Sak seizmika

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE

DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU

FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA

UNIVERZITET U NOVOM SADU

SEIZMIČKA ANALIZA KONSTRUKCIJA

VEŽBE

– DODATAK –

NOVI SAD 2013.

SADRŽAJ

1. Matematičko modeliranje .............................................................................................................................. 3

2. Kondenzacija stepena slobode ....................................................................................................................... 4

2.1. Teorija II reda – približno rešenje – geometrijska matrica krutosti – Metoda konačnih elemenata ...... 5

2.2. Primer 1. .................................................................................................................................................. 7

2.3. Primer 2. ................................................................................................................................................ 10

3. Okvir sa krutim tavanicama .......................................................................................................................... 15

3.1. Primer 1. ................................................................................................................................................ 17

4. Dinamička analiza linearno elastičnih sistema ............................................................................................. 18

4.1. Jednačine kretanja ................................................................................................................................. 18

4.2. Modalna analiza .................................................................................................................................... 18

4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude .................................................................................................... 19

4.4. Seizmička analiza ................................................................................................................................... 21

4.5. Primer 1. ................................................................................................................................................ 25

4.6. Primer 2. ................................................................................................................................................ 27

4.7. Primer 3. ................................................................................................................................................ 31

5. Numerička integracija korak po korak – MDOF (direktna integracija) ......................................................... 37

5.1. Newmark-ovo postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem ........................................................ 37

5.2. Program za numeričku integraciju – MDOF – akcelerogram (Matlab – skript datoteka): .................... 37

5.1. Primer 1. ................................................................................................................................................ 40

6. Položaj centra mase i krutosti i raspodela seizmičkih sila u osnovi zgrade .................................................. 43

7. Literatura ...................................................................................................................................................... 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 3 od 44

1. Matematičko modeliranje

Izbor matematičkog modela je najznačajnija faza kod rešavanja dinamičkih problema. Matematički model mora da obuhvati bitne karakteristike konstrukcije, tako da se dovoljno tačno simulira stvarno ponašanje. Tačnost rezultata analize bitno zavisi od tačnosti najmanje tačne faze.

Razlozi zbog kojih možemo koristi jednostavnije modele kod dinamičke analize konstrukcija nego kod statičke analize su:

1) najčešći slučaj je mala tačnost pri određivanju zemljotresnog opterećenja,

2) najčešće na odgovor konstrukcije bitno utiče samo nekoliko osnovnih tonova vibracija na koje bitan uticaj ima manji broj stepeni slobode,

3) inercijalne karakteristike se mogu opisati jednostavnijim modelom od onog koji koristimo za opisivanje krutosti,

4) određivanje unutrašnjih sila i napona zahteva tačniji model nego određivanje pomeranja (unutrašnje sile su funkcije izvoda pomeranja).

Na osnovu prethodnog se može zaključiti da je optimalno je koristiti dva modela. Matrica krutosti se određuje na tačnijem modelu, nakon čega se prelazi na jednostavniji model za dinamičku analizu kojom se određuju pomeranja. Zatim, na osnovu tako određenih pomeranja se određuju unutrašnje sile i naponi na tačnijem modelu.


Strana 4 od 44

2. Kondenzacija stepena slobode

Modeliranje objekata visokogradnje za statičku i dinamičku analizu je prikazano na Slici 2-1 u odnosu na broj stepeni slobode pomeranja.

a) (36 SS) b) (16 SS, ε = 0) c) (4 SS, ε = 0)

Slika 2-1. Stepeni slobode.

