İÇİNDEKİLER

SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE

İSTATİSTİK YÖNTEMLER

NOBEL TIP KİTABEVLERİ

Prof. Dr. Osman HAYRANYeditepe Üniversitesi

Tıp ve Sağlık Bilimleri Fakültesi

© 2012 Nobel Tıp Kitabevleri

SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER

Prof. Dr. Osman HAYRANISBN: 978-975-420-901-3

Bu kitabın, 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası Hükümleri gereğince yazarın yazılı izni olmadan bir bölümünden alıntı yapılamaz; fotokopi yöntemiyle çoğaltılamaz; resim, şekil, şema, grafik, vb.’ler kopya edilemez. Her hakkı Nobel Tıp Kitabevleri Ltd Şti’ne aittir.

Düzenleme: Nobel Tıp Kitabevleri-Hande Dalsaldı Çaçur

Kapak: Hande Dalsaldı Çaçur

Baskı /Cilt: Nobel Matbaacılık, Hadımköy-İSTANBUL

© 2012 NOBEL TIP K‹TABEVLER‹

RES‹ML‹ ‹NSAN ANATOM‹S‹Prof. Dr. Mehmet YILDIRIM

1. Bask› – Eylül 20022. Bask› – fiubat 2012

ISBN: 978975420-???

Bu kitab›n, 5846 ve 2936 say›l› Fikir ve Sanat Eserleri Yasas› Hükümleri gere¤ince yazar›n yaz›l› izni

olmadan bir bölümünden al›nt› yap›lamaz; fotokopi yöntemiyle ço¤alt›lamaz; resim, flekil, flema,

grafik, vb.’ler kopya edilemez. Her hakk› Nobel T›p Kitabevleri Ltd fiti’ne aittir.

Düzenleme: Nobel T›p Kitabevleri & Hakk› Çak›r

Kapak: Cenk AKAY

Bask› / Cilt: Nobel Matbaac›l›k,

Had›mköy-‹STANBUL

NOBEL TIP K‹TABEVLER‹ LTD. fiT‹.

ÇAPAMillet Cad. No:111 Çapa-‹stanbul Tel: (0212) 632 83 33 Fax: (0212) 587 02 17

SAMSUNUlugazi Mah. 19 May›s Bulvar› 16/6 Tel: (0362) 435 08 03

ELAZI⁄Yahya Kemal Cad. Üniversite Mah. No: 36/B Tel: (0424) 233 43 43

ANTALYAMeltem Mahallesi, Dumlup›nar Bulvar›Falez Sit. Toros Apt. No:183/2Tel: 0 (242) 238 15 55

BURSAAlt›parmak Cad. Burç Pasaj›, BursaTel: (0224) 224 60 21

CERRAHPAfiACerrahpafla T›p Fakültesi Karfl›s› Park içi Cerrahpafla-‹stanbul Tel: (0212) 586 17 58

KADIKÖY R›ht›m Cad. Derya ‹fl Merkezi No: 7 Kad›köy-‹stanbul Tel: (0216) 336 60 08

