ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM I KOMPLEKSNOM DOMENU 1. Negativna povratna sprega Negativna povratna sprega je princip po kome funkcioniše sav živi svet i gotovo svi složeniji tehnički sistemi. Taj princip označava da unutar sistema postoji nekakav “mehanizam samokontrole” koji je u stanju da prepozna kada sa neka od važnih fizičkih veličina u sistemu značajno poveća i da reaguje tako da smanji pobudu koja tu fizičku veličinu generiše. I obrnuto, ukoliko se posmatrana fizička veličina smanji ispod željene vrednosti, negativna povratna sprega treba da uzročnik te veličine poveća. Dakle, ovakva sprega deluje sa negativnim predznakom i zbog toga se i naziva negativnom povratnom spregom. Osnovni cilj negativne povratne sprege je da obezbedi ispravno funkcionisanje sistema ukoliko se u okruženju pojavljuju i deluju poremećaji različitog tipa. Primera za negativnu povratnu spregu ima nebrojano. Posmatrajući ljudsko telo neki zanimljivi primeri su mehanizmi regulacije ili održavanja telesne temperature, regulacija koncentracije natrijumovih jona u krvi, regulacija otvora zenice, regulacija krvnog pritiska i tako dalje. Ovi su sistemi vrlo složeni jer se ceo postupak regulacije realizuje kroz kompleksne hemijske reakcije u kojima učestvuju hormoni, belančevine, različita hemjska jedinjenja. Naš je cilj da se upoznamo sa primenom i osobinama negativne povratne sprege u okviru tehničkih sistema, jer je jasno da samo takvi sistemi, koji u sebi imaju ugrađeni “mehanizam samokontrole” odnosno negativne povratne sprege, mogu da funkcionišu istovetno nezavisno od promene različitih uslova u okruženju sistema. Lep primer primene negativne povratne sprege jeste primer jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru kome dajemo za zadatak da se njegova osovina okreće konstantnom brzinom nezavisno od promenljivog momenta opterećenja na njoj. U tom cilju će naredno poglavlje biti posvećeno modeliranju jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru i zatvaranju povratne sprege po brzini njegove izlazne osovine. 2. Model jednosmernog motora Jednosmerni motor je mašina jednosmerne struje. Pod mašinama se zbirnim nazivom podrazumevaju generatori i motori. Generatori imaju osnovnu namenu da pretvaraju mehaničku energiju u električnu a motori obrnuto, pretvaraju električnu energiju u mehaničku. Dakle, i motori i generatori su pretvarači elektro-mehaničke energije. Motor za jednosmernu struju je mašina sa nepomičnim poljem. U njemu postoje dva nezavisna namotaja provodnika i shodno tome dva električna kola. Jedan namotaj se nalazi na fiksnom delu motora i zato se zove namotaj statora (ili se ponekad koristi termin induktor) dok se drugi namotaj nalazi na delu motora koji rotira i zbog toga se naziva namotaj rotora (indukat). Prolaskom struje kroz ova dva namotaja formiraju se dva magnetna polja koja su nepomična i stoje pod pravim uglom. Mi ovde nećemo ulaziti u konstrukcijske detalje jednosmernih motora, već ćemo princip rada objasniti na osnovu principijelne šeme prikazane na slici 1.1.

( )me mK tω

( )pu t pL

pR( )pi t( )ru t

( )ri t rR

rL( )m tω

0 0,J F

Slika 1.1: Principijelna šema jednosmernog motora

Šema kakva je nacrtana na slici 1.1 se naziva principijelnom šemom jer se na osnovu nje može uvideti princip rada po kome funkcioniše sistem. Naime, statorski namotaj se napaja jednosmernim naponom , i ako se namotaj predstavi rednom vezom otpornosti ( )pu t pR i induktivnosti , struja koja protiče kroz namotaje statora zadovoljava sledeću diferencijalnu jednačinu:

pL

( ) ( ) ( )pp p p p

di tR i t L u t

dt+ = (1.1)

što nije ništa drugo nego Omov zakon za kolo statora. Uobičajeno je da se poslednja relacija predstavi u kompleksnom domenu tako što se na nju primeni Laplasova transformacija. Uz pretpostavku o nultim početnim uslovima, jednačina (1.1) postaje:

( ) ( )pp

p p

U sI s

L s R=

+ (1.2)

Struja koja protiče kroz namotaje statora ( )pi t generiše elektromagnetno polje u unutrašnjosti

motora i u prvoj aproksimaciji možemo smatrati da je fluks ovog polja direktno

proporcionalan jačini struje , odnosno ( )tΦ

( )pi t

( ) ( )~ pt i tΦ (1.3)

Sa druge strane, kako je na krajeve rotora priključen jednosmerni napon , on će u kolu rotora (koje je takođe modelirano rednom vezom otpornosti

( )ru t

rR i induktivnosti ) izazvati postojanje struje . Proticanje električne struje kroz namotaje rotora, pri čemu se ceo rotor nalazi u

prostoru u kome postoji elektromagnetno polje fluksa

rL

( )ri t

( )tΦ uzrokovaće pojavu pokretačkog

momenta koji će težiti da pokrene rotor. Vrednost ovog pokretačkog momenta ( )M t je

proporcionalna proizvodu fluksa i jačine struje ( )tΦ ( )ri t :

( ) ( ) ( )~ rM t t iΦ t (1.4)

Konačno, usled obrtanja rotorskog namotaja ugaonom brzinom ( )m tω u prostoru u kome postoji elektromagnetno polje, indukovaće se na krajevima namotaja rotora elektromotorna sila koja je proporcionalna brzini obrtaja osovine rotora i fluksu elektromagnetnog polja:

( ) ( ) ( )~ me t t tωΦ (1.5)

Ova indukovana elektromotorna sila se često naziva kontra-elektromotornom silom jer je njen polaritet uvek takav da se suprotstavlja elektromotornoj sili koja izaziva struju kroz namotaj (u ovom slučaju je to napon ). ( )ru t

Upravljati jednosmernim motorom je moguće na dva načina. Prvi način jeste da se održava struja statora konstantnom, a da se promenom struje rotora povećava ili smanjuje brzina okretanja motora. Takva struktura se naziva jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru. Drugi način jeste da se struja rotora drži konstantnom, a da se brzina okretanja motora reguliše promenom struje statora. Ovaj način je prilično neprikladan jer je mnogo teže održavati struju rotora konstantnom, pa se otuda mnogo ređe koristi. Zato ćemo mi formirati model jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru. Dakle, pretpostavićemo da je struja statorskog namotaja konstantna, što

znači da je i fluks elektromagnetnog polja ( )pi t

( )tΦ konstantan, što nam omogućava da jednačine (1.4) i (1.5) prepišemo na sledeći način:

( ) ( )em rM t K i t= (1.6)

i

( ) ( )me me t K tω= (1.7)

Konstantni proporcionalnosti je pridružen indeks “em” što treba da asocira na pojavu da se iz električnog uzroka (struja ) dobija mehanička posledica (pokretački momenat M) i njena dimenzija je Nm/A, dok konstanta proporcionalnosti ima indeks “me” jer upućuje na to da se iz mehančkog uzroka (ugaona brzina

emK

ri

meK

mω ) kao posledica dobija električna veličina (indukovana kontra-elektromotorna sila e) i izražava se u . sec/V rad Dalje, na principijelnoj šemi na slici 1.1 je isprekidanom linijom označena mehanička osovina rotora motora. Na kraju ove osovine se nalazi opterećenje koje motor okreće. Kao što se svaki teret koji guramo translatorno može okarakterisati svojom masom i koeficijentom trenja sa podlogom, tako se, analogno tome, opterećenje koje se rotira može okarakterisati momentom inercije i koeficijentom viskoznog trenja . Momenat inercije tela zavisi ne samo od njegove mase već i od njegovih dimenzija, dok koeficijent viskoznog trenja karakteriše trenje između osovine koja rotira i ležišta osovine.

0J 0F

Navedene činjenice će nam omogućiti da na vrlo jednostavan način modeliramo ponašanje jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru. Taj model će se sastoji iz samo dve diferencijalne jednačine. Prva od njih predstavlja jednačinu koja nije ništa drugo nego Omov zakon za električno kolo rotorskog namotaja:

( ) ( ) ( ) ( )rr r r me m

di tL R i t K t u

dtω+ + = r t (1.8)

Druga jednačina predstavlja zakon mehaničke ravnoteže rotora. Ovaj zakon kaže da u inercijalnom sistemu vektorski zbir svih sila koje deluju na neko telo kao i vektorski zbir svih momenata mora biti jednak nuli. U našem slučaju, ako posmatramo samo momente koji deluju na rotor motora, deluju dva momenta od kojih je jedan pokretački i definisan je jednačinom (1.6) dok je drugi otporni (on se opire kretanju). Ovaj otporni momenat je jednak:

( ) ( ) ( )motp e e m

d tM t J F t

dtω

ω= + (1.9)

gde je sa označen ekvivalentni (otuda indeks e) momenat inercije koji vidi motor dok je sa označen ekvivalentni koeficijent viskoznog trenja. Za principijelnu šemu sa slike 1.1. ekvivalentni momenat inercije bi bio jednak zbiru momenta inercije opterećenja i momentu inercije samog rotora , dok bi, analnogno tome, ekvivalentni koeficijent viskoznog trenja bio jednak zbiru koeficijenta viskoznog trenja opterećenja i koeficijentu viskoznog trenja motora . Pošto su pokretački momenat iz jednačine (1.6) i otporni momenat iz jednačine (1.9) vektorske veličine istog pravca a suprotnih smerova, jednačina mehaničke ravnoteže postaje:

eJ eF

0J

mJ

0F mF

( ) ( ) ( ) 0mme r e e m

d tK i t J F t

dtω

ω− + + = (1.10)

Jednačine (1.8) i (1.10) u potpunosti opisuju rad jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru. Ako na njih primenimo Laplasovu transformaciju, uz pretpostavku o nultim početnim uslovima, dobijamo dve algebarske jednačine:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0r r r me m r

em r e e m

L s R I s K s U s

K I s J s F s

ω

ω

+ + =

− + + = (1.11)

Ukoliko želimo da motor predstavimo kao jedan sistem čiji je ulazni signal napon rotora ( )ru t a čiji

je izlaz brzina okretanja osovine , tada je moguće odrediti funkciju prenosa motora ( )m tω ( )mG s na sledeći način:

( ) ( )( )

mm

r

sG s

U sω

= (1.12)

Jednačine date relacijom (1.11) se mogu shvatiti kao sistem jednačin od 2 jednačine i 2 nepoznate, pa se rešavanjem ovog sistema jednačina po ugaonoj brzini ( )m sω jednostavno dolazi do željene funkcije prenosa:

( ) ( )( ) ( )( )

m emm

r r r e e em

s KG sU s L s R J s F K Kω

= =+ + + me

(1.13)

Poslednja relacija je vrlo važna jer se iz nje vidi da je funkcija prenosa jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru realna (koeficijenti su realni brojevi) racionalna funkcija (napisana je u obliku količnika dva polinoma) kompleksne promenljive s. Kako je polinom u imeniocu drugog stepena, za ovakvu funkciju prenosa kažemo da je drugog reda. Ukoliko imenilac i brojilac funkcije prenosa podelimo proizvodom r eR F dobija se:

( ) 11 2

2

; ;1 1

em em mem

r e r eer

r e

K KKG s K K KR F RJL s s K

R F

= =⎛ ⎞⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

F=

e r

(1.14)

Količnici i dimenziono predstavljaju vreme, pa se nazivaju električnom /r rL R /eJ F /e rT L R= , odnosno mehančkom vremenskom konstanom. One zaista karakterišu električne odnosno mehaničke osobine motora sa opterećenjem. Dakle, funkcija prenosa motora se može napisati u formi

/meh e eT J= F

( ) ( )( ) ( )1 1

22 21 1 1m

e meh e meh e meh

K KG sT s T s K T T s T T s K

= =+ + + + + + +

(1.15)

Električna vremenska konstanta pokazuje kojom se brzinom menjaju električne veličine u sistemu (recimo struja rotora) dok mehanička vremenska konstanta govori o brzini promena mehaničkih veličina (ugaona brzina osovine) i jasno je da je ova prva konstanta mnogostruko manja od druge. Ukoliko usvojimo aproksimacije:

, , (1.16) 0e meh e meh meh e mehT T T T T T T<< + ≈ ≈

funkcija prenosa će dobiti formu prenosa prvog reda:

( ) 1

21mmeh

KG sT s K

≈+ +

(1.17)

odnosno, deljenjem celog količnika sa 21 K+ , aproksimativna funkcija prenosa postaje

( ) 1

2 2

; ;1 1 1

mm m m

m

K KG s K TT s K K

≈ = =+ + +

mehT (1.18)

Konstanta se naziva statičko pojačanje, dok označava vremensku konstantu jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru. Na osnovu ovako dobijene, aproksimativne funkcije prenosa motora, veza između napona na krajevima rotora i brzine okretanja osovine motora postaje:

mK mT

( )( ) ( )1m m m rs T s K U sω + = (1.19)

Primenom inverzne Laplasove transformacije na ovu algebarsku jednačinu, dobija se diferencijalna jednačina:

( ) ( ) ( )mm m m

d tT t K

dtω

ω+ = ru t (1.20)

Kakav je uticaj i značaj ovih konstanti na ponašanje motora može se zaključiti na osnovu slike 1.2.

(a) (b)

Slika 1.2: Odziv ugaone brzine osovine motora na jediničnu step pobudu ( , gde je

jedinična odskočna funkcija ) pri čemu je a) vremenska konstanta a statička pojačanja uzimaju različite vrednosti; b) statičko pojačanje konstantno a vremenske

konstante uzimaju različite vrednosti

( ) ( )ru t u t V=

( )u t 1mT = s1mK =

Sa slika 1.2.a i 1.2.b se jasno uočava da statičko pojačanje govori o tome šta će biti stacionarna vrednost odziva sistema ako se na ulaz dovede konstantni signal . Jasno je da će vrednosti ugaone brzine u beskonačnosti biti jednak

rU

( )m rU Kω ∞ = m . Zato se konstanta i naziva statičim pojačanjem. Sa druge strane slika 1.2.b govori o tome da je vremenska konstanta mera brzine kojom se izlazni signal sistema približava svojoj stacionarnoj vrednosti. Što je ova konstanta manja sistem je brži pa mu treba manje vremena da piđe svojoj stacionarnoj vrednosti, i obrnuto. Sa povećanjem vremenske konstante sistem postaje sve sporiji.

mK

mT

Konačno treba reći da se u električnim šemama jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru obično obeležava šematskom oznakom kakva je data na slici 1.3.a, dok se u strukturnim blokovima označava blokom sa slika1.3.b ili 1.3.c, zavisno od toga da li je motor predstavljen funkcijom prenosa drugog reda, ili je izvršeno zanemarivanje električne vremenske konstante u odnosu na mehaničku, pa je dobijena funkcija prenosa prvog reda.

M ( ) ( )( )1

1 2 21 1mKG s

T s T s K=

+ + + ( )1

mm

m

KG sT s

=+

( )m sω( )rU s ( )rU s ( )m sω

(a) (b) (c)

Slika 1.3: a) šematski prikaz jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru; b) prikaz jednosmernog motora kao sistema drugog reda u strukturnim blok dijagramima; c) prikaz

jednosmernog motora kao sistema prvog reda u strukturnim blok dijagramima

Treba naglasiti da su dobijeni modeli jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru, bilo dati relacijom (1.15) bilo relacijom (1.18), svojevrsna aproksimacija pravog ponašanja ovog sistema. Naime, prilikom dobijanja relacija koje su nas dovele do modela, zanemareni su mnogi efekti. Jedan od njih je da smo u obzir uzeli samo elektromagnetno polje koje generiše statorski namotaj, dok je elektromagnetno polje rotorskog namotaja zanemareno. U teoriji električnih mašina se smatra da je ova aproksimacija dozvoljena ukoliko je mašina nezasićena. Dalje, pretpostavili smo da je fluks elektromagnetnog polja linearno srazmeran struji pobude, i pri tome je potpuno zanemarena kriva magnećenja koja ima izrazitu histerezisnu prirodu. Ove učinjene aproksimacije nas dovode do zaključka da je primenjivost dobijenih modela ograničena. Dakle, model je dobar u okolini neke radne tačke, odnosno za neke vrednosti napona napajanja statora, rotora i za odgovarajuće vrednosti brzine okretanja osovine rotora. Na ovu važnu činjenicu ne treba zaboraviti, jer inače lako možemo doći do pogrešnih zaključaka. Detaljnija analiza efekata linearizacije biće izvedena kasnije, kada budemo govorili o dvofaznom naizmeničnom servomotoru. 3. Brzinski servomehanizam Sada, pošto smo izveli model jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru, možemo poželeti da formiramo jedan uređaj čiji je cilj da se osovina na kojoj se nalazi opterećenje okreće zadatom brzinom. Takav uređaj može biti, recimo, sistem koji treba da konstantnom brzinom okreće video traku u video uređaju. Pretpostavimo da je funkcija prenosa jednosmernog motora zadata:

( ) ( )( )1

21 1me meh

KG sT s T s K

=+ + +

(1.21)

Pretpostavimo dalje, da su konstante iz ove funkcije prenosa zadata i da imaju vrednosti . Ukoliko želimo da se traka okreće konstantnom brzinom od

, i ukoliko je poluprečnik diska koji namotava traku, nominalno 1 2 1, 0.1 , 1e mehK K T s T= = = = s

( ) 1.8 / secv t const cm= = 3R cm= ,

lako se preračunava da je željena ugaona brzina okretanja osovine motora ( ) 0.6 /mvt raR

ω = = d s ,

odnosno, napon koji treba dovesti na krajeve rotora treba da iznosi

( ) ( ) ( ) 1. / 0 0.6 em mer r m m

em

K Ku t cons U t G VK

ω 1.2+= = = = = . Takav sistem je prikazan na slici 1.4.

( )me mK tω1.2rU V=

( )ri t rR

rL( ) 0.6 /m t rad sω =

0 0,J F

Slika 1.4: Brzinski mehanizam u otvorenoj sprezi

Za ovakav sistem kažemo da je u otvorenoj sprezi jer on u sebi nema ugrađen “mehanizam samokontrole”. Naime, ukoliko video traka nije kvalitetna, ukoliko dodje do njenog zatezanja, logično je da će brzina okretanja osovine da se smanjuje a napon o tome neće ništa znati, i shodno tome neće reagovati povećanjem svoje vrednosti. Ove neregularnosti u radu motora možemo modelirati tako što će se pojaviti promenljivi momenat opterećenja

rU

( )M t . Ukoliko želimo

da njega uključimo u model jednosmernog motora, treba modifikovati jednačinu (1.9), tako što se pojavljuje još jedan sabirak u izrazu za otporni momenat:

( ) ( ) ( ) ( )motp e e m

d tM t J F t M t

dtω

ω= + + (1.22)

što onda znači, da će primenom Laplasove transformacije relacije (1.11) dobiti formu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )r r r me m r

em r e e m

L s R I s K s U s

K I s J s F s M s

ω

ω

+ + =

− + + = − (1.22)

pa se rešavanjem ovog sistema jednačina dobija zavisnost brzine okretanja osovine motora od napona na krajevima rotora i promenljivog momenta opterećenja:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )em r rm r

r r e e me em r r e e em me

K L s Rs U sL s R J s F K K L s R J s F K K

ω M s+= −

+ + + + + + (1.23)

Usvajajući , dobijamo konkretne vrednosti: 0.1 , 1rL H R= = Ω

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 0.1 10.1 1 1 1 0.1 1 1 1m r

ss U ss s s s

ω M s+= −

+ + + + + + (1.24)

Sada možemo izvršiti simulaciju i videti kako će se brzina rotacije osovine menjati, ukoliko promenljivi momenat opterećenja počne da se menja. Na slici 1.5.a je prikazan odziv sistema, dakle ugaona brzina motora, ako ne postoji nikakvo opterećenje i jasno je da je naš proračun bio ispravan jer je stacionarna vrednost brzine zaista 0.6rad/sec. Na slici 1.5.b je prikazano, na koji način se pojavljuje promenljivi momenat opterećenja: on je jednak nuli do šestog sekunda, od šestog do desetog je 0.2Nm, od desetog do četrnaestog je ponovo nula, a od četrnaestog do dvadesetog je -0.1Nm.

Slika 1.5: a) odziv sistema bez prisustva poremećaja; b) vremenski oblik promenljivog momenta

opterećenja; c) odziv sistema uz prisustvo poremećaja Slika 1.5.c nam govori kako se menja odziv sistema, dakle brzina okretanja osovine motora ukoliko postoji poremećaj- promenljivi momenat opterećenja. Jasno je da se sa povećanjem momenta brzina smanjuje i obrnuto. Zapamtimo da se u periodu od šestog do desetog sekunda brzina osovine smanjila sa željenih 0.6 na 0.5rad/sec, dok se u periodu od četrnaestog do dvadesetog sekunda brzina povećala na 0.65 rad/sec. Dakle, prisustvo poremećaja, promenljivog momenta opterećenja, značajno degradira kvalitet rada sistema. Ukoliko poželimo da u cilju poboljšanja kvaliteta rada našeg sistema, ugradimo negativnu povratnu spregu, neophodno je da upotrebimo uređaj koji će meriti brzinu okretanja osovine rotora i da tu izmerenu vrednost vratimo u cilju korekcije napona rotora. Takav uređaj postoji i naziva se tahogenerator. Vrlo je jednostavan i on na svom izlazu generiše naponski signal koji je proporcionalan brzini okretanja osovine. Principijelna šema takvog sistema prikazana je na slici 1.6.a dok je na slici 1.6.b prikazan strukturni blok dijagram takvog sistema.

( )me mK tω

ru

( )ri t rR

rL

0 0,J F

( )m tω

A+−

refu

TG

Slika 1.6.a: Principijelna šema brzinskog servomehanizma

A+−

refu

( )mG s( )m tω

TGK

Slika 1.6.b: Strukturni blok dijagram brzinskog servomehanizma Sa dijagrama se vidi da je osim tahogeneratora, koji je u strukturnom blok dijagramu predstavljen svojom konstantom proporcionalnosti , u sistem unešen i jedan diskriminator, sabirač koji formira razliku između referentnog, željenog napona koji treba da obezbedi željenu brzinu i napona na izlazu iz tahogeneratora. Zanimljivo je pogledati kako će se ovaj sistem ponašati u slučaju prisustva promenljivog momenta opterećenja. Primera radi, usvojimo da je koeficijent tahogeneratora . Na slickama 1.7.a i 1.7.b su prikazani grafici promene ugaone brzine izlazne osovine pri dejstvu poremećaja za vrednosti pojačanje A=3 i A=10.

TGK

refu

1 sec/TGK V ra= d

Slika 1.7. a) Odziv sistema u prisustvu poremećaja za 3A = ; b) odziv sistema za 10A =

Dobijeni dijagrami ukazuju na nekoliko zanimljivih činjenica. Prvo, uticaj poremećaja na ponašanje sistema je značajno manji ukoliko je sistem realizovan kao servomehanizam, odnosno kao sistem sa negativnom povratnom spregom. Setimo se da je za sistem u otvorenoj sprezi vrednost ugaone brzine u intervalu od šeste do desete sekunde iznosio 0.5rad/sec, a od četrnaeste do dvadeset sekunde 0.65rad/sec. U sistemu sa zatvorenom spregom ova odstupanja od željene brzine su značajno manja. Drugi značajni zaključak koji možemo izvesti jeste da se sa povećanjem pojačanja A uticaj poremećaja smanjuje ali to ne znači da se ovo pojačanje može neograničeno povećavati u

cilju smanjenja uticaja poremećaja. Naime, primetimo da se u odzivu sistema na jediničnu odskočnu funkciju pojavljuje preskok, koji je prilično zanemarljiv na levoj slici, za manje pojačanje, ali već vrlo primetan na desnoj slici, za A=10. Sa daljim povećanjem pojačanja A ovaj bi efekat bio sve izraženiji, a istovremeno bi se ugrozila stabilnost sistema, o čemu će kasnije detaljnije biti reči. Dakle, izbor parametra A svakako mora biti rezultat kompromisa između ova dva efekta.

4. Potenciometarski pozicioni servomehanizam U prethodnom pitanju smo se bavili brzinskim servomehanizmima čija je osnovna namena da ugaonu brzinu osovine rotora jednosmernog motora održava na željenoj vrednosti. Za razliku od brzinskih servomehanizama, pozicioni servomehanizmi imaju za cilj da se pozicija osovine rotora dovede i drži na željenoj vrednosti. Zato se i zovu pozicionim servomehanizmima. U tu svrhu nam je potreban uređaj koji može da konvertuje ugaonu poziciju u naponski signal. Najčešće korišćeni pretvarači ugla u napon jesu potenciometri i selsini. Zavisno od toga koji od ovih uređaja iskoristimo, pozicioni servomehanizmi mogu biti potenciometarski ili selsinski. U okviru ovog pitanja ćemo se baviti potenciometrima i potenciometarskim pozicionim servosistemima. Na slici 2.1.a je prikazana principijelna šema potenciometra, dok je na slici 2.1.b data njegova šematska oznaka.

0U0U−

0Θ >

Θu

0U

0U−

Θ

u

(a) (b)

Slika 2.1: Potenciometar sa uzemljenim srednjim izvodom: a) principijelna šema, b) šematska oznaka

Princip rada potenciometra je vrlo jednostavan. Dugačak provodnik je namotan na torusnu podlogu, pri čemu su krajevi provodnika vezani za jednosmerne izvore elektromotorne sile različitih polaritet ( i ), dok je srednji kraj provodnika uzemljen. Po unutrašnjosti potenciometra, vezan za osovinu koja može da rotira, kreće se klizač i zavisno od njegove pozicije, napon na kraju osovine se menja. Na osnovu slike je jasno da se u položaju

0U 0U−

0Θ = , klizač nalazi na izvodu koji je uzemljen, pa je napon na kraju osovine jednak nuli. U poziciji, kakva je prikazana na slici, ugao Θ je pozitivan, pa je i napon pozitivan jer se klizač nalazi između uzemljenog izvoda i izvoda na pozitivnom polaritetu . Što je ugao veći, klizač je bliži izvoru elektromotorne sile, pa je i napon na klizaču veći. Drugim rečima, veza između napona na izlazu potenciometra i ugaone pozicije osovine je linearna, ukoliko se ugao nalazi u opsegu

0U+

[ ],π πΘ∈ − :

0;p pUK u Kπ

Θ = = (2.1)

Primetimo da je veliki nedostatak ovakvog potencimetra taj što se osovine ne može neograničeno okretati. Njene krajnje pozicije su određene pozicijama namotaja i u idealnom slučaju opseg ulaznog ugaonog signala jeste interval [ ],π π− , što predstavlja značajno ograničenje u mnogim primenama.

Korišćenjem ovakvog pretvarača uglovne pozicije u naponski signal, moguće je konstruisati potenciometarski pozicioni servomehanizam kakav je dat na slici 2.2.

0U

0U−

1Θ1u

+

−1A

+

−2A

rR rL

Mru TGmω 1/ N

0U

0U−

2u

0 0,J F2Θ

Slika 2.2: Principijelna šema pozicionog potenciometarskog servomehanizma Princip rada ovog servomehanizma je sledeći. Referentni signal koji zadaje korisnik je ugao 1Θ . Putem potenciometra ovaj signal se pretvara u naponski signal . Istovremeno se pozicija opterećenja putem istovetnog potenciometra pretvara u naponski signal . Drugim rečima, ova dva naponska signala nam govore o tome šta mi želimo i šta trenutno imamo. Dovođenjem ovih naponskih signala na ulaze diferencijalnog pojačavača, dobijamo signal greške

1u

2Θ 2u

(1 1 2 )A u u− koji jednosmernom motoru govori šta treba da radi. Ukoliko je razlika između uglova velika, napon koji se dovodi na krajeve rotora jednosmernog motora biće veliki i obrnuto. Naravno, ukoliko je znak ove greške negativan, to će inicirati motor da se kreće u suprotnom smeru. Primetimo da je u celu strukturu servomehanizma uključen i tahogenerator koj formira još jednu, unutrašnju povratnu spregu. Ova povratna sprega se naziva diferencijalnom povratnom spregom jer ona nosi informaciju o prvom izvodu (diferencijalu) veličina kojom se upravlja, a to je pozicija. Smisao diferencijalne povratne sprege jeste da se u trenutku kada je razlika između uglova 1Θ i velika, ne dozvoli motoru da krene suviše velikom brzinom, jer je onda jasno da će se motor teško zaustaviti u željenoj poziciji, a to izaziva veliki preskok i dugo vreme smirenja pozicije izlazne osovine.

2Θ

Konačno, primetimo da je u strukturu servomehanizma uključen i blok koji je označen oznakom 1/N. Ovaj blok predstavlja mehanički reduktor i njegova osnovna funkcija je da izvrši prilagođenje opterećenja motoru. Na koji način on to vrši jednostavno se sagledava iz kratke analize koja sledi. Mehanički reduktor se obično realizuje kao par zupčanika koji se nalaze na različitim osovinama, i kako je poluprečnik zupčanika odnosno broj zubaca različit, ove osovine se okreću različitim brzinama. Obično se taj odnos poluprečnika/zubaca naziva koeficijentom redukcije i obeležava u opštem slučaju kao 1/N. Mehanički reduktor funkcioniše slično idealnom električnom transformatoru. Posmatrajmo sliku 2.3 na kojoj je prikazan jednosmerni motor sa reduktorom i opterećenjem.

M0ω

0 0,J Fmω

1/ N

*M⇒

Slika 2.3: Ilustracija rada mehaničkog reduktora

Motor generiše pokretački momenat (koji je proporcionalan struji rotora sa konstantnom proporcionalnosti ). Označimo ovaj momenat sa M. Ovaj pokretački momenat mora biti emK

uravnotežen otpornim momentima i sa stanovišta motora tih otpornih momenata ima dva. Jedan je otporni momenat koji potiče od samog rotora koji ima svoj momenat inercije i svoj koeficijent viskoznog trenja

mJ

mF . Drugi otporni momenat podrazumeva ekvivalentni otporni momenat koji se nalazi na osovini motora i njega označimo sa *M . Dakle, jednačina mehaničke ravnoteže koja važi sa stanovišta rotora motora glasi:

( ) ( ) ( ) ( )*m m mM s J s F s M sω= + + (2.2)

Sa druge strane, zanemarujući gubitke u samom mehaničkom reduktoru, možemo smatrati da je snaga sa njegove leve strane jednaka snazi sa njegove desne strane. Na njegovoj levoj strani imamo otporni momenat *M i brzinu okretanja mω , dok se sa njegove desne strane nalazi opterećenje sa momentom ( ) ( )0 0 oJ s F sω+ koje se okreće brzinom opterećenja oω . Iz jednakosti ove dve snage dolazimo do relacije:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0 0 0 0mM s s J s F sω ω= + sω (2.3)

Pretpostavljajući da je odnos redukcije 1/N, odnosno da je poluprečnik zupčanika na levoj strani reduktora N puta manji od poluprečnika zupčanika na desnoj strani, dolazimo da odnosa brzina:

0m Nω ω= (2.4)

Zamenom relacije (2.4) u relaciju (2.3) dobija se ekvivalentni momenat opterećenja *M :

( ) ( )*0 0 0

1 ( )M s J s FN

ω= + s (2.5)

Konačno, zamenom relacije (2.5) u relaciju (2.2) dobija se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

0 02 2

1m m m

m m m

M s J s F s J s F sN

J FJ s F sN N

ω ω

ω

= + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.6)

Poslednja relacija opravdava činjenicu da mehanički reduktor vrši prilagodjenje opterećenja motoru. Naime, svo opterećenje koje se nalazi iza mehaničkog reduktora motor vidi puta manjim. To praktično znači da motor relativno male snage može da pokrene vrlo veliko opterećenje ukoliko se upotrebi mehanički reduktor dovoljno velikog stepena redukcije. Zbir se

naziva ekvivalentnim momentom inercije i obeležava se sa dok se zbir ( ) naziva

ekvivalentnim koeficijentom viskoznog trenja i obeležava se kao

2N

( )20 /mJ J N+

eJ 20 /mF F N+

eF . Termin ekvivalentni je upotrebljen jer su to zbirni momenat inercije i koeficijent viskoznog trenja koje vidi rotor motora nezavisno od toga šta je njihova prava priroda. Član

( )e e eZ s J s F= + (2.7)

se naziva ekvivalentna mehanička impedansa, tako da se konačno veza između pokretačkog momenta jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru i ugaone brzine okretanja rotora može napisati u kompaktnoj formi:

( ) ( ) ( ) ( )em r e mM s K I s Z s sω= = (2.8)

Na osnovu ovog opisa pojedinih blokova u sistemu moguće je formirati strukturni blok dijagram potenciometarskog pozicionog servosistema prikazanog slikom 2.2. Da se podsetimo, strukturni blok dijagram sistema je predstava u kome se svaki element sistema predstavlja pravougaonikom u

koji je upisana odgovarajuća funkcija prenosa. Odgovarajući strukturni blok dijagram je prikazan na slici 2.4.

1Θ 1u +−

pK mω

2u

0ω1A +

−2A ( )mG s

TGK

1/ N 1/ s 2Θ

pK

Slika 2.4: Strukturni blok dijagram pozicionog servosistema

Primetimo da je poslednji blok u strukturnom blok dijagramu integrator sa odgovarajućom funkcijom prenosa 1/ . Njegova funkcija jeste da uspostavi vezu između ugaone brzine, što je definisano kao izlaz iz jednosmernog motora, i ugaone pozicije što jeste izlaz našeg pozicionog sistema. U cilju ilustracije rada ovakvog sistema izvršena je sledeća simulacija, gde su pretpostavljeni sledeći parametri: . Na slikama 2.5.a i 2.5.b su prikazana dva odskočna odziva ovog sistema. Na prvoj slici je pretpostavljeno da je konstanta tahogeneratora , dok je na drugoj slici 2.5.b pretpostavljeno , što je ekvivalentno činjenici da smo ukinuli diferencijalnu povratnu spregu.

s

1 21, 1 , 1, 0.1 , 1p me em eK A A K K T s T= = = = = = =meh s

1TGK = 0TGK =

(a) (b)

Slika 2.5: Odskočni odziv pozicionog servomehanizma, a) sa diferencijalnom povratnom spregom, b) bez diferencijalne povratne sprege

Sa ovih slika se jasno vidi šta je doprinos a šta nedostatak diferencijalne povratne sprege. Prisustvo diferencijalne povratne sprege ne dozvoljava pojavu preskoka, ali zato i usporava sistem. Primetite da je u trenutku odziv sistema bez diferencijalne sprege značajno manji nego odziv sistema sa diferencijalnom spregom, što govori o brzini reakcije na pobudu. Drugi zanimljivi rezultat jeste ponašanje ovog sistema u slučaju pojave promenljivog momenta opterećenja kakvo smo modelirali u priči o brzinskom servomehanizmu. Na slici 2.6.a je prikazan promenljivi momenat opterećenja koji je do trenutka jednak nuli a iza toga postaje 0.2 Nm. Na slici 2.6.b je prikazan odziv sistema, dakle ugao ako je na ulazu sistema jedinični odskočni signal uz pretpostavku da je pojačanje , dok je na slici 2.6.c prikazan odziv istog sistema uz izmenu . Ponovo se uočava da ovakva povratna sprega ne može u potpunosti da eliminiše uticaj promenljivog poremećaja, ali je očigledno da se pojačanje u povratnoj sprezi može povećati i na taj način umanjiti

2.5t = s

s10t =2Θ

1 1A = 2 10A =

uticaj ovog poremećaja. O tome kako se uticaj konstantnog poremećaja može eliminisati biće reči kasnije, kada budemo govorili o linearnim zakonima upravljanja ili regulacije.

(a) (b) (c)

Slika 2.6: a) Promenljivi poremećaj; b) Odziv sistema za 1 1A = ; c) Odziv sistema za 1 10A = 5. Dvofazni naizmenični servomotor Dvofazni naizmenični servomotor je mašina naizmenične struje. Rotor motora je uobičajeno kratko spojen, dok se na statoru nalaze dve faze, koje se napajaju naizmeničnim naponom. Jedna faza se naziva fiksnom i amplituda i fazni pomak njenog napajanja je fiksna, dok se druga faza naziva kontrolnom. Promenom amplitude napona na kontrolnoj fazi se menja brzina okretanja osovine rotora. Sa povećanjem amplitude napona na kontrolnoj fazi povećava se brzina okretanja motora i obrnuto. Važno je da naponi na kontrolnoj i fiksnoj fazi budu fazno pomereni za / 2π+ ili

/ 2π− . Promenom znaka ove fazne razlike menja se smer okretanja osovine rotora. Ukoliko se u okruženju motora raspolaže samo sa jednim izvorom naizmeničnog napona, drugi izvor koji je fazno pomeren za / 2π se dobija na osnovu redne ili paralelne veze sa kondenzatorom odgovarajuće kapacitivnosti. Na slici 2.7.a je prikazana šematska oznaka dvofaznog naizmeničnog servomotora, dok je na slici 2.7.b prikazana tipična statička karakteristika motora, koja pokazuje zavisnost zavisnost pokretačkog momenta od amplitude napona kontrolne faze i brzine okretanja osovine rotora.

( )fu t

( )cu t

~

~

M

nsn

1cU

3 2 1c c cU U U> >

3cU

2cU

(a) (b)

Slika 2.7: a) šematski prikaz dvofaznog naizmeničnog servomotora; b) statička zavisnost pokretačkog momenta od brzine okretanja osovine i amplitude kontrolnog napona

Statička karakteristika zavisnosti pokretačkog momenta, prikazana na slici 2.7.b, je najvažnija karakteristika motora. Sa nje se vidi da je pokretački momenat M nelinearna funkcija dve promenljive, brzine okretanje osovine n , koja se obično izražava u obrtajima u minuti, i amplitude kontrolnog napona. Isprekidanom elipsom na slici 2.7.b je prikazan uobičajen opseg rada dvofaznog naizmeničnog servomotora. Još je važno reći da se u uobičajenom opsegu rada, sa povećanjem

brzine okretanja osovine smanjuje pokretački momenat, i kada ova brzina postane jednaka nekoj vrednosti sn , koja se naziva sinhronom brzinom, tada pokretački momenat postaje jednak nuli, nezavisno od toga kolika je amplituda napona kontrolne faze. Sinhrona brzina je zapravo brzina okretanja kojom rotira magnetno polje u unutrašnjosti mašine i ova brzina je zavisna od učestanosti naizmeničnog napona napajanja i broja pari polova statorskog namotaja. Ukoliko želimo da modeliramo ponašanje dvofaznog naizmeničnog servomotora u okolini nominalnog rada, možemo poći od pretpostavke da je pokretački momenat nelinearna funkcija dveju promenljivih:

( ),cM M U n= (2.9)

Razvojem ove nelinearne funkcije u Tejlorov red oko nominalne vrednosti okarakterisane nominalnom brzinom , nominalnom amplitudom kontrolne faze i nominalnim momentom 0n 0cU

0M :

( ) (0 0c cc

M M )0M M U U nU n

n∂ ∂= + − + −

∂ ∂ (2.10)

Vrednosti ovih parcijalnih izvoda, u okolini nominalne (takozvane radne) tačke mogu se odrediti na osnovu slike 2.8. koja predstavlja uvećani segment sa slike 2.7.b.

M

n

0M

0n

0cUcU

0n n+ ∆

0 1M M+ ∆

0 2M M+ ∆

Slika 2.8: Uvećani segment statičke karakteristike dvofaznog naizmeničnog servomotora

Parcijalni izvodi iz jednačine (2.10) se aproksimativno mogu izraziti na sledeći način:

1

0

0Mc c c

MM KU U U

∆∂≈ = >

∂ − (2.11)

i

'2 0mMM C

n n∆∂

= = − <∂ ∆

(2.12)

Mi ćemo uobičajeno brzinu okretanja osovine izražavati u radijanima po sekundi, pa ćemo umesto konstante koristiti konstantu '

mC

(2.13) ' 2 / 60m mC C π=

tako da konačno relacija (2.10) dobija formu:

0 M c mM M M K U C mω− = ∆ = ∆ − ∆ (2.14)

Dobijena relacija je linearna, ali nikako ne treba zaboraviti da ona opisuje ponašanje oko radne tačke, dakle ona uspostavlja vezu između priraštaja pokretačkog momenta, priraštaja brzine

okretanja motora i priraštaja amplitude kontrolne faze. Uzmemo li u obzir i jednačinu mehaničke ravnoteže po kojoj pokretački momenat mora biti jednak zbiru otpornih momenata:

( ) ( ) ( )e e mM s J s F sω= + (2.15)

gde su sa i eJ eF označeni ekvivalentni momenat inercije i ekvivalentni koeficijent viskoznog trenja na osovini rotora, dobija se relacija

( ) ( ) ( ) ( )M c m m e e mK U s C s J s F sω∆ − ∆ = + ∆ω (2.16)

Ova relacija nam daje mogućnost da formiramo količnik

( )( )

m M

c e e

s KU s J s F Cω∆

=∆ + m+

(2.17)

U literaturi se često ovaj količnik naziva funkcijom prenosa dvofaznog naizmeničnog servomotora, pa se često u oznaci šta ovaj količnik predstavlja i zaboravlja simbol ∆ koji označava priraštaja pojedinih fizičkih veličina, ali ne treba zaboraviti da je dobijena relacija izvedena pod pretpostavkom malih odstupanja od nominalnog režima rada. Sledeći dijagram pokazuje na koji način se dobijena funkcija prenosa može koristiti u cilju modeliranja motora.

( ) Mm

e e m

KG sJ s F C

=+ +

0cU

cU +

−++

n∆

0n

ncU∆

Slika 2.9: Ilustracija primene linearizovanog modela dvofaznog motora

Takođe ne treba zaboraviti da dobijeni linearni model važi samo u bliskoj okolini nominalnog režima. U cilju ilustracije ove činjenice izvršena je sledeća simulacija. Pretpostavimo da je za jedan dvofazni naizmenični servomotor nominalna radna tačka sa sledećim parametrima

0 0100 , 300 /mM Nm rad sω= = i . Takođe, pretpostavimo da je u okolini ove radne tačke pokretački momenat motora nelinearna funkcija definisana sledećom relacijom:

0 220cU = V

( ) (18438, sin / 350300c m m

c

M UU

ω ω=−

)π (2.18)

Prethodno opisanim postupkom dobili bi se sledeći parametri linearizovanog modela:

220300

1.25Cm

MUC

MKU

ω==

∂= =∂

i 220300

1.864Cm

mUm

MCω

ω ==

∂= − =

∂. Zanimljivo je proveriti i uporediti rezultate

simulacije ponašanja sistema, kada je on simuliran prema nelinearnoj relaciji (2.18) i prema linearizovanom modelu sa slike 2.9. Usvojeno je, takođe, 1, 1/ 3e eJ F= = .

Slika 2.10 prikazuje ove rezultate. Na slici 2.10.a je prikazana promena amplitude napona kontrolne faze, i vidi se da u prvih deset sekundi ova amplitude varira oko nominalne vrednosti

, u narednih deset sekundi ove varijacije su 5V± 20V± i u poslednjih deset sekundi ove varijacije su najveće i iznose . Na slici 2.10. b su prikazani odzivi nelinearnog i linearizovanog sistema. Vidi se da su u prvih deset sekundi ovi odzivi gotovo identični, jer se sistem zaista nalazi u blizini radne tačke i linearizacija je kvalitetna. Narednih deset sekundi razlika između nelinearnog i linearizovanog modela postaje vidljiva dok u poslednjih deset sekundi razlika postaje značajna.

40V±

(a) (b)

Slika 2.10: a) promena amplitude napona kontrolne faze; b) odziv brzine osovine rotora dobijen na osnovu nelinearnog i linearnog modela motora

6. Selsinski pozicioni servomehanizam Selsin je mašina naizmenične struje i služi za pretvaranje ugaonog signala u naponski signal. Stator mašine ima tri namotaja koji mogu biti vezani u zvezdu ili trougao, dok na rotoru postoji samo jedan namotaj. Na slici 2.11.a je prikazana principijelna pema selscina dok je na slici 2.11.b data njegova šematska oznaka.

rU

1S

2S

3S

~

Θ

1R

2R

1R

2R

1S2S

3S

Θ

(a) (b)

Slika 2.11: a) principijelna šema selsina; b) šematska oznaka Zanimljivo je da ukoliko krajeve rotora napajamo naizmeničnim naponom konstantne amplitude na statorskim namotajima će se indukovati elektromotorne sile iste učestanosti, ali će amplituda ovih elektromotornih sila zavisiti od ugla

rUΘ , odnosno od relativnog položaja koji rotor

zauzima prema pojedinim statorskim namotajima. Ukoliko pretpostavimo da položaj 0=Θ predstavlja položaj rotora u kome se maksimalna elektromotorna sila indukuje na drugom selsinskom namotaju, iz uslova geometrijsko relativnog položaja statorskih namotaja na njima će se indukovati elektromotorne sile sledećih amplituda:

( )( )( )3/2cos

cos3/2cos

max3

max2

max1

π

π

+Θ=Θ=−Θ=

UUUUUU

s

s

s

(2.19)

Ukoliko se dva selsina vežu u takozvanu indikatorsku spregu, kakva je prikazana na slici 2.12., dobiće se zanimljivo svojstvo, koje omogućava da se ugaone vrednosti mogu transformisati u naponski signal.

1R

2R

1Θ

'1R

'2R

1S

2S

3S

2Θ

~

Slika 2.12: Indikatorska sprega dva selsina

Selsin na levoj strani indikatorske sprege se naziva predajnim selsinom, dok se selsin na desnoj strani naziva prijemnim selsinom. Očigledno je da se u indikatorskoj sprezi dva selsina rotor predajnog selsina napaja naizmeničnim naponom, statorski namotaji su im kratko spojeni dok su rotorski namotaji prijemnog selsina otvoreni. Princip funkcionisanja sprege je sledeći. Usled prisustva magnetnog polja u unutrašnjosti predajnog selsina, na njegovim statorskim namotajima se indukuju elektromotorne sile čije amplitude zavise od položaja rotora u odnosu na statore, odnosno od ugla . Kako su statorski namotaji predajnog i prijemnog selsina kratko spojeni, ove elektromotorne sile se prenose na statorske namotaje prijemnog selsina, i sada se u njegovoj unutrašnjosti generiše magnetno polje koje indukuje elektromotornu silu u rotorskom namotaju prijemnog selsina čiji su krajevi označeni sa . Vrednost ove elektromotorne sile zavisi od položaja rotora prijemnog selsina, odnosno ugla

1Θ

'2

'1RR

2Θ , međutim intuitivno se može pretpostaviti, a detaljnijom analizom raspodele polja i dokazati, da je indukovana elektromotorna sila na rotoru prijemnog selsina maksimalna ukoliko su uglovi 1Θ i 2Θ jednaki. Kako ova zavisnost mora imati trigonometrijski, periodičan karakter, pokazuje se da je zapravo vrednost amplitude naizmeničnog napona indukovanog na rotoru prijemnog selsina kosinusna funkcija razlike ova dva ugla:

( )21max cos'2

'1

Θ−Θ=UURR

(2.20)

Ukoliko se referentna osa prijemnog selsina pomeri za ugao 2/π , poslednja relacija dobija sinusnu zavisnost:

( )21max sin'2

'1

Θ−Θ=UURR

(2.21)

a za malu razliku uglova 21 Θ≈Θ u važnosti je sledeća aproksimacija

( )21max'2

'1

Θ−Θ=UURR

(2.22)

Na taj način se merenjem amplitude napona može dobiti informacija o razlici ova dva ugla.

Indikatorska sprega selsina se tako jednostavno može iskoristiti za konstrukciju pozicionog servomehanizma gde će on imati zadatak da razliku između željenog i trenutnog ugla osovine konvertuje u električni signal. Takav servomehanizam se naziva selsinski pozicioni servomehanizam i prikazan je na slici 2.13. i u njemu je kao izvršni organ upotrebljen dvofazni naizmenični servomotor. Na rotoru prijemnog selsina se generiše prostoperiodičan napon čija je amplituda proporcionalna razlici između zadatog i trenutnog ugla. Taj se napon pojačava pomoću diferencijalnog pojačavača i dovodi na krajeve kontrolne faze dvofaznog motora.

'2

'1RR

U

1Θ 2Θ

~ A N/1 00 , FJ2Θ

Slika 2.13: Selsinski pozicioni servomehanizam

7. Pojam funkcije povratnog i spregnutog prenosa, Mejsonovo pravilo Za sistem čiji je strukturni blok dijagram prikazan na slici 3.1. kažemo da je sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom.

( )W s( )r t ( )e t ( )c t

+−

Slika 3.1: Strukturni blok dijagram sistema sa jediničnom povratnom spregom

Signal se naziva referentnim signalom, signal ( )r t ( )e t je signal greške dok je signal izlazni

signal sistema. Funkcija prenosa koja definiše količnik Laplace-ovih transformacija signala na izlazu i signala greške:

( )c t

( )W s

( ) ( )( )

C sW s

E s= (3.1)

se naziva funkcija spregnutog prenosa (u anglosaksonskoj literaturi se koristi termin 'open loop transfer function' ). Funkcija prenosa koja definiše količnik Laplace-ovih transformacija izlaznog i referentnog signala:

( )( )

( )( ) ( )

1C s W s

G sR s W s

= =+

(3.2)

se naziva funkcija spregnutog prenos (u anglosaksonskoj literaturi se koristi termin 'closed loop transfer function'). Konačno, često nam je od interesa funkcija prenosa koja pokazuje kako referentni signal utiče na signal greške:

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )1

1 e

E s E s C sG s

R s C s R s W s= = =

+ (3.3)

Ova funkcija prenosa se naziva funkcijom spregnutog prenosa po signalu greške. Podsetimo se da funkcija prenosa postoji samo za linearne, vremenski invarijantne siseme i da se definiše kao količnik Laplace-ovih transformacija signala na izlazu i ulazu, pod pretpostavkom da je sistem bio relaksiran, odnosno da su sva početna stanja sistema bila jednaka nuli. Svi do sada razmatrani sistemi su bili sa jednim ulazom i jednim izlazom (Single Input Single Output) i tada je logično da je kompletan opis sistema dat jednom skalarnom funkcijom prenosa. U slučaju da sistem ima više ulaza ( ) ( ) ( )1 2, ,..., ru t u t u t i jedan izlaz ( )y t (u anglosaksonskoj literaturi se koristi termin Multiple Input Multiple Output), sistem se mora opisati matricom vrstom funkcija prenosa:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1

21 2 r

r

U s

U sY s G s G s G s

U s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎡⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.4)

pri čemu član govori o doprinosu i-tog ulaznog signala izlazu sistema. Matematički strogo govoreći, ovaj član se može definisati na sledeći način:

( )iG s

( ) ( )( )

1 1 10,..., 0, 0,..., 0i i r

ii u u u u

Y sG s

U s− += = = =

= (3.5)

Drugim rečima, član ( )iG s predstavlja količnik Laplasovih transformacija izlaza sistema i i-tog ulaznog signala pod pretpostavkom da su svi ostali ulazni signali identički jednaki nuli. Analogno tome, ukoliko sistem ima samo jedan ulaz ( )u t i m izlaznih signala

, takav sistem se može opisati matricom kolonom funkcija prenosa: ( ) ( )1 ,..., my t y t

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

1 1

2 2

m m

Y s G s

Y s G sU s

Y s G s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.6)

pri čemu se član definiše prema sledećoj relaciji: ( )iG s

( ) ( )( )

, 1, 2,...,ii

Y sG s i m

U s= = (3.7)

Za ovakve sisteme se koristi termin Single Input Multiple Output. Konačno, za sistem sa više, recimo r ulaznih signala i više, recimo m, izlaznih signala, u cilju njegove deskripcije moramo formirati matricu funkcija prenosa koja ima vrsta koliko i izlaznih signala a kolona koliko i ulaza:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 111 12 1

2 21 22 2 2

1 2

r

r

m m mrm r

Y s U sG s G s G sY s G s G s G s U s

G s G s G sY s U s

⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢=⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.8)

pri čemu se član iz i-te vrst i j-te kolone ( )ijG s može definisati kao sledeći količnik:

( ) ( )( )

1 1 10,..., 0, 0,..., 0j j r

iij

j u u u u

Y sG s

U s− += = = =

= (3.9)

Za ovakve multivarijabilne sisteme se u anglosaksonskoj literaturi uobičajeno koristi termin Multiple Input Multiple Output. Mason-ovo pravilo Mason-ovo pravilo je jedan vrlo jednostavan postupak za izračunavanje funkcije prenosa (ili matrice funkcija prenosa u slučaju multivarijabilnih sistema) ukoliko je sistem predstavljen strukturnim blok dijagramom. Ilustraciju primene ovog pravila ćemo izvršiti na osnovu sistema sa dva ulaza i jednim izlazom čiji je strukturni blok dijagram na slici 3.2. Prvi korak u primeni Mason-ovog pravila jeste da se na osnovu dobijenog strukturnog blok dijagrama formira graf toka signala u kome će čvorovi grafa predstavljati karakteristične signale strukturnog blok dijagrama, a grane treba da predstavljaju veze između pojedinih signala. Uobičajeno je da se za čvorove grafa usvoje ulazni i izlazni signali, signali koji se dobijaju iza sabirača i signali koji se multipliciraju. Usvajajući za čvorove grafa

signale i f kako je to prikazano na slici 3.2., dobija se graf toka signala na slici 3.3.

