdomadaire qui publie chaque année une étude intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???" a réalisé une de ses enquêtes auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

Bac année 2018 année 2019

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 22 12 15 8

redoublants 3 3 10 9

Voici, à la suite de ce tableau, le commentaire du proviseur et celui d'un élève : Le proviseur : « L'année 2019 marque une progression de plus de 13% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs ! » Un élève : « Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Je ne félicite pas les profs ! » Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés ! Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

Voici un tableau donnant, en millions de tonnes, la production mondiale de quatre céréales pour cinq années. Utilisez ces données pour répondre aux questions ci-dessous :

1. Quelle est la céréale dont la production a le plus augmenté entre 1962 et 2000 ?

2. Cette augmentation est-elle aussi la plus forte en pourcentage ? 3. Par rapport à la production totale de ces quatre céréales, quelle est

l’évolution dans le temps de la production de blé ?

Lors d’une élection, 44 551 212 personnes étaient inscrites. Il y a eu 22% d’abstention. A l’issue du vote, un candidat a reçu 19 856 077 voix. Quel a été le pourcentage réalisé par ce candidat parmi les votants ?

Exercice 14.

Exercice 15.

Exercice 16.

Exercice 17.

Exercice 18.

Exercice 19.


Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?

En France, en dix ans, le nombre de jeunes de moins de vingt ans a été multiplié par 0,955. Traduire cette information par un pourcentage de variation.

Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ». 1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? 3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ?

En septembre, le prix du fuel a augmenté de 4,5%. On prévoit une baisse de 2% entre début et fin octobre. Au 30 septembre, il coûtait en moyenne 1,088€. 1. Combien coûtait-il le 1er septembre ? 2. Combien coûtera-t-il le 31 octobre ? 3. Quel aura été le pourcentage global de variation sur ces deux mois ?

Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 20 %. Quel est le montant HT ?

Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil ?

2 Mathématiques financières (les intérêts sont composés, sauf mention contraire)

Plaçons 1000 € à 5% sur 8 ans. Quel taux serait équivalent sur 6 ans ?

Soit trois capitaux initiaux placés à 8% : 1000€ sur 2 ans, 500€ sur 4 ans, 1500€ sur 5 ans. Quelle est l’échéance n d’un capital équivalent de 3200€ initiaux placés au même taux en intérêts composés ?

L’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par amortissements constants, au taux de 5% l’an. Dresser puis compléter le tableau d’amortissement de cet emprunt.

L’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par annuités constantes, au taux de 5% l’an. Dresser puis compléter le tableau d’amortissement de cet emprunt.

On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ.

Exercice 20.

Exercice 21.

Exercice 22.

Exercice 23.

Exercice 24.

Exercice 25.

Exercice 26. Taux équivalents – TD cours page 10

Exercice 27. Capitaux équivalents – TD cours page 10

Exercice 28. Emprunt à amortissements constants – TD cours page 11

Exercice 29. Emprunt à annuités constantes – TD cours page 12

Exercice 30.


Une personne souhaite obtenir une somme de 37000 € au 1er octobre 2018. Quelle somme doit-elle placer, au taux annuel de 5%, le 1er janvier 2014 ?

Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

Vous placez 1000 € le 1er janvier, au taux annuel de 6%, mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

Une personne place 75000 € du 15 mai N au 15 septembre N sur un compte rapportant 9,5% l’an en intérêts simples. Quelle est la valeur acquise à l’issue du placement ?

Quelle somme doit-on placer sur un compte rapportant à intérêts simples 7,5% l’an pour obtenir 50000 € dans onze mois ?

Le 1er mars N, 10000 € sont placés au taux annuel de 6%. Quel serait le taux équivalent pour que la même somme placée le 1er juillet N rapporte autant que la première au 31 décembre N ? (on comptera une année de 12 mois de 30 jours chacun)

Une société est débitrice de trois capitaux, au taux d’intérêts simples annuel de 7% : 15000 € à échéance d’un mois, 40000 € à échéance de 2 mois et 55000 € dans 3 mois. 1. Elle souhaite remplacer ces dettes par un capital unique à échéance de 5 mois. Quel doit être le montant

de ce nouveau capital ? 2. Elle souhaite remplacer ces dettes par le remboursement d’un capital de 110000 €. Déterminer la date

d’échéance de ce dernier.