ÖNSÖZ

iii

Tıp fakülteleri ile tüm sağlık bilimleri lisans eğitiminde zorunlu ders olarak verilen Biyoistatistik dersi, öğrencilerin sevmedikleri derslerin başında yer alır. Doktor, hemşire, fizyoterapist, dişhekimi olmak hayaliyle üniversiteye gelmiş öğrenciler için, ne işe yarayacağını bilmedikleri birtakım for-müller ve analizlerle uğraşmak tam anlamıyla bir kabustur. Tıp fakültesi öğrencisi iken benim için de durum farklı değildi, taa ki hekim olup ta sahada çalışmaya başlayana kadar. İlk kez o zaman farkettim her türlü uygulama için “kanıt”ın, kanıt üretmenin ne kadar önemli olduğunu, hizmet verilen insanları ve toplumu tanımak için sayılara olan ihtiyacın, herşeyi ölçmenin ve analiz etme-nin ne denli gerekli olduğunu... İşte bu önem ve gereklilik nedeniyle bir akademisyen olarak üniversitede göreve başladığım günden beri büyük bir zevkle vermekteyim öğrenciliğimde zevkle dinlemediğim bu dersleri. İstatistik uzmanı değilim ama dünyanın heryerinde olduğu gibi ülkemizde de bu konuların Halk Sağlığı uzmanlarının uğraş alanında olması nedeniyle Epidemiyoloji ve Biyoistatistik benim temel uzmanlık alanlarım. Yıllardır verdiğim derslerde hangi bilgilerin günlük uygulamalar açısından değeri olabileceğini, teorik ders olarak sıkıcılık dozunun nasıl azaltılabileceğini düşündüm dur-dum ve ortaya bu eser çıktı. Kanıta dayalı tıp ve kanıta dayalı sağlık hizmetlerine inanan, bilimsel araştırmaya meraklı tüm sağlık çalışanlarına, sağlık bilimleri öğrenimi gören lisans ve lisansüstü öğrencilerine yararlı olması dileğiyle...

Prof. Dr. Osman Hayran

ÖNSÖZ

İÇİNDEKİLER

v

BÖLÜM 1Kanıta Dayalı Sağlık Hizmetleri: Veri, Enformasyon, Bilgi .............................................................................. 1

BÖLÜM 2Araştırma Türleri ve Yöntemleri .............................................................................................................................. 5

BÖLÜM 3Sağlıkla İlgili Araştırmalarda Sık Karşılaşılan Hatalar ....................................................................................17

BÖLÜM 4Değişkenler, Veri Türleri ...........................................................................................................................................27

BÖLÜM 5Verilerin Özetlenmesi ...............................................................................................................................................43

BÖLÜM 6Olasılık Kavramı ve Dağılımları .............................................................................................................................55

İÇİNDEKİLER

İçindekilervi

BÖLÜM 7Evren, Örnek ve Örnekleme ...................................................................................................................................65

BÖLÜM 8Önemlilik Testleri .......................................................................................................................................................75

BÖLÜM 9Bir Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri ................................................................81

BÖLÜM 10İki Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri ................................................................87

BÖLÜM 11Üç ve Daha Fazla Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri ....................................99

BÖLÜM 12İlişki Analizleri .......................................................................................................................................................... 105

BÖLÜM 13Sağlık ve Hastalığın Ölçülmesi: Risk Kavramı ve Morbidite Ölçütleri ................................................... 115

İçindekiler vii

BÖLÜM 14Ölüm (Mortalite) Ölçütleri ................................................................................................................................... 125

BÖLÜM 15Nedensellik ............................................................................................................................................................... 137

EKLER ....................................................................................................................................................................... 145

İNDEKS .................................................................................................................................................................... 155