1 2, , , , , , ,u u y a b c d e

( )1u t

( )2u t ( )1G s

( )3G s

( )2G s

( )H s

( )y t+ + +

+

− − −

−

++

Slika 3.3: Primer strukturnog blok dijagrama sistema sa dva ulaza i jednim izlazom

1ua b

2u

c dy

ef

1

( )H s−

1

1

1−

1

1−

( )2G s

( )1G s

1

1

1−

( )3G s

Slika 3.4: Graf toka signala sistema sa slike 3.3

Sledeći korak je da se odrede sve konture grafa i ukupno pojačanje kontura. Pod konturom podrazumevamo sekvencu grana koje počinju i završavaju u istoj tački pri čemu se poštuje orijentacija grana. Pojačanje konture se računa kao proizvod pojačanja svih grana koje čine konturu. U dobijenom grafu toka signala krije se šest kontura sa odgovarajućim pojačanjima:

1. kontura: cdc, pojačanje je ( )1 2G s∆ = −

2. kontura: fef, pojačanje je ( )2 3G s∆ = −

3. kontura: bcdyefb, pojačanje je ( ) ( )3 2 3G s G s∆ = −

4. kontura: byefb, pojačanje je ( ) ( )4 1 3G s G s∆ = −

5. kontura: abcdya, pojačanje je ( ) ( )5 2G s H s∆ = −

6. kontura: abya, pojačanje je ( ) ( )6 1G s H s∆ = −

Sada je potrebno formirati determinantu grafa ( )s∆ koja se računa po sledećoj formuli:

(3.10) ( ), , ,

1 ...i i j i j ki i j i j k

s∆ = − ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ +∑ ∑ ∑

pri čemu se u prvoj sumi računaju sve konture, odnosno njihova pojačanja. Druga suma sabira proizvode svih parova kontura koje se ne dodiruju, treća suma uzima u obzir sve triplete kontura koje se ne dodiruju i tako dalje. Podrazumevamo da se dve konture dodiruju ukoliko imaju bar jedan zajednički čvor. Shodno tome, determinanta posmatranog grafa postaje:

( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2 1 4 1 6 2 5 2 6 1 21s∆ = − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ −∆ ∆ ∆6 (3.11)

Sada je potrebno uočiti direktne putanje od ulaznih signala do izlaza i pri tome za svaku od tih direktnih putanja treba računati odgovarajuć pojačanje putanje i determinantu. Pojačanje putanje se dobija množenjem pojačanja svih grana koje čine putanju dok se determinanta putanje računa po istoj formuli kao determinanta celog grafa, ali uzimajući u obzir samo one konture koje ne dodiruju direktne putanje. Putanje od ulaza do izlaza y i odgovarajuće determinante su: 1u

1. dir. putanja: , pojačanje je 1u abcdy ( )11 2P G s= a determinanta 1

1 21∆ = −∆

2. dir. putanja: , pojačanje je 1u aby ( )21 1P G s= a determinanta ( )2

1 1 21 1 2∆ = − ∆ + ∆ + ∆ ∆ Putanje od ulaza do izlaza y i odgovarajuće determinante su: 2u1. dir. putanja: , pojačanje je 2u bcdy ( )1

2 1P G s= a determinanta je 12 21∆ = −∆

2. dir. putanja: , pojačanje je 2u by ( )22 1P G s= , a determinanta je ( )2

2 1 21 1 2∆ = − ∆ + ∆ + ∆ ∆ Konačno, moguće je formirati matricu vrstu funkcija prenosa, jer je u pitanju sistem sa dva ulaza i jednim izlazom na sledeći način:

( )( )( )

1 1 2 2 1 1 2 211 1 1 1 2 2 2 2

2

U sP P P PY sU s

⎡ ⎤⎡ ∆ + ∆ ∆ + ∆=

⎤⎢ ⎥⎢ ∆ ∆ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.12)

Uočimo da je imenilac u svakom članu matrice vrste funkcije prenosa isto i jednako determinanti grafa. U brojiocima treba da se nalazi zbir proizvoda pojačanja direktnih putanja i odgovarajućih determinanti za sve direktne putanje koje vode od posmatranog ulaznog signala do izlaza. Ovo je pravilo koje važi za svaki sistem nezavisno od broja ulaznih i izlaznih signala. 8. Karakterizacija kontinualnih sistema u stacionarnom stanju Pod pretpostavkom da je kontinualan, linearan, vremenski nepromenljivi sistem stabilan (studentima je pojam BIBO stabilnosti poznat) u odzivu sistema mogu se razaznati dve različite prirode ponašanja. Izračunati odziv jednog ovakvog sistema je ekvivalentno rešiti odgovarajuću diferencijalnu jednačinu. Kao što prilikom rešavanja linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima rešenje čine dva sabirka, jedno potiče od takozvane homogene diferencijalne jednačine i njoj odgovarajuće homogeno rešenje, dok je drugi sabirak takozvano partikularno rešenje. Ako je sistem koji opisuje ta diferencijalna jednačina stabilan, tada će posle izvesnog vremena homogeno rešenje da isčezne, i ukupno rešenje diferencijalne jednačine će biti diktirano isključivo partikularnim rešenjem. Na sličan način, posmatranjem karakterističnog odziva sistema na jediničnu odskočnu pobudu (slika 3.5) moguće je uvideti početni period u kome homogeno rešenje isčezava i docniji period u kome je partikularno rešenje dominantno. Na ovoj slici se vidi da do desete-jedanaeste sekunde homogeni deo rešenja diferencijalne jednačine dominira u odzivu, a već iza toga odziv počinje da liči na pobudni signal, što znači da je homogeni deo u najvećoj meri isčezao i da je u odzivu sistema dominantni član postao partikularno rešenje. Prilikom analize i sinteze sistema, postavljaju se posebni kriterijumi i zahtevi na ponašanje sistema i u prelaznom režimu, takozvanom tranzijentu, ali i na svojstva sistema u stacionarnom, ili ustaljenom stanju. Sada ćemo analizirati ponašanje sistema u stacionarnom stanju.

Slika 3.5: Karakterističan odziv sistema na jediničnu odskočnu pobudu

Prilikom analize i karakterizacije sistema u stacionarnom stanju, moramo biti sigurni da je tranzijent isčezao, i zbog toga se uglavnom pretpostavlja da je vremenska varijabla beskonačno velika . U cilju ovakve analize pretpostavimo da smo na ulaz sistema, koji je realizovan kao sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom (slika 3.1), doveli neke tipične vremenske oblike. Razmatraćemo tri posebna slučaja jediničnog odskočnog signala, jediničnog nagibnog signala i jediničnog paraboličnog signala.

(t →∞)

I Jedinični odskočni signal na ulazu sistema Pod pretpostavkom da je na ulaz sistema doveden jedinični odskočni signal ( ) ( )( )r t h t=

čija je Laplasova transformacija ( ) 1/R s = s , Laplasova transformacija signala greške , dobija sledeći oblik:

( )e t

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1E s R s

W s W s s= =

+ +1 1 (3.13)

Ukoliko, sada, primenimo drugu graničnu teoremu Laplasove transformacije, dobićemo vrednost signala greške u stacionarnom stanju, odnosno u beskonačnosti:

( ) ( ) ( ) ( )0 00

1 1 1lim lim1 1 lims s

s

e sE s sW s s W s→ →

→

∞ = = =+ +

(3.14)

Ne treba zaboraviti da je drugu graničnu teoremu Laplasove transformacije smisleno primeniti samo u slučaju da su singulariteti tipa polova kompleksne funkcije ( )E s u levoj poluravni s ravni. U kontekstu naše priče to je vrlo logičan uslov, jer samo ako su ovi polovi u levoj poluravni s ravni, naš će sistem biti stabilan, pa će prelazni režim vremenom isčeznuti. U protivnom, stacionarno stanje neće ni nastupiti. Dakle, podrazumevamo da je sistem stabilan, da stacionarno stanje postoji i sada analiziramo rezultat iz jednačine (3.14). Granična vrednost u imeniocu dobijenog razlomka se naziva konstanta pozicije ili poziciona konstanta u sledećoj oznaci:

( )0

limp sK W

→= s (3.15)

Vrednost konstante pozicije zavisi od prirode funkcije povratnog prenosa . Naime, ako, kao što je to uobičajeno, funkciju povratnog prenosa predstavimo kao realnu racionalnu funkciju u kojoj su stepeni polinoma u brojiocu i imeniocu m i n, respektivno

( )W s

( ) ( )( )

m

n

P sW s

Q s= (3.16)

i ako pretpostavimo da su ova dva polinoma uzajamno prosta, ključni detalj koji utiče na vrednost pozicione konstante jeste da li polinom u imeniocu ima nulu u koordinatnom početku (nuli) i kolika je višestrukost te nule. Ako pretpostavimo da je višestrukost nule polinoma jednak ( )nQ s ν , tada se funkcija povratnog prenosa može napisati u formi:

( ) ( )( ) ( ); 0m

mn

P sW s P

s Q sνν−

0= ≠ (3.17)

a koeficijent ν se naziva astatizmom sistema. Zavisno od reda astatizma sistema, konstanta pozicije uzima različite vrednosti:

( )0

00

; 0lim

; 1p s

pqK W s

ν

ν→

⎧ =⎪= = ⎨⎪∞ ≥⎩

(3.18)

gde je ( )0 0mp P= a , dakle u pitanju su najmlađi koeficijenti ovih polinoma. Shodno tome, vrednosti signala greške u beskonačnosti za jedinični odskočni signal na ulazu postaju:

( )0 0nq Q=

( ) 0

0

1 ; 01 1

10 ; 1

p

pe qK

ν

ν

⎧ =⎪⎪ +∞ = = ⎨+ ⎪⎪ ≥⎩

(3.19)

Na slikama 3.6.a i 3.6.b su prikazani odzivi sistema nultog i astatizma prvog reda za jediničnu odskočnu pobudu. Uobičajeno je da se za sisteme astatizma nultog tipa kaže da su statični.

(a) (b)

Slika 3.6: Jedinični odskočnivi sistema a) astatizma nultog reda; b) astatizma prvog reda Na slici 3.6.a je prikazan odskočni odziv sistema čija je funkcija povratnog prenosa

( ) 2

22 4

W ss s

=+ +

, dakle astatizma nultog reda, čija je konstanta pozicije , a vrednost

signala greške u beskonačnosti , pa je otuda stacionarna vrednost izlaznog signala

jednaka . Na slici 3.6.b je prikazan odskočni odziv sistema čija je funkcija povratnog

1/ 2pK =

( ) 2 / 3e ∞ =

( )1 e− ∞ =1/ 3

prenosa ( ) ( )2

22 4

W ss s s

=+ +

, dakle astatizma prvog reda, čija je konstanta pozicije pK = ∞ a

vrednost signala greške u beskonačnosti ( ) 0e ∞ = . II Jedinični nagibni signal na ulazu sistema Pod pretpostavkom da je na ulaz sistema doveden jedinični nagibni signal ( ) ( )( )r t th t= čija

je Laplasova transformacija ( ) 21/R s = s , Laplasova transformacija signala greške , dobija formu:

( )e t

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 11 1

E s R sW s W s s

= =+ +

1 (3.20)

Primenom druge granične teoreme Laplasove transformacije, dalje se dobija:

( ) ( ) ( ) ( )0 00

1 1 1lim lim1 lims s

s

e sE sW s s sW s→ →

→

∞ = = =+

(3.21)

Granična vrednost u imeniocu dobijenog razlomka se naziva brzinskom konstantom:

( )0

limv sK sW

→= s

=

(3.22)

I ponovo vrednost brzinske konstante i samim tim vrednost signala greške u beskonačnosti na jedinični nagibni signal na ulazu zavisi od astatizma sistema:

(3.23) ( ) 0 00

0, 0lim / ; 1

; 2v s

K sW s p qν

νν

→

=⎧⎪= = ⎨⎪∞ ≥⎩

gde je ponovo ( )0 0mp P= a ( )0 1 0nq Q −= . Shodno tome, vrednosti signala greške u beskonačnosti za jedinični nagibni signal na ulazu postaju:

( ) 0 0

, 01 / ;

0 ; 2v

e q pK

νν

ν

⎧ ∞ =⎪∞ = = =⎨⎪ ≥⎩

1 (3.24)

Na slikama 3.7.a, b i c su prikazani odzivi sistema nultog, prvog i drugog astatizma za jediničnu nagibnu pobudu.

(a) (b) (c)

Slika 3.7: Odzivi sistema na jediničnu nagibnu pobudu a) statički sistem; b) sistem astatizma prvog reda; c) sistem astatizma drugog reda

Na slici 3.7.a je prikazan odskočni odziv sistema čija je funkcija povratnog prenosa

( ) 2

22 4

W ss s

=+ +

, dakle astatizma nultog reda, čija je brzinska konstanta , a vrednost

signala greške u beskonačnosti . Na slici 3.7.b je prikazan odziv sistema čija je funkcija

povratnog prenosa

0vK =

( )e ∞ = ∞

( ) ( )2

22 4

W ss s s

=+ +

, dakle astatizma prvog reda, čija je brzinska konstanta

a vrednost signala greške u beskonačnosti 0.5vK = ( ) 2e ∞ = . Konačno, na slici 3.7.c je prikazan

odziv sistema čija je funkcija povratnog prenosa ( ) ( )2 2

2 22 4

sW ss s s

+=

+ + koja ima astatizam drugog

reda, sa brzinskom konstantom , koji dakle radi sa nultom greškom stacionarnog stanja. vK = ∞ III Jedinični parabolični signal na ulazu sistema Pod pretpostavkom da je na ulaz sistema doveden jedinični parabolični signal

( ) ( )212

r t t h t⎛ =⎜⎝ ⎠

⎞⎟ čija je Laplasova transformacija ( ) 31/R s = s , Laplasova transformacija signala

greške , dobija formu: ( )e t

( ) ( ) ( ) ( ) 3

1 11 1

E s R sW s W s s

= =+ +

1 (3.25)

Primenom druge granične teoreme Laplasove transformacije, dalje se dobija:

( ) ( ) ( ) ( )2 20 00

1 1 1lim lim1 lims s

s

e sE sW s s s W s→ →

→

∞ = = =+

(3.26)

Granična vrednost u imeniocu dobijenog razlomka se naziva konstantom ubrzanja:

( )2

0lima s

K s W→

= s

=

(3.27)

I ponovo vrednost konstante ubrzanja i samim tim vrednost signala greške u beskonačnosti na jedinični parabolični signal na ulazu zavisi od astatizma sistema:

(3.28) ( )20 00

0, 1lim / ; 2

; 3a s

K s W s p qν

νν

→

≤⎧⎪= = ⎨⎪∞ ≥⎩

gde je ponovo ( )0 0mp P= a ( )0 2 0nq Q −= . Shodno tome, vrednosti signala greške u beskonačnosti za jedinični parabolični signal na ulazu postaju:

( ) 0 0

, 11 / ;

0 ; 3a

e q pK

νν

ν

⎧ ∞ ≤⎪∞ = = =⎨⎪ ≥⎩

2 (3.29)

Na slikama 3.8.a i b su prikazani odzivi sistema astatizma prvog i drugog reda za jediničnu paraboličnu pobudu. Na slici 3.8.a je prikazan odskočni odziv sistema čija je funkcija povratnog

prenosa ( ) 2

2( 2 4

W ss s s

=+ + )

, dakle astatizma prvog reda, čija je konstanta ubrzanja 0aK = , a

vrednost signala greške u beskonačnosti ( )e ∞ = ∞ . Na slici 3.8.b je prikazan odziv sistema čija je

funkcija povratnog prenosa ( ) ( )2 2

2 22 4

sW ss s s

+=

+ +, dakle astatizma drugog reda, čija je konstanta

unbrzanja a vrednost signala greške u beskonačnosti 0.5aK = ( ) 2e ∞ = .

(a) (b) Slika 3.8: Odzivi sistema na jediničnu paraboličnu pobudu a) sistem astatizma prvog reda; b) sistem

astatizma drugog Primetimo da su imena konstanti , i krajnje logična. Konstanta pozicije govori o tome sa kakvom greškom sistem radi u stacionarnom stanju ukoliko od njega očekujemo da izlazni signal drži na konstantnoj poziciji. Brzinska konstanta nam govori o grešsci u stacionarnom stanju ukoliko izlazni signal treba da se menja konstantnom brzinom i konačno konstanta ubrzanja je vezana za promenu referentnog signala sa konstantnim drugim izvodom (ubrzanje). Ovakvu analizu bismo

mogli nastaviti tako što na ulaz sistema dovodimo signale

pK vK aK

( ) ( )1 , 3,4,...!

nr t t h t nn

= = , međutim

rezultati koje bismo dobili bi bili prilično neupotrebljivi. Naime, vidimo da sa uvođenjem reference sve većeg i većeg reda, dobijamo zahtev da astatizam sistema bude sve viši. Sa druge strane, povećanje reda astatizma sistema značajno ugrožava stabilnost, te pitanje stacionarnog stanja postaje bespredmetno. Uobičajeno je da se operiše sa sistemima koji imaju red astatizma najviše tri, mada, teorijski gledano, već za sisteme astatizma trećeg reda stabilnost može biti samo uslovna, što ćemo kasnije detaljnije analizirati. Generalisane konstante greške Analizi greške u stacionarnom stanju se može prići i na drugi način. Naime, znajući čemu je jednaka funkcija spregnutog prenosa po signalu greške, Laplasova transformacija signala greške za proizvoljni referentni signal se može napisati u formu:

( ) ( ) ( )11

E sW s

=+

R s (3.30)

Ukoliko funkciju spregnutog prenosa po signalu greške razvijemo u Tejlorov red oko tačke 0s = , dobija se izraz:

( ) ( )20 1 2E s C C s C s R s⎡= + + +⎣ ⎤⎦ (3.31)

pri čemu je

( ) ( ) ( )0 1

0 0 0

1 1 1 1, , , 0,1,...1 1 ! 1

i

i is s s

d dC C C iW s ds W s i ds W s

= = =

= = =+ + +

= (3.32)

Primenjujući inverznu Laplasovu transformaciju na relaciju (3.31) dobija se:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2e t C r t C r t C r t= + + + (3.33)

pa se primenom graničnog procesa t , dobija stacionarna vrednost signala greške: →∞

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2e C r C r C r∞ = ∞ + ∞ + ∞ + (3.34)

Koeficijenti se nazivaju generalisane konstante greške. Pri tome se može uspostaviti njihova veza sa već definisanim konstantama pozicije, brzinske konstante i konstante ubrzanje. Naime, ako pretpostavimo da je referentni signal jedinični odskočni signal, na osnovu relacije (3.34) i (3.19) možemo pisati:

0 1, ,..C C .

( ) 00

1 11 p

p

e C KK C

∞ = = ⇒ = −+

1 (3.35)

Slično tome, ako pretpostavimo da je referentni signal jedinični nagibni signal, dobija se veza:

( ) ( )0 11

v

e C r CK

∞ = ∞ + = (3.36)

Poslednja relacija nam govori da je za sisteme statičkog tipa 0vK = a , dok je za sisteme

astatizma prvog reda

0 0C ≠

0 110, 0

v

C CK

= = ≠ . Konačno za sisteme astatizma većeg od jedan u važnosti

su relacije . 0 10, 0, vC C K= = = ∞

9. Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi mogu analizirati (vremenski, frekvencijski ili kompleksni). U okviru ovog izlaganja biće definisana većina ovih parametara i biće objašnjena priroda njihovog uticaja na karakter prelaznog režima, dok će na kraju ovog odeljka biti izvedena funkcionalna veza za neke od njih. Karakteristični parametri iz vremenskog domena Kada se karakteriše prelazni režim sistema, uobičajeno je da se posmatra jedinčni odskočni odziv relaksiranog sistema, dakle sistema čiji su svi početni uslovi bili jednaki nuli. Jedan takav, karakterističan odskočni odziv prikazan je na slici 4.1.

[ ]sect

( )y t

( )y ∞

( )0.9y ∞

( )0.1y ∞

0.1t 0.9t tΠ0.5t

( )0.5y ∞

sT

yΠ

( )0.04y ∞

Slika 4.1: Tipičan odskočni odziv relaksiranog sistema

Pod pretpostavkom da smo sa označili jedinični odskočni odziv sistema, moguće je uočiti neke karakteristične tačke na dijagramu prikazanom na slici 4.1. Prvo, sa je označena vrednost odziva sistema u stacionarnom stanju. Dalje, sa je označen vremenski trenutak u kome odskočni odziv ima svoj maksimum a sa je označen vrednost tog maksimuma:

( )y t( )∞y

Πt

Πy

( ) ( ) Π∞<≤ΠΠ == ytytytt0

max: (4.1)

Na osnovu ovog parametra moguće je definisati prvu važnu karakteristiku prelaznog režima u sistemu koja se naziva preskok. Preskok se obeležava sa Π , obično se izražava u procentima a definiše na sledeći način:

( )( ) %100∞∞−

=Π Π

yyy (4.2)

Jasno je da je prilikom projektovanja sistema cilj da preskok bude što je moguće manji, jer je on indikator velikih, neželjenih iako prigušenih oscilacija u sistemu. Vrednost preskoka za stabilne sisteme može uzeti vrednosti u intervalu %, pri čemu već preskok os 100% indicira da je sistem na granici stabilnosti, o čemu će biti reči kasnije. Takođe, veći preskok ima za posledicu i

)100,0[

veću brzinu sistema, što je dobra osobina, tako da se prilikom projektovanja sistema upravljanja mora tražiti kompromis između ova oprečna zahteva. Druga važna karakteristika prelaznog režima, a koja se uočava na osnovu vremenskog odziva sistema, jeste vreme kašnjenja. Vreme kašnjenja sistema se obično obeležava sa ili , u literaturi na našem jeziku, i predstavlja trenutak kada odskočni odziv sistema dostigne 50% svoje vrednosti u stacionarnom stanju:

5.0t kT

( ) ( )∞= yTyT kk 5.0: (4.3)

Sledeća važna karakteristika sistema jeste vreme uspona sistema koje se obično definiše kao vreme koje protekne od trenutka kad odziv dostigne 10% do trenutka kada dostigne 90% svoje vrednosti u stacionarnom stanju. Obično se obeležava sa u literaturi na engleskom ili u literaturi na našem jeziku i formalno se definiše na sledeći način:

rT uT

( ) ( ) ( ) ( )∞=∞=−= ytyytyttTu 9.0,1.0; 9.01.01.09.0 (4.4)

Vreme kašnjenja i vreme uspona su dva parametra koja su direktno vezana za brzinu odziva sistema i obrnuto su proporcionalna preskoku. Što je preskok veći to su ove dve vremenske konstante manje i obrnuto. Na slici 4.2 su prikazana jedinična odskočna odziva dva različita sistema.

Slika 4.2: Odzivi sistema sa različitim preskocima i vremenima uspona

Preciznim izračunavanjima trenutaka i za ove sisteme dobija se da je vreme uspona za sistem a a za sistem b

9.0,5.01.0 , ttt ΠtsTua 66,1= 2.1=ubT s, da su vremena kašnjenja i sTka 29.1= sTkb 13.1= ,

dok su odgovarajući preskoci i %3.16=Πa %6.52=Πb . Dobijeni rezultati zaista potvrđuju da je za sisteme sa većim preskokom karakterističan brži odziv, dakle kraće su vremenske konstante uspona i kašnjenja. Vrlo često se koristi jedna inženjerska aproksimacija koja kaže da je proizvod vremena uspona i učestanosti propusnog opsega sistema konstantna veličina između 0.3 i 0.4:

4.03.00 ÷≈fTu (4.5)

Dakle, za sistem a bi propusni opseg bio oko 0.21Hz, dok bi propusni opseg sistema b iznosio oko 0.29Hz. Naravno, ovo su samo aproksimativne vrednosti, a analitički postupak za izračunavanje propusnog opsega sistema biće objašnjen kasnije. Sledeći važan parametar koji se koristi za opisivanje rada sistema u prelaznom režimu jeste vreme smirenja . Vreme smirenja jeste vremenski trenutak iza koga oscilacije odziva oko stacionarne vrednosti ne prelaze 2% (ponekada se koristi prag 5%) te stacionarne vrednosti. Na slici 4.1.su prikazane dve isprekidane linije, paralelne sa vremenskom osom, na vrednosti od 0.98 i 1.02 . Vreme smirenja je trenutak kada odziv sistema uđe u ovako definisane

sT

( )∞y ( )∞y

gabarite i više ne preseca navedene prave. Egzaktna definicija vremena smirenja je da je to najmanja vremenska konstanta koja zadovoljava sledeće svojstvo:

( ) ( ) ( ) ( )∞≤∞−≥∀ yytyTtT ss 02.0: (4.6)

Postoje još dva vremenska pokazatelja ponašanja sistema u prelaznom režimu, i ona se najbolje mogu sagledati na osnovu vremenskog odziva prikazanog na slici 4.3.

( )ta aσ−+ exp1

( )ta aσ−− exp1

τ

Slika 4.3: Odskočni odziv sistema i odgovarajuće anvelope

Odzivi sistema na odskočni signal imaju formu kakva je prikazana na slici 4.3. Ta je forma takva da se jednostavno mogu postaviti eksponencijalne anvelope koje obuhvataju odziv sa gornje i donje strane. Analitički oblici anvelopa su dati na slici 4.3 a recipročna vrednost parametra aσ ima značajnu ulogu u karakterizaciji ponašanja sistema i naziva se dominantna vremenska konstanta u oznaci : dT

a

dTσ1

= (4.7)

Dominantna vremenska konstanta sistema je obično tri do pet puta manja od vremena smirenja. Konačno, u odzivu sistema se uobičajeno pojavljuju prigušene oscilacije, čija je perioda τ prikazana na slici 4.2. Ovaj parametar se naziva periodom prigušenih oscilacija i takođe se ponekada koristi za karakterizaciju sistema. Karakteristični parametri iz frekvencijskog domena Sledeći skup parametara koji se koristi za opisivanje ponašanja sistem u vremenskom domenu generiše se iz frekvencijskih karakteristika. Ukoliko nam je poznata funkcija prenosa sistema , smenom ( )sG ωjs = dobija se funkcija ( )ωjG koja ima svoj moduo i svoju fazu:

( ) ( ) ( ) argj G jG j G j e ωω ω= (4.8)

Dijagrami na kojima se prikazuju zavisnosti modula i faze od učestanosti ω nazivaju se amplitudskom i faznom frekvencijskom karakteristikom. Na slikama 4.4.a i 4.4.b su prikazane amplitudska i fazna frekvencijska karakteristika jednog sistema NF (niskofrekventnog) tipa. Frekvencijske karakteristike koje se najčešće sreću u teoriji sistema i upravljanja i jesu niskofrekventnog tipa. Ne treba zaboraviti šta je fizičko značenje frekvencijskih karakteristika. One nam govore o tome kako se sistem ponaša ako se na njegov ulaz dovede prostoperiodični signal određene učestanosti. Primera radi, ako posmatramo sistem čija je funkcija prenosa ( ) ( 4/2 += )ωω jjG i ako na njegov ulaz dovedemo prostoperiodični signal , posle ( ) ( )ttx 7sin3=

prelaznog režima na izlazu sistema će se generisati takođe prostoperiodični signal ( ) ( )ϕ+= tYty 7sin , pri čemu je ( )jGY 73= i ( ) jG 7arg=ϕ .

Takođe, posle ovog primera je jednostavno zaključiti da frekvencijske karakteristike imaju smisla ukoliko je sistem stabilan, jer inače prelazni režim nikada ne prestaje, pa i fizičko tumačenje značenja frekvencijskih karakteristika ne postoji.

Slika 4.4: Amplitudska i fazna frekvencijska karakteristika niskofrekvencijskog tipa Prvi parametar koji je izuzetno važan za ponašanje sistema, a čita se sa frekvencijskih karakteristika, jeste propusni opseg sistema. Zavisno od toga da li su frekvencijske karakteristike crtane u funkciji učestanosti ili kružne učestanosti, propusni opseg se obeležava sa ili 0f 0ω i izražava u Hercima ili radijanima u sekundi. Za sisteme NF tipa propusni opseg se definiše kao ona učestanost na kojoj je amplitudska karakteristika 2 puta manja u odnosu na njenu vrednost na nultoj učestanosti:

( ) ( )02

1: 00 jGjG =ωω (4.9)

Propusni opseg (u nekim udžbenicima se obeležava sa B od engleske reči bandwidth) je izuzetno važna osobina sistema. On nam govori o brzini odziva sistema. Ako želimo da aproksimativno, bez analitičkog računa, procenimo koliki je propusni opseg jednog sistema, treba da se zapitamo koliko puta je taj sistem u stanju da u jednoj sekundi promeni smer kretanja fizičkih veličina u njemu. Najbrži su optički i optoelektronski sistemi čiji propusni opsezi dosežu vrednosti gigaherza ( , zatim su tu elektronski sistemi pa mehanički. Među mehaničkim sistemima najbrži su pneumatski i hidraulični a najsporiji temperaturni i sistemi koji regulišu nivo tečnosti. Njihovi propusni opsezi se mere desetim delovima herca.

)109 Hz

Sledeći parametar koji se može očitati sa fazne frekvencijske karakteristike sistema jeste vremensko kašnjenje koje se definiše na sledeći način: kT

( )argkdT G

djω

ω= − (4.10)

Poslednja relacija zahteva komentar. Prvo, ne treba mešati ovako definisano vremensko kašnjenje sa vremenom kašnjenja definisanim relacijom (4.3), mada ova dva parametra nisu nezavisna. Sa povećanjem jednog povećava se i drugo i obrnuto. Drugi važan komentar vezan za relaciju (4.10) je da izraz na desnoj strani nije konstanta već funkcija učestanosti ω , u opštem slučaju. Samo kada je fazna karakteristika linearna funkcija traženi izvod će biti konstantan. Međutim, ako u opštem

slučaju želimo da odredimo ovaj parametar, uobičajeno je da se fazna karakteristika u posmatranom opsegu učestanosti aproksimira linearnim segmentom, i za njega se potraži nagib. Sada posmatrajmo sistem koji je realizovan kao sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom (slika 4.5). Moguće je skicirati frekvencijske karakteristike funkcije povratnog prenosa . Amplitudska i fazna frekvencijska karakteristika takvog sistema prikazane su na slici 4.6.

( )W s

( )W s( )r t ( )e t ( )c t

+−

Slika 4.5: Sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom

ω

ω

1ωπω

( )W jω

( ) arg W jω

1

π− pfΦ

1/ d

Slika 4.6: Amplitudska i fazna frekvencijska karakteristika sistema u otvorenoj sprezi

U želji da definišemo dva vrlo važna parametra koja opisuju ponašanje sistema koji ima strukturu jedinične negativne povratne sprege, potrebno je prvo definisati učestanost 1ω , koja se naziva presečna učestanost pojačanja, a koja predstavlja učestanost na kojoj amplitudska karakteristika ima vrednost 1:

( )1 1: W jω ω 1= (4.11)

Zatim se za ovako određenu vrednost učestanosti očita vrednost fazne karakteristike, i na osnovu nje se definiše pretek faze, ili fazna margina na sledeći način:

( ) 01180 argpf W jωΦ = + (4.12)

Ponekada se fazna margina ili pretek faze označavaju oznakom PM (Phase Margin) i može se izražavati ili u stepenima ili u radijanima (u ovom drugom slučaju u relaciji (4.12) umesto treba da stoji

0180π rad). Pretek faze je značajna karakteristika sistema jer ona predstavlja meru njegove

relativne stabilnosti. Ako je sistem u otvorenoj sprezi bio stabilan, potreban i dovoljan uslov da sistem u zatvorenoj sprezi bude stabilan je da pretek faze bude veći od nule. Dokaz ovog tvrđenja će biti izveden kasnije, u poglavlju o stabilnosti sistema. Takođe, preterano veliki pretek faze označava

tromost sistema, dok mala pozitivna vrednost preteka faze ukazuje na veliku osetljivost sistema u prisustvu poremećaja. Grafički prikaz određivanja preteka faze dat je na slici 4.6. Drugi značajan parametar koji ukazuje na osobine ponašanja sistema jeste pretek pojačanja ili amplitudska margima koju ćemo označavati kao d ili AM (Amplitude Margin) a definiše se na osnovu sledeće relacije:

( )1d

W j πω= (4.13)

pri čemu je sa πω označena takozvana presečna učestanost faze a to je ona učestanost na kojoj fazna karakteristika ima vrednost , odnosno 0180− radπ− :

( ) : arg W jπ πω ω π= − (4.14)

Pretek pojačanja je takođe mera relativne stabilnosti sistema, i može se dokazati da je, pod pretpostavkom da je sistem u otvorenoj sprezi bio stabilan, potreban i dovoljan uslov da i sistem u zatvorenoj sprezi bude stabilan, da pretek pojačanja bude veći od 1. Vrlo često se vrednosti amplitudske karakteristike nekog sistema izražavaju u decibelima:

( ) ( )1020 logdB

W j W jω ω= (4.15)

pa se relacije (4.11) i (4.13) mogu napisati u sledećoj formi:

( )1 1:dB

W j dBω ω = 0 (4.16)

( )dB dBd W j πω= − (4.17)

Karakteristični parametri iz kompleksnog domena Treći skup parametara koji opisuje ponašanje sistema u prelaznom režimu se mogu formirati na osnovu analize sistema u kompleksnom domenu. Ako pođemo od pretpostavke da je sistem opisan funkcijom prenosa, pri čemu je funkcija prenosa realna racionalna funkcija:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2

m

n n

P s s s sG s K K

Q s s s smµ µ µ

λ λ λ− − −

= =− − −

(4.18)

tada se ova funkcija prenosa na jednoznačan način može opisati pomoću svog pojačanja K i položaja nula , 1,...,i i mµ = i polova , 1,...,i i nλ = . Uobičajeno je da se ovaj raspored nula i polova prikaže u kompleksnoj s ravni, pri čemu se za poziciju polova koristi marker '× ' a za poziciju nula marker . Primer takvog prikaza sistema sa pet polova i dve nule je dat na slici 4.7. 'o'

Re s

Im s

×

×

×

×

×

o

o

Slika 4.7: Prikaz pozicije polova i nula sistema u kompleksnoj ravni

Pri tome ne treba zaboraviti da se za realne sisteme, polovi i nule ili mogu pojavljivati kao realne konstante ili se moraju pojaviti u konjugovano kompleksnim parovima. Takođe, trenutno ćemo analizirati samo stabilne sisteme, dakle podrazumeva se da sistem nema polova u desnoj poluravni s ravni. Pojam koji je vrlo važan i koji ćemo sada definisati jeste pojam dominantnih polova sistema. Naime, sistemi često imaju veliki broj polova, mogu biti visokog reda, međutim uticaj mnogih od njih je neznatan ili beznačajan i može se zanemariti, dok je uticaj neki drugih polova vrlo značajan pa se takvi polovi nazivaju dominantnim. Da bismo ilustrovali ovo tvrđenje možemo izvesti sledeću jednostavnu simulaciju. Pretpostavimo da posmatramo sistem petog reda opisan sledećom funkcijom prenosa:

( ) ( )( )( )1 2 2

6642 4 8 8 40

sG ss s s s s

+=

+ + + + + (4.19)

Dalje, posmatrajmo sistem funkcije prenosa ( )2G s koji će od pet polova prethodnog sistema zadržati samo konjugovano kompleksne polove koji su najbliži imaginarnoj osi, nule i odgovarajuće pojačanje (takvo da statičko pojačanje u oba sistema bude jednako, odnosno ): ( ) ( )1 20 0G G=

( )2 2

60.22 4

sG ss s

+=

+ + (4.20)

Posmatrajmo odzive ova dva sistema na jediničnu odskočnu pobudu (slika 4.8).

Slika 4.8: Odziv sistema petog reda i odziv redukovanog sistema drugog reda

Punom linijom na slici 4.8 je prikazan odskočni odziv sistema petog reda, dok je isprekidanom linijom prikazan odziv sistema funkcije prenosa ( )2G s . Sa slike se vidi da je razlika između ova dva odziva neznatna, i isti bi se zaključak mogao izvesti da je bilo kakav signal doveden kao pobuda za ova dva sistema. Pri tome, redukcija reda sistema sa pet na dva nije izvršena slučajno. Dva konjugovano kompleksna pola koja se nalaze najbliže imaginarnoj osi (u levoj poluravni s ravni) su dobar reprezent ponašanja sistema i za sistem ( )1G s oni predstavljaju dominantne konjugovano kompleksne polove. Ovaj bi se zaključak mogao i generalizovati na sledeći način: Za stabilne sisteme pod parom dominantnih konjugovano kompleksnih polova se smatraju konjugovano kompleksni polovi koji su najbliži imaginarnoj osi, odnosno to su polovi čiji je realni deo najveći. Ovaj zaključak ima nekoliko izuzetaka i ovi se izuzeci mogu kategorisati na sledeći način:

1. Ako sistem ima isključivo realne polove, takav sistem naravno nema par dominantnih konjugovano kompleksnih polova, već se realni pol najbliži imaginarnoj osi smatra dominantnim realnim polom.

2. Ako sistem ima par konjugovano kompleksnih polova, ali postoji realan pol koji je bliži imaginarnoj osi, koji će od njih biti proglašen dominantnim zavisi od prirode sistema i njegove namene. Ukoliko se od sistema očekuje da prevashodno bude brz uz izvesne dozvoljive preskoke u odzivu, realan pol se može smatrati dominantnim. U suprotnom, ukoliko se insistira na malom ili nikakvom preskoku po cenu smanjenja brzine odziva, par konjugovano kompleksnih polova se može smatrati dominantnim parom.

3. Ukoliko sistem ima dva para konjugovano kompleksnih polova koji su približno jednako udaljeni od imaginarne ose, onda se posmatra i njihov imaginarni deo. Ukoliko su imaginarni delovi jednog para konjugovano kompleksnih polova značajno veći od imaginarnih delova drugog para konjugovano kompleksnih polova, tada se oni proglašavaju dominantnim polovima, bez obzira na to koji od njih je bliži imaginarnoj osi.

Sada, pošto smo definisali šta su dominantni konjugovano kompleksni polovi, pretpostavimo da je neki proizvoljni sistem dovoljno dobro aproksimiran svoji dominantnim konjugovano kompleksnim polovima i predstavljen funkcijom prenosa drugog reda:

( ) ( )( )1 2

KG ss s s s

=− −

(4.21)

Uobičajeno je da se polinom u imeniocu predstavi u sledećoj formi:

( )( ) 21 2 2 ns s s s s s 2

nζω ω− − = + + (4.22)

pri čemu se parametar ζ naziva faktorom relativnog prigušenja para dominantnih konjugovano kompleksnih polova a parametar nω neprigušenom prirodnom učestanošću para dominantnih konjugovano kompleksnih polova. Traženjem nula polinoma (4.22) dobija se položaj dominantnih polova:

21,2 1ns j nζω ζ= − ± − ω (4.23)

Re s

Im s

1s

2s

nω

nζω−

21 nζ ω−

21 nζ ω− −

( )arccos ζ = Θ

Slika 4.9: Položaj dominantnih konjugovano kompleksnih polova

Parametri ζ i nω jednoznačno određuju položaj dominantnih polova. Na slici 4.9 su u s ravni prikazani ovi polovi, i na osnovu slike se lako zaključuje da se dominantni polovi nalaze na kružnici poluprečnika

nω a da je kosinus ugla koji zaklapa poteg od koordinatnog početka do dominantnog

pola sa negativnim delom realne ose jednak parametru ζ . Ukoliko se realni deo konjugovano kompleksnih polova nζω− napiše u formi , dobija se dominantna vremenska konstanta koja je već definisana kao parametar koji definiše brzinu promena gornje i donje anvelope u odskočnom odzivu sistema:

1/ dT−

1d

n

Tζω

= (4.24)

Dva, od tri navedena parametra: faktor relativnog prigušenja, neprigušena prirodna učestanost i dominantna vremenska konstanta, mogu jednoznačno da odrede položaj dominantnih polova. Na kraju treba reći da i faktor relativnog prigušenja i neprigušena prirodna učestanost mogu uzeti vrednosti iz skupa [0 . Zbog svoje prirode (poluprečnik kruga na kome se nalaze dominantni polovi) nema fizičkog smisla da neprigušena prirodna učestanost bude negativna, a negativna vrednost za faktor relativnog prigušenja bi značila da su polovi u desnoj poluravni desne ravni, odnosno da je sistem nestabilan. Ukoliko je faktor prigušenja iz intervala [0 polovi su konjugovano kompleksni, za vrednost

, )∞

,1)1ζ = u pitanju je dvostruki realan pol, dok za 1ζ > sistem

ima dva različita realna pola. Na slici 4.10 su prikazane različite pozicije dominantnih polova i pored njihovih pozicija su prikazani odskočni odzivi koje takvi dominantni polovi generišu.

1

1

2

2

1

2

3

3

3

4

4

5

5

5

6 6

7

7

Slika 4.10: Različite lokacije dominantnih polova i odskočni odzivi koji oni generišu

Slici 4.10. je potrebno dodati neke komentare koji će objasniti zašto parametri ζ i nω imaju imena koja imaju. Naime, primetimo da su za slučaj (2) polovi sistema na imaginarnoj osi što odgovara slučaju 0ζ = . U tom slučaju je odziv sistema prostoperiodičan, dakle neprigušen. Kako se polovi sistema pomeraju u levo (slučajevi (1) i (3)) faktor relativnog prigušenja se povećava od nule ka vrednosti 1 i odzivi sistema su sve prigušeniji do slučaja kada faktor prigušenja postaje veći od 1. Tada se polovi sistema nalaze na realnoj osi, i odziv postaje aperiodičan. Drugim rečima, faktor ζ zaista predstavlja meru prigušenja sistema. Otuda i nosi ime faktor relativnog prigušenja. Sa druge strane, kada je sistem neprigušen, dakle kada je 0ζ = , polovi sistema su na imaginarnoj osi, i tada je odziv sistema prostoperiodičan sa periodom ponavljanja nω . Dakle, ova učestanost predstavlja periodu oscilovanja sistema u slučaju nultog prigušenja i pri tome će se ovakav oblik pojaviti nezavisno od toga kakva je pobuda na ulazu sistema. Dolazimo do zaključka da je ova učestanost sakrivena u sistemu, ona je ugrađena u njega, njemu prirodna, i zato se naziva neprigušena prirodna učestanost.

10. Odzivi nekih tipičnih sistema U želji da se ilustruju odzivi nekih tipičnih, ili recimo karakterističnih sistema, posmatraćemo tri različite klase sistema. Prva klasa sistema su sistemi koji imaju dva konjugovano kompleksna pola i nemaju konačnih nula. Ova klasa pokriva široki spektar sistema koji su i mnogo većeg reda od dva, ali se zbog specifične pozicije polova izdvajaju dva dominantna koji u najvećoj meri karakterišu ponašanje sistema, dok se ostali polovi mogu zanemariti. Druga klasa sistema će biti sistemi drugog reda koji osim dva konjugovano kompleksna pola imaju i konačnu nulu, dok je treća klasa sistema ona koji osim konjugovano kompleksnih polova imaju i realan pol. Odzivi ovih sistema će biti analizirani na primeru jedinične odskočne pobude na njihovom ulazu. Sistemi drugog reda bez konačnih nula Posmatrajmo sistem čija je funkcija prenosa

( )2

2 2n

n n

G ss s

ω2ζω ω

=+ +

(5.1)

Koeficijent u brojiocu funkcije prenosa je izabran tako da statičko pojačanje bude jedinično.

Ukoliko na ulaz ovakvog sistema dovedemo jediničnu odskočnu funkciju , na izlazu ćemo

dobiti jedinični odskočni odziv čija je Laplasova transformacija:

( )0G

( )h t

( )j t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 22 2 2 2 2 2

1 12 1 1

n n

n n n n n n

sJ s G ss ss s s s s

ω ζω ζζω ω

nωζω ζ ω ζω ζ

+= = = − −

+ + + + − + + − ω(5.2)

Jednostavno se na dobijene članove primenjuje inverzna Laplasova transformacija u cilju dobijanje jediničnog odskočnog odziva u vremenskom domenu:

( ) ( ) ( ) ( )2

21 cos 1 sin 1

1n nt t

n nj t h t e t e tζω ζωζζ ω ζ ωζ

− −⎡ ⎤

= − − − −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

2 (5.3)

Imajući na umu relaciju:

( ) ( ) ( )cos sin sinA B Cα α α ϕ+ = + (5.4)

gde je

(2 2 ; arctan /C A B A Bϕ= + = ) (5.5)

jedinični odskočni odziv (5.3) se može napisati i u sledećoj formi:

( ) ( ) ( )2

2

11 sin 11

ntnj t h t e tζω ζ ω ϕ

ζ−

⎡ ⎤= − − +⎢

−⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ (5.6)

gde je

21

arctanζ

ϕζ−

= (5.7)

Na slici (5.1) su prikazani odzivi sistema za nekoliko različitih vrednosti parametra ζ dok je neprigušena prirodna učestanosti ista 1nω = , dok su na slici 5.2 prikazani odskočni odzivi sistema

sa različitim neprigušenim prirodnim učestanostim a sa jednakim faktorom relativnog prigušenja 0.5ζ = .

0ζ =

0.2ζ =

0.5ζ =

0.8ζ =

Slika 5.1: Odskočni odzivi sistema sa neprigušenom prirodnom učestanošću 1nω =

2nω = 1nω = 0.5nω =

Slika 5.2: Odskočni odzivi sa faktorom relativnog prigušenja 0.5ζ =

Sa prikazanih dijagrama se uočava uticaj faktora relativnog prigušenja i neprigušene prirodne učestanosti. Očigledno je da na vreme uspona, odnosno brzinu reagovanja sistema utiču oba faktora i to tako što sa povećanjem parametra nω i smanjenjem parametra ζ vreme uspona opada. Učestanost prigušenih oscilacija raste sa povećanjem nω i sa smanjenjem ζ . Konačno, sa prikazanih odziva se ima utisak da vrednost preskoka zavisi isključivo od faktora relativnog prigušenja. Ovaj utisak je ispravan i može se i egzaktno dokazati. Naime, ako želimo da odredimo trenutak nastajanja preskoka tπ potrebno je da izraz (5.3) diferenciramo i da dobijeni diferencijal izjednačimo sa nulom:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

22 2

2

cos 1 1 sin 1

sin 1 cos 1 01

n

n

tn n

t nn n n

dj te t

dt

e t

ζω

ζω

ζω ζ ζ ω ζ ω

ζ ω ζ ω ζω ζ ωζ

−

−

⎡ ⎤= − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

nt

t = (5.8)

Sređivanjem poslednjeg izraza dolazi se do sledeće jednakosti:

( )2

2sin 1 0 ; 0,1, 2,...

1n

n

kt t kπζ ωζ ω

− = ⇒ = =−

(5.9)

Drugim rečima, ima beskonačno mnogo tačaka u kojima je prvi izvod odskočnog odziva jednak nuli. Međutim, uzimajući u obzir prirodu odziva prikazanih na slikama 5.1 i 5.2, jasno je da se preskok dešava za k=1, jer je to prvi maksimum. Dakle, vrednost trenutka preskoka je

21 n

tππζ ω

=−

(5.10)

a vrednost odziva u trenutku preskoka se dobija zamenom izraza (5.10) u (5.3)

( ) 211y t eζπ

ζπ

−−= + (5.11)

Na osnovu toga sračunavamo preskok:

[ ] ( ) ( )( )

21% 100% 100%y t y

ey

ζπ

ζπ−

−− ∞Π = =

∞ (5.12)

Dakle, vrednost preskoka očigledno ne zavisi od neprigušene prirodne učestanosti već samo od faktora relativnog prigušenja. Zavisnost preskoka od parametra ζ data je na slici 5.3.

Slika 5.3: Zavisnost preskoka u odskočnom odzivu sistema od faktora relativnog prigušenja ζ

Sistemi drugog reda sa jednom konačnom nulom Posmatrajmo sada sistem koji osim dva konačna pola ima i konačnu nulu u tački –z. Dakle, njegova funkcija prenosa je

( )2

2 2n

n n

s zG sz s sω

2ζω ω+

=+ +

(5.13)

Opet je multiplikativna konstanta u funkciji prenosa izabrana tako da statičko pojačanje sistema bude jedinično. Posmatrajmo Laplasovu transformaciju jediničnog odskočnog odziva ovog

sistema: ( )0G

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2 2

2 2

2 2 2 2

12

1 12 2

n

n n

n n

n n n n

s zJ s G ss z s s s

s J sz zs s s s s s

ωζω ω

ω ωζω ω ζω ω

+= =

+ +

= + =+ + + +

sJ s+ (5.14)

pri čemu je sa ( )J s označena Laplasova transformacija jediničnog odskočnog odziva sistema koji nema konačnih nula (pogledati relaciju 5.2). Primenom inverzne Laplasove transformacije na poslednju relaciju dobija se jedinični odskočni odziv u vremenskom domenu:

( ) ( ) ( )1

1 dj tj t j t

z dt= + (5.15)

Očigledno je da je prisustvo konačne nule u funkciji prenosa sistema uticalo na pojavu drugog člana u izrazu za odskočni odziv. Na osnovu toga možemo zaključiti sledeće. Uticaj konačne nule je zanemarljiv u stacionarnom stanju jer je tada prvi izvod odskočnog odziva jednak nuli. Uticaj konačne nule se ogleda samo u prelaznom režimu i to na taj način što smanjuje vreme uspona i povećava preskok. Njen uticaj je utoliko manji ukoliko je vrednost parametra z veća, odnosno ukoliko je nula udaljenija od imaginarne ose. Na slici 5.4 su prikazana tri odskočna odziva različitih sistema. Prvi sistem je bez konačnih nula, funkcije prenosa

( )1 2

42 4

G ss s

=+ +

(5.16)

drugi sistem je sa konačnom nulom u tački -1:

( ) ( )2 2

4 12 4s

G ss s

+=

+ + (5.17)

i treći je sa konačnom nulom u tački -5:

( ) ( )3 2

0.8 52 4s

G ss s

+=

+ + (5.18)

Slika 5.4: Odskočni odzivi sistema (5.16),(5.17) i (5.18)

Sa ove slike se jasno vidi da je odskočni odziv sistema (5.16), označen sa 1, najsporiji, ima najduže vreme uspona i najkraći preskok. Odskočni odziv sistema (5.16) je značajno brži sa značajno većim preskokom jer je njegova nula u tački -1 vrlo blizu imaginarne ose (vrlo blizu u odnosu na položaj

konjugovano kompleksnih polova). Konačno, odskočni odziv sistema (5.17) je neznatno drugačiji od odskočnog odziva sistema koji nema konačne nule jer je njegova nula u tački (-10) što je vrlo udaljeno od imaginarne ose. Još je zanimljivo definisati pojam sistema neminimalne faze. Za sistem koji ima nulu u desnoj poluravni s ravni kažemo da je sistem neminimalne faze. Takav sistem se prepoznaje po tome što se u njegovom odskočnom odzivu uočava promena smera odziva neposredno po dovođenju pobude. Na slici 5.5. su prikazani odskočni odzivi sistema (5.17) i sistema funkcije prenosa

( )4 2

12 4

sG ss s

−=

+ + (5.19)

Slika 5.5: Odskočni odzivi sistema (5.17) i (5.19)

Sistemi trećeg reda sa dva konjugovano kompleksna i jednim realnim polom Preostaje nam da analiziramo slučaj odziva sistema koji osim dva konjugovano kompleksna pola imaju i jednu realnu nulu. Ne umanjujući opštost zaključivanja, posmatrajmo jedan konkretan sistem koji ima samo dva konjugovano kompleksna pola, recimo sistem definisan funkcijom prenosa (5.16) i sistem koji ima realan, stabilan, pol u tački –p:

( )( )( )5 2

42 4

pG ss p s s

=+ + +

(5.20)

Laplasova transformacija odskočnog odziva ovog sistema je:

( )( )( )5 22

4 12 42 4

p As B CJ ss s s s ps s p s s

+= = + −

+ + ++ + + (5.21)

gde su koeficijenti:

2 2

2 2 2

2 2; ;2 4 2 4 2 4

p p pA B Cp p p p p p− + −

= = =− + − + − +

4 (5.22)

Poredeći izraz (5.21) sa Laplasovom transformacijom odskočnog odziva sistema koji nema treći pol u tački (-p):

( ) 2

1 22 4

sJ ss s s

+= −

− + (5.23)

vidimo da se oni razlikuju samo u članu ( )/C s p− + koji u vremenskom domenu rezultuje funkcijom:

( )2

42 4

pte h tp p

−−− +

(5.24)

Očigledno, zbog predznaka minu, ovaj član usporava odziv sistema, produžava mu vreme uspona i smanjuje vrednost preskoka. Međutim, treba imati u vidu da je ovaj uticaj utoliko manji ukoliko je vrednost parametra p veća, odnosno ukoliko je pol udaljeniji od koordinatnog početka. Sa povećanjem vrednosti parametra p istovremeno se smanjuje iznos multiplkativne konstante

ali i brzina isčezavanja funkcije ( 24 / 2 4p p− + ) pte− . U cilju ilustracije ove činjenice, na slici 5.6 su prikazani odzivi tri sistema. Sa 1 je označen odziv sistema čija je funkcija prenosa data relacijom (5.16), sa 2 je označen odziv sistema trećeg reda koji osim konjugova kompleksnih polova ima i pol u tački –p=-5, dok je sa 3 označen odziv sistema kome je treći realan pol u tački –p=-1.

Slika 5.6: Uticaj realnog pola na odskočni odziv sistema

Očigledno je da prisustvo pola zaista usporava odziv sistema, produžava mu vreme uspona i vreme kašnjenja i da mu smanjuje preskok. Međutim, što je taj pol udaljeniji od koordinatnog početka, ovaj uticaj je zanemarljiviji. Konačno, na ovom mestu je pogodno definisati i pojam dipola koji se često koristi u teoriji sistema automatskog upravljanja. Pod diplom se smatra par pol-nula sistema koji su jako blizu i čiji se uticaj na ponašanje sistema može zanemariti, ukoliko se oni nalaze u levoj poluravni s ravni. Bez obzira da li su to realni nula i pol ili su to parovi konjugovano kompleksnih polova i nula, njihov uticaj je utoliko zanemarljiviji ukoliko je njihovo odstojanje u s ravni manje. Da bi ilustrovali ovu činjenicu posmatrajmo tri sistema. Jedan od njih neka bude definisan funkcijom prenosa (5.16), drugi neka osim ova dva konjugovano kompleksna pola ima realnu nulu i realni pol koji su jako blizu:

( ) ( )( )( )6 2

4184 4.5 2 4

sG s

s s s+

=+ + +

i konačno, neka treći sistem bude sa parom konjugovano kompleksnih polova i nula koji se mogu smatrati dipolima:

( ) ( )( )( )

2

7 2 2

4 103810 4 9.5 2 4

s sG s

s s s s

+ +=

+ + + +

Na slici (5.7) su prikazani odskočni odzivi ova tri sistema. Razliku između njih teško da je moguće uočiti iako je odstojanje između dipola 0.5 u slučaju realnih polova i nula i 6 5.− 5 u slučaju konjugovano kompleksnih dipola.

Slika 5.7: Odziv sistema sa dipolima

Tvrđenje da se dipoli mogu zanemariti je jednostavno i teorijski dokazati. Zamislimo da imamo dva sistema funkcija prenosa:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )1 2;B s B s s

G s G sA s A s s

λλ ε+

= =+ +

gde je ε mala vrednost. Tada se u graničnom procesu funkcija prenosa može napisati u sledećoj formi:

( )2G s

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )2 10 0lim lim

BB s s A s BA

A B ssG s G sA s s A sε ε

λ ελ ε λ ελ ε

λ ελ ε ελ ε→ →

− −⎡ ⎤+ +⎢ ⎥− −− −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥+ += −⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

što znači da su u graničnom procesu funkcije prenosa ova dva sistema identične. Samim tim su i njihovi impulsni odzivi identični, pa su i njihovi odzivi na proizvoljnu pobudu identični. 11. Veze između parametara koji karakterišu prelazni režim U prethodnom poglavlju već smo izveli jednu važnu relaciju koja povezuje parametre koji karakterišu prelazni režim, a to je funkcionalna veza između vrednosti preskoka sistema drugog reda u jediničnom odskočnom odzivu i vrednosti faktora relativnog prigušenja para dominantnih konjugovano kompleksnih polova:

[ ] 21% 100%eζπ

ζ−

−Π = (5.25)

Sledeća veza koja je vrlo važna uspostavlja odnos između preteka faze sistema i faktora relativnog prigušenja. Opet, ovakva se veza ne može uspostaviti za bilo koji sistem, međutim ako ovakvu vezu uspostavimo za sistem drugog reda sa konjugovano kompleksnim polovima, ona će biti aproksimativno tačna za sve ostale sisteme koji se dovoljno dobro mogu opisati parom dominantnih polova. Pretpostavimo dakle da je funkcija prenosa sistema drugog reda:

( )2

2 2n

n n

G ss s

ω2ζω ω

=+ +

(5.26)

Pretek faze sistema se definiše na osnovu funkcije povratnog prenosa. Dakle, interesuje nas kakva je to funkcija povratnog prenosa ( )W s kojoj bi odgovarala funkcija spregnutog prenosa (5.26):

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1 1n

n

W s G sG s W s

W s G s s sω

2ζω= ⇒ = =

+ − + (5.27)

U želji da izračunamo pretek faze prvo moramo potražiti presečnu učestanost pojačanja:

( )2

41 12 2 2

1 1

1 1 1 44

nn

n

W j ω 22ω ω ω ζ ζω ω ζ ω

= ⇒ = ⇒ = + −+

(5.28)

Sada postaje jednostavno sračunati pretek faze:

( ) 0 0 11

4 20

4 2

180 arg 90 arctan2

1 4 2 290 arctan arctan2 1 4 2

pfn

W j ωωζω

ζ ζ ζζ ζ ζ

Φ = + = −

+ −= − =

+ −

(5.29)

Zaključak je očigledan da pretek faze sistema, dakle njegova relativna stabilnost, zavisi isključivo od faktora relativnog prigušenja. Na slici 5.8 je prikazana ova zavisnost.

