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matemáticas 2ESOtema 5

ECUACIONES

IES Mata Jove curso 2018/2019

2ESO matemáticas IES Mata Jove

tema 5: Ecuaciones curso 2018/2019

UD5. Ecuaciones 2 material profesorado Departamento Matemáticas, IES MATA JOVE http://www.matajove.es/nnttmatajove/

http://www.matajove.es/nnttmatajove/


Valor numérico de una expresión algebraicaEn una expresión algebraica, las letras representan números cuyo valor no está determinado. Si estos números desconocidos toman valores concretos, la expresión algebraica se convierte en un número.

1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas en los valores dados de las variables.

3xen x = −6

y2

en y = 5

a − ben a = 6 ,b = 9

x + y( ) ⋅zen x = −1, y = 4 , z = 1

2 ⋅ p − q( )en p = 1,q = −3

e ⋅ t

en e =15

, t = 157

EcuacionesUna ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.

expresión algebraica 1 = expresión algebraica 2

Se llaman miembros de la ecuación a cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación. Esos miembros están formados por términos; los términos son monomios formados por coeficientes (los números) y variables o incógnitas (las letras). Los exponentes de las variables informan sobre el grado de las expresiones algebraicas que forman la ecuación.Se llama solución de la ecuación al valor de la variable que hace que los dos miembros tengan el mismo valor numérico.Resolver una ecuación, encontrar su solución o soluciones, es encontrar esos valores de las incógnitas que hacen iguales ambos miembros de la ecuación.






2. Señala cuáles de los casos siguientes corresponden a ecuaciones.

¿ecuación?si/no

¿ecuación?si/no variables grado

¿ecuación?si/no

¿ecuación?si/no variables grado

2x2 + 5 = 3 − 8x x + y

5−

x − y3

4x2 − 3x + 7 8x + 9 = y − 6

a2+ 3b = 78 xy 2 + 3y = 5

3. Dadas las siguientes ecuaciones, señala en cada caso cuál es el primer miembro, cuál es el segundo y cuáles son las incógnitas y el grado.

1er miembro 2º miembro incógnitas grado

9x − 3y = x2 + 4

6x2 + 8x − 5 = 0

−23 = 15y + 9z

4. Comprueba si los siguientes valores de las variables son solución de las ecuaciones.

2x = x + 3 2x = x + 3 5x − 4 = 3x 5x − 4 = 3x 3x2 −13 = −1 3x2 −13 = −1

x = 4 x = 3 x = 2 x = 1 x = −2 x = 2






5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas en los valores dados de las variables.

x ⋅ y + 4en x = −8 , y = 1

2a + ben a = −3 ,b = −5

2x + 4en x = 2'37

2x2 − 3x +1en x = −1

x − y 2 + 5xyen x = 1, y = −3

3x x + 2( ) x − 2( ) + 5

en x = −2

6. Comprueba si los siguientes valores de las variables son solución de las ecuaciones.

x2+ 3 = x −1

x2+ 3 = x −1 3y +1= 6y − 2 3y +1= 6y − 2

x = 8 x = 4 y = 0 y = 1

2x = y +1 2x = y +1 2x = y +1 2x = y +1

x = 2y = 3

x = 1y = 4

x = 3y = 5

x = −2y = −5






7. Resuelve las siguientes ecuaciones.

z − 7 = 6 m + 5 = 3 3y = 21 −4x = 36 5a − 4 = 21

8. Escribe ecuaciones que tengan las soluciones dadas en la tabla siguiente.

a = 7 m = 10

b = 4 x = 2 , y = 5

x = −3 a = 3 ,b = −1

9. Escribe ecuaciones que tengan como solución las dadas.

y = 0 x = 1, y = 0,z = −2

b =

12 p = −2 ,q = −9







1. s4= 3 2.

b −1

5= 7 3. 14 = 13 − n 4. x + 2 = 7

5. 3z − 4 = 5 6. 4 + 7x = −3 7. 3y 2 = 12 8. 4n3 = 32

9. 19 − a2 = 3 10. 6b − 2

4= 10 11.

c5+1= 4 12. 4x = 11+ 3x

13. 5x = 3x + 6 14.

