ISSN 1332-2974

Hrvatsko filozofsko drustvo

Godina I. Broj 4 Zagreb 2000.

LOGIKA · GODINA I · BROJ 4 · ZAGREB 2000

Hrvatsko filozofsko drustvo

OSNIVAC I IZDAVAC · FOUNDER AND PUBLISHERHrvatsko filozofsko drustvo / Croatian Philosophical SocietyI. Lucica 3, Zagreb, hrvatska / croatia

UREDNICKO VIJECE · EDITORIAL BOARDIvan Bekavac-Basic (Zagreb), Ciro Coh (Varazdin),Srecko Kovac (Zagreb), Ante Vlastelica (Zagreb),Natasa Vulic (Zagreb), Berislav Zarnic(Split),

Casopis se prelama i slaze u urednistvu.

ADRESA UREDNISTVA I ADMINISTRACIJELogika, strucno-metodicki casopis za profesore i ucenike gimnazija i srednjihskola, Kuslanova 59, HR 10000 Zagreb, tel./fax: 385-(0)1-2006 411 (adresaurednika na koju treba slati suradnju)Casopis izlazi dva puta godisnje.Rukopisi se ne vracaju.

UPUTE SURADNICIMACasopis Logika objavljuje priloge o logici i nastavi logike. Prilozi ce se mociobjaviti samo ukoliko su u konacnoj verziji predani u .doc i .tex formatu.Pristigle clanke recenziramo. Rukopise ne vracamo.

Sadrzaj

CLANCI

S. Kovac, Godelov dokaz nepotpunosti 2B. Zarnic, Neka pitanja o logici i obrazovanju 13

NASTAVA LOGIKE

N. Arner, Thinking about incompleteness in theological terms 25

CLANCI

GODELOV DOKAZ NEPOTPUNOSTI ∗

Srecko Kovac, Institut za filozofiju (Zagreb)

Abstract

Godel’s incompleteness proof is analyzed in its main steps: arith-metisation of the syntax of arithmetical language and the constructionof an undecidable sentence of the arithmetical system. The context ofGodel’s phenomenological views is also mentioned.

1 Uvodne napomene

Pitanje o naravi, mogucnostima i granicama dokazivanja, a osobito strogoga(egzaktnoga) dokazivanja, vazno je epistemologijsko pitanje jer o njem ovisistrogost znanosti i, posebice, strogost filozofije. Za filozofiju je to pitanjevazno takoder i u svjetlu cinjenice da su mnogi od najutjecajnijih filozofa upovijesti tezili upravo tomu da filozofiju zasnuju kao znanost (npr. Aristo-tel, Kant, Hegel, Husserl) - bilo znanost s vlastitom logickom strogoscu (urazlici spram matematicke), bilo s matematickom strogoscu ili po uzoru namatematicku strogost (npr. Descartes, Spinoza, Leibniz).

Godelov dokaz poucka o nepotpunosti u tom svjetlu ima kljucno znacenje- kako u logicko-epistemologijskome smislu, tako i u s time izravno povezanom,ontologijskome smislu.

K. Godel (1906.-1978.) dokazao je (1930., obj. 1931.)1 da, kad seelementarna logika (logika prvoga reda) prosiri tako da obuhvaca elemen-tarnu teoriju brojeva (aritmetiku prvoga reda), dobivamo sustav u kojemima iskaza takovih da, ako je sustav suvisao (konsistentan; jos cemo vidjetio kojoj i kakvoj je suvislosti rijec), ne mozemo dokazati ni njih ni njihovnijek. Takovi se iskazi nazivlju neodlucljivima. Za sustav (teoriju) u ko-jem se javljaju neodlucljivi iskazi, kazemo da je sintakticki nepotpun. To je

∗Ovo je doradeni tekst nastupnoga predavanja odrzanoga na Sveucilistu u Zagrebu(Hrvatski Studiji) 22. studenoga 2000. god.

1‘O formalno neodlucljivim stavcima Principia mathematica i srodnih sustava, I’ (engl.u M. Davis (ur.), The Undecidable, New York: Raven Press, 1965, str. 438; usp. hrvatskiprijevod V. Kirina u dodatku knjige Nagel, E.; Newman, J., Godelov dokaz, Zagreb:Kruzak, 2001., str. 87-117).

Logika 2(2000)4: 2–12ISSN 1332-2974

Srecko Kovac 3

bio vrlo neocekivan rezultat koji je pokazao ne samo nemogucnost izgrad-nje sintakticki potpunoga, suvisloga matematickoga sustava (kako je to htioHilbert2) nego i nemogucnost potpunoga svodenja matematike (ili samo ar-itmetike) na logiku (kao sto su htjeli Frege i Russell). Taj rezultat ima ifilozofijski vazan aspekt, koji (kako je poslije pokazao sam Godel) upucujena dimenziju koja na neki nacin nadmasuje ali ujedno i prozimlje svu logiku.

Godelov, inace dug i slozen dokaz, prikazat cemo samo u osnovnim cr-tama3. Zapravo, cesto se govori o dvama dokazima. Zadrzat cemo se najvisena prvome, a o drugome dodati nekoliko napomena (drugi je dokaz Godelprikazao vise kao dodatak prvomu, a namjeravanu potanju razradu, najavl-jenu za drugi dio clanka, sam nije ostvario, nego su to ubrzo ucinili Hilbert iBernays). Nadalje, sam Godel dokaz provodi za Whitehead-Russellov sustaviz Principia mathematica (1910.-1913., koji ukljucuje logiku visega reda),dok cemo se mi zadovoljiti aritmetikom prvoga reda, koja je i kljucna zadokaz. U skladu s time postupamo na sljedeci nacin. Prikazat cemo

• kako jezik i sustav logike prvoga reda mozemo prosiriti do aritmetickoga;

• kako se sintakticka (dakle metamatematicka) svojstva mogu izrazitiaritmeticki;

• kako se u dobivenome aritmetickome jeziku moze izgraditi iskaz (G)koji sam o sebi tvrdi da je nedokazljiv;

• da je i pod kojim uvjetom G u aritmetickome sustavu neodlucljiv;

• da je G istinit (i time dovrsiti 1. dokaz).

Nakon toga,

• dodat cemo napomene o tzv. 2. Godelovu dokazu nepotpunosti;

• staviti poucak o nepotpunosti u fenomenologijsko svjetlo.

2David Hilbert (1862.1943.), matematicar i utemeljitelj “teorije dokaza” (metamatem-atike) s pitanjem o suvislosti matematickoga sustava kao jednom od glavnih tema.

3Usp. rekonstrukcije Nagel Newmanovu (u Nagel, E.; Newman, J., Godel’s

Proof, New York: New York UP, 1986, i hrv. prijevod Maje Hudoletnjak Grgic uNagel, E. [etc.], Godelov dokaz ), Podnieksovu (http://www.ltn.lv/∼podnieks) i Torkelovu(http://www.sm.luth.se/∼torkel/eget).

4 Godelov dokaz nepotpunosti

2 Prosirenje logike u aritmetiku prvoga reda

Jezik logike prvoga reda najprije sazimljemo. Radi se o logici s istovjetnoscu.Od logickih simbola zadrzavamo samo

x y z x1 . . .¬ ∨ ∀

=

Ostali su logicki simboli definirani, i kad ih u sljedecem budemo rabili, bitce to samo kao pokrate. Zadrzavamo i pomocne simbole:

( )

Od opisnih simbola imamo samo sljedece:

0 : broj nula (predmetna konstanta)′ : (neposredni) sljedbenik+ : zbrajanje· : mnozenje

‘0’ je jedina predmetna konstanta, ‘ ’ ’ je jednomjesni funkcijski simbol, a‘+’ i ‘·’ su dvomjesni funkcijski simboli. Predmetno podrucje (domena) uaritmetici prvoga reda jest skup prirodnih brojeva (ukljucujuci i broj 0).