Slika 5.8: Zavisnost preteka faze od faktora relativnog prigušenja

Na slici 5.7 je prikazana ova zavisnost pri čemu je pretek faze izražen u radijanima. Primetimo da je za male vrednosti faktora relativnog prigušenja gotovo linearna i da se za 0.4ζ < sa visokom preciznošću ova zavisnost može aproksimirati na sledeći način:

2 [ ]; 0.4pf radζ ζΦ = < (5.30)

Ovu funkcionalnu zavisnost treba zapamtiti jer ona nam govori da smanjenje faktora prigušenja vrlo nepovoljno utiče na relativnu stabilnost sistema.

Poslednja relacija koja je vredna pažnje a uspostavlja vezu između parametara koji karakterišu prelazni režim sistema je veza između propusnog opsega sistema i faktora prigušenja i neprigušene prirodne učestanosti. Potražimo propusni opseg sistema čija je funkcija prenosa data relacijom (5.26):

( ) ( )( )

2

0 22 2 2 2 20 0

1 102 2 4

n

n n

G j G j ωωω ω ζ ω ω

= = ⇒− +

12

= (5.31)

Rešavanjem poslednje jednačine, koja se svodi na bikvadratnu jednačinu dobija se da količnik propusnog opsega i neprigušene prirodne učestanosti opet zavisi od faktora relativnog prigušenja na sledeći način:

( )220 1 2 1 1 2n

ω 2ζ ζω

= − + + − (5.32)

Na slici 5.9 je prikazana ova zavisnost i vidi se da je ona opadajuća funkcija faktora ζ . Zanimljivo je da je u slučaju 1/ 2ζ = ovaj količnik jednak 1, što znači da je tada propusni opseg sistema jednak njegovoj neprigušenoj prirodnoj učestanosti.

Slika 5.9: Zavisnost količnika 0 / nω ω od faktora relativnog prigušenuja

UVOD U DISKRETNE SISTEME

Šezdesetih godina ovoga veka automatika se uglavnom bazirala na analognoj računarskoj tehnici iz prostog razloga što je na tržištu računara dominirao analogni računar kao osnovno sredstvo za simulaciju, dok je sa druge strane postojao široki spektar analognih komponenti za projektovanje i kompenzaciju sistema. Analogne komponente koje su učestvovale u oblasti upravljanja sistemima su uglavnom po svojoj prirodi bile mehaničke, pneumateske i elektronske. Međutim, tih šezdesetih godina situacija počinje dramatično da se menja sa naglim razvojem digitalnih računara i mikroelektronike. Digitalni računari se za počeak koriste kao delovi u složenim sistemima za upravljanje procesima. Međutim, zbog njihove male dimenzije i niske cene digitalni računari polako postaju regulatori u zasebnim upravljačkim petljama, tako da su do današnjeg dana digitalni računari u nekoliko oblasti potpuno potisnuli svoje analogne konkurente.

Digitalni računari su se istovremeno razvijali i kao alat za analizu i projektovanje sistema upravljanja. Inženjeri automatike danas imaju mnogo moćniji alat nego što su to imali u prošlosti. Pojavom VLSI tehnologije otvorile su se dalje mogućnosti razvoja digitalnih računara. Iz svih ovih razloga pristup analizi projektovanju i primeni upravljačkih sistema se umnogome promenio. U početku je to bilo prosto prevođenje metoda i rezona iz analogne u digitalnu sferu, međutim, na sreću, proteklih trideset godina se teorija i praksa projektovanja digitalnih sistema u toj meri razvila da se potpuno otrgla okvirima u kojima je nekada postojala. Kao potpuno nova tehnologija i način rada u poèetku je prihvaćena samo u avio industriji i nekim specifičnim procesima, da bi polako našla mesto i u ostalim granama industrije i tehnike.

Digitalni sistem, grubo reèeno, predstavlja rednu vezu A/D konvertora, sistema koji realizuje algoritam, D/A konvertora i procesa, pri čemu su prva tri elementa pod sinhronizacijom jednog istog sata ('clock-a'). Povratna sprega se zatvara sa izlaza procesa na ulaz A/D konvertora. Digitalni sistem upravljanja dakle u sebi sadrži dva tipa signala, kontinualne i semplovane ili signale diskretne u vremenu. Otuda se za ovakav sistem osim naziva digitalni sistem upravljanja (computer controlled system) često kao sinonim koristi i naziv sistem sa semplovanim podacima ( sampled data system ).

Ideja da se digitalni računar uključi u upravljanje sistemima ponikla je pedesetih godina. Za početak je ova ideja realizovana u sistemima za upravljanje raketama i vazduhoplovima. Vrlo se brzo ispostavilo da za ovako specifične namene nije zgodno upotrebiti digitalni računar opšte namene, pa se stoga pristuplilo projektovanju specijalizovanog digitalnog računara nazvanog 'digital differential analyzer' ( DDA ).

Glavni razvoj je digitalno upravljanje doživelo u procesnoj industriji. Prvi ozbiljniji rad na tu temu odigrao se 1956. godine kada je američka firma za preradu polimera u okviru rafinerije TRW konsultovala proizvođača digitalnih računara Texaco u cilju projektovanja računarskog sistema za njihove potrebe. Rezultat ove saradnje bio je digitalni upravljački sistem koji je jednovremeno regulisao 26 protoka tečnosti, 72 temperature, 3 pritiska i 3 koncentracije [3]. Glavna funkcija koju je ovakav digitalni regulator realizovao bila je da se minimizira pritisak u reaktoru, da se optimalno rasporedi napajanje na 5 reaktora i da se upravlja dotokom vrele vode na osnovu katalitičke aktivnosti. Pionirski rad firmi TRW i Texaco pobudio je veliko interesovanje u industriji. Međutim, bilo je mnogo problema koje je trebalo rešiti. Naime, tadašnji računarski sistemi su se bazirali na elektronskim cevima. Standardno vreme sabiranja tih računara iznosilo je 1ms a množenja 20ms i srednje vreme između dva otkaza centralnog procesora 50 do 100 sati. Zbog svih ovih nedostataka, digitalni računar se koristio tako što je on štampao poruke operatoru na papirnatoj traci ili je ispisivao vrednosti veličina koje je trebalo podešavati. Na taj način se, radi dodatne zaštite, čovek-operater uključivao kao supervizor u upravljačku petlju. Ovakvi sistemi su se nazivali operatorski vođenim sistemima ( operator guide control ) ili sistemi sa upravljanjem radne tačke ( set-point control ).

Sledeći važan korak u primeni digitalnih računara dogodio se 1962. godine kada je britanska hemijska industrija Imperial Chemical Industries kompletnu analognu instrumentaciju za upravljanje procesom zamenila jednim digitalnim računarom koji je merio 224 promenljive i upravljao sa 129 ventila istovremeno. Već te 1962. godine računar je sabirao dva broja za 100µs a množio ih za 1ms. Srednje vreme između dva otkaza centralnog procesora iznosilo je 1000 sati [3].

Cena je bila glavni razlog zamene analogne komponente digitalnim računarom. Dok se u analognoj tehnologiji cena povećavala linearno sa povećanjem broja upravljačkih petlji, dotle se u digitalnoj tehnologiji visoka cena plaćala samo u početku prilikom kupovine digitalnog računara, dok se sa povećanjem broj petlji cena plaćala jedino u slučaju kupovine merne opreme. Fleksibilnost je bila druga značajna prednost digitalne tehnologije nad analognom. Jednom kupljen digitalni računar i instaliran za upravljanje jednog industrijskog procesa se bilo kog trenutka mogao prebaciti i reprogramirati za upravljanje nekim drugim procesom.

Dalji razvoj je bio uslovljen pojavom minikompjutera i mikrokompjutera koji su osim malih dimenzija bili okarakterisani velikom brzinom rada ( i množenje i sabiranje su postali reda mikrosekunda ), velika pouzdanost ( srednje vreme otkaza se meri desetinama hiljada sati ), jake grafičke mogućnosti ( CGA, EGA, VGA grafički adapteri ) i t.d.

Međutim, paralelno sa razvojem tehnike koja će se iskoristiti u digitalnim sistemima upravljanja, razvijala se i teorija. Prvi takvi koraci dogodili su se tokom i posle drugog svetskog rata, a uglavnom vezano za radarsku tehniku. Ovi su sistemi prirodno diskretni u vremenu s obzirom na rotaciju radarske antene. Kako je sva teorija vezana za transformaciju signala bila orijetnisana prema kontinualnim signalima bilo je neophodno razviti sličnu teoriju koja će tretirati signale diskretne u vremenu. Prvi takav korak načinio je Hurewicz 1947. godine uvodeći transformaciju nad sekvencom. Ova je transformacija 1952. godine nazvana zed transformacijom od strane Ragazzini-ja i Zadeh-a. Transformacija je potpuno nezavisno izvedena u Sjedinjim Državama, Sovjetskom Savezu i Velikoj Britaniji. Naime, Tsypkin je 1950. godine ovu transformaciju nazvao diskretnom Laplasovom transformacijom i uveo je kao alat za analizu takozvanih impuslnih sistema, dok je 1952. godine Barker u Engleskoj došao do sličnih rezultata. Ova transformacija je dalje razvijena i izučene su njene osobine u doktroskoj disertaciji Eliohe Jury-ja na Univerzitetu Columbia u Sjedinjenim Državama. Jury je razvio alat za analizu i projektovanje. Još je pokazao da digitalni sistem može da poseduje bolje osobine od svog kontinualnog ekvivalenta. Naime, stacionarno stanje se kod kontinaulaniih sistema može dostići samo u beskonačnosti, dok se kod digitalnih sistema ono može ostvariti posle konačnog broja perioda odabiranja. U svojim kasnijim radovima on je još pokazao da odabiranje može izazvati skraćivanje nula i polova i doprineo je razjašnjavanju pojmova opservabilnosti i dohvatljivosti.

Ograničenje zed transformaije se sastoji u tome da ona daje informacije o signalu isključivo u trenucima odabiranja. Ponašanje signala i sistema između ovih trenutaka nije samo stvar akademske diskusije jer sistemi često ukazuju na postojanje takozvanih skrivenih oscilacija. Ove oscilacije u trenucima odabiranja imaju vrednost nula, te ih zed transformacija ne vidi.

Nešto drugačiji pristup digitalnim sistemima uveo je Linvill 1951. godine. Sledeću ideju MacColl-a, on je posmatrao odabiranje kao amplitudsku modulaciju. U sagledavanju problema ponašanja signala između trenutaka odabiranja, veliki korak je načinio Tsypkin 1950. godine uvodeći takozvnau zakašnjenu ili modifikovanu zed transformaciju. Do sličnih rezultata je došao Barker 1951. godine i Jury 1956. godine.

Osim ovog pionirskog izučavanja digitalnih sistema koji podrazumeva teoremu o odabirnju, formiranja diferentnih jednačina umesto diferencijalnih i metoda transformacije, u prvom redu zed transformacije, dalje izučavanje ove oblasti se može podeliti u nekoliko celina. Prva od njih je teorija analize i sinteze digitalnih sistema u prostoru stanja. Najveći doprinos ovoj oblasti dali su Pontryagin, Bellman i Kalman. Druga celina se odnosi na optimalno i stohastičko upravljanje. Belman, 1957. i Pontryagin 1962. godine su pokazali da se mnogi problemi projektovanja mogu formulisati kao optimizacioni problemi. Za nelinearne sisteme se ovaj problem prevodi u domen

varijacionog računa. Belman je dao eksplicitno rešenje u svom radu 1958. godine za linearan sistem i kvadratnu kriterijumsku funkciju. Početkom šezdesetih pod pretpostavkom poremećaja koji su slučajni procesi formulisan je stohastički varijacioni problem. Takođe je nađeno eksplicitno rešenje za linearne sisteme i kvadratnu kriterijumsku funkciju. Tako se rodila oblast stohastičkog upravljanja. Pod njenim okvirom se razvila čuvena linearna kvadratna Gausovska teorija (LQG). Ova je teorija dala glavni alat za projektovanje multivarijabilnih sistema.

Problem upravljanja digitalnim sistemima je sedamdesetih godina preformulisan od strane nekih matematičara i predstavljen kao čist algebarski problem. Na taj način se došlo do nekih novih rešenja i metoda za projetkovanje digitalnih regulatora. U toj oblasti osim Kalmana treba pomenuti Rosebrock-a (1970.) i Kučeru (1979.). Kao jedna od aktivnosti koja je prisutna i u oblasti projektovanja kontinualnih sistema a sa izuzetnom se pažnjom proučava i u digitalnim sistemima jeste identifikacija sistema. U najvećem broju praktičnih primera ova aktivnost se pojavljuje kao prva i izuzetno važna. Značajne radove iz ove oblasti a vezano za digitalne sisteme dali su Astrom, Eykhoff i Goodwin.

Na kraju, razvoj računara omogućio je da se u cilju kvalitetnog upravljanja sistemima implementiraju vrlo komplikovani upravljački algoritmi. Na taj način su se otvorilia vrata oblasti adaptivnog upravljanja. Posebnu pažnju ovoj oblasti posvetili su Astrom i Wittenmark.

12. Struktura diskretnih, računarski upravljanih sistema

Na slici 6.1 je prikazana osnovna struktura diskretnog, računarski upravljanog sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi.

( )e t ( )*e t

T

( )r t

+−

clock

Računar

/A D konvertor

/D A Proces( )*m t ( )hm t ( )c t

Slika 6.1: Struktura računarski upravljanog sistema

Na slici 6.1 je prikazana struktura računarski upravljanog sistema koji za razliku od već viđenih struktura sa zatvorenom povratnom spregom, ima tu osobenost da se zbog prirode računara koji se nalazi u konturi upravljanja pojavljuju signali različitih priroda. Naime, signali sa kojima operiše računar jesu po svojoj prirodi diskretni, dok kontinualni proces na svom ulazu i izlazu mora imati kontinualne signale. Zbog prisustva signala ovakvih, različitih priroda, često se za sisteme kakav je prikazan na slici 6.1. koristi termin hibridni sistemi. Usled ove činjenice, nacrtana struktura mora posedovati blok koji vrš prilagođenje kontinualnog signala ( )e t u formu kakva je prihvatljiva za

računar i bloka koji vrši prilagođenje diskretnog signala ( )*m t u formu kakva je prihvatljiva za proces. Ova dva bloka se nazivaju A/D konvertor i D/A konvertor. Na slici 6.1. oznaka '*' uz pojedine signale označava njihovu diskretnu prirodu. Konačno, A/D konvertor, D/A konvertor i

digitalni računar moraju biti sinhronizovani i otuda je na slici označen zajednički 'clock' koji vrši tu sinhronizaciju.

Dalji tekst ćemo posvetiti načinu funkcionisanja i modeliranju A/D i D/A konvertora koji će nas odvesti do mehanizma kojim ćemo moći na kompaktan i jednostavan način da opišemo rad sistema kakav je prikazan na slici 6.1.

Analogno-Digitalni (A/D) konvertor

Kao što je na slici 6.1 naznačeno A/D konvertor je prekidač koji se zatvara periodično sa izvesnom vremenskom periodom T i koji se u zatvorenom (dakle donjem) položaju zadržava beskonačno kretko vreme. Drugim rečima, ukoliko je na ulazu u A/D konvertor signal kakav

je prikazan na slici 6.2.a, na njegovom izlazu će se pojaviti signal ( )e t

( )*e t kakav je prikazan na slici 6.2.b.

( )e t ( )*e t

t t0 T 2T kT (a) (b)

Slika 6.2. a) Kontinualni signal; b) Signal dobijen diskretizacijom sa periodom odabiranja T

Drugim rečima, između jednog i drugog signala može se uspostaviti sledeća veza:

( ) ( )* ; , 0,1, 2,...0 ;e t t kT k

e tinače

= =⎧⎪= ⎨⎪⎩

(6.1)

Na slici 6.2. je pretpostavljeno da je signal ( )e t kauzalan, međutim, dalje izvođenje ćemo proširiti na signale koji kostoje i za negativnu vrednost argumenta t ne umanjujući opštost dobijenih rezultata. U cilju modeliranja A/D kovnertora, možemo uvesti signal ( )i t koji će predstavljati beskonačno dugačku povorku Dirakovih impulsa:

(6.2) ( ) ( )k

i t t kTδ∞

=−∞

= −∑

a onda se diskretni signal jednostavno može napisati kao proizvod kontinualnog signala ( )*e t ( )e t

i signala : ( )i t

( ) ( ) ( )*e t e t i t= (6.3)

Poznato je da ukoliko se dva signala množe njihove Furierove transformacije ulaze u konvoluciju:

( ) ( ) (* 1 *2

E j E j I j )ω ωπ

= ω (6.4)

Dakle, da bismo ispitali na koji način odabirač utiče na signal, potražimo prvo Furierovu transformaciju beskonačne povorke odbiraka. Kako je signal ( )i t periodičan njemu se može kao transformacioni par pridružiti Furierov red:

( ) ( )/ 2

0 / 2

2 1 1; ; , 0, 1, 2,...oTjk t

k k Tk

i t a e a i t dt kT T T

ω πω∞

−=−∞

= = = = = ±∑ ∫ ± (6.5)

odnosno:

( ) 01 jk t

ki t e

Tω

∞

=−∞

= ∑ (6.6)

Ukoliko želimo da periodičan signal predstavimo pomoću Fourier-ove transformacije, moramo se pozvati na poznati rezultat:

( ) ( ) (022 k

k kI j a k k

Tπ )0ω π δ ω ω δ ω ω

∞ ∞

=−∞ =−∞

= − =∑ ∑ − (6.7)

što znači da je u frekvencijskom domenu signal ( )i t predstavljen beskonačnom povorkom Dirakovih impulsa intenziteta 02 /Tπ ω= koji su ekvidistantni na odstojanju 0ω . Tada na osnovu rezultata (6.4) dobijamo rezultat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

*

0

1 1*2 21 2

2 k

E j E j I j E j I j

E j k dT

dω ω ω λ ω λπ π

πλ δ ω λ ω λπ

∞

−∞

∞∞

−∞=−∞

= =

= − −

∫

∑∫

λ− (6.8)

Ukoliko u poslednjem izrazu integral i suma zamene mesta, i ukoliko se upotrebi poznati rezultat o integralu funkcije koja u sebi sadrži Dirakov impuls, dobijamo:

( ) ( ) ( ) ((*0

1 1k k

E j E j k d E j kT T

))0ω λ δ ω λ ω λ ω ω∞ ∞∞

−∞=−∞ =−∞

= − − =∑ ∑∫ − (6.9)

Poslednji rezultat je izuzetno važan i on nam govori o tome da se frekvencijski spektar diskretizovanog signala može dobiti kao beskonačni zbir frekvencijskih spektara kontinualnog signala koji su po frekvencijskoj osi pomereni za učestanost 0 , 0, 1, 2,...k kω = ± ± , uz multiplikativnu konstantu 1/ . Na slici 6.3.a je prikazan pretpostavljeni spektar kontinualnog signala a na slici 6.3.b je prikazan spektar signala dobijenog diskretizacijom.

T( )e t

( )E jω

ωgω

(a)

( )*E jω

0ω ω0 / 2ω

(b)

Slika 6.3: a) Frekvencijski spektar kontinualnog signala, b) Frekvencijski spektar signala dobijenog diskretizacijom

Na osnovu prikazanih spektara se može doći do jednog vrlo važnog zaključka koji se u literaturi naziva Šenonovom ili Nikvistovom teoremom o odabiranju. Naime, ukoliko sa gω označimo graničnu učestanost u spektru kontinualnog signala (ona je označena na slici 6.3.a) koja predstavlja učestanost iza koje snaga signala postaje zanemarljiva, tada ukoliko želimo da spektar diskretizovanog signala ostane verodostojan spektru originalnog kontinualnog signala, bez značajnog efekta preklapanja koji se javlja zbog periodičnosti ovog drugog spektra, učestanost odabiranja 0ω mora zadovoljiti sledeću nejednakost:

0 0 2g g gω ω ω ω ω< − ⇒ > (6.10)

odnosno, perioda odabiranja pri diskretizaciji mora zadovoljiti uslov:

12g g

Tf

πω

< = (6.11)

U protivnom efekat preklapanja ili takozvani 'aliasing' efekat postaje značajan i on utiče da veliki gubitak informacija o signalu koji se dobija procesom odabiranja. U svakom slučaju, pretpostavimo da smo prilikom izbora periode odabiranja o tome vodili računa, i da je spektar našeg diskretizovanog signala ( )*e t u opsegu učestanosti [ ]0 0/ 2, / 2ω ω− , koji se naziva Nikvistov opseg

učestanosti, gotovo identičan spektru kontinualnog signala ( )e t .

Dosadašnja analiza nas je dovela do vrlo važnog rezultata da je spektar diskretnog signala periodična funkcija učestanosti, sa periodom ponavljanja 0 2 /Tω π= i da se pravilnim izborom periode odabiranja T kompletna informacija o signalu može sačuvati bez obzira na A/D konverziju, odnosno na proces odabiranja.

Sledeći, takođe važan rezultat ćemo dobiti počevši od relacije 6.3 koja kaže da se diskretizovani signal ( )*e t može dobiti kao proizvod originalnog kontinualnog signala ( )e t i

povorke odbiraka . Međutim, kako u teoriji sistema upravljanja uglavnom operišemo sa kauzalnim signalima, i u želji da na signale primenimo jednostranu (unilateralnu) Laplasovu transformaciju, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da su i signal i signal

( )i t

( )e t ( )i t kauzalni:

(6.12) ( ) ( ) ( )0

0 za 0,k

e t t i t t kTδ∞

=

= < = −∑

Kako se ova dva signala množe u vremenskom domenu, u kompleksnom domenu će njihovi Laplasovi reprezenti ući u konvoluciju:

( ) ( ) ( )* 1 *2

E s E s Ijπ

= s (6.13)

pri čemu je sada:

( ) ( ) ( )0 0

0 0

st st

k k

skTI s i t e dt t kT e dt eδ∞ ∞∞ ∞− −

= =

= = − =∑∫ ∫ −∑ (6.14)

Poslednji izraz predstavlja geometrijsku progresiju sa koeficijentom progresije sTe− i ukoliko je on po modulu manji od 1, ova beskonačna suma se može sračunati:

( ) 1 ; 1 Re1

sTsTI s e s

e−

−= < ⇔−

0> (6.15)

Smenom u relaciju (6.13) dobija se izraz za Laplasovu transformaciju diskretnog signala:

( ) ( ) ( )* 1 1

2 1j

s p TjE s E p

j eγ

γπ+ ∞

− −− ∞=

−∫ dp (6.16)

pri čemu se integracija vrši po pravoj čiji je realni deo konstantan i iznosi γ i koja razdvaja singularitete tipa polova podintegralnih funkcija. Polovi funkcije ( )E p su definisani vremenskim

oblikom originalnog kontinualnog signala ( )e t i ako pretpostavimo da taj signal nije divergentan, a kauzalan je, ovi će se polovi nalaziti u levoj poluravni s ravni. Pogledajmo sada gde se nalaze polovi druge podintegralne funkcije:

( ) ( ) ( )21 0 1 22 2 , 0, 1, 2,...

s p T s p T k j

k

e e e s p Tk j ks p p s j kT T

π k jππ π

− − − −− = ⇒ = = ⇒ − − =

⇒ − = − ⇒ = + = ± ± (6.17)

Drugim rečima, ova podintegralna funkcija ima beskonačno mnogo polova koji svi imaju jednak realni deo, koji je jednak realnom delu kompleksne promenljive s. Kako smo već pretpostavili da je kompleksna promenljiva s sa pozitivnim realnim delom, kako bi funkcija ( )I s konvergirala, to znači da se svi ovi polovi nalaze u desnoj poluravni p ravni. Dakle, ako su polovi kompleksne funkcije ( )E p u levoj poluravni s ravni, ili čak na imaginarnoj osi, tada postoji realna pozitivna konstanta γ , pa je integral definisan izrazom 6.16 moguće sračunati. Konačno, ostaje pitanje na koji način se takav integral može sračunati. Teorija kompleksnih funkcija nam daje mogućnost da ovakvu vrstu integrala sračunamo primenom računa ostataka. U ovom tekstu se ne navode rigorozni dokazi ovakvog tvrđenja, niti ograničenja pod kojim ono važi, već se daju praktični aspekti primene ove teorije. Dakle, Laplasovu transformaciju diskretizovanog signala ( )*e t možemo sračunati prema sledećem izrazu:

( ) ( )( )

* Res1k

s p Tp pk

E pE s

e− −==

−∑ (6.18)

pri čemu se reziduali računaju u tačkama kp p= koje predstavljaju polove jedne ili druge podintegralne funkcije. Kako funkcija ( )E p uobičajeno ima konačan broj polova, praktičnije je reziduale računati na osnovu polova ove funkcije.

U cilju ilustracije navedenog postupka, možemo posmatrati sledeći primer.

Primer 6.1: Neka je kontinualni kauzalni signal ( )e t definisan na sledeći način:

( ) ( )22 t te t e e h t− −⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (6.19)

Potražimo Laplasovu transformaciju diskretnog signala ( )*e t koji se dobija odabiranjem sa periodom T=ln2 sec. Odredimo prvo Laplasovu transformaciju kontinualnog signala:

( ) ( ) ( )( )( )0

3 12 11 2 1

st sE s e t e dt

s s s s∞ − −

= = − =2+ + + +∫

Sada se, primenom relacije (6.18) dobija i Laplasova transformacija diskretizovanog signala na sledeći način:

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

*

1 2

2 1

1 2 1 2

1Res1

3 1 3 11Res Res1 2 1 21 1

6 9 3 6 91 1 1 1

kT s pp pk

T s p T s pp p

T s T s

T s T s T s T s

E s E pe

p pp p p pe e

e ee e e e

− −=

− − − −=− =−

− + − +

− + − + − + − +

=−

− −= +

+ + + +− −

− + −= + =

− − − −

∑1 (6.20)

Zanimljivo je detektovati da orginalna funkcija ( )E s ima dva pola i jednu nulu. Polovi su u

tačkama -1 i -2 a nula je u tački +1. Međutim, funkcija ( )*E s ima beskonačno mnogo polova i beskonačno mnogo nula. Vrednosti polova su:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 21

2 2 22

21 0 1 1 , 0, 1, 2,...

21 0 1 2 , 0, 1, 2,...

T s T s jkk

T s T s jkk

ke e e s j kT

ke e e s j kT

π

π

π

π

− + − +

− + − +

− = ⇒ = = ⇒ = − − = ± ±

− = ⇒ = = ⇒ = − − = ± ± (6.21)

Drugim rečima, početni pol u tački -1 se multiplicirao u beskonačno mnogo polova čiji su svi realni delovi isti i iznose -1 a imaginarni delovi su celobrojni umnošci učestanosti odabiranja 2 /Tπ . Analogno tome početni pol u tački -2 se multiplicirao u beskonačni skup polova, opet sa realnim delom -2 i imaginarnim delovima koji su celobrojni umnošci učestanosti odabiranja signala. Što se tiče nula novodobijene funkcije situacija nije tako jednostavna. I ovih nula ima beskonačno mnogo, ali su njihove pozicije definisane rešavanjem transcedentne jednačine iz brojioca u izrazu (6.20).

( )*E s

D/A konvertor

Uloga D/A (Digitalno Analognog) konvertora jeste da diskretne signale koji se dovode na ulaz ovog konvertora pretvori u kontinualne signale. Zavisno od načina ove konverzije D/A konvertori se dele u različite tipove. Najčešće korišćeni D/A konvertori su takozvani 'sample and hold circuit of zero type' čiji je način rada prikazan na slici 6.4. Ako signal na ulazu konvertora označimo sa , dakle u pitanju je diskretni signal, a signal na izlazu iz konvertora označimo sa

(indeks h potiče od engleske reči hold), tada važi sledeća relacija: ( )*m t

( )hm t

( ) ( ) ( )* , [ , ), 0,1, 2,...h hm t m kT m kT za t kT kT T k= = ∈ + = (6.22)

Ovakav konvertor se naziva kolom zadrške nultog tipa, jer su signal između dve periode odabiranja aproksimira polinomom nultog stepena, konstantom.

( )*m t

t0 T 2T kT

( )hm t

t0 T 2T kT

/D A⇒

Slika 6.4: Ilustracija rada D/A konvertora

Ukoliko želimo da modeliramo rad D/A konvertora nultog tipa najjednostavniji način je da se na ulaz konvertora dovede Dirakov impuls i da se generiše impulsni odziv. Nalaženjem Laplasove transformacije impulsnog odziva možemo dobiti funkciju prenosa ovakvog D/A konvertora. Na slici 6.5 je prikazan impulsni odziv kola zadrške nultog reda, označen kao . ( )0hg t

0 T 2T t

( )0hg t

1

Slika 6.5: Impulsni odziv kola zadrške nultog reda

Očigledno se impulsni odziv kola zadrške nultog reda može modelirati na sledeći način:

( ) ( ) ( )0hg t h t h t T= − − (6.23)

što znači da je odgovarajuća funkcija prenosa:

( )01 Ts

heG ss

−−= (6.24)

Zanimljivo je pogledati kako izgledaju frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda:

( )/ 2 / 2

/ 20

sin1 22 sinc

2

j T j T j Tj T

h

Te e eG j e Tj j

ω ω ωω

ωωω

ω ω ω

− −−

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎛⎝ ⎠= = = = ⎜

⎝ ⎠T ⎞⎟ (6.25)

( ) ( )/ 20

sin / 2arg arg 2 arg sin

2 2j T

h

T TG j e ω ω ωωω

−⎧ ⎫ Tω⎧ ⎫⎛ ⎞= = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎩ ⎭

⎬ (6.26)

Ove dve frekvencijske karakteristike su prikazane na slici 6.6. Sa njih je zanimljivo posmatrati isključivo Nikvistovo područje učestanosti dakle [ ]0, /Tω π∈ , odnosno [ ]00, / 2ω ω∈ . Dakle, amplitudska frekvencijska karakteristika bi, u cilju što manjeg izobličenja na signalima, trebalo da bude ravna u ovom opsegu učestanosti, a ona to nije. I to je veliki nedostatak ovakvog kola zadrške.

Sa stanovišta fazne frekvencijske karakteristike, ona bi trebalo da bude linearna u Nikvistovom području učestanosti, i ona to jeste.

T

0 0ω 02ω03ω ω

( )0hG jω ω( ) arg G jω

0 0ω 02ω03ω

π−

2π−

3π−

4π−

5π−

6π−

Slika 6.6: Frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda

Zbog prilično nepovoljne amplitudske frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda ponekada se koriste i složenije strukture, kao što je na primer kolo zadrške prvog reda. Kolo zadrške prvog reda vreme između dva odbirka popunjava polinomima prvog reda (dakle konstantnog nagiba) pri čemu se vrednost tog nagiba određuje na osnovu prethodna dva odbrika iz diskretnog signala:

( ) ( ) ( ) ( )* * *1 ; [ , ); 0,1,2,...h

t kTm t m kT m kT T m kT t kT kT T kT− ⎡ ⎤= − − + ∈ + =⎣ ⎦ (6.27)

Ovakvo kolo zadrške popravlja amplitudsku frekvencijsku karakteristiku, ona postaje ravnija u Nikvistovom području učestanosti, ali se zato fazna frekvencijska karakteristika izobličava i odstupa od linearne. To je razlog zbog koga se kolo zadrške nultog reda najčešće koristi, bez obzira na njegove nedostatke u amplitudskoj karakteristici.

Digitalni računar

Uloga digitalnog računara u strukturi kakva je prikazana na slici 6.1 je da na osnovu odbiraka signala greške ( )*e t generiše upravljački signal ( )*m t koji će opet po svojoj prirodi biti diskretan. Rad digitalnog računara i njegovu funkcionalnost u ovako definisanom sistemu određuje programer koji u odgovarajućem programskom jeziku definiše zavisnost upravljačkog signala od signala greške. Kako su u pitanju diskretni signali, u ovom kontekstu digitalni računar predstavlja jedan digitalni sistem. Ako se veza između ulaznih i izlaznih signala može opisati linearnom diferencnom jednačinom, ceo digitalni računar se ekvivalentno može zameniti jednom funkcijom diskretnog prenosa : ( )D z

( ) ( )( )

M zD z

E z= (6.28)

gde su sa ( )M z i ( )E z označene zed transformacije diskretnih signala i ( )*m t ( )*e t . Uobičajeno je da se diskretni signali obeležavaju uglastim zagradama kako bi se nedvosmileno razlikovali od kontinualnih (umesto odznake ( )*e t možemo koristiti oznaku [ ]e kT i umesto oznaku ( )*m t

[ ]m kT ili samo i [ ]e k [ ]m k ). Da se podsetimo, jednostranu zed transformaciju nad kauzalnim diskretnim signalom definišemo na sledeći način:

( ) [ ] [ ]0

k

kM z Z m k m k z

∞−

=

= =∑ (6.29)

pri čemu ovako definisana zed transformacija ima sledeće osobine:

1. pomeranje u vremenskom domenu:

[ ] ( )nZ m k n z M z−− = (6.30)

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]10 1 ... 1n n nZ m k n z M z z m z m zm n−+ = − − − − − (6.31)

2. pomeranje u kompleksnom domenu:

[ ] k zZ a m k Ma

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.32)

3. prva granična teorema zed transformacije

[ ] ( )0 limz

m M→∞

= z (6.33)

4. druga granična teorema zed transformacije

[ ] ( ) ( )1

1lim 1z

m z−

→∞ = − M z (6.34)

pri tome, ne treba zaboraviti da druga granična teorema zed transformacije važi samo pod uslovom da su svi singulariteti tipa polova funkcije ( )zM unutar jediničnog krug.

5. Zed transformacije tipičnih, često korišćenih signala su:

[ ] 1=kZ δ (6.35)

[ ] 11

11 −=

−= − z

zz

khZ (6.36)

[ ] az

zaz

khaZ k

−=

−= −11

1 (6.37)

( ) [ ] ( )( )

( )( ) 1cos2

sincos21sinsin 221

1

+Ω−Ω

=+Ω−

Ω=Ω −−

−

zzz

zzzkhkZ (6.38)

( ) [ ] ( )( )( )

( )( )( ) 1cos2

coscos21cos1cos 221

11

+Ω−Ω−

=+Ω−

Ω−=Ω −−

−−

zzzz

zzzzkhkZ (6.39)

Ovo su bile najvažnije osobine zed transformacije. Uglavnom, treba zapamtiti da se u strukturi kakva je data na slici 6.1, prisustvo i učinak digitalnog računara može ekvivalentno opisati odgovarajućom funkcijom diskretnog prenosa.

Kontinualni proces U strukturi kakva je data na slici 6.1, proces je jedini kontinualni podsistem. Njegov rad se može opisati ili odgovarajućom diferencijalnom jednačinom, ili, ukoliko je proces linearan i vremenski nepromenljiv, odgovarajućom funkcijom prenosa ( )sGp . Međutim, ceo sistem u zatvorenoj sprezi je hibridni sistem, što znači da se u njemu pojavljuju i kontinualni i diskretni

signali. U želji da na jedan jedinstven, kompaktan način opišemo ponašanje celog sistema, neophodno je izabrati domen u kome ćemo sistem posmatrati. Onog momenta, kada smo odlučili da upravljanje sistemom vršimo pomoću digitalnog računara, koji je po svojoj prirodi diskretan, koji na svom ulazu i izlazu generiše samo diskretne signale, logično je da se moramo lišiti mogućnosti i privilegije da imamo uvid u stanje sistema u svakom trenutku vremena, gledano kao kontinuum, već ćemo se zadovoljiti time da imamo informaciju o sistemu i signalima samo u trenucima koji predstavljaju celobrojne umnoške periode odabiranja T. Pri tome, ne treba zaboraviti da pravilnim izborom periode odabiranja koja je proistekla iz Šenonove teoreme o odabiranju, pa još ukoliko poštujemo iskustvene preporuke da periodu odabiranja treba birati na način:

( ) gfT

1051

÷= (6.40)

ovakva vrsta žrtve i nije tako velika. Drugim rečima, izborom dovoljno male periode odabiranja količina informacija o sistemu i signalima je gotovo identična kao da pred sobom imamo odgovarajuće kontinualne sisteme i njihove reprezente. Na ovom mestu je neophodno dati još jedan važan komentar, da čitaoci ne steknu predstavu da je dobro periodu odabiranja neograničeno smanjivati. Podsetimo se da usled diskretizacije, frekvencijski spektri signala postaju periodične funkcije i da je nama od interesa opseg učestanosti, koji nazivamo Nikvistovim područjem učestanosti [ ]T/,0 π ili [ ]2/,0 0ω gde je sa T/20 πω = označena učestanost odabiranja. Takođe, podsetimo se da je usled takozvanog 'aliasing' efekta u ovo područje učestanosti diskretnog signala preslikan sadržaj na svim učestanostima ),0[ ∞ koji je postojao u spektru kontinualnog signala. Da bi se ovaj efekat 'prljanja' ili kontaminacije u Nikvistovom području učestanosti izbegao, vrlo često se pre diskretizacije signala vrši njegovo filtriranje, takozvanim prefiltrom. Prefiltar je filtar propusnik niskih učestanosti koji propušta frekvencijski sadržaj na niskim učestanostima, jer se očekuje da se tu nalazi korisni signal, a potiskuje sadržaj na visokim učestanostima, jer se tu očekuje prisustvo neželjenih šumova i smetnji. Propusni opseg prefiltra se uglavnom vezuje za učestanost odabiranja 0ω , što je i logično. Međutim, ako bismo insistirali na vrlo maloj periodi odabiranja, to za posledicu ima vrlo veliku učestanost odabiranja, pa onda i široki propusni opseg prefiltra, a to pak znači da je omogućeno šumovima da propagiraju nesmetano kroz sistem. To je razlog zbog koga ni preterano mala vrednost periodie odabiranja nije preporučljiva.

Dakle, pogledajmo deo sistema sa slike 6.1. koji se sastoji od redne veze D/A konvertora i kontinualnog procesa. Kako je signal koji ulazi u D/A konvertor po svojoj prirodi diskretan, na slici 6.7 je predstavljen kao rezultat diskretizacije, odnosno nalazi se iza odabirača koji odabira sa periodom odabiranja T.

( )tm

T( )tm* ( )tmh ( )tc

AD / ( )sGp

Slika 6.7: Redna veza D/A konvertora i kontinualnog procesa funkcije prenosa ( )sGp

Kako je već pokazano na koji način se može modelirati ponašanje D/A konvertora, i kako je već izvedena njegova funkcija prenosa ( )sGh0 , prvi korak u modeliranju ovakve redne veze je da se D/A konvertor i kontinualni proces predstave jednim blokom čija je funkcija prenosa jednaka proizvodu pojedinih funkcija prenosa. Ovakva struktura je data na slici 6.8. Čak vrlo često, kada se u nekim složenijim sistemima na ulaz kontinualnog sistema dovodi diskretni signal, iako nije naznačaneno, podrazumeva se da postoji D/A konvertor čiju funkciju prenosa treba pomnožiti sa funkcijom prenosa procesa.

( )tm

T( )tm* ( )tc( ) ( )sGsG ph0

Slika 6.8: Ekvivalentna struktura redne veze D/A konvertora i kontinualnog procesa.

Došli smo do tačke da je jedino blok čija je funkcija prenosa ( ) ( )sGsG ph0 kontinualan. Svi ostali elementi sistema su diskretni, i sada na ovom mestu treba odlučiti na koji način ovaj kontinualni blok predstaviti njegovim diskretnim ekvivalentom, kako bi mogli ceo sistem da posmatramo kao diskretni sistem, i da ga na jednostavan način analiziramo. Načina da se ovakva struktura, kakva je prikazana na slici 6.8, dakle rednu vezu odabirača i kontinualnog procesa, diskretizuje ima mnogo. O nekim od tih metoda, takozvanim numeričkim metodama diskretizacije, pričaćemo kasnije, međutim sada se najprirodnijim načinom čini sledeći. Ako bismo kontinualnu funkciju prenosa

predstavili nekim diskretnim ekvivalentom ( ) ( )sGsG ph0 ( )zG na njegovom izlazu bi dobili neki

diskretni signal ili u uobičajenoj notaciji za diskretne signale ( )tc* [ ]kc . Taj diskretni ekvivalent treba izabrati tako da odbirci signala ( )zG [ ]kc budu identični odbircima kontinualnog signala ( )tc

koji se dobija na izlazu kontinualnog procesa, a u vremenskim trenucima koji odgovaraju celobrojnim umnošcima periode odabiranja. Drugim rečima, Laplasova transformacija kontinualnog signala jednaka je, na osnovu slike 6.8: ( )tc

( ) ( ) ( ) ( )sMsGsGsC ph*

0= (6.41)

Pretpostavimo da smo ovaj kontinualni signal diskretizovali i dobili signal , i da su nam trenutno poznati samo njegovi odbirci

( )tc*

( ) ,...2,1,0, =kkTc . Tada je njegova Laplasova transformacija, dakle diskretizovanog sistema, na osnovu relacije 6.9 koja je napisana u frekvencijskom domenu, ali se jednako može napisati i u kompleksnom Laplasovom domenu:

( ) (∑∞

−∞=

+=k

kjsCT

sC 0* 1 ω ) (6.42)

Smenom (6.41) u poslednju relaciju se dobija:

( ) ( ) ( ) (∑∞

−∞=

+++=k

pho jksMkjsGkjsGT

sC 0*

00* 1 ωωω ) (6.43)

Međutim, signal je već diskretan signal, pa je njegova Laplasova transformacija periodična sa periodom ponavljanja

( )tm*

0ωj , te se član ( )0* ωjksM + može izvući kao konstantan član ispred

sumatora: ( )sM *

( ) ( ) ( ) (∑∞

−∞=

++=k

ph kjsGkjsGT

sMsC 000** 1 ωω ) (6.44)

Poslednja relacija nam govori da se naš kontinualni proces može predstaviti svojim diskretnim ekvivalentom:

( )( ) ( ) (∑

∞

−∞=

++=k

pho kjsGkjsGTsM

sC00*

* 1 ωω ) (6.45)

Uvodeći oznaku , naš digitalni ekvivalent jednak je ( ) ( ) ( )sGsGsG pho=

( ) (∑∞

−∞=

+=k

kjsGT

sG 0* 1 ω ) (6.46)

odnosno, digitalni ekvivalent je predstavljen diskretizovanim impulsnim odzivom čija je Laplasova transformacija . Na osnovu relacije 6.18, ovaj ekvivalent možemo sračunati kao: ( )sG

( ) ( )( )∑ −−= −

=k

Tpspp epGsG

k 1Res* (6.47)

a konačno, smenom , dobija se funkcija diskretnog prenosa kontinualnog procesa: sTez =

( ) ( ) ( ) pTk pppT

k pp ezzpG

zepGzG

kk −=

−= ∑∑

=−=Res

1Res 1 (6.48)

Time se, umesto hibridnog sistema prikazanog na slici 6.1, može kao diskretni ekvivalent formirati sistem prikazan na slici 6.9, pri čemu je osnovna razlika u tome, da u sistemu na slici 6.9 ne postoje kontinualni signali, i iz njega se ne može dobiti informacija o tome, šta se sa kontinualnim signalima dešava u trenucima između dva perioda odabiranja.

[ ]km[ ]kr [ ]ke+

−

( )zD ( )zG[ ]kc

Slika 6.9: Diskretni ekvivalent sistema sa slike 6.1

Primer 6.2: Posmatrajmo proces čija je funkcija prenosa

( ) ( )( )2110

++=

sssGp (6.49)

Ukoliko u hibridnom sistemu on stoji u rednoj vezi sa kolom zadrške nultog reda (D/A konvertorom) odgovarajuća funkcija diskretnog prenosa ( )zG , uz pretpostavku o periodi odabiranja

, postaje: sec2ln=T

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) pT

Tp

k pp

pTphok pppT

k pp

ezz

pppe

ezzpGpG

ezzpGzG

k

kk

−++−

=

−=

−=

−

=

==

∑

∑∑

21101Res

ResRes (6.50)

U poslednjem izrazu se usled prisustva D/A konvertora pojavljuje član ( )Tpe−−1 . Kako je zed transformacija linearna transformacija, lako se može pokazati da se ovaj član može izvući ispred znaka reziduala i sume kao ( )11 −− z . Otuda se za funkciju ( )zG dobija:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )25.05.0)12(625.0510

151

2110Res1

21

1

−−+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

−−

−−=

−++−=

−−−

=

− ∑

zzz

ezezzz

ezz

pppzzG

TT

kTppp k

(6.51)

Dakle, od kontinualnog procesa drugog reda ( )sGp dobili smo diskretni ekvivalent takođe drugog reda. Može nam biti zanimljivo, u kojoj meri odzivi kontinualnog i diskretnog sistema liče jedan na drugog, i da li je zadovoljen kriterijum koji smo postavili na početku, da su odbirci kontinualnih signala jednaki u trenucima odabiranja jednaki vrednosti diskretnih signala. Na slici 6.10.a su prikazani odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta na step pobudu (jedinični

( )zG

odskočni odzivi), dok su na slici 6.10.b prikazani odzivi ova dva sistema na pobudni signal trougaonog oblika.

(a) (b)

Slika 6.10: Odzivi kontinualnog sistema i njegovog diskretnog ekvivalenta a) na jediničnu odskočnu pobudu; b) na pobudni signal trougaonog oblika

Zanimljivo je uočiti da su na slici 6.10.a prikazani odskočni odzivi kontinualnog sistema i njegovog diskretnog ekvivalenta i da su u trenucima odabiranja ova dva odziva identična. Međutim, na slici 6.10.b gde je pobuda bila trougaoni signal, uočava se da su odzivi slični ali čak ni u trenucima odabiranja nisu jednaki. Razlog za to jeste uticaj D/A konvertora, koga smo uzeli u obzir prilikom sračunavanja diskretnog ekvivalenta i čija amplitudska frekvencijska karakteristika, prikazana na slici 6.6 nije onakva kakvu smo želeli. Jedino odskočna funkcija (ili linearna kombinacija odskočnih funkcija) kada prođe kroz kolo zadrške nultog reda ne menja svoj oblik, i zato jedino za takvu vrstu pobude odzivi kontinualnog procesa i diskretnog ekvivalenta imaju identične odzive u trenucima odabiranja. Zato se ovakva vrsta diskretizacije kontinualnih sistema, koja uzima u obzir kolo zadrške nultog reda, naziva metod step invarijantnosti.

13. Različite strukture hibridnih sistema i njihovi diskretni ekvivalenti

U prethodnom pitanju smo analizirali jednu tipičnu strukturu sistema sa negativnom povratnom spregom, pri čemu je postojao samo jedan A/D konvertor. Vrlo često, strukture sistema mogu biti značajno složenije, sa većim brojem konvertora, većim brojem povratnih sprega, i tada prilikom traženja diskretnog ekvivalenta moramo biti pažljivi i pridržavati se odgovarajućih zakonitosti. U tom cilju, u okviru ovog pitanja, biće analizirane neke specifične strukture i biće objašnjeni postupci za određivanje odgovarajuće funkcije diskretnog prenosa.

Primer 7.1: Posmatrajmo strukturu sistema prikazanu na slici 7.1 koja se sastoji od redne veze dva kontinualna sistema kojima prethode odgovarajući odabirači.

( )1G s ( )2G s( )r t ( )*r t ( )m t ( )*m t ( )c t

T T

Slika 7.1

Na slici 6.1. nisu jasno označeni D/A konvertori, međutim, logično je da su u funkcije prenosa i uključene i odgovarajuće funkcije prenosa kola zadrške. U želji da formiramo

odgovarajući ekvivalent strukture prikazane na slici, krenimo od Laplasove transformacije signala na izlazu

( )1G s ( )2G s

( ) ( ) ( )*2C s G s M s= (7.1)

Diskretizacijom signala ( )c t dobili bismo signal ( )*c t čija je Laplasova transformacija, na osnovu relacije (6.42)

( ) (*0

1k

C s C s kjT

)ω∞

=−∞

= +∑ (7.2)

gde je sa 0 2 /Tω π= označena kružna učestanost odabiranja. Smenom (7.1) u (7.2) dobija se

( ) ( ) (*2 0

1k

C s G s jk M s jkT

)*0ω ω

∞

=−∞

= + +∑ (7.3)

Kako je signal već diskretan signal, njegova Laplasova transformacija ( )*m t ( )*M s je periodična funkcija sa periodom 0jω , pa se ovaj član može izvući kao konstanta ispred sume:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 0 2

1k

C s M s G s jk M s G sT

ω∞

=−∞

= + =∑ (7.4)

Drugim rečima, dobijeni rezultat kao da je dobijen tako što smo na relaciju (7.1) primenili operator zvezdica koji označava diskretizaciju signala čije su Laplasove transformacije date na levoji desnoj strani jednakosti. Kako je signal već diskretan (već ima zvezdicu) operator zvezdica deluje

samo na funkciju prenosa . Sličnim rezonom, polazeći od relacije ( )*m t

( )2G s

( ) ( ) ( )*1M s G s E s= (7.5)

dolazi se do

( ) ( ) ( )* * *1M s E s G s= (7.6)

Konačno, smenom (7.6) u (7.4) dobijamo

( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2C s G s G s E s= (7.7)

a smenom u svaki od članova u poslednjoj relaciji Tse = z

( ) ( ) ( ) ( )1 2C z G z G z E z= (7.8)

Primer 7.2: Posmatrajmo strukturu sistema, prikazanu na slici 7.2, koja se neznatno razlikuje od strukture iz prethodnog primera, ali je rezultat značajno drugačiji.

( )1G s ( )2G s( )r t ( )*r t ( )c t

T

Slika 7.2

Sada između blokova funkcija prenosa ( )1G s i ( )2G s nema odabirača pa i relacije izgledaju drugačije:

( ) ( ) ( ) ( )*1 2C s G s G s R s= (7.9)

Primenom operatora '*' na poslednju relaciju dobijamo:

(7.10) ( ) ( ) ( ) ( )**1 2C s G s G s R s= ⎡ ⎤⎣ ⎦

*

ili, smenom sTz e= ,

( ) ( ) ( )1 2C z G G z R z= (7.11)

što nikako nije jednako izrazu (7.8), jer je:

( ) ( )1 1Resk

Tss sk

zG z G sz e=

=−∑ (7.12)

( ) ( )2 2Resk

Tss sk

zG z G sz e=

=−∑ (7.13)

( ) ( ) ( )1 2 1 2Resk

Tss sk

zG G z G s G sz e=

=−∑ (7.14)

i očigledno važi sledeća nejednakost:

( ) ( ) ( )1 2 1 2G z G z G G z≠ (7.15)

Primer 7.3: Za sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom prikazan na slici 7.3

( )W s( )r t ( )*e t

T

( )e t ( )c t

Slika 7.3

možemo pisati

( ) ( ) ( )*C s W s E s= (7.16)

odnosno

( ) ( ) ( )* * *C s W s E s= (7.17)

Takođe, na osnovu jednakosti

( ) ( ) ( )E s R s C s= − (7.18)

primenjujući operator zvezdica, odnosno vršeći diskretizaciju signala na levoj i desnoj strani poslednje jednakosti, dobijamo:

( ) ( ) ( )* * *E s R s C s= − (7.19)

Smenjujući relaciju (7.19) u (7.17) dobija se:

( ) ( )( ) ( )

**

*1W s

C s R sW s

=+

* (7.20)

a smenom sTz e=

( ) ( )( ) ( )

1W z

C z R zW z

=+

(7.21)

Na osnovu poslednje jednakosti možemo definisati i funkciju spregnutog prenosa za dobijeni diskretni sistem:

( )( ) ( ) ( )

( )1C z W z

G zR z W

= =+ z

(7.22)

Primer 7.4: Ovaj primer ilustruje sistem u kome nije moguće definisati funkciju diskretnog prenosa od ulaza do izlaza. Sistem je prikazan na slici 7.4.

( )2G s( )1G s

( )0hG s ( )D z

( )r t+

−

( )e t ( )c tT

( )*m t

Slika 7.4

Na osnovu ove slike moguće je uspostaviti sledeću vezu između Laplasovih transformacija signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2 1 2 1 hoC s G s G s R s G s G s G s M s= − (7.23)

odnosno, nakon primene operatora diskretizacije:

(7.24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )** *2 1 2 1 hoC s G s G s R s G s G s G s M s= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

*

a nakon smene sTz e=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0hC z G G R z G G G z M z= − (7.25)

Na osnovu relacije

( ) ( ) ( )M z D z C z= (7.26)

i njene smene u (7.25), konačno se dobija zed transformacija signala na izlazu

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 21 ho

G G R zC z

D z G G G z=

+ (7.27)

Očigledno je da se iz zadnjeg izraza ne može definisati količnik ( ) (/C z R z ) , što znači da za ovakav sistem nije moguće definisati funkciju diskretnog prenosa. Ovaj slučaj se dešava kadgod postoji direktna putanja od ulaznog do izlaznog signala na kojoj nema odabirača.

14. Zed modifikovana transformacija Vrlo često postoje primeri gde nam je ipak važno da, bez obzira na diskretizaciju, imamo uvid u to šta se dešava sa kontinualnim signalima u našem sistemu u trenucima koji nisu celobrojni umnožak periode odabiranja. Način da se taj problem reši je vrlo jednostavan. Ukoliko se, fiktivno, ispred odabirača uvede transportno kašnjenje koje predstavlja deo jedne periode odabiranja, kao što je to prikazano na slici 7.5, iza odabirača će se dobiti vrednosti kontinualnog signala u trenucima koji nisu celobrojni umnošci periode.

( ) ( )hoG s G s( )*m t

T

( )m t ( )c t( )1 m Tse− −

( )mc t ( )*mc t

T Slika 7.5: Uvođenje transportnog kašnjenja

Sa slike 7.5 se vidi da uvedeno transportno kašnjenje iznosi ( )1 m T− . Uobičajeno je da parametar

m uzme vrednost iz intervala ( )0,1 . Granične vrednosti su isključene, jer u slučaju da je m=0 u pitanju je transportno kašnjenje od jedne periode odabiranja pa je

( ) ( )1 ,mC z z C z m− 0= = (7.28)

što nije bio naš cilj. Takođe,u slučaju da je m=1 transportnog kašnjenja nema pa je uvedeni blok za kašnjenja funkcije prenosa 1. Ukoliko primenimo ceo postupak za nalaženje zed transformacije nad signalom ( )*

mc t dobićemo sledeći rezultat:

( ) ( )Resk

m m Tss sk

zC z C sz e=

=−∑ (7.29)

Znajući da je:

( ) ( )( )1mc t c t m T= − − (7.30)

odgovarajuće Laplasove transformacije stoje u sledećem odnosu:

( ) ( ) ( )1 m TsmC s C s e− −= (7.31)

pa je konačno zed transformacija zakašnjenog signala:

( ) ( )( )1

Resk

m Ts

m Tss sk

eC z C sz e

− −

==

−∑ z (7.32)

Kako se član može napisati kao proizvod , prvi od ovih faktora se može protumačiti kao kašnjenje za jednu periodu odabiranja, što se ekvivalentno, u zed domenu, može predstaviti uvođenjem člana

( )1 m Tse− − Ts mTse e− −

1z− , što konačno rezultuje izrazom:

( ) ( )Resk

mTs

m Tss sk

eC z C sz e=

=−∑ (7.33)

Poslednja relacija se naziva zed modifikovanom transformacijom signala ) sa parametrom m, i u literaturi se koristi sledeća oznaka

(c t:

( ) ( ) ( ), m ,Z c t m Z c t C z m= = (7.34)

Izborom parametra m i njegovom promenom, možemo imati uvid u vrednost signala u bilo kom trenutku između dva trenutka odabiranja. Ukoliko uzmemo u obzir strukturu sistema prikazanu na slici 7.5, gde se signal ( )c t dobija kao izlaz sistema funkcije prenosa pri čemu je na

ulazu diskretan signal ( ) ( )hoG s G s

( )*m t , odgovarajuće relacije postaju:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 *

*1 1* *

m Tsm ho

m Ts m Tsm ho m ho

C s e G s G s E s

C s e G s G s E s C z Z e G s G s E z

−

− −

= ⇒

⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦ (7.35)

odnosno

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, m TshoC z m Z e G s G s E z− −= (7.36)

Količnik se za zadatu strukturu na slici 7.5, naziva modifikovanom funkcijom diskretnog prenosa i obeležava se na sledeći način:

( ) (, /C z m E z )

( ) ( )( ),

,ho

C z mG G z m

E z= (7.37)

Primena zed modifikovane transformacije je svrsishodna u slučaju kada u sistemu postoje odabirači različitih perioda odabiranja, što je čest slučaj ukoliko sistem u sebi ima podsisteme različitih dinamika. Pogledajmo primer sistema prikazanog na slici 7.6.