1

Sağlık sektöründe çalışanlar günlük işleri sırasında insan sağlığı ile ilgili çok sayıda ve çok çeşitli konularda kararlar vermek durumundadırlar. Hastalık teşhis ve tedavisinden sağlıkla ilgili harca-maların nasıl karşılanacağına, sağlık hizmetlerinin kullanımından günlük yaşam biçimlerinin dü-zenlenmesine kadar birbirinden farklı ama tümü de insan sağlığı ile ilgili konularda verilecek karar-ların hatalı veya yanlış olmasının bedeli doğal olarak insanın yaşam kalitesinden kayıp hatta ölüm olduğundan bu kararların doğru olması çok önemlidir. Geleneksel olarak, sağlık sektörünün her noktasındaki kararlar, hizmet sunanlar ile alanların ellerinde bulunan kaynaklara, paylaşılan ortak değerlere ve bilgi-tecrübe birikimine göre verilegelmiştir. Özellikle geçtiğimiz yüzyılın ikinci yarısındaki bilimsel gelişmeler, doğumda yaşam beklentisinin artması, toplumların yaşlanması, sağlık harcamalarının artarak ekonomileri zorlamaya başlaması, hasta güvenliği ve hasta hakları kavramlarının ön plana çıkmasına neden olmuştur. Koyduğu teşhis ve verdiği tedavi nedeniyle eskiden kolay kolay sorgulanamayan “yarı-tanrı hekim” anlayışı, yerini yavaş yavaş “hasta danışmanı hekim” anlayışına bırakmakta, sağlık sektörünün her noktasında açık-lık ve hesap verebilirlik önem kazanmaktadır. Kurum veya doktor odaklı hizmetler yerini “hasta odaklı hizmet”lere bırakmaktadır. Tüm bu nedenlerle “kanıta dayalı tıp” ve “kanıta dayalı sağlık yönetimi” kavramları ortaya çık-mıştır. Hasta güvenliğini en üst düzeyde tutarak varolan kaynakları en verimli şekilde kullanmanın yolu verilen kararları kanıta dayandırmaktır. Kararların hatasız ya da en az hata ile verilebilmesinin yolu bilimsel “kanıtlara” dayanmasıdır. Verilecek kararları kanıta dayandırmak için veriye ve bilgiye ihtiyaç vardır. Bu noktada “veri”, “enformasyon” ve “bilgi” kavramlarını netleştirmek gerekir.

Veri Bir olayın incelenmesi, bir durumun tanımlanması veya bir görevin yapılması sırasında kayde-dilen her türlü yorumlanmamış bulgu, belge ve gözlem veri adını alır. Veri, dünyaya ilişkin her türlü sembole, gerçekliğe verilen genel bir addır. İnsanlar bu gerçeklikleri duyuları ile algılar, beyinleri ile anlamlandırırlar. Genellikle verilerin işlenmemiş halde, tek başlarına iken fazlaca anlamları ve kulla-nım değerleri yoktur.

BÖLÜM

1KANITA DAYALI SAĞLIK HİZMETLERİ: VERİ, ENFORMASYON, BİLGİ

SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER2

Verilerin işe yaraması için bazı özelliklere sahip olması gerekir:– Veriler amaca uygun olmalıdır– Tam olmalıdır– Kesin olmalıdır– Zamanında toplanmış olmalıdır– Doğru biçimde olmalıdır– Makul bir maliyeti olmalıdır

Enformasyon Verilerin işlenmesi, yorumlanması ve bilgiye dönüştürülmeye hazır hale getirilmesi ile enformas-yon oluşur. Başka bir deyişle, kim, ne, ne zaman, nerede sorularına bulunan cevapların adı, verilerin işlenmiş, anlamlandırılmış halidir. Kullanım değeri olabilir de olmayabilir de.

Bilgi Enformasyonun, deneyim, değerler, içgörü, kurallar ile birleşiminden oluşur, en kısa tanımla, “bildiğimiz herşey”dir. Başka bir deyişle neden ve nasıl sorularına bulunan cevaplardır, öğrenilmiş enformasyondur. Veriler, bilgisayardaki veri tabanlarına girilerek depolanabilir ve uygun programlar yardımıyla işlenerek enformasyona dönüştürülebilirler. Bilgiler ise enformasyon da kullanılarak deneyimlerin ve içgörünün ışığında insan beyninde oluşur ve beyin dışında depolanmaları şimdilik mümkün de-ğildir. Bilimsel araştırmaların temel amacı bilgi üretmek olduğu için bilgi konusu üzerinde kısaca durmak gerekir. Bilginin başlıca beş kaynağı vardır: (1)