Logickomu deduktivnomu sustavu prvoga reda (bilo da je rijec o nar-avnoj dedukciji, bilo o aksiomatskom sustavu) dodajemo sljedece, specificnoaritmeticke aksiome:

A1 ∀x∀y(x′ = y′ → x = y)A2 ∀x¬x′ = 0A3 ∀x(¬x = 0→ ∃yx = y′)A4 ∀xx + 0 = xA5 ∀x∀yx + y′ = (x + y)′

A6 ∀xx · 0 = 0A7 ∀x∀yx · y′ = x · y + xAS [Q(0) ∧ ∀x(Q(x)→ Q(x′))]→ ∀xQ(x)

AS je induktivna aksiomatska shema. To su aksiomi tzv. Peanove4

aritmetike. Oni su u Principia mathematica nepotrebni jer su u tom sustavudokazljivi, ali ih Godel zadrzava zbog prakticnosti.

4Giuseppe Peano (1858.1932.), talijanski matematicar i logicar; uz ostalo, aksioma-tizirao je teoriju brojeva.

Srecko Kovac 5

Sada se moze definirati npr. funkcija potenciranja ili relacija <. Evodefinicije za potonji pojam:

x < y ≡ ∃z x + z′ = y.

Da bi izbjegao prigovore intuicionista, Godel bira pristup prema kojem sesve o cem se u aritmetici tvrdi da opstoji, mora moci izgraditi (konstruirati)nekim aritmetickim postupkom. To metamatematicki znaci da je za svakuformulu dokazljiv njezin supstitucijski primjer.5 U skladu s time, sve su arit-meticke funkcije u Godelovu dokazu, osim jedne (“dokazljivost”), primitivnerekurzivne funkcije (ili “rekurzivne” u Godelovu smislu). To, ugrubo, znacida su definirljive pomocu konacnoga niza primjena osnovnih aritmetickihfunkcija (nulta, sljedbenicka i istovjetnosna funkcija) ili primjena slaganja i“primitivne rekurzije” na primitivne rekurzivne funkcije.6

3 Metamatematika izrazena aritmeticki

Pretpostavka je izgradnje iskaza G, koji o sebi tvrdi da je nedokazljiv, da uaritmetici imamo mogucnosti govoriti o samim aritmetickim iskazima i nji-hovim sintakticnim svojstvima (kao sto je dokazljivost). Drugim rijecima,potrebno je moci metateoriju aritmetike (metamatematiku) izraziti arit-meticki. Godel je iznasao zanimljiv nacin kako se to moze uciniti. Najprije,svakomu simbolu aritmetike prvoga reda pridruzimo neki prirodan broj, kojisada nazivljemo Godelovim brojem toga simbola. Evo tablice pridruzivanjabrojeva simbolima:

0 ’ + · = ¬ ∨ ∀ ( ) x y z x1 . . .1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 17 19 . . .

Godel ima unekoliko drukcije pridruzivanje, zbog drugoga logicko-matema-tickoga sustava (Principia mathematica) u kojem provodi dokaz.

Nadalje, kad je rijec o izrazu, svakomu simbolu na prvomu mjestu uizrazu, pridruzujemo prvi prost broj (2) potenciran Godelovim brojem togasimbola; drugomu simbolu drugi prost broj (3) potenciran brojem drugogasimbola itd. Slicno vrijedi i za svaki niz formula (primjerice, dokaz je nizformula): prvoj se formuli pridruzuje prvi prost broj potenciran Godelovimbrojem te formule, drugoj drugi prost broj potenciran Godelovim brojemdruge formule itd.

5Usp. Godelov clanak o nepotpunosti u M. Davis, nav. dj. str, 26.6Primitivna je rekurzija primijenjena u gore navedenim aksiomima 4-5, kojima se

definira zbrajanje, i u aksiomima 6-7, kojima se definira mnozenje.

6 Godelov dokaz nepotpunosti

Svaka aritmeticka formula i svaki niz formula mogu dobiti svoj Godelovbroj, i to na nacin kao u sljedecem primjeru: formula

x = 0

ima Godelov broj

211· 35

· 51.

Dakle, prvi prost broj (za prvi simbol u formuli) potenciramo brojemprvoga simbola, to mnozimo s drugim prostim brojem potenciranim brojemdrugoga simbola, i to mnozimo trecim prostim brojem potenciranim brojemtrecega simbola (itd. ako je formula dulja). Analogno se obrojcava i nizformula. Npr. niz formula

x = 0, y = 0

ima Godelov broj

2211·35·51

· 3213·35·51

Kako je dokaz upravo niz formula u kojem je zadnja formula dokazanaformula, tako i svaki dokaz moze imati svoj Godelov broj.

Sada se aritmeticki mogu izraziti svojstva i odnosi aritmetickih izraza,dakle metamatematicka svojstva i odnosi kao npr. da je neki izraz formula,da je neka formula aksiom, da neki niz formula dokazuje neku formulu itd.Pritom metamatematicko svojstvo ili odnos vrijedi o izrazima ako i samo akoodgovarajuce aritmeticko svojstvo ili odnos vrijedi o Godelovim brojevimadoticnih izraza. Aritmeticko je svojstvo (osim za pojam dokazljivosti) uvijekrekurzivno definirano.

4 Iskaz koji o sebi tvrdi da je nedokazljiv

Za svaku formulu s jednom slobodnom varijablom P(y) moze se izgraditineki iskaz koji sam o sebi tvrdi P .

Ponajprije, za svaku formulu oblika

P(y)

moze se izgraditi neka formula Q kojom se o P tvrdi P , i to tako da seza ‘y’ u P(y) supstituira Godelov broj za P(y). Neka P(y) ima neki brojb. Supstitucijom dobivamo P(b/y). Kazemo da smo u formulu s brojemb, za varijablu s brojem 13 (to je ‘y’), supstituirali izraz za broj b. Tusupstituciju, kojoj odgovara i rekurzivno definirana aritmeticka funkcija sb,mozemo ovako oznaciti: sb(b, 13, b). Stoga mozemo reci da je broj formule

Srecko Kovac 7

P(b/y) upravo vrijednost od sb(b, 13, b). No P(b/y) jos uvijek ne govori osebi, nego o P(y).

Kako bismo izgradili formulu koja govori o sebi, potrebno je u P(y)umjesto ‘y’ staviti ‘sb(y, 13, y)’ - 13 je broj varijable ‘y’. Dobivamo

P(sb(y, 13, y)). (1)

Neka (1) ima Godelov broj n. Izvrsimo sada supstituciju n/y. Dobivamo

P(sb(n, 13, n)). (2)

Broj sb(n, 13, n) Godelov je broj formule (2) jer je to formula dobivena izformule s brojem n tako sto smo za varijablu s brojem 13 (‘y’) supstituiraliizraz za n. Prema tome, formula (2) govori o sebi jer govori o formuli sbrojem sb(n, 13, n), a to je upravo njezin Godelov broj.

Dakle, za svaku formulu P(y) mozemo u aritmetickome jeziku izgraditisamoodnosajnu formulu oblika (2). Npr. neka P i(y) bude formula s meta-matematickim znacenjem ‘y je formula’, tada odgovarajuca formula oblika(2), uzeta metamatematicki, tvrdi sama o sebi da je formula. Slicno, nekaP j(y) bude formula s metamatematickim znacenjem ‘y je aksiom’, tadaodgovarajuca formula oblika (2), uzeta metamatematicki, tvrdi sama o sebida je aksiom.

Uzmimo sada da je P(y) formula koja, po svome metamatematickomesmislu, tvrdi da je y nedokazljivo. To mozemo ovako zapisati:

∀x¬D(x, y),

gdje je D neka slozena aritmeticka funkcija koja odgovara metamatematicko-mu odnosu dokazivanja (x dokazuje y). Polazeci od navedene formule mozemonaciniti formulu oblika (1):

∀x¬D(x, sb(y, 13, y)). (3)

Neka ta formula ima Godelov broj p. Supstitucijom p/y dobivamo iskazoblika (2):

∀x¬D(x, sb(p, 13, p)). (4)

Taj iskaz, uzet metamatematicki, sam o sebi kazuje da je nedokazljiv (danema nijednoga niza iskaza koji cini njegov dokaz). Nazovimo iskaz (4) G.Mozemo reci da je G u deduktivnome aritmetickome sustavu A istovrijednos tvrdnjom o nedokazljivosti G:

8 Godelov dokaz nepotpunosti

A ` G ↔ ¬∃xD(x, sb(p, 13, p)). (5)

Godel pokazuje da (4) kao ni nijek od (4) nisu dokazljivi u A, i to pododredenim uvjetom suvislosti koji cemo jos precizirati.