1. Calculer le taux annuel équivalent au taux mensuel de 1%. 2. Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de 8%.

On propose à l’acquéreur d’un appareil valant 4000 € de régler 1600 € au comptant, puis 24 mensualités égales dont la somme est le capital restant dû majoré de 20%. Quel est le taux d’intérêts simples auquel est accordé ce crédit ?

Sur un compte rémunéré à 3% d’intérêts annuels, on dépose 2000 € le 01/01/2014, puis 500 € tous les six mois. Le 01/01/2016, on retire 3000 €. De quelle somme dispose-t-on fin 2018 ?

Une société emprunte 200000 € le 1er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%. Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en amortissements annuels constants, sur 4 ans.

Une société emprunte 150000 € le 1er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%. 1. Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en annuités constantes, sur 5 ans. 2. Si le remboursement s’effectuait en mensualités constantes sur 5 ans (60 mois), à combien se monterait

une mensualité ? Quel serait le capital restant dû au bout d’un an ?

Exercice 31.

Exercice 32.

Exercice 33.

Exercice 34.

Exercice 35.

Exercice 36.

Exercice 37.

Exercice 38.

Exercice 39.

Exercice 40.

Exercice 41.

Exercice 42.


Un groupement d’agriculteurs décide de la construction d’un silo. Pour cela, 60000 € sont nécessaires. Ce groupement va en financer 20% mais doit emprunter le reste, au taux de 7% sur 8 ans, remboursable par annuités constantes. Calculer l’annuité de remboursement et le coût de l’emprunt (montant total des intérêts).

A l’occasion de l’achat d’un véhicule, un de vos clients envisage de vous emprunter une somme de 8000 €, à rembourser par mensualités constantes. Vous pouvez lui proposer de vous rembourser en 3 ans au taux annuel net (TEG + assurance) de 6,55 %. 1. Calculer le montant de la mensualité correspondante, en déduire le coût total du prêt. 2. Dresser et compléter les deux premières lignes du tableau d’amortissement du prêt. 3. Quel est le taux équivalent pour une durée de remboursement de 4 ans ? Quelle serait la nouvelle

mensualité ? 4. Votre client trouve les mensualités (question a.) trop élevées et souhaite les voir abaissées en-dessous de

200 €. Vous lui proposez un remboursement sur 4 ans, mais en élevant de deux points le taux d’intérêts annuel. Est-ce que cela répond à ses attentes ?

3 Méthodes du premier degré

Un groupement de commerçants planifie ses dépenses promotionnelles au jour le jour, sur une période d’un an. Il sait qu’au début de l’année, une dépense de 180 € par semaine suffit, mais qu’à la fin de l’année il faudra dépenser 400 € par semaine. Pour l’année, il dispose d’un budget de 14000 €. Pour des raisons simplificatrices, nous considérerons des dépenses régulières : 180 € par semaine pendant une certaine période, puis 400 € par semaine pour le reste de l’année. Notre objectif est de déterminer à quel moment il faut passer à une dépense de 400 €. 1) Résolution par une équation unique

La mise en équation d’un problème débute par la définition de sa ou de ses variables. Plutôt que risquer de se ″perdre″ dans l’énoncé, on s’orientera vers la question posée : « …à quel moment… ». Nommons x la durée pendant laquelle le groupement dépensera 180 €, en semaines.

Ensuite, nous devons écrire, en fonction de cette (ou de ces) variable, toute grandeur ou contrainte apparaissant dans l’énoncé. a. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la première partie de l’année. b. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la deuxième partie de l’année. c. Ecrire alors en fonction de x la contrainte liée au budget de 14000 €. d. L’équation vient d’être posée, il suffit de la résoudre puis de conclure.