122x −1

= 4 15.

394x + 5

= 3 16. −3z + 8

2= 19

17. 7 + 9y = 5 18. 17 = 4y + 5 19. 7n + 2 = 14 + 4n 20. 1+ 3x = x + 9

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 1 y con una única variable.

Todas las ecuaciones de este tipo pueden expresarse en la forma a·x = b, donde a y b son coeficientes conocidos y x representa el valor desconocido, la incógnita.

Para reducir una de estas ecuaciones a la forma reducida a·x = b hay que usar dos reglas muy útiles en la resolución de ecuaciones, la regla de la suma y la regla del producto.

Regla de la sumaLos términos de la ecuación que están sumando o restando en uno de los miembros de la ecuación pasan al otro cambiando de signo.

Regla del productoLos términos de la ecuación que están multiplicando en uno de los miembros pasan al otro dividiendo; si están dividiendo pasan al otro miembro multiplicando.


1. x +1= 5 2. 5 = x − 3 3. x + 7 = 3 4. 4 − x = 2

5. 4x = 24 6. x3= 7 7.

x5= −60 8. 5x = −250

9. 3x + 2 = 5 10. x4+ 2 = 14 11. 3x + 5 = x +1 12. 4 − 5x = −2x + 8







1. 3x − 2x − 6 = x − 3x − 3 2. 2 − x = −3 ⋅ x + 5( )

13. La base de un rectángulo es 9cm mayor que su altura. Su perímetro mide 400cm. Calcula las dimensiones de este rectángulo

14. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo isósceles de perímetro 82cm y cuya base mide 8cm menos que cada uno de los lados iguales.


1. 4 + x − 4 1− x( ) + 5 2 + x( ) = 0 2.

2x + 7 − 2 x −1( ) = 3 x + 3( )

3. −5 − 2x

3−

4x − 35

=x −10

23.

−5 − 2x

3−

4x − 35

=x −10

2

16. Dos hermanas se llevan 3 años y su padre tiene 45. Hace 7 años, la suma de las edades de las hijas era la mitad que la del padre. ¿Qué edad tiene cada hija?

17. Una madre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad de la madre?

18. La edad actual del una madre es el triple que la de su hija y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada una actualmente?


1. 4 2x − 7( ) − 3 3x +1( ) = 2 − 7 − x( ) 2.

2 x − 3( ) − 4 x − 2( ) = −1− x

3. 3x + 6

4+1= 3x −

x +12

3. 3x + 6

4+1= 3x −

x +12

20. He pagado 14,30€ por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo?

21. Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 16% y del 19%, respectivamente. Si Luis pagó 1,26€ más que Miguel, ¿cuál era el precio que tenía el videojuego?.

22. El precio de un cierto artículo ha pasado de 0,75€ la unidad a 0,81€ la unidad en el último mes. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento?.







1. 7 3 + 2x( ) = 4 2 − x( ) − 4 − x( ) 2.

5 x − 2( ) − 2 x − 5( ) = 2x − 12 + 3x( )

3. 3x − 4

2+

2x − 33

= 5x − 3 4. 1+ x

4−1= 5 + x

4−

5 − x5

24. Un carnicero ha vendido 65 kilos de carne; la de pollo a 3€/kg y la de cerdo a 8€/kg. Si ha recaudado 295€, ¿cuántos kilos ha vendido de cada carne?.

25. Dos depósitos tienen la misma capacidad y ambos están llenos de agua. Sacamos 2000 litros del primero y 9000 del segundo. Ahora el volumen de agua en el primer depósito es el doble que en el segundo. ¿Cuál es la capacidad de los depósitos?

26. Marta decide utilizar un tercio de sus vacaciones para realizar un viaje a Lisboa. Después descansará durante la quinta parte de los días de los que dispone y aún le quedará una semana para ir de camping con unos amigos. ¿Cuántos días de vacaciones tiene Marta?

27. Una persona distribuye su salario mensual del modo siguiente: un quinto para el alquiler de la casa, un 35% en gastos de alimentación, un 15% lo ingresa en una cuenta de ahorro y los restantes 468€ los dedica a otros gastos. ¿Cuál es el sueldo mensual de esta persona?