Prelazak sa komplikovanijeg modela za statičku analizu na jednostavniji model za dinamičku analizu možemo izvršiti postupkom kondenzacije. Na taj način eliminišemo nebitne stepene slobode, a to su oni koji su vezani za male inercijalne sile (mala masa i/ili malo ubrzanje) i gde nema spoljašnjeg opterećenja. U opštem slučaju koristimo model prikazan na Slici 2-1 a) sa 36 stepeni slobode (24 translacije i 12 rotacija). Za okvir prikazan na Slici 2-1 b) zanemarenjem aksijalnih deformacija ne činimo veliku grešku. Na taj način dobijamo model sa 16 stepeni slobode (4 translacije i 12 rotacija). Prethodna dva modela se koriste pri statičkim analizama. Dinamički model je prikazan na Slici 2-1 c) sa 4 stepena slobode (4 horizontalna pomeranja u nivou greda tj. bitan uticaj na ponašanje imaju inercijalne sile u horizontalnom pravcu). Prelazak sa modela prikazanog na Slici 2-1 b) na model prikazan na Slici 2-1 c) se ne sme učiniti jednostavnim brisanjem rotacija jer one bitno utiču na horizontalna pomeranja. Rotacije se eliminišu tako da njihovu uticaj ostane indirektano uključen, a postupak se naziva kondenzacija stepena slobode. Pri analizi se zanemaruje prigušenje.

Jednačina kretanja ima sledeći oblik:

FKUUM (2.1)

Jednačinu 2.1 napišemo tako da uzmemo u obzir podelu na bitne i nebitne stepene slobode uz pretpostavku da inercijalne sile uz nebitne stepene slobode nemaju nikakav uticaj na odgovor sistema. Index b predstavlja bitne, a index n nebitne stepene slobode.

bb

n

bbbn

nbnn

b

n

bb FU

U

KK

KK

U

U

M

0

0

00

(2.2)


Strana 5 od 44

Prva jednačina iz matrične jednačine 2.2 glasi:

0 bnbnnn UKUK (2.3)

Iz prethodne jednačine dobijamo vezu između nebitnih i bitnih pomeranja:

bnbnnn UKKU 1 (2.4)

Druga jednačina iz matrične jednačine 2.2 glasi:

bbbbnbnbbb FUKUKUM (2.5)

Uvrstimo u prethodnu jednačinu izraz 2.4:

bbnbnnbnbbbbb FUKKKKUM 1 (2.6)

Kondezovana matrica masa:

bbc MM (2.7)

Kondezovana matrica krutosti:

nbnnbnbbc KKKKK 1 (2.8)

Kondezovani vektor spoljašnjeg opterećenja:

bc FF (2.9)

Veza između bitnih i nebitnih pomeranja je statička pa se ovaj postupak zove i statička kondenzacija.

Za određivanje matrice krutosti statičkog modela kod ortogonalnih okvira koji su potpuno uklješteni u tlo pri zanemarenju aksijalnih deformacija (ε = 0) i uticaja smičućih napona na deformaciju (γ = 0) koriste se izrazi za sile na krajevima štapa tipa „k“ usled jediničnih pomeranja i obrtanja koji su prikazani na Slici 2-2.

Slika 2-2. Reakcija štapa tipa „k“ usled jediničnih pomeranja i obrtanja krajeva.

2.1. Teorija II reda – približno rešenje – geometrijska matrica krutosti –

Metoda konačnih elemenata

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja kod modela sa više stepeni slobode u matričnom obliku:

FUKKUM go )( (2.10)


Strana 6 od 44

Matrica krutosti go KKK se formira kao zbir matrice krutosti po teoriji prvog reda oK i

geometrijske matrice krutosti gK . Jednačina 2.10 se rešava kao jednačina 2.1.

Za ortogonalne okvire pri zanemarenju aksijalnih deformacija (ε = 0) i uticaja smičućih napona na deformaciju (γ = 0):

Slika 2-3. Savijanje u ravni štapa tipa „k“.

Matrica krutosti po teoriji prvog reda štapa tipa „k“:

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIKo (2.11)

Geometrijska matrica krutosti štapa tipa „k“ (zatezanje +S, pritisak –S):

22

22

433

336336

343

336336

30

LLLL

LL

LLLL

LL

L

SKg (2.12)


Strana 7 od 44

2.2. Primer 1.

Teorija prvog reda


Strana 8 od 44

Slika 2-4. Oblik vibracija.