2) Résolution par un système – représentation graphique

On peut voir dans un énoncé deux quantités évoluant conjointement. Ici, la dépense totale (notons-la y) augmente avec le nombre de semaines écoulées (notons-le x). Nous pouvons essayer d’exprimer l’une en fonction de l’autre et pourquoi pas visualiser

graphiquement cette relation. Attention : ce qu’on nomme x ici n’est pas ce qu’on nommait x dans les questions précédentes ! a. Ecrire en fonction de x la dépense totale y1 lorsqu’on dépense 180 € par semaine, sachant qu’au

début de l’année cette dépense est nulle. b. Ecrire en fonction de x la dépense totale y2 lorsqu’on dépense 400 € par semaine, sachant qu’à la fin

de l’année cette dépense atteint 14000 €. c. Déterminer la valeur de x qui rend y1 et y2 égales. d. Représenter graphiquement (page suivante) les droites D1 et D2 dont les équations expriment y1 et y2,

puis repérer sur ce graphique la solution du système que vous venez de résoudre.

Exercice 43.

Exercice 44.

Exercice 45.


Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous, puis dire (pour les points a. et e.) pour quelle valeur de x elles s’annulent et donner leur sens de variation.

a. 4(1 - x) + 5(2 + 3x) b. -(b - a) - (c - b) - (a - c)

c. (x + y)z + 2(y + z)x + 3(z + x)y d. 3(a - b + 3) - (b - 3)(a - 3)

e. -2(3 - 5x) + 6(-2x + 1) f. -(m - 2 + 3p) + 2m - 5 - 6p - (-1 + 4 - 10p)

Compléter le tableau ci-dessous en traçant, dans chacune des neuf cases, une droite d’équation y = ax + b qui convienne.

Un club scolaire a projeté une excursion en bus dans un parc naturel. La location d’un bus pouvant transporter au maximum 45 personnes coûtera 600 € et les billets d’entrée coûtent 30 € chacun. Si le club facture l’excursion 50 € à chaque participant, combien de personnes, au moins, doivent s’inscrire à l’excursion pour que tous les frais soient couverts ?

Les deux annonces suivantes ont été publiées :

IMMEUBLE A

espace disponible pour des bureaux

60 - 70 mètres carrés : 420 €/mois

100 - 120 mètres carrés : 800 €/mois

IMMEUBLE B

espace disponible pour des bureaux

40 - 130 mètres carrés : 90 €/m²/an

Pour quelles surfaces l’immeuble A revient-il plus cher que l’immeuble B ? (résolution par le calcul et illustration graphique)

Une entreprise vend un article au prix de 8€ et à ce tarif elle en vend 25 par jour. Le premier jour, elle a un stock de 10000 articles à écouler ; au bout d’un certain nombre de jours, elle organise une promotion sur cet article, afin d’accélérer les ventes : au prix de 5€, elle en vend 40 par jour. Le 300e jour, tout le stock de départ a été vendu. Déterminer graphiquement, puis par le calcul, à quel jour la promotion a débuté. Calculer alors le chiffre d’affaires total réalisé. On mettra en abscisses le nombre de jours de ventes depuis le début et en ordonnées le nombre total

d’articles vendus.

Exercice 46.

Exercice 47.

Exercice 48.

Exercice 49.

Exercice 50.


a. x y

x y

− = + =

2 8

7 b.

4 2

6 13

x y

x y

+ = − =

c. 2 7 14

3 7

x y

y x

+ = − = −

d. 2 8

6 3 20

x y

x y

− = − =

Un particulier a fait intervenir chez lui un tapissier et un carreleur, sur deux jours. Le premier jour, le carreleur a posé 10 m² et le tapissier 36 m². Le deuxième jour, le carreleur a posé 30 m² et le tapissier 52 m². Le montant des factures additionnées est 2520 € et le deuxième jour a coûté deux fois plus cher que le premier. Quels sont les tarifs au m² du carreleur et du tapissier ?

.

2 4 5

a 6 2 6

2 5

x y z

x y z

x y z

+ + = + − = − − + =

.

2 2

b 2 4

2 8

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

.