( )1W s( )r t ( )*e t

2T

( )e t( )2W s

( )*m t

T

( )m t ( )c t+

−

Slika 7.6: Primer sistema sa nesinhronizovanim odabiračima

U sistemu na slici 7.6 postoje dva odabirača koja nisu sinhronizovana. Jedan od njih ima dva puta veću periodu odabiranja od drugog. Postavlja se pitanje, da li je moguće ovakvu strukturu sistema predstaviti ekvivalentno pomoću odabirača koji će biti sinhronizovani, odnosno koji će imati jednaku periodu odabiranja. U ovom slučaju to jeste moguće i uopšte uzev, kada je količnik tih perioda odabiranja racionalan broj, odgovor je potvrdan. Postupak je sledeći: brži odabirač (dakle

onaj koji odabira sa periodom T) treba predstaviti kao paralelnu vezu dva sporija odabirača sa periodom 2T, uz korišćenje odgovarajućih kašnjenja. Ceo postupak ćemo ilustrovati na primeru jednostavnog signala. Zamislimo da imamo jedan jedinični usponski signal

( ) ( )m t th t= (7.38)

i da bismo voleli da imamo njegove odbirke svakih T=1sec, odnosno da generišemo diskretni signal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 0 1 1 2 2 3 3m t t t t tδ δ δ δ= + − + − + − + (7.39)

ali su nam na raspolaganju samo odabirači koji rade sa periodom odabiranja T=2sec. Dakle, takav odabirač može da nam generiše diskretnu sekvencu:

( ) ( ) ( ) ( )*1 0 2 2 4 4m t t t tδ δ δ= + − + − + (7.40)

Drugim rečima, nedostaju nam odbirci u trenucima 1,3,5,.. Njih možemo dobiti ukoliko formiramo diskretni signal na osnovu kontinualnog signala ( )*

2m t ( ) ( )'m t m t 1= + koji odabiramo sa periodom T=2sec:

( ) ( ) ( ) ( )*2 1 3 2 5 4m t t t tδ δ δ= + − + − + (7.41)

Problem je jedino u tome što se ovi odbirci pojavljuju u pogrešne vremenske trenutke. Odbirak 1 se pojavljuje u trenutku a trebalo bi u trenutku 0t = 1t = , odbirak 3 se pojavljuje u trenutku 2t = a trebalo bi u trenutku i tako dalje. Problem ćemo rešiti tako što ćemo signal zakasniti za

jedan sekund. Na ovaj način željeni signal

3t = ( )*2m t

( )*m t možemo napisati kao zbir signala i signala

: ( )*

1m t

( )*2 1m t −

( ) ( ) ( )*1 2 1m t m t m t*= + − (7.42)

pri čemu se ova dva sabirka na desnoj strani jednakosti dobijaju pomoću odabirača koji rade sa dva puta većom periodom odabiranja nego što je period odabiranja signala na levoj strani. Struktura koja realizuje ovu ideju, a za primer sistema prikazanog na slici 7.6, data je na slici 7.7.

( )1W s

( )r t ( )*e t

2T

( )e t

( )2W s( )*

1m t

( )c t

( )1W s ( )2W s( )*

2m t

2T

2TTse Tse−

+−

+

+( )*2m t T−

Slika 7.7: Ekvivalentna struktura sistema sa sinhronizovanim odabiračima

Sada možemo da odredimo funkciju diskretnog prenosa za ceo sistem. Ako napišemo veze između pojedinih signala

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2,0.5C z W z M z W z M z= + (7.43)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1M z W z R z W z C z= − (7.44)

( ) ( ) ( ) ( )2 1 ,0.5M z zW z R z C z= −⎡ ⎤⎣ ⎦ (7.45)

S g prenosa menom relacija (7.44) i (7.45) u (7.43) dobija se funkcija diskretno

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2,0.5 ,0.5C z W z W z zW z W z+=

1 2 1 21 ,0.5 ,0.5R z W z W z zW z W z+ +(7.46)

š važno dati komentar da se redna veza blokova ( )2W sJedino je jo i

riode

iTmacijo

znaka Značenje

Tse− može predstaviti u

diskretnom domenu članom ( )2 ,0.5W z jer je T polovina pe oda nja sa kojom rade

sinhronizovani odabirači, dok se redna veza blokova funkcije prenosa ( )1W s i Tse , može

ekvivalentno predstaviti rednom vezom tri bloka funkcija prenosa 2Tse , W Tse− Prvi od blokova predstavlja prednjačenje signala za jedan period odabiranja od 2domenu faktorom z, a druga dva bloka rezultuju modifikovanom zed tra or m 1 ,0.5W z .

Na ovome mestu možemo napraviti kratku rekapitulaciju uobičajene notacije:

bira

( )1 s . , što rezultuje u zed

nsf ( )

O

( )*c t Oznaka zvdiskretni s

ezdica nad kontinualnim signalom označava ignal koji u trenucima odabiranja ima iste

vrednosti kao i kontinualan signal. U literaturi se često, umesto ove, sreće oznaka [ ]c kT ili samo [ ]c k gde uglasta zagrada označava da se radi o diskretnim signalima.

( ) Z c t U pitanju je zed transformacija nad odbircima kontinualnog signala. Rigorozno govoreći, umesto ove trebalo bi da stoji oznaka ( ) *Z c t ili [ ] Z c kT i za kauzalne signale se računa na sledeć način:

[ ]

i

( ) [ ]0

k

k

Z c kT C z c∞

kT z−

=

= =∑

( ) Z G s Ova oznaka je uvedena da bi se pojednostavilo pisanje i, opet, rigorozno govoreći je nekorektna, jer se zed transformacija može definisati nad diskretnim signalom a ne nad funkcijom prenosa. Međutim, značenje je prilično jasno, u pitanju je zed transformacija nad odbircima impulsnog odziva sistema čija je ( )G s funkcija prenosa i računa se na sledeći način:

( ) ( ) ( )1 j

jZ G s G s Res

2 kTs Tss sk

z zds G sj z e z e=

=− −∑

de su sa označeni polovi funkcije prenosa

γ

γπ+ ∞

− ∞= ∫

g ks ( )G s , a sumiranje po k se vrši po svim polovima ove funkcije

a . koliko ih im vodeći računa o njihovoj višestrukosti

( ) ( ),mZ G s G z m= U pitanju je modifikovana funkcija diskretnog prenosa i računa se na sledeći način:

( ) ( ) ( )1, R2 k

mTs mTsj

Ts Tsj s sk

e eG z m G s ds G sj z e z

γ

γπ+ ∞

− ∞ == =

− −∑∫ ese

( )Resks s

A s=

označava rezidum funkcije ( )A s u tački koja

predstavlja pol funkcije ks s=

( )A s . Ukoliko je pol jednostruk rezidum se računa po formuli:

( ) ( ) ( )Res limkk

ks ss sA s s s A

→== − s

Ukoliko je pol višestrukosti j, tada je rezidum ks

( ) ( ) ( ) (1

1

1Res lim1 kk

jj

kjs ss s

d )A s s sj ds

−

−→=A s⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

15. Različite metode diskretizacije kontinualnih signala

Metod step invarijantnosti U pitanju broj 12 je opisan jedan metod za diskretizaciju kontinualnih sistema koji je nazvan metodom step invarijantnosti. Po metodi step invarijantnosti kontinualnom sistemu funkcije prenosa odgovara funkcija diskretnog prenosa ( )G s

( ) ( ) ( ) ( )

( )

11 1

21Res

k

Tsj

ho Tsj

Ts

Tss sk

e zG z Z G s G s G sj s z

e zG ss z e

γ

γπ

−+ ∞

− ∞

−

=

−= =

−

−=

−

∫

∑

e (7.47)

Ovaj se metod zove metod step invarijantnosti jer ukoliko na ulaz kontinualnog i diskretnog sistema dovedemo jedinični odskočni signal, odzivi i jednog i drugog sistema će u trenucima odabiranja biti identični.

Metod impulsne invarijantnosti Sledeći metod koji može biti primenjen u cilju diskretizacije kontinualnih sistema jeste metod impulsne invarijantnosti. Ovaj metod kontinualnom sistemu funkcije prenosa ( )G s pridružuje, kao ekvivalentan, diskretni sistem funkcije diskretnog prenosa:

( ) ( ) ( ) ( )21 Res

2 k

j

Ts Tsj s sk

z zG z Z G s G s G sj z e z

γ

γπ+ ∞

− ∞ == = =

− ∑∫ e− (7.48)

Ovaj metod se zove metod impulsne invarijantnosti jer, kao što može da se pretpostavi, samo u slučaju kada su na ulazu i kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta, jedinični impulsi, odzivi oba sistema, u trenucima odabiranja biće identični. Primetimo, da se izraz za izračunavanje funkcije diskretnog prenosa razlikuje od izraza za ( )2G z ( )1G z , što ovaj prvi ne uzima u obzir kolo zadrške nultog reda. Pogledajmo na sledećem primeru, kakvog su oblika ova dva diskretna ekvivalentna za jednu konkretnu funkciju prenosa kontinualnog sistema.

Primer 7.5: Posmatrajmo kontinualni sistem funkcije prenosa

( ) ( )( )2

1 2G s

s s=

+ + (7.49)

Potražimo njegove diskretne ekvivalente uzimajući za periodu odabiranja T sec. ln 2=

Diskretni ekvivalent metodom step invarijantnosti je sledeća funkcija diskretnog prenosa:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

3 31

11 1

1

0 1 2

1

1 2 2Res 1 Res1 2 1 2

2 21 lim lim lim1 2 2 1

0.25 0.5211 0.5 0.25 0.5 0.25

k k

Ts

Ts Tss s s sk k

Ts Ts Tss s s

e z zG z zs s s z e s s s z e

z zzs s z e s s z e s s z e

zz z zzz z z z z

−−

= == =

−

→ →− →−

−

−= = −

+ + − + + −

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + +

+ + − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦+⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦

∑ ∑

2z (7.50)

Odgovarajući diskretni ekvivalent metodom impulsne invarijantnosti je:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3

21

1 2

2Res1 2

2 2lim lim2 1

2 2 0.50.5 0.25 0.5 0.25

kTss sk

Ts Tss s

zG zs s z e

zs z e s z e

z z zz z z z

==

→− →−

=+ + −

⎡ ⎤⎢= +

+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − =⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

∑

z⎥

z=

(7.51)

Primetimo da oba metoda generišu iste polove u zed domenu, jedino se nule razlikuju. To nije ni čudo jer se skok sa kontinualnog 's' domena u diskretni 'z' domen vrši smenom e , tako da se kontinualni polovi

Ts

1 1s = − i preslikavaju u diskretne polove i . Ova činjenica nas navodi na jednu vrlo važnu osobinu navedenih metoda

diskretizacije da oni zapravo čuvaju stabilnost sistema. Naime, u kontinualnom 's' domenu granica stabilnosti je imaginarna osa

2 2s = − 11 0.5Tsz e= =

22 0.25Tsz e= =

s jω= i navedenom funkcijom se ova granica stabilnosti preslika u 'z' ravni u jedinični krug:

1j Tz e ω= = (7.52)

što predstavlja granicu stabilnosti u 'z' ravno. Dakle, svi kontinualni sistemi koji su bili stabilni pre diskretizacije, metodom impulsne ili step invarijantnosti, će i posle diskretizacije ostati stabilni.

Na slici 7.8 su prikazani odskočni i impulsni odzivi kontinualnog sistema i odgovarajućih diskretnih ekvivalenata. Na ovoj slici se jasno vidi, da su u slučaju jediničnog odskočnog signala na ulazu, odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta funkcije diskretnog prenosa ( )1G z u trenucima odabiranja identični, i sa druge strane ukoliko na ulaze sistema dovedemo jedinični impuls, tada će se odziv kontinualnog sistema identično slagati, u trenucima odabiranja sa odzivom diskretnog ekvivalenta dobijenog metodom impulsne invarijantnosti. Programski kod u Matlabu koji generiše ove rezultate je sledeći:

G=tf([2],[1 3 2]);t=0:0.01:10;y1=impulse(G,t);y2=step(G,t); G1=c2d(G,log(2),’zoh’); y3=impulse(G1,15);y4=step(G1,15); G2=c2d(G,log(2),’imp’);y5=impulse(G2,15);y6=step(G2,15); figure(1);plot(t,y1);hold on;stairs([0:14]*log(2),y3); figure(2);plot(t,y1);hod on;stairs([0:14]*log(2),y5); figure(3);plot(t,y2);hold on; stairs([0:14]*log(2),y4); figure(6);plot(t,y2);hold on; stairs([0:14]*log(2),y6);

Slika 7.8:Slike gore su impulsni odzivi a slike u donjem redu su odskočni odzivi kontinualnog sistema i diskretnih sistema dobijenih metodom step invarijantnosti (levo) i metodom impulsne

invarijantnosti (desno)

Metod integraljenja u levo ili diferenciranja u desno

Sledeći metod za diskretizaciju kontinualnih sistema pripada grupi numeričkih metoda i naziva se metodom integraljenja u levo (ili metodom diferenciranja udesno). Zasniva se na sledećoj ideji. Pretpostavimo da postoji neka kontinualna funkcija vremena ( )x t i da su nama na raspolaganju samo odbirci te funkcije u ekvidistantnim vremenskim trenucima:

Pretpostavimo takođe, da je potrebno da izračunamo, na osnovu ovih odbiraka integral: ( ) ( ) ( )0 , , 2 ,...x x T x T

( ) ( )0

ty t x dτ τ= ∫ (7.53)

Na slici 7.9 je prikazana funkcija ( )x t sa naznačenim poznatim odbircima. Vrednost traženog integrala možemo računati takođe u ekvidistantnim tačkama:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

kT kT T kT kT

kT T kT Ty kT x d x d x d y kT T x dτ τ τ τ τ τ τ

−

− −= = + = − +∫ ∫ ∫ ∫ τ (7.54)

odnosno

( ) ( ) ( )kT

kT Ty kT y kT T x dτ τ

−− − = ∫ (7.55)

( )x t

t0 kT Slika 7.9: Kontinualna funkcija čiji su nam odbirci u ekvidistantnim vremenskim trenucima poznati

Postavlja se problem kako sračunati integral na desnoj strani jednakosti (7.55) kada su nam poznati samo odbirci signala ( )x kT T− i ( )x kT . Ovaj problem je ilustrovan slikom 7.10.

( )x t

t0 kTkT T−

( )x kT T−( )x kT

Slika 7.10: Ilustracija izračunavanja površine krivolinijskog trapeza

Polazeći od osnovnih aproksimacija u teoriji numeričke analize, površina krivolinijskog trapeza koja je osenčena na slici 7.10 predstavlja vrednost integrala na desnoj strani jednakosti (7.55). Međutim, mi tu površinu ne možemo da sračunamo, jer ne znamo analitički oblik funkcije ( )x t , već možemo jedino da je aproksimiramo na osnovu poznatih odbiraka. Prva mogućnost je da ovaj krivolinijski trapez aproksimiramo pravougaonikom čija je jedna stranica dužine T, a druga stranica dužine ( )x kT T− . Smenom ove aproksimacije u relaciju (7.55) dobijamo:

( ) ( ) ( )y kT y kT T Tx kT T− − ≈ − (7.56)

Primenom zed transformacije na poslednju dobijenu diferencnu jednakost, dobija se:

( ) ( ) ( )1 11 z Y z Tz X z− −− = (7.57)

odnosno,

( )( )

1

11 1Y z Tz TX z z z

−

−= =− −

(7.58)

Sa druge strane, kako znamo da je signal ( )y t integral signala ( )x t , znamo da u Laplasovom 's' domenu, ovaj količnik glasi

( )( )

1Y sX s s

= (7.59)

Na osnovu relacija (7.58) i (7.59) dolazi se na jednostavnu ideju da se diskretizacija proizvoljnog kontinualnog sistema zadate funkcije prenosa ( )G s vrši tako što se svako s u toj funkciji prenosa

zameni odgovarajućim količnikom ( )1 /z T− :

( ) ( ) 13 zsT

G z G s −=

= (7.60)

Ovako dobijen metod numeričke diskretizacije se naziva metod integraljenja u levo jer smo kod krivolinijskog trapeza izabrali levu vrednost funkcije ( )x kT T− u cilju aproksimacije

pravougaonikom. Sa druge strane zamena ( )1s z T= − istovremeno znači kao da izvod funkcije

( )x t u tački računamo po sledećoj aproksimaciji t kT= ( ) ( ) ( )( ) /x kT x kT T x kT T≈ + − , pa se često navedeni metod naziva i metodom diferenciranja u desno.

Za primer funkcije prenosa kontinualnog sistema datog relacijom (7.49), kao diskretni ekvivalent se dobija:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2

31

2 2 0.48051 2 1 1 2 0.3069 0.3863zs

T

TG zs s z T z T z z−

=

= = =+ + − + − + − +

(7.61)

Na slici 7.11 su prikazani impulsni i odskočni odziv kontinualnog sistema i ovog diskretnog ekvivalenta.

Slika 7.11: Impulsni i odskočni odzivi kontinualnog sistema i odgovarajućeg diskretnog ekvivalenta

dobijenog metodom integraljenja u levo

Očigledno je da je slaganje impulsnih i odskočnih odziva jako loše, što je posledica loše aproksimacije krivolinijskog trapeza. Istina je i to da je perioda odabiranja prilično velika (izabrana je tako da bi numerički primer bio jednostavniji) međutim, ni sa smanjivanjem periode odabiranja rezultati ne bi bili značajno bolji. U cilju analize primenjivosti ove metode potrebno je videti šta se

dešava sa stabilnošću sistema. Najbolji način je da se utvrdi u šta se, ovakvom transformacijom slika granica stabilnosti iz 's' ravni, dakle jω osa:

1s j z Ts Tj 1ω ω= ⇒ = + = + (7.62)

Poslednji rezultat nam govori da se leva poluravan iz 's' ravni slika u poluravan u 'z' ravni koja se nalazi levo od prave čiji je realni deo jednak 1 (slika 7.12).

Re s

Im s

Re z

Im z

1

Slika 7.12: Preslikavanje oblasti stabilnosti iz 's' ravni u 'z' ravan

Na osnovu slike 7.12 se jasno uočava da sistem koji je kao kontinualan bio stabilan, vrlo jednostavno posle diskretizacije ovom metodom može postati nestabilan, jer je jedinični krug, koji predstavlja oblast stabilnosti u 'z' ravni, samo podskup šrafirane oblasti na desnoj slici.

Metod integraljenja udesno ili diferenciranje ulevo

Ukoliko se odlučimo da površinu krivolinijskog trapeza na slici 7.10 aproksimiramo površinom pravougaonika čija je jedna stranica T a druga ( )x kT , dobićemo sledeću aproksimaciju:

( ) ( ) ( )y kT y kT T Tx kT− − ≈ (7.63)

pa na isti način, primenom zed transformacije na poslednju relaciju

( ) ( ) ( )11 z Y z TX z−− = (7.64)

i upoređujući količnik

( )( ) 11 1

Y z T TzX z z z−= =

− − (7.65)

sa količnikom , dolazimo do novog načina diskretizacije ( ) ( )/Y s X s s=1/

( ) ( ) 14 zsTz

G z G s −=

= (7.66)

Ovaj postupak diskretizacije se naziva metodom integraljenja udesno ili diferenciranja ulevo, i za naš slučaj bi rezultovao diskretnim ekvivalentom:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

4 21

2 0.48051 2 4.04 4.079 11 1 1 2 1zs

Tz

T z zG zs s z zT z T z−

=

= = =+ + − ++ − + −

(7.67)

Impulsni i odskočni odziv ovakvog diskretnog ekvivalenta, zajedno sa odzivima kontinualnog sistema dati su na slici 7.13.

Slika 7.13: Impulsni i odskočni odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta dobijenog

metodom integracije u desno

Opet je zanimljivo pogledati sta je sa stabilnošću sistema prilikom ovakve vrste diskretizacije. Dakle, zanima nas u šta se slika granica stabilnosti iz kontinualnog domena:

2 2

1 1 11 1 1

j Ts j zsT j T T

ωωω ω

+= ⇒ = = =

− − + (7.68)

Ukoliko kompleksni broj z napišemo preko njegovog realnog i imaginarnog dela:

( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1,1 1 1

0.5 0.5

Tz u jw u w u w uT T T

u w

ωω ω ω

= + ⇒ = = ⇒ + = =+ + +

⇒ − + = (7.69)

vidimo da se cela leva poluravan 's' ravni preslikava u 'z' ravni u krug poluprečnika 0.5 čiji je centar u tački ( . Ova činjenica je ilustrovana na slici 7.16. )0.5, 0j

Re s

Im s

Re z

Im z

1

Slika 7.16: Preslikavanje oblasti stabilnosti iz 's' ravni u 'z' ravan

Sa slike 7.16 je očigledno da će ovakvim preslikavanjem sistem koji je bio stabilan u kontinualnom domenu, svakako ostati stabilan i nakon diskretizacije. Jasno je da neki sistemi koji nisu bili stabilni pre diskretizacije, mogu postati stabilni kao diskretni ekvivalenti.

Bilinearna ili Tustin-ova transformacija Poslednji numerički metod kojim se kontinualni sistemi mogu diskretizovati jeste bilinearna ili Tustin-ova transformacija. Ova transformacija se dobija ukoliko želimo da površinu krivolinijskog trapeza na slici 7.10 aproksimiramo površinom pravouglog trapeza:

( ) ( ) ( ) ( )2

x kT T x kTy kT y kT T T

− +− − = (7.70)

Tada se primenom zed transformacije na poslednju relaciju dobija:

( ) ( ) ( ) ( )11 12Tz Y z z X z− −− = + 1 (7.71)

odnosno

( )( )

1

1

12 1

Y z T zX z z

−

−

+=

− (7.72)

Imajući u vidu odnos Laplasovih transformacija ( ) ( )/ 1Y s X s s= / , metod bilinearne transformacije postaje:

( ) ( )2

2 15 21

0.1054 0.2107 0.10540.6665 0.08794

zsT z

z zG z G sz z

−=

+

+ += =

− + (7.73)

Na slici 7.17 su prikazani impulsni i odskočni odzivi kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta funkcije diskretnog prenosa . ( )5G z

Slika 7.17: Impulsni i odskočni odzivi kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta dobijenog

metodom bilinearne transformacije

Uočljivo je da od svih navedenih numeričkih procedura metod bilinearne transformacije daje najbolje rezultate. Najbolje u smislu poklapanja odziva sa odzivom kontinualnog sistema. Zanimljivo je pogledati kako se ova transformacija ponaša u smislu čuvanja stabilnosti prilikom preslikavanja. Dakle, ponovo pretpostavljamo da je kompleksna promenljiva s čisto imaginarna, dakle analiziramo granicu stabilnosti u kontinualnom domenu:

1 / 2 1 / 2 1 / 2 11 / 2 1 / 2 1 / 2

Ts Tj Tjs j z zTs Tj Tj

ω ωωω ω

+ + += ⇒ = = ⇒ = =

− − − (7.74)

što je rezultat koji nam govori da se leva poluravan s ravni preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga. Zaključak koji iz ovoga proizilazi je da se stabilan kontinualni sistem nakon ovakve diskretizacije preslikava u stabilan diskretni sistem, i obrnuto, sistem koji je pre diskretizacije bio nestabilan ostaće nestabilan. Ova vrsta diskretizacije ima još jednu zanimljivu osobinu. Naime, jasno je da se ovom metodom imaginarna osa iz 's' ravni preslikava u jedinični krug 'z' ravni, što nam govori da se iz prirode ovog preslikavanja mogu sagledati posledice po frekvencijske karakteristike sistema. Ukoliko želimo da skiciramo frekvencijske karakteristike kontinualnog sistema, potrebno je izvršiti smenu s jω= a da bismo dobili frekvencijske karakteristike diskretnog sistema potrebna je smena j Tz e Ω= . Uspostavimo vezu između kontinualne ω i diskretne kružne učestanosti Ω :

(

/ 2 / 2

/ 2 / 2

/ 2 / 2/ 2 / 2

2 1 2 2 22 tan / 21

2

j T j T

j T j T j T

j T j Tj T j T j T

e ee e e j jjj T

e eT e T e e T Tω

Ω Ω

Ω Ω Ω

Ω ΩΩ Ω Ω

−− −

= = = = Ω++ +

) (7.75)

na osnovu čega izvodimo sledeću relaciju između ove dve učestanosti:

( ) (2 2tan / 2 arctan / 2T ili TT T

ω = Ω Ω = )ω (7.76)

Pri tome treba imati u vidu da se cela pozitivna imaginarna osa ( [0, )ω∈ ∞ ) preslikava u gornji polukrug jediničnog kruga ( [0, )T πΩ ∈ ) odnosno [0, / )TπΩ∈ . Drugim rečima, beskonačno širok interval kontinualnih učestanosti se preslikava u interval diskretnih učestanosti konačne dužine. Usled ovakvog preslikavanja dolazi do takozvanog efekta uvijanja ili sabijanja učestanosti. Ovaj efekat je slikovito prikazan na slici 7.18.

ω

Ω/Tπ

ω

( )G jω( )5

j TG e Ω

Ω

Slika 7.18: Ilustracija efekta uvijanja učestanosti bilinearnom transformacijom

Na slici 7.18 je pretpostavljena neka, hipotetička frekvencijska karakteristika kontinualnog sistema ( )G jω koja se sastoji od povorke četiri četvrtke jednakih širina. Takva povorka četvrtki će se,

nakon primene bilinearne transformacije preslikati u povorku od četiri četvrtke koje će biti značajno različitih širina. Pri tome, očigledan je efekat da će, širina četvrtke biti utoliko manja ukoliko je njena pozicija na višim učestanostima. Primetimo takođe, da je funkcija koja transformiše kontinualnu učestanost u diskretnu bliska linearnoj za male vrednosti učestanosti:

( )2 tan / 2 0 /T zaT

ω = Ω ≈ Ω ≤ Ω << Tπ (7.77)

Što su ove učestanosti veće, funkcija tangensa sve više odstupa od linearne zavisnosti i efekat uvijanja učestanosti postaje sve izraženiji.

Ovo je razlog zbog koga se umesto bilinearne transformacije koristi modifikovana bilinearna ili modifikovana Tustin-ova transformacija koja se neznatno razlikuje od smene u relaciji (7.73):

11

zs kz−

=+

(7.78)

odnosno, odgovarajući diskretni ekvivalent postaje:

( ) ( ) 161

zs kz

G z G s −=

+

= (7.79)

pri čemu se nepoznati parametar k određuje tako da se minimizira efekat uvijanja učestanosti na intervalu učestanosti [ ]0, Tω , gde je sa Tω označena takozvana Tustin-ova učestanost, i koja se zadaje apriori prilikom diskretizacije. Ta učestanost se uglavnom bira kao neka granična učestanost korisnog signala ili propusni opseg sistema, i kada se ona odredi, parametar k se dobija iz relacije (7.77) usvajanjem Tω ω= Ω = :

( )tan / 2

T

T

kT

ωω

= (7.80)

ANALIZA I SINTEZA SISTEMA U PROSTORU STANJA

16. Osnovne forme modela u prostoru stanja Tehnika modela u prostoru stanja predstavlja moderan pristup u teoriji linearnih sistema. Modeli u prostoru stanja su naročito pogodni za predstavljanje multivarijabilnih sistema sa velikim brojem ulaza i izlaza i vrlo su efikasni za numeričke algoritme izračunavanja. Takođe, modeli u prostoru stanja su omogućili definisanje novih koncepata u teoriji sistema kao što su kontrolabilnost i opservabilnost. Mi ćemo se u okviru ovog kursa baviti linearnim, kauzalnim, vremenski nepromenljivim sistemima i model u prostoru stanja za takav kontinualan LTI sistem ima sledeću formu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0; 0

dx tAx t Bu t x x

dty t Cx t Du t

= + =

= + (8.1)

pri čemu se prva od jednačina u (8.1) naziva jednačinom stanja dok se druga od njih naziva jednačinom merenja ili opservacije. Primetimo da je jednačina stanja vektorska diferencijalna jednačina dok je jednačina merenja algebarska. Ako usvojimo dimenzije pojedinih vektorskih promenljivih: ( ) dim 1x t n= × , ( ) dim 1u t m= × i ( ) dim 1y t r= × , gde je ( )x t vektor stanja,

vektor ulaza ili upravljanja i vektor merenja ili opservacija, tada dimenzije pojedinih

matrica postaju jednoznačne: ( )u t ( )y t

dim A n n= × , dim B n m= × , dim C r n= × i dim D r m= × .

Ukoliko pođemo od pretpostavke da je sistem opisan skupom diferencijalnih jednačina, najjednostavniji i direktni način da se formira odgovarajući model u prostoru stanja jeste da se za elemente vektora stanja izaberu sve zavisne promenljive i svi njihovi izvodi osim najviših. Ovakvim izborom se za elemente vektora stanja biraju fizičke promenljive. Ovaj ćemo postupak ilustrovati sledećim primerom.

Primer 8.1: Posmatrajmo jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru. Njegovo ponašanje se može opisati dvema diferencijalnim jednačinama, od kojih jedna predstavlja Omov zakon za električno kolo rotora, dok druga predstavlja jednakost pokretačkih i otpornih momenata:

( ) ( ) ( ) ( )rr r r me m

di tL R i t K t u

dtω+ + = r t (8.2)

( ) ( ) ( ) 0mem r e e m

d tK i t J F t

dtω

ω− + + = (8.3)

Dakle, za ovako opisan sistem, direktni metod za formiranje modela u prostoru stanja jeste da se za elemente vektora stanja usvoje sve zavisne promenljive ( ( )ri t i ( )m tω ) i svi njihovi izvodi osim najviših. Pošto su naše diferencijalne jednačine (8.2) i (8.3) jednačine prvog reda, to znači da će naš model u prostoru stanja imati samo dve koordinate: struju rotora i brzinu okretanja osovine motora:

( ) ( )( ) ( )

1

2

r

m

x t i t

x t tω

=

= (8.4)

Formirati model u prostoru stanja postaje jednostavno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

1

1

r merr m

r r r

mer

r r r

di t KRrx t i t t

dt L L LKR x t x t u t

L L L

ω= = − − +

= − − +

u t (8.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2m em e em e

r me e e e

d t K F K F1 2x t i t t x t

dt J J J Jω

ω= = − = − x t (8.6)

U matričnoj formi je ove dve relacije moguće zabeležiti na sledeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

mer

r rr

em e

e e

KRL L

Lx t Ax t Bu t x t u tK FJ J

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = + ⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.7)

Time smo formirali jednačinu stanja. Ukoliko je u posmatranom sistemu moguće meriti brzinu okretanja osovinu, dakle na raspolaganju nam je tahogenerator:

( ) ( ) ( )2TG m TGy t K t K x tω= = (8.8)

odgovarajuća jednačina merenja postaje:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 TGy t Cx t Du t K x t u t= + = + 0 (8.9)

Jednačine (8.7) i (8.9) definišu model u prostoru stanja za jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru, pri čemu su koordinate stanja izabrane direktno na osnovu diferencijalnih jednačine, te ove koordinate imaju svoj fizički smisao. U narednom tekstu ćemo opisati postupak formiranja nekih drugih vrsta modela u prostoru stanja, čije koordinate stanja nisu fizičke promenljive, već često neka njihova linearna kombinacija, ali su zato forme modela karakteristične i po nekim svojstvima značajne.

Kontrolabilna kanonična forma Pretpostavimo da je kontinualni LTI sistem opisan funkcijom prenosa:

( )2

3 2

2 4 35 7

s sG ss s s

+ +=

1+ + + (8.10)

Prvi korak u formiranju modela u prostoru stanja koji ćemo zvati kontrolabilna kanonična forma jeste da proverimo da li je polinom u imeniocu funkcije prenosa monik. Polinom je monik ukoliko je njegov najstariji koeficijent jednak 1. Ukoliko to nije slučaj, i brojilac i imenilac funkcije prenosa treba podeliti najstarijim koeficijentom polinom u imeniocu. U našem slučaju to jeste slučaj, pa možemo preći na sledeći korak. Funkcija prenosa sistema predstavlja količnik Laplasovih transformacija signala na izlazu i ulazu u sistem i pri tome se ništa neće promeniti ukoliko ovaj količnik i podelimo i pomnožimo Laplasovom transformacijom nekog signala koga ćemo zvati pomoćnim signalom:

( )c t

( ) ( )( )

( )( )

2

3 2

2 4 35 7 1

Y s C ss sG sU s s s s C s

+ += =

+ + + (8.11)

Zbog ovog pomoćnog signala se često ovaj postupak naziva metodom pomoćne promenljive. Kako signal može biti bilo koji signal (osim onog koji je identički jednak nuli), možemo ga izabrati tako da imenilac na desnoj strani jednakosti (8.11) bude jednak imeniocu na levoj strani jednakosti, i da brojilac na levoj strani bude jednak brojiocu na desnoj strani, odnosno:

( )c t

( ) ( ) ( )22 4 3Y s s s C s= + + (8.12)

( ) ( ) ( )3 25 7 1U s s s s C s= + + + (8.13)

Ako na relaciju (8.13) primenimo inverznu Laplasovu transformaciju dobija se diferencijalna jednačina trećeg reda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 7u t c t c t c t c t= + + + (8.14)

Vrlo je jednostavno formirati električno kolo koje će za zadati ulazni signal generisati

pomoćni signal , korišćenjem integratora, sabirača i množača. Takvo kolo je prikazano na slici 8.1. i naziva se simulacioni blok dijagram. Takođe, primenom inverzne Laplasove transformacije na relaciju (8.12) dobijamo:

( )u t

( )c t

( ) ( ) ( ) ( )2 4 3y t c t c t c t= + + (8.15)

te se i signal merenja lako može generisati na osnovu signala u simulacionom blok dijagramu. ( )y t

c cc c

5−7−

1−

+++ +

u

24

3y

++

+

Slika 8.1: Simulacioni blok dijagram sistema

Poslednji korak koji nas dovodi do modela u prostoru stanja jeste izbor elemenata vektora stanja. Uvek se, ukoliko je na raspolaganju simulacioni blok dijagram, za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora. S obzirom da u našem simulacionom blok dijagramu figurišu tri integratora (jer je stepen polinoma u imeniocu funkcije prenosa jednak tri), naš vektor stanja će imati tri koordinate. Ukoliko za elemente vektora stanja izaberemo redom signale ( )c t , ( )c t i , model postaje: ( )c t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 3

3 17 5 7 5

x t c t x t

x t c t x t

2 3x t c t c t c t c t u t x t x t x t u t

= =

= =

= = − − − + = − − − +

(8.16)

dok jednačina merenja glasi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 4 2 3 4 2y t c t c t c t x t x t x t= + + = + + (8.17)

Relacije (8.16) i (8.17) se mogu napisati u kompaktnoj matričnoj formi:

( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 0 00 0 1 01 7 5 1

3 4 2

x t u

y t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

t (8.18)

i ovakva forma se naziva kontrolabilnom kanoničnom formom. Kanoničnost forme se ogleda u pravilima na osnovu kojih se vrlo jednostavno mogu formirati matrice A,B i C ukoliko je poznata funkcija prenosa sistema. Matrica A koja je generalno dimenzija n n× se sastoji od tri bloka. U

gornjem levom uglu se nalazi jedinična matrica dimenzija ( ) ( )1n n 1− × − , u prvoj koloni matrice A su svi članovi osim poslednjeg jednaki nuli, dok se u poslednjoj vrsti matrice A nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma (polinoma iz imenioca funkcije prenosa) čitani sleva nadesno sa promenjenim znakom. Dalje, u matrici B su svi elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak 1, dok su u matrici C smešteni koeficijenti polinoma iz brojioca funkcije prenosa čitani sleva nadesno.

Prilikom formiranja kontrolabilne kanonične forme sistema potrebno je dati dve napomene. Prvo, primetimo u primeru 8.1 je matrica D u jednačini merenja jednaka nuli. Ona će uvek biti jednaka nuli ukoliko je polinom u brojiocu nižeg stepena od polinoma u imeniocu funkcije prenosa. U slučaju da su ova dva polinoma istog stepena, njih treba podeliti tako da se dobije konstanta i pravi razlomak, pri čemu će dobijena konstanta biti smeštena u matricu D. Ovaj će postupak biti ilustrovan u primeru 8.2. Druga važna napomena jeste da kontrolabilna kanonična forma može da se formira samo za sisteme koji imaju jedan ulaz, dakle za SISO i SIMO sistema. Postupak formiranja kontrolabilne kanonične forme za sistem sa više izlaza biće ilustrovan u primeru 8.3.

Primer 8.2: Posmatrajmo sistem čija je funkcija prenosa

( )3

3 2

4 22 6 2

s sG ss s s

+=

1+ − + (8.19)

Prvo primetimo da polinom u imeniocu nije monik, zato ćemo i brojilac i imenilac funkcije prenosa podeliti sa 2:

( )3

3 2

23 0

s sG ss s s

+=

+ − + .5 (8.20)

Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu i imeniocu istog stepena. Potrebno je izvršiti deljenje ovih polinoma tako da dobijemo konstantu i pravi razlomak u kome je stepen polinom u brojiocu niži od stepena polinoma u imeniocu:

( )2

3 2

6 3 123 0s sG s

s s s− + −

= ++ − + .5

(8.21)

Sada je postupak identičan onome koji je opisan u primeru 8.1., s tim što sada postoji i matrica D koja je jednaka skalaru 2:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) [ ] ( )

0 1 0 00 0 1 00.5 1 3 1

1 3 6 2

x t x t

y t x t u t

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

= − − +

u t⎤⎥⎥⎥⎦

(8.22)

Primer 8.3: Formiraju kontrolabilnu kanoničnu formu sistema sa jednim ulazom i tri izlaza koji je opisan matricom kolonom funkcija prenosa:

( )

( )

( )

2

11

12 1

1

s ssG s

ss

s s

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎢ ⎥

⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.23)

U slučaju sistema sa više ulaza ili izlaza potrebno je za početak odrediti karakteristični polinom sistema ( )f s . Karakteristični polinom multivarijabilnog sistema se određuje kao najmanji

zajednički sadržalac svih polinoma u imeniocima elemenata matrice funkcija prenosa. Dakle, u našem slučaju je:

( ) ( ) ( ) ( )2 21 , 1, 1 1 3f s NZS s s s s s s s s= − − + = − = s− (8.24)

Tada se matrica funkcija prenosa napiše u sledećoj formi:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

22 3

23

11 1

2 1

G s f s sG s G s f s s

f s s ss sG s f s

⎡ ⎤ +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

(8.25)

Sada se na osnovu karakterističnog polinoma, čiji stepen određuje i red modela formira matrica A, matrica B zadržava formu kakvu je imala i za SISO sisteme, dok će matrica C imati onoliko vrsta koliko je izlaza, pri čemu je svaka vrsta određena odgovarajućim polinomom u matrici (8.25):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 00 0 1 00 1 0 1

1 1 00 0 11 1 2

x t x t

y t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

u t

(8.26)

Primer 8.4: Na analogan način se može formirati i model u prostoru stanja za diskretni LTI sistem. Ukoliko je diskretni sistem predstavljen funkcijom diskretnog prenosa:

( )2

3 2

0.8 0.60.5 0.4

z zG zz z z

− +=

+ − + (8.27)

odgovarajući model u prostoru stanja se takođe sastoji od dve relacije, od kojih je prva diferencna i naziva se jednačinom stanja ili jednačinom tranzicije:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 , 0x k Ax k Bu k x+ = + = x (8.28)

dok je druga, ponovo algebarska jednačina opservacije ili merenja:

[ ] [ ] [ ]y k Cx k Du k= + (8.29)

Ukoliko nam je cilj da formiramo kontrolabilnu kanoničnu formu diskretnog LTI sistema, potrebno je analogno simulacionom blok dijagramu na slici 8.1., da formiramo simulacioni blok dijagram diskretnog sistema koji se sastoji od elemenata za kašnjenje, sabirača i množača. Ponovo uvodeći pomoćnu promenljivu dobijamo relacije:

( ) ( )( )

( )( )

2 1 2

3 2 1 2 3

0.8 0.6 0.8 0.60.5 0.4 1 0.5 0.4

Y z C zz z z z zG zU z z z z z z z C z

− − −

− − −

− + − += = =

+ − + + − +

3

(8.30)

odnosno, u vremenskom domenu:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 0.8 2 0.6 3

1 0.5 2 0.4 3

y k c k c k c k

u k c k c k c k c k

= − − − + −

= + − − − + − (8.31)

Odgovarajući simulacioni blok dijagram dat je na slici 8.2.

[ ]c k [ ]1c k −

1−0.5

0.4−

+++ +

u

10.8−

0.6y

++

+1z− 1z− 1z−[ ]2c k − [ ]3c k −

Slika 8.2: Simulacioni blok dijagram diskretnog LTI sistema

Prilikom formiranja modela u prostoru stanja na osnovu oformljenog simulacionog blok dijagrama diskretnog LTI sistema, za elemente vektora stanja se usvajaju izlazi iz blokova za kašnjenje. Dakle, u cilju formiranja kontrolabilne kanonične forme usvojićemo za elemente vektora stanja redom sledeće signale: [ ] [ ]1 3x k c k= − , [ ] [ ]2 2x k c k= − i [ ] [ ]3 1x k c k= − , pa će otuda jednačine stanja biti:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 2

2 3

3

1 2 3

1 2

1 1

1 1 0.5 2 0.4 3

0.4 0.5

x k c k x k

x k c k x k

x k c k u k c k c k c k

x k x k x k u k

+ = − =

+ = − =

]+ = = − − + − − −

= − + − +

(8.32)

dok jednačina opservacije glasi:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 20.6 3 0.8 2 1 0.6 0.8y k c k c k c k x k x k x k= − − − + − = − + 3

]

(8.33)

U matričnoj formi, relacije (8.32) i (8.33) postaju:

[ ] [

[ ] [ ] [ ]

0 1 0 01 0 0 1 0

0.4 0.5 1 1

0.6 0.8 1

x k u

y k x k

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢+ = +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

= −

k⎤⎥⎥⎥⎦

(8.34)

Primetimo da matrice A, B i C zadovoljavaju ista ona kanonična pravila koja su izvedena za slučaj kontinualnog LTI sistema.

Opservabilna kanonična forma

Sledeća značajna i često korišćena kanonična forma modela u prostoru stanja jeste opservabilna kanonična forma. Način na koji se ona generiše će opet biti ilustrovan na na primeru sistema čija je funkcija prenosa data relacijom (8.10):

( )2

3 2

2 4 35 7

s sG ss s s

+ +=

1+ + + (8.35)

Prvi korak jeste da se, ukoliko je polinom u imeniocu funkcije prenosa monik, polinom u brojiocu i imeniocu podele najvišim stepenom polinoma u imeniocu:

( ) ( )( )

2 3

2 3

2 4 3

5 7 11

Y s s s sG sU s

s s s

+ += =

+ + + (8.36)

Unakrsnim množenjem, dobija se relacija:

( ) ( )2 3 2 3

5 7 1 2 4 31Y s U ss s s s s s

⎡ ⎤ ⎡+ + + = + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎤⎥⎦

(8.37)

ili

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 1 15 2 7 4 3Y s Y s U s Y s U s Y s U ss s s⎧ ⎫)⎡ ⎤= − + + − + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(8.38)

Poslednja relacija nam govori da se signal ( )y t može dobiti kao integral zbira tri signal koji se

nalaze u vitičastoj zagradi, signala ( )5y t− , ( )2u t i signala koji se može dobiti kao integral zbira

sledeća tri signala, , i signala koji je integral zbir signala i ( )7 y t− ( )4u t ( )y t− ( )3u t . Odgovarajući simulacioni blok dijagram je prikazan na slici 8.3.

( )1x t( )y t

( )u t

( )2x t( )3x t5−

2

7−

4

1−

3++

+ +

++ +

+

Slika 8.3: Simulacioni blok dijagram kontinualnog LTI sistema

Usvajajući izlaze iz integratora za elemente vektora stanja, kako je to označeno na slici 8.3, dobija se model u prostoru stanja u sledećoj formi:

( ) ( ) ( )5 1 0 27 0 1 41 0 0 3

x t x t−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u t (8.39)

( ) [ ] ( )1 0 0y t x t= (8.40)

Ovaj model u prostoru stanja se naziva opservabilna kanonična forma i njoj su svojstvene sledeće pravilnosti. Matrica A koja je u opštem slučaju kvadratna matrica dimenzija n se sastoji iz tri bloka: u njenoj prvoj koloni se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma čitani sleva nadesno sa promenjenim znakom (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija ( )

n×

( )1n n 1− × − , dok se u poslednjoj vrsti osim prvog elementa nalaze sve same nule. U matrici B se nalaze koeficijenti polinoma u brojiocu funkcije prenosa čitani sleva nadesno, dok matrica C uvek ima istu formu, prvi element je 1 dok su svi ostali nule.

Vezano za formiranje opservabilne kanonične forme potrebno je dati sledeće napomene. Samo sistemi sa jednim izlazom, dakle SISO i MISO sistemi, mogu imati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja. Postupak za formiranje opservabilne kanonične forme diskretnih sistema je potpuno analogan postupku koji je već objašnjen. Jedina je razlika u tome što se u simulacionom blok dijagramu umesto integratorskih blokova koriste elementi za jedinično kašnjenje. Na sledećem primeru je ilustrovan ovaj postupak.

Primer 8.5: Za diskretni sistem sa dva ulaza i jednim izlazom čija je matrica vrsta funkcija diskretnih prenosa data

( ) ( )3

2

211

zG zzz z

z⎡ ⎤+⎢ ⎥=

−−⎢ ⎥⎣ ⎦ (8.50)

formirajmo opservabilnu kanoničnu formu modela u prostoru stanja. U pitanju je sistem sa dva ulaza i jednim izlazom, te je potrebno prvo odrediti karakteristični polinom sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 , 1 1 1 3f z NZS z z z z z z z= − − = − + = z− (8.51)

Tada se matrica funkcija diskretnog prenosa može napisati u sledećoj formi:

( ) 3 33

1 2G z z z zz z

2⎡ ⎤= + +⎣ ⎦− (8.52)

Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu istog stepena kao i karakteristični polinom, pa je potrebno izvršiti odgovarajuće deljenje polinoma:

( ) [ ] 23

11 1 2G z z z zz z

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦− (8.53)

Sada na osnovu ovako dobijene forme matrice funkcija diskretnog prenosa direktno možemo pisati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]

1

2

1

2

0 1 0 0 11 1 0 1 1 1

0 0 0 2 0

1 0 0 1 1

u kx k x k

u k

u ky k x k

u k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.54)

ili, ako nam je želje da formiramo i simulacioni blok dijagram, relaciju (8.53) treba napisati u sledećoj formi:

( ) [ ] 2 3 12

11 1 21

G z z z z zz

− − − −−

2⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦− (8.55)

što dovodi do sledeće veze između ulaznih signala i izlaza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 11 2 2 1 2 12Y z U z U z z U z z Y z U z U z z U z− − −⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦ (8.56)

Na osnovu ovako napisane veze između ulaznih signala i izlaza, jednostavno se formira simulacioni blok dijagram prikazan na slici 8.4.

1z− 1z− 1z−

2

[ ]1u k

[ ]2u k

[ ]y k++

+++

+ +

+

+

Slika 8.4: Simulacioni blok dijagram diskretnog sistema sa dva ulaza i jednim izlazom

Usvajanjem izlaza iz kola za kašnjenje za elemente vektora stanja dobio bi se model u prostoru stanja prikazan relacijama (8.54).

Dijagonalna kanonična forma

Postupak formiranja dijagonalne kanonične forme modela u prostoru stanja ilustrovaćemo na primeru sledećeg sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom. Neka je njegova funkcija prenosa:

( ) 3 2

46 11

sG ss s s 6

+=

+ + + (8.57)

Prvi korak u formiranju dijagonalne kanonične forme jeste da se funkcija prenosa napiše u formi zbira parcijalnih razlomaka:

( ) ( )( )( )4 1.5 2 0.5

1 2 3 1 2sG s

s s s s s s 3+

= = −+ + + + + +

+ (8.58)

Tada se izlaz sistema može napisati kao zbir tri pomoćna signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.5 2 0.51 2 3

Y s G s U s U s U s U ss s s

= = − ++ + +

(8.59)

koji se vrlo jednostavno mogu realizovati u simulacionom blok dijagramu (slika 8.5).

1

+−

2

+−

3

+−

1.5

2−

0.5

( )u t ( )y t++

+

Slika 8.5: Simulacioni blok dijagram sistema

Usvajanjem izlaza iz integratora za elemente vektora stanja dobija se model u prostoru stanja koji se naziva kontrolabilna kanonična forma:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0 0 10 2 0 10 0 3 1

1.5 2 0.5

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

u t (8.60)

Dijagonalna kanonična forma je specifična po tome što je matrica stanja A dijagonalna matrica, i na njenoj dijagonali se nalaze polovi sistema (nule karakterističnog polinoma). U matrici B se nalaze jedinice, dok se u matrici C nalaze reziduali uz odgovarajuće polove. Primetimo da ukoliko sistema ima konjugovano kompleksne polove, tada dijagonalnu kanoničnu formu nije moguće formirati jer bi se na dijagonali matrice stanja pojavili kompleksni brojevi, što nije uobičajeno za predstave realnih sistema u prostoru stanja.

Posebnu pažnju privlače sistemi koji imaju višestruke realne polove. Za njih, takođe, nije moguće formirati dijagonalnu kanoničnu formu, ali je zato moguće formirati model u prostoru stanja koji je vrlo blizak dijagonalnoj formi, i naziva se Jordan-ovom kanoničnom formom. Postupak za formiranje Jordan-ove kanonične forme biće ilustrovan na sledećem primeru.

Primer 8.6: Posmatrajmo sistem funkcije prenosa

( )( ) ( )( )3

12 5 6

sG ss s s 2

+=

+ + + (8.61)

koji ima tri realna pola u tačkama -2, -5 i -6, pri čemu je prvi od njih višestrukosti 3, drugi je jednostruk, i treći pol je višestrukosti 2. Takođe, kao kod dijagonalne kanonične forme, potrebno je da se funkcija prenosa napiše u formi zbira parcijalnih razlomaka.

( )( ) ( ) ( )2 32 52 2

a b c d e fG ss s ss s s

= + + + + ++ + ++ + + 26 6

(8.62)

pri čemu je:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

23 3

22 2

3

2 5

2 2

6 6

1 1lim 2 0.027; lim 2 0.03822! 1!1 lim 2 0.0208; lim 5 0.1481;0!1 1lim 6 0.1211 ; lim 6 0.07811! 0!

s s

s s

s s

d da s G s b s G sds ds

c s G s d s G s

de s G s f s G sds

→− →−

→− →−

→− →−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + = − = + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − = + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.63)

Na osnovu relacije (8.62) lako se uspostavlja veza između ulaza i izlaza sistema u sledećoj formi:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )2 3 22 5 62 2 6a b c d e fY s U s U s U s U s U s U s

s s ss s s= + + + + +

+ + ++ + +(8.64)

što rezultuje simulacionim blok dijagramom kakav je prikazan na slici 8.6.

2

+−

2

+−

2

+−

5

+−

6

+−

6

+−

c

a

b

d

e

f

+++++

+

( )u t ( )y t

1x2x3x

4x

5x6x

Slika 8.6: Simulacioni blok dijagram sa višestrukim polovima

Usvajanjem elemenata vektora stanja kako je to naznačeno na slici 8.6, model u prostoru stanja u formi Jordan-ove kanonične forme postaje:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

2 1 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 00 0 2 0 0 0 10 0 0 5 0 0 10 0 0 0 6 1 00 0 0 0 0 6 1

x t x

y t c b a d f e x t

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦=

t u t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.65)

Dobijena matrica A se može predstaviti kao blok matrica, dimenzija 3 3× , jer su u sistemu prisutna tri različita pola. Blok koji odgovara trostrukom polu je dimenzija 3 3× , blok koji odgovara jednostrukom polu u tački -5 je dimenzija 1 1× , dok blok koji odgovara dvostrukom polu u tački -6 je dimenzija 2 . Blokovski gledano matrica A je dijagonalna, na dijagonali svakog dijagonalnog bloka se nalaze polovi sistema onoliko puta kolika je višestrukost pola koji odgovara posmatranom bloku. Osnovna razlika Jordan-ove kanonične forme u odnosu na dijagonalnu je ta, da se na subdijagonali dijagonalnog bloka iznad glavne dijagonale, ukoliko je pol višestrukosti veće od jedan, nalazi niz jedinica. Matrica B se takođe može posmatrati kao blok matrica, pri čemu su u svakom bloku svi elementi nule, osim poslednjeg elementa koji odgovara bloku i koji je jednak jedan. Konačno, u matrici C se nalaze odgovarajući reziduali. U cilju vežbanja formiranja Jordan-ove kanonične forme, pogledajmo sledeći primer.

2×

Primer 8.7: Funkcija prenosa sistema je

( )( ) ( ) ( )( )4 2

11 3 4 5

G ss s s s

=+ + + + 3 (8.66)

Sistem je desetog reda, ali ima samo četiri različita pola. Jordan-ova kanonična forma ovakvog sistema glasi:

( ) ( ) ( )

( )

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 3 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 3 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 4 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 5 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 5 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1

x t x

y t d c b a

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= +⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

t u t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( )f e g j i h x t

(8.67)

gde su a,b,c,d.... odgovarajući reziduali.

17. Veze između različitih modela u prostoru stanja i funkcije prenosa sistema Kao što smo već videli, za jedan isti sistem, zadat funkcijom prenosa, moguće je formirati različite modele u prostoru stanja. Međutim, s obzirom da ti modeli predstavljaju jedan isti sistem, njihove matrice stanja, ulaza i merenja ne mogu biti proizvoljne, već između njih mora postojati neka veza. Pretpostavimo da je jedan isti sistem predstavljen pomoću dva različita modela u prostoru stanja. Prvi model u kome je vektor stanja ( )x t okarakterisan je kvartetom matrica

: ( ), , ,A B C D

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (9.1)

dok je drugi model sa vektorom stanja ( )z t , predstavljen kvartetom matrica ( ) : , , ,E F H G

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

z t Ez t Fu t

y t Hz t Gu t

= +

= + (9.2)

Pretpostavimo još da postoji regularna matrica T takva da je:

( ) ( )x t Tz t= (9.3)

Poslednja relacija ne umanjuje opštost razmatranja, jer mi se bavimo linearnim, vremenski invarijantnim sistemima, pa je logično da se između različitih vektora stanja može uspostaviti linearno preslikavanje. Tada, na osnovu relacija (9.1), (9.2) i (9.3) možemo napisati sledeći niz jednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 )x t Ax t Bu t Tz t T Ez t Fu t TET x t TFu t−= + = = + = + (9.4)

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( )1Ax t Bu t TET x t TFu t−+ = + (9.5)

Poslednja jednakost mora biti zadovoljena za svako ( )x t i za svako ( )u t , u pitanju je identitet, na osnovu čega zaključujemo da je:

1A TET −= (9.6)

B TF= (9.7)

Takođe, posmatrajući jednačine merenja možemo napisati sledeći niz jednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t Cx t Du t CTz t Du t Hz t Gu t= + = + = + (9.8)

odnosno

( ) ( ) ( ) ( )CTz t Du t Hz t Gu t+ = + (9.9)

Poslednja jednakost takođe mora biti zadovoljena za svako ( )z t i svako , pa zaključujemo da je:

( )u t

CT H= (9.10)

D G= (9.11)

Relacije (9.6), (9.7), (9.10) i (9.11) predstavljaju veze koje moraju postojati između matrica različitih modela u prostoru stanja a za isti sistem.