28. Una pirámide de 30m de altura y de base cuadrada, tiene un volumen de 2250m3. Halla el lado de la base de la pirámide.

l=lado base (m)a=área base (m2)h=altura (m)V=volumen (m3)

V =

13⋅a ⋅h

29. Tengo 9 monedas en el bolsillo, unas de 1€ y otras de 2€. Si en total tengo 15€, ¿cuántas monedas tengo de cada clase?

30. Para vallar una parcela de forma rectangular se han utilizado 1200m de alambrada. Calcula cuánto miden los lados de la parcela sabiendo que uno de los lados es el doble del otro.







1. 3x −1

6=

2x − 33

−x −1

42.

3y +12

3+ 2 = 2y −

2y − 22

3. a −10

3=

a − 74

4. 2 +

n −12

=n + 3

3+

n −12

32. Roberto tiene 28 años y su hija Carla 4. ¿Cuántos años tendrá Roberto cuando su hija Carla tenga la mitad de la edad de su padre?

33. Rosa tiene 90€ en su cartera repartidos en billetes de 5€ y 10€. Si hay 4 veces más billetes de 10€ que de 5€, ¿cuántos billetes de cada tipo?


1. 5 − 9b

8+

2b + 34

= 2b +143

62.

1− x − 5

4−

x − 310

+x + 3

8= 0

35. En una bolsa hay bolas rojas, azules y blancas. El número de bolas blancas es el doble del número de bolas rojas. El número de bolas azules es igual a la suma de las blancas y las rojas más 3 bolas. Si en total hay 423 bolas, calcula el número de bolas de cada color.

36. Un agricultor siembra la mitad de su huerta de pimientos, la tercera parte de tomates y los 200m2 restantes de patatas. ¿Cuál es la superficie total de la huerta?


1. p + 3

5−

p − 67

= 1 2. 1− z

3−

z −112

=3z −1

4

38. Un ciclista sube un puerto a 15km/h y, después, desciende por el mismo camino a 35km/h. Si el paseo duró 30min, ¿cuánto tiempo invirtió el ciclista en la subida?

39. Laura compró una falda y una blusa por un total de 66€. Ambas prendas tenían el mismo precio original, pero le hicieron un 20% de descuento en la falda y un 15% de descuento en la blusa. ¿Cuál era el precio original de cada prenda?






Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 2 y con una única variable.Todas las ecuaciones de este tipo pueden expresarse en la forma

a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0donde a, b y c son coeficientes conocidos y x representa la incógnita.Para resolver este tipo de ecuaciones, que pueden tener hasta dos soluciones, se usa la siguiente fórmula:

x =

−b ± b2 − 4ac2a

Para determinar, antes de calcularlas, el número de soluciones de una ecuación podemos calcular el discriminante b

2 − 4ac . El signo de este discriminante nos indica el número de soluciones de la ecuación.

b2 − 4ac > 0 b

2 − 4ac = 0 b2 − 4ac < 0

2 soluciones 1 solución sin solución

40. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1. x2 + x = 2 2. x2 + 5 = 4x 3. 4x2 = 4x −1


1. x +1( ) x − 3( ) + 3 = 0 2.

x + 9( ) x − 9( ) = 3 x − 27( )

3. 4x2 + 9 = 37x 4. x2 = 8 − 2x

5. x − x + 3( )2

= −5 6. 1= 1− x( ) ⋅ 2 + x( )






Ecuaciones de segundo grado incompletasHay dos tipo de ecuaciones de 2º grado incompletas. Para este tipo de ecuaciones, existen procedimientos de resolución más rápidos que la fórmula.

caso b = 0 a ⋅ x2 + c = 0

caso c = 0 a ⋅ x2 + b ⋅ x = 0

2x2 − 9 = 02x2 = 9 ⇒ x2 = 9

2 ⇒ x2 = 4,5 ⇒

⇒ x = ± 4,5 ⇒ x ! ±2,12

4x2 − x = 0

x ⋅ 4x −1( ) = 0 ⇒x = 04x −1= 0

⎧⎨⎩

4x −1= 0 ⇒ x = 14


1. x2 − 24 = 120 2. 6x2 − 6x = 12x 3. x2 + 7x = 0

4. −x2 = 8x 5. 6x2 = 0 6. −2x2 + 3 = 7

7. x2 − 6x = 3x 8. 10x2 − 6 = 4 9. 7 + 9x2 = 7 − x2


1. 2x − 3( )2

−1= 0 2. 3 + 1+ 2x( )2

= 2

3. 8x2 − 2

3= 0 4.

