Upload
josemanuelslater
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
1/14
8.8 Más sobre polinomios ynúmeros cromáticos
Aplicaciones de la
Teoría de Grafos
a la vida real
Alberto Conejero y Cristina Jordá
Depto. Matemática Aplicada
E.T.S. Ingeniería Informática
Universitat Politècnica de València
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
2/14
Unión de grafos
Sean dos grafos no dirigidos G y H.
Llamamos unión de los grafos G y H al grafo G H = (V, G) tal queV = V(G) V(H) y E = E(G) E(H)
G H
v1
v2
v3
v4
v5
v7 v
v6
v6
v7 v8
H
v3
v4
Ejemplov1
G
v4
v5
v2
v3
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
3/14
b.2) G1 G2 y G3 tienen un único véen común. Obtenemos G1 G2
Unión de grafos con sólo un vértice en común
b.1) G1 y G2 tienen un único vértice en común.Obtenemos G1 G2
G1 G2 G3
v5
v5
v4
v3
v2
v4
G1 G2
v5
v3
v2
v4
v1
G1 G2
v3
v2
v4
v5
v3
v2
v4
v5v7
v6
G se puede expresar como unión de
G
v1
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
4/14
Unión de grafos con sólo una arista en común
Sean dos grafos no dirigidos G y H con una única arista en común
v1
H v5
v4
v6G H
v3
v4
v1
v2
v5
G
v2
v4
v5
v3
v5
v5
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
5/14
Propiedades
1.- Si G y H tienen un único vértice en común, v, se verifica que
v
Consideramos una coloración cualquiera con k colores
Supongamos que v tiene el color a.
De las PG(k) formas de colorear G hay PG(k)/k en las q
tiene color a.
Luego para cada coloración de H (en la que v tiene un
concreto, a u otro) hay PG(k)/k formas diferentes de co
Por tanto, el número de coloraciones posibles de GHGH
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
6/14
Propiedades
u
Consideramos una coloración cualquiera con k colores.
Supongamos que u tiene el color a y v el color b.
De las PG(k) formas de colorear G hay PG(k)/k en las qu
tiene color a.
De las PG(k) /k formas de colorear G teniendo u color a
( PG(k)/k )/(k-1) formas de que v tenga color b.
Luego para cada coloración de H (en la que u y v tienen
concretos, a y b u otros) hay ( PG(k)/k )/(k-1) formas dife
de colorear G.
Por tanto, el número de coloraciones posibles de GH e
2.- Si G y H tienen una única arista en común, e = (u, v), se verifica que
v
GH
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
7/14
Recordemos
1.- PLn(k) = k . (k-1)n-1, siendo Ln el grafo lineal de n vértices
2.- PNn(k) = kn, siendo Nn el grafo vacío de n vértices
3.- PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)), siendo Kn el grafo completo de n vértices
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
8/14
Ejemplo
v3
v2
v4
v5v7
v6
v1
v8
¿Cuál es el índice cromático del grafo G? Obténlo a partir del polinomio cro
Se puede considerar G como unión de G1 y G
2, grafos con un único vértice en
v3
v2
v4
v1
v8
v5v7
v6v4
G1
G2
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
9/14
Ejemplo
v5
v2
v4
v3
v1
v8
G1 se puede expresar como la
unión de G11 y G12
v3
v4
v3
v2
v4
v1
v5v
v5
v4
v4
v8
G2 se puede expresar como
unión de G21 y G22
G21 G22 G11
G12
G1 G2
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
10/14
Ejemplo
v2
v4
v3
v1
v8 v3
v4
v3
v2
v4
v1
v8G11
G12
G1
PG1(k)=PG11(k).PG12(k)
k.(k-1)
PG11(k)=k.(k-1)
PG12(k)=k.(k-1
k.(k-1).(k-2).(k-3).k
k.(k-1)=
P K n
(k) = k.(k-1). ... (k
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
11/14
Ejemplo
v2
v4
v3
v1
v8 v3
v4
v3
v2
v4
v1
v8G11
G12
G1
PG1(k)=PG11(k).PG12(k)
k.(k-1)
PG11(k)=k.(k-1)
PG12(k)=k.(k-1
v5v7
v6
v5G21
G22
v5v7
v6v4
G2
PG21(k)=k.(k-
PG22(k)=k.(k
PG2(k)=PG21(k).PG22(k)
k
k.(k-1).k.(k-1)2
k=
= (k-2).(k-3).k.(k-1).
P Ln(k) = k . (
P K n
(k) = k.(k-1). ... (k
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
12/14
Ejemplo
v2
v4
v3
v1
v8 v3
v4
v3
v2
v4
v1
v8G11
G12
G1
PG1(k)=PG11(k).PG12(k)
k.(k-1)
PG11(k)=k.(k-1)
PG12(k)=k.(k-1
v5v7
v6
v5G21
G22
v5v7
v6v4
G2
PG21(k)=k.(k-
PG22(k)=k.(k
PG2(k)=PG21(k).PG22(k)
kk.(k-1)3=
= (k-2).(k-3).k.(k-1).
P Ln(k) = k . (
P K n
(k) = k.(k-1). ... (k
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
13/14
Ejemplo
v2
v4
v3
v1
v8
G se puede expresar como la unión de G1 y G1
v5v
v4
G1 G2
PG2(k)= k.(k-1)3PG1(k) = (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2)
PG(k) =(k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).k.(k-1)3PG1(k) . PG2(k)
k=
k
= (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).(k-1)3 = (k-3).(k-2)2.(k-1)4.k
Luego (G) = 4
P Ln(k) = k . (k-1)n-1
P K n
(k) = k.(k-1). ... (k
8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos
14/14
Ejemplo
v2
v4
v3
v1
v8
G se puede expresar como la unión de G1 y G1
v5v
v4
G1 G2
PG2(k)= k.(k-1)3PG1(k) = (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2)
PG(k) =(k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).k.(k-1)3PG1(k) . PG2(k)
k=
k
= (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).(k-1)3 = (k-3).(k-2)2.(k-1)4.k
Luego (G) = 4
P Ln(k) = k . (k-1)n-1
P K n
(k) = k.(k-1). ... (k