1. Gelenekler: Toplumsal deneyimler sonucu ortaya çıkan ve kuşaktan kuşağa aktarılan gelenekler önemli bilgi kaynaklarıdır. En yaygın kullanılan kaynaklardan birisidir. Bizden önceki kuşakların benzer durum-lardaki uygulamaları, buldukları çözüm yolları bazı durumlarda hiçbir değer taşımasa da bazıları önemli bir bilgi kaynağı olabilir. Örneğin; yüksek ateş ve huzursuzluğu olan bir çocuğa “nazar değ-miş” düşüncesi ile kurşun döktürmek geleneğe dayanan bir bilgi olup hiç bir bilimsel değeri yoktur. Öte yandan yeni doğum yapan bir kadına “kırkı çıkana kadar” komşuları tarafından getirilen “lohu-salık şerbeti” benzeri yiyecekler yararlı ve bilimsel açıdan değerli bilgidir. Gelenekleri saygı ile karşılamalı, bu kaynaktan gelen bilgileri körü körüne kabullenmek ya da yoksaymak yerine bilimsel yöntem süzgecinden geçirdikten sonra değerine karar vermelidir. Aku-punktür, bitkisel tıp gibi geleneksel tedavi yöntemlerinin gelişmesi bu tür bilgi sayesinde olmuştur. Bu tür bilgi, bilimsel değeri olmayan ilkel bazı uygulamaların yanında çok değerli uygulamaları da içerebilmektedir. O nedenle yok sayılması doğru değildir. Aksine, bilimsel yöntemlerle sınanması ve değerli olanların bilime kazandırılması sağlanmalıdır.

2. Otoriteler: Uzman kişilerden görüş alınması, bazı bilgilerin savunması için o alanda otorite sayılan isimlerin kaynak olarak gösterilmesi, ya da egemen olan gücün dayattığı bilgilere bağlı kalınması gibi yöntem-lerle bilgiye ulaşılabilmektedir. Öğretmenler, kitaplar, aile büyükleri, din büyükleri, toplum önderleri

BÖLÜM 1 Kanıta Dayalı Sağlık Hizmetleri: Veri, Enformasyon, Bilgi 3

de bu anlamda bilgi kaynağıdırlar ve onlardan elde edilen bilgiler çoğu zaman sorgulamaya gerek duymadan doğru kabul edilir ve kullanılır.

3. Deneme-yanılma: Tüm insanların her dönemde ama özellikle bebeklik ve çocukluk çağlarında yararlandığı önemli bir kaynaktır. Hayata ilişkin ilk bilgileri deneme-yanılma ile (düşe kalka) öğrenmişizdir. Deneme-yanılmayı yöntem kullanmadan yapılan deneyler olarak düşünmek de mümkündür. Bu yolla üreti-len ve başkaları tarafından tekrar tekrar sınanan bilgilerin doğru olma olasılıkları yüksektir. Ancak, bilimsel yönteme dayanmadıkları sürece kanıt olarak kullanılmaları doğru değildir.

4. Mantık yürütme: Tümevarım ya da tümden gelim şeklinde mantık yürütmek sıkca başvurulan bir bilgi üretme yoludur. Genellikle başarılı bir yöntem olmakla birlikte insan sağlığı ve sosyal olayları açıklamakta çoğu zaman yetersiz kalmaktadır. Örneğin, mantık yürütme yoluyla sivrisineklerin AIDS hastalığını bulaştıracağı düşünülse de bunu destekleyen hiçbir kanıt bulunmamaktadır.

5. Bilimsel yöntem: Herkes tarafından test edilebilecek objektif gözlemlere, yöntemlere ve olasılık hesaplarına daya-narak bilgiye ulaşma yoludur. Bu kitapta anlatılanlar ağırlıklı olarak bu yöntemle bilgi üretme yolla-rını açıklamaktadır. Karar verme süreci için gerekli olan “kanıtlar” aslında bilimsel yöntemlerle üretilmiş olması ge-reken bilgilerdir. Örneğin; bir sağlık kuruluşunun dahiliye polikliniğine gelen kişilerin yaşları, cinsiyetleri ve bul-guları konusundaki gerçeklerin tümü veridir. Gelenlerde saptanan bulguların yaş gruplarına ve cinsiyetlerine göre dağılımı enformasyondur. Bulgulardan hareketle hangi yaşta ve cinsteki kişilerin ne tür hastalıklar nedeniyle hangi polik-liniklere geldikleri sonucu ise, polikliniklerin hizmetini daha gerçekçi planlamak için gerekli kanıtı oluşturacak olan bilgidir.