Ako potražimo funkciju prenosa sistema čiji su ovo modeli u prostoru stanja, lako je dokazati da se dobija isti rezultat nezavisno od toga od kakvog modela u prostoru stanja krećemo. Naime, sada ćemo ilustrovati postupak na osnovu koga se, polazeći od modela u prostoru stanja, može odrediti funkcija prenosa sistema. Krenimo od jednačine stanja (9.1):

( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0x t Ax t Bu t x x= + = (9.12)

i na nju primenimo Laplasovu transformaciju:

( ) ( ) ( )0sX s x AX s BU s− = + (9.13)

Ukoliko nam je cilj da odredimo funkciju prenosa sistema, pretpostavimo da je početni uslov sistema jednak nuli: , odnosno da je sistem relaksiran: 0 0x =

( ) ( ) ( )sX s AX s BU s− = (9.14)

odnosno

( ) ( ) ( )1X s sI A BU s−= − (9.15)

Primenjujući Laplasovu transformaciju i na jednačinu merenja:

( ) ( ) ( )Y s CX s DU s= + (9.16)

pa smenjujući (9.15) u (9.16) konačno dobijamo:

(9.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s− ⎡= − + = − +⎣1− ⎤

⎦

Drugim rečima, funkcija prenosa ili matrica funkcija prenosa, zavisno od broja ulaza i izlaza sistema postaje:

( ) ( ) 1G s C sI A B D−= − + (9.18)

Potpuno identični rezultat bi se dobio da smo krenuli od modela u prostoru stanja po vektoru stanja . Ako krenemo od rezultata (9.18) uzimajući u obzir veze između matrica A, E, B, F, C, H, D i

G, dobija se sledeća jednakost: ( )z t

(9.19)

( )

( )

( ) ( )

11 1 1 1

11 1

1 11 1

C sI A B D HT sTT TET TF G

HT T sI E T TF G

HT T sI E T TF G H sI E F G

−− − − −

−− −

− −− −

⎡ ⎤− + = − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

= − + = − +

Transformaciona matrica koja prevodi model u prostoru stanja u kontrolabilnu kanoničnu formu

Problem, koji ćemo sada da rešimo, jeste kako na osnovu proizvoljnog modela u prostoru stanja vektora ( )x t , koji je opisan kvartetom matrica ( ), , ,A B C D da pređemo u kontrolabilnu kanoničnu formu. Odnosno, koja je to transformaciona matrica T koja će nas nakon preslikavanja ( ) ( )cx t Tx c= prevesti u model u prostoru stanja sa matricama ( ), , ,c c c cA B C D koje predstavljaju

kontrolabilnu kanoničnu formu. Da bismo rešili ovaj problem, pretpostavimo da je red sistema n i da nam je poznat karakteristični polinom sistema:

( ) 11 1

n nn 0f s sI A s a s a s a−−= − = + + + + (9.20)

Takođe, pretpostavimo da kvadratnu matricu T možemo napisati kao matricu vrstu, čiji su svi elementi matrice kolone:

[ ]1 2 1n n n nT t t t t− ×= (9.21)

Tada, na osnovu relacije (9.7) i imajući u vidu formu matrice cB u kontrolabilnoj kanoničnoj formi možemo pisati:

[ ]1 2 1

00

01

c n n nB TB B t t t t t−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.22)

što znači da je poslednja kolona matrice T već određena matricom B. Sa druge strane, na osnovu relacije (9.6) i imajući u vidu formu matrice cA , takođe možemo pisati:

[ ] [ ]1 2 1 1 2 1

0 1 2 1

0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1c n n n n

n n

AT TA At At At At t t t t

a a a a

− −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

n

(9.23)

Na osnovu čega dolazimo do sledećeg niza jednakosti:

1 0

2 1 1

1 2 2

1 1

n

n

n n n

n n n n

At a tAt t a t

At t a tAt t a t

− − −

− −

= −

= −

= −= −

(9.24)

Znajući da je , poslednji sistem jednačina se jednostavno rešava: nt B=

1 1

2 1

2 3 2

1 2 1

n n n n

n n n

n

n

t At a tt At a

t At a tt At a t

− −

− − −2 nt= +

= +

= += +

(9.25)

Ovaj postupak izračunavanja matrice T je vrlo pogodan sa numeričkog aspekta, jer se ni u jednom koraku ne vrši invertovanje matrica.

Studentima se preporučuje da na sličan način izvedu postupak za transformaciju proizvoljnog modela u prostoru stanja u opservabilnu kanoničnu formu ili dijagonalnu kanoničnu formu. Uputstvo za ove postupke je sledeće. S obzirom da između kontrolabilne i opservabilne kanonične forme postoji analogija, matricu 1T − treba predstaviti kao matricu kolonu čiji su elementi matrice vrste. U slučaju transformacije u dijagonalnu kanoničnu formu treba pokazati da su kolone matrice T zapravo sopstveni vektori matrice A.

Izvedene veze između različitih modela u prostoru stanja i funkcije prenosa sistema su u važnosti i za slučaj diskretnih sistema. Sada ćemo samo pokazati postupak kojim se na osnovu

modela u prostoru stanja diskretnog sistema može odrediti funkcija diskretnog prenosa. Pođemo li od jednačine stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ax k Bu k x x+ = + = (9.26)

i primenimo li na nju zed transformaciju, dobija se:

( ) ( ) ( )0zX z zx AX z BU z− = + (9.27)

Kako nam je cilj određivanje funkcije diskretnog prenosa, pretpostavimo opet da je početni uslov jednak nuli , odnosno da je sistem relaksiran: 0 0x =

( ) ( ) ( )zX z AX z BU z− = (9.28)

čime dobijamo zed transformaciju vektora stanja:

( ) ( ) ( )1X z zI A BU z−= − (9.29)

Smenom dobijenog izraza u jednačinu merenja na koju je takođe primenjena zed transformacija:

( ) ( ) ( )Y z CX z DU z= + (9.30)

dobija se:

(9.31) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y z C zI A BU z DU z C zI A B D U z− ⎡= − + = − +⎣1− ⎤

⎦

na osnovu čega zaključujemo da je funkcija diskretnog prenosa, ili matrica funkcija diskretnog prenosa, zavisno od broja ulaza i izlaza sistema, jednaka:

( ) ( ) 1G z C zI A B D−= − + (9.32)

18. Fundamentalna matrica sistema i jednačina kretanja sistema u prostoru stanja Posmatrajmo linearan stacionaran kontinualan sistema koji je opisan sledećom jednačinom stanja modela u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0x t Ax t Bu t x x= + = (9.33)

U pitanju je vektorska diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentima, i naš je cilj da je rešimo, kako bismo u svakom trenutku znali kakva je vrednost pojedinih koordinata stanja. Naravno, ova se diferencijalna jednačina može rešiti na nekoliko različitih načina, međutim, mi ćemo se poslužiti Laplasovom transformacijom. Primenom ove transformacije na relaciju (9.33), kako je to već pokazano u prethodnom pitanju, dobija se algebarska relacija:

( ) ( ) ( ) (1 10 )X s sI A x sI A BU s− −= − + − (9.34)

Očigledno je da matrica ima ključnu ulogu u odzivu sistema i kretanju sistema u prostoru

stanja. Ova matrica se uobičajeno obeležava sa ( 1sI A −− )

( )sΦ , njena inverzna Laplasova transformacija sa

( )tΦ i naziva se fundamentalnom matricom. Dakle, relacija (9.34) se može prepisati u formi:

( ) ( ) ( ) ( )0X s s x s BU s= Φ +Φ (9.35)

Kada bismo znali šta je matrica ( ) ( ) 1t L s−Φ = Φ , na relaciju (9.35) bismo mogli da primenimo inverznu Laplas-ovu transformaciju i da dobijemo jednačinu kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

tx t t x t Bu dτ τ τ= Φ + Φ −∫ (9.36)

Fundamentalna matrica ( )tΦ ima svoju Laplasovu transformaciju ( , i to je zapravo samo

matrična forma skalarne funkcije

) 1sI A −−

( ) ( )atf t e h t= čija je Laplasova transformacija ( ) ( ) 1F s s a −= − .

Dakle, fundamentalna matrica ( )tΦ je matrični eksponent proizvoda : At

( ) Att eΦ = (9.37)

Tako, smenom (9.37) u (9.36), konačno dolazimo do jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )0 0

t A tAtx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (9.38)

Obratimo pažnju na to da se eksponent matrice ne može dobiti tako što se svaki element matrice digne na eksponent, već je postupak izračunavanja sadržan u sledećoj relaciji:

( ) ( ) 11Att e L sI A −−Φ = = − (9.39)

što će biti ilustrovano sledećim primerom.

Primer 9.1: Kontinualni LTI sistem je opisan modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 1 0; 0

5 4 1x t x t u t x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x= (9.40)

Ako želimo da odredimo jednačinu kretanja sistem u prostoru stanja prvo je neophodno da nađemo fundamentalnu matricu:

( ) ( ) ( )( )

11 2 1 4 11

5 4 52 4 5s s

s sI As ss s

−− + − +⎡ ⎤ ⎡

Φ = − = =⎢ ⎥ ⎢ 2⎤⎥+ − ++ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(9.41)

Primeniti inverznu Laplasovu transformaciju na matricu znači primeniti inverznu Laplasovu transformaciju na svaki njen element:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12 22 2

1 12 22 2

3 3

3 3

4 13 2 3 2

5 23 2 3 2

cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2

2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2

t t

t t

sL Ls s

tsL L

s s

e t t e t

e t e t t

− −

− −

− −

− −

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭Φ = ⎢ ⎥

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

+ + + +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎡ ⎤+⎡ ⎤⎣ ⎦== ⎢ ⎥

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(9.42)

Sada zamenom fundamentalne matrice u (9.38) dobijamo:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 310 201

3 32 10 20

3

0

3

0

cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2

2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2

0.5 sin 2

cos 2 0.5sin 2

t t

t t

t t

t t

e t t x e t xx t

x t e t x e t t x

e t u d

e t t u

τ

τ

τ τ τ

dτ τ τ

− −

− −

− −

− −

⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥

τ

= +⎢ ⎥− + −⎢ ⎡⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤−⎢ ⎥+ ⎢ ⎥

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫∫

⎤ ⎥ (9.43)

Primenom programskog paketa MATLAB se vrlo jednostavno može simulirati odziv elemenata vektora stanja za proizvoljne početne uslove i za proizvoljni ulazni signal. Na slici 9.1 su prikazani ovi odzivi uz pretpostavku da su početni uslovi [ ]0 1 1 Tx = − i uz ulazni signal kakav je prikazan na slici.

a) b)

c) d)

Slika 9.1: a) Upravljački signal; b) Odziv prve koordinate ( )1x t ; c) Odziv druge koordinate ( )2x t ;

d) Fazni portret ( )2 1x x

MATLAB kod koji realizuje ovu simulaciju je sledeći:

>> sys=ss([-2 1; -5 -4],[0;1],[1 0; 0 1],0); >> x0=[1;-1]; >> T=0:0.01:10; >> U=[sin(2.5*T(1:250)) ones(1,250) -ones(1,250) zeros(1,251)];>> x=lsim(sys,U,T,x0); >> figure(1);plot(T,x(:,1)); >> figure(2); plot(T,x(:,2)); >> figure(3); plot(T,U); >> figure(4); plot(x(:,1),x(:,2));

Fundamentalna matrica je suštinski važna za ponašanje sistema. U slučaju odsustva ulaznog signala, jednačina kretanja sistema glasi:

( ) ( ) 0At

0x t t x e= Φ = x (9.44)

i potpuno je određena fundamentalnom matricom. Fundamentalna matrica zadovoljava sledeću diferencijalnu jednačinu:

( ) ( ) ( ), 0d t

A tdtΦ

I= Φ Φ = (9.45)

U literaturi se ova matrica često označava kao 'state transition matrix' i zadovoljava sledeća svojstva

(9.46)

( )( ) ( )

( ) ( ) (( ) ( )

1

2 1 2 1 1 0

) 0

)

)

) ,i

a I

b t t

c t t t t t t

d t it i N

−

Φ =

Φ = Φ −

Φ − = Φ − Φ −

Φ = Φ ∈

)

Iz svojstva pod b) se može zaključiti da je fundamentalna matrica regularna za svako t. Konačno, korišćenjem Tejlorovog razvoja ova se matrica numerički često računa na sledeći način:

( ) ( ) ( )2 3

2! 3!At AT AT

t e I AtΦ = = + + + + (9.47)

U primeru 9.1 je prikazan opšti postupak za sračunavanje fundamentalne matrice sistema, međutim, u nekim specifičnim slučajevima, kao što je dijagonalna kanonična forma ili Jordan-ova kanonična forma, fundamentalna matrica se može direktno pisati:

1

2

3

1

2

3

0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 n

t

t

At t

tn

ee

A e e

e

λ

λ

λ

λ

λλ

λ

λ

0⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(9.48)

1 1 1

1 1

1

2

3 3

3

2

1

1

1

2

3

3

1 0 0 0 0 0 0 020 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 1

0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

t t t

t t

tAt

t

t t

t

te te e

e teeA e

ee te

e

λ λ λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λλ

λλ

λλ

0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.49)

Fundamentalna matrica i jednačina kretanja sistema u prostoru stanja diskretnih LTI sistema

Na sličan način, na koji je izvedena jednačina kretanja sistema za kontinualni LTI sistem, može se definisati fundamentalna matrica i jednačina kretanja za diskretni LTI sistem. Krenimo od modela diskretnog sistema u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ax k Fu k x+ = + = x (9.50)

Primenom zed transformacije na poslednju relaciju i rešavanjem po ( )X z , dobija se:

( ) ( ) [ ] ( ) (1 10 )X z zI A zx zI A BU z− −= − + − (9.51)

Sada se, za diskretne sisteme, matrica

(9.52) ( ) ( ) 1z zI A −Φ = − z

kao i njen vremenski lik [ ]kΦ naziva fundamentalnom matricom sistema. Ponovo se, po analogiji

sa skalarnim slučajem, gde se signalu [ ] [ ]kf k a h k= pridružuje zed lik , uočava da u vremenskom domenu fundamentalna matrica ima formu:

( ) ( ) 1F z z z a −= −

[ ] ( ) 1 kk Z z A−Φ = Φ = (9.53)

Primenom inverzne zed transformacije na relaciju (9.51) dobijamo rešenje diferencne jednačine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

1

0 00

11

00

1 * 1k

ik

k k i

i

x k k x k Bu k k x k i Bu

A x A Bu i

−

=

−− −

=

= Φ +Φ − = Φ + Φ − −

= +

∑

∑

i (9.54)

što predstavlja jednačinu kretanja diskretnog sistema u prostoru stanja.

Fundamentalna matrica za diskretne sisteme ima sledeća svojstva:

[ ][ ] [ ] [[ ] [ ][ ] [ ]

2 0 2 1 1 0

) 0

)

)

) 1

i

a I

b k k k k k k

c k ik

d k A k

Φ =

Φ − = Φ − Φ −

Φ = Φ

Φ + = Φ

] (9.55)

koja nije teško dokazati.

Primer 9.2: Za diskretni sistem čija je diferencna jednačina stanja:

[ ] [ ] [ ]0 1 0

1 1 5 16 6

x k x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

u k (9.56)

odrediti odziv koordinata stanja ako je ulazni signal [ ] ( ) [ ]1 ku k h k= − uz početni uslov

[ ] [ ]0 1 0 Tx = .

Prvi korak u rešenju ovog problema jeste određivanje fundamentalne matrice sistema:

( ) ( ) 1

2

56

1 1 1 12 3 2 3

16

1 1 1 12 3 2 3

z zz

z z z zz zI A z

z z

z z z z

−

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠Φ = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(9.57)

Primenom inverzne zed transformacije, dobija se fundamentalna matrica u vremenskom domenu:

[ ] [ ]

1 1 1 12 3 6 62 3 2 3

1 1 1 13 22 3 2 3

k k k k

k k k kk h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥Φ = ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

k (9.58)

Konačno rešenje za [ ]x k može se dobiti ili smenom dobijenog izraza za [ ]kΦ u relaciju (9.54) ili

primenom sračunavanjem izraza za ( )X z i naknadne primene inverzne zed transformacije. U ovom slučaju, drugi postupak se čini jednostavnijim:

( ) ( ) [ ] ( ) ( )1

14 12 31 1 12 30

7 2 31 1 12 3

z z zzz z

X z z x z z BU zz z z

zz z

−

−⎡ ⎤+ +⎢ ⎥++ +⎢ ⎥⎢ ⎥= Φ +Φ =⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥++ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.59)

odnosno

[ ] ( ) ( )

( )

1

1 114 12 3 12 3

1 17 2 3 12 3

k kk

k kk

x k Z X z−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(9.60)

19. Diskretizacija modela u prostoru stanja kontinualnih sistema

Pretpostavimo da nam je kontinualni LTI sistem predstavljen modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (9.61)

postavlja se pitanje da li je moguće ovom kontinualnom modelu naći odgovarajući diskretni ekvivalent u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

1x k Ex k Fu

y k Cx k Du k

+ = +

= +

k (9.62)

ali tako da kretanje sistema u prostoru stanja kontinualnog i diskretnog modela bude identično u trenucima koji su jednaki celobrojnom multiplu periode odabiranja. Drugim rečima, kako treba da izgledaju nepoznate matrice E i F, ako su matrice A i B poznate, a da pri tome želimo da zadovoljimo sledeći uslov:

( ) [ ], 0,1, 2,...x kT x k k= = (9.63)

gde je vektor na levoj strani poslednje jednakosti sračunat rešavanjem diferencijalne jednačine (9.61) a vektor na desnoj strani rešavanjem diferencne jednačine (9.62).

Ovde ćemo izvesti postupak za određivanje matrica E i F, pod uslovom da upravljački signal zadovoljava sledeću relaciju: ( )u t

(9.64) ( ) ( ) , [ , ), 0,1, 2,...u t u kT za t kT kT T k= ∈ + =

što drugim rečima znači, da perioda odabiranja treba da bude dovoljno mala tako da se vrednost upravljačkog signala u okviru jedne periode odabiranja može smatrati konstantnom. U tom slučaju, pozivajući se na relaciju (9.38) možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (9.65)

Ovo je jednačina kretanja sistema u prostoru stanja kontinualnog sistema i ona važi za svako , pa onda važi i za t i za t k :

0t ≥kT= T T= +

( ) ( ) ( ) ( )0

0kT A kTAkTx kT e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (9.66)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0kT TA kT T A kT Tx kT T e x e Bu dτ τ τ

++ + −+ = + ∫ (9.67)

Tada na osnovu ove dve relacije možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )kT T A kT TAT

kTx kT T e x kT e Bu dτ τ τ

+ + −+ − = ∫ (9.68)

Poslednji integral se vrši u okviru jedne periode odabiranje, te na osnovu naše pretpostavke signal ( )u τ možemo smatrati konstantnim ( )u kT . Takođe ukoliko u ovom integralu izvršimo smenu

promenljivih kTλ τ= − , dobija se:

( ) ( ) (0

TAT A )x kT T e x kT e Bd u kTλ λ+ − = ∫ (9.69)

odnosno:

( ) ( ) (0

TAT A )x kT T e x kT e Bd u kTτ τ+ = + ∫ (9.70)

Upoređujući dobijeni izraz sa željenom diferencnom jednačinom:

[ ] [ ] [ ]1x k Ex k Fu+ = + k (9.71)

postaje jasno čemu su jednake tražene matrice E i F:

0

;TAT AE e F e τ Bdτ= = ∫ (9.72)

Na sledećem primeru ćemo ilustrovati postupak diskretizacije sistema na osnovu modela u prostoru stanja.

Primer 9.3: Kontinualni sistem čiji je model u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )2 1 0

0 1 1x t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u t (9.73)

diskretizovati sa periodom odabiranja ln 2secT = .

Na osnovu relacija (9.72) možemo direktno računati:

( ) ( ) ( ) ( )( )11

1 12 1 2 1 2

0 1 101

AT s s s sE e T s sI A

ss

−−

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = Φ ⇒Φ = − = =⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+⎣ ⎦

(9.74)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se fundamentalna matrica u vremenskom domenu:

(9.75) ( ) ( )2 2

0

t t t

t

e e et

e

− − −

−

⎡ ⎤−Φ = ⎢

⎣ ⎦h t⎥

pri čemu se matrica E dobija smenom t=T:

( )0.25 0.25

0 0.5E T ⎡ ⎤= Φ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (9.76)

Na sličan način se dobija i željena matrica F:

( )22

00

0 0

0

10.1252

0.5

TT

T T

T

e ee eF Bd d

ee

τ ττ τ

ττ

τ τ τ− −− −

−−

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤− ⎡ ⎤

= Φ = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ⎥ (9.76)

Treba primetiti da su matrice E i F zapravo funkcije od periode odabiranja ( ) ( ),E E T F F T= = . Takođe treba primetiti da je ovakav postupak diskretizacije kontinualnih sistema odgovarajući postupku step invarijantnosti, jer uslov koji smo postavili nad upravljačkim signalom zapravo odgovara samo step pobudi ili pobudi koja se sastoji od linearnih kombinacija jediničnog step signala.

20. Kontrolabilnost stanja modela diskretnog sistema Pojam kontrolabilnosti stanja modela u prostoru stanja je novi koncept u teoriji upravljanja sistemima i nastao je onda kada su modeli u prostoru stanja uvedeni kao novi pristup u analizi i sintezi sistema. Jednostavnije ga je objasniti na primeru diskretnog sistema i zato polazimo od pretpostavke da nam je data diferencna jednačina stanja sistema uz poznate početne uslove:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ex k Fu k x+ = + = x (10.1)

Do jednačine kretanja sistema u prostoru stanja je moguće doći i rekurzivnom primenom poslednje relacije na sledeći način:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2

3 2

1 0 0

2 1 1 0 0 1

3 2 2 0 0 1

x Ex Fu

x Ex Fu E x EFu Fu

2x Ex Fu E x E Fu EFu Fu

= +

= + = + +

= + = + + + (10.2)

ili za opšti trenutak odabiranja N:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 20 0 1 2N N Nx N E x E Fu E Fu EFu N Fu N− −= + + + + − + 1− (10.3)

Poslednja jednakost se može napisati i u matričnoj formi:

[ ] [ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

2 2 1

123

0

10

N N N

u Nu Nu N

x N E x F EF E F E F E F

uu

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎡− = ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.4)

Ako uvedemo oznake

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

2 2 1

123

;

10

N NN N

u Nu Nu N

Q F EF E F E F E F U

uu

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.5)

relacija (10.4) postaje

[ ] [ ]0NN Nx N E x Q U− = (10.6)

Postavlja se pitanje: da li je moguće za proizvoljno početno stanje [ ]0x i proizvoljno željeno stanje *x naći sekvencu upravljačkih signala [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1u u u N − tako da naš sistem polazeći iz

početnog stanja posle N trenutaka odabiranja, gde je N nepoznat prirodan broj, stigne u željeno stanje [ ]*x x N= . Ovo pitanje je ekvivalentno pitanju: da li za proizvoljno početno stanje [ ]0x i

proizvoljno željeno stanje [ ]*x x N= postoji matrica koja zadovoljava relaciju (10.6). Drugim rečima, treba da se pozabavimo pitanjem kada jednačina (10.6) ima rešenje. Ako pretpostavimo da je dimenzija vektora stanja x jednaka n (

NU

[ ] dim 1x k n= × ) a dimenzija vektora ulaza jednaka m

( [ ] dim 1u k m= × ) tada će matrica biti dimenzija NQ (dim NQ n Nm= × ) a dimenzija

upravljačke sekvence ( )dim 1NU Nm= × . To znači da relacija (10.6) predstavlja sistem od n linearnih jednačina i Nm nepoznatih. Bez gubitka opštosti možemo smatrati da je , dakle imamo više nepoznatih nego što je jednačina. Poznati rezultat iz linearne algebre kaže da će ovakav sistem jednačina imati rešenje za proizvoljno početno i željeno stanje ukoliko je rang matrice jednak n, dakle broju jednačina. To znači da mi možemo rešiti naš problem i prevesti sistem iz bilo kog početnog stanja u bilo koje željeno stanje za nekih N trenutaka odabiranja, ukoliko u matrici

možemo da nađemo n linearno nezavisnih kolona. Međutim, treba da se prisetimo i Caley-Hamiltonove teoreme koja kaže da je svaka matrica nula svog karakterističnog polinoma. To važi i za matricu E. Ako je njen karakteristični polinom:

Nm n≥

NQ

NQ

( ) 1 21 2 1

n n nn nf z zI E z a z a z a z a− −−= − = + + + + + (10.7)

tada po Caley-Hamiltonovoj teoremi važi sledeća jednakost:

(10.8) 1 21 2 1 0n n n

n nE a E a E a E a I− −−+ + + + + =

To znači da se matrice , mogu napisati kao linearne kombinacije svojih eksponenata

nE 1 2, ,...n nE E+ +

, 0,1,...,k 1E k n= − . Dakle, ako u matrici 2 1n n N

NQ F EF E F E F E F E F− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦1

tražimo linearno nezavisne kolone jedino ih u prvih n blokova možemo naći, jer se u svim sledećim blokovima, počev od pa do sve kolone mogu napisati kao linearne kombinacije kolona iz prvih n blokova. Drugim rečima, ako rešavamo problem prevođenja sistema iz početnog stanja u željeno stanje, smisla ima jedino razmišljati o tome da li je taj problem moguće rešiti za n perioda odabiranja, gde je n red sistema. Jer, ako taj problem ne možemo rešiti za n perioda odabiranja, sigurno on nije rešiv ni za koji drugi broj perioda odabiranja. Imajući u vidu napred rečeno, možemo dati definiciju potpune kontrolabilnosti stanja diskretnog sistema.

nE F 1NE F−

Def: Za stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema kažemo da su potpuno kontrolabilna ukoliko se za bilo koje početno stanja [ ]0x i bilo koje željeno stanje *x može odrediti upravljačka

sekvenca [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1u u u n − tako da sistem posle n perioda odabiranja, gde je n red sistema,

počev od početnog stanja [ ]0x stigne u željeno stanje [ ] *x n x= .

Na osnovu napred rečenog moguće je postaviti i test kojim se proverava potpuna kontrolabilnost stanja modela. Ovakav test se naziva matričnim testom kontrolabilnosti.

Matrični test kontrolabilnosti kaže da su stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema potpuno kontrolabilna ako i samo ako je zadovoljen sledeći uslov:

[ ] 2 1nrang Q rang F EF E F E F n−⎡= ⎣ ⎤ =⎦ (10.9)

gde je n red sistema. Matrica Q se naziva matricom kontrolabilnosti stanja sistema. Ukoliko je rang matrice kontrolabilnosti manji od n, tj. [ ]rang Q n p= − to znači da p stanja sistema nije kontrolabilno.

Primer 10.1: Diskretni sistem je opisan modelom u prostoru stanja:

[ ] [ ] [0.5 1 1 11

0 0.5 0 1]x k x k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦u k (10.10)

Ukoliko želimo da prevedemo sistem iz početnog stanja [ ] [ ]0 1 1 Tx = − − u stanje [ ]* 2 2 Tx = prvo treba da proverimo da li su stanja sistema potpuno kontrolabilna. U tu svrhu ćemo primeniti matrični test kontrolabilnosti:

[ ] 1 1 0.5 0.50 1 0 0.5

Q F EF−⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.11)

Odmah detektujemo da u matrici kontrolabilnosti postoje dve linearno nezavisne kolone, recimo prva i druga ili prva i četvrta ili druga i treća ili treća i četvrta. Dakle,

[ ] 2rang Q n= = (10.12)

pa zaključujemo da su stanja sistema potpuno kontrolabilna i problem koji nam je zadat je rešiv. U cilju određivanja konkretnih upravljačkih signala, potrebno je vratiti se na relaciju (10.6)

[ ] [ ]

[ ][ ][ ][ ]

1

2* 2

1

2

1

10

0

0

u

ux E x F EF

u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

− = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.13)

Kako je

[ ]2

* 2 2 0.5 1 1 2.250

2 0 0.5 1 2.25x E x

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(10.14)

naš sistem jednačina postaje:

[ ][ ][ ][ ]

1

2

1

2

1

12.25 1 1 0.5 0.52.25 0 1 0 0.5 0

0

u

u

u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.15)

Ovo je sistem sa dve jednačine i četiri nepoznate. Potrebno je izabrati dve nezavisne kolone iz matrice Q. Ako izaberemo prvu i četvrtu onda upravljanja koja odgovaraju drugoj i trećoj koloni proglašavamo za nule: [ ] [ ]2 11 0u u= = 0 a naš sistem postaje sistem sa dve jednačine i dve nepoznate:

[ ][ ]

1

2

12.25 1 0.52.25 0 0.5 0

u

u

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (10.16)

pa se rešenje jednostavno dobija invertovanjem odgovarajuće matrice:

[ ][ ]

11

2

1 1 0.5 2.25 00 0.5 2.25 50

u

u

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.17)

Dakle, tražena sekvenca je:

[ ] [ ]0 00 ; 1

4.5 0u u⎡ ⎤ ⎡

=⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(10.18)

Lako se proverava da li dobijeno rešenje zadovoljava naše uslove:

(10.19) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 0.5 1 1 1 10 ; 1 0 0

1 0 0.5 1 0 1 4.5 4

0.5 1 4 1 1 0 22 1 1

0 0.5 4 0 1 0 2

x x Ex Fu

x Ex Fu

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 4

Primetimo da ovo nije jedino rešenje. Rešenja zapravo ima beskonačno mnogo i ne vide se samo u izboru para linearno nezavisnih kolona matrice Q već i u proizvoljnom izboru upravljačkih elemenata koji odgovaraju linearno zavisnim kolonama.

Primer 10.2: Model u prostoru stanja diskretnog sistema je

[ ] [ ] [ ]0 1 11

1 0 1x k x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u k (10.20)

Pokušajmo da prevedemo sistem iz početnog stana [ ] [ ]0 1 1 Tx = u željeno terminalno stanje

[ ]* 3 2 Tx = . U tom cilju proverimo prvo potpunu kontrolabilnost stanja:

[ ] [ ] 1 11

1 1rang Q rang F EF rang

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (10.21)

Očigledno je da stanja nisu kontrolabilna i da problem ne može da se reši u opštem slučaju. Pogledajmo kako izgleda jednačina (10.6) za ovaj konkretan slučaj:

[ ][ ][ ]

* *1 1* 2* *2 2

110 1 1 1 10

1 0 1 1 1 01

ux xx E x

ux x

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(10.22)

Poslednja relacija nam govori da kako god izaberemo upravljačke sekvence uvek ćemo imati da su prva i druga koordinata stanja jednake: *

1*2x x= . Dakle stanja sistema možemo prevesti u tačku

[ ]3 3 T ili [ ]2 2 T ali ne možemo u tačku [ ]3 2 T kakav je bio zahtev u zadatku. Ovaj rezultat je

potpuno saglasan sa činjenicom da je [ ] 2 1rang Q = − , što znači da se samo jedno stanje može dovesti na željenu vrednost, dok je drugo stanje zavisno od prvog ili potpuno nezavisno od našeg upravljanja kako se nekada dešava.

21. Kontrolabilnost stanja modela kontinualnog sistema Po analogiji sa kontrolabilnošću stanja modela diskretnog sistema može se definisati pojam potpune kontrolabilnosti stanja modela kontinualnog sistema.

Def: Za stanja modela u prostoru stanja kontinualnog sistema čija je jednačina stanja

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= + (10.23)

kažemo da su potpuno kontrolabilna ako je za svako početno stanje ( )0x i za bilo koje željeno

terminalno stanje *x moguće naći upravljanje ( )u t u nekom konačnom vremenskom intervalu

[ ]0,t τ∈ tako da se obezbedi uslov ( ) *x xτ = .

Osnovna razlika između kontrolabilnosti stanja kod diskretnih i kontinualnih sistema je ta da se kod kontinualnih sistema ne može definisati maksimalno vreme za koje prevođenje sistema iz početne u željenu tačku može biti izvršeno. Naime, može se pokazati da to prevođenje sistema može trajati beskonačno kratko vreme pod uslovom da je na ulaze sistema dozvoljeno dovoditi Dirakove impulse. Za realne sisteme takva pretpostavka nema smisla.

Slično kao i kod diskretnih sistema, moguće je izvesti matrični test kontrolabilnosti kojim se lako ispituje da li su stanja potpuno kontrolabilna ili nisu. Ako krenemo od jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dλ λ λ−= + ∫ (10.24)

postavimo uslov da je za neko konačno vreme t τ= sistem stigao u željeno stanje ( ) *x xτ = . Tada jednačina (10.24) postaje:

( ) ( ) ( )*

00 AAx e x e Bu d

τ τ λτ λ λ−= + ∫ (10.25)

U ovoj integralnoj jednačina jedino nam je nepoznato upravljanje i naš je zadatak da proverimo pod kojim uslovima to upravljanje postoji tako da jednačina (10.25) postoji za proizvoljno početno i terminalno stanje. Ako ovu jednačinu podelimo sa Ae τ dobijamo:

( ) ( )*

00A Ae x x e Bu d

ττ λ λ λ− −− = ∫ (10.26)

Ponovo, na osnovu Caley-Hamiltonove teoreme, možemo tvrditi da se proizvoljna matrična funkcija može napisati kao linearna kombinacija njenih eksponenata do ( )1n − -og stepena, gde je n dimenzija kvadratne matrice A. Ako ovo tvrđenje primenimo na matričnu funkciju Ae λ− dobijamo relaciju:

( ) ( ) ( ) 10 1 1

Ane I A aλ α λ α λ λ−−= + + + nA − (10.26)

čijom smenom u (10.26) dobijamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 10 1 10

0A nne x x I A A Bu d

ττ α λ α λ α λ λ− −−⎡ ⎤− = + + +⎣ ⎦∫ λ (10.27)

Poslednja jednakost se može prepisati u matričnoj formi:

( )

0

1* 2

2

1

0A

n

rr

e x x B AB A B A B r

r

τ−

−

1n−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡− = ⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.28)

gde je

( ) ( )0i ir uτ

dα λ λ= ∫ λ (10.29)

Ponovo, kao u slučaju diskretnih sistema, problem egzistencije željenog upravljačkog signala se svodi na problem rešavanja sistema jednačina (10.28). Matrica

2 nQ B AB A B A B−⎡= ⎣1 ⎤⎦ (10.30)

se ponovo naziva matricom kontrolabilnosti i ona je dimenzija ( )n nm× gde je n dužina vektora stanja a m dužina upravljačkog signala. Ukoliko je

[ ]rang Q n= (10.31)

tada sistem jednačina (10.28) ima rešenje i kažemo da su stanja sistema potpuno kontrolabilna. Pri tome, za razliku od diskretnog sistema, rešavanjem sistema jednačina (10.28) nas ne vodi direktno

do upravljačkih signala, već je naknadno potrebno rešiti i n integralnih jednačina tipa (10.29) kako bi egzaktno došli do željenog upravljanja.

Ukoliko je

[ ]rang Q n p= − (10.32)

p stanja sistema nije kontrolabilno. Kada kažemo da p stanja sistema nije upravljivo to ili znači da našim upravljačkim signalima uopšte ne utičemo na njih ili da se ova stanja postavljaju kao linearna kombinacija preostalih n-p upravljivih stanja, pa ne možemo izvesti prevođenje sistema iz proizvoljnog početno u proizvoljno željeno stanje.

Primer 10.3: Kontinualni sistem je predstavljen modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )0 1 12 3 0

x t x t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦u t (10.33)

Potrebno je generisati upravljački signal koji će ovaj sistem prevesti iz početno stanja [ ]5 5 T− u

željeno stanje [ ]0 0 T . Za početak proverimo da li rešenje uopšte postoji. Za ovu proveru je najpogodniji matrični test kontrolabilnosti:

(10.34) [ ] [ ] 1 02

0 2rang Q rang B AB rang

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

Dakle, rešenje postoji i potražićemo ga iz jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0 AAx e x e Bu dτ τ λττ λ λ−= + ∫ (10.35)

U pitanju je kontinualni sistem, rešenja ima beskonačno mnogo i dajemo sebi slobodu da sistem prevedemo iz početnog u željeno stanje za 2 ln 2secτ = pri čemu će upravljanje imati sledeću strukturu:

(10.36) ( ); [0, ln 2); [ln 2,2 ln 2)

2ln 2

Pu Q

bilo šta za

λλ λ

λ

∈⎧⎪= ∈⎨⎪ ≥⎩

Tada jednačina (10.35) postaje:

( ) ( ) ( )2ln 22ln 2

02 ln 2 0A Ae x x e Bu dλ λ λ− − = ∫ −

d

(10.37)

odnosno

2 2

ln 2 2ln 2

2 20 ln 2

5 2 25 2 2 2 2

e e e eP d Q

e e e e

λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ⎥ (10.38)

Rešavanjem integrala dobija se:

(10.39) 5 0.5 2

5, 1.255 1 8

P Q P Q−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + ⇒ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Korišćenjem MATLAB programa izvršena je simulacija odziva sistema i na slici 10.1 su prikazani upravljački signal , odzivi stanja sistema ( )u t ( )1x t i ( )2x t kao i fazni portret ( )2 1x x .

a) b)

c) d)

Slika 10.1: a) Odziv prvog stanja; b) Odziv drugog stanja; c) Fazni portret ; d) Upravljački signal

22. Opservabilnost stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema Dok nam za pojam kontrolabilnosti stanja sistema jednačina merenja nije bila od važnosti, pojam opservabilnosti stanja podrazumeva da je jednačina merenja ili opservacije jasno definisana. Pretpostavimo da je model u prostoru stanja diskretnog sistema definisan jednačinom stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ex k Fu k x+ = + = x (10.40)

i jednačinom merenja

[ ] [ ] [ ]y k Cx k Du k= + (10.41)

Problem koji se postavlja je sledeći: da li je moguće na osnovu sekvence od N merenja [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1y y y N − rekonstruisati početno stanje sistema [ ] 00x x= . Zapravo, u ovom problemu

se kriju dva pitanja: da li je uopšte moguće izvršiti jednoznačnu identifikaciju početnog stanja i ako jeste koliko dugačka sekvenca merenja nam je za to potrebna, odnosno koliki je parametar N. Da bismo odgovorili na ova pitanja, pođimo od jednačine kretanja diskretnog sistema u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ]1

1

00

kk k i

ix k E x E Fu i

−− −

=

= +∑ (10.42)

Ako zamenimo relaciju (10.42) u (10.41) dobijamo

(10.43) [ ] [ ] [ ] [ ]1

1

00

kk k i

iy k CE x CE Fu i Du k

−− −

=

= + +∑

Nama je na raspolaganju N merenja počev od 0k = do 1k N= − :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2

1 2

0 0 0

1 0 0 1

2 0 0 1 2

1 0 0 2N N

y Cx Du

y CEx CFu Du

y CE x CEFu CFu Du

y N CE x CE Fu CFu N Du N− −

= +

= + +

= + + +

− = + + + − + −1

(10.44)

ili napisano u matričnoj formi:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]2

12

0 0

1 0 1

2 0 1 2

1 0 2 1 NN

y Du Cy CFu Du CEy CEFu CFu Du CE x

CEy N CE Fu CFu N Du N −−

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + + − + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

0 (10.44)

Problem rekonstrukcije početnog stanja na osnovu prikupljene sekvence merenja se svodi na problem rešavanja sistema linearnih jednačina datih poslednjom relacijom. Jedine nepoznate u ovom sistemu jednačina su koordinate vektora [ ] 00x x= . U simboličkoj notaciji se poslednji sistem jednačina može napisati kao:

[ ]0oNY Q x= (10.45)

Pod pretpostavkom da je vektor stanja dimenzije dim 1x n= × a vektor merenja dimenzije

dim 1y r= × , matrica će biti dimenzija oNQ ( )dim oNQ Nr n= × , što znači da poslednji sistem predstavlja Nr jednačina sa n nepoznatih. Dakle, u opštem slučaju više je jednačina nego nepoznatih. Pozivajući se na rezultate iz linearne algebre i Calley-Hamilton-ove teoreme, možemo zaključiti sledeće. Da bi postojalo jedinstveno rešenje postavljenog sistema jednačina u matrici mora postojati n linearno nezavisnih vrsta. Pri tome znajući da se sve matrice mogu napisati kao linearne kombinacije matrica

oNQ, , 1,...kE k n n= +

, 0,1,..., 1kE k n= − jasno je da linearno nezavisne vrste možemo naći samo u prvih n blokova ove matrice. Drugim rečima, ako rešenje postoji, odnosno ako je moguće rekonstruisati početno stanje sistema, za to nam je potrebno samo n odbiraka mernog signala (dakle N=n) i potreban i dovoljan uslov za to je da rang matrice , koja se naziva matricom opservabilnosti modela bude jednak redu sistema n:

0Q

[ ] 2

1

o

n

CCECErang Q rang n

CE −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.46)

Na osnovu ovog rezultata možemo dati sledeću definiciju potpune opservabilnosti stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema.

Definicija: Za stanja modela u prostoru stanju diskretnog sistema kažemo da su potpuno opservabilna ako je na osnovu sekvence od n opservacija [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1y y y n − , gde je n red

sistema odnosno dimenzija vektora stanja, moguće jednoznačno odrediti početno stanje sistema [ ]0x .

Najjednostavniji način da se utvrdi opservabilnost stanja sistema jeste matrični test opservabilnosti koji sumira rezultat do koga smo upravo došli.

Matrični test opservabilnosti kaže da je potreban i dovoljan uslov da stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema budu potpuno opservabilna je da rang matrice opservabilnosti bude jednak n gde je n red sistema, odnosno dimenzija vektora stanja:

[ ] 2

1

o

n

CCECErang Q rang n

CE −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.47)

Ukoliko je

[ ]orang Q n p= − (10.48)

to je znak da p stanja nije opservabilno. To je znak da se posmatranjem vektora merenja nema uvid u sva stanja sistema. Neka od njih mogu da se menjaju i dobijaju dramatične vrednosti a da se to na vektoru merenja uopšte ne odražava. Zbog toga se, u domaćoj literaturi, često umesto termina opservabilnosti koristi termin osmotrivosti.

Primer 10.4: Za diskretni sistem čiji je model u prostoru stanja

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0 1 01

0.25 0 1

1

x k x k

y k p x k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u k (10.49)

odrediti početnu vrednost vektora stanja ako se zna da je sekvenca ulaza [ ]0 1u = , [ ]1 0u = ,

sekvenca merenja [ ] [ ]0 2, 1 2y y= = i to u slučaju kada je p=0 i kada je 0.5p = .

Za početak ćemo primenom matričnog testa opservabilnosti da proverimo da li je postupak rekonstrukcije početnog stanja na osnovu sekvence merenja moguć:

[ ] 1 2, 00.25 1, 0.5o

p prang Q rang

p p.5≠ ±⎡ ⎤ ⎧

= = ⎨⎢ ⎥ = ±⎣ ⎦ ⎩ (10.50)

Dakle, ukoliko je parametar p=0 stanja sistema jesu potpuno opservabilna i moguće je odrediti početno stanje. Primenom relacije (10.44) možemo pisati:

[ ][ ] [ ]

[ ]0

01 0

y Cx

CEy CFu

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.51)

odnosno

(10.52) [ ] [ ]2 0 10 0

2 1 0.25 0 2x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

4⎤= ⎥

⎦

U slučaju da je dobija se sledeći sistem jednačina: 0.5p =

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

1 2

1 2

2 0.5 0 02 0.5 10

2 1 0.25 0.5 1 0.25 0 0.5 0

x xx

x x

⎧ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪= ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎩ (10.53)

koje su linearno zavisne i jednoznačnog rešenja za početna stanja nema. Ovo je primer sistema u kome je jedno stanje neopservabilno, ali ne može se reći koje od dva stanja je neopservabilno. Naime, u sekvenci merenja se uvek uticaj oba stanja pojavljuje kao ista linearna kombinacija njihovih vrednosti, te se odatle ne mogu sračunati ponaosob.

23. Opservabilnost stanja modela u prostoru stanja kontinualnog sistema Vrlo slično, kao u slučaju diskretnih sistema, i za kontinualne sisteme, koji su opisani modelom u prostoru stanja

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0; 0x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

= + =

= + (10.54)

se može definisati osobina potpune opservabilnosti stanja.

Definicija: Za stanja modela u prostoru stanja kontinualnog LTI sistema kažemo da su potpuno opservabilna ukoliko je na osnovu merenja vektora opservacije u nekom konačnom intervalu vremena ( ) [ ], 0,y t t τ∈ moguće jednoznačno rekonstruisati početna stanja sistema ( ) 00x x= .

Postavlja se pitanje, kakav uslov treba da zadovolji model u prostoru stanja da bi njegova stanja bila potpuno opservabilna. Da bi odgovorili na ovo pitanje ponovo krećemo od jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dλ λ λ−= + ∫ (10.55)

odnosno

(10.56) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAty t Ce x Ce Bu d Du tλ λ λ−= + +∫

U poslednjoj jednačini nam je jedino nepoznat vektor početnog stanja ( )0x , pri čemu nam je

jednačina tipa (10.56) poznata za svako [ ]0,t τ∈ , pa je možemo napisati za N različitih vremenskih trenutaka : 1 2, ,..., Nt t t

(10.57)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11

2 22

1 0

2 0

0

0

0

0 N NN

t A tAt

t A tAt

t A tAtN

y t Ce x Ce Bu d Du t

y t Ce x Ce Bu d Du t

y t Ce x Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

= + +

= + +

= + +

∫∫

∫Uzimajući u obzir Caley-Hamilton-ovu teoremu po kojoj se funkcija Ae τ može napisati u kao linearna kombinacija odgovarajućih matričnih eksponenata:

( ) ( ) ( ) 10 1 1

Ane I Aτ α τ α τ α τ nA −−= + + + (10.58)

relacija (10.57) se može napisati u sledećoj matričnoj formi:

(10.59)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

1 100 1 1 1 1 1

0 2 1 2 1 22 20

10 1 1

0

0

N N

t A t

nt A t

n

Nt N N n NA t

N N

y t Ce Bu d Du t Ct t tCAt t ty t Ce Bu d Du t

x

t t t CAy t Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λα α αα α αλ λ

α α αλ λ

−

−−

−

−−−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

∫Naš problem određivanja početnog stanja sistema ( )0x se svodi na problem jedinstvenosti rešenja postavljenog sistema linearnih jednačina (10.59). Egzistencija rešenja se ne pojavljuje kao problem jer svakako postoji početno stanje iz koga je sistem krenuo, jedino je pitanje da li ga mi možemo sračunati. Prvi zaključak do koga možemo doći jeste da, s obzirom na Caley-Hamilton-ovu teoremu, nema smisla uzimati više od n odbiraka izlaza, jer su sve vrste postavljanog sistema jednačina, počev od n+1-ve pa nadalje, linearne kombinacije prvih n vrsta. Dakle, matrica α koeficijenata je kvadratna matrica i izborom odgovarajućih vremenskih trenutaka ona se može učiniti regularnom, pa onda naš sistem jednačina glasi:

1 2, ,..., nt t t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

1 1 100 1 1 1 1 1

0 2 1 2 1 2 2 20

10 1 1

0

0

n n

t A t

nt A t

n

ntn n n n A t

n n

y t Ce Bu d Du t Ct t tCAt t t y t Ce Bu d Du t

x

t t t CAy t Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λα α αα α α λ λ

α α αλ λ

−−

−−

−

−− −

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

∫

(10.60)

Dobijeni sistem jednačina ima jednačina i n nepoznatih i pošto svakako znamo da rešenje postoji, problem određivanje početnog stanja se svodi na problem ranga matrice

nm

0

1n

CCA

Q

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.61)

koja se naziva matricom opservabilnosti. Ukoliko je rang ove matrice jednak redu sistema n, odnosno dimenziji vektora stanja, do jednoznačnog rešenja je moguće doći. Na osnovu ove analize je moguće definisati i matrični test opservabilnosti:

Matrični test opservabilnosti stanja kontinualnog sistema: Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog LTI sistema budu potpuno opservabilna jeste da rang matrice opservabilnosti bude jednak redu sistema:

0

1n

CCA

rangQ rang n

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.62)

Ukoliko je

0

1n

CCA

rangQ rang n p

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.63)

to je znak da postoji p stanja koja nisu opservabilna, i koja se, na osnovu izlaznog signala, ne mogu rekonstruisati.

24. Ispitivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja sistema u s ili z domenu U prethodnim analizama je objašnjen pojam kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja modela u prostoru stanja kako kontinualnih tako i diskretnih sistema. Matrični testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti nam daju uputstvo kako se ove osobine proveravaju, međutim, ukoliko je neko od stanja nekontrolabilno ili neopservabilno ne možemo ništa zaključiti o prirodi tih stanja. Testovi u s ili z domenu su numerički nešto zahtevniji ali daju više podataka o nekontrolabilnim ili neopservabilnim modovima sistema.

Ispitivanje kontrolabilnosti stanja modela u 's' domenu Ukoliko je model kontinualnog LTI sistema u prostoru stanja

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (10.64)

na jednačinu stanja možemo primeniti Laplasovu transformaciju:

( ) ( ) ( ) ( )0sX s x AX s BU s− = + (10.65)

Kako osobina kontrolabilnosti predstavlja postojanje veze između ulaznog signala i stanja sistema, nezavisno od početnog stanja, ne umanjujući opštost razmatranja možemo pretpostaviti da je početno stanje jednako nuli. Tada možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

detadj sI A B

X s sI A BU s U ssI A

− −= − =

− (10.66)

Razlomak

( )( )det

adj sI A BsI A−−

(10.67)

predstavlja vezu između ulaznog signala i stanja sistema, i u njemu se krije kompletna informacija o kontrolabilnosti stanja. U brojiocu ovog razlomka se nalazi polinomijalna matrica (to je matrica dimenzija čiji je svaki element polinom po kompleksnoj promenljivoj s) dok se u imeniocu ovog izraza nalazi karakteristični polinom sistema. Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice

i karakteristični polinom

n m×

( )adj sI A B− ( )det sI A− imaju zajednički faktor

( ) ( ) (1 pR s s s )λ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od ulaznog signala do stanja ne vidi, te on predstavlja takozvane nekontrolabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova nekontrolabilnih modova.

Primer 10.5: Ispitati kontrolabilnost stanja sistema čija je jednačina stanja

( ) ( ) ( )1 1

2 0 1a

x t x t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦u t (10.68)

primenom testa u 's' domenu. Na osnovu dobijenih rezultata (10.66) i (10.67) možemo pisati:

( )( ) ( ) ( )

1 1 12 1

det 2 2

s a sadj

adj sI A B s s asI A s s a s s a

− − +2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

− − + − + (10.69)

Pošto je jedan od polinoma u polinomijalnoj matrici ( )adj sI A B− jednak ( )1s + jedina mogućnost da dođe do skraćivanja faktora u sva tri polinoma jeste da je 1s = − nula i preostala dva polinoma:

(10.70) ( ) ( )( )2 1 3

2 1 2s a s as s a s s a− − = + ⇒ = −

− + = + + ⇒ = −3

Dakle, konačan rezultat glasi: ako je 3a ≠ − stanja sistema su potpuno kontrolabilna, ukoliko je jedno stanje je nekontrolabilno i ono odgovara modu sistema čiji je pol u tački -1. U pitanje

stabilni deo sistema čija je vremenska konstanta T=1sec. 3a = −

Ispitivanje kontrolabilnosti stanja modela u 'z' domenu Ispitivanje kontrolabilnosti stanja model u 'z' domenu se vrši ukoliko je u pitanju model diskretnog LTI sistema. Potpuno analogno relacijama koje su izvedene za kontinualni sistem, posmatra se veza između upravljačkog signala i vektora stanja:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

detadj zI E F

X z zI E FU z U zzI E

− −= − =

− (10.71)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )adj zI E F− i karakteristični polinom ( )det zI E−

imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 pR z z zλ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od ulaznog signala do stanja ne vidi, te on predstavlja nekontrolabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova nekontrolabilnih modova.

Ispitivanje opservabilnosti stanja modela u 's' domenu Ponovo posmatramo model u prostoru stanja kontinualnog LTI sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (10.72)

Kako je opservabilnost osobina stanja koja predstavlja vezu između vektora stanja i merenja, bez gubitka opštosti možemo smatrati da je referentni signal jednak nuli. Primenom Laplasove transformacije na relacije (10.72) dobija se

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0

detCadj sI A

Y s C sI A x xsI A

− −= − =

−0 (10.73)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )Cadj sI A− i karakteristični polinom ( )det sI A−

imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 pR s s sλ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od početnog stanja do vektora merenja ne vidi, te on predstavlja neopservabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih neopservabilnih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova neopservabilnih modova.

Ispitivanje opservabilnosti stanja modela u 'z' domenu Analogno sa ispitivanje opservabilnosti u 's' domenu, za diskretne LTI sisteme opservabilnost stanja se može ispitivati u 'z' domenu analizom sledećeg količnika:

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]

111 1

10 0

det

Cadj I z EY z C zI E zx C I z E x x

I z E

−−− −

−

−= − = − =

−0 (10.73)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )1Cadj I z E−− i karakteristični polinom

( 1det )I z E−− imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 1 11 pR z z zλ λ− − −= + + koji se može skratiti, tada

ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od početnog stanja do vektora merenja ne vidi, te on predstavlja neopservabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih neopservabilnih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova neopservabilnih modova.

Izvršena analiza kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja u 's' ili 'z' domenu nas dovodi do jedne vrlo važne teoreme koja je posledica navedenih testova. Njeno tvrđenje je sledeće:

Teorema: Ukoliko je LTI sistem (bilo kontinualni ili diskretni) predstavljen funkcijom prenosa pri čemu su brojilac i imenilac uzajamno prosti polinomi (kompleksne promenljive s ili z) a stepen polinoma u imeniocu n, tada će svaki model tog sistema u prostoru stanja n-tog reda biti sa potpuno kontrolabilnim i potpuno opservabilnim stanjima. U protivnom, ako polinomi u brojiocu i imeniocu nisu uzajamno prosti, tada će zajednički faktori ova dva polinoma uticati ili na nekontrolabilnosti ili na neopservabilnost ili i na jedno i na drugo, onoliko stanja koliki je stepen zajedničkog faktora.

Primenom ove teoreme može se u velikoj meri pojednostaviti problem ispitivanja kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja. Sledeći primer ilustruje ovo tvrđenje.