4 5

c 2 5 3 18

3 10

x y z

x y z

x y z

+ − = − − + = − + =

4 Programmation linéaire Exemple développé progressivement dans les exercices 54, 55 et 56. Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :

* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 800 € le lot de 1000 bouteilles, * par bouteilles d'un demi litre, vendues 300 € le lot de 1000 bouteilles.

Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers : atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h, atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.

Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 1000 bouteilles à produire :

atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ?

a. Que sont ici les variables ? b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ? c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans l'atelier 1 ? d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3 e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système unique, où chaque

inéquation sera écrite sous sa forme réduite.

a. Représenter ci-dessous, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du système de contraintes obtenu au TD4.1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi que les droites tracées

b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone. c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ? d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ?

On appelle C(x, y) le chiffre d'affaires réalisé par la vente de x lots de 100 bouteilles de 1,5 L et de y lots de 100 bouteilles de 0,5 L. C sera à optimiser : c'est notre fonction objectif. a. Calculer C(5, 15) puis C(20, 20).

Exercice 51. Résoudre

Exercice 52.

Exercice 53. Résoudre

Exercice 54. TD4.1 : Système de contraintes

Exercice 55. TD4.2 : Polygone des contraintes

Exercice 56. TD4.3 : Fonction objectif, droites d'iso-profit


b. Pour en simplifier l'écriture, on notera C le chiffre d'affaires défini ci-dessus. Exprimer C en fonction de x et y. Mettre cette expression sous la forme de l'équation réduite d'une droite DC.

c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D1200 et D2400. d. Répondre graphiquement aux questions suivantes :

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 1200 € ? Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 2400 € ?

e. La droite d'iso-profit maximisant le chiffre d'affaires est celle qui, tout en possédant au moins un point commun avec l'intérieur du polygone des contraintes ou avec le polygone lui-même, possède la plus grande ordonnée à l'origine possible. Trouver cette droite, graphiquement.

f. Récapituler : Le chiffre d'affaires maximum possible correspond à la production (…… ; ……) et vaut …………€.

Une entreprise fabrique deux produits A et B. Le produit A nécessite 2 heures de travail sur la machine M, 3 heures de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit B nécessite 1 heure de travail sur la machine M, 1 heure de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit A rapporte un bénéfice de 80 euros, le produit B de 40 euros. Sachant que l'entreprise ne dispose que de 800 heures de la machine M par mois, 900 heures de main d'œuvre et 1500 kg de matière première, déterminer les quantités des produits A et B qu'elle doit fabriquer par mois afin de réaliser un bénéfice mensuel maximum. Quel est alors ce bénéfice ?

Pour fleurir un parc, il faut au minimum : 1200 jacinthes, 3200 tulipes et 3000 narcisses. Deux pépiniéristes proposent : * l'un le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses, pour 75 €

* l'autre le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses, pour 60 € Combien de lots A et de lots B doit-on acheter pour que la dépense soit minimale ? Quelle est alors cette dépense ?

La société DevS1 commercialise deux types de coffres métalliques, qu'elle doit faire transporter par camion de son site de production vers son site de vente. Un coffre de type A a un volume de 0,2 m³ et pèse 80kg ; un coffre de type B a un volume de 0,5 m³ et pèse 120kg. Un camion du transporteur a une capacité de 20 m³ et de 6,24 tonnes. Ce transporteur facture à DevS1 10€ par coffre A et 15€ par coffre B transporté, alors qu'un coffre A vendu rapporte 35€ à DevS1 et qu'un coffre B lui rapporte 55€. L'objectif est ici de connaître les nombres de coffres A et B à charger dans un camion pour que le bénéfice réalisé par DevS1 soit optimisé. 1) Contraintes

a. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de volume d'un camion. b. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de charge d'un

camion. c. Montrer que ces deux contraintes peuvent se résumer au système suivant : d. Que sait-on de plus sur la nature des nombres x et y ? e. Représenter graphiquement les solutions (zone hachurée) de ce système.

échelles : 1 cm pour 10 coffres A, 1 cm pour 5 coffres B.