5 Neodlucljivost iskaza G

Godel najprije pokazuje da je G nedokazljivo u A ako je A suvisao, i toizvodeci protuslovlje iz tvrdnje da je G dokazljivo u A. A kazemo da je nekisustav suvisao ako i samo ako u njem nije dokazljiv neki P i ¬P.

5.1 Nedokazljivost G

Pretpostavimo, najprije, da je G dokazljivo u A, sto mozemo ovako zapisati:

A ` G

tj.A ` ∀x¬D(x, sb(p, 13, p))

.Slijedi da u sustavu A ima dokaz s nekim brojem x, koji dokazuje G,

pri cem G ima broj sb(p, 13, p). Ako je tako, a ono sto, s jedne strane,metamatematicki zovemo dokazom, ujedno je, s druge strane, i jedan cistoaritmeticki postupak izracunavanja, u A mozemo dokazati da broj dokazaza G i samoga iskaza G stoje u aritmetickome odnosu D, tj.

A ` ∃xD(x, sb(p, 13, p)).

To metamatematicki znaci da se u A moze dokazati da je G dokazljiv.Medutim, G je dokazljiv ako i samo ako vrijedi ¬G, tj., prema (5), ‘∃xD(x,sb(p, 13, p))’ istovrijedno je s ¬G. Prema tome, mozemo pisati:

A ` ¬G

.Dobili smo protuslovlje - u A su dokazljivi i Gi ¬G (pod pretpostavkom

da je u A dokazljivo G). Prema tome:

ako A ` G,A je nesuvisao,

sto po protupostavu (kontrapoziciji) daje:

ako je A suvisao, onda A 0 G.

Srecko Kovac 9

5.2 Nedokazljivost ¬G

Sada slijedi druga strana neodlucljivosti G u A, koja se tice nedokazljivosti¬G. Pretpostavimo da je u A ¬G dokazljivo:

A ` ¬G,

tj.A ` ¬∀z¬D(x, sb(p, 13, p)).

No, prema (5), ¬G je istovrijedno s dokazljivoscu G. Stoga mozemo pisati:

A ` ∃xD(x, sb(p, 13, p)).

No pokazano je prije da G nije dokazljivo u A. Prema tome, medu dokazimau A ne pronalazimo dokaz za G. Stoga imamo

A ` ¬D(a, sb(p, 13, p))

A ` ¬D(b, sb(p, 13, p))

A ` ¬D(c, sb(p, 13, p))

itd. za svaki konstruirani dokaz a, b, c, . . . u sustavu A (ne pretpostavljamoda ima zbiljska beskonacnost svih aritmetickih dokaza uopce). Time dodusenismo dobili protuslovlje u A, ali imamo iskaz oblika ∃xP i ujedno nijeksvakoga izgradenoga supstitucijskoga primjera za taj iskaz, dakle. ¬P(a),¬P(b), ¬P(c) itd., sto u beskonacnosti vodi protuslovlju. Stoga Godel,umjesto o obicnoj nesuvislosti, govori o ω-nesuvislosti takova sustava. Dakle,

ako je A ` ¬G, onda je A ω-nesuvisao,

sto po protupostavu (kontrapoziciji) daje:

ako je A ω-suvisao, onda A 0 ¬G.

Inace, kako nam je ‘∃’ samo definirani simbol (nema ga u rjecniku arit-metickoga jezika), ω-suvislost definiramo pomocu ‘∀’. Pa mozemo reci:

sustav je S ω-suvisao ako i samo ako u njem nije dokazljivo iP(a), P(b), P(c) itd. i ¬∀x P .

Ako je sustav ω-suvisao, takoder je i suvisao u obicnome smislu. Jer, akoje nesuvisao u obicnome smislu, onda je i ω-nesuvisao (tada mozemo izvestibilo koji iskaz). Stoga mozemo dokaz ujediniti i reci:

10 Godelov dokaz nepotpunosti

ako je A ω-suvisao, onda A 0 G, ¬G.

I upravo taj stavak nazivljemo Godelovim pouckom o nepotpunosti. Naime,kao sto smo rekli, sustav u kojem je neki iskaz neodlucljiv, jest sintaktickinepotpun. Stoga kazemo:

ako je A ω-suvisao, onda je A sintakticki nepotpun.

Napomenimo da sintakticku nepotpunost ne bismo izbjegli ni kada bismoG dodali aritmetickomu sustavu kao novi aksiom. U tom novome sustavu,nazovimo ga A′, G je, doduse, dokazljiv. No u A′ ponovno mozemo izgraditineki iskaz G’ koji govori o svojoj nedokazljivosti u A′ (ne vise u A). Takomozemo ici u beskonacnost.

Zanimljivo je spomenuti i da, ako je A suvisao, onda je A+¬G suvisao,ali ω-nesuvisao (prema drugome dijelu dokaza).

6 Istinitost G

Dosad smo govorili samo o sintaktickoj nepotpunosti aritmetickoga sus-tava. No sustav mozemo usporediti i sa semantickom stranom aritmetike,ispitujuci istinitosnu vrijednost iskaza G.

Vidjeli smo da je G u A nedokazljiv ako je A suvisao. Ali, po svommetamatematickome sadrzaju, G upravo i tvrdi svoju nedokazljivost (v.(5)). Prema tome, ako je A suvisao, G je istinit prema svojem meta-matematickome smislu. A svaki je aritmeticki iskaz istinit u metamatematic-kome smislu ako i samo ako je istinit i u aritmetickome smislu. Dakle, akoje A suvisao, G je istinit takoder i u aritmetickome smislu. Prema tome,ako je A suvisao, G je primjer aritmeticki istinitoga, ali u A nedokazljivogaaritmetickoga iskaza. Stoga mozemo reci da je, u usporedbi sa semantikomaritmetike, aritmeticki sustav, ako je suvisao, nepotpun (semanticka nepot-punost). Time je dovrsen, tzv. prvi Godelov dokaz nepotpunosti.

Dodajmo da opstoje i nestandardna tumacenja aritmetike, u kojima je Gneistinit. Uzmemo li i to u obzir, G vise ne mozemo smatrati aritmetickomistinom, te otpada gornji dodatak o semantickoj nepotpunosti aritmetickogasustava.

7 Je li suvislost aritmetickoga sustava dokazljiva?

Ocrtajmo najkrace i drugi Godelov dokaz nepotpunosti. U prvome je dokazudokazano:

ako je A suvisao, onda A 0 G.

Srecko Kovac 11

To je dokazljivo u samome sustavu A. ‘A je suvisao’ mozemo aritmetickiizraziti nekom recenicom SA, a A 0 G je istovrijedno s G (prema (5)). U Ase moze dokazati i sljedece:

A ` SA → G.

Ako bi SA bilo dokazljivo, dokazljivo bi bilo i G. No, ako je A suvisao, Gnije dokazljivo, pa prema tome, ako je A suvisao, nije dokazljivo ni SA:

ako je A suvisao, onda A 0 SA.

(Jasno, ako nije dokazljiva suvislost, nije dokazljiva ni ω-suvislost.) O do-davanju SA kao aksioma aritmetickomu sustavu vrijedi sve analogno kao iza dodavanje G kao aksioma. Napokon, kako upozorava Godel,

ako A 0 ¬SA, onda A 0 SA,

jer A 0 ¬SA znaci, da je A suvisao (tj. da opstoji barem jedan nedokazljiviskaz).