Primer 10.6: Funkcija prenosa sistema je

( ) ( )( )( )( )

11 4

s a s aG s

s s s+ + +

=+ +

(10.74)

Ako pretstavimo ovaj sistem kontrolabilnom kanoničnom formom u prostoru stanja

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 0 00 0 1 00 4 5 1

1 2 1 1

x t x t

y t a a a x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + +⎡ ⎤⎣ ⎦

u t (10.75)

Ispitati opservabilnost stanja ovog sistema zavisno od parametra a postaje vrlo jednostavno ukoliko primenimo navedenu teoremu. Ukoliko je parametar a=0 doći će do skraćivanja polinoma drugog stepena u brojiocu i imeniocu te dva stanja neće biti opservabilna (ovo skraćivanje se ne može odraziti na kontrolabilnost stanja jer je u pitanju kontrolabilna kanonična forma čija su stanja uvek potpuno kontrolabilna). Ukoliko parametar a pripada skupu 1,1,3, 4a∈ − doći će do skraćivanja polinoma prvog stepena u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa, te jedno stanje neće biti opservabilno. Konačno ako 1,0,1,3, 4a∉ − stanja modela u prostoru stanja će biti potpuno opservabilna.

25. Zatvaranje povratne sprege po stanjima i podešavanje spektra polova Polazeći od modela u prostoru stanja kontinualnog LTI sistema

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (11.1)

jednostavno se, kako je to već pokazano, dolazi do funkcije prenosa ili matrice funkcija prenosa

( ) ( ) 1G s C sI A B D−= − + (11.2)

na osnovu čega se jasno prepoznaje karakteristični polinom sistema:

( ) ( )detf s sI A= − (11.3)

koji pak definiše položaj polova sistema a time postaje odgovaran i za stabilnost sistema. Ako je sistem stabilan, dalja analiza položaja polova može da nam da informaciju i o brzini reagovanja sistema, dominantnoj vremenskoj konstanti, poziciji dominantnih konjugovano kompleksnih polova, preskoku, faktoru prigušenja i tako dalje. U svakom slučaju, jasno je da matrica A odgovorna za najveći deo ovih vitalnih osobina sistema. Ukoliko nismo zadovoljni nekom od tih osobina, bilo da je to pitanje stabilnosti, brzine odziva ili nekog drugog parametra koji karakteriše ponašanje sistema, jedna od mogućnosti da izvršimo 'popravku' na sistemu jeste da zatvorimo povratnu spregu po stanjima. Struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom data je na slici 11.1.

( )x t ( )x t

A

B C( )u t

K

+ +−−

( )v t ( )y t

Slika 11.1: Struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom po stanjima

Struktura kakva je prikazana na slici 11.1 označava da je zatvorena povratna sprega po stanjima, što označava i činjenicu da stanja moraju biti fizičke veličine koje su dostupne merenju. Pod tim uslovima jednačine koje opisuju ponašanje sistema postaju:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

u t v t Kx t

= +

= − (11.4)

dok jednačina merenja ostaje ista:

( ) ( )y t Cx t= (11.5)

Na osnovu relacija (11.4) vidimo da se jednačina stanja promenila

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t B v t Kx t A BK x t Bv t= + − = − + (11.6)

Signal je postao novi referentni signal, ali mnogo je značajnije to da se matrica stanja promenila. Nova matrica stanja sistema je:

( )v t

A A BK= − (11.7)

što za posledicu ima i promenu u karakterističnom polinomu sistema u zatvorenoj sprezi

( ) ( ) (ˆ ˆdet det )f s sI A sI A B= − = − + K

)

(11.8)

a funkcija prenosa u zatvorenoj sprezi postaje:

(11.9) ( ) ( ) (1 1ˆ ˆG s C sI A B C sI A BK B− −= − = − +

Postavlja se pitanje da li je ovakvo zatvaranje povratne sprege po stanjima svrsishodno, i da li se izborom matrice pojačanja K u povratnoj sprezi, polovi sistema u zatvorenoj sprezi mogu podešavati proizvoljno. Odgovor na ovo pitanje ćemo potražiti kroz sledeća dva ilustrativna primera.

Primer 11.1: Model kontinualnog LTI sistema u prostoru stanja je:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 1 12 0 1

1 0

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

u t (11.10)

Zatvorimo povratnu spregu po stanju i izaberimo vektor pojačanja K tako da sistem u zatvorenoj sprezi ima faktor relativnog prigušenja 0.5ζ = a neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad sω = .

U otvorenoj sprezi karakteristični polinom sistema je

( ) ( ) ( ) ( )(1 1

det 1 2 1 22

sf s sI A s s s s

s+ −

)= − = = + − = − +−

(11.11)

što je znak da je sistem nestabilan, i jasno je da je pomeranja polovo neophodno. Zatvaranjem povratne sprege po stanju novi karakteristični polinom sistema postaje:

( ) ( ) [ ]

( )( ) ( )(

( )

1 2

1 21 2 2 1

1 2

21 2 1 2

1 1 1ˆ det det2 1

1 11 1

2

1 3 2

sf s sI A BK k k

s

s k ks k s k k k

k s k

s k k s k k

⎛ + − ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

+ + − += = + + + − −

− + +

= + + + + + −

)2−

2 4

(11.12)

Na osnovu uslova vezanih za željene dominantne polove sistema u zatvorenoj sprezi, možemo napisati da naš željeni karakteristični polinom glasi:

( ) 2 2 2ˆ 2 n nf s s s s sζω ω= + + = + + (11.13)

Izjednačavajući koeficijente polinoma iz (11.12) i (11.13) dobijamo sistem linearnih jednačina:

1 2

21 2

1 2

3 2 4n

n

k k

k k

ζω

ω

2+ + = =

+ − = = (11.14)

što predstavlja sistem od dve linearne jednačine i dve nepoznate, takav da je determinanta sistema različita od nule:

1 2

1 2

13 6

k kk k+ =− =

(11.15)

pri čemu je rešenje jednoznačno i glasi:

[ ] [ ]1 2 2.25 1.25K k k= = − (11.16)

Vidimo da je ceo postupak vrlo moćan, jer njime možemo da podesimo polove sistema u proizvoljne lokacije, i time biramo osobine sistema u zatvorenoj sprezi na način na koji je to svrsishodno. Međutim, da nije uvek tako, uverićemo se na sledećem primeru.

Primer 11.2: Posmatrajmo sistem vrlo sličan modelu iz prethodnog primera

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 1 12 0 1

1 0

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u t (11.17)

i pokušajmo da zatvorimo povratnu spregu sa istom željom da polovi sistema u zatvorenoj sprezi imaju koeficijent relativnog prigušenja 0.5ζ = i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad sω = . Ponavljajući malopređašnji postupak dolazimo do karakterističnog polinoma:

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )(

1 2

1 2

1 2 2 1

21 2 1 2 1 2

1 1ˆ det2

1 1 2

1 2 1

s k kf s sI A BK

k s k

s k s k k k

s k k s k k s s k k

+ + − += − + =

− − −

= + + − + − +

)2= + + − − + − = − + − +

(11.18)

Poslednja relacija nam govori da izborom parametara matrice pojačanja K mi zaista možemo podešavati položaj jednog pola, međutim, nezavisno od vrednosti parametara i jedan pol sistema će ostati jednak , pa će nam stoga sistem ostati nestabilan.

1k 2k

1 1s =

Postavlja se pitanje zbog čega je moć zatvaranja povratne sprege u ovom slučaju ograničen, dok se u prethodnom primeru zatvaranjem povratne sprege moglo vršiti proizvoljno podešavanje polova sistema u zatvorenoj sprezi. Odgovor na ovo pitanje je u kontrolabilnosti stanja. Naime, ako proverimo kontrolabilnost stanja modela (11.7):

( ) [ ] 1 21

1 2crang Q rang B AB rang−⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥−⎣ ⎦ (11.19)

zaključujemo da je jedno stanje modela nekontrolabilno. Ako se zapitamo kom modu sistema odgovara ovo nekontrolabilno stanje, možemo primeniti ispitivanje kontrolabilnosti u 's' domenu:

( )( ) ( )

( )( )( )

11 112 1 1

det 1 2 1 2

sssadj sI A B s

sI A s s s s

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − −− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

− + − − + (11.20)

na osnovu čega zaključujemo da jedno stanje nije kontrolabilno i da njemu baš odgovara pol u tački . To je razlog zbog koga zatvaranjem povratne sprege po stanju ovaj pol sistema i ne može da

se pomeri. 1 1s =

Iako navedeni primeri nisu dokaz za tvrđenje koje ćemo sada izneti, intuitivno je jasno da ukoliko neko stanje nije kontrolabilno, to znači da upravljački signal na njega ne može uticati. Tada je jasno da je informacija o vrednosti tog stanja koja se ima u strukturi sa zatvorenom povratnom spregom po stanju, potpuno beskorisna. Dakle, zatvaranjem povratne sprege po stanjima mogu se proizvoljno podešavati polovi sistema u zatvorenoj sprezi, pod uslovom da su sva stanja sistema potpuno kontrolabilna. Ukoliko su neka stanja sistema nekontrolabilna, polovi, odnosno modovi koji odgovaraju tim stanjima se, zatvaranjem povratne sprege po stanjima, ne mogu pomerati.

Sledeći problem koji nam je od interesa jeste, ukoliko su stanja modela potpuno kontrolabilna, kakvim tehnikama možemo određivati vrednosti elemenata matrice pojačanja K. U

prethodna dva primera su sistemi bili sa jednim ulazom, i ispostavilo se da je problem određivanja nepoznatih pojačanja i zapravo problem rešenja linearnog sistema od dve jednačine i dve nepoznate. Ovaj rezultat možemo generalizovati: kada god je u pitanju sistem sa jednim ulazom, određivanje nepoznatih parametara matrice pojačanja K se svodi na rešavanje linearnog sistema od n jednačina i n nepoznatih. U slučaju da je vektor ulaza m dimenzioni, problem se svodi na rešavanje sistema nelinearnih jednačina koji ima n jednačina i

1k 2k

n m× nepoznatih. Bez želje da u okviru ovog kursa razmatramo opšte metode za rešavanje sistema linearnih ili nelinearnih jednačina, navešćemo dve metode koje se u teoriji sistema često koriste za određivanje koeficijenata matrice pojačanja pri zatvaranju povratne sprege po stanju.

Metod svođenja na kontrolabilnu kanoničnu formu

Ukoliko je sistem sa jednim ulazom, pri čemu je vektor stanja n-dimenzioni, kako je napred rečeno određivanje koeficijenata matrice K, se svodi na sistem linearnih jednačina sa n nepoznatih i n jednačina. Međutim, ukoliko se odredi transformaciona matrica koja početni model u prostoru stanja pretvori u kontrolabilnu kanoničnu formu, problem se može svesti na rešavanje n sistema od jedne jednačine i jedne nepoznate. Ovakvim postupkom se izbegava numerička složenost invertovanja matrica, ukoliko je dimenzionalnost vektora stanja velika. Ovaj postupak će biti ilustrovan sledećim primerom.

Primer 11.3: Posmatrajmo sistem petog reda čiji je model u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 0 0 2 0 11 0 2 1 1 0

0 0 0 0 2 01 0 0 1 0 10 0 0 0 1 1

x t Ax t Bu t x t u t

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥= + = +−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(11.21)

Karakteristični polinom ovog sistema je

( ) ( ) ( )( )5 4 3 2 2 2det 1 1f s sI A s s s s s s s= − = − + − = − + (11.22)

Očigledno je da je sistem nestabilan i cilj nam je da zatvorimo povratnu spregu po stanjima i na taj način stabilišemo sistem. Pre postupka koji će biti ilustrovan u ovom primeru, moramo proveriti da li su stanja sistema potpuno kontrolabilna:

2 3 4

1 1 1 1 10 1 4 5 6

50 2 2 2 21 0 1 0 11 1 1 1 1

rang B AB A B A B A B rang

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦

(11.23)

Dakle, stanja su potpuno kontrolabilna i stabilizacija sistema zatvaranjem povratne sprege po stanju je moguća. Potrebno je da usvojimo željeni karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi. Recimo da nam je cilj da faktor relativnog prigušenja iznosi 0.5ζ = a dominantna vremenska konstanta . To znači da je željena neprigušena prirodna učestanost 1secdT =

1 2 /nd

rad sT

ωζ

= = (11.24)

Time su određeni dominantni polovi, međutim naš sistem je petog reda i treba mu odrediti preostala tri pola. U želji da već određeni polovi budu dominantni, preostala tri pola treba da budu značajno

brža, tako da ih možemo usvojiti kao trostruki pol u tački 3,4,5 3s = − , što je tri puta brže u odnosu na dominantnu vremensku konstantu 1dT s= . Dakle, željeni karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi postaje

(11.25) ( ) ( )( )32 2 5 4 3 2ˆ 2 3 11 49 117 162 108n nf s s s s s s s s sζω ω= + + + = + + + + +

Povratnu spregu po stanjima ćemo zatvoriti tako što ćemo prvo odrediti transformacionu matricu T koja početni model u prostoru stanja prevodi u kontrolabilnu kanoničnu formu. Ukoliko željenu matricu T predstavimo kao matricu vrstu:

[ ]1 2 3 4 5T t t t t t= (11.26)

u kojoj je svaki element matricu kolona, na osnovu postupka opisanog u nekom od prethodnih predavanja znamo sledeće:

5

10011

t B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(11.27)

i

[ ] [ ]1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 1 1

cAT TA At At At At At t t t t t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(11.28)

odnosno:

[ ][ ][ ]

[ ]

5 4 5 4 5 5 4

4 3 5 3 4 5 3

3 2 5 2 3 5 2

2 1 1

2 1 2 1 0

1 3 0 0 1

0 2 2 0 0

0 4 0 0 0

T

T

T

At t t t At t t

At t t t At t t

At t t t At t t

At t t

= + ⇒ = − ⇒ = − − −

= − ⇒ = + ⇒ = − −

= + ⇒ = − ⇒ = −

= ⇒ = −

(11.29)

Dakle, posredstvom transformacione matrice T:

0 0 1 2 14 2 3 1 0

0 2 0 2 00 0 0 1 10 0 1 0 1

T

−⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(11.30)

naš model u prostoru stanja postaje:

(11.31) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 1 1 1 1

c cz t A z t B u t z t u t

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢= + = +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

c

Zatvorimo li povratnu spregu po stanjima kontrolabilne kanonične forme dobijamo model u prostoru stanja koji će ponovo biti kontrolabilna kanonična forma sa matricom stanja:

(11.32)

1 2 3 4 5

0 1 0 0 00 0 1 0 0

ˆ 0 0 0 1 00 0 0 0 1

1 1 1

c c c c

c c c c

A A B K

k k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦

na osnovu čega odmah zaključujemo čemu je jednak karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi:

( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 25 4 3 2

ˆ 1 1 1c c c c 1cf s s k s k s k s k s k= + − + + + + − + + (11.33)

Znajući da transformacija iz jednog modela u prostoru stanja u drugi, ne utiče na karakteristični polinom, postaje jasno da ovaj karakteristični polinom mora biti jednak željenom karakterističnom polinomu:

( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 25 4 3 2

5 4 3 2

ˆ 1 1 1

11 49 117 162 108c c c c 1cf s s k s k s k s k s k

s s s s s

= + − + + + − + +

= + + + + + (11.34)

Odrediti koeficijente nepoznate matrice pojačanja znači rešiti pet sistema od jedne linearne jednačine sa jednom nepoznatom:

cK

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

11 1 1249 1 48117 1 118162 162108 108

c c

c c

c c

c c

c c

k kk kk kk kk k

= − ⇒ =

= + ⇒ =

= − ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

(11.35)

odnosno

[ ]108 162 118 48 12cK = (11.36)

Konačno, potrebno je samo na osnovu matrica T i odrediti željenu matricu pojačanja K. Relacija koja povezuje ove matrice se može izvesti na osnovu jednakosti karakterističnih polinoma:

cK

( ) 1 1ˆc c c c cf s sI A BK sTT TA T TB K sI A B K− −= − + = − + = − + (11.37)

Da bi poslednje dve determinante bile identične, a moraju biti, jasno je da važi sledeća relacija:

1cK K T −= (11.38)

što u našem slučaju rezultuje matricom:

[ ]1 56 27 54 25 19cK K T −= = − − (11.39)

Time je postupak završen. Treba zapamtiti da je on primenjiv isključivo u slučaju da sistem ima jedan ulaz i da se tada problem rešavanja sistema linearnih jednačina od n jednačina i n nepoznatih zamenjuje sa n linearnih sistema od jedne jednačine i jedne nepoznate.

Opšti postupak podešavanja spektra polova sistema zatvaranjem povratne sprege po stanjima

Sledeći postupak predstavlja opšti postupak podešavanja polova sistema u zatvorenoj sprezi zatvaranjem povratne sprege po stanjima. Jedino ograničenje koje mora biti ispunjeno je da sva stanja modela u prostoru stanja moraju biti kontrolabilna. Pretpostavimo da je model sistema u otvorenoj sprezi u prostoru stanja

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= + (11.40)

i da je karakteristični polinom sistema u otvorenoj sprezi

( )f s sI A= − (11.41)

Pretpostavimo dalje da nam je želja da zatvaranjem povratne sprege po stanju promenimo karakteristični polinom sistema i da je on jednak

( ) ( )( ) ( )1 2ˆ

nf s sI A BK s s sλ λ= − + = − − −λ

n

(11.42)

pri čemu su sa , 1,...,i iλ = označeni željeni polovi sistema u zatvorenoj sprezi. Poslednju relaciju možemo napisati na sledeći način:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1

1 1

f s sI A BK sI A I sI A BK

sI A I sI A BK sI A I K sI A B

−

− −

= − + = − + −

= − + − = − + − (11.43)

Na osnovu usvojenih željenih polova matrica K mora biti takva da je

( )ˆ 0, 1,2,...,if iλ = = n (11.44)

odnosno

( ) 1 0 , 1, 2,...,i iI A I K I A B i nλ λ −− + − = = (11.45)

Poslednja relacija nam govori da proizvod dve determinante treba da bude jednaka nuli. Međutim, kako je iλ , i=1,2,...,n željeni karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi, logično je pretpostaviti da druga determinanta treba da bude jednaka nuli, a ne prva, inače bi to značilo da sistem već ima pol u tački is λ= , i=1,2,...,n, pa bi zatvaranje povratne sprege po stanju bilo nepotrebno. Usvajanjem notacije

(11.46) ( ) ( ) 1F s sI A B−= −

dolazimo do zaključka da željena matrica K treba da bude tako izabrana da sledećih n jednakosti treba da bude zadovoljeno:

( )( )

( )

1

2

0

0

0n

I KF

I KF

I KF

λ

λ

λ

+ =

+ =

+ =

(11.47)

Jedan od jednostavnih načina da se ovaj problem reši jeste da u svakoj od ovih n determinanti izaberemo jednu kolonu koja će biti nula kolona. Time bismo sigurno obezbedili da svaka determinanta bude jednaka nuli. Zamislimo da smo u prvoj determinanti izabrali kolonu , u drugoj determinanti kolonu i tako dalje do n-te determinante u kojoj smo izabrali kolonu koja treba da bude jednaka nuli. Za tih n kolona onda vrede sledeće relacije:

1i

2i ni

( )( )

( )

1 1

2 2

1

2

0

0

0n n

i i

i i

i i n

e Kf

e Kf

e Kf

λ

λ

λ

+ =

+ =

+ =

(11.48)

gde je sa označena -va kolona jedinične matrice a sa 1i

e 1i ( )1 1if λ -va kolona matrice 1i ( )1F λ , i

tako dalje. U matričnoj notaciji, poslednja relacija se može napisati na sledeći način:

( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 0

ni i i i i i ne e e K f f fλ λ λ⎡ ⎤ ⎡n

⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

n⎤⎦

(11.49)

Ukoliko smo kolone izabrali tako da su linearno nezavisne, tražena matrica K se može jednostavno izračunati:

1 2, ,..., ni i i

(11.50) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1

1 2ni i i i i i nK e e e f f fλ λ λ−

⎡ ⎤ ⎡= − ⎣ ⎦ ⎣

Dakle, ključna stvar je izabrati kolone koje su linearno nezavisne, i jedna od mogućnosti da se izvrši pravilan izbor jeste da se formira matrica od n blokova:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

n n

m m n m n n

F F F F

f f f f f f f f

λ λ λ λ

m nλ λ λ λ λ λ λ λ−

− −

=⎡ ⎤⎣ ⎦= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (11.51)

i iz nje treba izabrati n kolona ali tako da budu linearno nezavisne i tako da se iz svakog bloka izabere tačno jedna kolona. Ovaj će postupak biti moguć ukoliko stanja sistema budu potpuno kontrolabilna. Time se određuje pozicija kolona i konačno se može primeniti relacija (11.50). Navedeni postupak ćemo ilustrovati sledećim primerom.

1 2 n, , ...,i i i

Primer 11.4: Posmatrajmo sistem čiji je model u prostoru stanja

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2

0 2 0 1x t Ax t Bu t x t u t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(11.52)

Zatvorimo povratnu spregu po stanjima tako da karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi bude

( ) ( )( )ˆ 3f s s s 4= + + (11.53)

Za početak proverimo da li su stanja potpuno kontrolabilna

( )1 2 1 1

20 1 0 2crang Q rang

− −⎡ ⎤= =⎢ −⎣ ⎦

⎥ (11.54)

Kako je uslov potpune kontrolabilnosti zadovoljen, možemo primeniti napred navedeni postupak. Formirajmo za početak matricu

( ) ( ) ( )( )1 2 2 51

0 11 2s s

F s sI A Bss s

− + +⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥++ + ⎣ ⎦

(11.55)

a zatim i blok matricu

( ) ( )1/ 2 1/ 2 1/ 3 1/ 2

3 40 1 0 1/

F F− − − −

2⎡ ⎤

− − =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎣ ⎦ (11.56)

U ovoj matrici treba da izaberemo dve nezavisne kolone pri čemu prva treba da pripada prvom bloku a druga drugom bloku. Ukoliko izaberemo prvu i četvrtu kolonu, to znači da je i 1 1i = 2 2i = . Tada primenom relacije (11.50) dobijamo:

[ ] ( ) ( )1

11 2 1 2

1 0 1/ 2 1/ 2 2 23 4

0 1 0 1/ 2 0 2K e e f f

−− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − − = − =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (11.57)

Dobijeno rešenje nije jednoznačno jer smo izbor nezavisnih kolona mogli da izvršimo i na drugačiji način.

Napomena: Navedeni postupak se pomalo razlikuje ukoliko se u željenom karakterističnom polinomu pojavljuju višestruki polovi. U slučaju da je, recimo tačka 1s λ= višestrukosti k, tada će se u matrici blokova (11.51) pojaviti sledeći izrazi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

2 1

1 22 1

k

n kks s s

dF s d F s d F sF F

ds ds dsλ λ λ

λ λ−

−−= = =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F λ (11.58)

Takođe se i matrica koja sadrže odgovarajuće kolone jedinične matrice menja. Na mestima gde se pojavljuju izvodi funkcije u ovoj matrici treba da stoje nula kolone. Dakle, odgovarajuća matrica ovih kolona glasi:

( )F s

1 1

0 0 0ki ie e+

⎡⎣ nie ⎤⎦ (11.59)

Na kraju treba napomenuti da je kompletna izvedena metodologija važeća i za kontinualne i za diskretne modele u prostoru stanja. Jedina suštinska razlika leži u izboru polova sistema u zatvorenoj sprezi, koja je pak vezana na stabilnost kontinualnih, odnosno diskretnih sistema.

26. Zatvaranje povratne sprege po izlazima i podešavanje spektra polova

Vrlo često zatvaranje povratne sprege po stanjima nije moguće jer nisu sva stanja sistema merljiva. Tada se umesto zatvaranja povratne sprege po stanjima pristupa zatvaranju povratne sprege po izlazu ili po merenjima. Struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom po izlazu je prikazana na slici 11.2.

( )x t ( )x t

A

B C( )u t

K

+ +−−

( )v t ( )y t

Slika 11.2: Struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom po izlazu

Relacije koje definišu ponašanje ovakvog sistema su sledeće:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

u t v t Ky t

= +

=

= −

(11.60)

Jednačina stanja sistema, u ovom slučaju, postaje

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ))x t Ax t B v t Ky t Ax t Bv t BKCx t

A BKC x t Bv t

= + − = + −

= − + (11.61)

Dakle, ponovo se zatvaranjem povratne sprege menja matrica stanja

A A BKC= − (11.62)

i shodno tome i karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi

( )f s sI A BKC= − + (11.63)

Efekat je sličan kao pri zatvaranju povratne sprege po stanjima, ali kao što je i za očekivati, s obzirom da se u vektoru merenja sadrži manje informacija nego u vektoru stanja, manevarske mogućnosti, vezane za podešavanje polova sistema, su manje. Posmatrajmo primere koji će ilustrovati ove činjenice.

Primer 11.4: Posmatrajmo sistem definisan u primeru 11.1 i pokušajmo da zatvaranjem povratne sprege po izlazu podesimo polove sistema:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 1 12 0 1

1 0

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

u t (11.64)

sa željenim karakterističnim polinomom:

( ) 2ˆ 2 4f s s s= + + (11.65)

Polazeći od relacije (11.63) dalje možemo pisati:

( ) ( )21 1ˆ 12

s Kf s sI A BKC s K s K

K s+ + −

2= − + = = + + + −− +

(11.66)

na osnovu čega se zaključuje da mi možemo podesiti samo jedan koeficijent u karakterističnom polinomu dok će drugi biti linearno zavistan. Dakle, možemo da podesimo neprigušenu prirodnu učestanost ali ne i faktor relativnog prigušenja ili obrnuto. Drugim rečima, možemo da podesimo onoliko polova koliko imamo slobodnih koeficijenata. Matrica K je dimenizija dim K m r= × , gde je m dimenzija vektora ulaza a r dimenzija vektora merenja, a u našem slučaju je matrica K skalar.

Primer 11.5: Posmatrajmo sledeći primer sistema zadatog modelom u prostoru stanja

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 1 1 02 0 1 1

1 0

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

u t (11.67)

koji ima dva ulaza. Zatvaranjem povratne sprege po izlazu dobija se karakteristični polinom:

( ) ( )21 1 2

ˆ 1f s sI A BKC s k s k k= − + = + + + + − 2 (11.68)

na osnovu čega zaključujemo da izborom elemenata matrice pojačanja u povratnoj sprezi [ ]1 2

TK k k= možemo podesiti oba pola. Ako želimo da karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi bude kako je zadat jednačinom (11.65), lako se dolazi do vrednosti koeficijenata:

[ ]1 5 TK = (11.69)

Dakle, mogli bismo da zaključimo da zatvaranjem povratne sprege po izlazu, u opštem slučaju, pogodnim izborom elemenata matrice pojačanja K možemo podesiti polova sistema u zatvorenoj sprezi, gde je m dimenzija vektora ulaza, r dimenzija vektora merenja a n dimenzija vektora stanja. Takođe ne treba zaboraviti, da se preostalih n-p polova sistema, koje nismo uspeli da podesimo, pozicioniraju mimo naše volje, a ponekada mogu postati i nestabilni, pa o tome treba voditi računa. Međutim, ni ova sloboda nam nije uvek garantovana, a to će ilustrovati sledeći primer.

(min ,p mr= )n

Primer 11.6: Posmatrajmo prethodni primer sa malom izmenom:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 1 12 0 1

1 0

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u t (11.70)

Sada zatvaranjem povratne sprege po izlazu dobijamo karakteristični polinom

( ) ( ) ( )(21 1ˆ 1 2 12

s Kf s sI A BKC s K s K s s K

K s+ + −

= − + = = + + − − = − + +− −

)2 (11.71)

Sada se zatvaranjem povratne sprege po izlazu može uticati samo na jedan pol dok drugi u tački ostaje nepokretan. Lakim proveravanjem se dolazi do zaključka da je jedno stanje sistema

nekontrolabilno i da njemu baš odgovara deo sistema čiji je pol u tački 1. Dakle, zaključak je da se zatvaranjem povratne sprege po merenju može uticati na položaj mr polova sistema, gde je m dimenzija vektora ulaza, r dimenzija vektora merenja, ali samo na onih mr polova koji odgovaraju kontrolabilnim stanjima sistema.

1s =

Primer 11.7: Konačno, pogledajmo sledeći primer kontinualnog LTI sistema:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 02 1 1

1 1

x t x t

y t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −

u t (11.72)

Sada zatvaranjem povratne sprege po izlazu dobijamo karakteristični polinom

( ) ( ) ( )(21ˆ 1 2 12 1

sf s sI A BKC s K s K s s K

K s K−

= − + = = + + − − = − + +− − + +

)2

)

)

(11.73)

Ponovo se ispostavlja da je jedan pol nemoguće pomerati. To je pol u tački i brzom proverom se dolazi do saznanja da jedno stanje modela (11.72) nije opservabilno i da njemu odgovara baš deo sistema čiji je ovo pol.

1s =

Na osnovu ova tri primera možemo izvesti sledeći zaključak: Zatvaranjem povratne sprege po izlazu, u slučaju kada su sva stanja sistema kontrolabilna i opservabilna, može se podesiti položaj polova sistema u zatvorenoj sprezi, gde je m dimenzija vektora ulaza, r dimenzija vektora merenja a n dimenzija vektora stanja. U slučaju da je p stanja sistema nekontrolabiln i/ili neopservabilno, zatvaranjem povratne sprege po izlazu može se podesiti položaj

polova sistema u zatvorenoj sprezi. Preostalih

(min ,n mr

(min ,n p mr− ( )min ,n n p m− − r će ili ostati u

svojim prvobitnim lokacijama (ukoliko njima odgovaraju nekontrolabilna ili neopservabilna stanja) ili će se postaviti u lokacije mimo naše volje. Na njih nemamo uticaja pa se takvim zatvaranjem povratne sprege sistem može učiniti i nestabilnim, o čemu treba voditi računa.

Tehnike koje su na raspolaganju za određivanje nepoznate matrice K se svode na metod izjednačavanja koeficijenata karakterističnog polinoma, koji se zapravo svodi na rešavanje sistema algebarskih jednačina:

( )ˆ 0, 1,...,i if I A BKC i pλ λ= − + = = (11.74)

gde je sa p označen broj polova sistema koje želimo da podesimo dok su sa , 1,...,i i pλ = označene lokacije tih polova.

Postoji i tehnika podešavanja polova zatvaranjem povratne sprege po izlazu, koja je vrlo slična opštem postupku podešavanja spektra polova zatvaranjem povratne sprege po stanju. Polazeći od izraza za karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi:

( ) ( ) ( )( )

( )

1

1

f s sI A BKC sI A I sI A BKC

sI A I KC sI A B

−

−

= − + = − + −

= − + − (11.75)

U želji da izaberemo matricu K tako da r polova sistema u zatvorenoj sprezi bude na lokaciji 1 2, ,..., rλ λ λ potrebno je zadovoljiti sledećih r jednakosti:

( ) 1 0 , 1, 2,...,i iI KC I A B i rλ λ −+ − = = (11.76)

Usvajanjem oznake , ovaj se sistem jednačina svodi na sledeći sistem ( ) (1C sI A B F s−− = )

( ) 0 , 1,2,...,i iI KF i rλ λ+ = = (11.77)

koji je potpuno ekvivalenta sistemu (11.47) pa je dalji postupak identičan. Jedina je razlika u tome što je sada matrica F dimenzija ( ) dim F s r m= × pa je to i ograničenje ovog postupka, da se njime može podesiti najviše r polova sistema u zatvorenoj sprezi, gde je r dimenzija vektora merenja. Takođe, ne treba zaboraviti da je potreban uslov za sprovođenje ove procedure da stanja sistema budu potpuno kontrolabilna i potpuno opservabilna. Zapravo, ako želimo da budemo precizni, pošto mi podešavamo r polova sistema, potreban i dovoljan uslov za sprovođenje ove procedure je da r stanja sistema budu kontrolabilna i opservabilna.

27. Uticaj povratnih sprega po stanju i izlazu na osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja modela sistema Uticaj povratne sprege po stanju na opservabilnost stanja modela Povratna sprega po stanju može i da popravi i da pokvari opservabilnost stanja modela sistema u prostoru stanja. Ovo tvrđenje se jednostavno može dokazati na sledećem primeru. Primer 12.1: Posmatrajmo model sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 02 3 1

1

x t x t

y t a x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u t

2

(12.1)

Pretpostavimo da je parametar a=1. Tada je matrica opservabilnosti sistema

0

1 1 12 3 2

C aQ

CA a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (12.2)

na osnovu čega zaključujemo da je jedno stanje modela neopservabilno jer

0 1rangQ = (12.3)

Zatvaranjem povratne sprege po stanju model u prostoru stanja postaje

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )1 2

0 1 02 3 1

1

x t A BK x t Bv t x t v tk k

y t a x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦=

(12.4)

pa matrica opservabilnosti stanja sistema sa zatvorenom spregom postaje

( )0

1 2 1

1 1 1ˆ2 3 2 2

C aQ

C A BK k a k k k⎡ ⎤

2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(12.5)

i njena determinanta je

( )0 2 1 1ˆdet 2 2Q k k k 2k= − − + + = − (12.6)

Drugim rečima, izborom elemenata vektora pojačanja u zatvorenoj sprezi po stanju može se obezbediti da rang matrice opservabilnosti postane jednak dimenziji vektora stanja, odnosno da stanja sistema postanu potpuno opservabilna.

1k k≠ 2

14

Ponovimo isti postupak, posmatrajući isti model u prostoru stanja, sa tim što je vrednost parametra . Matrica opservabilnosti za sistem u otvorenoj sprezi je 1a = −

0

1 12 3 2

C aQ

CA a−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (12.7)

što znači da su stanja modela potpuno opservabilna jer je

0 2rangQ = (12.8)

Zatvaranjem povratne sprege po stanju matrica opservabilnosti postaje

( )0

1 2 1

1 1ˆ2 3 2 4

C aQ

C A BK k a k k k⎡ ⎤ −

2

1⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(12.9)

Determinanta ove matrice iznosi

( )0 2 1 1ˆdet 4 2 6Q k k k 2k= + + + = + + (12.10)

Ukoliko elementi matrice pojačanja povratne sprege po stanjima

[ ]1 2K k k= (12.11)

zadovolje relaciju

1 6k 2k= − − (12.12)

rang matrice opservabilnosti će postati 1 i jedno stanje modela u prostoru stanja postaće neopservabilno. Drugim rečima, na ovom primeru je ilustrovano, i praktično dokazano da zatvaranje povratne sprege po stanju može i popraviti i narušiti opservabilnost stanja modela.

Uticaj povratne sprege po stanju na kontrolabilnost stanja modela

Povratna sprega po stanjima ne utiče na kontrolabilnost stanja. Ako pretpostavimo da su matrice stanja i ulaza modela u otvorenoj sprezi A i B, posle zatvaranja povratne sprege promeniće se matrica stanja

A A BK= − (12.13)

a matrica ulaza B ostaje nepromenjena. Shodno tome matrica kontrolabilnosti stanja za sistem u otvorenoj sprezi će biti

1ncQ B AB A B−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (12.14)

a za sistem u zatvorenoj sprezi

( ) ( ) 11ˆ ˆ ˆ nncQ B AB A B B A BK B A BK B−− ⎡ ⎤⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (12.15)

Za n=2 može se uspostaviti sledeća veza između ove dve matrice kontrolabilnosti

( ) [ ]ˆ0c c

I KBQ B A BK B B AB QI

−⎡ ⎤= − = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦P (12.16)

Kako je matrica P kvadratna regularna matrica čija je determinanta jednaka 1, nezavisno od vrednosti matrice pojačanja K, matrice i imaju identične rangove. Slična se relacija može uspostaviti za bilo koju dimenziju vektora stanja n:

cQ ˆcQ

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

2 3 1

2 2

3

4

0 2 3 11

0 0 32ˆ ;

10 0 0

3

0 0 0 0

n

n

n

c cn

I KB KB KB KB

I KB KB n KBn

I KB KBQ Q P P

nI K

I

−

−

−

−

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎛ ⎞⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎛ ⎞

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

−

(12.17)

na osnovu čega opet možemo da zaključimo da je matrica P kvadratna regularna matrica čija je determinanta jednaka 1 nezavisno od elemenata matrice K. Množenje matrice ovakvom cQ

matricom, kakva je matrica P, je ekvivalentno transformacijama kakve se u linearnoj algebri nazivaju transformacijama ekvivalencije. Pomnožiti kolonu ili vrstu bilo kojim brojem različitim od nule, zameniti mesta dvema kolonoma ili vrstama ili pomnožiti neku kolonu ili vrstu nekom konstantom i dodati je drugoj koloni ili vrsti su transformacije ekvivalencije i lako se dokazuje da ovakve transformacije ne menjaju rang matrice. Ovo jeste dokaz da su matrice kontrolabilnosti pre i posle zatvaranja povratne sprege istog ranga, što je dokaz da zatvaranje povratne sprege po stanjima ne utiče na kontrolabilnost stanja.

Uticaj povratne sprege po izlazu na kontrolabilnost stanja modela

Povratna sprega po izlazu takođe ne utiče na kontrolabilnost stanja. Matrica kontrolabilnosti pre zatvaranja povratne sprege je

1ncQ B AB A B−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (12.18)

a posle zatvaranja povratne sprege po izlazu

( ) ( ) 1ˆ ncQ B A BKC B A BKC B−⎡= − −⎣

⎤⎦ (12.19)

U slučaju da je n=2 između ove dve matrice se uspostavlja jednostavna veza:

( ) [ ]ˆ0c c

I KCBQ B A BKC B B AB QI

−⎡ ⎤= − = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦P (12.20)

i ponovo matrica P predstavlja kvadratnu regularnu matricu čija determinanta ne zavisi od elemenata matrice K. U opštem slučaju, za proizvoljno n, moguće je takođe uspostaviti vezu između matrica kontrolabilnosti:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

2 3 1

2 2

3

4

0 2 3 11

0 0 32ˆ ;

10 0 0

3

0 0 0 0

n

n

n

c cn

I KCB KCB KCB KCB

I KCB KCB n KCBn

I KCB KCBQ Q P P

nI KCB

I

−

−

−

−

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎛ ⎞⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎛ ⎞

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−

(12.21)

Dakle, zaključak je ponovo isti. S obzirom na svojstva matrice P, matrice kontrolabilnosti su istog ranga pa se samim tim, nezavisno od matrice pojačanja K, kontrolabilnost stanja model ne menja zatvaranjem povratne sprege po izlazu.

Uticaj povratne sprege po izlazu na opservabilnost stanja modela sistema

Ako je matrica opservabilnosti stanja modela sistema pre zatvaranja povratne sprege po stanju

0

1n

CCA

Q

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.22)

po zatvaranju povratne sprege po izlazu, matrica opservabilnosti će biti

( )

( )

0

1

ˆ

n

CC A BKC

Q

C A BKC −

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.23)

Za n=2 između ovih matrica postoji sledeća veza:

( )0

0ˆ C I CQ C A BKC CBK I CA

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0PQ= (12.24)

Matrica P je regularna kvadratna matrica čija determinanta ne zavisi od elemenata matrice pojačanja K. Identičan zaključak važi i za proizvoljno n:

( )

( ) ( ) ( )

2

0 0

1 2 3

0 00 0

2 0ˆ ;

1 11 3

n n n

ICBK I

CBK CBK IQ PQ P

n nCBK CBK CBK I− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

0

(12.25)

te ova relacija predstavlja dokaz tvrđenja da povratna sprega po izlazu ne utiče na opservabilnost stanja modela.

28. Projektovanje opservera stanja

Na osnovu prethodna dva pitanja smo sagledali mogućnosti koje pružaju povratna sprega po stanju i izlazu. Jasno je da je povratna sprega po stanju superiornija, da u opštem slučaju, kada su stanja potpuno kontrolabilna, njome možemo da podešavamo polove sistema u proizvoljne lokacije i na taj način modeliramo njegovo ponašanje prema potrebi. Jedan od značajnih nedostataka ovakve strategije upravljanja sistemima je taj što gotovo nisu sva stanja merljiva. Zatvoriti povratnu spregu po stanjima znači da za svaku od tih fizičkih veličina, stanja, imamo senzor koji pretvara tu fizičku veličinu u električnu, i tada se po toj električnoj veličini zatvara povratna sprega po stanju. Ponekada je broj stanja isuviše veliki da bi se za svaku od njih postavljao senzor, a ponekada je to zbog prirode procesa nemoguće ( recimo temperatura u unutrašnjosti visoke peći ili u kućištu motora automobila). Zbog toga se pribegava projektovanju uređaja čiji će zadatak biti da na osnovu dostupnog vektora merenja rekonstruiše, kaže se opservira ili estimira, vektor stanja, i da se na osnovu opserviranih stanja zatvori povratna sprega. Struktura takvog sistema ja data na slici 12.1.

( )x t ( )x t

A

B C( )u t

K

+ +−−

( )v t ( )y t

Opserverstanja

Proces

( )x t

Slika 12.1: Struktura sistema sa opserverom i zatvorenom povratnom spregom po opserviranim stanjima

Naš sistem, kakav je prikazan na slici 12.1 se sada sastoji iz tri dela. Tu je proces, koji je predstavljen svojim modelom u prostoru stanja, tu je i opserver čiji je zadatak da na osnovu raspoloživih informacija, a to su vektor ulaza i vektor merenja, rekonstruiše, opservira ili estimira stanja, na slici označena sa ( )x t . Na kraju, deo ovog sistema je i kontroler predstavljen matricom pojačanja K u povratnoj sprezi.

Sada ćemo analizirati strukturu opservera i objasniti osnovnu ideju njegovog projektovanja. Opserver je digitalni računar koji treba, da oponaša ponašanje procesa. U nekom od programskih jezika treba napisati program koji će zapravo rešavati diferencijalnu jednačinu, ako je sistem kontinualan, ili diferencnu jednačinu ako je sistem diskretan, i na osnovu ulaznih signala, a to su

i (ili i ( )u t ( )y t [ ]u k [ ]y k za diskretni sistem), generisati procenu stanja ( )x t ili [ ]x k . Drugim rečima, ako znamo model procesa, a on mora biti poznat pre projektovanja opservera, relacije koje njega definišu moraju biti istovetne relacijama koje definišu ponašanje procesa:

( ) ( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x t Ax t Bu t

y t Cx t

= +

= (12.26)

Cilj nam je da procena vektora stanja bude što verodostojnija pravoj vrednosti stanja, odnosno da vektor greške opservacije

( ) ( ) ( )ˆe t x t x t= − (12.27)

bude što je moguće bliži nuli. Međutim, kada bismo opserver isprojektovali na osnovu relacija (12.27) on nikakvu informaciju o signalu greške ne bi imao, i u tom slučaju bi na proces mogli da deluju različiti poremećaji, a da opserver to uopšte ne detektuje. Otuda se u jednačini koja definiše ponašanje opservera može dodati član koji je dostupan (merljiv) a nosi informaciju o signalu greške, to je razlika:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆCe t Cx t Cx t y t y t= − = − ˆ (12.28)

Tada bi jednačine opservera glasile:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

x t Ax t Bu t G y t Cx t

A GC x t Bu t Gy t

y t Cx t

= + + −

= − + +

=

(12.29)

pri čemu matrica G, kako će biti pokazano, omogućava da se podesi brzina reagovanja opservera. Uzimajući u obzir relacije koje definišu proces i opserver, kompletna struktura sistema dobija formu kakva je prikazana na slici 12.2.

( )x t ( )x t

A

B C

( )u t

K

+

+−

−

( )v t

( )y t Opserverstanja

( ) ( ) ( )( ) ( )

:Proces x t Ax t Bu t

y t Cx t

= +

=( )y t

G+

+

−

Kontroler Slika 12.2: Struktura procesa sa opserverom stanja i zatvorenom povratnom spregom po

opserviranim stanjima

Sada model u prostoru stanja celokupnog sistema postaje definisan sledećim relacijama:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ ˆ

x t Ax t Bu t

u t v t Kx t

y t Cx t

x t A GC x t Bu t Gy t

= +

= −

=

= − + +

(12.30)

ili ako ih napišemo u standardnoj formi modela u prostoru stanja:

( )( )

( )( )

( )

( ) [ ]( )( )

ˆˆ

0ˆ

x t x tA BK Bv t

GC A GC BK Bx tx t

x ty t C

x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.31)

Prvo primećujemo da je naš celokupan sistem u zatvorenoj sprezi postao sistem reda 2n, gde n koordinata sistema potiče od procesa i isto toliko od opservera. Druga zanimljiva činjenica je da će nam u tom slučaju i karakteristični polinom sistema biti 2n-tog stepena. U želji da njega sračunamo moramo odrediti determinantu matrice stanja:

( )sI A BK

f sGC sI A GC BK−

=− − + +

(12.32)

Determinanta matrice se ne menja ukoliko neku vrstu ili neku kolonu pomnožimo nekom konstantom i dodamo drugoj vrsti ili koloni. Isto tvrđenje važi i za blokove, pa ukoliko prvu vrstu blokova pomnožimo sa -1 i dodamo drugoj vrsti blokova, a zatim drugu kolonu blokova pomnožimo sa 1 i dodamo prvoj koloni blokova, dobija se sledeća determinanta

( )

0

sI A BKf s

GC sI A GC BK

sI A BK sI A BK BKsI A GC sI A GC sI A GC

−=

− − + +

− − += =− + − − + − +

(12.33)

na osnovu čega se zaključuje da je karakteristični polinom celog sistema koji se sastoji od procesa kontrolera i opservera jednaka:

( )p k of s sI A BK sI A GC+ + = − + − + (12.34)

Poslednja relacija je vrlo važna jer nam ona govori da se karakteristični polinom celog sistema može raspregnuti na dva karakteristična polinoma koja su međusobno nezavisna. Prvi od njih je sI A BK− + i on se odnosi na proces sa kontrolerom dok je drugi karakteristični polinom

opservera sI A GC− + . Ono što je još važnije jeste da se izborom matrice K polovi procesa sa kontrolerom mogu podešavati potpuno nezavisno od opservera dok se izborom matrice G polovi opservera mogu podešavati potpuno nezavisno od položaja procesa sa kontrolerom. Ova činjenica se u literaturi naziva principom separacije polova.

Podešavanje matrice K je vazano za željeno ponašanje sistema u zatvorenoj sprezi i o tome smo pričali u prethodnim izlaganjima. Međutim, ukoliko želimo da vidimo kako treba izabrati matricu G, potražimo diferencijalnu jednačinu koja opisuje ponašanje vektora greške e:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

e t x t x t Ax t B v t Kx t A GC x t B v t Kx t GCx t

A GC x t x t A GC e t

= − = + − − − − − −

= − − = − (12.35)

Rešavanjem ove diferencijalne jednačine dobija se trajektorija signala greške u vremenu:

( ) ( ) ( )( )0 expe t e A GC t= − (12.36)

Ukoliko želimo da nam signal greške tokom vremena isčezava, neophodno je da polovi karakterističnog polinoma opservera sI A GC− + budu stabilni. Takođe, što su ovi polovi udaljeniji od imaginarne ose, vremenske konstante opservera su kraće i greška će brže isčezavati. Međutim, sa smanjenjem vremenskih konstantni opservera, odnosno sa udaljavanjem njegovih polova od imaginarne ose, proširuje se propusni opseg opservera i on postaje osetljiviji na prisustvo mernog šuma, koji u svakom realnom sistemu postoji u okviru mernog signala . Otuda treba primenjivati kompromisno rešenje koje kaže da polovi opservera treba da budu dva do četiri puta brži od polova procesa sa kontrolerom. Na taj način će opserver biti dovoljno brz da prati dinamične promene u vektoru stanja ali istovremeno ne preterano brz da bi bio suviše osetljiv na prisustvo mernog šuma.

( )y t

Konačno, bez obzira na pažljivo projektovanje opservera signal greške će uvek biti različit od nule i za to postoje tri dominantna razloga:

1. Signal greške uvek ima svoju početnu vrednost ( ) ( ) (ˆ0 0e x x= − )0 . Naime, prilikom startovanja opservera, mi početno stanje vektora stanja ne znamo i uobičajeno se usvaja da je ( )ˆ 0x nula vektor. Otuda je opserveru, zavisno od njegove dinamike, potrebno neko vreme da ovu početnu grešku redukuje.

2. Signal je ulaz u opserver i ovaj se signal uvek dobija sa nekog od senzora koji pretvara odgovarajuću fizičku veličinu u električni signal. Prilikom te konverzije se pojavljuje stohastički signal koji se naziva mernim šumom. Ukoliko se i taj šum modelira uobičajeno je da se on definiše kao aditivni šum, i u tom slučaju merenje y se definiše kao

( )y t

( ) ( ) ( )y t Cx t w t= + gde je ( )w t stohastički proces šuma merenja. Protiv ovog mernog šuma se možemo boriti smanjivanjem propusnog opsega opservera, ali preteranim sužavanjem propusnog opsega počinjemo da filtriramo i korisni signal, što nije dobro.

3. Konačno, prilikom projektovanja opservera podrazumevali smo da je model procesa poznat i da su nam matrice A, B i C koje definišu ovaj model poznate. Međutim, to obično kod realnih sistema nije slučaj. Ukoliko želimo da neki realni sistem

identifikujemo, ove se matrice uglavnom određuju sa nekom tolerancijom, te matrice stanja ulaza i izlaza za proces i opserver nisu identične. U tom slučaju princip separacije ne važi, pa ni uslov konvergencije signala greške ka nuli nije garantovan. Što su razlike između pravih i identifikovanih matrica veće, to su performanse estimacije (procene) vektora stanja lošije.

Postupak projektovanja opservera i uticaj pojedinih izvora greški opservacije biće ilustrovani kroz sledeća dva primera. Takođe, na kraju ovog izlaganja je neophodno napomenuti da opserver stanja ima smisla projektovati samo u slučaju da su stanja modela u potpunosti opservabilna. U protivnom, na osnovu mernog signala se ne mogu rekonstruisati stanja, i takav opserver bi rezultovao nepredvidivim greškama u opservaciji neopservabilnih stanja.

Primer 12.2: Posmatrajmo sistem čiji je model u prostoru stanja

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0 12 1 0

0 1

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

u t (12.37)

Pre nego što pristupimo projektovanju opservera i zatvaranju povratne sprege po opserviranim stanjima neophodno je proveriti kontrolabilnost i opservabilnost stanja modela:

(12.38) [ ] 1 1

20 2

0 12

2 1

c c

o o

Q B AB rangQ

CQ rangQ

CA

−⎡ ⎤= = ⇒ =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Pošto su stanja potpuno kontrolabilna i potpuno opservabilna, krenimo sa projektovanjem opservera i kontrolera. Cilj nam je da karakteristični polinom procesa sa kontrolerom bude

( ) 2 2p k 4f s s s+ = + + (12.39)

Polovi definisani ovim karakterističnim polinomom su

1,2 1 3s = − ± j (12.40)

Kako polovi opservera treba da budu dva do četiri puta brži od polova procesa sa kontrolerom, njih treba birati tako da im je realni deo dva do četiri puta negativniji od realnog dela polova procesa u zatvorenoj sprezi (imaginarni deo nije od presudne važnosti, jedino treba izbegavati mali faktor relativnog prigušenja), pa je na osnovu toga dobar izbor za karakteristični polinom opservera:

(12.41) ( ) ( )23of s s= +

Sledeći korak je određivanje matrica K i G:

( ) 1 2

2 21 2 1

12

2 1 2

p k

s k kf s sI A BK

s

s k s k k s s

+

+ += − + =

− −

= + + − − = + +

1

4 (12.42)

na osnovu čega se određuje matrica pojačanja K: [ ]2 3.5K = (12.43)

Na osnovu karakterističnog polinoma opservera možemo pisati:

( ) 1

2

2 22 1 2

12 1

2 1 6

o

s gf s sI A GC

s g

s g s g g s s

+= − + =

− − +

= + + + − = + + 9

(12.44)

odakle se dobija željena matrica G: [ ]2 6 TG = (12.45)

Time je proces projektovanja opservera završen, međutim, bilo bi lepo videti kako opserver funkcioniše.

(a) (b)

(c) (d)

e)

Slika 12.3: Rad opservera a) referentni signal; b i c) prvo drugo stanje i njihove opservacija u slučaju nepostojanja mernog šuma; d i e) prvo i drugo stanje i njihove opservacija u slučaju

postojanja mernog šume

Na slici 12.3 je ilustrovan rad opservera pri čemu je početno stanje sistema ( ) [ ]0 5 5 Tx = a početno

stanje opservera ( ) [ ]ˆ 0 0 0 Tx = . Vidi se da ova greška, usled greške u početnim uslovima, vrlo brzo isčezava i brzina isčezavanja je određena vremenskom konstantom opservera (a to je u našem slučaju 1/3 sekunde). Na slikama 12.3b i c su prikazani odzivi sistema, stanja i njihove opservacije ukoliko merni šum ne postoji, dok su na slikama 12.3d i e prikazani ovi odzivi u prisustvu mernog šuma i vidi se da je njegov uticaj izraženiji na proceni drugog stanja. Uticaj mernog šuma se može smanjiti ukoliko smanjimo propusni opseg opservera, recimo da smo usvojili da su polovi opservera umesto u tački -3 postavljeni u tačku -2 ili -1, ali bi tada vremenska konstanta opservera bila veća i uticaj greške koja potiče od početnih uslova bi duže trajao.

Primer 12.3: Posmatrajmo diskretni sistem opisan modelom u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0.2 1 11

1 1.5 0

1 1

x k x k

y k x k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u k (12.46)

Ponovo, pre projektovanja opservera i zatvaranja povratnih sprega, moramo proveriti potpunu kontrolabilnost i opservabilnost stanja modela:

(12.47) [ ]

0 0

1 0.22

0 1

1 12

0.8 0.5

c cQ F EF rangQ

CQ rangQ

CE

⎡ ⎤= = ⇒ =⎢ ⎥−⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Kako su stanja potpuno kontrolabilna i opservabilna, možemo nastaviti sa procedurom projektovanja opservera i zatvaranjem povratne sprege po opserviranim stanjima. Prvo je neophodno usvojiti karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi. Neka sistem u zatvorenoj sprezi ima faktor relativnog prigušenja 0.75ζ = i neprigušenu prirodnu učestanost 1 /n rad sω = . Da je to kontinualni sistem njegovi dominantni polovi bi bili

21,2 1 0.75 0.66n ns jζω ω ζ= − ± − = − ± j (12.48)

Međutim, to je diskretni sistem i njegove polove u z ravni ćemo odrediti odgovarajućim preslikavanjem:

( ) ( )( )1,2 0.75 0.66 0.751,2 cos 0.66 sin 0.66s T T Tj Tz e e e e T T− ± −= = = ± (12.49)

Za ovo preslikavanje je potrebno znati periodu diskretizacije sa kojom radi diskretni sistem. Ako pretpostavimo da je , dobijaju se željeni polovi sistema u zatvorenoj sprezi: 1secT =

1,2 0.37 0.29z j= ± (12.50)

a odgovarajući karakteristični polinom glasi:

( ) ( )( ) 21 2 0.75 0.22p kf z z z z z z z+ = − − = − + (12.51)

Prilikom projektovanja opservera, prvi korak je da odredimo njegov karakteristični polinom. Kako želimo da opserver bude dva do četiri puta brži od sistema u zatvorenoj sprezi, da je u pitanju kontinualni sistem, na osnovu (12.100) bi to mogli biti polovi:

1,2 3*0.75 2.25s = − = − (12.52)

Međutim, kako je to diskretni sistem, polovi opservera treba da budu u z ravni:

(12.53) 1,21,2 0.11s Tz e= =

pa onda karakteristični polinom opservera glasi:

( ) ( )( ) 21 2 0.22 0.012of z z z z z z z= − − = − + (12.54)

Konačno, na osnovu definisanih karakterističnih polinoma, tražene matrice K i G postaju:

( )

( )

1 2

2 21 1 2

0.2 11 1.5

1.7 1.5 0.7 0.75 0.22

p k

z k kf z zI E FK

z

z k z k k z z

+

− + += − + =

−

= + − − − − = − +

(12.55)

na osnovu čega se određuje matrica pojačanja K:

[ ]0.95 2.34K = − (12.56)

Slično tome, za karakteristični polinom opservera možemo pisati:

( )

( )

1 1

2 2

2 21 2 1 2

0.2 11 1.5

1.7 2.5 1.2 0.7 0.22 0.012

o

z g gf z zI E GC

g z g

z g g z g g z z

− + += − + =

+ − +

= + + − − − − = − +

(12.57)

odnosno

[ ] [ ]1 2 1.91 3.39TG g g= = − T (12.58)

Na slici 12.4 je prikazana simulacija ovog diskretnog sistema sa opserverom i zatvorenom povratnom spregom po opserviranim stanjima. Na slici a) je prikazan referentni signal, dok su na slikama b) i c) prikazana stanja i njihove opservacije, pri čemu je jedini izvor greške greška u početnoj proceni stanja. Vidi se da ona isčezava vrlo brzo i već nakon tri do četiri periode odabiranja ona postaje neprimetna. Međutim, na slikama d) i e) su prikazana stanja i njihove opservacije ali pod pretpostavkom da model procesa i model opservera nisu identični. Jedina izmena je u matrici E. Naime, opserver je isprojektovan pod pretpostavkom da je diferencna jednačina stanja

[ ] [ ] [ ]0.2 1 1ˆ ˆ1

1 1.5 0x k x k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u k

]

(12.59)

dok je proces generisan koristeći diferencnu jednačinu

[ ] [ ] [0.2 0.98 11

1 1.55 0x k x k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u k (12.60)

Primetimo da je jedina razlika u dva koeficijenta matrice E, i pri tome je ta razlika u toleranciji do 3% nominalnih vrednosti koeficijenata. Uticaj na kvalitet estimacije i regulacije sistema u zatvorenoj sprezi je fundamentalan. Ne samo da je opservacija stanja postala značajno gora, nego na prethodne dve slike, već je ceo sistem u zatvorenoj sprezi postao nestabilan, što se može videti na povećanje amplituda oscilacija u odzivu stanja. Na nesreću, ne postoje neka opšta pravila i zaključci koje bismo mogli doneti u smislu koliko je ovakav sistem osetljiv na greške modeliranja procesa. Nekada te greške mogu izazvati samo narušavanje kvaliteta opservacije stanja, a nekada mogu i narušiti stabilnost sistema u zatvorenoj sprezi, kakav je slučaj ilustrovan u ovom primeru.

a) b)

c) d)

e)

Slika 12.4: Simulacija rada diskretnog sistema sa opserverom i zatvorenom povratnom spregom po opserviranim stanjima

Metodi za određivanje nepoznate matrice pojačanja opservera G su analogni postupcima za određivanje matrice pojačanja K kod zatvaranja povratne sprege po stanjima. Prvi postupak se odnosi na metod izjednačavanja koeficijenata karakterističnog polinoma:

( ) ( )( ) ( )0 1 nf s sI A GC s s s2λ λ= − + = − − −λ (12.61)

Ovaj metod se svodi na rešavanje sistema algebarskih jednačina u kome ima n jednačina i nr nepoznatih, gde je n dimenzija vektora stanja a r dimenzija vektora merenja.