Strana 9 od 44

Teorija drugog reda


Strana 10 od 44

2.3. Primer 2.


Strana 11 od 44


Strana 12 od 44


Strana 13 od 44


Strana 14 od 44

φ1 φ2

Slika 2-5. Oblici vibracija.


Strana 15 od 44

3. Okvir sa krutim tavanicama

Na Slici 5-1 je prikazan ortogonolani višespratni okvir sa krutim tavanicama. Pri analizi su zanemarene aksijalne deformacije (ε = 0) i uticaj smičućih napona na deformaciju (γ = 0). Pri analizi se zanemaruje prigušenje.

Slika 3-1. Višespratni okvir sa krutim tavanicama.

Dalamberov princip ( nuuu 21 ):

0)()()()()()(0ainercijaln111

tFtftutuKtutuKH iiiiiiii

)()()( 111 tFtuKtuKKum iiiiiiii

Matrica krutosti:

nn

nnnn

i

iiii

kk

kkkk

k

kkkk

k

kkkk

kkk

K

)(

*

*

)(

*

)(

)(

11

1

11

3

3322

221

)(tui)(tFi)(ainercijaln tfi

)()(11 tutuK iii

)(tui

)()( 1 tutuK iii


Strana 16 od 44

Matrica masa: Vektor pomeranja: Vektor spoljašnjih sila:

n

i

m

m

m

m

M

*

*

2

1

n

i

u

u

u

u

tU

*

*)(

2

1

n

i

F

F

F

F

tF

*

*)(

2

1

Matrična jednačina dinamičke ravnoteže:

)()()( tFtKUtUM


Strana 17 od 44

3.1. Primer 1.

φ1 φ2

Slika 3-2. Oblici vibracija


Strana 18 od 44

4. Dinamička analiza linearno elastičnih sistema

4.1. Jednačine kretanja

Jednačine kretanja (vibracija) se mogu prikazati u obliku sistema nehomogenih linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)()()()( tPtkutuctum rra (4.1)

gde su:

m – matrica masa,

c – matrica prigušenja,

k – matrica krutost i

)(tP – vektor poremećajnih sila.

Kod zemljotresa se opterećenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednačine kretanja 4.1 postaju:

)()()()( tumtkutuctum trrr (4.2)

ili

)()()()()( tkutuctkutuctum ttaaa (4.3)

Jednačina 4.2 se u praksi najčešće koristi jer se zemljotresno opterećenje najčešće uvodi u analizu

preko akcelerograma )(tut . Vektor apsolutnih pomeranje se može prikazati jednačinom:

tra suuu (4.4)

gde su:

au – vektor apsolutnih pomeranja,

ru – vektor relativnih pomeranja i

tsu – vektor pomeranja tla.

Matrica uticajnih koeficijenata s predstavlja pomeranja krute konstrukcije, potpuno uklještene u tlo, kod jediničnih pomeranja tla u pojedinim pravcima. Kod konstrukcija u ravni koje su pobuđivane samo u jednom pravcu i gde su uzeti u obzir samo stepeni slobode u pravcu pobuđivanja važi da matrica s postaje jedinični vektor s = 1.

4.2. Modalna analiza

Modalne jednačine (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)(tPqKqCqM nnnnnnn (4.5)

gde su:

nTnn mM – generalisana masa,


Strana 19 od 44

nTnn cC – generalisano prigušenje,

nTnn kK – generalisana krutost i

)()( tptP Tnn – generalisana sila.