2) Fonction objectif : le bénéfice a. Exprimer le bénéfice B réalisé par DevS1 lors du transport de x coffres A et y coffres B.

b. Montrer que, sous forme réduite, l'expression devient : ,B

y x= − +0 62540

c. Tracer sur votre graphique la droite correspondant à un bénéfice de 800€. d. La droite de bénéfice optimale est-elle la plus haute ou la plus basse possible ? Pourquoi ? e. Tracer cette droite, donnant le meilleur bénéfice possible. Expliquer. f. Combien de coffres de chaque type faut-il placer dans un camion pour optimiser le bénéfice ? g. Que vaut alors ce bénéfice ? h. Vérifier que cette valeur concorde avec l'ordonnée à l'origine de votre droite.

Exercice 57.

Exercice 58. .

Exercice 59.

,0 4 40

252

3

y x

y x

≤− +


5 Polynômes du second degré

Etudiez le signe des trinômes suivants : a. x² – 2x – 3 b. –4x² + 11x – 8 c. –2x² + 4x – 2

Résoudre les inéquations suivantes :

a. 5x² – 3x - 2 ≤ 0 b. 2x² – 11x + 12 < 7 c. -x² – 5x – 6 ≥ 0

d. –3x² + 2x – 1 ≥ 0 e. x² – 1 ≤ 0 f. 3x² – 7x – 1 > 5

Un surveillant de plage doit délimiter une aire de baignade rectangulaire avec une corde-bouée de 360 m. La corde sera disposée sur trois côtés du rectangle. Quelles dimensions faudra-t-il donner à ce rectangle pour que l'aire de baignade soit la plus grande possible ?

Une entreprise d'exploitation de bois compare ses coûts de production et ses recettes. En notant x la quantité produite et vendue, exprimée en m³, le gestionnaire a établi les deux formules suivantes : coûts de production : C(x) = 0,05x² – 10x + 16500 recettes : R(x) = 60x Sachant que le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts, dire pour quelles quantités produites ce bénéfice est positif, puis pour laquelle il est maximal.

La production journalière de téléviseurs et de chaînes stéréo, fabriqués par une firme électronique, est donnée par la relation : S² + 3S + 5 T = 130 où T et S désignent respectivement les nombres de téléviseurs et de chaînes stéréo produits. 1. Déterminer le nombre maximum de téléviseurs qui peuvent être produits chaque jour; même question

pour les chaînes stéréo. 2. Quel est le nombre de téléviseurs produits lorsque sept chaînes stéréo sont fabriquées ? 3. Quel est le nombre de chaînes stéréo produites lorsque dix-huit téléviseurs sont fabriqués ?

Une société produit des lampes halogènes et les revend à un grossiste par lots mensuels. Elle désire connaître la quantité mensuelle à produire et vendre pour que son bénéfice soit maximal. On appellera x une quantité mensuelle produite et vendue, comprise entre 0 et 1500 unités. Coûts de production : * 6 euros par lampe (matériaux, électricité, usure machines, etc.)

* frais fixes mensuels de 2400 euros (locaux, salaires, etc.) Prix de vente à l'unité : 20 euros, moins x/100 (plus elle en vend, moins elle vend cher)

Pour quelles quantités a-t-on un bénéfice ? Pour quelle quantité a-t-on un bénéfice maximal ? Combien vaut ce bénéfice ? Coïncide-t-il avec un CA maximal ?

6 Etudes de fonctions

Pour un produit donné, la fonction d’offre s’exprime par f (x) = 0,25x² + x + 40 et la fonction de demande

par g(x) = 100 – 8x + x +500

2 5, où x est la quantité de produit exprimée en milliers d’unités et où f (x) et g(x)

sont les prix unitaires de vente et d’achat exprimés en euros. Ces modélisations sont valables entre 0 et 12000 unités de ce produit. 1. Justifier que, sur notre intervalle d’étude, la fonction f est croissante et la fonction g est décroissante.

Exercice 60.

Exercice 61.