Drugi postupak se može primeniti isključivo u slučaju da je u pitanju sistem sa jednim ulazom, i tada se početni model u prostoru stanja prevede u opservabilnu kanoničnu formu, a projektovanje opservera je u tom slučaju vrlo jednostavno, jer se sistem od n jednačina i n nepoznatih svede na n sistema od jedne jednačine i jedne nepoznate.

Treći postupak je opšti postupak podešavanja spektra polova opservera. Polazeći od karakterističnog polinoma opservera možemo pisati sledeći niz jednakosti:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

10

1

f s sI A GC sI A I sI A GC

1f s I sI A GC f s I C sI A G

f s I F s G

−

−

= − + = − + −

= + − = + −

= +

− (12.62)

gde je uvedena oznaka

( ) ( ) 1F s C sI A −= − (12.63)

Matrica G treba da bude tako izabrana da za željene polove opservera 1 2, ,..., nλ λ λ važe sledeće jednakosti

( ) 0, 1,2,...,iI F G iλ+ = = n (12.64)

Dalji postupak određivanja matrice G je analogan opštem postupku za podešavanja spektra polova pri zatvaranju povratne sprege po stanju, sa tom razlikom što sada za svaku matricu iz relaciju (12.64) određujemo po jednu vrstu koja će biti identički jednaka nuli. Važno je napomenuti, da je potreban uslov za primenu navedene procedure da stanja modela budu potpuno opservabilna. U protivnom, pozicija pola koji odgovara neopservabilnom stanju neće moći da se podesi shodno našim zahtevima.

29. Stabilnost dinamičkih sistema, pojam ravnotežnog stanja U literaturi se može naći veliki broj različitih definicija stabilnosti sistema. Mi ćemo se kratko zadržati na analizi stabilnosti nelinearnih sistema, a zatim ćemo na osnovu te analize izvesti potrebne i dovoljne uslove stabilnosti linearnih sistema, i za linearne sisteme navesti najčešće korišćene kriterijume za ispitivanje stabilnosti.

Posmatrajmo jedan nelinearni sistem koji je opisan vektorskom diferencijalnom jednačinom:

( ) ( )( ),x t f x t t= (13.1)

Pretpostavimo da je sa ( )x t označen n-dimenzioni vektor stanja a da je sa ( )f ⋅ označena vektorska funkcija. Kada su nelinearni sistemi u pitanju, ne možemo uopšteno govoriti o njihovoj stabilnosti, već se za početak definišu ravnotežna stanja ili takozvani ekvilibrijumi. Tačku ex u n-dimenzionom prostoru zvaćemo ravnotežnim stanjem, ili ekvilibrijumom ukoliko je zadovoljen uslov:

( ) ( ), 0e

ex x

dx tf x t

dt=

0≡ ⇔ = (13.2)

Drugim rečima, tačka ekvilibrijuma je ona tačka u prostoru stanja u kojoj će, ako se sistem u njoj nađe, u njoj i ostati. Određivanje ravnotežnih stanja sistema ćemo ilustrovati na jednom jednostavnom primeru nelinearnog sistema drugog reda.

Primer 13.1: Posmatrajmo nelinearni sistem koji je opisan sledećim dvema diferencijalnim jednačinama

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

1 2 1

2 1 2

1 cos

1 cos

x t x t x t

x t x t x t

= − −

= − − (13.3)

U želji da odredimo sve tačke ekvilibrijuma, treba posmatrati sledeće algebarske jednačine:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) (

2 1 1 2

2 1 1 2

2 1 1 1 1 2 2 2

1 cos 0 1 cos 0

0 cos 1 0 cos 1

0 2 , 0 2 ,

x x x x

x x x x

)x x k k Z x x k k Zπ π

− = ∧ − = ⇒

= ∨ = ∧ = ∨ = ⇒

= ∨ = ∈ ∧ = ∨ = ∈

(13.4)

Na osnovu čega zaključujemo da ovaj nelinearni sistem ima beskonačno mnogo ravnotežnih stanja i da se sva ona mogu napisati u jedinstvenoj formi:

11 2

2

2, ,

2e

kx k k Z

kππ

⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

(13.5)

pri čemu je sa Z označen skup celih brojeva.

Ravnotežna stanja se među sobom razlikuju po svojoj prirodi, i otuda postoje definicije različitih priroda stabilnosti za ravnotežna stanja. Mi ćemo u ovom kontekstu dati definiciju stabilnosti, asimptotske stabilnosti i globalne asimptotske stabilnosti.

Def 1: Za ravnotežno stanje ex nelinearnog dinamičkog sistema kažemo da je stabilno ako za svako 0ε > , postoji 0δ > tako da je zadovoljena sledeća implikacija

( ) ( ) ( )0 0ex x t x t xeδ ε− < ⇒ ∀ > − < (13.6)

gde je sa ⋅ označena norma vektora.

Drugim rečima, za ravnotežno stanje kažemo da je stabilno ako je za svaki proizvoljno mali broj pozitivan broj ε , uvek moguće naći neku pozitivnu vrednost δ , tako da ako se sistem u početnom trenutku nalazi u δ okolini ravnotežnog stanja, on će za bilo koji trenutak posle početnog ostati u ε okolini ravnotežnog stanja. Na slici 13.1. je prikazana ilustracija kretanja sistema oko ravnotežnog stanja kada je to stanje stabilno (slika a) i kada je nestabilno (slika b).

εδ

ex

( )0x

1x

2xε

δex

( )0x

1x

2x

(a) (b)

Slika 13.1: Ilustracija kretanja sistem sistema u okolini (a) stabilnog (b) nestabilnog ravnotežnog stanja

Sledeća definicija koja karakteriše prirodu ravnotežnog stanja jeste definicija asimptotske stabilnosti ravnotežnog stanja.

Def 2: Za ravnotežno stanje ex kažemo da je asimptotski stabilno ako postoji 0δ > tako da bude zadovoljena sledeća implikacija:

( ) ( )0 lime tx x x t xδ

→∞− < ⇒ − = 0e (13.7)

Ova definicija nam kaže da je ravnotežno stanje ex asimptotski stabilno, ako postoji neka mala okolina oko ravnotežnog stanja, tako da ako sistem krene iz tačke u toj okolini, ono će vremenom asimptotski da konvergira ka ravnotežnom stanju. Priroda kretanja sistema u okolini ravnotežnog stanja koje je asimptotski stabilno je prikazana na slici 13.2.

δ

ex

( )0x

1x

2x

Slika 13.2: Kretanja sistema u okolini asimptotski stabilnog ravnotežnog stanja

Konačno, postoji još jedna definicija koja opisuje ponašanje sistema u okolini ravnotežnog stanja.

Def 3: Za ravnotežno stanje sistema ex kažemo da je globalno asimptotski stabilno ako je zadovoljena sledeća implikacija

( ) ( ) ( )0 0 lime tx x x t xδ δ

→∞∀ > − < ⇒ − = 0e (13.8)

Drugim rečima, ravnotežno stanje je globalno asimptotski stabilno ako za bilo koje početno stanje tokom vremena stanje sistema konvergira asimptotski ka ravnotežnom stanju.

Na slici 13.3. je prikazana ilustracija koja kroz mehanički model kretanja kuglice po neravnoj površini ilustruje različite tipove ravnotežnih stanja.

2

4

5

3

1

6

Slika 13.3: Ilustracija različitih tipova ravnotežnih stanja

Na slici 13.3 su označena sva ravnotežna stanja. Sa 1 i 3 su označena asimptotski stabilna, ali ne i globalno asimptotski stabilna ravnotežna stanja, sa 2 i 4 su označena nestabilna ravnotežna stanja, dok je sa 5 označeno beskonačno mnogo stabilnih ravnotežnih stanja, koja nisu ni asimptotski ni globalno asimptotski stabilna. Na desnoj slici sa 6 je označeno globalno asimptotski stabilno ravnotežno stanje. Primetimo da sistem može imati samo jedno globalno asimptotski stabilno ravnotežno stanje.

Primer 13.2: Posmatrajmo sistem koji je opisan diferencijalnim jednačinama:

( )( )

2 21 1 1 2

2 22 2 1 2

4

4

x x x x

x x x x

= − − −

= − − − (13.9)

Ovaj sistem ima beskonačno mnogo ravnotežnih stanja, pri čemu je jedno od njih koordinatni početak, dok se sva ostala nalaze na krugu sa centrom u koordinatnom početku poluprečnika 2:

(13.10) 2 21 2

0; ;

0e ex xα

α ββ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4=

Ukoliko želimo da ispitamo prirodu ovih ravnotežnih stanja, potrebno je izvršiti ili odgovarajuću simulaciju sistema ili izvršiti analizu ponašanja sistema u okolini ravnotežnog stanja. Možemo izvršiti analizu ponašanja sistema u okolini ravnotežnog stanja u koordinatnom početku:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

1 2 1

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0

x I kvadrantu x x x x

x II kvadrantu x x x x

x III kvadrantu x x x x

x IV kvadrantu x x x

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε

∈ ⇒ = > = > ⇒ = − − < = − − <

∈ ⇒ = − < = > ⇒ = − > = − − <

∈ ⇒ = − < = − < ⇒ = − > = −

∈ ⇒ = > = − > ⇒ = − ( ) ( )2 224 2 0, 4 2 0xε ε ε

>

− < = − >

(13.11)

Ovakva analiza nam govori da, kako god izmestimo sistem iz koordinatnog početka on ima tendenciju da se u njega vrati, što nam govori da je koordinatni početak stabilno ravnotežno stanje i pri tome je to asimptotski stabilno. Na sličan način se može pokazati da su ravnotežna stanja tipa

2ex nestabilna ravnotežna stanja, što se vidi i sa simulacija sistema prikazanih na slici 13.4.

(a)

(b)

Slika 13.4: Kretanje sistema u prostoru stanja (a) kada je početno stanje unutar kruga stanja sistema konvergiraju ka stabilnom ravnotežnom stanju u koordinatnom početku,

(b) kada je početno stanje van kruga stanja sistema divergiraju

2 21 2 4x x+ =

Kada su u pitanju linearni sistemi, bilo da su kontinualni ili diskretni, diferencijalne odnosno diferencne jednačine koje opisuju njihovo ponašanje imaju samo jedno ravnotežno stanje. Naime, za kontinualne sistema diferencijalna jednačina postaje

( ) ( )x t Ax t= (13.12)

a odgovarajuće ravnotežno stanje se nalazi u koordinatnom početku

( ) 0 eAx t x 0= ⇒ = (13.13)

Slično tome, ako je linearan sistem diskretan, njegova diferencna jednačina glasi:

[ ] [ ]1x k Ex+ = k (13.14)

a ravnotežno stanje računamo iz uslova da je

[ ] [ ]1e e e ex k x x k x x Ex x= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = 0e (13.15)

što opet znači da je i za linearan diskretan sistem jedno jedino ravnotežno stanje u koordinatnom početku.

S obzirom da linearni sistemi imaju samo jedno ravnotežno stanje onda njihova stabilnost određuje stabilnost celog sistema. Shodno tome, kada su linearni sistemi u pitanju govorimo o stabilnosti sistema a ne ravnotežnog stanja.

30. Stabilnost linearnih sistema Stabilnost linearnih sistema se može analizirati na više načina, i u literaturi se mogu naći različiti pristupi. U okviru ovog kursa biće ilustrovani pristupi ograničen ulaz-ograničen izlaz i pristup na bazi jednačina kretanja sistema u prostoru stanja.

Metod ograničen ulaz – ograničen izlaz

Metod ograničen ulaz – ograničen izlaz koji se u literaturi označava kao BIBO pristup (Boundary Input Boundary Output) podrazumeva da nam je sistem opisan impulsnim odzivom. Pretpostavimo da je kauzalni kontinualni LTI (Linear Time Invariant) sistem opisan impulsnim odzivom . Ovaj će sistem biti, po definiciji, BIBO stabilan ako za bilo koji ograničen ulazni signal na izlazu generiše takođe ogrančen signal, odnosno

( )h t

( ) ( ) ( )( ) ( )t u t M N t y t N∀ < ⇒ ∃ ∀ < (13.16)

Možemo postaviti pitanje koji uslov treba da zadovolji impulsni odziv sistema pa da on bude BIBO stabilan. Znajući da se izlaz sistema može sračunati kao konvolucija ulaznog signala i impulsnog odziva:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

y t h u t d h u t dτ τ τ τ τ τ∞ ∞

−∞= − = −∫ ∫ (13.17)

Uzimajući ograničene koje zadovoljava ulazni signal možemo pisati sledeće nejednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

y t h u t d h u t d M h dτ τ τ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

= − ≤ − <∫ ∫ ∫ (13.18)

Na osnovu poslednje relacije zaključujemo da je potreban i dovoljan uslov da linearan LTI sistem bude BIBO stabilan da njegov impulsni odziv bude apsolutno integrabilan:

( )0

h dτ τ∞

< ∞∫ (13.19)

Slično se dolazi do uslova koji impulsni odziv diskretnog LTI sistema treba da zadovolji. Polazeći od konvolucionog izraza koji definiše izlazni signal:

(13.20) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0i i

y k h i u k i h i u k i∞ ∞

=−∞ =

= − =∑ ∑ −

i uzimajući u obzir ograničenje ulaznog signala, možemo pisati sledeće nejednakosti:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0i i

y k h i u k i h i u k i M h i∞ ∞

= =

= − ≤ − <∑ ∑ ∑0i

∞

=

(13.21)

Dakle, uslov koji treba da zadovolji impulsni odziv kauzalnog LTI diskretnog sistema je da on bude apsolutno sumabilan:

[ ]0i

h i∞

=

< ∞∑ (13.22)

Lako se pokazuje da je potreban i dovoljan uslov da kontinualan sistem bude BIBO stabilan da svi njegovi polovi budu u levoj poluravni 's' ravni, a potreban i dovoljan uslov da diskretan sistem bude BIBO stabilan jeste da svi polovi budu unutar jediničnog kruga. BIBO pristup ne poznaje graničnu stabilnost. Sa stanovišta ovog pristupa kontinualni sistemi koji imaju polove na imaginarnoj osi 's' ravni, ili diskretni sistemi koji imaju polove na jediničnom krugu u 'z' ravni, su nestabilni.

Analiza stabilnosti na osnovu jednačina kretanja sistema u prostoru stanja Jednačina kretanja LTI kontinualnog sistema u prostoru stanja glasi:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (13.23)

Očigledno je da prvi sabirak ovog izraza potiče od postojanja početnih uslova, dok drugi sabirak postoji ukoliko je na ulaz sistema doveden neki signal ( )u t različit od nule. Otuda se odziv stanja može napisati u formi:

( ) ( ) ( )pu ux t x t x t= + (13.24)

gde indeks 'pu' označava deo odziva koji potiče od početnih uslova, a indeks 'u' označava deo odziva koji potiče od prisustva ulaznog signala. Međutim, sabirak ( )ux t se sračunava kao

konvolucioni integral matrice ( )A te τ− B i signala ( )u τ . Za svaki pojedinačni oblik signala u, nakon

sračunavanja integrala dobijaju se dva sabirka, od kojih jedan ima istu formu kakav je signal ( )pux t

dok drugi sabirak ima formu identičnu ulaznom signalu u. Otuda se sabirak ( )ux t može napisati u obliku:

( ) ( ) ( )1 2u u ux t x t x t= + (13.25)

Sabirak ( )1ux t postoji samo kada na ulazu sistema postoji ulazni signal a ima formu kakav je odziv stanja na početne uslove. To se objašnjava time da trenutak u kome se pojavi ulazni signal deluje kao udar na sistem koji ima sličan efekat postojanju početnih uslova. Otuda se ovaj sabirak ( )1ux t naziva odzivom usled priključenja ulaznog signala. Konačno, na osnovu relacija (13.24) i (13.25) možemo pisati da je odziv sistema

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2pu u u tran ssx t x t x t x t x t x t= + + = + (13.26)

gde je zbir signala ( )pux t i ( )1ux t označen kao signal tranzijenta ( )tranx t ili prelaznog režima, dok

se signal ( )2ux t označava kao vrednost signala u stacionarnom stanju ( )ssx t .

Analiza stabilnosti na osnovu jednačine kretanja sistema u prostoru stanja posmatra isključivo signal tranzijenta ( )tranx t i na osnovu njega razlikuje tri moguća slučaja:

1. Ako je zadovoljen uslov da ( )lim 0trantx t

→∞= , odnosno da vremenom tranzijent isčezava,

za sistem kažemo da je stabilan.

2. Ako je , odnosno ako tranzijent vremenom divergira, što znači da

stacionarno stanje nikada ne nastupa, za sistem kažemo da je nestabilan.

( )lim trantx t

→∞= ∞

3. Ako tranzijent konvergira ka nekoj konačnoj vrednosti različitoj od nule ( ( )lim 0trant

x t const→∞

= ≠ ) ili ova granična vrednost ne postoji jer se tranzijent ponaša kao

periodična funkcija vremena, kažemo da je sistem na granici stabilnosti. Za prvi slučaj kažemo da je na aperiodičnoj, dok za drugi slučaj kažemo da je na periodičnoj granici stabilnosti.

Zanimljivo je kako se položaj polova kontinualnog LTI sistema odražava na definiciju stabilnosti sistema koja je ovde data. Naime u izrazu za signal tranzijenta ( )tranx t figuriše

fundamentalna matrica ( ) Att eΦ = i jasno je da ona određuje prirodu ovog signala. Sa druge strane polovi sistema su identični nulama karakterističnog polinoma sistema:

( ) ( )detf s sI A= − (13.27)

Podsetimo se dalje da svaki pol sistema, odnosno svaka nula karakterističnog polinoma, daje svoj doprinos u odzivu sistema, pri čemu je oblik tog doprinosa zavistan od lokacije pola u 's' ravni, i ovi su doprinosi dati u sledećoj tabeli:

Vrsta pola Laplasov par Vremenski domen Konvergencija

realan pol , 0s λ λ= < 1s λ−

, 0te tλ ≥ lim 0t

teλ

→∞=

realan pol , 0s λ λ= > 1s λ−

, 0te tλ ≥ lim t

teλ

→∞= ∞

realan pol 0s = 1s λ−

( )h t ( )lim 1t

h t→∞

=

konjugovano kompleksni polovi

1,2 , 0s jσ ω σ= ± >

2 2

12s s 2σ σ ω− + +

( )1 sin , 0te t tσ ωω

≥ ( )1lim sint

te tσ ω

ω→∞= ∞

konjugovano kompleksni polovi

1,2 , 0s jσ ω σ= ± <

2 2

12s s 2σ σ ω− + +

( )1 sin , 0te t tσ ωω

≥ ( )1lim sin 0t

te tσ ω

ω→∞=

polovi na imaginarnoj osi 1,2s jω= ± 2 2

1s ω+

( )1 sin , 0t tωω

≥ ( )1 1sin tωω ω

≤

višestruki pol u koordinatnom početku

0s =

1ks

, 1k > 11 , 0( 1)!

kt tk

− ≥−

( )

11lim1 !

k

tt

k−

→∞= ∞

−

višestruki polovi na imaginarnoj osi

1,2s jω= ± ( )2 2

1k

s ω+, 1k > ( )

1

sin , 0kt t tωω

−

≥ ( )1

lim sink

t

t tωω

−

→∞= ∞

Imajući u vidu rezultate navedene u ovoj tablici postaje jasno, kakav raspored polova treba da ima sistem da bi bio stabilan, granično stabilan ili nestabilan. Rezultate ove analize možemo da sumiramo u sledećem iskazu:

Potreban i dovoljan uslov da kontinualan LTI sistem bude stabilan jeste da svi njegovi polovi budu u levoj poluravni 's' ravni, odnosno da realni delovi svih njegovih polova budu negativni. Ukoliko su svi polovi sistema sa negativnim realnim delom osim konačno mnogo njih koji su jednostruki i na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je na granici stabilnosti. Konačno, ukoliko sistem ima makar jedan pol u desnoj poluravni 's' ravni, dakle sa pozitivnim realnim delom, ili ima makar jedan višestruki pol na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je nestabilan.

Analognom analizom bi se došlo do uslova stabilnosti diskretnih LTI sistema. Stav koji definiše potrebne i dovoljne uslove stabilnosti ovih sistema je sledeći: Potreban i dovoljan uslov da diskretni LTI sistem bude stabilan jeste da svi njegovi polovi budu unutar jediničnog kruga 'z' ravni, odnosno da njihov moduo bude manji od jedan. Ukoliko su svi polovi sistema unutar jediničnog kruga osim njih konačno mnogo jednostrukih koji su na samom jediničnom krugu, za sistem kažemo da je granično stabilan. Konačno, ukoliko sistem ima makar jedan pol van jediničnog kruga, dakle sa modulom većim od jedan, ili ima makar jedan višestruki pol na samom jediničnom krugu, za sistem kažemo da je nestabilan.

Primer 13.3: Na osnovu iznetog stava o stabilnosti sistema vrlo je jednostavno doći do potrebnih i dovoljnih uslova za stabilnost sistema, bilo kontinualnih bilo diskretnih, ako su niskog reda, recimo prvog i drugog.

Kontinualni sistem prvog reda ima karakterističnih polinom

( ) ,f s as b a 0= + ≠ (13.28)

njegova nula, odnosno pol sistema je

1 /s b a= − (13.29)

Zaključak postaje jasan: potreban i dovoljan uslov da kontinualan sistema prvog reda bude stabilan jeste da su mu koeficijenti karakterističnog polinoma istog znaka.

Ako posmatramo kontinualni sistema drugog reda sa karakterističnim polinomom:

( ) 2f s as bs c= + + (13.30)

ako mu je diskriminanta negativna, njegovi su polovi konjugovano kompleksni sa realnim delom

2 4D b ac= −

1,2Re2bsa

= − (13.31)

Ako mu je, pak, diskriminanta pozitivna, oba pola sistema i su realna i na osnovu Vietovih pravila možemo pisati:

2 4D b ac= − 1s 2s

1 2 1 2,bs s s sa a

c+ = − = (13.32)

Iz relacije (13.31) sledi da količnik b/a treba da bude pozitivan, a iz relacija (13.32) sledi opet da količnici b/a i c/a treba da budu pozitivni, tako da konačan rezultat glasi: Potreban i dovoljan uslov da kontinualni sistem drugog reda bude stabilan jeste da mu svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka

Na osnovu Viet-ovih pravila moguće je uspostaviti potreban (ali ne i dovoljan uslov) da sistem proizvoljnog reda bude stabilan: Potreban uslov da kontinualni sistem bude stabilan jeste da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka. Očigledno da je ovo i dovoljan uslov za sisteme prvog i drugog reda.

Ako posmatramo diskretan LTI sistem prvog reda, njegov karakteristični polinom glasi:

( ) ,f z az b a 0= + ≠ (13.33)

a odgovarajuća nula polinoma, odnosno pol sistema postaje

1bza

= − (13.34)

Pa potreban i dovoljan uslov stabilnosti ovakvog sistema postaje

b a< (13.35)

Potreban i dovoljan uslov stabilnosti diskretnog sistema drugog reda nije tako jednostavno izvesti pa ćemo o njemu pričati u okviru algebarskih kriterijuma za ispitivanje stabilnosti sistema.

31. Algebarski kriterijumi ispitivanja stabilnosti kontinualnih LTI sistema Među algebarskim kriterijumima ispitivanja stabilnosti kontinualnih LTI sistema najčešće se koriste Routh-ov kriterijum i Hurwitz-ov kriterijum. Ovi se kriterijumi nazivaju algebarskim jer se zasnivaju na algebarskim manipulacijama nad koeficijentima karakterističnog polinoma.

Routh-ov kriterijum stabilnosti

Routh-ov kriterijum omogućava da se ispita stabilnost sistema ne izračunavajući nule karakterističnog polinoma. Primenom Routh-ovog kriterijuma mi možemo jedino da odredimo broj polova sistema, odnosno nula karakterističnog polinoma koji se nalaze u levoj poluravni 's' ravni. Kriterijum polazi od pretpostavke da nam je karakteristični polinom sistema dat:

( ) 11 1

n nn n 0f s a s a s a s a−

−= + + + + (13.36)

Na osnovu karakterističnog polinoma formira se sledeća tablica brojeva koja se naziva Routh-ovom tabelom:

2 41

1 3 52

2 4 63

3 5

22 0

11

00

nn n n

nn n n

nn n n

nn n

s a a as a a as b b bs c c

s m ms ns l

− −−

− − −−

− − −−

− −

(13.37)

pri čemu se prve dve vrste popunjavaju na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, a ostale vrste se popunjavaju na sledeći način:

1 1 2 1

1 2

,n n i n n i n n i n n in i n i

n n

a a a a b a a bb ca b

− − − − − − − − −− −

− −

− −= = 1 , ... (13.38)

Nakon popunjene Routh-ove tabele, u važnosti je sledeći stav: Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi koeficijenti prve Routh-ove kolone (koja je osenčena u tablici 13.37) budu istog znaka. Broj promene znaka u prvoj Routh-ovoj koloni odgovara broju nestabilnih polova sistema. Bilo koja vrsta ili kolona Routh-ove tablice se može pomnožiti pozitivnom konstantom i to neće uticati na rezultat stabilnosti sistema.

Kroz nekoliko sledećih primera ćemo ilustrovati primenu Routh-ovog kriterijuma.

Primer 13.4: Primenom Routh-ovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom

( ) 4 3 24 4 7 2f s s s s s= + + + + (13.39)

Formirajmo Routh-ovu tablicu

4

3

2

1

0

1 4 24 79 8418

sssss

(13.40)

pri čemu je vrsta uz pomnožena sa 4 a vrsta uz sa 13. Očigledno, svi koeficijenti prve Routh-ove kolone su pozitivni pa su svi polovi ovog sistema u levoj poluravni. Dakle, sistem je stabilan.

2s 1s

Primer 13.5: Ponovimo postupak za sistem čiji je karakteristični polinom

( ) 4 3 27 4 4 2f s s s s s= + + + + (13.41)

Odgovarajuća Routh-ova tablica je

4

3

2

1

0

1 47 424 14

214

sssss

−

2

2

(13.42)

Sada je vrsta uz pomnožena sa 7 a vrsta uz sa 24. Kako je u prvoj Routh-ovoj koloni došlo do dve promene znaka (jednom sa 24 na -2 i drugi put sa -2 na 14) zaključujemo da se dva pola sistema nalaze u desnoj poluravni 's' sravni, te je sistem nestabilan.

2s 1s

Primer 13.6: Posmatrajmo karakteristični polinom sistema:

( ) 4 3 22 3 4f s s s s s= + + + + (13.43)

Ukoliko krenemo sa popunjavanjem Routh-ove tablice:

4

3

2

1

1 3 22 41 20

ssss

(13.44)

moramo se zaustaviti kod vrste uz jer smo u njoj na prvom mestu dobili vrednost 0 i dalje popunjavanje tablice nije moguće jer bi ono zahtevalo deljenje sa nulom. U ovakvom slučaju, kada se u nekoj vrsti na prvom mestu pojavi nula, moguće je primeniti različite postupke. Jedan od njih je da se umesto vrednosti nula, postavi varijabla

1s

ε i da formalno nastavimo popunjavanje tablice, pri čemu, kada budemo donosili zaključak o stabilnosti, ne treba da zaboravimo da je 0ε = :

4

3

2

1

0

1 3 22 4

1 2

2

sssss

ε

(13.45)

Na osnovu ovako popunjene tablice jasno je da su svi koeficijenti prve Routh-ove kolone pozitivni osim jednog koji je jednak nuli, te je u pitanju granično stabilan sistem. Drugi postupak, kojim se mogu analizirati ovakvi sistemi jeste, da se vratimo u vrstu iznad koje se pojavila nula, i da od nje formiramo pomoćni polinom. U našem slučaju to je vrsta uz , sa koeficijentima 1 i 2. Dakle, pomoćni polinom je

2s

( ) ( )21 2 2f s s s j= + = ± (13.46)

Ovaj polinom ima dve nule na imaginarnoj osi i zbog njega nije bilo moguće nastaviti popunjavanje Routh-ove tabele. Ukoliko izvršimo deljenje karakterističnog polinoma pomoćnim polinomom:

‚ ( ) ( ) 21: 2 1f s f s s s= + + (13.47)

dobićemo karakteristični polinom preostalog dela sistema. Kako je to polinom drugog stepena čiji su svi koeficijenti istog znaka dolazimo do zaključka da je naš sistem četvrtog stepena, da su njegova dva pola na imaginarnoj osi u tačkama 2 j± dok su preostala dva pola u levoj poluravni 's' ravni. Dakle, sistem je granično stabilan.

Primer 13.7: Za sistem čiji je karakteristični polinom

( ) ( ) ( )3 23f s s a s b a s b= + + + − + (13.48)

u ravni parametara skicirati oblast stabilnosti. ( ,a b) Na osnovu karakterističnog polinoma formirajmo Routh-ovu tablicu:

( )( )

3

2

1

0

13

3

s bs as a b a bs b

ab−

++ − −

(13.49)

Vrsta uz je pomnožena sa ( što se nalazi u prvoj Routh-ovoj koloni, te se zahteva da bude pozitivno. Dakle, potrebni i dovoljni uslovi da sistem bude stabilan jesu da svi elementi prve Routh-ove kolone budu istog znaka, dakle pozitivni:

1s )

0

3a +

( )( )3 03

0

aa b a b

b

+ >

+ − − >

>

(13.50)

Na osnovu ova tri uslova, u ravni parametara ( ),a b može se formirati oblast stabilnosti koja je prikazana na slici 13.5.

a

b

2−

( ) ( )3 / 2b a a a= + +

Slika 13.5: Oblast stabilnosti sistema u ravni parametara ( ),a b

Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti kontinualnih LTI sistema

Slično kao i kod Routh-ovog kriterijuma i Hurwitz-ov kriterijum polazi od pretpostavke da je sistem opisan svojim karakterističnim polinomom:

( ) 1 20 1 2 1

n n nn nf s a s a s a s a s a− −−= + + + + + , (13.51) 0 0a >

pri čemu je vodeći koeficijent, koji stoji uz pozitivan. Ukoliko to nije slučaj, ceo polinom treba pomnožiti sa (-1), što ne menja položaj nula karakterističnog polinoma. Tada se formira takozvana Hurwitz-ova kvadratna matrica dimenzija

ns

n n× , na sledeći način:

(13.52)

1 3 5 7

0 2 4 6

1 3 5

0 2 4

2

3 1

4 2

0 0 00 0 0

0 00 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0

n n

n n

n n n

a a a aa a a a

a a aa a a

H

a aa aa a a

−

− −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢= ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 00 0 ⎥

⎥

U cilju ispitavanja stabilnosti sistema potrebno je odrediti sve dijagonalne minore:

1 3 5

1 31 1 2 3 0 2 4

0 21 3

; ; ; ...;0

n

a a aa a

a a a aa a

a a∆ = ∆ = ∆ = ∆ = H (13.53)

Tada kriterijum stabilnosti glasi jednostavno: Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi dijagonalni minori budu pozitivni:

(13.54) 1 2 30 , 0, 0, ..., 0n∆ > ∆ > ∆ > ∆ >

Ukoliko su svi dijagonalni minori pozitivni, osim poslednjeg n∆ koji je jednak nuli, jasno je da je u pitanju sistem na aperiodičnoj granici stabilnosti, jer je

1 0n n n na a−∆ = ∆ ⇒ = (13.55)

Na sledećem primeru možemo ilustrovati primenu Hurwitz-ovog kriterijuma.

Primer 13.8: Odredimo uslove stabilnosti koje treba da zadovolje koeficijenti karakterističnog polinoma sistema trećeg reda. Neka je karakteristični polinom:

(13.56) ( ) 3 20 1 2 3 0,f s a s a s a s a a= + + + > 0

Tada je Hurwitz-ova matrica data u sledećoj formi:

1 3

0 2

1 3

00

0

a aH a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(13.57)

Uslovi stabilnosti postaju:

( )1 1 2 1 2 0 3 3 3 1 2 0 30 , 0, 0a a a a a a a a a a∆ = > ∆ = − > ∆ = − > (13.58)

Ukoliko bi se na isti polinom primenio Routh-ov kriterijum, potrebni i dovoljni uslovi za stabilnost sistema bili bi identični.

Evo i nekih informacija o autorima navedenih kriterijuma stabilnosti.

Edward John Routh, Born: 20 Jan 1831 in Quebec, Canada

Died: 7 June 1907 in Cambridge, Cambridgeshire, England

Edward Routh's father, Sir Randolph Isham Routh, had been born in Poole, Dorset, England, in 1787. After being educated at Eton, Randolph served in the British army for thirty-seven years fighting at the Battle of Waterloo. In 1826 Randolph was made a commissary-general and was

serving in Canada at the time Edward was born. Edward's mother, Marie Louise Taschereau, was Randolph Routh's second wife.

Edward came to England in 1842 and his father worked, still as commissary-general, in London. Edward attended University College School and then entered University College, London, in 1847 having won a scholarship. There he studied under De Morgan whose influence led to him deciding on a career in mathematics. After the award of a B.A. from London in 1849, he entered Peterhouse on 1 June 1850 at the same time as Maxwell. However, Maxwell transferred to Trinity College (perhaps because he felt Routh was too strong competition!). Routh obtained his M.A. from London in 1853, being awarded at that time the Gold Medals for Mathematics and for Natural Philosophy.

In January 1854 Routh graduated with a B.A. from Cambridge. He was Senior Wrangler in the Mathematical Tripos examinations (ranked first among those with First Class degrees) with Maxwell being placed second. The prestigious Smith Prize was at that time decided by examination, and the prize was divided equally between them (the first time the prize had been awarded jointly). In 1855 Routh was elected a fellow of Peterhouse and was appointed as a College lecturer in Mathematics. In the following year he was appointed as assistant tutor at Peterhouse.

In 1857 the post of first assistant at the Royal Greenwich Observatory became vacant and Routh was invited by Airy, the Astronomer Royal, to visit the Observatory so that he might be offered the post. He did go to the Observatory but decided that he would prefer not to accept the post there, but rather remain at Cambridge. While he was there, however, he met Hilda Airy, George Airy's eldest daughter, and a friendship began which led to their marriage on 31 August 1864. They had five sons and one daughter. Edward Airy Routh served as a lieutenant in the royal artillery, George Richard Randolph Routh became an inspector of schools, Arthur Lionel Routh served as a lieutenant in the royal artillery, Harold Victor Routh became professor of Latin in Toronto, and Rupert John Routh served in the Indian civil service.

Routh became the most famous of the Cambridge coaches for the Mathematical Tripos. His first pupil was Third Wrangler in 1856 and, two years later, both the First and Second Wranglers were his pupils. By 1862 he was established as the best Cambridge coach for, in that year, he coached 19 of the 32 Wranglers including seven of those placed in the top ten. Of course once his reputation was established the best students sought him out as a coach and so maintaining his leading role became relatively easy. Naturally his exceptional teaching ability was a factor in his success, but equally his understanding of where students should allocate their energies and how they could make the best use of their knowledge were important. Over a period of 22 years from 1862 Routh coached the Senior Wrangler in every year. During his career he coached about 700 pupils of whom about 480 were Wranglers out of around 900 Wranglers over these 30 years.

When he retired as a coach in 1888 a presentation was held at which Routh's portrait, painted by Sir Hubert von Herkomer, was presented to his wife. Eighty of his former pupils had contributed to the cost of the painting. In fact a rather amusing story was told at the time of the presentation to illustrate Routh's skill as a teacher [2]:-

The case of a student of hydrodynamics was alleged as typical of the trials to which [his patience] was exposed. The troubled undergraduate's primary difficulty lay in conceiving how anything could float. This was so completely removed by Dr Routh's lucid explanation that he went away sorely perplexed as to how anything could sink!

We must not think of Routh as just a superb teacher, however, for he also contributed to mathematics with some excellent research papers and some outstanding texts. The research areas which interested him most were geometry, dynamics, astronomy, waves, vibrations and harmonic analysis. His work on mechanics was particularly important and in 1877 he was awarded the Adams Prize for work on dynamic stability Treatise on the stability of a given state of motion, particularly steady motion. The fact that he did this in a Christmas vacation suggests that had he devoted more time to research and less to teaching he may have had a much more lasting impact of the course of mathematics. In fact the impact of this prize winning work was very significant since Thomson and Tait rewrote for the second edition of their text Natural philosophy treatise the part dealing with equations of motion using Routh's developments.

He published famous advanced treatises which became standard applied mathematics texts such as A Treatise on Dynamics of Rigid Bodies (1860), A Treatise on Analytic Statistics (1891), and A Treatise on Dynamics of a Particle (1898).

He was elected a fellow of the Cambridge Philosophical Society in 1854, and in 1856 he became a founder member of the London Mathematical Society. He was also elected a fellow of the Royal Astronomical Society in 1866 and of the Royal Society in 1872. He was awarded honorary degrees from a number of universities including Glasgow (1878) and Dublin (1892). He was made an honorary fellow of Peterhouse in 1883.

The author of [2] writes:-

Dr Routh was a man of the most kindly disposition, and was both liked and respected by his numerous pupils. He influenced deeply the mathematical teaching of his time and held strong views as to the best ways of promoting the study. For years he has been a familiar figure in the roads and paths around the University town, but latterly his health failed and he was unable to take his usual walk. The alterations in the procedure of the Mathematical Tripos adopted by the Senate last autumn were a real grief to him, and almost his last appearance in public was at the debate on the proposed changes, when he fought for the retention of the Senior Wrangler.

Adolf Hurwitz

Born: 26 March 1859 in Hildesheim, Lower Saxony, Germany Died: 18 Nov 1919 in Zurich, Switzerland

Adolf Hurwitz was born into a Jewish family. His father, Salomon Hurwitz, was in the manufacturing business but was not particularly well off. Sadly, Adolf's mother Elise Wertheimer died when he was only three years old. Hurwitz entered the Realgymnasium Andreanum in Hildesheim in 1868. He was taught mathematics there by Schubert [2]:-

Schubert gave up part of every Sunday to working at geometry with the schoolboy Hurwitz, and the first of the latter's papers, written when he was still at the Andreanum, was a joint paper. It was also Schubert who persuaded Hurwitz's father to allow him to go to university and who sent him with warm recommendations to Klein at Munich.

We note that this first paper by Hurwitz, written jointly with Schubert, was on Chasles's theorem. Now Salomon Hurwitz could not afford to send his son to university but his friend, Mr Edwards, agreed to help out financially, so making a university career for Hurwitz possible. He entered the University of Munich in 1877, before he was eighteen years old, and spent a year there attending lectures by Klein. Although he was greatly influenced by Klein and had already begun to undertake advanced work with him, he went for academic year 1877-78 to continue his studies at the University of Berlin where he attended classes by Kummer, Weierstrass and Kronecker. In particular he attended the one semester course by Weierstrass Introduction to the theory of analytic functions and the notes taken by Hurwitz at this time are reproduced as the book [2]. The lectures contained Weierstrass's version of the arithmetisation of analysis including his "construction" of the real numbers, the , approach to analysis and his theory of complex functions based on power series.

While at Berlin Hurwitz continued to keep in contact with Klein and assisted him with a paper on elliptic modular functions which he was writing. After three semesters at the University of Berlin, Hurwitz returned to the University of Munich in 1879 to continue working with Klein, so when Klein moved to the University of Leipzig in October 1880, Hurwitz went with him. His Ph. D. was supervised by Klein and he received the degree in 1881 for his dissertation on elliptic modular functions Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen 1. Stufe.

It would have been natural for Hurwitz to become a Privatdozent at the University of Leipzig since he was a student of Klein, the professor of mathematics there. However there was a difficulty -- Hurwitz did not have sufficient knowledge of Greek to satisfy the Faculty requirements! Luckily Göttingen had no such requirement and Hurwitz became a Privatdozent at the University of Göttingen after submitting his habilitation thesis there in 1882. Hurwitz had not been at Munich during 1881-82, rather he had returned to Berlin where he attended further courses of lectures by Weierstrass and Kronecker.

In 1884 Hurwitz accepted an invitation from Lindemann to become an extraordinary Professor at Königsberg and he was to remain there for eight years. Here he taught Hilbert and Minkowski, becoming a life long friend of Hilbert. Even after Minkowski left the University of Königsberg and went to Bonn, he still returned to Königsberg for every vacation and joined Hurwitz and Hilbert in their almost daily walks [4]:-

During these walks, continued over the whole of the eight year period of Hurwitz's residence in Königsberg, well nigh every corner of the then known mathematical world was explored.

In Königsberg Hurwitz met Ida Samuel, the daughter a professor in the faculty of medicine, and they married; the marriage produced three children. In 1892 Frobenius left his chair at Eidgenössische Polytechnikum Zürich to return to Berlin and Hurwitz was appointed to the vacant chair at Zürich. Hurwitz remained at Zürich for the rest of his life, unfortunately continually suffering from ill health. His health problems had begun when he contracted typhoid in Munich when he was a student there. The disease was widely spread though the city at that time. In fact he twice contracted typhoid and from then on suffered badly from migraine headaches.

Although, as we have pointed out, Hurwitz remained at Zürich for the rest of his life, that was not because he had not been offered in chair in Germany. Schwarz, who was professor at Göttingen, succeeded Weierstrass by accepting his professorship in Berlin in 1892. Göttingen approached Hurwitz and offered him the vacant chair only weeks after he had accepted the Zürich chair, but he turned down the offer. This must have been a remarkably hard decision for Hurwitz since at that time a chair at a leading German university such as Göttingen would have been much more prestigious to any German than a chair in Switzerland. However Hurwitz was an extremely loyal person, and having given his word that he would accept the Zürich position he would not renege on his promise.

Much of Hurwitz's mathematics can be seen as being strongly influenced by Klein (and also by Riemann whose ideas where transmitted to Hurwitz via Klein). In fact Hurwitz and Klein complemented each other extremely well for the reasons that Young indicates in [4]:-

Klein's strength ... was sometimes regarded as consisting still more in the fertility and the [genius] of his ideas than in the power of developing them.

Here then was Hurwitz's strength -- in developing Klein's ideas [1]:-

Klein's new view on modular functions, uniting geometrical aspects such as the fundamental domain with group theory tools such as the congruence subgroups and with topological notions such as the genus of the Riemann surface, was fully exploited by Hurwitz.

Hurwitz studied the genus of the Riemann surface. He worked on how to derive class number relations from modular equations. He investigated the automorphic groups of algebraic Riemann surfaces of genus greater than 1, showing that they were finite. He also studied invariant integrals for SO(n, R) and SL(n, R) and Slodowy describes in [11] how this work, together with Schur's work on orthogonality relations and the character formula for the orthogonal groups, led to Weyl's papers on the representation theory of semisimple Lie groups.

Further topics studied by Hurwitz include complex function theory, the roots of Bessel functions, and difference equations. He also wrote several papers on Fourier series. Soon after he went to Zürich he was asked a question by Aurel Stodola, one of his colleagues, concerning when an nth-degree polynomial with real coefficients

f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an

with positive leading coefficient a0 > 0 has only roots with negative real parts. Hurwitz solved this problem completely showing that the condition held if and only if a certain sequence of determinants are all positive. He published this in 1895 in the paper Über die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt which appeared in Mathematische Annalen in 1895. This remarkably influential paper was reprinted 100 years later in the proceedings of the Hurwitz Symposium on Stability theory in Ascona in 1995. The excellent review [6] appears in the proceedings of the same symposium, and in the paper [5] the genesis of Hurwitz's version of the well-known stability criterion is described in detail.

Hurwitz did excellent work in algebraic number theory. For example he published a paper on a factorisation theory for integer quaternions in 1896 and applied it to the problem of representing an integer as the sum of four squares. A full proof of Hurwitz's ideas appears in a booklet published in the year of his death. This involves studying the ring of integer quaternions in which there are 24 units. He shows that one-sided ideals are principal and introduces prime and primary quaternions.

The paper [9] by Lindström shows another aspect of Hurwitz's work. Here is part of Lindström's summary:-

In 1893 the Swedish actuary and mathematics historian Gustaf Eneström published a theorem on the complex roots of certain polynomials with real coefficients in a paper on pension insurance (in Swedish). This result is now often called the Eneström-Kakeya theorem, since S Kakeya published a similar result in 1912-1913. But Kakeya's theorem contained a mistake, which was corrected by A Hurwitz in 1913. Hurwitz informed E Landau about Kakeya's result (corrected); Landau needed the result in a proof of a theorem on infinite power series. ... We mention a generalization of Eneström's theorem and give an application to a similar result by Hurwitz.

Migraine was not the extent of Hurwitz's health problems which became increasingly severe. His kidneys became diseased and he had one removed in 1905. With only one kidney, and that one not functioning properly, the quality of his life was very poor. Young [2] writes that:-

... his life [was] one long struggle with a wasting disease. That this struggle was waged with comparative success for so many years appears almost incredible, and can only be accounted for by the constant care and devotion of [his] wife.

In [1] Hilbert's comments on Hurwitz as a person are recorded:-

Hilbert depicted him as a harmonious spirit; a wise philosopher; a modest, unambitious man; a lover of music and amateur pianist; a friendly unassuming man whose vivid eyes revealed his spirit.

Article by: J J O'Connor and E F Robertson

32. Algebarski kriterijumi stabilnosti diskretnih sistema

Jury-jev kriterijum stabilnosti

Najčešće korišćen algebarski kriterijum stabilnosti za diskretne sisteme jeste Jury-jev kriterijum. Polazi se od pretpostavke da je karakteristični polinom sistema poznat i dat u formi:

( ) 11 1

n nn n 0f z a z a z a z a−

−= + + + + (14.1)

Tada je neophodno formirati takozvanu Jury-jevu tablicu brojeva koja ima 2n-3 vrsta, gde je n stepen karakterističnog polinoma:

0 1 2 1

1 2 1

0 1 2 1

1 2 3 0

0 1 2

2 3 4

3 02 1

0 1 2

123456

2 22 3

n n

n n n

n

n n n

n n n

a a a a aa a a a ab b b b

b b b bc c c

c c c

l ll lnn m m m

−

− −

−

− − −

− − −

−−

0

(14.2)

pri čemu se koeficijenti računaju na sledeći način:

0 0 1

1 3

, , ...,n k n k kk k k

n k n k k

a a b b l lb c m

a a b b l l− − −

−

= = = 0 3− (14.3)

Tada su uslovi stabilnosti diskretnog sistema, koji su ekvivalentni uslovu da su svi polovi sistema unutar jediničnog kruga, sledeći:

( )( ) ( )

0 0 1 0 2

1 0

1 1 0

, , ,...

n

n n n

f

f

a a b b c c− −

>

− − >

< > >

(14.4)

Primenu Jury-jevog testa stabilnosti ilustrovaćemo kroz primera.

Primer 14.1: Za diskretni sistem drugog reda čiji je karakteristični polinom

( ) 2f z z az b= + + (14.5)

u ravni parametara skicirati oblast stabilnosti. ( ,a b)

1 Primenom Jury-jevog kriterijuma formirajmo prvo Jury-jevu tablicu koja ima samo

vrstu: 2 3 2 2 3n− = × − =

1 b a 1 (14.6)

Uslovi stabilnosti postaju:

( )( ) ( )2

1 1 0

1 1 1

1

f a b

f a b

b

= + + >

− − = − + >

<

0 (14.7)

Svaki od postavljenih uslova definiše skup geometrijskog mesto tačaka, čijim se presekom dobija trougao prikazan na slici 14.1.

a

b

1b a= − − 1b a= −

1b =

1b = −

1

1− 1

Slika 14.1: Oblast stabilnosti sistema u ravni parametara ( ) ,a b

Primer 14.2: Odrediti dozvoljenu vrednost parametra K za koju će sistem sa karakterističnim polinomom ( ) 3 2 2f z z Kz Kz K= − + + biti stabilan.

Na osnovu Jury-jeve tablice:

2 2 2

1 22 1 23 1 2 2

K K KK K

K K K K K

1K

−−

− + − − (14.8)

možemo pisati uslove stabilnosti:

( )( ) ( )3

2 2

1 1 2 0

1 1 1 2

1

1 2

f K

f K

K

K K K

= + >

− − = + >

<

− > +

0 (14.9)

Opseg vrednosti parametra K koji zadovoljava navedene nejednakosti je:

13 10.5,6

K⎛ ⎞−

∈ −⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

)

(14.10)

Primer 14.3: U ravni parametara ( skicirajmo oblast stabilnosti za sistem sa karakterističnim

polinomom

,a b

( ) 3f z z az= + + b .

Jury-jeva tablica za ovaj sistem ima formu

2

1 02 1 03 1

b aa b

b ab a− −

1 (14.11)

a uslovi stabilnosti glase:

( )( ) ( )3

2

1 1 0

1 1 1

1

1

f a b

f a

b

b a

= + + >

− − = + − >

<

− >

0b (14.12)

Na slici 14.2 je prikazano geometrijsko mesto tačaka u ravni parametara ( ),a b za koje su navedene nejednakosti zadovoljene.

a

b

1b a= − −

1b a= +

1b =

1b = −

1

1− 1

1b a= −

1b a= − −

Slika 14.2: Oblast stabilnosti u ravni parametara ( ),a b

Vrlo često se analiza stabilnosti linearnih diskretnih sistema vrši tako što se potraži njihov kontinualni ekvivalent, koji je po pitanju stabilnosti identičan, a onda se primeni neki od kriterijuma za ispitivanje stabilnosti kontinualnih sistema, kao što su na primer Routh-ov ili Hurwitz-ov kriterijum.

Primena bilinearne transformacije

Jedan od postupaka za diskretizaciju kontinualnih sistema bila je Tustin-ova ili bilinearna transformacija, koja se zasnivala na preslikavanju iz 's' u 'z' ravan:

21

zsT z

1−=

+ (14.13)

koja je imala dobru osobinu da, nezavisno od vrednosti periode diskretizacije T, levu poluravan 's' ravni preslikava u jedinični krug 'z' ravni. Otuda se, često, za ispitivanje stabilnosti linearnih diskretnih sistema koristi ova transformacija, kako bi se odredio kontinualni ekvivalent, pa na njemu ispitala stabilnost. Ovu tehniku ćemo ilustrovati na sledećem primeru.

Primer 14.4: Funkcija povratnog prenosa diskretnog sistema je

( ) 2 1KW z

z z=

− + (14.14)

Odredimo njegov diskretni ekvivalent, usvajajući T=2:

( ) ( ) ( )2

1 2 21

1 23 11 1 1

1 1

szs

K s sKW s W zss s

s s

+=−

− += = =

++ +⎛ ⎞ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(14.15)

Kako je u pitanju funkcija povratnog prenosa sistema, karakteristični polinom postaje:

( ) ( ) 23 2 1f s K s Ks K= + − + + (14.16)

Za kontinualne sistema prvog i drugog reda potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da su svi koeficijenti karakterističnog polinoma istog znaka. Otuda dobijamo uslove:

(14.17) 3 0, 0, 1K K K+ > − > + > 0

što rezultuje konačnim dozvoljenim opsegom vrednosti parametra K:

( )1,0K ∈ − (14.18)

33. Grafoanalitički kriterijumi stabilnosti kontinualnih sistema Najčešće korišćeni grafoanalitički kriterijumi stabilnosti sistema su Nyquist-ov kriterijum i kriterijum Mihajlova. Ovi kriterijumi se baziraju na Košijevoj teoremi o priraštaju argumenta, pa će, za početak, na ovom mestu, ukratko biti sadržaj ove značajne teoreme.

Košijeva teorema o priraštaju argumenta

Pretpostavimo da nam je data funkcija kompleksne promenljive ( )F s i da je u 's' ravni data kontura C, kako je to prikazano na slici 14.3.a. Pretpostavimo još da je konturi C pridružen pozitivan smer obilaska (pod pozitivnim smerom se podrazumeva smer kretanja suprotan od kazaljke na satu). Zamislimo dalje da je za svaku vrednost kompleksne promenljive s sa konture C, sračunata vrednost funkcije ( )F s i da je ta vrednost ucrtana u ( )F s ravni. Kretanjem po konturi C

i preslikavanjem svake tačke sa ove konture u ravan ( )F s , formira se kontura u ravni 'C ( )F s , kako je to prikazano na slici 14.3.b.

Izaberimo tačku A na konturi C i odgovarajuću tačku A' na konturi C'. Uočimo vektor u ravni ( )F s čiji je početak u koordinatnom početku, a vrh se nalazi u tački 'A . Ukoliko kompleksna promenljiva počne da se kreće, iz tačke A obilazeći konturu C, tada će i posmatrani vektor početi da se okreće oko koordinatnog početka. Košijevom teoremom je dokazano da će priraštaj argumenta ovog vektora, kada kompleksna promenljiva s obiđe konturu C biti jednak:

( ) ( )arg 2s C

F s Nπ∈

∆ = − P (14.19)

gde je sa N označen broj nula a sa P broj polova funkcije ( )F s koje su obuhvaćene konturom C.