Takoder, trivijalno,

ako A 0 ¬SA, onda A 0 ¬SA.

Dakle,

ako A 0 ¬SA, onda A 0 SA, ¬SA.

Prema tome,

ako A 0 ¬SA, vrijedi da je SA neodlucljivo u A i da je A sin-takticki nepotpun.

Sve to ne znaci da suvislost sustava A nije ni na koji nacin dokazljiva,nego samo da nije dokazljiva ni u aritmetickome sustavu prvoga reda ni usustavima koji sadrze taj aritmeticki. To je srusilo Hilbertovu ideju o fini-tistickome dokazu7 suvislosti matematike (Godel je u svome clanku ipak,ostavljajuci priliku Hilbertovoj ideji, dopustio da ima finitistickih dokaza iz-van aritmetike). Suvislost (pa i ω-suvislost) aritmetickoga sustava dokazljivaje, medutim, u nekom nearitmetickom sustavu (to je pokazao, primjerice,Gentzen 1936. - konstruktivisticki, ali ne i finitisticki).

7Tj. konstruktivistickome koji se sluzi samo konacnim sintakticnim konfiguracijama.Uporabljeni se kolicitelji protezu sam na konacno predmetno podrucje.

12 Godelov dokaz nepotpunosti

8 Fenomenologija

Poucak je o nepotpunosti (uz druge rezultate) naveo Godela na misao damatematicke istine i matematicki predmeti nacelno premasuju okvire logicko-matematickih sustava koje mi konstruiramo i da opstoje neovisno o njima.Mi takove sustave mozemo samo preinacivati, dogradivati (npr. dodavatinove aksiome) nastojeci bolje obuhvatiti matematicki predmet. No u iz-gradnji i dogradnji logickomatematickoga sustava ne vodi nas tek formalnalogika, nego je za to potreban neki dublji uvid, “produbljivanje” i “kultivi-ranje spoznaje” matematickih pojmova. Taj dublji uvid, prema Godelu,omogucuje fenomenologijska metoda usmjeravanja pozornosti na nase akteu porabi matematickih pojmova. Fenomenologija bi (koja je, kaze Godel,tek na pocetku) trebala dati “postupak ili tehniku” koja vodi do opisa os-novnih pojmova i “razjasnjenja” njihova znacenja. Zacetke takove sustavnemetode Godel vidi u Husserla i, u opcenitijem smislu (i ne jos u sasvimjasnome obliku), u Kanta.8

8O tom usp. npr. Godelov clanak ‘Sto je Cantorov problem kontinuuma?’ (1947. i1964.; engleski u P. Benaceraff i dr. (izd.), Philosophy of Mathematics, 2. izd., Cambridge,1983; hrvatski prijevod u Z. Sikic, Novija filozofija matematike, Beograd, 1987.) ili Godelovtekst za predavanje ‘Moderni razvoj temelja matematike u filozofijskome svjetlu (1961.)(u Collected Works of Kurt Godel, III (ur. S. Feferman), Oxford, 1995, str. 374-387).

CLANCI

NEKA PITANJA O LOGICI I OBRAZOVANJU

Berislav Zarnic, Visoka uciteljska skola Sveucilista u Splitu

Sazetak

Ovaj esej pokusava dati jednu skicu za ispitivanje odnosa logikei obrazovanja. Prvo, analizira se uloga logike u odredbi materijal-nih i formalnih ciljeva obrazovanja. Drugo, postavlja se pitanje oodnosu logike i nacela kooperativne komunikacije i u tom okviru senudi rjesenje Carrollove Mad Tea-Party zagonetke. Trece, ispituje seodnos izmedu pojma o pojmu i nastavnog dizajna.

1 Logika i ciljevi obrazovanja

U ovom eseju bavit cemo se pitanjem o ulozi logike u obrazovanju. Za prvo¿potpitanjeÀ predlazem: Mozemo li odrediti cilj obrazovanja bez koristenjapojma o dobrom misljenju?

Svi cemo se sloziti da nije dobro obrazovan onaj koji cesto u svojimrazmisljanjima dolazi do neistinitih uvjerenja, unatoc tome sto je znao za onona cemu je mogao izgraditi istinito uvjerenje. U odnosu na takve poteskoce,logika se moze promatrati kao disciplina koja omogucuje odredivanje onih cil-jeva obrazovanja koji su povezani s razvojem sposobnosti za dobro razmislja-nje. Cini se, dakle, da je pojam dobrog misljenja potreban u definiciji dobrogobrazovanja.

Cilj ne moze biti niti ono sto se ne moze izbjeci niti ono sto se ne mozeostvariti, zato ako je dobro misljenje svojstvo obrazovanosti, onda mora pos-tojati nacin da se dobro misljenje potakne ili barem ne remeti. U tom slucaju,nitko ne moze sustavno poticati i njegovati dobro misljenje ako ne zna za ra-zliku izmedu dobrog i pogresnog misljenja. S te se strane logika moze proma-trati i kao sredstvo bez kojega ucitelj ne moze prionuti k ostvarenju vrijednihobrazovnih ciljeva.

Zamislimo, nasuprot svim znanstvenim razlozima, da se na dobro misljenjene moze nikako, ni pozitivno ni negativno utjecati i da se cjelokupni smisao

Logika 1(2000) 4: 13–24ISSN 1332-2974

Primljeno prosinca 2002.

14 Neka pitanja o logici i obrazovanju

obrazovanja svodi na usvajanje trenutacno najboljeg gradiva. No, ni obra-zovno gradivo liseno logike niti obrazovno izlaganje protivno logickim zah-tjevima ne vode prema cilju usvajanja najboljeg gradiva. Razmotreni razlozisugeriraju snaznu tvrdnju o tome da nije moguce na zadovoljavajuci nacinobrazovanje razumjeti i u njemu djelovati bez uvazavanja logike.

Prihvatljivom se cini tvrdnja da obrazovanje obuhvaca dva uzajamnonadopunjujuca procesa: proces usvajanja vrijednih sadrzaja i proces us-avrsavanja vrijednih sposobnosti. Prvi proces mozemo nazvati materijalnimobrazovanjem, drugi formalnim obrazovanjem. Za uspjesno ostvarivanje ijednog i drugog procesa, vidjeli smo, nuzna je logika. Na materijalnoj straniprocesa obrazovanja, logika je ono sto omogucuje nastanak vrijednog gradiva iono sto olaksava proces usvajanja gradiva; gledano sa formalne strane, procesobrazovanja ukljucuje usavrsavanje, osnazivanje i produbljivanje sposobnostiza spoznavanje, komuniciranje i odlucivanje.

Metafora koju cesto koristimo kada pokusavamo razumjeti osnovne crteprocesa obrazovanja je metafora procesa povezivanja dviju tocaka, metaforaishodiste-put-cilj. Obrazovanje je briga (put) da se sadasnje stanje (ishodiste)postavi u neki odnos sa zeljenim stanjem (cilj), briga da se njihov pri-blizavanje omoguci ili ne poremeti. J.F. Herbart, prvi zagovornik ideje opedagogiji kao samostalnoj znanstvenoj disciplini, oslanjao se na metaforuishodiste-put-cilj kada je opisivao pedagogiju kao spoj psihologije i etike. Sli-jedeci Herbartovu izreku, pokusajmo odrediti podjelu rada medu spomenu-tim disciplinama. Psihologija pomaze u razumijevanju misaono-voljnog drza-nja osobe koja se obrazuje; etika pomaze u odredivanju pozeljnog misaono-voljnog draznja; analiticka filozofija odgoja treba ispitati moze li se polazeciod danog cinjenicnog stanja ostvariti takvo pozeljno stanje, i, ako se pokazeda je takav poduhvat potreban i moguc, empirijska nam pedagogija trebapokazati na niz postupaka koje bismo trebali izvesti kako bi se zeljeno stanjeostvarilo, ili barem ne bi remetilo njegovo ostvarenje. Rijec ’etika’ u prethod-noj recenici mozemo shvatiti u starogrckom znacenju1 tako da vrline kojeetika opisuje obuhvate ne samo one vrline koje se odnose na cuvstva i radnjevec i vrline misljenja.