Exercice 62.

Exercice 63.

Exercice 64.

Exercice 65.

Exercice 66. Fonctions d’offre et de demande


2. Représenter graphiquement (au-dessus) ces deux fonctions puis donner par lecture graphique la position approximative du point d’équilibre de ce produit sur le marché.

Dans l’hypothèse où est établie une relation entre un coût de production C et la quantité variable produite q, on se propose de : * définir et analyser le coût marginal de production, Cm(q)

* définir et analyser le coût moyen de production, CM(q)

Cas posé : L’entreprise AAA examine ses coûts de production hebdomadaires. Ceux-ci sont la somme de coûts fixes (5000 €) et de coûts variables exprimables en fonction de la quantité q à produire, en unités. La formule définitive du coût total de production, C(q) en euros est donnée ci-dessous

et valable pour q ∈ [0 ; 160] : ( ) , 3 20 02 3 200 5000C q q q q= − + + On donne ci-dessous le graphique 1 représentant la fonction C dans l’intervalle cité.

Exercice 67. Coût marginal et coût moyen


1 – Coût marginal

Définition : Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût marginal est le coût de production de l’unité supplémentaire. C’est donc la différence entre le coût de production de q+1 unités et celui de q

unités. Par définition, le coût marginal Cm(q) est donc : ( ) ( ) ( )1mC q C q C q= + − . Conséquences :

En remarquant que ( ) ( )C q C q+ −1 peut se noter ( ) ( )C q h C qh

+ − pour h = 1, on constate que le coût

marginal est le taux de variation de la fonction C entre un point A d’abscisse q et un point B d’abscisse

q+1, autrement dit : ( )mC q est la pente de la droite (AB). De plus, 1 (= h) étant généralement petit devant q, cette pente est très proche de celle de la tangente en

A à la courbe de la fonction C, autrement dit : ( )C q′ . C’est pour cette raison que dans la pratique, en économie, on décide de calculer le coût marginal

autrement que par sa définition première (premier encadré, ci-dessus), par ce moyen : ( ) ( )mC q C q′≈ Travail à faire :

a. Saisir la fonction C sur votre calculatrice, établir un tableau de valeurs afin de confirmer la justesse de la courbe donnée au graphique 1 ; vous donnerez en particulier C(0), C(50) et C(150).

b. Dériver la fonction C.

c. Calculer le coût marginal de 30 pièces produites, comparer à ( )C′ 30 . Faire de même pour q = 150.

********** A partir de ce point, le coût marginal sera calculé par ( )C q′ .**********

d. En lisant le graphique 1, où trouve-t-on approximativement les valeurs du coût marginal ? e. Saisir la fonction C ’ sur votre calculatrice et établir un tableau de valeurs de C ’, puis tracer la courbe

de cette fonction sur le graphique 2 donné en fin de document (vous la légenderez en la nommant Cm : il s’agit du coût marginal).

f. Commenter les variations du coût marginal en fonction de q. Donner en particulier les conditions d’un coût marginal minimal (par le calcul, puis en confirmation visuelle avec les graphiques 1 et 2).

2 – Coût moyen

Définition : Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût moyen est le coût de production total

rapporté au nombre d’unités produites. Par définition, le coût moyen CM(q) est donc : ( ) ( )MC q

C qq

= .

Conséquence : Considérons l’origine O du repère et un point A(q, C(q)) sur la courbe de la fonction C.

Le coût moyen, tel que défini, est ainsi la pente du segment [OA].