Re s

Im s

C

( ) Re F s

( ) Im F s

'C

A'A

(a) (b)

Slika 14.3: a) Kontura C u ravni kompleksne promenljive ‘s’, b) Odgovarajuća preslikana kontura ' u ravni C ( )F s

Primenom Košijeve teoreme o priraštaju argumenta, moguće je izvesti dva različita kriterijuma za ispitivanje stabilnosti kontinualnih sistema.

Nyquist-ov kriterijum stabilnosti kontinualnih sistema Pođimo od pretpostavke da je naš sistem, čiju stabilnost ispitujemo, predstavljen kao sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom (slika 14.4)

( )W s( )r t ( )e t ( )c t

+−

Slika 14.4: Struktura sistema sa jediničnom negativnom povratnom spregom

pri čemu je funkcija povratnog prenosa realna racionalna funkcija:

( ) ( )( )

,m

n

P sW s m n

Q s= ≤ (14.20)

Primenićemo Košijevu teoremu o priraštaju argumenta usvajajući da je funkcija : ( )F s

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 m n

n

P s Q sF s W s

Q s+

= + = (14.21)

a da je kontura C tako izabrana da pokriva celu desnu poluravan 's' ravni, dakle poluravan u kojoj se nalaze nestabilni polovi sistema. Ova oblast je prikazana na slici 14.5.

Re s

Im s

R →∞

A

B

D

E

Slika 14.5: Kontura C koja pokriva desnu poluravan ‘s’ ravni

Primetimo da se prikazana kontura C sastoji iz tri segmenta. Prvi segment je od tačke A do tačke B pozitivni deo imaginarne ose, drugi segment BDE je polukrug beskonačnog poluprečnika sa centrom u koordinatnom početku, i treći segment EA je negativni deo imaginarne ose.

Pre nego što primenimo Košijevu teoremu o priraštaju argumenta, primetimo da se naša funkcija F(s) može napisati u formi:

( ) ( ) ( )( )

1 z

o

f sF s W s

f s= + = (14.22)

gde je u brojiocu sa ( )zf s označen karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi, a u

imeniocu sa ( )0f s je označen karakteristični polinom sistema u otvorenoj sprezi. Tada je, po tvrđenju Košijeve teoreme moguće napisati:

( )( ) ( )arg 1 2s ABDEA

W s N Pπ∈∆ + = − − (14.23)

Znak minus je dodat na desnoj strani jednakosti (14.23) jer je smer kretanja po konturi sa slike 14.5 negativan. U relaciji (14.23) je sada sa N označen broj nula funkcije koji je obuhvaćen konturom C. Imajući u vidu relaciju (14.22) i položaj konture, jasno je da N predstavlja broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi i, analogno tome, P predstavlja broj nestabilnih polova sistema u otvorenoj sprezi.

( )1 W s+

Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da karakteristični polinom u zatvorenoj sprezi ( )zf s nema nula u desnoj poluravni 's' ravni, odnosno unutar konture C, te uslov stabilnosti sistema postaje (N=0):

( )( )arg 1 2s ABDEA

W s Pπ∈∆ + = (14.24)

Priraštaj argumenta iz poslednje relacije se može napisati kao zbir tri priraštaja argumenta po pojedinim segmentima:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )arg 1 arg 1 arg 1 arg 1s ABDEA s AB s BDE s EA

W s W s W s W s∈ ∈ ∈ ∈∆ + = ∆ + + ∆ + + ∆ + (14.25)

Drugi sabirak u poslednjem izrazu je jednak nuli, jer kada kompleksna promenljiva s pripada segmentu BDE ona se može napisati u obliku:

[ ]e , , / 2, / 2js R R π πΘ= →∞ Θ∈ − (14.25)

i tada srednji sabirak postaje:

( )( ) ( )( )

1

2 22 2 2 2

arg 1 arg arg lim arg 0n n j

zn n jRs BDE s BDE o

f s a R e aW sf s a R e aπ π π π

Θ

Θ→∞∈ ∈ Θ= →− Θ= →−

∆ + = ∆ = ∆ = ∆ =1 (14.26)

gde je sa n označen red sistema.

Takođe su, u relaciji 14.25, prvi i treći sabirak identični, jer je segment AB konjugovano kompleksan segmentu EA. Tako da se na kraju, kao potreban i dovoljan uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi dobija sledeća relacija:

( )( ) ( )( )[0, )

arg 1 arg 1s AB

W s W j Pω

ω π∈ ∞∈

∆ + = ∆ + = (14.27)

U primeni Nyquist-ovog kriterijuma se najčešće ne računa funkcija ( )( )1 W s+ već funkcija ( )W s , ali da bi priraštaj argumenta ostao nepromenjen, vektor čiji se argument računa nema početak u koordinatnom početku već u tački . Time smo došli do konačne forme Nikvistovog kriterijuma stabilnosti kontinualnih sistema:

( 1, 0j− )

Potreban i dovoljan uslov da kontinualni sistem čija je funkcija povratnog prenosa ( )W s bude

stabilan jeste da priraštaj argumenta vektora čiji je početak u tački ( )1, 0j− a vrh se kreće po krivoj

( )W jω za [0, )ω∈ ∞ bude Pπ gde je P broj nestabilnih polova sistema u otvorenoj sprezi.

Vrlo često, u primeni, funkcija povratnog prenosa ima formu ( )KW s , gde je K nepoznati parametar čiji opseg treba odrediti da bi sistem bio stabilan. Tada se Nikvistova kriva crta za funkciju a početak vektora, čiji argument računamo, se smešta u tačku ( )W s ( )1/ , 0K j− .

Primer 14.5: Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa

( )( ) ( )2

11 2

W s Ks s

=+ +

(14.28)

Potrebno je da skiciramo Nikvistovu krivu:

( ) ( )( ) ( )2

1'1 2

W jW j

K j jω

ωω ω

= =+ +

(14.29)

i da je predstavimo u ( )'W s ravni. U tom cilju, važno je odrediti početnu tačku krive, za 0ω = , terminalnu tačku krive za ω →∞ i moguće preseke krive sa realnom i imaginarnom osom. U tom slučaju, izraz (14.29) treba predstaviti u obliku zbira realnog i imaginarnog dela:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

22 2

1 2 2'

1 4 4

j jW j R jI

ω ω ωω ω ω

2ω ω ω

− − −= + =

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(14.30)

gde je

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22

2 22 2 2 2 2

52 4 ;1 4 4 1 4 4

R Iω ωωω ω

2ω ω ω ω ω ω

−−= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(14.31)

Na osnovu ovih izraza možemo odrediti sledeće karakteristične tačke:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 / 22 3

0 0 0.5, 0 01 1lim ' lim lim 0

1 1j

R I

W j ej j j

π

ω ω ω

ω

ω ωω ω ω

−

→∞ →∞ →∞

= ⇒ = =

→∞⇒ = = =+ +

(14.32)

( ) ( ) 2 20 0.5 0.59

R Iω ω= ⇒ = ⇒ = − (14.33)

( ) ( ) 10 5 518

I Rω ω= ⇒ = ⇒ = − (14.34)

Navedene, kritične tačke su nam dovoljne da skiciramo Nikvistovu krivu i ona je prikazana na slici 14.6.

( ) Re 'W s

( ) Im 'W s

0.5

2 2 / 9−

1/18−

Slika 14.6: Nikvistova kriva za primer 14.5

Zavisno od paramtra K, početak Nikvistovog vektora ( )1/ , 0K j− može uzeti različite vrednosti. Na slici 14.6 vidimo da Nikvistova kriva deli realnu osu na četiri segmenta i za svaki od njih možemo izvršiti sledeću analizu:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[0, )

[0, )

[0, )

[0, )

1/ 1/18 arg 0

1/ 1/18,0 arg 2

1/ 0,0.5 arg

1/ 0.5 arg 0

K W j

K W j

K W j

K W j

ω

ω

ω

ω

ω

ω π

ω π

ω

∈ ∞

∈ ∞

∈ ∞

∈ ∞

− < − ⇒ ∆ =

− ∈ − ⇒ ∆ = −

− ∈ ⇒ ∆ = −

− > ⇒ ∆ =

(14.35)

Uzimajući u obzir činjenicu da je sistem u otvorenoj sprezi stabilan, odnosno da je parametar P=0, jedino prvi četvrti segment realne ose zadovoljavaju Nikvistov kriterijum stabilnosti, te dolazimo do zaključka da je sistem u zatvorenoj sprezi stabilan ukoliko parametar K uzme vrednost iz intervala:

( )2,18K ∈ − (14.36)

Primer 14.5: Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa

( ) ( )( )

2

2

1

4

K sW s

s s

+=

+ (14.37)

Primena Nikvistovog kriterijuma u ovom slučaju nije direktna, kao u malopređašnjem slučaju, jer sistem u otvorenoj sprezi ima tri pola na imaginarnoj osi. U ovim tačkama funkcija povratnog prenosa nije definisana i putanja kompleksne promenljive s se u tom slučaju mora modifikovati kako bi Nikvistov kriterijum bio primenjiv. Uobičajen put kompleksne promenljive s bi bio

, [0,s j )ω ω= ∈ ∞ ali u tačkama 0ω = i 2ω = , se nalaze polovi sistema u otvorenoj sprezi, te ovaj put trajektoriju treba promeniti neznatno i zaobići singularitete tipa polova. Putanja kompleksne promenljive s, je u ovakvom slučaju, prikazana na slici 14.7.

Re s

Im s

A

B

C

D

E

2

Slika 14.7: Kretanje kompleksne promenljive s u slučaju postojanja singulariteta tipa polova na

imaginarnoj osi

Pri tome je važno napomenuti da je četvrtkrug AB uveden kako bi se zaobišao pol u koordinatnom početku, dok je polukrug CD uveden kako bi se zaobišao pol u tački 2j. Takođe je važno napomenuti, da u želji da ova trajektorija što manje odstupa od uobičajenog kretanja kompleksne promenljive s po imaginarnoj osi, poluprečnici i četvrtkruga AB i polukruga CD treba da budu beskonačno mali.

Pošto smo ovako definisali kretanje kompleksne promenljive s u njenoj ravni, primetimo da svi polovi funkcije povratnog prenosa ( )W s ostaju sa leve strane trajektorije, dakle parametar P ima vrednost P=0.

Sledeći korak u analizi stabilnosti je crtanje Nikvistove krive, odnosno preslikavanje svakog od segmenata sa slike 14.7 u odgovarajući segment u ( )'W s ravni.

Postupak crtanja Nikvistove krive se realizuje kroz sledeće segmente:

[ ]

( )( )2 2

2 20 0 0

, 0, 0, / 2

1 1lim lim lim44

j

j j

jj j

s AB s e

W e e eK ee eρ ρ ρ

ρ ρ π

ρ ρρρ ρ

Θ

Θ Θ−Θ

ΘΘ Θ→ → →

∈ ⇒ = → Θ∈ ⇒

+= =

+= ∞

(14.38)

Poslednji rezultat nam govori da se četvrtkrug AB iz s ravni, preslikava u četvrtkrug A'B' u ( )'W s ravni koji je beskonačnog poluprečnika i koji se nalazi u četvrtom kvadrantu.

( )

( ) ( )2

2

, 0 , 2

1'4

s BC s j

W j j

ω ω

ωωω ω

+ −∈ ⇒ = ∈ ⇒

−=

−

(14.39)

Na osnovu poslednje relacije vidimo da se duž BC preslikava u celu imaginarnu osu ( )'W s ravni krećući se od vrednosti ka . −∞ +∞

[ ]

( )( ) ( )

2 2

0 0 0

2 , 0, / 2, / 2

2 1 4 2 3lim lim lim2 42 4

j

j j jj

jj j j

s CD s j e

W j e j e e eK jj e e j eρ ρ ρ

ρ ρ π π

ρ ρ ρρρ ρ ρ

Θ

Θ Θ Θ− Θ

ΘΘ Θ Θ→ → →

∈ ⇒ = + → Θ∈ − ⇒

+ − + + −= =

+ + e j= ∞

(14.40)

Poslednja relacija nam govori da se polukrug CD preslikava u polukrug C'D' sa centrom u koordinatnom početku, beskonačno velikog poluprečnika koji pokriva prvi i četvrti kvadrant ( )'W s ravni krećući se u negativnom smeru.

( )

( )( )

( ) ( )( )

22/ 2

32

, 2 ,

1 0, lim lim 04

j

s DE s j

W j W j jj e

K K jπ

ω ω

ω ω

ω ωωω ω ω

+

−

→∞ →∞

∈ ⇒ = ∈ ∞ ⇒

−= < = =

−

ω (14.41)

Konačno, poluprava DE se slika u polupravu D'E' koja pokriva negativni deo imaginarne ose i završava se u koordinatnom početku pod uglom od / 2π− . Nikvistova kriva je prikazana na slici 14.8.

Na osnovu Nikvistove krive prikazane na slici 14.8 jasno je da je Nikvistova kriva podelila realnu osu na dva dela. Četvrtkrug A'B' i polukrug C'D' su beskonačnog poluprečnika i zato se crtaju isprekidanim linijama. Zavisno od vrednosti parametra K, menja se početak Nikvistovog vektora , pa samim tim i priraštaj argumenta Nikvistovog vektora dobija različite vrednosti:

( 1/ , 0K j− )

( )( )

( )( )

1/ 0 arg / 0

1/ 0 arg / 3s ABCDE

s ABCDE

K W s K

K W s K π∈

∈

− < ⇒ ∆ =

− > ⇒ ∆ = − (14.42)

Očigledno je za pozitivno K ispunjen uslov:

( )( )arg / 0s ABCDE

W s K Pπ∈∆ = = (14.43)

na osnovu čega zaključujemo da je sistem stabilan za . 0K >

Nikvistov kriterijum nam daje mogućnosti, ako je sistem u zatvorenoj sprezi nestabilan, da odredimo i koliki je broj nestabilnih polova. Dakle, uvek je u važnosti sledeća relacija:

( )( ) ( )arg /s ABCDE

W s K P N π∈∆ = − (14.44)

gde je sa N označen broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi. Lako se proverava da je za negativno K, broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi N=3.

( ) Re 'W s

( ) Im 'W s

'A

'B

'C

'D

'E

Slika 14.8.

Primena Nikvistovog kriterijuma u analizi stabilnosti diskretnih sistema Kao i u slučaju kontinualnih sistema, pretpostavlja se da je diskretni sistem dat u formi sistema sa jediničnom negativnom spregom (slika 14.9).

( )W z[ ]r k [ ]e k [ ]c k

+−

Slika 14.9: Struktura diskretnog sistema

pri čemu je funkcija povratnog prenosa poznata i predstavljena u formi realne racionalne funkcije po kompleksnoj promenljivoj z:

( ) ( )( )

,m

n

P zW z m n

Q z= ≤ (14.45)

Funkcija na koju se primenjuje Košijeva teorema o priraštaju argumenta je ista kao i za slučaj kontinualnog sistema:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )0

1 m n z

n

P z Q z f zF z W z

Q z f z+

= + = = (14.46)

gde je sa ( )zf z označen karakteristični polinom sistema u zatvorenoj sprezi a sa ( )0f z karakteristični polinom sistema u otvorenoj sprezi. Kontura C se ponovo bira tako da pokrije ceo

skup tačaka 'z' ravni koji predstavlja nestabilne polove. Dakle, to je spoljašnjost jediničnog kruga. Ova kontura je prikazana na slici 14.10.

Re z

Im z

1R →∞

ABC D

E F

Slika 14.10: Kontura u 'z' ravni koja pokriva oblast nestabilnosti

Polazeći od Košijeve teoreme o priraštaju argumenta možemo dalje pisati:

( )( ) ( )arg 1 2z ABCDEFA

W z N Pπ∈∆ + = − − (14.47)

gde je sa N označen broj nula funkcije ( )( )1 W z+ koje su obuhvaćene konturom, a P broj polova

iste funkcije koje su obuhvaćene konturom. Imajući u vidu da funkcija predstavlja količnik karakterističnih polinoma sistema u zatvorenoj i otvorenoj sprezi, postaje jasni da je N broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi a P broj nestabilnih polova sistema u otvorenoj sprezi. Takođe, predznak '-' u poslednjoj relaciji stoji jer je smer kretanja po konturi u pravcu kazaljke na satu, dakle negativan.

( )(1 W z+ )

Shodno napred rečenom, kao uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi možemo postaviti uslov

( )( )arg 1 2z ABCDEFA

W z Pπ∈∆ + = (14.48)

a imajući u vidu oblik konture za koju se priraštaj argumenta računa, ovaj priraštaj argumenta se može razložiti na 5 sabiraka:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

arg 1 arg 1 arg 1

arg 1 arg 1 arg 1z ABCDEFA z AB z BC

z CDE z EF z FA

W z W z W z

W z W z W z∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

∆ + = ∆ + + ∆ +

+ ∆ + + ∆ + + ∆ + (14.49)

Lako se pokazuje da su prvi i poslednji sabirci identični (po gornjem i donjem polukrugu jediničnog kruga) jer su to konjugovano kompleksni segmenti sa istim pravcem kretanja. Dalje, kretanjem po realnoj osi (segmenti BC i EF) funkcija ( )( )1 W z+ stalno dobija čistu realnu vrednost, te promene argumenta nema. Konačno, prilikom kretanja po krugu CDE moduo kompleksne promenljive z je beskonačno veliki, a kako je funkcija ( )(1 W z+ ) zapravo količnik dva polinoma istog stepena, za svaku tačku sa ovog kruga beskonačnog poluprečnika, ovaj količnik dva polinoma dobija vrednost realne konstante. Dakle, i ovaj priraštaj argumenta je jednak nuli. Konačno, uslov stabilnosti diskretnog sistema postaje:

( )( )[ ]

( )( )0,

arg 1 arg 1 j

z ABW z W e P

ππΘ

Θ∈∈∆ + = ∆ + = (14.50)

Kao i kod praktične primene, uobičajeno je da se ne crta hodograf funkcije već samo

funkcije ali se zato početak vektora čiji priraštaj argumenta računamo pomera u tačku

. Tako da konačni uslov stabilnost diskretnog sistema postaje:

( )(1 W z+ )

)( )W z

( 1, 0j−

[ ]

( )( ) (0,arg ; 1, 0jW e P j

ππΘ

Θ∈∆ = − ) (14.51)

a konačni stav o stabilnosti glasi:

Potreban i dovoljan uslov da diskretni sistem čija je funkcija povratnog prenosa ( )W z bude

stabilan jeste da priraštaj argumenta vektora čiji je početak u tački ( )1, 0j− a vrh se kreće po

Nikvistovoj krivoj ( jW e )Θ za [ ]0,πΘ∈ bude Pπ gde je P broj nestabilnih polova sistema u otvorenoj sprezi. Primer 14.6: Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo opseg vrednosti parametra K za koju je sistem sa funkcijom povratnog prenosa

( ) ( )1

1W z K

z z=

− (14.52)

Po Nikvistovom kriterijumu potrebno je da pustimo kompleksnu promenljivu z da se kreće po gornjem polukrugu jediničnog kruga i da za svaku od tih tačaka odredimo odgovarajuću vrednost funkcije povratnog prenosa. Međutim, primetimo da zadata funkcija povratnog prenosa ima pol u tački 1 koji je takođe na jediničnom krugu, i zbog toga je putanju kompleksne promenljive z potrebno neznatno modifikovati kako je to prikazano na slici 14.11.

Re z

Im z

11− A

BC

Slika 14.11: Putanja kompleksne promenljive z

S obzirom da sada putanja kompleksne promenljive z ima dva segmenta, crtanje Nikvostove krive treba realizovati iz dva koraka.

[ ]

( )( )0 0 0

1 , 0, 0, / 2

1 1 1lim lim lim1

j

jj

jj j

z AB z e

W ee

K ee eρ ρ ρ

ρ ρ π

ρ

ρρ ρ

Θ

Θ− Θ

ΘΘ Θ→ → →

∈ ⇒ = + → Θ∈ ⇒

+= =

+= ∞

(14.53)

Poslednja relacija nam govori o tome da se četvrtkrug AB beskonačno malog poluprečnika preslikava u četvrtkrug beskonačno velikog poluprečnika u četvrtom kvadrantu krećući se u smeru kazaljke na satu.

Sledeći korak u formiranju Nikvistove krive je preslikavanje drugog segmenta BC:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

, (0 , ]

1 1cos 2 cos sin 2 sin1

j

j

j j

z BC z e

W eK je e

πΘ +

Θ

Θ Θ

∈ ⇒ = Θ∈ ⇒

= =Θ − Θ + Θ − Θ−

(14.54)

U cilju jednostavnijeg crtanja Nikvistove krive i određivanja kritičnih tačaka, pogodno je poslednji izraz napisati u formi zbira realnog i imaginarnog dela:

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )cos 2 cos sin 2 sin2 1 cos 2 1 cos

jW ej R

K

Θ Θ − Θ Θ − ΘjI= − = Θ

− Θ − Θ+ Θ (14.55)

Kritične tačke se određuju na osnovu preseka Nikvistove krive sa realnom i imaginarnom osom ravni: ( )W z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

30 cos 2 cos cos 0.5 4 / 3 2 / 33

0 sin 2 sin sin 0 cos 0.5

/ 3 / 3 1, 0.5

R I

I

R R

π π

π π π π

Θ = ⇒ Θ = Θ ⇒ Θ = − ⇒Θ = ⇒ =

Θ = ⇒ Θ = Θ ⇒ Θ = ∨ Θ = ⇒

Θ = ∨Θ = ⇒ = − =

(14.56)

Na osnovu dobijenih rezultata može se skicirati Nikvistova kriva i ona je prikazana na slici 14.12.

( ) Re 'W z

( ) Im 'W z

'A

'B

R →∞

1− 0.5

3 / 3

Slika 14.12: Nikvistova kriva za diskretni sistem

Nikvistova kriva deli realnu osu na tri segmenta, i zavisno od vrednosti parametra K priraštaj argumenta Nikvistovog vektora uzima različite vrednosti:

( )

( ) ( )

( )

1/ 1 arg 0

1/ 1,0.5 arg 2

1/ 0.5 arg

z ABC

z ABC

z ABC

K W z

K W

K W z

z π

π

∈

∈

∈

− < − ⇒ ∆ =

− ∈ − ⇒ ∆ = −

− > ⇒ ∆ = −

(14.57)

Kako je za zadati sistem parametar P=0, jer svi polovi ostaju van modifikovane konture, jedino prvi segment zadovoljava Nikvostov uslov da je:

( )arg 0z ABC

W z Pπ∈∆ = = (14.58)

te traženi opseg vrednosti pojačanja K postaje:

( )0,1K ∈ (14.59)

34. Cipkinov metod u analizi stabilnosti linearnih sistema

Cipkinov metod (autor je Jakov Cipkin) u analizi stabilnosti linearnih dinamičkih sistema se bazira na Nikvistovom kriterijumu. Naime, ukoliko je Nikvistova kriva složena i ukoliko je priraštaj argumenta Nikvistovog vektora za zadatu kritičnu tačku teško sračunati, može se primeniti Cipkinov metod.

Osnova Cipkinovog metoda je određivanja broja pozitivnih i negativnih prelaza. Pod prelazima se podrazumevaju preseci Nikvistove krive sa negativnim delom realne ose levo od kritične tačke na njoj. Pri tome postoje četiri vrste prelaza.

Ukoliko je presek Nikvistove krive sa negativnim delom realne ose takav, da sa porastom učestanosti ω , kriva prelazi iz drugog u treći kvadrant ( )W s ravni (kreće se u smeru suprotnom od kazaljke na satu), prelaz se smatra pozitivnim (pogledati sliku).

Ukoliko je presek Nikvistove krive sa negativnim delom realne ose takav, da sa porastom učestanosti ω , kriva prelazi iz trećeg u drugi kvadrant (kreće se u smeru kretanja kazaljke na satu), prelaz se smatra negativnim.

Ukoliko Nikvistova kriva polazi sa negativnog dela realne ose, levo od kritične tačke na njoj, ili završava na negativnom delu realne ose, ovakav prelaz se smatra poluprelazom, pozitivnim ili negativnom zavisno od smera kretanja Nikvistove krive sa porastom učestanosti ω . Smer koji odgovara pozitivnom (suprotnom od kazaljke na satu) odgovara pozitivnom poluprelazu, dok se negativni smer kretanja (smer kazaljke na satu) odnosi na negativni poluprelaz.

( ) Im W s

( ) Re W s1+ 1/ 2+

1/ 2+

1/ 2−

1/ 2−

1−

Slika: Ilustracija pozitivnih i negativnih prelaza i poluprelaza

Na osnovu određenih broja pozitivnih i negativnih prelaza (koji se uobičajeno označavaju sa +Σ i , respektivno) potreban i dovoljan uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi se definiše na

sledeći način: Potreban i dovoljan uslov da sistem čija je funkcija povratnog prenosa

−Σ( )KW s bude

stabilan, jeste da razlika pozitivnih i negativnih prelaza, koje Nikvistova kriva čini sa negativnim delom realne ose, levo od kritične tačke ( )1/ , 0K j− bude P/2 gde je sa P označen broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi, odnosno

/ 2P+ −Σ −Σ =

Primena Cipkinovog pravila je vrlo jednostavna i ilustrovana na primeru sledećeg sistema čija je Nikvistova kriva vrlo komplikovana i predstavljena na sledećoj slici

( ) Im W s

( ) Re W s

1−2−3−4−5−

Slika: Primer složene Nikvistove krive

Za pojedine vrednosti kritičnog pojačanja možemo doneti sledeće zaključke:

1/ 5 0 0 02PK P+ −− < − ⇒ Σ −Σ = − = ⇒ =

Ovaj rezultat nam govori da ako je sistem u otvorenoj sprezi bio stabilan (P=0), za ovakvu vrednost pojačanja K, on će i u zatvorenoj sprezi biti stabilan.

( )1/ 5, 4 1 0 22PK P+ −− ∈ − − ⇒ Σ −Σ = − = ⇒ =

Ako je sistem u otvorenoj sprezi imao dva nestabilna pola (P=2), za ovakvu vrednost pojačanja K, u zatvorenoj sprezi će biti stabilan.

( )1/ 4, 3 2 0 42PK P+ −− ∈ − − ⇒ Σ −Σ = − = ⇒ =

Za vrednost pojačanja , ako je sistem u otvorenoj sprezi imao četiri nestabilna pola, u zatvorenoj sprezi će biti stabilan.

(1/ 4,1/ 3K ∈ )

( )1/ 3, 2 2 1 22PK P+ −− ∈ − − ⇒ Σ −Σ = − = ⇒ =

Ponovo, ako je u otvorenoj sprezi sistem imao dva nestabilna pola, u zatvorenoj sprezi će za ovakvo pojačanje, biti stabilan.

( )1/ 2, 1 2 2 02PK P+ −− ∈ − − ⇒ Σ −Σ = − = ⇒ =

Za ( )0.5,1K ∈ , ako je sistem u otvorenoj sprezi bio stabilan i u zatvorenoj će ostati stabilan.

( )1/ 2, 1 2 2.52PK + −− ∈ − − ⇒ Σ −Σ = − ≠

Za ovakvu vrednost pojačanja će sistem u zatvorenoj sprezi sigurno biti nestabilan, jer P mora biti nenegativan ceo broj.

Dakle, primenom Cipkinovog pravila se olakšava postupak analize stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi, i smanjuje mogućnost greške pri određivanju priraštaja argumenta Nikvistovog vektora, pogotovo u slučaju složenih formi Nikvistove krive.

35. Kriterijum Mihajlova: grafoanalitički kriterijum stabilnosti kontinualnih LTI sistema

Kriterijum Mihajlova se takođe izvodi na osnovu Košijeve teoreme o priraštaju argumenta. Za razliku od Nyquist-ovog kriterijuma, kriterijum Mihajlova za funkciju čiji se priraštaj argumenta računa usvaja karakteristični polinom sistema ( )f s . Usvojimo ga u opštoj formi:

( ) 11 1

n nn n 0f s a s a s a s a−

−= + + + + (15.1)

dok se za konturu C za koju se računa priraštaj argumenta usvaja kontura koja obuhvata celu levu poluravan 's' ravni. Ova kontura je prikazana na slici 15.1 pri čemu treba primetiti da je smer kretanja po konturi pozitivan.

Re s

Im s

R →∞

A

B

C

Slika 15.1: Kretanje kompleksne promenljive ‘s’ u kompleksnoj ravni

Po Košijevoj teoremi o priraštaju argumenta kompleksne funkcije možemo pisati da je:

( ) ( )arg 2s ABCA

f s Nπ∈∆ = − P (15.2)

gde je sa N označen broj nula a sa P broj polova karakterističnog polinoma koji su obuhvaćeni konturom sa slike 15.1. Kako je posmatrana funkcija ( )f s polinom, on nema polova te je P=0. Sa druge strane, ako želimo da naš sistem bude stabilan, potreban i dovoljan uslov je da sve nule karakterističnog polinoma, a ima ih n jer je to stepen karakterističnog polinoma (15.1), budu obuhvećene posmatranom konturom. Dakle, uslov stabilnosti se može formulisati smenom u relaciji (15.2) jednakostima N=n, P=0, odnosno

( )arg 2s ABCA

f s nπ∈∆ = (15.3)

Sa druge strane, prikazana kontura na slici 15.1 se sastoji iz tri segmenta: pozitivan deo imaginarne ose, polukrug beskonačnog poluprečnika i negativni deo imaginarne ose, te se relacija (15.3) može napisati u sledećoj formi:

( ) ( ) ( ) ( )arg arg arg arg 2s ABCA s AB s BC s CA

f s f s f s f s nπ∈ ∈ ∈ ∈∆ = ∆ + ∆ + ∆ = (15.4)

Prvi i treći sabirak poslednjeg izraza su jednaki jer je u pitanju priraštaj argumenta po istoj funkciji a po delovima konture koje su međusobno konjugovano kompleksne. Drugi sabirak se može sračunati na sledeći način:

[ ]( )

[ ]( )

[ ]

[ ]( )( )

/ 2,3 / 2 / 2,3 / 2

/ 2,3 / 2

, , / 2,3 / 2

arg arg lim arg lim

3arg2 2

j

jnR Rs BC

n

s BC s Re Rn j nf s f Re a

a n n n

π π π π

π π

π π

π π π

Θ

R eΘ Θ

→∞ →∞∈ Θ∈ Θ∈

Θ∈

∈ ⇒ = →∞ Θ∈ ⇒

∆ = ∆ = ∆

⎛ ⎞= ∆ +Θ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(15.5)

Konačno, znajući da su prvi i treći sabirak u izrazu (15.4) identični a da drugi sabirak ima vrednosti nπ , konačno uslov stabilnosti sistema postaje zadovoljene sledećeg izraza:

( ) ( )[0, )

arg arg / 2s AB

f s f j nω

ω π∈ ∈ ∞

∆ = ∆ = (15.6)

Poslednji stav se može i rečima iskazati na sledeći način:

Potreban i dovoljan uslov da sistem čiji je karakteristični polinom ( )f s dat bude stabilan, jeste da priraštaj argumenta vektora čiji se početak nalazi u koordinatnom početku a vrh se kreće po hodografu Mihajlova, odnosno po krivoj ( )f jω za [0, )ω∈ ∞ bude / 2nπ gde je sa n označen stepen karakterističnog polinoma, odnosno red sistema.

Primetimo da je za 0ω = vrednost karakterističnog polinoma (15.1) jednaka ( ) 00f j a= poslednjem koeficijentu što nam govori o tome da kriva Mihajlova uvek kreće sa realne ose, i to sa njenog pozitivnog ili negativnog dela, zavisno od znaka ovog najmlađeg koeficijenta. Otuda su, na slici 15.2 prikazani mogući oblici hodografa Mihajlova za stabilne sisteme različitih stepena.

1n =

( ) Re f s

( ) Im f s

0 0a <

0 0a >

2n =

( ) Re f s

( ) Im f s

0 0a <

0 0a >

3n =

( ) Re f s

( ) Im f s

0 0a <

0 0a >

Slika 15.2: Hodografi Mihajlova stabilnih sistema prvog, drugog i trećeg reda

Na osnovu prikazanih hodografa Mihajlova, jasno je da za sistem prvog reda hodograf Mihajlova treba da prođe samo kroz jedan kvadrant, za sistem drugog reda kroz dva kvadranta, za sistem trećeg reda kroz tri i tako dalje, pri čemu je važno da hodograf Mihajlova uvek polazi sa realne ose i neophodno je da prolaske kroz kvadrante obavi naizmeničnim presecanjem realne i imaginarne ose. Navedena opažanja se mogu striktno dokazati, pa se i kriterijum Mihajlova može preformulisati i iskazati na sledeći način:

Potreban i dovoljan uslov da sistem sa karakterističnim polinomom ( )f s bude stabilan, jeste da hodograf Mihajlova, polazeći sa realne ose prođe kroz n kvadranata, naizmenično presecajući realnu i imaginarnu osu. Ovako formulisani stav je vrlo pogodan za ispitivanje stabilnosti sistema u čijem karakterističnom polinomu figuriše parametar, što će biti ilustrovano na sledećem primeru.

Primer 15.1: Primenom kriterijuma Mihajlova ispitajmo dozvoljeni opseg vrednosti parametra K za koji je sistem sa karakterističnim polinomom:

( ) 3 2 4f s s Ks Ks= + + + (15.7)

stabilan. Naravno, potrebno je da skiciramo hodograf Mihajlova, i otuda izvršimo smenu s jω= :

( ) ( ) ( )3 2 4f j j K jK R jIω ω ω ω ω ω= − − + + = + (15.8)

gde su realni i imaginarni deo funkcije dati:

( ) ( ) ( )24 ;R K I K 2ω ω ω ω ω= − = − (15.9)

U želji da precizno skiciramo krivu Mihajlova potrebno je da odredimo preseke krive sa realnom i imaginarnom osom:

( ) ( ) ( ) 20 2 0 20 0 , 0 4, 4I K K R R Kω ω ω ω ω ω ω= ⇒ = = ∨ = = ≥ ⇒ = = − (15.10)

( ) ( )1 14 40 4 / , 0 4R K K IK K

ω ω ω ω ⎛= ⇒ = = ≥ ⇒ = −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (15.11)

Kako je u pitanju sistem trećeg reda, hodograf Mihajlova treba da izgleda kao na slici 15.3.

( ) Re f s

( ) Im f s

( )1I ω

( )04 ω( )2R ω

Slika 15.3: Hodograf Mihajlova posmatranog sistema

Uslovi da hodograf posmatranog sistema bude kakav je prikazan na slici 15.3. su sledeći:

( )

( )

( )

0 1 2

0

1

22

40 2

0 4 0

4 40 4 0

0 4 0 2

K KK

R

I KK K

R K K

ω ω ω

ω

ω

ω

< < ⇒ < < ⇒ >

> ⇒ >

⎛ ⎞> ⇒ − > ⇒ >⎜ ⎟⎝ ⎠

< ⇒ − < ⇒ >

1 (15.12)

Presekom dobijenih ograničenja za parametar K konačno se dobija opseg dozvoljenih vrednosti za koje je posmatrani sistem stabilan:

( )2,K ∈ ∞ (15.13)

Primer 15.2: Primenom kriterijuma Mihajlova, za karakteristični polinom sistema iz prethodnog primera, odrediti opseg pojačanja K za koji će sistem biti stabilan sa dominantnom vremenskom konstantom manjom od 1sec.

Ukoliko želimo da primenimo kriterijum Mihajlova u cilju ispitivanja relativne stabilnosti sistema, kakva je zadata u ovom primeru, konturu po kojoj se kreće kompleksna promenljiva s mora biti modifikovana na način kako je to prikazano na slici 15.4.

Re s

Im s

R →∞

A

B

C

σ

Slika 15.4: Kontura kompleksne promenljive u 's' ravni u cilju ispitivanja relativne stabilnosti

Sada je kontura u kompleksnoj ravni definisana tako da se proveri, ne samo da li nule karakterističnog polinoma leže u levoj poluravni 's' ravni, već i to da li su sve nule levo od prave čiji je realni deo jednak σ . U našem slučaju, s obzirom da je zahtevana dominantna vremenska konstanta 1sec, parametar σ ima vrednost -1. U cilju crtanja krive Mihajlova treba izvršiti smenu

1 , [0,j )σ ω ω= − + ∈ ∞ :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2

2 2 3

1 1 1 1 4

1 3 4 3 2

f j j K j K j

K K K j j Kj KjR jI

ω ω ω ω

ω ω ω ω ωω ω

− + = − + + − + + − + +

= − + + − − + − + − +

= +

ω (15.14)

gde je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 3 ; 3 3R K I K K 2ω ω ω ω ω ω= − + = − + − = − −ω (15.15)

Preseci krive Mihajlova sa realnom i imaginarnom osom su:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

20 2 0 2

1 1

0 0 3 , 3 3, 3

0 3/ 3 , 3 3/ 3 3 3/ 3

I K K R R

R K K I K K

ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

= ⇒ = = ∨ = = − ≤ ⇒ = = − +

= ⇒ = = − ≥ ⇒ = − − − −

3K

K (15.16)

Iz poslednje relacije postaje jasno da ne postoji parametar K za koji bi kriva Mihajlova presekla i imaginarnu i realnu osu (jedan je uslov 3K ≤ a drugi ), te kriva Mihajlova ne može proći kroz tri kvadranta kako bi sistem imao zahtevanu relativnu stabilnost.

3K ≥

36. Kriterijum priraštaja argumenta karakterističnog polinoma za ispitivanje stabilnosti diskretnih sistema Analogno kriterijumu Mihajlova, Košijeva teorema o priraštaju argumenta se može primeniti za ispitivanje stabilnosti diskretnog sistema, pri čemu se koristi karakteristični polinom

( ) 11 1

n nn n 0f z a z a z a z a−

−= + + + + (15.17)

Kontura po kojoj se kreće kompleksna promenljiva z je jedinični krug, kako je to prikazano na slici 15.5.

Re z

Im z

AB

1R =

Slika 15.5: Kretanje kompleksne promenljive z

Po Košijevoj teoremi o priraštaju argumenta možemo pisati da je:

( ) ( )arg 2z ABA

f z Nπ∈

∆ = − P (15.18)

gde je sa N označen broj nula a sa P broj polova funkcije ( )f z obuhvaćenih konturom u z ravni.

Kako je u našem slučaju funkcija ( )f z polinom, ona polova nema (P=0), a kako je nama cilj da sistem bude stabilan, odnosno da sve nule karakterističnog polinoma budu unutar jediničnog kruga (N=n), uslov stabilnosti postaje:

( )arg 2z ABA

f z nπ∈

∆ = (15.19)

Takođe se priraštaj argumenta po jediničnom krugu može napisati kao zbir priraštaja argumenata po gornjem i donjem polukrugu. S obzirom da su ova dva polukruga međusobno konjugovano-kompleksni sa istim smerom kretanja, ova dva priraštaja su identična. Konačno, uslov stabilnosti postaje:

[ ]

( )0,arg jf e

πnπΘ

Θ∈∆ = (15.20)

Drugim rečima, potreban i dovoljan uslov da diskretni sistem čiji je karakteristični polinom ( )f z poznat, bude stabilan jeste da priraštaj argumenta čiji se početak nalazi u koordinatnom početku a vrh se kreće po krivoj ( )jf e Θ za [ ]0,πΘ∈ bude nπ gde je n stepen karakterističnog polinoma, odnosno red sistema.

Primer 15.3: Primenom kriterijuma priraštaja argumenta karakterističnog polinoma ispitajmo stabilnost diskretnog sistema čiji je karakteristični polinom:

( ) 2f z z z K= + + (15.21)

Prvi korak je da se izvrši smena [ ], 0,jz e πΘ= Θ∈ (15.22)

i da se skicira funkcija ( )jf e Θ :

( ) 2j j jf e e eΘ Θ Θ K= + + (15.23)

koju u cilju što preciznije crtanja treba rasčlaniti na realni i imaginarni deo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )cos 2 cos sin 2 sinjf e K j

R jI

Θ = Θ + Θ + + Θ + Θ

= Θ + Θ (15.24)

gde je

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos 2 cos

sin 2 sin

R K

I

Θ = Θ + Θ +

Θ = Θ + Θ (15.25)

Sledeći korak je potražiti moguće preseke ove funkcije sa koordinatnim osama:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )0 2 4

0 2 4

0 sin 2 sin sin 2cos 1 0

0 2 / 32 , 1,

I

R K R K R Kπ π

Θ = ⇒ Θ + Θ = Θ Θ + =

⇒Θ = Θ = ∨ Θ = Θ = ∨ Θ = Θ =

⇒ Θ = + Θ = − Θ =

(15.26)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

1,3

0 cos 2 cos 0 2cos cos 1 0

1 9 8cos4

R K

K

Θ = ⇒ Θ + Θ + = ⇒ Θ + Θ + − =

− ± −⇒ Θ =

K (15.27)

Pre nego što uđemo u dalju analizu postojanja korena u poslednjoj relaciji i egzistenciji inverzne kosinusne funkcije, pogledajmo kakvu formu može imati kriva ( )jf e Θ za sistem koji je stabilan. S obzirom da njen priraštaj argumenta mora biti 2π , moguće su dve solucije koje su prikazane na slici 15.6.

( ) Re f z

( ) Im f z

( ) Re f z

( ) Im f z

2K +K

1K −2K +

K 1K −

Slika 15.6: Mogući oblici funkcije ( )jf e Θ

Obe krive na slici 15.6 imaju priraštaj argumenta od 2π , međutim, lako se uočava da za krivu na desnoj strani ne postoji K, koje će zadovoljiti uslove da je 0, 2 0, 1 0K K K< + < − > , te je jedina

moguća forma, da naš sistem bude stabilan, da funkcija ( )jf e Θ ima oblika kao kriva na levoj strani slike 15.6. U tom slučaju moraju postojati i dva preseka sa imaginarnom osom, dakle moraju postojati uglovi pri čemu je 1,3Θ ( ) ( )1 30, 0R RΘ > Θ < . Uslovi, pod kojima je ovaj oblik zadovoljen glase:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0 1 2 3 4

0

1 1

2

3 3

4

1 9 8 2 1 9 80 arccos arccos4 3 4

0 9 8 90 2 0

1 9 8 10 sin 04 2

0 1 0

1 9 8 10 sin 04 2

0 0

K K

KR K

KI

R K

KI

R K

π π⎛ ⎞ ⎛− + − − − −

Θ < Θ < Θ < Θ < Θ ⇒ < < < <⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

< − <

Θ > ⇒ + >

⎡ ⎤− + −Θ > ⇒ Θ + >⎢ ⎥

⎣ ⎦Θ < ⇒ − <

⎡ ⎤− − −Θ < ⇒ Θ + <⎢ ⎥

⎣ ⎦Θ > ⇒ >

⎞⎟⎟⎠

(15.28)

U preseku navedenih uslova se dobija opseg dozvoljenih vrednosti za koje je sistem stabilan:

( )0,1K ∈ (15.29)

37. Direktni metod Ljapunova u analizi stabilnosti linearnih sistema

Primena u analizi stabilnosti kontinualnih sistema

Pretpostavimo da je autonoman sistem opisan vektorskom diferencijalnom jednačinom

( ) ( )( )x t f x t= (15.30)

i da je potrebno ispitati stabilnost ravnotežnog stanja u koordinatnom početku. Pretpostavka o ravnotežnom stanju u koordinatnom početku ne narušava opštost ideje, jer se jednostavnim transliranjem koordinatnog sistema može posmatrati ravnotežno stanje u bilo kojoj tački prostora stanja. Pretpostavimo dalje da postoji funkcija ( )( )V x t , dakle funkcija n varijabli gde je n dimenzija modela (15.30) koja zadovoljava sledeće osobine:

1. ( )( ) ( )0 0V x t V= = = 0

2. za svako ( )( ) 0V x t > ( ) 0x t ≠

3. kada ( )( )V x t →∞ ( )x t →∞

4. ( )( ) ( )( )0

dV x tV x t

dt= < za ( ) 0x t ≠

Ukoliko ovakva funkcija V postoji, tada je, na osnovu direktne metode Ljapunova, koordinatni početak globalno asimptotski stabilno ravnotežno stanje. Za funkciju V koja zadovoljava navedene uslove se kaže da je pozitivno definitna funkcija.

Navedeni stav se jednostavno može primeniti u analizi stabilnosti linearnih sistema jer je tada model u prostoru stanja dat u obliku linearne diferencijalne jednačine:

( ) ( )x t Ax t= (15.31)

Ukoliko usvojimo da funkcija LJapunova ima formu:

( )( ) ( ) ( )TV x t x t Px t= (15.32)

gde je sa P označena pozitivno definitna realna simetrična matrica (pod pozitivno definitnom kvadratnom matricom se podrazumeva matrica čiji su svi dijagonalni minori pozitivni), tada su prva tri svojstva koja funkcija Ljapunova treba da zadovolji ispunjena. Pogledajmo na šta se svodi zahtevano četvrto svojstvo:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

TT T

T T T T

d x t dx tdV x t x t Px t Px t x t Pdt dt dtAx t Px t x t P Ax t x t A P PA x t

= = +

= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦

(15.33)

Potrebno je da ova funkcija bude negativno definitna, te je neophodno da se može napisati u formi:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T TV x t x t A P PA x t x t Qx t= + = −⎡ ⎤⎣ ⎦ (15.34)

gde je sa Q ponovo označena pozitivno definitna matrica. Drugim rečima, dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da postoji par pozitivno definitnih simetričnih realnih matrica P i Q koje zadovoljavaju algebarsku matričnu Ljapunovljevu jednačinu za kontinualne sisteme:

TA P PA Q+ = − (15.35)

Na ovom mestu treba dati par komentara koji se odnose na fizikalnost navedenog kriterijuma. Uzimajući u obzir uslove koje treba da zadovolji funkcija LJapunova, nameće se analogija ove funkcije sa potencijalnom energijom tela u gravitacionom polju. Potencijalna energija je po svojoj definiciji uvek pozitivna osim u samom izvoru gravitacionog polja i pri tome svako telo teži minimumu svoje potencijalne energije. Dakle, ideja je bila da ako postoji opis modela u prostoru stanja koji ima istu prirodu kao i potencijalna energija tela u gravitacionom polju, tada će ravnotežno stanje sistema imati istu prirodu kao i izvor gravitacionog polja, a to je globalna asimptotska stabilnost. Takođe, treba obratiti pažnju na činjenicu da je u pitanju dovoljan uslov stabilnosti. Naime, ukoliko za neki sistem ne možemo da odredimo funkciju Ljapunova, to još uvek ne znači da je on nestabilan, odnosno da je njegovo ravnotežno stanje nestabilno. Drugim rečima, ovim kriterijumom možemo dokazati stabilnost, ali ne i nestabilnost.

Primer 15.4: Posmatrajmo linearni sistem drugog reda opisano diferencijalnom jednačinom

( ) ( ) ( )1 1

0 2x t Ax t x t

−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (15.36)

Ukoliko želimo primenom direktnog metoda LJapunova da dokažemo njegovu stabilnost, potrebno je naći par pozitivno definitnih matrica P i Q, koje zadovoljavaju jednakost:

TA P PA Q+ = − (15.37)

Uobičajeno je da se za matricu Q izabere jedinična matrica i da se na osnovu poslednje relacije pristupi izračunavanju matrice P:

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2 3

1 0 1 1 1 01 2 0 2 0 1

Tp p p p p pP A P PA Q

p p p p p p− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⇒ + = − ⇒ + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(15.38)

na osnovu čega dobijamo tri linearne jednakosti:

1

1 2

2 3

2 13 0

2 4

pp p

p p 1

− = −− =− = −

(15.39)

što rezultuje matricom P:

1 12 61 16 3

P

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(15.40)

Kako je

21 1 3 2

1 1 10, 02 6 36

p p p p= > − = − = >5

36 (15.41)

zaključujemo da je matrica P pozitivno definitna, te je posmatrani sistem stabilan.

Primena metode na analizu stabilnosti diskretnih sistema

Posmatrajmo autonomni diskretni sistema opisan diferencnom jednačinom:

[ ] [ ]( )1x k f x k+ = (15.42)

Ukoliko je moguće pronaći funkciju [ ](V x k ) koja zadovoljava sledeće jednakosti:

1. [ ]( ) ( )0 0V x k V= = = 0

2. [ ]( ) 0V x k > za svako [ ] 0x k ≠

3. [ ]( )V x k →∞ kada [ ]x k →∞

4. [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 0V x k V x k V x k∆ = + − < za [ ] 0x k ≠

tada je koordinatni početak globalno asimptotski stabilno ravnotežno stanje ovog sistema. Analogija sa funkcijom LJapunova za kontinualne sisteme je potpuna. Jedina razlika je u tome što se u ovom slučaju, umesto prvog izvoda po vremenu, posmatra diferencija, odnosno konačna razlika funkcije.

U slučaju linearnih diskretnih sistema koji su opisani linearnom diferencnom jednakošću:

[ ] [ ]1x k Ex+ = k (15.43)

izbor funkcije Ljapunova je ponovo jednostavan:

[ ]( ) [ ] [ ]TV x k x k Px k= (15.44)

gde je P pozitivno definitna funkcija. Ovakvim izborom su ponovo prva tri svojstva zadovoljena, dok se četvrto svodi na:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]1 1 1T T

T T T T T

V x k V x k V x k x k Px k x k Px k

x k E PEx k x k Ex k x k E PE E x k

∆ = + − = + + −

= − = − (15.45)

U želji da ovako definisana diferencija funkcije LJapunova bude negativno definitna funkcija, mora postojati pozitivno definitna matrica Q koja zadovoljava jednakost:

TE PE E Q− = − (15.46)

Poslednja relacija se naziva algebarskom matričnom jednačinom Ljapunova za diskretne sisteme. Time se dolazi i do konačnog dovoljnog uslova za stabilnost diskretnih linearnih sistema: Ukoliko postoji par realnih simetričnih pozitivno definitnih matrica P i Q koje zadovoljavaju relaciju (15.46) sistem je stabilna.

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov

Born: 6 June 1857 in Yaroslavl, Russia

Died: 3 Nov 1918 in Odessa, Russia

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov's mother was Sofia Aleksandrovna Shilipova and his father was Mikhail Vasilievich Lyapunov. Mikhail Vasilievich was an astronomer who worked at Kazan University until two years before Aleksandr Mikhailovich was born, when the family moved to Yaroslavl on his appointment as director of the Demidovski Lyceum there. Sofia Aleksandrovna and Mikhail Vasilievich had talented children for, in addition to the subject of this biography, they had two boys one of whom (Sergei) became a composer and the other (Boris) became a member of the Soviet Academy of Sciences through his expertise in Slavic languages.

Aleksandr Mikhailovich began his education at home, then later one of his uncles R M Sechenov prepared him for entering the Gymnasium. Lyapunov was not the only one being coached by Sechenov who was teaching his own daughter Natalia Rafailovna Sechenov at the same time. In fact Natalia and Aleksandr married many years later when he was 29 years old. Some years after the death of Lyapunov's father, Sofia Aleksandrovna moved to Nizhny Novgorod (named Gorky from 1932 to 1990) in 1870 with her children and Lyapunov entered the Gymnasium in that city. There he was a school friend of Markov. He graduated in 1876 and, like his friend Markov, entered the Faculty of Physics and Mathematics at St Petersburg University.

At St Petersburg University he was taught by Chebyshev who, as we shall see below, had a strong influence on him. Lyapunov graduated in 1880 and remained at St Petersburg to undertake research. He published two papers on hydrostatics in 1881: On the equilibrium of heavy bodies in heavy liquids contained in a vessel of a certain shape, and On the potential of hydrostatic pressures. In the following year Chebyshev posed a question to Lyapunov which would set the agenda for one of his main lines of research over many years:-

It is known that at a certain angular velocity ellipsoidal forms cease to be the forms of equilibrium of a rotating liquid. In this case, do they not shift into some new forms of equilibrium which differ little from ellipsoids for small increases in the angular velocity?

Although Lyapunov's Master's thesis did not answer this question, the work of the thesis was motivated by it. He presented the thesis On the stability of ellipsoidal forms of equilibrium of a rotating liquid in 1884 and defended it at St Petersburg University in the following year. Following this he was appointed as a privatdozent at Kharkov University where he taught mechanics and continued research for his doctoral thesis. He presented his doctoral thesis The general problem of the stability of motion to the University of Moscow and was awarded his doctorate after defending the thesis on 12 October 1892 (according to the modern calendar). The importance of this thesis is emphasised in several articles such as [8], [12], [16] which were all written to celebrate the centenary of the publication of this fundamental contribution.

In the following year he was appointed as a professor at Kharkov University where he remained until 1902. While at Kharkov University he played a major role in the Kharkov Mathematical Society, being its vice-president from 1891 to 1898 and president from 1899 until he left Kharkov in 1902. He also edited the Communications of the Kharkov Mathematical Society.

In [13] Pavlovskaya looks at Lyapunov's work on the problem first posed by Chebyshev which we quoted above. The problem posed by Chebyshev concerning the existence of figures of equilibrium, in addition to ellipsoidal ones, of a rotating fluid under sufficiently small variations of angular velocity of revolution was first solved by Lyapunov in a first approximation. He later dealt with the problem of stability of fluid ellipsoids basing his investigations on the Thomson-Tait variational principle. He showed that a sufficient condition for stability is that the second and higher variations of the potential energy are positive. Lyapunov admitted that the imposition of certain additional constraints on the first variation reduced the generality of his method, but writes:-

But in this respect hardly any other method of investigation could be said to be completely satisfactory.

Lyapunov established that with variation in the angular velocity of revolution Maclaurin ellipsoids pass into Jacobi ellipsoids. The transition point is an ellipsoid of bifurcation corresponding in this case to a Jacobi ellipsoid of revolution.

In 1901 Lyapunov was elected to the Russian Academy of Sciences in St Petersburg and in the following year became an academician in applied mathematics of the Academy. Grigorian writes [1]:-

In St Petersburg, Lyapunov devoted himself completely to scientific work. He returned to the problem that Chebyshev had placed before him and, in an extensive series of papers which continued until his death, developed the theory of figures of equilibrium of rotating heavy liquids.

In 1917 Lyapunov left St Petersburg to take up a post at the university in Odessa, on the Black Sea coast. He taught at the university but in the spring of 1918 his wife's health began to deteriorate rapidly. Natalia Rafailovna suffered from a form of tuberculosis and Lyapunov was greatly disturbed to watch her health fail. On 31 October 1918 Lyapunov's wife died and later that day Lyapunov shot himself. He died three days later in hospital.

We have described Lyapunov's main work which was on the theory of rotating liquids. There are, however, other aspects of his work we should mention. One is certainly his contributions to probability which he became interested in because of courses he was teaching on that subject. In particular in two papers published in 1900 and 1901, he proved the central limit theorem using a technique based on characteristic functions. Another contribution which we should mention is that as editor for two volumes of Euler's collected works.

He was honoured for his outstanding contributions by election to various academies such as the Accademia dei Lincei (1909) and the French Academy of Sciences (1916). He was also given honorary membership of the universities of St Petersburg, Kharkov and Kazan. Various tributes were paid to him on the centenary of his birth. For example on 6 June 1957 Sobolev gave the lecture On the works of A M Lyapunov on potential theory in Moscow to a joint session of the Presidium of the Academy of Sciences, the divisions of technical and physical sciences of the Academy of Sciences, the Moscow University, the Moscow Mathematical Society, the Institute of Mechanics of the Academy of Sciences, and the Institute of Automatics and Telemechanics of the Academy of Sciences. The text of this lecture is given in [22].

Other papers such as [8] describe the way that Lyapunov's contributions to the stability of motion has influenced the development of the subject over a long period of time. Topics considered in [8] include: stability, particularly the stability of critical points; the construction and the application of the Lyapunov function; stability of functional- differential equations; the second Lyapunov method; and the method of the Lyapunov vector function in stability theory and nonlinear analysis.

Article by: J J O'Connor and E F Robertson