Metaforu ishodiste-put-cilj ne mozemo primijeniti u razumijevanju for-malne strane u procesu obrazovanja a da pri tome ne koristimo neki pojamlogike. Ishodiste je sadasnji repertoar misaonih postupak koje covjek izvodi

1U ovom tumacenju koristimo Aristotelovo razlikovanje cudrednih i umskih kreposti(primjeri: za prvo, hrabrost i darezljivost; za drugo, domisljatost).

Berislav Zarnic 15

nad dostupnim mu sadrzajima. Neki misaoni postupci mogu biti takvi daim daljnje usavrsavanje nije potrebno, ali neki su postupci pogresni a neki bimogli biti bolji nego sto jesu. Brojni psiholoski eksperimenti potvrduju daljudi, kako djeca tako i odrasli, cesto koriste nedovoljno razvijene i pogresnemisaone postupke (podsjetimo se dobro poznatih Piagetovih eksperimenataili pogledajmo dolje Perner-Wimmerov i Wasonov eksperiment). S drugestrane, odgovor na pitanje ispravnost misaonih postupaka ne mora nam bitipoznat (vidi dolje Kripkeov misaoni eksperiment). Oslanjajuci se na cinjenicuda je covjek nesavrseno (!) racionalno bice, mozemo prihvatiti tvrdnju da selogicke vjestine traze od ucitelja kako za razumijevanje ucenikovih logickihsposobnosti (ishodiste) i razumijevanja smisla svog poziva (cilj), tako i zapronalazenje nacina kojim bi se priblizavanje vrijednom cilj moglo poticatiili ne ometati (put).

Perner-Wimmer eksperiment [8]. Joseph Perner i HeinzWimmer proveli su znameniti eksperiment s djecom podijeljenomu tri dobne skupine (3-4 godine, 4-6 godina, 6-9 godina).

Djeca gledaju jednostavan prizor u lutkarskoj predstavi ciji jeglavni lik Maxi. Narator opisuje razvoj dogadaja u pozadiniscene. Maxi se nalazi sa svojom majkom u kuhinji sa dva ormara,plavim i zelenim. Djeca vide da Maxi stavlja komad cokolade upretinac plavog ormara, a potom Maxi odlazi sa scene. Naratornaglasava da je Maxi zapamtio gdje je spremio cokoladu i da juje tu spremio kako bi je mogao pojesti poslije kada se vrati. DokMaxija nema u kuhinji, njegova majka uzima cokoladu iz pretincaplavog ormara, otkida jedan komadic cokolade, stavlja otkinutikomadic u tijesto za kolace koje mijesi, a ostatak cokolade spremau pretinac zelenog ormara. Nedugo zatim Maxi se vraca u kuhinjui kaze da ce sada pojesti svoju cokoladu. U tom trenutku Naratorse obraca publici – djeci i pita Gdje ce Maxi traziti cokoladu?.

U izvornom eksperimentu (inace kasnije vise puta neovisno ponovl-jenom i u osnovnim rezultatima potvrdenom) niti jedno dijete izskupine od 3-4 godine ne daje tocan odgovor, u skupini djeceod 4-6 godina tocno odgovara 57% djece, a u skupini od 6-9godina ima 86% tocnih odgovora. Tijekom eksperimenta prov-jerava se jesu li djeca shvatila pricu i jesu li zapamtila gdje jeMaxi stavio cokoladu. U svrhu provjere, nakon VJEROVANJE-pitanja Gdje ce Maxi traziti cokoladu?, tj. pitanja o Maxijevim

16 Neka pitanja o logici i obrazovanju

vjerovanjima, slijedi STVARNOST-pitanje Gdje je cokolada? iPAMCENJE-pitanja Sjecate li se gdje je Maxi na pocetku stavio

cokoladu?... Gdje?. cak i ona djeca koja daju netocan odgovorna VJEROVANJE-pitanje (posebno djeca od 3-4 godine) tocnoodgovaraju na STVARNOST-pitanje i PAMCENJE-pitanje. Onase sjecaju gdje je Maxi stavio cokoladu i znaju gdje se cokoladasada nalazi. Ipak ona ne uspijevaju zakljuciti da ce Maxi cokoladutraziti na onom mjestu na kojem ju je ostavio.

Wasonov eksperiment [7]. U jednoj verziji Wasonovog eksper-imenta odraslim se ispitanicima (studentima) pokazuje niz karatai kaze im se svaka karta ima na jednoj strani slovo, a na dru-goj broj. Od ispitanika se trazi da odgovore na pitanje Koje

karte moramo okrenuti da bismo provjerili tocnost sljedece tvrd-

nje. Tvrdnja je Ako je na jednoj strani karte samoglasnik, onda

je i na drugoj strani karte paran broj. Zamislite da ste u polozajuispitanika i da su pred Vama karte sa sljedecim oznakama: A, 4,R, 7. Koje biste karte okrenuli ? Visekratno ponovljeni eksperi-menti pokazuju da relativno malen broj ispitanike tocno odgovarana pitanja ovakve vrste.

Kripkeova zagonetka vjerovanja [4]. Pretpostavimo2 da jegovornik normalan ako nije sveznajuci, ako je iskren, svjestansebe i ako poznaje znacenja rijeci koje koristi. Prihvatimo u svrhuistrazivanja sljedece nacelo (N): Ako obican govornik jezika L

iskreno i promisljeno prihvaca da je istinita recenica r iz jezika L,onda taj govornik vjeruje da r∗, pri cemu r∗ oznacava prijevodrecenice r na jezik u kojemu je iskazano nacelo (N).

Razmotrimo jedan primjer. Francuz Pierre, koji dobro govorikako svoj materinski tako i engleski jezik, za vrijeme svog zivljenjau Parizu vise je puta cuo da je London jedan vrlo lijep grad. Naosnovi uvjerenja prosirenog u krugu njegovih poznanika i gledanjalijepih londonskih veduta prikazanih na razglednicama, Pierre pri-hvaca da je recenica (i) Londres est jolie3 istinita. Po nacelu(N) slijedi da Pierre vjeruje da (i)∗ London jest lijep grad jer jerecenica (i)∗ prijevod recenice (i). Kasnije, Pierre se seli u Veliku

2Rijec je o modificiranom prikazu Kripkeove zagonetke vjerovanja.3London je lijep.

Berislav Zarnic 17

Britaniju i nastanjuje u Londonu. Nakon obilazenja grada onstjece uvjerenje da London nije lijep i prihvaca da je recenica (ii)London is not pretty4 istinita. Pierre ne zna da je taj neuglednigrad u kojem sada zivi onaj isti grad cije je slike s divljenjemgledao dok je zivio u Parizu. Buduci da Pierre iskreno prihvacada su obje recenice (i) i (ii) istinite, vjeruje li on kao normalnigovornik da (i)∗ London jest lijep ili vjeruje da (ii)∗ London nijelijep, ili vjeruje i jedno i drugo?

2 Logika i kooperativna komunikacija

2.1 Put koji vodi kroz cudesnu zemlju logike:zagonetno pravilo

Logicaru Charlesu Dodgsonu (1832-1898) treba iskazati pocast zaizvanredni nacin poticanja formalnog obrazovanja u djelima kojeje objavio pod pseudonimom – Lewis Carroll. U saljivim pri-zorima on ukazuje na brojne filozofsko logicke probleme u jeziku,probleme koji obicno ostaju nezamijeceni. Dozivljaj problemaje pocetak spoznaje; prateci neocekivane poteze u komunikaci-jskoj igri citatelj Carrolovih djela moze dozivjeti logicke problemecime se poticu procesi citateljevog logickog (samo)obrazovanja.Duboke znanstvene probleme koje je otkrio i omogucio njihovdozivljaj putem umjetnosti, autor nije definirao u teorijskim ter-minima; pa zato i ne znamo je li imao rjesenje za njih.

- Uzmi malo vina!