Travail à faire : a. Saisir la fonction CM sur votre calculatrice, établir un tableau de valeurs puis tracer la courbe de cette

fonction sur le graphique 2 (utiliser une couleur différente de celle de la courbe de Cm et légender).

b. Pour q = 30, tracer sur le graphique 1 le segment « [OA] » dont CM est la pente. Faire de même pour q = 150. D’après ce graphique, justifier que pour q = 30, CM > Cm et qu'avec q = 150 on a le contraire : CM < Cm.

c. D’après ce même graphique 1, déterminer approximativement l’endroit où CM est minimal. Tracer le segment [OA] correspondant, tracer la tangente en ce point A particulier. Confirmer visuellement l’abscisse de ce point A en vous reportant sur le graphique 2.

d. Vérifier les affirmations suivantes, à l’aide des deux graphiques simultanément : * « le coût moyen baisse tant que le coût marginal est inférieur au coût moyen » * « lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal »


graphique 2

Ci-contre se trouvent sur le même graphique les courbes de deux fonctions f (trait plein) et g (pointillés). La droite tracée est la tangente à la courbe de g au point A d’abscisse 1.

1. Donner les valeurs ( )0f et ( )g 1 . 2. Donner le domaine de la variable x tel

que ( ) ( )g x f x≥ 3. Donner les valeurs ( )g ′ 2 et ( )g′ 1 . 4. Donner l’équation de la tangente à la

courbe de g au point A d’abscisse 1.

Fonctions polynômes a) f (x) = x² + 3x b) g(x) = 1

3x² + 2x – 7 c) f (x) =

2

3x3 –

3

2x² +

1

2x

d) g(x) = 3x² + 2x + 3 e) f (x)= (4x + 5)3 f) g(x)= 4 – x²

Fonctions rationnelles g) f (x) = x x

−+1 1

3 h) g(x) =

x

x +3

2 i) f (x) =

x

x

−+

5

2 j) g(x) =

x x

x

−+

2 3

1

k) f (x) = x −2

3

1 l) g(x) =

x

x x

−+

2

2

1 m) f (x) =

x

x

−+

3

2

1

3 1 n) g(x) =

x

x

+−

2 5

1 o) f (x) =

x

−+26

3

Fonctions avec exponentielles et logarithmes p) g(x) = ln(1 – 2x) q) f (x) = lnx

x

− +

3

3

r) g(x) = ln(x² – 1) s) f (x) = 0,3 2e x− t) g(x) = 0,5e4x – x3 u) f (x) = (1 + x)e1 – 2x

v) g(x) = e2x – ex w) f (x) = x−− 2

2

1 e

Fonctions avec racines carrées x) g(x) = x x y) f (x) = (3 – 2x) x z) g(x) = (2x² + x) x

aa) f (x) = x +2 1

Exercice 68.

Exercice 69. Dériver


Soient les fonctions f et g définies par ( ) 3267f xx

= et ( ) 0,75 72g x x= − sur l’intervalle [20 ; 120]. 1. Créer un tableau de valeurs pour chaque fonction, puis réaliser leur représentation graphique sur

l’intervalle [20 ; 120] (prendre un pas de 10).

2. Pour quelle valeur de � a-t-on ( ) ( )f x g x= ? 3. Créer la représentation graphique de la fonction h f g= + . 4. Déterminer le minimum de cette fonction h.

Étudier les variations, tracer la courbe des fonctions des points f, h, r et w de l’exercice 69.

Pour un constructeur immobilier, le coût de production C de n immeubles construits (0 ≤ n ≤ 30) est donné en millions d’euros par : C(n) = 0,5n + 2 – 1,5ln(n + 1). Chaque immeuble est vendu 400000 €. Pour quel nombre d’immeubles le bénéfice réalisé est-il maximal ?

On a effectué une série d’analyses statistiques à deux variables X et Y qui ont montré que le lien entre les

valeurs y et les valeurs x pouvait être modélisé par l’expression ln 21

3,754

y x = +

.

Etudier cette fonction et donner la valeur exacte de x correspondant à y = 0.

Un produit polluant est présent dans un sol et sa quantité détectée se note Q(t), en grammes, dépendant

du temps t. La vitesse d’élimination de ce produit est proportionnelle à Q(t), si bien que Q’(t) = –0,3Q(t).

Sachant que Q(t) est de la forme keat et qu’à t = 0 on a mesuré une quantité de 150 grammes de ce produit,

trouver les coefficients k et a.