Ako prethodnu jednačinu podelimo sa Mn dobija se:

n

nnnnnnn

M

tPqqq

)(2 2 (4.6)

Odgovor određujemo kao:

N

nnnn

N

nnn

N

nnn

tqmtqktkutf

tqtu

1

2

1

1

)()()()(

)()(

(4.7)

Kod zemljotresa se opterećenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednačine kretanja 4.6 postaju:

n

tTn

nnnnnnM

umsqqq

22 (4.8)

4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude

Poremećajne sile se mogu prikazati na sledeći način:

)()( tpstp (4.9)

gde su: )(tp – vektor poremećajnih sila, s – prostorna raspodela sila i )(tp – vremenska

promena opterećenja.

Ekspanzija vektora s :

N

rrr

N

rr mss

11

][ (4.10)

Obe strane prethodne jednačine su pomnožene sa Tn i uzimajući u obzir svojstvo ortogonalnosti

dobija se:

n

T

nn

M

sΓ

(4.11)

gde je nΓ modalni faktor participacije koji zavisi od normalizacije tonova pa ne predstavlja

„dobru“ meru za procenu doprinosa pojedinog tona u odgovoru.

Doprinos n-tog tona prostornoj raspodeli sila s :

nnn mΓs ][ (4.12)

Inercijalne sile n-tog tona:

)(][)(][)( tqmtumf nnnnI (4.13)


Strana 20 od 44

gde je njihova prostorna raspodela definisana vektorom nm koji je isti kao vektor ns .

Ekspanzija vektora prikazana jednačinom 4.10 ima osobinu da vektor sila )(tpsn „pravi“ odgovor

samo u n-tom tonu. Ova osobina može da se prikaže na vektoru generalisanih sila za r-ti ton:

)()()()()( tpmΓtpstptP nTrnn

T

r

T

rr (4.14)

Iz prethodne jednačine se dobija (uzimajući u obzir uslov ortogonalnosti):

nrzatpMΓtP

nrzatP

nnn

r

)()(

0)( (4.15)

Takođe, važna osobina ekspanzije vektora pobude je da odgovor u n-tom tonu zavisi samo od

vektora sila )(tpsn . Veza između generalisanih sila u n-tom tonu sa ukupnim vektorom

poremećajnih sila:

)()()( tpstptP n

T

n

T

nn (4.16)

Kombinujući jednačine 4.10 i 4.16 dobija se:

N

rr

Tnrn tpmΓtP

1

)()()( (4.17)

Uzimajući u obzir uslov ortogonalnosti dobija se:

)()( tpMΓtP nnn (4.18)

Jednačina 4.6 se može napisati (modalna analiza):

)()(

2 2 tpΓM

tpMΓqqq n

n

nnnnnnnn (4.19)

Ako prethodnu jednačinu napišemo u „duhu“ sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja dobija se:

)()(

)(2 2

tDΓtq

tpDDD

nnn

nnnnnn

(4.20)

Prethodna jednačina predstavlja jednačinu za sistem sa jednim stepenom slobode za svaki ton n koji ima jediničnu masu. Doprinos n-tog tona na ukupni odgovor:

)]([)(

)()(2 tDstf

tDΓtu

nnnn

nnnn

(4.21)

gde su:

ns – modalni statički deo odgovora i

)]([ 2 tDnn – dinamički (vremenski) deo odgovora.


Strana 21 od 44

Ukupni odgovor određujemo kao:

N

nn

N

nn

tftf

tutu

1

1

)()(

)()(

(4.22)

Uticaj n-tog tona )(trn na odgovor sistema )(tr se određuje statičkom analizom usled sila )(tfn .

Ako stnr označava modalni statički odgovor usled sila ns može se napisati:

)]([)( 2 tDrtr nnstnn (4.23)

Ukupni odgovor:

N

nnn

stn

N

nn tDrtrtr

1

2

1

)]([)()( (4.24)

Uticaj n-tog tona na odgovor sistema r se može napisati kao:

)]([)( 2 tDrrtr nnnst

n (4.25)

gde je str statički deo usled sila s odgovora r .