4x2 + 2

3= 2x

44. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide un metro más que el otro cateto. Calcula el perímetro del triángulo sabiendo que su área es 10m2.

45. Dos cuadrados tienen un área total de 58m2. El lado del cuadrado mayor es 4m más largo que el lado del cuadrado menor. Calcula la longitud de los lados de los dos cuadrados.

46. Una familia dispone en su jardín de un estanque rectangular de 2x4 metros. De una obra en la casa les han sobrado 27m2 de baldosa que quieren aprovechar para rodear el estanque con un paseo que tenga siempre la misma anchura. ¿Cuál debe ser el ancho del paseo para que pueda construirse con las baldosas que ya tienen?.






Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones es una colección de ecuaciones con el mismo conjunto de variables. La palabra sistema indica que las ecuaciones deben ser consideradas conjuntamente más que individualmente.

El sistema de llama lineal si todas las ecuaciones del sistema son lineales, es decir, ecuaciones de primer grado.

Al resolver un sistema de ecuaciones tratamos de encontrar valores para cada una de las variables que cumplan todas las ecuaciones del sistema.

47. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1.

2x − 5y = 5x − 3y = 2

⎧⎨⎩

2.

7x +10y = 2916x + 3y = −33⎧⎨⎩

3.

3x − 2 y −1( ) = y − x +1

2x − y = x + y − 9

⎧⎨⎪

⎩⎪

48. Un matrimonio y sus tres hijos viajan a Lanzarote por 330€. En el mismo vuelo, un padre y sus dos hijos pagaron 190€. Calcula el precio de los billetes de adulto y de niño.

49. Una librería vendió 600 copias de un libro por un valor total de 6408€. El libro costaba 12€ sin descuento, pero también vendieron algunas copias con un descuento del 30%. Calcula el número de copias vendidas con y sin descuento.

50. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1.

x + 4 = 2 ⋅ y +1( )x + 2 = 3 ⋅ y −1( )

⎧⎨⎪

⎩⎪2.

3 x −1( ) − 4 y + 2( ) = 0

4 x + 3( ) − 5 y − 2( ) = 20

⎧⎨⎪

⎩⎪

51. Sara ha hecho un examen que constaba de diez preguntas. Por cada pregunta acertada sumaba dos puntos, por cada fallo restaba uno. Sabiendo que respondió a todas y que sacó un ocho, calcula el número de fallos y de aciertos.

52. Una pieza rectangular es 4cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840cm3 cortando un cuadrado de 6cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

53. Un rectángulo y un cuadrado tienen la misma área. El largo del rectángulo es 6cm mayor que el lado del cuadrado, y el ancho es 4cm menor que el lado del cuadrado. Halla las dimensiones de ambas figuras.






54. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

3 x + y − 2( ) = y − x

11 3x + y − 3( ) = x − 2y

⎧⎨⎪

⎩⎪

55. En una bolsa hay 40 bolas, unas negras y otras blancas. Si añadimos tres bolas negras y dos blancas, habrá el doble de bolas negras que de blancas. ¿Cuántas bolas había de cada color?

56. Si quitamos 2cm del lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es 25cm2. ¿Cuánto miden los lados de los cuadrados?. ¿Cuánto mide el área de cuadrado mayor?.

57. El área de un triángulo es 18cm2. La altura es un metro más larga que el doble de la longitud de la base. Calcula la longitud de la base y de la altura del triángulo.






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S2 ud5 Ecuaciones alumno · Resuelve las siguientes ecuaciones. z−7=6 m+5=3 3y=21 −4x=36 5a−4=21 8. Escribe ecuaciones que tengan las soluciones dadas en la tabla siguiente