Predlozio je plemeniti Ozujski-Zec.

- Ne vidim vino ovdje.

Rekla je Alis.

- Pa naravno da ga ne vidis, kad ga nema!

Pokroviteljski odvrati plemeniti Ozujski-Zec.

- Ali... Kako ste mi mogli ponuditi nesto cega nema? To nijepristojno.

Skoro ljutito kaza Alis.

4London nije lijep.

18 Neka pitanja o logici i obrazovanju

- A zar je bilo pristojno kad si Ti sjela za ovaj stol iako Ti nitkonije rekao Izvoli sjesti?

Sa smijeskom odvrati plemeniti Ozujski-Zec.

(Lewis Carroll, Alice’s Adventures in Wonderland, u slobodnomprijevodu5 )

Je li Alis imala razlog za ljutnju? Je li Alis ucinila nesto pogresno kada jesjela za stol iako nije bila pozvana? Ako je Alis tada pogrijesila, je li njezinapogreska iste vrste kao i pogreska koju je pocinio plemeniti Ozujski-Zec kadaje ponudio ono cega nema?

Trazeci odgovore na takva pitanja bivamo uvuceni u filozofsko logickaistrazivanja. Ako odgovorimo da je Alis imala razlog za ljutnju jer joj jeOzujski-Zec ponudio nesto cega nema, onda moramo osvijestiti, ili boljereceno izgraditi pojam ’imati razlog za’ koji ukazuje na neku logicku vezu.

Uzmimo za polaziste tumacenja teksta pretpostavku da su u njemu postav-ljene zagonetke o prekrsenim komunikacijskim pravilima. Pod tom pret-postavkom, izgleda da je za rjesenje zagonetke o prekrsenim komunikacijskimpravilima potrebno promisliti o detaljima odnosa pragmatike i semantike.Istrazivanja takve vrste u novije je vrijeme poduzimao J. Groenendijk [3].Po njegovom misljenju, logicki interes ne lezi samo u istrazivanja valjanogzakljucivanja vec treba obuhvatiti i istrazivanje kooperativne komunikacije.Nije li istina da jednako kao sto mozemo primijeniti pogresan6 nacin za-kljucivanja, tako mozemo i pogrijesiti u nacinu komunikacije? Logika jeistrazivanje ¿dobrihÀ ili ¿ispravnihÀoblika i misljenja i komunikacije.

Sljedeci tu ideju7 pokazat cu nacin kojim bi se, po mom misljenju, onamogla razvijati na prvom dijelu Carrollove zagonetke. Za aksiom uzmimohipotezu Wittgensteinovih (1889-1951.) Filozofskih istrazivanja: jezik je het-erogena kolekcija jezicnih igara. Potezom u jezicnoj igri nazovimo necije izri-

5’Have some wine,’ the March Hare said in an encouraging tone. Alice looked all roundthe table, but there was nothing on it but tea. ’I don’t see any wine,’ she remarked. ’Thereisn’t any,’ said the March Hare. ’Then it wasn’t very civil of you to offer it,’ said Aliceangrily. ’It wasn’t very civil of you to sit down without being invited,’ said the MarchHare. (Chapter VII: A Mad Tea-Party)

6Pogledaj primjere gore: Perner-Wimmerov eksperiment, Wasonov eksperiment, Krip-keov misaoni eksperiment.

7Ideju moemo promatrati kao generalizaciju ideje izgradene u intuicionisticko-konstruktivistickim krugovima o prioritetu semanticke dimenzije: ne samo prema sintaksivec, u ovoj prosirenoj verziji, i prema pragmatici.

Berislav Zarnic 19

canje odredene recenice8 ili teksta. U potezu moemo razlikovat: pragmatickui semanticku stranu. Pragmaticka strana komunikacijskog poteza je ucinakkojeg Govornik zeli izazvati kod Slusaca ili promjena situacije koja nastaje sizricanjem neke recenice ili teksta. U danom primjeru: s prvom recenicom urazgovoru Ozujski-Zec nudeci vino mijenja situaciju od one u kojoj Alis nemoze uzeti nista sa stola u onu u kojoj joj je dopusteno da uzme vino sa stola,u drugoj recenici Alis obavjestava da vina nema, treca recenica ima snagupouke – ono cega nema ne moze se vidjeti, cetvrta recenica je prekoravanje,peta takoder. Semanticka strana komunikacijskog poteza obuhvaca znacenjei odnose znacenja izrecenih recenica.

Barem neke jezicne igre igraju se po pravilima. Kod jezicnih igara s prav-ilima, moguc je prekrsaj pravila. Predlazemo definiciju za ’prekrsaj pravila’:pravilo je komunikacijske igre prekrseno onda kada se poremeti odnos izmedupragmaticke i semanticke strane poteza. Primjeri za prekrsaje: predloziti onoza sto mislis da je neostvarivo, ponuditi koristenje predmeta kojeg nemas,...Ne-primjer za prekrsaj: izricanje zapovjedi u interogativu umjesto u impera-tivu (kao kad trazimo da nam se doda sol putem interogativa Mozes li mi do-

dati sol). Nazovimo semantickim imperativima recenice koje, mada izrecenedrukcijim gramatickim modusom, ostvaruju neku strukturalnu slicnost s iz-abranim tipicnim primjerkom imperativa9. Recenice koje izrazavaju prijed-loge i sugestije bili bi primjeri slozenih imperativa. Jednostavni ili tipicniimperativi imaju dva sloja znacenja: oni obavjestavaju i o cinjenicnom i ozeljenom stanju. ’Dodi!’ znaci i ’cinjenica je da nisi tu’ i ’cilj je da budes tu’.’Ostani!’ znaci ’cinjenica je da si tu’ i ’cilj je da i dalje budes tu’. Za razlikuod toga, jednostavni indikativi obavjestavaju samo o stanju stvari koje sejavlja ili ce se mozda (ili vrlo vjerojatno, ili sigurno) javiti. Izreka ’Bit cestu’ pracena odgovarajucom govornikovom intonacijom moze znaciti isto stoi ’Ostani tu!’, isto sto i ’Cudim se da ces biti tu’, isto sto i ’Hoces li bititu?’ itd. U svim tim slucajevima sintakticka slicnost je samo djelomicna.Dalje, osnovni slojevi znacenja imaju svoje podslojeve, svoje ¿posljediceÀ.Govornikova tvrdnja da se neko stanje stvari javlja ne moze biti komunikaci-jski kooperativna ako Govornik ne vjeruje da je takvo stanje stvari moguce.Takoder i Govornikovo postavljanje ciljeva (bilo za nekoga drugoga bilo zanjega samoga) ne moze biti kooperativno ako on ne vjeruje da je sadrzaj

8Sintakticki objekt ne mora biti govorni.9Tipicni oblici trebali bi omogucavati stedljivost: bilo bi lijepo kada bismo pozivajuci

se samo na tipicne oblike mogli definirati ne-tipicne oblike unutar iste vrste.

20 Neka pitanja o logici i obrazovanju

cilja neko moguce stanje stvari10. Kooperativan je samo onaj komunikacijskipotez koji koristi recenicu koju govornik moze iskreno prihvatiti11.

U cemu je pogrijesio plemeniti Ozujski-Zec? On nije izrekao neistiniti

prijedlog, prijedlozi ne mogu biti istiniti ili neistiniti. On je izrekao nekoop-

erativni prijedlog, sto predstavlja komunikacijski prekrsaj ma o kojoj kulturi

bila rijec. Za razliku od toga, kad je Alis sjela iako nitko nije rekao ’Izvoli

sjesti!’ ona je prekrsila pravilo koje moze vrijediti u nekoj, ali ne mora vri-

jediti u svakoj kulturi. Prva je greska logicka, druga nije.

3 Logicka pozadina nastavnog dizajna

Pitanje koje nas zanima nije pitanje Imamo li ¿pojam o pojmuÀ, nego Kakav¿pojam o pojmuÀ imamo ako ga imamo i kako upravo takav ¿pojam o po-

jmuÀ utjece na nase didakticke odluke. Tradicionalni ¿pojam o pojmuÀjemonisticki: pretpostavlja se da svi pojmovi imaju jedan osnovni oblik. Sljede-ce definicije pojma su monisticke u tom smislu.