Faktor doprinosa n-tog tona:

st

stn

n

r

rr (4.26)

Karakteristike faktora doprinosa n-tog tona nr su:

1) bezdimenzionalan,

2) ne zavisi od normalizacije tonova i

3) 11

N

n

nr .

4.4. Seizmička analiza

Jednačine kretanja usled prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)()(1][)(][)(][)(][ tptumtuktuctum effgrrr (4.27)

pri ekspanziji vektora pobude na sledeći način:

nnn

g

g

g

ms

tutp

ms

tustpstp

tumtp

][

)()(

1][

))(()()(

)(1][)(

(4.28)


Strana 22 od 44

Modalne jednačine:

)(2 2 tuΓqqq gnnnnnnn (4.29)

Ako prethodnu jednačinu napišemo u „duhu“ sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja tj.

kada se prethodna jednačina podeli sa nΓ dobija se:

)()(

)(2 2

tDΓtq

tuDDD

nnn

gnnnnnn

(4.30)

Modalni odgovor, tj. doprinos n-tog tona na ukupno pomeranje:

)()()()(2

tAΓ

tDΓtqtu nn

n

nnnnnnn

(4.31)

Raspodela sila n-tog tona:

)]([)(

)()]([)(2

2

tDtA

tAstDstf

nnn

nnnnnn

(4.32)

gde je )(tAn pseudoubrzanje određeno kao odgovor sistema sa jednim stepenom slobode (koji

odgovara n-tom tonu) usled )(tug primenom numeričkih metoda.

Odgovor se određuje kao:

N

nn

nstnn

N

nn

nnn

trtr

tArtr

tftf

tAstf

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

(4.33)

Pri modalnoj analizi sa spektrima odgovora maksimalna vednost odgovora u n-tom tonu se dobija:

astnno Srr (4.34)

Ukupni odgovor se dobija kombinovanjem odgovora za pojedine tonove primenom pravila: SRSS ili CQC i sl.


Strana 23 od 44

Konceptualno objašnjenje modalne analize (Slika je iz [1]):


Strana 24 od 44

Modalni statički odgovori (Slika je iz [1]):


Strana 25 od 44

4.5. Primer 1.


Strana 26 od 44


Strana 27 od 44

4.6. Primer 2.


Strana 28 od 44


Strana 29 od 44

umax = 6,239 cm (SAP2000 (ε=γ=0): 6,234 cm – numerička integracija MDOF modela)


Strana 30 od 44

umax = 9,317 cm (SAP2000 (ε=γ=0): 9,313 cm – numerička integracija MDOF modela)


Strana 31 od 44

4.7. Primer 3.


Strana 32 od 44


Strana 33 od 44


Strana 34 od 44

Prva modalna jednačina (SAP2000):

Druga modalna jednačina (SAP2000):


Strana 35 od 44

Analiza MDOF modela (SAP2000 (ε=γ=0)):

Relativno horizontalno pomeranje prve etaže:

Relativno horizontalno pomeranje druge etaže:


Strana 36 od 44

Dijagram M


Strana 37 od 44

5. Numerička integracija korak po korak – MDOF (direktna

integracija)

5.1. Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem

U ovom poglavlju je prikazan postupak proračuna (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena).

Postupak proračuna (indeksi: p – početak intervala i k – kraj intervala):

1. Samo jednom na početku proračuna:

1.1. Formiranje matrice krutosti K, matrice masa M, matrice prigušenja C, i vektora

opterećenja F(t) (kod zemljotresnog opterećenja: sMuPtF geff ][)( )

dinamičkog modela.

1.2. Usvajanje koraka integracije Δt i vektora početnih kinematičkih veličina ( 0U , 0U

i 0001

0 ][][][ UKUCFMU ).

1.3. Određivanje zamenjujuće matrice krutosti: ][2

][4

][][2

Ct

Mt

KK

.