(les questions 1. et 2. sont indépendantes)

Notre entreprise fabrique un produit chimique. Les coûts sont exprimés en milliers d’euros et les quantités

en tonnes. Le coût total de production de x tonnes est donné par la fonction f définie par :

f (x) = 30(1,2 – x−0,05e ) pour x dans l’intervalle [0 ; 40].

1. Coût marginal

Le coût marginal Cm relatif à une production de x tonnes est le coût de production d’une tonne

supplémentaire. On a donc ( ) ( ) ( )1mC x f x f x= + − . a. Montrer que Cm(x) = 30

x−0,05e (1 – −0,05e ).

b. Dériver la fonction Cm puis justifier le signe de cette dérivée. Donner alors le sens de variation de la

fonction Cm.

c. Représenter graphiquement la fonction Cm sur l’intervalle [0 ; 40]. (1 cm pour 4 tonnes en abscisses et

5 cm pour 1 millier d’euros en ordonnées).

2. Coût moyen

a. Quel est le coût moyen par tonne quand l’usine produit 15 tonnes ?

b. On considère la fonction g définie par g(x) = ( )f xx

. Tracer sa courbe, sur l’intervalle [10 ; 40], sur le

graphique précédent, en utilisant l’échelle donnée en 1.c. Il s’agit du coût moyen d’une tonne produite lorsque x tonnes sont produites.

c. Répondez graphiquement (marques sur le graphique + réponse écrite) :

Exercice 70.

Exercice 71.

Exercice 72.

Exercice 73.

Exercice 74.

Exercice 75.


* Pour pouvoir aligner nos prix de vente sur ceux de nos concurrents, nous devons limiter le coût moyen de production d’une tonne produite à 1200 €. Quelle quantité faut-il produire pour que cet impératif soit respecté ?

* Si on produit la quantité que vous venez d’indiquer, quel serait le coût de production d’une tonne supplémentaire ?

Soit la fonction f d’expression ( ) ( )lnf x x= −5 2 . 1. Donner le domaine de définition de la fonction f. (hors programme) 2. A partir de cette question, on étudiera cette fonction sur [0 ; 2].

a. Dériver la fonction f.

b. Etudier le signe de ( )f x′ . c. Dresser le tableau de variation de f.

3. Questions diverses a. Calculer les valeurs extrêmes de f et les reporter dans le tableau de variation.

b. Donner (justifier) le signe de ( )f x lorsque x parcourt [0 ; 2]. c. Quelle valeur de x a pour image la valeur 1 ?

Une usine produit du cacao en poudre en quantité journalière variable, quantité que nous noterons x,

positive, exprimée en kg. L’expression ( ) ( )ln150 0,05 1 0,1 300f x x x= × + − + donne, en €, le coût total de production lorsque l’on produit x kg de cacao. 1. a. Dériver la fonction f.

b. Montrer que le fait de poser cette dérivée positive équivaut à la condition 7,4 – 0,005x > 0 ;

résoudre cette inéquation et conclure sur le signe de ( )f x′ pour [ ];0 1000x ∈ . 2. On définit ( )mC x , coût marginal, par la différence entre le coût de production de x+1 kg et le coût de

production de x kg, soit : ( ) ( ) ( )1mC x f x f x= + − : coût que représente la production d’un kilogramme supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit x kg. a. Calculer le coût marginal lorsque 50 kg de cacao ont été produits. b. Calculer le coût marginal lorsque 500 kg de cacao ont été produits.

c. On admet en général que les valeurs de ( )mC x sont proches de celles de ( )f x′ . Vérifier cette affirmation sur les deux productions citées dans les deux questions précédentes

(on admettra ici que ( ) xf xx

−′ =+

7,4 0,005

0,05 1).

d. Montrer, en dérivant ( )f x′ , que le coût marginal diminue lorsque x augmente.

Exercice 76.

Exercice 77.


IUT - TC Mathématiques - Formulaire « Calcul et analyse »

Documents

S1 - Calcul - TDEX - DOC - Rev 2020...3. Par rapport à la production totale de ces quatre céréales, quelle est l’évolution dans le temps de la production de blé ? Lors d’une