A concept is a rule that may be applied to decide if a particularobject falls into a certain class12.

(Encyclopaedia Britannica CD 98 )

Pojam je misao o biti onoga sto mislimo.

(G. Petrovic, Logika)

Pored tradicionalnog shvacanja pojmova, u filozofsko-logickim istraziva-njima susrecemo i drukcije ¿pojmove o pojmovimaÀ. Navedimo neka razmis-ljanja. Vec spomenuti filozof Wittgenstein, u skladu sa svojom osnovnompretpostavkom o jeziku kao heterogenoj kolekciji jezicnih igara, dopusta dapojmovi, tj. znacenja naziva mogu biti ustanovljena na razlicite nacine.Neki su pojmovi uvedeni na temelju ”obiteljski slicnosti” . To znaci danema zajednickog svojstva kojega bi dijelili svi predmeti na koje se pojamprimjenjuje, ali unatoc tome predmeti ostvaruju svojevrsnu mrezu slicnosti.

Kako bismo nekome mogli objasniti sto je to – igra? Mislim dabismo opisali neke igre, a onda bismo dodali: ¿To i tome slicno,

10Tu ulazi i Kantovo nacelo po kojemu nikoga ne mozemo obvezati da ostvari nemoguce.11Ozujski-Zec sugerira nesto sto nema oslonca u njegovom sustavu uvjerenja.12Pojam je pravilo zahvaljujuci kojemu mozemo odrediti ulazi li pojedini predmet u neki

skup.

Berislav Zarnic 21

nazivamo igramaÀ. Znamo li nesto vise? Mozda ne mozemo tocnoreci sto je igra? – Ali to nije neznanje. Mi granice ne poznajemozato sto one nisu povucene...

(L. Wittgenstein, Filozofska istraivanja, §69.)

Nedostatak ostrih granica kod pojmova ne nalazimo samo kod onih po-jmova koji su uvedeni na temelju ¿obiteljske slicnostiÀ. Zanimljiv primjerpruzaju pojmovi o onim svojstvima koja mogu imati razlicite vrijednosti, kaosto je ’jako tesko’ vrijednost svojstva ’tezina’, ili kao sto su ’nisko’ i ’visoko’vrijednosti svojstva ’visina’. Ako od djeteta trazimo da poreda predmete povisini, onda trazimo da ono uspostavi poredak medu predmetima na osnovirazlike u vrijednosti svojstva visine. Nazovimo ovakve pojmove mjernim poj-movima. Oni u nekim slucajevima dopustaju koristenje brojevnih struktura,kao kad kazemo da tezina te knjige iznosi 0,3 kg. U ovakvim slucajevimabrojeve koristimo da bi smo stvorili mjerni prostor: neka ali ne i sva svojstvabrojevne (mjerne) strukture pripisujemo empirijskoj (mjerenoj) strukturi.

U mjerenju temperature koristimo neka svojstva strukture realnih brojevakao svojstvo tranzitivnosti: za realne brojeve a, b i c vrijedi da ako a <

b i b < c, onda a < c, zato ako predmet A ima temperaturu od a0 C,predmet B temperaturu b0C, a predmet C - c0C, tada znamo koji je predmettopliji od drugog. S druge strane, u mjerenju temperature ne koristimosvojstvo nepostojanja granice jer postoji najniza temperatura. Drugi primjernepreuzimanja svojstava mjerne strukture: iako je 20 · 2 = 40 ipak tijelo stemperaturom od 400C nije dvostruko toplije od tijela temperature 200C.Na Fahrenheitovoj ljestvici odgovarajuce vrijednosti su 68 i 104 stupnja,dok su na Kelvinovoj odgovarajuce vrijednosti 293 i 313 stupnjeva. Dok seodnos ’biti veci’ prenosi s brojevne strukture na realnu strukturu kao odnos’biti topliji’, dotle se odnos ’biti dvostruko veci’ ne prenosi kao odnos ’bitidvostruko topliji’.

U jeziku susrecemo niz mjernih pojmova koji nisu, niti mogu biti “izbruse-ni“ i dopustaju samo kvalitativno definiran mjerni prostor. Kao kada govo-rimo o zagasitoj i jarkoj boji, reskim i muklim zvucima, o procelavim i jakocelavim ljudima. Zanimljive situacije nastaju kad kod ¿neizbrusivihÀmjernihpojmova koji se odnose na neko svojstvo koje dopusta mjerenje pomocustrukture prirodnih brojeva primijenimo nacelo matematicke indukcije. Evopoznatog primjera. Cini se nedvojbenim da siromastvo ima ¿stupnjeveÀi dabi se stupanj necijeg siromastva mogao iskazati s brojem novcanih jedinicakoje mjere vrijednost njegovog vlasnistva. Jednako tako cini se nespornim da

22 Neka pitanja o logici i obrazovanju

negdje mora biti povucena granica siromastva. Buduci da postoji najmanjanovcana jedinica, prirodnim se brojevi cine dobrim kandidatima za mjerenjesiromastva. Prirodni brojevi zadovoljavaju uvjet ¿matematicke indukcijeÀ:ako neko svojstvo pripada prvom clanu niza i ako to svojstvo pripada sljed-beniku proizvoljnog clana niza, tada to svojstvo pripada svim clanovima niza.No, taj uvjet ne zadovoljavaju pojmovi koji nemaju ostrih granica. Primjer:covjek s 0 lipa je siromasan. Nijedan siromasan covjeka nece prestati bitisiromasan ako se vrijednost njegovog vlasnistva uveca za jednu lipu. Dakle,po nacelu matematicke indukcije, ma koliko lipa vrijedilo njegovo vlasnistvocovjek ce uvijek biti siromasan. No necemo odbaciti nacelo matematicke in-dukcije, niti reci da predikat “biti siromasan“ nije upotrebljiv u znanstvenesvrhe, vec cemo radije kazati da predikati uvode mjerni prostor, koji u nekim,ali ne i u svim slucajevima moze biti brojevna struktura i da nepostojanjeostrih granica ne znaci samim time nepostojanje nikakvih granica.

Ni pojmovi o prirodnim vrstama nisu pojmovi s ostrim granicama. Nji-hov je sadrzaj cesce skup najvjerojatnijih svojstava nego skup nuznih svo-jstava. Pogledajmo kao primjer razmisljanje o pojmu prirodne vrste iz jednogznanstvenog rada s podrucja biologije.

Ako je obiljezje neke vrste da 55% njezinih pripadnika ima genX, a 90% ima gen Y, onda pojam primjerka koji pripada vrstipostaje nepotpuno odreden, osim u vjerojatnosnom smislu, jerjedino populacije zapravo mogu biti pripadnici vrste.

(P. Medawar i J. Medawar, Znanost o zivotu)

Rasprava o ”pojmu o pojmu” je vrlo vazna u pedagoskom smislu. Kljucnapitanja poput onog o tome kako stjecemo pojmove ili onoga o tome kako tre-bamo dizajnirati nastavu da bismo omogucili ucenikovo stjecanje pojmova,pretpostavljaju da vec imamo odgovor na pitanje sto je pojam. Ono sto usadasnjem stanju znanja-procesa imamo su odgovori, a ne odgovor na pitanjeo pojmu. Monisticki pristup ne predstavlja sadasnje najbolje znanje i zasni-vanje pedagoskih izbora na pojmu o pojmu kao o dovoljnoj kolekciji nuznihsvojstava moze proizvesti stetu u procesu formalnog obrazovanja. Vodenipogresnim uvjerenjem o ispravnost samo jedne logike mozemo donijeti ne-logicne odluke.