2. Za svaki korak numeričke integracije:

2.1. Određivanje vektora zamenjujućeg opterećenja:

ppppk UCUUt

MFFF ][224

][

2.2. Rešavanje sistema algebarskih jednačina: FUK ][ (dekompozicija

zamenjujuće matrice krutosti – jednom na početku proračuna).

2.3. Određivanje veličina na kraju intervala:

UUU pk

pk UUt

U

2

kkkk UKUCFMU ][][][ 1

5.2. Program za numeričku integraciju – MDOF – akcelerogram (Matlab –

skript datoteka):

%Numericka integracija - MDOF sistem - akcelerogram %Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosecnim) ubrzanjem %Literatura: Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja %Autor: Stanko Brcic %Literatura: Dinamika gradbenih konstrukcij %Autor: Peter Fajfar %Ciscenje radnog prostora clear; clc; %Ucitavanje akcelerograma


Strana 38 od 44

dt=0.02; fid = fopen('Akcelerogram.txt', 'r'); [ubzanjeTla, brojPodataka] = fscanf(fid, '%f'); fclose(fid); %Matrica krutosti K=[2*9114.58333333 -9114.58333333; -9114.58333333 9114.58333333]; %Matrica masa M=[50 0; 0 30]; MInv=inv(M); %Matrica prigusenja T1=0.6383; ceta1=0.05; T2=0.2628; ceta2=0.05; a0=4*pi*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); a1=(1/pi)*T1*T2*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); C=a0*M+a1*K; %Broj stepeni slobode brojStepeniSlobode=size(K,1); %Vektor uticajnih koeficijenata for k = 1:1:brojStepeniSlobode s(k,1)=1; end %Vektor efektivnih sila for k = 1:1:brojPodataka Peff(:,k)=-ubzanjeTla(k)*M*s; end %Pocetni uslovi for k = 1:1:brojStepeniSlobode %Pocetno pomeranje Ur(k,1)=0; %Pocetna brzina Vr(k,1)=0; end %Pocetno ubrzanje Ar(:,1)=MInv*(Peff(:,1)-C*Vr(:,1)-K*Ur(:,1)); %Zamenjujuca matrica krutosti Kzam=K+(4/dt^2)*M+(2/dt)*C; KzamInv=inv(Kzam); %Proracun u vremenskim intervalima vektorVrstaVremenskihTrenutaka(1)=0; for k = 1:1:(brojPodataka-1) %Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja - Stanko Brcic %vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1)=Peff(:,k+1)+ ... %M*((4/dt^2)*Ur(:,k)+(4/dt)*Vr(:,k)+Ar(:,k))+ ... %C*((2/dt)*Ur(:,k)+Vr(:,k)); %Ur(:,k+1)=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1); %Vr(:,k+1)=(2/dt)*Ur(:,k+1)-(2/dt)*Ur(:,k)-Vr(:,k); %Ar(:,k+1)=(4/dt^2)*Ur(:,k+1)-(4/dt^2)*Ur(:,k)-(4/dt)*Vr(:,k)-Ar(:,k); %Dinamika gradbenih konstrukcij - Peter Fajfar vektorZamenjujucegOpterecenja=Peff(:,k+1)-Peff(:,k) + ... M*((4/dt)*Vr(:,k)+2*Ar(:,k))+2*C*Vr(:,k); deltaUr=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja; Ur(:,k+1)=Ur(:,k)+deltaUr; Vr(:,k+1)=(2/dt)*deltaUr-Vr(:,k); Ar(:,k+1)=MInv*(Peff(:,k+1)-C*Vr(:,k+1)-K*Ur(:,k+1));