Veri toplama işlemi sağlık kuruluşlarında başlıca iki şekilde yapılır:1. Düzenli olarak veri ve enformasyon toplayan sağlık enformasyon sistemleri ile2. Düzenli olarak toplanmayan verilere ihtiyaç duyulduğunda zaman zaman yapılacak “Ad hoc-

amaca özel” araştırmalar ile.

Sağlık enformasyon sistemleri Sağlık hizmeti verilen her birimde hizmet almak için başvuran kişilerin yaşı, cinsiyeti, mesleği, medeni durumu, öğrenim durumu, sağlık güvencesinin varlığı ve türü, gibi sosyodemografik özel-liklerinin; yapılan tetkik ve incelemelerin, konulan tanı ve verilen tedavilerin; gelir ve giderlerin; çalışanlara ilişkin her türlü özelliklerin, elektronik veya kağıt ortamda düzenli olarak kaydedildiği enformasyon sistemleri vardır. Bu sistemlerden yararlanarak, örneğin, bir hastaneye bir yıl içerisinde en çok hangi cins, yaş ve sosyal sınıftan kişilerin ne tür yakınmalarla geldiği, ne tür tetkikler sonu-cunda hangi tanıları alarak nasıl tedavi gördükleri, tedavi giderlerinin hangi şekilde ödendiği gibi tanımlayıcı amaçla gerekli olan istatistikleri hesaplamak mümkündür. Bu istatistiklerden hareketle

SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER4

verilen, sunulan hizmetlerin kalitesini ve etkinliğini, sağlık hizmetini alanların profilini, talep edilen hizmetlerin türünü çıkarmak, işletmenin gelir-gider durumunu belirlemek, hem o zamana kadar verilen hizmetlerin bir değerlendirmesini yapmak hem de daha sonraki yatırım ve düzenlemeler için ipuçları elde etmek mümkün hale gelir.

Amaca özel araştırmalar Bazı durumlarda, özellikle yeni yapılacak düzenlemeler için, düzenli veri toplayan sistemlerin toplamadığı ilave verilere de gerek duyulabilir. Örneğin, polikliniklerde muayene için bekleme süre-sini azaltmak ve hasta memnuniyetini arttırmak amacıyla randevu sistemine geçen bir sağlık kurulu-şunda uygulama öncesi ve sonrası bekleme sürelerinin, hasta memnuniyet oranlarının hesaplanma-sı, karşılaştırılması, aradaki farkın değerlendirilerek yorumlanması için bu amaçlara özel araştırma ve istatistiksel değerlendirme yöntemlerine gerek vardır. Ya da acil servise gelenlere hızlı hizmet verilebilmesi amacıyla acil vakalar için renk kodu uygulaması yapılsa ve örneğin kırmızı kodlu va-kalara birinci öncelik, sarı vakalara ikinci öncelik, beyaz vakalara da üçüncü öncelik verilse ve bu uygulamanın acil vakalara müdahele süresi, vaka iyileşme ve ölüm hızları, komplikasyon oranlarını etkileyip etkilemediği öğrenilmek istenilse gene ad hoc araştırma ve istatistiksel değerlendirme yön-temlerine gerek vardır. Mesleği ister hekimlik, hemşirelik, fizyoterapistlik, diyetisyenlik, isterse yöneticilik olsun, her çağdaş sağlık sektörü çalışanının, yöneticisinin ellerinin altında bulunan sağlık enformasyon sistem-lerinden yeterince yararlanabilmek ve gerektiğinde yeni bilgilere ulaşmayı sağlayacak araştırmalar planlayabilmek, planlatabilmek için istatistik ve araştırma yöntemleri konusunda bilgi ya da fikir sahibi olması gerekmektedir.