Primjer. Pojam ’otok’ je pojam bez ostrih granica. Zato ga nemozemo definirati po klasicnom uputstvu: g + s (definicija vrste

Berislav Zarnic 23

= g*najblizi rodni pojam + s*razlika medu vrstama istog roda).Otok je g*dio kopna s*sa svih strana okruzen morem. Po tojdefiniciji slijede mnoge posljedice koje zapravo ne zelimo. Evodviju nezeljenih posljedica. Kontinenti su otoci. Postoje samodvije vrsta kopna: otoci i morsko dno.

Ako je nastava organiziranje procesa ucenja, onda njezin dizajn ovisi oteoriji ucenja koju prihvaca onaj tko nastavu organizira. Pogledajmo josdalje, teorija ucenja ovisi o razumijevanju osnovnih ideja o spoznaji. Odgovorna pitanje ’Kako ucimo pojmove?’ ovisi o odgovoru na pitanje ’Sto je po-jam?’Ako sada pogledamo unatrag, onda pojam o pojmu utjece na nastavnidizajn. Nazovimo gore izlozen pojam o pojmu tradicionalnim pojmom.Ucitelji koji prihvacaju tradicionalni pojam bit ce skloni odredenom nas-tavnom nacrtu, odredenim curriculum-skim izborima i nacinu vrednovanja.Iz tradicionalnog pojma proizlazi sklonost da se gradivo, bilo u nastavi bilou pisanju udzbenika, izlaze (i njegova usvojenost provjerava) u obliku defini-cija + divizija: Sto je . . . ? Koje su vrste ...? (na mjestu ’...’ dolazi nekipojam). Iz tradicionalnog shvacanja pojma proizlazi takav izbor gradivau kojemu se preferiraju oni sadrzaji koji se mogu uklopiti u shemu defini-cija+divizija. Zbog pristranosti tradicionalnog pojma pojmovi o odnosimazanemaruju se u izboru gradiva. Razumjeti neki relacijski pojam znaci poz-navati svojstva relacije o kojoj je rijec. Primjeri za svojstva koja odnosimogu imati su: refleksivnost, irefleksivnost, simetricnost, asimetricnost, an-tisimetricnost, tranzitivnost, intranzitivnost, serijalnost, povezanost, ... Cinise kao da se cesto pretpostavlja da ce relacijski pojmovi biti usvojeni samipo sebi, da ce dijete samo otkriti da odnos ’juzno od’ ima svojstvo posto-janja krajnjeg clana a da odnos ’istocno od’ nije takav, da ce se simetricnostodnosa ’=’ otkriti sama po sebi, ...Uocimo, da se relacijski pojmovi ne ucena isti nacin kao i tradicionalni pojmovi koji su pojmovi o vrstama, a ne oodnosima.

Kritika koju smo uputili tradicionalnom pojmu o pojmu ne povlaci apso-lutnu neprimjernost didaktickih odluka koje se oslanjaju na takav pojam opojmu. Gdje je rijec o pojmovima s ostrim granicama, tako zasnovan pristupmoze biti primjeren. No i tu gdje je primjeren (na tradicionalnom pojmu opojmu zasnovan pristup pojmovnoj nastavi) treba izbjeci nenamjerno poti-canje rutinskog ucenja. Ako se zadaci zadani uceniku mogu rijesiti jednos-tavnom primjenom zapamcenih recenica i algoritama, time se, obicno nenam-jerno, favorizira rutinsko ucenje. Stovise moguce je da u takvom provjera-

24 Neka pitanja o logici i obrazovanju

vanju znanja ucenik koji je razumio gradivo postigne slabiji uspjeh od ucenikakoji rutinski uci. Ako skola ima ulogu da pomogne u rasporedivanju ljudina one uloge u drustvenoj podjeli rada koje su primjerene njihovim sposob-nostima, onda nesvjesno favoriziranja rutinskih ucenika moze za dalekoseznuposljedicu imati usmjeravanje onih koji dobro ispunjavanju ocekivanja ruti-nskog ali ne i smislenog ucenja na mjesta na kojima se trazi samostalnost ikreativnost.

Literatura

[1] Carroll, L. (1865, prvo izdanje) Alice’s Adventures in Wonderland. Pen-guin Books

[2] Encyclopaedia Britannica CD 98 (1998)

[3] J. Groenendijk. (1999) The logic of interrogation (classical version). u T.Matthews i D.L. Strolovich (ured.). The Proceedings of the Ninth Confer-

ence on Semantics and Linguistic Theory. Santa Cruz. CLC Publications.

[4] Kripke, S. (1976) A puzzle about belief. u Margalit, A. (ured.) Meaning

and Use, D. Reidel Pub. Co.

[5] Medawar, P. i Medawar, J. (1986) Znanost o zivotu, Beograd : Nolit

[6] Petrovic, G. (1975) Logika. Zagreb : Skolska knjiga

[7] Wason, P.C. (1966) Reasoning. u Foss, B.M. (ured.) New Horizons in

Psychology 1, Penguin Books

[8] Wimmer, H., i Perner, J. (1983). Beliefs about beliefs: Representationand constraining functions of wrong beliefs in young children’s under-standing of deception. Cognition, 13, 103-128.

[9] L. Wittgenstein. (1953, prvo izdanje) Philosophical Investigations. trans-lated by E. Anscombe. Blackwell Publishers

NASTAVA LOGIKE

THINKING ABOUT INCOMPLETENESS IN

THEOLOGICAL TERMS

Neil Arner, Department of Mathematics, Georgia Institute of Technology

(Atlanta, USA)

As a pupil and colleague of professor Berislav Zarnic, I have discoveredsome interesting consequences of Godel’s Incompleteness Theorem regard-ing the nature of complete knowledge. These principles reverberate withdiffering frequencies within my mind as I contemplate them from my per-spectives as (i) a student learner, (ii) a future professor of science, and (iii)a Christian believer.

An ardent student of mathematics, my first inclination regarding therestrictions on knowledge described by Godel is to overcome the problemby outdistancing it with a limiting argument. However, I saw that for adeductive theory to be complete, it must provide its own consistency proof.By Theorem XI of Godel, it follows that knowledge exterior to the originaltheory is necessary for this proof. Yet now the expanded knowledge basealso requires a consistency proof; again, outside knowledge is required. Thusan endless regression follows in which our desired goal is always just beyondour grasp-like a horse chasing the carrot that is always dangling just beforehis nose.

This limitation on the acquisition of perfect knowledge disappoints menot only as a student, but also as a future teacher. Initially, I am tempted todespair of the constraints of what I can know and subsequently teach. Yetthis disturbance may also be restorative, for it insists that I demonstrate ahumble attitude toward my knowledge. Socrates taught us that the worldhas only two types of man: the foolish man, who thinks he is wise, andthe wise man, who knows he is foolish. Thus does Godel’s result interjecta necessary humility in me as a scientist that keeps me honest and wise inthe way I assess, utilize, and impart my limited knowledge.

While these repercussions humble man, they simultaneously exalt God.As a Christian, I cannot help but to admire the Mind capable of containingcomplete knowledge and escaping the limitations of knowledge acquisitionby possessing complete knowledge a priori. Complete knowledge that is

Logika 2(2000)4:25–26ISSN 1332-2974

26 Thinking about incompleteness in theological terms

acquired through investigative effort, a posterior knowledge, is unattainableeven to an eternal, non-physical, infinite mind that gains knowledge bylearning. Yet the God of the Bible-the sole uncaused, eternal Being-holdsall knowledge. Thus, He is rightly to be revered: ”Oh, the depth of theriches of the wisdom and knowledge of God! ...Who has known the mind ofthe Lord?” (Romans 11:34-35). Even more astounding is the fact that thisomniscient God reached down from the noumenal (to employ the languageof Kant) into the phenomenal to reveal the unknowable to mankind throughthe person of Jesus Christ, ”in whom are hidden all the treasures of wisdomand knowledge” (Colossians 2:3).

Therefore, my contemplations with professor Zarnic on the implicationsof Godel’s Incompleteness Theorem have proven stimulating and enlight-ening. Knowing the inescapable limitations on my knowledge makes me amore sober and humble scientist and a more awestruck admirer of the Godof the Bible.