Strana 39 od 44

vektorVrstaVremenskihTrenutaka(k+1)=k*dt; end %Extremi U1max=max(Ur(1,:)); U1min=min(Ur(1,:)); U2max=max(Ur(2,:)); U2min=min(Ur(2,:)); %Grafici subplot(2,1,1); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(1,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Prva etaza: Umax=',num2str(U1max),' Umin=',num2str(U1min))); subplot(2,1,2); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(2,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Druga etaza: Umax=',num2str(U2max),' Umin=',num2str(U2min))); %Odredjivanje sila na krajevima "donjeg" levog stuba E=31500000; I=0.25^4/12; L=3; Kstapa=(E*I/L^3)*... [12 6*L -12 6*L;... 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;... -12 -6*L 12 -6*L;... 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2]; for k = 1:1:brojPodataka Rstapa(:,k)=Kstapa*[Ur(1,k); 0; 0; 0]; end disp(max(Rstapa(1,:))) disp(min(Rstapa(1,:))) disp(max(Rstapa(2,:))) disp(min(Rstapa(2,:))) disp(max(Rstapa(3,:))) disp(min(Rstapa(3,:))) disp(max(Rstapa(4,:))) disp(min(Rstapa(4,:)))


Strana 40 od 44

5.1. Primer 1.

Za dinamički model iz 4.6. Primer 2 odrediti relativno horizontalno pomeranje u nivou etaža

direktnom integracijom (Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem) i

extremne vrednosti sila na krajevima levog „donjeg“ stuba.

Rešenje primenom prethodno prikazanog programa:


Strana 41 od 44

Analiza MDOF modela (direktna integracija – SAP2000 (ε=γ=0)):

Relativno horizontalno pomeranje prve etaže:

Relativno horizontalno pomeranje druge etaže:


Strana 42 od 44

Extremne vrednosti sila na krajevima levog „donjeg“ stuba:

0

0

0

)(

4626

612612

2646

612612

)(][

1,

22

22

3

r

krajevastapa

tU

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EItUKR

426,1816

1878,044

269,4585

1211,284

426,1816

404,1878

284,1211

269,4585

extR

Analiza MDOF modela (direktna integracija – SAP2000 (ε=γ=0)):


Strana 43 od 44

6. Položaj centra mase i krutosti i raspodela seizmičkih sila u

osnovi zgrade

Pretpostavka analize je da su tavanice krute u svojoj ravni i da su zidovi za ukrućenje raspoređeni paralelno sa x i y osom. Položaj centra mase se određuje u ravni tavanice kao težište krutog tela. Na Slici 5-1 je prikazana osnova zgrade.

Slika 5-1. Osnova zgrade

Položaj centra krutosti:

n

iyi

n

iiyi

ck

K

xK

x

1

1

m

ixi

m

iixi

ck

K

yK

y

1

1

Ukupna inercijalna sila u horizontalnom pravcu (ukupna seizmička sila) deluje u centru mase. Redukcijom ukupne seizmičke sile u centar krutosti javlja se moment torzije u osnovi zgrade.

Slika 5-2. Centar mase i krutosti

Raspodela ukupne seizmičke sile na pojedine zidove:

sila u i-tom zidu usled translacije:

n

ixi

xixxi

K

KSS

1

m

iyi

yi

yyi

K

KSS

1

sila u i-tom zidu usled rotacije:

n

iii

iiti

rK

rKMS

1

2

eSM ukupnot


Strana 44 od 44

7. Literatura

1. Chopra A. K.: Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1995.

2. Clough R. W., Penzien J.: Dynamics of structures, Computers & Structures, Inc., Berkeley, California, 1995.

3. Petrović B. i drugi: Zemljotresno inženjerstvo.

4. Ranković S., Ćorić B.: Dinamika konstrukcija.

5. Rusov L.: Mehanika III - Dinamika, 1975.

6. Sekulović M.: Metod konačnih elemenata.

7. Targ S. M.: Teorijska mehanika.

8. Vujanović B.: Dinamika, 1976.

9. Ćorić B., Salatić R.: Dinamika građevinskih konstrukcija.

Documents

Sak seizmika