Kaynaklar1. Portney LG, Watkins MP. Foundations of clinical research: Applications to Practice (3rd edition). Upper Saddle

River, N.J.: Prentice Hall; 2009.

5

Sağlık bilimleri alanında yapılan bilimsel araştırma türleri için çeşitli sınıflamalar bulunmaktadır. Bunlar arasında en kapsamlı olanı Tablo 2.1’de verilmiştir.

BÖLÜM

2ARAŞTIRMA TÜRLERİ VE YÖNTEMLERİ

TABLO2.1. Sağlıkla ilgili araştırmaların sınıflandırılması

1. GözLemseLArAşTırmALAra. Vaka Takdimleri veya Vaka Serilerib. Ekolojik Araştırmalar c. Kesitsel Araştırmalar

– Tanı koyma amaçlı– Farklı yöntemleri değerlendirme amaçlı– Norm belirleme amaçlı– Tarama amaçlı

d. Vaka-Kontrol Araştırmaları – Toplum temelli vaka-kontrol araştırmaları– İçiçe geçmiş vaka-kontrol araştırmaları– Vaka-kohort araştırmaları – Çapraz vaka-kontrol araştırmaları

e. Kohort Araştırmaları – Prospektif kohort araştırmaları– Sonuç değerlendirme araştırmaları

• Fonksiyonel durum• Yaşam kalitesi• Hasta memnuniyeti• Ekonomik analizler

– Retrospektif kohort araştırmaları

2. DeneyseLArAşTırmALAra. Klinik deneyler

– Paralel veya eşzamanlı kontrollü deneyler– Çapraz kontrollü deneyler– Dış kontrollü deneyler– Kontrolsüz Deneyler

b. Doğal deneyler/Toplum deneyleri

BÖLÜM 6 Olasılık Kavramı ve Dağılımları 57

Standart Normal Dağılım adı verilen bu dağılımın bizim için önem taşıyan özellikleri şu şekilde özetlenebilir:– Dağılımdaki tüm değerlerin (örnek ortalamalarının) %68.27’si Evren ortalaması (m) ± 1 standart sapma (s) sınırları arasında %95.45’i Evren ortalaması (m) ± 2 standart sapma (s) sınırları arasında %99.73’ü Evren ortalaması (m) ± 3 standart sapma (s) sınırları arasındadır.

Santral Limit TeoremiÖrneklem dağılımının temellerini istatistiğin önemli teoremlerinden birisi olan Santral Limit Teore-mi oluşturmaktadır. Bu teoremin önemli bazı özellikleri şu şekildedir: Ortalaması m, standart sapması s olan bir evrenden olasılıklı yöntemlerden birisi kullanılarak n büyüklüğünde çok sayıda örnek alındığında örneklerin ortalamalarının dağılımı şöyle olur:– Örneklem dağılımının ortalaması, yani alınan örneklerin ortalamalarının ortalaması evren orta-

lamasına eşittir.– Örneklem dağılımındaki standart sapma =s/√n olup ortalamanın standart hatası adını alır.– Eğer incelenen özelliğin evrendeki dağılımı normal ise örneklerin ortalamalarının dağılımı da

normaldir. – Eğer alınan örnek yeterince büyük ise, evrendeki dağılımın şeklinden bağımsız olarak ortalama-

ların örneklem dağılımı normal olur. “Yeterince büyük” için genel kabul gören sayı 30’dur. Yani, incelenen özellik, değişken, evrende nasıl dağılırsa dağılsın, seçilen örnek eğer 30 ve daha büyük

57

Santral Limit Teoremi: Örneklem da��l�m�n�n temellerini istatisti�in önemli teoremlerinden birisi olan Santral Limit Teoremi olu�turmaktad�r. Bu teoremin önemli baz� özellikleri �u �ekildedir: Ortalamas� �, standart sapmas� � olan bir evrenden olas�l�kl� yöntemlerden birisi kullan�larak n büyüklü�ünde çok say�da örnek al�nd���nda örneklerin ortalamalar�n�n da��l�m� �öyle olur: -Örneklem da��l�m�n�n ortalamas�, yani al�nan örneklerin ortalamalar�n�n ortalamas� evren ortalamas�na e�ittir. -Örneklem da��l�m�ndaki standart sapma =�/�n olup ortalaman�n standart hatas� ad�n� al�r.

GrAFİK6.1. Standart normal dağılım

m – 3s m − 2s m – 1s m m + 1s m + 2s m + 3sX

%68.27

%95.45

%99.73

SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER58

sayıda ise örneklem dağılımı normal dağılıma uyar. Eğer incelenen özellik evrende zaten normal dağılıyor ise bu durumda örnek büyüklüğü küçük bile olsa örneklem dağılımı normal dağılıma uyacaktır.

Olasılık hesapları ve normal dağılım kavramlarının pratikteki yararını, önemini anlamak için yazı-tura örneği klasikleşmiş bir örnektir:

• Normal bir paranın havaya atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı eşit olup %50’dir. Bu ger-çekten hareketle normal bir para arka arkaya 10 kez havaya atıldığında en yüksek olasılıkla 5 yazı, 5 tura gelmesi beklenir. Para on atışın onunda da yazı, onunda da tura gelebileceği gibi, 1 yazı-9 tura, 2 yazı-8 tura,.... gibi çeşitli şekillerde de gelebilir. Para binlerce kez atılsa ve sonuçları kaydedilse, arka arkaya 10 atış için söz konusu olan seçeneklerin olasılığı Tablo 6.1’de gösterildiği şekilde bulunur.

TABLO6.1. Normal bir madeni paranın 10 atışında gelebi-lecek yazı-tura’ların olasılık dağılımı

sonuç(yazı:y,Tura:T) Olasılık

0Y-10T 0.00098

1Y-9T 0.0098

2Y-8T 0.0439

3Y-7T 0.1172

4Y-6T 0.2051

5Y-5T 0.2460

6Y-4T 0.2051

7Y-3T 0.1172

8Y-2T 0.0439

9Y-1T 0.0098

10Y-0T 0.00098

Tablo 6.1’den de anlaşılacağı gibi normal bir paranın arka arkaya 10 atışta 10 kez tura gelme olası-lığı 0.00098’dir. On atışta en yüksek olasılıkla 5 yazı, 5 tura gelecektir ve bunun olasılığı da 0.2460’tır. Tabloya dikkat edilirse diğer olasılıklar 5Y-5T’nın iki yanında azalan biçimde simetrik olarak dağıl-maktadır. Bu dağılım grafiğe döküldüğünde çan eğrisi şeklinde normal dağılım elde edilir. Paralar evreni için bu olasılık dağılımı elimizde olduktan sonra örneğin on kez atılan bir paranın 9Y-1T gelme olasılığının 0.0098 olduğunu söyleme imkanına sahip oluruz. Eğer elimizdeki paranın normal bir para mı yoksa hileli bir para mı olduğunu test etme amacıyla bu atışları yapmış isek, olasılığı bu kadar düşük olan bir durumun ilk seferde bizim karşımıza çıkmış olması nedeniyle aksi gösterilene kadar elimizdeki paranın normal olmayan bir para olduğu sonucuna varırız. İstatistiksel anlamda normalin sınırları ±2SD, yani tüm olasılıkların yaklaşık %95’inin yer aldığı sınırlardır. Bu sınır bizim örneğimiz için 9-1, 10-0, 1-9 ve 0-10 şeklindeki seçeneklerdir.